Structures Algébriques - haily.a.h.f.unblog.frhaily.a.h.f.unblog.fr/files/2010/12/algebre-6.pdf · Université Chouaïb Doukkali acultéF des Sciences Département de Mathématiques

Université Chouaïb Doukkali Faculté des SciencesDépartement de Mathématiques

Structures AlgébriquesResponsable : A. Haïly

Structures Algébriques :

Groupes et Anneaux

Table des matières

1 Structure de Groupe 31.1 Monoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Groupes, les premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Exemples importants de Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Produit direct d'une famille de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Groupes monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Classes modulo un sous-groupe et Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Groupes quotients et Théorèmes d'isomorphisme 102.1 Sous-groupes distingués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Les théorèmes d'isomorphisme et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Application aux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Le Groupe diédral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Opération des groupes 153.1 Dénitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Orbites et stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Equation aux classes et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Le théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7 Complément : Classes de conjugaison dans Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Anneaux et Corps 214.1 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Eléments réguliers, éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Sous-anneaux et morphismes d'anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Idéaux d'un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5 Anneau quotient et théorèmes d'isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6 Notion de Corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7 Corps de fractions d'un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8 Anneau produit et Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.9 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.10 Complément : Caractéristique d'un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Anneaux de polynômes 285.1 Anneau de polynômes à coecients dans un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Polynômes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1



6 Anneaux factoriels 306.1 Divisibilité dans les anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Factorialité des anneaux principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5 Factorialité de l'anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2



1 Structure de Groupe

1.1 Monoïdes

Denition 1.1.1. Un monoïde (E, ?) est un ensemble G muni d'une loi de composition interne ? associativeet qui possède un élément neutre.(A) associative : ∀x, y, z ∈ G, (x ? y) ? z = x ? (y ? z).(N) possède un élément neutre : ∃e ∈ G : ∀x ∈ G, x ? e = e ? x.Un Monoïde (E, ?) est dit commutatif, si la loi ? est commutative : ∀x, y ∈ G, x ? y = y ? x.Un groupe (G, ?) est dit ni, si l'ensemble sous-jacent G est ni.

Exemples 1.1.2. 1 - (N,+), (Z,+) sont des monoïdes.2 - Soit X un ensemble non vide, F(X) l'ensemble des applications f : X 7→ X, alors (F , ) est un monoïde.

Denition 1.1.3. Soit (E, ?) un monoïde d'élément neutre e. Un élément x de E est dit symétrisable (ouinversible), s'il existe x′ ∈ E, tel que x ? x′ = x′ ? x = e.

Proposition 1.1.4. Soit (E, ?) un monoïde, alors :1 - L'élément neutre e est unique.2 - Si x est symétrisable, alors il existe un unique x′ ∈ E, tel que x ? x′ = x′ ? x = e. x′ est alors appelé lesymétrique (ou l'inverse) de x.3 - Tout élément x symétrisable est régulier pour ?. i.e :x est régulier à droite, ∀a, b ∈ G, a ? x = b ? x ⇒ a = b etx est régulier à gauche,∀a, b ∈ G, x ? a = x ? b ⇒ a = b,4 - Pour tout a ∈ E symétrisable, notons a′ le symétrique de a. Si x et y sont symétrisables, alors x ? y estsymétrisable et (x ? y)′ = y′ ? x′,

Preuve.1 - Soient e et e′ deux éléments neutres. On a e ? e′ = e′ car e est élément neutre, mais on a aussi e ? e′ = e care′ est élément neutre. D'où e = e′.2 - Soient x′ et x′′ deux symétriques de x, on a x′ = x′ ? e = x′ ? (x ? x′′) = (x′ ? x) ? x′′ = e ? x′′ = x′′

3 - Si a ? x = b ? x, alors (a ? x) ? x′ = (b ? x) ? x′, donc a ? (x ? x′) = b ? (x ? x′), d'où a = b. La même chosepour la régularité à gauche.4 - (x ? y) ? (y′ ? x′) = e et (y′ ? x′) ? (x ? y) = e.

Remarque 1.1.5. Remarque sur les notations.En général, pour les monoïdes (et les groupes), on utilise deux types de notation :I la notation multiplicative, qui est la plus générale, la loi est alors notée ·, le composé de x et y est notéexy, l'élément neutre e ou 1, l'inverse de x est noté x−1.I la notation additive + en général reservée au cas commutatif. Le composé de x et y est notée x+y, l'élémentneutre est noté 0, le symétrique de x est noté −x, on l'appelle aussi l'opposé de x.

Denition 1.1.6. Soit (E, ·) un monoïde d'élément neutre e et x ∈ E. Pour tout n ∈ N, on dénit la puissancede x d'exposant n notée xn de x par récurrence : x0 = e, xn+1 = xn · x.Si x est inversible, on dénit pour tout n ∈ N, les puissances négatives x−n = (xn)−1.

Proposition 1.1.7. Soit (E, ·) un monoïde, x ∈ E. Pour tout n ∈ N, on a :(1) xn+m = xnxm

(2) xmn = (xm)n

(3) Si xy = yx, on a (xy)n = xnyn

Si de plus x et y sont inversibles, alors on a alors les mêmes propriétés (1), (2) et (3), pour n, m ∈ ZLorsque le monoïde est noté additivement, x + x . . . + x (n fois ) est noté nx et (−n)x = −nx.

Preuve. Pour les propriétés 1,2 et 3, on procède par récurrence sur n si n est entier naturel.

3



1.2 Groupes, les premières propriétés

Denition 1.2.1. Un groupe (G, ?) est un monoïde dans lequel tout élément est symétrisable. C'est donc unensemble G muni d'une loi de composition interne ? qui est :(A) associative : ∀x, y, z ∈ G, (x ? y) ? z = x ? (y ? z).(N) possède un élément neutre : ∃e ∈ G : ∀x ∈ G, x ? e = e ? x.(S) tout élément de G est symétrisable pour la loi ? : ∀x ∈ G,∃x′ ∈ G : x ? x′ = x′ ? x = e.

Un groupe (G, ?) est dit commutatif, si la loi ? est commutative : ∀x, y ∈ G, x ? y = y ? x. On dit alors aussique le groupe (G, ?) est abélien.Un groupe (G, ?) est dit ni, si l'ensemble sous-jacent G est ni. Le cardinal de G est alors appelé l'ordre deG, il est noté |G| ou o(G).

Exemples 1.2.2.1 - (Z,+) est un groupe abélien, on l'appelle le groupe Z.2 - (Q,+), (R,+), (C,+), (Q∗,×), (R∗,×), (C∗,×) sont des groupes abéliens.3 - (Z∗,×), n'est pas un groupe.4 - On considère l'ensemble G = a, b, muni d'une loi ? telle que a ? b = b ? a = b et a ? a = b ? b = a, alors(G, ?) est un groupe ni d'ordre 2.

Remarque 1.2.3.1 - Les propriétés de la proposition 1.1.4, sont valables pour les groupes. Il résulte de la régularité que dans latable d'un groupe ni, chaque élément apparait une et une seule fois dans chaque ligne et dans chaque colonne.2 - Nous dirons très souvent " Soit G un groupe" sans citer la loi de G, dans ce cas là la notation utilisé est lanotation multiplicative (x, y) 7→ xy.

1.3 Exemples importants de Groupes

1. Groupe des classes modulo un entierOn note Z/n.Z, l'ensemble des éléments notées 0, 1, . . . , k, . . . n− 1, appelés classes d'équivalences modulo n.On dénit sur Z/n.Z une loi noté + dénie par : k + m = r, où r est le reste de la division euclidienne de k +mpar n. On montre que (Z/n.Z,+) est un groupe ni d'ordre n d'élément neutre 0.groupe abélien ni d'ordre n.

2. Groupe des éléments inversibles d'un monoïde

Proposition 1.3.1. Soit (E, ·) un monoïde, i.e. la loi · est associative et admet un élément neutre e. On noteU(E) l'ensemble des éléments inversibles de E. Alors (U(E), ·) est un groupe.

Preuve. D'abord U(E) 6= ∅, car e ∈ U(E). Ensuite, si x, y ∈ U(E), on a xyy−1x−1 = y−1x−1xy = e, doncxy ∈ U(E), par conséquent, · est une loi interne de U(E).(U(E), ·) est un monoïde d'élément neutre e et si x ∈ U(E), alors (x−1)−1 = x, donc x−1 ∈ U(E).

Exemple 1.3.2. Soit n un entier, dans Z/nZ on dénit la loi · par k · m = r, où r est le reste de la divisioneuclidienne de km par n. On montre que (Z/nZ, ·) est un monoïde d'élément neutre 1, ce n'est pas un groupecar 0 n'est pas symétrisable. L'ensemble des éléments inversibles de (Z/nZ, ·) est noté Un, c'est un groupecommutatif ni.

Proposition 1.3.3. On a Un = k : k est premier avec n, en particulier, o(Un) = φ(n), où φ(n), appeléeindicatrice d'Euler, est le nombre des entiers naturels premiers avec n inférieurs à n

Preuve. Soit k ∈ Un, il existe h ∈ Z tel que kh = 1. Donc il existe q ∈ Z, tel que hk − 1 = qn, ce qui entraîneque k et n sont premiers entre-eux.Réciproquement, si k et n sont premiers entre-eux, il existe u, v ∈ Z, tels que un+vk = 1. En prenant les classesmodulo n, on a : vk = 1. Ce qui signide que k est inversible modulo n.

3 - Groupe des bijections d'un ensemble Soit X un ensemble non vide, (F(X), ) le monoïde des applica-tions de X dans lui-même. L'ensemble B(X) des éléments inversibles de (F(X), ) est l'ensemble des bijectionsde X dans lui-même. C'est donc un groupe pour la loi . Si X contient au moins trois éléments, B(X) n'est pas

4



commutatif. De plus, si X est ni de cardinal n, alors |B(X)| = n!.

Lorsque X = 1, 2, . . . , n, le groupe des bijections de X est noté Sn. On l'appelle alors le groupe symétriquede degré n. Ses éléments sont appelés les permutations à n éléments. Son ordre est égal à n!.

Usuellement, une permutation σ ∈ Sn est notée :

σ =(

1 2 . . . i . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(i) . . . σ(n)

)Exemple 1.3.4. σ =

(1 2 3 4 5 62 5 6 1 4 3

)∈ S6.

Exemple 1.3.5. S3 est un groupe ni d'ordre 6 comprenant :

I=(

1 2 31 2 3

), r1=

(1 2 32 3 1

), r2=

(1 2 33 1 2

), s1=

(1 2 31 3 2

), s2=

(1 2 33 2 1

), s3=

(1 2 32 1 3

).

4. Le Groupe linéaireSoit n ∈ N∗. On considère le monoïde (Mn(K),×), des matrices carrées d'ordre n à cecients dans K = R ouC. On note GLn(K) ou GLK(n), l'ensemble des matrices carrées inversibles dans (Mn(K),×). Alors GLn(K)est un groupe pour la multiplication des matrices appelé groupe linéaire.

5. Groupe d'isométries Soit E un espace euclidien de dimension n. On appelle isométrie linéaire de E touteapplication linéaire f : E → E, telle que ∀x, y ∈ E, on a : d(f(x), f(y)) = d(x, y). L'ensemble des isométrieslinéaires noté Isom(E) est un groupe pour la composition des applications.Soit maintenant A ⊂ E. On note GA = f ∈ Isom(E) : f(A) = A, i.e. l'ensemble des isométries qui laissentglobalement xe A. Alors (GA, ) est un groupe.

1.4 Produit direct d'une famille de groupes

Théorème 1.4.1. Soit G1, . . . , Gn une famille nie de groupes. On considère G = G1 × G2 × . . . × Gn surlequel on dénit la loi : (x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)Muni de cette loi, G est un groupe appelé produit direct de la famille G1, . . . , Gn.- Si G1 = G2 = . . . = Gn, le groupe produit direct est noté Gn.- Si chaque groupe Gi est abélien, alors leur produit est aussi abélien.

Exemples 1.4.2.

1 - Prenons K = (Z,+), (Q,+), (R,+) ou (C,+), et n un entier. On dénit sur Kn, l'addition (x1, . . . , xn) +(y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) c'est la loi produit direct.2 - On prend G = Z/2Z, alors le groupe produit Z/2Z× Z/2Z est appelé groupe de Klein.

1.5 Sous-groupes

Denition 1.5.1. Soit G un groupe, H un sous-ensemble de G. On dit que H est un sous-groupe de G, lorsqueH est une partie stable de G, et vérie les axiomes d'un groupe pour la l.c.i. induite par celle de G.

Remarquons que H admet alors le même élément neutre que G.

Proposition 1.5.2. Soient G un groupe et H ⊂ G. Les assertions suivantes sont équivalentes :1 - H est un sous groupe de G.2 - H 6= ∅, ∀(a, b) ∈ H2, ab ∈ H et ∀a ∈ H, a−1 ∈ H.3 - H 6= ∅ et ∀(a, b) ∈ H2, ab−1 ∈ H.

Exemples 1.5.3.1 - Soit G un groupe d'élément neutre e, alors e et G sont deux sous-groupes de G.2 - Pour tout n ∈ N. L'ensemble nZ = n.k ∈ Z : k ∈ Z, est un sous-groupe de Z.3 - Z est un sous-groupe de (R,+).4 - N n'est pas un sous-groupe de Z.

5



Théorème 1.5.4. Soit H un sous-groupe de Z, alors il existe n ∈ N, tel que H = nZ.Si H 6= 0, alors n = min(H ∩ N∗).

