Sur une théorie des répétitions des appels téléphoniques

S U R U N E T H I ~ O R I E D E S R ] ~ P I ~ T I T I O N S D E S A P P E L S

par

t ' ierre LE (]ALL,

lng6nicur en ('her des t61dcommunications *

T I ~ L I ~ P H O N I Q U E S

SOMMAIP.E. - - Olz expose tree th~;orie dtz lrafie b!l(phoniqt~e letuml compte dtt ph~nom~!ne des rdpdtitiotzs d'appels <, ine[fieaees ~. ()it compare avee les rdsaltals de l'expt;rienee el l'on examine les consequences sur le ealeal des

r~seaux t(b!phoniqaes.

I)LAN. - - �9 I : lnlrodueliom �9 II : Hypotheses et notations �9 III : Th~.orie math~matique A) Etude des tra/ics ficti/s de rdpdlition Ti (x) ; B) Ddcroissance des probabilit~s d'dchec au x e essai Pz (i) ; C) Eqaalions g~n~rales du systbme ; I)) Cas de r~!seaux sans blocage ; E) Expression asymptotique de 1% (i) ; F) Influence de l'~tat de quasi-saturation ; (;) Cas d'ane pers(w~rance constante : H (x) = H, ( < I). * IV : R~sultats nttm~riqttts et influence des m t t l t i p l a g e s g r a d u ~ s A) Mdthode de r6solution des 6quatio~zs g~ndrales ; B) Rdsultats dans le cas de l'aeeessibilit~ totale ; C) R6sultats darts le cas d'un rdseau sans blocage; D) Rdsul- tats darts le cas de/aisceaux d accds partiel. �9 V : C o m p a r a i s o n avec le tragic rdel A) Observations expdri- mentales en tra/ie r@l ; 13) Appl icat io , d l' observation courante da trafic. �9 VI : Calcul de r~seaux t~ l~pho- n i q u e s ; A) 3l/thode de calc,l du /ait de la quasi-saturation; B) Relation entre le taux d'efficacit~ et la

taxation; C) Slructnre optimale des rdseaax tdldphotHq.es. �9 Conclusion. � 9 (14 r6f.).

I. I N T R O D U C T I O N

Le fait q u ' u n abonn6 t616phonique, ne r6ussissant pas h obtenir sa communicat ion, se livre ~ plusieurs tenta t ives successives, est bien connu des ing6nieurs du t616phone charg6s des questions de trafic.

On sail que la formule c61~bre d 'Er lang ne t ient

pas compte de ce ph~nom~ne. Mats jusqu 'h une 6poque r6centc, on ne disposait gu6re de r6sultats

exp6r imentaux pe rme t t an t de bfitir une th6orie susceptible d'6tre valable.

On peut citer les t r avaux th6oriques impor tan ts de J. W. Cohen [2] et ceux plus r6cents de A. Elldin [3] sur un faisceau de circuits, ce dernier au teur a ya n t toutefois admis des simplifications majcures. La raise en 6quation est, en effet, complexe et aucun r6sultat n ' ava i t pu Otre formul6 sur un r6seau t616phonique, except0 ceux d6duits de l 'exp6rience et pr6sent6s par Wilkinson et Radnik [14].

Dans une publ ica t ion r6cente {6], nous nous sommes at taqu6s h ce probl~me th~orique g~n6ral, en exposant la m6thode clans le cas d 'abonn6s pouvan t r6p6ter leur appel un nombre de fois limit6, l 'uis , .clans une autre communica t ion sur les r6seaux satures [7], nous avons expos6 le cas g6n~ral d 'abonn6s pouvan t proc6der "~ un hombre illimit6 d'essais avec un <, t aux de pers6- v6rance ~ variable suivant le num6ro de l'essai cousi-

d6r6. C'est ce dernier c a s q u e nous allons rdexposer avan t d 'examiner les r6sultats num6riques pratiques.

Pour justifier la th6orie, nous consacrerons un

chapitre h la comparaison entre les r6sultats math6- mat iques que nous obtcnons, et ceux fournis par

l 'exp6rience et d6erits darts la l i t t6rature.

Le pr6sent article n 'es t pas consacr6 /~ l '6 tude de r6seaux particuliers. I1 ne cherche qu 'h exposer et h justifier les fondcments d 'une th6orie nouvelle.

II . H Y P O T H i ~ . S E S E T N O T A T I O N S

Nous consi46rons un rdseau t616phonique quelconque, en 6tat de s ta t ionnar i t6 , off les arrivdes d'appels

sont suppos6es poissonniennes, et off la lot des durdes

de communication est suppos6e queleonque.

Nous prenons pour unit6 de temps la durde mogenne

d'une communication, en ne comprenan t pas son temps d '6 tabl issement h travers le r6seau.

Nous supposons ce dernier temps 6quivalent ~ la

durde mogenne 0 d'un essai inefficace. Cette quant i t6 n 'es t pas n6gligeable, car elle comprend non seulement

le temps de travers6e du r6seau, ou d 'une part ie du r6seau en cas d ' encombrement , mats aussi et sur tout le temps que l ' abonn6 demandeur met ~ raccrocher quand il t rouve l ' abonn6 demand6 absent ou occup6.

Rep6rons chaque courant de trafic par un iudice i,

et d6signons par at le trafic (6valu6 en erlangs) correspondant , offert h l 'origine : at est le [rafic /rats par opposit ion au trafic r6p6t6 un iquemen t consti tu6 d'appcls r@6t6s.

a, est aussi le nombre moyen d'appels frais produits pendan t l 'un i t6 de temps que nous avons d6finie

plus haut .

Dans l 'hypoth~se habituel le d ' u n syst6me & appels

perdtzs, d6signons par Fi (aj) la probabilitd de btocage

gt travers le r~seau, pour le courant de trafic n o i. C'est

* A SOCOTEL, charg6 du service de T61dtrafic eL de Recherche op6rationnelle.

- - 2 6 1 - -

2/21 P. L B

une fonct ion des divers couran ts de t raf ie a 1. Dans not re th6orie, nous ut i l iserons beaucoup cet te fonction, et ce t te no ta t ion condens6e nous pa ra i t commode.

Si nous faisons les subs t i tu t ions :

a 1--~ a I + A a l ,

a 2 --~ a 2 + A a~ . . . . . .

la probabi l i t6 de blocage h t r avers le r6seau, pour le couran t de t ra f ic n o i, s '6crira done s implement :

F~ (aj + A a j ) .

Pour t r a i t e r le cas du t ra f lc avec r6p6t i t ion des appels non servis, nous allons simplif ier consid6ra- b lement la mise en 6quat ion en r a p p e l a n t une propri6t6 i mpor t an t e des processus ponctue ls r6g6n6ratifs.

Consid6rons des ins tan t s d 'a r r iv6e tels que les in terval les successifs soient des var iables al6atoires mutueUement ind6pendan tes et ob6issent ~ la m~me fonct ion de r6par t i t ion .

Consid6rons, en outre, une 6poque quelconque t 61oign6e de l '6poque origine. On d6mont re que l '~ge,

ce t te 6poque, de l ' i n te rva l l e en eours ob6it p ra t i - quement h une fonct ion de r6par t i t ion ind6pendan te de eet te 6poque [5, p. 36]. Cet te fonct ion de r6par t i t ion est d 'a i l leurs exponent ie l le dans le cas d 'a r r ivdes poissonniennes (dont les in terva l les ob6issent donc la loi exponent ie l le , laquel le est la m~me que la pr6c6dente).

Ainsi , un appel qui se r~p~te au bout d'un temps

suffisammenl long v a s e placer entre des appels /rais

comme s'il ~tait lui-m~me un appel /rais.

Dans le cas de grands r6seaux, off la densi t6 d 'a r r iv6e des appels est grande, ce t emps n ' a d 'a i l leurs pas besoin d 'd t re tr6s long. Dans [6], oh nous avons d6crit la s imula t ion d ' u n r6seau c o m p o r t a n t une c inquanta ine de eentres, nons avons t rouv6 que l ' 6 t a t l imi te 6tai t p r a t i q u e m e n t a t t e i n t quand les in terval les de r6p6ti t ion va la ien t p lus de 20 secondes, c 'es t -h-dire le t emps de former une nouvel le lois le num6ro de

l ' abonn6 demand6.

Ainsi, pour les grands r~seaux t~Idphoniques, il est

suffisant d'admeltre la loi de Poisson pour la production des ~poques de r~p~tition.

De cet te r emarque v a r6sul ter une s impl i f ica t ion capi ta le pour les calculs. Nous allons pouvoi r ainsi t r a i t e r le cas de r6seaux quelconques, p r a t i q u a n t 6ventueUement un peu d ' a t t e n t e dans les centres de t rans i t .

De ces consid6rat ions, il s ' ensui t que les lois d ' in te r - val les de r6p6t i t ion n ' o n t p r a t i q u e m e n t pas d ' infiuence. Ce qui compte , e ' e s t l ' ensemble des appels r6p6t6s en prdsence, du f a r de l ' hypo th6se de s ta t ionnar i t6 .

Dans ces condi t ions , nous sommes amends h for- muler seulement deux hypoth6ses pour caraetdr iser le compor t emen t de l ' abonn6 demandeur .

Hypothdse 1.

L'abonn~ demandeur a la m~me r~action devant une situation d'encombrement du r~seau ou devant un

abonnd demandd absent ou occupY.

G A L L [ANNALES DES TELI~.COMMUNICATIONS

Hypoth~se 2.

Cette r~action peut ~lre caract~ris~e par une f o n c t i o n

de p e r s 6 v d r a n c e H (x), probabilit~ pour que l'abonn~,

non servi apr~s x essais, essaye une nouvelle tentative.

Celle [onclion esl supposde ind~pendante du temps, de

l'~tat du Mseau et de celui de l'abonn~ demandS.

L 'hypo th6se 1, li6e au fair que le signal d 'occupa- t ion est en g6n6ral i nd6pendan t de la cause d 'encom- b rement , d6coule des observa t ions d6crites clans [14]. L 'hypo th6se 2 d6coule des observat ions d6crites dans [4].

Pour a d m e t t r e des 6poques de r6p6t i t ion poissonniennes, nous avons 6t6 amen6s h supposer des in ter - valles de r6p6ti t ion de plus de 20 secondes. En fair, pour s implif ier les calculs, nous allons supposer ces in terval les en g6n6ral de plus de 2 minu tes de fa~on

pouvoi r a d m e t t r e p r a t i q u e m e n t l ' i nd6pendance des 6tats de l ' abonn6 demand6 ent re deux essais d ' u n meme abonn6 demandeur . F ina l emen t , nous for-

mulerons une trois i6me hypoth6se .

Hypoth~se 3.

Nous supposons, entre deux essais successifs, l'ind~-

pendance entre les dtats de l'abonnd demandS. Nous d6signerons p a r p la probabilit~ de trouver

l'abonnd demand~ absent ou occupd, lors d ' un essai

quelconque.

Pour un appel du couran t de t raf ic a~, d6signons pa r Px (i) la probabilit~ de se prdsenter au x e essai el

de ne pas $tre serpi. De m~me, d6signons p a r Qx (i) la probabilit~ de se prdsenter au x e essai.

Nous avons la re la t ion :

(1) H ( x ) Px (i) = Qx+x (i).

L a probabi l i td , pour l ' abonn6 demandeur du couran t n o i, d ' a b a n d o n n e r au xe essai v a u t :

[1 - - H (x ) ] P x ( i ) ,

et la probabilit~ d'abandonner au cours des x premiers

essais v a u t :

(2) re,(x) = ~ [1 - - H ( g ) ] Py (i).

L a probabilitd d'abandon v a u t f inalement , pour cet abonn6 du eouran t de t ra f lc n o i :

(a) ~ = ~ [1 - - H (g)] Py (i),

ce qui suppose la s6rie convergente .

Enfln, nous seront amen6s h consid6rer un cer ta in

trafic ficti/ de r6p6t i t ion T~(x), pour le couran t n ~ i, d6fini de la fa~on su ivante . Pour les appels de ce cou- r a n t servis au cours des x premiers essais, nous ne les comptons qu 'une lois chacun. Pour un appe l abandon- n a n t au ye essai (g ~< x), nous le comptons y fois

comme s' i l s ' ag issa i t de g appels ind6pendants .

De mdme, nous comptons pour x appels diff6rents un appel pers6v6rant apr6s Ie xe essai. Enfln, nous comptons pour des appels diff6rents t o u s l e s essais su ivan t le x e.

262 - -

t. 24, n ~ 7-8, 1969j

En fait, T~ (x) est uu nombre d 'appels par unit6 de temps.

En particulier, T i (1) repr~sentc l'ensemble des appels efficaces (*) et ine/~lcaces observ5 daus le central

t61~phonique, sans que l 'on puisse dist inguer les appcls

frais des appels rSpdt~s. C'est ce t te quant i t5 d 'appcls

qui est h t ra i tcr dans les organes de commande du

r~seau. I1 serait donc intSressant de connai t re la

majora t ion :

(4) ~l'~ ( ~ ) / a ~ .

En fait, on observe ais6ment le t a u x d'efficacit6

r t , relat i f au courant n o i. C'est le rapport des appels efficaces at (1 --~xi) 5 l'ensemble T/(1) des appels observds :

a~ (1 - - ~) (5) . ri - T/ (1)

Pour d6duire la quant i t5 (4), il faudra i t done

eonnaitre le poureentage r:t de t raf ie abandonnant ,

ce que nous ne savons pas observer.

Apff~s ces d~finitions et la fo rmula t ion des hypo-

theses, nous pouvons nmin tenan t 6crire les 6quations

du systSme (r6seau -~ abonn~s).

III. TH]~OBIE MATH~.MATIQUE

Remarquons tou t d ' abord que le cas off l ' abonn6

demandeur l imite le nombre de ses t en ta t ives est un

cas part iculier off le t aux de pers6v~rance H (x) devient

nul pour x sup~rieur ou 6gal h cet te l imite. Restons

donc dans l'hgpoth~!se d'un hombre illimit~ de tentatives, avec toute/ois H (x) ~ I pour x assez grand.

H (x) peut 6v idemment 6tre dgal h 1 pour x peti t .

A) Etude des trafics fictifs de r~p~tition T~(x).

Comme les diverses rSp~titions de m~me num6ro

forment un processus d 'arr iv6es poissonniennes, ainsi

que l 'ensemble des rdpdtitions, nous pouvons les

consid6rer globalement comme ind~pendantes les unes des autres ; ce n 'es t ~v idemment pas le cas des r~p~-

t i t ions relat ives it un m6me appel. Mais, pour l '6va-

luat ion de trafics off seul l ' ensemble des appels inter-

vient , cet te d6pendanee entre r~p~titions particuli~res ne eompte plus.

Pour l '6valuat ion des insucc~s, nous allons nous

ramener au module elassique avec appels perdus, en

r e m a r q u a n t qu 'un essai in f ruc tueux quelconque ne

per turbe pas le fonc t ionnement du processus : il

n 'occupe pas le r~seau et les essais suivants sont

encore poissonniens (par r appor t h l ' ensemble des

appels). Su ivant les besoins, cet essai ne sera pas

(*) Appel, efficace , : ayant donn6 lieu h taxation (pour un r6seau t616phonique P.T.T.), c'est-fi-dire h une communication.

Appel ~ inefficace , : n'ayant pas donn6 lieu h taxation (ou h une communication) pour un motif quelconque. Nons ne tiendrons compte, dans la pr6sente 6tude, que des r6pdtitions d'appels. Nous verrons au chapitre V que la proportion de faux num6ros ou de uum6ros incomplets, franchissant la pr6- s61ection, est assez faible et peut-~tre n6gligde devant Tt (1).

s u n U N E T H I ~ O R I E D E S R ~ P I ~ T I T I O N S D E S A P P E L S T E L ~ P H O N I Q U E S 3/21 comptd ou bien sera eompt6 h condit ion de eompter

un refus eorrespondant .

