Support Hyperfrequences Chap 3

Chapitre 3: Antennes cornets et réflecteurs paraboliques


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1. Introduction

Jusqu’à présent, nous avons vue les principaux éléments utilisés dans lesmontages hyperfréquences en guides d’ondes creux: générateurs des signaux, guides d’ondes et composants passifs. La finalité de presque tous ces montages est de transmettre des signaux hyperfréquences, en propagation libre, en utilisant des antennes. Parmi ces antennes on cite les cornets et les réflecteurs paraboliques. La modélisation du rayonnement de ces antennes peut s’effectuer en utilisant la méthode du rayonnement par une ouverture. Une antenne est un dispositif métallique. Les électrons libres locaux du métal sollicités par un champ magnétique (sinusoïdal par exemple), induisent des courants et des charges locaux dynamiques (sources élémentaires) du champ électromagnétique. Le champ électromagnétique total rayonné par l’antenne dépend de la répartition des sources élémentaires et leurs phases relatives dans le dispositif métallique.

2. Propriétés caractéristiques

2.1. Impédance d’une antenne L’impédance d’entrée d’une antenne est l’impédance associée au champ électromagnétique à l’interface antenne/espace libre.

Guide d ’onde

Antenne

Générateur

PT

Pr

Pray

Les puissances mises en jeu s’écrivent: avec où Pray puissance rayonnée, PT est la puissance transmise à l’antenne par la source, Za est l’impédance associée au champ électromagnétique de l’antenne et Zc est l’impédance associée au champ électromagnétique dans le guide d’onde. Dans ces conditions PT Γ2 est la puissance réfléchit vers le générateur. Elle est

indésirable car d’une part elle est perdue et d’autre part elle peut endommager la source. Dans ce cas on dit que l’antenne n’est pas adaptée à sa ligne de transmission. Pour adapter une antenne choisit un montage tel que: Za = Zb

)1(PP 2Tray Γ−=

ca

ca

ZZ

ZZ

+−=Γ


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D’une manière générale l’impédance d’une antenne est généralement complexe : Za=R+jX Où R=Rper+Rray avec Rray est la résistance de rayonnement et Rper est la résistance de pertes (elle caractérise les pertes générées par la résistance de l’antenne et par le diélectrique (courant de fuite) de l’antenne) et jX est est la réactance de l’antenne. jX est indésirable car elle s’oppose au transfère d’une partie de l’énergie de la source vers l’antenne. Afin de pouvoir transporter un maximum de puissance du générateur à l’antenne, il faut avoir une adaptation d’impédance. Le rendement de l’antenne η évoque le rapport entre la puissance réellement rayonnée et la totalité de la puissance fournie : Où Pray et Poh sont respectivement la puissance rayonnée et la puissance perdue.

2.2. Zones de rayonnement

Zone très proche(zone de Rayleigh)

Zone proche(zone de Fresnel)

Zone lointaine(zone de Fraunhoffer)

d

λ/2Π

2d2/λ

On définit trois zones de rayonnement pour une antenne: 1) zone de Rayleigh, où le rayonnement est approximativement que celui au niveau de la surface plane du réflecteur; 2) zone de Fresnel, où la puissance de rayonnement fluctue fortement. 3) zone de Fraunhoffer, où l’onde électromagnétique est sphérique et la puissance de rayonnement est en 1/r2. Polarisation, densité de puissance et intensité de rayonnement Considérons une antenne localisée à l’origine d’un repère en coordonnées sphériques comme indiqué dans la figure ci-dessous. Et supposons également que l’observateur est situé à une distance r très grande (approximation du champ lointain)

perray

ray

PP

Pη

+=


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x

y

z

θ

ϕ

r

er

eθ

eϕ

Antenne en coordonnées sphériques ; la position de l’antenne étant à l’origine

2.3. Polarisation, densité de puissance et intensité de rayonnement Dans la région du champ lointain de l’antenne, les expressions des champs E et H sont données par: en V/m en A/m où F(θ,ϕ) est une fonction vectorielle complexe liée à la structure de l’antenne et à la distribution des courants (elle est appelée la fonction vectorielle caractéristique du rayonnement de l’antenne -à voir plus loin-) Les champs E et H vérifient donc la relation : La polarisation d’une antenne est par définition celle du champ électrique. La puissance dP interceptée par l’élément de surface ds=r2dΩ est la densité de puissance rayonnée ((dP/ds)= (dP/(r2dΩ)). Elle est donnée par le vecteur de Poynting:

en Ω/m2 En utilisant la relation liant E et H, la densité de puissance rayonnée devient : L’intensité de la radiation P(θ, ϕ) est par définition la puissance rayonnée par unité d’angle solide (intensité du rayonnement) (dP/dΩ): en Ω/Stéradian

rj

ΠΘ−=

4

e).k.,(F

~E~

)rk-tj(

0

0

rrrr ω

ϕεµ

rj

Π

Θ×−=

4

e.k.),(F

~eH

~)rk-tj(

r

rrrr

r ω

ϕ

reH~

E~

0

0r

rr

×=εµ

22

0

),(E~

240

1),(E

~

Z

1

2

1),(r, ϕϕϕ Θ

Π=Θ=ΘΠ

rrr

2

2

2

0

02 ),(F~

32

k),,(),P( ϕ

εµϕϕ Θ

Π=ΘΠ=Θ rr

r

rer

rrrrr

2

2

2

2

0

0* 1),(F

~

32

k)H

~E~

Re(2

1)),(r,

~Re(

2

1),(r, ϕ

εµϕϕ Θ

Π=×=ΘΠ=ΘΠ


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2.4. Puissance totale rayonnée et intensité du rayonnement isotrope La puissance totale rayonnée par l’antenne est obtenue en intégrant la puissance par unité d’angle solide sur tout l’angle solide 4p qui entour l’antenne. en W Ou L’intensité du rayonnement isotrope par une antenne isotrope hypothétique au quelle on fournit la même puissance est donnée par : Piso=Pray/4Π ( W/ Stéradian) La densité de puissance isotrope correspondante d’une telle antenne est donnée par (dP/ds)iso: (en W/m2)

2.5. Gain en directivité et directivité Suivant la manière dont elles sont confectionnées, les antennes réelles émettent ou captent inégalement dans l’espace; certaines directions étant privilégiées. On parle alors de la caractéristique directionnelle d’une antenne. Le gain en directivité est défini par l’intensité de la radiation normalisée par l’intensité de rayonnement isotrope correspondante: Ou Le maximum du gain en directivité est appelé la directivité dans la direction de rayonnement maximal (θ0,ϕ0). Il est donnée par :

∫ ∫∫Π Π

ΠΘΘ=Ω=

2

0 04

ray sin),(P),(PP ddd ϕθϕϕθ

∫ ∫Π Π

ΘΘΠ

=2

0 0

2

2

2

0

0ray sin),(F

~

32

kP dd

u ϕθϕε

2

ray

2iso

r4

P

r

P

Π=

Π==

/4P

),(P

P

),(P),(D

rayiso

ϕθϕθϕθ

∫ ∫Π Π

ΘΘ

Π=

2

0 0

2

2

sin),(F~

,(F~

4),(D

dd ϕθϕ

ϕθϕθ

iso

00max00max

P

),(P),(D

ϕθϕθ =


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Piso

Piso

Pmax=DmaxPiso

Intensité de rayonnement d’une antenne parabolique et son intensité de rayonnement isotrope correspondante

Remarque: Pour une antenne isotrope D(θ,ϕ)=D= 1, quelque soit la direction, tandis que pour une antenne parabolique la directivité peut varier de 10 à 104.

2.6. Gain en puissance et gain en puissance normalisée Le gain en puissance est défini de la même manière que le gain en directivité en remplaçant la puissance rayonnée Pray par la puissance transmise à l’antenne PT. Le gain en puissance normalisée est définie par :

2.7. Diagramme de rayonnement Le rayonnement d’une antenne est généralement reporté dans un diagramme polaire. L’amplitude est souvent reportée en échelle logarithmique en décibel comme le montre la figure ci-dessous. Pour une antenne parabolique, le rayonnement se concentre surtout dans la direction perpendiculaire à la surface de la parabole passant par son foyer. Le rayonnement dans cette direction est appelé lobe principal. Autour de cette direction privilégiée, on retrouve d’autres directions où une partie du rayonnement plus faible que celle du lobe principal est concentrée. Le rayonnement dans ces directions sont appelés des lobes secondaires. En effet, les sources élémentaires de la parabole créent des champs électromagnétiques élémentaires qui interférent constructivement dans le lobe principal et des champs électromagnétiques des champs électromagnétiques élémentaires qui interférent partiellement dans des lobes secondaires.

rayT P

),(P4

/4P

),(P),(G

ϕθηϕθϕθ Π=Π

=

( ) ( )( )00max ,θG

θ,Gθ,g

ϕϕϕ =


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Niveau de réception réel en dBm Représentation normalisée Diagramme de rayonnement d’une antenne parabolique dans le plan horizontal

Les lobes secondaires sont indésirables, et on cherche autant que possible à les supprimer ou à réduire leur amplitude. Toutefois, à dimension d’antenne constante, toute réduction des lobes secondaires produit un élargissement du lobe principal et on doit établir un compromis entre ces deux paramètres.