Preuve. Il est clair que pour tout n ∈ N, nZ est un sous-groupe de (Z,+).Réciproquement soit H 6= 0 un sous-groupe de (Z,+). Posons n = min(H ∩ N∗). On a nZ ⊂ H. Réciproque-ment, soit x ∈ H, alors par division euclidienne, on a x = qn + r, où 0 ≤ r < n. Supposons que r 6= 0, alorsr = x−nq ∈ H ∩N∗, ce qui est absurde par minimalité de n. Donc, r = 0, i.e. x ∈ nZ, par conséquent H ⊂ nZ,d'où H = nZ.

1.6 Morphismes de groupes

Denition 1.6.1. Soient G, G′ deux groupes. Une application f : G → G′ est dite morphisme ou homomor-phisme de groupes si ∀x, y ∈ G on a f(xy) = f(x)f(y).Un endomorphisme d'un groupe G est un morphisme de G dans lui-même.Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un groupe G est dit isomorphe à un groupe G′, s'il existe unisomorphisme G → G′. On note alors G ∼= G′.

Exemples 1.6.2.1 - Soient G, G

′deux groupes d'éléments neutres respectivement e et e

′. On peut toujours dénir un morphisme

dit trivial θ de G dans G′ par θ(x) = e′, ∀x ∈ G.2 - Soit G un groupe. L'application identique IG : G → G est un endomorphisme de G. Si H est un sous groupede G, l'injection canonique i : H → G, i(x) = x est un morphisme de groupes.3 - Soit G un groupe, g ∈ G. L'application φg : Z→ G, dénie par φg(n) = gn, est un morphisme de groupes.4 - Soit G un groupe, g ∈ G. On déni une application γg : G → G, dénie par γg(x) = gxg−1 est unautomorphisme de G appelé automorphisme intérieur associé à g.5 - L'application exponentielle exp : (R,+) → (R∗+,×). est un isomorphisme, dont l'isomorphisme inverse est lelogarithme naturel. Ainsi on a (R,+) ∼= (R∗+,×).

Proposition 1.6.3.1 - Le composé de deux morphismes est un morphisme.2 - Soit f : G → G′, un isomorphisme, alors f−1 est un isomorphisme.

Corollaire 1.6.4. Soit G un groupe, on note Aut(G), l'ensemble des automorphismes de G, alors (Aut(G), )est un groupe, sous-groupe des bijections de l'ensemble G.

Proposition 1.6.5. Soient G, G′deux groupes d'éléments neutres respectivement e et e

′et f un morphisme

de G dans G′. Alors,1 - f(e) = e′.2 - ∀x ∈ G, ∀n ∈ Z, f(xn) = f(x)n.3 - f(x−1) = (f(x))−1, ∀x ∈ G.4 - L'image d'un sous-groupe de G est un sous-groupe de G′. En particulier, f(G) est noté Imf , c'est l'imagede f .5 - L'image réciproque d'un sous-groupe de G′ est un sous-groupe de G. En particulier f−1(e′) = x ∈ G :f(x) = e′ est appelé le noyau de f et on le note Kerf .

Proposition 1.6.6. Soient G, G′deux groupes d'éléments neutres respectivement e et e

′et f un morphisme

de G dans G′. Alors,f est surjective ⇔ Imf = G′

f est injective ⇔ Ker f = e

1.7 Sous-groupe engendré par une partie

Proposition 1.7.1. Soit G un groupe et (Gi)i∈I une famille de sous-groupes de G. Alors ∩i∈IGi est un sous-groupe de G.

Preuve. On a e ∈ Gi,∀i ∈ I, donc e ∈ ∩i∈IGi.Soit x, y ∈ ∩i∈IGi, alors x, y ∈ Gi,∀i ∈ I. Or les Gi sont des sous-groupes de G, donc xy−1 ∈ Gi,∀i ∈ I, parsuite xy−1 ∈ ∩i∈IGi.

6



Remarque 1.7.2. En général, la réunion de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe. Par exemple, 2Z et3Z sont des sous-groupes de Z, mais E = 2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de Z, car 2 et 3 sont des élémentsde E, mais 2 + 3 = 5 /∈ E.

Denition 1.7.3.1 - Soit G un groupe et A une partie de G, l'ensemble EA de tous les sous groupes de G contenant A est nonvide. On a

⋂H∈EA

H = g ∈ G : g ∈ H,∀H ∈ EA, c'est à dire l'intersection de tous les sous-groupes de G quicontiennent A, est un sous groupe de G contenant A. On l'appelle le sous-groupe de G engendré par A. On lenote gr〈A〉. Remarquons que : gr〈∅〉 = e.2 - Si G = gr〈A〉, A est dite une partie génératrice de G.

Proposition 1.7.4. Soit G un groupe et A ⊂ G. Alors : gr〈A〉 = H, si et seulement si, H est un sous-groupede G qui contient A, et tout sous-groupe de G contenant A contient H.En d'autres termes, gr〈A〉 est le plus petit sous-groupe de G contenant A.

Preuve. Notons (Gi)i∈I la famille de tous les sous-groupes de G qui contiennent A. Posons H = ∩i∈IGi. Soitmaintenant K un sous-groupe de G contenant A. Alors il existe j ∈ I tel que K = Gj , par suite H ⊂ K.Réciproquement, Soit H un sous-groupe de G contenant A et tel que ∀K, sous-groupe de G A ⊂ K ⇒ H ⊂ K.On a H = Gj pour un certain j ∈ I (car A ⊂ H). Donc ∩i∈IGi ⊂ Gj = H. D'autre part, comme A ⊂ Gi,∀i ∈ I,par hypothèse on a H ⊂ Gi,∀i ∈ I, donc H ⊂ ∩i∈IGi

Proposition 1.7.5. Soit G un groupe, A = a on a en notation multiplicative, gr〈a〉 = ak : k ∈ Z. Ennotation additive, gr〈a〉 = ka : k ∈ Z.

Preuve. Soit le morphisme φa : (Z,+) → G, deni par φa(k) = ak. On a Imφa = ak : k ∈ Z est un sous-groupede de G. Si H est un sous-groupe qui contient a, alors on a ∀k ∈ Z, ak ∈ H, donc 〈a〉 = Imφa = ka : k ∈ Z.

1.8 Groupes monogènes

Denition 1.8.1.1 - Un groupe G est dit monogène si G = gr〈a〉. C'est à dire engendré par un seul élément.2 - Un groupe est dit cyclique s'il est monogène et ni.

Exemples 1.8.2.1 - (Z,+) est un groupe monogène car Z = gr〈1〉 .2 - (Z/nZ,+) est un groupe cyclique car Z/nZ est ni et engendré par 1 .3 - Soit Gn l'ensemble des racines n-ième de l'unité dans C. Alors (Gn,×) est un groupe cyclique engendré par

e2πin = cos

2π

n+ i sin

2π

n.

1.9 Classes modulo un sous-groupe et Théorème de Lagrange

Denition 1.9.1. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On dénit la relation Rg sur G par :xRgy ⇔ x−1y ∈ H.Rg est une relation d'équivalence appelée relation d'équivalence ou congruence à gauche modulo H .Si x ∈ G, la classe à gauche modulo H est x = xH.

De même on dénit la relation d'équivalence à droite ou congruence à droite modulo H notée Rd par xRdy ⇔yx−1 ∈ H. La classe de x est alors Hx .

Les ensembles quotients sont notés (G/H)g pour G/Rg et (G/H)g pour G/Rd. L'application : φ : (G/H)g →(G/H)d, dénie par φ(xH) = Hx−1 est une bijection. Ainsi, si l'un des ensembles quotient est ni l'autre l'estaussi, ils ont alors le même cardinal. Ce cardinal commun est appelé l'indice de H dans G on le note [G : H].

Exemple 1.9.2. Soit G = (Z,+), H = nZ. xRgy ⇔ x− y ∈ H et xRdy ⇔ y − x ∈ H. Ici on a Rg = Rd = R,car le groupe est commutatif. De plus, Z/R = Z/nZ.

7



Exemple 1.9.3. Soit S3 = I, r1, r2, s1, s2, s3 le groupe symétrique de degré 3 (voir Exemple 1.3.5). H =I, s1 est un sous-groupe de G.Les classes à gauche modulo H sont :H, r1H = r1, s3, r2H = r2, s2.Les classes à droite modulo H sont : H,Hr1 = r1, s2,Hr2 = r2, s3.

Théorème 1.9.4 (Lagrange). Soit G un groupe ni et H un sous-groupe de G. Alors |G| = |H|.[G : H]. Enparticulier, l'ordre de H divise celui de G.

Preuve. Considérons l'ensemble quotient à gauche par H, (G/H)g = x1H, . . . , xkH, où k = [G : H]. Onalors G = ∪k

i=1xiH. Et puisque les classes xiH sont deux à deux disjointes, on a |G| =∑k

i=1 card(xiH). Parailleurs, l'application H → xH, h 7→ xh est une bijection, il en résulte que card(xH) = |H|, pour tout x ∈ G.Par conséquent on a, |G| =

∑ki=1 card(xiH) = k|H|.

Théorème 1.9.5. Soit G un groupe ni, H et K deux sous-groupes de G tels que K ⊂ H. Alors on a la relation[G : K] = [G : H][H : K]

Preuve. On a [G : H] · [H : K] =|G||H|

|H||K|

=|G||K|

= [G : K]

Proposition 1.9.6. Tout groupe d'ordre un nombre premier est cyclique, engendré par n'importe quel élémentdiérent de l'élément neutre.

Preuve. Soit G un groupe d'élément neutre e dont l'ordre est un nombre premier p. Si a 6= e est un élément deG, alors gr〈a〉 6= e, donc |gr〈a〉| 6= 1. Or |gr〈a〉| | |G| = p, donc |gr〈a〉| = p. D'où |gr〈a〉| = G.

Denition 1.9.7. Soit G un groupe, et a ∈ G. On dit que a est d'ordre ni, si gr〈a〉 est ni, dans ce cas là, onappelle ordre de a, noté o(g), l'ordre du groupe gr〈a〉.

Théorème 1.9.8. Soit (G, ·) un groupe d'élément neutre e et a un élément de G. Alors a est d'ordre ni,si et seulement si, il existe n ∈ N∗ tel que xn = e. Alors on a o(a) = Mink ∈ N∗ : ak = e. De plus,gr〈a〉 = e, a, a2, . . . , an−1 où n = o(a).

Preuve. Supposons que a est d'ordre ni, alors l'ensemble an ∈ G : n ∈ N est ni, il existe alors k > m telsque ak = am. Donc ak−m = e. Réciproquement, supposons qu'il existe n ∈ N∗ tel que xn = e. Soit n le pluspetit entier vériant cette propriéts et posons H = e, a, a2, . . . , an−1. Si ak, am ∈ H, alors ak.am = ak+m.Posons k + m = qn + r, où 0 ≤ r < n, alors ak+m = ar. Il en résulte que H est un sous-groupe ni de G, deplus H est engendré par a. Donc a est d'ordre ni.Il est clair que o(a) = Mink ∈ N∗ : ak = e.

Corollaire 1.9.9. Soit G un groupe ni d'ordre n d'élément neutre e. Alors ∀g ∈ G, on a o(g)|n. En particulier,gn = e.

Corollaire 1.9.10. Soit (G, ·) un groupe ni d'ordre n, alors G est cyclique, si et seulement si, G contient unélément d'ordre n.

Preuve. En eet, si G est cyclique, alors G est engendré par un élément d'ordre n. Réciproquement, si Gcontient un élément a d'ordre n, alors |gr〈a〉| = n = |G|, par suite G = gr〈a〉, G est donc cyclique.

Exemples 1.9.11.1 - Dans (Z,+) seul 0 est d'ordre ni.2 - Dans le groupe (C∗,×), les éléments d'ordre ni sont les racines de l'unité. Par exemple o(i) = 4.3 - Soit C2 un groupe cyclique d'ordre 2. Tout groupe isomorphe au groupe G = C2×C2, qui est abélien d'ordre4, est appelé groupe de Klein. Dans un groupe de Klein, tout élément 6= e est d'ordre 2.

Proposition 1.9.12. Soit G un groupe d'élément neutre e et a ∈ G un élément d'ordre n. Alors ∀k ∈ Z, on aak = e ⇔ n | k

Preuve. Résulte du fait que o(a) = Mink ∈ N∗ : ak = e.

Proposition 1.9.13. Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes nis de G, on suppose que |H| et |K| sontpremiers entre eux. Alors H ∩K = e.

8



Preuve. On a |H ∩K| | |H| et |H ∩K| | |K|. Comme |H| et |K|, sont premiers entre eux, on a |H ∩K| = 1.Donc H ∩K = e.

Proposition 1.9.14. Soit G un groupe d'élément neutre e et a ∈ G un élément d'ordre n et m un entier natureldivisant n Alors o(a

nm ) = m.

Preuve. Posons b = anm , alors bm = an = e. Soit k ∈ N∗, tel que bk = e, alors a

knm = e, donc n | kn

m , ce quientraîne que m | k.

9



2 Groupes quotients et Théorèmes d'isomorphisme

2.1 Sous-groupes distingués

Denition 2.1.1. Soit G un groupe, H sous groupe de G. On dit que H est un sous groupe distingué de G(ou normal) et on écrit H C G, si :∀x ∈ G, xH = Hx, ce qui est équivalent à : ∀x ∈ G, xHx−1 ⊂ H.

Exemples 2.1.2.1 - Soit G un groupe. e et G sont deux sous-groupes distingués de G.2 - Soit G un groupe. L'ensemble Z(G) = x ∈ G : gx = xg ∀g ∈ G, est un sous-groupe distingué de G appeléle centre de G.3 - Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.

4 - Dans le groupe S3, l'ensemble N = g〈r〉 = I, r, r2, où r =(

1 2 32 3 1

)est un sous-groupe distingué .

Proposition 2.1.3. L'image réciproque par un morphisme d'un sous-groupe distingué. En particulier, le noyaude tout morphisme est un sous-groupe distingué.

