Sur la structure du groupe des difféomorphismes qui préservent une forme symplectique

Comment. Math. Helvetici $3 (1978) 174-227 Birkhiiuser Verlag, Basel

Sur ia structure du groupe des diff6omorphismes qui pr6servent une forme symplectique

AUGUSTIN BANYAGA

Introduction

Soit M une vari6t6 diff6rentiable de classe C -~ paracompacte connexe de dimension n. Si Diffk(M)o est le groupe des diff6omorphismes h de M de classe C k tels qu'il existe une Ck-isotopie H de h ~t l 'identit6, fixe en dehors d 'un compact, les travaux d 'Epstein [7], Herman [8], Mather [11] et Thurston [17], montrent que pour tout k = 0, 1 . . . . . oo k ~ n + 1, Diffk(M)o est un groupe simple.

Par contre, si M est une vari6t6 diff6rentiable de classe C ~ close et connexe de dimension n et si G ~ est la composante connexe de l'identit6 dans le groupe des diff6omorphismes de M de classe C -~, qui pr6servent une forme-volume sur M, G ~ n'est pas simple. Thurston [16] a montr6 que l'ab61ianis6 H I ( G ~ ) = G~/[G~, GuM] de G ~ est isomorphe ~ un quotient de H"-I(M, R), mais cepen- dant que [G~ , G~] est un groupe simple.

Nous d6montrons ici un r6sultat analogue pour le groupe des diff6omorphismes qui pr6servent une forme symplectique. Plus pr6cis6ment, soit (M,/2) une vari6t6 diff6rentiable de classe C ~ close et connexe, munie d 'une forme symplectique 12 et soit Ga (M) la composante connexe de l'identit6 dans le groupe des diff6omorphismes de classe C ~ de M qui pr6servent la forme O. Nous d6montrons que HI(Ga(M)) est isomorphe ~ un quotient de Hi(M, R) et que [Ga(M), Ga(M)] est un groupe simple. La d6monstration de ce r6sultat occupera le chapitre III de ce travail. L'id6e de la d6monstration est de raffiner et d 'adapter au cas symplectique les techniques employ6es par Thurston pour d6montrer les r6sultats de [16] et [17].

Nous obtenons aussi quelques r6sultats dans le cas oh la vari6t6 symplectique (M,/2) est non compacte. Le r6sultat fondemantal dans le cas non compact (th6or~me 11.6.2) dit qu 'un certain sous-groupe de [Ga(M), Ga(M)] est simple. Par exemple il d6coule imm6diatement de ce th6or~me qus si (M, O) est une vari6t6 symplectique ouverte, connexe dont le HI(M,R)=O, alors [Gn(M), Ga(M)] est simple et HI(Ga(M)) est isomorphe ~ un quotient de R.

Nous d6montrons aussi que si 12 est exacte et que si la dimension de M est au moins 4, alors HI(Ga(M))-~HI(M,R)~R et [Go(M), Ga(M)] est simple. Ceci

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Sur la structure du groupe des diff6omorphismes 175

est une cons6quence du th6orSme 11.6.2 et de quelques constructions donn6es au chapitre II.

Les m6thodes de ce papier et le r6sultat principal (th6or~me 11.6.2) ont permis G. Rousseau [13] de d6terminer la structure du groupe Gn(M) dans le cas oil M

n'est pas compacte. En particulier, il retrouve par une m6thode diff6rente notre r6sultat ci-dessus concernant les vari6t6s h formes symplectiques exactes.

Le chapitre I e s t consacr6 aux pr61iminaires. Nous y rassemblons quelques notions et r6sultats classiques qui interviendront dans la suite et nous y d6montrons quelques faits qui seront utilis6s dans le courant de ce travail.

Au chapitre II, nous construisons les invariants qui jouent un r61e d6 dans l '6tude du groupe des diff6omorphismes symplectiques. Ces invariants se trouvent ~tre des homomorphismes de Ga(M) ou de ses sous-groupes h valeur dans certains groupes ab61iens. Les r6sultats de ce travail, 6nonc6s dans ce chapitre, concernent la structure des noyaux de ces homomorphismes.

Le chapitre III est consacr6 aux d6monstrations des r6sultats. Tous les objets consid6r6s ici sont de classe C ~ et le mot "diff6rentiable"

signifiera "de classe C~. '' Les espaces d'applications seront toujours munis de la

topologie C ~. Les r6sultats d6montr6s ici ont 6t6 annonc6s dans [2], [3]. Ce papier est ~ quelques modifications pros, la th~se que j'ai pr6sent6e h la

Facult6 des Sciences de l 'Universit6 de Genbve. Les modifications sont les suivantes: le chapitre concernant les diff6omorphismes qui pr6servent une forme de contact a 6t6 omis. Les r6sultats de ce chapitre seront publi6s ailleurs. En outre, on a ins6r6 quelques compl6ments sur les diff6omorphismes d 'une vari6t6 symplectique non compacte.

Je suis tr~s heureux d 'exprimer ma profonde reconnaissance au Professeur Andr6 Haefliger, qui a dirig6 ma th~se, pour le rSle essentiel qu'il a jou6 dans ma formation de math6maticien, et particuli~rement dans l'61aboration de ce travail. Par son aide vraiment efficace, ses encouragements et ses enseignements, il a 6t6 pour moi un Maitre remarquable; il m'a notamment communiqu6 et longuement expliqu6 les d6tails non publi6s des d6monstrations des r6sultats de [17] de Thurston, (voir [4]).

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION

I.- QUELQUES RESULTATS ET NOTIONS PRELIMINAIRES 1. Isotopies et families de champs de vecteurs 2. Formes symplectiques 3. Plongement symplectique des boules

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I I . - CONSTRUCTION DES INVARIANTS ET ENNONCE DES RESULTATS

1. L'invariant S 2. L'invariant S comme obstruction a l'extension des isotopies symplectiques 3. Quelques propri6t6s du groupe Ker S(M) 4. L'invariant R 5. L'invariant t~ 6. Ennonc6 des r6sultats

I II . - DEMONSTRATIONS DES RESULTATS

1. L'invariant R et l'obstruction ~ l'extension des isotopies symplectiques 2. Recouvrement associ6 h une triangulation 3. Le lemme de fragmentation 4. L'ensemble simplicial B(5 5. Le groupe Hl(BKer S(M), Z) 6. Les diff6omorphismes symplectiques du tore 7. Fin des d6monstrations

BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE I

QUELQUES NOTIONS ET RESULTATS PRELIMINAIRES

1. Isotopies et families de champs de vecteurs

Soit M une vari6t6 diff6rentiable de classe C ~. Le support d 'un diff6omorphisme h de M est l 'adh6rence de l 'ensemble {x e M Ih(x ) ~ x}. Nous

d6signerons par D i f F (M) le groupe de tous les diff6omorphismes de M de classe C ~ ~ support compact . Soit DitFr (M) le sous-groupe de Diff ~ (M) dont les 616ments ont leur support dans un compact fixe K de M, muni de la C~-topologie. Alors Diff ~ (M) = lim_, Direr (M).

Soit I l ' intervalle [0, 1]. Une isotopie est une application c:I--~ Diff ~ (M) telle

que c (0 )= idM et telle que l'~ipplication (t,x)~-~c(t)(x) de I • clans M soit diff6rentiable. Nous dirons qu 'une isotopie est un chemin diff6rentiable dans Diff ~ (M) d 'origine idM. Un diff6omorphisme h est dit isotope ~ idM s'il existe une isotopie c : I - + D i f f f = ( M ) telle que c ( 1 ) = h . C o m m e le groupe D i f f ~ ( M ) ' e s t localement connexe par arcs diff6rentiables, la composante connexe de idM dans

D i f F (M), not6e Dift ~ (M)o, est l ' ensemble de t ous l e s diff6omorphismes isotopes l 'identit6.


Une isotopie h:I---~ Diff ~ (M) d6finit un feuilletage sur M x I transverse aux fibres de la projection M x I--~ I. Soit x ~ M; la feuille passant par (x, 0) est l 'ensemble {h~(x)},~i.

On d6finit une famille (diff6rentiable) de champs de vecteurs /~, en posant:

dh~ 1 /i,(x) = -dT (hi- (x)), x e M

La famille de champs de vecteurs/~, est la projection sur M du champ de vecteurs sur M x I qui se projette sur le champ constant O/Ot de I e t qui est tangent aux feuilles du feuilletage d6fini par l'isotopie h,.

PROPOSITION 1.1.1. Soit hs., une famiUe diff~rentiable ?t 2-param~tres de diff~omorphismes de M telle que ho.o = idM. Si X,, et Y,, sont les familles de champs de vecteurs sur M d6finies par:

dhs , 1 X~(x) = ~ ( h 2 . , (x)); d ~ t 1 Y~,(x) = ~ ( h s - , (x)), x e M

alors, on a:

as Ot

D~monstration. La famille h~,, d6finit un feuilletage sur M x ( I x I) transverse aux fibres de la projection p :M x ( I x / ) ~ ( I x / ) . Soient O/at et O/Os les champs de vecteurs constants sur I x I. Les champs X'= Xs, +a/at et Y' = Y~, +a/as sont tangents aux feuilles. D'apr~s le critbre d'int6grabilit6, [X', Y'] dolt aussi 6tre tangent aux feuilles. Or p , [X' , Y ' ]= [O/Ot, O/Os]= O. Donc [X', Y'] est vertical. Comme les fibres sont transverses aux feuilles, [X', Y'] doit 6tre nul. I1 en r6sulte:

a] aYe, ox~, + x~,,~ =[x~,, Y.]+ at os

La proposition est d6montr6e.

Soit A ( M ) = ~ A P ( M ) l'alg~bre des formes diff6rentielles sur M. Pour tout champ de vecteurs X, on d6finit les op6rations de d6riv6e de Lie Lx et de produit int6rieur i(X). La d6riv6e de Lie Lx est l'unique d6rivation de l'alg~bre A(M) de


degr6 0, d6termin6e par les conditions suivantes:

Lx( f ) = d f (X) , Lx (d f ) = dLx( f )

pour toute fonction f. Le produit int6rieur i (X) est l'antid6rivation de degr6 - 1 qui h la p-forme a

associe la (p -1 ) - fo rme i ( X ) a telle que pour ( p - l ) champs de vecteurs Y1, Y2 . . . . . Yp-1, on ait:

( i ( X ) a ) ( Y l , Y 2 , . . . , Yo-1)= or(X, Y1, Y2 . . . . . Yp-1).

Si d est la diff6rentielle ext6rieure, on a l e s formules suivantes:

L• = d i (X) + i (X)d

i([X, Y]) = Lxi ( Y) - i( Y)Lx .

Les propositions suivantes (1.1.2 et 1.1.3) sont des faits bien connus que nous utiliserons fr6quemment dans la suite.

PROPOSITION 1.1.2. Soit or, une famille de formes diff&entielles sur une varMt~ compacte M. II y a ~quivalence entre les ~nnonc~s suivants:

(i) II existe une isotopie h~ de M telle que h ' a , = ao (ii) Il existe une familIe de champs de vecteurs X, telle que Lxa,+Oa,/Ot=O

DEmonstration (cf [12]). La proposition r6sulte imm6diatement de la formule suivante:

d . . ~tt (ht a , )= h, (l_~ot, +O~

PROPOSITION 1.1.3. Soit t~ une [orme [erm~e et soit h, une isotopie, alors

h*a - a = dr avec r = h*(i(l~,)a) ds.

D~monstration.

d ( h ' a ) = h*(L~a) = h*(di(li~)a) = d(h*(i(li~)a)). ds

Sur la structure du groupe des diff6omorphismes

On a donc:

h*t c t - a = I ' d (h*ct) ds = d[~' h*(i(l~s)ct)) ds ].

D'ob la proposition

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2. Formes symplectiques

Une [orme-volume sur une vari6t6 ditt6rentiable M de dimension n e s t une n-forme par tout non nulle. Une telle forme existe si et seulement si M est orient6e.

Une [orme symplectique sur une vari6t6 ditt6rentiable de dimension paire 2n est une 2-forme f e rm6e /2 telle que O" = /2 A/2 A �9 �9 �9 A O soit une forme-volume. C'est une 2-forme de rang maximum: ceci veut dire que l 'application tz qui associe h un champ de vecteurs X de M la 1-forme i(X)O est un isomorphisme

de l 'espace des champs de vecteurs tangents ~ M sur celui des 1-formes. Si M est munie d 'une forme symplectique 12, nous dirons que le couple (M, O) est une vari6t6 symplectique.

Soit f u n e fonction de classe C ~ sur une vari6t6 symplectique (M, O). Le champ de vecteurs X~ = /x - l (d f ) sera appel6 le gradient symplectique de [. Si X est un champ de vecteurs tel que la 1-forme i(X)12 soit exacte, une fonction f telle que i (X)O = d[ s'appelle un hamiltonnien de X.

Un champ de vecteur X sur (M, 12) sera dit un champ de vecteurs symplectique si le groupe h 1-param~tre qu'il engendre pr6serve la forme 12. Si X est un champ symplectique, on a: LxO = 0. Comme 12 est ferm6e, cette condition exprime que la 1-forme i(X)12 est ferm6e.

Soit (M, 12) une vari6t6 symplectique de dimension 2n. Pour tout point x de M, il existe un voisinage U de x et un syst~me de coordonn6es locales h :R 2" ~ U tel que si l / Iv est la restriction de O h U, alors h*(121u) soit la forme symplectique canonique dxl /x dx2 + dx3 /x dx4 + �9 �9 �9 + dx2n_l /x dx2, de R z". C'est le th6or~me de Darboux (voir par exemple [10]). La carte (h, U) s'appelle une carte canonique.

3. Plongements symplectiques des boules

Soient X et Y deux vari6t6s symplectiques. Un plongement de X dans Y sera dit symplectique s'il transporte la forme symplectique de Y stir celle de X. Deux plongements symplectiques fo et fl de X dans Y seront dits isotopes s'il existe une

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famille (diff6rentiable) ~t 1-parambtre de plongements symplectiques Pt:X---> Y telle que Po = f0 et P1 = fl-

L 'analogue diff6rentiable de la proposition suivante est bien connu:

P R O P O S I T I O N 1.3.1. Deux plongements symplectiques d'une boule B de R 2" dans R 2" sont isotopes.

D~monstration. I! suffit de montrer que tout plongement symplectique h de B dans R 2" est isotope au plongement naturel i :B ~ R 2". Remarquons d 'abord que h est isotope h u n plongement symplectique/~ tel que /7(0)= 0. En effet si T est une translation telle que T(h(O))= 0, on prend /~= T . h.

Pour tout t~ ]0 , 1], soit R, l 'homoth6tie de rapport t dans R 2". On a: R , ( B ) c B e t R*~O = t 2. 12, oh O est la restriction h B de la forme symplectique standard de R 2". I1 est clair que R; -I �9 R, est un plongement symplectique de B dans R 2" et que sa d6riv6s en 0 est le plongement symplectique lin6aire suivant:

&tx) h'(O)(x) = lim = lim (R~ -1./7. R,)(x).

t ~ O t t ~ o

La famille:

~R~ I . / 7 . R , pour 0<t_-<l

H, = (h ' (0) pour t = 0

est une famille continue de plongements symplectiques telle que H1 =/T. Cette famille est homotope relativement aux extr6mit6s h une famille diff6rentiable (par changement convenable de parambtre) de plongements symplectiques.

