STATISTIQUE ET PROBABILITÉS AU LYCÉE · Densité Un variable aléatoire Xprend ses valeurs dans l'intervalle I= [a ;b] et de telle sorte sorte que tous les nombres de I puissent

Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 18 janvier 2012

STATISTIQUE

ET

PROBABILITÉS

AU LYCÉE(séries ES, S, STI2D, STL)


Contexte de travail

Des notions de statistique inférentielleintroduites pour la première fois dans les programmes du secondaire. Ces notions sont enseignées dans différents cursus de l'enseignement supérieur mais le point de vue adopté dans les programmes de lycée est différent.La compréhension de ces notions passent par une maîtrise des fondements de la théorie des probabilités.


Les nouveautés

Les lois normales sont introduites en terminales ES et S comme loi-limite d'une suite de variables aléatoires.Théorème de Moivre-Laplace (cas particulier du théorème limite central).Intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence d'échantillonnage.Intervalle de confiance d'une proportion et non d'une probabilité (attention aux confusion !!) àpartir de l'intervalle de fluctuation asymptotique.


• statistique àdeux variables

• ajustement

• diagrammes en boîte

• histogrammes• diagramme en bâtons

• graphiques cartésiens

• variance• écart-type

• moyenne• effectifs et

fréquences cumulés

• effectif• fréquence • classe• médiane• quartiles

TerminalesPremièresSecondeCollège

Les programmes : Statistique


• approche de la loi des grands nombres

• lois uniformes• lois exponentielles• lois normales

• lois de Bernoulli• lois binomiales• lois

géométriques tronquées

• probabilitéconditionnelle

• indépendance• variables

aléatoires àdensité sur un intervalle

• variables aléatoires discrètes

• espérance• variance• écart-type

• probabilité sur un ensemble fini

• événement• P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B)

• tableau croisé• arbre des

possibles

• notion de probabilité

TerminalesPremièresSecondeCollège

Les programmes : Probabilités


• intervalle de confianceestimation

échantillonnage

• prise de décision àpartir d'un intervalle de fluctuation asymptotique

• égalité de deux proportions

• prise de décision àpartir d'un intervalle de fluctuation binomiale

prise de décisionprise de décision

• intervalle de fluctuation asymptotique

• intervalle de fluctuation binomiale

• intervalle de fluctuation

TerminalesPremièresSeconde

Les programmes : Statistique inférentielle


Quelques points délicatsdes programmes de terminales

•Introduction des lois continues à densité sur un intervalle

• lois uniformes• lois exponentielles• loi normale centrée réduite• lois normales

•Intervalle de fluctuation asymptotique•Estimation par intervalle de confiance•Prise de décision


Loi à densité sur un intervalle


Loi à densité sur un intervalle


Loi uniforme

sur l'intervalle [a ; b]


Loi uniforme sur [a ; b]

Les programmes de terminales



•Introduction•Densité•Espérance



IntroductionIntroduction de la loi uniforme sur [0 ; 1] à partir des fonctions "RANDOM" des calculatrices ou "ALEA" de logiciels (Fichier EXCEL 1-loi uniforme)

Questionnement sur la signification d'équiproba-bilité sur un intervalle.





DensitéUn variable aléatoire X prend ses valeurs dans l'intervalle I = [a ;b] et de telle sorte sorte que tous les nombres de I puissent être atteints de manière semblable.On ne peut raisonner en attribuant une même probabilité à chaque élément de I, on ne pourrait pas avoir 1 comme somme des probabilités élémentaires.



DensitéOn choisit une distribution de probabilité qui fasse en sorte que la probabilité que X prenne sa valeur dans l'intervalle J= [α ; β], inclus dans I, soit proportionnelle à l'amplitude de J.

