Support de cours : traitement du signa A) …esgt.picturebook.free.fr/dl/tds/support_tds.pdf · Le traitement du signal fera donc appel à des notions mathématiques et physiques

Support de cours : traitement du signa

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A) INTRODUCTION................................................................................................................. 2 I) Objectif du cours ............................................................................................................................................................... 2 II) Quelques définitions........................................................................................................................................................ 2 III) La chaîne de l’information ........................................................................................................................................... 3 IV) Les principales fonctions du traitement du signal.................................................................................................... 4

Elaboration des signaux................................................................................................................................................... 4 Identification des signaux............................................................................................................................................... 4

E) Les systèmes numériques ............................................................................................................................................... 4 B) LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES ...................................................... 5

I) Représentation des signaux............................................................................................................................................. 5 Modélisation des signaux................................................................................................................................................ 5

II) Classification des signaux.............................................................................................................................................. 6 Représentation temporelle des signaux......................................................................................................................... 6 Classification énergétique............................................................................................................................................... 7 Classification spectrale .................................................................................................................................................... 8

III) Les signaux numériques................................................................................................................................................ 8 IV) Analyse de Fourier......................................................................................................................................................... 9

Série de Fourier................................................................................................................................................................. 9 Généralisation ................................................................................................................................................................. 11 Représentation bilatérale ............................................................................................................................................... 12 La transformée de Fourier............................................................................................................................................. 13 Propriétés de la transformée de Fourier...................................................................................................................... 14

V) Système de transmission.............................................................................................................................................. 15 Définition ......................................................................................................................................................................... 15 Propriétés des systèmes de transmission : SLIT ....................................................................................................... 16

VI) Filtres et Convolution.................................................................................................................................................. 17 Définition ......................................................................................................................................................................... 17 Propriétés de la convolution : ....................................................................................................................................... 18 Théorème de Plancherel :.............................................................................................................................................. 18

VII) Introduction à la notion de corrélation.................................................................................................................... 18 Puissance et énergie des signaux................................................................................................................................. 18 Corrélation et densité spectrale .................................................................................................................................... 19

VIII) Filtrage des signaux analogiques............................................................................................................................ 20 IX) Filtrage fréquentiel....................................................................................................................................................... 22

Théorème fondamental des filtres ............................................................................................................................... 22 Filtres réalisables ............................................................................................................................................................ 23

X) La modulation ................................................................................................................................................................ 23 Transmission par modulation ....................................................................................................................................... 24 Les différentes formes de modulation......................................................................................................................... 24

XI) Le bruit........................................................................................................................................................................... 26 Sources de bruit .............................................................................................................................................................. 26 Détection d'un signal noyé dans le bruit ..................................................................................................................... 28

C) Le traitement numérique du signal...................................................................................... 30 I ) L'échantillonnage........................................................................................................................................................... 30 II ) Echantillonnage idéal................................................................................................................................................... 33 III ) Restitution du signal initial à partir de l'échantillonné ......................................................................................... 34 IV ) Effet de repliement du spectre.................................................................................................................................. 35 V ) Transformée de Fourier Discrète............................................................................................................................... 36

Définition ......................................................................................................................................................................... 37 VI ) Convolution et corrélation numériques................................................................................................................... 38

a) Convolution discrète.................................................................................................................................................. 38 b) Corrélation discrète ................................................................................................................................................... 39

VII ) Notions de filtrage numérique................................................................................................................................. 39 a) Introduction................................................................................................................................................................. 39 b) Transformation en z................................................................................................................................................. 40 c) Synthèse des filtres numériques par la fonction de transfert.............................................................................. 41 d) Transformation d'Euler ou équivalence de la dérivation .................................................................................... 42

VIII) Bibliographie ................................................................................................................... 43

Support de cours : traitement du signal, ES3, 2006-2007

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A) INTRODUCTION

I) Objectif du cours Le traitement du signal peut être perçu comme faisant partie de la culture générale d’un ingénieur mais en tant que spécialiste de la mesure, le géomètre est amené à traiter différentes observations issues de divers domaines comme la topométrie, la photogrammétrie et la télédétection. Il s’agit de maîtriser les notions et les outils de base du traitement du signal et de les appliquer à un cas concret qui est celui de l’étalonnage des distancemètres. Dans une première partie, le cours s’articule autour de l’analyse de Fourier des signaux analogiques en introduisant les concepts de convolution, de corrélation, de modulation et de filtrage. Ces notions seront reprises brièvement dans la seconde partie consacrée au traitement numérique des signaux. Cette seconde partie aborde également le délicat problème de l’échantillonnage avec le théorème de Shannon et introduit la transformée de Fourier discrète. Au cours de travaux dirigés, les étudiants se familiariseront aux concepts du traitement numérique du signal en élaborant et en traitant leurs propres signaux à l’aide d’outils informatiques. Ensuite deux exemples concrets leur seront donnés à étudier, l’un portant sur le traitement de données GPS, en particulier la composante verticale, pour trouver le spectre de la marée à Brest qu’ils pourront comparer à celui diffusé sur le site d’IFREMER et l’autre exemple dédié au traitement des mesures de distances effectuées au cours d’un étalonnage d’un distancemètre à onde continue modulée.

II) Quelques définitions Le Signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire. Il sert de vecteur à une information. Il constitue une manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression….) qu’il transporte de sa source à son destinataire. Les signaux considérés dans ce cours sont des signaux dépendants du temps obtenus à l’aide de capteurs. Le traitement du signal s’applique à tous les signaux physiques. Le traitement d’image peut être considéré comme une extension du traitement du signal à deux dimensions. Tout ce qui n’est pas Signal est Bruit. C’est donc une notion relative. Il est définit comme tout phénomène perturbateur qui gêne la perception ou l’interprétation d’un signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférences, bruit de fond). La théorie du signal a pour objectif fondamental la description mathématique des signaux. Cette représentation du signal permet de mettre en évidence ces principales caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie…) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission et du traitement de ces signaux. Le traitement du signal fera donc appel à des notions mathématiques et physiques en s’appuyant sur les ressources de l’informatique, de l’électronique et de la physique appliquée. Le traitement de l’information fournit un ensemble de concepts permettant d’évaluer les performances des systèmes de transfert d’informations en particulier lorsque le signal est bruité. Cela inclut les méthodes « de codage de l’information », de la confidentialité «cryptage ».


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III) La chaîne de l’information Elle met en relation un système physique qui délivre un message et un autre système physique qui doit recevoir et exploiter cette information. Pour illustrer la chaîne de l’information on pourra utiliser l’exemple de la parole (signal) pour exprimer une idée (information)

Information (idée)

Création du signal (codage, modulation..)

(création des sons à l’aide des cordes vocales)

Transmission du signal (ligne électrique, onde..)

(propagation du son)

Récepteur (détection, décodage,

démodulation..) (oreille, cerveau)

Information (idée)

exploitation

Bruit

Bruit

Bruit

Traitement du signal

Traitement de l’information et du signal

Traitement du signal et de l’information


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IV) Les principales fonctions du traitement du signal Elles peuvent se diviser en deux catégories :

Elaboration des signaux

* Synthèse : création des signaux de formes appropriées en procédant par exemple à une combinaison de signaux simples. * Modulation, changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux caractéristiques fréquentielles d’une voie de transmission. Ex : Distancemètre à onde modulée, Signaux GPS * codage : traduction en code binaire (quantification)…

Identification des signaux * filtrage : élimination de certaines composantes indésirables

* détection : extraction du signal d’un bruit de fond (corrélation) * identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement

définies. * analyse : isolement des composantes utiles d’un signal de forme complexe

(Analyse de Fourier). * mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un

certain degré de confiance (valeur moyenne, écart type..)

