Short Notes

phys. stat. sol. (b) E, K13 (1978)

Subject classification: 6 and 8; 21.6 Institut de Recherche8 Scientifiques et Techniques a Angers 1)

Sur la variation de la temperature de Debye a haute temp6rature

Par

Y. THOMAS

K13

La dependance quasi lineaire de la temperature de Debye 8 avec le volume V

selon la theorie de Griineisen d log8 d log V

.a=-

ou celle d’Einsteia /1/ ne permet pas une interpretation complete des rdsultats

exp6rimentaux obtenus a l’aide de la theorie de Debye-Waller /2/. I1 en eat ainsi

Bgalement de 1’Bquation d’dtat du solide d6duite partir du madele de Debye:

d l o n s - p = u dV ’ = - *v-l d log 8 dv

( p est la pression et U 1’6nergie interne) d’oh l’on peut t i rer

8 (T) = 8 (R) a(R)3‘a(T)-37, [ I soit:

oil R eat une temp6rature de reference et a le paramgtre cristallin, permettant de

retrouver le coefficient de dilatation cubique p . L’experience /3/ montre que8 depend aussi explicitement de la temperature

necessitant 1 ’introduction d’un terme lineaire correctif oil p est un parametre:

deja exploit6 d’une manisre semi-empirique /4/.

1) Boulebard Lavoisier, 49045 Angers-Cedex , France.

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Etudions de deux manieres cette double d6pendance , explicite et implicite, de

8 avec la temp6rature.

I. Plus gh6ralement posons

oa n est un coefficient caracteristique de l’anharmonicit6 des vibrations thermiques

que nous nous proposons de d6terminer. Tenant compte des relations (1) et (2)

Application II 1’or. 8 (R) = 158 K; a (R) = 4.07 8 II R = 273 K. A l’aide des r6sultats

exphimentaw connus /5/ la d6croissance de 8 due II une variation du volume avec

la temp6rature est de 7,22 % selon (1). La d6croissance totale de 8 , fonction ex-

plicite de V et T , est de 13.33 % selon (4). La difference: 6,11 % correspond a la

dtkroissance d e 8 , en fonctian de la temperature selon (2).

Les d e w contributions la variation de 8 sont sensiblement de m4me ordre

de grandeur: * 0,85 d’oa la valeur moyenne de n fy 1,85.

L a relation (3) permet de determiner n B chaque temperature: il tend vers la

valeur 2 II haute temp6rature: 1.48 a 400 K; 1,62 B 500 K; 1, 98 II 600 K et 700 K;

1.99a 800 K; 2 51 900, 1000 et 1100 K.

11. A l’aide du modele de Debye, acceptable haute temNrature, reprenons

le calcul de 1’6quation d’6tat du solide avec 8 (V, T):

o a U = @ F ( @ / T ) e t S = S ( @ / T ) :

La temp6rature8 peut &re mise sous la forme d’un produit d’une fonction de T

par une fonction de V: 8 =or(T) cq(V). L’6quation d’6tat devient si F (T) = a/(& - Ta’)

et F2(V) = d log cp/dV : 1

Short Notes

que l'on resoud en fonction des d e w variables V et T:

- Si V est constant et T variable, A, B et K1 &ant des constantes:

-1/A ct(T) = K I T ( B + A T ) OL B d a T a - T - dT

= - + A , F1(T) =

- Si T eat constant et V variable, K &ant une constante: 2

A F ( V ) = - 2 V '

- g/A CpW) = K2V

Soit, si K1, K = K: 2

S ( V , T) = K T ( B + A T ) -l/AV- r/A

K15

(5)

Remarquons que si 8 est une fonction explicite de V seulement (3 0 /aT)V = 0 ,

a ( T ) = F1(T) = A = 1 et B = 0 , q (V) = K V-*, on retrouve bien 2

Application a l 'or. L'6quation (5) permet de determiner les constantes A et B a l'aide de 2 couples de valeurs exp6rimentales /5/: A = 0,642; B = 126,54 et K =

= 4160 d' oil

3 en rapportant tous les volumes a v = 1 0 , 2 cm /mol. Cette formule, comme le

montre la courbe, permet de representer exactement les resultats ex@rimentaux

entre 300 et 1200 K environ et de calculer 8 a une temphature Blevee quelconque

(Fig. 1).

300

w - I20 Fig. 1. Variation de la temp6rature de Debye; 200 COO 600 800 7000 1200 ---d'apr&s (1). -d'apr&s /5/, Ad'apris (5) TfK)-

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Bi bliographie

/1/ E.A. <MEN et R.W. WILLIAMS, Proc. Roy. SOC. E, 509 (1947). /2/ M. SIMERSKA, Czech. J. Phys. E 2 , 858 (1952).

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F.H. HERBSTEIN, Adv. Phys. 2, 346 (1961).

(Received January 19, 1978)