Synthèse d’une loi de commande optimale vis-à-vis …gt-s3.cran.univ-lorraine.fr/doc/Khelassi_19_10_09.pdf · Synthèse d’une loi de commande optimale vis-à-vis de la fiabilité

Synthèse d’une loi de commande optimale vis-à-vis de la fiabilité des systèmes sur-actionnés en présence de

défauts

A. Khelassi, P. Weber, D. [email protected]

Centre de Recherche en Automatique de NancyCRAN-CNRS UMR 7039

Groupe: SURFDIAGwww.cran.uhp-nancy.fr

19 Octobre 2009

1|32Journée du Groupe de Travail Sûreté, Surveillance, Supervision

Fiabilité des systèmesFiabilité des systèmes

Contexte du travail Contexte du travail

Sûreté de fonctionnement Sûreté de fonctionnement

Fiabilité des systèmesFiabilité des systèmes

• Evaluation en ligne• Loi exponentielle • Dégradation des actionneurs

Commande tolérante aux fautes Commande tolérante aux fautes

• Systèmes sur-actionnés• Allocation de la commande• Défauts actionneur• Ré-allocation de la commande

Intégrer la fiabilité comme objectif dans le problème d’allocation et de réallocation de la commande

2|32

Thèse en coursThèse en cours

Contribution aux systèmes tolérants aux fautes: Synthèse d’une méthode active de reconfiguration, restructuration aux défauts intégrant un modèle

probabiliste et dynamique de fiabilité

• Ré-allocation de la commande• Optimisation

Commande Tolérante

aux Fautes

Fiabilité

1 Allocation de la commande

2 Ré-allocation de la commande

3 Allocation et Ré-allocation vis-à-vis de la fiabilité des actionneurs- Problématique

PLANPLAN

3|32

- Problématique - Evaluation de la fiabilité en ligne- Approche développée

4 Application

5 Conclusion et Perspectives

1| Allocation de la commande1.1 Problématique 1.1 Problématique

=+=

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtxɺ

)()( tButvd =

r

m

n

y

u

x

ℜ∈ℜ∈ℜ∈

nr

mn

nn

C

B

A

×

×

×

ℜ∈ℜ∈ℜ∈

mnBrang <=)(Système sur-actionné

ndv ℜ∈

4|32

)()( tButvd =

)()()( tvtAxtx d+=ɺ

dv ℜ∈

)()()( tButAxtx +=ɺ

1| Allocation de la commande1.1 Problématique1.1 Problématique

Problématique: Problématique:

• Méthodes optimales

Comment allouer ou distribuer les efforts désirés à l’ensemble des actionneurs ?

?)( =tu )()()( tvtAxtx d+=ɺ

•Allocation de la commande

5|32

Références

• Durham, W.C. Constrained Control Allocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 16, 717-725, 1993.

• Marc Bodson. Evaluation of optimization methods for control allocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, August 2002.

Approches optimales (Approches optimales (HarkegardHarkegard,2003; Enns, 1998, Durham, 1993): ,2003; Enns, 1998, Durham, 1993):

En général:

• Problème d’optimisation

2

2

minarg

minargmaxmin

uWu

vBu

u

duuu

ψ

ψ

∈

≤≤

=

−=

1| Allocation de la commande1.1 Problématique1.1 Problématique

ψ

Ju

min2u

6|32

2minarg uWu uu ψ∈

=

RéférencesRéférences

• Harkegard, O. Dynamic Control Allocation using Constrained Quadtratic Programming. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2004. •Enns. D. Control Allocation approaches. AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, 1998.

•Durham, W. Constrained Control Allocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1993.

uW Priorité aux actionneurs 1u

Problème d’allocation sans contrainte de saturation Problème d’allocation sans contrainte de saturation

d

uu

vButs

uWJ

=

=

.

min2

duu vBWWu +−−= )( 11

• Méthode de pseudo-inverse

1| Allocation de la commande1.2 Résolution du problème d’allocation1.2 Résolution du problème d’allocation

2

2

minarg

minarg

uWu

vBu

uu

d

ψ

ψ

∈=

−=

7|32

duu vBWWu = )(

Références

•Durham, W.C. Constrained Control Allocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 16, 717-725, 1993.