Ainsi P(X ∈ J) = β − αb − a =

1b − a [t]β

α

P(X ∈ J) = 1

b − a ⌡⎮⎮⌠

α

β

dt =

⌡⎮⎮⌠

α

β

1

b − a dt



1 unité d'aire


Densité


1 unité d'aire

P(X ∈ J)

J


Densité


Densité

La densité de la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b]est la fonction f définie par :

f (x) = ⎩⎪⎨⎪⎧

1

b − a si x ∈ I 0 sinon






EspéranceOn définit l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] par :

E(X) = ⌡⎮⎮⌠

a

b

t f(t) dt =

⌡⎮⎮⌠

a

b

tb − a dt


E(X) = a + b

2 d'où


Loi exponentielle

de paramètre λ



Loi exponentielle de paramètre λ


•Densité•Espérance•Radioactivité•Durée de fonctionnement d'un système sans vieillissement



Densité

La densité de la loi exponentielle de paramètre λest la fonction f définie par :

f(x) = λ e– λ x sur ]0; + ∞[



Densité


Loi exponentielle de paramètre 4


Densité


Ainsi, pour une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre λ et pour a et b réels positifs :

P(a ≤ X ≤ b) = ⌡⎮⎮⌠

a

b

f(t) dt =

⌡⎮⎮⌠

a

b

λ e– λ t dt

P(a ≤ X ≤ b) = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

− e– λ t ba = e– λ a − e– λ b





EspéranceOn définit l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ par :

E(X) = limx → + ∞⌡

⎮⎮⌠

0

x

t f(t) dt = lim

x → + ∞⌡⎮⎮⌠

0

x

t λ e– λ t dt

E(X) = 1λ d'où



EspéranceLa formule E(X) = lim

x → + ∞⌡⎮⎮⌠

0

x

t f(t) dt

prolonge dans le cadre continu, l'espérance d'une variable discrète






RadioactivitéVoir le document d'accompagnement des anciens programmes de terminale S sur ce thème (pp. 77-79).






Durée de fonctionnement d'un système sans vieillissement

Les lois exponentielles modélisent la durée de vie d'un matériel.



Loi normale

centrée réduite


Loi normale centrée réduite




•Introduction à partir de lois binomiales de même paramètre de probabilité

•Théorème de Moivre-Laplace•Densité•Valeurs particulières•Espérance•Variance






Introduction à partir de lois binomiales de même paramètre de probabilité





Fichiers GeoGebra

Les lois discrètes donnant lieu à des calculs de probabilités fastidieux lorsque le nombre de valeurs observées est important, on recherche une façon d'approcher une loi binomiale par une loi continue.On peut pour cela, rechercher des éléments de stabilité des lois binomiales de même paramètre p.




La représentation de la distribution binomiale et son évolution lorsque n augmente ne permet pas d'observer de stabilité. (Fichier GeoGebra 1-binomiale effectif.ggb)

Si on travaille sur la distribution des fréquences au lieu de celle des effectifs, des éléments de stabilitéapparaissent. (Fichier GeoGebra 2-binomiale frequence.ggb)




On constate de même des éléments de stabilité si on travaille sur la distribution centrée et réduite de lois binomiales.(Fichier GeoGebra 3-binomiale reduite.ggb)

Le problème de la variation des hauteurs des bâtons est réglé en remplaçant les bâtons précédents par des rectangles adjacents d'aire totale 1, en vue de l'approche par une loi continue, cela revient à diviser la hauteur des bâtons du graphique précédent par l'écart en deux bâtons successifs (Fichier GeoGebra 4-binomiale rectangles.ggb)

Calculs de probabilités (Fichier GeoGebra 5-binomiale rectangles probabilite.ggb)

1

np (1 − p)






Théorème de Moivre-Laplace (terminale S - admis)Soit p un réel de ]0 ; 1[ et pour n ∈IN, Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.Pour tout n ∈IN, on note Zn la variable centrée réduite associée à Xn.Pour tous réels a et b :

limn → + ∞

P(a ≤ Zn ≤ b) = ⌡⎮⌠

a

b

12π e

− x2

2 dx







DensitéLa fonction f définie par :

f (x) = 12π e

− x2

2


est la densité de la loi normale centrée réduite.


Densité



Densité

La densité de la loi normale centrée réduite est la

fonction f définie par : f (x) = 12π e

− x2

2


La fonction f n'a pas de primitives algébriques, pour déterminer des probabilités, on utilise :

• des tables,• les fonctions des calculatrices ou de logiciels.