E) Les systèmes numériques

information Processus physique Capteur

Signal analogique

Échantillonneur

Signal analogique échantillonné

Convertisseur analogique - numérique Système de contrôle

(ordinateur)

Convertisseur numérique - analogique

Signal numérique

Actionneur

Signal Analogique


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Le numérique présente un grand nombre d’avantages par rapport à un contrôle de processus par un système analogique : * reproductibilité des systèmes * stabilité : pas de dérive en temps et en température * adaptabilité et souplesse d’emploi (modification du programme) * fiabilité * rapidité : jusqu’à 10 MHz en temps réel.

B) LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES

I) Représentation des signaux

Modélisation des signaux Un signal expérimental est une grandeur physique réelle et doit donc être physiquement réalisable. Les signaux physiques représentés par une fonction du temps s(t) possèdent les caractéristiques suivantes : Energie bornée Amplitude bornée Continue temporellement Causal ( s(t) =0 pour t < 0 ) Spectre du signal borné

Sur le plan théorique, les signaux sont représentés par des fonctions A énergie théorique infinie Avec des discontinuités (signal carré) Définies sur R , signaux non causaux A spectre infini A valeurs complexes : s(t) = Aejωt. C’est une représentation sous forme d’une fonction harmonique d’amplitude complexe A et de pulsation Fπω 2= où F représente la fréquence du signal.

Signal(t)

Temps t

Support borné

S(t) bornée


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II) Classification des signaux Différents modes de classement peuvent être envisagés :

* représentation temporelle * représentation fréquentielle * caractéristique énergétique * caractéristique morphologique : continu - discret

Représentation temporelle des signaux Il y a deux types fondamentaux : Le signal certain (déterministe), dont l’évolution peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Connaissant les lois physiques qui les régissent et les conditions initiales, on est en mesure de déterminer le résultat. Les signaux périodiques font partie de cette catégorie. Le signal aléatoire dont le comportement temporel est imprévisible. On se contente d’appréciations statistiques pour estimer son comportement (ex : variable aléatoire gaussienne). Le bruit en fait partie.

Un signal est stationnaire si sa valeur moyenne est indépendante du temps. Un signal est ergodique s’il est identique de faire une moyenne statistique à un instant donné sur différents essais ou de faire une moyenne temporelle suffisamment longue sur un seul essai.

Signaux Physiques

Signaux déterministes

Signaux aléatoires

périodiques Non périodiques

stationnaires Non stationnaires

ergodiques Non ergodiques sinusoidaux complexes


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Classification énergétique Par analogie avec la puissance instantanée fournie à une résistance :

P(t) =u(t) i(t)

L’énergie dissipée sur un intervalle ∆t : ∫∆=

2

1)(

1 t

tdttP

tW

La puissance moyenne sur l’intervalle ∆t : t

WP t ∆

=∆

Par extension, on appelle énergie Ws et puissance moyenne Ps d’un signal s(t) sur l’intervalle ∆t les valeurs quadratiques et quadratiques moyennes :

∫=2

1

2 )(t

ts dttsW et ∫∆=

2

1

2 )(1 t

ts dttst

P

L’énergie totale, et la puissance moyenne totale s’obtiennent facilement :

∫+∞

∞−= dttsWs )(2 et ∫−∞>−

=2/

2/

2 )(1

limT

TTs dttsT

P

Pour un signal périodique (période To), la puissance moyenne totale est calculée sur une période :

∫=0

0

2 )(1 T

s dttsTo

P

La plupart des signaux peuvent être classés à partir de ces deux grandeurs : Signaux à énergie finie : signaux de type transitoire Signaux à puissance moyenne finie : signaux périodiques Remarques : Les signaux à puissance moyenne finie ont une énergie totale infinie Les signaux à énergie totale finie ont une puissance moyenne nulle


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Classification spectrale

Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de sa composition fréquentielle "spectre du signal". Le domaine des fréquences ∆f occupé par son spectre est aussi appelé la largeur de bande du signal. L’analyse de Fourier et les outils mathématiques associés permettent de passer indifféremment d’une représentation à l’autre (temporelle – fréquentielle). Pour les signaux à bande étroite, il est possible de les classer par le domaine de variation de la fréquence moyenne Fmoy. Fmoy < 250 kHz => signaux basses fréquences (BF) 250 Hz < Fmoy < 30 MHz => signaux hautes fréquences (HF) 30 MHz < Fmoy < 300 MHz => signaux très hautes fréquences (VHF) 300 MHz < Fmoy < 3 GHz => signaux ultra hautes fréquences (UHF) Fmoy > 3 GHz => signaux super hautes fréquences (SHF) Lorsque la fréquence du signal devient très grande, pratiquement supérieure à que lques térahertz, la longueur d'onde est le paramètre de référence. 700 nm < λ < 0,1 mm signal lumineux infrarouge 400 nm < λ < 700 nm signal lumineux visible 10 nm < λ < 400 nm signal ultraviolet

III) Les signaux numériques Ce sont des signaux à temps discrets (signaux discrets ou échantillonnés) et à amplitudes discrètes (quantifiées). Ainsi, quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un système numérique de contrôle d'un processus physique, peuvent être distinguées : Signal à amplitude et temps continus (Signal Analogique)

fréquence

∆f

Distribution spectrale

Temps

A


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Signal à temps continu et amplitudes discrètes (Signal Quantifié) Signal à amplitudes continues et temps discret (Signal Echantillonné) Signal à amplitudes discrètes et temps discrets (Signal Numérique) La numérisation d'un signal est l'opération qui consiste à faire passer un signal de la représentation dans le domaine des temps et amplitudes continus au domaine des temps et amplitudes discrets.

IV) Analyse de Fourier

Série de Fourier Dans le cours de physique sur les oscillateurs linéaires, on montre qu'en régime asymptotique le circuit répond à une excitation sinusoïdale tete M ωcos)( = par une réponse sinusoïdale

)cos()( MM tsts ϕω −= de même pulsation. Ceci a permis notamment de développer un outil de résolution puis sant : la notation complexe qui permet de transformer la dérivation temporelle en une multiplication par jω et donc de transformer les équations différentielles qui régissent le système en équations linéaires algébriques. Ce chapitre montre que des signaux sinusoïdaux permettent d'engendrer par superposition tout signal périodique ou non périodique. On appelle analyse de Fourier l'ensemble des méthodes

Temps

A

temps

A

temps

A


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qui permettent décomposer une fonction g(t) en une somme, éventuellement infinie de fonctions sinusoïdales (harmoniques) qui représentent une base de fonctions orthogonales. De façon plus générale, on décompose la fonction g(t) dans la base des fonctions orthogonales harmoniques comme on décompose un vecteur dans une base orthonormée.

