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Sur le problème d'interpolationG. H. d'AillyPublished online: 22 Dec 2011.

To cite this article: G. H. d'Ailly (1918) Sur le problème d'interpolation, Scandinavian Actuarial Journal, 1918:1, 145-164, DOI:10.1080/03461238.1918.10405306

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Sur le probleme d'interpolation.

Quelques notes theoriques.

Par G. H. d'Ailly.Docteur es sciences.

Dernierement quand il etait mis en question d'introduiredans la pratique de la technique des assurances sur la viedes primes continues, j'ai fait l'epreuve de calculer d'unemauiere la plus simple qU'il etait possible, des valeurs ap­proximatives mais d'une grande precision des nombres fon-

00

damentals N[xl+t =.rD[xl+t dt .t

A ce sujet je suis parti des valeurs des nombres D[xJ+t,

qu i sont publies par l'aetuaire G. STOLTZ dans Utiämning av8jU tton svenska livfärsäb-ingsbolags rlädlighetstabeller.

Les expressions analytiques qui sont appliquees dans cetrnu vre pour representer les nombres D[xl+h ne s'aecommodentpas a l'integration directe. Done il etait mon intention deealculer les integrales en a.ppliquant la formule d'interpola­tion da LAGRANGJ'J et d'une methode de GAUSS.

Aussi j'ai fait l'epreuve d'appliquer les fonctions spheri­ques ou un autre systeme orthogonal commode.

Quelques circonstances en ces travaux portaient mon at­ten tion sur le probleme d'interpolation en general et je memis a etudier quelques questions qui sont liees a ce pro­ble me.

Comme on sait, dans l'rnuvre susdit les coefficients cen­tra ux de mortalite ou les coefficients instantanes de mortalitesont representes par des expressions analytiques qui ne sont

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pas identiques dans taut l'intervalle considere. Cela n'estpas bien au point de vue des mathematiques pures mais dansun travail d'un but premierement pratique on n'a guere pueviter cette inopportunite sans une trop grande complicatiolldes formules.

Cependant ces circonstances m'ont fait m'adresser laquestion suivante: Quand on essaye de representer par desexpressions analytiques une ionction qui est donnee par desvaleurs empiriques, y a-t-il peut-etre une necessite non seule­ment pratique mais aussi theorique d'appliquer des expres­sions differentes dans des parties differentes de l'intervalleconsidere1

Il est possible qu'une fonction qui est donnee empiriquedans un intervalle n'y represente pas la meme Ionction ana­lytique ou que les expressions par lesquelles on representela fonction dans certaines parties de l'intervalle sont lescommencements de series qui ne convergent pas dans tautl'intervalle considere' et qui doivent par consequent etreeohangees contre les commencements de series qui sont con­vergentes dans ces autres parties de l'intervalle.

Quoique possible je ne veux point dire qu'un tel faitsoit ici l'occasion qu'on doit representer les coefficients cen­traux de mortalite par des E.'xpressions differentes, mais jepropose cet raisonnement seulement parce qu'il etait lacause de la recherche presente.

En cherchant des expressions convenables a representerpour l'usage pratique une fonction donnee, ces points de vueth60riques sont souvent et avec raison repousses en faveurde l'utilite pratique, mais comme celle-ci depend en dernierlieu d'hypot.heses theoriques, de plus ou moins distinctementenoncees, j'ai cru qu'il aurait de l'interet de les prendre bienen consideration. Comme je l'ai formule generalement, leprobleme est donc d'etudier les proprü~tes analytiques defonctions qui sont donnees dans un intervalle par ses valeursnumeriques.

Les fonctions, qu'il est convenable d'etudier premierementsont les fonctions continues, plus tard des fonctions avec despoints de discontinuite d'un nombre fini et des fonctionsqu'on peut representer par des series trigonometriques. Ce-

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pendant dans cette recherche je ne veux qu'etudier des fonc­tions continues qui sont les plus importantes dans la pratique.

