sustentation électromagnétique

2008-2009

MERAGA Mustapha & SERDOUN Hichem

REPUBLIQUE ALGERIENNE

DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE

DE D’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA

RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE

BLIDA INSTITUT D’ELECTRONIQUE

2008-2009

Application d’une sustentation électromagnétique

Résumé : L’objective de ce mini-projet est l’utilisation de la force électromagnétique pour le

déplacement de la masse M sans contacte avec l’électro-aimant. L’asservissement de cette application consiste à maintenir la masse M à une distance

choisie x0, pour cela nous allons étudier l’asservissement de l’amplificateur du courant pour corriger le processus d’attraction électromagnétique, ainsi l’asservissement analogique et numérique de la position x(t). Nous allons utiliser un régulateur flou qui comporte 2 entrées, e(t) représentant l’écart entre la consigne de position et la mesure de celle-ci et de(t) dérivée de e(t) permettant ainsi au régulateur flou la correction de l’erreur statique.

Sommaire 1. Introduction .......................................................................................................... 4

2. Modélisation du processus ................................................................................... 5

2.1. Expression de la force d’attraction F en fonction du courant dans la bobine I et de l’entrefer e ......................................................................................................... 5

2.2. Linéarisation du processus autour d’un point de repos e(t) = e0 .................. 6

2.3. Fonction de transfert de processus ................................................................ 7

3. Asservissement de l’amplificateur de courant ..................................................... 8

4. Modèles analogique et discret de l’asservissement de la position x(t) .............. 11

5. Asservissement numérique de la position x(t) .................................................... 15

6. Mise en œuvre d’un régulateur flou ................................................................... 19

6.1. Fuzzification des variables .......................................................................... 20

6.2. Définition des règles d’inférence ................................................................. 22

6.3. Défuzzification de la sortie .......................................................................... 22

7. Conclusion ......................................................................................................... 30

Annexe ........................................................................................................................ 31

Bibliographiques ........................................................................................................ 33

Application Sustentation électromagnétique

4

1. Introduction : Actuellement dans le monde industriel de nombreux systèmes sont en train de

remplacer l’Homme, mais l’autonomie du système dépendait de l’Homme, d’où la nécessité de créer un système intelligent. L’un des techniques d’intelligence c’est la logique floue.

La logique floue, dans la plupart des applications actuelles, permet de prendre en compte toutes sortes de connaissances qualitatives de concepteurs et d’opérateurs dans l’automatisation des systèmes.

Les nombreux systèmes existant sont modélisable et nécessite des correcteur ou des contrôleurs, pour différant grandeur (vitesse, position, …) et tout sa s’appelle l’asservissement, dans de ce domaine les contrôleurs flous peuvent concurrence les correcteur classiques. En effet, ils offrent de bonnes caractéristiques en termes de temps de réponse, dépassement et surtout robustesse dans certaines applications.

Notre mini-projet, c’est une application d’une sustentation électromagnétique, consiste à utiliser un contrôleur flou pour maintenir la position de la partie mobile à une distance choisie.


5

L’application consiste à utiliser la force électromagnétique pour réaliser le déplacement de la masse M sans contact.

L’asservissement consiste à maintenir la partie mobile de masse M à une distance

choisie x0 de l’électro aimant. M = 1 kg : masse de la partie mobile, S = 4 cm2 : section de l’électro-aimant, N = 1000 : nombre de spires de la bobine de l’électro-aimant, r = 2 Ω : résistance de la bobine de l’électro-aimant, x0 = 5 mm : distance à asservir entre la partie mobile et l’électro-aimant. On rappelle que la perméabilité μ 0 de l’air est égale à 4π.10 -7. Les perméabilités du

matériau magnétique du noyau de l’électro-aimant et de la partie mobile sont supposées infinies.