C'est ainsi que, pour ~valuer Px (i), nous sommes

amends h consid~rer, pour le courant n o i, le nombre

d'essais de nnm~ros inf~rieurs ou ~gaux h x fo rmant

un trafic offert donnan t lieu, dans le modSle h appels

perdus, it un trafic refusd eorrespondant en fait aux

essais de num~ros sup6rieurs h x. D~terminons ee

trafic fictif offert.

Un appel servi au cours des x premiers essais

compte pour un seul appel. Un appel abandonnan t

au bout de g essais (g ~ x), compte pour g appels

diff~rents, et donne donc lieu h ( g - 1) appels suppl~-

mentaires. Leur nombre vau t :

( g - - 1) [1 - - H ( g ) ] Pg( i ) .

Un appel non servi au x e essai donne lieu h ( x - 1)

appels suppl6mentaires. Le nombre de tels appels

vau t :

(x - - 1) P~ (i).

Au total , le t rafie eherch6 vau t :

E x-, - -H(g)]Py( i )_] (6) ai 1 § P x ( i ) + ~ ( g - - 1 ) [ 1 ! l=t

En fait, ce t raf ic va venir en concurrence d 'un autre

trafic : celui relat if aux essais de num6ros supdrieurs

h x, va lan t : oo

at • Qy ( i ) . !I--X+1

Le to ta l de ees deux trafies, offert au r~seau, v a u t

done, pour le courant n o i :

[ " ' (7) T l (x ) = at 1 + ( x - - 1 ) Px ( i ) -~ ~ ] ( g - - 1 ) X

y : l

[ 1 - - H ( g ) l P y ( i ) -k ~ Qy( i ) , y=x*l

ce qui suppose la convergence de la derni~re sdrie.

Nous d6duisons la relat ion :

(8) T i ( x -~ 1 ) - - T t ( x ) = a t x [Px+l ( i ) - - Q x + l ( i ) ] .

Or [Qx+l (i) - - Px+l (i)] repr~sente la probabflit~

d 'e t re servi au (x + 1) e essai. C'est donc une quant i t6

positive. De (8), nous ddduisons que la suite T~ (x) est ddcroissante. Si Tt (1) est tint, cet te suite est

born~e : dans ces conditions, Tt (x) tend vers une limite positive, quand x crott ind~finiment.

De (7), nous d6duisons d'ailleurs, pour l 'ensemble

des appels efficaces et inefficaces :

(9) T t ( 1 ) = at 1 + ~] Qy (i) , y=2

ou en posant :

(10) Q1 (i) ---- 1,

o~

(11) T~ (1) = a t ~,, Qy ( i ) . y--I

De m6me, la va leur l imite v a u t :

(12) T~(e~) ~ T~ = a t 1 + ~ ( g - - 1 ) [ 1 - - H ( g ) l P~(i) , y = l

en supposant eet te derni~re s6rie eonvergente.

- - 263 - -

4 /21

B) D6croissance des probabilit6s d'6chec x e essai Px(i).

Posons :

(13) G (o) = 1,

< x

O(.r) = ~ H ( g ) . y = i

Ecr ivons (8) sous la forme :

1 Tl (x) - - T i (x -4- 1) Px (i) Px+l (i) G(x) ai x G (x - - 1) (ix (x)

Le p remie r m e m b r e 6 t an t posit if , la sui te

Px( i ) lG (x - - 1) est d@roissan te , et est donc born6e pa r P1 (i), c 'es t -h-di re p a r 1. La q u a n t i t 6 p r6c6dente t e n d donc vers une l imi te n o n n6ga t ive :

(14) L i m x - ~ Px (i)

(~ ( x - 1) - - L l ~> O.

Nous ver rons p lus loin que cet te l imi te est nulle . No tons que :

Px (i)/G (x - 1),

est la probabilitd d'avoir les x premiers essais in/ruc- tueux, pour u n appe l pe r s6v6ran t du c o u r a n t n o i. Le r6su l ta t p r6c6dent est donc i n tu i t i f : il t r a d u i t

le fa i t que l'abonn~ arrivera d :lre salisfait s'il persdv~re

sulfisamment.

Ainsi , d 'apr~s (14), Px (i) a une ddcroissanee expo- nentielle. I1 s ' en su i t que les s6ries, dans les r e l a t ions (7), (9) et (12), son t eonvergen tes .

C) Equations g6n6rales du systbme.

E v a l u o n s de deux fagons diff6rentes le trafic (!could relati[ aux appels dtablis au cours des x premiers essais, dans le cas du mod61c fictif h appels perdus , et pour le c o u r a n t n o i.

I1 p r o v i e n t du t raf ic offert, d6fini pa r l ' express ion

(6), laquel le p e u t encore s '6crire, compte t e n u de l ' express ion (7) :

(15) Tt (x) - - at E Qy (i). y- -x+t

D a n s no t r e mod61e fictif, u n p remie r cas de blocage eonsiste h t r o u v e r l ' a b o n n 6 d e m a n d 6 a b s e n t ou occup6 : p robab i l i t6 p.

L ' a u t r e cas de blocage consis te h t r o u v e r le r6seau encombr6 . N o t o n s qu ' i l est eneombr6 n o n seu l emen t

pa r le t ra f ic fictif offert T~ (x) d6fini pa r la re la t ion (7),

ma i s aussi pa r le trafic inefficace 0 Ti (1), c o r r e s p o n d a n t aux t emps de s6jour, dans le syst6me, des appels

ineflicaces et aussi des appels efficaces d u r a n t le t emps

de leur 6 tab l i s sement . D 'apr~s nos no ta t ions , la probabi l i t6 de blocage c o r r e s p o n d a n t e vaut, pour le c o u r a n t n o i :

0 6 )

Posons :

(17)

F t ( T j ( x ) -k O T : (1)).

q = l - - p .

1'. LE GALL

an

[ANNALES I)E~ TI~:I~:COMMIINICATION~ ',

La probabi l i t6 r6 su l t an t e tie non-b locage v a u t f i na l emen t :

q[1 -- lq (Tj (.r) + 0 "rj (1))1.

Une premit~re express ion du t raf ie 6eou16 cherch6e est donc :

-Ti ( x ) - q (x) + 0 T : (1)) 1. (18) ai E Qy(i) [1 - - l"i('l'j y = x + | l

U n e au t re express ion consis te ~ r e t r a n c h e r au t raf ic offert <, frais ~> a i , le t raf ic n o n servi au x e essai

[ai Pz (i)], et celui ayant 6t6 a b a n d o n n 6 au cours des (x - - 1) premiers essais : ai 7:i (x - - 1), q u a n t i t 6 d6finie pa r la r e l a t ion (2). Not re t ra f ic 6cou16 a donc aussi pou r va l eu r :

(19) ai [1 - - l ' , ( i ) - - 7 ~ i ( x - - 1)1.

E n 6ga lan t les express ions (18) et (19), nous o b t e n o n s les ~quations g~ndrales dn systdme, pour x = 1, 2 ... :

U = x + l

0 T : (1))] = a~ [1 - - Px (i) - - ~ ( x - - 1)1 �9

R a p p e l o n s que Tl (x) et ~i ( x - 1) son t d6finis

r e s p e e t i v e m e n t pa r (7) et (2). E n outre , r appe lons que F~ est une fone t ion , p o u r le e o u r a n t n o i, des diverses var iab les :

T:(x) + 0 T: (1),

off ] p r e n d tou tes les va leurs possibles. I1 p e u t 6tre u t i le d '6er i re les ~qua t ions (20) sous

la forme s u i v a n t e :

(21) 1 + ( x - - 1) Px( i ) -~- ~ ( y - - 1 ) [ 1 - - H ( y ) ] P y ( i ) • . q : t

[p § q F t (T: (x) + 0 T j (1)) l .v--t

: - x Px (i) q- E !] [1 - - H ( g ) ] Py ( i ) . .tl=l

Ces deux m e m b r e s repr6sentent d 'a i l leurs le t raf ie

n o n servi (au cours des x premiers essais) darts no t r e mod61e fictif ~ appels perdus , oh u n appe l a b a n d o n n a n t au ye essai (y < x) c o m p t e pou r Y appels refus6s.

Cas parliculiers.

1. x = 1.

L ' 6 q u a t i o n (21) d e v i e n t :

(22) P l ( i ) = p A- "q F / ((1 -~- 0) Ty (1)).

A u t r e m e n t dit , pour l' observation exp&imentale

par l a n c e m e n t d ' appe l s d 'essais n o n r6p6t6s (en p lus

des appels n o r m a n x ) , tout se passe comme si le rdseau

recevait des trafics o//erts (1 + 0) T j (1) obdissant au moddle habituel d 'Erlang & appels perdus. De lh

l ' e r reur hab i tue l l e c o n s i s t a n t h aff irmer que la formule d ' E r l a n g est b i en v6rifi6e e x p 6 r i m e n t a l e m e n t !

2. x inf iniment grand.

Q u a n d x eroi t i n d 6 I i n i m e n t , r appe lons que Ti (x) t e n d vers 'Ft (o0) = Tl , d6fini pa r l ' express ion (12).

- - 2 6 4 - -

t. 24, n ~ 7-8, 1969]

L'6qua t ion (20) devient alors :

(23) T~ q [1 - - IQ (T~ + 0 T~ (1))] a~ (1 - - 7~).

Le deuxi~me membre n ' es t au t re que le trafic

efficace. Si 0 = 0, tout se passe pour l'occupation du rdseau,

comme s'il recevait des trafics o[[erts T~ lels que, clans le module ficli/ d appels perdus, les trafics ~coul~s prennent des valeurs dgaIes d :

(24) a~ (1 - - 7:0]q.

Nous verrons plus loin comment les quant i t6s n~ et Ti (1) d6pendent des propri6t6s du r6seau en 6tat de quas i -sa tura t ion . Pa r contre T i , d6fini pa r l '6qua- t ion (23), d6pend du compor t emen t du r6seau en r6gime normal . Cette derni6re quant i t6 est donc moins s table et, pa r suite, moths in t6ressante h consid6rer.

Au chapi t re IV, nous d@rirons comment proc6der pour la r6solution num6rique des 6quat ions g6n6rales (20). Examinons tou t de suite un cas s imple : celui off il n ' y a p a s de blocage dans le r6seau.

D) Cas de r6seaux sans b locage .

Seul l ' abonn6 demand6 provoque un blocage pa r son absence ou son occupat ion, dans le module fietif h appels perdus. Nous avons : F i ~ 0. La re la t ion (22) devient :

(25) lh ( i ) = p .

L'6qua t ion g6n6rale (21) devient m a i n t e n a n t :

1 + ( x - - 1) q (26) Px+l (i) = H (x) Px ( i ) .

l §

D'ofl, en mu l t i p l i an t membre fi membre les re la t ions co r respondan t ~ x = 1, 2, ... :

P (27) �9 Pz = 1 + ( x - - 1) q G ( x - - 1 ) .

Rappe lons que G (x) est d6fini pa r l ' express ion (13). Nous voyons, dans ce cas, que la l imi te L~ d6finie

pa r (14) est nulle.

L 'express ion (11) nous donne ensu re , compte tenu de (1), pour l ' ensemble du t raf ic efficace et inefficace du couran t n o i :

(28) T~ (1) = al ~ P G (x) . x=o 1 + ( x - - 1) q

L'6qua t ion (3) fourni t l ' express ion de la probabilitd d'abandon :

(29) 7: = P x_~ 1 + ( x - - 1 ) q

L '6qua t ion (23) donne :

(30 ) "h -

OU encore :

(3t) Tl = at X

~=~ 1 + ( x - - 1 ) q

SUR U N E THI~ORIE D E S Rt~Pt~TITIONS DES A P P E L S TI~LI~PHONIQUES 5/21

[G ( x - - 1 ) - - G ( x ) ] .

Enfin, de la re la t ion (5), nous d6duisons le taux

d' efficacitd :

P (; ( x - - 1) x=l 1 + ( x - - 1 ) q

(32) �9 r = 1 ~ P G (x) x=o 1 + ( x - - 1 ) q

A u t r e m e n t dit , d~s qu 'un r6seau pr6sente un peu de blocage, son t a u x d'efficacit6 est ce r t a inement inf6rieur h la va leur pr6c6dente. De m~me, le t raf ic global observ6 T/ (1) devient sup6rieur h l ' expression (28).

Ainsi, les expressions (28) et (32) repr~sentent respec-

tivement des bornes infdrieures pour T~ (1) el sup~rieures pour r, dans le cas d 'un r6seau habi tuel .

L 'express ion (27) nous d6finissant la d@roissanee de Px (i), examinons- la m a i n t e n a n t dans le cas d 'une fonetion F l queleonque.

[G ( x - - 1 ) - - G (x)].

E) E x p r e s s i o n a s y m p t o t i q u e de Px(i) .

Ret ranehons membre h membre deux 6quat ions suecessives (20), eor respondant r e spec t ivement (x + 1) et x. Tenons compte de la re la t ion (8). Nous t rouvons , apr6s quelques t r ans format ions :

(33) (1 + x q [ 1 - Fl (Tj (x + 1) § 0 Tj (1 ) ]}•

Px+l (i) = {1 + ( x - - 1) q [1 - - F~ (Tj (x) 4-

0 T 1 (1)]} H (x) Px (i) - - (I)l (x ) ,

avec (34) :

qh (x) = q 1 + y ~ ( u - - 1) [ 1 - - H ( y ) l P~ ( i ) �9 y=t

[Fi (T I (x) + 0 T 1 (1 ) ) - - F~ (T i (x + 1) + 0 T I (1))1.

La suite T] (x) 6 tant d6croissante, et la fonet ion F~ (T) 6 tant croissante en fonet ion de T, la quant i t6 qh (x) est posi t ive. Posons :

G ( x - - 1) (35) Px (i) = h (x) 1 + (x - -1 )q [1- -F~(Tj (x) + 0Tj(1))]

En p o r t a n t ce t te expression dans l '6quat ion (33), nous t rouvons que la suite h (x) est d6eroissante quand x eroit. Pour x = 1, nous avons : f l (x ) = P1 (i) ~< 1.

D'ofi les in6galit6s : G ( x - - 1)

(36) Px (i) < P1 (i) 1 § [1--F~(Tj(x) + 0 T j ( 1 ) ) ] '

P1 (i) G ( x - - 1) <

l + ( x - - 1 ) [ 1 - - P l ( i ) ]

La derni6re in6galit6 p rov ien t de la su ivante :

P~ (i) ---- p + q Ft ((1 + 0) Tj (1)),

> p + qF~ ( T / ( x ) + 0 T t (1)) .

Si nous comparons cet te derni6re in~galit6 (36) avec (27), nous d6duisons que la suite Px (i) d6croit plus r i t e que s'il n ' y ava i t pas de blocage dans le r6seau, h condi t ion de supposer la subs t i tu t ion :

(37) P ~ P l ( i ) .

Ainsi, la suite non n6gative d6croissante f~ (x) est l imit6e sup6r ieurement pa r 1. Elle t end donc vers une l imi te K~, pos i t ive ou nulle. Comme Px (i) est

- - 265 - -

6/21 1'. L E

cer ta inement sup6rieur /~ ce que nous t rouver ions s'il n ' y ava i t pas de blocage dans le r~seau, l ' express ion (27) nous pe rme t d 'a f l i rmer que Ki est positi/.

Fina lement , pour x grand, nous avons :

G ( x - - 1) (38) . Px(i) ~ E l 1 + (x - -1 )q [ 1 - - F l ( T l ( x ) +0T1(1))]"

Kt est ma lheu reusemen t diflicile h d6terminer . Quand x croi t ind6finiment , nous t rouvons , en

t enan t compte de l ' 6qua t ion (23) :

Tt G ( x - 1) Px (i) ~ Kt

at (1 - - ~ ) x

Ainsi, la l imi te (14) peu t ~tre pr@is6e pa r la l imi te suivante :

Px (i) (39) . Limx--->~o x -- K ' l > 0 ,

G ( x - - 1)

off K'~ est un nombre positif . Nous allons m a i n t e n a n t essayer de pr6eiser la

va leur de Px(i) pour x faible, t ou t au moins quand le t a u x d'effleaeit6 est assez faible.

