Suites numériques

Définitions

1

Une suite réelle (resp. complexe)

est une fonction de dans (resp. )

n (1/2)n

0 1

1 0.5

2 0.25

3 0.125

4 0.0625

5 0.03125

… …

Exemple 1Exemple 1 : : 11 lnln( )22 1

( )2

nn

nf n e e

On note On note uunn le terme de rang le terme de rang nn de la suite. de la suite.

12

n

nu

Exemple 2Exemple 2 : : 2( )in

nf n u e

n ein(pi/2)

0 1

1 i

2 -1

3 -i

4 1

5 i

… … 2

Si on connaît le terme de rang Si on connaît le terme de rang nn en fonction de en fonction de ses précédents, on dit que la suite est définie par ses précédents, on dit que la suite est définie par récurrence.récurrence.

2 1 0 1, et 1, 1n n nu u u u u

n un

0 1

1 1

2 2

3 3

4 5

5 8

… …

Exemple :Exemple : Pour tout Pour tout nn supérieur à 0: supérieur à 0:

10Je trouve u 8989

3

On a donc intérêt à passer des suites définies par On a donc intérêt à passer des suites définies par récurrence aux suites définies explicitement en récurrence aux suites définies explicitement en fonction de fonction de nn..

1 00,5 1 et 1n nu u u n un

0 1

1 1.5

2 1.75

3 1.875

4 1.9375

5 1.96875n 2-(0.5)n

0 1

1 1.5

2 1.75

3 1.875

4 1.9375

5 1.96875

2 (0,5)nnu

ExempleExemple : Pour : Pour nn > 0 : > 0 :

Un tableur donne les premières valeurs :Un tableur donne les premières valeurs :

Ce qui est identique au début à :Ce qui est identique au début à :

Pour tout Pour tout nn,,

4

Nous faisons alors une Nous faisons alors une démonstration par récurrencedémonstration par récurrence : :

La méthodeLa méthode : :

1.1. J’initialise la propriété (1J’initialise la propriété (1erer rang de la suite). rang de la suite).

2.2. Je prouve que, Je prouve que, sisi la propriété est vraie au rang la propriété est vraie au rang pp alorsalors elle est vraie au rang suivant ( elle est vraie au rang suivant (pp + 1). + 1).

Elle sera vraie une fois (père), la partie 2 dit Elle sera vraie une fois (père), la partie 2 dit alors qu’elle est vraie au rang suivant (fils).alors qu’elle est vraie au rang suivant (fils).

Ce fils sert de père vrai qui fournit un fils vrai Ce fils sert de père vrai qui fournit un fils vrai qui devient un ….qui devient un …. 5

1 0Soit à montrer que : 0,5 1, avec 1n nu u u

est la même suite que : pour tout est la même suite que : pour tout nn, , 2 (0,5)nnu

Exemple :Exemple :

1. J’initialise : 1. J’initialise : 00 2 (0,5) 2 1 1u

Calculons uCalculons upp+1 +1 avec la formule de récurrence…avec la formule de récurrence…

2 (0,5) ppu

1 0,5 2 (0,5) 1 ???ppu

1 11 0,5 2 (0,5) 1 1 (0,5) 1 2 (0,5)p p p

pu

1 et 21 et 2 sont vérifiés : (YOUPI !!!), la propriété est sont vérifiés : (YOUPI !!!), la propriété est vraie pour tout vraie pour tout nn..

C’est vérifié puisque c’est donné par le texte.C’est vérifié puisque c’est donné par le texte.2. Je dis que la propriété est vraie au rang 2. Je dis que la propriété est vraie au rang pp : : c’est-à-direc’est-à-dire

la propriété est vraie au rang la propriété est vraie au rang pp+1 … +1 …

6

Suites numériques

majorées, minorées, bornées

7

Une suite ( ) est majorée par le réel M si

pour tout , n

n

u

n u M

Une suite ( ) est minorée par le réel si

pour tout , n

n

v m

n m v

Une suite majorée et minorée est bornée.Une suite majorée et minorée est bornée.

ExempleExemple : la suite est majorée par …et : la suite est majorée par …et minorée par….minorée par….

