SUR CERTAINES ~ Q U A T I O N S AUX D~RIV~ES PARTIELLES A

COEFFICIENTS OP~RATEURS N O N BORN~.S

Par

J. L. L i o n s i Nancy, France

I n t r o d u c t i o n .

Consid~rons une famille d'op~rateurs n o n b o r n ~ s

A (t, . . . . . t,) = A (t)

dans un espace de Hilbert H, d~pendant du param&re t ~ R ' . On suppose

que A (t) a un domaine de d~finition N(t) dense darts H, et que A ( t ) est

ferm& On donne par ailleurs un op~rateur diff~rentiel P (d/dt) it coefficients

op&ateurs b o r n 6 s dans H.

On cherche des conditions suflisantes permettant d'aflirmer que l '&luation

A (t) u + P COlOr) u = T ,

off T e s t une "fonct ion" donn& it valeurs dans H, et o~ u "prend ses

valeurs" dans N(t) pour tout t, admet une solution unique.

II faut naturellement pr~ciser ce probl~me, ce qui est fait au N ~ 1,

le raccord avec une d~finition plus intuitive &ant fait au N ~ 9.

Les cas v = 1 ont fait, sous des hypotht~ses vari&s sur les A ( t ) ,

l 'objet des travaux [7], [9], [18].

On pose ici t o u s l e s probl~.mes darts des espaces de distributions

valeurs vectorielles, les espaces des valeurs &ant variables avec t, notion

introduite dans [9]. La notion de solution faible, lorsque v = 1, a &6

introduite dans [16 bis].

Les hypotheses faites sur les op6rateurs A ( 0 sont assez g6n&ales

pour contenir comme cas particuliers " tous" les op6rateurs elliptiques /t

coefficients variables, d 'ordre quelconque, auto-adjoints ou non, consid6r&

sur des ouverts quelconques, et avec toutes sortes de conditions aux limites

(Cf. le N ~ pour des exemples). Les syst~.mes fortement elliptiques sont

6galement des cas particuliers.

Par contre on supposera que

t, (0/00 - Bj 0/0tj,

334 J.L. LIONS

les Bj ~tant des op6rateurs hermitiens positifs (plus g6n6ralement, B i fonction

de tj, hermitiens positifs).

On fera la d6monstration daas le cas v ~-2, la d6monstration du cas

g6n6ral 6tant identique aux notations pr6s.

Dans un article ult6rieur, en commun avec M. F. TrOves, nous consi-

d~rerons d'autres op6rateurs P(O/d 0 (Cf. aussi F. TrOves [17]).

Les r~sultats de cet article ont 616 bri~vement annonc6s darts [12].

T A B L E DES M A T I E R E S

t. Position du probl~me

2. ~nonc~ du r6sultat

3. Lemmes

4. D~monstration de l'unicit6 dans le Th6orSme 2.1

5. I~monstrat ion du Th6or~me 2.1; existence (I)

6. D6monstration du Th6or/~me 2.2; existence (II) .

7. M6thode d'approximation des solutions

8. Espaces N ( 0 . Cas o3 a(t;u,v) est ind6pendante de t

9. Exemples .

10. Compl6ments et variantes

p a S r

335

336

337

341

344

346

347

349

350

352

SUR CERTAINES I~QUATIONS... 335

1. Position du probl6me.

On donne deux espaces de Hilbert Ve t H, avec V C H alg6briquement

et topologiquement, V 6rant dense dans H. Les notations seront les suivantes :

si f , g ~ H, ( f , g) d6signe leur produit scalaire dans H, et If[ la aortae

de f ; si u , v ~ V , ( (u ,v) ) d6signe leur produit scalaire dans V, et II"ll

la norme de u dans V.

On donne t ~ R 2 : t = ( t l , t2); on d6signe par R~. le quart de plan

ferm6: t ~ O , t , > O .

Si E est un espace de Banach sur C (l'hypoth~se " E espace de Banach"

est suffisante pour notre objet), on d6signe par D ' (E) l'espace des

distributions en t /L valeurs dans E ; rappe10ns-en la d6finition: si D est

l'espace des fonctions indifiniment diff6rentiables sur R 2 g support compact,

lr.(D ;E), espace des applications lin6aires continues de D dans E, muni

de la topologie de la convergence uniforme sur les ensembles born6s de D,

est 1'espace D ' (E) des distributions ~ valeurs dans E (cf. [16]).

On d6signe par D'+ (E) le sous-espace de D' (E) form6 des distributions

support dans R~_.

Pour tout t on donne une forme sesquilin6aire

u , v ->- a ( t ; u , v )

continue sur V ; on supposera clue la fonction t - > - a ( t ; u , v) est, quels que

soient u et v, ind6finiment diff6rentiable dans R z.

Soit alors u E D ' ( V ) ; on peut d6finir a ( t ; u , v ) , 6 1 6 m e n t de D'

de la fagon suivante: d6signons par C le sous-espace de D' (V) form6 des

fonctions continues g valeurs dans V ; cet espace est dense dans D ' (V) ;

si u ~ O, on d6signe par a (t ; u , v) la fonction

t + a (t ; u ( t ) , O,

ce qui d6finit une application lin6aire

u - . a ( t ; u , v )

de C dans D'.

On montre [16] que cette application est continue de C muni de la

topologie induite par D' (V) darts D ' ; on peut donc la prolonger en une

application lin6aire continue, encore not6e

u - - ) - a ( t ; u , v)

de D' (V) darts ID'.

336 J.L. LIONS

Si u E D ' + ( V ) , alors a ( t ; u , v ) ~ D ' + .

On donne maintenant deux op6rateurs lin6aires continus de H darts H :

B~E]h(H;H) , i f 1 ,2 .

On d6signe par D~ I'op~rateur d/dt~.

