Stéphane MARION Technique de Maître de Conférences

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Technique definancement

Stéphane MARIONMaître de Conférences

IAE Université Jean Moulin Lyon [email protected]

Septembre 2016

http://iae.univ-lyon3.frFondamentaux de mathématiques financières

Le calcul financier en intérêts simples

I. Les calculs financiers en intérêts simplesA. Les mathématiques de l’intérêt simple :

a) Les calculs de base : la durée et l’intérêtb) Le calcul en intérêt simple post-compté

c) Le calcul en intérêt simple précompté

d) Comparaison entre taux post-compté et taux précompté

e) La notion de taux proportionnel

B. Les domaines d’application de l’intérêt simplea) Le découvert en compte courant

b) Les opérations sur effets de commerce

c) Les titres de créances négociables et les bons du trésor.

http://iae.univ-lyon3.frFondamentaux de mathématiques financières

Le calcul financier en intérêts simples

Intérêts : rémunération qu’un emprunteur verse au prêteur en contrepartie de lamise à disposition d’une somme d’argent, appelée capital ou principal.

Intérêts simples : intérêts versés en une seul fois en début ou en fin d’opérationIntérêts composés : la rémunération du prêteur est versée périodiquement. Ellepeut être incorporée au capital et l’on parle de capitalisation des intérêts.

A. Les mathématiques de l’intérêt simple :

Intérêts post-comptés : l’intérêt est versé en fin d’opération (opération à termeéchu ou à taux post-compté) ;Intérêts précomptés : l’intérêt est versé en début d’opération (opération àintérêt payé d’avance, opération à terme à échoir, ou opération à tauxprécompté).

a) Les calculs de base : la durée et l’intérêt

Le montant de l’intérêt : les intérêts I s’expriment comme une quantitéproportionnelle au capital prêté K, au taux d’intérêt i et à la durée du prêt T.

TiKI


La durée : soit T la durée d’un prêt ou d’un emprunt en retenant l’année commeunité de temps. Pour les opérations court terme T < 1. La durée sera alorsexprimée en jour, rapportée à une année. La convention de calculmajoritairement adoptée consiste à mettre au numérateur le nombre de joursexacts, que l’on divise par 360, durée en jour d’une année dite « commerciale ».On parle de calcul en base « exact/360 ».Le nombre exact de jours se calcul en excluant une des deux bornes.

Exemple : une opération se déroulant sur une durée allant du 1er janvier au 20 mars seracomptabilisé sur 78 jours soit exprimé en année :

T = 78/360 ~ 0,217 année.

Application : M. Senfon emprunte la somme de 100 000 € entre le 12 octobre et le 20novembre de l’année N.Le taux d’intérêt est de 5%.Calculez le montant des intérêts qui seront payés par M. Senfon.

Fondamentaux de mathématiques financièresLe calcul financier en intérêts simples


b) Le calcul en intérêt simple post-compté

Valeur acquise (ou valeur future) : on appelle valeur acquise en date T (notéeKT) d’un capital noté K0, au taux i, la valeur obtenue à l’issue d’un placement autaux i sur la durée T, soit :

On en déduit :

Exemple : M. Delors place pour 9 mois un montant de 2 500 €, au taux de 5%. La valeuracquise de cette opération à l’échéance est de :

2 500 * (1+(0,05*9/12)) = 2 593,75 €

Application : M. Boncou emprunte la somme de 30 000 €, au taux de 7,5% pendant 18mois. La somme sera remboursée en une seule fois au terme des 18 mois en mêmetemps que le paiement des intérêts. Quelle somme devra t-il débourser au terme del’opération ?

)( 000 TiKKIKKT

))(1(0 TiKKT



Valeur actuelle ( ou valeur actualisée) : il s’agit de la somme K0 qu’il faut placeren date 0 pour obtenir KT en date T, ou, du point de vue de l’emprunteur, lasomme que l’on peut emprunter en date 0 si l’on veut rembourser KT en Tcompte tenu d’un certain taux d’intérêt.On peut également considérer que prêteur ou un emprunteur pouvant accéderau marché des prêts ou des emprunts à un taux i, il est équivalent de détenir k0en date 0 ou KT en date T.La valeur actuelle peut donc s’interpréter comme le capital aujourd’huiéquivalent à un capital KT disponible en T.

L’actualisation permet de comparer des montants monétaires dans le temps.

Exemple : La somme que peut emprunter aujourd’hui M. Sençou au taux de 7% s’il nepeut rembourser que 5 600 € dans onze mois est la valeur actuelle de5 600 €, soit :

Application : M. Lemaire souhaite placer une somme au taux de 4,5% qui lui permetted’avoir dans 10 mois 50 000 €. Combien doit il placer ?