Nous venons de montrer que h e s t i so to p e ~t un plongement symplectique lin6aire. Comme le groupe symplectique lin6aire Sp(n) est connexe par arcs diff6rentiables, tout plongement symplectique lin6aire est isotope au plongement naturel i: B c+ R 2n. La proposition est d6montr6e.

La proposition suivante donne une pr6cision sur le support de l 'isotopie entre deux plongements symplectiques de boules.

P R O P O S I T I O N 1.3.2. Soit V un ouvert convexe de R 2" contenu dans une boule 13,/8 de centre 0 et de rayon r/8. 1l existe un e>O tel que pour tout diff~omorphisme symplectique h : V--> Br/8 v&ifiant:

<llh'(x)(Y)li< l - e = ' = l + e (*)

Ilyll


pour x et y dans V, il existe une isotopie symplectique Ht de R 2" d support dans B r et telle que Hllv = h.

D~monstration. En composant 6ventuellement avec une translation, on peut supposer que h ( 0 ) = 0 . La condition plus haut et la formule de la moyenne impliquent que pour tout t ~ [0, 1], x ~ V, on a: Ilh(tx)ll <= t I]xlt (1 + e). Donc pour t E[0, 1], x c V, h(tx)/tCBrt 4. Si h'(0) est la d6riv6e en 0, on a aussi que h'(O)(V) c Br/4. La condition (*) signifie que h ' (0)c Sp(n) est proche du compact maximal U(n) de Sp(n). Soit p : T ( U ( n ) ) ~ U(n) un C~-voisinage tublaire dans Sp(n). Alors en identifiant T(U(n)) avec un voisinage de U(n) dans Sp(n), on peut 6crire que h '(0)~ T(U(n)). Soit graSp(n) l 'isotopie de h'(0) ~ l'identit6 obtenue en composant les chemins at et bt oh at joint h'(0) h p(h'(O)) dans T(U(n)) et b, joint p(h'(O)) ~i l 'identit6 dans U(n). Alors g t ( V ) c Br/2. Soit Gt le chemin reliant h ~t l 'identit6 obtenu en composant le chemin allent de h h h'(0) et le chemin gt ci-dessus. Alors G t ( V ) c Br/z. Soit u une fonction C ~ h support dans B , 6gale ~ sur B,/2 et soit f, un hamiltonnien de G~, oh G~ est l 'isotopie obtenue par lissage de G,. Si H, est l ' isotopie symplectique obtenue en int6grant le gradient symplectique de u . f,, alors supp ( H , ) c B, et H~[v = h. La proposition est d6montr6e.

CHAPITRE II

CONSTRUCTION DES INVARIANTS ET ENNONCE DES RESULTATS

1. L'invariant S

Soit h, une isotopie dans DiflT~ (M). Nous allons montrer que la forme ~(h,)=S~, i(l~,)g2dt est une 1-forme ferm6e dont la classe de cohomologie ne d6pend que de la classe d 'homotopie de h, reiativement aux extr6mit6s. Plus pr6cis6ment, on a la proposition suivante, qui est dhe a Calabi [6]:

P R O P O S I T I O N II.1.1. Soit (M, O) une vari~t~ symplectique et soit Gr le rev~tement universel du groupe Dif~a (M)o = Ga(M). II existe un homomorphisme surjectif et continu:

S: G~('-M) -~ H~(M, R)

of~ H~(M, R) est le premier groupe de cohomologie de de Rham ?t supports compacts.


D~monstration. D'apr~s Weinsteih [20], Ga(M) est localement contractible; donc aussi localement connexe par arcs diff6rentiables. I1 en r6sulte que les 616ments/~ de Ga('~"~ sont des paires (h, {ht}) oh h ~ Ga(M) et {h,} est une classe d 'homotopie d'isotopies symplectiques de h ~ l'idM. Comme h, est dans Ga(M), it, est un champ de vecteurs symplectiques, c.h.d, que i([~)O est une 1-forme ferm6e. I1 en est de m6me de la 1-forme:

2 (i~) = L ~ i(h,)12 dt.

Soit hf une autre isotopie dans Diff~ (M) telle que hl = hi = h et qui est homotope h,. Ceci veut dire qu'il existe une famille diff6rentiable h 2-param~tres H~.,

d'61gments de DifFa (M) telle que:

H~.o = idM H~,I = h pour tout s ~ I

Ho., = h, Hi., = h~ pour tout t ~/ .

Consid6rons les champs de vecteurs X~., et Ys., d6finis par:

aH~, aH~, X:,,(x) = - - ~ (H~J(x)) Y:.,(x) = - ~ ' (H~J,(x)).

Si on pose: Y~(H:.,)=gi(X:.,)Odt, on a: Y:(Ho,,)=Y.(h,) et Y.(H1,,)=~;(h') . Calculons la variation de la famille Y. (H:,,):

Lli(OX~,~O f' /OY." \ r'

La derni~re ligne r6sulte de la proposition 1.1.1. Les champs Y,.o et Y,.1 sont nuls. I1 en r6sulte:

Io ' i(aY','~l 2 L 'a ' \ at / dt = ~ (i(Y,,t)O) dt = i(Y,.,)O- i(Y,,o)• = O.

D'autre part:

Iol i([Xst, Y~,])12dt=L~(Lx.,i(Y,,)~)dt=d{~ll~(Y,,,X~,)dt}.


Donc:

2(h't)-~(h,)=dc~, oh or= I,•

Ceci montre que la classe de cohomologie de la forme Y, (h,) est ind6pendante du choix de ht dans sa classe d 'homotopie relativement aux extr6mit&. La correspondance /~-~ S(/~), oh S(/~) d&igne la classe de cohomologie de Y, (h,) d6finit une application continue:

g : G~(iVt)---> HI(M, R ).

Cette application est un homomorphisme de groupes: en effet soient gi = (gi, {G}) deux 616ments de Gn(M). Leur produit peut 6tre repr6sent6 par l'isotopie c, obtenue en faisant un changement convenable de param~tre dans le chemin diff6rentiable par morceaux c~ suivant (On dira que c, est un lissage de G):

c,(t)=~c 2, pour 0<-t-<�89

I.c~,_,.c~ pour � 8 9

I1 est 6vident que ~.(ct)=~.(c~)+Y (c2t). L'application g est donc un homomorphisme. II est 6videmment continu.

Soit 0 une 1-forme ferm6e h support compact repr6sentant un 616ment [0] de HI(M, R). Le champ de vecteurs X d6fine par i(X)O = 0 est un champ symplectique. Soit /~ = (h, {h,})~ Go(M), oh h, est le groupe ~ un param~tre engendr6 par X, alors S(h)= [0]. D 'oh la surjectivit6. La proposition est d6montr6e.

Remarque II. 1.2. Soit 3': I--~ M un 1-simplexe singulier diff6rentiable dans M. Pour toute isotopie symplectique h,, on consid~re 1' application G : I x I---~ M d6finie par:

G(s, t)= h,(3,(s)).

On montre facilement la formule suivante [6]:

i• o*a = I, y (h,). (,)

D'autre part, les 1-formes ~.(h,) et Io 1 h*i(hJ12dt sont cohomologues. De lh r6sultent des d6finitions 6quivalentes de l'invariant S.


DI~FINITION DE L ' H O M O M O R P H I S M E S. D6signons par F l'image par du sous-groupe 7rl(Gn(M)) de Gn(M). Par passage au quotient, on obtient un homomorphisme surjectif et continu:

S:Ga(M)---~ H~(M, R)/F.

Le sous-groupe F

Soit Pn le sous-groupe de R form6 des p6riodes de /2, c.h.d, que Pa est le sous-ensemble de l l fbrm6 des a tels que a = Sc 12, off c est un 2-cycle entier de M. I1 r6sulte de la fornmle (*) ci-dessus que Fc HI(M , Pa). En particulier, F est d6nombrable si M est h base d6nombrable. De plus, si la forme 12 est h p6riodes enti~res, alors F est discret. Nous allons mohtrer qu'il en est encore ainsi si la forme symplectique 12 provient d 'une m6trique k~ihl6rienne sur M.

Soit o~ une forme-volume sur une vari6t6 diff6rentiable M de dimension n e t soit K un compact de M. On munit de la C~176 le groupe Difl~K.,~ ( M ) = {h ~ DifF ~ (M) ] supp (h) ~ K et h ' to = to}. Soit Dift~ (M) = lim__, Dif~K.o, (M) et Difi~ (M)o la composante connexe de l ' identi t~ dans Difl~ (M). Soit h, une isotopie dans Difl~ (M) et {h} sa classe dans Difl~ (M)o. Thurston [16] a montr6 que la classe de cohomologie V({h}) de la ( n -1 ) - fo rme ferm6e S~ i(/~,)to dt, ne d6pend pas du choix des repr6sentants de {h} et que la correspondance {h} ~-* V({h}) est un homomorphisme surjectif et continu f ' : D f ~ (M)o-->/4~-1(M, R),

Soit (M, 12) une vari6t6 symplectique de dimension 2n. Alors w = O" est une forme-volume. On a l'inclusion Difl~ n ( M ) c Diff:~ (M). Soit h, une isotopie dans DifFn (M), alors:

Io I i(f~)oJ dt = n~( i(l~,)O) A 12,-i dt = n ( i ~ i(f~,)O) dt) A 12"-~.

On a donc le diagramme commutatif suivant:

Difl~n (M),,-z.~ H~ ( M. R)

Diff,, (M) 0 -% '~"~2n- 1/~k ' l [ - -c ....., R).

La derni~re fl~che verticale 6tant induite par la multiplication par 12 "-1. Supposons que la multiplication par 0 "-1 induise un isomorphisme

H~(M,R)--~/-/~"-I(M,R). Ceci est le cas par exemple si 12 provient d 'une


m6trique k~iehl6rienne sur M [19]. II r6sulte de la commutativit6 du diagramme ci-dessus, que F = S(~rl(Dif~o(M)o)) est isomorphe ?a 9(i(Trl(Dit~a(M)o) ). Or, d'apr~s [16], ce dernier groupe est discret. I1 en est donc de m~me de F.

Je n'ai pas d 'exemple de vari6t6 symplectique (M, 12) oh le sous-groupe F ne soit pas discret.

Construction directe de l'invariant S dans le cas oi~ 12 est exacte

D'apr~s ce qui pr6cbde, si 12 est exacte, F est trivial. On a donc un homomorphisme S: Ga(M)---> H~.(M, R). Nous nous proposons de construire di- rectement cet homomorphisme sans utiliser les isotopies.

Soit A une 1-forme telle que dA = g2. Pour tout h ~ G~(M), la 1-forme/-~*A - A est une 1-forme ferm6e h support compact. Sa classe de cohomologie [h*A- A] H~(M, R) est ind6pendante du choix de A. En effet soit A' une autre 1-forme telle que dA'=12, alors A ' - A est ferm6e. Donc la 1-forme suivante est exacte: ( h * A ' - A ' ) - ( h * A - A ) = h * ( A ' - A ) - ( A ' - A ) . Donc [ h ' A - A ] est ind6pendante du choix de A.

On voit imm6diatement que [ h * A - A ] = S(h). En effet si h, est une isotopie symplectique de h fi l 'identit6, on a:

h ' A - A = I~' h*'(L~'A)dt=f]h*'i([~')12dt+d(f[h*'(i(h*)A)dt)"

Remarque. Dans les constructions de l 'invariant S, nous n'avons utilis6 que le seul fait que g2 est ferm6e. Soit donc Go(M) la composante connexe par arcs diff6rentiables dans le groupe des C~-diff6omorphismes d 'une vari6t6 diff6rentiable M, h support compact et qui pr6servent une p-forme ferm6e oJ, et soit Q,(M) son rev6tement universel. On obtient avec les m6mes constructions, un homomorphisme So,:G,~(M) ~ H~-I(M, R) et si o~ est exacte, S,o:G~,(M) H~-' (m, R).

2. L'invariant S comme obstruction ~ l'extension des isotopies symplectiques

Dans la suite, nous aurons h r6soudre le problbme suivant: 6tant donn6s une vari6t6 symplectique (M, 12), un sous-ensemble ferm6 F dans M e t h, une isotopie de M qui pr6serve la forme 12 sur un voisinage de F, trouver une isotopie h, symplectique partout et qui coincide avec h, au voisinage de F. C'est un probl~me d" 'extension des isotopies symplectiques." La solution est donn6e par le r6sultat suivant:

186 AUGUST'fN BANYAGA

THI~ORI3ME II.2.1. Soit (M, O) une varidtd symplectique compacte, F un ferm~ dans M e t h~ une isotopie symplectique au voisinage de F. Supposons que

i h*,a-a=O pour toute 2-chaine singuli~re diff&entiable c dont le bord est dans F. (c.h.d. que les p6riodes relatives de h*O-12 modulo F sont toutes nulles) // existe alors une isotopie symplectique h, qui coincide avec ht au voisinage de F. De plus, pour tout voisinage V de l'identit~ (pour la C~-topologie) dans C~(I, Diff ~ (M)), il existe un voisinage de l'identit~ W tel que si h, appartient ?~ W, alors h~ -~ �9 h, est dans V.

Ce th6or~me r6sulte du lemme suivant, qui est un "th6or~me de de Rham relatif avec param~tre."

LEMME 11.2.2. Soit M une vari~td diff&entiable et O, une famille ~ 1- param~tre de p-formes, nutles au voisinage d 'un ferm~ F de M et dont les p~riodes relatives modulo F sont toutes nulles. I! existe alors une famille ?t 1-param~tre de (p - 1)-formes a, nulles au voisinage de F et telles que O, = da,.

Avant de d6montrer ce lemme, nous allons rappeler quelques notions sur les produits tensoriels d'espaces vectoriels topologiques (EVT) (cf. par exemple [14] ou [18]).

Soient E1 et E2 deux EVT localement convexes. On note par E I ~ E 2 respectivement EI(~,~E 2 leur produit tensoriel compl6t6 avec la topologie zr respectivement avec la toploogie E (voir [14] pour la d6finition de ces topologies). Un EVT localement convexe E est dit nucl6aire si pour tout EVT localement convexe F, alors E ~ , F et E ( ~ F coincident. On montre que l'espace C~(U) des fonctions de classe C ~ d'un ouvert U de R n dans R est un EVT nucl6aire.

Soient ui:Ei ~ F~ deux surjections lin6aires d'EVT, o/1 les El sont m6trisables, alors Ul~U2:El~.E2--~ F l ( ~ F 2 est une surjection.

Soit U un ouvert de R" et E un EVT complet. Si C~(U, E) est l'espace des applications de classe C ~ de ,U dam E, on a l'isomorphisme:

c (u, E ) - - ---

On omet la mention w ou ~ et on 6crit: C ~ ( U , E ) - ~ C ~ ( U ) ~ E .

