SOPRA CERTI SISTEMI DI LINEE E DI SUPERFICIE

Nota dd dott, G i u l i 0 I . , a z z e r i ~ a Livorno.

Adunanza del H [magglo I888.

I. In un piano sieno dati n punti PI, P.., . . �9 , P,, e n + 2 rette r , , r=, . . . . r,,§ tali che nessuna di esse passi per uno dei punti P, e

che tre di esse non passino per un punto. Le n + I rette q , . . . , r ,_ . , r + ~ , . . . , r,,+= si taghano due a due

in (n 2 + I ) p u n t i . Per ess ie p e r g l i n p u n t i P passa una, e d u n a

sola, curva C, di ordine n, poich~ 6

n -+ i ) i~(/,t -+ ] ) 2 --t- n - - - - 2

Le n + 2 c~rve C, cos'~ ottenule banno n ( n - - I) pmzti m comune 2

oltre agli n punt t P,

Infatti le n + 2 curve di ordme n + I, ognuna ddle quatt 6 formata da una curva C, colla retta r , , hanno in comune gli n punn P, e gli

2 punti r, rh, cio6 h a n n o n +2 2 (n + I)(n2 + 4)

pund comuni. Perci6 appartengono ad un fasclo, ed hanno altri

(n + ~)~-- (~ + ~) (" + 4) _ ~ _ 2 2

punti comuni, i quali devono trovarsi sulle curve C,.

SOPRA CERTI SISTEMI DI LINEE E" DI SUPERFICIE. I I I

L e n + 2curveC hannoincomunen-+ n ( n - - I ) _ _ n ( n + 3)__n 2 2

punti. Dunque : Le n + 2 curve C, apparlengono ad un sistema hneare di ~" curve

di ordine n.

2. Nel caso in cui & n = 2 il teorema precedente diviene:

Dati in un piano due punti e quattro rette, le quattro coniche cbe passano per z due punt~ dati, e sono rispettivamente circoscritte ai trmn- goli cbe st posson formare colle rate date, hanno un lerzo punto comune, e percib appartengono ad una fete di coniche.

Se i due punfi daft sono i punti ciclici si ricava, come caso par-

ticolare, un noto teorema di C l i f f o r d (*), cio+: I quattro circoli rispettivamente circoscritti ai iriangoli, che si possono

formate con quattro retie di un piano, hanno un punto comune.

3- Consideriamo ora nello spazio una curva piana r , di ordine n e n + 3 piani II i , Il~, . . . , II,+ 3 tah che quattro di essi non passino

per un punto, che nessuno di essi coincida col piano delia curva r, , ,

e che nessuna retta comune a due di essl incontri la curva F,,.

Indichiamo con (i, b) la retta comune ai piani l-I,, Ili, e con (i, b, k)

il punto comune ai piam II, , 1Ii,, Ilk. Gh n + 2 piani I I , . . . , rl,_i, II,+~, . . . , II,,~_ 3 hanno in comune

( n ~ 2 ) punti. Per essi e per la curva r , passa una, ed una sola, su-

perficie Q, dl ordine n. Infatti perch6 una superficie di ordine n con- tenga una curva piana di ordine n, + necessario e sufficiente che essa

passi per n(n + 3) dei sum punti, e percib la Q, ~ sottoposta ad 2

(n+2) n(n+3)__n(n '+6n+~O + 3 ] 2 6

condizioni, e qumdi 6 completamente determinata. Si ottengono cosi (n + 3) superficle Q, di ordine n.

(*) C 11 ffo r d" II senso comune helle sctenze esatte.

