ANNEXE :

Synthèse par modèles physiques

IntroductionLe son et l’air sont deux composantes intimement liées. Ainsi, nous commencerons à analyser comment le son se propage dans l’air.La propagation du son se fait a priori dans toutes les directions et elle dépend des obstacles rencontrés. Nous nous limiterons volontairement aux ondes dites “planes” (c-à-d qui ne dépendent que d’une seule direction dans l’espace).Nous noterons cette direction x. Par conséquent l’onde de pression pourra être notée p(x,t) (dépendante du temps et de la position sur l’axe x). C’est le cas d’une onde qui se propage dans le tube d’un orgue par exemple.

Conservation de la masse:La masse d’air reste inchangée dans le tuyau mais sa densité varie. On peut donc l’exprimer sous la forme d’une fonction à deux variables (x,t). Par dérivés et simplifications de termes du 2ème ordre et en discrétisant sur un intervalle tendant vers 0 on arrive à l’équation d’état:

Celle-ci exprime que la variation de pression est proportionnelle à la variation de densité.

Propagation des sonsQuand une corde est pincée, la propagation du son se fait des deux côtés du point de pincement. Prenons une équation d’onde classique qui se propage dans un sens et la même onde dans le sens opposé et nous obtenons:

En les superposant on obtient:

Ce qui correspond à une onde du type:

IntensitéPour mettre de l’air en mouvement, il faut fournir une certaine quantité de travail. La propagation et la déformation de l’air correspond à une propagation de l’énergie initiale (l’excitateur).

Sons périodiquesUn son périodique est un son dont les fréquences (harmoniques) sont des multiples entiers d’une fréquence donnée (fondamental). Plus le son comporte d’harmoniques plus il sera perçu comme riche.

Sons avec partielsLa plupart des instruments à percussion ainsi que le piano dans une faible mesure produisent des sons non-périodiques. En terme de fréquences cela se traduit par des rapports non entiers entre le fondamental et les autres fréquences. C’est aussi pour cela qu’on ne parle plus de fondamental dans le cas de sons avec partiels.

Sons à spectre continuLe chant est assez proche d’un son périodique, mais avec des sons plus complexes comme dans le cas de la voix parlée. On retrouve plutôt un ensemble continu de fréquences.

Réponse impulsionnelleSous certaines conditions, la fonction de transformée de Fourier (fonction qui décompose tout son en un somme de sinusoïdes) est une fonction intégrable. Partant de ce constat et suite à divers calculs, une théorie mathématique est née (développée principalement par Laurent Schwartz). Une de ses applications est de modéliser le son que reçoit un auditeur dans une salle de concert comme le résultat du filtrage du son provenant de l’orchestre par le filtre que constitue la salle elle-même. On peut avoir une idée de cette réponse impulsionnelle en frappant dans les mains ou en jouant un son très bref (ce procédé sera approfondi et développé pour des techniques de convolution).

Les instruments de musiqueDe manière simplifiée, la création de sons par un instrument de musique se fait en deux parties l’excitateur (source des vibrations) et le résonateur. Une corde seule ne produit qu’un très faible son. Il faut lui associer un résonateur pour mettre une quantité plus importante d’air en mouvement c’est-à-dire transformer l’énergie mécanique de la corde en énergie acoustique.Comme déjà décrit précédemment dans ce travail il existe deux types d’oscillations: libres et entretenues. Dans la première catégorie se trouvent les instruments à percussion mais aussi le clavecin, le piano, la guitare et même le violon mais en jeu pizzicato. Les cordes sont dites libres car après une action brève (percussion ou pincement) la corde n’est plus soumise à aucune action et continue de vibrer librement (soumise néanmoins aux conditions de viscosité du milieu qui amortissent son oscillation). Dans la seconde catégorie, on retrouve des instruments à vent (bois, cuivre, orgue) et les instruments à cordes frottées. Le son y est entretenu par l’action du souffle pour les instruments à vent et de l’archet pour les instruments à cordes.

1. Les cordes:Sans rentrer dans les détails, l’équation de Taylor pour la corde vibrante nous donne toute une famille d’ondes stationnaires. La première est le fondamental et les autres sont des multiples entiers. Ces fréquences de résonance sont appelées fréquences propres du système et les ondes harmoniques correspondantes les modes propres.On peut alors montrer que toute solution pour l’équation d’onde de la corde fixée à ses deux extrémités s’obtient par addition des modes propres,

,

celle-ci étant notée sous la forme complexe.Ce qui nous donne:

Pour les lames oscillantes (tenues des deux extrémités), on constate que comme pour les cordes, les modes propres sont stationnaires et ont la même forme. Par contre les fréquences propres suivent une progression quadratique. Il en va de même pour la longueur: les fréquences propres sont inversement proportionnelles au carré de la longueur.