Si u ~ D'(V), plus g6ndralement E D ' ( H ) ,

(B~ (D, u) , g)

est d6fini, comme 616ment de D', pour tout g E H; ceci est 616mentaire:

si q~ E D, (B,D~u, g) est d6finie par

( (B, D, u , e l , r ) = (B, u (--D, cp), e l .

Naturellement si u est darts D'+(V), (B,(D~u), g) est dans D '+ .

Si u E D ' + ( V ) , vE V, nous poserons alors

(1.1) r

On peut maintenant poser le

Probl6me 1.1. O n c h e r c h e u d a n s D'+(V) s o l u t i o n de

(1.2) ~ (u , v) =- (T , v) p o u r t o u t v E V ,

ot~ T e s t d o n n 6 e d a n s D+ ' (H) .

2, Enoncd du rdsultat.

On dira que l'hypoth~se (H~) a lieu lorsque les deux conditions

suivantes ont lieu:

(H,) ( 0 t -,. a (t ; u , v)

est inddfiniment diff6rentiable, pour tout u , VE V;

(HI) (ii) pour tout ~. il existe cOO tel que

Re a(t.;v,v)+c(p.)lvl2~a(p.)llvl[~, a(p.)>0, t ,<lx , pour tout v~ V.

On dira que l'hypoth/~se (H2) a lieu lorsque la condition suivante a lieu :

(H2) B~, B2 sont des op6rateurs hermitiens ~>0.

On d6montrera dans les N ~ 3, 4, 5, 6 le

Thdor/~me 2.1. Si (HI) e t (H2) o u t l i e u , le P r o b l ~ m e 1.1

a d m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e .

SUR CERTAINES fQUATIONS... 337

& L e m m e s .

On suppose d&ormais que (H0 et (H2) ont lieu.

II sufl]t &idemment de r~soudre le probl~me dans l'ouvert

] --co,~,[• ~>0 fix~.

L e m m e 3.1. O n p e u t s u p p o s e r q u e (H0 (ii) a l i e u a v e c

c (~) = o .

D~monstration. On pose

w = e x p ( - - ~ . O u , ~ .~R, r = t , + t 2 .

L'~quation (1.2) devient:

a (t ; w, v) + ~ (B, w + B~ w, v) + (B, D, w , v) + (B2 D2 w, v) = (exp(--~.~)T, v).

C'est donc une ~quation analogue ~ (1.2) mais oi~ a ( t ; u , v ) est remplac~

par

a'(t ; u , v) = a(t ; u , v) + ~ . ( B , u + B 2 u , v) .

Comme les Bi sont >0 , on peut choisir ~. de fagon que

R e a ' ( t ; v , v ) > c,(lO]]v[]' , V ~ V , t , < ~ .

Le lemme est d~montr&

On va maintenant &ablir quelques formules utiles.

On pose :

0 pour t i < 0 , p~> l YP*(tO "= t~i-'/(pi--t)! pour t , > 0

On pose aussi

Y0 = ~,

Si p= (p l ,p2 ) , on pose

masse de Dirac ~ l'origine.

Yp = Yp, • Yp,.

Si p, = 0 , Yp d&igne la masse de Dirac ~ l'origine sur l'axe des t t ;

notation analogue si p~ = 0. Si p = 0, Yp est la masse de Dirac ~. l'origine

dans le plan des t.

Si S et T sont dans D '+ , S . T d6signe leur produit de composition,

~galement dans D '+ . Si S ~ D ' + , u ~ D ' + ( V ) , S . u ~ D ' + ( V ) . Cs [16].

L e m m e 3.2. S o i t u q u e l c o n q u e d a n s I ~ ( V ) , e t s o i t

(3.1) U = Y p . u .

OD a:

338 J .L . LIONS

a( t ; v , w) = ((H(t) v , w)),

ce qui d6finit H( t ) ElI".(V ; V), la fonction

diff6rentiable de R 2 dans I'.(V ; V).

( 3 . 2 ) Yp * a (t ; u , v) = a (t ; U , v) + X Yp_q �9 aq (t ; U , v ) ,

oi) l e s ar s o n t d e s f o r m e s s e s q u i l i n ~ a i r e s c o n t i n u e s

s u r V, d 6 p e n d a n t de t de f a g o n i n d 6 f i n i m e n t d i f f 6 r e n t i -

a b l e . La s o m m a t i o n en q e s t ~ t e n d u e a u x q q u i v 6 r i f i e n t :

(3.3) q ' g - - P ' ; J q l g - l P ] - - l , [ q l = q , + q , , ] p l = p t + p 2 .

D~monstrat ion.

On peut 6crire

v , w E V ,

t -->- H (t) 6tant ind6finiment

Pour v6rifier (3.2) il suflit de v6rifier que les DP des deux membres

sont 6gaux, puisque toutes les distributions consid6r&s sont /l support

dans R+. Or

Dt ' a ( t ; U , v) = DP((H(t) U , v)),

et

DP (H (t) U) = H (t) DP U + Y. D~ (H, (t) U),

la sommation 6rant ~tendue aux q v6rifiant (3.3) et les H q ( t ) E I a ( V ; V)

~tant ind~finiment diff~rentiables en t. La formule (3.2) en r6sulte, avec

a , ( t ; v , w ) = - - ( ( n q ( t ) v , w ) ) , v , ~v~ V .

Naturellement

Yp" (Bt D l u , v) = (Bt Dt U , v) ,

de sorte que

(3.4) Yp * ~ ( u , v) = ~ ( U , v) + Y Yp_q * a,( , , U , v )

Nous poserons

(3.5) C p ( U , v) = r , v) + 2g Yp..., * aq(t ; U , v),

la sommation 6rant 6tendue aux q avec (3.3).