1

2

n

ExempleExemple : la suite est majorée par : la suite est majorée par 11 et et minorée par minorée par 00

8

Suites numériques

Sens de variation

9

Si pour tout Si pour tout nn,, a) , la suite est croissantea) , la suite est croissante

1n nu u 1n nu u

1 1n

n

u

u

Lorsque l’inégalité est stricte : < , on dit Lorsque l’inégalité est stricte : < , on dit strictement croissante ( > : strict. décroissante).strictement croissante ( > : strict. décroissante).

b) , la suite est décroissante,b) , la suite est décroissante,

RemarqueRemarque : si la suite est à termes strictement : si la suite est à termes strictement positifs, la suite est croissante si :positifs, la suite est croissante si :

Quand une suite est uniquement croissante ou Quand une suite est uniquement croissante ou uniquement décroissante, on dit qu’elle est uniquement décroissante, on dit qu’elle est monotonemonotone..

PreuvePreuve : si , on multiplie par : si , on multiplie par uunn de part et d’autre de l’inégalité et on conserve l’ordre car … (en barre??) de part et d’autre de l’inégalité et on conserve l’ordre car … (en barre??)1 1n

n

u

u 10

Suites numériques

Convergence

11

La suite (La suite (uunn)) converge converge (est convergente) si elle (est convergente) si elle

admet une limite finie quand admet une limite finie quand nn tend vers + tend vers +

ExempleExemple : La suite converge vers 0 car … : La suite converge vers 0 car …1

2

n

1ln

21 1lim lim lim 0, en posant : ln

2 2

nn

x

n n xe e x n

Dans le cas contraire, on dit que la suite Dans le cas contraire, on dit que la suite divergediverge..

12

Quelques théorèmes Quelques théorèmes : : Théorème 1Théorème 1: : Une suite croissante majorée est convergente.Une suite croissante majorée est convergente.

Théorème 2 (des gendarmes)Théorème 2 (des gendarmes): : Si à partir du rang N, la suite est encadrée par Si à partir du rang N, la suite est encadrée par deux suites convergentes vers la même limite deux suites convergentes vers la même limite alors la suite converge vers la limite commune. alors la suite converge vers la limite commune.

limlim limn n n

nn n n

n n

v u wu lv w l

Pour tout Pour tout nn >N,>N,

Une suite décroissante est convergenteUne suite décroissante est convergenteUne suite décroissante Une suite décroissante minoréeminorée est convergente est convergente

13

Théorème 3 Théorème 3 : : Une suite convergente est bornée.Une suite convergente est bornée.Attention Attention : Pas la réciproque !: Pas la réciproque !

Preuve Preuve : au début, il n’y a que quelques valeurs forcément bornées, et à partir d’un : au début, il n’y a que quelques valeurs forcément bornées, et à partir d’un certain rang N les termes sont proches de la limite donc bornés. certain rang N les termes sont proches de la limite donc bornés.

Théorème 4 Théorème 4 : : Si à partir d’un rang N, la suite est minorée par Si à partir d’un rang N, la suite est minorée par une suite qui tend vers , alors la suite tend une suite qui tend vers , alors la suite tend aussi vers aussi vers

14

Suites numériques

Echantillonage

15

16

Une suite définie explicitement (le rang Une suite définie explicitement (le rang nn est est connu en fonction de connu en fonction de nn) : ) : uunn = = uu((nn), est un ), est un

échantillonnageéchantillonnage (discrétisation) de la fonction (discrétisation) de la fonction uu. .

Exemple Exemple : fournit :: fournit :( ) 2 0.5u x x 2 0.5nu n

n un

0 21 1,52 13 0,54 05 -0,56 -17 -1,58 -29 -2,5

10 -3

17

RemarqueRemarque : Certaines suites ne peuvent s’écrire : Certaines suites ne peuvent s’écrire d’aucune des deux manières présentées ici.d’aucune des deux manières présentées ici.

Exemple Exemple : la suite des décimales du nombre .: la suite des décimales du nombre . 3,14159265358979…3,14159265358979…

Suites numériques

Les suites classiques

18

19

Une suite (Une suite (uunn ) est arithmétique lorsqu’il existe ) est arithmétique lorsqu’il existe

un réel un réel rr, tel que : , tel que : uun+1 n+1 = = uun n + + rr . .

rr est la raison de la suite. est la raison de la suite. RemarqueRemarque : Pour prouver qu’une suite est arithmétique il suffit de : Pour prouver qu’une suite est arithmétique il suffit de faire la différence : faire la différence : uun+1 n+1 - - uun n . .

Quand une suite est arithmétique, on démontre Quand une suite est arithmétique, on démontre que , pour tout que , pour tout nn et et pp : : uunn = = uupp + ( + (nn – – pp))rr. .