2. Modélisation du processus : 2.1. Expression de la force d’attraction F en fonction du courant dans la bobine I et

de l’entrefer e :

La réluctance du circuit magnétique s’exprime par la relation suivante,

𝑅𝑅 = �𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇0𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑒𝑒

+ �𝑑𝑑𝑑𝑑

𝜇𝜇0𝜇𝜇𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒

Sachant que μr ⟶ ∞, on obtient :

𝑅𝑅 =2𝑒𝑒𝜇𝜇0𝑆𝑆

L’induction électromagnétique s’écrit :

𝐵𝐵 =𝜑𝜑

𝑆𝑆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝜑𝜑


6

Avec φ l’angle entre les lignes de flux et la perpendiculaire à la surface S soit φ=0, ce qui donne:

𝐵𝐵 =𝜑𝜑𝑆𝑆

La force d’attraction s’écrit :

𝐹𝐹 =𝐵𝐵2𝑆𝑆𝜇𝜇0

De plus, sachant que N I = R ϕ, on peut écrire :

𝐵𝐵 =𝜙𝜙𝑆𝑆

=𝑁𝑁 𝐼𝐼𝑅𝑅 𝑆𝑆

𝐹𝐹 =𝐵𝐵2𝑆𝑆𝜇𝜇0

= �𝑁𝑁 𝐼𝐼𝑅𝑅 𝑆𝑆

�2 𝑆𝑆𝜇𝜇0

=𝜇𝜇0 𝑆𝑆 𝑁𝑁2𝐼𝐼2

4𝑒𝑒2

2.2. Linéarisation du processus autour d’un point de repos e(t) = e0 :

La force d’attraction F est fonction des variables que sont le courant I(t) dans la bobine et l’épaisseur e(t) de l’entrefer. On limitera l’étude en supposant que les déplacements de la masse sustentée restent faibles devant e0.

Le système ainsi considéré peut se simplifier en un système linéaire décrit par la formule approchée suivante :

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝐼𝐼) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥 = 𝑒𝑒0, 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0) + 𝑘𝑘 1𝐼𝐼(𝑡𝑡) + 𝑘𝑘2𝑥𝑥(𝑡𝑡) Sachant que F = F g, l’expression du courant de maintien de la masse sustentée à une

distance x = e0 s’écrit :

𝐼𝐼0 =2𝑒𝑒0

𝑁𝑁�𝑀𝑀 𝑔𝑔𝜇𝜇0 𝑆𝑆

Les coefficients k1 et k2 ont pour expression :

𝑘𝑘1 =𝑑𝑑𝐹𝐹𝑑𝑑𝐼𝐼

=𝑑𝑑𝑑𝑑𝐼𝐼 �

𝜇𝜇0 𝑆𝑆 𝑁𝑁2𝐼𝐼2

4𝑒𝑒2 � =𝜇𝜇0 𝑆𝑆 𝐼𝐼0 𝑁𝑁2

4𝑒𝑒2

𝑘𝑘2 =𝑑𝑑𝐹𝐹𝑑𝑑𝑥𝑥

= −𝑑𝑑𝐹𝐹𝑑𝑑𝑒𝑒

= −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 �

𝜇𝜇0 𝑆𝑆 𝑁𝑁2𝐼𝐼2

4𝑒𝑒02 � =

𝜇𝜇0 𝑆𝑆 𝐼𝐼02 𝑁𝑁2

4𝑒𝑒03

Ces coefficients sont utilisés dans l’expression de la première équation de la dynamique,

�𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝑀𝑀

Pour obtenir l’expression :

𝑘𝑘1 𝐼𝐼(𝑡𝑡) + 𝑘𝑘2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑀𝑀𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡2


7

2.3. Fonction de transfert de processus :

L’électro-aimant peut être commandé soit en courant, soit en tension ; nous allons donc écrire l’expression des fonctions de transfert liant le déplacement x(t) au courant I(t) ainsi qu’à la tension de sortie de l’amplificateur U(t).

Commande en courant de l’électro-aimant :

𝑘𝑘1 𝐼𝐼(𝑡𝑡) + 𝑘𝑘2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑀𝑀𝑑𝑑2𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2

La transformée de Laplace de cette expression s’écrit : 𝑘𝑘1 𝐼𝐼(𝑝𝑝) + 𝑘𝑘2 𝑋𝑋(𝑝𝑝) = 𝑀𝑀 𝑝𝑝2𝑋𝑋(𝑝𝑝)

𝑋𝑋(𝑝𝑝)𝐼𝐼(𝑝𝑝)

=𝑘𝑘1

𝑀𝑀×

1

𝑝𝑝2 − 𝑘𝑘2𝑀𝑀

=𝑏𝑏0

𝑝𝑝2 + 𝑎𝑎0

Avec :

�𝑏𝑏0 =

𝑘𝑘1

𝑀𝑀

𝑎𝑎0 =−𝑘𝑘2

𝑀𝑀

�

Commande en tension de l’électro-aimant :