Preuve. Soit f : G → G′ un morphisme de groupes et N ′ un sous-groupe distingué de G′. Posons N =f−1(N ′) = x ∈ G : f(x) ∈ N ′. N est un sous-groupe de G et ∀g ∈ G, x ∈ N , on a f(gxg−1) =f(g)f(x)f(g)−1 ∈ N ′, donc gxg−1 ∈ N .

2.2 Groupe quotient

Remarque 2.2.1. Si N CG, on a xN = Nx, ∀x ∈ G, il en résulte que l'ensemble quotient à gauche et à droitesont égaux, on note alors G/N cet ensemble.

Théorème 2.2.2. Soit (G, ·) un groupe d'élément neutre e et N un sous-groupe distingué de G. alors surl'ensemble quotient G/N , on dénit une loi · tel que x·y = xy, pour tous x, y ∈ G. Muni de cette loi, G/N estun groupe d'élément neutre e et l'application π : G → G/N est un morphisme surjectif de groupes appelé lasurjection canonique de G sur G/N .De plus, si G est abélien, G/N est abélien.

Si G est ni, alors G/N est ni et |G/N | = |G||N |

Preuve. Montrons d'abord que le produit x·y = xy ne dépend pas de x et y mais seulement de leurs classesmodulo N . Soient a, b ∈ G tels que a = x et b = y. Montrons que xy = ab. On a xy(ab)−1 = xyb−1a−1 =xyb−1x−1xa−1. On a y = b. Donc yb−1 ∈ N et comme N C G, on a xyb−1x−1 ∈ N . De même, a = x, doncxa−1 ∈ N . Finalement xyb−1a−1 = xyb−1x−1xa−1 ∈ N . Par conséquent xy = ab. Le produit est donc biendéni.I ∀x, y, z ∈ G, on a (x · y) · z = xy · z = xyz et x · (y · z) = x · yz = xyzD'où (x · y) · z = x · (y · z). La loi quotient sur G/N est donc associative.I Soit e l'élément neutre de G, on a ∀x ∈ G, x · e = xe = x et e · x = ex = x.e est l'élément neutre de G/N .I Soit x ∈ G/N et x′ le symétrique de x dans G. On a x · x′ = xx′ = e et x′ · x = x′x = e Tout élément deG/N est donc symétrisable.En conclusion (G/N, ·) est un groupe I L'application π : G → G/N dénie par π(x) = x, vérie π(xy) = xy =x · y = π(x) · π(y). C'est donc un morphisme de groupe, il est clair que π est surjectif.I Il est aussi clair que si G est abélien, alors G/N est aussi abélien.I Si G est ni, d'après le théorème de Lagrange |G| = |N |[G : N ], or [G : H] = card(G/N), |G/N | = |G|

|N | .

Exemple 2.2.3. Le groupe (Z/nZ,+) est le quotient de (Z,+) par nZ.

2.3 Les théorèmes d'isomorphisme et applications

Théorème 2.3.1. (Décomposition canonique d'une application) Soient E, F deux ensembles, f : E → F uneapplication. R une relation d'équivalence et E/R l'ensemble quotient , et π : E → E/R la surjection canonique.On suppose que

∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f(x) = f(y)

10



Alors il existe une application surjective unique f : E/R → f(F ), telle que f = i f πoù i : f(E) → F, x 7→ x est l'injection canonique.De plus, si f(x) = f(y) ⇒ xRy, alors f est bijective.

Preuve. Supposons que ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f(x) = f(y). Posons f(x) = f(x). Montrons que cette relationdépend uniquement de la classe de x. En eet, si x = y, alors xRy. Par suite, f(x) = f(y). Donc f(x) = f(y).f est bien dénie et on af(x) = f(x) = i fπ(x), ∀x ∈ E.Surjection, si y ∈ f(E), il existe x ∈ E tel que y = f(x) = f(x).Supposons que f(x) = f(y) ⇒ xRy, montrons que f est injective. Soient x, y tels que f(x) = f(y). On a alorsf(x) = f(y). Par hypothèse, on a alors xRy, donc x = y.

Théorème 2.3.2. (Premier théorème d'isomorphisme) Soit f : G → G′ un morphisme de groupes et N unsous-groupe distingué de G tel que N ⊂ Kerf . Alors il existe un morphisme unique f : G/N → Imf tel quef(x) = f(x),∀x ∈ G. De plus, si N = Kerf , alors f est un isomorphisme. On a alors l'isomorphisme

G/Kerf ∼= Imf

Preuve. Soit R la relation d'équivalence modulo N . On a xRy ⇒ xy−1 ∈ N ⇒ f(xy−1) = e′ ⇔ f(x) = f(y).Donc, en utilisant le théorème 2.3.1, il existe une surjection f : G/N → Imf , telle que f = i f π. Par ailleurs,f(xy) = f(xy) = f(x)f(y) = f(x)f(y), f est donc un morphisme de groupes.Supposons que N = Kerf , soit x ∈ Kerf , alors f(x) = f(x) = e′, donc x ∈ Kerf = N , par suite x = e. f estalors injectif. .On interprète ce théorème en disant qu'il existe un unique isomorphisme f : G/N → Imf tel que le diagrammesuivant soit commutatif.

G - G′

6

G/N?

π

f

i

-Imf

f

Exemples 2.3.3.1 - Soit (G,×) le groupe des nombres complexes de module 1 (le cercle complexe de rayon 1). L'applicationφ : (R,+) → G, x 7→ exp(ix), est un morphisme surjectif. Son noyau est égal à 2πZ. Donc on a l'isomorphismeG ∼= R/2πZ.2 - L'ensemble des automorphismes intérieurs, noté Int(G), d'un groupe G est un groupe pour la loi , il estisomorphe à G/Z(G), où Z(G) est le centre de G. (voir les exercices).

Théorème 2.3.4 (Classication des groupes monogènes). Soit G un groupe monogène. S'il est inni, ilest isomorphe à Z. S'il est ni d'ordre n, il est isomorphe à Z/nZ.

Preuve. Soit G un groupe monogène engendré par un élément g. L'homomorphisme φg : Z → G déni par :φg(n) = gn est surjectif. Ker(φg) = nZ. Donc Imφg = G ∼= Z/nZ. Si G est inni, n = 0 et G ∼= Z. Si G est nin 6= 0 et G ∼= Z/nZ.

Théorème 2.3.5. Tout groupe d'ordre un nombre premier p est cyclique, il est alors isomorphe à (Z/pZ,+)

Denition 2.3.6. Soit G un groupe A,B deux parties de G. On note AB = ab ∈ G : a ∈ A, b ∈ B.

Exemple 2.3.7. En général le produit de deux sous-groupes n'est pas un groupe. Comme contre-exemple ona le suivant :Dans le groupe S3, on prend H = I, s1 et K = I, s2. HK = I, s1, s2, r1 alors, d'après le théorème deLagrange, HK n'est pas un sous-groupe de G.

Proposition 2.3.8. Soit G un groupe H,K deux sous-groupes de G. Alors. HK est un sous-groupe, si etseulement si, HK = KH.En particulier, si l'un des sous-groupes est distingué, alors HK est un sous-groupe de G.

11



Preuve. Supposons que HK est un sous-groupe de G. Alors HK = (HK)−1 = K−1H−1 = KH. Réciproque-ment, supposons que HK = KH. Montrons que HK est un sous-groupe de G. On a e = e.e ∈ HK. Soit x = hk,y = ab, h, a ∈ H, k, b ∈ K. Alors xy−1 = hkb−1a−1. On kb−1a−1 ∈ KH = HK, donc xy−1 = hkb−1a−1 ∈ KH.Supposons par exemple que H est distingué, ∀h ∈ H,∀k ∈ K on a hk = kk−1hk ∈ KH, donc HK ⊂ KH, etkh = khk−1k ∈ KH donc KH ⊂ HK.

Théorème 2.3.9. (deuxième théorème d'isomorphisme) Soit G un groupe. H,N deux sous-groupes de G avecN distingué dans G. Alors, HN est un sous-groupe de G et on a :

HN/N ∼= H/H ∩N

En particulier si H et N sont nis alors

|HN | · |H ∩N | = |H||N |

Preuve. On a HN est un sous-groupe de G car N C G. Soit f : H → G/N , x 7→ x, f est un morphismede groupes. On a Kerf = x ∈ H : x ∈ N = H ∩ N . Déterminons Imf , soit y ∈ Imf , il existe x ∈ H telque x = y. Donc x−1y ∈ N , d'où y ∈ HN , Imf ⊂ HN/N . Réciproquement, si y ∈ HN , alors y = xa, oùx ∈ H, a ∈ N , par suite f(x) = x = y.

Exemple 2.3.10. On reprend le groupe S3 (voir exemple 1.3.5), N = I, r1, r2 et H = I, s1. Alors Nest distingué dans S3 et on a NH/N ∼= H/H ∩ N . Or H ∩ N = I. D'où NH/N ∼= H. Par conséquent,|NH| = |N |.|H| = 3.2 = 6. Par suite G = NH.

Théorème 2.3.11 (caractérisation du produit direct). Soit G un groupe, les assertions suivantes sontéquivalentes :1 - G ∼= G1 × . . .×Gn.2 - G contient n sous-groupes distingués H1, . . . Hn tels que :

a - Gi∼= Hi.

b - ∀x ∈ G, ∃(x1, . . . , xn) ∈ H1 × . . .×Hn unique tel que x = x1x2 . . . xn.

Preuve. Posons G ∼= G1×. . .×Gn. Pour tout i, considérons l'application pi : G → G, dénie par pi(x1, . . . , xn) =(y1, . . . , yn), tels que yj = e,∀j 6= i, et yi = xi. On a pi est un endomorphisme de G. Posons Hi = pi(G) =∩j 6=iKerpj , alors Hi est un sous-groupe distingué de G, et pour tout x ∈ G, x = p1(x)p2(x)·pn(x) ∈ H1H2 · · ·Hn.Si y = y1y2 · · · yn, où yi ∈ Hi, alors en appliquant les pi on obtient pi(x) = yi, d'où l'unicité.Réciproquement, supposons les propriétés a) et b). D'abord par unicité on a Hi ∩ Hj = e, ∀i 6= j. Soientx ∈ Hi, y ∈ Hj , on a xyx−1y−1 ∈ Hi et xyx−1y−1 ∈ Hj car Hi,Hj C G. Donc ∀x ∈ Hi, y ∈ Hj , on a xy = yx.Considérons l'applicationf : H1×H2 . . .×Hn → G, f(x1, . . . , xn) = x1x2 · · ·xn, on a f(x1, . . . , xn) · .(y1, . . . , yn)) = f(x1y1, . . . , xnyn) =x1y1 · · ·xnyn = (x1x2 · · ·xn)(y1y2 · · · yn) = f(x1, . . . , xn)f(y1, . . . , yn)), donc f est un morphisme de groupes.f est bijectif, car ∀x ∈ g,∃!(x1, . . . , xn) ∈ H1 ×H2 × . . .×Hn, tel que x1x2 · · ·xn.

Théorème 2.3.12. Soit G un groupe, les assertions suivantes sont équivalentes :1 - G ∼= G1 ×G2.2 - G contient deux sous-groupes distingués H1 et H2 tels que :

a - G1∼= H1 et G2

∼= H2.b - G = H1H2 et H1 ∩H2 = e.

Preuve. La propriété H1 ∩H2 = e est équivalente à l'unicité de l'écriture x = x1x2.

Théorème 2.3.13. (troisième théorème d'isomorphisme) Soit G un groupe, N un sous-groupe distingué de G.Alors les sous-groupes de G/N sont exactement de la forme H/N , où H est un sous-groupe de G contenant N .De plus, H/N est distingué dans G/N , si et seulement, H est distingué dans G. On a alors

G/N

H/N∼= G/H

Preuve. Soit L un sous-groupe de G/N , alors π−1(L) = H est un sous-groupe de G qui contient N , carπ(N) = e ∈ L. On a alors L = H/N . Si L est distingué dans G/N , alors H est distingué dans G.

12



Théorème 2.3.14. Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.Tout groupe quotient d'un groupe cycliqueest cyclique.

Preuve. On a G est cyclique, donc G ∼= Z/nZ. D'après le 3ème théorème d'isomorphisme, tout sous-groupe Lde Z/nZ est de la forme kZ/nZ où nZ ⊂ kZ donc k|n. Il est facile de voir que L est engendré par k et il est

par conséquent cyclique d'ordrek

n. De même, tout groupe quotient de Z/nZ est de la forme

Z/nZkZ/nZ

∼= Z/kZ

est cyclique.

2.4 Application aux espaces vectoriels

Théorème 2.4.1. Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et F un sous-espace de E.1 - Sur le groupe quotient E/F , on dénit une loi externe de la manière suivante : pour tout x ∈ E et α ∈ K,αx = αx. Muni de cette loi, E/F est un espace vectoriel sur K, appelé espace quotient de E par F .

Preuve. Simple vérication des propriétés de la loi externe.

Théorème 2.4.2. Soit E un K-ev.1 - Soit f : E → E′ une application linéaire de E vers un espace E′, alors E/Kerf ∼= Imf .2 - Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E, alors F + G/F ∼= G/F ∩G.3 - Soit F un sev de E. Les sous-espaces E/F sont de la forme H/F , où H est un sous-espace de E qui contientF .

Preuve. On a les isomorphismes de groupes abéliens, on montre que ce sont des ismorphismes d'espacesvectoriels.