D~monstration du lemme II.2.2. Soit AP(M, V) (respectivement BP(M, V)) l'espace des p-formes nulles sur un voisinage convenable V de F (respectivement


des p-formes ferm6es dont la classe de cohomologie relative modulo V sont nulles), muni de la topologie C ~. Par voisinage convenable V de F, nous entendons une sousvari6t6 h bord approximant F. Le th6or~me de de Rham relatif dit que

d:AV-'(M, V)----~ BY(M, V)

est une surjection lin6aire d'espaces de Fr6chet. D'apr~s ce qui pr6c~de,

d~id~:C~176 V)---> C~(/)~)BP(M, V)

est encore une surjection. Une famille ~ 1-parambtre de p-formes n'est rien d 'autre qu 'une application

de classe C | de 1 dans l 'espace des p-formes, cA.d. un 616ment de C~176 AP(M)). Comme C~176 V))=C~(I)~Ap-I(M, V) et m6me chose en rempla9ant AP-~(M, V) par BP(M, V), on obtient la surjection

C~(I, Av-*(M, V))--~ C~(L BY(M, V))

Le lemme est d6montr6.

D~monstration du th~or~me 11.2.1. La famille ~ 1-param~tre

0 g~t=~Ot oh g]t=ht*O,

v6rifie les hypotheses du lemme 11.2.2. I1 existe donc une famille ~ 1-param~tre de 1-formes at nulles au voisinage de F telles que da, = 0 r Suivant Moser [14], on d6finit une famille ~ 1-param~tre de champs de vecteurs symplectiques X, par l '6quation: i(Xt)O t = - a,. On aura alors que Lx~12, + O, = 0. Si St est la famille de diff6omorphismes symplectiques obtenue en int6grant le champ X, (avec la condition initiale So(X)= x), alors d'apr~s la proposition 1.1.2, S*O, = Oo = I2. De plus, St = identit6 au voisinage de F; ainsi h, = h, �9 St est une isotopie symplectique et coincide avec h~ au voisinage de F.

L'isotopie St d6pend continuement de at: donc pour tout voisinage V de l 'identit6 dans C~(LDiff~(M)), il existe un voisi,lage T de 0 dans C'~(I, AI(M, V)) tel que si a, est dans T, alors St soit dans V. D'apr~s le th6or~me de l 'application ouverte, l 'image de T par la diff6rentielle ext6rieure est un voisinage S de 0 dans C~(I, B2(M, V)).

D'autre part, il est clair que pour tout voisinage U de 0 dans C~(L B2(M, V)),


il existe un voisinage W de l'identit6 dans C~(L Diff ~ (M)) tel que si h, est dans W, alors Ot est dans U.

On choisit U = S . Soit W = W(S) le voisinage de l'identit6 dans C~(I, Diff ~ (M)) correspondant. Si ht est dans W, alors l ) t ~ U = S = d(T). c3i.d. que 1), =da, avec a ,~ T. I1 en rgsulte que ~t = ht -~"/~t~ V. Le thgor~me est d6montr6.

Formulation du th~or~me 11.2.1. h l'aide de l'invariant S

Soit h, une isotopie de M, symplectique sur un ferm6 F c M e t soit X~, la famille de champs de vecteurs d6finie par:

d 1 X,,(x) = ds h~.,(h~.,(x)).

D'apr~s la proposition 1.1.3, on a pour tout t

h , * O - a = d ~ ' (h~,) off ~ ' (h~,) = h*~.,(i(Xs,)[2) ds.

La restrictionS" (hs,) de Y.' (hs,) h F est une famille de 1-formes ferm6es dont les classes de cohomologie ne d6pendent que de la classe d 'homotopie d'isotopies symplectiques sur F, reliant pour tout t, h, h l'identit6.

Dans le cas off ht est une isotopie symplectique sur M, la classe de cohomologie de Y (h~,) = S~ i(Xs,)12 ds (qui est la m~me que cell j e de Y.' (h~,)) est la valeur de l'invariant S sur /~t, off /~t est l'616ment de Gt~(M) repr6sent6 par l 'isotopie s ~-~ h~.,. Par analogie, on peut dire que la classe de cohomologie de Y." (hs,) est la valeur SF(/~) d 'un "invariant SF relatif" sur l'616ment /~t.

Soit 0 l 'op6rateur cobord O:HI(F)---~H2(M,F) dans la suite exacte de cohomologie r6elle de la paire (M, F). Le th6or~me 11.2.1 prend alors la forme suivante:

THI~ORI~ME 11.2.3. Soit h, une isotopie de M, symplectique sur un ferm~ F c M . La condition n~cessaire et suffisante pour qu'il existe une isotopie ~, symplectique partout et qui coincide avec ht sur F, est que l'~l(ment 0(SF(/~t) ) de H2(M, F) soit nul.

3. Quelques propri6t~s du groupe Ker S(M)

Dans ce paragraphe, nous d6montrons quelques propri6t6s topologiques du groupe Ker S(M). Rappelons qu'un 616ment h ~ Go(M) est dans Ker S(M) s'il


existe une isotopie symplectique h, de h h id~ telle que la forme ~ (h,) soit

exacte.

P R O P O S I T I O N 11.3.1. Le groupe K e r S ( M ) est connexe par arcs diff~rentiables.

D~monstration. Soit h c Ker S ( M ) et soit h, une isotopie symplectique de h id~ telle que Y~ (h,) =dg , o ) g est une fonction ~ support compact. Si on fixe t ~ / , alors h~.,, s ~ L est une isotopic de h, h ida. Soit X~, la famille de champs de vecteurs d6finie par:

dhs . t 1

Xs,(x) = - ~ s (h~.,(x)).

Posons:

o~, = i(Xs,)g2 ds.

Soit Y, la famille de champs de vecteurs d6finie par: i(Y,)g2 = [3, oia [3, = o l , - ta~. On a:

I ~ i (X , - Yt)g2 ds = d ( t . g). )

Si H~t est la famille h 2-param~tres de diff6omorphismes symplectiques d6finie par int6gration (en s) de la famille de champs de vecteurs Z~t = X~, - Y~ autrement dit H~t est la famille de diff6omorphismes telle que Ho., = idM et

(H~) (x ) ) = Zs,(x) . as

I1 est clair que Hs,1 = h~ pour tout s ~ I et que Hi., c Ker S(M) pour tout t. Comme H m = h et que H~,o = idM, H~.r est un chemin diff6rentiable dans Ker S ( M ) qui relie h h l'identit6. D'o~a la proposition.

Remarque 11.3.2. D'apr~s la proposition 11.3.1, Ker S ( M ) est connexe. Mais en g6n6ral, Ker S(M) pourrait ne pas 6tre localement connexe. En fait, on a 6quivalence entre les 6nnonc6s suivants:

(i) Ker S(M) est localement connexe (ii) Le groupe F = S ( , q (Ga (M) ) est un sous-groupe discret de H~(M, R) .


C'est par exemple le cas si O est une forme symplectique ~t p6riodes enti~res ou si elle provient d 'une m6trique k~ihl6rienne sur M.

PROPOSITION 11.3.3. Soit c, une isotopie dans Ker S(M). Alors pour tout t, la 1-forme i(~,)D est exacte.

D~monstration. Le groupe 1r~(Ga(M)) agit sur Ga(M). D6signons par rrl(Ga(M)). Ker S(M) l'ensemble des orbites des points de Ker S(M). I1 est clair que si p: Gn(M)--~ Ga(M) est la projection de rev6tement, alors:

p- l (Ker S(M)) = ,/'/'I(GII(M)) �9 Ker S(M).

Tout chemin continu dans Ker S(M) se relive en un chemin continu dans *r~(Ga(M)). KerS(M) . Soit ~ un rel~vement continu de l'isotopie c~ tel que 6(0)=idM. Pour tout t, S(g,)eF. L'application t~--~ S(ct) est donc une courbe continue dans F. Comme F est d6nombrable, cette courbe est constante. Donc S(c,) = S(co) = 0, pour tout t, c.O.d, que ~, e Ker S(M).

D'apr~s la d6monstration de la proposition II.3.1, il existe pour tout t, une isotopie s --~ H,,, repr6sentant ~, (i.e. Ho,, = ida, H~,, = ct) telle que l'image dans ~ a ( M ) de l'isotopie s ~ H,., soit dans Ker S(M), et que l'application (s, t) ~-~ H,., soit continue.

Pour tout t ~ 1, l'application:

I x 19 (v, s) ~--~ H~o~,-l~+l~.~(1-,~,+~,e Ker S(M)

est une homotopie entre les chemins .s ~-~ H,., et s ~ c,.,. Si Hi,, et ~, sont les images de ces chemins dans G-~M), on a donc que: S(ct) = S(/-II.,). Mais la classe S(/-II.,) (et donc aussi la classe S(ct)) est nulle. Si X,t est la famille de champs de vecteurs symplectiques d6finie par:

x,,(x) = ~ (c;,l(x)).

Alors la 1-forme:

~1 ~- ~t i(x~,)o as i(~)O as

est exacte. II en r6sulte que i(~,)/ '/= d/t avec/ , = dgJdt, oh g, est une famiUe de


fonctions telle que:

Io' i(bs)12 ds = dg,.


Le noyau de la surjection Ker S ( M ) ~ Ker S(M) est ~rl(Ga(M))N Ker S(M). D'autre part, Ker S(M), ayant le type d 'homotopie de Ga(M), est simplement connexe. I1 en r6sulte que si l 'on munit Ker S(M) de la topologie quotient de K e r S ( M ) par l 'action de 7 r l (G~(M))NKerS(M) , alors Ker S(M) est le rev~tement universel de Ker S(M); on a done que zr I ( K e r S ( M ) ) = zrl(Ga(M)) N Ker S(M). En r6sum6, on a l e diagramme suivant, avec les lignes et les colonnes exactes.

0 0 0

1 1 l 0 -+ ~r~(Ker S(M)) -* r --* F -+ 0

0 --~ Ker S(M) --~ G a ( ~ ~ H~(M, R) --~ 0

0 --~ Ker S(M) --~ Go(M) ~ H~(M, R)/F ~ 0

0 0 0

Remarque 11.3.4. Pour terminer ce paragraphe, signalons une propri6t6 de transitivit6 du groupe Ker S(M). Soit (M, 12) une vari6t6 symplectique close et connexe. Boothby [5] a montr6 que Ga(M) est transitif. Pour x, y e M, il construit un diff6omorphisme h eGa(M) tel que h ( x ) = y comme le compos6 de diff6omorphismes symplectiques ~i supports dans de petites boules. II est clair que de tels diff6omorphismes sont dans Ker S(M). I1 en r6sulte que h e Ker S(M).

4. L'invariant R

La proposition suivante est dfie ~ Calabi [6], mais nous allons en donner une d6monstration directe.

192 AUGUSTIN BANVAGA

P R O P O S I T I O N II.4.1. Soit (M, /2) une vari~t~ symplectique ouverte et soit K e r S ( M ) le rev~tement universel de K e r S ( M ) . Il existe un homomorphisme surjectif et continu:

/~: Ker S ( M ) - ~ R

La d6monstrat ion utilise le l emme suivant:

L E M M E II.4.2. Soit (M, /2) une vari~t~ symplectique non compacte, sans bord. Soit ~ a ( M ) l'alg~bre de Lie des champs de vecteurs symplectiques X sur M support compact et tel que la forme i(X)/2 soit exacte. Pour tout X clans ~ a ( M ) soit f x l' unique hamiltonnien de X & support compact. Alors l' application r: ~ (M) -~ R d~finie par:

X ~ " IM fx/2"

est un homomorphisme surjecti[ d'alg~bre de Lie

D~monstration. I1 est clair que l 'application r est additive et surjective. I1 ne

reste qu'~t v6rifier qu'elle s 'annulle sur les crochets. Soient X1 et X2 dans Lf~(M), on a:

i([X1, X2])/2 = Lx~i(X2)/2 = d(i(X1)i(X2)/2).

Donc:

ftx,,x21 = i(XOi(X2)/2.

Or:

0 = i(XO(i(X2)/2/x/2") = (((X1)i(X2)/2)/2" - i(X2)/2i(XO/2" )

= 12" �9 i(X2)/2 A i (XO/2 A /2" - ' f [ X ~ , X 2 ] - - n

c.h.d.

fix.x J 2 " = n . dfx~/xdfx,/X/2"-' = d(nfx~'dfx, /x/2"- ' ) .

La conclusion r6sulte de la formule de Stokes. Le lemme est d6montr6.


D~monstration de la proposition 11.4.1. Soit /~=(h,{h,}) un 616ment de Ker S(M). D'apr~s la proposition I1.3.3, /~t ~ n ( M ) , pour tout t.

En reprennant les notations de la proposition II. 1.1. soit h', une autre isotopie dans Ker S(M) telle que h~ = hi = h. On suppose que h', est homotope h h, par une homotopie diff6rentiable Hs, dans Ker S(M). Soient Xs, et Y~, les champs de vecteurs d6finis comme dans la d6monstration de la proposition II.1.1, on a:

_ = 0 r(X~,) dt ' dt os \G-s j

--~' r \St](OY'~'~ dr+ ~i r([X~t, Y~,])dt= i,' r(~t Y~')dt. La derni~re ligne r6sulte de la proposition 1.1.1 et du lemme 11.4.2

Or:

I, r( t = = 0

car Y~.I = Ys,o = 0 I1 en r6sulte que l 'application:

~ r(l~,) at

est bien d6finie. On montre que c'est un homomorphisme de Ker S(M) dans R comme dans la proposition II.1.1. La surjectivit6 ainsi que la continuit6 sont 6videntes. La proposition est d6montr6e.

DEfinition de l'invariant R

D6signons par A l'image pa r /~ du sous-groupe Ker P de Ker S(M), noyau de

la projection naturelle P: Ker~--(M)--~Ker S(M). Par passage au quotient, on obtient un homomorphisme surjectif et continu

R: Ker S(M)--~ R/A

Construction directe de l'invariant R dans le cas oft la [orme ~ est exacte

Notation: si to est une forme ~ support compact de degr6 maximum sur une vari6t6 diff6rentiable M, nous d6noterons par [~o] son int6grale sur M.

194 AtJGUS~ aArCVAGA

Soit h une 1-forme telle que dh =/2. Si h ~ Ker S(M), il existe une fonction unique ~ support compact f(h, 1) d6pendant de h et de A telle que h * h - h = dr(h, 1). On a:

P R O P O S I T I O N 11.4.3. Soit (M, 12) une vari~td symplectique de dimension 2n dont la forme symplectique est exacte. Alors pour tout h c Ker S(M), le hombre [f( h, A). 12"] est ind~pendant du choix de A tel que d l = O. De plus la correspondance h~--~[_f( h, i ) . 12"] est un homorphisme surjectif et continu p qui coincide i~ une constante pros avec l'homomorphisme R. Plus pr~cis~ment, on a:

p ( h ) = ( n + l ) . R(h), V h e K e r S ( M ) .

C O R O L L A I R E . Soit (M, 12) une vari~.t~ symplectique dont la forme symplectique est exacte. Alors le groupe A est trivial.