𝑈𝑈(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟 𝐼𝐼(𝑡𝑡) +𝑑𝑑𝜙𝜙(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

Avec :

�𝜙𝜙(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿(𝑡𝑡)𝐼𝐼(𝑡𝑡)

𝐿𝐿(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿0 −𝑑𝑑𝐿𝐿𝑑𝑑𝑥𝑥

�

Ceci donne comme expression de la tension de commande :

𝑈𝑈(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟 𝐼𝐼(𝑡𝑡) + 𝐿𝐿0𝑑𝑑𝐼𝐼(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

− 𝐼𝐼0𝑑𝑑𝐿𝐿(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑥𝑥

×𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

Avec :

𝐿𝐿 =𝑁𝑁𝜙𝜙𝐼𝐼

=𝑁𝑁2

𝑅𝑅= −

𝜇𝜇0 𝑁𝑁2 𝑆𝑆2𝑒𝑒

Et 𝑑𝑑𝐿𝐿𝑑𝑑𝑥𝑥

= −𝑑𝑑𝐿𝐿𝑑𝑑𝑒𝑒

= −𝜇𝜇0 𝑁𝑁2 𝑆𝑆

2𝑒𝑒2

Soit :


+𝜇𝜇0 𝑁𝑁2 𝑆𝑆 𝐼𝐼0

2𝑒𝑒2 ×𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡


8

Et par conséquent,


+ 𝑘𝑘1𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

La transformée de Laplace de cette expression s’écrit : 𝑈𝑈(𝑝𝑝) = 𝑟𝑟 𝐼𝐼(𝑝𝑝) + 𝐿𝐿0 𝑝𝑝 𝐼𝐼(𝑝𝑝) + 𝑘𝑘1 𝑝𝑝 𝑋𝑋(𝑝𝑝)

Sachant que : 𝑋𝑋(𝑝𝑝)𝐼𝐼(𝑝𝑝) =

𝑘𝑘1

𝑀𝑀×

1

𝑝𝑝2 − 𝑘𝑘2𝑀𝑀

On obtient la fonction de transfert suivante liant le déplacement à la tension de commande de l’électro-aimant :

𝑋𝑋(𝑝𝑝)𝐼𝐼(𝑝𝑝) =

𝑘𝑘1

𝑘𝑘12 𝑝𝑝 + (𝑟𝑟 + 𝐿𝐿0 𝑝𝑝)(𝑀𝑀 𝑝𝑝2 − 𝑘𝑘2) =

𝑏𝑏0

𝑎𝑎2 𝑝𝑝3 + 𝑎𝑎2 𝑝𝑝2 + 𝑎𝑎1 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎0

Avec :

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑏𝑏0 = 𝑘𝑘1 𝑎𝑎3 = 𝐿𝐿0 𝑀𝑀 𝑎𝑎2 = 𝑟𝑟 𝑀𝑀 𝑎𝑎1 = 𝑘𝑘1

2 − 𝑘𝑘2 𝐿𝐿0𝑎𝑎0 = −𝑟𝑟 𝑘𝑘2

�

Application numérique :

�

𝑘𝑘1 ≈ 14 𝑘𝑘2 ≈ 3941 𝐿𝐿0 ≈ 50 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼0 ≈ 1.4 𝐴𝐴

�

3. Asservissement de l’amplificateur de courant :

Le processus d’attraction électromagnétique est intrinsèquement instable. Pour corriger cette instabilité le courant dans la bobine de l’électro-aimant doit pouvoir être modifié très rapidement lors d’un écart de position x(t) ≠ 0. Par conséquent, avant même d’asservir la position x(t), nous allons nous intéresser à asservir le courant I(t) dans la bobine de l’électro-aimant.

Synoptique de l’asservissement du courant I(t) :

G1

k

A V(t) I(t) Vréf

Vm(t)

+ -


9

On considère que l’inductance L = L0, constante. L’image du courant dans la bobine est produite par un procédé de mesure de gain de

conversion k égal à 0.04 fournissant une tension Vm(t).