Théorème 2.4.3. 1 - Soit E un K-ev de dimension nie et F un sev de E, alors E/F est de dimension nieet dim(E/F ) = dim(E)− dim(F ).2 -Soit f : E → E′ une application linéaire et E est de dimension nie, alors dim(E)−dim(Kerf) = dim(Imf)3 - Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces de dimension nie, alors dim(F + G) = dim(F ) +dim(G)− dim(F ∩G)

Preuve. 1 - Soit G un supplémentaire de F dans E. D'après le deuxième théorème d'isomorphismes, on aE/F = (F + G)/F ∼= G/F ∩G = G. Par conséquent, dim(E/F ) = dim(G) = dim(E)− dim(F ).2 - En utilisant l'isomorphisme E/Kerf ∼= Imf , on a dim(E/Kerf) = dim(E)− dim(Kerf) = dim(Imf).3 - D'après le deuxième théorème des isomorphismes, F +G/F ∼= G/F ∩G. On considère alors les dimensions.

2.5 Le Groupe diédral.

Denition 2.5.1. Un groupe G est dit diédral s'il est engendré par deux éléments a et b tel que o(a) = n,o(b) = 2, o(ab) = 2.

Exemple 2.5.2. Dans GL2(R) on considère les matrices : r =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

), et s =

(1 00 −1

)où θ =

2π

n.

On a rk =(

cos kθ − sin kθsin kθ cos kθ

), rk = I2 ⇔ kθ = 2mπ,m ∈ Z⇔ n | k. Donc o(r) = n.

Par ailleurs on a s2 = I2 et rs =(

cos θ sin θsin θ − cos θ

), d'où (rs)2 = I2. Par conséquent gr〈r, s〉 est bien diédral.

Exemple 2.5.3. Le groupe des isométries d'un triangle équilatéral est un groupe diédral d'ordre 6.

Théorème 2.5.4. Pour tout entier n ∈ N∗, il existe un groupe diédral G engendré par deux éléments a et bveriant les relations : o(a) = n, o(b) = 2 et o(ab) = 2.Le sous-groupe N engendré par a est distingué dans G, et G = NH, où H = e, b. En particulier |G| = 2n.De plus, deux groupes diédraux de même ordre sont isomorphes.On note parfois ∆n le groupe diédral d'ordre 2n.

Preuve. Existence : Nous avons vu que le groupe G = gr〈r, s〉, de l'exemple 2.5.2, est diédral. Soit N = gr〈r〉,alors |N | = o(r) = n. On a srks−1 = s−k, donc N C G. Posons L = N ∪Ns, alors L est un sous-groupe de Gqui contient r et s, donc G = L = N ∪Ns. d'où G = NH en particulier, |G| = |N ||H| = 2n car N ∩H = e.Unicité (à un isomorphisme près) : Soit maintenant G′ un groupe diédral engendré par a et b tels que o(a) = n,

13



o(b) = 2 et o(ab) = 2. Montrons que G ∼= G′. Considérons l'application f : G → G′, dénie par f(rksm) = akbm,k = 0, 1, . . . , n, m = 0, 1. Par calculs directs, on vérie que f est un morphisme de groupes. Montrons que c'estun isomorphisme. Si x = rksm ∈ Kerf , alors rksm = I2, donc rk = s−m, par suite rk ∈ gr〈r〉 ∩ gr〉s〈= I2,d'où k = m = 0. Donc f est injectif. Comme |G| = |G′| = 2n, f est un isomorphisme.

Complément : le groupe des quaternions. Soient les matrices complexes : I = (1 00 1 ) ; J =

(0 1

−1 0

); K =(−i 0

0 i

); L = ( 0 i

i 0 ).

Proposition 2.5.5. On pose Q8 = I,−I, J,−J,K,−K, L,−L, alors Q8 est un sous-groupe de GL2(C), appeléle groupe des quaternions.Q8 est un groupe d'ordre 8 non abélien et non diédral. De plus tout groupe engendré par deux éléments a et btels que o(a) = 4, a2 = b2 et aba = b est isomorphe à Q8

14



3 Opération des groupes

3.1 Dénitions et premières propriétés

Denition 3.1.1. Soit (G, ·) un groupe d'élément neutre e. On appelle opération ou action de G sur unensemble E, la donnée d'une application G× E → E, (g, x) 7→ gx, telle que :1 - e.x = x,2 - et ∀g, h ∈ G,∀x ∈ E, g(hx) = (gh)x.On dit que le groupe G opère sur l'ensemble E.

Exemples 3.1.2. 1 - Soit E un ensemble, G un sous-groupe du groupe des bijections de E. Alors G opère sur E par (f, x) 7→ f(x).2 - Soit G un groupe, l'application (g, x) 7→ gx est une opération de de G sur lui même appelée opération detranslation.3 - Soit G un groupe, alors G opère sur lui-même par (g, x) 7→ gxg−1, dite opération de conjugaison.4 - Soit G un groupe, alors G opère sur l'ensemble S(G) de ses sous-groupes au moyen de l'action (g,H) 7→gHg−1.

Proposition 3.1.3. Soit G un groupe et E un ensemble et φ : G × E → E, (g, x) 7→ gx une application. Onnote B(E) le groupe des bijections de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :(i) φ est une opération de G sur E.(ii) Il existe un morphisme de groupes ρ : G → B(E) tel que ρ(g)(x) = gx,∀g ∈ G, x ∈ E.

Preuve. (i)⇒(ii). Soit φ une opération de G sur E. Pour tout a ∈ G, on dénit l'application ρa : E → E,par ρa(x) = ax, ∀x ∈ E. C'est une bijection de E dont la bijection réciproque est ρa−1 . Considérons alorsl'application ρ : G → B(E), a 7→ ρa. On a ρab(x) = (ab)x = a(bx) = ρa(ρb(x)) = (ρa ρb)(x) ∀x ∈ E. Doncρab = ρa ρb. Ainsi ρ est un morphisme de groupes.(ii)⇒(i). Réciproquement, soit ρ : G → B(E) un morphisme de groupes. Alors l'application φ : G × E → E,dénie par φ(a, x) = ρa(x), est une opération du groupe G sur E.

Denition 3.1.4.1 - Le noyau du morphisme ρ précédent est N = g : gx = x ∀x ∈ E. Il est appelé noyau de l'action. C'est unsous-groupe distingué de G. Une action est dite dèle si son noyau est trivial (= e).2 - Une opération est dite transitive si ∀x, y ∈ E,∃g ∈ G : gx = y.

Exemples 3.1.5.1 - L'opération de translation d'un groupe sur lui-même est à la fois transitive et dèle.2 - L'opération de conjugaison d'un groupe G sur lui-même n'est ni dèle ni transitive. Son noyau est le centreZ(G) de G.

3.2 Orbites et stabilisateurs

Proposition 3.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. La relation R dénie sur E par : xRy ⇔∃g ∈ G : y = gx, est une relation d'équivalence. Ses classes sont appelées Les orbites de l'opération, ellesforment une partition de E.

Denition 3.2.2. On note O(x) l' orbite de x l'ensemble O(x) = gx ∈ E : g ∈ G.Une opération est transitive, si et seulement si, elle E est l'unique orbite pour cette opération.

Denition 3.2.3. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. On appelle stabilisateur, ou xateur, de xl'ensemble Stab(x) = g ∈ G : gx = x. C'est un sous-groupe de G.

Exemples 3.2.4.1 - Soit G un groupe opérant sur lui-même par conjugaison. Le stabilisateur de x ∈ G est Cent(x) = g ∈ G :gx = xg, c'est le centralisateur de x.2 - Soit G un groupe opérant sur S(G) par (g,H) 7→ gHg−1. Le stabilisateur N(H) de H est appelé lenormalisateur de H. C'est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est distingué.

15



Proposition 3.2.5. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E et Stab(x) le stabilisateur d'un élément x deE. Alors il existe une bijection entre l'ensemble quotient à droite (G/Stab(x))d et O(x). En particulier, O(x)est nie, si et seulement si, (G/Stab(x))d est ni et on a alors :

[G : Stab(x)] = cardO(x)

A retenir : Le cardinal de l'orbite est égal à l'indice du stabilisateur.

Preuve. Soit H le stabilisateur de x et f l'application f : G → E, a 7→ ax. L'image de f est O(x). On a∀a, b ∈ G, f(a) = f(b) ⇔ ax = bx ⇔ b−1ax = x ⇔ b−1a ∈ H ⇔ bH = aH. Donc f est constante surles classes à droite modulo H. Par conséquent, il existe une application f : (G/H)d → Ox unique telle quef(a) = f(a) ∀a ∈ G. On vérie que f est bien une bijection.

3.3 Equation aux classes et Applications

Proposition 3.3.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble ni E. Alors il existe x1, x2, . . . , xk ∈ E telsque

cardE =k∑

i=1

[G : Stab(xi)]

Preuve. Puisque les orbites forment une partition de E et que E est ni, on a E = O(x1)∪O(x2)∪ . . .O(xk).Par suite cardE =

∑ki=1 cardO(xi). On applique alors la proposition 3.2.5.

Remarque 3.3.2. L'égalité précédente est appelée équations aux classes. C'est le point de départ de nom-breuses applications de la notion d'opération à l'étude des structures des groupes.

Proposition 3.3.3. Soit G un groupe ni de centre Z(G), alors il existe x1, x2, . . . , xk ∈ G tels que

|G| = |Z(G)|+k∑

i=1

[G : Cent(xi)]

où G 6= Cent(xi) ∀i = 1, . . . , k.

Preuve. On fait opérer G sur lui-même par conjugaison. On a O(x) = x ⇔ ∀y ∈ G y−1xy = x ⇔ x ∈ Z(G),où Z(G) désigne le centre de G. L'ensemble G\Z(G) est stable par l'opération de conjugaison, on applique alorsl'équation aux classes pour l'opération de G sur E = G\Z(G).

3.4 Le théorème de Cauchy

Denition 3.4.1. Soit p un nombre premier. On appelle p-groupe, tout groupe dont l'ordre est une puissancede p.

Théorème 3.4.2. Soit E un ensemble ni et G un un p-groupe opérant sur E. On pose Fix(G) = x ∈ E :σ(x) = x,∀σ ∈ G, alors card(Fix(G) ≡ card(E) (modp)

Preuve. On a E est alors réunion disjointes d'orbites. Toutes les orbites non triviales ont un cardinal divisiblepar p. On a E = Fix(G) ∪ ∪k

i=1Ωi, où les Ωi, sont les orbites non triviales. On a card(E) = card(Fix(G)) +∑ki=1 card(Ωi), le cardinal des Ωi est divisible par p, d'où p | card(E)− card(Fix(G)).

Théorème 3.4.3 (Cauchy). Soit G un groupe ni d'ordre divisible par un nombre premier p. Alors G contientun élément d'ordre p.

Preuve. Soit E = (g1, g2, . . . , gp) ∈ Gp|g1g2 · · · gp = e. Alors card(E) = np−1. L'application σ(g1, g2, . . . , gp) =(g2, . . . , gp, g1) est une permutattion de E. Donc le groupe gr〈σ〉 opère sur E et l'ordre de σ est p. Donc3.4.2, on a p | card(E) − card(Fix(G)). Comme p | np−1, alors p | card(Fix(G)). Or card(Fix(G)) 6= 0, car(e, e, . . . , e) ∈ Fix(G), on a card(Fix(G) ≥ p, il existe alors (g1, g2, . . . , gp) ∈ E tel que σ(g1, g2, . . . , gp) =(g2, . . . , gp, g1) = (g1, g2, . . . , gp). Par conséquent g1 = g2 = . . . = gp, d'où gp

1 = e.

16



Théorème 3.4.4 (Réciproque du théorème de Lagrange pour les groupes abéliens). Soit G un groupeabélien ni et m un entier qui divise l'ordre de G. Alors G contient un sous-groupe d'ordre m.

Preuve. Soit m un entier quelconque divisant n. Si m est premier, on applique ce qui précéde. Sinon, il existeun nombre premier p | m et un sous-groupe H d'ordre p de G. Alors m

p | np = |GH | < n. Donc d'après l'hypothèse

de récurrence, il existe dans GH un sous-groupe K

H d'ordre mp , on a alors |K| = m

Remarque 3.4.5. Le résultat du théorème précédent n'est pas vrai dans le cas général pour un groupe nonabélien, par exemple le groupe altérné A4 est d'ordre 12 mais ne contient pas de sous-groupe d'ordre 6.

3.5 Le théorème de Burnside

Théorème 3.5.1. (Burnside) Le centre d'un p-groupe est non trivial.

Preuve. Pour tout g ∈ G, posons γg, l'automorpphisme intérieur associé à g i.e. γg(x) = gxg−1,∀x ∈ G etG′ = γg : g ∈ G. Alors G′ est un p-groupe de bijections de G. D'après le théorème 3.4.2, p | card(Fix(G′),mais Fix(G′) = x ∈ G : gxg−1 = x = Z(G), donc |Z(G)| ≥ p

Théorème 3.5.2. Soit G un groupe d'ordre pn. Alors pour tout 1 ≤ k ≤ n, G contient un sous-groupe distinguéd'ordre pk.

Preuve. On raisonne par récurrence sur n. Si n = 1, il n'y a rien à démontrer. Supposons la propriété vraiepour les groupes d'ordre pm avec m < n. Soit G un groupe d'ordre pn. D'abord Z(G) est non trivial, donccontient un sous-groupe H d'ordre p qui est distingué dans G (tout sous-groupe de Z(G) est distingué dans G).Le groupe G/H est un groupe d'ordre pn−1. On applique alors l'hypothèse de récurrence à G/H et le troisièmethéorème des isomorphismes.

Proposition 3.5.3. Soit G un groupe tel que G/Z(G) soit cyclique. Alors G est abélien.

Preuve. Supposons que G/Z(G) soit cyclique engendré par x. Soient y, z ∈ G, y = xkg, z = xmh, où g, h ∈Z(G). Alors yz = xkgxmh = xkxmgh = xmxkgh = xmhxkg = zy. G est abélien.

Proposition 3.5.4. Tout groupe d'ordre p2 est abélien. Il est alors ou bien cyclique ou bien isomorphe à unproduit direct de deux groupes cycliques d'ordre p.