D~monstration. Soit 1' une autre 1-forme telle que dA'= 12. On a:

( h * X ' - X ' ) - ( h * X - 1 ) = d(f(h, X 3 - f ( h , 1))

= h * ( A ' - A , - ( A ' - A ) = d ( ~ ~ h * i ( / ~ , ) ( I ' - I ) d t )

oh h, est une isotopie dans Ker S(M) de h h l'identit6. On a donc:

[(h, I ') = f(h, 1) + h*i(fi,)(1'- X) dr.

Soit ~ une famille de fonctions h support compact telle que i(/~)12 = d~, on a: (h*i(ll,)(h'-A) 1 2 " = d ( - n * �9 " h , ( f t ' ( h ' - h ) ' 1 2 n - 1 ) . I1 en r6sulte donc que If(h, 1')12n] = If(h, 1)12n]. Donc p e s t bien d6finie.

D'autre part, on a: h*A - 1 =S~ h*(Lh.)A ds = du, oh

u, (h*i(h~)A) ds + (f o h~) ds.

On a: [(h*i(i~,)A).On]=[i(i~s)A)12 "] et [ (Lohs )O"]=[ f~ .12" ] . De plus: i ( l ~ , ) A ' D " = n ' f ~ ' 1 2 " - d ( n ' L ' 1 ^ 1 2 " - l ) . I1 en r6sulte que [ i ( / ~ ) I - O " ] = n'[fsD"]. Or par d6finition, p(h)=[ui12n]. On a donc: [uf12"]= I~ ([i(fis)xa"]+[La~]) as = (n + 1)- g(h). O.E.D.


5. L'invarient t~

Si M est une vari6t6 symplectique de dimension 2n>~4, dont la forme symplectique est exacte, alors l 'homomorphisme R : K e r S(M)---~R s'6tend en un homomorphisme ix: Ga(M)---~R. L 'obje t de ce paragraphe est de construire cet homomorphisme. On a:

P R O P O S I T I O N 11.5.1. $oit M une vari~t~ diff~rentiable de dimension 2n I>4, munie d'une forme symplectique exacte. Soit ,~ une 1-forme telle que dA = g2. Pour tout h ~ Go (M), on pose:

ix(h) = ( - 1 / ( n + 1)). IM h*2t A )t/x 0 "-1.

Alors I~(h) est ind~pendant du choix de )t. De plus, h ~ I~(h) est un homomorphisme, et la restriction de tx gt Ker S(M) est l'homomorphisme R. (En particulier, tx est surjectijO.

Remarque. Si a est une 1-forme ferm6e sur une vari6t6 diff6rentiable de dimension 2n >I 4, munie d 'une forme symplectique exacte et si h, est une isotopie symplectique, alors la forme fO", o~ f=Sl~(h*i(l~)a)dr, est exacte. En effet: i (~)ot . O" =dW, o~a W, = n . ai(h,)OA)tAg2 "-z, si d)t =g2.

Preuve. D6signons par to(h,)t) la 2n-forme: h*AA)tAg2 "-1. C'est une 2n- forme ~t support compact, car hors du support de h, to(h, ;t) devient )t A )t A/2 "-1 qui est nulle.

Montrons que le nombre r6el [to(h, ;t)] est ind6pendant du choix de )t. Soit ;t' une autre 1-forme telle que J2 = d)t'. Alors ) t '= )t + a ob a est une forme ferm6e. On a:

to(h, A') = to(h, A) + h*A A ot A 12 "-1 + h*a A X A g2 "-1

+ h*ot A Ol A ~'~n-I

D'apr~s la proposition 1.1.3,

h * a = a + d f

oh f=S~ h*i(~)a dt et oh h, est une isotopie symplectique de h h l 'identit6. Done:

h*~.A0~A~/~n-I+h*o~A/~,A~'~n-1----(h*~--~.)A~A~f~n-I+d/'AXA~ n-1.


On a:

(h*A-A)AaA12"-1=d~D Oh qbl=(h*A--A)AOtAAA12 "-2

h*otAOtA~-~n-1- - -d( I )2 , Otl t l O 2 = h * o t A O t A A A ~ Q n-2.

Donc:

to(h, X') = to(h, A) + d(@l + 42) + df A A A 12n-1

=to(h,A)+d(@l+~rpz+f �9 A A 12"-1)--f. 12".

Mais d'aprbs la rcmarquc ei-dcssus, f -12" est cxacte. I1 en r6sulte done que [to(h, X')] = [to(h, A)].

La correspondance h ~-->[to(h, A)] est un homomorphisme: En ettet, si hi et h2 sont deux 616ments de Ga(M), alors:

t o (h I �9 h2, A) = (hE*(h*A - A)+(h*a - - A ) ) A A A12 n-1

~- ((h*l ~. - ~.)-l- d g - t - ( h ~ - ~ ) ) A ~ A ~r~ n - I

oh g=S~ (h~)*i(tP2)(h*A-A)dt et oh h~ cst unc isotopic symplcctiquc de h 2 ~1 l'identit6. Donc:

to(hi �9 h2, A) = w(hl, A) + to(hE, A) + d g A A A 12n-l

= to(hi, A) + to(h2, A) + d(g" A A 12,-1)_ g . 12n.

D'aprbs la remarque ci-dessus, g �9 g2" est une forme exacte. I1 en r6sulte donc que /z est un homomorphisme de groupcs.

Si h ~ Ker S(M), alors h*A = A +dr(h, A). Dbs lors:

to(h, X) = d[(h, A)A A A 12"-~

= - f ( h , A)" 12"+d([(h,X)" AA12 "-1)

e.h.d

[w(h, X ) ] = - i f ( h , X ) - O " ] = - ( n + 1). R(h)


6. Ennonc~ des r~uitats

Rappelons qu 'un groupe G est dit parfait s'il est 6gal h son sous-grouppe des commutatcurs [G, G], e.h.d, si l'ab61ianis6 G/[G, G] de G, not6 HI(G) est trivial.


Un groupe G est dit simple s'il ne poss~de pas d'autres sous-groupes normaux que le groupe G lui-m~me et le groupe trivial (r6duit ~ l'616ment neutre).

Les rfsultats principaux de ce travail sont les suivants:

THt~ORIEME 11.6.1. Soil (M, g2) une varidtd symplectique close et connexe. Alors:

(i) Le noyau Ker S(M) de S:Ga('-M)---~ Hi(M, R) est un groupe parfait ~gal

(ii) Le noyau Ker S(M) de S: G~(M)---~H~(M, R) /F est un groupe simple ~gal d [G~,(M), Ga(M)].

COROLLAIRE. Soil (M, 12) une vari~td symplectique close et connexe. Alors:

(i) H,(G,~(M)) -~ H~(M, R) (ii) HI(Ga(M)) = H'(M, R)/F

Remarques. (a) Ce th6or~me est l'analogue d'un th6or~me de Thurston pour les diff6omorphismes qui pr~servent une forme-volume [16]. Sa d6monstration occupera le prochain chapitre.

(b) comme le montre la proposition II.4.1, le th6or~me II.6.1 est faux si M est non compacte.

On a l e r6sultat suivant:

THt~OREME 11.6.2. Soil (M, 12) une vari&~ symplectique connexe, non compacte. Alors le noyau Ker R, de l'homomorphisme R, est un groupe simple.

COROLLAIRE. Soil (M, 12) une vari&~ symplectique non compacte, connexe et telle que Hlc(M, R ) = 0, alors:

(i) H,(Ga(M)) ~ R/A (ii) [Ga(M), Go(M)] est un groupe simple

Remarque. Si en plus des hypotheses du corollaire, la forme 12 est exacte, alors HI( Ga(M)) ~ R.

Comme cons6quence du th6orbme 11.6.2, on obtient:

THEORI~ME 11.6.3. Soil M une vari~td diff~rentiable de dimension 2n >14 munie d'une forme symplectique exacte 12. Alors:

(i) Hi(Go(M) ) = Hie(M, R)(~R (ii) [Ga(M), Ga(M)] est un groupe simple


Remarque. Rousseau [13] a d6duit du th6or~me II.6.2 la structure du groupe Gn(M) si M est non compacte. En particulier, il retrouve par des m6thodes diff6rentes le th6or~me II.6.3.

CHAPITRE III

DEMONSTRATION DES RESULTATS

1. L'invariant R et i'obstruction h l'extension des isotopies symplectiques

Soit M une vari6t6 diff6rentiable de dimension n et U un ouvert de M diff6omorphe ~ une boule de R n. On dira que U est une boule de M. Si U et V sont deux boules telles que V S U, on dira que O - V est une couronne de dimension n. La couronne de dimension n e s t hom6omorphe h S"-~x/ .

Soit (M, O) une vari6t6 symplectique compacte et soit U une boule de M. D6signons par Gu (respectivement Gco) le sous-groupe de Ker S(M) form6 des 616ments h support dans U (respectivement hors de O). Soit /~e Gv (resp.

~ Gco) et L l e hamiltonnien h support dans U (respectivement dans M - U) du champ /~, off h, est un chemin ditt6rentiable dans Ker S(M) h support dans U (resp. hors de U) repr6sentant /~. Alors la correspondance:

r

est un homomorphisme surjectif/~u (resp./~co) de Gu (resp. de Gco) dans R. Soient A, Au, Aco, les images par R, Ru, Rco, des sous-groupes

~rl(Ker S(M)) (oil M est une vari6t6 symplectique ouverte), 7rl(Gv), ~(Gco) (oh U est une boule dans une vari6t6 symplectique compacte) de ~ M ) , Gu, Gco, on obtient par passage au quotient des homomorphismes surjectifs

R(M) :Ker S(M)---~ R/A

Ru: Gu ~ R/Au

Rco : Gco ~ R/ Acu

Soit C = O - V une couronne dans une vari6t6 symplectique compacte. Alors les invariants Ru et Rcr sont bien d6finis. La proposition suivante montre que la

199

= (/~Cel({h}) - Ru,({h}))/Vol (M)

diff6rence des invariants R c e et Ru peut s ' interpr6ter comme une obstruction l 'existence d 'extensions d' isotopies symplectiques d6finies sur une part ie de la couronne. On met 6galement en 6vidence le lien qu'il y a entre R c e - R u et l ' invariant S.

P R O P O S I T I O N III . 1.1. Soient Ci = Oi - V~, i = 1, 2, deux couronnes dans une vari#t# symplectique compacte (M, O) se coupant comme dans la figure 1. Soit ht une isotopie symplectique de M proche de l' identit# & support dans C1. L ' obstruction

~ l'existence l'une isotopie symplectique & support dans C1 fq U2 et #gal & ht sur C1 fq 1/2 est le nombre r&l:

/~u({h} ) = S~• f , - dt A [2"

Rce({h})= ~• ~ - [ , ( O ) ) d t A O " = R u ( h ) - ( ~ '

oh Vol (M)=SM 12" et {h} est l'image de h, dans le rev#tement universel.

D#monstration. I1 existe une isotopie /~, non symplectique & support dans C1 M U2 et qui est 6gale & h, sur C1 f3 V 2. Soit f, le hamiltonnien ~ support dans

U1 de h, et soit 0 un point de V1, on a:

~(0) dO. Vol (M).

U2

2

Soit D le 2-cycle relatif hachur6 sur la figure 1. Sur OD,/~, = identit6 sauf sur le segment 3, = ab d'extr6mit6s a et b sur lequel /~t = h,. D 'apr~s la proposit ion

Sur la structure du groupe des ditt6omorphismes

Figure 1


1.1.3 est le th6or6me 11.2.1, on a:

~=f.~I'h,(i(l~,)g2)dt=I~ ~' h,(df,)dt= L 1

([,(b)-[t(a)) dt = It(O) dt.

Donc: /~({h~}) -/~u({h}) = ~. Vol (M). cqfd.

([,(h,(b))-[,(h,(a))) dt

2. Recouvrement associ6 h une triangulation

Suivant Thurston [16] nous associons h toute C~-triangulation T = ( A ~ ) ~ k , k = 0, 1, 2 . . . . . n, d 'une vari6t6 diff6rentiable M de dimension n, un recouvrement ouvert ~ = (V,k)~z~, k = 0, 1, 2 . . . . . n par des boules V~ index6es comme les simplexes de la triangulation. Ce recouvrement sera construit par r6curence sur les squelettes. Les ouverts V~ sont des boules contenant /t ~ telles que V~ f'l V~/= O si i~] . Supposons construites les boules {Vl}j~r, , / = 0 , 1 . . . . . k - 1 , qui recouvrent le ( k -1 ) - sque l e t t e de mani~re que:

/ i ~ - k - / t , - U v{ (! eli,J<k--1)

soit un r6tr6cissement du simplexe A k. Soit z~k~ un 16ger 6paississement de - k A~. On prend pour V~ un C~-voisinage tubulaire de ^k A ~. Le voisinage tubulaire V, k, sera choisi suffisamment petit pour que V k N V~ = 0 pour tout k et its j.

Soit ~ = (uk)~1~, k = 0 . . . . . n u n recouvrement construit de la mSme mani~re que ~ mais ob chaque U~ est un 8paississement de V~ k de telle sotte que ~ c U~ pour tout k et tout i et que U~ ~ U~ = 0 pour tout k et its j.

Nous dirons que les recouvrements q/ et T" sont des recouvrements associds it la triangulation T.

Dans la suite, nous envisagerons de tels recouvrements et nous nous int6resserons aux sous-ensembles de M suivants:

- U v j or, vJ=u v i

Gia -(Ui F I = Fin U}. i

D'apr~s la mani~re dont sont construits les ouverts U~ et V~ on voit que F~ est hom6omorphe ~t A~ x C "-k, off C "-k est la couronne de dimension n - k, qui est


' /

u, - .

Figure 2

201

hom6omorphe ~ S "-k-1 • L On voit aussi (cfr figure 2) que G~'/est hom6omorphe A t • " -k • k-~, off D k-I est le disque de dimension k - 1 .

Soit ~F=(W~)i~ un recouvrement ouvert de M. On choisit une C ~- triangulation T~ = (A~)i~x~, k = 0 . . . . . n telle que l'6toile de chaque sommet de 4~ soit contenue dans l 'un des W r On construit comme plus haut les recouvrements q/ et ~ associ6s ~t la triangulation T~ dont les ouverts V k et U~ sont suffisamment petits pour que chaque U~ soit contenu dans un Wj.

Ainsi donc pour tout recouvrement ~V de M, il existe des recouvrements 0//et ~V associ6s h la triangulation T~ qui sont plus fins que le recouvrement donn6 ~V.

3. Le lemme de fragmentation

Soit M une vari6t6 diff6rentiable et h u n diff6omorphisme de M isotope l'identit6. I1 est bien connu que pour tout recouvrement ouvert 0// de M, h peut s'6crire: h = h l , h2 . . . . . h,,, ofa chaque hi est un diff6omorphisme isotope l 'identit6 ~ support dans un ouvert de ~ Nous allons montrer que le groupe Ker S(M) jouit de cette propri6t6 (Lemme de fragmentation). Nous aurons besoin de la proposit ion suivante:

202 AUCUS~N BANYAGA

P R O P O S I T I O N III.3.1. Soit (M, 12) une vari(t( symplectique compacte et soit h, une isotopie dans Ker S(M). Si U et U' sont deux boules de M telles que [.J ,~t h~(O)c U' il existe des isotopies h~ et h 2 dans Ker S(M) telles que:

supp (h~,) c U'; supp (h2,) c M - 0 ;

Ru,(hlt) = Rco(h~) = 0, pour tout t.

ht=h~t �9 h~

D~monstration. Soit A une fonction C ~ ~t support dans U' et 6gale ~ 1 sur [.J,~z ht(t_]') et soit It une famille de fonctions telle que i(/~)~2 =d/, . Siq~, est la famille de diff60morphismes symplectiques obtenue on int6grant le gradient symplectique de A �9 ~, alors supp (~ , ) c U' et q~t = h, sur U. Posons:

rl(t) = Ru,(~o,) et rz(t) = Rcu(tr oh ~; = qrt -~. h~.