Exemple : Voici trois fonctions de même pulsation o

o TF

ππω

22 ==

-1

-0.5

0

0.5

1

0 To(s)

To/2

ttg ωcos)(1 =ttg ω2

2 cos)( =ttg ω3

3 cos)( =

tttg ωω 341

43

3 coscos)( += et ( )ttg ω2121

2 cos)( +=

On remarque que plus la fonction varie rapidement plus son spectre contient des fréquences élevées.


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Généralisation Si s(t) est une fonction de la variable t périodique, de période To, alors elle peut se décomposer dans la base des fonctions trigonométriques, dite série de Fourier (DSF) :

tnFbtnFaatsn

onon∑∞

=

++=1

0 2sin2cos)( ππ

dont les amplitudes vérifient :

Avec ∫=T

dttsT

a00

0 )(1

( )dttnFtsT

aT

n ∫=0

00

2cos)(2

π Pour n>= 1

( )dttnFtsT

bT

n ∫=0

00

2sin)(2

π Pour n>=1

Le développement en série de Fourier utilise la propriété d’orthogonalité des fonctions trigonométriques, à savoir :

( ) 0220

0 =∫ dttFFtT

ππ cos)cos( , ( ) 0220

0 =∫ dttFFtT

ππ sin)sin( si 0FF ≠

=> Toute fonction périodique de fréquence F0 peut se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences 0, F0, 2 F0, 3 F0 …, nF0 dont les amplitudes sont les coefficients an et bn. => Ce sont les composantes de Fourier :

F0 : fréquence fondamentale n F0 : harmoniques

En utilisant la formule trigonométrique ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sinsincoscoscos −=+ l’expression peut également se mettre sous la forme réduite :

)2cos()(1

0 nn

on tnFcats ϕπ ++= ∑∞

=

avec l’amplitude : 22nnn bac += et la phase :

−=

n

nn a

barctgϕ

=> le spectre d’amplitude du signal représente les amplitudes du fondamental et des différentes harmoniques en fonction de la fréquence. => le spectre de phase du signal représente les phases du fondamental et des différentes harmoniques en fonction de la fréquence.


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=> Le spectre d’une fonction périodique est discontinu : seules certaines fréquences sont contenues dans le spectre.

Exemple : Le spectre de g(t) ne contient que la fréquence F0 alors que celui de g3(t) on observe F0 et 3F0. Plus une fonction périodique varie brutalement, plus les harmoniques élevées jouent un rôle important dans le DSF. Exemple : Développements en série de Fourier jusqu’à 9 harmoniques des fonctions créneaux, f(t) et triangle g(t).

( ) ( )( )( )∑

∞

= ++

+=1 12

12

n ntn

ttgω

ωsin

sin)( ( ) ( )( )( )

+++= ∑

∞

=1212

12coscos

4)(

n ntn

ttfωωπ

Des signaux brefs ont un spectre très étendu en fréquence.

Représentation bilatérale Elle fait intervenir les fonctions complexes trigonométriques

tnFjnFSts 00 2exp)()( π∑+∞

∞−

=

fréquence

Spectre du signal s(t)

F0 2F0 3F0 0

ao

C1

C2 C3

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1( s )


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Avec une amplitude complexe : ( ) ( )dttnFjtsT

jbanFST

nn ∫ −=−=0

00

00 2exp)(

121

)( π

De module : ( )20nc

nFS = et de phase :

−=

n

n

ab

arctgnF )( 0ϕ

Avec an =a-n , bn=-b-n Le spectre S(F) du signal périodique s(t) est alors représenté par la relation :

)()()( 00 nFFnFSFS −= ∑+∞

∞−

δ Spectre discret

Où )(Fδ est la fonction de Dirac : 1=)(Fδ si F = 0 0=)(Fδ si F différent de 0

La représentation bilatérale permet d’introduire la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier On peut considérer la transformée de Fourier des fonctions non périodiques comme une extension de la série de Fourier où la période tend vers l’infini.

( )dtFtjtsFS ∫+∞

∞−

−= π2exp)()( Spectre continu

S(F) peut être une fonction complexe

0 F0 2F0 3F0 -F0 -2F0 -3F0

S(0) S(-F0)

S(-F0)

S(3F0) S(-3F0)

Spectre en amplitude dans la représentation bilatérale


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Et la transformée inverse : ( )dFFtjFSts ∫+∞

∞−

= π2exp)()(

Propriétés de la transformée de Fourier On considère X(F) et Y(F) les transformées de Fourier respectives de x(t) et y(t). * Linéarité :

ax(t)+by(t) ----> aX(F) + bY(F) * Homothétie :

>−−−−

aF

Xa

atx1

)(

* Translation :

( ) ( )FajFXatx π2exp)( −>−−−−− ( ) )(2exp)( bFXbtjtx −>−−−−+ π

*Dérivation :

)()2()( FXFjtxdtd

π>−−−−

* Conjugué : )(*)(* FXtx −>−−−−

* Impulsion de Dirac : C’est un signal impulsionnel de la forme :

( )∫+∞

∞−=∆ 1dtt

( )tt ∆= >− 0αδ lim)(

1)( >−−−−tδ

α/2 −α/2

1/α ∆(t)


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V) Système de transmission

Définition Un système de transmission fait correspondre à un signal d’entrée e(t) quelconque un signal de sortie s(t) (réponse du système) :

La réponse du système est fonction de l’entrée et des caractéristiques du système. On peut comparer cette réponse au signal d’entrée en effectuant le rapport des puissances de ces deux signaux. Gain en puissance

PePs

GP 10log10= Exprimé en décibel

Gain en tension

VeVs

GV 10log20= Exprimé en décibel

Bande passante Cette comparaison des puissances ou tensions d'entrée et de sortie d'un système de transmission est utilisée lorsqu'on veut étudier l'influence d'une autre grandeur : par exemple la fréquence. On considère une tension sinusoïdale, fournissant à l'entrée supposée indépendante de la fréquence, une puissance moyenne constante. On étudie l'évolution de la puissance de sortie sur une charge résistive en fonction de la fréquence. On appelle bande passante du système de transmission la zone de fréquences pour les lesquelles on a :

21

≥PePs

ou dBG p 3−≥

La bande passante à 3 db est la tranche des fréquences pour lesquelles l'affaiblissement de la puissance de sortie, à puissance entrante constante, est inférieur à 3 dB par rapport à sa valeur maximale.

Système de transmission s (t) e(t)


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Propriétés des systèmes de transmission : SLIT Nous allons nous intéresser à des systèmes de transmission qui possèdent les trois propriétés suivantes : linéarité, continuité et stationnarité. Systèmes linéaires : Si s1(t) est la réponse à e1(t), Si s2(t) celle de e2(t) alors la réponse du signal a e1(t) + b e2(t) sera a s1(t) + b s2(t) Il est important de noter que presque tous les systèmes physiques sont linéaires pour les faibles signaux. Systèmes continus : Soit sn(t) la suite des réponses à en(t), le système est dit continu si nous avons la propriété suivante : Lim (sn(t)) lorsque n tend vers l'infini est identique à la réponse du signal lim(en(t)) Systèmes stationnaires : Un système est stationnaire si son comportement est indépendant du temps ou invariant par translation :

Si e(t) a pour réponse s(t) alors e(t-T) a pour réponse s(t-T)

Les filtres sont définis comme des systèmes de transmission linéaires, continus et stationnaires.

fréquence Bande passante à -3dB

Ps/Psm

1 0

-3 1/2

dB


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VI) Filtres et Convolution

Définition Une impulsion brève, injectée à l'entrée d'un SLIT, ne donne jamais en sortie une impulsion infiniment brève mais un signal de durée finie. Cette réponse est appelée : la réponse impulsionnelle du SLIT, noté h(t). C'est la réponse du SLIT à une impulsion de Dirac δ(t). Pour un signal d'entrée quelconque, on veut établir une relation mathématique qui lie le signal d'entrée e(t) et le signal de sortie s(t) pour un SLIT. ð Décomposition du signal d'entrée quelconque en impulsions de largeur ∆t ð La réponse sera donc une combinaison linéaire des réponses aux impulsions

On considère en entrée une impulsion de largeur ∆t et d’amplitude 1/∆t . En sortie le SLIT donne une réponse notée h ∆t (t) qui tend vers h(t) lorsque ∆t tend vers 0.