Problème d’allocation avec contrainte de saturation

• Algorithme itératif de point fixe

• Problème de minimisation mixte maxmin

2

2

2

2

.

)1(min

uuuts

uWvBuJ uu

≤≤

+−−= εε

])()1[(1 idT

i uIHvBsatu −−−=+ ηηε /1

)1(

2=

+−=η

εεH

WBBH uT

1| Allocation de la commande1.2 Résolution du problème d’allocation1.2 Résolution du problème d’allocation

8|32

])()1[(1 idi uIHvBsatu −−−=+ ηηε

10

:[.]

/12

≤≤

=

ε

ηsaturationsat

H

Références

• Constrained Control Allocation for systems with redundant Control Effectors. PHD Thesis, Polytechnic Institute ans State University. USA, 1996.•Marc Bodson. Evaluation of optimization methods for control allocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, August 2002.




PLANPLAN

9|32


4 Application


2| Ré-allocation de la commande

f

u yPlant SensorsActuators

=+=)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

d

dɺ

• Système nominal (fonctionnement désiré)

Système sur-actionné

Défauts actionneur

Ré-allocation de la commande

2.1 Problématique2.1 Problématique

10|32

• Système défaillant (Défaut actionneurs)

=

+=

)()(

)()()(

tCxty

tuBtAxtx fɺ)( Γ−= mf IB

=Γ

mγ

γ

0

01

⋱

[ ]10∈iγ

f Perte d’efficacité des actionneurs Γ


)()()( tuCBtCAxty f+=ɺ

)()()( tCButCAxty dd +=ɺ Avant l’occurrence du défaut

Après l’occurrence du défaut

Objectif

Ré-allocation de la commande )()( tyty dɺɺ =

2.1 Problématique2.1 Problématique

11|32

0)()( =−⇒= dfd CBuuCBtyty ɺɺ

?)( =tu 0=− df CBuuCB

• Minimisation d’un critère quadratique• Sans /Avec Contrainte de saturation• Pseudo Inverse/ Algorithme de point fixe


Solution du problème de réallocation

maxmin.

])())(1[(2

1min

uuuts

uWuvuBvuBJ uT

dfT

dfu

≤≤

+−−−= εε

])()1[(1 idT

fi uIHvBsatu −−−=+ ηηεH

WBBH ufT

f

10

/1

)1(

2

≤≤

=

+−=

εη

εε

2.2 Solution du problème de la 2.2 Solution du problème de la réré--allocationallocation

12|32

saturationsat :[.]

10 ≤≤ ε

Références

• Burken, J. Two reconfigurable Flight-Control Design Methods: Robust Servomechanism and Control Allocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001. • Y.M Zhang at al. Reconfigurable Control Allocation against Partial Control Effector Fault in Aircraft. IEEE International Conference on control Applications CCA2007.


:uW Matrice de pondération pour donner une ordre de priorité aux actionneurs

2u1/min u

uWJ

2/min uu

WJ3/min u

uWJ

2.2 Solution du problème de la 2.2 Solution du problème de la réré--allocationallocation

13|32

- Allocation

- Ré-allocation

Ensemble de solutions acceptables où

est à fixer uW

ψ

1u

Choix de la matrice de pondération: Choix de la matrice de pondération:

En général, choix le plus utilisé:

dvBu +=df vCBu += )(

IW u = Solution unique

• Allocation de la commande ‘équirépartie’ •Pas de priorité aux actionneurs

2| Ré-allocation de la commande2.3 Matrice de pondération2.3 Matrice de pondération

14|32

Matrices de pondération (Contribution)!Matrices de pondération (Contribution)!

Nous proposons de choisir pour augmenter la fiabilité du système ? Solution unique et optimale

vis-à-vis de la fiabilité

uW

Références

Y,Zhang. Reconfigurable Control Allocation Applied to an Aircraft Benchmark Model. Americain Control Conference ACC 2008.