On a donc d6montr6 le

L e m m e 3.3. L ' 6 q u a t i o n (1.2) ~ q u i v a u t

(3.6) r T , v ) , p o u r t o u t v E V , u = D P U ,

q u e l q u e s o i t P = ( P t , P 2 ) , p , ~ 0 .

Supposons maintenant que U ~ D ' + ( V ) soit en fait une f o n c t i o n

t - . u ( t ) ,

SUR CERTAINE$ ~QUATIONS... 339

une fois contin•ment difftrentiable de R 2 darts V, nulle pour t~<0

(doric, si q~ ~ D , U (,p) = / U (t) q~ (0 dr, dt = dh dh) .

Dans ce cas, q~p(U, r) est une fonction

t -* ,I,~ ( u ( 0 , O,

~p(U(t), v) 4tant donnte par la formule

(3.7) ~p(U (t) , v) = a(t ; U (t) , v) + (B, D, U (t) , v) ~- (B2 DzU (t) , v)

h t2 t~

+/ f M(l,o;U(o),r)do+ f P(t,,o,;U(o,,t,),v)do, 0 0 o

t2 + . f Q (t,, o, ; U (t,, o,), v) do,,

0

oi~ M ( t , o ; v , w ) , P ( t , , o , ; v , u , ) , Q ( h , o , ; v , w ) sont c ~ formes sesqui-

lintaires continues sur V, ind4finiment diff4rentiables en t , o , o ,< t~ .

I1 faut ajouter :

1) en fait les fonctions M ( t , o ; v , w ) , P . . . . ne d4pendent que de

t~ - o~ ; l'inttgrale double en t provient des termes Yr.~r ~ aq (t ; v , w) o0

p~-- q~ ~ 1 pour i = 1, 2 :

les inttgrales simples proviennent des cas o0 l'on a p ~ - q~ = 0 pour i = t

Ou i----- 2.

2) Les formes M , P , Q dtpendent de p.

3) Darts (5.7), il est sous-entendu que la fonction U est dtfinie darts

R 2 entier, e t e s t nulle pour t~<0 ; les dtrivations D~ sont prises darts

l'espace entier.

La formule (3.7) est 6galement valable (cette fois presque partout

en O si U ~ L 2 ( K , V ) pour tout compact K de R~., L ' ( K , V ) dtsignant

l'espace des fonctions de carte sommable en t darts K g valeurs darts V,

et si D~ U ~ L' ( K , H) , i = 1, 2, U 6rant nulle pour t~ < 0, les derivations

6tant prises au sens des distributions, dans R z entier. II est Equivalent de

supposer ceci: U est dEfinie darts R~., vErifie les m~mes conditions que ci-

dessus, mais D~ Etant pris au sens des distributions darts l 'ouven t,2>0 ;

il faut alors ajouter

340 J . L . LIONS

uct , ,o )=o , U(o,t2)=o, ce qui a u n sens presque partout.

En effet, si l'on d6signe alors par 0 la fonction prolong6e de U

par 0 dans l'ouvert t,<O, on a:

U , D~ U ~ L 2 (K , V), L z ( K , H) respectivement,

Di &ant pris dans l'espace entier.

Lemme 3.4. C o n s i d ~ r o n s le c o m p a c t K = [0, {3] • [0,13].

S u p p o s o n s q u ' o n a i r t r o u v 6 U ~ L ~ ( K , V ) , v ~ r i f i a n t

(3.8) ul t (U , o~ (~ v) =. f~ (1 (t) , v) tp (t) dt K

p o u r t o u t v ~ V , p o u r t o u t r (fonctions ind6finiment dif-

f/trentiables dans K), i d e n t i q u e m e n t n u l l e au v o i s i n a g e de

h = ~ , et oil f e s t d o n n ~ e d a n s La(K,I ' I ) . On a p o s 6

(3.9) ~ p ( U , q~ (~ v) = ~ ' a ( t ; U( t ) , v) r g

- - ..,tr (B, U (t ) , v ) D , ' -~ )d t - - .ff,., (B, U (t). v)D, ~ ' } ) dt

tt 12

+ jr ( / g e

11

K

t

K

C o n s i d ~ r o n s a l o r s la d i s t r i b u t i o n 0 d 6 f i n i e d a n s l ' o u v e r t

ti<13 pa r e x t e n s i o n de U p a r 0 p o u r t,<O. O n d 6 f i n i t j de

la m ~ m e f a g o n . O n a:

(3 .10) ~ p ( ~ r , V ) = ( f , v ) p o u r t o u t v q V ,

i ' 6 g a l i t 6 a y a n t l i e u d a n s l ' e s p a c e ID'+(~,~) d e s d i s t r i -

b u t i o n s d a n s l ' o u v e r t ti<~], ~ s u p p o r t d a n s t ~ 0 .

SUR CERTAINES I~QUATIONS... 341

D6mons t ra t ion .

Appelons 0 l'ouvert f i< [3 ; D (0) d6signe l'espace des fonctions

ind6finiment diff6rentiables ~ support compact dans O; soit V E D ( O ) ,

et q) sa restriction /t K. Cette fonction est nuUe au voisinage de tl = 13,

de sorte que (3.8) est valable pour cette fonction.

Calculons maintenant

X = ( % ( U , v), ~).

O n a :

x - i f , , (t; v ( t ) , v) (v (0 dt - - ((B, O (t), v), D, , ) - - ((B, 0 (0 , v) , b-;-, V) K

tl tz

) + M ( t , o ; U (o) , v) do ~p (t) dt g

tl

K

r

+

K o

Mais

((B, U( t ) , v), D, V) =

M~me chose pour l'indice 2. Donc

et par (3.8),

~ ' ( B , U (t) , v )D,q~dt .

K

x -- % ( u , (p | v),

x = f f ( [ (t) , v) q~ (t) di = ( ( / , O , ~) ,

d'o~ le Lemme.

4, D6monstration de "l'unicitE dans le ThEorEme 2.1.