PreuvePreuve : On utilise la règle des dominos ou une récurrence (fixer : On utilise la règle des dominos ou une récurrence (fixer pp) et faire varier ) et faire varier nn..

Suites arithmétiquesSuites arithmétiques

20

Si une suite (Si une suite (uunn) est arithmétique , la somme de ) est arithmétique , la somme de

ses termes est donnée par la formule :ses termes est donnée par la formule :(1er terme+dernier terme)(nb termes)

2

Une suite arithmétique de raison Une suite arithmétique de raison rr non nullenon nulle a a toujours une limite infinie.toujours une limite infinie.

1 2nu n

21

Une suite (Une suite (uunn ) est géométrique si, il existe un ) est géométrique si, il existe un

réel réel qq non nul et différent de 1non nul et différent de 1, tel que : , tel que : uun+1 n+1 ==ququn n

qq est la raison de la suite. est la raison de la suite. Pour prouver qu’une suite est géométrique il suffit de calculer : Pour prouver qu’une suite est géométrique il suffit de calculer : si on a prouvé que si on a prouvé que uunn n’est jamais nul n’est jamais nul

Quand une suite est géométrique, on démontre Quand une suite est géométrique, on démontre que , pour tout que , pour tout nn et et pp : : uunn = = uupp qq((nn – – pp)). .

PreuvePreuve : comme pour les arithmétiques. (Ici on la fera par récurrence) : comme pour les arithmétiques. (Ici on la fera par récurrence)

1n

n

u

u

Suites géométriquesSuites géométriques

22

((uunn) est une suite géométrique de raison) est une suite géométrique de raison 0 et 1q q

lim 0 1

si 1, pas de limite.

nu q

q

q q > 1> 1 0 < 0 < qq <1 -1 < <1 -1 < qq < 0 < 0

23

Si une suite (Si une suite (uunn) est géométrique, la somme de ) est géométrique, la somme de

ses termes est donnée par la formule :ses termes est donnée par la formule :

nbtermes11er terme

1

q

q

1

0 1 0

1...

1

n

n

qu u u u

q

0 1 ... nu u u

C’est-à-dire : C’est-à-dire :

NotationNotation : se note : : se note : 0

n

kk

u

24

1 00,5 1 et 1n nu u u ExempleExemple : Pour : Pour nn > 0 : , > 0 : ,

et ;et ;

Montrez que (Montrez que (vvnn) est géométrique de raison 0,5. ) est géométrique de raison 0,5.

Exprimer Exprimer vvnn, puis , puis uunn en fonction de en fonction de nn..

2n nv u

1 1 2 0,5 1 2 0,5 1 0,5n n n n nv u u u v

0 0 2 1v u donc pour tout : ( 1) 0,5

n

nn v

2 0,5n

nu

Suites numériques

Equations aux différences

25

26

Ce sont des suites du type :Ce sont des suites du type :

•Équation du premier ordre :Équation du premier ordre :

•Équation du deuxième ordre : Équation du deuxième ordre :

1 0 , et donnés, connue.n n n nu bu v u b v

2 1

0 1

,

, , et donnés, connue.n n n n

n

u bu cu v

u u b c v

Elles se résolvent comme les équations différentielles, en deux étapes. Elles se résolvent comme les équations différentielles, en deux étapes.

1.1.Sans second membreSans second membre

2.2.Recherche d’une solution particulière de l’équation complèteRecherche d’une solution particulière de l’équation complète

3.3.Addition des deux pour une solution générale de l’équation complète puis calcul des Addition des deux pour une solution générale de l’équation complète puis calcul des constantes en faisant intervenir les conditions initiales.constantes en faisant intervenir les conditions initiales.

27

On peut retenir : On peut retenir :

Équation du premier ordre ssm.Équation du premier ordre ssm.

((uunn) est géométrique de raison (-) est géométrique de raison (-bb))

AA est une constante réelle. est une constante réelle.

1 0n nu bu

n

nu A b

Équation du second ordre ssm.Équation du second ordre ssm.

Équation caractéristique : Équation caractéristique :

A A etet B B sont deux sont deux c constantes réelles.onstantes réelles.

2 1 0n n nu bu cu

² 0r br c

1 2

1 2

0 : deux racines réelles et

n nn

r r

u Ar Br

i

1 2 10 : deux racines complexes = e et

cos sinnn

r r r

u A n B n

0 : une racine doubles

nn

r

u An B r