ET SUR LES POTENTIELS I~LECTROMAGNETIQUES

LA RELATION DE LORENTZ EN MILIEU ANISOTROPE par

.lulien L()t~I3

lng(.nieur en chef des t61@ommuni,.'ations (e.r.)*

SO.MMAIRE. L'auleur e.ramine ce que devieuneul en mil ieu auisolrope (plus exaclemeld mi l ieu o?2 la conduc- libilild a esl remplacde par un lenseur) ies polentiels veclcur el scalaire el la /onclion de Bromwich . Si l' aniso-

- + lropie n'esl pas de (~ r~volulion ,,, on l~e possdde ui relation entre le potenliel oecleur A et le polentiel scalaire (P gdndralisanl celle de Lorentz, ~7i [onclion de 13romwich. S ' i t g a une auisolropie de r~volulion o:~ aa est la

conduclibi[ild horizonlale el a , la conduclibilil~ verticale, il devienl possible de lrouver A sat is faisanl &

div A § r -- O, el deux [onclions de Bromwich (ondcs E el ondes H ) . A u c u n e op&alion effectu& & la verlicale d 'une source ne peut mellre cn dvideitce aulre chose que aH. E n f i n si une oude plane se propage dans

un tel mi l ieu , le champ magndlique H est normal d l'axe de r~volulion.

PLAN. - - 1 : Introduction. �9 2 : P o t e n t i e l s s c a l a i r e e t v e e t e u r en r d g i m e s t a t i o n n a i r e 2.1. Rappe l de quelques r&ullats cu mi l ieu isotropc; 2.2. Polenliel vecteur A d 'un champ ~leclrique dipolaire; 2.3. Mil i eux anisolropes. �9 3 : La f o n c t i o n de B r o m w i c h en r d g i m e s i n u s o f d a l dar ts un m i l i e u a n i s o t r o p e 3.1. Cas g~n~ral ; 3.2. Anisotropie de r&~olution. �9 4 : L e s o n d e s p l a n e s . Conclusion. Bibl iographie (6 r6f.).

1. I N T R O D U C T I O N

La recherche d'~tres math~lnat iques, sealaires ou ____> -____>

vectoriels dont les 616ments E e t H peuven t ~tre d6duits,

a beaucoup facilit6 l ' int6grat ion des 6quations de

Maxwell t an t qu ' i l s 'est agi de mil ieux isotropes.

L 'ob je t du pr6sent article est de voir ce que devien-

nent en milieu anisotrope les notions de potent ie l

vecteur du champ magn6t ique et de fonction de

Bromwich.

On sait que les potentiels ne sont connus qu 'h cer-

taines fonctions arbitraires p ro s ; le domaine des

potentiels possibles sera toutefois r6duit par le principe

de correspondance : toute formule 6tablie en milieu

anisotrope devra redonner les formules connues si

la relat ion lin6aire entre E e t I redevient isotrope.

Par ailleurs, les formules 6tablies en r~gime variable avec le temps doivent redonner celles qu 'on commit

en r6gime continu lorsqu 'on a joute l 'hypoth6se de

statiunnarit6. Les t r avaux classiques l~vent l ' ind~terminat ion du

potent iel vecteur A en in t roduisant la relat ion de

Lorentz. I1 est doric essentiel de voir ce que peut

devenir cette relat ion eu milieu anisotrope.

2. P O T E N T I E L S S C A L A I R E E T V E C T E U R E N RI~,GIME S T A T I O N N A I R E

l ,orsqu 'on 6tudie la r6part i t ion des courants eontinus

dans des milieux coudueteurs, on n'a pas l 'habi tude

de faire figurer le champ magnf t ique dans la descrip-

tion des ph~nom6nes. Nous allons voir pour tan t que

l ' in t roduct ion de H permet t ra de mieux comprendre

ce qui se passe en milieu anisotrope.

[ag,&fieur-conseil '/1 |a SociOt6 d'Otudes et productions Schlumlmrger.

- - 307 - -

2.1 . Rappe l de que lques r6sul tats en m i l i e u i sotrope .

Tout ce qui va ~tre dit dans ee paragraphe se

rapporte h un milieu homog~ne et isotrope, de eonduc- tibilit6 a.

Les 6quations de Maxwell s '@rivent :

t a) rot E = 0 ,

(1) - ~ i b) rot H I ,

c) I = a E .

est la conductibil i t6 du milieu (on n6glige ici les courants de d@lacement) .

