SYNTHESE DES ACTIVITES DE RECHERCHE Mesure et analyse …

ECOLE CENTRALE DE LYON

SYNTHESE DES ACTIVITES DE RECHERCHE

Mesure et analyse des écoulements tridimensionnels et instationnaires dans les turbomachines à haute vitesse

Isabelle TREBINJAC

Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique UMR CNRS 5509

ECL, UCB LyonI, INSA

établie pour l’obtention de

L’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES Soutenance le 7 mai 2003, devant le Jury composé de Gérard BOIS Professeur ENSAM Lille Torsten FRANSSON Professeur KTH Stockholm Rapporteur Paul KUENTZMANN Directeur scientifique MFE/ONERA Châtillon Rapporteur Jean-Louis KUENY Professeur INPG St Martin d’Hères Rapporteur Michel LANCE Professeur UCB Lyon I Francis LEBOEUF Professeur ECL Ecully Olivier LEONARD Professeur Université de Liège Kyriakos PAPAILIOU Professeur NTUA Athènes

2

AVANT PROPOS

Les activités de recherche présentées dans ce document ont été développées au sein du

groupe ‘Turbomachines’ du Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique à l’ECL

(LMFA, UMR CNRS 5509, ECL, UCB LyonI, INSA).

La spécificité du groupe Turbomachines repose, dans un contexte universitaire, sur le

développement de recherches dont le produit support est à finalité industrielle. La problématique

part de la turbomachine industrielle pour diffuser vers une multitude de phénomènes qui peuvent

être relatifs à la transition entre les régimes laminaires et turbulents, au refroidissement par jets, à

la structure de la turbulence au bord d’attaque et au bord de fuite des aubages, aux instabilités

d’onde de choc, aux interactions sillage/onde de choc, aux effets de jeu, aux mécanismes

tourbillonnaires, aux interactions instationnaires multiples, etc.…. Ces phénomènes sont étudiés

soit sur des expériences expérimentales ou numériques de base, soit sur des machines modèles

montées sur les bancs d’essai du Laboratoire. Les éléments d’analyse et de compréhension qui

résultent des ces recherches peuvent alors, après intégration par l’industriel, orienter les machines

du futur.

Le groupe Turbomachines est structuré en trois thématiques.

1 Phénomènes instationnaires locaux et instabilités dans les turbomachines multiétagées

Cette thématique se focalise sur le problème des interactions rotor stator en faisant apparaître les

spécificités suivant le type de machine étudiée et en distinguant des aspects globaux les

mécanismes instationnaires locaux qui peuvent être étudiés séparément.

2 Nouvelles approches expérimentales et numériques pour les turbomachines multiétagées – banc CREATE

Cette thématique regroupe l’ensemble des travaux qui sont menés sur les outils expérimentaux et

numériques nécessaires à la réalisation des recherches présentées dans les autres thématiques.

3 Phénomènes turbulents aérodynamiques et thermiques – Caractérisation et conception des machines

Cette troisième thématique représente les activités plus proches de l’industriel avec une partie

axée sur le refroidissement, notamment des aubes de turbine en aval de la chambre de

Isabelle Trébinjac HdR – Mai 2003

3

combustion et une partie sur la détermination des caractéristiques globales des machines ainsi que

sur les aspects conception.

L'expertise de l'équipe est reconnue au niveau national et international, par les organismes

régionaux et étatiques mais aussi par les principaux constructeurs aéronautiques français. La

signature d'une convention de pôle externe de recherche avec la SNECMA en constitue une

manifestation significative.


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Table des matières

LISTE DES FIGURES…………………………………………………………………5

NOMENCLATURE…………………………………………………………………….6

I INTRODUCTION............................................................................................................ 8

II PRESENTATION DES DEUX CAS-TEST................................................................. 11 II.1 COMPRESSEUR CENTRIFUGE....................................................................................... 11 II.2 COMPRESSEUR AXIAL ................................................................................................ 14

III LA MESURE EN TURBOMACHINE........................................................................ 16 III.1 BREVE REVUE............................................................................................................ 16 III.2 DEVELOPPEMENTS SPECIFIQUES DE L’ANEMOMETRIE LASER L2F-2D POUR L’APPLICATION EN TURBOMACHINE....................................................................................... 20

III.2.1 Généralités ....................................................................................................... 20 III.2.2 Les accès optiques............................................................................................ 22 III.2.3 Discrétisation temporelle et spatiale des points de mesure ............................. 27 III.2.4 Conclusion intermédiaire................................................................................. 34

III.3 COMMENT APPREHENDER L’ECOULEMENT ? ............................................................. 35 III.3.1 Conclusion intermédiaire................................................................................. 39

IV ANALYSE DES MESURES......................................................................................... 40 IV.1 ANALYSE DES MECANISMES TOURBILLONNAIRES...................................................... 41

IV.1.1 Généralités ....................................................................................................... 41 IV.1.2 Description des écoulements secondaires........................................................ 43 IV.1.3 Effets de jeu - Tourbillon de jeu ....................................................................... 49 IV.1.4 Interaction sillage / choc défilant..................................................................... 55 IV.1.5 Annexe : équation de transport de la vorticité................................................. 58

IV.2 DU STATIONNAIRE A L’INSTATIONNAIRE ................................................................... 60 IV.2.1 Généralités ....................................................................................................... 60 IV.2.2 Décomposition d’Adamczyk ............................................................................. 62 IV.2.3 Analyse spectrale.............................................................................................. 69 IV.2.4 Les outils au service de la physique ................................................................. 73

V CONCLUSIONS............................................................................................................. 77

VI RÉFÉRENCES.............................................................................................................. 79


5

Liste des Figures

Figure 1 : Compresseur centrifuge TM.............................................................................................................12 Figure 2 : Géométrie du compresseur centrifuge TM .........................................................................................13 Figure 3 : Géométrie du compresseur axial ECL4 ..........................................................................................14 Figure 4 : Orifices pour nettoyage des verres plans ............................................................................................22 Figure 5 : Montage avec obturateur à diaphragme ............................................................................................23 Figure 6 : Montage pour application hydraulique .............................................................................................24 Figure 7 : Correction des distorsions optiques ...................................................................................................26 Figure 8 : Hublots courbes ..............................................................................................................................27 Figure 9 : Prédiction des zones de masque........................................................................................................28 Figure 10 : Discrétisation temporelle................................................................................................................30 Figure 11 : Disrétisation spatiale et temporelle ; étage isolé ...............................................................................32 Figure 12 : Trace des lignes soniques ; compresseur axial supersonique ECL3. ................................................35 Figure 13 : Trace des lignes soniques ; compresseur centrifuge TM ....................................................................36 Figure 14 : Nombre de Mach expérimental et prédiction analytique de la trace du choc .....................................39 Figure 15 : Repère curviligne orthogonal (n, s, b)..............................................................................................43 Figure 16 : Schématisation des écoulements secondaires.....................................................................................44 Figure 17 : Vitesse méridienne réduite dans la section B du compresseur TM ...................................................45 Figure 18 : Vitesse méridienne réduite dans la section E du compresseur TM...................................................46 Figure 19 : Vitesse méridienne réduite dans le compresseur TM .......................................................................48 Figure 20 Trace des sections de mesure dans le plan méridien ...........................................................................47 Figure 21 : Distribution d’entropie dans la partie inductrice du compresseur TM..............................................49 Figure 22 : Définition du repère (n, s, b) dans le jeu ........................................................................................50 Figure 23 : Visualisation de lâchers de particules dans le compresseur TM, au régime partiel............................51 Figure 24 : CFD solution of centrifugal compressor flow field using BtoB3D code.............................................53 Figure 25 : Interaction sillage / choc défilant ...................................................................................................56 Figure 26 : Composante radiale de la vorticité..................................................................................................57 Figure 27 : Illustration de la décomposition d’Adamczyk.................................................................................64 Figure 28 : Fluctuations temporelles de la vitesse ; compresseur axial ECL4....................................................64 Figure 29 : Evolution axiale des corrélations spatiale et purement temporelle ....................................................66 Figure 30 : Evolution des corrélations selon la largeur du diffuseur lisse ............................................................67 Figure 31 : Corrélation purement temporelle normalisée par la corrélation spatiale ............................................68 Figure 32 : Décompositions du champ instantané ; compresseur centrifuge TM .................................................72


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Nomenclature A Grandeur quelconque

Amplitude b Coordonnée binormale (perpendiculaire à s et n) D Diamètre en tête au bord d’attaque e Epaisseur f Force massique K Courbure k Nombre entier m Coordonnée méridienne

Nombre entier m& Débit masse N Vitesse de rotation (tr/mn) n Coordonnée normale

Nombre entier positif p Pression R Nombre d’aubes du rotor r Différence des chaleurs spécifiques

Coordonnée radiale S Nombre d’aubes du stator s Coordonnée le long de la ligne de courant T Température ou période t Temps U Vitesse linéaire de rotation V Vitesse absolue W Vitesse relative z Coordonnée axiale

Lettres grecques α Angle absolu γ Rapport des chaleurs spécifiques θ Coordonnée circonférentielle µ Viscosité dynamique ν Viscosité cinématique (ν=µ/ρ) ξ Angle entre la coordonnée axiale et le normale au choc ρ Masse volumique σ Ecart type τ Tenseur des contraintes de cisaillement

Coordonnée le long du choc Φ Pas ϕ Phase Ω Vorticité ω Vitesse de rotation (rd/s)


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Indices

0 Grandeur totale Valeur prise à l’amont

b, m, n, s, θ, τ Composante selon la coordonnée respective red Valeur réduite r Radial R Relatif (Rotor) s Absolu (Stator)

Dérivées, moyennes et fluctuations d’une grandeur quelconque A

tA

∂∂

Dérivée temporelle dans le repère absolu

tA

δδ

Dérivée temporelle dans le repère relatif

tdAd

Dérivée convective

A Moyenne temporelle A~ Moyenne spatiale

*A Fluctuation spatiale de la moyenne temporelle A’ Fluctuation temporelle A’’ Fluctuation purement temporelle

Abbreviations ECL4 Nom du compresseur axial IGV Inlet Guide Vane L2F Laser Two Focus RDE Roue Directrice d’Entrée TM Nom du compresseur centrifuge


8

I INTRODUCTION

Les écoulements en turbomachines sont parmi les plus complexes rencontrés en mécanique

des fluides. Tant la description géométrique du domaine fluide que les structures physiques de

l’écoulement sont extrêmement compliquées.

Ces écoulements sont toujours tridimensionnels et instationnaires. Ils peuvent être

incompressibles ou compressibles, en régime subsonique, transsonique ou supersonique, ces

régimes pouvant d’ailleurs être présents simultanément dans des zones différentes. Le niveau de

turbulence est généralement élevé, et les échelles de temps et de longueur peuvent être multiples.

Les écoulements peuvent être dominés par des structures tourbillonnaires (écoulements

secondaires, de jeu, vortex en fer à cheval du bord d’attaque, tourbillon de grattage…) et le siège

de nombreuses interactions.

Les travaux rapportés dans ce mémoire s'inscrivent dans la compréhension des

écoulements instationnaires complexes qui se développent dans les turbomachines à haute-

vitesse, en s'appuyant fortement sur des investigations expérimentales. Ces études sont

réalisées sur des prototypes représentatifs de machines réelles et, de ce fait, très proches des

préoccupations des industriels, tout en conservant un caractère scientifique affirmé. En effet,

tandis que l’objectif de l’industriel motoriste est d’optimiser les grandeurs globales (débit, taux de

pression, rendement), nous cherchons à connaître et comprendre les phénomènes mis en jeu,

à évaluer leurs influences sur la structure de l’écoulement, afin, à terme, de dégager les

mécanismes prédominants et d’en proposer des modélisations.

L'analyse des résultats expérimentaux s'appuie également sur la simulation numérique, la

distinction de la finalité des expériences et des simulations devenant de plus en plus arbitraire, les

deux types d'informations se nourrissant mutuellement : la simulation aide l'interprétation et

permet de focaliser les mesures aux endroits critiques, l'expérience sert de vérification et d'aide à

la modélisation.

Les travaux présentés dans la première partie de ce rapport sont relatifs aux efforts

développés afin d’accéder à des résultats expérimentaux fiables. Ces efforts peuvent être orientés

vers le développement de métrologies nouvelles et / ou l’adaptation et la bonne utilisation de


9

métrologies existantes. C’est dans cette deuxième voie que se situent mes activités ( III.2), en

partenariat avec André Vouillarmet depuis 1985. Outre la métrologie, l’adéquation de la

technique utilisée avec l’écoulement à étudier résulte d’une bonne appréhension de l’écoulement.

Cette appréhension suppose des études préalables menées à partir de résultats numériques et de

modèles analytiques. Les résultats numériques représentent une source précieuse d’informations à

condition qu’ils soient représentatifs de l’écoulement réel : or si tel était le cas, réaliser des

mesures n’aurait plus d’intérêt !… Les résultats des simulations numériques doivent donc, en

l’état actuel des développements, être examinés et utilisés avec prudence. Les méthodes

analytiques, bien plus faciles et rapides à mettre en œuvre, offrent une alternative intéressante. Il

est important d’insister sur le fait qu’il ne s’agit ici que d’appréhender l’écoulement afin

d’optimiser la mesure. Un unique exemple de développement – ou plus exactement d’extension -

de méthode analytique est choisi pour être présenté dans ce document. Il concerne la prédiction

de la forme et de la force du choc émanant des bords d’attaque d’une roue mobile de

compresseur, en écoulement supersonique ( III.3). Cet exemple illustre l’intérêt des méthodes

intégrales qui, bien que nécessitant des hypothèses a priori fortes, fournissent des résultats riches

d’enseignements.

Si les méthodes analytiques s’avèrent utiles en phase de prédiction, notamment pour le

choix des zones méritant un raffinement du maillage expérimental, elles constituent en outre des

outils intéressants d’analyse, tant en terme de compréhension de la physique de l’écoulement

qu’en terme d’élaboration de modèles à injecter dans les méthodologies de dessin ou dans les

simulations numériques. Ce volet de mes activités, orientées vers l’analyse des résultats

expérimentaux, est exposé dans la seconde partie du document. Bien que les deux parties du

rapport soient présentées indépendamment l’une de l’autre, elles traitent d’activités

complémentaires et interdépendantes. Ce découpage, quelque peu arbitraire, a été choisi pour

améliorer la lisibilité du document.

Les travaux s’appuient sur les résultats obtenus dans différentes configurations (i.e.

différents types de turbomachines ou différents points de fonctionnement) mais sont exposés

simultanément. En effet, je tiens à privilégier, dans cette présentation, la démarche d’analyse

plutôt que la machine, celle-ci n’étant somme toute que l’objet dans lequel se développe

l’écoulement. Ainsi, les deux cas-test servant de support aux développements présentés sont

rapidement décrit en début de document ( II).


10

Les travaux relatés concernent tout d’abord l’analyse phénoménologique des structures

tourbillonnaires. Il est montré en ( IV.1.2) que les interactions des écoulements secondaires qui se

développent en compresseur centrifuge conduisent à la structure classiquement nommée ‘jet-

sillage’ dont la localisation circonférentielle est conditionnée par les effets de jeu ( IV.1.3). Puis le

cas de l’interaction d’une vorticité avec un choc défilant est traité en ( IV.1.4).

Si l’écoulement stationnaire se développant dans les canaux inter aubes est maintenant

correctement maîtrisé suite aux développements conjoints des techniques expérimentales et

numériques, il n’en est pas de même pour l’écoulement instationnaire. Or les turbomachines

actuelles ont une charge et une compacité accrues, ce qui se traduit par des niveaux de

fluctuations tels qu’ils ne permettent plus de parler d’écoulement stationnaire. Les fluctuations

analysées résultent de l’interaction rotor-stator ( IV.2). La démarche d’analyse s’inspire de

techniques développées en numérique. Appliquées aux résultats expérimentaux, ces techniques

ont pour objectifs de comprendre la physique des mécanismes d’interaction et de quantifier les

termes importants en vue de valider (ou d’invalider) les modèles utilisés dans les simulations

numériques. On retrouve dans une telle démarche l’interdépendance des activités expérimentales

et numériques qui s’en trouvent mutuellement enrichies.

Les activités impliquent un fort partenariat avec les éléments de pointe du milieu industriel - industries

aéronautiques (SNECMA division moteur, Turboméca,...). De ce fait, la plupart des résultats publiés sont

adimensionnés.


11

II PRESENTATION DES DEUX CAS-TEST

II.1 COMPRESSEUR CENTRIFUGE

L’écoulement se développant dans un compresseur centrifuge à fort taux de pression fait

l’objet, depuis une dizaine d’années, d’études expérimentales et numériques. Ce compresseur,

conçu et réalisé par Turboméca, nommé ‘compresseur TM’ dans la suite, est composé d’une roue

mobile avec pales intercalaires, suivie d’un diffuseur aubé. L’écoulement qui se développe dans ce

type de machine est particulièrement compliqué (en comparaison avec une machine axiale),

notamment à cause des effets cumulés des courbures (d’aubages et méridienne), des forces de

Coriolis et centrifuge, et de jeu. Il en résulte une très forte inhomogénéité du champ cinématique

en sortie de rouet, ce qui rend, entre autre, l’adaptation d’un diffuseur aubé, à l’aval, délicate.

Essentiellement deux campagnes ont été réalisées : l’une au point de fonctionnement

nominal et l’autre à régime partiel (i.e. point de croisière).

La campagne réalisée au point de fonctionnement nominal a servi de support au travail de

thèse d’Ingrid Claudin, [Claudin, 1997]. Il en est ressorti une avancée notable sur le plan

expérimental (non pas tant sur la technique de mesure proprement dite - L2F2D - mais plutôt sur

la capacité à réaliser des mesures dans un environnement excessivement contraignant ( III)).

En bénéficiant de l’expérience acquise lors de la campagne au point de fonctionnement

nominal, une campagne à régime partiel a été réalisée. Ce point de fonctionnement est intéressant

à double titre :

- d’un point de vue expérimental, l’élévation de température étant moindre qu’au point de

fonctionnement nominal, des mesures ont pu être acquises jusqu’au col du diffuseur aubé,

- d’un point de vue aérodynamique, à cause des fortes incidences au bord d’attaque des

aubes du diffuseur.