=> ( )ttithtietis t ∆∆−∆=∆ ∆ )()()(

=> ∑∞

=

∆=0

)()(i

tists

Lorsque ∆t -> 0 et pour les signaux non causaux :

τττ dthets )()()( −= ∫+∞

∞−

La relation ci-dessus définit le produit de convolution de la fonction des fonctions e(t) et h(t).

δ(t-t0)

t0

Signal d'entrée e(t)

t

t0

t

Signal de sortie h(t)

h(t-t0)

∆t

e(∆t)

e(0) e(i∆t)

i∆t

t


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ð La convolution exprime la réponse à un signal quelconque à partir de la réponse impulsionnelle. Elle dépend du filtre caractérisé par h(t) et l'histoire du signal :

∫+∞

∞−−=⊗= τττ dthethtets )()()()()(

Les filtres sont donc des systèmes de convolution.

Propriétés de la convolution : Commutativité : x ⊗ y = y ⊗ x Distributivité : x ⊗ (y+z) = x ⊗ y+x ⊗ z Associativité : x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y ⊗ z Elément neutre : distribution de Dirac : x ⊗δ = δ ⊗ x = x

Théorème de Plancherel : Il énonce la relation très importante entre la transformée de Fourier et le produit de convolution : La transformée de Fourier d'un produit de convolution est un produit simple des transformées de Fourier : Si x (t) ---- > X(f) Si y(t) ----> Y(f) alors x(t) ⊗ y(t) ----> X(f).Y(f) De même x(t)y(t) ----> X(f) ⊗ Y(f) Donc si e(t) ----> E(f), h(t) ----> H(f) et s(t) ----> S(f) alors S(f)=E(f).H(f).

ð H(f) est la fonction de transfert du SLIT.

VII) Introduction à la notion de corrélation La fonction d’intercorrélation de deux signaux quantifie la similitude des deux fonctions au cours du temps.

Puissance et énergie des signaux Toute transmission est liée à une transmission d'énergie. Lorsqu'on fait une mesure, le processus subit toujours un prélèvement d'énergie de la part du dispositif de mesure. On peut caractériser un signal selon les critères de puissance et d'énergie dans l'espace temporel ou fréquentiel.


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Puissance temporelle d'un signal : Puissance instantanée : )(*)()( txtxtp =

Energie totale : ∫+∞

∞−= dttxtxEx )(*)(

De la même façon on peut définir la puissance fréquentielle d'un signal (densité spectrale de puissance)

)(*)()( fXfXfS xx =

Energie totale : ∫+∞

∞−= dffSE xxX )(

Corrélation et densité spectrale Définition de la fonction de corrélation pour les signaux à énergie finie.

∫+∞

∞−−= τττ dtxxtCxx )(*)()(

La fonction de corrélation traduit la similitude d'un signal ou de deux signaux au niveau de la forme et de la position en fonction du paramètre t. Elle permet par exemple de détecter le décalage temporaire ou déphasage entre deux signaux. Elle est appliquée dans les récepteurs GPS pour calculer des speudodistances. Dans le cas de la fonction d'autocorrélation, c'est une étude de la ressemblance du processus avec lui même au cours du temps et par conséquent si le signal est périodique, la fonction d'autocorrélation permettra de détecter cette périodicité. Relation avec la densité spectrale d'énergie.

∫+∞

∞−

− −=−⊗= τττ dtxxtxtxfSTF xx )(*)()(*)())((1

Donc ))(()( 1 fSTFtC xxxx−=

La densité spectrale d'énergie (donc la redistribution de l'énergie sur l'axe des fréquences) est

la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation.

Corrélation d’un signal périodique :

∫ −=0

00

1 T

xx dtxxT

tC τττ )(*)()(

tbtaatx nnnn

n ωω sincos)( ++= ∑∞

=10


20

ð ( ) tbaatC nnnxx ωcos)( ∑∞

++=1

2220 2

1

Identité de Parseval :

( )∑∞

=

++=1

2220 2

1

nnn baaEx

L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : elle sera la même qu'il s'agisse de la représentation temporelle ou fréquentielle.

dffXdttx22

)()( ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−=

VIII) Filtrage des signaux analogiques Filtrage ou fenêtrage temporel Le terme de "filtrage" est habituellement utilisé dans le domaine fréquentiel. Dans le domaine temporel, on parle de fenêtrage, opération qui consiste à prélever, interrompre ou seulement atténuer un signal.

s(t) =e(t). ϕ(t)

La modification qu'entraîne ce filtrage temporel au niveau du spectre en fréquence de e(t) est donné par la relation de Plancherel :

S(f) = E(f) ⊗ φ(f)

Filtre temporel ϕ(t) s (t) e(t)

t

e(t)


21

L'enregistrement par un appareil ou le traitement d'un ordinateur d'un signal impose un temps fini au signal qu'il soit analogique ou échantillonné. Ce problème de la durée finie d'un signal est celui de la mesure . En effet, on enregistre le signal d’un phénomène physique pendant une durée finie. Le signal enregistré est- il une réplique fidèle du phénomène physique ? Pour réaliser une formulation de cette troncature temporelle du signal, on utilise la fonction porte temporelle Πτ(t) de largeur τ. Donc le signal tronqué peut s'écrire :

)()()( ttsts τΠ=Π => )(sin)()( τπτ ffSfS c⊗=Π Cette troncature temporelle va donc apporter des modifications sur le spectre d'autant plus importantes que τ sera petit par rapport à la période du signal. Plus la mesure ou l'observation du signal sera longue et plus le spectre du signal sera précis, c'est à dire peu perturbé par la fenêtre temporelle.

Par exemple : tts 0cos)( ω= => ( ))()(21

)( 00 fffffS ++−= δδ

Son spectre est :

t

s(t)

T T

ϕ1(t)

1

T

t

s(t) ϕ2(t)

1

T

1/2

S(f)

f

f0 -f0


22

Le signal tronqué sera tts 0cos)( ω=Π pour

−∈

2,

2ττ

t et nulle ailleurs.

ð ( ))((sin)((sin2

)(sin)()( 00 ffffffsfS ccc ++−=⊗=Π πτπττ

πττ

Dont le spectre est :

On observe dans le signal tronqué des fréquences abscentes dans le signal d’origine. Pour les éliminer il faut que le temps d’acquisition soit alors infini.