Les relations concernant les divergences sont :

a) div E 0, eonsSquenee de (lb) et (lc), (2)

b) div 1 t - - 0 , loi naturelle ind~pendante de (1).

Les potentiels habituels sont :

I a) q~, potent ie l d'ofl d6rive E :

a) E = - - g r a d q ) ,

b) A, potent iel vecteur d'ofl ddrive H :

I b) 11 = rot A .

2 / 5 j . LOEZ

- + U n po ten t i e l vee teu r A est d6fini h u n g r a d i e n t pr~s. D ' u n e fa$on qui se r6v~lera que lque peu a rb i t r a i r e

q u a n d il s ' ag i ra de mi l i eu x anisot ropes , on adop te __+

une d6f in i t ion de A sa t i s fa i san t h la re la t ion de Loren tz

qu i s '~erit ici :

(4) d iv A + ~(I) = 0.

N o t o n s t o u t de suite que l ' express ion classique [1] :

(5) AH ( xy z ) -- 4 ~ jJj ~/(x_~)~+(g_~)2+(z_~)~ '

n ' e s t p a s celle qui sa t i s fa i t h (4). E n effet, on sal t que : --->-

(6) A A H ( X g Z ) - - - - I (xgz ) .

De ( lb) et (2b), nous t i rons :

(7) rot . ro t Az~ = grad. d iv A u - - A A u - - I .

La c o m b i n a i s o n de (6) et (7) d o n n e :

(8) grad. d iv A u - - O,

d 'oh :

(9) d iv A H cons tan te .

Ceci est i n c o m p a t i b l e avec l ' d q u a t i o n (4).

2 . 2 . P o t e n t i e l v e c t e u r

t r i q u e d i p o l a i r e .

A d'un champ 6lee-

P r e n o n s e o m m e source u n dip61e 61eetrique ver t ica l de m o m e n t M = I d ( I c o u r a n t in ject6 en t re 2 6lec- t rodes d o n t la d i s tance est d). Nous p renons la l imi te lorsque d--)- 0 et I - + ~ de fagon que I d reste 6gal h

M. E n coordonn6es cy l indr iques z?q), on a :

a) (O -- 4 n 6 ~z '

(lO)

- - 3 1 b) E z = ~4 7~a

- - 31 e) Iz = 4 x

off & = z 2 + 9~.

d'ofl :

~22

- - M Ep - - 47 :6

52 ~Z2

5

5z39

I~ - - 4 1 bz~p

L ' a p p l i e a t i o n de ( lb ) se fai t au m o y e n du th6orbme

de Stokes :

(11) 2xt~ t t ~ = f~ Iz f~dpd~. cercle de r a y o n p

E n s u b s t i t u a n t dans (11) la va l eu r de I z t ir6e de ( lc) et en i n v e r s a n t l ' o rdre des in t6gra t ions , il v i e n t :

- - M ~2 ~ o o P odg ~ (12) 2 x p H ~ - - 4 ~ - - 27: ~ r '

- - 31 p (13) H , 4 ~ r ~ - "

C 'es t la seule e o m p o s a n t e du c h a m p m a g n 6 t i q u e , et

l ' on v6rifie qu 'e l le sa t is fa i t h ( lb ) e t (lc).

[ANNALES DES TI~LECOMMUN|CATIONS

r e d o n n a n t Hv de (13) pa r (3b) est :

M - ~ \ Az 4 x r '

! (14) A tel que A~ = O,

t A~ O. Puis :

(15) d iv A -- 47: ~z - +

Cet te fois-ci, A sat is fa i t h la r e l a t ion de Loren tz (4). No tons que ce r6su l t a t se g6n6ralise, e t v a u t pou r n ' i m p o r t e quel sys t~me de sources, qu i p e u t t o u j o u r s se d6eomposer en sources dipolaires.

2 . 3 . M i l i e u x a n i s o t r o p e s .

La re la t ion (lc) doi t 6tre remplae6e pa r la r e l a t ion matr ic ie l le :

(16) [I] = [(~] [ E ] ,

off eet te fois les vee teurs E et I son t repr6sent6s sous la forme d ' u n e ma t r i ee eolonne.