Cette campagne a conduit à l’obtention d’une banque de données précises et détaillées, depuis

l’amont du rouet jusqu’au col du diffuseur. Les champs de vitesse obtenus ont permis de mener

une analyse phénoménologique des structures tourbillonnaires se développant dans les canaux

inter aubes, à mettre en évidence leurs imbrications et à souligner l’influence des effets de jeu sur

la structure moyenne du champ. L’analyse des données est illustrée ci-après tant en ce qui

concerne les structures tourbillonnaires ( IV.1) que les effets instationnaires ( IV.2).


12

Comme annoncé dans l’introduction, les caractéristiques géométriques et aérodynamiques

de ce compresseur ne sont données que sous forme adimensionnée.

Néanmoins, une représentation 3D modifiée de ce compresseur est proposée ci-dessous. Je

signalerai en outre que la hauteur de veine en sortie de rouet n’est que de quelques millimètres et

que la vitesse de rotation dépasse les 50000 tours/minute. La Figure 1(b) montre le compresseur

monté au banc d’une puissance de 630 kW. On distingue le hublot permettant l’accès optique

dans la partie inductrice du rouet.

(a) Représentation 3D (b) Compresseur monté au banc 630 kW du LMFA-ECL

Figure 1 : Compresseur centrifuge TM

La Figure 2(a) montre une vue méridienne du compresseur et la Figure 2(b) une vue aube à

aube dans l’espace inter-roues situé entre la roue mobile et le diffuseur aubé.


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bord d'attaquedes aubes principales

bord de fuite des aubes du rouet

bord d'attaque du diffuseur aubé

section de mesuredans le diffuseur lisse

bord d'attaquedes aubes intercalaires

(a) vue méridienne

(b) vue aube à aube

sortie du rouet/entrée diffuseur aubé

Figure 2 : Géométrie du compresseur centrifuge TM

Le tableau ci-dessous donne quelques caractéristiques pour les deux points de fonctionnement,

ainsi que les références des articles dans lesquels figurent les détails des mesures réalisées et les

résultats.

Régime

Taux

de

pression

Vitesse réduite

00red

rTND

Nγ

=

Débit réduit

200

00red

DprTm

mγ

=&

&

Références

Nominal

8.7

0.31

0.42

• [Claudin,I, 1997]

• [Trébinjac, I. and Claudin, I., 1997]

Croisière

6.75

0.29

0.37

• [Trébinjac, I. and Vixège, C, 2001]

• [Trébinjac, I. and Vixège, C, 2002]

• [ Desbois-Lavergne et al., 2003]


14

II.2 COMPRESSEUR AXIAL

Le compresseur axial transsonique dénommé ECL4 a fait l’objet d’études expérimentales et

numériques menées en commun par la SNECMA et le LMFA/ECL. Ce compresseur, développé

par la SNECMA, est représentatif d’un premier étage de compresseur à fort taux de pression avec

des vitesses périphériques modérées. Il en résulte une très forte charge aérodynamique sur les

aubages, principalement due aux ondes de choc présentes sur la quasi-totalité de l’envergure. Ce

compresseur se compose d’une roue directrice d’entrée (RDE), d’une roue mobile et d’un

redresseur (Figure 3(a)). Il a servi de support au travail de thèse de Xavier Ottavy [Ottavy, 1999].

Dans le cadre de ce travail, l’accès optique par hublots courbes a été étudié et une méthode

de correction des distorsions optiques a été développée ( III.2.2). Des mesures par anémométrie

laser L2F2D ont alors été réalisées dans l’espace inter-grilles entre la RDE et la roue mobile

(Figure 3(b)). Ces sont avec ces données, bien que spatialement restreintes – un encrassement

rédhibitoire a interdit toute mesure au delà du bord d’attaque du rouet – qu’ont débutées les

études expérimentales des effets instationnaires des interactions rotor-stator ( IV.2).

(a) vue méridienne (b) localisation des mesures L2F

compressor axisy

RDE Rotor

surface B

surface A

Figure 3 : Géométrie du compresseur axial ECL4


15

Comme pour le compresseur centrifuge, les données sont confidentielles et sont présentées sont

forme adimensionnée. Le tableau ci-dessous donne quelques caractéristiques du compresseur, au

point de fonctionnement nominal étudié.

Régime

Taux

de

pression

Vitesse réduite

00red

rTND

Nγ

=

Débit réduit

200

00red

DprTm

mγ

=&

&

Références

Nominal

2.25

0.36

0.25

• [Ottavy, X., 1999]

• [Ottavy, X. et al., 2001, Part.1]

• [Ottavy, X. et al., 2001, Part.2]


16

III LA MESURE EN TURBOMACHINE

III.1 BREVE REVUE

Si le recours à des expériences sur des modèles aisément accessibles à la mesure permet

d’affiner la connaissance de phénomènes locaux, des études expérimentales en configurations

réalistes doivent être réalisées sur des machines prototypes représentatives des nouvelles

générations d’avion afin d’appréhender l’ensemble des phénomènes et leurs interactions.

La mise en œuvre de telles expériences est rendue très délicate par l’étroitesse des veines (de

quelques mm à quelques dizaines de mm), les vitesses de rotation très élevées (≈ 15000 tr/mn

pour une machine axiale, ≈ 50000 tr/mn pour une machine centrifuge) qui excluent toute

instrumentation embarquée, la géométrie des aubes complètement tridimensionnelle qui rend

difficile les accès optiques, et l’environnement contraignant (vibrations, températures élevées,

pollution de l’atmosphère ambiante, environnement électromagnétique parasite lié à la forte

puissance des moteurs d’entraînement, encrassement rapide de la veine d’essai…).

Les investigations dans les machines à l’aide de sondes de mesure conventionnelles (sonde

de pression directionnelle, fils et films chauds…) doivent être analysées avec grande précaution

du fait de l’étroitesse des veines et du caractère éventuellement transsonique et supersonique de

l’écoulement.

Les techniques optiques non intrusives d’anémométrie Laser (Doppler ou bi-point, 2D ou

3D) permettent d’accéder de manière fiable à la vitesse de l’écoulement, et ce, même dans les

canaux inter aubes d’une roue mobile. Tous les résultats expérimentaux présentés dans ce

document ont été obtenus par anémométrie bi-point 2D. Cependant, ces techniques ne donnent

accès aux paramètres statistiques de l’écoulement que point par point, et ne permettent donc pas

d’identifier des structures instationnaires (hors périodiques). De plus, malgré l’optimisation des

procédures d’acquisition, elles peuvent conduire à des coûts importants inhérents aux

installations de fortes puissances accueillant les machines étudiées.

Ceci milite pour des développements de métrologies qui permettent de recueillir des informations

instationnaires avec des temps d’acquisition raisonnables. Les méthodes quantitatives d’évaluation

expérimentale des écoulements instationnaires, peuvent se classer en trois grandes catégories.


17

• Méthodes utilisant les variations d’indice (ombroscopie, strioscopie, interférométrie

holographique).

Ce sont des méthodes optiques basées sur l’exploitation de la déviation des rayons

lumineux traversant l’écoulement. Cette déviation est provoquée par les variations d’indice de

réfraction du milieu qui sont liées aux variations de la masse volumique. Ces méthodes

quantitatives dérivent des méthodes qualitatives de visualisation permettant d’observer un champ

étendu instantané. Elles permettent d’obtenir des informations sur la convection des structures

tourbillonnaires et sur la propagation des ondes de choc et des interfaces.

Néanmoins, la déviation des faisceaux lumineux étant intégrée sur toute la veine d’essai

(dans la direction de la propagation optique), ces méthodes sont dédiées aux écoulements

bidimensionnels ou axisymétriques. De plus, l’écoulement doit être « traversable » par les

faisceaux lumineux, ce qui rend ces techniques totalement inadaptées à l’étude des écoulements

en turbomachine.

• Méthodes basées sur la fluorescence induite par laser

La fluorescence induite par laser, notée LIF, est une méthode optique qui permet

théoriquement d’accéder aux grandeurs locales et instantanées (pression, vitesse et température)

caractéristiques de l’écoulement étudié.

D’une manière générale, la fluorescence est l’émission lumineuse spontanée associée à la

désactivation d’un état excité d’un atome. L’état excité est atteint par absorption d’un

rayonnement laser dont la longueur d’onde est accordée sur l’une des raies d’absorption de

l’espèce fluorescente. L’analyse du signal de fluorescence, fonction de la pression et de la

température, permet la mesure de ces grandeurs. La mesure de la vitesse peut être couplée aux

précédentes par analyse comparative du décalage fréquentiel Doppler entre le spectre de

fluorescence et celui obtenu à partir d’une cellule statique, contenant l’espèce fluorescente, utilisée

comme standard de référence.

L’ensemencement par traceur gazeux permet un suivi parfait de l’écoulement étudié, même

dans les zones à forts gradients. L’iode moléculaire est un traceur fluorescent présentant de

nombreux avantages pour l’ensemencement des écoulements non réactifs et froids (< 600 K) et

représente donc l’espèce la plus couramment utilisée. Cependant, son caractère fortement

corrosif limite l’application de la fluorescence de l’iode induite par laser aux installations en

boucle fermée et étanche, ne comprenant que des matériaux inaltérables (type PVC, Teflon…).


18

Une équipe du MIT [Ceyhan et al., 1997] a tenté d’utiliser l’oxygène comme espèce

fluorescente (O2 LIF) pour la mesure de température et de densité dans un étage de turbine

transsonique. Malheureusement, l’application de la O2 LIF a été un échec. En effet, pour des

températures supérieures à 300K, le temps de relaxation (temps pour passer du niveau excité au

niveau inférieur) de la molécule O2 est exceptionnellement long, ce qui fait que l’émission se

produit à un temps plus long que le temps caractéristique de l’écoulement. Pour quantifier, le

temps de relaxation est de l’ordre de 10-3s, temps pendant lequel une particule fluide sonique a

parcouru ≈ 30 cm !

Ainsi, sous réserve de pouvoir utiliser d’autres traceurs, la fluorescence induite par laser est une

méthode actuellement exclue pour une application en turbomachine réelle.

• Méthodes utilisant des traceurs non miscibles

Sont inclues dans cette catégorie la PIV (Particle Image Velocimetry) et la DGV (Doppler Globale

Vélocimetry).

La PIV constitue la première technique de mesure globale de la vitesse. Elle utilise un laser

à impulsion et un générateur de nappe pour créer un plan de lumière dans l’écoulement. Le laser

émet une série de doubles impulsions et la lumière diffusée par les particules d’ensemencement

est collectée sur un film photographique ou une camera CDD. Sur chaque image est enregistrée

la double exposition des particules. Connaissant la durée entre deux impulsions et la position

successive des particules, on obtient la projection du vecteur vitesse dans le plan de mesure.

Typiquement, la durée d’une impulsion est de l’ordre de 10 à 30ns pour une énergie varient de

100 à 500mJ. La durée entre les deux impulsions est choisie en fonction de la vitesse de

l’écoulement. La fréquence de répétition est d’une dizaine de Hertz. On peut ainsi obtenir le

champ de vitesse instantané sur une image ou le champ moyen par traitement de plusieurs images

successives.

La DGV est une méthode plus récente puisque ses premiers développements datent de

1990. Elle est basée sur la mesure du décalage Doppler de la lumière diffusée par les particules en

mouvement traversant une nappe laser. Le laser, opérant sur un seul mode longitudinal, est

accordé à une fréquence correspondant à une valeur particulière d’une raie d’absorption de l’iode

utilisée comme discriminateur de fréquence.

Pour obtenir une composante de vitesse, la DGV utilise deux caméras CDD. La première caméra

enregistre la scène à travers la cuve à iode qui convertit la variation de fréquence en variation

d’intensité lumineuse par absorption. La seconde caméra, ou caméra de référence, filme


19

directement la même scène. L’image obtenue à travers le discriminateur (i.e. la cuve à iode) est

normalisée par l’image de référence pour obtenir une carte d’intensité permettant de mesurer

l’absorption de la cuve, donc le décalage en fréquence, pour remonter finalement à une

composante de vitesse dans la région illuminée. La composante de vitesse mesurée ainsi est la

projection du vecteur vitesse sur la bissectrice intérieure entre la direction d’observation et la

direction incidente. En utilisant trois dispositifs similaires, orientés dans trois directions

différentes, il est possible d’accéder aux trois composantes de la vitesse.

L’efficacité de chacune des deux méthodes a été prouvée, pour l’essentiel en aérodynamique

externe, avec une précision de l’ordre de 2 à 5%. Même si elles ne prétendent pas actuellement au

même degré de précision que les méthodes de vélocimétrie classiques (LDA ou L2F), elles

offrent des possibilités prometteuses si l’on raisonne en terme de temps d’acquisition, puisqu’elles

opèrent sur une nappe et non plus ponctuellement.

Leur application au domaine des turbomachines reste encore rare, essentiellement en raison

de l’environnement contraignant. Ce aspect est traité dans le mémoire de thèse de H. Buchet qui

a contribué au développement d’un système DGV à une composante dédié à des applications en

turbomachines, dans le cadre d’une collaboration entre l’Onéra/Toulouse, l’ENSAE (Ecole

Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace) et l’Ecole Centrale de Lyon, au sein du

CIRT (Consortium Industries et Recherche en Turbomachines), [Buchet, 2002]. Ainsi, les

résultats, à ce jour publiés en turbomachine, concernent pour l’essentiel, soit des modèles de

machine (modèles à grande échelle, aubages transparents, faibles vitesses [Tisserant and

Breugelmans, 1997], [Chana et al., 1998]…), soit des régions d’écoulement plus accessibles (zone

d’aspiration, zone de refoulement, espaces inter-grilles, roues fixes, [Wernet, 1998], [Roehle and

Schodl, 1998]…). Mais, même si elles sont encore très peu nombreuses, des mesures en

turbomachine réaliste ont pu montrer l’applicabilité de ces techniques –au moins de la PIV- aux

machines tournantes, dans le domaine des hautes vitesses. On peut notamment remarquer les

mesures réalisées à la NASA dans les passages inter aubes d’un compresseur axial transsonique

[Wernet, 1997].

Les contraintes supplémentaires d’une application en machine tournante par rapport à une

application en soufflerie ou en grille sont multiples.

→ Des accès optiques réduits, ce qui implique les modes en rétro-diffusion et limite les

agencements tant des dispositifs d’émission que de réception.


20

→ Des espaces fluides confinés dans des volumes en mouvement, conduisant à de multiples

réflexions de lumière.

→ Des difficultés à nettoyer et à maintenir propres les hublots d’accès, ce qui nécessite de

concevoir des systèmes de nettoyage en cours d’opération et d’utiliser un ensemencement

« propre ».

→ Des difficultés de repérage spatial dues aux variations des chemins optiques par changements

d’indices de réfraction et dues aux modifications de la géométrie de la machine (poussée axiale,

dilatations thermiques).

→ Des dérives des conditions ambiantes.

→ Des forts niveaux vibratoires.

→ Des forts niveaux de parasitages électriques

→ …

Il est néanmoins à remarquer que ces problèmes sont, pour l’essentiel mais à moindre ampleur,

déjà rencontrés lors de l’application des techniques classiques d’anémométrie laser (cf. III.2), qui

restent à l’heure actuelle les techniques les plus fiables pour une application en turbomachine.

III.2 DEVELOPPEMENTS SPECIFIQUES DE L’ANEMOMETRIE

LASER L2F-2D POUR L’APPLICATION EN TURBOMACHINE

III.2.1 GENERALITES

L'anémométrie laser permet la détermination de la vitesse d'un écoulement à partir de la

mesure de la vitesse de particules présentes en son sein. Ces particules, naturellement présentes

dans le fluide ou artificiellement introduites, doivent être suffisamment petites pour suivre

fidèlement l'écoulement. Si tel est le cas, la vitesse du fluide est alors assimilée à celle des

particules.

Deux techniques d'anémométrie sont couramment utilisées, l'anémométrie laser Doppler

(LDA, Laser Doppler Anemometry) et l'anémométrie laser bipoint (L2F, Laser Two Focus).

L'anémométrie laser Doppler est basée sur le décalage en fréquence de la lumière diffusée

par une particule en mouvement, par rapport à la fréquence de la lumière incidente qui l'éclaire.


21

La mesure de ce décalage en fréquence, ou fréquence Doppler, permet le calcul de la vitesse de la

particule.

L'anémométrie laser à temps de vol est apparue dans les années soixante dix comme

alternative à l'anémométrie laser Doppler ([Thompson, 1968], [Tanner, 1973], [Ladin, 1973],

[Schodl, 1975]). Son principe est basé sur la mesure du temps que met une particule pour

traverser successivement deux faisceaux laser fortement focalisés. La connaissance de la distance

séparant les deux taches de focalisation permet le calcul de la vitesse de la particule.

Le problème préliminaire à la mesure par anémométrie laser réside dans le choix de l'une ou

l'autre des techniques, [Kiock, 1984], [Strazizar, 1993].

Le principal avantage de l'anémométrie bipoint est que la puissance lumineuse est

concentrée en un plus petit volume que dans le cas de l'anémométrie Doppler. Ceci conduit à des

rapports signal/bruit supérieurs, permettant d'une part la mesure plus près de surfaces situées

normalement à l'axe optique, et d'autre part, la détection des particules plus petites qui suivent

donc mieux l'écoulement. Son principal inconvénient réside dans sa plus faible fréquence

d'acquisition, ce qui rend la technique L2F inadaptée à la mesure dans des écoulements à fort

niveau de turbulence. Mais les développements enregistrés, notamment dans les domaines

optiques, tendent à homogénéiser les domaines d'application de chacun des deux systèmes. Ainsi,

il est quasi-impossible d'énoncer des critères formels pour établir une comparaison quantitative

des deux systèmes. Il n'en reste pas moins vrai que les turbomachines constituent le domaine de

prédilection de la technique L2F. Les raisons essentielles sont :

- de pouvoir réaliser des mesures très proches des parois normales à l'axe optique

- de minimiser les zones a priori masquées par les aubes vrillées.

