Upload
internet
View
136
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Statistique DescriptiveChapitre 1 : Les tableaux et
représentations graphiques
Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM
EST de Guelmim
Maroc
Site internet : http://el-mouatasim.webs.com
Objectifs de ce module
Savoir décrire et représenter une série statistique par un tableau et un ou plusieurs graphiques adaptés.
On fera des choix des représentations différents selon la nature du caractère.
Statistiques descriptives à une variable : représentations
Introduction
La représentation tabulaire est préalable à toute analyse statistique.
Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des données.
La représentation graphique d’un seul caractère repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences).
Le choix d’un type de graphique dépendra de la nature du caractère étudié.
Plan du chapitre 1
I. Caractères qualitatifs.
II. Caractères quantitatifs discrets.
III. Caractères quantitatifs continus.
Voici les parties que nous allons aborder :
Plan de la partie
1. Représentation tabulaire. 2. Diagramme à bande.3. Diagramme circulaire.
Voici les chapitres que nous allons aborder :
Ⅰ. Caractères qualitatifs
1. Représentation tabulaire
Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si le caractère est ordinal).
La première colonne renseigne les modalités et les deux suivantes les effectifs et fréquences.
Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une dernière colonne avec les fréquences cumulées.
Ⅰ. Caractères qualitatifs
Noms Situation de f amille
M.Azim Marié
MFarid Veuf
Mme Latifi Mariée
Melle Fatiha Célibataire
M. Ahmed Divorcé
M. Salih Marié
M. Berrada Divorcé
Mme Réda Divorcée
Melle Fatiha Célibataire
M. Halim Marié
M. Chadi Veuf
Mme Faouzi Mariée
... ...
Exemple: On a noté la situation familiale des 150 employés d'une entreprise.
1. Représentation tabulaire
Ⅰ. Caractères qualitatifs
On ne s'intéresse pas à la situation personnelle de M. Azim ou de M. Farid, mais à la répartition du caractère "situation familiale" dans la population des 150 employés.
Pour cela il faut, pour chacune des modalités de la variable, déterminer l'effectif correspondant, c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette modalité : il faut dénombrer le nombre de célibataires, le nombre de mariés, etc..
Cela peut se résumer par :
Modalités Eff ectif s
Marié 80
Célibataire 30
Veuf 20
Divorcé 20
On notera x1, x2, ..., xk les différentes
modalités, et n1, n2, ... , nk les effectifs
associés.
Dans le tableau ci-dessus, x1 = "marié",
n1 =
k =
La somme des effectifs vaut :
La variable que nous venons de voir
est…
On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la forme ci-dessus, par exemple.
Modalité Eff ectif
Célibataire 30
Marié 80
Divorcé 20
Veuf 20
Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités sont toujours présentées dans l'ordre :
x1 x2 .... xk , comme dans l'exemple ci-dessous.
Modalités = tailles
Eff ectif s = Nombre de personnes de cette taille
XS 10
S 25
M 40
L 32
XL 23
XXL 20
L'ensemble des couples
{ (xi , ni ), i = 1, ... , k } est une série statistique (ordonnée), ou distribution observée de la variable.
La somme de tous les ni est-elle toujours égale à n, nombre des observations ? On notera ceci :
effectif total
On appellera fréquence relative la valeur
que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par fi x 100, c'est le pourcentage d'individus
pour lesquels la variable a pris la valeur xi.
Complétez le tableau :
Modalités xi Eff ectif ni Fréquence relative f i %
Célibataire 30 0.2 20
Marié 80
Divorcé 20
Veuf 20 Eff ectif total : 150
A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ? Et celui de la colonne "pourcentage" ? Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.
2. Diagramme à bandes
Aussi appelé représentation par « tuyaux d’orgue ».
Les modalités sont placées sur un axe horizontal.
Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un axe vertical.
La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à l’effectif correspondant.
Permet de comparer d’un « coup d’œil » les différentes modalités.
Ⅰ. Caractères qualitatifs
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
cadres ouvriers employés ouvriers
Série1
CSP ni fi Cadres 10 0,05 Agents de maîtrise 40 0,2 Employés 60 0,3 Ouvriers 90 0,45
3. Diagramme circulaire
L’aire, et donc l’angle au centre d’un secteur, est proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de la modalité considérée (d’où un angle de fi x 360° pour la modalité i).
Permet de bien visualiser la part relative de chaque modalité.
Ⅰ. Caractères qualitatifs
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets
Statistiques descriptives à une variable : représentations
Plan de la partie
1. Représentation tabulaire. 2. Diagramme bâton.3. Courbe des fréquences
cumulées.
Voici les chapitres que nous allons aborder :
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets
1. Représentation tabulaire
Tableau à simple entrée, où les données sont classées par ordre croissant.
La première colonne renseigne les différentes valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences et fréquences cumulées.
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets
De même, pour une variable discrète, on notera x1 , x2 , ... , xk les valeurs rangées par
ordre croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs
correspondants.