𝐺𝐺1(𝑝𝑝) =𝐼𝐼(𝑝𝑝)𝑉𝑉(𝑝𝑝)

=1

𝑟𝑟 + 𝐿𝐿0 𝑝𝑝=

𝐾𝐾1 + 𝜏𝜏 𝑝𝑝

=0.5

1 + 0.025 𝑝𝑝

Pour obtenir I0 égal à 1.4 A, il faut imposer comme référence Vréf = 56 mV. La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit :

𝑉𝑉𝑚𝑚(𝑝𝑝)𝑉𝑉𝑟𝑟𝑒𝑒𝑉𝑉(𝑝𝑝)

=𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐴𝐴

1 + 𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐴𝐴×

1

1 + 𝜏𝜏1 + 𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐴𝐴𝑝𝑝

Si l’on s’impose de diminuer la constant de temps du processus à 5 ms, le gain A doit prendre la valeur 200.

Réponse à un échelon de 56 mV : "Simulation"

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

vrefvm

Temps

Consigne Vréf(t) et réponse Vm(t)


10

La simulation de la réponse indicielle permet de constater que la constant de temps du processus asservi du premier ordre correspondant au temps nécessaire pour atteindre 63% de la valeur finale de Vi donne bien 5 ms.

Par contre, l’erreur statique est importante ; pour corriger celle-ci sans avoir recours à une valeur d’amplification A très importante, on envisage d’utiliser un correcteur proportionnel et intégral.

Pour cela on utilise le bloc SIMULINK du PID analogique en fixant l’action dérivée à 0.

Le correcteur PI est de la forme :

𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 𝐴𝐴 +𝐼𝐼𝑝𝑝

La fonction de transfert du système asservi s’écrit donc :

𝑉𝑉𝑚𝑚(𝑝𝑝)𝑉𝑉𝑟𝑟é𝑉𝑉(𝑝𝑝) =

1 + 𝐴𝐴𝐼𝐼 𝑝𝑝

1 + (1 + 𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐴𝐴)𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐼𝐼 𝑝𝑝 + 𝜏𝜏

𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐼𝐼 𝑝𝑝2

La pulsation propre et de facteur d’amortissement de cette expression s’écrivent :

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑤𝑤0 = �𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐼𝐼

𝜏𝜏

𝜉𝜉 =12

×1 + 𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐴𝐴√𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐼𝐼 𝜏𝜏

�

Si l’on s’impose d’obtenir une pulsation propre de 500 rd/s et un coefficient d’amortissement ξ = 0.7 on obtient comme paramètre de réglage du correcteur :

�𝐴𝐴 = 825 𝐼𝐼 = 312500

�


11

Réponse indicielle du système corrigé :

4. Modèles analogique et discret de l’asservissement de la position x(t) :

On intègre à présent l’asservissement de courant dans une boucle de commande de la position x(t).

Le capteur de position x(t) est supposé linéaire autour du point de fonctionnement x=0 et génère une tension image de la position Vx(t). sa sensibilité de 1 V/mm correspond à un gain de conversion k3 = 1000 V/m.

On note G(p) la fonction de transfert de l’amplificateur de courant asservi précédemment étudié.

La fonction de transfert de la chaîne directe présentée ci-dessus s’écrit donc :

𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑝𝑝)𝑉𝑉𝑟𝑟é𝑉𝑉(𝑝𝑝) =

𝑘𝑘1𝑘𝑘3

𝑘𝑘 𝑀𝑀×

1 + 𝐴𝐴𝐼𝐼 𝑝𝑝

�1 + 1 + 𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐼𝐼 𝑝𝑝 + 𝜏𝜏

𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝐼𝐼 𝑝𝑝2� �𝑝𝑝2 − 𝑘𝑘2

𝑀𝑀�

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Consigne Vréf(t) et réponse Vm(t)

Temps

VréfVm

Amplificateur de courant asservi

Fonction de transfert en courant de

l’électro-aimant

Capteur de position

Vx(p) x(p) I(p) Vréf

k3 G2(p) G(p)


12

Les fonctions de transfert des 3 blocs du synoptique précédent peuvent être calculées à l’aide des commandes suivantes :

Expression de la fonction de transfert X(p)/I(p) :

Expression de la fonction de transfert Vm(p)/Vréf(p) :

Expression de la fonction de transfert Vx(p)/Vréf(p) :

Un tel processus est intrinsèquement instable, pour vérifier la stabilité de cette

fonction de transfert il est préférable de la représenter en faisant apparaître les pôles.


13

Il apparaît un pôle à partie réelle positive p = 62.78, le système est instable. Il est également possible de le vérifier en utilisant la commande de tracé des pôles et

des zéros pzmap.

Pour la création du modèle SIMULINK de la commande de position, la partie

asservissement en courant sera encapsulée pour devenir un sous-système.