2.3.1. La relation de Lorentz .

Avec u n sys t~me d ' axes que leonques , la ma t r i ce 6 a u r a r 9 te rmes , mais en p l a s les 3 axes de coor- donn6es car t6s iennes le long des ~, d i rec t ions propres ~>, nous p o u v o n s 6crire, sans perdre de g6n6ral i t6 :

,~-ax 0 0 ~

(17) o o I" ~__0 0 a ~

E d6pend encore d ' u n po ten t i e l ~ , h cause de ( l a ) , mais ce po ten t i e l n ' e s t pas h a r m o n i q u e . E n effet,

-__>

l ' 6 q u a t i o n d iv I = 0 s '@ri t m a i n t e n a n t :

(18) ( ~ x ~ + ( ~ y ~ - + cz 32 ~ - -- 0 .

P a r exemple , une so lu t ion a y a n t u n p61e fi l 'or ig ine est :

1 (19) (I) =

X 2 y2 Z 2

La t r a n s f o r m a t i o n X 2

(Yx

(20) .q2 fly

2 2 ~ 2

p e r m e t de r6soudre (18) an m o y e n des solut ions eon- nues de l ' 6 q u a t i o n de Laplace .

Voyons m a i n t e n a n t si la r e l a t ion de Loren tz (4) p e u t 6tre ~ tendue au eas pr6sent , en p r o f i t a n t du fa i t

que A n ' e s t eonnu q u ' h u n g r a d i e n t pr~s. Cer ta ins au t eu r s [2] on t propos6 :

(21) grad. d iv A + [a] g rad (I) 0 ,

- - 308 - -

t, 25, n ~ 7-8, 1970] P O T E N T I E L S E L E C T R O M A G N I ~ T I Q U E S E T R E L A T I O N D E L O R E N T Z

( aucune fo rmule m e t t a n t en j eu d iv A , [~] e t O ne p e u t

~tre envisag6e) .

La re la t ion (21) n ' e s t pas possible : en effet, p r enons

le r o t a t i o n n e l du Ier m e m b r e . Cela donne :

( 6 z - - 6 y ) bg~)Z - - 0 ,

(22) I (6x - - az) ~z~x - O ,

f ~2 0 ( 6 u - - 6x) ~x~g - O .

Si les a sont tous diff6rents , les 3 d6r iv6es par t ie l l es

du second ordre de (I) s ' anuu l en t , et la so lu t ion de (22)

est :

( ~ = f(x) § g(g) + h ( z ) , &of f :

Ex = Ex(x) , (23) ~ E y = E y ( g ) ,

E z = Ez(z) ;

puis :

(24)

I x = I x ( x ) ,

Iy ly(g) ,

Iz = Iz(z) .

L ' ~ q u a t i o n de con t inu i t6 d iv I -- 0 d e v i e n t :

Ix(x) ~ Iy(g) b Iz(z) - - ~ 0

~x + ~g bz '

qui n ' e s t possible que si :

I x = K z x , ( K z K y K z cous tan tes ) .

l y - - K y g ,

I z ' K z z ,

et si O est une c o m b i n a i s o n l in~aire de xgz .

U n tel r~gime est p h y s i q u e m e n t i r r6al isable, car il

ne c o m p o r t e r a i t aueune source. D ' a i l l eu r s F. B a r d a t i

e t A. Salsano on t d6jh signal6 l ' e r r eu r [31 .

U n e au t r e fo rmule p ropos@ [41 6 ta i t :

(25) d iv {[6] - I [A]} § �9 = 0 .

Nous ve r rons tou te fo i s que ce t t e r e l a t ion ne s ' a c c o r d e

pas avec la so lu t ion 6tudi6e au p a r a g r a p h e s u i v a n t .

2 . 3 . 2 . C h a m p d i p o l a i r e .

I.e sys t~me (22) cesse d ' i m p o s e r le sys t6mc (23)

si d e u x des va leu r s 6x 6y az son t ~gales. L ' e s p a e e

an i so t rope poss~de alors une sym6t r i e de r6vo lu t i on

a u t o u r d ' u n axe q u e notls p r e n d r o q s c o m m c axe

des z. Alors :

- - G H 0 0 --'-

(26) [63 = o 6~ o |. _ 0 0 Gv

L ' 6 q u a t i o n d i v I 0 cn t r a ine :

( (b2*__ 1 b(l) ') ~ 2 , (27) GH \ ~ 2 + p bp , w c v ~z2 - O.