)1(0 iT

KK T

€33,5262)

1211

07,01(

56000

K



Variation sur la formule de l’intérêt simple post-compté : La formule peut êtreexprimée différemment en fonction de la variable recherchée. Par exemple, siK0, I et T sont connus, il est possible d’en déduire le taux d’intérêt :

Par ailleurs, en écrivant que l’intérêt est égal à la différence entre la valeuracquise et la valeur actuelle (I=KT – K0), on peut en déduire :

)1

()(0 TK

Ii

)1

()1)(()1

()(00

0

TK

Ki

TK

KKi TT



c) Le calcul en intérêt simple précompté

Le taux d’intérêt précompté sera noté ie Dans une opération à intérêts payésd’avance, l’emprunteur paie l’intérêt au moment de la mise à disposition ducapital K. Il reçoit donc en date 0 la somme :

Il remboursera le capital K en T.

Valeur acquise et valeur actuelle d’un capital : on notera K0 le capitaleffectivement disponible pour l’emprunteur en date 0 et KT le montantremboursé au prêteur en fin d’opération. Le principal de l’opération estmaintenant kT et non plus k0 comme dans les opérations à taux post-compté.On obtient alors :

pour la valeur actuelle :

pour la valeur acquise :

))(1()( TiKTiKK ee

))(1()( 00 TiKKTiKKK eTeTT

))(1(0

Ti

KK

eT



Exemple : Soit une opération d’emprunt d’un montant de 100 000 €, au taux d’intérêtprécompté de 6%, débutant le 18.03.N pour se terminer le 25.11.N.

En excluant une des deux bornes, le calcul de la durée de l’opérationdonne un total de 252 jours (13+30+31+30+31+31+30+31+25) .

Le calcul de l’intérêt se fait à l’aide de la formule :

On en déduit la valeur actuelle de l’emprunt, soit :

Il décaisse le 25 novembre N le remboursement du capital, soit 100 000 €.

Application : M. Lemprin emprunte 64 000 €, au taux d’intérêt précompté de 7,2%, le 2mars n jusqu’au 20 janvier suivant.Combien recevra t-il le 2 mars ?Quel sera le montant des intérêts qu’il devra supporter ?Combien remboursera t-il le 20 janvier ?

TiKI

€958004200100000

€4200360

25206,0100000



Variation sur la formule de l’intérêt simple précompté : Connaissant le capitaleffectivement disponible en 0 (K0), le capital remboursé en fin d’opération (KT)et la durée T, on obtient le taux précompté à l’aide de la formule suivante :

Le calcul du taux connaissant le montant des intérêts est donné par :

TK

KKi

T

Tt

1)( 0

TK

Ii

Tt

1)(



d) Comparaison entre taux précompté et taux post-compté

A taux égal, les opérations en intérêt post-compté sont plus avantageuses pourl’emprunteur (et moins avantageuses pour le prêteur) que les opérations enintérêt précompté. Il est toujours préférable de retarder un décaissement.

De manière formelle, pour un même taux i, les valeurs acquises à la date Td’un capital disponible initial k :

En intérêt post-compté :

En intérêt précompté :

Soit K = 40 000 €, i = 5%, T= 8 mois.

En intérêt post-compté :

En intérêt précompté :

))(1(0 TiKKT

))(1(0

Ti

KK

eeT

41333033,140000))12

805,0(1(40000 TK

413799667,0

40000

))12

805,0(1(

40000

eTK



e) La notion de taux proportionnel

Le taux fixé ou communiqué lors d’une opération financière est un taux annuel.Si le calcul doit être effectué sur des périodes inférieures à l’année (mois,trimestre, …) le taux correspondant sera calculé proportionnellement au tauxannuel.

Un taux d’intérêt périodique sera noté ip qui représente la quantité i * T. Lemontant des intérêts par période s’écrit alors :

A la différence de i, ip est exprimé en base T ; il est proportionnel à la durée etl’on parle de taux proportionnel.

Exemple : un taux annuel de 12% est égal à :Un taux mensuel de 1% ;Un taux trimestriel de 3% ;Un taux hebdomadaire de 0,23%.

piKI



B. Les domaines d’application de l’intérêt simple

Nous pouvons appliquer les intérêts simples au calcul de frais liés à undécouvert bancaire, à l’escompte d’effets de commerce ou à la valorisation detitres ou de créances négociables.

a) Le découvert en compte courant – calcul des agios :Le découvert correspond à un solde de compte bancaire débiteur (dans leslivres de la banque). Il s’analyse comme un prêt que l’établissement de créditconsent à son client et donne lieu à rémunération appelée agios, généralementcalculée et payée tous les trimestres.