Preuve. En eet, Z(G) est non trivial. Donc on a o(Z(G)) = p ou o(Z(G)) = p2. Il en résulte que o(G/Z(G))) =1 ou p. Par suite, G/Z(G) et cyclique. D'où G est abélien.Si G n'est pas cyclique, alors tous les éléments de G diérents de e sont d'ordre p. Soit a 6= e un élement de G.Toujours du fait que G n'est pas cyclique, il existe un élément b /∈ gr〈a〉. On a alors gr〈a〉 ∩ gr〈b〉 = e. D'oùG ∼= gr〈a〉 × gr〈b〉 .

3.6 Le groupe symétrique

Théorème 3.6.1 (Cayley). Tout groupe est isomorphe à un sous-groupe du groupe des bijections d'un en-semble.

Preuve. Soit G un groupe. Pour tout a ∈ G, on dénit ρa : G → G par ρa(x) = ax. Alors ρa est une bijection del'ensemble G. Soit (B(G), ) le groupe des bijections de l'ensemble G, considérons l'application f : G → B(G),dénie par f(a) = ρa. On a f(ab)(x) = ρab(x) = (ab)x = a(bx) = ρa ρb(x), donc f est un morphisme degroupes. De plus, si f(a) = I, alors ax = x, ∀x ∈ G, donc a = e. Par conséquent, f est injectif. D'où G ∼= Imf .G est donc isomorphe à un sous-groupe de B(G).

Proposition 3.6.2. Soit X et Y deux ensembles nis de même cardinal. Alors leurs groupes de bijections sontisomorphes.

Preuve. Soit f : X → Y une bijection. L'application Φ : B(X) → B(Y ), dénie par Φ(σ) = f σ f−1 est unisomorphisme de groupes.

17



On convient de noter Sn le groupe des bijections de l'ensemble 1, 2, . . . , n. On l'appelle le groupe symétriquede degré n. Ses éléments sont appelés les permutations à n éléments. Son ordre est égal à n!.Toute permutation σ ∈ Sn sera notée :

σ =(

1 2 . . . i . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(i) . . . σ(n)

)

Exemple 3.6.3. σ =(

1 2 3 4 5 62 5 6 1 4 3

)∈ S6.

Denition 3.6.4.1 - Soit σ une permutation d'un ensemble ni E. On dénit une relation iRj ⇔ ∃k ∈ N : j = σk(i). Alors Rest une relation d'equivalence. Ses classes d'équivalences sont appelées les orbites suivant σ, ou σ-orbites.Les σ- orbites, sont les orbites de l'opération de gr〈σ〉 sur E. En particulier, si σ est d'ordre ni, le cardinald'une orbite divise l'ordre de σ.Une orbite est dite triviale si elle est réduite à un seul élément. Cet élément est xé par σ.2 - On appelle cycle une permutation possédant une seule orbite non triviale. Cette orbite est alors appelée lesupport du cycle, son cardinal est la longueur du cycle. On dit que σ est un k-cycle où k est sa longueur.On note le cycle de support a1, a2, . . . , ak, c = (a1, a2, . . . , ak), avec c(ai) = ai+1, pour i = 1, . . . , k − 1 etc(ak) = a1. Les autres éléments sont inchangés.3 - On appelle transposition un cycle de longueur 2.

Exemples 3.6.5.

1 - Soit σ =(

1 2 3 4 5 62 5 6 1 4 3

). Alors les orbites de σ sont 1, 2, 5, 4 et 3, 6.

2 -(

1 2 3 4 51 5 2 4 3

), possède les orbites 2, 5, 3 1 et 4. C'est un 3-cycle.

Exemple 3.6.6. S3 est constitué par l'identité I, trois transpositions (12), (13), (2, 3) et deux 3-cycles (123) et (132).

Denition 3.6.7. Deux cycles sont dits disjoints ou indépendants, si leurs supports sont disjoints.

Proposition 3.6.8.1 - L'ordre d'un cycle est égal à sa longueur.2 - Deux cycles disjoints commutent.

Preuve.1 - Soit σ = (a, σ(a), . . . , σk−1(a)) un cycle de longueur k. On a σk(a) = a et σk(σi(a)) = σi(σk(a)) = σi(a).Donc σk = I. Soit maintenant m ∈ N∗ tel que σm = I. En particulier, σm(a) = a, donc m ≥ k.2 - Soient u et v deux cycles disjoints. Montrons que ∀i ∈ 1, 2, . . . , n, on a uv(i) = vu(i).Si i est dans le support de l'un mais pas de l'autre, par exemple , i est dans le support de v, i n'est pas dans lesupport de u, donc v(u(i)) = v(i) = u(v(i)), car v(i) est dans le support de v et n'est donc pas dans le supportde u

Théorème 3.6.9.1 - Toute permutation non identique est la composée de façon unique (à l'ordre des facteurs près) de cycles deuxà deux disjoints.2 - Toute permutation est un produit (non nécessairement unique) de transpositions.

Preuve. 1 - Notons O1, O2, . . . , Ok les orbites non triviales de σ. A chaque orbite Oi est associé un cycle ci. Six ∈ 1, 2, . . . , n, alors x appartient à une orbite unique Oi et on a σ(x) = ci(x) = c1c2 . . . ck(x).2 - Pour chaque cycle on a : (a1 . . . ak) = (a1a2) (a2a3) . . . (ak−1ak). Ce qui permet de décomposer σ entranspositions.

Exemple 3.6.10. Soit σ =(

1 2 3 4 5 6 7 84 5 8 3 6 2 7 1

)∈ S8. Les orbites de σ sont : 1, 4, 3, 8, 2, 5, 6 et

7, on a : σ = (1, 4, 3, 8) (2, 5, 6) = (14) (43) (38) (25) (56).

18



Théorème 3.6.11. Soit σ une permutation d'un ensemble ni E. Alors le cardinal de toute orbite divise l'ordrede σ. De plus l'ordre de σ est égal au PPCM des cardinaux de ses orbites i.e. le PPCM des longueurs des cyclesdisjoints qui la composent.

Preuve. Notons m le PPCM des cardinaux des orbites suivant σ.Si a ∈ E, alors a est dans une orbite Ω. Si i est le cardinal de cette orbite, alors σi(a) = a, par conséquentσm(a) = a.Soit maintenant un entier k tel que σk = I. Montrons que m | k. Soit i le cardinal d'une σ-orbite quelconqueΩ. Posons c le cycle associé à cette orbite. Tout élément a de l'orbite vérie σi(a) = a. Il s'ensuit que ci = I etque i | k. Ce qui implique que m | k. Par suite, o(σ) = m.

Denition 3.6.12. Soit σ ∈ Sn. On appelle signature de σ le nombre ε(σ) = (−1)n−m ∈ −1, 1 où m est lenombre de σ-orbites. Une permutation est dite paire, si sa signature est égal à 1.Une permutation est dite impaire, si sa signature est égal à -1.

Exemples 3.6.13.1 - La signature de l'application identique I est égal à 1.

2 - Soit σ =(

1 2 3 4 5 6 7 84 5 8 3 6 2 7 1

)∈ S8 les orbites de σ sont 1, 4, 3, 8, 2, 5, 6, 7, il y a 3 orbites

donc la signature de σ est (−1)8−3 = (−1)5 = −13 - Si σ = (ij) est une transposition de Sn, le nombre d'orbites est n− 1. Donc ε(σ) = 1

Proposition 3.6.14. Soit σ une permutation de l'ensemble E = 1, 2, . . . , n, τ = (aiaj) une transposition.On note σ′ = τ σ, m le nombre de σ-orbites et m′ celui des σ′-orbites. Alors :- Si ai, aj appartiennent à la même σ-orbite on a : m′ = m + 1.- Si ai, aj appartiennent à deux σ-orbites diérentes, on a m′ = m− 1.

Preuve.I Supposons que ai, aj appartiennent à la même σ-orbite. Soit c = (a1a2 . . . ai . . . aj . . . ak) le cycle composantσ qui contient ai et aj . On a τσ = (a1a2 . . . ai−1ajaj+1 . . . ak)(aiai+1 . . . aj−1). Seule l'orbite de c s'est scindéeen deux. Donc le nombre d'orbites de τσ est m + 1.I Supposons que ai et aj appartiennent à deux orbites diérentes. Posons c1 = (a1 . . . ai . . . ak) le cycle contenantai et c2 = (b1 . . . bj . . . bm) où bj = aj . On a τc1c2 = (b1b2 . . . bj−1aiai+1 . . . aka1 . . . ai−1bj . . . bm). Les deuxorbites se sont fusionnées pour donner une seule orbite. Donc le nombre d'orbites est m− 1.

Théorème 3.6.15. L'application signature ε : (Sn, ) → (−1, 1,×) est un morphisme surjectif de groupesqui vérie ε(τ) = −1, pour toute transposition τ . En particulier, si σ est le produit de k transpositions, alorsε(σ) = (−1)k.Le noyau de ε est le sous-groupe distingué An, des permutations dites paires. An est appelé le groupe alterné

de degré n. Son ordre est égal àn!2.

Preuve. On a pour tout σ ∈ Sn et toute transposition τ , ε(τσ) = −ε(σ). Pour σ ∈ Sn, posons Hσ = ρ ∈Sn|ε(ρσ) = ε(ρ)ε(σ). Si ρ ∈ Hσ, alors pour toute transposition τ , τρ ∈ Hσ. Par conséquent Hσ est un sous-groupe de Sn qui contient toutes les transpositions. Donc Hσ = Sn. D'où ∀ρ, σ ∈ Sn, ε(ρσ) = ε(ρ)ε(σ)Soit An, le noyau de ε. D'après le premier théorème des isomorphismes, on a Sn/Kerε ∼= −1, 1, donc [Sn :

An] = 2. Ce qui entraîne |Sn|/|An| = 2. Il en résulte que |An| =n!2.

Exemples 3.6.16.1 - Dans l'exemple 3.6.10, on a σ est un produit de 5 transpositions. Donc ε(σ) = (−1)5 = −1, c'est unepermutation impaire. 2 - La signature d'un k-cycle est égale à (−1)k−1.3 - On a A4 = I, (123), (132), (124), (142), (234), (243), (134), (143), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Denition 3.6.17. Soit σ ∈ Sn. On appelle inversion de σ tout couple (i, j) tel que i < j et σ(i) > σ(j). Onnote Inv(σ) le nombre d'inversions de σ.

Exemple 3.6.18. Soit σ =(

1 2 3 4 5 6 7 84 5 8 3 6 2 7 1

)∈ S8, alors les inversions de σ sont (1, 4), (1, 6), (1, 8),

(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 6), (4, 8), (5, 6), (5, 8), (6, 8), (7, 8). Donc Inv(σ) = 17.

19



Exemple 3.6.19. Si τ = (i j) est une transposition, alors Inv(τ) = 2(j − i)− 1.

Théorème 3.6.20. Soit σ ∈ Sn, alors

ε(σ) =∏

1≤i<j≤n

σ(j)− σ(i)j − i

= (−1)Inv(σ)

3.7 Complément : Classes de conjugaison dans Sn

Denition 3.7.1.1 - Deux permutations σ et σ′ dans Sn, sont dites conjuguées dans Sn, s'il existe ρ ∈ Sn telle que σ′ = ρσρ−1.2 - On appelle type de la permutation σ ∈ Sn, un s-uplet (k1, k2, . . . , ks), où k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ ks, les ki étant leslongueurs des orbites de σ.

Exemples 3.7.2.1 - Si c est le cycle (a1 . . . ak), on a ρcρ−1 = (ρ(a1) . . . ρ(ak)).2 - La permutation de l'exemple 3.6.10 est de type (4, 3, 1).

Théorème 3.7.3. Deux permutations sont conjuguées, si et seulement si, elles sont du même type.De plus, il y a autant de classes de conjugaison dans Sn que de suites d'entiers (k1, k2, . . . , ks), vériant lesinégalités k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ ks, et k1 + k2 + . . . + ks = n

Exemple 3.7.4.Dans S4, les classes de conjugaison sont representées par : 4, (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1), qui sont respecti-vement les classes de (1234), (123)(4), (12)(34), (12)(3)(4), I.

20



4 Anneaux et Corps

4.1 Anneaux

Denition 4.1.1. Un anneau est la donnée d'un triplet (A,+, ·) constitué d'un ensemble A muni de deux lois :une addition + et une multiplication · telles que :- (A,+) soit un groupe abélien d'élément neutre noté 0.- (A, ·) est un monoïde d'élément neutre noté 1 appelé unité de A .- La multiplication est distributive par rapport à l'addition, i.e. ∀x, y, z ∈ A on a : x(y + z) = xy + xz et(y + z)x = yz + zx.

L'anneau est dit commutatif quand sa multiplication est commutative.

Exemples 4.1.2.1 - (Z,+, ·) est un anneau.2 - (Q,+, ·), (R,+, ·),(C,+, ·) sont des anneaux commutatifs.3 - (Z/nZ,+, ·) est un anneau commutatif ni.4 - Soit A un anneau quelconque. On note Mn(A), l'ensemble des matrices carrées (aij), i = 1, . . . n et j =1, . . . n, à coecients dans A. On munit Mn(A) des lois +, et . dénies par :(aij) + (bij) = (aij + bij) et (aij).(bij) = (cij) tel que cij =

∑nk=1 aikbkj

On a alors (Mn(A),+, ·) est un anneau non commutatif pour n ≥ 2.5 - (Anneau fonctionnel) : Soit I un ensemble et A un anneau. On note F(I,A), l'ensemble des applications deI dans A que l'on munit des lois + et . par : ∀f, g ∈ F(I, A), ∀i ∈ I (f + g)(i) = f(i) + g(i) et fg(i) = f(i)g(i).(F(I,A),+, ·) est un anneau.