La forme de la recherche que j'ai prMel'l3e par plusieursraisons a ete d'approximer les fonctions donnees par despolynomes et cette approximation peut etre faite directementou comme une correction d'une autre forme qui ne donnepas une assez bonne adherence aux valeurs donnees. La re­pn3sentation de polynome ou de series de polynomes est d'unesi grande generalite qu'on peut approximer une fonetioncontinue arbitraire aussi exactement qu'on veut par un po­lynome ou une serie de polynomes qui est uniformement con­vergente dans un certian intervalle, et on peut meme poserune seule serie de polynomes avec la propriete remarquableque cette seule serie posee d'avance peut representer tous lesfonctions continues pour.u q u'on coupe cette serie sur. desplaces convenables c'est-a-dire qu'on forme des sommes par­tielles convenables, differentes pour chaque fonetion donnee.La seule condition qu'on doit imposer a la fonction continuedonnee est qu'elle est = 0 pour x = O.

Ainsi soit

cette serie posee d'avance ou le signe '" marque que l'egaliten'est que formelle, c'est-a-dire sans egard a la convergence dela serie, et soit

n

2: a" x" =.Sn (x),,-1

la n:ieme somme partielle, je peux toujours trouver une suitede nombres n 1 , n 2 , n" ... trUe que

<Xl

t (x) = !im Sn. (x) = 2: (Sn,,+! (x) - Sn" (x)),,=<Xl

ou f (x) est une fonction continue arbitraire, f (0) = 0 etSn. (x) = So (x) = o.

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Cependant je ne veux pas entrer de plus pres dans celamais j'ai presente cette circonstance comme une raison quaj'ai considere la representation par des polynomes commeassez generale et soupIe pour y basel' ma recherche.

Tdutefois pour ne pas perdre de vue le point de departpratique j'ai choisi entre les polynomt's divers d'approxima­tion ceux qui resuJtent de l'interpoJation ordinair.e d'unefonction dOnIllle par des valeurs isoJees, et entre les formulesd'interpolation j'ai prefere celle de LAGRANGE.

Soit done f (x) la fonction d'interpoler, je choisis unesuite xo ' XIl x 2 , •• • x.. entre les valeurs de Ja variable pourleRquelles la fonction f (x) est donnec, et presente un poly­nome P.,. (x) qui coincide avec f (x) dans les points choisis,ainsi

P.,.{x) =

~ (x - xo) (x- XI)' .. (x - X"_I)(X - x,,+!) ... (x- x.,.)= y" (x" - x o) (x,,- Xl)' .. (x" - X,,-I) (x" - :1",,+1). " (x" - x.,.),,-0

DU(v=O,I, ... n)

Cependant je veux restreindre la generalite de la fone­tion f (x) et le polynome qui l'approxime mais ces restrietionsne sont faites qua pour les aises et ne diminuent pas lageneralite du probleme.

Soit done a ... b l'intervalle dans lequel je eonsideref (x) je le modifie a l'intervalle - 1· .. + 1 par la transforma-

I x-a.tion lineaire x = 2. b _a,-l.

D'ailleurs je choisis les valeurs de coineidence dans lespoints qu'on obtient en partageant les deux portions -1 " .. 0et 0··· + 1 en n parties egales. Donc les points de coinci­denee sont les 2n + 1 points de division qui sont determinespar la relation

Vx" =- = v.hn

1ou h =-.n

(v=-n,." I-n).

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Done nous obtenons

( Pn (x) =

V (x + nh)(x + 11,--=--1 h) . .. (x + h). x. (x - h) ...= ~ y,,'

"--n (vh+n h) (v h+n-lh) ... (v h +h). vh. (v h-h) ...

. " (x - v=I h) (x- -;+:l h) ... (x-nh)

(1) { ... (vh-'v-1h)(vh-v+1h) ... (vh-nh)

V x(x!_h!)(x2_4h2) ... (x2-n2h2)=~±y" (x-'vh)h2n \n+v.\n V =

'V=-n

+]n X (x! _ h 2) (X 2 - 4 h 2) • • , (X 2 - n 2 h 2)= ± y" . I I (x + v h).l "--n (X

2- v~ h2

) h2n n + 1'. !!:.=...!

Je continue eette interpolation avec des valeurs grandis­santes pour obtenir une approximation par les polynomesqui soit de mieux en mieux.

Mais une fonction peut iHre approximee par des poly­nomes de plusienrs manieres, done je veux eonsid6rer l'en­semble des polynomes qui approximent la fonction, et enparticulier etudier ceux qui la representent avec une preei­sion proposee d1avance.