Les agios sont composés d’intérêts proprement dits (post-comptés) et decommissions :

Les intérêts débiteurs sont calculés sur les soldes débiteur au prorata dunombre de jours de découvert, selon la technique de l’intérêt simplepost-compté. Le taux est négociable. Il dépend du taux de base bancaire(TBB), il est de l’ordre de TBB + 1,5% à TBB + 2,2%.La commission de plus fort découvert (CPFD) est calculée en appliquantun taux au plus fort découvert de chaque mois. Ce taux est d’environ0,05%.La commission de mouvement, qui s’applique au total des mouvementsdébiteurs de la période. Le taux est de l’ordre de 0,025% à 0,030%.Seule cette commission est assujettie à la TVA.



Le montant du découvert variant chaque jour, le calcul des intérêts est facilitépar l’établissement d’un document appelé échelle d’intérêts.

Tableau récapitulatif de l’ensemble des mouvements et soldes du comptecourant

Les intérêts sont calculés à partir du tableau selon la méthode des nombressur la base d’une année commerciale de 360 jours.Le calcul se fait en nombre exact de jours de découvert par solde. Ces soldessont établis par la banque en date de valeur, dates qui sont différentes desdates d’opération (les banque ont pour pratique de retarder les datesd’encaissements et d’avancer les dates de décaissements).Si par exemple un particulier fait une remise de chèques en date J (dated’opération), la banque enregistre l’opération le jour J, mais les fonds nesont considérés comme disponibles sur le compte qu’en J+2 ouvrés, soit 2jours ouvrés après la date de remise des documents. On dit quel’établissement applique deux jours de banque.

Mouvements Soldes NombresDate devaleur

Débit Crédit Débit Crédit Nb jours Nbdébiteurs



Supposons que le solde ait été débiteur de M1 pendant n1 jours, puis de M2pendant n2 jours. Les intérêts s’élèvent alors à :

I = M1 n1 *(i/360) + M2 n2 *(i/360) = i/360 *(M1 n1 + M2 n2)

Le terme i/360 est le taux journalier proportionnel au taux annuel i. Defaçon générale, pour N soldes débiteurs successifs, nos avons :

On appelle nombre débiteur la quantité Mk nK, c’est-à-dire le produit dusolde débiteur par le nombre de jours de découvert à ce solde. Le calcul desintérêts s’obtient en appliquant un taux proportionnel journalier à la sommedes nombres débiteurs.

Exemple : Considérons l’entreprise Flouze, dont le compte bancaire est tenu en €.Les intérêts du découvert sont facturés au taux TBB+2%. La CPFD est de 0,05% et lacommission de mouvements de 0,025%. Le TBB est à 8%.Le tableau ci-après présente, dans ses cinq premières colonnes, l’évolution desmouvements de ce compte sur les trois premiers mois d’une année N. Les deuxdernières colonnes sont réservées au calcul des nombres débiteurs.

k

N

Kk nM

iI

1360




Débit Crédit Débit Crédit Nb jours Nb débiteurs

1 janv. 65 000 6 0

7 janv. 130 000 18 000 47000 11 517 000

18 janv. 45 000 105 000 13000 9 0

27 janv. 96 000 15 000 68000

10 fév. 25 000 17 000 76000

21 fév. 250 000 166 000 160000

28 fév. 119 000 255000 24000

1er mars 34 000 77 000 19000

16 mars 3 000 81 000 97000

19 mars 368 000 173 000 98000

28 mars 56 000 185 000 31000

31mars 27 000 79 000 83000

Total 1 153 000




Débit Crédit Débit Crédit Nb jours Nb débiteurs

1 janv. 65 000 6 0

7 janv. 130 000 18 000 4 7000 11 517 000

18 janv. 45 000 105 000 13 000 9 0

27 janv. 96 000 15 000 68 000 14 952 000

10 fév. 25 000 17 000 76 000 11 836 000

21 fév. 250 000 166 000 160 000 7 1 120 000

28 fév. 119 000 255000 24 000 1 24 000

1er mars 34 000 77 000 19 000 15 0

16 mars 3 000 81 000 97 000 3 0

19 mars 368 000 173 000 98 000 9 882 000

28 mars 56 000 185 000 31 000 3 0

31mars 27 000 79 000 83 000

Total 1 153 000 4 331 000



Calcul du ticket d’agios :Les intérêts i s’établissent à :

La CDFP porte sur le plus fort découvert de chaque mois. Elle se calculesimplement par application du taux à chacun de ces plus fortsdécouverts :