Soit u~ une famille de fonctions C ~ ~ support dans U' telles que:

(i) ut = -(r~(t)+r2(t))/Vol (M) sur U, oh Vol (M)=S~12"

(i i) SM v.12" = - r ~ ( t ) .

Le groupe ~t 1-param~tre 1 9 s ~-~ v~ engendr6 par le gradient symplectique de u, a son support dans U ' - U et l 'on a:

Ru,(v~) = - r l ( t )

Rcu(vi~) = f (u, + (rl(t)+ r2(t))/Vol (M)I2" = r2(t). ~M

2_ . 1 h,=hlt �9 h~, su p p (h ~ )c U ' s u p p ( h 2 ) c Si h]=q~t . 3'~ et h t - (~/~) -1 q~t, on a: M - U et Ru,(h~) = Rco(h2,) = 0 pour tout t. D 'oh la proposition.

L E M M E D E F R A G M E N T A T I O N (111.3.2). Soit (M, 12) une vari~t~ symplectique compacte et soit r = ( 0~) un recouvrement ouvert ]ini de M par des boules 0~. Toute isotopie h t e K e r S ( M ) peut s'~crire comme un produit d'isotopies h i6 Ker S(M) ~ support dans des boules O~ et telles que Ro, (h~) = 0.

Nous aurons besoin du r6sultat interm6diaire suivant:

L E M M A III.3.2'. Soit (M, O) une vari~t~ symplectique compacte de dimension 2n et soit all = ( U~)i~1~, k = 0 . . . . . 2n, un recouvrement associ~ fi une triangulation. Toute isotopie assez petite ~t dans Ker S(M) est homotope relativement aux extr~mit~s fi une isotopie 4, qui est un produit alp, = q~ . . . . . q~, d'isotopies ~ dans


Ker S(M) & support dans la r~union disjointe U k = U ~ Uk~. De plus si q~'k,~ est la restriction de ~p~ a la boule U~, on a:

(i) Rut(q~,i)=0, pour tout i et tout k <2n, et tout t e l

(ii) ~ Ru~,.(q~'2,,~) = O, pour tout t ~ I

D~monstration. D'aprbs la proposition 111.3.1, il existe des isotopies symplectiques h, et & telles que supp (h , )c M - ~11, supp (&)c U~, ~ = & �9 h, et R~(g , ) =

= 0 .

Le lemme 111.3.2' r6sultera du sous-lemme suivant:

SOUS-LEMME III.3.3. Il existe des 0 , . . . , 2n, dans Ker S(M) teUes que:

h sur v 0

(i) h~ ~ = identit~ sur U~I

identit~ hors de U ~ (oh U k

isotopies symplectiques h~ k), k =

= U u,'t.) ieI~

f =Jh~? -" hors de U k

(ii) h~ k~

t h, sur U W pour k >= l j~_k

On convient que h(t -1) = idM

(iii) si O~,i est la restriction de ~b~ = (h~k-1)) -1. h~ k~ a U~, alors: (a) Rut(O~,i)=0 pour tout i, k k < 2 n et pour tout t e l (b) Y,i~h. Rup (~n,j) = 0, pour tout t e I.

Le lemme III.3.2' en r6sultera imm6diatement. En effet: h~ 2n) = h, h~t -1~ = idM. Si on pose r = g, �9 ~b~ et q~ = ~b~ pour k > 0, on a: ~ = r . . . . , q ~ et chacun des ~ v6rifie les conditions du lemme.

D~monstration du sous-lemme. Les isotopies h~ k~ seront construites par r6curence. Pour pouvoir mener h bien cette construction, nous imposerons encore la condition suivante:

(iv)(k) Etant donn6 un voisinage ~V "~k~ de id M dans C~(I, Ditt~(M)), il existe un voisinage ~(k-1) de id~ tel que si h~ k- l ) e t h, sont dans o~(k--1), alors h~ k) e ~

Les voisinages ~//-(k~ seront choisis suffisamment petits pour que si V~ k = S,~xhz(V~) et si U * k ( + ) = M - ( U ( k - , ) • k ,~l(h~ ) ( M - U~)), on ait"

(v) V*i k c U~ik(+). On posera: Lr~i k= U~i k(+) et U 'k= Lr~ik(--)

204 A U G U ~ ' I N B A N Y A G A

Construction de h~ ~

Soit r t u n e isotopie. On consid~re les 1-formes suivantes:

ct(r,)= r*(i(i'~)l-lds et /3(r,)= i(i'~)Ods.

Puisque h, est une isotopie dans Ker S(M), la forme /3(h,) est exacte d'apr~s la proposition 11.3.3. I1 en est de m6me de la forme a(h,) qui lui est cohomologue. Soit ft l 'unique fonction qui s'annulle sur un voisinage /3 de A ~ I/~ et telle que ct(ht)=df, et soit & la famille de fonctions ~ support hors de B telle que i(l~,)O = d&. On a alors:

~ t ~(x) = &(h,(x)) ds

pour tout x e M. Soit U~ la boule contenant A~ = / t ~ et K~ une courbe dans U ~ U 1 joignant Ai h u n point P~ de 0t_~ (voir figure 3).

Nous nous proposons de construire un h~ ~ qui v6rifie, en plus des conditions 6num6r6es plus haut, la condition suivante, dont l'int6r6t n'apparaitra que ult6rieurement pour pouvoir construire h~l~:

(vi) SK, oL(h~ ~ = - ~ ( A i ) pour tout i

I1 existe un voisinage ~/-~-1~ de idM dans C~(L Diff '(M)) d6pendant des boules U ~ et V~i tel que si h, e ~4 f~-l), alors Q~i~ U~i ~. On supposera donc que ht ~ ~r Soit A une fonction C ~, ~ support dans U ~ nulle sur U ~ et 6gale h 1 sur Ui# l V~j ~ et soit g~ la restriction h U~ de A.g~. Pour tout j e l o , on choisit une fonction C ~ r~ h support dans U ~ - V~j ~ telle que r~ = 0 et si j r 1, on ait:

r~O" = - gjO .

Posons: ~ = r~ + g~. Si X t e s t le gradient symplectique de ~,, = ~j g~, alors la famille

I I t I f / i / I / i / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / J ' / / / / ! I \ \ ~ uO

tt ,,," I t ) ) , tt l )7,

Figure 3


de diff6omorphismes symplectiques hl ~ obtenue en int6grant X, v6rifie les conditions (i), (iii) et (iv)~o). Comme:

,,(h~ ~ = d (~ ~o~ oh~ )ds .

On aura:

a(h(O))= _ - ~o) g~(h~ (A~)) ds.

Le point A~ 6tant dans V ~ on a: h(o~ = h~(A~) et comme h~ est proche de l'identit6, h~(A~) est dans V ~ pour tout s. Mais sur V ~ ~]t = g~= gr I1 en r6sulte que:

a(hl ~ = - g~(h~(A,)) ds = - f , (A i ) .

La condition (vi) est done aussi v6rifi6e.

Construction de h(, k~ pour k >- 1

On suppose construites les isotopies h(] ) pour j <= k - 1 avec toutes les conditions requises.

Soit ()q, h2) une partit ion de l'unit6 subordonn6e au recouvrement { ( M - l)*k), U *k} de M. Le champ de vecteurs X = A ~ . ]~k--1) -{- )[ 2 " 1~, sur M x I d4finit une isotopie H , k de M qui coincide avec h, sur Ui-<_k Vi et avec h(f -1) hors de U k. Cette isotopie est done symplectique partout sauf sur U k - U i<-_k W = LJ i~1~, F~.

D'apr~s le th6orhme II.2.1, l 'obstruction (7 k ~ 4tendre symplectiquement H k, est:

G = I a~,-a o~ a~,:(H~)*a,

c parcourt l 'espace H2(M, M - F ~ ) , pour tout i et k. Fi - z l l x Par construction du recouvrement associ6 ~ une triangulation, k _ k C,,-k

(voir le paragraphe 4). Un petit calcul montre que: H2(M, M - F ~ ) = H2(F~, 3F~) est isomorphe h R si k - - 1 et est trivial si k S 1 . I1 en r6sulte done que l 'obstruction ~7 k est nulle si k r 1.

Occupons-nous du c a s k -- 1. D'apr~s la proposition 1.1.3, 121, - ~ = da(Hlt) et l 'on a : ~1 =~oca(Hl,), oh c est un g6n6rateur de H2(Fi, 3Fi).


Soit ~, un 1-simplexe orient6 de la triangulation partant d 'un O-simplexe A~ et aboutissant h u n autre O-simplexe A v Sur la figure 3, nous avons hachur6 un g6n6rateur c de H2(F~, 0F~). Soit c' une 2-chaine contenant c dont le bord est constitu6 par v, K~, K~ ainsi que par une courbe L situ6e hors de U 1 joignant les extr6mit6s P~ et P~ de K~ et K~ (voir figure 2). Comme sur c ' - c , la forme O~t- est nulle, on a que

i a t-a=i a:-a. En tenant compte que sur % H~ coincide avec ht, qu 'au voisinage de Ki et Kj, H ~, n'est rien d'autre que h~ ~ et que la forme a(H~t) est identiquement nulle sur L, en utilisant enfin la condition (vi), on a:

~ l = i c ' a(Hl)=f t (aJ) - f t (Ai )+ IK ' a(h~~ ' a(h~~

On voit donc que il n'y a aucune obstruction h 6tendre symplectiquement H~,. Pour k >_- 1, il existe donc des isotopies symplectiques h't ~k) qui coincident avec H , k hors de I.J F~. Ces isotopies satisfont ~ la condition (ii). Nous allons les modifier pour qu'elles satisfassent aussi la condition (iii), ceci sans tuer la condition (ii).

Pour tout voisinage ~//-,k, k ~ 1, de l'identit6 dans C~(I, Difl ~ (M)), il existe un voisinage W (k-~) tel que si h~ k-l) et h~ sont dans ~/r alors h~(k)E ~ Ceci r6sulte de la continuit6 des op6rations avec lesquenes on a fabriqu6 hf h partir de h~ ~-1) et de h, et du th6or~me 11.2.1.

Le n o m b r e R t / t ( ( h ~ k ~ - l ) ) - 1 u , (k ) l x _ t �9 nt i~s -a i . k est proche de z6ro. Soit st une famiUe de fonctions proches de la fonction nulle, h support dans ( U k - ~Jj~k V'J)

k k pour k-< 2 n - 1, telle que si s~ "iest le restriction de s, ~ U~, on ait:

I M s , k ' ' . O " - a ' k,i"

Si u ~ r7 est le groupe ~t 1-param~tre engendr6 par le gradient symplectique de s~, on prend pour h~ k) l 'isotopie r~ �9 h', (k). On a alors:

R~((h~k-~)) -~. h~k) l~)=0 pour tout i et tout k<2n.

Soit Bo une petite boule contenue dans V~ telle que Bo N U~ = O s i U~ ~ u~. Le support de l 'isotopie k _ (h~k-1))-i. h~k) ~b, - ne rencontre pas Bo. Par c0ns6quent:

k R~(4,,Iv,~)=Rcao(4,,klv,~)=O, pour k<2n.


Comme h~ = r . . . . . ~b~" et que R c ~ o ( h j = O, il en r6sulte que:

207

2n

O= Rcso(h , ) = ~.. R k ~. -- Y. nC.o(r k=O i ~ I ~

2n = R u : . ( r , lu,~-). i~ l~ .

La condition (iii) est donc aussi v6rifi6e. Remarquons que la construction qu'on vient de faire n'affecte pas la validit6 de la condition (ii). De plus pour tout voisinage ~1r "k de l'identit6 dans C~(L DiflF(M)), il existe un voisinage ~r tel que si h', (k~ ~ ~1/'(k~, alors h~ k~ ~ ~r I1 SUffit pour cela de choisir convenablement la famille de fonctions s~ ci-dessus.

L'isotopie hl k~ ainsi construite v6rifie toutes les conditions exig6es dans le lemme.

La grandeur des voisinages successifs h consid6rer est dict6e par la condition (v). Pour que la construction puisse se poursuivre jusqu'au bout, il faut exiger que h,~ ~ ~_-"_~ o/r ce qu 'on peut toujours supposer en subdivisant suffisamment l 'isotopie h,. Le sous-lemme est d6montr6.

D~mons t ra t ion du l e m m e 111.3.2. Soit 0/ /=(U~) un recouvrement associ6 une triangulation To (cfr & 5).

Nous pouvons supposer que l 'isotopie h, ~ Ker S(M) est proche de l'identit6, car on peut toujours &fire une isotopie comme un produit d'isotopies proches de l'identit6.

D'apr~s le lemme II.6.2', h, s'6crit:

h , = ~ . ~ . . . . , ~ . .

Soit CL,j l 'isotopie 6gale h r sur U k et ~t l'identit6 en dehors de U~. On a montr6 que R #,l,, ~ , - uj t~'k,iJ = 0, pour tout j et tout k < 2 n , et que ~ Ru~n(~2n.i) - 0.

Pour tout i~ I2,, soit x, le barycentre de A~" et a,k le barycentre de la face commune A ~ -1 aux simplexes A~" et A~ ". Soit G le graphe dont les 0-simplexes sont les points x~ et aik et dont les 1-simplexes sont les 1-simplexes de sommets x, et a~k. Soit T l 'arbre obtenue en supprimant dans G f3 ( M - V ~ certaines arr&es. On considbre des boules Bik centr6es en a~k telles que: Bik f"l U~i n= ~ pour tout j ~ Iz~; B~k U U~" c 0,; B~k U U~k" c Q . Soit ot' ~ Ker S(M) "a support dans B~k tel que Rr, , . (a~)= -Ru,~-(~. , , ) . Alors g,~..,- tk~..k = ~ . , , . ~ . .k , avec: ~ . , , = r a'~ et ~ . , k = ( a ~ ) - a ~ . . k , et supp ( ~ . . , ) ~ O,, R o , ( t } ~ J = 0 . On a donc chass6 l'invariant R de la boule (9. (en l 'augmentant dans la boule voisine Q ) . En procidant de proche en proche, par ordre h partir des branches du sommet jusqu'au pied de


l 'arbre T, on accumule tousles invariants R au pied de l 'arbre (-- derni~re boule). Comme la somme des invariants R 6tait nulle (condition (iii) b du lemme III.3.2'), l ' invariant R e s t donc aussi nulle dans la derni~re boule. Le lemme est d6montr6.