F) Influence de l'6tat de quaai-aaturation.

Quand le t a u x d'efficacit6 est assez bas, le t raf ic global observ6 T~ (1) pour le couran t n o i est re la t i - vement dlev6. I1 s ' ensui t que les quant i t~s Tt (x) pour les premieres valeurs de x sent aussi dlev6es.

D'apr~s (22), P1 (i) se d6dui t du blocage observ6 dans le r~seau pour le t raf lc 61ev6 (1 + 0)T~ (1). D'apr~s la re la t ion (8), nous voyons donc que les probabi l i t6s Px (i) sent aussi r e l a t ivemen t 61ev6es pour les premieres va leurs de x.

Les expressions (11) et (3) m o n t r e n t que les quant i t6s Tt (1 ) / a i et x~ d6pendent essent ie l lement des premieres valeurs de Pt (x). D 'apr~s (5), il en est de m~me du t a u x d'efficacit6 f t .

Ainsi, les quantitds importantes r~, Tt (1) /a t et xt ne ddpendent pratiquement que du comportement du r~seau en ~tat de quasi-saturation.

Nous avons d6jfi signal6 qu ' i l n 'en 6tai t plus de m~me pour la quant i t6 Ti (e~) = T t .

Notons d 'a i l leurs la re la t ion su ivante d6duite de (1) et (3) :

(40) T~ (1) -- (1 - - ~ t ) + s Pv (i). (7t y ~ l

L'express ion (5) donne ensui te :

1 - - 7:i (41) r~ =

(1 - -~ l ) + ~ Py (i) y = l

Ces deux re la t ions m o n t r e n t que uos trois quant i t6s pr6cit6es sont li6es ent re elles un iquemen t pa r la s6rie :

oo

(42) Z Py ( i ) .

Nous voyons bien que t ou t d6pend du compor t emen t de P~ (i) pour x faible.

E tud ions donc, dans le cas du mod~le flctif "h appels perdus , le compor t emen t du r6seau au vois inage de

G A L L [ANNALES DES TIs

la sa tura t ion . Cette 6tude est d 'a i l leurs tr~s simple. Dans un faisceau de circuits presque satur6, les

circuits se pa r t agen t , en moyenne , les t raf ics en t r an t p ropor t ionne l lement fi leurs valeurs respectives. Un t raf ic e n t r a n t At dispose ainsi, en moyenne de l~ circuits sur les L du faisceau. Le surplus (At - - It) d6borde alors sur un au t re faisceau, 6ventuel lement . Ainsi, pour un acheminement hi6rarchis6 (d6bordement dans un seul sens) comme pour un acheminement sym6tr ique (d6bordement mutuel ) , il est r c l a t i vemen t ais6 d '~tabl i r les chemins et les nombres de circuits affect6s, en moyenne , au couran t de t raf ic At �9 Nous en d6dui- sons, g raph iquemen t pa r exemple, le nombre moyen de communica t ions en cours pour ce couran t de traflc. Ce nombre L~ (A j) est 6v idemment fonct ion des divers t raf lcs offerts A 1 . I1 repr6sente le t raf ic 6cou16 relat i f h A t . Nous avons alors la re la t ion simple :

(43) Ai [1 - - F t ( A j ) ] ~ L ~ ( A I ) .

D'ofi :

(44) F t (Aj) ~ 1 - - Ll (AJ) IA i .

Ainsi, pour les premieres va leurs de x, nous pouvons 6crire, toujours dans le cas d ' un t a u x d'efficacit6 assez faible :

(45) 1 - - F ~ ( T j ( x ) + 0Tj(1) ) ~ L~(Tt(x) + 0Tt(1)) Tt (x) + 0 Tt (1)

L 'express ion (22) dev ien t :

q Lt [(1 + 0) Tj (1)] (46) PI (i) ~ 1 - - (1 + 0) T~ (1)

Posons :

(47) r (x) = [Tt (1) - - Tt (x)] / (1 + 0) Tt (1) .

Compte t enu de ces trois derni~res relat ions, l '6qua- t ion g6n~rale (20) devient :

(48) Ti (x) - - a t ~ Qy (i) [1 - - P1 (i)1 ~ y = x + t

at h, (x) [1 - - P~ (i) - - ~ , ( x - 1)1,

avec :

Li [(1 + 0) Tt (1)] ht (x) = Li (TI (x) + 0 T~ (1)) [1-- r (x)].

Darts l ' 6 t a t de quas i - sa tu ra t ion , off T j (x) est assez voisin de T 1 (1) pour x faible, la fonct ion Lt ne var ie pas beaucoup, c 'es t -h-dire les t raf ics 6coul6s ne peuven t gu~re var ier . En outre, ct (x) est n6gligeable devan t 1. Nous avons donc, pour x faible :

ht (x) ~ 1 .

Tout se passe alors comme si la fonct ion F t 6 ta i t i den t iquement nulle, i~ condi t ion d 'op6rer la subst i -

tu t ion : p - + P1 (i). Les re la t ions (26) et donc (27) p e r m e t t e n t f inalement

d '6crire, pour x pe t i t :

P~ (i) (49) P x ( i ) ~ 1 + ( x - - 1) [1 - - P l ( i ) ] G ( x - - 1 ) .

La deuxibme in6galit6 (36) dev ien t p r a t i q u e m e n t une 6galit6 pour x faible.

- - 266

t, 24, n ~ 7-8, 19I;~}]

E n r~sum& si le taux d'efficaeit~ r~ esl assez /aible,

tout se passe approx imal ivement eomme s ' i t n ' y avail

pas de r~seau, h condition de supposer @ale d P~ (i) la

probabilitd de trouver l'abonnd demamb; absent ou

oeeup& C e t t e p r o p r i 6 t 6 n e s ' a p p l i q u e t o u t e f o i s p a s 'h

la d 6 t e r m i n a t i o n d e T~ (oo) = T~.

A i n s i e o n n a i s s a n t P l ( i) , n o u s d 6 d u i s o n s :

T i (1) /a i , r:~ e t r~ .

N o t o n s q u e n o u s o b t e n o u s en f a r des v a l e u r s

a p p r o c h 6 e s p a r exc~s , P x (i) d 6 c r o i s s a n t c n r6a l i t6

p l u s r i t e q u e l ' e x p r e s s i o n (49), q u a n d x c ro i t .

C o m m e ces e r r e u r s o n t le m 6 m e s igne , n o u s c o m m e t -

t o n s u n e e r r e u r m o i n d r e en nous f ixant p l u t 6 t le tau.r

d'effieacitd r i . Les quantilds "Fi (1) el r~ seront alors

plus stables.

L e s t a b l e a u x I /~ V I n o u s m o n t r e r o n t e n e f f e t

q u ' i l su f f i t de se f i xe r r~ p o u r d 6 d u i r e les d e u x a u t r e s

q u a n t i t 6 s . Les caractdristiques du rdseau se sonl donc

f inalemenl estompdes : nous sommes loin des propridl~s

de la /ormule d ' Er lang !

TABIA,iAU I

l:aisceau de 20 circuils (L := 20) gt accessibilild lolale p = 0,15; 0 = 0,10

r 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70

- - ~ o -~- - o-~T- o-~-~- o--~-- o- -~- T o T oT-o.7~7~- o T o T

r : Taux d'eflicacit& T ( l ) / a : R a p p o r t du hombre total d 'appels au nombre

d 'appels , frais , d'origine. 7z : Pourcentage d 'al)andon (compt6 sur les appels

d'origine). a (1 - - n) T (1)

G = - r - : traiic cllicacc par circuit. L L

T (1) a (1 - - n) + 0 T (D (r t 0) - - - - / / : t aux d 'occu- P = L pat ion des circuits.

Faisceau de 60 circuits (L ~ 60) ~) accessibilild tolale p = 0 ,15; 0 = 0,10

I "

T

0,30 0,40 0,50

o--57~ ~ o--'57~- W ~ , , ~ - ~ -

o - ~ o---6T~-~ o'-63T--

S t I R V N E T H I s D E S n E P E T I T I ( ) N S D E S A P P E L S "rI2Lf':PHOXIQUES 7/21

0,60 I 0,70

0,36 0,24

0,69 0,65

- o,-~- o---67~

TAI]I ,EAU I I I

Faisceau de 120 circuits (L -- 120) d accessibilitd tatale p = 0 ,15; 0 ~ 0,10

r 0,30 0,40 0 50 ] 0,60 0 70

T-(1)/a I ~ ~ 1,48 1,34 I 1,24

~ - ~ ~ 1 ~ 0 , 2 6 1 0 , 1 9 1 0 , 1 3 T I T ~ , 7 3 - ..._ 0,73.__ 0,72 ]. 0,69

~ 9 - - - I -- 0 , ~ - - ~ 0 , 9 2 - - 0.88 0.84 0,79

r : Taux d'eflicacit6. T (1)la : R appo r t du nombre total d 'appels au hombre

d 'appels ,, frais ~ d'origine. r: : Pourcentage d ' abandon (compt6 sur les apl)els

d'origine).

G a (1 - - n) T (1) r ~ : tral ic ellicace i)ar circuit. L L

"F 0 ) a ( 1 - - rr) + 0 T ( I ) = (r + 0) ---/~- : taux (l'oc('u- t~ = L pat ion des circuits.

r : Taux d'efficacit6. T (1)]a : R a p p o r t du hombre tota l d'apl)els au nombre

d 'appels , frais ,, d 'origine. r: : Pourcentagc d ' abandon (compt~ sur les appels

d'origine). a (1 --- 7z) T (1)

G -- r - - - : trafic efficace par circuit. L L

T(1 ) a ( 1 - - ~ ) -}- 0 T(1) = (r + 0) ~ : taux d 'occu- t~ = L pa t ion des circuits.

TAnLE&U IV

Faisceau de 60 circuits h accessibilitg lolale p = 0 ; 0 = 0,10

r 0,30 0,40

T (1)/a 1,89 1,65

- T - ~ o--57-

0,50 0,60 0,70

1-Ug-t 1--sX;- o,-6N-F 0--63v- - 0,-5~

T A B L E A U V

l"aisceau de 20 circuits it accesslOilili totale p = 0 ,15; 0 -- 0,20

r 0,30 0,40

--~--~ o - - d T ~ ~

7z 0,43 / 0,33

- T - - o~3-r o--63~

0,50 [ 0,60

0,45 I 0,34 1,49 1,35

0,83 I 0,75

0,70

0,23

1,25

0,13

0,50 _

0,64

"]'AIzl LEAU VI

Faisceau de ao circuits d accessibilitd lolale p = 0 ,15; 0 = 0,20

r 0,30 i

T ~ ~

G 0,65

9 0,99

0,40 0,50 0,60 0,70

1,6611,48 1 ,35 f 1,24 0,34 0,26 0,19 0,13

o--63-~ o'-"~'Z- o--67~ ~

N o u s n e t e r m i n e r o n s p a s e e t e x p o s 6 p u r e m e n t

m a t h 6 m a t i q u e s a n s t r a i t e r u n eas p e u u t i l e m a i s

s i m p l e .

G) Cas d ' u n e p e r s 6 v 6 r a n c e c o n s t a n t e H(x) - H ( < 1 ) .

La pers6v6ranee de l ' abonn6 n 'es t plus fonet ion du num6ro de l 'essai eonsid6r6. De la re la t ion (1l) , nous d 6 d u i s o n s :

(50) ~, P y (i) = 1 T~ ( 1 ) - a t y ~ H ai

- - 2 6 7 - -

8/21

L'expression (3) nous donne :

1 - - H Tl (1) - - ai (51) r:~ - H a~

d'ofl :

Tl (1) H (52) - - - = 1 +

ai 1 - - H ~ "

Comme 7~1 est limit5 sup6rieurement par 1 et ne varie pas tr~s r i t e en fonetion de H, nous voyons que

rapport T i (1)]a l est essentiellement fonction de le

1/(1 - - H). I1 eroit ind6f iniment quand H tend vers 1 : eas de t ' abonn5 infatigable. C'est pour avoir un r6gime s ta t ionnaire clue nous avons suppos~ dans toute eette thSorie : H (x) < 1 pour x grand.

(52) et (5) nous donnen t :

(1 - H ) (1 - - ~ )

(53) ri : 1 - - H (1 - - ~ l )

D'oh r@iproquement :

(1 - - H) (1 - - r~) �9 (54) ~i = 1 - - H (1 - - r~)

Portons cette expression dans l 'expression (52). Nous d6duisons :

T I (1) 1 �9 (55) - - -

a~ 1 - - H (1 - - r0

Dans le cas pr6sent, nous savons donc exprimer s implement ~:/ et T, (1) /a t en fonction du t aux d'effi- cacit5 r , .

Nous avons terrain6 avec l 'expos6 th6orique. Nous allons aborder m a i n t e n a n t l ' examen des rSsultats

numTriques prat iques, et les comparer avec l'expS- rience.

IV. R ~ , S U L T A T S N U M ] ~ B I Q U E S E T I N F L U E N G E

D E S M U L T I P L A G E S GRADUI~.S

Nous allons tou t d ' abord d@rire la m6thode de calcul que nous avons utilis~e, adapt6e h l 'usage de

calculateurs 61ectroniques, lesquels se sont r6v616s des outils indispensables pour la pr6sente 6tude.

A) M 6 t h o d e de r 6 s o l u t i o n des 6 q u a t i o n s g6n6- rales (20 ) .

D'apr~s notre remarque sur l ' influence de r 6 t a t de

quas i -sa tura t ion du syst6me, nous avons 6t6 conduits /~ l 'Squat ion g6n6rale (48), off la fonct ion hi (x) ne dSpend gu6re du courant n o i. Nous avons marne

remarqu6 que les quant i t6s cherch6es r:, et T, (1) /a i ne dSpendaient p ra t i quemen t que de P1 (i) ou mieux de r l . Pour expliciter ces d6pendances, il nous suffit

slots de ne consid6rer que le cas d ' un seul courant

de trafic, c 'est-h-dire celui d'un seul /aisceau de L circuits reliant les abonnds demandeurs aux abounds demandds.

Nous abandonnons done les indices i et ], et l '6qua- t ion (22) devient :

P. LE GALL [ANNALES I)E~ TI~LECOrqMUNICATIONS

(56) P1 = P 4- q E L [(1 4- 0) T (1)],

off EL( T) est la formule de perte d 'Er lang bien c o n n u e :

TLIL! (57) EL ( r ) =

1 + T / I , + ... + TL/L ,

Compte tenu de la relat ion (1), la relat ion (8) peut s'Tcrire pour ( x - 1) au lieu de x :

T ( x ) - - T ( x - - 1) (58) Px = H ( x - - 1 ) Px-1 +

a ( x - - 1)

Consid6rons m a i n t e n a n t l 'dquat ion g6n6rale (20) et 6erivons, pour le premier crochet du premier membre, eompte tenu de (11) :

T (x) - - a ~ Qy = T ( x ) + a Qy - - T ( 1 ) . y = x + t y = t

Les expressions (1) et (2) pe rme t t en t d'6crire

f inalement l 'Squat ion gTnSrale (20) sous la forme suivante :

(59) T (x ) + ( x - - 1) q { T ( x ) - - T (1) + a [1 + X--t

~', H ( y ) P y ] } [1 - - EL (T(x) 4- 0 T (1))] = X--Z

T ( x - - 1) + ( x - - 1) a [1 - - Px-x = Z [ 1 - - g = l

H (g)] Py] .

Connaissant les Py et T (g) pour g < x, cette 6quat ion a pour racine T (x). La relat ion (58) donne eusuite P x -

Ainsi, si nous eonnaissons T (1), l 'expression (56) donne P1. Ensui te , les 6quat ions (59) et (58) donnen t

progressivement, pour x croissant, les quant i t6s T (x) et P (x).