2.8. Angle d’ouverture L’angle d’ouverture d’une antenne est par définition l’angle à demi-puissance du lobe principal

axe du lobe principal

1

0,8

0,6

0,4

Largeur du faisceauà mi-puissance (-3dB

Lobes secondaires

Angle d’ouverture


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2.9. Surface de captation A l’autre extrémité de la liaison, l’antenne de réception située dans un faisceau de densité de puissance Pinc, capte une puissance Pr qui est fournie au récepteur. Le quotient de ces deux grandeurs définit la surface de captation ou surface effective de l’antenne (en m2)

Remarque: On a supposé ici que les éléments sont adaptés les un des autres et qu’il n’a donc pas de pertes résultant de réflexions. On a admit également que les deux antennes fonctionnent avec la même polarisation. Pour toutes les antennes, on peut monter que la surface de captation est reliée au gain en puissance par :

3. Rayonnement par une ouverture

La modélisation du rayonnement des antennes telles que les cornets et les réflecteurs peut s’effectuer en utilisant la méthode du rayonnement par une ouverture. Considérons une source rayonnant un champ électromagnétique sur une ouverture plane; par exemple une ouverture d’un cornet ou la surface plane d’un réflecteur.

O u v e r t u r e p l a n e

inc

r

P

P),(A =ϕθ

2

),(A4),(G

λϕθϕθ Π=


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Ouverture plane

Foyer de la parabole

Champ électromagnétiques sur des ouvertures planes (cornet en haut et parabole en bas)

Le rayonnement par une ouverture peut être traité par la théorie géométrique de la diffraction. Cette théorie est une généralisation de l’optique géométrique par l’introduction de rayons diffractés. Par ailleurs, le rayonnement par une ouverture peut être traité également par la théorie d’optique physique; cette théorie fait appel aux principes d ’Huygens en considérant les propriétés vibrationnelles scalaires d’une onde électromagnétique et de Kottler et Stratton en considérant les propriétés vibrationnelles vectorielles d ’une onde électromagnétique. Considérons une ouverture plane dans le plan xOy de surface A sur laquelle existe un champ électromagnétique E(x,y) et H (x,y). Pour une ouverture de l’ordre de la longueur d’onde et dans la région du champ lointain de l’ouverture, les expressions des champs E et H à une distance r sont données, en coordonnées sphériques, par:

x

y

z

θ

ϕ

r’

er

eθθθθ

eϕϕϕϕ

ds ρ

r

A

−+

+

Π−= ΘΘ θϕϕϕ ε

µεµ

g~f~

g~f~

4

eE~

0

0

0

0rkj-

eer

jkrr

rrr


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avec fi et gj sont les composantes des fonctions vectorielles liées à l’ouverture (i,j= ϕ ou θ): Où ; Les champs E et H vérifient donc la relation : La densité de puissance rayonnée est donnée par le vecteur de Poynting: en W/m2 L’intensité de la radiation P(q,j) est donnée par: en W/Stéradian Remarque: Les expressions des champs E et H peuvent être généralisées facilement pour une surface non plane.

4. Cornets Un signal transmis par un guide d’ondes rectangulaire peut rayonner directement à l’extrémité ouverte du guide, mais le transfert d’énergie peut être nettement amélioré en élargissant progressivement les sections du guide. La transition vers l’espace libre est couramment effectuée au moyen d’un cornet. Ces guides sont presque toujours excités par le mode TE10 (mode dominant) du guide rectangulaire (voir chapitre des guides d’ondes), ce qui correspond à une polarisation rectiligne (verticale ou horizontale selon l’orientation du guide). Pour un guide d’ondes rectangulaire l’envasement peut se faire :

o soit uniquement sur le coté a pour donner un cornet sectoriel plan H; o soit uniquement sur le coté b pour donner un cornet sectoriel plan E;