Noms Nombre d'enfants
M.Azim 2
MFarid 3
Mme Latifi 0
Melle Fatiha 0
M. Ahmed 1
M. Salih 0
M. Berrada 1
Mme Réda 0
Melle Fatiha 2
M. Halim 4
M. Chadi 1
Mme Faouzi 3
M. Ali 2
Melle Loubna 0
M Fatih 0
M. Said 1
M. Radi 2
Mme Faraj 2
Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus, construisez le tableau :
Nombre d'enfants xi Eff ectifs ni
0 6
Nombre d'enf ants xi Eff ectif ni Fréquence relative f i
0 6 0.33
1 4 0.22
2 5 0.28
3 2 0.11
4 1 0.06
Total : 18 1
Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur 96 jours comparables, le nombre d'appels reçus entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés dans ce tableau :
Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été de 2 ?
Nombre d'appels xi
Nombre de jours ni
Fréquence relative f i
% f i 100
0 2 0.0208 2.08
1 14 0.1458 14.58
2 23 0.2396 23.96
3 24 0.2500 25.00
4 18 0.1875 18.75
5 9 0.0938 9.38
6 6 0.0625 6.25
Total : 96 1 100
Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été supérieur ou égale à 3?
Nombre d'appels xi
Nombre de jours ni
Fréquence relative f i
% f i 100
0 2 0.0208 2.08
1 14 0.1458 14.58
2 23 0.2396 23.96
3 24 0.2500 25.00
4 18 0.1875 18.75
5 9 0.0938 9.38
6 6 0.0625 6.25
Total : 96 1 100
Combien y-a-t-il eu de jours où le nombre d'appels a été inférieur ou égal à 2 ?
Nombre d'appels xi
Nombre de jours ni
Fréquence relative f i
% f i 100
0 2 0.0208 2.08
1 14 0.1458 14.58
2 23 0.2396 23.96
3 24 0.2500 25.00
4 18 0.1875 18.75
5 9 0.0938 9.38
6 6 0.0625 6.25
Total : 96 1 100
Plus généralement, si
{ (xi , ni ), i = 1, ..., K }est la distribution observée d'une variable discrète, n1 + n2 + ... + ni = Ni est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été inférieure ou égale à xi..
On peut calculer Ni de proche en proche :
N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, etc ...
Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.
De même ni + ni+1 + ... + nk = N'i est le
nombre d'individus pour lesquels la variable a été supérieure ou égale à xi.
Il peut se calculer de proche en proche :
N'k = nk , N'k-1 = nk + nk-1 ,
Les N'i sont les effectifs cumulés
décroissants.
On peut définir de même :
Fi = f1 + f2 + ... + fi , fréquences relative
cumulées croissantes obtenues de proche en proche par Fi+1 = fi+1 + Fi
F'i = fi + fi+1 + ... + fk , fréquences relative
cumulées décroissantes obtenues de proche en proche par F'i = F'i+1 + fi
Fi et F'i peuvent s'exprimer aussi en pourcentage
(en multipliant tout par 100).
Complétez le tableau :
Nombre d'appels
Fréquence relative en %
Fréquences cumulées croissantes
Fréquences cumulées décroissantes
0 2.08 2.08 1 14.58 16.66 97.92
2 23.96 83.34
3 25.00 65.62 59.38
4 18.75 84.37 5 9.38 93.75 15.63
6 6.25 6.25
2. Diagramme bâton
Diagramme bâton des effectifs
A chaque valeur du caractère portée en abscisse, on associe un « bâton » vertical dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
Cette représentation permet de comparer les effectifs de chaque valeur du caractère.
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets
3. Courbe des fréquences cumulées
Représente l’évolution des fréquences cumulées.
Le caractère étant discret, la courbe est en « escalier ».
En effet, les valeurs étant séparées, entre chacune d’elle la fréquence cumulée est inchangée, d’où ces paliers.
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets
3. Courbe des fréquences cumulées
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets
Diagramme en Escalier
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7
Fré
qu
ence
rel
ativ
e cu
mu
lée
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus
Statistiques descriptives à une variable : représentations
Plan de la partie
1. Représentation tabulaire. 2. Histogramme des densités de
fréquence.3. Polygone de fréquences4. Courbe des fréquences cumulées.
Voici les chapitres que nous allons aborder :
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus
1. Représentation tabulaire
Tableau à simple entrée, où les classes de données sont triées par ordre croissant.
La première colonne renseigne les différentes classes de valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées.
Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude, on rajoute une colonne contenant les densités de fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son amplitude.
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus
Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes.
À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une fréquence relative, et l’on obtient alors une distribution de fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées.
Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées on doit procéder de la manière suivante :
1. Déterminer le nombre de classes 2. Déterminer l’amplitude des classes3. Déterminer les différentes classes
1. Représentation tabulaire
1. Déterminer le nombre de classes :
1) (règle de Sturges)
2)
)(3.31 nLogNC
nNC Nombre d’observationsdans la série statistique
1. Représentation tabulaire
2. Calculer l’amplitude des classes :
1) D’une façon plus ou moins arbitraire
2) En utilisant l’étendue
minmax xxE
CC N
EA
Des classes d’amplitudes égales
(Plus grande valeur de la série statistique – Plus petite valeur de la série statistique)
1. Représentation tabulaire
3. Déterminer les différentes classes :
cc AxClasseAx 2min2min
cAxClassex min1min
ckc kAxClasseAkx minmin )1(
ccNcc ANxClasseANxc
minmin )1(
1. Représentation tabulaire
Voyons l'exemple d'une série brute de 60 valeurs du CA mensuelle d’une entreprise (en 1000dh), et le tableau des effectifs obtenus.