En fait, nous ne eonnaissons p a s a priori T (1). Cette quant i t6 doit 6tre ehoisie de fa~on que la relat ion (11) par exemple soit v6rifi6e. Posons done :

(60) A = T (1) - - a 1 4- Z H (x) Px �9 x = l

Dans cette expression A, portons les valeurs consi-

dTrSes pour T (1) et les P x , T (1) dolt 6tre tel que A s 'annule.

Dans la prat ique, seuls les cas x ~ 10 ont une influence (si H ( x ) ~ 0,9). Nous supposons donc LI(x) = 0 pour x > n, et le syst6me (59) se rSduit h (n + 1) 6quations. Nous prenons n = 20, ce qui est largement sumsant . L 'expression (60) devient alors :

(61) lX = T ( 1 ) - - a l ~ l -f- ~ H ( x ) P x ~ . x = |

Nous op6rons de la fa~on suivante . Nous essayons

d 'abord une valeur pour T (1) tr6s 61ev6e : par exemple

T (1) = 5 a, d'ofl une valeur A 1 pour ix, apr~s avoir rSsolu le syst~me (58) - - (59). Puis nous essayons

une valeur trop faible pour T (1) : par exemple T (1) = 1,1 a, d'ofl une autre va leur A 2 pour ix de signe opposS. Par in terpola t ion lin6aire, nous d6duisons une nouvelle valeur pour T (1) susceptible d ' annu le r A. En fait, nous obtenons une nouvelle valeur A s .

268

I. 24, n ' ' ' 7-8, 1{~1;~)1

S u i v a n t son signe, uous opdrollS uuc nouve l le illlei '-

po la t ion a v e e A1 ou A 2 , e 'es t - i t -d i re avec cel le de ces

q u a n t i t 6 s d o n t le s igne est oppos6 il A 3, et ainsi de

suite. Nous fo rmons aiusi une su i te de valeurs , pour

T (1), r a p i d e m e n t c o n v e r g e n t e vers la va l eu r chcrchde

pour T (1).

La r eche rche de la rac ine T (x) de l ' 6qua t i on (59)

se f a r aussi pa r processus i tdrat i f .

Ains i pour a donn6, nous ddduisons P (1), r, T (1) / ( ,

et n. C o m m e nous vou lons ees q u a n t i t d s pour r donnd,

nous m e t t o n s en te t lvre un troisR~me proeessus i tdra t i f

e o n s i s t a n t h essayer une sui te de va leurs , , dont les

r e o r r e s p o n d a n t s c o n v e r g e n t vers la va l eu r ddsirdc.

l ,a m b t h o d e est va lab le pour une fone t ion F (T)

q n e l e o u q u e , l aque l le est raise en s o u s - p r o g r a m m e

dans la l is le des i n s t ruc l i ons pour le c a l eu l a t eu r

( ' lee t ronique.

S t i l l U N E TII I2 ;OII l IZ D E S FII I ; I@VITI ' IONS I ) E S API ' I ,~LS TI~HA]:I 'H()NIQIJI,~'S 9/21

B) R6sultats dans le cas de l'accessibilit6 totale.

Nous avons done : 1" (T) =- I~L(T ) ( fo rmule (it,

p e r l e d 'E r l ang ) . Les abounds son t snpposds reli6s

en t re eux par un s imple fa iseeau de L c i rcui ts , pu i sque

ee modble est p r a t i q u e m e n t 6 q u i v a l e n t h celui d ' u n

e o u r a n t de t ra f i c de m 6 m e va leu r , dans un r6seau

g6ndral, ( ' coulant s i m u l t a n d m e n t L c o m m u n i c a t i o n s

env i ron . Nous supposons l ' aeeess ib i l i td to t a l e du

faisceau.

La fonc t ion H (.r) consid6rde dans t o u t e ce t t e 6 tude

est d6finie au chap i t r e V-A. El le est d6du i t e de l ' expd-

r ience fa i te sur le rOseau de Paris , mais r endue plus

r6guli~re dans sa croissance. Nous y r e v i e n d r o n s au

e h a p i t r e V. C o m p t e t enu d ' tme r e m a r q u e pr( 'e6dente ,

nous supposons t t (.l:) - 0 pour .r > 20.

Les t a b l e a u x I "5 VI d o u n e n t les rdsu l ta t s ob t enus

i)our t ro is tai l les de fa i seeaux : L 20. 60 el 120.

Nous eons iddrons su r tou t les va leurs :

p -- 0,15, 0 = 0,10.

El les sont assez p roehes de la r6alit6. En F rance ,

la p robab i l i t 6 m o y e n n e de t r o u v e r l ' a b o n n 6 d e m a n d 6

oceupd, /~ l ' h e u r e chargOe, v a u t e n v i r o n : 0,08. L a

p robab i l i t6 m o y e n n e de le t r o u v e r absen t v a u t

env i ron : 0,05 h 0,07. De sor te que p va r i e de 0,13 h

0,15. P o u r une c o m m u n i c a t i o n locale de 150 seeondes

en m o y e n n e , la v a l e u r prise pour 0 co r r e spond h une

durde m o y e n n e d ' u n appe l ineffieace 6gale i~ 15 se-

eondes , ee qui est r a i sonnab le , peu t -6 t r e un peu fa ib le

du f a r de la l e n t e u r /~ r a ec roehe r de l ' abonn6 d e m a n -

deur , q u a n d l ' a b o n n 6 d e m a n d 6 est absent .

D a n s tous ees t a b l e a u x , nous nous fixo,~s le tctux

d'e[fieacitd r, et nous donnons les va leurs caleul6es

e o r r e s p o n d a n t e s pour :

Pa : p robab i l i t6 d '6ehee /~ la p remibre t e n t a t i v e ;

( 1 ) / a : r a p p o r t du n o m b r e to t a l d ' appe l s au T

n o m b r e d ' appe l s <~ frais ~ d 'o r ig ine (par uni t6 de

t emps ) ;

rc : p o u r e e n t a g e d ' appe l s (, f rais ,~ a b a n d o n n a n t

apr6s une ou plusieurs t e n t a t i v e s .

Les t a b l e a u x I h I I I m o n t r e n t le peu d ' in f luenee

du h o m b r e de c i rcui ts L.

Le t ab l eau IV, off p = O, eompa r6 all t ab l eau II ,

m o n t r e le peu d ' iu f luenee du param, ' , t re p, re la t i f h

l ' abonn6 demand6 .

Les t a b l e a u x V e t VI , off au eon t r a i r e 0 = 0,20

au lieu de 0,10, eompards r e s p e e t i v e m e n t a u x t a b l e a u x

I e t 1[, m o n t r e n t le peu d ' in f luenee du param'bt re 0.

En rdsum6, q u a n d nous aurons examin6 les eas

des r ( ' seaux sans b loeage ( t a b l e a u x V I I et V I I I ) , de

m u l t i p l a g e s graduds ( tab leau IX) et enfin des rdsu l ta t s

e x p 6 r i m e n t a u x ( t a b l e a u x X et XI ) , nous serons ame-

nds "k p roposer le t ab l eau g6n6ral X I I , l eque l n ' e s t

au t re qne le t a b l e a u I[ , c o r r e s p o n d a n t /~ 60 c o m m u n i -

ca t ions s imul tandes possibles pour un c o u r a n t de

t ra l ic . Mais ee t ab l eau sera gdndral, pour p et 0

que l conques , aiusi que pour un e o n r a n t de t r a f i e

q u e l c o n q u e dans un rdseau gdn6ral.

I1 fau t b ien voi r que les pa r am~t r e s p e t 0 n ' i n t e r -

v i e n n e n t que dans l ' 6 q u a t i o n (22), e ' es t -~-d i re :

(62) P t ( i ) = p + q la'i [(1 t 0) T j (1)].

I )ans ce t t e 6qua t ion , et dans eelle-l'a s eu l emen t ,

nous s o m m e s bien oblig6s de cons id6rer le r6seau

h l i -m6me avec les ca rac t6 r i s t iques de ses d ivers

c o u r a n t s de t raf ic , ton te fo i s darts l'dlat de quosi- saturation.

P a r exemple , p o u r des t a u x d 'eff ieaci t6 de l ' o rd re

de 60 o,;, nous ob t enons pour 0 = 0,10 :

(1 § 0 ) T ( 1 ) / o = 1,1 x 1,35 -- 1,485.

P o u r ee t t e v a l e u r de r, et pour p ~- 0,15, nous avons :

P1 = 0,36 = 0,15 + 0,85 F ,

d 'ofl : F = 0,25.

Ainsi , dans lc mod61e fictif 'a appels perdus , la pro-

babilitd de blocage prdsentde par le r~seau, pour des

tra/ics ma/or& de 50 % environ, doll dtre O.gale d 0,25,

si liOnS voulons un lau.r d'e/fieaeitd de 60 % environ.

I1 est pe rmis de penser que l ' a p p l i e a t i o n du modb le

t r a d i t i o n n e l h appels perdus , et de la f o rmu le d ' E r l a n g

appliqu(;e a u x t raf ies d 'o r ig ine , ne condu i t gdndrale-

m e n t pas au mOme rdsu l t a t que eelui d @ o u l a n t de

la conc lus ion ei-dessus.

N o t o n s que , clans la fo rmule (62), le t r a f i e offer t

(1 ~- 0) Tj. (1) co r respond d ' u n e p a r t /~ un t r a f i e

offer t T j (1) suscep t ib le de douner lieu h une durde

m o y e n n e de prise dgale ~ 1 (ta durde m o y e n n e des

c o m m u n i c a t i o n s ) e t en ou t r e ~ un t r a f i e offer t 0 T j ( l )

suscept ib le de donne r l ieu " a u n e durde m o y e n n e de

prise 6gale ~ 0 : durde mogenne ponder& du temps

d'dtablissement des appels efficaces et des durdes d'appels

ilw/ficaces. Ces derni6res dur6es son t assez s tab les

dans le cas d ' u n bon t a u x d 'e l f icaei t6 , car nous v e r r o n s

alors q u ' u n e g rande pa r t i e des appels ineff icaces est

due /t la r6ac t ion de l ' a b o n n 6 d e m a n d e u r d e v a n t

l ' abonn6 d e m a n d d absen t ou oecupd. Ces dur6es sont ,

en faR, plus longues que le t e m p s d ' d t a b l i s s e m e n t

des appe ls effieaees. Mats l'introduction de la too!tempe

pon&~rde Rous permet de garder la [ormule (62), en

- - 2 6 9 - -

10/21 abandonnant l'hgpothdse iniliale de l'dgalild des deux

mogennes.

Posons :

(63) Aj = (1 -k 0) Wj (1),

A j est aussi le hombre mogen d'appels (efficaces +

inefficaces), du courant n o ], se produisanl pendant un temps @al d la somme de la duroc mogenne des communications et de la durde moyenne ponddr~e 0 des temps d'6lablissement el des dur~es d'appels inefficaces.

Dans les t ab leaux I ~ VI, nous donnons les valeurs de deux autres quant i t6s utiles G e t p, mais variables

avec L, p e t 0. G repr6sente le trafic efficace par circuit : celui don-

nan t lieu ~ taxa t ion , en excluant le temps d '6ta-

blissement. I1 vau t :

a (1 - - 7 : ) T (1) (64) G -- L -- r L

Par contre, p repr6sente le taux d'occupalion des circuits : en plus du trafic pr6c6dent, il comprend tout le trafic inefficace, eorrespondant au temps

d '6tabl issement pour les appels efficaees et h la dur6e de prise pour les appels inefficaces. I1 vau t done :

(65) p = G + 0 T (1) _ (r + 0) T (1____~) L L

Notons que ce trafic inefficace provient , pour une

bonne part , de la r6action lente de l ' abonn6 demandeur

t r o u v a n t l ' abonn6 demand6 absent ou occup6, comme nous le verrons plus loin. Si nous avions p = 0, il ne resterait que le trafic inefficace dfl au blocage du r6seau, trafic t r aversan t toutefois en p a r t i e l e r6seau. Dans le sch6ma simplifi6 d ' un simple faisceau de circuits, ce dernier trafic ne peut occuper le faisceau. C'est pourquoi nous n ' avons pas donn6 les valeurs de G e t de p dans le tab leau IV off p = 0.

Retenons de ces tab leaux que, pour un taux d'efficacit~ de 60 % environ, le trafic inefficace par circuit vaul respectivement 0,1 el 0,2 erlang environ pour

P. L E G A L L

0,15

[ANNALES DES TI~Lt~COMI~IUNICATIONS

T A B L E A U V I I

Cas cl'un rdseau sans blocage (p donn 0

0,77

T (1)/a

1,18

7r

0,088 0,20 0,71 1,25 0,12 0,25 0,65 1,31 0,15 0,30 0,59 1,39 0,18 0,35 0,53 1,46 0,22 0,40 0,48 1,54 0,25 0,45 0,44 1,63 0,29 0,50 0,55

1,72 1,82

0,39 0,35

0,32 0,36

0,60 0,31 1,93 0,41

0,65 0,27 2,05 0,45 0,70 0,23 2,18 0,50 0,75 0,19 2,34 0,55

0,15 2,52 t

0,80 0,61

TABLEAU VIII

Cas d'un rdseau sans blocage (r donnd)

r p T (1)/a r:

0,75 0,17 1,20 0,098 0,70 0,20 1,25 0,12

0,65 0,25 1,31 0,15 0,60 0,29 1,37 0,18 0,55 0,34 1,44 0,21 0,50 0,38 1,52 0,24 0,45 0,44 1,60 0,28 0,40 0,49 1,70 0,32 0,35 0,55 1,82 0,36 0,30 0,61 1,95 0,41 0,25 0,67 2,11 0,47 0,20 0,74 2,30 0,54

0 = 0,1 el 0,2.

Compte tenu de (64) et (65) le rapport de trafic indf/icace au tra/ic e[/icace vaut d'ailleurs O]r.

Enfin, en consul tan t les t ab leaux I et II , nous pouvons d6gager une relat ion approch6e simple entre le t aux d'efficacit6 r facile ~ observer et la probabil i t6 d'6chec au premier essai P1 , laquelle est difficile h

observer. Pour les taux d'efficacitd sup~rieurs & 50 %, nous avons donc approx imat ivement :

(66) �9 r + P1 ~ 0,95.

Notons d'ailleurs que (, le t aux de perte ~> P observ6

dans les cent raux sans pouvoir dist inguer les appels

r6p6t6s des autres vau t : P = 1 - - r. D'ofl la relat ion approch6e t r adu i san t le fait que le trafic ay a n t 6t6

abandonn6 provient sur tou t du premier essai :

(66a) P ~ P1 A- 0,05.

C) R6sultats dans le cas d'un r6seau sans blocage.

Les formules (28), (29) et (32) ont servi pour 6tablir les t ab leaux V I I (p donn6) ct V I I I (r donn6).

E n comparan t le tab leau V I I I avec le tab leau I

ou II, par exemple, nous t rouvons des rdsullats peu di//drents pour T (1) /a et ~, sur tout pour des taux

d'efficacild donnds et supdrieurs d 50 %. I1 n ' e n est plus de m6me pour P1 (6gal ~ p dans

le cas pr6sent). Ainsi, except6 pour Px , le tab leau X I I sera v ra imen t

d 'une applicat ion g6n6rale, pour les valeurs habituel- lement consid6r6es du t aux d'effieacit6.

Rappelons que, pour p donn6, le t aux d'efficacit6 du r6seau sans blocage est sup6rieur h celui d ' un r6seau habi tuel avec bloeage. C'est ainsi que, pour

la valeur habituelle p = 0,15, le tab leau V I I mont re

qu'il est impossible d'obtenir un taux d'efficacit~ sup~- rieur ~ 77 %, et un pourcentage d'abandon 7: in/drieur d 0,088.