++

Π−= ΘΘΘ ϕϕϕ ε

µεµ

µε

g~f~

eg~-f~

e-4

ekH

~

0

0

0

0

rkj-

0

0rr

r rr

rj

dy'dx'e)y',(xHe,~ y'jkx'jk

A

' yx +∫×=Θrr

z)(f ϕ

dy'dx'e)y',(x'Ee,~ y'jkx'jk

A

yx +∫×−=Θrr

z)(g ϕ

sinΘ cosk k x ϕ= sinΘ sink k y ϕ=

reH~

E~

0

0r

rr

×=εµ

rer

rrrr

−++

Π=×=ΘΠ ΘΘ

2

0

0

2

0

0

22

2

0

0* g~f~

g~f~1

32

k)H

~E~

Re(2

1),(r, ϕϕ ε

µεµ

µεϕ

−++

Π=ΘΠ=Θ ΘΘ

2

0

0

2

0

0

2

2

0

02 g~f~

g~f~

32

k),,(),P( ϕϕ ε

µεµ

µεϕϕ rr

r


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o ou soit sur les deux cotés a et b pour donner un cornet pyramidale

Figure montrant le cornet sectoriel plan H (à gauche), le cornet sectoriel plan E

( au centre) et le cornet pyramidale (à gauche) Les cornets sectoraux sont généralement utilisés pour obtenir des digrammes de rayonnement large dans un plan et fin dans l’autre. Les cornets sectoraux peuvent être utilisés dans les radars de surveillance aérienne qui nécessitent

o une large ouverture angulaire dans le plan vertical afin de pouvoir intercepter des avions se trouvant à des altitudes très différentes;

o une faible ouverture angulaire dans le plan horizontal puisque celui-ci est balayé par la rotation de l’antenne

Le cornet pyramidal permet d’obtenir des diagrammes de rayonnement ayant une ouverture donnée dans les deux plans principaux. De la même manière que les guides rectangulaires, le transfert d’énergie peut être nettement amélioré en élargissant progressivement le rayon du guide cylindrique, ce qui conduit à un cornet conique. Comme les guides d’ondes rectangulaires, ces cornets sont presque toujours excités par le mode dominant du guide cylindrique, c’est à dire le mode TE11.

Figure montrant un cornet conique

Les cornets coniques, grâce à leur complète symétrie de révolution, peuvent rayonner n’importe quelle polarisation du mode dominant TE11. Mais leurs digramme de rayonnement n’as pas la symétrie de révolution puisque le mode TE11 d’éclairement n’as pas cette symétrie.


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Dans le cas des cornets pyramidaux, on peut montrer que les diagrammes sont donnés par les graphes ci-dessous

A

B

Valeurs relatives du champ dans le plan H (en haut; a=A2/8λλλλl) et dans le plan E (en

bas; a=B2/8λλλλl) pour cornets pyramidaux;

Typiquement on fait usage de cornets pour obtenir des gains en puissance de l’ordre de 20 à 100 (10 à 20 dB). On utilise aussi les cornets comme sources primaires de rayonnement pour illuminer des réflecteurs paraboliques. Ces dispositifs permettent d’augmenter la directivité.

Gain en puissance normalisée d’une antenne cornet (dans le plan E à gauche) et

(dans le plan H à droite) pour A=4λ λ λ λ et B=3λλλλ


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On dispose de certaines relations approchées simples pour déterminer les angles du faisceau émis, dans les deux directions. Celle-ci permet souvent d’obtenir l’information souhaitée avec une précision suffisante, sans qu’il soit nécessaire d’effectuer de longs calculs. Dans le plan électrique, on a lorsque B< 2,5 λ: ∆θE ≅ 56(λ/B) Dans le plan magnétique, on a lorsque A< 3 λ: ∆θH ≅ 67(λ/A)

5. Réflecteurs paraboliques Pour réaliser une antenne très directive, on fait usage d’un réflecteur parabolique. Une antenne parabolique est constituée de deux éléments:

i) une source elle-même réalisée au moyen d’une antenne (dipôle ou cornet) placée au foyer d’un réflecteur parabolique (source primaire) ;

ii) d’un réflecteur parabolique ayant pour rôle de réfléchir les ondes électromagnétiques dans l’espace (source secondaire)

F

∆∆∆∆

DO

MP

ϕ

f

z

Représentation schématique d’une antenne parabolique, le cornet émetteur

est placé au foyer F

Considérons une parabole de sommet O, de foyer F, de distance focale OF = d, et d’ouverture totale D. La rotation de cette parabole autour de son axe engendre un paraboloïde de révolution. Une onde provenant de F se réfléchie en M et coupe le plan D perpendiculairement en P. Ceci étant vrai pour tout angle j. De plus d’après les propriétés de la parabole on a: FM+MP = 2f pour tous les angles ϕ En conséquence toutes les ondes coupant le plan D sont équiphases et on peut alors considérer la parabole comme un disque émetteur de diamètre D. Supposons que le diagramme de rayonnement de la source primaire ait une symétrie de révolution. Soit P(ϕ) la puissance rayonné par unité d’angle solide dans la direction FM. La densité de puissance en M est donc P(ϕ)/ρ2; ρ étant la distance FM. En effet, l’onde provenant de F est sphérique.