Valeurs particulièresX est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.Pour tout réel de ]0 ; 1[, il existe un unique réel positif uα tel que :

P(− uα ≤ X ≤ uα) = 1 − α.

u0,05 ≈ 1,96

u0,01 ≈ 2,58

u0,1 ≈ 1,64







EspéranceOn définit l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite par :

E(X) = limx → − ∞⌡

⎮⎮⌠

x

0

t f(t) dt + lim

y → + ∞⌡⎮⎮⌠

0

y

t f(t) dt



Espérance

E(X) = limx → − ∞⌡

⎮⎮⌠

x

0

t f(t) dt + lim

y → + ∞⌡⎮⎮⌠

0

y

t f(t) dt

E(X) = limx → − ∞⌡

⎮⌠

x

0

t2π

e− t2

2 dt + limy → + ∞⌡

⎮⌠

0

y

t2π

e− t2

2 dt

E(X) = limx → − ∞⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤− 1

2π e− t2

2 0

x + lim

y → + ∞⎣⎢⎡

⎦⎥⎤− 1

2π e− t2

2 y

0

d’où E(X) = 0







Variance

On définit la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite par :

V(X) = E[(X − E(X))2]

On admet que : V(X) = 1.



Lois normales


Lois normales



•Introduction à partir de la loi normale centrée réduite

•Introduction à partir d'une somme de variables aléatoires uniformes

•Espérance•Variance•Valeurs particulières•Exemples issues d'autres disciplines

Lois normales





Lois normales


Introduction à partir de la loi normale centrée réduite

μ est un réel et σ un réel strictement positif.Une variable aléatoire X suit la loi normale N (μ ; σ2) si (X− μ)/σ suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

Lois normales





Lois normales


Introduction à partir d'une somme de variables aléatoires uniformes

Les lois normales sont introduites à partir de l'observation, à l'aide d'un logiciel, du cumul des valeurs obtenues lors de la répétition d'une expérience aléatoire dont le résultat suit une loi uniforme.

Lois normales

(Fichier EXCEL somme-alea)





Lois normales


Espérance

Lois normales

Représentation des densité des lois normales d'espérances 3 ; 0 et - 4 et de variance 0,5.





Lois normales


Variance

Lois normales

Représentation des densité des lois normales d'espérance 3 et de variances 1 ; 0,5 et 2.





Lois normales


Valeurs particulièresX est une variable aléatoire suivant la loi normale N (μ ; σ2).

P(X ∈ [μ − σ ; μ + σ] ≈ 0,68 (à 10-2 près)

P(X ∈ [μ − 2σ ; μ + 2σ] ≈ 0,95 (à 10-2 près)

P(X ∈ [μ − 3σ ; μ + 3σ] ≈ 0,997 (à 10-3 près)

Lois normales


Valeurs particulières

Lois normales





Lois normales


Intervalles de fluctuation






Un cadre théoriquePour α ∈ ]0 ; 1[, tout intervalle [a ; b] tel que

P(X ∈ [a ; b]) ≥ 1 - αpeut être considéré comme un intervalle de fluctuation de X au seuil 1 - α.



Un cadre théoriqueOn peut chercher l'intervalle de fluctuation de X :

•d'amplitude minimale,•d'amplitude minimale centré sur E(X),•d'amplitude minimale qui symétrise les probabilités que X soit extérieure à [a ; b]...

Ces différentes approches ne sont pas toujours faciles à mettre en oeuvre, surtout si la loi de Xest discrète. L'approximation de la loi de X par une loi continue permet de faciliter la démarche.



asymptotiques


Intervalles de fluctuation asymptotiques

Z est une variable aléatoire suivant la loi normale N(0 ; 1). α est un réel de ]0 ; 1[, il existe un unique réel uα tel que

P(− uα ≤ Z ≤ uα) = 1 − α.

Xn est une variable aléatoire suivant la loi binomialeB (n ; p).

Zn = Xn − n pn p (1 − p)

) est la variable centrée, réduite associée

à Xn.



Le théorème de Moivre-Laplace permet de dire que

limn → + ∞

P(− uα ≤ Zn ≤ uα) = P(− uα ≤ Z ≤ uα)

soit limn → + ∞

P⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞

− uα ≤ Xn − n pn p (1 − p) ≤ uα = 1 − α

ce qui s'écrit encore limn → + ∞

P⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞Xn

n ∈ In = 1 − α

avec In = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

p − uα p (1 − p)

n ., p + uα p (1 − p)

n



ThéorèmeSi la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale B (n ; p), alors, pour tout α dans ]0 ; 1[, on a :

limn → + ∞

P⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞Xn

n ∈ In = 1 − α

avec In = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤p − uα

p (1 − p)n ., p + uα

p (1 − p)n

et uα désigne l’unique réel tel que P(− uα ≤ Z ≤ uα) = 1 − α

où Z suit la loi normale N(0 ; 1).