Le modèle SIMULINK de l’asservissement de position avec retour unitaire se

présente comme suit :

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

System: sys Pole : -62.8 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 62.8

System: sys Pole : -0.00157 + 1.06i

Damping: 0.00148 Overshoot (%): 99.5

Frequency (rad/sec): 1.06

System: sys Pole : 62.8

Damping: -1 Overshoot (%): 0

Frequency (rad/sec): 62.8

System: sys Pole : -0.00157 - 1.06i Damping: 0.00148 Overshoot (%): 99.5 Frequency (rad/sec): 1.06

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is


14

Le résultat de la simulation avec une consigne constante vérifie l’état instable du processus.

Le modèle discrétisé à l’aide d’un bloqueur d’ordre 0 de la chaîne directe 𝑉𝑉𝑥𝑥

𝑉𝑉𝑟𝑟é𝑉𝑉 est

obtenu à l’aide de la commande c2dt. La période d’échantillonnage utilisée est de 0.2 ms, c'est-à-dire environ 10 fois inférieure à la constante de temps du processus.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120Réponse Vx(t) à une consigne constante

Temps


15

5. Asservissement numérique de la position x(t) :

On se propose de corriger le processus discrétisé par compensation des pôles et des zéros.

La fonction de transfert en z du processus en boucle ouverte suivante :

𝑇𝑇(𝑧𝑧) =𝐵𝐵(𝑧𝑧)𝐴𝐴(𝑧𝑧) =

𝐺𝐺(𝑧𝑧 + 3.732)(𝑧𝑧 − 1)(𝑧𝑧 + 0.2679)(𝑧𝑧 − 1.013)(𝑧𝑧 − 0.9875)(𝑧𝑧2 − 2𝑧𝑧 + 1)

Peut être décomposée pour faire apparaître au numérateur : 𝐵𝐵(𝑧𝑧) = 𝐵𝐵1(𝑧𝑧)𝐵𝐵2(𝑧𝑧)

Avec :

�𝐵𝐵1(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧 + 3.732) 𝐵𝐵2(𝑧𝑧) = 𝐺𝐺(𝑧𝑧 − 1)(𝑧𝑧 + 0.2679)

�

Et au dénominateur : 𝐴𝐴(𝑧𝑧) = 𝐴𝐴1(𝑧𝑧)𝐴𝐴2(𝑧𝑧)

Où :

�𝐴𝐴1(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧 − 1.013)(𝑧𝑧2 − 2𝑧𝑧 + 1)𝐴𝐴2(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧 − 0.9875)

�

B1(z) contient le zéro instable et ne peut donc pas être compensé par le correcteur. A1(z) contient un pôle instable devant être compensé par le correcteur et un pôle

double complexe conjugué que nous compenserons également. Le processus corrigé proposé prendra donc la forme suivante :

𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑧𝑧) =𝐵𝐵𝑐𝑐(𝑧𝑧)𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑧𝑧) =

𝐾𝐾 𝐵𝐵1(𝑧𝑧)𝐴𝐴2(𝑧𝑧)(𝑧𝑧 − 1)

Le terme (z-1) permettant à la fois d’annuler l’erreur statique et de réaliser la causalité du correcteur pour lequel le degré du dénominateur doit être supérieur ou égal à celui du numérateur.

Le gain k est un paramètre de réglage. Le correcteur assurant la compensation des polynômes B1 et A2 tout en introduisant

une intégration s’écrit alors :

𝐶𝐶(𝑧𝑧) =𝐾𝐾 𝐴𝐴1(𝑧𝑧)

𝐵𝐵2(𝑧𝑧)(𝑧𝑧 − 1)

Le correcteur étant défini, il reste à calculer la valeur à donner au paramètre de réglage qui permettra d’obtenir un processus corrigé stable et présentant une dynamique satisfaisante.

La fonction de transfert en boucle fermée du processus corrigé s’écrit :

𝐹𝐹𝑇𝑇𝐵𝐵𝐹𝐹 =𝐾𝐾 𝐵𝐵1(𝑧𝑧)

𝐾𝐾 𝐵𝐵1(𝑧𝑧) + 𝐴𝐴2(𝑧𝑧)(𝑧𝑧 − 1)

Le système est stable si les pôles se trouvant à l’intérieur du cercle de rayon unité, ceci impose une condition sur K.