Proposition 4.1.3. Soit A un anneau.1 - ∀a ∈ A, a.0 = 0.a = 0.2 - Si a ∈ A on note −a l'opposé (pour la loi +) de a. On a : (−a) · b = a.(−b) = −ab et (−a) · (−b) = ab.3 - Si ab = ba, alors :

(a + b)n =n∑

k=0

Cknakbn−k, Ck

n =n!

k!(n− k)!

an − 1 = (a− 1)n−1∑k=0

ak

4.2 Eléments réguliers, éléments inversibles

Denition 4.2.1. Soit A un anneau d'unité 1. Un élément a 6= 0 de A est dit diviseur de zéro à gauche (resp.à droite), s'il existe b 6= 0 tel que ab = 0 (resp. ba = 0).

Proposition 4.2.2. Soit A un anneau a 6= 0 un élément de A. Alors n'est pas un diviseur de zéro à gauche(resp. à droite), si et seulement si, a est régulier à gauche (resp. à droite) dans le monoïde (A, ·).

Preuve. Supposons que a est un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite). Il existe b 6= 0 dans A tel queab = a.0 = 0. (resp. ba = 0a = 0)Donc a n'est pas régulier à gauche(resp à droite).Réciproquement, si a n'est pas régulier à gauche (resp. à droite), il existe b 6= b′ ∈ A, tels que ab = ab′,(respba = b′a). D'où en posant c = b − b′ 6= 0, on a ac = 0 (resp. ca = 0). Donc a est un diviseur de zéro àgauche (resp. à droite).

Denition 4.2.3. Un anneau A est dit intégre s'il est commutatif, A 6= 0 et ∀x, y ∈ A, xy = 0 ⇒ x =0 ou y = 0.C'est donc un anneau commutatif sans diviseurs de zero.

Exemple 4.2.4. les anneaux Z, Q, R et C sont des anneaux intègres

Denition 4.2.5. Soit A un anneau d'unité 1. Un élément a ∈ A est dit inversible à gauche (resp. à droite)s'il est inversible à gauche (resp. à droite) dans le monoïde (A, ·). L'ensemble des éléments inversibles de A estnoté U(A) c'est un groupe pour la multiplication.

21



Exemples 4.2.6.1 - U(Z) = −1, 1.2 - Soit n ∈ N∗, Un = U(Z/n.Z)) = k : k ∧ n = 1

Proposition 4.2.7. Soit A un anneau alors, tout élément inversible à gauche (resp. à droite) est régulier àgauche (resp. à droite).

Preuve. Supposons que a est inversible à gauche, il existe a′ ∈ A tel que a′a = 1. Montrons que a n'est pas undiviseur de zéro à gauche. Soit x ∈ A tel que ax = 0, alors on a a′(ax) = 0. Donc (a′a)x = x = 0.Même preuve si a est inversible à droite.

4.3 Sous-anneaux et morphismes d'anneaux

Denition 4.3.1. Soit A anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous anneau lorsque B 6= ∅, Best stable par les lois de A et (B,+, ·) est un anneau d'élément neutre 1A.

Proposition 4.3.2. Soit A un anneau, B ⊂ A. Alors B est un sous-anneau de A, si et seulement si, 1A ∈ B,∀x, y ∈ B on a : x− y ∈ B et xy ∈ B.

Exemples 4.3.3. 1 - Z est un sous-anneau de R.2 - Soit I un intervalle de R, on note A = F(I,R), l'anneau des fonctions I → R. Alors l'ensemble des fonctionscontinues et l'ensemble des fonctions dérivables sur I sont des sous-anneaux dec A.2 - 0, 2, 4 ⊂ Z/6.Z est stable par par les lois de Z/6.Z. De plus c'est un anneau d'unité 4 pour ces lois, maisce n'est pas un sous-anneau de Z/6.Z au sens de la dénition adoptée dans ce cours.

Denition 4.3.4. Soient A et B deux anneaux. Un morphisme d'anneaux de A dans B est une application fde A dans B telle que, ∀x, y ∈ A on a :1 - f(x + y) = f(x) + f(y).2 - f(xy) = f(x)f(y).3 - f(1A) = 1B .

Exemples 4.3.5. 1 - Si B est un sous-anneau de A, l'inclusion i : B → A est morphisme d'anneaux, dite injection canonique deB dans A.2 - Soit A un anneau. L'application Z→ A ; n 7→ n1A est un morphisme d'anneaux.

Denition 4.3.6. f : A → B est un morphisme d'anneaux, on appelle noyau de f l'ensemble Kerf = x ∈ A :f(x) = 0B. L'image de f est l'ensemble Imf = f(A).- Imf est un sous-anneau de B.- On a : f est injectif ⇔ Kerf = 0A.

4.4 Idéaux d'un anneau

Denition 4.4.1. Soit A un anneau. On appelle idéal à gauche (resp. à droite) de A, un sous-ensemble nonvide I de A qui est un sous-groupe de (A,+) et tel que ∀a ∈ A, ∀x ∈ I on a : ax ∈ I (resp. xa ∈ I).Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite.On utilise parfois les notations I Cg A, I Cd A et I C A respectivement pour idéal à gauche, idéal à droite etidéal bilatère.Lorsque A est commutatif, il n'y a pas de distinction entre idéal à gauche et idéal à droite. On dit simplementque I est un idéal.

Proposition 4.4.2. Soit A un anneau , I ⊂ A est un idéal à gauche (resp. à droite) de A si et seulement si,0 ∈ I, ∀a ∈ A,∀x, y ∈ I on a : x + y ∈ I et ax ∈ I (resp. xa ∈ I).

Exemples 4.4.3.1 - 0 et A sont des idéaux bilatères dits idéaux triviaux de A.2 - Les idéaux de Z sont de la forme nZ.

22



Proposition 4.4.4. Soit f : A → B un morphisme d'anneaux et J un idéal à gauche (resp. à droite) de B.Alors f−1(J) est un idéal à gauche (resp. à droite de A). En particulier le noyau de tout morphisme est un idéalbilatère de A.Preuve. On a f−1(J) est un sous-groupe de (A,+). Soit a ∈ A et x inf−1(J).Si J Cg B, on a f(ax) = f(a)f(x) ∈ J , donc ax ∈ f−1(J), donc f−1(J) Cg A.Si J Cd B, on a f(xa) = f(x)f(a) ∈ J , donc xa ∈ f−1(J), donc f−1(J) Cd A.En particulier, en prenant J = 0, on obtient Ker(f) C A.

Proposition 4.4.5. Soit A un anneau commutatif, alors :1 - L'intersection d'une famille quelconque d'idéaux à gauche (resp. à droite) de A est un idéal à gauche (resp.à droite) de A.2 - La somme de deux idéaux à gauche (resp. à droite) I et J est l'ensemble I + J = x + y : x ∈ I, y ∈ J.Alors I + J est un idéal à gauche (resp. à droite) de A.Preuve. Evidente.

Proposition 4.4.6. Soit A un anneau et u ∈ A, l'ensemble Au = au ∈ A : a ∈ A, (resp uA = ua ∈ A : a ∈A) est un idéal à gauche (resp. à droite) de A appelé idéal principal à gauche (resp. à droite) engendré par u.Si A est commutatif, c'est un idéal bilatère noté très souvent (u).Preuve. On a 0 ∈ Au. Soient x, y ∈ Au, il existe a, a′ ∈ A tels que x = au et y = a′u, on a x+y = (a+a′)u ∈ Au.Soit b ∈ A et x = au ∈ Au, bx = b(au) = (ba)u ∈ Au.En conclusion, Au est un idéal à gauche de A.De façon analogue, on montre que uA est un idéal à droite de A.

4.5 Anneau quotient et théorèmes d'isomorphismes

Théorème 4.5.1. Soit A un anneau, I un idéal bilatère de A. Le groupe quotient A/I des classes modulo Ipeut être muni d'une structure d'anneau par x.y = xy, appelé anneau quotient de A par l'idéal bilatère I. Deplus, la surjection canonique π : A → A/I, est un morphisme d'anneaux.Théorème 4.5.2. (Décomposition canonique d'un morphisme d'anneaux) Soient A, B deux anneaux , f : A →B et I un idéal bilatère de A tel que I ⊂ Kerf . Alors il existe un morphisme f : A/I → B unique telle quef = f π.On interprète ce théorème en disant qu'il existe un unique homomorphisme f : A/I → B tel que le diagrammesuivant soit commutatif.

A - B

6

A/I

@@

@@R

π

f

f

Théorème 4.5.3. (premier théorème d'isomorphisme) Soient A, B deux anneaux, f : A → B un morphismed'anneaux. Alors Kerf est un idéal bilatère de A et A/Kerf ∼= Imf .Exemple 4.5.4. Soit A un anneau. On considère le morphisme φ : Z→ A déni par : φ(n) = n1A. Ker(φ) = nZ.Donc Imφ ∼= Z/nZ.Théorème 4.5.5. (deuxième théorème d'isomorphisme) Soit A un anneau. I un idéal bilatère de A et B unsous-anneau de A. Alors B + I est un sous-anneau de A et on a :

B + I/I ∼= B/I ∩B

Théorème 4.5.6. (troisième théorème d'isomorphisme) Soit A un anneau, I un idéal bilatère de A. Alors lesidéaux à gauche de A/I sont exactement de la forme J/I, où J est un idéal à gauche de A contenant I. Deplus, J/I est un idéal bilatère de A/I, si et seulement si, J est un idéal bilatère de A on a alors

A/I

J/I∼= A/J

23



4.6 Notion de Corps.

Denition 4.6.1. Un corps est un anneau (K, +, ·) tel que K 6= 0 et dans lequel tout élément non nul estinversible (i.e. (K∗, ·) est un groupe).

Remarque 4.6.2. Un corps ne possède pas de diviseurs de zéro.

Exemples 4.6.3. 1 - Q, R etC, sont des corps pour leurs opérations usuelles + et ×.2 - L'ensemble R(X) des fractions rationnelles est un corps commutatif.3 - On pose H = ( u v

−v u ) ∈ M2(C) est un corps non commutatif pour la multiplication et l'addition desmatrices, appelé corps des quaternion, découvert par le mathématicien Hamilton.

Proposition 4.6.4. Soit A un anneau et I un idéal à gauche de A. Si I contient un élément inversible àgauche, alors I = A.

Preuve. Soit a ∈ I inversible à gauche. Il existe b ∈ A tel que ba = 1. On a alors ∀x ∈ A, x = x1 = x(ba) =(xb)a ∈ I. Donc I = A.

Proposition 4.6.5. Soit A un anneau 6= 0, alors A est un corps, si et seulement si, les seuls idéaux à gauchede A sont 0 et A.

Preuve. Soit A un corps et 0 6= I Cg A. Si 0 6= a ∈ I, alors puisque A est un corps, a est inversible. D'oùd'après la proposition précédente, I = A.Réciproquerment, supposons que les seuls idéaux à gauche de A sont 0 et A. Soit u ∈ A non nul, alors Au estun idéal à gauche non nul de A. Par hypothèse, Au = A par conséquent, 1 ∈ Au, il existe v ∈ A tel que vu = 1.De même Av = A, donc wv = 1 pour un certain w ∈ A. On a alors w = w(vu) = (wv)u = u. D'où uv = vu = 1,u est inversible.

Corollaire 4.6.6. Tout morphisme non trivial d'un corps dans un anneau est injectif.

Denition 4.6.7. Soit (K, +, ·) un corps. Un sous-corps est un sous-ensemble non vide F stable par les lois deK et qui est un corps pour les lois induites.

Proposition 4.6.8. Soit K un corps. F est un sous-corps de K, si et seulement si, 0, 1 ∈ F , et ∀x, y ∈ F ,x− y ∈ F et pour y 6= 0, xy−1 ∈ F .

Exemples 4.6.9.1 - Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C.2 - Q[

√2] = a + b

√2 ∈ R : a, b ∈ Q est un sous-corps de R.

Denition 4.6.10. Soit A un anneau commutatif. Un idéal I de A est dit maximal si I 6= A et pour tout idéalJ de A tel que I ⊂ J on a J = A ou J = I.

Exemple 4.6.11. Les idéaux maximaux de Z sont de la forme pZ, où p est un nombre premier.

Théorème 4.6.12 (Krull). Soit A un anneau commutatif. Alors tout idéal I 6= A est contenu dans un idéalmaximal.

Pour la démonstration on utilise le Lemme de Zorn.

Théorème 4.6.13. Soit A un anneau commutatif. Un idéal I de A. Alors A/I est un corps, si et seulementsi, I est un idéal maximal de A.En particulier, (Z/nZ,+, ·) est un corps si et seulement si , n est un nombre premier.

Preuve. D'après le troisième théorème d'isomorphismes, les idéaux de A/I sont de la forme J/I, où J est unidéal de A contenant I. Il vient donc que A/I est un corps, si et seulement si, pour tout idéal J contenant I,J/I = 0 ou J/I = A/I, si et seulement si, J = I ou J = A. Ce qui est équivalent à I maximal.

Théorème 4.6.14 (Fermat). Soit p un nombre premier, alors ∀a ∈ Z, on a : p|ap − a.

24



4.7 Corps de fractions d'un anneau intègre

Denition 4.7.1. Soit A un anneau intègre. On appelle corps de fractions de A, tout corps K tel qu'il existeun morphisme injectif i : A → K vériant ∀x ∈ K, ∃a, b ∈ A : b 6= 0 et x = i(a)i(b)−1

Théorème 4.7.2. Tout anneau intègre A possède un corps de fractions unique à un isomorphisme près.

Construction. On considère l'ensemble A×A∗ sur lequel on dénit une relation ∼ par (x, y) ∼ (z, t) ⇔ xt = yz.On montre que ∼ est une relation d'équvalence. On note K l'ensemble quotient, ses éléments, qui sont les classesmodulo ∼, sont notés x/y.