PLANPLAN

15|32


4 Application


3| Allocation et Ré-allocation vis-à-vis de la fiabilité des actionneurs

3|1 Problématique

ObjectifObjectif

• Allocation de la commande tenant en compte la dégradation des composants• Maintenir des performances acceptables jusqu’à la fin de la mission• Améliorer la fiabilité du systèmes tolérants aux fautes

16|32

Comment??Comment??

Intégrer la fiabilité comme un objective dans le problème d’allocation et Ré-allocation de la commande


3|1 Problématique

PropositionProposition

Trouver et uW

d

MgMguu

vButs

tRtRetuWJ

=

−= ∗∗

*

2

.

))()(max(min

{ }mu wwdiagW ⋯1=

0≻W

2u uu

WJ /min IWJ uu

=/min

∗u

17|32

0≻uW

Temps de la fin de mission

Solution de la pseudo-inverse avec pondération

Solution du pseudo-inverse (allocation ‘équirépartie’)

Fiabilité du systèmes globale évaluée pour une commande avec pondération

Fiabilité du systèmes globale évaluée pour une commande ‘équirépartie’

Mt*u

u

)( Mg tR∗

)( Mg tR

1u

ψ


3|1 Problématique

Fiabilité du système global:Fiabilité du système global:

• Systèmes composé d’actionneurs en redondance active

∏=

∗∗ −−=

m

m

iMiMg tRtR

1

))(1(1)(

))()(max( MgMg tRtR −∗

18|32

→)( Mi tR Fiabilité du iéme actionneur à la fin de la mission

∏=

−−=m

iMiMg tRtR

1

))(1(1)(


3|2 Evaluation de la fiabilité en ligne

Fiabilité des actionneurs: Fiabilité des actionneurs: Loi exponentielle

∞

−

−

=−=

==

1

)()(

)(

)(

λ

λλ

λ

λ

edt

tdRtV

etR

t

t

t

19|32

∫∞

==0

1)(

λdttRMTTF

Fiabilité des composants ….hypothèseFiabilité des composants ….hypothèse

RéférencesRéférences

D.R. Cox. Regression models and life tables. JR stat Soc, volume 34, pages 187-220, 1972.

Apparition d’un défauts redistributions des charges sur le actionneursNiveau de sollicitation variable selon les conditions de fonctionnement



Modèle proportionnel de Cox(D.R. Cox, 1972)Modèle proportionnel de Cox(D.R. Cox, 1972)

( )ϑλλ ,0ℓg×=

( ) )(, ufeg →= ×ϑϑ ℓℓ

Taux de défaillance constant

Niveaux de charge variable

Taux de défaillance …hypothèseTaux de défaillance …hypothèse

Conditions de fonctionnement Variation du taux de défaillance par palier

20|32

Conditions de fonctionnement Variation du taux de défaillance par palier



Intégrer la fiabilité comme un objective dans le problème

d’allocation et Ré-allocation de la commande

Evaluation de la fiabilité en ligne

Evaluation hors ligne

Probabilité évaluée a priori par rapport à

][)(,0 tTPtRt >=≥∀ tetR λ−=)(0

00 == tt

21|32

Comment intégrer l’analyse de fiabilité dans la boucle de contrôle?

• Occurrence de défauts à un instant Changement des Conditions de fonctionnement

• Fiabilité à l’instant évaluée par rapport à un instant

• Mise à jours des indicateurs de fiabilité et un nouveau taux de défaillance est calculé

)( MtRτMt τ

τ



0.7

0.8

0.9

1Evolution de la fiabilité

R(t) Rτ(t)

Fiabilité en ligne et mise a jours (Pourquoi?)

