STA 08 1

Ondes Acoustiques

.

14 Mai 2008

Les ondes acoustiques ont besoin d’un milieu pour se propager;elles sont des ondes longitudinales, car leur direction de propagation est parallele a la direction de vibration du milieu ( compression, espansion de couches d’air).

Vitesse du son dans l’air:L’onde de pression (impulsion) voyage dans un tube d’air (de section A) en direction (–x), avec vitesse -v; dans le reference solidale a l’onde, une couche d’air (en realite au repos!) voyage a vitesse +v, en direction (+x)

LA VITESSE DU SON DANS L’AIR

la couche d’air est ralentie: en consequence elle subit une compression:

vvv xxx

STA 08 2

Ondes Acoustiques

.

LA VITESSE DU SON DANS L’AIR

Eq. Newton pour la couche d’air comprimee:

Force de Pression

€

−P ⋅A =ρ ⋅(A ⋅v ⋅Δt)

⋅Δv

Δt

))(ρ(t

vVAP

)()( tvAxAVm ρρρ

amF

v

vvP

2ρ

€

V = A ⋅Δv ⋅Δt

€

V = A ⋅v ⋅Δt

€

V

V=

A ⋅Δv ⋅Δt

A ⋅v ⋅Δt≡

Δv

vv

v

V

V

A section de la couche d’airelem. de volume variation de vitesse de la couche d’air(ralentissement) densite du fluide (air) dans le tube

tvAxAV vρ

(1)

(2)

(3)

STA 08 3

Ondes Acoustiques

.

LA VITESSE DU SON DANS L’AIR

κρ

P

V

Vv

112 K : coefficient de compressibilite

2

1

vρ

κ

κρ

12vκρ

1

v v vitesse du son dans l’air denstite de l’air coeff. compressibilite de l’airρ

κ

De ((2) et (3) on obtient:

(4) (4.1)

(4.2)

STA 08 4

Ondes Acoustiques

.

ONDE DE DEPLACEMENT ET ONDE DE PRESSION

Quand l’onde de pression voyage, elle deplace la couche d’air voisine. On veut calculer ce deplacement.

Une couche d’air qui rencontre l’onde de pression se deforme (devient plus etroite : plus petit)

)cos(),( txkstxs m ω

0x

s

€

s'(x, t) = s(x, t) +∂s

∂x⋅Δx

et change de volume .

Exprimons la correlation entre cette onde de deplacement s(x,t) et l’onde de pression traitée dans la section precedante. Utilisons les remarques suivantes (a), (b) et (c) :

)( xAV

κ

P

V

V

1V

VP

κ1

sAV xAV

€

V

V=

A ⋅Δs

A ⋅Δx

a) Correlation entre variation de pression et variation de Volume . De (4):

(4.3)

x

s

V

V

(6)

x

b) Correlation entre deplacement de la couche d’air et variation deVolume. De la geometrie:

(5.1)

fonction onde de deplacement

€

P

(5)

STA 08 5

Ondes Acoustiques ONDE DE DEPLACEMENT ET ONDE DE PRESSION

)cos(),( txkstxs m ω

Changement de l’amplitude a cause de l’onde de pression: (onde de deplacement), est plus courte par respect a l’onde de pression, parce que le volume est plus petit.

ms

s

xA

xx

ssm

)sin()cos( tkxkstkxsxx

smm

ωω

s’ se dephase de w.r.t. s et change aussi d’intensite 2/π

€

sm →κ ⋅sm

ms'

(7)

€

s(x, t) = −smκ ⋅sin(kx −ω ⋅ t) ⋅Δx

( cos - sin )

variation onde de deplacement

ms' =

€

sm + Δsm

€

sm

c) Calcul de de l’onde de deplacement a partir de la fonction d’onde s(x,t)

€

sm

STA 08 6

Ondes Acoustiques ONDE DE DEPLACEMENT ET ONDE DE PRESSION

s

€

Pm ≡ ρ ⋅v 2k.sm

)sin(),( tkxPtxP m ω€

Pm ≡ ρ ⋅v ⋅ω ⋅sm

onde de pression onde de deplacement

fonction d’onde de pression

svP

svsvP

ωρ

κκ

ωρκρ 2

(8)

sP ωνρ

(9)

(10)

ms

d) En combinant a) b) et c) calculer la correlation entre onde de deplacement et onde de (com)pression

€

P = −1

κ

ΔV

V= −ρv 2 ΔV

V= −ρv 2 Δs

Δx=

€

=−ρv 2(−)k.sm .sin(kx −ωt)

€

=Pm .sin(kx −ωt)

Definitions amplitude onde de pression

STA 08 7

Ondes Acoustiques

LA PERCEPTION DES ONDES SONORES (l’échelle decibels)

Maximum de surpression que l’oreil humain peut supporter:

Minimum de surpression que l’oreil humain peut percevoir:

A quel deplacement correspondent et ?Reprenons la formule (9) et exprimons la comme suit en (9.1):

PaP 28max

PaXP 5min 108.2

AtmxPa 510013.11

msmaxP minP

onde de pression onde de deplacement

mm svP ωρ

mmm svsvP κρκ)(vρ 2

(9)

(9.1)

STA 08 8

Ondes Acoustiques

.