4. L'ensemble simpHcial BG

Pour tout groupe topologique G, on d6note par G a" l 'ensemble des applications continues du simplexe standard At" dans G. L'application a: G • Ga"---> G a" d6finie par:

a ( g , c ) = g . c ob ( g . c ) ( x ) = g . c ( x ) , pour xeAt'*, g6G, c ~ G a"

est une action de G sur G a". Soit BG(n) le quotient Ga"/G de G a" modulo cette action. On identifie BCJ(n) avec l 'ensemble (G, e) (a"'~ des applications continues de A" dans G, qui appliquent le premier sommet " 0 " de At" sur l'616ment neutre e

de G.

La r6union des BG(n) est un ensemble simplicial B(3. En effet, on a des op6rateurs-face 0~: BCJ(n)---~ B G ( n - 1) et des op6rateurs-d6g6n6rescence s~:BG(n)-*BG(n + 1) d6finis comme suit: pour tout c ~ BG(m) et tout x,, e At" de coordorn6es barycentriques (to, q . . . . . tin), alors:

(C3oC)(t o . . . . . t,,_l) = c(O, to . . . . . t . - 0 " C(0, 1, O, O , . . . , 0) -x

(O~c)(to . . . . . t,-O = C(to . . . . ,6-~, 0, 6, 6+~, - . . , t ,_0 pour 1 ~ i ~ n - 1

(s,c)(to . . . . . t,+O = C(to . . . . . 6-~, t~ + 6+~, t~+a . . . . . t,,+l) pour 0 ~ i ~ n + 1.

Ces op6rateurs satisfont aux relations habi tue l les entre op6rateurs-face et op6rateurs-d6g6n6rescence dans les ensembles simpliciaux.

L 'ensemble simplicial B G ne poss6de qu 'un seul 0-simplexe: c'est l 'unique application qui associe au point /to l'616ment neutre e.

De plus B G est un complexe de Kan, cA.d. qu'il jouit de la propri6t6 d 'extension suivante: soient Co . . . . . ck-x, ck+x . . . . . cm des m-simplexes tels que Oiq =Oj_~q pour i < j , i # k, m >,0, alors il existe un (m + 1)-simplexe c tel que O~c = q, pour i # k.

On d6finit sur BG(1) la relation d'6quivalence suivante: soient Zo et ~'1 deux 616ments de BG(1) , 1-o - ~'1 si et seulement si il existe un 2-simplexe c ~ BG(2) tel que 0oC=%, 01c='rl et O2c est le 1-simplexe d6g6n6r6 (c.a.d. l 'application constante de 1 dans G qui applique 1 sur l'616ment neutre e). Les classes d'6quivalence R G ( 1 ) / - modulo cette relation forment un groupe. Par d6finition: �9 h (BG) = B G ( 1 ) / ~ .


Pour tout c ~BG(1) , la classe d 'homotopie relativement aux extr6mit6s du chemin c(t), t e 1, est 616ment du rev6tement universel G de G. De plus deux 616ments Co et cl de BG(1) d6finissent le m6me 616ment dans G si et seulement si Co~ q . Il en r6sulte:

zr~(BG) = G et H~(BCJ, Z) = H~(zq(BG)) = H~(G).

Soit r, un 1-simplexe. Comme B G n'a qu 'un z6ro-simplexe, "r t est un cycle. Ce cycle est homologue h z6ro si et seulement si il existe des 1-simplexes a~(t), b~(t) tels que r, soit homotope relativement aux extr6mit6s au chemin:

off

t~+[a,(t), b l ( t ) ] ' - " [a,(t), br(t)]

[ai(t), bi(t)] = ai(t)b,(t)(ai(t)) -1. (bi(t)) -~.

En particulier, on doit avoir (si r, est homologue h z6ro):

% = [al(1), b1(1)] �9 �9 �9 Jar(l), b~(1)].

Soient tr, r~B(~(1 ) . D6signons par I,~(1)'r le conjug6 de r par tr(1): c'est le 1-simplexe t ~ o'(1)r(t)(o-(1)) -~ On a:

P R O P O S I T I O N 111.4.1. Pour tous 1-simplexes or, r e B(~(1), les 1-simplexes r et I,~(l)'r sont homologues.

DOmonstration. Les 1-simplexes q( t )= [tr(1), r(t)] et c2(t)=[tr( t) , r(t)] sont homotopes par l 'homotopie H~., -- [tr(s + t - s �9 t), r(t)]. Comme c2(t) est homologue h z6ro, il en est de m~me de q ( t ) : ce qui signifie que r(t) est homologue ~i o'(1)r(t)(tr(1)) -1. cqfd

Supposons maintenant que G soit un groupe de diff6omorphismes d 'une vari6t6 diff6rentiable M. Pour tout n, un 616ment c ~ BG(n) d6finit un feuilletage sur A" • M transverse aux fibres de la projection za" x M - + A". La feuille passant par (t, x ) e A" • M est l 'ensemble U,Ea- c,(x). Le support d'un tel n-simplexe est d6fini comme 6tant le plus petit ferm6 K c M tel que le feuilletage induit sur A " • par c soit horizontal, c.h.d, que c,(x)=x pour tout t ~ I et tout x ~ M - K .

Soit (M,/2) une vari6t6 symplectique. Nous allons d6finir un sous-complexe BKer S(Mj de BGa(M) comme suit: un n-simplexe c de BKer S(M) est une


application diff6rentiable de A" dans Ga(M) telle pour tout chemin 3": I---~A ~, si 6(t) est le chemin c o 3': I---~ Ga(M), alors la forme i(c,)12 est exacte pour tout t, ou, ce qui revient au m6me, la classe de ~ dans G a ~ ) est dans Ker S(~'-~.

Dans la suite U d6signera une boule fixe qui est l'image dans M d'une boule de R 2" par une carte canonique. Soit Go, le sous-groupe de Ga(M) form6 des 616ments de Ga(M) ~ support dans U. Nous d6finissons un sous-complexe BKer Ru de BGts comme suit: un n-simplexe de BKer R u est une application diff6rentiable c de A" dans G u telle que pour tout chemin diff6rentiable 3": I---~ A", si '~(t) est le chemin c o 3"(0, alors S~ f,O" = 0, oh f, est l'unique hamiltonnien support dans U du champ de vecteurs ~,, c.h.d, que la classe de C~ dans Gt~ est dans Ker/~u-

5. Le groupe H~(BKer S(M), Z)

On a une application naturelle de BKer Rts dans BKer S(M). Le but de ce paragraphe est d'6tudier l'homomorphisme induit sur le ler groupe d'homologie enti~re. On a:

THI~ORI~ME 111.5.1. Soit (M, 12) une variat~ symplectique close et connexe. L'homomorphisme ~: HI(BKer Ru, Z)---~H~(BKer S(M), Z) induit par la fl~che BKer Ru---> BKer S(M), est un isomorphisme.

La d6monstration de ce th6or~me utilise les lemmes suivants:

LEMME 111.5.2. // existe un recouvrement ]ini ~/" de M par des boules Wk telles que si W, n W i ~ 0 , alors W~ n Wj est une boule. De plus, il existe pour tout i et pour tout j des isotopies q~ ~ Ker S(M) et H~ i ~ Gu telles que:

i c l . l i j [ ,~ i u,

Dans la suite, nous consid6r6rons un recouvrement q/=(U~) associ6 h une triangulation Tv/,, tel que si U 1 et U2 sont des ouverts de ~ avec U1 n U2 ~ O, alors U 1U u2 soit contenu dans une boule de ~//". Nous envisagerons aussi le recouvrement ~ = ~r U {U}.

LEMME 111.5.3. Toute 1-chaine dans BKer R u qui borde une 2-chaine c de BKer S(M) horde alors une 2-chaine ~ = L ck dont les 2-simplexes ck ont leurs supports dans les ouverts du recouvrement ~f'.

LEMME III.5.4. L 'homomorphisme HI(BKer Rv, Z)---~ H~(BGv, Z ) est injecaf.


D~monstration du th~or~me III.5.1

(a) cI) est injectif

Soit a un 616ment de H~(BKerRu, Z) tel que ~ ( a ) = 0 . Si "r=~'rk est une 1-chaine repr6sentant a, alors "r borde une 2-chaine c = ~c~ dans BKer S(M). D'apr~s le lemme Ill.5.3, -r borde aussi une 2-chaine ~ =Y.k6k dans BKer S(M) telle que le support de chaque c~ soit dans un ouvert de ~C. Chaque 1-simplexe Oi~k a donc son support dans une boule de ~ que nous d6notons par W ik. Soit ~o~ k l'isotopie dans Ker S(M) telle que q~k(wik)= U. On convient que si W ~k= U, alors r ida. On a:

2

= ~. § off § = ~ (--l)il~, ~ (Oi~k)- 1=0

Si ~0~ est une isotopie dans KerS(M) telle que O~(supp(ck))~U, alors: O(I,t(6k)) est homologue ~ ~k. En effet:

2 2

O(I,t(~k)) = ~ (-1) ~ OjI,~(~k)= ~ (--1)JI,~(OjCk). j =o j =o

D'apr~s le lemme 111.5.2, il existe une isotopie S, dans Gu telle que:

Sl(~lk(supp (~'k)fq WJk))= r (~'k)N wik).

I1 en r6sulte que:

D'apr~s la proposition 111.4.1, les 1-simplexes I,~(Oi~k) et I, ik(0i6k) sont homologues. Ceci entraine que ~" est homologue h O(LI,~(~k)). Donc - res t homologue h z6ro dans HI(BGv, Z). D'apr~s le lemme III.5.4, " res t aussi homologue ~ z6ro dans H,(BKer Ru, Z). D'ofi l'injectivit6.

(b) cp est sur]ectif

Soit [h] dans HI(BKer S(M), Z). D'apr~s le lemme de fragmentation, [h] peut 6tre repr6sent6 par une isotopie h, qui est un produit h,=i]i.kh~ k o~ hi, k~

R J h ika = 0. Ker S(M), supp (hit k) = U~ et Y.i.k u,~ , , D'apr~s le lemme II.8.2, il existe pour tout i et k des isotopies r dans

Ker S(M) telles que q~k(U~)= U. Le conjug6/. ,~ r du 1-simplexe h~ k par r a qV 1 \ ' ' t I

212 A U G U S T I N B A N Y A G A

son support dans U et il est homologue ~t hl k d'apr6s la proposition 111.4.1. I1 est clair alors que la classe d'homologie [/~] du 1-simplexe l]~,kI,~(h~, k) appartient ~t H~(BKer Ru, Z) et que q~([/~])= [h]. D 'oh la sur jectivit6.

D~monstration du lemme III.5.2. Commengons par r6duire le groupe struc- tural du fibr6 des rep~res sur M au groupe U(n)c Sp(n):c.h.d. que nous consid6rons une m6trique hermitienne compatible avec la structure symplectique.

Soit y le centre de la boule U. D'apr~s la remarque 11.3.4, il existe pour tout point x ~ M, une isotopie symplectique q~6 Ker S(M) telle que q~7(x)= y. On peut supposer que la d6riv6e en x de ~p~, d~(r envoie la m6trique hermitienne de T~M sur celle de TyM.

Pour tout x ~ M, on consid~re une boule ouverte g6od6sique W~ de centre x et de rayon r(W~) = 6~ suffisamment petit pour que q~7(W~)c U. On sait (voir par ex. [9] p. 166-167) que toute intersection non vide Wx fq W~, est diff6omorphe h une boule.

Soit ot : U---~R 2~ un systbme de coordonn6es canoniques tel que dya : T~M---~ R 2" soit un repbre hermitien. Alors pour tout x ~ M, d~(a o q~7): T~M---~ R 2" est un rep~re hermitien. Si x' est un point proche de x, alors d~,(a, q~7): T~,M--~R 2" est proche d 'une application hermitienne. Ainsi si les boules W~ sont suffisamment petites, tout point z ~ Wx f3 W~, est ~ la lois proche de x et de x'. I1 en r6sulte donc que pour tout z ~ W~ n W~ l'application:

= . ,r ( ' r o , - ' )

sera proche d'une application hermitienne. Plus pr6cis6ment, pour tout x e M, il existe un nombre positif 8x ~ < 8~ tel que si r(W~) < 8~, alors pour tout u e W~ fq Wx,

1 - I I L A z ) ( u ) l l 1 + e

Ilull

oft e est le nombre dont l'existance a 6t6 d6montr6 dans la proposition 1.4.2. Le recouvrement cherch6 est un recouvrement fini W1, W2 . . . . . Wk extrait du recouvrement {Wx}x~ par les boules g6odesiques Wx de rayon inf6rieur h 8~.

i C Soient q~', les isotopies correspondantes aux W~ telles que qh(W~) U et soient [0(z) les changements de cartes:

D'apr~s la proposition 1.4.2, il existe une isotopie symplectique H~J h support dans i a ( U ) telle que H~ soit 6gal h ar .(r sur a . r N W~) Posons: Hi t

ot-~'H~J'a, alors /-/~/e Gv et /s est 6gal h q~Jl.(q~) -1 sur r Wi). Nous


avons donc d6montr6 que:

213

it i n~(,~ ( ~ n w,.)) = ~ ( ~ n ~ ) .

D'oh le lemme 111.5.2

D~monstration du lemme 111.5.3. La d6monstration de ce lemme est d61icate. Elle se fera en plusieurs 6tapes.

Etape O. Soit c un p-simplexe de BDiff ~ (M). Par des subdivisions barycentriques succ6ssives, on d6compose c en une somme de p-simplexes "peti ts ." Par "pet i t" simplexe, nous entendons que le feuilletage correspondant sur zaP• soit suffisamment proche du feuilletage horizontal dans la C ~-topologie. Dans la suite, nous supposerons que les simplexes consid6r6s sont "tr~s petits." La "peti tesse" sera explicit6e s'il le faut et d6pendra des constructions que nous serons emmen6s

faire.

Etape 1. Soit c un petit 2-simplexe de BKer S(M) et soit ac =Y~=o(-1) j ajc son bord. Chaque chemin a ic : l - - -~KerS(M) est une isotopie que nous d6signerons par (Oic)(t). En appliquant le lemme de fragmentation h chaque isotopie (Ojc)(t), on trouve des isotopies symplectiques h~(t), k = - 1 , 0 . . . . . 2n (dim (M) = 2n), telles que:

i h~_l(t) hors de U k

h~(t)=](aic)(t)~ sur U V i k j~k

pour k - 0 et on convient que hJ__~(t)=ida.

Si on pose:

s~( t) = ( h~_l( t)) -1. hik( t).

On a:

(Oic)(t) = SJo(t) . . . . . s~.(t) et supp (sk(t))c U k.

Explicitons quelques notations: Nous commen~ons par ordonner les boules {U~}i~, k = 0 , . . . , 2n. Les boules

U~ porteront le num6ro j et seront d6sign6es U i. Pour k - 1, une boule U~ sera d6sign6e Um si m=(~s_~k_l Ns)+i, oh N~ est le cardinal de L.

214 AOOUSTI~ BANYAGA

L'isotopie sJk(t) a son support dans la r6union disjointe U k = U ~x~ U~. Soit try(t) l 'isotopie 6gale h sik(t) sur U~ =Um et h l'identit6 en dehors.