Soit done P (x) un polynome d'un certain degre et qniapproxime la fonction donnee avec la precision 8 c'est-a-dire

If(x)-P(x)I<8

et posons

f (x) - P (x) = rp (x) '.' !rp(X)I<8.

En iuterpolant directement d'une manü3re dite ci-dessusla Ionetion f (x) par le polynome pr (x) et puis interpolnnt lafonction rp (x) par le polynome pli (x), les deux polynomesP' (x) et pli (x) etant du meme degre, nous obtenons en vertude l'uniformite de la determina tion

pI (x) = P (x) + pli (x)

et le polynome pli (x) a le caractere d'une expression de cor­reetion dont on obtient la cOlncidenee dans les points surlesquels s'appuie l'interpolation.

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Done je puil:! appliquer direetement la formule d'inter­polation a Ia fonetion de eorreetion rp (x).

La courbß qui represente la fonction rp (x) est situee dansune bande etroite de la largeur ~ c comme fait voir la figure 1.

E--j------"""'-:------+----;."e-----------.~-x

-1

r---------------

Fig. 1.

Soit done le polynome Pn (x) (1) Ie resultat de l'interpola­tion appliquee a Ia fonetion rp (x), Ie premier but est d'etu­dier I'ordre de grandeur des eoeffieents.

Etudions premiE~rement un seul terme dans Ia somme (1)et posons-Ie ainsi

Qn (x) =

= y" . X (Xl - h2)(X

2- 4 h2

) ••• (x2- n 2h2

) (x+vh).h2n ln + vln-v x~-v~h~

POSODS de plus

ou tous les eoeffieients C;, sont positifs et en consequence decela leurs signes doivent IHre choisis convenablement.

D'ailleurs posons

X (Xl + hl ) (Xl + 4 h2 ) ••• (Xl + n 2 h2 ) ~2 h2 (x + vh) = "","ClX

l

x + v· 0

(": Cl> Cl)

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et

x(x2 + h2 )(X2 + 4h2 ) ••• (x 2 + n 2 h2 )

:e2 + v2h~

ou done

b {= 0 pour J.. p.air). ;;& 0 » J.. impair

et

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2n+!

X (x2 + h2 ) (x2 + 4 h2 ) ••• (:r2 + n 2 h2 ) = l: a). x),o

ou dane

f = 0 pour J.. paira).) ~..

t ;;& 0 & A, ImpaIr.

Done nous obtenons

2n-l 2n+l

(x 2 + '11 2 k 2 ) l: b). x), = ] a). x),

o 0

et

done

D'ailleurs

2n-] 2/l

(x + vk) 2: b).x). = ~c). x).o 0

d'ou

mais

vh<nk=l

done

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152Posans fL = 2m, done

E't ,lt = 2 m - 1, done

Mais eomme b2m = 0 et b2m- 2 = 0, ces deux relations se chan­gent en

L'evaluation des coeffieiE'nts c peut ~tre faite par l'evalua­tion des eoeffieients a du polynome

2n+l

~ a;. xl· = x (x2 + h2) (x2 + 4 h2

) ••• (x2 + n 2 h2) =

o

= h2n+1(~)2 • X. (1 + ~:) (1 + t~2) ... (1 + n~~2) .Mais les coeffieients de ce polynome sont plus petits que leseoeffieients de la serie q ui represente la fonction

h2n+1(~)I . Xft (1 + ),:~B)).-1

et qui converge pour toute valeur de la variable.Mais

1 <Xl 1 (1J:) 2).+1= 7C ~ [2), + 1 h .x 2

).+1

;.-01----

et nous obtenons donc finalement

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1 (n)1-' 1a , < h2n+1 (l.!!l· -. - . -I n h lt:

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Cu impair).