Même sans développer ici ce dernier point, il peut néanmoins être facilement perçu que, dans le

cas de l'anémométrie Doppler, si un des deux faisceaux laser incidents est occulté par les aubes, le

volume de mesure n'étant pas créé, la mesure est impossible. Par contre, dans le cas de

l'anémométrie L2F, on a montré que tant qu'au moins la moitié de chacun des deux cônes de

lumière n'est pas occultée, les deux taches de focalisation constituant le volume de mesure

existent [Trébinjac et al., 1995].

Depuis une vingtaine d’année, l’équipe Turbomachines du LMFA-ECL développe

l’anémométrie laser L2F, tant en ce qui concerne ses performances intrinsèques, les procédures

d’acquisition et de dépouillement des données que son applicabilité aux machines haute-vitesse.


22

Le principe n’est pas exposé dans ce document ; le lecteur intéressé pourra se reporter à l’extrait

du cours ‘La mesure aérodynamique en turbomachine’ dispensé à l’ECL et l’ENSAE, [Trébinjac,

2001]. Seuls deux points sont exposés dans ce document. Ils concernent d’une part les accès

optiques et d’autre part, le maillage (i.e. la discrétisation temporelle et spatiale des points de

mesure).

III.2.2 LES ACCES OPTIQUES

a Hublots plans

La voie la plus simple pour assurer l’accès optique à l’intérieur de la veine consiste à utiliser

des hublots plans implantés dans des bossages aménagés au carter de la machine. La dimension

des hublots est calculée de manière à minimiser la perturbation locale introduite par la

discontinuité de géométrie, tout en laissant passer le cône de lumière réfléchie pour une

profondeur d’exploration au maximum égale à la profondeur de veine au droit de l’axe de visée.

Leur épaisseur est fonction de la pression locale régnant dans la veine. Ces hublots sont en

général en verre traité anti-reflet pour la longueur d’onde du laser utilisé. Ils sont montés dans des

porte-hublots arasés afin de suivre au mieux les courbures locales et conçus afin de permettre le

nettoyage des hublots en cours d’opération. Pour ce faire, des petits orifices débouchant en

amont des verres, dans la direction donnée par le vecteur vitesse absolue, permettent l’injection

d’un produit de nettoyage (ex : toluène) qui, convecté par l’écoulement à la surface du verre,

assure son nettoyage (Figure 4).

≈ 1,5cm

Figure 4 : Orifices pour nettoyage des verres plans


23

b Obturateur à diaphragme

La perturbation engendrée par la discontinuité de géométrie entre le hublot plan et la

surface intérieure du carter de la machine est d’autant plus sensible que le point de mesure se

situe près du carter. D’autre part, le rapport signal/bruit se dégrade quand le point de mesure

s’approche du verre du fait de la profondeur de champ du volume de mesure. On note que la

profondeur de champ n’est pas égale de part et d’autre du point de focalisation de sorte que l’on

peut s’approcher plus près du moyeu que du carter de la machine (dans un rapport 0.7 environ).

Ainsi, pour les points de mesure proches du carter, un montage spécifique peut être utilisé. Il

consiste en un obturateur à diaphragme, en parfaite continuité avec la paroi du carter (Figure 5).

Le hublot en verre plan, placé en retrait, assure l’étanchéité. Le diamètre du diaphragme est ajusté

en fonction de la position du point de mesure : il est minimisé de sorte à ne laisser passer que le

cône de lumière réfléchie pour l’immersion du point.

Typiquement, le montage avec obturateur à diaphragme est utilisé pour l’exploration de

l’écoulement proche du carter jusqu’à une dizaine de mm de ce dernier. A titre d’exemple, pour

une exploration à 10mm du carter, le diamètre maximal du diaphragme vaut 3.5mm pour un cône

de lumière réfléchie de demi angle au sommet de 10°. Afin de minimiser la perturbation

introduite par le diaphragme, des diaphragmes de différents diamètres sont successivement usinés

dans les obturateurs pour couvrir l’exploration du carter jusqu’à l’immersion maximale. En ce

dernier point, des mesures sont effectuées avec les deux montages (obturateur à diaphragme et

hublot) pour s’assurer du recoupement des résultats.

Figure 5 : Montage avec obturateur à diaphragme


24

Variante

Un montage s’apparentant à l’obturateur à diaphragme avait été conçu pour une application

en pompe hydraulique [Trébinjac, 1985]. Les conditions de continuité de la paroi sont assurées

par une membrane mince en plexiglass, épousant la surface interne du carter. Elle est percée de

petits trous, garantissant l’équilibre de pression de part et d’autre et est suffisamment mince pour

ne pas distordre le volume de mesure. L’étanchéité est assurée par un verre plan positionné

perpendiculairement à l’axe optique pour limiter les effets de réfraction (Figure 6).

Figure 6 : Montage pour application hydraulique

c Hublots courbes

Une discontinuité, même si elle est locale, peut générer des perturbations du même ordre de

grandeur que la structure aérodynamique à étudier. Dans un compresseur transsonique ou

supersonique, une minime perturbation géométrique peut jusqu’à modifier les caractéristiques

globales du compresseur suite à la modification de l’évolution des grandeurs aérodynamiques

selon l’envergure (modification de l’équilibre radial) dans la zone perturbée. A titre d’exemple, la

perturbation générée par le dépassement des pivots des aubes du distributeur du compresseur

transsonique ECL4 conduit à un décollement de coin renforçant les effets secondaires de telle

sorte que le rendement isentropique de la machine chute de 1%. Pourtant, le dépassement des

pivots dans la veine n’est que de 0.5% de l’envergure, soit 0.3 mm, [Escuret et al, 1997].

Afin de conserver la géométrie de la surface interne du carter, des hublots courbes doivent

être utilisés. Mais les courbures conduisent à des distorsions optiques des faisceaux laser

traversant ces hublots. Dans le cas de l’anémométrie laser Doppler, les distorsions conduisent à

une augmentation des incertitudes de mesure due à la modification de forme du volume de

mesure [Hathaway, 1993 ; Doukelis, 1996]. Dans le cas de l’anémométrie L2F, le problème est


25

plus sévère car les distorsions empêchent la création de points de focalisation acceptables, de telle

sorte que la mesure peut devenir impossible [Ottavy et al., 1998]. Les déformations générées par

les effets de réfraction sont représentées sur la Figure 7 et commentées ci-après.

Considérons tout d’abord le cas de référence pour lequel le cône de lumière incident ne

traverse aucun dioptre, Figure 7 (a). Le foyer est assimilé à un point géométrique Fref qui est le

sommet du cône de lumière incident dont la base est la lentille frontale du système optique. Les

surfaces notées S1 et S2 sont perpendiculaires au plan (x, y).

Dans la Figure 7 (b), un hublot plan d’épaisseur e est inséré perpendiculairement à l’axe du cône,

entre la lentille frontale et le foyer F. Tant que l’angle au sommet du cône reste petit, le foyer F

reste assimilable à un point géométrique. Remplaçons le hublot plan par un hublot cylindrique de

même épaisseur e, de rayon de courbure Rs et d’axe parallèle à (o,z), Figure 7 (c). Deux zones de

concentration de lumière [F1F1’] et [F2F2’] apparaissent. D’une part, les surfaces de lumière S1 et S2

focalisent en [F2F2’] de milieu F. Mais, à cause de la courbure, l’angle entre l’axe du cône et ces

surfaces est plus grand que dans le cas plan (en d’autres termes, l’angle au sommet du cône

augmente à la traversée du verre courbe alors qu’il reste constant à la traversée du dioptre plan).

Ainsi, les surfaces S1 et S2 se croisent en [F1F1’], avant de focaliser. D’autre part, les surfaces de

lumière perpendiculaires à (o,z) focalisent en [F1F1’], tandis qu’elles se croisent en [F2F2’]. Il en

résulte deux zones de focalisation [F1F1’] et [F2F2’] qui s’éloignent quand le rayon de courbure Rs

diminue ou quand l’épaisseur e augmente. Pour exemple, si le rayon de courbure du verre vaut

253mm, l’épaisseur 3mm et pour une immersion de 80mm, l’écart entre ces deux zones atteint

0.5mm (soit la distance entre les deux spots de focalisation créant le volume de mesure). Cette

« défocalisation » conduit à une augmentation des incertitudes de mesure, voir même à interdire

toute acquisition.

Afin de recréer un unique point de focalisation, Ottavy et al. (1998) proposent d’insérer un

second hublot courbe, appelé hublot correcteur, entre le précédent hublot et la lentille frontale.

Ce second hublot conduit aux mêmes distorsions que précédemment, mais orientées de 90°. Le

hublot correcteur est un verre cylindrique d’épaisseur ec, de rayon de courbure Rc et d’axe

parallèle à (o,y), Figure 7 (d). Par des calculs d’optique géométrique, il est possible de déterminer

les caractéristiques (ec et Rc) du hublot correcteur, la distance d entre les deux verres étant

optimisée afin d’amener en coïncidence les deux zones [F1F1’] et [F2F2’] de focalisation. Il en

résulte un unique foyer, assimilable à un point (F3, Figure 7 (d)).


26

F 1 '

F 1

F 2

F 2 '

I

I

F 3

I

F

F

S1

ecart

S 1

S2

S 2S 1

(b )

(c)

(d )

F r e f

(a )

S2 S1

Lentille du système optique

S 2

S 1S 2

Zf a i s cYf a i s c

Xf a i s cOf a i s c







ecart

ecart

ecorr

Figure 7 : Correction des distorsions optiques

De plus, il est intéressant de noter que le volume de mesure obtenu à travers le montage [hublot

courbe + hublot correcteur] est de meilleure qualité que celui résultant du passage à travers un

unique hublot plan [Ottavy et al., 1999].


27

La Figure 8 visualise un hublot courbe monté dans un porte hublot arasé au profil de la paroi

interne du carter. De même que pour le cas du hublot plan (Figure 4), le porte hublot est équipé

d’un dispositif de nettoyage de la vitre.

Figure 8 : Hublots courbes

III.2.3 DISCRETISATION TEMPORELLE ET SPATIALE DES POINTS DE MESURE

Si performante que soit la métrologie, notamment l’anémométrie laser, les résultats

expérimentaux ne sont intéressants que s’ils sont capables de décrire pertinemment la

cinématique de l’écoulement. Ainsi, la question préalable à toute campagne de mesure est « où faire

des mesures et combien ? », question d’autant plus importante que les mesures sont réalisées sur des

installations de forte puissance. La localisation et la densité des points de mesure dépendent des

structures qui se développent dans l’écoulement. Il est évident de devoir densifier le maillage des

points de mesure dans les couches limites, les zones à fort gradient de vitesse (sillages, ondes de

choc…), les zones où se développent des tourbillons, les zones d’interaction…Ceci nécessite

d’une part de connaître a priori la localisation de ces zones sensibles (cf. III.3) et d’autre part

d’avoir les moyens de réaliser le maillage optimisé.


28

a discrétisation temporelle

La discrétisation temporelle – ou ‘azimutale’ - consiste à découper le pas inter-aubes d’une

roue mobile en un certain nombre d’intervalles. Nous avons optimisé ce découpage par

l’intégration de la prédiction des « zones de masque » et par ajustement des largeurs des

intervalles à la structure supposée de l’écoulement.

Sans donner les détails de la procédure de prédiction [Trébinjac et al., 1995], nous

examinerons simplement la Figure 9, qui récapitule les concepts de base.

T

op

syn

chro

x .TT

Te p

n

θ

( - ) (+ ) ω

te m p s

i

o c

o c

profondeurde champ

To m b ree x t

T m a s q u e

a

b

c

Figure 9 : Prédiction des zones de masque

A cause de la géométrie des aubages et de la forme conique de l'enveloppe des faisceaux

laser, il existe des zones "d'ombre" où la mesure est géométriquement irréalisable. Pour le cas

particulier montré en exemple sur la Figure 9-a, la zone d’ombre n’existe qu’à l’extrados de

l’aubage et est notée Textombre (les zones d’ombre peuvent être indifféremment exprimées


29

spatialement en pourcentage de pas inter aubes ou temporellement en pourcentage de période de

passage des aubes). Par ailleurs, la lumière réfléchie par la surface des aubes conduit également à

des régions dans lesquelles l'acquisition est impossible. L’amplitude du signal de la lumière

réfléchie par les aubes atteint son maximum quand le volume de mesure est situé sur la surface de

l’aubage, puis décroît de chaque côté jusqu’à s’annuler quand la surface de l’aubage réfléchissant

la lumière n’est plus dans la profondeur de champ (Figure 9-b). La distribution du signal

ressemble à une distribution gaussienne dissymétrique (Figure 9-c), de largeur Toc et dont le

maximum est situé à x.Toc. La valeur de x est déterminée expérimentalement et vaut typiquement

0,7. La zone de masque, combinaison de la zone d’ombre et des effets de réflexion est indiquée

par Tmasque sur la Figure 9-c.

Lors de l’acquisition dans une roue mobile, la lumière laser est éteinte pendant le temps Toc

afin de ne pas saturer les photomultiplicateurs. Pour ce faire, un signal d’occultation pilotant une

cellule de Pockell est mis en forme de manière à ajuster sa largeur L telle que L=Toc et son retard

tel que son front de descente coïncide avec le temps repéré par ‘Top synchro’ sur la Figure 9-c.

La connaissance du temps écoulé entre le Top synchronisation et l’arrivée d’une particule dans le

volume de mesure conduit à la connaissance de la position azimutale de l’information dans le

repère mobile. En supposant que tous les canaux inter aubes sont identiques, il est alors possible

de reconstruire un signal périodique sur un unique canal inter aubes.

Ainsi, en tout point géométrique repéré par ses coordonnées méridienne, normale et

circonférentielle (m,n,θ), on obtient une moyenne d’ensemble sur la période T de passage des

aubes du rotor de la quantité ‘f’ mesurée :

( ) ( )( )1nTt,,n,mfN1

limt,,n,mfN

1nNe −+θ=θ ∑

=∞→ ( III.1)

Par ce processus de moyenne, ne subsistent que les phénomènes dont les échelles de temps sont

corrélés avec la période de passage des aubes. Il est important de noter que cette pratique a été

appliquée pour tous les résultats ici présentés mais qu’elle n’est en aucun cas obligatoire. Pour des

mesures en machine multi-étages, ou si l’on cherche à détecter un décollement tournant par

exemple, il ne faut plus superposer les canaux, ce qui revient à considérer T de l’équation ( III.1)

comme étant la période du rotor.

En pratique, le pas inter aubes est discrétisé en un certain nombre d’intervalles, en chacun

desquels les informations acquises sont moyennées. On retrouve sur la Figure 10-a le signal de


30

synchronisation mis en forme superposé au signal de lumière réfléchie sur la surface de deux

aubes adjacentes. La discrétisation du pas consistant à découper le temps s’écoulant entre deux

‘Top synchro’ successifs en n intervalles égaux (Figure 10-b) est classiquement utilisée par les

techniques commercialisées mais peu astucieuse. A titre d’exemple, il suffit de remarquer que la

zone de masque peut couvrir un (voir plusieurs) intervalle de mesure, dans lequel aucune donnée

ne sera jamais accessible !

1345678910

12345678910

2

découpage ordinaire

découpage optim isé

Toc

intervalleaveugle 2

intervalleaveugle 1

Tmasque

Top synchro i+1 Top synchro i

a

c

b

Figure 10 : Discrétisation temporelle

La connaissance des étendues des zones de masque permet d’optimiser la discrétisation, de

manière à ce que les intervalles de mesure soient distribués dans l’espace où les données sont

effectivement accessibles (Figure 10-c). La largeur de chacun de ces intervalles est ajustée en

fonction de l’écoulement et résulte d’un compromis entre une bonne résolution et des temps

d’acquisition raisonnables. Il est par ailleurs important dès cette étape de connaître la capacité des

particules d’ensemencement à suivre l’écoulement. Il est en effet inutile de sur-discrétiser une

zone traversée par une onde de choc sachant que les particules risquent de lisser la décélération

[Ottavy et al., 2001, Part.1]. Mais, à l’opposé, plus fine sera la discrétisation, meilleure sera la

détection du début de la décélération (supposée positionner le choc).

Par simple changement de repère et en absence de variation instationnaire dans le repère relatif, il

y a équivalence entre la variation temporelle dans le repère absolu et la variation circonférentielle

dans le repère relatif. En effet, si tδδ

indique la dérivée temporelle dans le repère mobile de


31

vitesse propre , et Ur

t∂∂

la dérivée temporelle dans le repère fixe, il vient pour une grandeur A

quelconque :

Agrad.UtA

tA r

+∂∂

=δδ

( III.2)

soit dans un système de coordonnées cylindriques (z, r, θ), avec Ur

= U. θer :

θ∂∂

+∂∂

=δδ A

rU

tA

tA

( III.3)

Ainsi, la discrétisation temporelle dans le repère absolu telle qu’elle a été discutée ci-dessus est

équivalente à la discrétisation spatiale dans le repère relatif.

Construire un maillage spatial dans le repère absolu résulte pour l’essentiel d’une bonne

adéquation entre le nombre de points et les structures locales de l’écoulement.

b cohérence des discrétisations spatiale et temporelle

On verra en ( IV.2.1) qu’il est intéressant de décrire la physique des interactions rotor-stator

en terme de moyennes et fluctuations (spatiales et temporelles). Ceci requiert de transcrire dans le

repère relatif les données acquises dans le repère absolu. Pour effectuer ce changement de repère

sans perte d’information par interpolation, il est astucieux que les mailles dans chacun des repères

soient à tout instant en coïncidence. Si on note ∆t l’intervalle de temps de la discrétisation

temporelle, la discrétisation spatiale dans le repère relatif est égale à tR ∆⋅ω=θ∆ . S’assurer de la

coïncidence des mailles revient à construire les maillages de telle sorte que tRs ∆⋅ω=θ∆=θ∆ ,

avec ∆θs l’intervalle spatial entre deux mesures dans le repère absolu.

