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SOPRA UNA CERTA CLASSE DI VARIET]~ RAZIONALI.

Nora di G a e t a n o S o o e z a (P:flcrn',o).

a . J i I t t 3 ! l ~ ' J d i d l ' ~ , . l ~ . c , : ; t u I ,~ lT,q .

I. I~ ben noto the una I "4 di S la quale sia tagliata da ogni S in una superficie

di \'ERONESE ~: necessariameute un c o n o ') .

Per alcune nile rice,che ho dovuto occup-umi di una questione aualoga a quella

cui si riferisce questo teorema; e allora ne ho trovato una dimostrazione assai semplice

che tni ha fatto vedere come esso fosse suscettibile di una ~rande ,~euera[tzzaztotte.

Scopo di questa breve Nota ~ appunto l'esposizione del teorema gene,'ale.

2. Sia F la superficie d'ordine n-" di 5, , the & rappresentata sul piano dal

sistema lineare di tuttc le curve d'ordine n, e sia C ........ una sua curva d'ordine n ( n - - i )

avente per immagine una curva piana d'ordine H - - i.

I~ chiaro the C"' .... ~ al2partic,; a un S e the ogni iperpiano pet (_7 ........

seca ulteriormente F in una curva (razio,lale normale) d'ordine n appoggiata in n - - I " h l l / ~ l l o punti a C , quindi la suddetta rapprese.atazione di F pu6 considcrarsi come ottenuta

semplicemente per proiezione.

,3. Ci6 premes~o, sia I"i: una varieta (a tre dimensioni) di S ....... the da ogni + .

2

iperpiano sia tagliata in una superficie del tipo ora considerato.

Dico the V": ,3 necessariamente un cono. i

Infatti sia F una sua sezione iperpiana generica e C ....... tma delle sue curve d'or-

dine , ( u - I), e dal[o spazio z di C ........ proiettiamo I"[" sopra un S;. La proiezione

risulter5 generalmente biunivoca, lc immagini delle sezioni iperpiane passanti per C ........

saranno i piani dell'S, rappresentattvo, e l'immagine di una sezione ipe,piana generica )

[che ha , ( n - - i ) punti comuni con C ........ ] sar:'~ una superficie dell'ordine n" - -n ( , , - - I )=n .

Ora I"i: (che pet" il ragionamento fatto ~: razionale)6 tmrmale al pari di F, quindi

il sistema lineare I' 1 delle immagini delle sue sezioni iperpiane ~ un sistema linearr

completo di superficie d'ordine n the stacca sopra ogni piano dello spazio rappresenta-

tivo il sistema lineare di tutte le curve d'ordine n.

t) SEGRE. 3ulle .v,triet,i normali a trc di.,en;ioni conlt',)ste di selie s(mplici ra'jonali eli piaqi [Atti

della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. N XI (z885), pp. 9j-[ t5 ]; o anche BE RTIN[, Inh',,duzione

alia geo. ,dria p~ojcttiva de,ill ip,,rspazi con app,'ndicc .,,die. c. i ve algebricbe e 1o1'o singohlrih'z (Pisa, Enrico

Spoerri, I9o7), p. 32, e p. 342.

G A E T A N O S C O R Z A . 4 0 I

Segue che I?[ non pub avere altri elementi base che punti isolati, e di tall punti ne deve esistere certo almeno uno, O, perch,~ altrimenti Iq?J sarebbe i[ sistema di tutte le superficie d'ordine n dello spazio rappresentativo e avrebbe una dimensione superiore

a ~ n (n + 3) -Jr- i ; quindi 1o spazio ~ congiungente ~ con O contiene una superficie

di V "~ percb~ ogni iperpiano per ~ taglia ulteriormente V "~ in una superficie d'or- dine inferiore ad n ~.

Ora si osservi the g/i oo ~ punt/ di lZ] ~ infinitamente x~icini a un punto A di C "r hanno per immagini i punti di una retta a e che la retta a al variare di A sopra la C ~"-'~ descrive la superficie d'ordine n ~ I, ~', che costituisce il resto rispetto a 1~1 dei piani dello spazio rappresentativo. D'altra parte i punfi di a, mediante la proiezione da ~, vengono ad essere riferiti proiettivamente ai piani del fascio che sta neU'S tan-

genre alla V "~ in A ed ha per asse la retta tangente in A alia C "~'-'~ (per modo che

ogni punto di a rappresenta i punti di un intorno piano di V~ ~ relativo ad A), dun- que la tetra a passa costantemente per 0 (immagine del piano tangente in A alla su- perficie ~ ) e la curva intersezione di q~' con una superficie generica 9 di ]~l si spezza

in n (n ~ I) rette; cio6, nel/e n (n ~ I) rette che rappresentano i punti di V~ ~ infini- tamente vicini agli n ( n - I) punti ore la sezione iperpiana che ha per immagine ? incontra la curva C "l"-". Segue che ? ' ~ uu cono col vertice in O e the l?[ ~ un si- sterna di monoidi col punto (n ~ I)-plo in 0 e col cono tangente fisso ~'.

Di qua si trae subito the V~: ~ un cono ~). 4. I ragionamenti fatti, come il lettore scorge subito, si estendono immediata-

mente. Cosl si vedr.~, come al n ~ 2, che la V; '~ di S(,+,)_, rappresentata sopra un S, dal

sistema di tutte le forme d'ordine n ~ proiettata biunivocamente dallo spazio di una sua

V~"~ ''~'-' the abbia per immagine una forma generica d'ordine n - I dello spazio rappresentativo e che tale proiezione d~ luogo appunto alia considerata rappresentazione

di V',"; e poi imitando il ragionamento del fi~ 3 si perverr~ a dimostrare che ogni ~ ,

di S(.7, ) avente per sezioni iperpiane delle cosiffatte V'~ ~ ~ necessariamente un cono.

Segue allora il teorema generale:

V "~ di gli dello spa;~io

biente sono delle V';" rappresentate sopra un 5, dal sistema lineare di tutte le sue forme

d'ordine n, necessariamente qttella I/~'~ k nn S ,-cono proiettante dal suo vertice una

cosiffatta V"'.

Palermo, 7 agosto 19o 9.

G A E T A N O S C O R Z A ,

a) A questa conclusione avremmo potuto arrivare assai pifl rapidamente, se non avessimo voluto presentare ii ragionamento in maniera da renderne immediata [a generalizzazione di cui si parla nel n ~ 4-

.Rend. Circ. Mate,n. Palermo, t. XXVIII (a ~ sere. 19og) . - -S tampato il 2 7 agosto r9o 9. ~l