IX) Filtrage fréquentiel De même manière que dans le domaine temporel, nous parlerons de filtrage fréquentiel comme l'opération qui consiste à prélever, interrompre ou seulement atténuer les composantes fréquentielles d'un signal.

S(f)=E(f). φ(f)

Théorème fondamental des filtres Il est très intéressant de passer dans le domaine fréquentiel pour déterminer la réponse d'un filtre car l'opération à réaliser est alors un simple produit. Le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel pour le signal se fait par transformée de Fourier.

τ/2

S(f)

f

f0 -f0

Filtre fréquentiel φ(f) S (f) E(f)

Action Réponse

Domaine temporel : e(t) Filtre (Convolution par h(t)

s(t)

Domaine fréquentiel : E(f) Filtre (Produit par H(f))

S(f)

Transformée de Fourier


23

Filtres réalisables Un filtre est réalisable s'il est causal car l'effet ne peut pas précéder la cause. Tout système physique aura donc une réponse impulsionnelle h(t) réelle quelconque et par conséquent une fonction de transfert H(f) complexe. Par conséquent tout filtre physique réalisable déphase. Ce déphase peut être linéaire ou pas. Les filtres analogiques continus réalisables sont construits à partir des composants électroniques : résistances, capacités, self- inductance et ampli opérationnel.

X) La modulation La modulation des signaux vient du besoin de transmettre un signal physique, support d'une information, entre deux points distants. Le spectre d'un signal réel a toujours une largeur de bande spectrale. Celle-ci peut être définie à - 3 db. Par exemple : Signal de parole "téléphonie" : fm = 300 Hz et fmax = 3,5 kHz Signal sonore "haute fidélité ": fm= 20 Hz et fmax =16 kHz La transmission de ce signal va être effectué soit à l'aide d'un support physique de transmission qui peut être un câble électrique, une fibre optique, soit en utilisant une propagation d'onde hertzienne (ex : signaux GPS). Exemple du distancemètre électro-optique basé sur le principe du déphasage employé par les géomètres. Pour la mesure de distance, l’instrument utilise une onde (porteuse) de grande fréquence, généralement dans l’infrarouge (3 1014 Hz) modulée en amplitude par une onde de fréquence plus basse, généralement de l’ordre de 100 MHz qui représente le signal informatif. La porteuse n’est utilisée que pour ses propriétés de propagation. La mesure de phase directement sur la porteuse serait plus problématique. Il faudra donc séparer le signal de la porteuse, c’est l’opération de démodulation. De la même façon, que pour le signal, une voie de transmission est nécessairement imparfaite et donc ne laisse passer que certaines fréquences. On appelle la bande passante du support, la zone de fréquence qui caractérise le support de transmission. Celle- ci peut être définie à - 3 db. Deux conséquences : ð Le spectre du signal que l'on désire transmettre doit être compris dans la bande passante

du support de la voie de transmission si l'on veut avoir une réception correcte sans déformation.

ð Si le support de la voie de transmission a une très large bande passante par rapport au signal à transmettre, l'utilisation de la voie de transmission n'est pas optimisée.


24

Transmission par modulation Cette opération consiste à transposer un signal en un autre signal contenant la même information mais avec une modification en fréquence du signal. Avantages : Multiplexage fréquentiel : utilisation du même support de transmission par plusieurs communications. Adaptation aux conditions particulières d'un milieu de transmission : augmentation des distances de propagation.

Les différentes formes de modulation La modulation d'un signal utilise une onde porteuse :

( )φ+Ω= tAVp cos Cette onde porteuse est utilisée pour transmettre le signal informatif en modifiant l'une de ces caractéristiques au rythme du signal à transmettre : Amplitude A du signal porteur : modulation d'amplitude Fréquence fp du signal porteur : modulation de fréquence Phase φ du signal porteur : modulation de phase La fréquence de modulation est nettement inférieure à la fréquence de la porteuse. Modulation d'amplitude

)cos())(1( φ+Ω+= ttmsAVoma avec 1)(max

≤ts et Fπ2=Ω

Cas particulier : tts ωcos)( = fπω 2=

( )[ ] ( )[ ]( )φϖφωφ ++Ω++−Ω++Ω= tAm

tAVoma coscos2

)cos(

Le spectre se compose donc de trois raies, F, F-f, F+f La largeur spectrale occupée par le spectre : 2f


25

Dans le cas général :

( )∑=N

ii tats0

cos)( ω

( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]φωφωφ ++Ω++−Ω++Ω= ∑ ii

Ni

omama

tAV coscos2

cos0

Ainsi si l'on désire transporter par un même canal plusieurs informations de type BF, l'écart entre les deux porteuses doit être de 2 fN. Exemple En radiodiffusion où le spectre des signaux BF a été volontairement tronqué à 4,5 kHz, chaque émetteur occupe autour de sa fréquence porteuse une largeur spectrale de 9 kHz. Ainsi pour la gamme "Grandes Ondes" situé entre 150 et 450 kHz, il peut théoriquement être placé environ 30 émetteurs. En réalité, afin d'éviter toutes les interférences, seuls 10 émetteurs peuvent coexister. Procédé de modulation : l'émetteur

2fN

F F +fN F-fN

A

f

spectre

Control de gain (Signal modulant ω )

Amplificateur

Gain G

Oscillateur (Onde porteuse)

Ω

Filtre Passe-bande

OMA


26

Procédé de démodulation synchrone : le récepteur OMA : )cos())(1( φ+Ω+= ttmsASoma OL : ( )tBSol 0cos Ω=

Sortie : ( ) ( ) ( )[ ]φφ +Ω+Ω++Ω−Ω+= tttmsAB

S sortie )(cos)(cos)( 0012

XI) Le bruit Comme il a été défini dans l'introduction, le bruit correspond à tout signal indésirable limitant l'intelligibilité d'un signal utile. Dans cette partie nous allons donner quelques renseignements sur la nature du bruit et la notion de rapport signal /bruit.

Sources de bruit Bruit externe et bruit interne Relativement au système considéré (filtre, détecteur, etc..) les sources de bruits sont classables en deux grandes catégories : externe et interne. Bruit externe La source de bruit est localisée à l'extérieur du système et agit sur celui-ci par influence. On peut alors distinguer deux origines : Perturbations naturelles (bruits cosmiques, bruits atmosphériques);

Perturbations artificielles (parasites générés par des équipements électriques industriels…)

Signal OMA

Multiplieur Oscillateur local Ω0

Filtre Passe-bande

Signal BF


27

Bruit interne Les causes des perturbations internes à un système de traitement peuvent se classer en deux groupes : Perturbations impulsionnelles engendrées par des commutations de courants Le bruit de fond généré dans les câbles et les composants électroniques en raison des mécanismes statistiques de la conduction électrique. On peut distinguer le bruit thermique (dans les circuits passifs comme les résistances) et le bruit de grenaille (dans les composants actifs comme les diodes, transistors) Ces perturbations externes ou internes peuvent être éliminées ou fortement diminuées par des blindages mais le bruit de fond est irréductible à une température de donnée. Du fait de l'agitation thermique, une tension de bruit apparaît dans le conducteur. On montre que ce bruit (bruit blanc) possède une densité spectrale de puissance constante. Sa fonction d'autocorrélation est en première approximation une impulsion de Dirac :