Se posent alors deux problèmes. Premièrement, assurer la coïncidence revient à bâtir un

maillage régulier, ce qui est peu judicieux pour décrire des structures fines et locales (à moins

d’avoir un nombre phénoménal de points, et on retrouve ici la même problématique que lors de

la construction d’un maillage numérique). Le second problème est que, en l’absence de toute

hypothèse, les mesures dans le repère absolu doivent couvrir une plage angulaire égale à la

somme du pas du stator et du pas du rotor (seul le cas de l’étage isolé est ici traité). Ceci est

illustré sur la Figure 11. Deux aubes d’un stator sont représentées et le pas est décrit avec 10

points marqués par un symbole X. Deux aubes du rotor sont aussi représentées, pour les 10


32

temps couvrant le pas du stator. Dans le repère relatif, la description complète du champ

nécessite alors 13 points marqués par un symbole o (i.e. correspondant au temps séparant le

passage de deux aubes consécutives du stator).

x

x

21

1098

7

6

5

43

oo

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

t t+ t∆ t+2 t∆ .... t+9 t∆

stator rotor

∆θs = ∆θ ω ∆R = t

11

12

13

xx

x

x

x

x

x

x

Figure 11 : Disrétisation spatiale et temporelle ; étage isolé

Couvrir une grande plage angulaire conduit à un grand nombre de points de mesure (d’où

de longs temps d’acquisition) et nécessite de disposer de hublots d’accès suffisamment grands, ce

qui n’est pas toujours possible. Une alternative consiste à utiliser la périodicité spatio-temporelle.

c périodicité spatio-temporelle

Dans la Figure 11, le point 10 est homologue au point 1, c’est à dire que la variation

temporelle d’une grandeur aérodynamique au point 10, A10(t), peut s’écrire à partir de la variation

temporelle de cette même grandeur au point 1, A1(t), sous la forme :

A10(t) = A1(t-ϕ) avec ϕ = Φs/ω ( III.4)

où Φs est le pas du stator et ω le vitesse de rotation.


33

Il en est de même pour les points 11 et 2, 12 et 3, 13 et 4.

En désignant par ‘S’ le nombre d’aubes du stator, la périodicité spatio-temporelle s’écrit sous la

forme générale suivante :

)S2

t,S2

(A)t,(Aωπ

+π

+θ=θ ( III.5)

Autrement dit, à partir de la connaissance du champ aérodynamique sur un pas du stator, il est

possible de reconstruire le champ en tout point par déphasage de l’information.

La périodicité spatio-temporelle, qui relie linéairement par la vitesse de rotation les variations

spatiales et temporelles n’est cependant assurée que pour un étage isolé avec un champ amont

axisymétrique, en excluant les phénomènes tels le flottement ou le décrochage tournant pour

lesquels une ou plusieurs distorsions tournent de manière asynchrone devant une roue, et les

éventuelles réponses des structures à petite échelle de la turbulence soumises à des excitations

instationnaires.

Les propriétés de la périodicité spatio-temporelle ont été initialement introduites dans les

codes de calcul par Erdos [Erdos et al., 1977]. Depuis, pour les calculs en machine mono-étage,

les simulations utilisant cette approche (‘phase-lagged approach’) tendent à supplanter celles

utilisant la technique de réduction de canaux (‘reduced blade count approach’), essentiellement

car elles respectent la géométrie et qu’ elles sont plus économiques en terme de temps de calcul et

place mémoire [Billonnet et al., 2001].

Du point de vue expérimental, Belhabib a utilisé une hypothèse de périodicité spatio-

temporelle pour reconstituer le champ d’écoulement instantané derrière l’ensemble des aubages

du premier redresseur d’un compresseur à 4 étages, à partir de la mesure du champ d’écoulement

instationnaire sur un seul canal [Belhabib et Miton, 1996]. Dans le cas du compresseur axial

ECL4, nous avons vérifié la nature périodique (au sens spatio-temporel du terme) de

l’écoulement dans l’espace inter grilles, entre la RDE et la roue mobile. Pour ce faire, les

déphasages obtenus entre les données acquises en des points distants d’une période spatiale de la

RDE ont été comparés avec la valeur théorique. Les mesures ont couvert environ 120% du pas

de la RDE. L’écart entre les valeurs expérimentale et théorique est inférieur aux erreurs de

mesure [Ottavy et al., 2001]. On en conclut que la périodicité spatio-temporelle est satisfaite dans

le montage expérimental, ce qui sous-entend que les hypothèses énoncées sont valides :

- le champ amont est axisymétrique (au moins sur une plage angulaire investiguée), i.e. il n’y a pas

de propagation d’information en provenance des bras support, ni de distorsion quelconque,


34

- les propriétés de la périodicité sont bâties sur l’étage composé de la RDE et du rotor : du fait de

la présence du choc dans la roue, il ne peut y avoir de remontée d’information en provenance du

redresseur,

- même s’il existe une inhomogénéité spatiale des canaux inter aubes de la roue mobile, notre

processus d’acquisition l’ignore (cf. discrétisation temporelle),

- le point de fonctionnement étudié ne conduit pas à la présence de cellules tournantes induites

par des instabilités macroscopiques.

III.2.4 CONCLUSION INTERMEDIAIRE

Nos objectifs en terme de métrologie visent à transposer au domaine des turbomachines

des outils performants. Les deux exemples présentés dans ce chapitre ont été choisis pour

illustrer cette démarche. Les travaux relatifs aux accès optiques permettent de minimiser les

perturbations introduites dans l’écoulement. Ceux relatifs à la discrétisation des points de mesure

conduisent à une description fidèle des zones à fort gradients tout en optimisant les temps de

mesure. Il me semble important d’insister ici sur le fait que les développements sont toujours

réalisés avec le double souci, d'une part d'améliorer la précision et la fiabilité de l'information, et

d'autre part de réduire les temps d'acquisition (réduction des coûts inhérents aux installations de

forte puissance). Enfin, j’ajouterai qu’un certain nombre de développements (concernant les

accès optiques, l’ensemencement, certaines procédures de post-traitement…) sont transposables

à d’autres techniques que l’anémométrie laser L2F sur laquelle ils ont été initialement réalisés

(anémométrie laser Doppler, DGV, PIV…).

La métrologie proprement dite est un maillon indispensable mais pas unique à l’ensemble

contenu dans le vocable ‘approche expérimentale’. Si les efforts développés en terme

d’instrumentation permettent d’obtenir des informations précises et fiables, encore faut-il

pouvoir optimiser la localisation et la discrétisation des points de mesure pour décrire

correctement un écoulement. Ces points sont traités dans le chapitre suivant.


35

III.3 COMMENT APPREHENDER L’ECOULEMENT ?

Comme vu ci-dessus, le choix de la localisation et de la densité des points de mesure

dépend des structures qui se développent dans l’écoulement. Il est évident de devoir densifier le

maillage des points de mesure dans les couches limites, les zones à fort gradient de vitesse

(sillages, ondes de choc…), les zones où se développent des tourbillons, les zones

d’interaction…Mais tandis que préjuger la localisation des couches limites - voir des sillages - est

aisé, il n’en est pas forcément de même pour le reste, notamment les ondes de choc.

Le recours à des résultats numériques, pour identifier les zones « sensibles » dans lesquelles

la discrétisation spatiale des points de mesure doit être affinée, est intéressant à condition qu’ils

soient représentatifs de l’écoulement. Malheureusement, cette condition n’est en général satisfaite

qu’après calibrage des simulations numériques à partir des résultats expérimentaux. Ainsi, autant

les résultats numériques sont des sources d’informations irremplaçables dans les phases d’analyse

autant ils sont difficilement (voire pas) exploitables dans les phases de préparation des mesures.

Deux exemples rapportés ci-dessous en témoignent.

(a) (b) (c)

Figure 12 : Trace des lignes soniques ; compresseur axial supersonique ECL3.


36

Le premier exemple est issu de travaux réalisés au LMFA/ECL sur un compresseur axial

supersonique [Trébinjac, I. et Vouillarmet, A., 1990] dont l’optimisation des profils d’aubes a été

réalisée à partir d’un code 3D Euler [Goutines, 1988]. Ce code prédit un régime d’écoulement

supersonique amorcé : la branche descendante de l’onde de choc oblique du bord d’attaque se

réfléchit en un choc droit au bord de fuite de l’aubage adjacent. Les lignes soniques résultantes

sont tracées sur la Figure 12 (a), et tendraient à nous indiquer la zone dans laquelle il faut

densifier le maillage expérimental. Les résultats expérimentaux montrent que la branche

descendante du choc de bord d’attaque est quasi droite et l’écoulement en aval est entièrement

subsonique. La trace des lignes soniques expérimentales est donnée sur la Figure 12(b). L’

écoulement est en réalité de type non amorcé ainsi qu’il a été confirmé à posteriori par un calcul

visqueux. (Figure 12(c)).

La restitution de la structure d’écoulement est possible par la simulation Euler, après recalage de

la contre pression, d’où la nécessité d’avoir les résultats expérimentaux avant de réaliser les

simulations.

Le deuxième exemple est relatif aux travaux réalisés sur le compresseur centrifuge TM.

expériencecalcul Eulercalcul NS-1calcul NS-2

Figure 13 : Trace des lignes soniques ; compresseur centrifuge TM


37

La Figure 13 donne les traces des lignes soniques à 70% de hauteur de veine issues :

de l’expérience - ligne rouge - (les pointillés indiquent la trace expérimentale ‘probable’

établie à partir de résultats trop partiels pour être validés),

d’un calcul Euler 3D avec pertes – ligne bleue - ,

de deux calculs Navier Stokes 3D – lignes verte et noire – pour deux valeurs de contre

pression, i.e de débit. Le débit dans le calcul noté NS-1 est inférieur de 3% au débit de la

configuration expérimentale, tandis que le débit dans le calcul noté NS-2 est supérieur de 0,9% au

débit expérimental.

Les résultats expérimentaux montrent l’existence d’une onde de choc oblique forte, détachée du

bord d’attaque des aubes (bord d’attaque émoussé et nombre de Mach incident proche de 1), cf.

[Claudin, 1997]. La configuration de choc fort détaché est plutôt bien restituée par le calcul

Euler. La différence de localisation de la ligne sonique entre l’expérience et le calcul Euler

s’explique par le fait que le calcul est effectué à un débit supérieur de 1,6% au débit de la

configuration d’essai. Les lignes soniques déduites des calculs NS révèlent une configuration non

amorcée de l’écoulement. Il faudrait encore augmenter le débit (i.e. diminuer la contre pression)

pour tendre vers des structures d’ondes de choc comparables.

Ainsi, de même que pour l’exemple précédent, on conclut que les calculs numériques peuvent

conduire à des simulations d’écoulement satisfaisants à condition de les calibrer. En d’autres

termes, il est quasiment impossible de les exploiter pour préparer et optimiser une campagne

expérimentale.

Les méthodes analytiques constituent, dans certains cas, des outils de prédiction

intéressants d’autant plus qu’elles sont rapides et peu coûteuses à mettre en œuvre. Un exemple

est donné ci après. Il concerne la prédiction de la forme et de la position du choc émanant d’un

bord d’attaque d’aubage réel, en écoulement supersonique, avec un nombre de Mach axial

subsonique.

La méthode de prédiction repose sur le concept d’incidence unique et s’appuie sur les méthodes

intégrales bidimensionnelles de Levine et de Moeckel. La méthode de Levine [Levine, 1957]

permet de déterminer l’angle d’incidence unique en fonction du nombre de Mach amont d’une

grille infinie d’aubes à bords d’attaque effilés. Les profils réels ont, pour des raisons de solidité et

de fabrication, des bords d’attaque émoussés qui conduisent à un détachement du choc. La


38

méthode de Moeckel [Moeckel, 1942] permet de calculer la distance de détachement d’un choc

au bord d’attaque d’un profil isolé. Le couplage des deux méthodes conduit à obtenir les

conditions d’entrée d’une grille, abstraction faite de toute perte. La prise en compte intégrale des

pertes – pertes de pression totale générées par le choc détaché et par toutes les branches des

chocs amont obliques – reviendrait à faire un calcul complet, ce qui n’est pas l’objectif. Starken a

procédé au couplage des deux méthodes avec prise en compte des pertes de pression totale dues

à la partie forte du choc [Starken et al., 1984]. Nous avons étendu cette démarche en introduisant

les pertes dues au choc sur la distance inter aubes complète, en considérant que le choc devient

évanescent en amont de l’aube adjacente. Nous avons par ailleurs introduit un coefficient de

blocage pour traduire la contraction de veine depuis l’amont jusqu’au bord d’attaque des profils

[Ottavy, 1999]. Ce coefficient de blocage résulte de la convergence géométrique de la veine et

éventuellement du développement des couches limites. Il permet d’étendre le calcul développé en

grille d’aubes à un calcul applicable en compresseur.

Outre les données géométriques, le calcul nécessite la connaissance du nombre de Mach à l’infini

amont. La notion d’infini amont suppose un écoulement uniforme dans la direction

circonférentielle. Ceci n’a jamais été le cas pour les compresseurs investigués puisque dans les

sections de mesure situées le plus en amont, il subsiste des variations temporelles périodiques en

une position géométrique dans le repère absolu, ce qui traduit que le choc n’est encore pas

évanescent. On a cependant montré [Claudin, 1997] que la valeur du nombre de Mach à l’infini

amont, qui correspond à celle atteinte sur la caractéristique neutre, est égale à la moyenne de son

évolution temporelle (qui est elle-même équivalente à la valeur obtenue à partir d’une acquisition

non synchronisée). Ce résultat a permis d’appliquer la méthode de prédiction du choc au

compresseur centrifuge TM [Trébinjac, I. and Claudin, I., 1997] et au compresseur axial ECL4

[Ottavy, X. et al., 2001]. Dans chacun des deux cas, les résultats sont très satisfaisants, ce qui est

d’autant plus remarquable qu’on se rappelle que la méthode est bidimensionnelle et qu’elle

s’appuie sur une hypothèse forte à savoir que l’écoulement amont est de type onde simple. A titre

d’exemple, la Figure 14 donne le champ temporellement moyenné de la vitesse absolue mesurée

ainsi que la trace du choc analytiquement prédite, à mi-envergure en amont de la roue mobile du

compresseur ECL4.


39

-30 -20 -10 0 10axial chord of the rotor blade (%)

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

roto

rbla

depi

tch

(%) 210.0

200.0190.0180.0170.0160.0150.0

RM1.27

1.05

Figure 14 : Nombre de Mach expérimental et prédiction analytique de la trace du choc

compresseur axial ECL4

III.3.1 CONCLUSION INTERMEDIAIRE

Les méthodes analytiques constituent des outils essentiels et complémentaires aux

méthodes expérimentales et numériques, aussi bien en terme d’appréhension d’écoulement

comme il a été illustré ci-dessus qu’en terme d’analyse comme il sera vu dans le chapitre suivant.

Elles ont l’indéniable avantage d’être focalisées sur la physique, au moins pour la simple raison

qu’elles nécessitent quasi-inévitablement des hypothèses simplificatrices. Or postuler des

hypothèses pertinentes nécessite de ‘sentir’ la physique du problème.


40

IV ANALYSE DES MESURES

Du fait des développements considérables en simulations numériques et du rapport de plus

en plus faible entre un coût de calcul et un coût de campagne expérimentale, les expérimentations

systématiques n’ont plus raison d’être. Deux objectifs majeurs motivent alors les études

expérimentales :

la compréhension de la physique de phénomènes de plus en plus fins

la validation de simulations numériques,

ces deux points étant reliés par la modélisation.

Ainsi, les objectifs même des études expérimentales impliquent une connexion forte entre

la méthodologie de la mesure, le post-traitement des données et l’analyse.

La recherche de compréhension de la physique de phénomènes de plus en plus fins est

illustrée dans ce qui suit à travers différentes études relatives aux mécanismes tourbillonnaires

( IV.1.2, IV.1.3), puis aux interactions rotor-stator ( IV.2.2, IV.2.3). Dans ce dernier cadre, les

analyses ont pour objectif sous-jacent la modélisation.

En ce qui concerne les validations des simulations numériques, les développements des

codes sont tels que la confrontation des résultats numériques et expérimentaux ne consiste plus à

comparer des champs globaux mais plutôt à comparer des structures locales et fines (transport de

sillages, transport de vorticité, couches limites…). Il est indispensable à ce niveau que la

confrontation des résultats soit faite en parfaite connaissance de la fiabilité des données,

connaissance qui nécessite la maîtrise des conditions d’acquisition et de traitement des données

[Ottavy et al.,2003]. On retrouve ici la notion de couplage fort entre activités expérimentales,

analytiques et numériques.


41

IV.1 ANALYSE DES MECANISMES TOURBILLONNAIRES

IV.1.1 GENERALITES

La description d’un écoulement à partir du champ de vorticité est une alternative

intéressante à sa description par l’intermédiaire du champ de vitesse. Elle peut permettre de

considérer l’écoulement comme la superposition d’un écoulement moyen – voir potentiel – et de

mouvements de rotation locale d’échelles très variables. Ceci est illustré par le tourbillon de jeu

pour lequel la vorticité est localisée dans un cœur de diamètre faible par rapport à la taille

caractéristique de l’écoulement (cf. IV.1.3). Dans d’autres cas, la vorticité peut être moins

concentrée mais des structures tourbillonnaires restent identifiables ; ceci est illustré par l’analyse

du champ moyen obtenu en compresseur centrifuge (cf. IV.1.2). Enfin, l’évolution d’une vorticité

soumise à un champ de vitesse extérieure instationnaire est présentée dans le paragraphe IV.1.4 ,

en considérant le cas de l’interaction de la vorticité attachée à un sillage d’aubage avec une onde

de choc défilante.

L’évolution du champ vectoriel de vorticité Ωr

est traduite par l’équation de transport de la

vorticité, obtenue en appliquant l’opérateur rotationnel à l’équation de Navier-Stokes (la

démonstration est donnée en IV.1.5) :

( ) ( ) ( )

Vrot

avec

frotdiv1

rotpgrad1

gradtdd

VgradgradVt

rr

rrrrr

r

=Ω

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ τρ+∧ρ−ρ

ρΩ

+⋅⋅Ω=Ω⋅⋅+∂Ω∂

( IV.1)

Les deux termes du membre de gauche décrivent la variation instationnaire et la convection de la

vorticité ; ils peuvent se regrouper sous la forme d’une dérivée convective tddΩr

.