Soit u darts D'+ (V) v6rifiant

~ p ( U , V ) = 0 pour tout v E V .

On veut montrer que u = 0.

On consid~.re u darts l 'ouvert t+< F, p .>0 fix6 arbitrairement. I1 suflit

de montrer que u-----0 darts cet ouvert.

342 J. L, LIONS

On suppose alors que les hypoth%ses du Lemme 3.1 ont lieu.

On choisit ~b de far que

(4.1) U = Y,.u

soit une fois continfiment diff&entiable dans t / < ~ /L valeurs dans V ; ceci

est possible car [16] tome distribution ~ valeurs dans un espace de Banach

est localement d'ordre fini.

Cela sign/fie que, consid6r& dans t i ~ O, la fonction U (0 est une

lois contin,qment diff&emiable et que

(4.2) U (l, , 0): O, U (o , t2) = O .

On a:

Y, �9 4) (., v) = o ;

d'apr& le N ~ ceci 6quivaut /i

4), (W, v) = 0

ou encore, U &ant une fonction :

(4.3) 4 ) , ( U ( t ) , O = O, t , < F .

L e m m e 4.1. O n s u p p o s e q u e la c o n d i t i o n du L e m m e 3.1

a l i e u , l e s h y p o t h e s e s (H,) e t (H2) a g a n t l i e u . I1 e x i s t e u n e

c o n s t a n t e j3 n e d 6 p e n d a n t q u e d e F (et de 1O), t e l l e q u e

(4.4) Re j" f ~,r (0, v (o)at a r f f II u (o II, dt. r > o . 0 o o o

Ddmonstration.

Oa a:

$1 s2 $1 $2

2Re f f r V(O,t'=2~e f f ,(,; v(,), v,,))d, 0 0 0 0

St $2 $1 $2

+ 2 R e f . ; ( B t D t U(0, U(0)dt + 2 R e f f (B2D2 U(t), 0 0 0 0

+ 2 R e ( X ( U ) + Y(U) + Y'(U)) ,

o/l s, et Sz sont quelconques < l a, et oit

81 $2 tl t2

,,o=f f,,.f 0 0 0 0

u i0) at

SUR CERTAINES I~QUATIONS... 3 4 3

$1 S2 t t

j / f Y (U) = dt P (It , o, ; U (or , t2), U (0) dot , o o o

St 82 t2

f f f Y' (u) = d. O ( t , , o, ; a ( t , , o2), u (t)) do , . o o o

Mais

Sl 82

f 2 Re j (B, D, U (t), U (t)) dt = (B, U (s, , 6 ) , U (s , , t,)) dtz, 0 o

quantit6 positive (on peut pr&iser, mais ce n'est pas utile pour la suite).

D o n c

81 82

~eff o o

+ 2 R e ( X ( U ) + Y ( U ) + Y ' ( U ) ) .

On d6signe dans la suite par ci diverses constantes ne d~pendant que de g

et p. II existe une constante cl telle que pour h N ~ on ait

On a donc

$1 S2

o 0

$1 $2

o o

$1 $2

~_ c , ~

o o

On choisit ~ de fagon

o

r (U (t), U q)) d, Z 2a f f II u (t)II' at 0 o

] M q , o ; *', ~)l < ~, II"1I i1~'iI �9

t l 12

II u (0 II at f f IJ u (o)fl ao o o

S~ $2 tz t2

,,, ,,,,,,,, + / . r ,, ( f / ,o,,, $! $2

[IV (t)l['dt + c2sts,/~ j" f [[U (t)Jl 7 dr. 0 o

que c , ~ / 2 = a [ 4 . On a:

.,el $7 $1 8"2

f Jlv(Oll'd, + o ~ , ~, f f jjv(,)ji, d,. o o 0

De la m~me fag:on, on trouve

3 4 4 J . L . L I O N S

St $2 $1 Sz (g

0 0 0 0

In~galit6 analogue pour Y'(U). On a don( finalement St 82 $ t $2

0 0 0 0

$ I $2

-c,(s, +s, f II{V(,)ll'd,. O 0

On a alors l'in6galit6 (4.4) en prenant l] tel clue

Cs (~2 q_ 21~) '~ a .

On peut maintenant d~montrer l'unicit~ duns le Th6or~.me 2.1. En

effet prenons duns (4.3): v = U ( 0 , ce qui est loisible; on int6gre sur

[0 , ~] >( [0 , {3]; grace /1 (4.4), on en d6duit: P P

/ / ,,. c0 ,,' d, = 0 V

0 o

donc U(0 = o duns [0, ~] X [0, p]. On reprend alors l'6galit6 ~ ( U ( t ) , U (0) = O, que l'on int6gre cette

lois sur [~ , 2(3] X Lo, 13]; comme duns (4.4), I] ne d6pend que de I j et/5,

on a une in~galit6 analogue sur [~, 2~] X [0 , ~], donc U ( I ) : 0 duns

[13,213] X [0 , i~]; m~me chose pour [0 , I]] X [I], 213], et ainsi de suite.

L'unicit6 est d6montr6e.

5. D~monstrat ion du Th~orbme 2.1; Existence (I).

On donne maintenant T duns D'+ (H) et on cherche u duns D'+ (V)

solut ion de

(5.1) ~ (u, v) -~ (T, O.

II su&t de r6soudre le probl~me duns ]--oo F[X]--oo, F[.

On peut trouver un hombre 1O = (101, P2) tel que

f = Y~*T (5.2) , i t po~ t~< I �9 la propri~t~ suiv~te:

(5.3) I f=~ pour t ,<o ; pour t~[o,~]X[o,~], ! de carr~ sommable i valeurs duns H.

f est une fonction

S U R C E K T A I N E S ~ Q U A T I O N S . . . 345

On d6signe par l I(~. , Ix) l'espace des fonctions t~h(t) de

io, ~] x [o, Ix]-. v, une lois condn(Iment diff6rentiables a valeurs dans H, et qui v6rifient

h(7., ~) -- o , h ( t , , Ix) -- o .