Soit N = N o + . . . + N 2 , . On pose ~Jl(t)=tr~l(Nt) pour O<=t<-l/N et pour m = 2 , . . . ,N :

�9 ~ ( t ) = (o ' { * . . . . . * c r~ ) ( t ) = or { (1 ) , o'J2(1) - . . o '~(1) , cr~+,(Nt- k)

pour k /N~t<=(k+l ) /N , k = 1, 2 , . . . , m - 1 . Pour tout j, le 1-simplexe t~-->~EiN(t) est une somme des 1-simplexes t~--~ (r~,(t),

support dans les boules U, ; il est 6vident que ~ 1 ) = (0ic)(1) et que les chemins (Ojc)(t) et ~ t ) sont homotopes. Par changement de param~tres, on peut supposer que le 2-simplexe standard/12 est {(x, y) e R 2 [ 0 ~< y ~< x ~< 1}. Soit w l'application de 0A 2 dans Ker S(M) d6finie par:

~( t , O) = ~,t(t); ---'~(t, t) = ~ ( t ) ; ~(1 , t) = ~E~(t), t e l .

D6signons par AZ={(x, y ) e R 2 ] 0~<y~<x<~N}. La composition de l 'homoth6tie de rapport 1IN et de l 'application ~ est une application de 0A 2 dans Ker S(M), not6e encore ~ telle que:

_~(k, 0) = ~2(1); _~(N, l) = ~~ ,~(k, k) = 5E~(1)

pour 0 ~ < k ~ N et 0 ~ < l < - N . On interpr~te w comme une 1-chaine (donc un 1-cycle) de BKer S(M).

(N,N)

~k,~ /

(k,O) (N,O) Figure 4

Etape 2: Construction d'une 2-chaine dont le bord est ~ et dont les 2-simplexes ont des supports dans des ouverts de ~/'. Pour ce faire, nous aurons besoin de eonstruire pour tout couple d'entiers (k,l) tels que O<~l,k<~N, des diff6omorphismes 0k ,~eKerS(M) tels que que pour tout k, l, chaque diff6omorphisme -~ �9 Ck.10k, Z-1, Ck.Z" Ok11.Z ait son support darts une boule de ~/" et tels


que:

tPo.o = idM; ~bk. o = ~ ( 1 ) ; ~k.k = ~ ( 1 ) ; ~N,t = ~ 1 ) ( * )

avec l~<k, k<-N.

(i) Construction des q&3 pour 0 <~ l, k <~ No

On pose:

I 6No,o'H, sur UU~j'

g'k,t ( identit6 ailleurs

off:

I -1 r

Ht i~l (identit6 ailleurs

pour k, 1 >/1 et Ho = idM, et tkNo,O, ~br%,No d6finis par (*)

I1 est 6vident que:

--1 -1 C~ supp (~bk.,'~bk_,.t)c ~ ; supp(tpk3"tpk,t_~) U~

215

hk,l = H ~ k = l . . . . . N, / = 1 . . . . . No. 1 ~i,,~k

Le lemme 111.5.5 et la proposition 111.1.1 impliquent qu'il existe pour tout i, j des diff6omorphismes otij e Ker S(M), ~t support dans U~ 1 et 6gal ~ q~ sur V~ 1 A C~ (voir condition (v) du lemme de fragmentation et la figure 5)

Consid6rons les diff6omorphismes:

(ii) Construction des ~k,l pour No + 1 ~ k <~ No + N1, 1 ~< l ~< N o.

Nous allons utiliser le lemme 111.5.5 ci-dessous. Sa d6monstration sera donn6e plus loin.

--1 --1 L E M M E 111.5.5. Soit q~k le dif~omorphisme ~gal ~ q~ = t~No.No" ~N, No" q~N,O" q~No,0 sur la couronne Ck = O~k-V~ et ?t l'identit~ en dehors de Ck. (Ceci a un sens puisque ~# a son support dans la r~union disjointe des couronnes Ck,) Alors:

Rc~(q~k) = R~(q~k) = O, pour tout k.


Vl

F i g u r e 5

Pour l < - k < , N et l~</~<No; on pose:

~bNo+k,t = $No,, " hk.," Tk,

/ U;~

oh Tk est 6gal h -1 0No,O" ONo+N,,O sur U i-<k U~ e t ~ l'identit6 aiUeurs. Pour l ~ 2,

i [ j N o + k , I . - 1 __ - - 1 . - 1 �9 . h k , l _ 1 I~No, ,--I I l l N o + k , l - - 1 - - ~ONo,I hk,t

a son support dans U~t. En effet, supp -1 , . (ONo,I_I)C (,JjU~j; supp (hkl h~J-1) C U~I et les boules U~j sont disjointes.

D'autre part:

p i//No+ k. 1 . --1 _ --1 = I ~ N o + k . 0 - - I//No,1 �9 hk, l" Tk " I//No+k,O

a son support dans /.~. En effet, Tk" -1 -1 ~bNo+k, o est 6gal h qui 6gal ~t -1 r est tkNo.1 hors de U~. Donc pour tout x~ U~, Tk" ~No+k,O(-1 X) = t/'No, l-1 (X). Le point ~bNo.I(x)-I ne rencontre pas le support de hk,1. I1 en r6sulte que O(x)= x, c.h.d, que supp ( p ) c

I1 est clair que:

--1 ~bNo, t" tkNo+l,t = hi.z" T1

a son support dans UI Pour k/> 2, on voit facilement que:

0 - - 1 __ 1 - - 1 - - 1 = " T~T~k-lhk-la" r


a son support dans U~ 1. En effet, visiblement supp (0) c U u U~ U u~. Si x 6 U~, off U~/)fq U~=O, alors -1 -1 hk-l,l" SNo,l(X)~g U~ et comme hors de U~, hk,l = hk-13, il en r6sulte que O(x) = x.

Soit 0 ~ la r6union des boules U~, qui rencontrent U~. Pour x 6 U/~, j ~ k et U] f3 1.7P)=Q3, il est facile de voir que O ( x ) = x . Si x e/_7/~ et xjg U~: ~, alors

-1 x kZl,l)(qJN,,,t)(X)=tONo,l( ). Autrement dit, qJN,,.l( )Jg U 1- Donc (hk.l" T~" T~kl_l �9 h -1 -1 -1 x

O ( x ) = x .

La propri6t6 suivante des diff6omorphismes qJNo+N,,l sera utile dans la suite (pour montrer la coh6rence des conditions (*) dans la construction (iii) ci-dessus).

eN,,+N,., = q'~., sur U V~ j --'~No+NI

En effet sur cet ensemble, q'N,,+N,.~ -1 "qhVo+N,.O est 6gal au diff6omorphisme H suivant:

I~No -1 -1 .,~0No.r%" r H =

I.identit6 ailleurs.

sur U ~'

Comme 'kNo,, = '/%,No sur U ~ , u - ~

I ON, No~b~lo sur U U~ ~ H = j<-t

l identit6 ailleurs.

I1 en r6sulte que sur (.Jj~No+N, V/,

qtNo+N,.t = H " qJNo+N,.O = H " tkN.o = qJN.z

(iii) Cons t ruc t ion des qJk,l pour 1 <~ l <- No, k > N o + N1 et k, l > No

Cette construction se fera par r6curence dans l 'ordre des l et k croissants en posant:

tOk-l,Z hors de Uk

tOk.1 = / tok't-I hors de U

[ON., sur j,~kU V/.

( . )


Nous laissons au soin du lecteur de v6rifier que ces conditions sont coh6rentes. Elles d6finissent donc des diff6omorphismes symplectiques ~bk, z e Ker S(M) en dehors de Uk N Ul - Uj~kVj. I1 se pose alors le probl~me de les 6tendre symplec- t iquement h toute la vari6t6.

En reprennant les anciennes notations, Uk et U~ sont de la forme Uk = U~, Ul = U~/;. Comme l < k, on a que r' ~< r. Si r' = r, alors Uk f3 Ul = O et @k,l est d6j~ d6fini parout. Supposons donc que r' < r et que Uk fq Ut~ 0 .

Chaque composante connexe de l 'ensemble ci-dessus est l 'ensemble G~;[' d6crit au paragraphe 5. Nous avons vu que cet ensemble est hom6omorphe ~t D'-"• A"• C 2"-'. Un petit calcul montre que:

,.r, ~,,, {0 R s i r = l e t r ' = 0 H2(Gii , 0G~j ) = dans les autres cas.

Dans le cas qui nous int6r~sse (c.h.d. 1 ~< l ~< No, k > N O + N~ et k, l > No), les groupes d'homologies relatifs ci-dessus sont tous nuls. D'apr~s le th6or~me 11.2.1, les diff6omorphismes ~bk, t s '6tendent symplectiquement ~ toute la vari6t6.

Consid6rons les triangles T k de sommets (k, k), (k, k - 1) et (k - 1, k - 1) et les carr6s de Ck,~ de sommets (k, l), (k - 1, l), (k - 1, l - 1) et (k, l - 1) dans A 2 (voir figure 4).

Le sous-groupe des diff6omorphismes de Ker S(M) ~i support dans une boule est exactement le groupe de t ous l e s diff6omorphismes symplectiques ~i support dans cette boule. Ce groupe est localement contractible.

Comme tous les diff6omorphismes @k,~ sont proches de l'identit6, il existe donc des isotopies symplectiques ht, g,, t6, v, telles que:

supp (h~) c U~, supp (g,) c U~, supp (u,) = Ut supp (v,) = U~

(~kq-l,l" ff~,l) = hi; (1[/k11,1--1" I[/k,l) = gl

(l~kll,/--1 " I[Ik-- l , l ) = UI" , (l~k,~_l ~ I[]k,t) = I) 1.

De plus on peut s 'arranger pour que si U~ N Uz = 0 , alors h, = & et u, = v,. I1 suttit pour cela de les construire ces isotopies dans l 'ordre suivant: pour l donn6, on construit d 'abord les isotopies relatives au carr6 CN.~, ensuite celles relatives CN-I,z, C~r etc., l = , 2, 3 . . . . . Ces isotopies fournissent donc des applications diff6rentiables par morceaux

ak:0Tk---~KerS(M) et /zk,l:OCk,t---~KerS(M).


De nouveau par contractibilit6 locale du groupe des diff6omorphismes symplectiques ~ support dans une boule, ces applications s '6tendent, aprbs lissage, en des applications diff6rentiables:

Ak : Tk--* Ker S(M) et Mk,i : Ck,z ~ Ker S(M)

telles que supp (Ak(Tk))c U'k et supp (Mk, t(Ck,l))c U'k t3 Ut. Consid6rons la 2-chaine k somme de toutes les 2-chaines Ak et Mk.~. On a

alors que Ok = ~ , ofa ,,~ est le 1-cycle de BKer S(M) d6crit ~ la fin de l '6tape 1.

Soient UI, et U, tels que Uk N U~ = O . C o m m e H, = g, et ut = vt, il en r6sulte que le f6uilletage sur les faces oppos6s de OCk,, X M sont les m~mes. Ceci veut dire que

si UI, f'l Us = O , alors le bord du 2-simplexe Mk, z est nul. Si 6 est la 2-chaine obtenue a part ir de la 2-chaine k, en laissant tomber les

2-simplexes Mk.~ tels que leur support est dans U[ U Us avec UI, fq Ua = 0 , alors on a encore ' 0~ = Ok = ~,."

D'apr~s la construction du recouvrement ~W, tout 2-simplexe de ~ a son support dans un ouver t de ~r La 2 ~ 6tape est termin6e.

Soient r =Y.k ~'k une 1-chaine dans BKer R u et or = Y~, c~ une 2-chaine dans

BKer S(M) telle que 0o" = r. Pour chaque 2-simplexe c, de o-, on fait les constructions des 6tapes 0, 1, 2. Le

fait Zk est dans BKer Re, nous assure que la construction de l '6tape 2 est possible. En effet chaque ~'k fait partie du bord d 'un 2-simplexe c~ et nous avons dfi utiliser le fait que les invariants R des 1-simplexes du bord sont nuls.

Soit ~ la 2-chaine obtenue ~t part ir du 2-simplexe q par le constructions 0, 1,

2, alors la 1-chaine § = O(~ ~) est homologue ~t r dans H~(BKer R U, Z) et c 'est bien le bord d 'une 2-chaine dont les 2-simplexes ont des supports dans les ouverts de ~r

Le l emme II.8.3 est d6montr6.

D~monstration du lemme III .5 .4

Soit I" = Y. ~'k une 1-chaine de BKer Ru qui borde une 2-chaine c = Y~ ck de B G u. Par subdivisons barycentriques, on peut supposer que tous l e s 2-simplexes ck sont petits et en particulier que pour tour x ~ A 2, alors Ck(X)~ G u e s t proche de l 'identit6. Par contractibilit6 locale de Gu, il existe une isotopie canonique

t~--~ c~(x) dans Gu de ck(x) ~ idu. On a:

f Ru(ck(x)) = I f , d t ^ 11",

M X l d

oh ft est le hamil tonnien ~t support dans U du champ L'appl icat ion x ~-~ Rv(ck(x)) de A 2 dans R e s t continue.

de vecteurs 6~,(x).

220 A U G U S T I N B A N Y A G A

Consid6rons une fonction g ce classe C~ a support dans U telle que SM gO" = 1. Si ~oL,~ est le groupe ~t 1-param~tre engendr6 par le gradient symplectique de -Ru(ck(x))" g, on a: Ru(~o~,,x" ck(x))= 0 et l'application ~k :A2---~ Gu d6finie par

~_.k(X ) 1 Ck(X ) = tp~,x �9

est continue. Pour tout k, ~k est donc un 2-simplexe de BKer R u. Supposons que x e032 et que ck(x) soit un q'l(X). I1 existe une petite isotopie

~-~(x) telle que M• dtAO"= O, oh f, est le hamiltonnien ~ support dans U de 4~(x). Cette isotopie est homotope relativement aux extr6mit6s, /~ l'isotopie canonique de ~,~(x) h idu. Donc Ru(~h(x))= 0 et § rl(x). On voit donc que ~-= 0~ oh ~ = ~ ck le lemme est d6montr6.

D~monstration du lemme 111.5.5

R c ~ ( ~ ) = ~. Rc~(~k)+Rc~(~q)= ~ R ~ ( ~ k ) + R c ~ ( ~ ) . k=i k~i

D'autre part:

R~(~o,) - Rm,(r + R~(r r OI~) + R~(r ~)-

En effet les deux membres de l'6quation pr6c6dente sont bien d6finis car $N,,.No; ~ ,O et SNo.O ont leur support dans U ~ Par construction de ces ~IN, No. --1

diff6omorphismes (voir lemme de fragmentation), chacun des termes du membre de droite darts l '6quation pr6c6dente est nul. Ainsi donc R~,(~0i)=0, ce qui d6montre une des affirmations du sous-lemme et prouve que Rc~(r = Rc~(~o). Or:

_ _ - - 1 - - 1 Rc~(~o) - RC~( $No.No" SN.No) + RCW( $N.O" CNo.O)

- -1 - -1 --1 = Rc~(r " $N.N) + RC~($N.N" $N.No) + RC~(r " tbNo.O.)