D) R6sultats dans le cas de faisceaux ~ acc5s partiel.

Nous supposons m a i n t e n a n t q u ' u n courant de trafic, en se r6par t issant h t ravers le r6seau de connexion d ' un centre, en ressort distr ibu6 sur diverses

270 u

L 24, n o~ 7-8, 1969]

(, sections ~>, chacune n ' a y a n t q u ' u n acc~s part iel au faisceau sortant. Les mult iplages gradu6s ou (~ gradings ,> pe rmet ten t ainsi de compenser la pet i te taille

du champ de s61ection de chaque section, et d ' intro- duire un brassage suffisant du trafic. Toutefois, la probabil i t6 de blocage est plus 61ev6e que darts le cas de l 'accessibilit6 totale, h mains de n ' augmen te r un peu le nombre de circuits du faisceau.

Nous pourr ions done nous at tendre, h carac- t6ristiques de faisceaux 6gales, "h une plus forte proport ion d 'appels inefficaces darts le cas de l'acces- sibilit6 partielle. En fair, le ph6nom~ne est peu sen- sible. Cela provient de ce que, dans l '6 ta t de quasi-

sa tura t ion, le trafic 6cou16 est p ra t iquement le m6me, qu ' i l y air accessibilit6 totale ou partielle.

D'ail leurs, de cette remarque, nous pouvons retrou- ver la formule d ' approximat ion du Professeur Lotze

pour les gradings [8], quand l 'appet est a/fect~ a priori

& une section d~termin~e.

Nous avons un faisceau de L circuits, recevant un trafic offert a, et distribu6 sur plusieurs sections acc6dant chaeune ~ k circuits du faisceau. Pour eertains types de gradings, la probabili t~ de blocage suivante, due h C. Palm, convient bien pour les blocages faibles :

EL (a) (67) B~ (a) -- EL--~ (a) '

off EL (T) est la formule de perte d 'Er lang (57). Dans ce cas (modble h appels perdus), le trafic

offert a est 6quivalent au trafic 6eou16 y, qui v a u t en toute r igueur :

y = a [ 1 - B k ( a ) ] .

Pour les probabili t6s de blocage 61ev6es, le Professeur Lotze consid~,re ce trafic bcoul6 comme aya n t pra- t iquement les m~mes propri6t6s que celui r6sul tant

d ' u n trafic fictif offert a o ayan t accessibilitd totale au

m6me faisceau de L circuits, a o est alors tel que :

g = ao[1 - - EL (ao)].

Dans ce cas, la probabil i t6 de t rouver k circuits d6termin6s occup6s (le faisceau fonc t ionnan t de

fa~on sym6trique) est encore donn6e par la formule de C. Pa lm :

s u n U N E THI~ORIE DES R]~P]~TITIONS DES APPEiLS Tt~L]~PHONIQUES 11/21 Les deux premiers termes sont bien ind6pendants

des caract6ristiques du grading, et le troisi~mc a peu &influence.

Comme pour le tableau II, consid~rons un faisceau de 60 circuits, avec les m~mes valeurs pour p e t 0. Au tableau IX, nous donnons le cas d 'une accessi- bilit6 re la t ivement faible : au tiers seulement des circuits (k = 20). Nous voyons que les quant i t6s T (1) /a et ~ an t ~ peine chang6 (en fait ~ n ' a m~me

pas chang6). P1, par contre, a un peu vari6.

TABLBAU I X

Faisceau de 60 circuits ft accessibilit6 partielle par 20 points seulemenl : L = 60 ; k = 20 p = 0,15; 0 = 0,10

r Io,3o Io,4o

T (1)/a] 1,89 1,66

0,50 1 0 , 6 0 1 0 , 7 0

0'46 l 0'35 I 0'24 I 1,48 1,35 ] 1,24 i

o 6yr o - - 6 5 5 -

Donc, le tableau gdn~ral X I I est encore valable dans

le cas de l'accessibilitd partielle. C'est une cons6quence de l ' influence de l '6 ta t de quasi-saturat ion.

Par contre, les gradings ne pe rmet ten t pas d'6couler

a u t a n t de trafic, si nous n ' augmentons pas le nombre de circuits L. Dans notre exemple pr6c6dent oh

L = 60, et pour une m6me probabil i t6 de blocage envisag6e sur le faisceau, le grading entra lne une baisse de 10 % environ sur le trafic (1 + 0) T (1)

pouva n t ~tre eonsid6r6. Si le t aux d'efficacitd est impos6, et done p ra t iquement le rappor t T (1) /a , eette baisse de 10 % s 'applique f inalement au trafic (a) pouvan t 6tre offert.

Le cas des gradiugs se r a m e n a n t seulement ~ une ut i l isat ion correete de la relat ion (22) ou (62), nous

n ' aurons plus besoin, dans la suite, de men t ionne r express6ment l 'existenee 6ventuelle d'acc~s seulement partiel aux faiseeaux sor tant des centraux.

A y a n t terrain6 les cons6quences num6riques de la th6orie, nous allons m a i n t e n a n t eonsid6rer son application fi l 'observat ion du trafic r6el.

(68) P = B~ (ao).

E n 61iminant g, a 0 est racine de l '6quat ion :

(69) a 0 [1 - - EL (a0)] = a . 1 - - Bk (%)

Comme pour a faible, a o est 6quivalent ~ (y) et donc h (a), les relations (68) et (69) d6finissent assez

bien la probabil i t6 de blocage cherch6e, clans une zone assez 6tendue al lant jusqu'fi l '6 ta t de quasi- saturat ion.

Dans ce dernier 6tat, nous pouvons d6duire des formules pr6e6dentes, l 'expression approch6e, pour (a) bien sup6rieur '~ L :

P ~-~ 1 L + ( L \1 L (70) - %-- \ l -F-

V. C O M P A B A I S O N S A V E C LE T B A F I C R~.EL

Nous allons m a i n t e n a n t d6crire les observat ions exp~rimentales qui nous an t permis de v~rifier la th6orie expos6e dans cet article.

A ) O b s e r v a t i o n s e x p 6 r i m e n t a l e s e n traf ic r6el .

Pour d~tecter les r6p6titions d'appels, il est n6ces- saire de noter les num6ros des abonn6s demandeurs

et des abonn6s demand6s correspondants, avec l 'heure et lc r6sultat : c'est-i~-dire indiquer si la communica t ion

a 6t6 tax~e ou non. I1 n 'es t g6n~ralement pas possible de donner une indicat ion suppl6mentaire sur la cause de non- taxa t ion .

- - 271 - -

12/9~1

Les 6qnipements habituels d 'observat ion de trafic ne recueil lant pas le num~ro de l ' abonn6 demandeur en exploi tat ion au tomat ique , il est n6cessaire de recourir h des 6quipements sp6ciaux.

Un moyen commode d 'enregis t rement eonsisterait h rioter, dans les r6cents 6quipements centralis6s de taxa t ion 61ectronique, non seulement les appels efficaces, mais aussi (et seulement /~ la demande) les appels ineflicaces. Toutefois, il en r6sulterait une augmenta t ion de la taille des m6moires 61ectroniques darts le rappor t l i t , r ~tant le t aux d'efficacit6. Pour

des questions de cofit, ceci n ' a pu ~tre envisag6. Citons, dans cet ordre d'id6e, l '6quipement A.M.A.

(Automatic Message Accounting) (*). Les premieres

invest igat ions faites avec ce mat6riel r emonten t h 1958 [1]. Mais il y a lieu de citer les invest igat ions extensives fa res en 1966 par le Centre de T616- trafic (**) [14], et po r t an t sur plus de 100 0O0 appels frais in terurbains . Nous y reviendrons plus loin.

Doric, sans 6quipement sp6cial adapt6 h l 'exploi- ra t ion au tomat ique , il reste comme moyen de secours l 'u t i l i sa t ion d 'apparei ls branch6s sur des abonn6s demandeurs p e n d a n t un certain temps, g6n6ralement clans le bu t de contr61er la t axa t ion de l 'abonn6, afin de pouvoir r6pondre h ses r~clamations. Dans

cet ordre d'id~e, nous pouvons citer les exp6riences

danoises(***) [12], faites sur 2 546 appels frais locaux et I 296 appels frais iu terurbains , h l 'aide d ' un appareil

appel6 (~ Abonak ~>. Un appareil 6quivalent , po r t an t le nora 4e (, Machine

Girard ~>, est utilis6 par l 'Admin is t ra t ion Fran~aise

des P.T.T. A l 'aide de 70 de ces machines, chacune branch6e

environ une semaine sur un m6me abonn6, la Direction r6gionale des t61~eommunieations de Paris ( In t ra-

Muros), a proc~d~ h des enregistrements du ran t 17 semaines de l ' ann6e 1966. Ils ont port6 sur 1 000 abonn6s au total , r6partis convenablement en 13 cat6gories socio-professionnelles, de fa~on h r~aliser

un ~chantil lon de trafic convenable.

Ces observat ions ava ien t 6t~ faites h la demande du Service des 6tudes ~conomiques de la Direction g6n6- rale des t616communications. Toutefois, la richesse d ' informat ions contenues dans de tels enregistrements nous a condui t h faire effectuer de nouveaux d6pouil- lements de ces enregistrements par le service de T616trafic de SO.CO.TEL., d6pouillements orient6s vers l '~valuat ion du ph6nom~ne des r6p6titions d'appels, et aussi des faux num6ros et des num6ros

incomplets. Ces informations, recueillies f inalement sur bande

magn~tique, ont fait l 'obje t de t ra i tements sur cal- culateur ~lectronique, en 61iminant tou t ce qui n '6 ta i t pas du trafic p u r e m e n t au tomat ique , et tous les num~ros sp~ciaux. Nous avons aussi 61imin~ les lignes

groupies, puisque les diverses lignes d ' un m6me

abonn6 n '~ ta ien t pas observ6es ensemble. I1 nous est

P. L E G A I , L [ANNALES DES T~iL]'COMMUNICATIONS

rest~ le rdsultat d 'observat ions por t an t snr 17 164 appels frais locaux du r~seau de Paris, 1 034 vers la banl ieue de Paris, 524 vers l ' i n t e ru rba in nat ional et 89 vers l ' in te rna t iona l (automatique) . Tous ces appels correspondent h des num~ros bien form,s. I1 y a lien d 'a jouter les faux num6ros et les num~ros incomplets.

Les r~sultats ont ~t~ publi6s par ailleurs [4]. Pour notre th6orie, nous n ' avons re tenu que les

informations relatives au trafic local du r6seau de Paris, celles relatives au trafic in te ru rba in automa-

t ique ~tant trop peu nombreuses, no t a mmen t h l 'heure charg~e.

Une premi6re cons ta ta t ion impor tan te est h faire. Seulement 2,5 % des appels prdsentent des num~ros

[aux ou incomplets f ranchissanl la prdsdleclion et la

lraduction, et susceplibles d'encombrer le rdseau. Ce

taux est ndgligeable devant la proportion ~lev~e d'appels

inefficaces, lesquels ne peuoenl donc correspondre qu'&

des rdpdtitions.

I1 y a toutefois lieu de noter que des num~ros correets correspondant , en faR, h une erreur de l ' abonn6 demandeur , ne peuven t 6tre d6tect~s.

Rappelons que l 'hypoth~se 1, su ivan t laquelle la r6action de l ' abonn~ demandeur est la m~me quelle

que soit la cause d'insuee~s, d~coule des observat ions

d6crites dans [14], et du f a r que g6n~ralement les signaux d 'occupat ion du r~seau ou de l ' abonn6 de- mand6 sont identiques.

Le tableau X donne la fonction de perseverance H (x) observ~e, sur 17 164 appels (( frais )) d 'origine

de trafic local. Ce qui est trbs impor t an t et v~rifie l 'hypothbse 2, c 'est que cette fonction H (x) est prati-

quement la ms sur route la journde ou seulement

sur l'heure charg~e : elle est donc biet~ ind~pendanle

du temps el de la charge du rdseau.

Fonetion /rais ,

lives, el

TABLEAU X

de persdvdrance H (x) observde sar 17164 appels d'origine (appels locaux) durant leurs diverses lenla- ]onclion finalement ulilisde darts la prgsente dtude.

H (x) H (x) x exp~rimentale utilisde

1 0,61 0,60 0,73 0,70

3 0,82 0,75 4 0,84 0,80 5 0,82 0,82 6 0,84 0,83 7 0,87 0,84

8 0,87 0,85 9 0,86

10 0,87 11 0,88 12 0,89

13 0,90

20 0,90

(*) De l'American Telegraph and Telephone Co. (**) Des Bell Telephone Laboratories. (***) De la Compagnie des Tdldphones du Jutland.

Dans ce tableau, nous indiquons aussi la fonction H (x) utilis6e pour la pr~sente ~tude. Elle est de

- - 272 - -

I.. 24, n ~ 7-~, 1!~6!)1

cro issance plus r6guli6re que la fonc t ion expSr imeu-

ta le , ceci p o u r la r end re plus v r a i s e m b l a b l e , I ts obser-

v a t i o n s r6elles n ' a y a n t pas 6tO su f f i s ammen t n o m -

breuses p o u r ob ten i r H (x) avee assez de pr6eis ion

q u a n d x croi t . I ' n p o i n t i m p o r t a n t consis te ~ r e m a r -

q u e r que ce t t e f onc t i on ut i l is6e est en bon accord

avec la cou rbe m o y e n n e << D D D calls ~> publ i6e

dans [14, fig. 19].

Le t a b l e a u X I donne les rdsn l ta t s observds (h l ' h eu re

charg6e en t r e 10 h e t 12 h) et ceux calcul6s pour les

p r e m i e r s P x , p o u r le t a u x d 'e l I icac i t6 r, p o u r le rap-

T ( 1 ) / a du n o m b r e t o t a l d ' appe l s au n o m b r e p o r t

d ' a p p e l s frais d 'o r ig ine , et enfin pour le p o u r c e n t a g e 7~

d ' appe l s a b a n d o n n a n t aprbs m~e ou p lus ieurs fen-

t a t ives .

T A B L E A U X I

Comparaison des r~sultats [ournis pat" l'observation d'abonnds durant la p&iode chargde el par les ealeuls (ces derniers eorrespondant h u n faisceau de 20 circuits, avec : a -- 15,5,

p = 0,15 et 0 -- 0,10).

P1

SUll UNTE tt(':OI/IE DES Ill~:PL,'TITIONS DES APPFLS TEL~PnONIQUES 13/21 n ' a d m e t t e pas de v a l e u r m o y e n n e I Les r6su l ta t s

fourn is pa r le t a b l e a u X I m o n t r e n t tou te fo i s que

l 'hypoth~se 3 n 'es l pas & remellre en cause.

Nous al lons abo rde r m a i n t e n a n t les consf iquenees

p r a t i q u e s , tou t d ' a b o r d e o n e e r n a n t l ' o b s e r v a t i o n du

t raf ie .

Exp6rilnental Calculd

0,35 0,33

P2 0,i1 031

P3 0,04 0,04

0,02 P~

P5 Y

0,02

0,01 0,01

0,59 0,59

T (1)/a 1,36 1,36

0,19 0,19

Les r6su l ta t s e x p 6 r i m e n t a u x et calcul6s sont en

pa r f a i t aeeord , saul p o u r P t . P o u r les ealeuls, nous

avons pris les va leu r s :

L = 20, a = 15,5, p = 0,15 et 0 = 0,I0.

A v e e L = 60 ( e t a = 51,8), les r6su l ta t s ealeul6s

son t i den t iques , excep t6 p o u r P~ qui est encore plus

61ev6 : P1 0,37. Au fond, t o u t se passe e o m m e si

le e o u r a n t de t ra f i e m o y e n t y p e du rdseau de Par i s

6 ta i t p lus fa ible , de fa~ou h ob t en i r P~ 0,33, qu i

est la v a l e u r observ~e.