On d6signe par K le compact

(5.4) g = [0 , {3] • [0 , {3].

Si U e L 2 ( K , V ) et si hew({3 ,{3 ) , on pose

(5.5} %(v,h) - [/',,(t; v(O, h(0)at - ff (a,v (0, o,h(O)at K g

t t t2

+ ! ; " : f '~176 K K o o

+/~'d, f P(,,, o,; v ~o,, ~), h (,))do, a ] ~ ; ,

K o

tz

+ IF dt f e(t, , o~, v (t,, o,), h(0)do,. t /

K o

L e m m e 5.1. H y p o t h e s e s d u L e m m e 4.1; {3 e s t le h o m b r e

i n t r o d u i t d a n s ce L e m m e . II e x i s t e U~L2(K,V), v 6 r i f i a n t

(5.6) V p ( u

f 6tant une fonction

p o u r t o u t h d a n s 11~({3

D6monstrat ion.

h) - t ] ( / ( 0 , h (0) at , g

d o n n 6 e d e L2(K,H), ( 5 . 6 ) a y a n t l i e u

, {3).

On d6signe par K' le compact [0 , s,] >( [0, s,], s, et s2 t d6terminer.

On d6signe par F ( s , , s ~ ) Tespace L 2 ( K ' , V ) . Si U est dans F ( s t , s a ) ,

h ~ II (st , s2), on d6signe par E (st , s2 ; U , h) les int6grales du membre

droit de (5.5), les int6gr.ales ~t'ant 6tendues t K" au lieu de K.

Calculons 2 Re E (st , s2 ; h , h).

Comme la fonction h est nulle pour t, ~ st ou G ~ s2, on a

2 Re -- f F (a , h ( 0 , D, h (t)) dt - J " (B, h ( 0 , t~), h ( 0 , t2)) d~, ~ 0 . K e 0

346 J . L . LIONS

Par cons6quent les 6valuations fakes dans la d6monstration du Lemme 4.1

sont valables en remplagant U par h. Donc, il existe ~ ne d6pendant que

de ~ et de p tel que

f fllh(011'dt 0 0

Le Lernme est alors cons6:luence d'un r6sultat g6n6ral donn6 dans [t0], [11].

Corollaire 5.1. Si l ' o n d 6 s i g n e p a r 0 le p r o l o n g e m e n t

de U t t~<0 p a r 0, e t si l ' o n p o s e

(5.7) u --=- D# U ,

u e s t s o l u t i o n d e O ( u , v ) = ( T , v ) , p o u r t o u t vEV , d a n s

l ' e s p a c e D ' + ( ~ , ~ ) .

C'est une consequence du Lemme pr6c6dent et des Lemmes 3.4

et 3.3.

6. D~monstrat ion du Th(~or~me 2-1; Existence ( i i ) .

On d~signe par ul la solution construite au N ~ pr~c6dent de

(6.0 �9 (u, t,) = (T, v),

darts l'ouvert t~<~.

Soit O une fonction de t l , ind6finiment diff6rentiable, avec

(6.2) O ( t t ) = 0 pour tt>2~3/3, 0 ( / 1 ) = 1 pour t,<~/2.

D6signons de fagon g6a~rale par D'+ ().1 , ~,2 ; V) l'espace des distri-

butions dans l'ouvert t t< ) , l , G<),2, t valeurs dans V, ~ support dans

tl > O. On peut consid6rer Out comme un 616ment de D'+ (~o , ~ ; V)

et Yon a:

(6.3) aP(,gut,v)=(OT,v)+O'(B, u t ,v ) , p o u r tou t vEV,

o~ O'= dO/dtt, l'~galit~ (6.3) ayant lieu dans D '+(oo , ~).

Comme ut est connu, la recherche de u avec

(6. 4) O ( u , v ) = ( T , v ) pour tout v E V , darts D ' + ( ~ , / x ; V)

6 q u i v a u t t It recherche de

( 6 . 5 ) w --- u - 0 ~ ;

or, vu (6.3) et (6.4) on doit avoir

(6.6) r pour tout v E V ,

SUR CERTA1NES I~QUATIONS... 347

o~

(6.7) S = ( 1 - - 0 ) T - - O'B,u,.

Consid6rons donc l '6quation (6.6). La distribution S est nulle pour t t < ~/2.

D'apr~s le N ~ 5, u 1 = D P U , donc

S = D O g ,

avec

g~L~C(f~/2,Ft))<(O,Ix),H) ( g = O pour tt<~/2, ou t 2 < O ) ,

l e p 6 t a n t l e m 6 m e q u e d a r t s T=DPf . Mais alors la constante 13 trouv6e aux N ~ 4 et 5, ne d6pendant que

de la qui est fix6 une lois pour toutes et de p q u i n' a p a s c h a n g6,

on volt que la m&hode du N ~ donne une solution w de ( 6 . 6 ) d a n s

I ) '+([5/2 + ~ , 13 ; V ) , nulle pour t t < ~ / 2 .

On a don( maintenant construit une (et alors la) solution de (6 . l )

dans 1 ) ' + ( 3 ~ / 2 , ~ ; V ) ; on peut recommencer dans la direction des t t ,

on progresse de ~/2 it chaque pas ; m6me chose dans la direction des t2.

On arrive ainsi jusqu'~ (IX, Ix), de sorte que l 'existence globale est

d6montr6e.

7. M ~ t h o d e d ' a p p r o x i m a t i o n d e s so lu t ions .

On indique bri~vement duns ce N ~ comment adapter g notre situation

la m&hode de Faedo-Galerkine, r6cemment Utilis6e par de nombreux auteurs,

avec t~R. Cf. [3]. [4], [5], [2], [7], [9], [18], [19].