Les 616menls de ealcul du cha inp or06 par le dip61e

6tudi6 au w 2.2 son t donn6s par :

3 / 5

(2s)

avec :

(29)

a) c ~ _

b) i~z = -

C) Iz 4 7~ ~ ' GH

~ / 6 H ~ ~z 4 TC

- - 3 I 3 ~ / 322 ' 4 ~z ~ 6 H 6 V

/ 6 v ~" ~z 2

&off par app l i ca t i on du th6or6me de S tokes :

d) t f ~ -- 4 7= Sa , Hp = H z = O ,

GH SZ = ~2 + z'~.

6V

On p e u t v6rif ier que H , darts (28 d) est le r o t a t i o n n e l de :

_ + A z - - 4 x aV S ' (30) A tel q u c ,

I Ao O,

A~ 0 .

Ce p o t e n t i e l - v e e t e u r sa t i s fa i t h la , r e l a t ion de

L o r e n t z ,~

(31) d iv A + GHU -- O.

N o t o n s de plus la v a l e u r que v a p r end re E z s u r

l 'axe (9 -- 0). C 'es t , en e f f ec tuan t (28b) et en y f a i s an t

p = 0 :

- - 3I (32) E z ( ~ = O) -- 27~ 6HZ ~- "

T o u t e s les m e s u r e s q u ' o n p o u r r a / a i r e s u r u n axe ver t i ca l

p r o l o n g e a n l le dip61e c o n t i e n d r o n t aH s e u l e m e n t .

C'es t lh ce q u ' o n appel le le ~ p a r a d o x e de l ' an iso-

t r op i c ~.

Coinme [6] est une m a t r i c e d iagona le , e t c o m m e A

n ' a que la c o m p o s a n t e A z , on a dans (25) :

A z

E 6 ] - ' I A ] / ~ '

L 0

et (25) d o n n e r a i t :

d iv A 4- 6v(1) 0 , au l ieu de (31).

La conclus ion h laque l le nous I )arvenons , h la su i te

de l ' e x a m e n du cas s t a t ionna i r e , est l ' imposs ib i l i t t~

de concevo i r une r e la t i on m a t r i c i e l l e r e m p l a c a n t d a n s

les m i l i e u x a n i s o t r o p e s l ' d q u a t i o n de L o r e n t z .

3. L A F O N G T I O N D E B B O M W I G H E N R ~ G I M E S I N U S O I D A L

D A N S U N M I L I E U A N I S O T R O P E

Le d 6 v e l o p p e m e n t de B r o m w i c h [5] est pa r t i cu -

l i~ remen t u t i le en ce sens qu ' i l d i spense d '6c r i re

e x p l i c i t e m e n t la r e l a t ion de L o r e n t z : les c h a m p s se

d6du i sen t u n i v o q u e m e n t de la fonc t ion U. N o u s

- - 3 0 9 - -

4/5

al lons t rouver , en s u i v a n t pas fi pas les calculs classi- ques et en les a p p l i q u a n t au mi l ieu an iso t rope , u n e imposs ib i l i t6 ana logue h celle du w 2.3.1.

3.1. Cas gbnbral.

A d o p t o n s le sys tbme de coordonn6es ca r tbs iennes , off ~ est la ma t r i c e donnbe pa r (17). Les 6 qua t i ons

de Maxwel l s ' bc r iven t :

bEz bEy a) by bz -- ~o)j H x ,

bEx bEz b) bz ~x -- Ezo~j H y ,

bE u bEx c) bx by ~o~j Hz ,

(33) bH z bHy

d) -- Ix = (~x E x , by bz

bHx bHz e) bz bX -- Iy = (~y E y ,

b I Iy bH x [) bx by Iz = (~z E z .

Reehe rchons la (, so lu t ion 61ectrique en z ~), c'est-'h- dire celle qui ne conl ient pas de composante H z .

L ' b q u a t i o n (33c) d ev i en t :

b e y bEx (34) bx by

Cela signifie que les composan te s E y et E x se dbdu i sen t

d ' u n scalaire P :

: b P

i by ' E y

(35) b e

E x - bx

Les 6qua t ions (33)d et (33)e d o n n e n t :

L{ - - bHy b P

(36) 1 bz -- (~X-bx ' bHx b P

bz -- ay b~-

Posons encore :

b U (37) P 3Z '

d o n c :

- - b H y b 2 ( "

bz bxbz ' Gx

(38) i bHx b2U ! bz -- t~y Oybz "