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Le faisceau réfléchit par la paraboloïde est formé de rayons parallèles. L’onde réfléchit est donc plane. La même densité de puissance se retrouve au point P. Dans la région lointaine on aura: où E est l’amplitude du champ au point P. Soit: avec (d’après les propriétés du paraboloïde) Nous pouvons donc écrire: L’amplitude du champ E(ϕ) pourra être déterminée dès que P (ϕ) sera connu. Pour simplifier l’étude ici nous avons supposé la source primaire ait une symétrie de révolution et nous avons négligé les effets de la diffraction et la diffusion au niveau du réflecteur. En fait le champ total rayonné est donc la somme des champs diffracté, diffusé et réfléchit par le réflecteur. Typiquement on fait usage réflecteur parabolique pour obtenir des gains en puissance supérieur 30 dB sans souci 40 à 50 dB est régulièrement atteint.

Diagramme de rayonnement typique d’une antenne parabolique

dans le plan horizontal

Le calcul plus rigoureux du diagramme de rayonnement du réflecteur peut être obtenu en utilisant la théorie du rayonnement par une ouverture pour déterminer l’intensité de la radiation du cornet puis celle du réflecteur. Cette méthode permet de tenir compte de la symétrie azimutale de la source primaire et de l ’effet de la diffraction. On dispose des relations approchées simples pour déterminer l’angle d’ouverture lié au réflecteur parabolique. Il est donné par :

( ) 2

2E

240

1P

Π=

ρϕ

( )ρ

ϕP 240E Π=

2cos

cos1

2

2 ϕϕρ ff =

+=

( ) ( )2

cosP1

240E 2 ϕϕϕf

Π=


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5.1. Montage excentré Dans la paraboloïde classique, à structure symétrique, la source primaire provoque un effet d’ombre gênant pour les rayons réfléchis. Dans les antennes radars et dans les antennes de télécommunications spatiales, cet effet serait plus gênant. D’ou l’idée d’utiliser une structure dans laquelle la source primaire se trouve décalée par rapport au faisceau réfléchi, comme le montre la figure ci-dessous.

F

D

O

MP

f0

z

Représentation schématique d’une antenne parabolique à alimentation excentrée,

le cornet émetteur est placé au foyer F Dans ce montage, appelé paraboloïde à alimentation excentrée ou décalée (ou off-set), il faut que la source primaire est placée au foyer et orientée de telle sorte que le maximum de rayonnement soit au centre de la parabole. L’axe de révolution oz ne passe plus par le centre de la parabole. Il passe plutôt par le point M.

5.2. Réflecteur pour les radars Pour les radars de surveillance aérienne, le faisceau rayonné doit présenter:

o une large ouverture dans le plan vertical afin de pouvoir intercepter des avions se trouvant à des altitudes très différentes; Soit θv est l’ouverture verticale.

o une faible ouverture angulaire dans le plan horizontale puisque celui-ci est balayé par la rotation de l’antenne; Soit θh est l’ouverture horizontale.

Une telle forme du faisceau peut être obtenue en agissant sur le faisceau rayonné par la source primaire (cornets sectoraux) ou sur le réflecteur même. C’est cette dernière solution qui est généralement retenue. Les résultats escomptés sont atteints en découpant dans un paraboloïde réflecteur comme l’indique la figure ci-dessous:

o de grande envergure E o de faible hauteur H

D

λ70Θ =


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o dont les angles d’ouvertures dans le plan horizontal et vertical donnés par: La surface rayonnante est donc l’intersection entre la surface de la paraboloïde et d’une ellipse. Ce type de réflecteur est appelé réflecteur se section elliptique ou peau d’arrange. Un radar de ce genre ne peut pas discriminer les élévations des cibles. Il est bidimensionnel.