16

Le dénominateur de FTBF s’écrit : 𝐷𝐷 = 𝑧𝑧2 + (𝐾𝐾 − 1.9875)𝑧𝑧 + 0.9875 + 3.732 𝐾𝐾

Soit Δ = 𝐾𝐾2 − 18.903 𝐾𝐾 + 1.5625 10−4 Que l’on peut également écrire :

Δ = (𝐾𝐾 − 18.903)(𝐾𝐾 − 8.265 10−6) 3 cas sont alors à envisager : Δ = 0 donnant pour solution 1 pôle double instable, Δ > 0 donnant pour solution 2 pôles réels instables, Δ < 0 donnant pour solution 2 pôles complexes conjugués pouvant être stable.

𝑧𝑧1,2 =1.9875 − 𝐾𝐾 ± 𝑗𝑗√−𝐾𝐾2 + 18.903 𝐾𝐾 − 1.5625 10−4

2

Ce qui amène à la solution �z1,2� < 1 si, 8.37 10−6 > 𝐾𝐾 > 3.4 10−3

Les pôles étant complexes conjugués, l’équation caractéristique du système en boucle fermée est du type :

𝐷𝐷(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧2 + 𝛼𝛼 𝑧𝑧 + 𝛽𝛽 Avec :

𝛼𝛼 = −2𝑒𝑒−𝜉𝜉𝜔𝜔0𝑇𝑇cos(𝜔𝜔0𝑇𝑇�1 − 𝜉𝜉2)

𝛽𝛽 = 𝑒𝑒−𝜉𝜉𝜔𝜔0𝑇𝑇 On pose ω0T = x et d’après l’expression du dénominateur de la FTBF, nous obtenons

2 expressions du même gain K que l’on cherche à déterminer.

𝐾𝐾 = 1.9875− 2𝑒𝑒−𝜉𝜉𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 �𝑥𝑥�1 − 𝜉𝜉2� = 𝑉𝑉(𝑥𝑥)

𝐾𝐾 =𝑒𝑒−𝜉𝜉𝑥𝑥 − 0.9875

3.672= 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

On impose un coefficient d’amortissement 𝜉𝜉 = √22

pour obtenir un temps de réponse minimal.

On décide de rechercher la valeur du gain K par une méthode graphique. Pour cela, on trace les courbes des fonctions f(x) et g(x) dans la même fenêtre graphique.

L’intersection des 2 courbes aura comme ordonnée la valeur du gain k et comme abscisse celle de la pulsation propre réduite ω0T.


17

Fichier masse_sust.m

L’intersection des 2 courbes a lieu pour des valeurs de k et de ω0T très faibles. Nous devons, à la fois, considérer des faibles valeurs de cette pulsation avec un

échantillonnage très petit.

On définit un intervalle de faible valeur de la pulsation réduite avec un pas

d’échantillonnage très faible.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Détermination graphique du gain k

x = ω0T

↓ 1.9875 - 2e-ξ x cos[x (1-ξ2)1/2]

← (e-2 ξ x - 0.9875)/3.672


18

On cherche l’indice pour lequel les deux tableaux de valeurs f et g possèdent la

même valeur à 10-6 près.

On obtient la valeur du gain avec la précision spécifiée.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3 Détermination graphique du gain k

x = ω0T


19

Les commandes suivantes permettent de lire le fichier electro.mat dans lequel SIMULINK stocke le temps, la consigne et la sortie, et de réaliser l’affichage de la réponse indicielle.

6. Mise en œuvre d’un régulateur flou :

L’avantage considérable d’un régulateur flou est sa robustesse, elle est particulièrement importante lorsqu’il s’agit d’asservir un processus intrinsèquement instable.

Le régulateur flou comportera 2 entrées, e(t) représentant l’écart entre la consigne de position et la mesure de celle-ci et de(t) dérivée de e(t) permettant ainsi au régulateur flou la correction de l’erreur statique.

La sortie de commande sera appelée Vc.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps en secondes

poursuite d'un échelon de position


20

Les domaines de chacun de ces 3 signaux sont choisis comme suit : -1 < e < 1

-100 < de < 100 -1 < Vc < 1

6.1. Fuzzification des variables :

On définit pour chaque entrée 3 fonctions d’appartenance trapézoïdales trapmf que l’on nomme neg pour négative, zéros pour nulle et pos positive.