11:2 G. LAZZERL

Un piano II, ~ tagliato dalla curva r,, in n punti P, dagli altri pia- ni II secondo n rette (i, I), (i, 2), . . . , (i, t - - I ) , (t, i-~ I), . . . , ( i , It + 3) e dalle superficie Q,, Q~, . . . ,Q,_~, Q,+,, . . . , Q~3 secondo n -b 2 curve di ordine n che passano per i punti P, e che, per il teorema

dd n ~ I, hanno altri N--" n ( n - - I) punti comuni P5 ~ p(o, . . . p!~o. 2

Dunque : Ogni piano 1I, contiene N ptmti p~o, pei quali passano le superficie

o Q,, Q . , , . . . , o Q,_,, .0.o,,+,. I1 numero dei punti p!O ~ (n + 3) AT. Ogni superficie Q, contiene (n + 2) N punti P!') (r dioerso da i,

$ --" I ~ 2 , . . . ~ .IV).

Due superficie Q,, O Q b hanno in comune (n + I ) N punti p~o; tre slqerficie

Due

CuFva Cth

Ogre

P? (k, z,

Q,, Qt,, Q~ banno in comune n. N punti p!o; ecc. superficie Q,, Q~, hanno in comune, oltre la curva P,,, una

di ordine n ( n - - O. Si ottengono cosi (n 2 + 3) curve Ca,.

curva C,h contiene (n+3 I )Punl i (k , l ,m)ec l (n+ ONpunti

m, r diversi da z ed b, s - - - I , 2, . . . , N)

4- Supponiamo ora the pi~ generalmente siano dati ndio spazio una curva pianar,, di ordine n, e m - - n + 2 + p piani n~, n= . . . rim, tali che quattro di essi non passino per un punto, che nessuno di essi coincida col piano delia curva I",,, e che nessuna retta comune

a due di essi incontri la r,,. Gli m piani individuano (2 ) re t t e

(m) punti ( i ,b ,k)-" n, IIhrl ~ . Inoltre per i punti d'in- (i, h)--n, lI h , e 3

contro tre a tre din + 2 dJ essi e per la curva r . passa una superficie O.

d io rd inen . Restano cosi individuate ( n + 2 ~ P ) - - ( n - b 2 + p ) n - b - p

superficie Q. Le n § 2 superficie Q che restano individuate combinando un

piano n, colle combinazioni ad n -k I ad n + I di altri n + 2 piani

N = (~ )pnn t i P dd piano II,. Ogni piano n con- II passano per

SOPRA CERTI sISTEMI DI LINEE E DI SUPERFICIE. I I~

tieneperci6 ( n q - 2 + P - - I ) N - - ( n + P + I ) p - - r

il numero complessivo dd punti P

p--~ P

Ogni superficie Q contiene (n + 2)p. N punti P. Le due superficie Q che si ottengono combinando gli stessi nq-I

p i a n i I I c o n a l t r i d u e p i a n i I I h a n n o i n comunegl i ( n 3 + I ) punti

(ihk) intersezioni di quegli n + I piani tre a tre, e (n -Jr- i ) N punti P situati sugli (n q- I) piani suddetti. Tutti questi punti (ihk) e P giacciono evidentemente sulfa curva di ordine n(n ~ I) comune alle due superficie O.

Sarebbe facile detenninare altre propriet~ della figura individuata dalla curva r,, e dagli m piani 1I, ; ma senza addentrarmi pill oltre in questo studio, mi limiterb ad enunciate i teoremi che si ricavano dalle cons~derazioni precedenti per il caso in cui & n - - 2 .

5. Sieno dati nello spazio una conica C e m piani II, , I I , , . . . ilL, (m ~ 5), tall che quam'o di essi non passino per un punto, che nes- s u n ~ di essi coincida col piano delia conica r , e che nessuna retta comune a due di essi incontri la conica C. Gli m piani II, indi-

viduano ( ~ ) rette (1h)_~n, II1, , ( l~ )pun t i ( ihk ) - - I I , n~II~, ( 4 )

tetraedri (i h k l) - - rl, 11 h l-I~ II z . A ciascun tetraedro (z ts k l) ~ circoscritta una quadrica QhkZ che passa per la conica C.