De cela et des relations ci-dessus nous avons obtenu comme2n

une ~valuationdes coefficients du polynome Qn (x) = ~ ± CI. xl.1.-0

Iou comme h=­

n

(2)

Pour avoir une evaluation des coefficients du polynomePn (x) nous sommons en v en observant que

done

ou nous avons pose

1 n l'= 8 (in)2 . - . nl'-l . - .- n l1:

2nPn (x) = ~ PI. Xl"

I.~O

+n 1

~ In + 1J In v1I~-n--

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Mais

+n 1 I +n ~

2: fn + 1J I~ = ~. 2: In + 1J In 1J1'=--n ')J=-n

done

En evaluant par la formule de STIRLING: In = V2nn nne-n

nous obtenons ~

Done si nous avons une suite de polynomes pln (x) dedegre 2n (n = 1, 2, ... ) qui approximent la fonetion donneeavee une preeision de la grandeur En dont la diminution estd'une teIle foree que la serie

eonverge, les coefficients de la suite de polynomes obtenuspar l'interpolation s'approehent de plus en plus des eoeffi­cients de cette nonvelle suite, c'est-a-dire si

et

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Bont ces deux suites de polynomes nous obtellons

!im (Pf'-P'J1.) = O.n-CD

Quand la fonction t (x) est lmalytique dans le cercleIx I < I + 'YJ (11 arbitrairement petit) il y a au moins une suitede polynomes qui approximent la fonction avec cette ordrede precision: les sommes partielles de la serie de TAYLOR

qui represente la fonction.Ce resultat pre!iminaire n'est pas trap important, mais

je I'ai voulu presenter car elle met a l'approximation unecondition qui ast plus faible que la fonction ne soit analyti­que et a cela elle surpasse les resultats qui sont deja enonces.

Maintenant je vais etudier le probleme avec des hypo­theses un peu modifiees sur le degre d'approximation, maisavec la meme methode du travail. En analogie avec lessommes partielles des series de puissances je propose que lespolynomes representent la fonction avec une precision dontla force de diminution est la meme que du terme compIe­mentaire d'une serie de TAYLOR c'est-a-dire la puissance dex qui suit immediatement apres la plus grande puissance dePn (x), savoir X2n+1•

Comme la fonction de correction cp (x) diminue encoreen les limites de l'intervalle considere j'ajoute un faeteurG.k2n+1 OU k< 1.

Posans que la fonction cp (x) que nous allans interpolersatisfait a la condition

Icp (x) I< G . k2n+l.1 X 12n +1

ou

(3) Iy" I< G. k2n+l (': 'r n+

1

Cette condition est toujours satisfaite quand la fODctionest analytique dans un cercle Ix I <: R OU R> I, mais il nefaut pas faire dans cette demonstration cette hypothese.

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En analogie avee la demonstration ei-dessus nous obte­nons apnls la sommation de (2)

Nous evalnonR la somme en observant (3) et obtenons

(4) P~'-l} < ~ n~'-l nlJ. . G. k2n+1• ~ (~1)2n+l (l!!-)2 =

PIJ.-2 n W: kJ n In + v In l''V"'-n

1 n,Lt n ('lI)2n+l {in)2= G . k2n+1 . n.n~,-l . W: . 2] n In + ;In v'

,,-0

Pour evaluer la somme

(In)!nous eherehons une evaluation de .~~

n+v n-vD'apres la formule de STIRLING nous pasons

2n:n.n2n .e-2n

V2n:(n+v).(ll+v)n+"e n ".V2n(n-v).(n-v)n "e n+"

n n2n

= Vn! - v 2 ' (n + 1/ )n+" (n - v)n-"

Comme nous n'avons jamais ln-v = 0 nous pouvonsdans eette evaluation exclure Ia raeine et posons done

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Puis posans v = k. n (0 < k < 1), done

(inp n2n

- < 0 n·In + v In 11 • nn+" (1 + k)n(l+k) nn-" (1- k)n(l-kJ

O 1 (l_k)nk _ 0 -k'na= . n . (l--p)n . (1 + k)nk - . n . e

ou le nombre Cl est dMini par l'equation ei· dessus.Nous obtenons

- k 2 na = -n log (l-P) + nk log (1- k) -nk log (1 + k)

Oll

En developpant en serie suivante des puissanees de knous obtenons la serie

(k2 ki k 6

)CI=I+2 -+-+-+...3.4 5.6 7.8

qui converge pour k < 1.Ce developpement met en evidenee que CI > 1.Done

(in)2 - ~- < 0 -k2n_O nI

I... _", . n . e -. n. en + v I.!!:=!

pour tOllS v et n.