On 61imine les so lu t ions qui ne d b p e n d e n t pas de z,

d 'ofi :

t b U t t y = - - ax ~X '

(39) I b U

Hx = (~y

A par t i r de (35) combin6 avec (37), nous t i rons

E x et Ey du scalaire U :

b 2 ~7 Ey = ,

bybz (40)

b2U i E x -- bxbz "

- - 310

J . LOEB LANNALES DI~S TL.'Ls

E n mi l ieu isotrope, on o b t e n a i t le m b m e Ez en repor- t a n t les va leurs des E et H tirbes de (39) et (40), indif - f b r e m m e n t darts (33 a) ou (33 b). M a i n t e n a n t , (33 a) d o n n e :

bEz b a U b U by bybz 2 ~LO)j fly by '

&off, en 6ca r t an t les so lu t ions qu i ne d b p e n d e n t pas

d e y : b2U

(41) Ez -- 572 ~Z(Oj Gy U .

P r e n o n s m a i n t e n a n t (33 b) :

bEz 53 U b U bx -- bxbz 2 ~r ax bx '

d'ofl , en 6 c a r t a n t les so lu t ions qu i ne d b p e n d e n t pas

d e x : b2U

(41 bis) Ez -- bz 2 ~o)j ax U .

Si ay ~ a x , (41) et (41 bis) ne peuven t pas gtre

vraies en m~me temps.

3.2. Anisotropie de r6volution.

3.2.1. Ondes E.

Supposons m a i n t e n a n t ~x -- ay ~ ~H, en 6c r ivan t sz = s v . Les 6qua t ions (41) et (41 bis) d o n n e n t :

b2U (42) Ez = bZ 2 -- ~ o ) j ffH U .

P a r ail leurs, la formule (33 [), off l ' on r e m p l a c e

t t x et H y par leurs va leurs t irbes de (39) donne :

(43) Zz - ( b2V ~v ~ bx 2 + ~ / '

et en r a p p r o c h a n t (42) et (43) :

(44) ( ; H ( b 2U b 2U ~ b 2U U = (~V \ - - ~ - ~- 5Y 2 / + bZ2 --~L(THO)j 0.

L ' b q u a t i o n des ondes p lanes se p r o p a g e a n t le long

de Oz d o n n e r a i t : b2U

(45) bz 2 [I,r U 0 ,

Seule (rH intervient darts ce cas.

3.2.2. Ondes H.

De la mbme fa(~on, supposons E z : 0 :

(33 / ) donne : bll:~ bHx

bx by '

d'ofl : bQ b 2 V

H y -- by -- bybz '

bQ b 2 V

H x = bx -- bxbz "

(33 a) et (33 b) d o n n e n t :

b E y b 2 V

bz -- -~ y.o.)j bxbz '

bEx ~2 V bz -- - - ~.toj bybz '

1. 25, n ~ 7-8, 1970]

3V Ey = ~0~] b.r '

b V Ex ~ - - y.o~j b!]

P O T E N T I E L S E L E C T R O M A G N E T I Q U E S ET R E L A T I O N DE LORENTZ 5 / 5

magndlique esl conlenu darts le l)lan normal ~ l'a.re

et' anisotropie.

(C 'es t un cas- l imi te . Lo r sque ax et ay sou t peu

diff6rents , Z s '6car te peu du p lan E I.) (33 e) donne :

bHz b 3 V b V 5x -- 5~.5Z2 r 5X

d 'of l :

b2V Hz -- bz 2 - - ~aHr V ;

(33 c) donne : b2V b2V

- - y.o.)jHz = y,6oj bx 2 + ~zr btj2 ,

e t

52V b2V b2V (46) bx 2 + ~y2y2 + bz 2 (~H~O3j V = O.

Ici encore fl'H i n t e r v i e n t seule.

4 , L E S O N D E S P L A N E S

Le l ivre de L a n d a u

t ions d ' o r t h o g o n a l i t 6

(47)

e t L i f sch i tz [6] donne les re la-

su ivan t e s :

E . H = O ,

k . H = 0 ,

I �9 H = 0 ,

k . I = 0 ,

de p r o p a g a t i o n de l ' o n d e p lane , od k est la d i rec t ion

d o n t la phase est :

(48) ~ -- j(r - - (kzx + kug + k z z ) ) .