En l’absence de mouvements exonérés, la commission de mouvementest de :

Cette commission est assujettie à la TVA, soit :

Le montant TTC du ticket d’agios s’élève donc à :

€06,1203360

1%)2%8(4331000

€163%05,0)9800016000068000(

€25,288%025,01153000

€65.57%2025,288

€96.1711€65.57€25,288€163€06,1203



b) Les effets de commerce :

La lettre de change est un document émis par une personne appelée tireur(le créancier, c’est à dire le fournisseur) qui donne mandat à une personneappelée tiré (le débiteur, c’est à dire le client) de payer, à une date donnée,une somme d’argent à une troisième personne, appelée bénéficiaire(généralement le tireur ou une tierce personne). Le tiré reconnaît sa dettevis-à-vis du tireur en acceptant la lettre de change. L’acceptation se traduitpar l’apposition d’une signature au recto du document.

Le billet à ordre est un document émis par une personne appeléesouscripteur (le débiteur) qui s’engage à payer, à une date donnée, unesomme d’argent à une personne, appelée le bénéficiaire (le créancier).

Le détenteur d’un effet de commerce peut le conserver jusqu’à l’échéancepour en attendre le règlement ou le remettre à sa banque avant l’échéanceet en demander l’escompte.

L’escompte est assimilable à une opération de prêt à intérêt précompté : lebanquier paie immédiatement le montant de l’effet (noté M) appelé valeurnominale, diminué des intérêts et des commissions. Les agios notés Acorrespondent à la somme des intérêts et des commissions.



Les agios sont composés de l’intérêt, proportionnel à la valeur nominale del’effet et à la durée de l’opération, d’une commission, égalementproportionnelle à la valeur nominale et à la durée (dite commission d’endosnon soumise à TVA), d’environ 0,60% et de commissions fixes (soumises àTVA).On appelle valeur actuelle, notée V, la valeur nominale de l’effet diminuédes agios :

Dans le calcul de la durée de l’opération il est d’usage de décompter uncertain nombre de jours de banque, qui viennent s’ajouter à la durée exactede l’opération, correspondant à la durée comprise entre la date de remisede l’effet (date de négociation) et la date de l’échéance de celui-ci. Parailleurs pour les effets proches de l’échéance (effets brûlants), la plupart desétablissements de crédit décomptent un nombre minimal de jours (dix joursen général).

AMV



Exemple : L’entreprise Hassec, le 12/11/N remet à sa banque deux effets d’échéancesrespectives 19/11/N et 15/12/N et de montants respectifs : 21 500 € et 6 500 €.

La banque applique un taux d’intérêt ie = 9% et compte deux jours de banque. Lacommission d’endos est de 0,60%. Le total hors taxes (HT) des commissions fixes semonte à 15 € par effet. La banque applique une durée minimale de 10 jours.

Calcul des agios sur l’effet n°1 :Les intérêts :

La commission d’endos se monte à :

Le total des agios HT relatifs à l’effet n°1 est de :

€75,53360

10%921500

€58,3360

10%6,021500

€33,721558,375,53



Calcul des agios sur l’effet n°2 :Les intérêts :

La commission d’endos se monte à :

Agios :

Pour les deux opérations, le total des agios se monte à 148 € HT.

Le rééchelonnement d’effets de commerce : pour éviter un incident depaiement à l’échéance un client peut demander à son fournisseur le reportd’une échéance.

Par annulation du premier effet et remplacement par un second avec unedate d’échéance postérieure ;Par avance des fonds au client pour lui permettre d’honorer sa dette(lorsque le fournisseur n’est plus en possession de l’effet) et émission d’unnouvel effet pour matérialiser la dette.Le problème à résoudre consiste à rechercher, au jour du renouvellement,la nouvelle valeur nominale qui, compte tenu d’un taux d’intérêt donné,rende le nouvel effet équivalent à l’ancien.

€88,56360

35%96500

79,3360

35%6,06500

€67,751579,388,56



Soit :M1 = valeur nominale de l’ancien effet ;M2 = valeur nominale du nouvel effet ;n1= durée de l’ancien effet ;n2= durée du nouvel effet ;ie= le taux précompté de référence pour le calcul de l’intérêt.

L’égalisation des valeurs actuelles des deux effets donne :

Exemple : L’entreprise Lever doit à l’entreprise Dora une somme de 90 000 €, detteconstatée par l’acceptation d’une traite à l’échéance du 30/09/N. Le 10/09/N,l’entreprise Lever prévoit qu’elle ne pourra pas faire face au règlement de sa dette. Elledemande un report au 31/10/N. L’entreprise Dora accepte de détruire la premièretraite et en tire une seconde. Elle doit calculer sa valeur nominale sachant qu’elleretient un taux d’escompte de 10%.