LA PERCEPTION DES ONDES SONORES (l’échelle decibels)

Pour une onde acoustique de frequence 1000 Hz (or 440 Hz, La diapason):

1] mmx

xxx

Pa

v

Psm μ

ωρ10101

1028.634321.1

28 53

max

deplacement maximal (de la membrane d’oreil)des couches d’air, pour (supportable par l’oreil.

ms

maxP

mmxxxx

Pax

v

Psm p 10101

1028.634321.1

108.2

ωρ11

3

5min

2] deplacement minimal Des couches d’air pour (seuil de perception)

3] La diapason(440 Hz): = 2.9x10-10 m deplacement de la membrane de l’oreil qui correspond a la perception du La 440Hz.

ms

mRH1010

rayon atome hydrogenesmvm

Kg

m

Kg

sxHz

son

air

/343

)21.1

(1

ρρ

1028.61000π2νπ2ω

33

13

PaP 28max

PaXP 5min 108.2

minPms

STA 08 9

Ondes Acoustiques

.

LA PERCEPTION DES ONDES SONORES (l’échelle decibels)

Energie transferee par une onde acoustique:ms amplitude de l’onde de deplacement

2

msEn

max pour onde ( v=1000Hz):

seuil de douleur – seuil de perceptionCorrespond a un range de pressions:

€

sm =10−5 ↔10−11m

€

P ≈ 28Pa ↔ 2.8x10−5 Pa

26 )10(

t

EnPuissance

€

Intensite =Puissance

A=

En

Δt ⋅A=

sm

2

Δt.A

STA 0810

Ondes Acoustiques

.

LA PERCEPTION DES ONDES SONORES (l’échelle decibels)

t

EnPuissance

At

En

A

PuissanceIntensite

At

sI

m

2

€

I ⋅dA4πr 2

∫ = En /Δt

€

IR =En /Δt

4π ⋅R2=

sm

2/Δt

4π ⋅R2

2

mR sI 1210...range

Mesure d’IntensitéI en échelle log

€

Iseuil (≡ sm =10−11 m)

.Iseuil .(≡ ΔP = 2.8x10−5 Pa)seuilI

IN 10log Range sensation de l’oreil

[Decibel]

Niveau intensite sonore=6 seuil perception

€

Imax =106 Iseuil

STA 08 11

Ondes Acoustiques

LES INSTRUMENTS DE MUSIQUE

Ex.: instruments a corde: violon, guitare, piano instruments a vent (orgue, flute, trompette)

Ondes stationnaires: selectionnent par resonance des frequences particulieres de vibration

corde pincee )))) caisse de resonance )))))))) --> atmosphere

Condition de resonance pour instrument ouvert aux deux extremites (deux ventres)

Condition de resonance pour instrument ouvert a une extremite (un nœud et un ventre)

2

λnL n=1,2,3,…

4

λnL n=1,2,3,…

...)3,2,1...(2

...)3,2,1...(2

nL

nvvfn

n

L

λλ

...)3,1...(4λ

...)3,1...(4

λ nL

nvvfn

n

L

STA 08 12

Ondes Acoustiques

LES INSTRUMENTS DE MUSIQUE – characteristiques d’un son

bruit : onde quelconque, non periodique

son : onde periodique

son pur : onde sinusoidale

Lumiere blanche

Lumiere blu,verte ou rouge

Son d’un instrument = somme d’ondes sinusoidales (sons purs ou harmoniques ) dont les frequences sont selectionnees par la condition de resonance.Timbre d’un instrument = connecte a la distribution des harmoniques, qui est typique de l’instrument (p.ex.un violoncel et un violon ont un timbre different: un flute en bois et flute en metal aussi).Hauteur d’un son = connecte a la frequence du son

STA 08 13

Ondes Acoustiques

.

DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER

11

0 sincos2

)(n

nn

n ntbntaa

tf Serie de Fourier

On trouve les coefficients a0 an et bn en utilisant les condtions d’orthogonalite entre les fonctions sin nt et cos nt, sin nt et sin mt, sin nt et cos mt , etc ….:

π

π

2

0

)sin()(1

dtmttfbm π2

0

)cos()(π

1dtnttfan

π2

0

0 )(π

1dttfa

Exemple: Donnee une fonction periodique comme suit:

)2...(..........1)(

)0..(..........1)(

)0.(..........1)(

)2(..........1)(

ππ

π

π

ππ

ttf

ttf

ttf

ttf

Trouver le developpement de Fourier de cette fonction

€

4

π

1

m

€

=4

π

1

n

STA 08 14

Ondes Acoustiques

.

DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER

Etant donne que la fonction est impaire ( f(t) = -f(-t) ), il n’y a pas de termens en cos(t) dans le developpement de Fourier de la fonction (car cos(t)= cos (-t) !).Il n’en reste que le developpement en sin(t):

Chaque terme successif a un coefficient de poids plus petit; sa frequence est un multiple entier de la frequence du premier terme (frequence fondamentale); le premier terme a la frequence de la fonction donnee, f(t).

Un son quelconque peut toujours etre exprime comme somme de sons purs (harmoniques) composants Avec les proprietes suivantes:Les amplitudes des harmoniques sont plus faibles que l’amplitude de la fondamentale.Les frequences des harmoniques sont des multiples entiers de la frequence fondamentale.La periode de l’onde sonore est celle du son pur de l’harmonique fondamentale.

ω

.....7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin

π

4)(

tttttf

STA 08 15

Ondes Acoustiques

LES BATTEMENTS

Hzf

Hzf

445

440

2

1

Hzf 5.44212 12 fffbattements frequence des battements

tss m 11 cosω tss m 22 ωcos

L’intensite de l’onde percue augmente et diminue a une frequence de 5 Hz

)(2

1cos)(

2

1cos2coscos βααββα

regle de composition des cosinus

ttssss m )ωω(

2

1cos)ωω(

2

1cos2 211221

STA 08 16

Ondes Acoustiques

LES BATTEMENTS

Si les deux amplitudes sont proches:

2121 )(2

1ωωωωω pulsation de l’onde resultante ω

t)(2

1cos 12 ωω

terme de modulation de l’amplitude

1212 )ωω(2

12 ωωω battement

l’amplitude de l’onde resultante devient maximale avec une pulsation 12 fffbattements

12 ωωω battements

battements: 2 fois par periode T

pour max

STA 08 17

Ondes Acoustiques

L’EFFET DOPPLER

Onde acoustique ( onde optique aussi) emise/recue par une source/un detecteur en mouvement relatif l’un par respect a l’autre.

A ] source immobile (vS =0), detecteur en mouvement ( a vitesse vD).L’onde acoustique voyage dans l’air a la vitesse vo ( vitesse du son dans l’air:(vs = 334 m/s).

A.1 - Detecteur en mouvement vers la Source :

S ) ) ) ) ) DvD

Vo

VS =0

Le Detecteur percoit des ondes qui lui arrivent a une vitesse v’ = vo + vD. En un interval de temps dt, le mombre d’ondes detectees est dx/lambda,ou dx est l’espace parcouru par l’ onde dans le temps dt.

STA 08 18

Ondes Acoustiques

.

L’EFFET DOPPLER

tvxt : tvv Do )(

Do vvv

v

ftvvtvvxofn DoDo

)()(...

λλ

€

n. f .o.

Δt≡ f '

fv

vvf D

0'

λ

vf

nombre de fronts d’onde

STA 08 19

Ondes Acoustiques

L’EFFET DOPPLER

A.2 - Detecteur en mouvement opposé a la Source :

S ) ) ) ) ) DvD

Vo

VS =0

Le Detecteur percoit ,en un interval de temps dt, des ondes qui lui arrivent a une vitesse v’ = vo - vD

fv

vvf D

0'

Conclusion A.1 et A.2: fv

vvf D

0'

STA 08 20

Ondes Acoustiques

L’EFFET DOPPLER

B.1 - Source en mouvement vers le Detecteur :

S ) ) ) ) ) D

vD=0VoVS

Le Detecteur percoit des ondes qui lui arrivent a une longueur d’onde raccourcie. En un interval de temps dt, le mombre d’ondes detectees est ou’

B ] source en mouvement ( a vitesse vS), detecteur immobile ( vD=0 ).L’onde acoustique voyage dans l’air a la vitesse vo , comme en A ].

€

x

λ

€

x

STA 08 21

Ondes Acoustiques

.

L’EFFET DOPPLER

l’espace parcouru par l’ onde dans le temps (une periode) est .

l’espace parcouru par la source dans le temps (une periode) est d’ailleurs

TvxTt oS

TvxTt SS

V = vitesse resultante de l’onde

oSx = deplacement de l’onde p.r.a la Source

€

f '=v

λ'=

v

(v − vS )T=

v

v − vS

f

€

λ' =λ−λ =vT − vST = (v − vS )T V = vitesse resultante de l’onde

fvv

vf

S

'

€

t = T

€

t = T

Il en resulte que lônde resultante est plus courte de (a cause que la source se rapproche au detecteur).

€

λ

€

λ =vsT

STA 08 22

Ondes Acoustiques

.

L’EFFET DOPPLER

B.2 - Source en mouvement opposé au Detecteur :

fvv

vf

S

'

Conclusion B.1 et B.2:f

vv

vf

S

'

C ] Detecteur en mouvement wrt Source ET Source en mouvement wrt Detecteur:

fvv

vvf

S

D

'