Nous avons v6rifi6 ctue ces r e l a t ions son t aussi

va lab les pour des ondes p lanes a y a n t la po l a r i s a t i on

e l l ip t ique la plus g6n6rale. Nous avons a jou t6 le

d 6 v e l o p p e m e n t su ivan t , va l ab l e dans le cas off l ' an i -

so t ropie a d m e t une sym6t r ie de r 6 v o l u t i o n de p61e Z.

F o r m o n s le t r ibdre Z I E , qui a pour v o l u m e le

d 6 t e r m i n a n t :

0 0 1

(49) A = Ex Ey Ez ,

Ix Iy Iz

ce d 6 t e r m i n a n t est nu l si ~x = ay. D o n e :

(50) I , E et Z sont coplanaires & lous les inslants.

De (47), on d6dui t que :

(51) E k 1 sont coplanaires (de p61e H).

A cause de (50), Z v i e n t se p lacer dans ee p lan . D o n e :

(52) E, k, I Z sont coplanaires (p61e H).

D o n e �9 H . Z -- 0.

Nous a r r ivons ainsi au r6su l t a t s u i v a n t : le champ

5 . C O N G L U S I O N

Alors que la f i l ia t ion : fonc t ion de B r o m w i c h ,

po ten t i e l s v e c t e u r et scalaire, c h a m p s E et H est

connue depuis un si~cle, des difficult6s o n t surgi

l o r squ 'on a vou lu a p p l i q u e r ces no t ions a u x m i l i e u x

an iso t ropes . E n pa r t i cu l i e r les che rcheur s o n t essay6

d '6cr i re des r e l a t ions en t re les po ten t i e l s v e c t e u r e t

scalaire en 6 t e n d a n t ~ de tels m i l i e u x l ' 6 q u a t i o n de

Loren tz . D6jh, m e m e en s u p p o s a n t az = ~ u , ce r ta ins

au t eu r s [21 on t 6crit une r e l a t ion con t r a i r e a u x 6qua-

t ions de Maxwel l , e t d ' a u t r e s [3] en on t signal6 l ' e r reur .

A u c u n e t e n t a t i v e n ' a 6t6 fai te , fi no t r e conna i ssance ,

c o n c e r n a n t les po t en t i e l s v e c t e u r e t scalaire dans lc

cas g6n6ral. Nous avons m o n t r 6 ici pour quo i il en

est ainsi : la m 6 t h o d e de B r o m w i c h qu i a v a i t pu 6tre

~ tendue au cas off az = ~v, ne p e u t plus l '~ t re dans

le cas g6n6ral. Nous pensons qu ' i l n ' y a pas d ' a u t r e

m o y e n que de r enonce r h fa i re d6r iver les c h a m p s

E , H d '6 t res m a t h 6 m a t i q u e s plus s imples et p lus

e s th~ t iques et d ' in t6gre r , darts chaque cas 6tudi6, les

6qua t ions de Maxwel l .

REMERCIEMENTS. - - Je remercie la Soeidld (~ Eludes

el Produclions Schlumberger ~ d'avoir aulorisd la

publicalion de ce travail.

Manuscr i l recu le 13 novembre 1969.

B I B L I O G R A P H I E

[1] DURAND (E.). Electrostat ique et magndtostat ique, Masson, Paris, (1953), 77~ p.

[2] CHAWLA (B. R.), RAo IS. S.), UNZ (H.). Potential equations for anisotropic inhomogeneous media (Equa- tions du potentiel pour les milieux anisotropes et in- homog6nes). Proc. I .E .E .E . , U . S . A . (mars 1967), 55, no 8, pp. ~21-r

[3] BARDATI IF.), SALSANO (A.). Comment on Potent ia l equations for anisotropic inhomogeneous media (Com- mentaire sur (( les 6quations du potentiel pour les milieux anisotropes et inhomog6nes). Proc. I .E .E .E . , U . S . A . (juin t968), 56, n ~ 6, pp. 1126-1127.

[4] NISBET (A.). Electromagnetic potentials in hetero- geneous non conducting medium. Proc. R. Soc., G .B . (1957), 240, no 4, pp. 375-381.

[5] ANGOT (P,). Compldments de mathdmatiques h l 'usage des ingdnieurs de l '61ectrotechnique et des tdldcom- munications. Editions de la Revue d'Optique, Fr. (1965), 862 p.

[6] LANDAU (L. D.), LIFSHITZ (E. M.). Electrodynamics of continuous media (Electrodynamique des milieux continus. Pergamon, Oxford, G.B. (1960), 417 p.

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