J h ··· 1e e OlSlS mamtenant fJ = vnx" V-v=7i=x". n.Done

et pose v. fJ = x"' done

q~.J2 _x'< O.n.e ".In + 11 In-11

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Cependant je veux evalu.er

n (' X )2n+1 '( 1 . 2n+1 1 ,n ,< ~ ~ G .n.e-:C1l = -) .G.n· - ~x2n+le-:C1l.R="'" n(:1 n(:1 (:I"'" 11 t'v-I ,'=1

n/l

G n G J'= -- ~ x2n+1e-x~ .'1 < -- (x + 1J)2n+l e- x2 dx.nn-1~ 11 I nn-l t'

11=1 ci

Posans x + (:I = y, done

(71+1)ß

~ <n:-1Jy2n+1 e-(Y-:1)'dy =ß

(n+1)p

= ~Jy2n+I e- Y'-/l2+ 2y,9 dy <nn-1ß

al

G e2 (n+IJ/l2 -ß2 r< . . y2 n +1 e- Y' dl'/ =nn-1 '.

0'

2n+1 co

G .e-n- 1 J'. '2-' y2 n e-Y' d (y2) <nn-1o

(y2 = z)

al

G l' GI< - .- . j zn e-Z dz = - - r (n + 1)nn-1 2 nn-12o'

ou comme r (n + 1) = ~ nous obtenons

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D'apres (4) nous obtenonsdonc

P"-I} 1 n·" 0 - nl-' I.!!:, < G . k 2n+1 . _ • n·,,-I . -. -_In = H. k2n+1nIl. - . -- .

P ~. la nn-I ~ lu nn_2 •• ~ ~

En cOllsiderant seulement le facteur

nl' nnn n~=1'2'3"'fi

nous trouvons qu'il a sa valeur plus grande POUf !L = n, done

et puis

P.U-I} < H k 2n+1 n."'"Y/,~ . I.!!: = H k2n+l n.".PI'-2 In nn

En modifiant le nombre H nous pouvons separer lesdeux ii:Jegalites qui sont unies dans la formule precedente etobtenons

(5) PI' <H k2n+Irc,".

Une sene ~ ßI'X'" dont les coefficients ne surpassent pascette limite superieure des nombres PI' est ainsi toujours con­

1vergente pour Ix I< - et cette convergence ne depend pas

nde n.

De la relation (5) nous deduisons

c'est-a-dire si la difference de la fonetion et le polynomeP'n (x) par lequel nous cherchons le representer diminueeomme G k2n+l x2n+l, les eoefficients du polynome qu'on ob­tient par l'interpolation de la fonetion de correction dimi­nuent aussi Vt'fS zero quand n ten9- vers l'infini.

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Cette chose nous pouvons exprimer amSI:Soit

(n=1,2, ...)

deux suites de polynomes qui approximent la fonetion donneeavee une precision dite ci-dessus, Done les eoefficients cor­respondants tendent infiniment l'un vers l'autre quand ntend vers l'infini. Aussi les coefficients des polynomes dansla suite qu'on obtient par d'interpolation suecessive de lafonetion donnee tendent infiniment vers les coefficients despolynomes prn (x) et P"n (x).

Quand la fonetion f (x) est analytique il y a du moinsune teIle suite, c'est-a-dire les sommes partielles de la seriede TAYLOR dc la fonction, ca.r le terme comp16mentaire R(x)du degre 2 n + 1 diminue comme G k2n+l. X 2n+1 OU ce termeest dMini par la relation

2n

f(x) = ~a"xv + R(x).,'-0

Les polynomes qu'on obtient par l'interpolation de lafonction f (x) suivant les principes exprimes ci-dessus ontainsi la propriete que ses coefficients tendent vers les coeffi­cients correspondants du developpement en serie de 130 fonc­tion quand n tend vers l'infini.

En partant d'avance d'une fonction analytique on peutpar l'integrale de CAUOHY obtenir ces resultats plus simple­ment mais comme j'ai desire que ma recherche soit totalementindependante de la connaissance des propn'etes analytiques dela fonction j 'ai prMere une voie qui ne s'appuie qne sur laconnaissance des valeurs de la fonc#on dans l'intervalle considere,

Les resultats ici obtenus peuvent etre retournes souscertains rapports. J'ai demontre ci-dessus que le resultatrl'interpolation peut avoir pour forme-limite la serie de TAYLOR

qui represente la fonction.

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Maintenant je veux retourner le probleme ainsi: Soitdonnee une fonction alaquelle j'applique la formule d'inter­polation de LAGRANGE avec un degre grandissant des poly­nomes obtenus.