Rappelons que:

- 1 SNo.No" $~.N = (S~(1) �9 �9 �9 S~,(1)) -~ - 1 r tPN.No = (S~ " ' " S~ -~

- -1 ~N.o" r = s l( l ) �9 �9 �9 s~(1)

(voir fin de l'6tape 1) Soit A une boule contenue dans V~ et telle que A N U~ = • si U~# U~.


Comme chacun des sj ci-dessus a son support hors de A, on a:

Rc~(q~) = RcA (q~)= Rct.QI~>=s~(1))-RcA (rI=, sO(i)) - RcA(kl~>=~ s~(1)).

Or d'apr~s le lemme de fragmentation:

~. Rca( s~ (1 ) )= ~ Ruk ( s~ (1 ) )=O.

Le lemme est d6montr6.

221

6. Les difl~omorphismes symplectiques du tore

Le tore T " est le quotient de R " par Z m. Soit p: R " - - + T ~ la projection canonique. Nous d6signerons par ~ un rel~vement dans R " d 'un x e T% Pour

tout a ~ T ' , l 'application o~:T"---~ T " d6finie par:

p.(x) = p0Z +8 )

est un diff6omorphisme de T TM de classe C ~ isotope h l'identit6, qu 'on appelle la rotation d'angle a. Ainsi T " s'identifie h u n sous-groupe de Dif f=(T")o . Le th6or6me de conjugaison suivant est dfi h Herman et Sergeraert [8], [15].

THt~ORI~ME. Soient a = (a~, a 2 . . . . , a.,) un point de R " , c > O, et d > 0 tels

que pour tout k = (ko, k l . . . . . k,.) e Z x (Z "~ - 0), on ait: [ k . a I > c/I k l "1 avec I k" at = ko + kl aa + kza2 +" �9 �9 + k. ,a, , et [k[ = k~ + k2 +" �9 �9 + k,.. Soit a = p(a) ~ Tm. II existe

un voisinage V de O. dans Diff ~ (Tm)o et une application s: V--+Difl ~ ( T " ) o x 7 " telle que pour tout ~ ~ V si s ( r = (~b, ~8), alors ~ = Po " ~-~" P~4 ~" De plus si ~, est une famil le dans V qui d~pend diff~rentiablement d ' u n param~tre t et si s( q~,) = ( q~,, 13,),

alors O, et ~8, d~pendent diff~rentiablement de t.

Consid6rons maintenant le tore de dimension 2n. La forme symplectique dxl A dx2 + dx3/~ dx4 +" �9 �9 + dx2,,_ ~ A dx2,~ de R 2~ est invariante par translation. Elle induit donc une forme symplectique 12 sur T 2". Pour a ~ T 2", la rotation p,, laisse invariante /2. il en r6sulte que T 2" s'identifie ~t un sous-groupe de DifY~ (Ten)o. Comme la forme symplectique de ~ de T e" est h p6riodes enti~res, il r6sulte de la remarque 11.1.2 (b) que S envoit ~'I(G~(T2n)) darts H 1 (T 2", Z).

Nous allons montrer que l 'image de rrl(Gn(T=")) par S est H I ( T ~", Z). Pour

222 AUGUSTIN B A N Y A G A

t . T 2 r t _ . _ ) T 2 n tout x e R 2", la famille d'applications Or(x). d6finie par

p~(~)(y) = p(~ + tx), y ~ T ~", t ~ t,

est un chemin diff6rentiable dans Ga(T2"). On obtient ainsi une application j de R 2" dans G ~ " ) . On voit i m m 6 d i a t e ~ q u e j envoit Z 2" dans zr~(Ga(TZ')). D'autre part, S envoie surjectivement G a ( T 2") sur H I ( T 2", R ) = R 2". Calculons S(j(x)), pour x e R 2".

Soit (c~, c2 . . . . . c2,) une base de H1(T 2~, Z). On prend pour q les cycles "rotat ions autour du i ~'~ facteur" cA.d. les images par p des courbes ~ :I--~ R 2" d6finies par:

~ ( t ) = ( 0 , 0 . . . . . 0, t, 0 . . . . . 0) (t h la i ~'~ place).

Pour tout i soit Hi : I x I--* T 2" l'application:

H,(s, t) = O'o(~)(q(s)).

En passant au rev~tement universel, elle s'6crit:

ISIi(s, t)= (tXl, tx2 . . . . . tx,_ 1, tx, + s, tx,+ 1 . . . . . tx2,). t

On a donc:

-xi+ 1 dt A ds I:lr, O - [ + x ~ ~ 1 d t A d s

II en r6sulte que:

= ,• I/:r~' ~ g( j ( x ) ) ( c , )

si i est impair

si i est pair.

~-x~+~ si i est impair

/ tx~_ 1 si i est pair.

On a donc montr6 que: pour tout x = (Xl, x2 . . . . , x2n)~-R 2n

g ( / ( x ) ) = ( - x 2 , x l , - x , , x3, �9 �9 �9 - x 2 . , x 2 . - 1 ) ~ R 2" - H I ( T ~", R) .

I1 en r6sulte que S envoie surjectivement G a ( T 2") sur H~(T 2", Z). De plus nous


v e n o n s d e m o n t r e r :

223

L E M M E 111.6.1. La restriction de l 'homomorphisme S au sous-groupe T 2" de G a ( T e") est l ' isomorphisme J : Te"--~ H ' ( T e " , R ) / H ' ( T 2 " , Z ) ~ - R 2 " / Z 2 " = Ten

ddfini par

J ( x , , x~ . . . . . x = . ) = ( - x ~ , x , , - x , , x~ . . . . . - x 2 . , x~._, ) .

Le r6sultat principal de ce paragraphe est le suivant:

THI~ORIEME 111.6.2. Le groupe HI(BKer S(Te"), Z) est trivial.

D~monstration. Montrons d 'abord que ~ ( T 2") = [G~',(T2"), G'~(T2~)]. Soit chemin diff6rentiable dans K e r S ( T 2") repr6sentant un 616ment ~ de

Ker S(T2"). Soit p,, une petite rotation satisfaisant h la condition arithmetique du th60r~me de Herman-Sergeraer t et soit V un voisinage de p~ dans Difl ~ (Ten) o qui lui correspond dans ce m6me th60r~me. Pour m assez grand, l 'isotopie h k, =q~(k/,,,),'(q~((k-,)/~),)-' est dans p ~ ' ( V ) N K e r S(T2"). I1 existe donc un 3 , ~

Diff ~ (T2")o, /3,ke T 2" d6pendant diff6rentiablement de t tels que:

h k = p ~ l . p t ~ } . ( ' ) , k , ) - l p ,~3 ' k ' .

On a alors:

12 = h * n = (~/~)*(P*((3'~)-')*O)) c.h.d. ((3,~)-')*~Q = p*((7,k)-')*I2.

La condition arithmhtique sur a ~ T 2" implique que les composantes de d ~ R 2" sont lin4airement ind4p4ndantes sur Q. I1 en r4sulte que a engendre un sous-groupe dense dans T 2". La forme ((%k)-~)*12, 6tant invariante par p,~, est invariante par T 2". Elle s'4crit donc:

~o, k = ((3'k)-1)*O = ~ a'ij dx,/x dxj; a~j = constantes. i<j

k e t / 2 sont cohomologues, elles ont les m~mes D'aut re part, comme les formes tot p4riodes. I1 en r6sulte que tous les coefficients sont 6gaux h 1. Donc (0~ = O, c.h.d. que ~ /~ Ga(Te") . D'autre part, puisque h, k est dans Ker S ( T 2") pour tout t, on a:

0 = S(h k) = S(p(a~_~)) - S(vk,) + S(p~) + S(vk,) = S(p~.) = J(Clk,).

I1 r6sulte du lemme III. 6.1, que /3,k=0. Donc k _ k h, - p-s 1. (vk,) -1" p~. vt est un

commutateur dans Gn(T2"). Par cons6quent r . . . . , h l est dans [Ga'-'(T2"), ~-'a(Te")]. Ceci montre que Ker '-~(T2")c [Gn'-'-'(T2"), ~'a"a(T2")]. L 'autre


inclusion 6tant 6vidente, on a:

Ker S(T 2") = [Go(T2"), Ga(T2")].

Si on pose:

b, ~ = I S ~ , ~ ) ; u = ~ + b, ~

17~=0b~'~, k et 3'~=(pb~)-~'(~,,k)-L

On a:

h, ~ = o~1 . ~,~. p , . ~/,~.

II est imm6diat de voir que ~ Ker S(T2"). D'apr~s le lemme de fragmentation, il existe des isotopies symplectiques V~'J ~ support dans des boules Uj telles que ~7~ = V~ "1" Yt k'2 . . . . ,3,~ "N. Or aura:

(n )(n ) . - l . ( ~ , k , N + l - i ) - i 0b,~ �9 h~= p~,.yk, i.p, Pb? i=1 i=1

Comme p~ et pb~ sont des diff6omorphismes proches de l'identit6, il existe des boules B~ et B~ telles que:

U / U p ~ I ( U / ) c B j et U ~ U p ~ ( U i ) c B ~.

Consid6rons des boules Dj et D~ telles que /3j c D j e t /3 ;c D~. II existe des isotopies symplectiques ~,k et g~,k telles que ~,k (respectivement g~.k) ait son support dans D r (respectivement dans D;) et soit 6gal ~ Ou sur Bj (resp. 6gal ~ ~ sur B~). Pour trouver ces isotopies, on reprend par exemple le raisonnement du d4but de la d6monstration de la proposition III.3.1). Done supp (p~,,k'~O,) et s u p p (j~j,k) - I " "ytk'i" f~j,k) sont contenus dans p u l ( U / ) = (~,k)-l(u/) et sur cet ensemble, o~"o~,"'p~ = G , ~ ) - I ~,, "Y, "~,k- I I e n rdsulte que l'isotopie h, k s'derit:

h t k = , , ) - ~ ' % ' " ffk.i 8k , /q - i+ l "(]/t ) " g k . N - i + l �9

Toutes les isotopies qui interviennent dans cette formule sont dans Ker S(T2"). Les f~k,~ et gk.~ sont dans Ker S(T zn) parce qu'elles ont leur support clans des boules.


Si dans la formule ci-dessus, on change l'ordre des termes, l'isotopie ainsi obtenue est l'identit& Ceci signifie que l'image de h~ dans H1(Ker~-'S(T:")) par l'application canonique de Ker S(T 2") dans Ker S(T2")/[Ker S(T2"), Ker S(TZ")]

r t est nulle. I I e n r6sulte que H~(KerS(T 2 ) )=0. Comme H~(BKerS(T2") ,Z)= H~(Ker S(T 2") le th60r~me est d6montr6.

7. Fin des d~monstrations

Soit (M,/2) une vari6t4 symplectique close et connexe de dimension 2n. D'apr6s le thhorhme III.5.1, on a:

Ha(BKer S(M), Z) ~ H~(BKer Ru, Z) ~ H~(BKer S(Te"), Z).

Mais s'aprhs le th6orhme Ili.6.2,

H,(BKer S(TZ"), Z) = O.

Donc H~(BKer S ( M ) , Z ) = 0 , ce qui signifie que Ker'-~(M)=Ker S(M) est un groupe parfait. On a:

[G~'-'~(M), Ga"-'-'(M)] c Ker S(M) = [Ker S(M), Ker S(M)] c [G~(M), ~'~2(M)]

c.O.d.

Ker S(M) = [Ga'-~(M), G-~ (M)].

L'affirmation (i) du th6or6me 11.6.1 est d6montr6e.

On voit de m~me que Ker S(M) = [G~(M), Ga(M)].

Pour montrer que Ker S(M) est un groupe simple, il suffit de montrer que si q~ est un 616ment de Ker S(M) diff6rent de l'identit6 et si N(r est le sous-groupe normal engendr6 (dans Ker S(M) ou Ge~(M)) par ~o, alors N ( ~ ) = K e r S(M). I1 suffira de d6montrer l'inelusion Ker S(M) c N(r

Soit h 6 Ker S(M). S'apr~s le lemme de fragmentation, h = lqi hi ob les hi sont des 616ments de Ker S(M) dont les supports sont dans des boules Ui, hi ~ Ker Ru. ; de plus ces boules sont telles qu'il existe des diff6omorphismes sympleetiques Hi~Ker S(M) tel que /-/~(U~)c U, oCa U est une boule telle que UNq~U=O. Done /~i =Hi" hi "Hi -~ ~ Ker Re,; or la nullit6 de HI(BKer Ru, Z) implique que Ker Ru est parfait. Done/~i =I-[k [aik, bik] avec a~k, bik ~ Ker Ru.

226 A U G U S ~ N BANYAGA

Montrons que si u, v ~ Ker Ru, alors [u, v] ~ N(q~). En effet, soit g ~ Ker S(M) tel que g = identit6 sur U, et U N g~pU = O. Si ,p~ = g. q~. g-~, on a: [u, v] = [[u, q~], Iv, q~l]]. Comme [u, ~] et Iv, r sont dans N(q~), [u, v ] e N ( ~ ) .

I1 en r6sulte donc que /~ ~ N(q~). Alors hi = (Hi) -~"/~i"//i e N(q~). On a donc montr6 que h = I]~ hi e N(~p). Donc Ker S(M) est simple. Le th6or~me 11.6.1 est d6montr6.

Remarque. L'argument ci-dessus est dr1 ~t Thurston (voir [4]). I1 l 'employait notamment pour montrer que si M est une vari6t6 diff6rentiable de dimension n, alors la perfection du groupe des diff6omorphismes h support compact de R" implique la simplicit6 de Diff ~ (M) o. Cet argument rend les m~mes services que le th6or~me d'Epstein [7].

D~monstration du th~or~me 11.6.2. Supposons que M est non compacte et soit h ~ Ker R. D'apr~s le lemme de fragmentation (qui est toujours valable aussi dans le cas oh M est non compacte), alors h = hi" h2 . . . . . h , oh supp (hi) c boule Ui, et hl ~ Ker Ru,. On r6p~te l 'argument de Thurston ci-dessus. D 'oh le th6or~me.

D~monstration du th~or~me 11.6.3. Soit M une vari6t6 diff6rentiable de dimension 2n I> 4 munie d 'une forme symplectique exacte O. On a les homomorphismes surjectifs:

S:Ga(M)-- -~H~(M,R) (le groupe F est trivial)

R :Ker S(M)-->R (le groupe A est trivial)

/z : Ga(M)---~ R

et /L coincide avec R sur Ker S(M). On a donc l 'homomorphisme ~ = S ~ ) I ~ : G a ( M ) - - - > H ~ ( M , R ) ~ R dont le

noyau Ker ~ est exactement Ker R. Comme Ker R e s t simple et que Ker Y contient [ G a ( M ) , G n ( M ) ] comme sous-groupe normal, on a: KerY~= [Go(M), Ga(M)]. D'oh le th6or~me.

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Section de Math~matiques Universit~ de Gen~ve 2-4, Rue du Li~vre CH 1211 Gen~ve 24, SUISSE

Received January 30, 1976.

Documents

Sur la structure du groupe des difféomorphismes qui préservent une forme symplectique