Reprenons les notations du N ~ 5. I1 s 'agit de construire une fonction

U (t) v6rifiant

(7.1) % ( v , h) = j~ Or cO, K

pour tout h ~ 11(13,13).

(7.2)

et

(7.3)

hCO) at, K = [o , ~] • [o , ~]

On note que, au moins f o r m e 11 e m e n t, U (t) v6rifie

q ~ p ( t ; U ( t ) , v ) = ( f ( t ) , v ) pour tout v ~ V , t ~ 0 ,

u ( t , , o) = o , v ( o , t,) = o .

Soit wt , . . . , w, . . . . une base de V, suppos~ s6parable ; on va construire

des fonctions U , (t) de la forme

348 J.L. LIONS

(7.4) U. (t) = ~ g,. (0 wi,

la sommation, ainsi que routes les suivantes, ~tant fake de i = 1

On d ~ f i n i t gin comme ~tant la solution du syst~me

(7.5) E D, gi. (t) (B, w,, wi) + E D, g,.(t) (B2 w,, wt)

+ ~ g~. (t) a (t ; w~, w j)

tt t2

0 0

tt

+ E f g i , (~ t , t2 )P( t , , " t ;wi ,w, )dc , 0

tz

o

, ~2) Q (t2, a, ; w~, wi) da2 = ( f ( 0 , w j ) ,

i=n.

pour ] - - - 1 , . . . , n ,

avec

(7.6) gi,(t,, O) = O, gln(O , tz) = O.

On montre que ce probl~me admet une solution unique, g,, 6tant

localement de cart6 sommable, la premiere ligne de (7.5) 6tant Egalement

de carr6 sommable localement, les relations (7.6) ayant lieu presque partout.

On a donc construic des fonctions U,(t) donn6es par (7.4).

On montre alors, par un raisonnement semblable ~ celui du Lemme 3.4

que l 'on a

ii'" " (7.7) i U(t):i'dt ~__ constante ind~pendante de n.

K

On en ddduit: on peut extraire une suite U,. telle que

(7.8) Uv --> U dans L 2 ( K , V) faible.

II est alors facile de voir que U est solution de (7.1).

Telle est l 'adaptation ~ notre situation de la m6thode de Faedo-

Galerkine.

SUR CERTAINES ]~QUATIONS... 349

8. Espaces N(t). Cas oO a ( t ; u , v ) est ind~pendan t de t.

On dEsigne (cf. [8], [9], [13]) par N(t) l'espace des u E V tels que

la forme semi lin~aire

v ->- a ( t ; u , v)

soit continue sur V muni de la topologie induite par H. Alors

(8.1) a(t ; . , 0 = ( A ( 0 u , o, ce qui d~finit A(t) op6rateur lin~aire de N ( 0 dans H. On munit N ( 0

de la norme hilbertienne

(','~ ~ i[ ~ + ! A ( 0 u !0'1 ~

Alors A (t) est continu de N( t ) dans H.

Soit u donn~e dans D'+(V). O n d i r a q u e u e s t d a n s l ' e s p a c e

D ' + ( N ( 0 ) si l'application semi linSaire

v + a ( , ; . , v)

de V dans D'+ est continue sur V muni de la topologie induite par H.

On peut alors ~crire

a ( t ; u , v) = (A (t) u , v ) ,

ce qui d~finit A (t)u dans D'+ (H). On munit D'+ (N(t)) de la topologie

la moins fine teIle que les applications u + u et u + A (t) u soient continues

de D'+ (N(t)) dans D '+(V) et D '+(H) respectivement.

Notons maintenant que si u E D ' + ( V ) est solution du Probl~me 1.1,

alors

v--~ a( t ; u , v)---- ( T , v ) - - (Bi D l u , v) -- (B, D2u , v)

est continue de V muni de la topologie induite par H clans D '+ , de sorte

que u ED'+(N(t)) et que l'on a:

(8.1) A (t) u + B, Dt u + B2D2u = T . a

R~ciproquement, si u est dans D ' + ( N ( 0 ) , solution de (8.1) alors u est

dans D'+ (V) solution de

(8.2) ~I~(u, v) = ( T , v), pour tout v~ V.

On peut donc 6noncer le Th6or~me 2.1 sous la forme

Th6or~me 8.1. L ' o p 6 r a t e u r A(O + B,D, + B2D, e s t un

i s o m o r p h i s m e de D ' + ( N ( 0 ) s u r D ' + ( H ) , l e s h y p o t h e s e s du

T h 6 o r ~ m e 2.1 a y a n t l i e u .

350 J.L. LIONS

En fait on a seulement d6montr6 l'isomorphisme alg6brique, mais

l'isomorphisme topologique peut se montrer simultan6ment.

C a s p a r t i c u l i e r : a ( t ; u , v ) ne d 6 p e n d p a s d e t .

Supposons maintenant que

(8 .3) a ( t ; u , v) = a(u, v), a ( g , v ) &ant une forme sesquilin6aire continue sur V, telle qu'il existe

une constante c telle que

(8.4) R e a ( v , v ) + c l v l ' > c t l l v l l 2, c t > o , pour tout v E V .

Dans ces conditions (H0 a lieu.

L'espace N(t )= N est naturellement incf6pendant de t.

Dans ce cas 1'espace D'+ (N(t)) coincide alg6briquement et topologi-

quement avec l'espace D'+ (N) . Le Th6or~me 8.1 devient:

L ' o p 6 r a t e u r .4 -k B~ D1-k Bz D, e s t un i s o m o r p h i s m e de

D ' + ( N ) s u r D ' + ( H ) . On peut donner dans ce cas particulier une

d6monstration beaucoup plus rapide. On a en effet le

Th~or6rne 8.2. O n s u p p o s e q u e a ( t ; u , v ) = a ( u , v ) a v e c

(8.4), e t q u e (Hz) /I l i e u . II e x i s t e a l o r s G ~ D ' + ( t . ( H ; N ) )

t e l l e q u e

(8.5) (A +B~ Dt -kS, D,) �9 0 = 5 (~ 1.