)()( tkTtCbb δ

=

21

Rapport signal/bruit Le rapport signal/bruit est une caractéristique de la dégradation d'un signal par définition informatif, par un bruit non informatif. C'est un moyen pour caractériser un système de transmission en comparant le rapport S/B à son entrée et le rapport S/B à sa sortie ou pour comparer "la qualité" des diverses méthodes de traitements de signaux. Le signal étant indépendant du bruit :

bsbs PPP +=+ On définit donc le rapport signal / bruit :

b

s

PP

=η

Ce rapport peut s'exprimer en db :

b

sdb P

P10log10=η


28

Détection d'un signal noyé dans le bruit Détection par autocorrélation Les propriétés des fonctions de corrélation donnent lieu à diverses méthodes de traitement des signaux bruités. Ces traitements supposent un bruit blanc. Soient un signal x(t) et un bruit b(t), indépendant du signal. Le signal complet à traiter s(t) est donc la somme des deux signaux :

)()()( tbtxts +=

La fonction d'autocorrélation de ce signal devient :

( )( ) ττττττττ dtbtxbxdtsstC ss )()()()()()()( −+−+=−= ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

)()()()()( tCtCtCtCtC bbbxxbxxss +++=

x(t) et b(t) étant indépendants :

)()()( tCtCtC bbxxss +=

)()( tCtC xxss ≈

Cette méthode permet de détecter la présence d'un signal même lorsque le rapport signal/bruit est faible. Cependant, cette méthode ne permet pas de restituer la forme du signal car la fonction de corrélation ne conserve que l'information fréquence. La phase est perdue. On ne peut donc pas retrouver la forme du signal à partir de la fonction de corrélation. La figure ci-dessous permet de montrer l'utilisation de cette technique de détection par autocorrélation d'un signal noyé dans le bruit. Le signal bruité est un signal sinusoïdal pur auquel a été ajouté un signal de bruit blanc. Détection par corrélation avec un signal sinusoïdal pur Cette méthode de détection d'un signal noyé dans un bruit peut être encore plus efficace en terme d'extraction d'un signal faible par rapport au bruit en réalisant une détection synchrone. Au lieu de faire l'autocorrélation du signal s(t), le procédé consiste à réaliser la corrélation de ce signal avec un signal sinusoïdal xp(t). En faisant varier la fréquence de ce signal sinusoïdal, la fonction de corrélation sera non nulle à chaque fois que la fréquence du signal xp(t) sera identique à celle contenue dans le signal x(t) (cf. figure ci-dessous). En effet, nous avons la fonction de corrélation :

)()()()( tCtCtCtC pxxpbxpxxpsx =+=


29


30

C) Le traitement numérique du signal Après avoir vues différentes notions de traitement du signal analogique, nous allons les transcrire dans le cas d’un signal numérique. Nous verrons en particulier le théorème de Shannon concernant l’échantillonnage d’un signal continu qui précise les conditions pour lesquelles une suite de valeurs numériques représente correctement le signal physique mesuré. Ce chapitre se décompose en trois parties : La première concerne l’échantillonnage et le théorème de Shannon. La seconde concerne le spectre des signaux discrets et la transformée de Fourier discrète La troisième aborde la notion de filtre.

I ) L'échantillonnage L’échantillonnage consiste à représenter un signal continu (analogique) Ve(t) par un ensemble de valeurs discrètes Vs(nTe), avec n entier et Te (constante) la période d'échantillonnage. Ces valeurs discrètes auront la même amplitude que le signal continu aux instants nTe compté à partir d'une origine arbitraire (début de l'échantillonnage). Dans la suite, on ne considère pas la précision de la numérisation ainsi que le temps de réponse du système numérique (acquisition, restitution) qui peuvent être améliorés en augmentant la précision du convertisseur (nombre de bits) et en choisissant un processeur plus rapide. La détermination de la période d'échantillonnage est plus difficile et doit satisfaire au théorème de Shannon. Il est clair que pour restituer le signal original il suffit de diminuer la période Te (donc d'augmenter la fréquence d'échantillonnage Fe). Mais cette diminution est au prix du traitement (acquisition, numérisation et restitution) d'un plus grand nombre d'échantillons donc au prix d'une consommation accrue de temps et de mémoire.


31

Evolution d'un signal à travers une chaîne d'acquisition

Signal d'entrée continu Ve

Echantillonnage à Te

Ve(nTe)

Quantification CAN Ve(n)

Signal Numérique Vs(n)

Quantification CNA

Vs(nTe)

Restitution Filtrage -

Interpolation

Vs = Ve ?


32

Question : existe-t- il pour un signal donné, une période d'échantillonnage qui soit " un bon compromis" entre la qualité du traitement et la minimisation du nombre de mesures ou d'échantillons ? On va considérer un signal continu (analogique) de fréquence F = 5 Hz représentant 5 cycles/s que l’on échantillonne à différentes fréquences d’échantillonnage Fe. L'échantillonnage consiste à prendre des valeurs du signal continu à une fréquence d'échantillonnage donnée. On voit d'après les graphes ci-dessus que la restitution du signal dépend de cette fréquence d'échantillonnage. Pour restituer correctement le signal d'origine, il faut que la fréquence d'échantillonnage soit au moins deux fois plus grande que la fréquence du signal d'origine. C'est le théorème de Shannon : La fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois plus grande que la plus grande fréquence contenue dans le signal. En d'autres termes, si on échantillonne à une fréquence Fe, on ne pourra restituer sans déformation que les fréquences du signal inférieures à la fréquence Fe/2 , dite fréquence de Nyquist.

-1.5

0

1.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Signal continu à F = 5 Hzéchantillonnage à 33,3 Hz

seconde

Te

-1.5

0

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Signal continu F = 5 Hz

échantillonnage à 10 Hz

échantillonnage à 4,5 Hz

seconde


33

Exemple : dans le cadre d’un étalonnage d’un distancemètre à onde continue modulée on cherche à déterminer l’erreur cyclique qui est une erreur périodique dont la période est égale à la demie longueur d’onde de modulation λ0. Il faudra donc faire des mesures de distances avec un pas maximal de λ0/2 pour représenter correctement l’erreur cyclique.

II ) Echantillonnage idéal On suppose que le signal s(t) a un spectre borné. Envisagé dans le domaine temporel, le processus d'échantillonnage revient à multiplier le signal continu s(t) par une série d'impulsions unité : le "s ignal" obtenu est alors constitué d'une succession d'impulsions, dont la hauteur est modulée par l'amplitude du signal s(t). On utilise la propriété de localisation du pic de Dirac en faisant intervenir le peigne de Dirac :

( ) ( )∑∑+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

−=−=k

k

k

ke kTetkTeskTettsts ))()()( δδ

avec ( ) ( )∑∑+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

−=

−

k

k

k

k

kFefFekTetTF δδ

Il est important d'étudier le spectre de ce signal échantillonné pour déterminer la modification éventuelle que cette opération d'échantillonnage lui a fait subir. D'après le théorème de Plancherel :

( ) ∑∑+∞=

−∞=

+∞=

∞=

−=

−=

k

k

k

ke kFefSFekFeffSFefS )(*)()( δ

Par conséquent, le spectre du signal échantillonné Se(f) s'obtient en périodisant avec une période égale à Fe le spectre du signal continu multiplié par Fe.