Xn

n appartient à In avec une probabilité d’autant plus

proche de 1 − α que n est grand : on dit que In est un

intervalle de fluctuation asymptotique de Xn

n au seuil

1 − α.

Définition

L’intervalle In est un intervalle de fluctuation

"approché" de Xn

n au seuil 1 − α.



Lien avec l'intervalle de fluctuation du programme de seconde



Lien avec l'intervalle de fluctuation du programme de seconde

• Pour α = 0,05, uα ≈ 1,96. • Pour tout p ∈ [0 ; 1], p (1 − p) = 0,25.

Ainsi, uα p (1 − p) est majoré par 2 × 0,5 = 1.

In = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤p − uα

p (1 − p)n ., p + uα

p (1 − p)n est inclus dans

et approché par ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤p −

1n ., p +

1n .


Estimation par

intervalle de confiance


On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population.

Construction d'un abaque

Estimation par intervalle de confiance


On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population.L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40, est [0,22 ; 0,52].


Construction d'un abaque


Représentation de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.

Estimation par intervalle de confianceConstruction d'un abaque




Représentation de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.

























On souhaite estimer la proportion p (inconnue) d'individus présentant une propriété donnée dans une population statistique à partir d'un échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans remise.Supposons que la propriété est observée dans l'échantillon avec une fréquence de 60 %.On détermine ensuite les valeurs de p qui font en sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle de fluctuation asymptotique de F au seuil de 0,95, relatif aux échantillons de taille 40.


Utilisation de l'abaque





Intervalle à 95 % de confiance de p




Statistique inférentielle


Comparaison de fréquences


ProblèmeOn souhaite comparer les proportions p1 et p2d'un même caractère, dans deux populations distinctes, à partir de l’observation des fréquences f1 et f2 observées sur un échantillon de chacune des deux populations. La question posée est de savoir si la différence f1 - f2 est significative.




Première démarchePour i ∈ {1 ; 2}, Fi est la variable aléatoire qui prend pour valeur fi. F1 et F2 sont supposées indépendantes.

On pose F = n1 F1 + n2 F2

n1 + n2.

Si p1 = p2, la loi de Z = F1 − F2

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2

est approchée

par la loi normale N(0 ; 1) si n1 et n2 sont supérieurs ou égaux à 30, n1 p1 et n2 p2 sont supérieurs à 5, n1 (1 − p1) et n2 (1 − p2) sont supérieurs à 5.


Première démarcheAu seuil de 95 %, un intervalle de fluctuation de Z est [- 1,96 ; 1,96].On admet que la différence f1 - f2 est significative si la valeur observée de Z est hors de l'intervalle [- 1,96 ; 1,96], ce qui se traduit par :


|f1 – f2| > 1,96 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2


Seconde démarcheOn détermine des intervalles de confiance de p1et p2 respectivement. On admet que la différence f1 - f2 est significative si ces intervalles sont disjoints.



Seconde démarcheCela se traduit par :


⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

f1 − uα f 1 (1 − f1)

n ., f1 + uα f 1 (1 − f1)

n et

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

f2 − uα f 2 (1 − f2)

n ., f1 + uα f 2 (1 − f2)

n disjoints,

soit |f1 – f2| > 1,96 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2


Comparaison des deux démarchesLes conditions de différence significative sont :

• pour la première méthode


|f1 – f2| > 1,96 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2

• pour la seconde méthode

|f1 – f2| > 1,96 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2

Comme

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2

≥ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞F1 (1 − F1)

n1 +

F2 (1 − F2)n2

la seconde méthode est "plus sévère" que la première.

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STATISTIQUE ET PROBABILITÉS AU LYCÉE · Densité Un variable aléatoire Xprend ses valeurs dans l'intervalle I= [a ;b] et de telle sorte sorte que tous les nombres de I puissent