Posons

n-l

P n (x) = 1: a~n) x",,-0

(n = I, 2, 3, .. 0)

ou Pn (x) represente la suite des polynomes obtenus et soit

et puis

(6)

une seTle avec le rayon de convergence r]O

Puis nous determinons une suite de nombres positifs

M]. JYI, •... M", 0 o'

tels que

(n=l, 2, ... 00)

et posons la serie

Soit r2 le rayon de convergence de cette sene.Soit f! un nombre plus petit que r 1 et r2 " Nous mon­

trerons que la fonction f (x) est analytique dans l'intervalleIx I<f! et peut IHre representee dans cet intervalle par laserie (6) done

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La !'uite des polynomes obtenus par l'interpolation soit

p (x) = a(n) + a(n) x + a(n) x 2 + ... + a(n) xn- 1110 0" 1 '2 110-1

(n= 1, 2, ... ).

Done

00 n-l 00

Pn(x)- ~a'l1x'l1 = ~ a~n)x'l1- ~ a'l1 x'l1 =

'11-0 v=Q 1'=0

n-l 00

=] (a~n) -a,,)x'l1- ~ a'l1 x'l1 =v-Q ~=n

rn-I n-I 00

= ~ (a~n) -a'l1) x'l1 + ~ (a~n) -a,,) x'l1- ~ a'l1x'l1.11 ..... 0 11=111 'Il'"""n

Prenons m si grand que

(13 arbitrairement petit).

Puis prenons n assez grand que nous obtenons simulta­nement

car

et

car ~ a'l1 x'l1 est convergentepour lxi < €!.

Done nous obtenons comme resultat total

Dow

nloa

ded

by [

UQ

Lib

rary

] at

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0 N

ovem

ber

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Mais nous pouvons trouver des valeurs n si grandes

qu'un nombre commensurable arbitraire x =!! satisfait aq

la relation

f (x) = P n (x)

et done

If(x) - ~ avxvl < 8.

v=o

Mais cette relation est independante de n et nous pou­vons prendre 8 arbitrairement petit, done nous obtenonspour des valeur" commensurables arbitraires

co

f (x) = ~ a,.xv •

v~o

Cependant f (x) est une fonetion continue et les nombrescommensurables forment un ensemble partout dense, doneeette relation est satisfaite pour toutes les valeurs de x DUlxi <e·

La fonetion f (x) est done representee dans eet intervallepar 1a serie

et done elle y est analytique.Cette demonstration ne darme aucune des proprietes de

la fonetion en dehors de !'intervalle Ix I<e; quand e> 1 lafonction empirique est analytique dans tout l'intervalle COIl­

sidere Ix I 'S.1 et nous obtellons facilement la precision de1'evaluation du raisonnement ci-dessus. Si le nombre e estplus petit qu'un, plusieurs caR peuvent se presenter: f (x)peut etre analytique dans taut l'intervalle - 1 ... + ], onpeut avoir un.point singuJier pour x = ± e ou pour x=eeiB

ou finalement f (x) peut etre composee de plusieurs »func­tiones continure».

Dow

nloa

ded

by [

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Lib

rary

] at

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0 N

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Il ne faut pas qu'un point singlllier dans ],intervallerestreint la regularite de la suite des valeurs dans cet inter-

1

valle, chose que mantre l'exemple f(xi = e-3ji, car cette fonc­tion est singllliE~re pour x = 0 et existe comme valeur limiteainsi que toutes ses derivees quand x tend vers un point lelang de l'axe re€'l, mais quand x tend vers zero avec desvaleurs de la forme r. ei EJ Oll

n: 3n:-+8<0<--84 4

ou3n: n:--+8<0<---84 4

f (x) surpasse taute limite.

(8) 0)

Je ne veux pas affirmer que cette recherche peut etreappliquee immediatement en pratique mais je ne veux quedemontrer qu'on peut trouver quelques proprietes analytiquesd'une fonction donnee seulement par ses valeurs e.t qu'onpeut faire dans certains cas cette recherche en appliquantseulement la formule simple de LAGRANGE et en trollver unelimite superieure de la precision d'approximation sans fairedes reflexions si profandes que par exemple le probleme deTCHEBYOHEFF.

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] at

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