Ou p lu t6 t , t o u t se passe c o m m e si la v a l e u r de p 6 ta i t sup6r ieure ~ 0,15 darts le r6seau de Par is .

U n e r e m a r q u e i m p o r t a n t e : les rdsullals observds

so ld peu changes sur route la ]ourn&. Ceci r~sul te

p r o b a b l e m e n t de l 'dtat de quas i - sa tu ra t ion p e r m a n e n t

du r6seau, eonsdquence de no t r e th6or ie : l ' u t i l i t i

rdelle de la no t ion d 'heure chargde semble s 'es tomper .

Au fond, t o u s l e s v i e u x pr ine ipes ou no t ions , d6eou lan t

de la f o rmu le d ' E r l a n g , son t peu t -6 t r e h r e m e t t r e en

cause.

P o u r t e r m i n e r ces i n v e s t i g a t i o n s exp6r imen ta l e s ,

i nd iquons que la d u r @ m o y e n n e des in te rva l l e s en t r e

les p r emie r s essais d ' u n m ~ m e appe l est de l ' o rd r e

de d e u x fois la duroc m o y e n n e des c o m m u n i c a t i o n s ,

avec un for t p o u r c e n t a g e d 'essa is tr~s rapproch6s ,

et un p o u r c e n t a g e non n6gl igeable d 'essais tr~s

61oign6s ; la lot de C a u c h y r e p r 6 s e n t e r a i t assez bien

la r 6pa r t i t i on de ces i n t e rva l l e s [4], b ien qu ' e l l e

B) Application A l'observation courante du t r a f i c .

Dans le t a b l e a u X l I , nous r6eap i tu lons les va leu r s

eonsid6rer pour P 1 , T ( 1 ) / a et ~ en fone t i on du

t a a x d'efficaeit~! r.

T A B L E A U X I I

Tableau ggn{ral pouvanl dire relenu dormant les quantitgs Pa, 3" (1)/a el rc

en [onction du taux d'efficacit~ r.

r P1 T (1) /a z~

0,75 0,18 1,20 0,10

0,70 0,24 0,13

0,65

0,60

0,55

0,50

0,45

1,24

0,30 1,29

0,36 1,35

0,42 1,41

0,47 1,48

0,53 1,56

0,16

0,19

0,23

0,26

0,30 0,40 0,58 1,65 0,34

0,35 0,63 1,76 0,38

1,89 0,69 0,30 0,43

0,25 0,74 2,04 0,49

0,20 0,79 2,23 0,55

Ce t te derni~re q u a n t i t 6 est, en effet, faci le h o b s e r v e r

(pour un e o u r a n t de t ra f i e b ien d6fini) du fa i t de sa

d6f ini t ion :

n o m b r e d ' appe l s effieaees (71) r --

n o m b r e d ' appe l s (effieaces + inemcaees )

Les j o n e t e u r s so r t an t s d ' u n cen t r a l p e u v e n t ~tre

6quip6s pour d6 tee te r s ' i l y a t a x a t i o n . E n out re , ils

p e u v e n t n o t e r c h e q u e pr ise p o u r un appe l q u e l e o n q u e .

U n organe d ' e x p l o r a t i o n p e u t ensu i te co l lee te r la

s o m m e de ces i n f o r m a t i o n s e t les fourn i r ~ une impr i -

m a n t e , &off l ' 6 v a l u a t i o n possible de r, p o u r les

appels s o r t a n t s du cent ra l .

II y a l ieu 6 v i d e m m e n t de r a s s emb le r les infor-

m a t i o n s r e l a t ives /~ un m ~ m e c o u r a n t de t raf ie , q u a n d

celui-ei p e u t sor t i r pa r d ivers f a i s eeaux s o r t a n t s ,

a v a n t de proe6der h l ' 6 v a l u a t i o n du t a u x d 'eff icaei t6 .

Le t a b l e a u X I I donne alors la p robab i l i t 6 de b loeage

essai P 1 , et le r a p p o r t T (1)/a du hombre au p r e m i e r

total d ' appe l s all hombre d 'appe l s <( [rats ~ d 'or ig ine :

ee r a p p o r t reprdsente ta ma]orat ion de lraf ie gt t rai ler

dans les organes c o m m u n s . Nous o b t e n o n s enf in

le pourcentage de trafic d 'or ig ine r6elIement pe rdu re.

P o u r les p r6v is ions en q u a n t i t 6 de mat6r i e l , il nous

res te h est imer le trafic f ra i s d 'or ig ine a. N o u s ve r rons ,

au chap i t r e su ivan t , c o m m e n t e n s u r e p roe6der p o u r

les ealculs de d i m e n s i o n n e m e n t .

- - 2 7 3 - -

14/21 T (1) est le nombre moyen d'appels (efficaces +

inefficaces) observ6s p e n d a n t la dur6e moyenne d 'une communica t ion . Comme nous savons 6valuer ce nombre pendan t une dur6e quelconque, il nous reste

estimer la dur6e moyenne des communica t ions d'ofi T (1), d'ofl a connaissant d6jh T (1) /a . effectives,

Quant h la mesure t radi t ionneUe du trafic 6cou16, elle ne sert, en fait, ~ rien du t o u t ! C'est la cons6-

quence de l ' abandon du module d 'Er lang.

VI. CALGULS DE I:t~.SEAUX T]~L]~PHONIQUES

Nous savons donc estimer les divers trafics frais a, offerts h un r6seau t616phonique, dans le cas de

l 'exploi ta t ion au tomat ique .

I1 s 'agit de d6terminer m a i n t e n a n t comment

dimensionner et s t ruc turer le r6seau. Pour simplifier, nous allons admettre que Ie blocage o//err par les centres est n~gligeable devant celui prdsentd par le r~seau. Au

fond, dans l '6 ta t de quasi -sa turat ion, il s 'agit de d6teeter essentiel lement les goulots d '6 t ranglement pour l '6eoulement du trafic. Dans le cas de cen t raux recourant h une s61eetion conjugu6e globale entre un circuit en t r an t et un circuit sor tant d6termin6s et poss6dant un r6seau de connexion dont les 6tages internes sont en expansion, il ne pent y avoir de goulots d '6 t ranglement . Notre hypothbse simplifi- catrice est alors valable.

Pour les ealculs, nous allons tou t d 'abord supposer

que le laux d'e/ficacil~ exig~ est le m~me pour tous le s

courants de lrafic. Nous Verrons que les calculs sont alors trbs simples. Nous justif ierons ensuite ce point de vue au paragraphe B, avan t d 'aborder le probl~me difficile de la s t ruc tura t ion optimale des r6seaux

t616phoniques.

A) M6thode de calcul du fait de la quasi- saturation.

(Pour un r6seau donn6).

Nous voulons le meme t aux d'efficacit6 r pour tous les courants de trafics (de n o ]). A litre d'exemple, prenons : r = 0,65.

Le tableau X I I , ou m~me la relat ion approch6e simple (66), nous donne pour la probabil i t6 d'6chec

la premiere t en ta t ive :

P1 ~ 0 , 9 5 - r = 0 ,30 .

Pour la valeur habituel le p = 0,15, la relat ion (62)

nous donne :

0,30 - - 0,15 F~ (AI) = 0,85 = 0 ,176 .

Les divers trafics offerts A I , correspondant ~ l '6 ta t de quasi-saturat ion, ont 6t6 d6finis par l 'expression (63) :

A t = (1 + 0) W 1 (1).

P. L E G A L L [ANNALES DES TELI~COMMUNICATION$

Le tableau X I I nous donne la valeur du rappor t :

T (1) -- 1,20.

a

Pour 0 = 0,10, nous d6duisons : Ay = 1,4 a ] .

Pour 0 = 0,20, nous d6duisons : Ay = 1,5 a j .

Ainsi, pour des trafics ma]ords de 40 ~o ou 50 %, su ivant la valeur de 0, la probabilitd de blocage du

rdseau (dans le moddle ficti[ ~ appels perdus) dolt $tre ~gale & 0,176 clans notre exemple (r ----- 0,65), quel que soit le courant de trafic considdr~.

Toujours d'apr~s le tab leau X I I , le pourcentage de trafic frais d 'origine perdu f inalement apr6s une ou plusieurs tenta t ives , vau t :

~ = 1 6 % .

Ainsi, nous dimensionnons le r6seau, non pas pour les trafics d'origine ay, mais au contraire pour des

trafics A 1 bien sup6rieurs, corrcspondant h l'dtat de quasi-saturation du r~seau.

Dans cet 6tat, nous pouvons utiliser une remarque

impor tan te faite au chapitre ( I I I , F).

Rtgle 1.

Darts chaque /aisceau de circuits recevunl divers trafics de nature quelconque (les durdes moyennes de prise dlunt loule/ois identiques), ceux-ci se partagent les circuits en mogenne proporlionnellement ~ leurs

trafics.

Ceci suppose 6videmment que ces divers trafics ont le m~me type d'acc~s (total ou partiel) au faisceau.

Dans le cas d'un plan d'acheminement hi~rarchis~,

il est ainsi possible d '6valuer successivement les circuits pris en moyenne par un courant de trafic, dans chaque vole de divers choix : voles h uti l isat ion 61ev6e et vole finale.

Pour chaque chemin possible, e m p r u n t a n t plusieurs faisceaux en s6rie, nous pouvons ainsi compter le hombre moyen de circuits qui lui sont r6serv6s.

Rdgle 2.

Le nombre min imal trouvd donne le nombre moyen de communications simultandes possibles par ce chemin et pour le courant de trafic considdrs

Pour les autres faisceaux du chemin, off il 6tait r6serv6 un nombre sup6rieur de circuits au nombre min imal pr6c6dent, ces circuits suppl6mentaires sont

f inalement affect6s aux autres courants de trafic, et r6partis propor t ionnel lement h leurs valeurs. Dans ia mesure off ces autres courants de trafic d6bordent

sur d 'aut res faisceaux et peuven t per turber de nouveaux courants de trafic, il y a lieu de met t re sur pied

un processus it~ratif convergent, n6cessitant de revenir

plusieurs fois sur le hombre moyen de circuits r6server h u n courant de trafic donn6, le nombre de chemins et l 'ordre d 'explorat ion 6tant fix6s par la table d 'acheminement .

A la fin du processus, nous t rouvons qu ' i l est r6serv6, en moyenne, L] communica t ions simultan6es pour le

274

t. 24, n o~ 7-8, 1969]

courant n o ], h travers l 'ensemble des chemins qui lui

sont affect~s par la table d 'acheminement .

Une troisi~me r~gle fondamenta le va nous simplifier consid6rablement les ealculs.

s u n U N E THt~O1RIE DES R~iPI~TITIONS DES APPELS TELI~PHONIQUES 15/21

R~gle 3.

Dans l'~tal de quasi-saturation provoqu~ par les

divers lrafics A t , le lrafic dcouM relatif au couranl n ~ i se comporte praliquemenl comme celui lraversant

un faisceau de Li circuits, nombre d~termind par le processus precedent.

La probabilit~ de blocage (dans le module ficli[ appels perdus) vaat donc pratiquement :

(72) IQ (A~) ~ ELi (At ) , (*)

off EL (T) est la formule de perte d 'Er lang (57).

Les tab leaux I h VI et IX sont ainsi d i rectement applicables, puisque nous ramenons l '~tude d ' u n r6seau g6n6ral h celle d ' un simple faisceau de circuits.

Ainsi, pour un t aux d'effieacit6 donn6, nous pouvons ensuite rechercher, par i t6rat ions successives, le

nombre de circuits h pr~voir par faisceau. Nous y reviendrons au paragraphe C.

Quatre remarques sont h faire.

1. Quand nous raisons varier propor t ionnel lemeut

t o u s l e s trafics A t , les nombres L I n e changent pas (pour un r6seau donn6), ce qui est d 'ail leurs 6vident h cause de l '6 ta t de quasi-saturat ion. I1 e n e s t ainsi quand le t a u x d'efficacit~ exig6 est le m~me pour t o u s l e s courants de trafic : hypoth~se actuelle. I1

s 'ensui t que, pour un r~seau donn6, Ies hombres Lt

sont ind~pendants du taux d'efficacitd commun r.

Les nombres A 1 6tant proport ionnels aux trafics

frais a I , du fait de notre hypoth~se, il suffit d'appliquer les r~gles de calcul pr~c~dentes aux trafics /rats eux- mgmes, en les ma]orant tous d'un m~me facteur arbi- traire, de fa~on g~ oblenir la saturation du r~seau.

2. Le fait de teni r compte des goulots d '6trangle- ment , lesquels d6finisseut f inalement les nombres L~, ent ra ine que Ies ddpendances al~aloires entre /aiseeaux

sont vdrifides, alors que les m6thodes de calcul habituelles n6cessitent l 'hypoth6se de l ' ind6pendance

al6atoire entre faisceaux successifs.

3. Dans le cas d'ace~s parliel aux faisceaux sortants

d ' u n mgme centre, il y a lieu (pour un r6seau donn6, les capacit6s des faisceaux 6tant fix6es), de baisser les quant i t6s L~ relatives ~ ces faisceaux et trouv6es

(*) Notons que, dans l'6tat de quasi-saturation, ELI(A~) ne d~pend pratiquement que du rapport LdA~. Dans le cas de bons taux d'efficacit6 ( ~ 60 %), oh l'~tat de quasi- saturation n'est plus tout h fait v~rifi6, Fi(A/) s'identifie en iait avec le taux de perte le plus ~lev~, trouv~ sur les divers faisceaux travers6s successivement, taux de perte 6valu6 par la formule de perte d'Erlang en supposant les faisceaux isol6s. Si deux de ces faisceaux pr6sentent la m~me perte la plus 61ev6e, c'est le plus petit qui est g6n6ralement fi consid6rer ne pouvant supporter que des charges plus faibles. Si ces deux faisceaux sont identiques, la valeur exacte de Fi(A/) sera h peine sup6rieure h la perte relative fi un seu! de ces deux faisceaux (probablement de 30 % au plus pour un taux d'efficacit~ de 65 %).

pr6c6demment, de la fa~on suivante. Le /aisceau sor tant consid6r6 comporte L circuits et revolt divers trafics A t dont la somme vau t a [ici, nous consid6rons les valeurs A I v6ritables, et non h u n facteur pr6s].

Du fait de l'acc~s partiel , le t aux de perte P0 sur ce faisceau seul, dans le mod61e fictif h appels perdus,

peut 6tre estim6, par exemple, par les formules (67), (68) et (69). Nous d6terminons m a i n t e n a n t le nombre L o de circuits qu ' i l suffirait de pr6voir, s'il

y avai t ace,s to ta l et m6me valeur de perte P o , par la formule d 'Er lang :

(73) Po = ELo (a) .

Le nouveau nombre L'~ ~ pr~voir dans le faisceau, pour le courant n o i, vau t :

(74) L'~ = L~ L~ L

C'est ce nombre L'~ qui doit in te rveni r pour l '6va- luat ion de la capacit6 en trafic d ' u n chemin donn6 (pour le courant n o i), et qui est fi in t roduire dans le

processus it6ratif d6crit pr6c6demment.

4. Les r~gles indiqu6es ne s ' appl iquent s implement q u ' a u x plans d ' acheminement hi6rarchis6s. Dans lc cas contraire, nous serions souvent amen6s fi consi-

d6rer l ' influence des probabili t6s d ' encombremen t des divers faisceaux possibles h la sortie d ' u n m6me centre, pour appr6cier la r6part i t ion d ' u n m6me courant de trafic sur ces divers faisceaux. Les rbgles de calcul relatives h u n plan d ' acheminement plus

sym6trique, par exemple, seraient done beaucoup

plus compliqu6es.

D'ail leurs dans la prat ique, seuls les plans d 'ache- minemen t hi6rarchis6s sont consid6r6s dans les r6seaux P.T.T., pour des raisons de simplicit6 de mat6riel

et de gestion (observat ion du trafic, main tenance , r6sistance aux surcharges de trafic).