))360

(1( 11

niMV e

))360

(1())360

(1( 22

11

niM

niM ee



Le calcul du nombre de jours donne :entre le 10 et 30 septembre : 20 jours ;entre le 10 septembre et le 31 octobre : 51 jours.

D’après l’égalisation des valeurs :

)360

1()360

1( 22

11

niM

niM ee

36051

1,01

36020

1,0190000

2

M

)360

511,01()

360

201,01(90000 2 M

€14,907842 M

Fondamentaux de mathématiques financièresLe calcul financier en intérêt simple


c) Les titres de créances négociables et les bons du trésorLes Titres de Créances Négociables (TCN) sont des titres représentatifs d’unecréance, émis par les entreprises, les établissements de crédit ou l’Etat et qui,en théorie, peuvent être souscrits par toute personne morale ou physique.Il existe quatre grands types de TCN qui se distinguent principalement par lestatut des émetteurs :

Les Billets de Trésorerie (BT) : il sont émis par les entreprises industrielleset commerciales. Leur durée de vie est de un jour à un an. Les billets detrésorerie sont principalement émis par les grandes sociétés par actions, lessociétés financières et les entreprises du secteur public.Les certificats de dépôt (CD) : sont émis par les établissements de crédit,leur durée de vie est située entre un jour et un an.Les Bons à Moyen Terme Négociables (BMTN) : peuvent être émis partoute personne morale habilité à émettre des TCN. Leur échéance doit êtresupérieure à un an, sans que soit précisé de durée maximale. Leur étudesort du cadre de ce chapitre consacré aux opérations à court terme.Les Bons du Trésor Négociables (BTN) : sont émis par l’Etat. Ils ne sont pasexpressément des TCN, mais présentent des caractéristiques similaires.



Les Bons du Trésor à taux Fixe (BTF) et intérêts précompté : leurdurée de vie est le plus souvent de 13, 26, 52 semaines.Les Bon du Trésor Annuels Normalisés (BTAN) également à taux fixe: leur durée à l’émission est comprise entre deux et cinq ans. LesBTAN sortent également du cadre de ce chapitre.

Cet ensemble de titre constitue des moyens de financement pour les émetteurs etdes instruments de placement pour tous les agents économiques.

La cotation des bons du trésor à taux fixe :L’intérêt est précompté : à l’achat le souscripteur paie la valeur nominaledu bon diminuée de l’intérêt et à l’échéance il reçoit la valeur nominale.La cotation se fait néanmoins en terme de taux post-compté, appeléégalement taux in fine.Soit P le prix d’un BTF, M sa valeur nominale, n le délai courant jusqu’à sonéchéance et i son taux d’intérêt in fine.

Le prix du BTF est égal à la valeur nominale actualisée au taux du marché,selon une base de calcul des jours exacts/360.

3601

ni

MP



Les calculs financiers sur titres de créances négociables :Ils respectent les règles précédemment énoncées à propos des intérêtsprécomptés ou post comptés.

Exemples : Un bon du trésor à 13 semaines (91 jours) de 1 million d’euros de nominalest émis au taux post-compté de 5,65%

a. Calcul du prix à l’émission et du taux précompté correspondant :Le prix du bon est égal à la valeur actuelle de 1 million d’€ au taux de 5,65% sur

91 jours, soit :

Les intérêts payés d’avance s’élèvent à :

€16,985919

36091

0565,01

1000000

P

€84,1408016,9859191000000



Partant de la formule des intérêts précomptés , on peut en déduire letaux d’intérêt précompté :

b. Prix du BTF 12 jours après l’émission, sachant que le taux in fine du marché est de5,55%.

L’échéance du bon est dans 91 – 12 = 79 jours. Le prix est :

c. Valeur du bon 3 jours avant l’échéance si le taux du marché est de 12% :

TM

Ii ee

1*

%57,591

360*

1000000

84,14080

€38,987967

36079

0555,01

1000000

P

€999001

3603

12,01

1000000

P



Exemple : Un certificat de dépôt, d’une valeur nominale de 5 millions d’€, de duréeinitiale de 92 jours est émis au taux post-compté de 5%.

a. Le souscripteur recevra à l’échéance la valeur acquise :

b. Soixante jours après l’émission, le taux du marché est de 4,8%. La nouvelle valeurdu certificat est :

€89,5063888)360

9205,01(5000000

€76,5042374)

36032

048,01(

89,5063888


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