Le premier terme du second membre fait intervenir les variations du vecteur vitesse dans la

direction du vecteur vorticité. De ce fait, dans les écoulements bidimensionnels (ou traités

comme tels), ce terme est identiquement nul. Dans les écoulements 3D, il représente un terme

source au moins causé par la turbulence qui induit des variations de la vitesse à la plus petite

échelle spatiale. Dans tout ce qui suit, seules les variations moyennes (au sens moyenne de

Reynolds) du vecteur vitesse – et donc du vecteur vorticité – sont traitées puisque la turbulence

est contenue dans les valeurs des écart-types.


42

Les deuxième et troisième termes décrivent les effets dus aux gradients de la masse volumique.

Hormis les cas particuliers d’écoulement avec ondes de choc (cf. IV.1.4), ces termes seront

considérés comme négligeables par rapport aux autres termes source.

Le quatrième terme décrit l’amortissement du vecteur vorticité par la viscosité. En effet, si on

néglige les effets de la compressibilité, on a : ( ) Vdivr

∆µ=τ , ce qui conduit, si on néglige les

gradients de masse volumique, à : ( ) Ω∆ν≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

ρr

div1

rot . Ainsi, en l’absence de tous les autres

termes source, l’équation du transport de la vorticité se réduirait à une équation de diffusion, à

savoir : Ω∆ν=Ω rr

tdd .

Le dernier terme est relatif aux forces qui ne dérivent pas d’un potentiel. Ces forces seront

considérées inexistantes sauf s’il s’agit de traiter l’écoulement dans un référentiel tournant à une

vitesse angulaire , auquel cas elles apparaissent dans l’équation de transport de la vorticité

relative sous la forme d’un terme source,

ωr

( )W2rotrr

∧ω− :

( ) ( ) ( )

Wrot

avec

W2rotdiv1

rotpgrad1

gradWrott

R

RR

rr

rrrrr

=Ω

∧ω−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

ρ+∧

ρ−=∧Ω+

δΩδ

( IV.2)

ou encore, avec ω+Ω=Ωrrr

2R :

( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

ρ+∧

ρ−

ρρΩ

+⋅⋅Ω=Ω⋅⋅+δΩδ

div1

rotpgrad1

gradtdd

WgradgradWt

rrrrr

r

( IV.3)

Les détails de calcul sont donnés en IV.1.5.

Il n’existe pas, pour un cas général, de solution analytique à l’équation de transport de la

vorticité. Ainsi, c’est en ne considérant que les termes prédominants (i.e. jugés prédominants

pour l’application considérée) que l’étude analytique de la génération et du transport de la

vorticité peut être menée à partir de cette équation projetée dans un repère adéquat.


43

IV.1.2 DESCRIPTION DES ECOULEMENTS SECONDAIRES

Une telle démarche a été appliquée à l’écoulement se développant dans le compresseur

centrifuge TM. Les objectifs étaient d’identifier les mécanismes transformant l’écoulement à

caractère essentiellement potentiel dans la zone inductrice du rouet en un écoulement très

distordu dès la zone à plus forte courbure méridienne, c’est à dire lors du passage d’un

écoulement essentiellement axial à un écoulement essentiellement radial. A partir de l’équation de

transport de la vorticité, écrite dans le repère relatif et projetée dans le repère curviligne

orthogonal (n, s, b), on peut identifier les 3 sources majeures d’écoulements secondaires que sont

la rotation de la machine, la cambrure des aubes et la courbure méridienne. Le repère (n, s, b) est

tel que ‘s’ est la coordonnée le long de la ligne de courant, ‘n’ est normale à la ligne de courant

dans le plan aube à aube et ‘b’ est la binormale, perpendiculaire à n et s (Figure 15).

b

n

carter

moyeu

s

ω

Xn

b

s

+ -

dans le plan méridien dans le plan perpendiculaire à l’écoulement

principal

Figure 15 : Repère curviligne orthogonal (n, s, b)

En ignorant les contributions du terme instationnaire, du terme de gradient de masse

volumique et du terme visqueux, en négligeant les composantes normales de la vitesse devant la

composante longitudinale et leurs gradients longitudinaux, on peut montrer que la composante

longitudinale de l’équation de transport de vorticité s’écrit :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω−ω−∂∂

ω+∂∂

−∂∂

+∂∂

ω=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω∂∂

434214342143421434214342143421 )f(snns

)e(sbbs

)d(

sn

)c(

ssbs

)b(

ssns

)a(

sb2

sss KWKWn

Wn

WKWb

WKWb

WW2

Ws ( IV.4)


44

ω

a b

e+fc+dX

n

b

s

Figure 16 : Schématisation des écoulements secondaires

1 - les écoulements secondaires induits par la rotation sont issus des termes prédominants de la

contribution des forces de Coriolis. Ils sont décrits par le terme (a) et sont plus intenses dans la

partie radiale de la machine, d’une part parce qu’alors b.rr

ω=ω , et d’autre part parce que les

couches limites pariétales sont d’autant plus développées qu’on se place en sortie de roue. Ces

écoulements secondaires induisent un mouvement de fluide à faible énergie, le long des parois du

moyeu et du carter, de la face en pression des aubages vers la face en dépression (Figure 16). Les

effets de rotation peuvent éventuellement conduire au terme (d) si une composante ωn existe. Tel

est le cas si l’angle de calage des aubages est grand ou encore au passage d’une onde de choc

oblique au bord d’attaque (configuration rencontrée en compresseur axial supersonique, ou

typiquement pour une coupe de tête du compresseur ECL4) Il s’ensuit une migration de fluide à

faible énergie, le long des aubages, du moyeu vers le carter..

2 - les écoulements secondaires induits par la cambrure des aubes sont décrits par le terme (b). Ce sont les

tourbillons classiquement nommés tourbillons de passage. Ils existent dans toute la machine –

tant dans la partie axiale que radiale – du moment que les couches limites pariétales – moyeu et

carter – sont suffisamment développées. En fonction du signe de la courbure Ksn, ces tourbillons

amplifient ou atténuent les tourbillons (a) induits par la rotation. Dans le cas du compresseur

centrifuge TM, où les aubages sont couchés en arrière (Ksn<0), les tourbillons (a) et (b) sont

contra-rotatifs (Figure 16).


45

3 – les écoulements secondaires induits par la courbure méridienne sont décrits par le terme (c). Ils sont

confinés dans les couches limites d’aubage et traduisent un mouvement de fluide à basse énergie

le long des aubages, du moyeu vers le carter.

Les termes (e) et (f) traduisent des tourbillons qui ne sont pas confinés dans les couches limites

(Figure 16) et qui résultent des combinaisons des effets de rotation et des courbures.

Les mesures réalisées dans le compresseur centrifuge TM ne permettent pas de quantifier

les écoulements secondaires décrits ci-dessus pour la simple raison que les mesures sont

inaccessibles dans les régions très proches des parois des aubages et du moyeu. Seules des

investigations réalisées sur des modèles à grande échelle permettent une telle description

quantitative [Hathaway et al., 1993 ; Ubaldi et al., 1993]. Cependant, les effets de rotation y sont

forcément atténués par rapport à ceux enregistrés sur une machine de petite taille à forte vitesse

de rotation, ce qui modifie la balance entre les effets de rotation et les effets de courbure.

L’analyse de la structure globale du champ de vitesse peut néanmoins être réalisée à la

lumière de l’analyse phénoménologique des structures tourbillonnaires, comme il est illustré ci-

dessous.

La relation ( IV.4) montre qu’il n’y a pas de source notable de vorticité dans la partie axiale

du compresseur si les couches limites pariétales sont peu développées. Ceci est confirmé par

l’analyse des résultats expérimentaux, obtenus depuis l’amont jusqu’à la zone à plus forte

courbure méridienne, qui révèlent un écoulement à caractère potentiel. L’illustration est donnée

sur la Figure 17 par la carte d’iso valeurs de la vitesse méridienne obtenue dans la section B. Les

flèches représentent la composante circonférentielle de la vitesse relative et ne révèlent aucune

structure tourbillonnaire.

0.320.300.280.260.240.220.200.180.160.14

MB MB

ω

Section B

+ -+-

--------->

Vm / U2

m/ms=0.21

Figure 17 : Vitesse méridienne réduite dans la section B du compresseur TM


46

Cet écoulement à caractère potentiel se transforme, dès la zone à plus forte courbure méridienne,

en un écoulement très distordu et notablement différent dans chacun des deux sous canaux,

comme illustré sur la

Figure 18 qui donne la carte d’iso valeurs de la vitesse méridienne dans le section E. Les

changements d’orientation du vecteur Wθ indiquent des structures tourbillonnaires, côté intrados

de l’aube intercalaire dans le passage noté ‘A’ et plutôt côté extrados dans le passage ‘B’.

0.350.310.270.230.190.150.110.07

MB

SB

MB

-+

+-+-

ω

Section E

--------->

Passage B Passage A

Vm / U2

m/ms=0.63

Figure 18 : Vitesse méridienne réduite dans la section E du compresseur TM

L’analyse phénoménologique des structures générées par la courbure méridienne (terme (c)

de l’équation ( IV.4)), la cambrure des aubes (terme (b)) et la rotation (termes (a) et (d)) met en

évidence l’accumulation de fluide à faible énergie dans la zone de tête, côté extrados (zone

ombrée dans la Figure 16). Les résultats présentés dans la Figure 18 révèlent, comme attendu, une

zone d’accumulation dans le coin carter/extrados du passage B. Par contre, dans le passage A, la

zone d’accumulation est transférée côté intrados, sous l’influence des effets de jeu (cf. IV.1.3).

L’accumulation de fluide à faible énergie peut conduire à la structure d’écoulement de type

« jet-sillage » observée dans bon nombre de compresseurs centrifuges. On en déduit que

l’interaction des écoulements secondaires suffit à la formation de la structure « jet-sillage », sans

nécessairement un décollement de couche limite, comme il est peut être écrit dans la littérature (à

titre d’exemple : ‘Due to the lightly loaded backward-swept blades, the suction side blade boundary layer is not

separated and the jet and wake flow structure is not present.’ [Ubaldi et al., 1998]). Cette affirmation est


47

confortée par l’analyse des résultats numériques issus des simulations de l’écoulement réalisées

par l’ONERA et TURBOMECA avec les code 3D N.S. CANARI et Elsa, en roue isolée. Les

mêmes grandeurs aérodynamiques que celles mesurées sont extraites des calculs, dans les sections

de mesure [Desbois-Lavergne et al., 2003]. Cette démarche, visant à conforter des conclusions

issues des résultats expérimentaux par des résultats numériques, est justifiée car les résultats

numériques et expérimentaux sont remarquablement similaires au moins dans les zones de

recouvrement. La Figure 20 présente des cartes d’iso valeurs de la vitesse méridienne réduite,

pour 5 sections repérées dans la Figure 19. Les zones de mesure sont délimitées dans les cartes

numériques par un trait blanc. L’examen attentif des couches limites n’a révélé strictement aucun

décollement.

Downstream

Splitter bladeleading edge

Section B

Section C

Section E

Section H1

Section KTrailing edges

Upstream

Shroud

HubMain bladeleading edge

Figure 19 Trace des sections de mesure dans le plan méridien

compresseur centrifuge TM


48

Figure 20 : Vitesse méridienne réduite dans le compresseur TM

comparaison expérience/numérique pour 5 sections repérées ci-dessous

Si les écoulements secondaires décrits ci-dessus et notamment leurs interactions permettent

d’expliquer l’existence des zones à faible quantité de mouvement, il est montré ci-après que leur

transport et leur localisation dans les deux sous canaux dépendent complètement des effets de

jeu.


49

IV.1.3 EFFETS DE JEU - TOURBILLON DE JEU

Ce paragraphe n’a pas pour objectif l’étude complète des effets de jeu dans les

compresseurs – les travaux relatifs à ce sujet sont nombreux dont une synthèse dans l’ouvrage

écrit par Lakshminarayana [Lakshminarayana, 1996] – mais de compléter l’analyse

phénoménologique des structures tourbillonnaires dans le compresseur centrifuge TM.

Il a été dit au début du chapitre que le tourbillon de jeu pouvait être vu comme un cœur de

vorticité de diamètre faible par rapport à la taille caractéristique de l’écoulement. Une illustration

en est donnée sur la Figure 21 qui donne la trace du tourbillon de jeu et la distribution d’entropie

dans la zone de tête de la partie inductrice du compresseur TM, issus d’une simulation numérique

réalisée au point de fonctionnement nominal.

Figure 21 : Distribution d’entropie dans la partie inductrice du compresseur TM

au point de fonctionnement nominal

Les cartes d’entropie sont établies de 92.5% de l’envergure jusqu’au carter (100% de

l’envergure), et du voisinage du bord d’attaque jusqu’à une distance méridienne réduite égale à


50

environ 30%, au delà de laquelle on ne peut plus distinguer isolément le tourbillon de jeu puisque,

par diffusion, les phénomènes se mélangent.

Deux zones de maximum d’entropie ressortent :

- la zone du tourbillon de jeu

- la couche limite se développant sur la face en dépression et migrant vers le carter,

bloquée en tête par le jet issu de jeu, qui sépare alors l’entropie créée par le cisaillement au

carter de celle créée à l’extrados.

Le tourbillon de jeu prend naissance sur l’extrados, quasiment au bord d’attaque de l’aubage. Il

est ensuite transporté dans le passage inter aubes, vers la face en pression de l’aubage adjacent, en

changeant de direction à la traversée du choc oblique (5ème coupe de la Figure 21) qui induit une

sous déflexion de l’écoulement.

La génération de la vorticité responsable du tourbillon de jeu est traduite par :

44 344 2144 344 21)b(

ss2s

)a(

ssb

sss

bW

nW

W1

nW

KW1

Ws ∂∂

∂∂

+∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω∂∂

( IV.5)

avec

ns b +

tip

Figure 22 : Définition du repère (n, s, b) dans le jeu

Cette relation, déduite de l’équation ( IV.3) avec des hypothèses similaires à celles posées pour

l’établissement de l’équation ( IV.4), montre que la vorticité résulte

(a) de la couche limite extrados, nWs

∂∂

, sous l’effet de la courbure de la trajectoire

des particules traversant le jeu en tête d’aubage (Figure 22),

sbK


51

(b) de l’interaction entre la couche limite extrados et le gradient de vitesse en tête d’aube

bWs∂

∂.

L’examen des résultats numériques, présentés ci-après, corrobore cette conclusion puisque lors de

lâchers de particules, seules celles initialement situées dans la couche limite extrados sont

emportées dans le mouvement tourbillonnaire.

La Figure 23 montre quelques lignes de courant obtenues par lâchers de particules, pour

l’écoulement simulé par l’Onéra au régime partiel par un calcul Elsa stationnaire en roue isolé

[Desbois-Lavergne et al., 2003].

Tip

Figure 23 : Visualisation de lâchers de particules dans le compresseur TM, au régime partiel

Les particules bleues initialement localisées dans le jeu en tête d’aube principale, au bord

d’attaque, traversent le passage A (compris entre la face en dépression de l’aube principale et la

face en pression de l’aube intercalaire), puis sont transportées vers la sortie du rouet le long de la

face en dépression de l’aube intercalaire dans le passage B tout en plongeant vers le moyeu. Les

trajectoires associées à ces particules ne s’enroulent pas.

Les particules bleu clair initialement localisées dans la couche limite extrados de l’aube principale,

au delà de 70% d’envergure et au bord d’attaque, sont globalement convectées de la même

manière que les particules issues du jeu, à la différence près que leurs trajectoires s’enroulent.


52

Les particules vertes qui sont initialement situées dans la couche limite extrados, mais à une

envergure plus faible que précédemment, restent dans le passage A. La courbure méridienne

(terme (c) de l’équation ( IV.4)) conduit à une migration du fluide à basse énergie le long des

aubages, du moyeu vers le carter, comme illustré par les trajectoires des particules jaunes

initialement situées dans la couche limite extrados de l’aube principale, côté moyeu. Arrivées à

proximité du carter, ces particules sont alors entraînées par le jet issu du jeu vers la face en

pression de l’aube adjacente. Le gradient de pression inter-aubes adverse maintient ce fluide à

faible énergie à environ mi-passage inter aubes A, ainsi que les résultats expérimentaux le

montrent (cf. cartes d’iso valeurs de la vitesse méridienne obtenue dans les sections E à K ;

Figure 18 et Figure 20).

En ce qui concerne les particules lâchées au bord d’attaque du splitter, aucune ne traverse

complètement le passage B. Les trajectoires des particules roses situées dans la couche limite

extrados, pour des fortes valeurs de l’envergure, viennent s’enrouler sur elles –même pour former

le tourbillon de jeu. Cette structure à faible énergie est alimentée par le fluide provenant de l’aube

principale et qui a traversé le passage inter aubes A. Il en résulte une zone de fluide à faible

énergie, située dans le coin carter / extrados du splitter, plus intense que celle située dans le

passage A. Ceci vient conforter les conclusions émises lors de l’analyse des résultats

expérimentaux [Trébinjac et Vixège, 2001].

Des observations similaires ont été faites par Wernet, [Wernet, 2000]. La Figure 24 montre

des cartes d’iso-valeurs de la vitesse méridienne réduite dans trois sections situées à 70, 84 et 96

% de corde du rouet d’un compresseur centrifuge à pales intercalaires dont les caractéristiques

principales sont données sous la Figure. Les niveaux clairs indiquent des faibles valeurs de vitesse.

On observe nettement, dans la section à 84% de corde, une accumulation de fluide à faible

énergie dans le coin carter/extrados du splitter, tandis que la zone à faible énergie dans l’autre

passage est bien plus étalée dans la direction circonférentielle. L’auteur remarque ‘that there is more

tip clearance flow migrating over the splitter blade (center blade) than over the main blade’. Au vu de l’analyse

faite à partir des visualisations de la Figure 23, il est probable que ce ne soit pas l’écoulement de

jeu propre au splitter qui soit plus important, mais plutôt une alimentation de cet écoulement par

une partie de l’écoulement de jeu provenant de l’aube principale.


53

Figure 24 : CFD solution of centrifugal compressor flow field using BtoB3D code

extraite de l’article

Wernet, M.P., 2000, Application of PIV to study both steady state and transient turbomachinery flows,

J. of Optics and Laser Technology, Vol. 32, Issues 7-8, pp. 497-525

Caractéristiques principales du compresseur : ‘The centrifugal compressor is a Rolls Royce¯Allison design that was scaled to a mass flow rate of 4.54 kg/s from the

original mass flow rate of 1.66 kg/s. The impeller and vaned diffuser were designed to produce a pressure ratio of 4 : 1 at the

design mass flow. The standard day corrected speed for the design flow condition is 21,789 rpm with an exit tip speed of 492

m/s. The impeller contains 15 main blades with 15 splitter blades and has 50° of backsweep from radial at the discharge.