Périodisation du spectre du signal échantillonné

fmax -fmax

S(f)

fmax -fmax

Fe

Fe

Se(f)


34

A partir du diagramme ci-dessus, on peut retrouver le théorème de Shannon : pour que la répétition périodique du spectre du signal échantillonné ne déforme pas le motif répété, il faut et il suffit que la fréquence d'échantillonnage Fe soit égale ou supérieure à 2 fmax.

III ) Restitution du signal initial à partir de l'échantillonné Si on dispose du signal se(t), peut-on retrouver le signal d'origine s(t) ? Si on suppose le théorème de Shannon rempli, on peut utiliser un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure Fe/2 pour extraire du spectre périodique le spectre correspondant au signal d'origine. On obtient alors le spectre de base centré en f = 0 :

)()()( ffSfS Feeeo ∏= donc dans l'espace temporel :

( )FetFetsts ceeo πsin)()( ⊗= soit :

( )∑+∞

∞−

⊗−= )(sin)()()( FetkTetkTesFets ceo πδ

( )∑+∞

∞−

−= )(sin)()( kTetFekTesFets ceo π

or )()( fFeSfSeo = donc )()( tFestseo =

par conséquent : ( )∑+∞

∞−

−= )(sin)()( kTetFekTests c π

Le théorème de l'échantillonnage peut donc aussi s'exprimer de la manière suivante : Un signal continu de spectre borné dans l'intervalle de fréquences (- fmax, +fmax) est complètement déterminé par les valeurs qu'il prend à des instants régulièrement espacés de 1/(2fmax).


35

IV ) Effet de repliement du spectre. Cet effet se produit lorsque la fréquence d'échantillonnage est plus petite que 2fmax. Le signal est alors sous-échantillonné et il y a recouvrement de spectre qui va faire apparaître des fréquences du signal échantillonné qui ne composent pas le signal origine . Le filtre passe-bas qui permettait de récupérer le spectre de base ne peut plus agir efficacement. Une fréquence fr comprise entre Fe/2 et fmax est vue comme la fréquence Fe - fr

On parle alors de repliement de spectre.

Le signal échantillonné apparaît comme un signal à la fréquence de 3Hz. De façon plus générale, si le spectre du signal origine contient des fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist Fe/2, ces fréquences fr font apparaître dans le spectre échantillonné des fréquences sœurs (fréquences de repliement) :

Fréquence sœur = Valeur Absolue ((multiple entier de Fe plus proche de fr) - fr)

fmax -fmax

Fe

Se(f)

-1.5

0

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Signal continu à 6 Hzéchantillonnage à 9 Hzsignal échantillonné f = 3 Hz

seconde


36

Exemple : Le signal continu contient les quatre fréquences F1.. F4. Si on échantillonne à 100 Hz, il apparaîtra dans le spectre de l'échantillonné des fréquences sœurs à 10 Hz, 30 Hz et 40 Hz. Seule la fréquence F1 à 25 Hz sera correctement représentée. Pour éviter ce phénomène de repliement, on place un filtre analogique avant l'échantillonneur afin d'éliminer les fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist.

V ) Transformée de Fourier Discrète Pour les différents cas de signaux, continus ou discrets et périodiques ou transitoires, la représentation fréquentielle possède des propriétés particulières équivalentes continue ou discrète et périodique ou transitoire.

Signal Spectre Méthode de calcul représentation 1) continu et transitoire 2) discret et transitoire 3) continu et périodique 4) discret et périodique

Intégrale de Fourier Intégrale de Fourier Série de Fourier Transformée discrète de Fourier

Continue et non périodique Continue et périodique Discrète et non périodique Discrète et périodique

D'une façon générale, si l'on désire avoir une représentation spectrale numérique, le calcul des raies spectrales implique une discrétisation en fréquence, ce qui a pour conséquence de rendre le signal temporel périodique et discret. Un signal transitoire est considéré comme périodiquement répété en dehors de son domaine d'existence. On a vu que lorsqu'on discrétise le signal temporel avec une période Te on fait apparaître un spectre périodique de période fréquentielle Fe =1/Te. La réciproque est aussi vraie.

Fe /2 = 50 Fréquence de Nyquist

Fe = 100

F1 25 H

F2 70 H

F3 160

F4 510

F'4 10

F'2 30

Fréquence Hz

F'3 40


37

Définition Dans le but de calculer la transformée de Fourier d'un signal continu s(t) à l'aide d'un ordinateur, on est amené à discrétiser le signal et à tronquer temporellement ce signal. On obtient une suite de N termes représentée par :

( ) ( )∑∑−−=

=

−=−=1

0

1

0

)()()(NNk

ke kTetkTeskTettsts δδ

la série de valeurs se(kTe) formant la sériesk De la même façon que la transformée de Fourier TF du signal analogique s(t) s'exprime par :

dtftjtsfStsTF )2exp()()())(( π∫+∞

∞−

−==

on peut définir une Transformée de Fourier Discrète (TFD) d'un signal défini par N échantillons, la suite de N termes définie par :

∑−

−

=

1

0

N

e NFe

mfNFe

mSfS δ)(

avec mk SsTFD = avec ∑−

=

−=

=

1

0

2N

kkm N

mkjs

NFe

mSS πexp

La transformée de Fourier discrète réalise la correspondance entre deux suites de N termes. La résolution fréquentielle est alors de ∆f = 1/τ = Fe/N. Pour une même fréquence d’échantillonnage on a intérêt à augmenter le nombre total d’échantillons pour augmenter la résolution fréquentielle. On retrouve ainsi le problème de la mesure. On peut définir une TFD inverse pour k =0,… , N-1 :

km sSTFD =−1 avec ∑−

=

+=

1

0

21 N

mmk N

mkjS

Ns πexp

N échantillons τ = N Te

sk

Te

Sm

N échantillons Fe = N/τ

1/τ

TFD


38

On montre également la relation entre les points de la transformée discrète du signal échantillonné et les valeurs de la transformée de Fourier à ces mêmes fréquences :

==

==

NmFe

fNSN

mFefS

TeSm

τ

Lorsque le nombre d'échantillons est une puissance de 2, on peut utiliser l'algorithme de la FFT (Fast Fourier Transform) qui un algorithme récursif permettant de calculer une TFD en diminuant considérablement le nombre d'opérations mathématiques effectuées. On montre que la TFD d'ordre N est la somme de deux TFD d'ordre N/2. Exemple : En TD on verra l’utilisation d’un tableur pour réaliser une DFT. On crée à l’aide d’un tableur deux signaux S1 et S2 sinusoïdaux de fréquences f1= 2 Hz et f2 = 4 Hz et d’amplitudes respectives A1 = 1 et A2= 0,5. Pour pouvoir représenter correctement ces deux signaux numériques il faut satisfaire au théorème de Shannon. On peut choisir par exemple une fréquence d’échantillonnage Fe = 32 échantillons / s (32 Hz) et on représente les deux signaux sur une période de 1 seconde. Leurs expressions mathématiques s’écrivent :

=

322 1

1

kfSINS

...π

=

322

50 22

kfSINS

...,

π [ ]310,∈k

On montrera comment déterminer les composantes fréquentielles du signal S1 + S2.