Plus on s’approche à MTTF moins on charge l’actionneur

)(tλ τλ

22|32

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

changement de modet=τ

temps de finde mission t=tm

Contrainte de fiabilitéR(tm)>Ropt

tMTTF

Mtτ0



Calcul et évaluation des indicateurs de la fiabilité en ligne:

23|32


3|1 Problématique

Fiabilité du système globalFiabilité du système global

∏ ∗∗ −−= mtRtR ))(1(1)( ∏

∗∗ ∑−= m mu

tetR i )(1)( λ

Fiabilité des composants (développement)

1<<Mitλ Développement limité de l’exponentiel

)()( MgMg tRtR −∗

24|32

Maximisation de la fiabilité Maximisation de la fiabilité

))()(max( MgMg tRtR −∗)min(

11∑∑

==

∗ −m

ii

m

ii uu

,∗iu iu Solution de pseudo-inverse

∏∏

=

=∗∗

−−=

−−=m

i MiMg

i MiMg

tRtR

tRtR

1

1

))(1(1)(

))(1(1)(

∏∏

=

=∗

∑−=

∑−=m

i Mmu

Mg

m

i Mmu

Mg

tetR

tetR

i

i

1

1

)(1)(

)(1)(

λ

λ


3|3 Approche développée

Approche Approche

Trouver et uW

d

mgmguu

vButs

tRtRetuWJ

=

−= ∗∗

*

2

.

))()(max(min

Solution (Solution (Pour n=1 et m>n)Pour n=1 et m>n)

∗u

25|32

Solution (Solution (Pour n=1 et m>n)Pour n=1 et m>n)

Trouver qui minimise:

où:

et: solutions du problème d ’allocation données respectivement:

uW )(min11∑∑

==

∗ −=m

ii

m

ii

wuuJ

i

{ }mu wwdiagW ⋯1=

uu ,∗

dvBu +=

duu vBWWu +−−∗ = )( 11




PLANPLAN

26|32


4 Application


4| Application et résultats préliminaires

27|32

4| Application et résultats préliminaires Allocation

25

26

27

28

29

30

31

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3u 1

Evolution de la commande (allocation équirépartie)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

u 2

1

2

3

u 3

28|32

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10024

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

u 1

Evolution de la commande (allocation pondérée)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

u 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

t

u 3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

t

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

t

R(t

)

Evolution de la fiabilité

4| Application et résultats préliminaires Réallocation

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3u 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

u 2

1

2

3

u 3

0.97

0.98

0.99

1Evolution a priori de la fiabilité en présence du défaut

29|32

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

u 1

Evolution de la commande en présence du défaut

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

u 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

t

u 3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

t

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.92

0.93

0.94

0.95

0.96

t

R(t

)




PLANPLAN

30|32


4 Application


5|Conclusion et perspective5|Conclusion et perspective

• Matrice de pondération : une clé pour intégrer la fiabilité comme objectif dans le problème d’allocation et de réallocation de la commande

• Intégrer la fiabilité comme objective dans l’allocation et ré-allocation

• Contribution aux systèmes tolérants aux fautes et fiables

Conclusion

31|32

• Fiabilisation des systèmes tolérants aux fautes

Perspective

• Intégration des hypothèses de vieillissement des composants

•Généralisation de la démarche pour les système MIMO

Synthèse d’une loi de commande optimale vis-à-vis de la fiabilité des systèmes sur-actionnés en présence de

défauts

A. Khelassi, P. Weber, D. [email protected]


32|32


Groupe: SURFDIAG

Articles

•Optimal reconfigurable control allocation design based on reliability analysis. D. Theilliol, A. Chamseddine, Y. Zhang and P. Weber. 7th IFAC Symposium on Fault Detection, Supervision and Safety of Technical Processes. Spain, 2009.•On Reconfigurability for Actuator Faults under Reliability Constraints. A. Khelassi, D. Theilliol , P. Weber. IFAC Workshop on Automation in Mining, Mineral and Metal Industry- IFAC MMM’09 , Vina del Mar, Chile , 2009.• Reconfigurability Analysis for reliable Fault-Tolerant Control Design. A. Khelassi, D. Theilliol , P. Weber . Accepted in the 7th Workshop on advanced control and Diagnosis ACD’2009.

Documents

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