Pour concr6tiser et v6rifier les rbgles pr6c6dentes, nous allons envisager un exemple de r6seau simple,

repr6sent6 sur la figure 1.

c

C3

N 1 , C t

FIG. l. - - Cas d'un traflc direct 1 J 6gal ~ 10 erlangs pouvant d~border sur la vote finale I C J, laquelle reqoit 9 autres trafics de d6bordement identiques, d'une part sur le faisceau IC,

d'autre part sur le faisceau JC. Cofits : C 1 = 7, C 2 = 4, C 8 = 7.

En t re ]es centres I, J e t C, nous avons des faisceaux

de N 1 (liaison I J), N2 (liaison I C) et N3 circuits (liaison C J). Nous supposons que le trafic frais

- - 275

16/21

d 'origine offert au courant de trafic, al lant de I h J ,

vau t :

a = 10 erlangs.

I1 est offert, en premier choix, au faisceau direct

h haut r endement I J . En cas d ' encombremen t dans

ce faisceau, il est alors offert (en deuxi~me choix) h

la voie de d~bordement I C J .

Nous supposons que le faisceau I C n'~coule pas

de trafic direct, et 6coulc par contre 9 autres trafics

de d6bordement ident iques au premier. De m~me

pour le faisceau C J , les 9 autres trafics de d~bor-

dement n 'd tan t d 'ai l leurs pas forc~ment ceux consi-

d6r~s dans le faisceau I C.

Dans le module habi tue l h appels perdus, la pro-

babilit6 de blocage re la t ive h notre courant de trafic

I J se d~termine s implement par la m6thode de

Wilkinson [13], en supposant l 'accessibilit6 to ta le aux

faisceaux.

La probabili t6 de t rouver la voie directe encombr6e

vau t :

(75) Po : EN1 (a) .

Le trafic offert au d6bordement vau t :

(76) b = a E N 1 ( a ) .

La var iance de ee trafie de d6bordement (c'est-~-

dire de la loi donnan t le nombre de communica t ions

s imul tan&s de d~bordement) v a u t :

[ o ] (77) v = b 1 - - b + 1 + N i + b - - a "

Cette expression suppose une per te faible dans la

voie de d~bordement. I1 s 'ensui t que, pour l 'ensemble

des 10 trafics de dfibordement d 'un m~me faiseeau

I C ou C J, la var iance V e t le trafie B r~sultants sont

p r a t i quemen t la somme des quanti t~s partielles :

(78) B = 10 b,

V = 1 0 v .

Wilkinson a montr6 que ce trafic r & u l t a n t ~tait

p r a t i quemen t 6quivalent (pour l '~valuat ion de la

perte) h u n trafic de d6bordement p rovenan t d 'un

seul faiseeau fietif de N o circuits, r eeevan t un trafie

offert A o . Cet au teur a fourni les abaques de eor-

respondanee : (B, V) - + (A o , No).

Y. Rapp [10] a e n s u r e montr6 que eet te corres-

pondanee 6tait p r a t i quemen t r6alis6e par les relat ions :

v ( v ) A o = V + 3--~- - - 1 ,

A~ B - - l , (79) No -- z

1 avee : z = 1 -

B + V I B

P. LE GALL IANNALES DES TI~LI~'COMMUNICATIOND

Nous avons de m6me, pour le faisceau C J :

EN1 + N 3 (A0) E a =

Ex~ (a)

La probabili t4 de blocagc final, pour notre eouran t

de 10 erlangs v a u t done :

(81) P = ENi (a) [E 2 -1- ( 1 - E 2 ) E a ] .

Rappelons, pour justif ier eet te derni~re expression,

que nous avons suppos6 p r a t i quem en t l ' iud6pendanee

al6atoire entre les faisceaux I C et C J , les courants

de trafies de d6bordement n '6 t an t pas t o u s l e s m~mes

dans les deux faisceaux.

Si nous envisageons m a in t enan t le module avee

r~p6tition des appels, nous avons vu, au d6but de ee

paragraphe, qu ' i l fallait eonsid6rer des trafics A (au

lieu de a) va lan t respec t ivement 14 ou 15 e r l angs

environ, suivant que 0 va la i t 0,10 ou 0,20 (pour

r = 0,65).

Dans le faisceau de d6bordement I C, les trafies

de d~bordement 6tant tous identiques, la r~gle 1

pr~c~dente indique que (0,1 N2) circuits sont r~servds

en moyenne h notre courant de trafic. De m~me,

dans le faisceau C J , (0,1 Na) circuits lui sont r~serv~s.

D~signons par N ' la plus petite des quantit~s N 2 et N a .

D'apr~s la r~gle 2, il s '~coule en moyenne (0,1 N ' )

communica t ions par la voie de d~bordement I C J .

Not re courant de trafic ~coule, au to ta l et en moyenne

(N 1 -k 0,1 N') communicat ions . La rOgle 3 nous

donne f inalement la probabili t~ de blocage, dans le

module fictif h appels perdus :

(82) P ~ EN 1 + 0,1 X' ( A ) .

Dans les tab leaux X I I I (A = 14) et X I V (A = 15),

off nous avons suppos~ N2 = N a , nous comparons

l 'expression exacte (81), compte tenu de (75), (76),

(77), (78), (79) et (80) [expressions appliqu~es main-

t enan t aux trafics A], avec l 'expression approch6e

(82), eu faisant var ier N i de 9 h 14 circuits, pour une

valeur impos~e de la probabil i t6 de blocage final :

TABLEAU XIII

Pour le rdseau de la figure 1, comparaison entre les valeurs de F (A) et de son expression approchde.

Cas : A = 14.

Y~

N , = N3 F (A)

ENI +O,IN2 (.3_)

10 11 12 13 14

51 43 34 26 17 6

0,182 0,174 0,170 0,162 0,159 0,162

TAnLEkU XIV

Pour le rdseau de la figure 1, comparaison entre les oaleurs de F (A) el de son expression approcMe.

Cas : A = 15.

En tou t cas, le t a u x de per te sur le faisceau de

d~bordement I C v a u t alors :

ENo + N2 (A0) (80) E 2 =

Elvx (a)

F (A)

EN1 + o,, N2 (A)

9 10 11 12 13 14

0,173 0,175 0,177 0,174 0,177 0,173

o, W o,-iW o,-5

- - 276 - -

t. 24, n os 7-~, 1969]

P : 0,176. Nous avons d6jh remarqu6, en effet, que

cet te valeur correspondait au t aux d'efficacit6 d6sir6 :

r = 0,65.

Les t ab leaux pr6cit6s mon t ren t que l ' u l i l i sa l ion de

l ' express ion approehde (82) entra tne une erreur relat ive

de 10 ~ au p lus sur l '~valuat ion de la probabi l i t~ de

bIoeage P , bien que la var iance V soil env i ron le double

du trafic B , ce qui accuse un net caraetbre en poin te du

trafic de ddbordemenl eonsiddrd. La formule g6n6rale

(72) est donc suffisante dans la prat ique. Tout ceci

n 'es t 6v idemment valable que pour les trafics A j ,

et non a j , h cause de l 'dlal de quas i - sa tura t ion .

Nous allons discuter ma in t enan t du choix du t aux

d'efficacit6.

S U R U N E T H E O R I E D E S n ~ P E T I T I O N S D E S A P P E L S T E L E P H O N I Q U E S 17/21

B) R e l a t i o n e n t r e le t a u x d'eff icacit6 et la

taxat ion .

Nous avons vu commen t l '6 ta t de quasi -sa turat ion

pe rme t t a i t d ' isoler p ra t iquemen t chaque courant de

trafic et d 'assimiler son 6coulement h celui d 'un

trafic h t ravers un simple faisceau, dont nous pouvons

6valuer app rox ima t ivemen t le nombre L de circuits.

Le trafie d 'origine a donne lieu h u n trafic efflcace

a (1 - - ~), tax6 au prix [R o a (1 - -70] . C'est le revenu

qu 'en tire l 'Adminis t ra t ion . Pour 6couler le trafic,

elle a dfl invest i r et dolt cont inuer h entre tenir les

L chemins pr6c6demment cit6s, chaque chemin 6tant

constitu6 par une succession de circuits. I1 en r6sulte,

pour l 'Admin is t ra t ion un coflt p ropor t ionnel au

nombre de chemins, la propor t ionnal i t6 6tant appro-

x ima t ive et susceptible de var ier par pullers. Ces coflts

compreunent , de plus, app rox ima t ivemen t le mat6riel

nOcessaire h assurer la commuta t i on dans les eentres

ainsi que les 6quipements et lignes d'abonn6s. I1 y a,

en outre, un coflt presque fixe, d6pendant peu de la

capacit~ L. En fait, lors d 'une 6tude de dimensionne-

merit, le r6seau existe d6jh en part ie , ou m~me les

seuls param~tres h faire var ier sont seulement les

capacit~s des faisceaux. Duns ce cas, seuls les eo~ls

m a r g i n a u x , relatifs h l ' ad jonc t ion d 'un circuit suppld-

menta i re duns chaque faisceau, in terv iennent .

Prenons, pour uni ld de coCtt, le co~t horaire mogen

d ' u n chemin (cn ne consid6rant qu 'un circuit par

faisceau). Avec cet te unit6 de coflt, R o est alors la

laxe perr pour une communica t ion de notre courant

de trafic, dont la durOe est 6gale h une heure : coflt

de l' erlang.

Si nous 6galisons les d6penses et les revenus, nous

obtenons la relat ion :

(83) L = R o a (1 - - n ) ,

&off :

L (84) R~ = a (1 - - 7 : )

Le tableau XV donne, pour a va r i an t de 10 en

10 erlangs, depuis 10 jusqu 'h 100, la va leur t rouv6e

pour R o , quand 0 = 0,10 et 0,20 (p = 0,15 environ),

le t aux d'efficacit6 r va lan t r e spcc t ivemen t 0,60,

0,65 et 0,70.

R o est un peu plus 6lev6 quand la dur6e moyennc 0

des appels inefficaces augmente, ce qui est normal ,

puisque le temps improduct i f des circuits est plus

impor tan t . Mais R o monte aussi quand le trafic a

diminue, pour un t aux d'efficacit6 r donn&

Pra t iquement , R o varie entre 1,5 et 2. Or, dans les

grands r6seaux t616phoniqucs suff isamment maill6s,

les divers courants de trafic sont, en majori t6, de

pet i te importance , bien qu'i ls peuven t converger

parfois sur de grandes art6res. Mais il fau t consid6rer

l ' individual i t6 propre de chaque courant de trafic

initial, ll s 'ensui t que, souvent , R o est assez voisin

de 2. En choisissant une fois pour toutes R o = 2,

les quelques courants de trafic impor tan ts fourniront

un reveuu suppl6mentaire (pour r donn6) compensant

les ph6nom~nes impond6rables, ou l ' influence n6faste

des f luctuations br6ves de trafic en t ra lnan t un suppl6-

men t momentan6 d 'appels inefficaces et donc une

Valeur du rapport R o - L

a (1 - - ~)

TABLEAU XV

en fonclion du lrafic d'origine a (en erlangs), pour m~ laux d'efficacitd r donnd, el pour une

durde mogenne 0 des appels inefficaees donnde.

0 = o,10 0 = 0,20

r r

0,60 0,65 0,70 0,60 0,65 0,70

a = 10 1,72 1,78 1,90 1,86 1,93 2,05

20 1,56 1,61 1,70 1,71 1,76 1,83

30

40

50

60

1,50

1,47

1,45

1.43

1,54

1,50

1,48

1,46

1,61

1,56

1,43

1,53

1,50

1,65 1,61

1,47

1,59

1,57

70 1.42 1,44 1,49 1,56

80 1.41

. . . . . 9 b - . . . . i . ~ o - -

100 1,40

1,55

1,69 1,75

1,65 1,70

1,62 1,66

1,60 1,64

1,58

1,57

1,42 1,45 1,54 1,56

1,62

1,61 1,60

1,59

277

18/21 P. LE

nouvel le pe r t e de revenu. Nous pouvons donc proposer la r6gle s imple suivante .

R~gle d.

Pour un laux d'efficaeitd fixd, le mdme pour lous les couranls de trafic et compris entre 60 % el 70 %, la

taxe & percevoir sur un trafie efficace de 1 erlang (~ rheure chargde) peut $tre environ le double du codt horaire moyen d'un chemin (moyenne prise sur Fen- semble des chemins, en ne cons id6rant qu 'un circui t dans chaque faisceau).

Quant h l ' 6va lna t ion de ce dernier coot , nous sore- rues amen6s h ten i r compte , n o t a m m e n t , des not ions de dur6e d ' amor t i s s emen t , d ' ac tua l i sa t ion , et de cran d 'extension.

Nous aur ions pu essayer de d6 te rminer R o aut re- men t : en es sayan t de minimal i ser la quan t i t6 (L -t-R0 a~) , r ep r6sen tan t la somme des d6penses et de la per te de revenu, quand nous faisons var ie r le t a u x d'efficacit& En faR, nous aur ions 6t6 condui ts /~ des valeurs bien t rop 61ev6es pour R 0 .

F ina lement , avec la r6gle s imple 6nonc6e, nous pouvons nous con ten te r de p rend re le meme t a u x d'efficacit6 pour les d ivers couran ts de t ra f ic : ce pa ram6t re d i spa ra i t donc, ce qui v a simplif ier le plus possible le difficile probl~me d ' op t ima l i s a t i on de la s t ruc tu ra t ion des r6seaux t616phoniques.

C) S t r u c t u r e o p t i m a l e d e s r 6 s e a u x t616pho- n i q u e s .

Au p a r a g r a p h e A, nous avons expos6 la m6thode pour calculer les ta i l les de fa isceaux de circui ts /~ envisager si nous voulons un t a u x d'efficacit6 impos6. Le r6seau (c 'es t -h-di re ses l iaisons) 6 ta i t alors bien d6fini, ainsi que la t ab l e d ' a c h e m i n e m e n t (suppos6 hi6rarchis6). Nons avons 6t6 toutefois amends ut i l iser un processus i t6ra t i f convergent pour ten i r compte de l 'effet des goulots d '6 t rang lement , en d ' au t res te rmes pour t en i r compte de la d6pendance a16atoire entre fa isceaux en s6rie dans 1'6tat de quasi- sa tura t ion .

Nous allons aborder m a i n t e n a n t le p roblbme plus g6n6ral su ivant .

Etanl donnd un certain hombre de centres tdldphoniques S t , et des courants de trafic, comment pouvons-nous ddfinir les liaisons, leur capaeitd, et la table d'aehemi- nement (supposal hidrarehisd) de far ~ obtenir un codt

min imal du rdseau, pour un laux d'efficaeitd fixd ?

D'apr6s la rbgle du p a r a g r a p h e pr6c6dent , nous saurons alors c o m m e n t t a x e r chaque cou ran t de trafic.

Ddsignons par at1 le courant de trafic de St vers S 1 . Nous avons vu, au p a r a g r a p h e A, que la f ixat ion du t a u x d'efficacit6 r nous en t r a ina i t h dimensionner le rdseau pour des eourants connus AtI bien plus dtevds,

cor respondan t ~ 1'6tat de quas i - sa tu ra t ion . Dans cet 6tat , nous savons aussi qu 'e l le est la p robab i l i t6 de blocage h respec te r (dans le mod61e fictif h appels perdus) , la m6me pour t o u s l e s couran ts de traflc. D 'apr6s la r~gle (3) et la formule approch6e (72), nous d6duisons la eapaci t6 L t j h consid6rer pour le couran t

GALL [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

de t raf lc (i, ]) a l lan t de St vers Sy . La r~gle (1) nous p e r m e t ensui te de seinder chaque [aisceau 6coulant plusieurs courants de t raf ic , en plusieurs /aisceaux ~coulant ehacun un seul des eouranls de trafic compo- sants et a y a n t une capaci t6 6gale au hombre moyen de communica t ions du couran t de t ra f ic considdr6 (dans le faisceau in i t ia l consid6r6). Cette division ne peut ~tre envisag~e que dans l'dlat de quasi-saturation.