VI ) Convolution et corrélation numériques

a) Convolution discrète De la même manière que pour la transformée de Fourier, il est possible de définir la convolution discrète. Soient xk et yk, les suites de N échantillons des signaux continus x(t) et y(t), la convolution discrète s'écrit :

∑−

=−=

1

0

N

iikik yxz avec k = 0,…,N-1

Ce calcul nécessite de connaître yi en dehors de l'intervalle précédemment défini. En effet, il faut connaître les échantillons correspondant à l'intervalle [-N+1, N-1]. ð trois possibilités : 1°) On considère tous les échantillons en dehors de l'intervalle comme nuls et on calcule la convolution sur 2N-1 points 2°) On considère les échantillons en dehors de l'intervalle comme identiques, c'est à dire comme si la fonction était périodique de période NTe 3°) On calcule la convolution sur N/2 échantillons


39

b) Corrélation discrète De même :

∑−

=−=

1

0

N

ikiixy yxkC avec k =0,…, N-1

Les mêmes remarques concernant la convolution s'appliquent à la corrélation.

VII ) Notions de filtrage numérique

a) Introduction Un filtre numérique est un système utilisé pour modifier la distribution fréquentielle d'un signal numérique selon des spécifications données. Il peut être vu comme un procédé de calcul permettant de transformer un signal numérique d'entrée en un signal numérique de sortie pour obtenir la modification voulue du signal. Le problème consiste donc à trouver l'équation qui régit cette transformation et qui représente la réponse fréquentielle souhaitée. Comme dans le cas des filtres analogiques (SLIT) où une équation différentielle à coefficients constants relie l'entrée à la sortie, il existe pour les filtres numériques une équation aux différences à coefficients constants reliant l'entrée à la sortie :

∑∑=

−=

− −=N

jjkj

N

iikik ybxay

10

avec N ≤ k

Cette relation montre que la sortie à l'instant k dépend de l'entrée à l'instant k et des précédentes mais également des sorties précédentes. Elle traduit la linéarité du système. De cette relation, on peut en déduire deux types de filtres numériques : ð les filtres non récursifs : tous les bj sont nuls ð les filtres récursifs : au moins un bj est non nul Dans le cadre des systèmes linéaires invariants, l'utilisation de la réponse impulsionnelle permet d'écrire la convolution discrète :

∑+∞

∞−−= ikik xhy

Cette équation amène également à définir deux types de filtres numériques :

Filtre Signal brut xn

Signal filtré yn


40

ð les filtres à réponse impulsionnelle finie :

∑−

−=1

0

N

ikik xhy

ð les filtres à réponse impulsionnelle infini pour lesquels la relation de convolution ne sera

pas applicable et il sera nécessaire d'utiliser l'équation aux différences. Comme pour les filtres analogiques, on peut passer du domaine temporel au domaine fréquentiel en utilisant la transformée de Fourier discrète. On peut donc définir un filtre numérique par analogie à un filtre analogique. Sa réalisation sera obtenue à partir de

- l'équation aux différences - l'équation de convolution (filtre à réponse impulsionnelle finie) - la transformée de fourier Discrète lorsqu'on connaît la fonction de transfert Hm

b) Transformation en z Dans le cas des signaux discrets, on introduit une nouvelle transformation, la transformée en z, notée Tz :

( ) ∑+∞

=

−==0

)()()(k

kzkTeszStsTz

La propriété importante de cette transformation est le retard temporel.

( ) mzzSmTetsTz −=− )()( Ainsi, z-1 est appelé l'opérateur retard et fait correspondre à un signal le même signal retardé d'un échantillon. Ex : 1

1−

− = nn xxz . Lorsqu’on applique l’opérateur retard à l’échantillon xn on obtient l’échantillon précédent xn-1 .

Filtre numérique xk yk

Xm Ym Ym=HmXm

TFD

TFD-1


41

c) Synthèse des filtres numériques par la fonction de transfert. On obtient la fonction de transfert à partir de l'équation aux différences :

∑∑=

−=

− =N

jjkj

N

iiki ybxa

00

avec bo=1

En prenant la transformée en z de cette équation comme dans le cas des filtres analogiques où l'on linéarise l'équation différentielle en appliquant la transformée de Fourier.

On obtient alors dans le cas général:

∑

∑

=

−

=

−

==N

j

jj

N

i

ii

zb

za

zXzY

zH

0

0

)()(

)(

Exemple : considérons un filtre du second ordre (N=2)

2211022110 −−−− ++=++ kkkkkk xaxaxaybybyb avec kk yZy 11

−− = et kk xZx 1

1−

− =

on obtient : kk

k Hzbzbbzazaa

xy

=++++

= −−

−−

2110

22

110

2

Pour un filtre non récursif :

∑=

−=N

i

ii zazH

0

)(

qui se traduit par : 22110 −− ++= kkkk xaxaxay

Ensuite, la question fondamentale à résoudre est comment obtenir H(z) pour des caractéristiques bien définies (gain, phase,…) correspondant par exemple à un filtre analogique défini par sa fonction de transfert. C'est le domaine très vaste de la synthèse des filtres numériques. Une première approche est de transposer la fonction de transfert du filtre analogique au filtre numérique. Par exemple, si on considère le filtre analogique passe-bas du 1er ordre suivant :

e(t) s(t) R

C


42

La relation entre l'entrée et la sortie s'exprime par :

dttds

RCtste)(

)()( +=

En prenant la transformée de Fourier de cette équation, on obtient la fonction de transfert :

)exp(211

)( ϕπ

jGfRCj

fH =+

=

avec le gain 2)2(1

1

fRCG

π+= et la phase )2arctan( fRC πϕ −=

Comment passe-t-on de H(f) à H(z) ? D'après la définition de la transformée en z, on peut voir qu'en prenant z = exp(j2πfTe) on retrouve la transformée de Fourier.

Il suffit donc de remplacer dans H(f) f par )ln(21

zTej π

. Seulement H(z) ne sera plus linéaire.

Il faut trouver une nouvelle transformation qui puisse conserver la fonction comme un rapport de polynômes en z-1.

d) Transformation d'Euler ou équivalence de la dérivation

dtdx

ty =)( => Te

XXn

nny 1−−=

Transformée de Fourier : )(2)( ffXjfY π= donc H(f) = j2πf

Transformée en z de l'équation différentielle discrétisée : ( )1)()(1

)( −−= zzXzXTe

zY

Soit )(1

)(1

zXTe

zzY

−−= d'où

Tez

zH11

)(−−

=

Il suffit donc de remplacer j2πf par Te

z 11 −− dans l'expression de la fonction de transfert du

filtre analogique.

11

1)(

−−

+

=z

TeRC

TeRC

zH


43

D’où ao =1 et tous les autres ai=0

+=

TeRC

b 10 et TeRC

b−

=1

En normalisant par b0, on obtient finalement :

nnn xb

ybb

y0

10

1 1+

−= −

C’est donc un filtre récursif d’ordre 1.

VIII) Bibliographie F. COTTET, Traitement des signaux et acquisitions des données, 2e édition, DUNOD, 2002 F. COTTET, Traitement du signal – Aide mémoire, DUNOD, 2000 J. BROESCH, Comprendre le traitement numérique du signal, PUBLITRONIC/ELEKTOR, 1999


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Documents

Support de cours : traitement du signa A) …esgt.picturebook.free.fr/dl/tds/support_tds.pdf · Le traitement du signal fera donc appel à des notions mathématiques et physiques