L'inconvénient est que, comme on aura toujours un grand nombre de valeurs différentes, on obtiendra un grand nombre de petits effectifs, ne résumant finalement pas grande chose !
1. Représentation tabulaireExemple 1
CA (1000dh) Eff ectif s CA (1000dh) Eff ectif s
159 1 169 7
160 0 170 7
161 0 171 9
162 0 172 6
163 2 173 5
164 3 174 2
165 3 175 1
166 0 176 2
167 5 177 1
168 6 Total : 60
Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes.
Afin de simplifier la présentation on peut, quitte à perdre un peu d'information, regrouper les effectifs proches, par exemple
175 d’ effectif 1
176 d’ effectif 2
177 d’ effectif 1
peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d’ effectif 4.
On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en classes contiguës, de la forme :
[ e1 ; e2 [ [ e2 ; e3 [ [ e3 ; e4 [ ....
[ ek ; ek+1 [
et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs
associés.
ni est le nombre d'individus appartenant à
la classe [ ei ; ei+1 [.
Exemple 1
Classes de CA ( en 1000dh) Eff ectif s
[159 - 165 [ 6
[165 - 168 [ 8
[168 - 171 [ 20
[171 - 174 [ 20
[174 - 177 [ 5
[177 - 179 [ 1
Exemple 1
Classes de CA ( en 1000dh) Eff ectif s
moins de 160 1
[160 - 165 [ 5
[165 - 170 [ 21
[170 - 175 [ 29
175 et plus 4
Quel que soit le type de variable on a finalement, pour toute modalité, valeur xi ,
ou classe [ ei , ei+1 [, un effectif ni , tel que
Il est parfois utile, surtout pour faire des comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner plutôt avec des fréquences relatifs.
Les définitions d'effectifs et de fréquences cumulés restent les mêmes dans le cas d'une variable continue.
Exemple 2 : Le tableau statistiqueExemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) (valeurs groupées)
Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière, exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant :
Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen d’une rivière.
Variable continue
Exemple 2 : Le tableau statistiqueExemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) (valeurs groupées)
(1) Nombre de classes :
classesLogNC 1358.6)36(3.31
classesNC 636
(2) L’amplitude des classes : 97.008.005.1 E
17.01617.06
97.0CA
)( 3mdemilliersen
10.193.0
93.076.0
76.059.0
59.042.0
42.025.0
25.008.0
6
5
4
3
2
1
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
(3) Détermination des classes :
Débit D
Exemple 2 : Le tableau statistiqueExemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) (valeurs groupées)
Distribution de fréquence, de fréquence relative et de fréquence relative cumulée :
2. Histogramme des densités de fréquence.
Ensemble de rectangles contigus. Pour chaque classe on trace un rectangle :
de base B proportionnelle à l’amplitude de la classe
de hauteur h proportionnelle à la densité de fréquence de la classe
L’aire du rectangle sera alors proportionnelle à la fréquence de la classe.
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus
2. Histogramme des densités de fréquence.
Double interprétation :
On comparera les densités de fréquence des classes en comparant les hauteurs des rectangles.
On comparera les fréquences des classes en comparant les aires des rectangles.
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus
Age (ans)
Nombre de personnes dans cette
tranche d'âge
20 à 30 100
30 à 40 150
40 à 50 90
50 à 65 20
Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2)
Histogramme de fréquence
0
5
10
15
20
25
0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D (en milliers m3/sec)
Fré
qu
ence
Histogramme de fréquence relative pour valeurs groupées (exemple 2)
Histogramme de fréquence relative
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D (en milliers de m3/sec)
Fré
qu
ence
rel
ativ
e
3. Polygone de fréquences pour valeurs groupées (exemple 2)
Polygone de fréquence
0
5
10
15
20
25
moins de0,08
0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D (en milliers de m3/sec)
Fré
qu
ence
3. Polygone de fréquence relative pour valeurs groupées
Polygone de fréquence relative
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
moins de0,08
0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D ( en milliers m3/sec)
Fré
qu
ence
rel
ativ
e
4. Courbe des fréquences cumulées
Représente l’évolution des fréquences cumulées.
Le caractère étant continu, la courbe l’est également.
Pour la construire, on joint les points de coordonnées (bi,Fi) où bi désigne l’extrémité supérieure de la ième classe.
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus
Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées
Ogive de fréquence relative cumulée
,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
moins de0,08
0,08 -0,249
0,25 -0,419
0,42 -0,589
0,59 -0,759
0,76 -0,929
0,93 etplus
Débit D (en milliers m3/sec)
Fré
qu
ence
rel
ativ
e cu
mu
lée
Synthèse
En plus des tableaux et graphiques, on résume l'observation d'une variable quantitative par un petit nombre de paramètres.