Sur K, on dénit les lois + et · par :

x/y + z/t = (xt + yz)/yt et x/y · z/t = xz/yt.

Ces opérations sont bien dénies (ne dépendent pas des représentants des classes), (K, +, ·) est un corps com-mutatif et l'application i : A → K dénie par i(x) = x/1 est un morphisme injectif d'anneaux qui vérie lesconditions du théorème précédent.

Exemples 4.7.3.1 - Q est le corps de fractions de Z.2 - Si R(X) le corps des fractions rationnelles sur R est le corps de fractions de R[X].

4.8 Anneau produit et Théorème des restes chinois

Théorème 4.8.1. (et Dénition) Soit A1, A2, . . . , An une famille nie d'anneaux.Sur le groupe produit A = A1 × . . . An, on dénit une multiplication par :∀(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ A(x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn).Alors (A,+, ·) est un anneau appelé produit de la famille A1, A2, . . . , An.

Preuve. Simple vérication des propriétes de la loi multipliative.

Denition 4.8.2. Soit A un anneau. Deux idéaux bilatères I et J sont dits comaximaux ou étrangers, siI + J = A.

Exemple 4.8.3. Si m et n sont deux entiers premiers entre eux, alors les idéaux nZ et mZ sont comaximaux.

Théorème 4.8.4 (Théorèmes des restes chinois). Soit A un anneau, I1, I2, . . . , In des idéaux bilatères deuxà deux comaximaux on considère l'application :

φ : A → A/I1 × . . .×A/In

x 7→ (π1(x), . . . , πn(x))

où πk : A → A/Ik, est la surjection canonique. Alors φ est un morphisme surjectif d'anneaux et Kerφ =⋂n

k=1 Ik

Preuve. Il est évident que φ est un morphisme d'anneaux dont le noyau est ∩nk=1Ik. Montrons qu'il est surjectif.

Pour tout k = 1, . . . , n, posons Jk = ∩ni=1, i 6=kIi. Montrons que Ik + Jk = A. Puisque les Ii sont deux à

deux comaximaux, alors pour i = 1, . . . , n, i 6= k, il existe (ai, bi) ∈ Ik × Ii, tels que ai + bi = 1. Posonsvk = b1 . . . bk−1 · bk+1 . . . · bn, on a vk ∈ Jk et vk = (1 − a1) . . . (1 − ak−1)(1 − ak+1) . . . (1 − an) = 1 − uk, oùuk ∈ Ik. Il en résulte que uk + vk = 1. Donc A = Ik + Jk.Soit maintenant (y1, y2 . . . , yn) ∈ An. Posons x =

∑nk=1 ykvk. On a πi(x) =

∑nk=1 πi(yk)πi(vk).

Si k 6= i, on a vk ∈ Jk ⊂ Ii, donc πi(vk) = 0 mod Ii. Il en résulte que πi(x) =∑n

k=1 πi(yk)πi(vk) = πi(yi)πi(vi) =πi(yi)πi(1− ui) = yi mod Ii. Finalement. φ(x) = (π1(y1), π2(y2) . . . , πn(yn)). Donc φ est surjectif.

Exemple 4.8.5. Si n1, . . . , ns sont des entiers premiers entre-eux deux à deux et n = n1n2 . . . ns, alors :

Z/nZ ∼=s∏

i=1

Z/niZ

25



Théorème 4.8.6. Soient m1,m2, . . . ,ms des entiers premiers entre eux deux à deux, a1, a2, . . . , as des entiersquelconques. Alors il existe au moins un entier x tel que x ≡ ai mod mi, ∀i = 1, . . . , s.De plus si x0 est une solution, alors ∀x ∈ Z, x est solution, si et seulement si, m | x−x0, où m = m1m2 . . .ms.

Exemple 4.8.7. Déterminons les entiers dont le reste de la division euclidienne par 7 est 4 et le reste de la DEpar 11 est 2.Notons x un tel entier. Alors x ≡ 4 (mod 7) et x ≡ 2 (mod 11). Comme 7 et 11 sont premiers entre eux, unesolution existe d'après le théorème chinois.

On a x = 7α + 4 ≡ 2 (mod 11). Donc 7α ≡ −2 ≡ 9 (mod 11). Or 7 est inversible modulo 11, son inverse est 8.Car 7 · 8 = 56 = 1 (mod 11). Donc α ≡ 8 · 9 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11). En conclusion, x = 7(6 + 11λ) + 4 = 77λ + 46.Le plus petit entier naturel solution est donc 46.

Remarque 4.8.8. Dans le théorème chinois, l'inverse de m1 modulo m2 peut être déterminé en utilisantl'algorithme d'Euclide.

4.9 Algèbres

Denition 4.9.1. Soit K un corps commutatif. On appelle K-algèbre ou algèbre sur K, la donnée d'un anneau(A,+, ·) tel que (A,+) soit un K-espace vectoriel et pour tous x, y ∈ A, λ ∈ K on a : λ(xy) = x(λ)y = (λx)y.On a : Un anneau A est une K-algèbre, si et seulement si, A contient un corps isomorphe à K.Une K-algèbre A est dite commutative si l'anneau sous-jacent est commutatif.Une algèbre A est dite de dimension nie, si l'espace-vectoriel sous-jacent est de dimension nie.

Exemples 4.9.2.1 - l'ensemble des polynômes K[X] est une K-algèbre commutative qui n'est pas de dimension nie.2 - Soit V un K-espace vectoriel. L'anneau des endomorphismes de V , noté LK(V ), est une K-algèbre. Si V estde dimension nie, alors LK(V ) est de dimension nie et dimLK(V ) = n2. De plus, si dimV > 1, cette algèbren'est pas commutative.

Denition 4.9.3. Soit A une K-algèbre. Une sous-algèbre de A est un sous-ensemble de A qui est à la fois unsous-anneau et un sous-espace vectoriel.Un morphisme de K-algèbres est un morphisme d'anneaux et d'espaces vectoriels.

Denition 4.9.4. Soit A une K-algèbre commutative. Un idéal de A est un sous-ensemble de A qui est à lafois un idéal de l'anneau et un sous-espace vectoriel.L'ensemble I = Au = au : a ∈ A est un idéal de A appelé idéal principal engendré par u, on le note (u).

4.10 Complément : Caractéristique d'un anneau.

Denition 4.10.1. Soit A un anneau. On considère le morphisme φ : Z → A déni par : φ(n) = n1A.Ker(φ) = nZ. Donc Imφ ∼= Z/nZ. L'entier n est appelé la caractéristique de A. On le note car(A).Ainsi la caractéristique de A le plus petit entier non nul n tel que n · 1 = 0. Si un tel entier n'existe pas (i.e. sin · 1 6= 0,∀n ∈ N∗), on dit que A est de caractéristique nulle.

Exemples 4.10.2. 1 - Z est de caractéristique nulle.2 - L'anneau (Z/nZ,+, ·) des classes d'équivalences modulo n est de caractéristique n.

Proposition 4.10.3. Soit A sous-anneau :- Si car(A) = 0 alors A contient un sous-anneau isomorphe à Z.- Si car(A) = n 6= 0 alors A contient un sous-anneau isomorphe à Z/nZ.

Preuve. Soit l'application φ : Z → A, dénie par φ(k) = k.1A. Alors φ est un morphisme d'anneaux. D'aprèsle premier théorème des isomorphismes des anneaux, on a Z/Kerφ ∼= Imφ. Or Kerφ est un idéal de Z, doncKerφ = nZ, où n = mink ∈ N∗ : φ(k) = 0 = car(A). D'où Z/nZ ∼= Imφ qui est un sous-anneau de A.

Proposition 4.10.4. (i) Si A est un sous-anneau de B alors A et B ont la même caractéristique.(ii) Si A est un anneau ni, alors sa caractéristique est non nulle.

26



Preuve. L'assertion (i) est évidente. Pour (ii), puisque A est ni, il ne contient pas de sous-anneau isomorpheà Z. Donc, d'après la proposition 4.10.3, car(A) est non nulle.

Remarque 4.10.5. Si car(A) est nie, cela n'implique pas que A est ni. Par exemple, l'anneau des polynômesZnZ

[X], est inni de caractéristique n.

Proposition 4.10.6. la caractéristique d'un anneau intègre est nulle ou un nombre premier.

Preuve. Soit A un anneau intègre de caractéristique non nulle n, alors A contient un sous-anneau isomorpheà Z/nZ. On a alors Z/nZ intègre, par suite n est un nombre premier.

27



5 Anneaux de polynômes

5.1 Anneau de polynômes à coecients dans un anneau.

Théorème 5.1.1. Soit A un anneau commutatif. Alors il existe un anneau noté A[X], contenant A commesous-anneau et un élément X appelé indéterminée, tels que tout élément P de A[X] s'écrit de manière uniquesous la forme : P =

∑k∈N akXk, où les ak sont nuls sauf un nombre ni.

(A[X],+, ·) est appelé anneau des polynômes à une indéterminée X à coecients dans A.

Preuve. (Esquisse de la construction).Soit A un anneau commutatif et B l'ensemble des suites P = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .) d'éléments de A qui s'an-nullent à partir d'un certain rang.Sur B on dénit les lois :Pour tous P = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .), Q = (b0, b1, . . . , bm, 0, 0, . . .).• Une addition "+" : P + Q = R = (c0, c1, . . . , cq, 0, 0, . . .) avec ci = ai + bi.• Une multiplication ” · ” PQ = S = (d0, d1, . . . . . .) avec dn =

∑nk=0 akbn−k.

De plus, on munit B d'une loi externe : pour tout α in A, on pose αP = (αa0, αa1, . . . , αan, 0, 0 . . . ).

Alors (B,+, ·) est un anneau et si on pose X = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .), on a Xk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), où 1 est dansla position k + 1 et les autres coecients sont nuls. Alors tout élément non nul P ∈ B s'écrit d'une manièreunique sous la forme P =

∑k∈N Xk.

Denition 5.1.2. Soit P =∑

k∈N Xk. On appelle degré par rapport à X, l'entier degP = maxk ∈ N : ak 6= 0.Par convention, deg 0 = +∞.

Exemple 5.1.3. 2X3 + 2X4 + 1 + X ∈ Z[X] est un polynôme de degré 4.

Théorème 5.1.4. La fonction degré vérie les propriétés suivantes :1 - deg(P + Q) ≤ max(degP,degQ).2 - degPQ ≤ degP + degQ avec égalité lorsque l'anneau A est intègre.3 - Si A est intègre, alors A[X] est intègre et U(A[X]) = U(A).

Théorème 5.1.5. (Division euclidienne).Soient A un anneau commutatif. A,B ∈ A[X] tels que le coecient du plus haut degré B soit inversible. Alorsil existe Q,R ∈ A[X] uniques tels que A = BQ + R et degR < degB.

5.2 Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées

Denition 5.2.1. Soit A un anneau commutatif. L'anneau A[X1, . . . , Xn] des polynômes à n indéterminées àcoecients dans A est déni de manière récursive, A[X1, . . . , Xn] = A[X1, . . . , Xn−1][Xn]On a alors A[X1, . . . , Xn] ∼= A[X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xn][Xi],∀i = 1, . . . , n.Par exemple A[X, Y ] ∼= A[X][Y ] ∼= A[Y ][X].

Denition 5.2.2. Un monôme de P ∈ A[X1, . . . , Xn] est un produit de la forme Xi11 Xi2

2 . . . Xinn . L'entier

i1 + i2 + . . . + in s'appelle degré total du monôme.

Exemple 5.2.3.Les monômes de A[X, Y ], sont de la forme XiY j . Par exemple X3Y 4 est un monôme de degré 7.

Tout polynôme P ∈ A[X1, . . . , Xn] s'écrit de manière unique sous la forme d'une combinaison nie de monômes.

P =∑

(i1,i2,...,in)∈Nn

ai1i2...inXi11 Xi2

2 . . . Xinn

où les ai1i2...in∈ A sont nuls sauf un nombre ni.

Exemple 5.2.4. Les polynômes de A[X, Y ] s'écrivent sous la forme P =∑n

i=0

∑mj=0 ai,jX

iY j . Par exemple,le polynôme 2X + 3XY 2 − 5X4Y 3 + Y 7 ∈ Z[X, Y ].

28



Denition 5.2.5. Soit P ∈ A[X1, . . . , Xn]. On appelle degré partiel relatif à Xi, noté degXi(P ), le degré de P

en tant qu'élément de A[X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . Xn][Xi].On appelle degré total de P , noté deg(P ), le degré total d'un monôme du plus haut degré.

Exemple 5.2.6. Soit P = 2X + 3XY 2 − 5X4Y 3 + Y 7 ∈ Z[X, Y ]. Alors degXP = 4, degY P = 7, degP = 7.

Remarque 5.2.7. Le degré partiel est le degré total vérient les propriétés citées dans le théorème 5.1.4. Enparticulier, si A est intègre A[X1, . . . , Xn] est intègre.


(i1,i2,...,in)∈Nn ai1i2...inXi11 Xi2

2 . . . Xinn . On appelle fonction polynôme associée à ,

l'application :P : An → A, dénie par P (x1, . . . , xn) =∑

(i1,i2,...,in)∈Nn ai1i2...inxi1

1 xi22 . . . xin

n .

En général on note P par P .

Proposition 5.2.9. Soit K un corps commutatif et P ∈ K[X1, . . . , Xn] et α ∈ K. Alors : Xi − α divise P , siet seulement si, P (X1, . . . , Xi−1, α,Xi+1, . . . , Xn) = 0.

Proposition 5.2.10. Soit K un corps commutatif. On note F(Kn,K), la K- algèbre des applications f : Kn →K.L'application φ : K[X1, . . . , Xn] → F(Kn,K), P 7→ P , est un morphisme de K-algèbres.Si K est un corps inni, alors φ est injectif.