The splitter blade leading edge, located at 30% of the main blade chord, is offset slightly toward the main blade suction

surface to provide an even flow split. The inlet tip diameter is 210 mm and the inlet blade height is 64 mm. The exit

diameter is 431 mm and the exit blade height is 17 mm’

Si le processus de formation des structures inhérentes au jeu est identique pour les

compresseurs axiaux et centrifuges, leurs conséquences peuvent être différentes. En effet, tandis

que les effets de jeu ne semblent être que négatifs pour un compresseur axial, un certain bénéfice

peut être tiré des effets de jeu en compresseur centrifuge.

Quatre conséquences majeures résultent du jeu, en terme de pertes (a), de charge d’aubage (b), de

tridimensionnalité d’écoulement (c) et d’instationnarité (d).

(a) Lakshminarayana évalue que la part des pertes dues aux effets de jeu varie entre 20 à 35%

des pertes totales, en fonction de la machine considérée. Ces pertes résultent du mélange du jet

issu du jeu avec l’écoulement principal et du tourbillon de jeu (de par sa dissipation et son

interaction avec l’écoulement qui lui est extérieur), [Storer, 1991]. Ainsi, la création d’entropie


54

peut se limiter par le contrôle du gradient de vitesse dans la couche limite sur l’extrados des

aubages, i.e. nWs∂

∂ de l’équation ( IV.5), ou, plus facilement, par le contrôle du gradient de vitesse

en tête d’aubage, i.e. bWs∂

∂, par le biais du décollement en tête d’aube donc de la forme de la tête

d’aube.

Le jeu a un effet évidemment négatif en terme de rendement, quelle que soit la machine étudiée.

(b) La charge en tête d’aubage diminue notablement, ce qui affecte la marge au décollement

et la marge au pompage. Cette conséquence est encore exclusivement négative, quelle que soit la

machine étudiée.

(c) L’écoulement de jeu introduit de la tridimensionnalité dans l’écoulement se développant

dans un compresseur axial. Dans un compresseur centrifuge, même en dehors des écoulements

de jeu, l’écoulement est déjà fortement tridimensionnel à cause des nombreux écoulements

secondaires d’origines différentes pouvant conduire à une structure de type jet/sillage (cf. IV.1.2).

Cette structure se traduit par une accumulation de fluide à faible énergie dans le coin

carter/extrados, ce qui a pour conséquences de diminuer la charge d’aubage, de diminuer la

marge au décollement et de rendre l’écoulement en amont de l’éventuel diffuseur excessivement

complexe et inhomogène. Le jet issu du jeu tend à ‘balayer’ cette zone à basse énergie, en l’étalant

dans la direction circonférentielle, ce qui a pour conséquence d’augmenter la marge au

décollement, et d’homogénéiser circonférentiellement l’écoulement en amont du diffuseur, d’où

une adaptation de ce dernier plus aisée. Ainsi, même si les effets de jeu induisent des pertes (a), ils

peuvent néanmoins avoir des conséquences bénéfiques si on considère l’étage complet.

(d) Toute variation circonférentielle dans le repère mobile se traduit par une variation

temporelle dans le repère fixe (et inversement). Le tourbillon de jeu se propageant dans les étages

aval est ainsi une source d’instationnarité. Or les mécanismes instationnaires peuvent aussi être

bénéfiques si l’on considère l’écoulement dans le diffuseur et par voie de conséquence dans

l’étage complet d’un compresseur centrifuge. Ceci peut être illustré à travers les travaux de Ziegler

et al. qui ont réalisé une étude expérimentale des effets de l’interaction rouet-diffuseur d’un

compresseur centrifuge d’un taux de pression égal à 4 [Ziegler et al., 2002]. Ce compresseur est

composé d’un rouet à 15 aubes couchées en arrière et d’un diffuseur dont les 32 aubes ont une


55

forme de coin. La distance entre le rouet et le diffuseur aubé est réglable de telle sorte que le

rapport entre le rayon au bord d’attaque du diffuseur et le rayon du bord de fuite du rouet peut

varier entre 1,04 et 1,18. Des mesures détaillées ont été réalisées par anémométrie laser L2F pour

tenter d’énoncer des critères d’optimisation de taille de l’entrefer rouet-diffuseur aubé. A faible

taille d’entrefer, les auteurs ont montré que la variation instationnaire de l’angle de l’écoulement

en sortie de rouet (suite à une structure relativement marquée de type jet-sillage) empêche le

décollement sur la face en pression des aubes du diffuseur. Quand la taille de l’entrefer est

augmentée, la distribution circonférentielle de l’angle est homogénéisée ce qui annihile les

bouffées intermittentes de fluide à forte énergie provenant du sillage. Ce processus présente des

similitudes avec les interactions bénéfiques de type sillage-couche limite notamment exploitées en

turbine (phénomène de ‘calming’, [Hodson, 1998]).

L’analyse cohérente de la structure d’écoulement se développant en compresseur centrifuge,

menée à partir de l’étude des mécanismes tourbillonnaires, montre l’intérêt à décrire un

écoulement complexe à partir du champ de vorticité plutôt que par l’intermédiaire de son seul

champ de vitesse.

Le dernier exemple d’analyse de mécanismes tourbillonnaires, présenté dans ce document,

est relatif à l’évolution d’une vorticité soumise à un champ de vitesse extérieure instationnaire. Ce

cas est extrait des travaux réalisés sur le compresseur axial ECL4.

IV.1.4 INTERACTION SILLAGE / CHOC DEFILANT

L’évolution de la vorticité attachée au sillage de la roue directrice d’entrée soumis au

défilement de l’onde de choc oblique émanant du bord d’attaque des aubes du rotor est quantifiée

à partir de l’équation de transport de la vorticité écrite dans le référentiel absolu (équation ( IV.1)),

et projetée dans un repère lié au choc. La configuration est schématisée sur la Figure 25.

Le sillage, supposé bidimensionnel, induit 2 tourbillons contrarotatifs, de composante radiale

notée Ωr. La configuration du choc oblique émanant du bord d’attaque des aubes du rotor est

supposée être imposée par l’écoulement supersonique amont hors sillage. Son déplacement dans

la direction circonférentielle, , est pris en compte dans l’équation par le terme de dérivée

purement temporelle de masse volumique, sachant que

Ur

ρ⋅−=∂ρ∂

gradUtr

si le choc est supposé

stationnaire dans le repère mobile.


56

Figure 25 : Interaction sillage / choc défilant

n négligeant les contributions des termes de cisaillement et des forces extérieures, l’équation de E

transport de Ωr s’écrit :

np1p

n

1VnVcosUnsinUtd

dn

rr∂∂

τ∂ρ∂

+τ∂∂

∂ρ∂

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

τ∂ρ∂

+∂ρ∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ∂ρ∂

ξ−∂ρ∂

ξρΩ

=Ω

τ ( IV.6)

Les relations de passage à travers un choc oblique conduisent à :

nV

net0nV n

∂∂

−=∂ρ∂

=∂∂ τ ( IV.7)

Enfin, en négligeant les gradients selon τ de la masse volumique et de la pression statique,

l’équation ( IV.6) se réduit à :

( )nnrr VsinUn

Vtd

d−ξ−∂

∂ρ

Ω=

Ω ( IV.8)

ou encore, avec

n

0

nr UsinUetn

VV=ξ∂

∂−τ∂

∂=Ω

=

τ

321 ( IV.9)

il vient :

( )nnnnr VUn

VV1td

d+∂

∂τ∂

∂ρ−=

Ω ( IV.10)

Cette dernière relation montre deux termes source de vorticité, l’un stationnaire consécutif aux

gradients de vitesse au passage du choc, et l’autre instationnaire dû au défilement du choc à la

vitesse Un. Ces deux effets sont cumulatifs et conduisent à un accroissement de la valeur absolue


57

de la vorticité. En effet, si Ωr > 0 alors τ∂∂ nV >0 d’où td

d rΩ > 0, et si Ωr < 0 alors τ∂∂ nV <0 d’où

tdd rΩ < 0. Autrement dit, on montre par voie analytique que le sillage se creuse au passage du

choc oblique.

Les mesures obtenues par anémométrie laser L2F-2D dans l’espace inter grille situé entre la

roue directrice d’entrée et le rotor du compresseur ECL4 ont permis de calculer les valeurs

expérimentales de la vorticité radiale en fonction du temps, c’est à dire pour plusieurs positions

du choc oblique par rapport au sillage. Ces valeurs sont données sur la Figure 26, avec en

ordonnée, la position circonférentielle normalisée par le pas de la RDE et en abscisse le temps

exprimé en pourcentage de la période de passage des aubes du rotor.

0 50 100 150 200

rotor pitch time (%)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

IGV

blad

epi

tch

(%)

OmegaR.1E-4

6.7

5.6

4.4

3.2

2.1

0.9

-0.2

-1.4

-2.5

-3.7

-4.8

-6.0

Figure 26 : Composante radiale de la vorticité

On observe la trace du choc par des valeurs modérées de vorticité tandis que le sillage présente

des fortes valeurs. L’augmentation de l’amplitude de Ωr dans la zone d’interaction choc/sillage

(fortement positive si Ωr>0 et fortement négative si Ωr<0) est clairement observée, ce qui

confirme la conclusion tirée de l’étude analytique de la vorticité.

Le chapitre suivant complètera l’étude de l’interaction sillage – onde de choc, à partir

notamment de la décomposition du champ de vitesse.


58

IV.1.5 ANNEXE : EQUATION DE TRANSPORT DE LA VORTICITE

L’équation de transport de la vorticité est obtenue en appliquant l’opérateur rotationnel à

l’équation de conservation de la quantité de mouvement.

En repère absolu L’équation de conservation de quantité de mouvement s’écrit :

( ) ( ) fdiv1

pgrad1

V.grad.VtV rrrr

+τρ+ρ−=+∂∂

( IV.11)

Appliquons l’opérateur rotationnel à chacun des termes :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Ωr

rr

VrotttV

rot ( IV.12)

( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( )

)masseladeonconservatipar(

2

tdd1

.V.grad..grad.V

div.VVdiv.V.grad..grad.V

Vrot

VrotV2V

gradrotV.grad.Vrot

ρρΩ−Ω−Ω=

Ω−Ω+Ω−Ω=

∧Ω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∧−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

rrrrr

rrrrrrrr

rr

rrrr

( IV.13)

pgrad1

gradpgrad1

rot ∧ρ−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ− ( IV.14)

L’équation de transport de la vorticité dans le repère absolu s’écrit alors :

( ) ( ) ( ) frotdiv1

rotpgrad1

gradtdd

VgradgradVt +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ τρ+∧ρ−ρ

ρΩ

+⋅⋅Ω=Ω⋅⋅+∂Ω∂

rrrrr

r

( IV.15)


59

En repère relatif

Soit un repère relatif tournant à la vitesse de rotation constante ωr . Si rU rr

ω= est la vitesse

linéaire du repère mobile, la vitesse relative d’une particule fluide est UVWrrr

−= . L’équation de

conservation de quantité de mouvement s’écrit :

( ) ( )

( )grad.Utt:relatifrepèreledanstemporelledérivéelat

avec

fdiv1

pgrad1

2U

gradW2W.grad.WtW 2

r

rrrrrr

+∂∂

=δδ

δδ

+τρ+ρ−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−∧ω++δ

δ

( IV.16)

Appliquons l’opérateur rotationnel :

ω+Ω=Ω

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

δδ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

δ

Ωrrr

321

rr

r

2avec

WrotttW

rot

R

R

( IV.17)

( )[ ] ( )WrotW.grad.Wrot Rrrrr

∧Ω= ( IV.18)

L’équation de transport de la vorticité dans le repère relatif s’écrit :

( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ τρ+∧ρ−=∧ω−+∧Ω+δΩδ

div1

rotpgrad1

gradW2rotWrott RR rrrrr

( IV.19)

Le regroupement de ( )Wrot Rrr

∧Ω et de ( )W2rotrr

∧ω conduit à ( )Wrotrr

∧Ω qui se développe sous

la forme :

( ) ( ) ( ) Ω−Ω+Ω−Ω=∧Ωrrrrrrrrrr

div.WWdiv.W.grad..grad.WWrot ( IV.20)

En remarquant que la conservation de la masse dans le repère relatif s’écrit :

( ) tdd1

Wdivsoit0Wdivtρ

ρ−==ρ+δρδ rr

( IV.21)

L’équation de transport de la vorticité dans le repère relatif peut s’écrire sous la forme :

( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ τρ+∧ρ−ρ

ρΩ

+⋅⋅Ω=Ω⋅⋅+δΩδ

div1

rotpgrad1

gradtdd

WgradgradWt

rrrrr

r

( IV.22)


60

IV.2 DU STATIONNAIRE A L’INSTATIONNAIRE

Cette partie concerne mes activités les plus récentes, relatives aux interactions rotor-stator.

Les travaux développés s’inscrivent dans le couplage fort des recherches menées dans les

domaines numérique et expérimental.

IV.2.1 GENERALITES

Les principales instationnarités en turbomachines se classent en deux groupes

fondamentalement distincts :

les phénomènes chaotiques, non périodiques, tels que la turbulence

les phénomènes périodiques en temps qui peuvent être

- décorrélés avec la vitesse de rotation, tels les tourbillons de Karman

- corrélés avec la vitesse de rotation, tels les interactions rotor-stator lors du

fonctionnement stable de la machine ou tels les décollements tournants lors

d’un fonctionnement instable de la machine.

Pour tous les travaux présentés, seuls seront traités les phénomènes périodiques corrélés

avec la vitesse de rotation, en fonctionnement stable de la machine. La justification réside dans le

type même de données expérimentales servant de base à ces travaux. Je rappelle que ces données

sont issues de mesures réalisées par anémométrie laser qui conduisent à restituer les propriétés

statistiques du champ turbulent de vitesse, par le calcul du module V(r, z, θs, t) et de l’angle α(r,

z, θs, t) de la vitesse absolue, ainsi que des écart types associés (σv, σα). Les données acquises

dans le repère fixe sont synchronisées avec la rotation, d’où la dépendance temporelle. Pour les

résultats présentés, les informations acquises dans un même intervalle circonférentiel par rapport

à un aubage quelconque – i.e. dans un même intervalle de temps réduit – sont moyennées (cf.

III.2.3). En d’autres termes, les canaux inter aubes mobiles sont superposés, ce qui exclut la

description de phénomènes dont la fréquence est plus faible que la fréquence de passage des

aubes (décollements tournants par exemple).


61

L’analyse des effets de l’interaction rotor-stator est menée à partir des grandeurs

déterministes que sont V(r, z, θs, t) et α(r, z, θs, t). La part liée à la turbulence, part chaotique de

l’information, est quant à elle contenue dans les valeurs des écart types.

En ce qui concerne la simulation numérique des écoulements en turbomachine, la

multiplicité des échelles de temps et de longueur conduit typiquement à décrire la physique des

écoulements en termes de moyennes. Le principal exemple en est la description des écoulements

turbulents en terme de quantité statistiquement moyennée introduite par Reynolds. La contre

partie d’une telle représentation est qu’elle génère plus d’inconnues que d’équations. Elle

nécessite donc une modélisation pour fermer le système.

Des opérateurs de moyenne temporelle développés par Adamczyk et appliqués aux

équations de Navier-Stokes conduisent au système d’équations dit « du canal moyenné ». Ce

système décrit l’écoulement dans un canal unique de chaque roue, en prenant en compte certaines

instationnarités par l’intermédiaire de forces d’aubages et de corrélations de fluctuations de

composantes de la vitesse appelées pseudo-tensions ou tensions déterministes. La fermeture du

système nécessite la modélisation de ces tensions déterministes qui peuvent se décomposer en

une part spatiale, une part spatio-temporelle et une part purement temporelle. Parmi la plupart

des modèles proposés dans la littérature, seule la part purement spatiale est prise en compte, soit

par couplage de calculs stationnaires [Adamczyk, 1986 ; Rhie, 1995], soit à partir d’un modèle

empirique de sillage [Hall, 1997]. A partir d’une simulation instationnaire de l’écoulement dans la

turbine transsonique Vega2 , Bardoux a évalué les corrélations de fluctuations spatiales et

temporelles [Bardoux et al., 1998]. Les conclusions essentielles sont que, jusqu’au bord d’attaque

du rotor, les corrélations temporelles sont négligeables devant les corrélations spatiales, tandis

qu’elles peuvent devenir prédominantes dans le rotor. Suite à quoi, il a comparé les résultats

obtenus par différents calculs stationnaires avec prise en compte nulle, partielle ou totale des

tensions déterministes aux résultats de référence issus de la moyenne temporelle d’un calcul

instationnaire [Bardoux et al., 2001]. La conclusion la plus étonnante est que sous certaines

conditions aux limites, mieux vaut négliger toutes les corrélations plutôt que de ne prendre en

compte que la part spatiale.

L'aspect purement instationnaire est donc non négligeable devant l’aspect stationnaire, et s’avère

incontournable pour calculer l’écoulement. Il devient alors indispensable de modéliser la part

purement instationnaire des tensions déterministes. Charbonnier propose un modèle basé sur le


62

transport des tensions déterministes fortement influencé par les corrélations pression-vitesse

[Charbonnier et Leboeuf, 2003].

S’inspirant de ces travaux numériques, des quantifications expérimentales des effets induits

par les interactions stator-rotor sont réalisées. Les objectifs sont triples. Il s’agit tout d’abord de

comprendre les mécanismes mis en jeu, puis de valider (ou invalider) les modèles de fermeture

des équations du canal moyenné par le calcul des corrélations et enfin, de bâtir des modèles de

fermeture. Ce dernier objectif relève, à l’heure de la rédaction de ce mémoire, des perspectives…

IV.2.2 DECOMPOSITION D’ADAMCZYK

Pour obtenir les équations du canal moyenné, Adamczyk propose une décomposition du

champ de vitesse instantanée, par application successive d’opérateurs de moyenne. Cette

décomposition peut s’effectuer indifféremment dans les repères absolu ou relatif, et est présentée

ici dans le seul repère absolu, sur la variable V(r, z, θs, t).

