Rappels sur les fonctions et les suites aléatoires

Définition

Fonction aléatoire = processus stochastique continu Suite aléatoire = processus stochastique discret

Application qui associe à chaque instant t d’un ensemble une variable (ou un vecteur) aléatoire

processus stochastique continu : t prend un continuum de valeurs

Processus stochastique discret : Modélisation de grandeurs pour lesquelles impossible

de prédire une valeur exacte à un instant futur.

,...}T2,T,0,T{...,

Fonction de distribution et densité de probabilité Distribution ou fonction de répartition (Cumulative

distribution function)

Z ou Rt,...,t tt

)x)t(x,...,x)t(x(obPr)t,x,...,t,x(F

n1ji

nn11nn11

éprobabilit de densité ne

n1

nn11nn11 x...x

)t,x,...,t,x(F)t,x,...,t,x(p

Moments d’un processus stochastique

Espérance mathématique

Fonction d’autocorrélation

Covariance (moment d’ordre 2)

Covariance mutuelle

))t(x(Edx)t,x(xp)t(mx

212211

T21

T21xx dxdx)t,x,t,x(pxx))t(x)t(x(E)'t,t(R

))t(m)t(x))(t(m)t(x((E)t,t(C T2x21x121xx

))t(m)t(y))(t(m)t(x((E)t,t(C T2y21x121xy

Moments d’un processus stochastique

Variance

Formule de Koenig

Cas scalaire et application à la variance

))m)t(x)(m)t(x((E)t,t(C)t( Txxxxx

T2y1x21xy21xy )t(m)t(m)t,t(R)t,t(C

2xxx

2x )t(m)t(R)t(

Processus stochastique Gaussien

))t(2

))t(mx(exp(

2)t(

1)t,x(p

2x

2x

x

Cas scalaire

Cas vectoriel

2

))t(mx)(t())t(mx(exp

)t(det)2(

1)t,x(p

Txxx

xn

Processus stationnaire

au sens strict

Processus faiblement stationnaireE(x(t)) indépendante de t, variance indépendante de t

Stationnaire au sens strict Faiblement stationnaireInverse pas vérifié sauf pour processus Gaussien

n entier tout pour et réel tout pour

)t,x,...,t,x(p)t,x,...,t,x(p nn11nn11

))m)t(x)(m)ttt(x((E)tt(C)t,t(C Txx121221

Processus stationnaire

Propriétés

pour un processus stochastique scalaire

)(C)(C xxxx

jj,xxii,xxij,xx CC|)(C|

2xxx |)(C|

Processus faiblement stationnaire ergodique Moyennes d’ensemble = Moyennes temporelles

N

1ix

T

TTx

)i(xN

1m

dt)t(xT2

1lim))t(x(Em

N

1i

Txxxx

Tx

T

Tx

T

Txx

)m)i(x)(m)i(x(N

1)(C

dt)m)t(x)(m)t(x(T2

1lim

))t(x)t(x(E)(C

Densité spectrale (de la variance)(Spectral density or power spectrum) Transformée de Fourier de la fonction de covariance

Cas d’un processus aléatoire discret

Origine du terme densité spectrale de la variance

de)(C)(S jxxxx

n

njdxx

dxx e)n(C)(S

d)(S

2

1)0(C

d)(S2

1)0(C

dxx

dxx

dx

xxxxx

Bruit blanc et suite blanche aléatoires

Bruit blanc scalaire (vectoriel) continu

processus stochastique continu faiblement stationnaire tel que

Densité spectrale ( de la variance)

)(S))m)t(x)(m)t(x((E)(C

)(s))m)t(x)(m)t(x((E)(CT

xxxx

xxxx

S)(S ou s)(S xxxx

Bruit blanc et suite blanche aléatoires

Suite blanche aléatoire scalaire (vectorielle)

Suite aléatoire faiblement stationnaire

de covariance

,...2,1 pour 0

0 pour )(C

,...2,1 pour 0

0 pour )(C

dxx

2dxx

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(1)

Système décrit en variables d’état par

Fonctions de transfert

)k(v)k(Cx)k(y

)k(Bw)k(Ax)1k(x

).(S,m),(S,m spectrale densité de et moyenne de

incorrélés ntmutuelleme aléatoires processus :)t(v et )t(w

vvww

B)AzI()z(H et B)AzI(C)z(H 1xw

1yw

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire (2)

Densités spectrales de x et y en régime stationnaire

Moyenne (espérance mathématique) de x et y en régime stationnaire

), ( réduite pulsation : avec

)(S)e(H)(S)e(H)(S

)e(H)(S)e(H)(S

vjT

ywwj

ywy

jTxww

jxwx

vwywy

wxwx

mm)1(Hm

m)1(Hm

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(3)

Sollicitation par des suites blanches de moyenne nulle et de variance respective vw et

00 variance de et m moyenne de initial Etat

vT

xy

0xT

wT

xx

xy

0xx

CC)k(

)0( BBA)k(A)1k(

)k(Cm)k(m

mm(0) )k(Am)1k(m

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(4) Variance en régime stationnaire

vT

xy

Tw

Txx

CC

BBAA

Génération d’un bruit coloré(1)

Engendrer une suite aléatoire dont la densité spectrale de la variance est une fraction rationnelle donnée (cas scalaire)

Système stableH(z)

Suite aléatoire blanche Suite aléatoire colorée

Génération d’un bruit coloré(2)

), ( réduite pulsation : avec

)e(H)e(H)(S jyw

jywy

Densité spectrale de la variance en régime stationnaire

Entrée w = suite blanche aléatoire de variance 1

)z(H(z)HF(z) devient droite de membre

ez Introduire1

j

Génération d’un bruit coloré(3)

réel axel' à rapport par

ssymétrique zéros alors réels, )z(H de tscoefficien Si

)z(H de zéro z alors ),z(H de zéro z Si 11ii

1

Re z

Im z

Génération d’un bruit coloré(4)

Agencement des pôles possède symétrie identique

ji

ii

ji

ji

)pz(

)zz(K)z(H

unité cercle du intérieurl' à pôles les et zéros les Choisir

1pp

1zz

que telles paires en zéros et Pôles

Variable aléatoire de distribution chi2

Ensemble de d variables aléatoires indépendantes de distribution normale de moyenne nulle et de variance unitaire

N d degrés de libertéParamètre de non centralité:

2d :ariance V d : Moyenne

)d( : x variable la de onDistributi 2d

1i

2i

ix

ix )1,( i ),d(2

d

1i

2i