8/20/2019 Suites Et Séries de Fonctions - Application Des Suites de Fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Enoncés 1

Application des suites de fonctions

Exercice 1   [ 00893 ]  [correction]On définit (f n) suite de fonctions de  [0, 1] vers  R  par

f 0(x) = 1 et

 ∀n

 ∈N, f n+1(x) = 1 +  

  x

0

f n(t

−t2) dt

a) Montrer que pour tout  x ∈ [0, 1],

0 f n+1(x) − f n(x) xn+1

(n + 1)!

b) En déduire que pour  n, p ∈N,

f n+ p − f n∞  

+∞k=n+1

1

k!

c) Etablir que pour tout  x ∈ [0, 1], la suite numérique  (f n(x)) est de Cauchy.

d) Etablir que  (f n)  converge uniformément vers une fonction  f  non nulle vérifiant

f (x) =  f (x − x2)

Exercice 2   X MP   [ 02970 ] [correction]On note  E  l’ensemble des fonctions  f  : [0, 1] →R+ continues.On pose Φ(f )(x) =

 x0

 f (t) dt, pour toute  f  ∈  E .

On pose  f 0 = 1 puis  f n+1 = Φ(f n) pour tout  n ∈ N.a) Etudier la suite (f n).b) Soit  f  = lim(f n). Trouvez une équation différentielle dont  f   est solution. Ya-t-il unicité de la solution nulle en 0 ?

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Corrections

Exercice 1 :  [énoncé]a) Par récurrence sur  n ∈ N.Pour  n  = 0  :  f 0(x) = 1 et  f 1(x) = 1 +

 x0

  dt = 1 +  x  donc 0 f 1(x) − f 0(x) =  x.Supposons la propriété établie au rang  n 0.

f n+2(x) − f n+1(x) =

   x

0

f n+1(t − t2) − f n(t − t2) dt

or  f n+1(t − t2) − f n(t − t2) 0 donc  f n+2(x) − f n+1(x) 0 et

f n+1(t − t2) − f n(t − t2) (t − t2)n+1

(n + 1)! 

tn+1

(n + 1)!

puis

f n+2(x) − f n+1(x) xn+2

(n + 2)!

Récurrence établie.

b) On a f n+1 − f n∞    1(n+1)!  donc par l’inégalité triangulaire

∀ p ∈N, f n+ p − f n∞  

n+ p−1k=n+1

1

k! 

+∞k=n+1

1

k!

c) Or+∞

k=n+1

1k! −−−−−→n→+∞

0 (reste de série convergente) donc

∀ε >  0, ∃N  ∈ N,∀n N,

+∞

k=n+1

1

k!

ε

puis∀n N, ∀ p ∈N, f n+ p − f n∞   ε

Enfin |f n+ p(x) − f n(x)| f n+ p − f n∞  donc (f n(x)) est de Cauchy.d) Pour tout  x ∈ [0, 1], la suite  (f n(x)) converge car de Cauchy. Posons  f (x) lalimite de  f n(x).

∀ε >  0,∃N  ∈ N, ∀n N, ∀ p ∈N,∀x ∈ [0, 1] , |f n+ p(x) − f n(x)| ε

A la limite quand  p → +∞ :

∀n N, ∀x ∈ [0, 1] , |f (x) − f n(x)| ε

et donc∀n N, f  − f n∞   ε

Ainsi  f nCU −−→ f . Par convergence uniforme,  f  est continue et

∀x ∈ [0, 1] ,

   x0

f n(t − t2) dt −−−−−→n→+∞

   x0

f (t − t2) dt

Par conséquent

∀x ∈ [0, 1] , f (x) = 1 +

   x0

f (t − t2) dt

La fonction est donc une fonction non nulle (car  f (0) = 1) et dérivable avec

f (x) =  f (x − x2)

Exercice 2 :  [énoncé]a) On vérifie sans peine que la suite (f n) est bien définie.f 1(x) =  x,  f 2(x) =   2

3x3/2, . . .

Si  f (x) =  αxβ alors Φ(f )(x) = √ 

α  x

0  tβ/2 dt =   2

√ α

β+2 xβ/2+1.

Ainsi  f n(x) =  αnxβn

avec

αn+1 =  2√ 

αn

β n + 2  et  β n+1  =

  β n

2  + 1

On a

β n = 2n − 1

2n−1  → 2

et, pour  n 1,

0 αn+1  2

3

√ αn

On montre alors pour tout  n ∈ N

0 αn  2

3n−1

donc  αn = f n∞,[0,1] → 0.

On en déduit que la suite  (f n) converge uniformément vers la fonction nulle.b) Il y a beaucoup d’équation différentielle dont  f   est solution.. .Cependant f n+1(x) =

 x0

 f n(t) dt  donne à la limite  f (x) =

 x0

 f (t) dt  d’où l’on

tire  f  dérivable et  f (x) = 

f (x).Pour l’équation différentielle  y  =

 √ y, il n’y a pas unicité de la solution nulle en 0,

car outre la fonction nulle, la fonction  y  :  x → x2

2est solution.