Dans une première étape, une moyenne temporelle est effectuée :

( ) ( ) ( )t,,z,r'V,z,rVt,,z,rV sss θ+θ=θ ( IV.23)

où ( s,z,rV θ ) est la moyenne temporelle et ( )t,,z,r'V sθ la fluctuation temporelle de la vitesse

instantanée. La moyenne temporelle est alors indépendante de la position du rotor et met en

évidence les effets attachés au stator. Elle peut être à nouveau décomposée sous la forme :

( ) ( ) ( )s*

s ,z,rVz,rV~

,z,rV θ+=θ ( IV.24)

où ( )z,rV~

représente un champ axisymétrique et ( s* ,z,rV θ )

)

la fluctuation spatiale de la

moyenne temporelle, qui amplifie les phénomènes liés au repère d’application (i.e. les effets

attachés au stator puisque le repère d’application est ici le repère absolu).

Les fluctuations temporelles ( t,,z,r'V sθ représentent l’instationnarité induite par le rotor, y

compris celle qui résulte de l’interaction rotor-stator. De manière à extraire les seuls effets de

l’interaction, les fluctuations moyennes engendrées par le rotor sont soustraites. Ces fluctuations

sont celles obtenues en soustrayant le champ axisymétrique au champ de vitesse moyenné dans le

repère relatif :


63

( ) ( ) ( )z,rV~

,z,rV,z,rV RR* −θ=θ ( IV.25)

Ces fluctuations sont des fluctuations spatiales dans le repère relatif, c’est à dire qu’elles sont

stationnaires dans le repère relatif. Elles deviennent instationnaires dans le repère absolu par le

seul fait de changement de repère.

La valeur des fluctuations purement temporelles sont alors déduites de la différence entre les

fluctuations instantannées et les fluctuations moyennes dues au rotor :

( ) ( ) ( )R*

s'

s" ,z,rVt,,z,rVt,,z,rV θ−θ=θ ( IV.26)

Elles représentent les interactions rotor – stator et ne dépendent pas du repère de référence. Il vient, pour résumer :

( ) ( ) ( )( )

( ) (( )

4444 34444 21444 3444 21t,,z,r'V

s"

R*

,z,rV

s*

s

ss

t,,z,rV,z,rV,z,rVz,rV )~t,,z,rV

θθ

θ+θ+θ+=θ ( IV.27)

Cette décomposition offre une vision nouvelle des phénomènes d’interaction rotor – stator.

Développée par Adamczyk pour servir de base à un modèle de couplage stationnaire de

l’interaction rotor – stator, elle a été exploitée ici pour analyser les résultats expérimentaux.

Une illustration est donnée ci-dessous à partir des données acquises par anémométrie L2F

sur une surface circonférentielle située à 50% de hauteur de veine, dans l’espace inter-grille situé

entre la roue directrice d’entrée et la roue mobile du compresseur axial ECL4 (surface B de la

Figure 3). La décomposition d’Adamczyk a constitué la base d’une analyse phénoménologique de

l’interaction entre les sillages des aubes de la RDE et les ondes de choc oblique émanant des

bords d’attaque des aubes du rotor, [Ottavy et al. 2001].

Chacun des termes de la décomposition du champ instantané de vitesse peut s’illustrer comme

sur la Figure 27.

Le premier schéma de cette figure représente le champ axisymétrique (terme ( )z,rV~

de

l’équation ( IV.27)). Le second schéma symbolise le sillage des aubes de la RDE (terme

( s* ,z,rV θ )) et le troisième, l’onde de choc attaché aux aubages de la roue mobile (terme

( R* ,z,rV θ ) ). Ces deux structures sont stationnaires dans leur repère respectif. Le dernier tracé


64

symbolise les fluctuations purement temporelles (terme ( )t,,z,rV s" θ ) qui sont issues de

l’interaction des deux précédentes structures.

Figure 27 : Illustration de la décomposition d’Adamczyk

Interaction sillage – onde de choc ; compresseur axial ECL4 La Figure 28 montre des cartes d’iso-valeurs des fluctuations temporelles de vitesse ( )t,,z,r'V sθ

pour deux temps. Le temps noté tred=30% correspond à un moment où le choc n’a pas encore

balayé le sillage qui se situe alors dans la zone de détente, et le temps tred=60% à un moment juste

après le passage du choc. A tred=30%, les fluctuations dans le sillage (zone cerclée) prennent de

grandes valeurs positives, ce qui signifie que le sillage est plus accéléré par la détente que

l’écoulement extérieur : il tend donc à se combler. A tred=60%, les fluctuations atteignent de

fortes valeurs négatives : le sillage se creuse au passage du choc oblique. Cette conclusion est en

accord avec l’étude de l’évolution de la vorticité attachée au sillage au passage du choc oblique (cf.

IV.1.4).

-20 -10 0axial chord of the rotor blade (%)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

IGV

blad

epi

tch

(%)

V'30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50

expansionzone

obliqueshock

wake

t = 30%red

-20 -10 0axial chord of the rotor blade (%)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

IGV

blad

epi

tch

(%)

obliqueshock

wake

expansionzone

t = 60%red

Figure 28 : Fluctuations temporelles de la vitesse ; compresseur axial ECL4


65

Un calcul du niveau des fluctuations moyennées sur la largeur du sillage montre qu’il

augmente globalement de 50% quand on se rapproche du bord d’attaque des aubes du rotor. Or

ceci ne veut pas dire que l’interaction est plus intense puisque la force du choc augmente aussi.

Du point de vue de la compréhension physique, l’intérêt de la décomposition d’Adamczyk réside

essentiellement dans cette étape puisqu’elle va permettre de faire la part de ce qui revient au choc

(à travers ( R* ,z,rV θ ) ) et à l’interaction proprement dite (à travers ( )t,,z,rV s

" θ ).

Le poids relatif de chacune des contributions peut être quantifié par le calcul des

corrélations qui, du fait de la décomposition présentée ci-dessus, apparaissent dans les équations

du canal moyenné. Dans le repère absolu, ces corrélations - ou tensions déterministes –

s’écrivent :

321321321321)d(

"j

"i

)c(

*j

"i

)b(

"j

*i

)a(

*j

*i

'j

'i VVVVVVVVVV ρ+ρ+ρ+ρ=ρ ( IV.28)

où les indices i et j indiquent les composantes du vecteur vitesse.

Le terme (a) représente une corrélation de fluctuations purement spatiales et décrit un champ

axisymétrique. Il correspond à une moyenne spatiale dans le repère relatif et provient donc de

phénomènes stationnaires qui ne deviennent instationnaires que par changement de repère. Ce

terme est modélisé pour la fermeture des équations du canal moyenné. Les termes (b) et (c)

correspondent à des corrélations de fluctuations spatio-temporelles, et le terme (d) à une

corrélation de fluctuations purement temporelles. Ce sont ces trois termes qui traduisent

l’instationnarité de l’écoulement propre au repère considéré, et qui sont encore négligés dans la

plupart des modèles de fermeture.

A partir des mesures réalisées dans le compresseur axial ECL4 et le compresseur centrifuge

TM, les différents termes intervenant dans la décomposition d’Adamczyk (équation ( IV.27)) sont

calculés, puis les corrélations des fluctuations de vitesse sont évaluées.

La Figure 29 synthétise les résultats obtenus sur la surface B du compresseur axial ECL4

(Figure 3). Les évolutions de l’énergie des fluctuations de la vitesse absolue (réduite par l’énergie

cinétique moyenne calculée à mi-distance entre la RDE et la roue mobile, x/c = -28% dans la

Figure 29) sont tracées en fonction de la distance axiale (x/c = 0 est situé au bord d’attaque de la

roue mobile). Les différentes courbes correspondent à l’énergie


66

des fluctuations spatiales dans le repère absolu (i.e. les fluctuations ( s* ,z,rV θ ) induites

par le stator) – évolution notée ‘stator contribution’ sur la Figure 29 - ,

des fluctuations spatiales dans le repère relatif (i.e. les fluctuations ( R* ,z,rV θ ) induites

par le rotor) – évolution notée ‘rotor contribution’ - ,

des fluctuations purement temporelles (i.e. les fluctuations ( )t,,z,rV s" θ induites par

l’interaction) – évolution notée ‘interaction’ - .

L’évolution notée ‘total signal’ correspond à la somme des énergies des 3 précédentes

fluctuations.

L’énergie des fluctuations induites par les ondes de choc attachées au rotor représente la plus

forte contribution à l’énergie totale. Comme attendu, son évolution est croissante avec l’abscisse,

puisque la force du choc augmente quand on se rapproche du bord d’attaque des aubes du rotor.

Les fluctuations induites par le stator sont légèrement décroissantes avec l’abscisse, du fait de la

diffusion des sillages. Les niveaux d’énergie des fluctuations induites par le stator et de

l’interaction sont semblables quelle que soit la position axiale.

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0axial chord of the rotor (x/c %)

0

5

10

15

Ener

gy (%

of V

2 /2 a

t x/c

=-28

%)

total signalrotor contributionstator contributioninteraction

Figure 29 : Evolution axiale de l’énergie des fluctuations

Surface B du compresseur axial ECL4

La Figure 30 présente quelques résultats obtenus dans le diffuseur lisse du compresseur

centrifuge TM (Figure 2). Les évolutions selon la largeur du diffuseur lisse des corrélations

spatiales et purement temporelles (respectivement les termes (a) et (b) de l’équation ( IV.28)),


67

calculées à partir des fluctuations des composantes radiale et circonférentielle de la vitesse sont

tracées dans le repère absolu (Figure 30-a) et dans le repère relatif (Figure 30-b).

30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

% of (0.5*V* V)

% Height

radial-radial spatial correlationstangential-tangential spatial correlationsradial-radial temporal correlationstangential-tangential temporal correlations

30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

% of (0.5*W* W)

% Height

radial-radial spatial correlationstangential-tangential spatial correlationsradial-radial temporal correlationstangential-tangential temporal correlations

(a) repère absolu (b) repère relatif

Figure 30 : Evolution des corrélations selon la largeur du diffuseur lisse

compresseur centrifuge TM

Dans le repère absolu, les corrélations spatiales sont issues des fluctuations de vitesse dues aux

sillages du rotor, tandis que dans le repère relatif elles traduisent les effets de blocage induits par

les aubages du diffuseur. Les corrélations temporelles tangentielle/tangentielle sont plus fortes

que les corrélations temporelles radiale/radiale, ce qui montre que la présence du diffuseur à un

effet plus marqué sur la déviation des sillages que sur leur déficit de vitesse.

Un ordre de grandeur du niveau moyen des corrélations est obtenu en les moyennant le long de

la hauteur du diffuseur. On obtient :

Repère absolu Repère RelatifCorrelation % de V2/2 % de W2/2

Vr-Vr spatiale 0.14 3.80 Vθ-Vθ spatiale 0.22 0.64

Vr-Vr temporelle 0.03 0.10 Vθ-Vθ temporelle 0.09 0.30

Les corrélations temporelles sont globalement inférieures aux corrélations spatiales. On note

toutefois que le rapport peut atteindre environ 0.5, ce qui tend à montrer que les corrélations

temporelles ne peuvent être ignorées pour la fermeture des équations du canal moyenné. Et ce


68

d’autant plus que dans les équations, les corrélations interviennent par l’intermédiaire de leurs

gradients.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

1001.751.551.351.150.950.750.550.350.15

% Height

% of stator pitch

(a) compresseur centrifuge TM (b) compresseur axial ECL4 axial chord of the rotor blade %

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

IGV

blad

epi

tch

(%)

1.40

1.30

1.20

1.10

1.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

V''.V ''norm.

_________

0.82

0.100.160.220.280.340.400.460.520.580.640.700.76

Figure 31 : Corrélation purement temporelle normalisée par la corrélation spatiale

La Figure 31(a) concerne le compresseur centrifuge. Elle donne la carte d’iso-valeurs de la

corrélation temporelle ""VV θθ divisée par la valeur locale de la corrélation spatiale **VV θθ , dans le

repère absolu. On remarque que à θs=80% (i.e. côté face en dépression de l’aubage du diffuseur)

la corrélation temporelle est presque deux fois plus forte que la corrélation spatiale.

La Figure 31(b) concerne le compresseur axial ECL4. Elle représente la corrélation temporelle

des fluctuations du module de la vitesse ""VV divisée par la valeur de la corrélation spatiale

obtenue à la première abscisse (x/c = -28%, i.e. dans le section A Figure 3(b)). Dans la zone du

sillage (≈70% du pas inter-aubes de la RDE), les corrélations temporelles atteignent 80% de la

corrélation spatiale.

Pour conclure, il est intéressant de remarquer que, pour les deux cas étudiés, l’énergie de

l’interaction est du même ordre de grandeur que l’énergie des fluctuations de vitesse induites par

la roue amont. En d’autres termes, les corrélations purement temporelles sont du même ordre

que les corrélations spatiales des fluctuations de vitesse dues à un sillage.

La nécessité de la prise en compte des corrélations temporelles était déjà établie en turbine

par voie numérique (cf. IV.2.1). Les travaux rapportés ici confirment cette conclusion, sur des cas

de compresseurs, par voie expérimentale. Ceci a motivé les travaux entrepris et en cours visant à


69

la compréhension de l’origine et du transport de ces termes instationnaires, parmi lesquels,

l’analyse spectrale.

IV.2.3 ANALYSE SPECTRALE

Une alternative à la décomposition du champ proposée par Adamczyk pour extraire

l’information relative aux interactions se trouve dans la décomposition en double série de Fourier

telle que proposée par Tyler et Sofrin. Ces auteurs, dans le cadre de travaux sur le bruit des

compresseurs [Tyler et Sofrin, 1962], décrivent l’interaction rotor-stator par le biais d’une

modulation spatiale du champ de pression tournant par un champ fixe. Cette modulation se

traduit par un spectre d’interaction dont les harmoniques résultent de combinaisons des

périodicités spatiales propres à chacune des deux roues.

Seules les grandes lignes de cette formulation sont données ci-dessous. Les détails sont

développés dans l’article de base [Tyler et Sofrin, 1962] ou dans la thèse de S. Callot [Callot,

2002].

Le signal de toute grandeur aérodynamique généré par une roue mobile isolée, composée de

R aubes et tournant à la vitesse ω peut s’écrire sous la forme d’une série harmonique. En une

position axiale et un rayon donnés, il vient :

( ) [ ]∑+∞

=ϕ+ω−θ=θ

0nnn )t(nRcosAt,A ( IV.29)

avec An l’amplitude et ϕn la phase.

La juxtaposition, en amont ou en aval de ce rotor, d’une roue fixe revient à moduler spatialement

le précédent signal, c’est à dire que l’amplitude et la phase du signal deviennent dépendantes de la

position spatiale :

( ) [ ]∑+∞

=θϕ+ω−θθ=θ

0nnn )()t(nRcos)(At,A ( IV.30)

En développant le cosinus, il vient :

( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( tnRsinnRsin)(AtnRcosnRcos)(At,A nn0n

nn ωθϕ+θθ+ωθϕ+θθ=θ ∑+∞

=) ( IV.31)


70

Les termes entre crochet ne sont fonction que de la position angulaire θ . Ils peuvent donc être

exprimés par une série de Fourier spatiale sous la forme :

( )∑+∞

=ϕ+θ

0mmm mcosA ( IV.32)

En injectant cette expression ( IV.32) dans la relation ( IV.31), et en regroupant les termes, il

vient :

( ) [ ]∑ ∑+∞

=

+∞

∞−=ϕ+ω−θ=θ

0n mn,mn,m tRnmcosAt,A ( IV.33)

ou encore,

( ) ∑ ∑+∞

=

+∞

∞−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ+ω

−θ=θ0n m

n,mn,m )mtRn

(mcosAt,A ( IV.34)

Cette expression permet de décrire l’écoulement par la superposition d’une infinité d’ondes

tournantes. Le mième signal est constitué de m lobes tournant à la vitesse de rotation mnR

mω

=ω .

L’équation traduisant la périodicité spatio-temporelle de l’écoulement (équation ( III.5)) combinée

avec l’équation ( IV.34)) conduit à une relation linéaire entre les harmoniques spatiaux m et les

harmoniques temporels n :

[ ]∞+∞−∈+= ,kavecSkRnm ,

R le nombre d’aubes du rotor et S le nombre d’aubes du stator ( IV.35)

En d’autres termes on peut considérer l’écoulement comme étant la superposition

d’un signal axisymétrique correspondant à l’harmonique zéro,

de signaux émanant du stator, dont les harmoniques sont m=k.S et de vitesse ωm=0,

de signaux émanant du rotor, dont les harmoniques sont m=n.R et de vitesse ωm=ω,

de signaux dus à l’interaction, dont les harmoniques sont m=n.R + k.S, si n≠0 et k≠0, et

de vitesse mnR

mω

=ω .


71

On note que si le nombre de lobes du signal d’interaction est plus faible que le nombre d’aubes

du rotor (m<R) alors la vitesse de rotation de ce signal lobé sera plus grande que la vitesse de

rotation du rotor (ωm<ω).

L’analogie forte de cette description avec celle proposée par Adamczyk est illustrée par la

Figure 32. L’ensemble des résultats qui y figure est issu des mesures réalisées à mi distance entre

le bord de fuite du rouet et les bords d’attaque des aubages du diffuseur du compresseur

centrifuge TM (cf. Figure 2).Les détails des traitements sont donnés dans [Trébinjac et Vixège,

2002].

La moyenne temporelle de la composante circonférentielle de la vitesse absolue, θV , est donnée

en (1a), en fonction de la position circonférentielle dans le repère absolu et pour les hauteurs de

veine réduites de 30 à 95%. Cette carte met en évidence les effets attachés au stator (ceux attachés

au rotor ayant été moyennés). Ainsi, pour une hauteur de veine donnée, θV est un signal répété S

fois sur 2π comme schématisé en (1b) pour h=40% : ce signal est composé de m stuctures à kS

lobes. La transformée de Fourier spatiale conduit à un spectre composé de m harmoniques kS

(1c).