(1H--op6rateut identit6 de H dans H)I e t q u e

(8.6) O �9 (A q-Bt DI q-B~ Dz) = 5 ~ ) 1~,

(1N = op6rateur identit6 de N dans N). En o u t r e G p e u t ~ t r e

c a l c u l 6 p a r t r a n s f o r m a t i o n de L a p l a c e en t ~ , h .

On utilise ici les produits de composition ~ valeurs vectotielles, of. [16].

La d6monstration est en tous points analogue/t celle de [8], Chap. II.

Nous n'y revenons pas.

L'op6rateur~de composition pat G est risomorphisme inverse de

.4 q-B1 DI q-B, D , . On obtient donc dans ce cas un r6sultat suppl6mentaire

sur la nature de l'isomorphisme inverse.

9. Exemples.

Soit t2 un ouvert de R~; on d6signe pat H = H ~ l'espace L z (f]) des

(classes de) fonctions de cart6 sommable sur fL On d6signe par H " (tS) = H m

l'espace des fonctions u ~ H telles que

SUR CERTAINES ~QUATIONS... 351

D I'uEH pour tout ~0 avec [~b[~m,

les d6riv6es 6tant prises au sens des distributions sur Q. On pose

ii ,. (Zio, ,f -- , sommation pour I Pl_~ m,

o6 iDPu] ddsigne la norme de Dt'u dans H.

Soit V un sous-espace vectoriel fermd de H", contenant l'espace

H:' en d6signant par H:' la fermemre dans H" du sous-espace des fonctions

support compact darts Q.

On prendra

(9.1) a(t;u,v)-- E.(aN(x,OD'uDpvdx, u, v~Hm, N,Iqlgm,

oit x->-a N (x , t) est dans l'espace L ~ (f~), quel que soit t,

et ot~

t-->-aN(. , t) est ind(.~finiment diff6rentiable de R dans L ~ muni de sa

topologie faible de dual de L 1. On est alors dans les conditions d'application

de la tMorie g6n6rale si (Ha) (ii) a lieu, ce qui est une hypoth~se

d'ellipticit6 sur l'op6rateur

(9.2) A (t) = E (--l)tPl DP (a~ (x , t) Dq),

et pour l'espace V.

On peut. si la fronti~re de f~ est r6guliSre, consid6rer des formes

sesquilin6aires plus g6n4rales, contenant des int6grales de surface (cf. [13]).

La condition "ucN(t)" signifie que u v4rifie certaines conditions

aux limites (homogi.~nes). Pour des exemptes, cf. [8], [9], [13].

On a ainsi d6montt6 l'existence et l'unicit6 de solutions faibles

d'op6rateurs

A ( t ) + B t ( x ) D , + B z ( x ) D , , A ( 0 = A ( x , h , h , O / O x ) ,

dans des ouverts Q X It,2>0} X {h>o}, avec des conditions aux lirnites

tr~s vari6es.

En reprenant les d6monstrations de [1], [14], on peut montrer que

si les coefficients de A(0 et si la fronti~re de Q sont r6guliers, on a en

fait d e s s o l u t i o n s u s u e l l e s . Nous ne d6veloppons pas ce point ici.

Cf. aussi [9].

3.~2 J. L, LIONS

10. Compldmen t s et variantes.

On montre par la m~me mdthode qui ci-dessus le

Thdor6me 10.1. O n s u p p o s e q u e (H1), N ~ a l i e u . O n

s u p p o s e d o n n d e s d e u x f o n c t i o n s t i ->'Bi( t / ) , i = 1, 2,

i n d 6 f i n i m e n t d i f f d r e n t i a b l e s d e R d a n s L ( H ; H ) ; o n

s u p p o s e q u e

(a, (t,) f , f ) > ~, (~) Ill 2, pour tout f e n , t~ __< ~, 0~ (~,) > 0.

A l o r s i l e x i s t e u da r t s D'+(V) u n i q u e , t e l l e q u e

(10.1) a (t ; u, v) + (BI (tl) Dt u, v) + (B2 (12) D2 u, v) = (T, v), pour tout v e V,

T d o n n 6 e d a n s D ' + ( H ) ; u d d p e n d c o n t i n f i m e n t d e T.

Nous n'avons pas pu d6montrer un rdsultat analogue dans le cas de

fonctions Bi (0 ddpendant des deux variables ta, t2.

Lorsqu'on cherche des solutions d'une dquation du type (10.1), les

solutions 6rant prises dans un sens faible diff6rent (cf. la ddfinition pr6cise

plus loin) on peut aIors ddmomrer un r6suitat d'existence plus g6n~rat:

consid6rons trois espaces de Hilbert, W , V , H , avec W C V C H ,

algdbriquement et topologiquement. Les notations sont les mSmes que ci-

dessus pour les espaces V et H ; si w , w ' e IV, on ddsigne par (((~v, w')))

leur produit scalaire dans W. On consid~re une fois pour mutes un compact

K = [0, X] • [0, ~].

Pour tout t e K, on donne une forme sesquilindaire

a ( t ; v , w ) , v e V , w e W ,

continue sur V X W. On suppose que, pour tout v ~ V, w e IV, la fonction

t + a (t ; v , w) est condnue dans K.

On ddsigne par F l'espace L 2 ( K ; V ) ;

h e L z ( K ; V ) telles que D i h e L 2 ( K ; H ) ,

distributions dans l'intdrieur de K, et avec

par II l'espace des fonctions

Di dtant pris au sens des

h (t l , ~) = o , h (~, t2) = o .