Denition 5.2.11. Soit P ∈ A[X1, . . . , Xn]. On appelle polynôme dérivée parielle première par rapport à Xi de

P , notée∂P

∂Xiou aussi ∂iP , le polynôme dérivée de P en tant qu'élément de A[X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . Xn][Xi].

On dénit de même les dérivées partielles d'ordre supérieures.

5.3 Polynômes homogènes


(i1,i2,...,in)∈Nn ai1i2...inXi1

1 Xi22 . . . Xin

n ∈ A[X1, . . . , Xn]. On dit que P est homo-gène de degré m, si tous les monômes de P sont de degré m.

Exemples 5.3.2. 1 - X2Y Z3 + 4X2Y 4 − 4Z6, est homogène de degré 6.2 - Les fonctions polynômes homogènes de degré 2 à n variables, à coecients dans un corps K, sont les formesquadratiques sur Kn.

Théorème 5.3.3 (Euler). Soit K un corps de caractéristique nulle et P ∈ K[X1, . . . , Xn], alors les assertionssuivantes sont équivalentes :(i) P est homogène de degré m.

(ii)∑n

i=1 Xi∂P

∂Xi= mP .

29



6 Anneaux factoriels

6.1 Divisibilité dans les anneaux intègres

Denition 6.1.1. Soit A un anneau intègre, a, b ∈ A.1 - On dit que a divise b, notation a | b, ou que a est un diviseur de b ou que b est un multiple a, s'il existec ∈ A tel que b = ac.Ce qui est équivalent à (b) ⊂ (a), où (u) désigne l'idéal principal engendré par u.2 - On dit que a et b sont associés si a|b et b|a. Ce qui est équivalent à (b) = (a), ou ∃ ε ∈ A inversible : a = εbNoter que la relation x est associé à y est une relation d'équivalence.

Exemples 6.1.2.1 - Dans Z, x et y sont associés, si et seulement si, x = ±y.2 - Dans K[X], où K est un corps commutatif, P et Q sont associés, si et seulement si, il existe λ ∈ K, non nultel que Q = λP .

Denition 6.1.3.1 - Soit p ∈ A non inversible. On dit que p est irréductible dans A si tout diviseur de p est ou bien inversible oubien associé avec p.2 - p ∈ A non inversible est dit premier, si ∀a, b ∈ A on a : p|ab ⇒ p|a ou p|b.

Proposition 6.1.4. Soit A un anneau intègre. Si p est un élément premier de A, alors p est irréductible.La réciproque est fausse en général.

Preuve. Supposons que p est un élément premier de A. Posons p = ab, avec a, b ∈ A.Si p | a, comme a | p, on a a et p sont associés.Si p - a, comme p est premier et p | ab, alors p | b. Or b | p. Par conséquent p et b sont associés.

Exemples 6.1.5.1 - Les éléments premiers de Z sont les nombres premiers.2 - Soit A = Z[i

√3] = a+ bi

√3 ∈ C : a, b ∈ Z. Alors A est un sous-anneau de C, dans lequel 2 est irréductible

mais n'est pas premier.

Denition 6.1.6. Soient a, b ∈ A. Un élément d de a est dit Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de a etb, si : d divise a et b et tout diviseur commun à a et b divise d.Un élément m de A est dit Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de a et b, si m est un multiple de a et b ettout multiple de a et b est divisible par m.Deux éléments a et b sont dits premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à a et à b sont les élémentsinversibles.

6.2 Anneaux principaux

Un anneau A est dit principal, s'il est intègre (commutatif) et tout idéal de A est principal.

Exemple 6.2.1.L'anneau Z est principal.

Denition 6.2.2. Un anneau intègre A est dit euclidien, s'il existe une application appelée stathme euclidienv : A∗ → N, telle que :(1) pour tout a, b ∈ A, avec b 6= 0, il existe q ∈ A, tel que a = bq, ou v(a− bq) < v(b).(2) ∀a, b ∈ A∗, v(a) ≤ v(ab).

Théorème 6.2.3. Tout anneau euclidien est principal.

Preuve. Soit A muni d'un stathme euclidien v. Si I est un idéal non nul, on considère z ∈ I non nul tel que v(z)soit minimal. On a Az ∈ I. Réciproquement, soit x ∈ I, il existe q ∈ A tel que v(x− qz) < z. On a x− qz ∈ I.Par minimalité de v(z), on a forcément x− qz = 0, d'où x = qz ∈ I. donc x ∈ Az.

Théorème 6.2.4. Si K un corps commutatif, alors K[X] est un anneau principal.

Preuve. En eet, la fonction degré est un stathme euclidien sur K[X].

30



Remarque 6.2.5. Z[X] n'est pas principal. On montre que P ∈ Z[X] : 2|P (0) est un idéal non principal deZ[X].

Théorème 6.2.6. Soit A un anneau principal, alors :1 - Pour tout a, b dans A il existe d un PGCD et m un PPCM dénis par : (a) + (b) = (d) et (a) ∩ (b) = (m).2 - a et b sont premiers entre eux, si et seulement si, il existe u, v ∈ A tels que ua + vb = 1 (Bézout).

Théorème 6.2.7. Soit A un anneau principal p un élément de A, alors les assertions suivantes sot équivalentes :(i) p est premier et p 6= 0.(ii) p est irréductible.(iii) l'idéal (p) est maximal.(iv) l'anneau quotient A/(p) est un corps.

Preuve.(i) ⇒ (ii) est toujours vraie.(ii) ⇒ (iii) Supposons que p est irréducible. Soit I un idéal de A tel que (p) ⊂ I ⊂ A. Comme A est principal,I = (a). On a alors a | p. Comme p est irréductible, a est inversible ou associé à p. Si a est inversible, (a) = A.Si a est associé à p, (a) = (p). Donc I = (p) ou I = A. Par conséquent (p) est maximal.(iii) ⇒ (iv) est toujours vraie.(iv) ⇒ (i). Supposons A/(p) est un corps. Soient a, b ∈ A tels que p | ab. On a a.b = 0 in A/(p) qui est un corps,donc intègre. D'où a = 0 ou b = 0. i.e. p | a ou p | b. Par suite, p est premier.

Exemple 6.2.8. Les éléments irréductibles dans Z sont les nombres premiers. (il existe une innité de nombrespremiers).

Exemples 6.2.9.1 - Les polynômes irréductibles dans C[X], sont les polynômes du premier degré.2 - Les polynômes irréductibles dans R[X], sont les polynômes du premier degré et les polynômes du deuxièmedegré a discriminant strictement négatif.3 - X2 + 1 est irréductible dans R[X]. L'anneau quotient est un corps isomorphe à C.

6.3 Anneaux factoriels

Denition 6.3.1. Un anneau A est dit factoriel, ou anneau à factorisation unique, s'il est commutatif, intègreet tout élément non inversible et non nul de A est un produit d'éléments premiers.

Théorème 6.3.2. Soit A un anneau intègre. Les assertions suivantes sont équivalentes :(i) A est factoriel.(ii) Tout élément non nul et non inversibles est produit d'éléments irréductibles et tout irréductible est premier.

Théorème 6.3.3. Soit A un anneau factoriel. p1, p2, . . . , pn, et q1, q2, . . . , qm des éléments premiers tels quep1 · p2 · . . . pn = q1 · q2 · . . . qm, alors m = n et il existe une permutation σ ∈ Sn telle que ∀i = 1, . . . , n, pi et qσ(i)

soient associés.

Preuve. Récurrence sur n.

Notation. Dans toute la suite on considère une famille P = (pi)i∈I d'éléments premier de A telle que :- Tout éléments premier de A est associé à un unique élément premier de P. Alors tout élément non nul x de As'écrit de manière unique sous la forme x = ε

∏i∈I pα

i , où ε est inversible et les αi sont nuls sauf un nombre ni.

Théorème 6.3.4. Dans un anneau factoriel A alors :1 - Tout élement irréductible est premier.2 - Si x = ε1

∏i∈I pαi

i et y = ε2∏

i∈I pβi

i ∈ A, alors x | y ⇔ αi ≤ βi,∀i ∈ I3 - On a le lemme de Gauss : ∀a, b, c ∈ A, si a | bc, et a et premier avec b, alors a | c4 - Deux éléments quelconques possèdent un PGCD et un PPCM. Plus précisément, si x = ε1

∏i∈I pαi

i ety = ε2

∏i∈I pβi

i , alors d =∏

i∈I pmin(αi,βi)i est un PGCD de x et y et m =

∏i∈I p

max(αi,βi)i est un PPCM de x

et y

31



6.4 Factorialité des anneaux principaux.

Lemme 6.4.1. Soit A un anneau principal et x ∈ A non inversible. Alors il existe un élément premier p telque p |x.

Preuve. On a (x) 6= A et d'après le lemme de Krull, il existe I = (p) maximal tel que (x) ⊂ (p), donc p | x.Comme (p) est maximal, l'élément p est premier.

Lemme 6.4.2. Soit A un anneau principal a1, a2, . . . , an, . . ., une suite d'éléments de A telle que (ak) ⊂ (ak+1).Alors il existe n ∈ N, tel que (an) = (an+k), ∀k ∈ N.

Preuve. Posons I = ∪k∈N∗(ak), alors I est un idéal de A. Comme A est principal, I = (a). Il existe n ∈ N : a ∈(an), alors (a) = (an) et ∀k ≥ n, (ak) ⊂ (an).

Lemme 6.4.3. Soit A un anneau principal. Alors toute famille non vide F d'idéaux de A contient un élémentmaximal, i.e. il existe J ∈ F , tel que ∀J ∈ F , J ⊂ I ⇒ I = J .

Preuve. Sinon, soit I = I1 ∈ F , il existe I2 ∈ F , tel que I1 I2. Supposons I1, I2, . . . , In, construits tels queI1 I2 . . . In, comme F , ne possède pas d'élément maximal, il existe In+1 ∈ F , tel que In In+1. On adonc construit une suite strictement croissante innie d'idéaux, en contradiction avec le lemme 6.4.2.

Théorème 6.4.4. Tout anneau principal est factoriel.

Preuve. Par l'absurde, supposons qu'il existe un élément non nul et non inversible qui n'est pas produitd'éléments irréductibles. Notons F l'ensemble des idéaux propres dont les générateurs ne sont pas produitd'éléments irréductibles. On a F 6= ∅. D'après le lemme précédent, F contient un élément maximal J = (a).On a a n'est pas inversible. Soit p un élément premier divisant a. Alors a = pb. Par conséquent, (a) ( (b). D'oùb /∈ F . Il en résulte que b est ou bien inversible, ou bien un produit d'éléments premiers. Par suite, a est produitd'éléments premiers. Une contradiction.

6.5 Factorialité de l'anneau des polynômes

Denition 6.5.1. Soit A un anneau factoriel et f = Σnk=0akXk ∈ A[X] on appelle contenu de f le PGCD de

ces coecients, C(f) = PGCD(a0, a1, . . . , an). Un polynôme f est dit primitif, si C(f) = 1.Pour tout f ∈ A[X], f = C(f)f1, où f1 est primitif.

Lemme 6.5.2 (Gauss). Soit A un anneau factoriel, f, g ∈ A[X], alors C(fg) = C(f)C(g).

Preuve. Il sut de montrer que le produit de deux polynômes primitifs f et g est primitif. En eet, sinon ilexiste un élément premier p ∈ A, tel que p | C(fg). En passant dans A/(p)[X) qui est intègre, on a f g = 0.Donc f = 0 ou g = 0 dans A/(p)[X). D'où p | C(f) ou p | C(g). Contradiction avec le fait que f et g sontprimitifs.

Proposition 6.5.3. Soit A un anneau factoriel de corps de fractions K et f ∈ A[X].Si f = a est constant, alors f est irréductible dans A[X], si et seulement si, a est irréductible dans A.Si f est non constant, alors f est irréductible dans A[X], si et seulement si, f est primitif et irréductible dansK[X]

Théorème 6.5.4. Si A est un anneau factoriel, alors A[X] est factoriel. En particulier Z[X] est factoriel maisn'est pas principal.

Preuve. Soit f ∈ A[X] primitif. Alors f = g1g2 . . . gn, où les gi sont irréductibles dans K[X]. Posons gi =ai

bihi,

où hi est primitif irréductible dans A[X]. Donc f = Πni=1

ai

bihi. Donc (Πn

i=1bi)f = (Πni=1ai)Πn

i=1hi.

Posons a = Πni=1ai, b = Πn

i=1bi, alors bf = aΠni=1hi. En prenant les contenus, C(bf) = C(aΠn

i=1hi), alors a = bε,où ε ∈ A est inversible. Donc f = εh1h2 . . . hn.Soit f ∈ A[X] irréductible. On a f est primitif et premier dans K[X]. Montrons que f est premier dans A[X].Si f | gh. Donc f | gh dans K[X]. Par exemple f | g, g = fu dans K[X]. Posons u =

a

bv, avec v primitif. Alors

bg = afv. bC(g) = a, donc b | a. Donc f | g dans A[X].

32



Théorème 6.5.5. Si K est un corps commutatif, alors K[X1, . . . , Xn] est un anneau factoriel.Z[X1, . . . , Xn] est un anneau factoriel.

Théorème 6.5.6 (Critère d'Eisenstein). Soit A un anneau factoriel de corps de fractions K, f = Σnk=0akXk ∈

A[X], on suppose qu'il existe un élément premier p ∈ A tel que :(i) p | ak, ∀k = 1, 2, . . . , n− 1(ii) p - an

(iii) p2 - a0

Alors f est irréductible dans A[X] et dans K[X]

33

Documents

Structures Algébriques - haily.a.h.f.unblog.frhaily.a.h.f.unblog.fr/files/2010/12/algebre-6.pdf · Université Chouaïb Doukkali acultéF des Sciences Département de Mathématiques