Les représentations données en 2a, 2b et 2c sont les mêmes que précédemment à l’exception près

qu’elles sont données dans le repère relatif. Les seuls effets du rotor sont visibles en (2b). Le

signal à 40% de hauteur est composé de m structures à nR lobes (2b) tournant à la même vitesse

de rotation que le rotor. R correspond ici au nombre d’aubes principales du rouet. La

transformée de Fourier conduit à un spectre avec les harmoniques nR (2c). L’harmonique

prépondérante du spectre est l’harmonique 2R du fait de la présence des aubes intercalaires.

La dernière ligne correspond aux interactions. Les fluctuations (terme V’’ de l’équation ( IV.27))

étant fonction du temps, ce sont les corrélations des fluctuations de la composante

circonférentielle de vitesse qui sont données en (3a). On rappelle que les fluctuations purement

temporelles sont indépendantes du repère ; les valeurs données sont donc strictement identiques

à celles de la Figure 30(a) : seul le repère de représentation change. Le signal à 40% de hauteur est

composé de m structures comportant nR+kS lobes (3b) tourant à la vitesse mnR

mω

=ω . La

transformée de Fourier conduit à un spectre possédant m harmoniques nR+kS. Celle de plus

grande amplitude est l’harmonique 2R+S, c’est à dire la somme des numéros des harmoniques

prépondérantes dans chacun des deux repères. Cette constatation, vérifiée pour d’autres hauteurs


72

de veine, [Trébinjac et Vixège, 2002], nécessite cependant d’être confirmée sur d’autres cas

d’interaction avant d’être généralisée.

Décomposition d’Adamczyk Décomposition spectrale

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100 0.810.790.780.760.750.730.710.700.690.670.660.640.630.610.59

% Height

(% of Stator pitch)

Vt / U

θS

exit

(1a)

superposition de structures

à kS lobes

ωm = 0 (1b)

Harmonics

Amplitude

S

2*S

3*S

(1c)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100 0.850.830.810.790.770.750.730.710.690.670.650.630.610.590.570.55

% Height

(% of Rotor pitch)

Vt / U

θR

exit

(2a)


à nR lobes

ωm = ω (2b)

Amplitude

Harmonics

R

2*R

3*R

4*R

5*R 6*

R

(2c)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100 0.500.450.400.350.300.250.200.150.100.050.00

% Height

(% of Rotor pitch)

vt'' vt''

θR

( vt ) 2

(3a)


à nR+kS lobes (n et k ≠ 0)

ωm = nRω/m (3b)

Amplitude

Harmonics

S-R 4*

R-S

R+

S

2*R

+2*

S4*

R+

S

2*R

-S

2*S

-2*R

2*R

+S

3*R

+S

(3c)

Figure 32 : Décompositions du champ instantané ; compresseur centrifuge TM

Les échelles en (1c), (2c) et (3c) sont identiques.


73

On remarque que l’énergie de l’interaction est distribuée sur de nombreux harmoniques. Dans le

cas présenté (3c), les principaux harmoniques m=nR+kS sont tels que n = -2, 1, 2, 3, 4 et k = -1,

1, 2, 4. Il en résulte probablement un bruit d’interaction à large bande. On peut noter par ailleurs

que dans les simulations numériques utilisant la technique de réduction de canaux (‘reduced blade

count approach’) la répartition de l’énergie ne peut pas se faire sur les bons harmoniques…et

qu’il y a donc un transfert artificiel sur les harmoniques nR et kS.

Par décomposition en série de Fourier du champ instantané, il est aisé d’isoler et de

quantifier les effets instationnaires dus à l’interaction, décrits par les harmoniques m=nR+kS avec

n et k différents de zéro. Enfin, la reconstruction du signal complet peut être obtenue par un

nombre relativement limité d’harmoniques, ce qui présente un avantage incontestable en terme

de stockage d’information.

IV.2.4 LES OUTILS AU SERVICE DE LA PHYSIQUE

Les résultats relatifs aux interactions rouet-diffuseur en compresseur centrifuge sont

relativement peu nombreux dans la littérature. Du point de vue expérimental, ceci est dû, d’une

part aux exigences que l’on impose aux techniques expérimentales elles-même (technique non

intrusive, fréquence d’acquisition élevée…), et d’autre part aux difficultés d’application des

techniques à ce type de machine (cf. III.1). Les premiers résultats datent des années 1980, parmi

lesquels on peut citer les travaux de Krain en machine haute vitesse [Krain, 1981] ou Inoue en

basse vitesse [Inoue et Cumpsty, 1984], qui restent des références. Depuis, d’autres travaux

expérimentaux et numériques ont été publiés, mais peu traitent des mécanismes instationnaires

induits par les interactions. De ce fait, le rôle des mécanismes instationnaires dans l’échange

d’énergie, et par voie de conséquence leur éventuelle mise à profit, restent des thématiques à

explorer.

Il est prouvé que l’optimisation de chacun des composants isolés (rouet et diffuseur aubé)

ne garantit malheureusement pas l’optimisation de l’étage complet (ceci est d’ailleurs vrai pour

n’importe quel système intégré). D’après Cumpsty, une mauvaise adaptation entre le diffuseur


74

aubé et le rouet d’un compresseur à fort taux de pression a plus d’impact sur les performances de

l’étage que les détails de forme des aubages du rouet et du diffuseur [Cumpsty, 1989]. Or

l’adaptation reste problématique du fait des structures complexes de l’écoulement et surtout des

mécanismes liés à l’interaction qui ne sont pas encore maîtrisés.

De façon un peu schématique, on peut classer les travaux publiés et relatifs à l’interaction rouet-

diffuseur sous forme de questions traitées :

Quelle est l’influence du rouet sur le diffuseur ? [Yamane et al., 1994], [Dawes, 1995], [Filipenco

et al., 1998], []Deniz et al., 1998], [Ziegler et al., 2002, Part II], [Maruzewski et al., 2002], …

Influence des distributions moyennées circonférentiellement dans le repère du rouet du

nombre de Mach et de l’angle à l’entrée du diffuseur ?

Effets instationnaires dus au champ distordu en sortie de rouet ?

Quelle est l’influence du diffuseur sur le rouet ? [Clements and Artt, 1989], [Kirtley and Beach,

1992], [Yamane et al., 1994], [Dawes, 1995], [[Domercq et al., 1997], [Sato and He, 2000], [Ziegler

et al., 2002, Part II], [Maruzewski et al., 2002], …

Effet potentiel ?

Effets instationnaires dus à la distribution périodique de pression générée par les

aubages du diffuseur ?

Quelle est l’influence de l’assemblage rouet+diffuseur sur les performances de l’étage ? [Shum

et al., 2000], [Ziegler et al., 2002, Part I], …

Les tentatives de réponses à ces questions résultent pour la plupart d’études paramétriques.

Mais les conclusions des travaux restent dans l’ensemble prudentes et leur confrontation montre

qu’elles peuvent même être contradictoires. Ceci peut être illustré par les travaux cherchant à

établir des critères d’optimisation de taille d’entrefer rouet-diffuseur aubé.

Ubaldi et al. ont réalisé des mesures détaillées par anémométrie laser Doppler à l’aval d’un rouet

centrifuge et étudié les processus de mélange dans le diffuseur lisse [Ubaldi et al., 1998]. Ayant

relevé de forts gradients circonférentiels de l’angle absolu en sortie du rouet centrifuge, imputés

aux écoulements de jeu en tête d’aubes, les auteurs préconisent alors une taille optimale d’entrefer

comprise entre 1,05 et 1,10 (rayon au bord d’attaque du diffuseur / rayon au bord de fuite du

rouet) afin d’éliminer les fortes fluctuations d’incidence dans la direction circonférentielle et selon

l’envergure.

Ziegler et al., cités en IV.1.3, ont montré que, à faible taille d’entrefer, la variation instationnaire

de l’angle de l’écoulement en sortie de rouet (suite à une structure relativement marquée de type


75

jet-sillage) empêche le décollement sur la face en pression des aubes du diffuseur. Ainsi, pour le

compresseur étudié, la taille optimale de l’entrefer – en terme de performance d’étage –

correspond à un rapport de rayons (rayon au bord d’attaque du diffuseur / rayon au bord de fuite

du rouet) compris entre 1,04 et 1,06.

Les deux études conduisent à des valeurs différentes, dépendantes du contexte, stationnaire ou

instationnaire, d’analyse.

L’étude de Ziegler montre qu’un calcul stationnaire avec plan de mélange ne pourra prédire

correctement l’écoulement, au moins dans le diffuseur aubé, pour les petites tailles d’entrefer.

Autrement dit, les simulations instationnaires se révèlent incontournables pour optimiser la taille

de l’entrefer, c’est à dire incontournables dès la phase de conception.

La confrontation de ces deux études suscitent deux réflexions supplémentaires. Premièrement,

modifier la taille de l’entrefer change aussi de nombreux paramètres de telle sorte que les

conclusions sont difficilement imputables à la seule taille de l’entrefer. A titre d’exemple,

augmenter la taille de l’entrefer conduit à augmenter l’épaisseur de la couche limite suite à son

développement dans le diffuseur lisse, donc à accroître le blocage au col du diffuseur, ce qui

détériore les performances du diffuseur. D’une manière générale, il semble que la généralisation

de critères obtenus suite à des études paramétriques est extrêmement délicate. Deuxièmement, il

semble dangereux de découpler les études relatives à l’interaction. Par exemple, Ziegler et al. ont

aussi montré que la présence d’un diffuseur aubé tend à diminuer la zone de sillage de la structure

jet-sillage présente dans la plupart des compresseurs centrifuges par rapport à un diffuseur lisse.

Plusieurs raisons peuvent expliquer ce phénomène.:

la présence des aubages du diffuseur se traduit par un blocage de la section de passage qui

conduit à une accélération de la composante méridienne [Baljé, 1981],

par effet de blocage, les aubes du diffuseur redressent plus l’écoulement issu du sillage (i.e.

l’écoulement dans le sillage a une vitesse absolue plus tangentielle que l’écoulement issu du jet, et

les aubes du diffuseur la remettent plus radiale),

l’instationnarité induite par le diffuseur aubé peut intensifier le processus de mélange entre le

jet et le sillage [Inoue et Cumpsty,1984],

le champ instationnaire de pression du aux aubes du diffuseur modifie périodiquement

l’écoulement de jeu dans le rouet (il a été vu que la structure de l’écoulement en sortie de rouet

était dominée par les effets de jeu, cf. IV.1.3), [Shum et al., 2000].

Il semble donc surprenant d’établir des critères de taille d’entrefer à partir de considérations sur

des processus de mélange obtenues en diffuseur lisse et de les appliquer en environnement rouet-


76

diffuseur aubé. En d’autres termes, il est dangereux de vouloir traiter de l’influence de

l’écoulement en sortie de rouet sur le diffuseur, sachant que le diffuseur modifie l’écoulement en

sortie de rouet !

Tant que la physique même de l’interaction ne sera pas parfaitement comprise, les

enseignements obtenus sur une configuration ne seront pas transposables à une autre. En ce sens,

les outils exposés en IV.2.2 et IV.2.3 (i.e. décomposition d’Adamczyk, décomposition spectrale)

offrent des informations précieuses à deux niveaux. D’une part, il est actuellement possible, pour

une configuration donnée, de quantifier les effets inhérents à l’interaction rotor-stator et d’isoler

les effets purement instationnaires. D’autre part, du fait de l’origine même de ces outils, les

enseignements dégagés sont directement utiles pour des comparaisons avec les travaux

numériques.


77

V CONCLUSIONS

La spécificité du travail présenté réside dans la recherche de connaissance et de

compréhension de mécanismes physiques régissant les écoulements se développant dans des

compresseurs à haute vitesse. Bien que la démarche soit essentiellement expérimentale, il est fait

usage des divers outils que sont l’expérimentation, les études analytiques et la simulation

numérique.

Toutes les études sont réalisées sur des machines représentatives de machines réelles. Ceci a

conduit, d’une part, à adapter des métrologies existantes et, d’autre part, à élaborer des

procédures expérimentales adaptées à des installations de fortes puissances (donc à fort coût

d’utilisation). Ces développements ont permis la constitution de bases de données riches en

qualité et quantité.

Des méthodologies de traitement et d’analyse de l’information sont établies, afin d’extraire

les enseignements utiles pour le scientifique et pour l’industriel. Dans ce mémoire, j’ai présenté

plusieurs démarches d’analyse, visant d’une part à expliquer la structure complexe de

l’écoulement se développant en compresseur centrifuge, et d’autre part, à comprendre et

quantifier les effets des mécanismes instationnaires inhérents aux interactions rotor-stator. Cette

dernière thématique est au cœur de nombreuses activités actuelles tant numériques

qu’expérimentales, puisque les interactions instationnaires entre rotors et stators modifient de

manière sensible les niveaux de pertes et les transferts d’énergie. Les méthodes appliquées

permettent de quantifier l’énergie liée aux mécanismes d’interaction, à travers notamment les

amplitudes des harmoniques intervenant dans les spectres d’interaction. Une exploitation des

évolutions des phases devrait permettre de comprendre la propagation de ces mécanismes

d’interaction, et peut être de dégager des enseignements en terme d’instabilité.

Les résultats expérimentaux présentés permettent d’analyser les champs cinématiques. Une

perspective intéressante serait d’effectuer une étude énergétique suite à la mesure des fluctuations

de pression totale et de température totale.

L’analyse du champ fluctuant de pression permettrait en outre d’étendre ces études au

domaine de l’acoustique.


78

Les travaux présentés dans ce mémoire ont concerné des compresseurs monoétage. Une

extension naturelle concerne l’analyse des interactions (rotor-stator, rotor-rotor, stator-stator) en

machine (compresseur et turbine) multiétagée.

Du point de vue des compresseurs, cette perspective s’inscrit parfaitement dans le programme

CREATE (Compresseur de Recherche pour l'Etude des effets Aérodynamiques et

TEchnologiques), cofinancé de manière conséquente par la SNECMA et la DPAC. Ce

compresseur tri-étages, qui est à la fois compresseur d’étude et de prospection, est aisément re-

configurable mécaniquement, tout en étant représentatif en géométrie et en vitesse

d'entraînement des machines réelles. Il est fortement instrumenté, les contraintes de mesure liées

aux diverses métrologies, notamment non intrusives, développées au Laboratoire ayant été

intégrées dans sa conception même. Il est installé sur le banc d'essai 2 MW du LMFA-ECL.

Du point de vue des turbines, cette perspective s’inscrit dans le cadre du nouveau banc d'essai de

Turbine de l'ONERA-Modane (TURMA), qui devrait permettre des essais de nature

aérodynamique puis thermique sur une turbine axiale transsonique à deux étages. Pour ce banc,

l'étude des interactions stationnaires ou instationnaires dans les machines multiétagées a été

retenue comme l'un des trois axes de recherche prioritaires (avec l'étude des mécanismes

tridimensionnels et le développement de moyens de mesure).

Dans tous les cas, les liens étroits établis entre les activités expérimentales et numériques doivent

être maintenus, voire renforcés.

Les travaux réalisés sur des configurations de machines réelles sont indispensables car ils

permettent d’appréhender le caractère cumulatif des différents effets, notamment instationnaires.

Néanmoins, des approches plus académiques ne sont pas exclues : en simplifiant la

problématique, elles permettent une étude plus fondamentale de la physique d’un phénomène

isolé. Deux études à caractère académique complèteraient utilement les travaux présentés ici. La

première concerne le transport d'un tourbillon d'axe parallèle à la vitesse débitante, immergé au

sein d'une couche limite et soumis à une onde de choc droite (simulation du tourbillon de jeu en

tête d'un compresseur supersonique). La deuxième étude concerne l’impact aérodynamique et

thermique de sillages défilants en amont d’une grille de turbine, ce qui permettrait entre autre

d’analyser la capacité des modèles de turbulence à simuler les structures dynamiques.


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VI RÉFÉRENCES

♦ Bardoux, F., Dano, C., Leboeuf, F. and Toussaint, C., 1998 Characterization of Deterministic Stresses for a Turbine Stage – Part 1 : Steady Flow Analysis, ASME Paper, 99-GT-100 ♦ Bardoux, F., Dano, C., Leboeuf, F. and Toussaint, C., 1998 Characterization of Deterministic Stresses for a Turbine Stage – Part 1 : Unsteady Flow Analysis, ASME Paper, 99-GT-101 ♦ Bardoux, F., Leboeuf, F., 2001 Impact of the Deterministic Correlations on the Steady Flow Field Proceedings of the 4th European Conference on Turbomachinery, ATI-CST-012/01 ♦ Balje, O. E., 1981 TurbomachinesFluid John Wiley&Sons, Inc., ISBN ♦ Belhabib, M., Miton, H.,1995 Experimental Analysis of Unsteady Blade Rows Interaction in a Multistage Turbomachine J. de Physique III France5, pp.2003-2028 ♦ Billonnet, G., Fourmaux, A., Toussaint, C., , 2001 Evaluation of Two Competitive Approaches for Simulating the Time-Periodic Flow in a Axial Turbine Stage, Proceedings of the 4th European Conference on Turbomachinery, ATI-CST-008/01 ♦ Buchet, H, 2002 Contribution au développement d’un Vélocimètre Global à effet Doppler en vue de l’application aux turbomachines, Thèse de Doctorat 2002-09, Ecole Centrale de Lyon, Ecully, France ♦ Ceyhan, I., d’Hoop, E.M., Guenette, G.R., Epstein, A.H., Bryanston-Cross, P.J., 1998 Optical Instrumentation for Temperature and Velocity Measurements in Rig Turbines, AGARD C.P. 598 on Advanced Non-Intrusive Instrumentation for Propulsion Engines, p.27.1-27.9 ♦ Chana, K.S., Healey, N., Bryanston-Cross, P.J., 1998 Particle Image Velocimetry Measurements from the Stator-Rotor Interaction Region of a High Pressure Transonic Stage at the DERA Isentropic Light Piston facility, AGARD C.P. 598 on Advanced Non-Intrusive Instrumentation for Propulsion Engines, p.46.1-46.9 ♦ Charbonnier, D., Leboeuf, F., 2003 Development of a Model for the Unsteady Part of Deterministic Stresses in a Transonic Turbine Stage 5th European Conference on Turbomachinery, March 2003, Prague.


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