Pour la sortie on définit 5 fonctions d’appartenance également trapézoïdales (GN pour grande négative, N pour négative, Z pour nulle, P pour positive et GP pour grande positive).

Le régulateur flou crée à l’aide de l’éditeur graphique sera nommé EA.fis. Les commandes suivantes permettent de représenter ces ensembles flous. Fichier electro_a5.m

Lois d’appartenance de l’entrée « erreur de position »:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Erreur de position e(t)

Deg

ré d

'app

arte

nanc

e

neg zero pos

Lois d'appartenance de l'entrée e(t)


21

Lois d’appartenance de l’entrée « dérivée de l’erreur de position »:

Lois d’appartenance de la sortie « commande de l’électro-aimant »:

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dérivée de l'erreur de position de(t)

Deg

ré d

'app

arte

nanc

eneg zero pos

Lois d'appartenance de l'entrée de(t)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sortie Vc(t)

Deg

ré d

'app

arte

nanc

e

GN N Z P GP

Lois d'appartenance de la sortie Vc(t)


22

On utilise la méthode de Mamdani qui utilise l’opérateur min pour le ET et l’opérateur max pour le OU.

6.2. Définition des règles d’inférence :

On dispose de 2 entrée ayant chacune 3 lois d’appartenance ce qui aboutit à 9 règles. Ces 9 règles sont définies dans la table d’inférence suivante.

e

de NEG ZERO POS

NEG GP P Z

ZERO P Z N

POS Z N GN

La commande ruleview permet de visualiser les règles éditées en mode verbeux.

6.3. Défuzzification de la sortie :

On utilise la méthode la plus usuelle correspondant au calcul du centre de gravité, retenue pour sa précision.

La commande gensurf permet le tracé de la surface de la variable de sortie Vc en fonction des 2 entrées e et de.

Vc


23

Le synoptique du système flou est obtenu à l’aide de la commande plotfis.

-1

-0.5

0

0.5

1-100-50

050

100

-0.5

0

0.5

e

Surface de commande du régulateur flou

de

Vc

System EA: 2 inputs, 1 outputs, 9 rules

e (3)

de (3)

Vc (5)

EA

(mamdani)

9 rules

Asservissement de la position de la masse


24

Le modèle SIMULINK du processus discrétisé par un bloqueur d’ordre zéro et asservi à l’aide du régulateur flou présenté ci-après.

On applique une consigne de type échelon mais présentant une pente de transition

non infinie afin d’éviter une réaction trop brutale du bloc « dérivée ». Le processus répond rapidement puis oscille légèrement au dessus de la position de

consigne, l’amplitude des oscillations est de 15mV soit un battement de la partie mobile de 0.03 mm.

Pour atténuer ce phénomène de battement il faudrait amortir un peu plus le processus lorsque la position se situe autour de zéro. Pour cela il suffit de diminuer la pente de la loi d’appartenance Z de la sortie.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

temps

Tens

ion

en v

olts

Consigne Vxc et position Vx


25

Evolution de l’erreur de position :

Evolution de la dérivée de l’erreur de position :

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

temps

Tens

ion

en v

olts


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

temps

Tens

ion

en v

olts

Dérivée de l'erreur de position de(t)


26

La tension de commande de l’électro-aimant :

On modifie à présent les ensembles flous de la variable de sortie pour utiliser des lois

d’appartenance gaussiennes afin d’augmenter l’amortissement du processus au voisinage de zéro.

Le nouveau régulateur ainsi obtenu est sauvegardé sous le nom EA1.fis.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

temps

Tens

ion

en v

olts

Sortie du régulateur flou

System EA1: 2 inputs, 1 outputs, 9 rules

e (3)

de (3)

Vc (5)

EA1

(mamdani)

9 rules

Régulateur flou, asservissement de la position de la masse


27

La réponse du processus à la consigne précédente est plus amortie. Cependant

l’erreur statique apparaît toujours avec une valeur moyenne identique nécessaire au maintien de la masse en sustentation. Cette commande nécessaire au maintien de la masse apparaît nettement sur le graphe de l’erreur e(t).