H

E

Il s’ensuit que les ouvertures horizontale et verticale de la source primaire (cornet) seront en gros et respectivement: En conséquence on a: Pour le réflecteur de peau d’arrange on distingue deux digrammes de rayonnements selon où la source primaire est placée au foyer ou excentré du réflecteur. La figure ci-dessous montre les digrammes de rayonnements pour la version centrée et excentré dans le plan vertical.

F

E

FH

Diagrammes de rayonnements pour la version centrée (à gauche) et excentré ( à droite)

Pour les radars de surveillance aérienne où le champ rayonné vers l ’horizon doit être la plus faible possible pour minimiser le plus possible l ’amplitude du champ réfléchie

par le sol, on utilise plutôt la version excentrée.

E

λ70Θh =

H

λ70Θv =

Θ

λ70A

v

= Θ

λ70B

h

=

H

E

B

A =


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Aujourd'hui, pour les radars de surveillance aérienne, le rayonnement souhaité est en cosécante carré (inversement proportionnelle au carré du cosinus de l’élévation (θ)). Un tel champ rayonné présente un champ maximum pour une certaine élévation (θ0) et un champ minimum vers l horizon pour une certaine élévation (θ1).

Dans un radar de contrôle du trafic aérien, les cibles se positionnent dans un cylindre mince, dont le rayon fait plusieurs fois sa hauteur. La figure ci-dessous montre une coupe verticale du diagramme d’une antenne radar.

spectre idéal

spectre réel

spectre en cosécante carré

La figure ci-contre montre une coupe horizontale du diagramme polaire d’une antenne. Il présente un lobe principal très étroit utile pour la détection radar. Le lobe principal est accompagné par des lobes secondaires (lobes latéraux et lobes arrières). Les lobes latéraux peuvent avoir un gain en puissance non négligeable de 55 à 47 dB (c’est à dire que le lobe principale est 250 à 500 fois plus grand que les lobes secondaires).

lobe principal

lobes latéraux

lobe arrière


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5.3 Antenne Cassegrain Pour la télécommunication spatiale ou encore pour les radars de poursuites on utilise plutôt une antenne Cassegrain qui présente l’avantage d’avoir un gain plus grand que de celui d’une antenne formée par un seul réflecteur parabolique. Une antenne Cassegrain est formée, comme le montre la figure ci-dessous, par: i) un réflecteur principale paraboloïdal de foyer F1 ; ii) un réflecteur auxiliaire hyperboloïdal de foyer F1 et F2; ii) une source primaire placée au foyer F2 .

F1 z

paraboloïde

hyperboloïde

F2

Q

ϕα

O

M’

M

f”0=mf0

dP

L’onde provenant de F2 se réfléchie par l’hyperbole dans la direction la parabole comme s’elle provenant du F1 (foyer du réflecteur principale). Les avantages du montage de type Cassegrain par rapport au montage à seul réflecteur de grande focale sont:

o Compacité de l’antenne. La source est placée au foyer du réflecteur auxiliaire du coté du réflecteur principale ;

o Possibilité de l’optimisation de la répartition d’amplitude sur l’ouverture du grand réflecteur. Le montage de type Cassegrain présente un degré de liberté supplémentaire.

Notons par: f1 = QF1, f2 = QF2 et f0 = F1 F2 . D’après les propriétés de l’hyperbole on définie le rapport m, appelé le grandissement de l’antenne Cassegrain: et l’équation de la parabole: Supposons que le diagramme de rayonnement de la source primaire a une symétrie de révolution. Soient P(ϕ) la puissance rayonnée par unité d’angle solide dans la direction F2M’ et P(α) la puissance réfléchie par unité d’angle solide dans la direction F1M. En supposant que toute la puissance rayonnée par la source est réfléchie par le réflecteur auxiliaire, la relation entre P(ϕ) et P(α) est donnée par:

( )

2tg

2tg

f

fm

1

2

==ϕ

α

2

tg2fy 0

= α

( ) ( ) ( ) ( ) dα αsin αPd sin P =ϕϕϕ


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La relation entre a et j dépend de la forme du réflecteur auxiliaire. Ils sont lié par le rapport de grandissement m. Pour des petites valeurs de j et a, on a: Ce qui donne: D’ou le nom du rapport de grandissement donné au paramétrer m. Le digramme d’éclairement est donc équivalant à une source virtuelle située au foyer F1 m fois plus petite que la source réelle située au foyer F2. Les propriétés de rayonnement de l’antenne sont celles donc d’une parabole équivalente de focale f”0=mf0.

mϕα≅

( ) ( ) P1

P2 mm

αα = 2

tg2mfy 0

= ϕ

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