Elle v a nous simplif ier cons id6rab lement le pro- b16me. En outre, cet 6 ta t sa tur6 nous pe rme t de consi- d6rer les d ivers t raf ics offerts aux fa isceaux comme poissonniens, qu ' i l s 'agisse d ' u n t ra f ic d i rec t ou d ' un t raf ic de d6bordement . Les rbgles habi tuel les d 'op t i - mal i sa t ion de r6seau, bas6es sur le mod61e d ' E r l a n g ne von t plus 6tre valables , r~gles d6finies n o t a m m e n t dans [9, 10, et 11].

Un chemin de d6bordemen t a m a i n t e n a n t p ra t i - quemen t les m6mes propri6t6s d '6coulement de t raf ic qu 'un chemin direct . I1 ne fau t donc plus s ' a t t e nd re t rouve r un o p t i m u m ent re la capaei t6 des voies directes et celle des voles de d6bordement , saul s ' i l y a g6ne entre deux couran ts de t ra f ic diffdrents dans la m6me vole directe, quand sa capaci t6 est t rop limit6e. Le d6bordemen t cof l tant d ' o rd ina i r e plus cher que l ' a cheminemen t direct , U y au ra g6n6ralement intdrdt

limiter au m a x i m u m le ddbordemenl, saul raisons

de sdcurit~ de gestion.

Concrdtisons t ou t d ' a b o r d ce t te r emarque sur l ' exemple s imple de la figure 1. Au p a r a g r a p h e (A), nous avions d6jfi remarqu6 que la capaci t6 de chaque couran t de t raf ic 6 ta i t [cf. formule (82)] :

(85) L ---- N 1 ~ 0,1 N~, (si N 2 ---- N3) ,

quand nous nous imposons N 1 , N2 , et N 2 ---- N a . Si C 1 , C 2 et C a sont r e spec t ivemen t les coots d ' un

c i rcui t dans les fa isceaux I J , I C et C J , le coot de chaque couran t de t ra f ic s'616ve h :

(86) C = C 1 N 1 ~- 0,1 (C 2 N2 -~ C a N3).

Dans no t re exemple , nous avons pris :

N~ = N 3 ,

C 1 7, C 2 = 4, C a = 7.

Considdrons t ou t d ' a b o r d le mod61e t r ad i t i onne l h appe ls perdus , et donc la formule de blocage (81), c o m p t e t enu des formules (75) h (80), appl iqu6es aux t raf ics atI d 'or ig ine , 6gaux ici h 10 erlangs. D 'ord ina i re , on s ' impose nn t a u x de pe r l e de 2 % sur chaque faisceau de d6bordement .

Le t a b l e a u X V I m o n t r e que l ' o p t i m u m 6conomique s ' ob t i en t pour :

N 1 = 10, N 2 ---- N 3 = 34,

ce qui est en accord avec les t r a v a u x cit6s pr~c6dem- ment .

Avec le module des appels r6p6t6s, nous voulons un t a u x d'efficacit6 : r ----- 0,65. Nous avons effectu6 les calculs r igoureux e n t r a i n a n t une l~g~re va r ia t ion de P 1 , et donc de N2, p a r r a p p o r t aux t a b l e a u x X I I I et XIV.

278 - -

t . 2 4 , n ~ 7 - 8 , | 9 6 9 ] S U R U N E T H ] ~ O R I E D E S R i ~ P I ~ T I T I O N S D E S A P P E L S T I ~ L I ~ P H O N I Q U ] ~ S 19/21 T A B L E A U X V ] [

Pour le rdseau de la figure 1, comparaison entre les co~ts, dans le cas du moddle 6 appels perdus ( taux de perle sur les laisceaux de ddbordement : E 2 = E 3 = 0,02) el clans le cas du moddle avec appels rdpdt~s ( taux d'efficacitd : r = 0,65) pour 0 = 0,10 et 0,20.

Appe ls pe rdus (Ea = E 3 = 0,02)

Appe ls r6p6t6s

(r = o,(~5)

0 = 0,10

; O = 0,20 I

N~ 8

48

108,8

9 10 t

41 34

108,1 107,4 , t

46 38

113,6 111,8 r

58 50

126,8 125

11 12 t

28 23

107,8 109,3 i

31 24

111,1 i 110,4

42 ' 34

123,2 121,4

14 16 113 121 i

17 10 3 i - -

109,7 109 , 108,3

27 20 13 6

12o,7 1-i- -,3111s,6 Cofit r e l a t i f ~ un seul e ou r a n t de t ra f ic : C = C1N 1 -b O,1 (C2Nz -k CaN 3) = 7 N 1 q- 1,1 N 2.

Fina lement , le t ab leau X V I mont re que, dans

l 'exemple de la figure 1 off la vote directe n'6coule q u ' u n seut couran t de trafic, l 'optimum s'obtient

alors en supprimant les votes de d~bordement : nous re t rouvons bien notre remarque pr6c6dente, en

d6saccord complet avec les m6thodes d 'opt imal isa t ion habituelles. E n tou t cas, s'il y avai t d 'aut res courants de trafic e m p r u n t a n t le faisceau I J, et si la capacit6 du faisceau 6tait limit4e sufl isamment, le r6sul tat pourra i t ~tre diff6rent : il pourra i t 4tre n6cessaire de

d6border.

Notons en outre que, pour le cas th4orique C 1 ----

C 2 -b C s , nous pouvons tou t aussi bien d6border ou ne pas d6border. II s 'ensui t que, lorsque le d6bor-

dement cofite h peine plus cher que l ' acheminement direct, le t ab leau X V I pourra i t alors indiquer un certain op t imum pour le d6bordement : ce cas ne peut gu6re ~tre envisag6 que pour des circuits tr6s coflteux ( in te r -cont inen taux par exemple), car alors le (~ rappor t

des coflts ,) peut ~tre voisin de 1.

Dans le cas o~ aucune limitation n'est impos~e h

la capacit~ des /aisceaux, le probl6me envisag6 est

en fait tr6s simple : d'apr~s la propri6t6 de division indiqu6e pr6c6demment (par suite de l '6 ta t de quasi- sa tura t ion) , nous pouvons isoler chaque couran t de

trafic, et d6termincr les chemins et les nombres de circuits qui lui sont n6cessaires. Le r6sul tat est imm6- diat : la solution optimale correspond d l'utilisation

du chemin le moins codteux, el de celai-ld seulement.

Rappelons, toutefois, que des consid6rations de s6cu- rit6 de gestion peuven t entra iner tou t de mgme l 'u t i l i sa t ion d ' un peu de d6bordement.

Dans le cas ok une limitation est imposde d la capacit~

de certains/aisceaux (capacit6 h r6duire 6ventuel lement d'apr6s (74) dans le cas d'acc~s partiel), par suite de certaines cont ra in tes physiques t e n a n t compte de l '6 ta t actuel des r6seaux et des centraux, nous pouvons encore rechercher le chemin le moins cofiteux pour chaque couran t de trafic ~ l 'aide, par exemple, de

l 'a lgor i thme de Dantzig tr6s commode pour t rouver

le chemin de longueur minimale , quand nous associons le cofit d ' u n circuit /~ une (~ longueur ~).

Pour les courants de trafic, qui ont pu ainsi respecter les capacit6s l imites impos6es, le probl6me est r4solu

et nous les 61iminons du r6seau d'apr6s le principe pr6cit6 de scission [cf. r6gle (1)].

Toutefois, pour la s6curit6 de la gestion, nous pouvons nous arranger pour que 10 % du trafic

(par excmple) s'6coule sur le deuxi6me chemin le moths cofiteux pour le courant de trafic consid6r6. Nous sommes alors ramen6s h l '6tude d ' u n r6seau

off nous avons supprim6, pour notre courant de trafic de capacit6 L, 0,9 L circuits dans chaque faisceau du chemin de premier choix, ne r6servant plus qu 'une capacit6 0,1 L offerte dans le chemin de deuxi6me choix, lequel devient le chemin de premier choix

pour notre couran t t ronqu6 dans le nouveau r6seau tronqu4.

Dans le r6seau init ial , si des chemins de premier choix ont entra in6 un d6passement de capacit6 dans un faisceau, nous sommes amen6s [toujours d'apr6s

la r6gle (1)] h ne r6server h chaque courant de trafic s '6coulant dans ce faisceau, q u ' u n hombre de circuits propor t ionnel h la valeur du trafic correspondant . Le reste est h offrir au chemin de deuxi6me choix, le moins coflteux apr6s le pr6c6dent, pour le couran t consid6r6. Eventue l lement , ce m~me courant d 'origine sera amen6 h offrir, en deuxi6me choix, un trafic suppl6mentaire dfl h d 'aut res goulots d '4 t rang lement

impos6s sur le chemin de premier choix.

De proche en proche, nous 61iminons ainsi du

r6seau t o u s l e s circuits des chcmins de premier choix. Sur certains faisceaux de ces chemins, il restera des

circuits h r6server pour des chemins de deuxi6me choix.

EnsuRe, nous recommen~ons le m6me processus pour le r6seau t ronqu6 (off les chemins de premier choix ont 6t6 supprim6s), et ainsi de suite.

I1 est 6vident que, dans la prat ique, le hombre de choix possible pour un courant de trafic est limit4, /~ cause n o t a m m e n t des caract6ristiques limites des t raducteurs darts les centraux, et du nombre max imal impos6 de faisceaux en s6rie sur chaque chemin.

Notons bien que la r6part i t ion des trafics dans un

faisceau ne peut se fade sur une base 6conomique. Du fait de la hi6rarchisation et de la r6gle (1), ce

sont au contraire les propri6t6s al6atoires d '6coulement

du trafic qui imposeut cette r6part i t ion.

Notons, en outre, la diff6rence fondamenta le du

probl6me pr6sent avec celui, tr6s connu en recherche

op6rationnelle, de l '6coulement d ' u n flot dans un r6seau de t ranspor t . Dans ce dernier cas, la not ion

- - 279

2o/2 de courant de trafic ayan t une individual i t6 propre n 'exis te pas, et l ' appl icat ion de la r6gle (1) n ' a pas lieu d'etre.

F ina lement , ayan t d6termin6 la r6part i t ion des courants de trafic sur les divers chemins possibles, et donc leurs capacit6s h pr6voir, la r~gle (2) nous permet de supprimer les circuits en trop dans chaque faisceau. Nous avons donc bien d6termin6 les ache- minements et les capacit6s des liaisons (dont certaines sont peut-~tre h supprimer) , h la condit ion d'effectuer la correction inverse de la relat ion (74) p e r m e t t a n t

d'augmenler la capacitd de cerlaines liaisons dans le cas d' accds partiel.

Nous avons terrain6 avec la pr6sentat ion g6n6rale de la th6orie et de ses cons6quences. Notons toutefois que, dans le eas de r~seaux tr~s vastes off une communica t ion emprun te un nombre impor t an t de liaisons en s~rie, les probabil i t6s de bloeage attach6es

h chaque t ron$on de la chaine de communica t ion doivent rester faibles. Les m6thodes de caleul tradi- t ionnelles peuven t alors s 'appliquer, mais cette fois-ci aux trafics A~, cf. formule (63), et non aux traflcs

d'origine.

C O N C L U S I O N

Nous avons justifi6 la th6orie expos6e sur l ' influence des r6p6titions d 'appels t616phoniques inefficaces, en comparant avec les r6sultats obtenus par l 'exp6rience.

Nous avons ensuite montr6 comment l ' in t roduc t ion d ' u n 6tat fictif de quas i - sa tura t ion du r6seau permet- ta i t de s impl i fe r t ous l e s calculs de d imens ionnement , tou t au moins dans le cas de t aux d'efficacit6 moyens

ou mauvais .

Enfin, nous avons mis en lumi~re que certaines

cons6quences impor tantes de la formule d ' E r l a n g 6talent ~ remet t re en cause : n o t a m m e n t la not ion

d 'heure charg6e et l 'u t i l i t6 du trafic de d6bordement .

Les bases memes de la th6orie du t616trafic seront

peut-6tre ~ revoir.

I1 ne faut pas consid6rer la pr6sente 6tude comme une affirmation, mais bien comme une proposit ion d 'une nouvelle th6orie qui a besoin d'6tre confirm6e suffi- samment par l 'exp6rience, car elle repose sur la r6ac- t ion de l ' abonn6 devan t les s i tuat ions d ' encombrement , r6action que nous ne connaissons encore que fort peu,

et qui peut varier d ' une r6gion /~ l 'autre .

Nous voulons sur tout 6mettre un doute s6rieux

sur la validit6 des r~gles de trafic admises jusqu '~ ma in t enan t , afin que l 'on se rende compte de la

n6cessit6 d'exp6riences fondamenta les d 'observat ion de trafic au niveau des abonn6s. I1 est 6 tonnan t que,

depuis les t r a v a u x d 'E r l ang donc depuis 50 ans, la l i t t6rature soit encore presque muet te ~ ce sujet. E t pour tan t , t ou t ing6nieur du t616phone connal t

bien l ' influence n6faste des appels inefficaces, lesquels ne sont pas pris en compte clans la formule d 'Er lang !

Le trafic t616phonique a cela de diff6rent avec les

autres traflcs : il persiste ~ vouloir passer, meme quand

P. L E G A L L [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

ce n 'es t gu~re possible ; il (( persevere ~) et il submerge le r6seau.

I1 se produi t alors u n ph6nom~ne qui est probable- men t la cause de l 'erreur commise jusqu 'h m a i n t e n a n t : un observateur ext6rieur (les 6quipements d'observa t ion de trafic habituels) volt l 'occupat ion d ' un faisceau de circuits ob6ir h la loi d 'E r l ang et h u n trafic offert T [cf. formule (23)] h peine sup6rieur au trafic r6ellement offert h l 'origine a. Par contre, l ' abonn6 demandeur , en concurrence avec les autres appels, y compris les appels r~p6t6s, volt le r6seau soumis un trafic total offert A [cf. formule (63)] bien sup~rieur au trafic a (de 50 % par exemple i), et a ya n t prati-

quement pour seule corr61ation avec ce dernier : la psychologic de l'abonn~ demandeur ou plutSt sa persd- v~rance. I1 y a eomme une sorte de d~doublemenl du lrafic, en t r a inan t une r6elle difficult6 dans le choix d ' u n module repr6sentant le ph6nom~ne physique. L 'homme a du mal h imaginer la na tu re se p r6sen tan t au m~me ins t an t sous diverses formes su ivan t la fa~on dont on l 'examine. I1 a t endance h la regarder unique- men t de la fa~on la plus commode, et il est r6ellement difficile de lui faire admet t re qu ' i l n ' a peut-~tre pas

tou t observ6 ainsi. C'est en cela que le doute est sou- ven t h la base de la recherche fondamenta le .

I1 nous semble donc que d ' examiner h fond ce probl~me des appels r6p6t6s devrai t nous ouvrir de

nouveUes perspectives pour la recherche et pour une organisat ion des r6seaux et des cen t raux mieux adap- t6e.

R E M E R C I E M E N T S

Cette dtude ayant n~cessild un long travail en infor- matique, qu'il me soil permis de remercier ~ cetle occasion

rues collaboraleurs au service de T~l~trafic de Socolel : M. Gu~rineau pour les ~ludes pr~liminaires de

simulation [6], lesquelles ont ~td bien uliles pour l'~la- boralion de la th~orie ;

M ne Rivat pour les traitements num~riques ;

el enfin M. Kerebel, Ingdnieur civil des l~ldcommunications, pour le conlr6Ie de l'ensemble da travail, et aussi pour son dtude d'observalion de Irafic [4] qai a servi de justification ~t la pr~senle thdorie.

Manuseri t recu le 7 f~vrier 1969.

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Documents

Sur une théorie des répétitions des appels téléphoniques