Remarque : changé la tension de consigne de 0.5V au 0.056V et remplacé EA par EA1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sortie Vc(t)

Deg

ré d

'app

arte

nanc

e

GN N Z P GP

Lois d'appartenance de la sortie Vc(t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

temps

Tens

ion

en v

olts



28

On peut vérifier la robustesse du système asservi en modifiant l’un des paramètres du

processus, par exemple le poids de la masse suspendue. Modifions M en faisant passer sa masse de 1 kg à 2 kg ; les paramètres K et τ de la

fonction de transfert en courant de l’électro-aimant prennent alors les valeurs suivantes :

�𝑏𝑏0 =

𝑘𝑘1

𝑀𝑀= 7

𝑎𝑎0 = −𝑘𝑘2

𝑀𝑀= 1970

�

On ajoute en plus sur le modèle SIMULINK la mesure du courant de commande I.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

temps

Tens

ion

en v

olts



29

La simulation, toujours avec la même consigne, mais en utilisant le premier régulateur EA.fis, fait apparaître un dépassement augmenté dans la phase transitoire et un meilleur amortissement. Ces deux phénomènes sont des effets logiquement liés à l’augmentation de la masse suspendue laquelle, en l’occurrence, a été doublée.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

temps

Tens

ion

en v

olts


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

temps

Tens

ion

en v

olts



30

L’augmentation de la masse sustentée accroît l’amplitude des oscillations de l’erreur dans la phase transitoire.

L’asservissement reste correct ce qui confirme la réputation de robustesse des

régulateurs flous.

7. Conclusion :

Le mini-projet consiste à utiliser le logiciel MATLAB pour l’asservissement d’une sustentation électromagnétique mettant en œuvre leurs outils de modélisation pour la partie commande. Dans cet article, c’est un contrôleur flou qui a été implanté, mais on a aussi bien mettre en œuvre un contrôleur PI pour la régulation du courant.

Enfin ce travail elle nous à permet d’approfondir notre connaissance spécialement en logiciel MATLAB et généralement à la logique flou.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps

Am

père

Variation du courant de commande


31

Annexe 1. Utilisation de la boite à outils « Fuzzy logic » : On commence par taper fuzzy à l’invite de la fenêtre de commande de MATLAB : Ce qui lance l’éditeur de contrôleur flou : Fis Editor 1.2. Opérations de fuzzification :

Etape 1 : La commande Edit permettra de choisir le nombre d’entrées-sorties (2 entrées et 1

sortie dans notre application). On pourra renommer à loisir ces différentes variables. Etape 2 : Double-cliquer sur chaque variable d’entrée ou de sortie pour définir les valeurs

linguistiques et la forme des fonctions d’appartenance. Pour cela utiliser dans le nouveau menu Edit la commande Add MFs, ce qui signifie ajouté des fonctions d’appartenance. On pourra choisir des fonctions triangulaires [trimf], trapézoïdales [trapmf], etc…

Etape 3 : Double-cliquer sur le bloc central (mandani) pour entrer les règles d’inférences

choisies.


32

Etape 4 : Pour visualiser le comportement du contrôleur ainsi créé, on pourra utiliser dans le

menu View, la commande View rules. Il est alors possible de fixer les valeurs des variables d’entrées, de voir quelles sont les règles d’inférences activées et de lire la valeur de la tension de commande correspondante.

1.2. Sauvegarde du contrôleur dans l’espace de travail MATLAB : Pour que le contrôleur ainsi créé soit disponible dans un modèle SIMULINK, il faut

qu’il soit sauvegardé dans l’espace de travail. Pour cela dans le menu File, utiliser l’option Save to workspace. Ainsi, son contenu sera mis dans un fichier de type «*.fis » (EA.fis dans l’exemple ci-dessus) auquel il sera fait appel dans SIMULINK.

Pour incorporer le correcteur flou dans son propre modèle SIMULINK, le plus simple est d’en copier un à partir d’une démo de MATLAB. Ensuite, on double-cliquera sur le modèle en entrant dans la fenêtre le nom du fichier (EA comme indiqué précédemment)

Le modèle définitif est (enfin !) prêt à fonctionner.


33

Bibliographiques [1]. B. Kamel " introduction á la logique floue et á la commande floue" cours

Master 2 en Electronique Option Automatique. 2008.

[2]. B. Kamel " tp n° 1 logique floue fuzzy logic toolbox matlab" TP Master 2

en électronique automatique 2008.

[3]. F. Chevrie F. Guély "La logique floue" Cahier technique n° 191. mars

1998.

[4]. M. Mokhtari, M. Marie "Applications de MATLAB 5 et SIMULINK 2"

33454-Dépôt légal : Août 1998

Documents

sustentation électromagnétique