Q.uattro quadriche Q,:.z,, Qa,7,, ~tr]ak, ~tkkl, che si ottengono combi- nando un piano II, colle combinazzoni tre a tre dei quattro piani 1I~, II,, II~, IIr passano per un punto P,,~,jr situato sul piano 11,.

piano 11, contiene (m--4 I) punti P,,bkzr e quindi il numero Ogni

complessivo di quest, punti 6 m ( m ~ I ) . 4

Una quadrica Q,~k~ contlene i 4 (m ~ 4) punti P,j,~,, Ph,,~l,, Pk, aa,, Rend. Ore. Matem., t. II, parte ia .~Stampato il 5 giugno r888. x 5

114 G LAZZERI.

P~,,hk,, dove r ~ uno qualunque degli mdici I, 2, 3, . . . , m, esclusi i , h , k , l .

Due quadfiche Qa,~z, Qa,7.~ hanno in comune il punto (ihk) e i punti P,a,u~, P7,,,~l,, P~.,u~ Questi quattro punti perci6 si trovano sulla conica che le due quadriche hanno in comune oltre la conica C. Si ha dunque:

Tre punti P,.~kz~, Ph.,kz,, P~..u~ mdividualzo un ptano IIa.,~.l. il qttale passa per ~l punto (ihk).

II numero dei piani II,,~,~, & ( 7 ) / m - 3 ' l \ 2 } - - a m ( m T I ) cio~ ~:

il doppio del numero dei punti P,,~2~.

un punto ( ihk)passan~ ( m - 3 ) 2 piani 11,,~,zr Per un punto Per

P,.~u. passano 6 piani II,hk,~ , 11,h~k,, 11a,r 11,V, hk, 11,~,,~U 11,l~,h," Due punti P,a, kZr, P~,,~z, si trovano sui tre piani 11a, k,~, 11,h~,k,, II, a~,~,.

Dunque :

Tre piani 11,ak,z~, 11,,~,, II,~,~a passano per ,ma retla P,~,,u~. I1 numero delle rette P,a,n, ~ eguale a quello dei piani Ila,,~tr

Ogni piano 11,~,~z~ contiene tre rette Pa,~,.,~, P,~,~r Pa,r come per una tetra p,~,~ passano tre piani IIa,~,1~, rlm,~r 11a,~,~z.

Per un punto P,,~,~, passano quattro rette p,~,~,, P,~,~a~, Pa,~,~,, P,r

6. Nel caso in cui ~ m - - ~ 1 teoremi precedenti divengono no- tevolmente pifl semphci. Ecco le propriet~ pnncipali relative a questo caso.

Data una conica C e cinque piani II , , II:, I13, 114, 115, tall che quattro non passino per un punto , the nessuno coincida col piano della conica C, e the nessuna retta comune a due di essi incontri la conica C, si ottengono cinque quadriche Q~ che passano per C e sono rispettivamente circoscritte al tetraedri (hk l r ) , ~, h , k , I, r essendo gl ' indid i, 2, 3, 4, 5 scritti in un ordine qualunque.

Quattro q.adriche Ql,, QI,, Qz, Qr passano per un punto P del piano 1I..

f dteci p:ani 11,1,~ - - P, Ps P, passatzo, @eltivamente per z d~ec~ pm~t~ Ohk) di gmsa che ~ punti P, e i plani II, si corizspondono kz un sistema mtllo .

SOPRA. CERTI SISTEbI[ DI LINEE E DI SUPERFICIE. I I 5

Le cinque quadriche O, sono rispettivamente circoscritte ai cinque te- traedr: Ph P~ P~P~ che si possono formare col cinque punti P,.

7. Terminer6 questa breve Nota osservando che, se la conica C

il circolo imaginario comune a tutte le s fere , i teoremi dei n I 5

e 6 ci danno come casi particolari altrettanti teoremi relativi alle sfere

circoscritte ai tetraedri formati con m piani.

G I U L I O L,~.z z ERI.

Livomo, 28 apfilc i888.