Consid6rons F muni de sa structure hilbertienne naturelle; il est inutile

de munir W d'une topologie. Evidemment W C F , algdbriquement.

Pour ueF, heW, on pose

(lO.2) E(u,h)= a ( t ; u ( O , h (O)dt - - (u(O,O,(e,(oh(O))dt K K

-- ~ ' ( u (t) , D2 (B,(t) h (t)) ) dt ,

K

SUR CERTAINES ~QUATIONS. . . 353

On calcule

2 R e E ( h , h ) =

= ~ [2 R ea (t K

+ f (B, r 0

,t

0

donc

oil Bi (0 e ]h (H ; H) , les fonctions t +- B~ (0 6tint une fois continQment

diff6rentiables de K dins r . ( H ; H ) muni de la topologie simple forte.

On suppose :

(10.3) I1 existe c tel clue

F.e~(t;~,,, .)+~f,~l~>~ll, , ,rl ~, ~,>o, t~t: , , , ~ w ; 0o.4) r ~, ~>o, / ~ H , r i - x , 2.

Th~or~me 10.2. Si l e s h y p o t h e s e s (10.3), ( 1 0 . 4 ) o n t l i e u ,

i l e x i s t e u d i n s F--LX(K;V) t e l q u e

(:0.5) E(u ; h) = ~ ( / ( 0 , h(O)dt, K

p o u r t o u t hEW, f 6 t i n t d o n n 6 d i n s L 2 ( K ; H ) .

D6monstrat ion.

Posant u = exp (k (tt + h) )U, on se ramene, par un choix convenable

de k, au cas oil

(10.6) 2Rea(t;w,te)--((D,Bt(t)+ D2B2(t))w,w)~ ,~,11~,11', ~ ,>o, ~EK.

2 R e E ( h , h):

; h (t) , h (t)) - - ((Dr B, (0 + D2 B2 (t)) h (t) , h (0)] dt

, ~,) h (o, t,), h (o, ~,)) dr,

, o)h(t, , o), h(t, , o))dt,,

2 R e E ~ h , h ) a at ~ l f h ( 0 fl2dt, / . I

K

d'oi~ le r~sultat en utilisant le Th~or~me g6n~ral d'existence donn~ dins

[10], [11] et d~j/t utilis~ plus haut.

Remarque 10.1. On a seulement utilis6 dins l a d6monstration du

Th6or~me 10.2 les hypotheses suivantes sur les B~(t): Bl(t) et B2(t) sont hermitiens ; B, (0 , h) ~ 0, B2 ( t , , 0) > 0 et

Bt (0 + B2 (t) ~ ~ I , I identit6 dins H, [3 > 0 .

354 J.I . . LIONS

R e m a r q u e 10.2. O n n ' a pas unicit6 en g6n6ral si W C V s t r ic tement .

Si V - - W nous avons d6montr~ l 'unici t6 de la so lu t ion de (10 .5) en supposan t

clue (10.3) , ( 1 0 . 4 ) o u t l ieu sinai clue le hypo theses suppl6menta i res suivantes :

(10.7) { 00.8) { II es t p robab le que ce r6sultat subsis te lo r sque B~(t)

convenab lemen t r6guli~re ~ des deux var iables t , , t2,

pas d6montr6.

a (t ; u , v) eat, p o u r tout u , v E V, une fois cont in i iment diff6rentiable

dana [ 0 , Ix] X [ 0 , Ix], dz/Ott Oh a ( t ; u , v) 6taut con t inue ;

B i ( t ) ne d6pend clue de t~ et de fagon deux fo is cont inQment

diff~rentiable dana [ 0 , Ix] ~ valeurs dana I ' . ( H ; H ) s imple fort .

d6pend - - de fagon

mais ce po in t n ' e s t

B I B L I O G R A P H I E

[1] N. A r o n s z a j n J K . T. S m i t h , A paraRre.

[2] A. C h i f f i, Analisi esistenziale �9 quantkativa dei problemi di propagazione Annati a~[~ Scuo~ Nor're. Sup. Pisa, IX (1955), p. 247--281.

[3] S. F a �9 d o, Un nouvo metodo per l 'analisi esistenziale e quantirativa dei prohlemi di propagazione, A n u U dtl/a ~ 0 ~ Norm. $~p. P/~a, I, (1949), p. 1~40.

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[11] J. In L i o n s, Sur les problc~mes mixtes pour cenains syst~mes paraboliques clans des ouvetts non cylindriques, Aanal~ ln~isut PoHeier, VII (1957), p. 143--182.

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[13] J. L. L i o n s , Sur les probl~mes aux limites du type d6riv6e oblique, A~Bals of ,Math., 64 (1956), p. 208---239.

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SUR CERTAINES I~QUATIONS... 355

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[16] L. S c h w a r t z, Distributions t valeurs vectorielles, Annales de 2"Institut Fourkr, VII (1957), p. l - - t i t .

[16 his] S.L. Soboleff, M~thode nouvelle .... Mat. Sbornik, t. 43 (1936), p. 39-72.

[17] F. T t ~ v . e s , Domination et probl~mes aux limires de type mixte, C. R. Acad. des Sc. PariJ, t. 245 (1957), p. 2454--2457. Th~se, Paris, 1958; ~t paraltze aux Acta Math.

[18] I. M. V i s i k , Le probleme de Cauchy avec des ol~rateurs comme coefficients . . . . . Mat. Sbornik, 39 (1956), p. 51--148.

[ t9 ] I. M. V i s i k J O . A. L a d y z e n s k a y a , Problemes aux limites pour ~quadons sux d~riv~es panielles et certaines classes d'~quations op~rationnelles, Ouspehi Mat. Naouk, XI (1956), p. 41~97 .

(Refu le 22 Mats 19~8)