2. Les ventsLe fondamental est donné par la loi de Bernouilli: F=c/2LOn ajuste la longueur du tuyau afin d’accorder l’instrument.La première fréquence propre vaut c/4L et la suite des fréquences propres est donnée par:

ce qui donne donc une progression proportionnelle aux entiers impairs. Cette absence est justement un des éléments qui permet à l’auditeur de reconnaître des instruments comme la clarinette et leur donne cette sonorité “nasillarde”. Ceci explique aussi que la clarinette “quintoye” (elle passe du fondamental à l’octave plus une quinte quand on souffle fort dedans).

InharmonicitéNous avons vu précédemment que les sons peuvent être classés dans diverses catégories selon leur contenu spectral. Ainsi, on différenciera aisément à l’oreille si un son est périodique ou non. Nous n’aurons aucun mal à différencier le son d’un piano de celui d’une cloche. Néanmoins, certains pianos de petites dimensions, aux cordes plus courtes et compensées par un diamètre plus important (selon la loi de Taylor si on divise par 2 la longueur et qu’on multiplie le diamètre par 2 sans modifier la tension, on obtient le même son) produisent des sons plus “métalliques”. C’est ce qu’on appelle l’inharmonicité. La cause

en est simple. Le deuxième harmonique est produit par la division de la corde en deux longueurs égales, c’est-à-dire d’avoir 2 ventres séparés par un noeud. Ceci est le cas dans une modélisation de corde parfaite sans contraintes de raideur du matériau. Pour une corde réelle, le noeud ne se réduit pas à un point ce qui fait que la taille des noeuds et ventres se retrouve légèrement réduite.Ceci a pour effet d’augmenter un peu la fréquence du second harmonique, ceci d’autant plus que la corde sera courte. Le même phénomène accentué se produit pour les harmoniques supérieurs.Pour une corde réelle, de diamètre non nul et donc d’une certaine raideur l’équation de l’oscillation est une combinaison entre celle d’une corde idéale et celle d’une tige.

Richesse en harmoniques aigusVoici une autre caractéristique du timbre: la répartition en harmoniques. Un son riche en harmoniques aigus sera qualifié de riche, brillant, voire métallique alors qu’un son pauvre en de telles harmoniques sera dit rond, doux ou même terne. Il n’est pas évident de classer les instruments de musique traditionnels dans ces deux catégories. En effet, le contenu et la répartition spectraux d’un instrument varient selon divers paramètres, en particulier selon l’intensité du jeu du musicien (comportement non linéaire de l’instrument). Ceci joue naturellement un rôle important dans l’expressivité et le phrasé (de tels paramètres sont très difficilement imitables sur des synthétiseurs basiques).

Répartition diverse des harmoniquesComme vu précédemment, l’absence presque totale d’harmoniques pairs nous rappelle directement le timbre du bourdon ou de la clarinette. De manière analogue, un grand nombre de timbres peut être obtenu en favorisant une certaine catégorie d’harmoniques par rapport aux autres.

Le résonateurNous avons déjà dit que celui-ci transmettait les oscillations de la corde à l’air. Pour les vents, le résonateur est le tube lui-même. Pour les cordes il s’agit de la table d’harmonie (généralement en épicéa). En première approximation, nous constatons que le comportement du résonateur est une réponse linéaire à l’excitation. Ainsi la réponse du violon à deux notes jouées simultanément est égale à la somme des cordes jouées individuellement. De même, cette réponse est invariante dans le temps. L’art du luthier serait d’ajuster la fonction de transfert au goût du musicien. Savart observa d’ailleurs sur des mesures faites à partir de violons Stradivarius et Guarnerius désossés que le fond d’un bon violon et sa table d’harmonie ont leur premières fréquences propres écartées d’un demi-ton, évitant ainsi d’accentuer de manière trop forte l’une de ces fréquences. Certaines fréquences seront donc légèrement accentuées et perdureront plus longtemps ce qui fera percevoir l’instrument comme inégal aux yeux du musicien.

Enveloppe du sonEnoncé de manière simple, il s’agit donc de la courbe de l’évolution du volume sonore au cours du temps. Nous ajouterons cependant que pour certains instruments une enveloppe s’avère insuffisante. Il faut alors recourir à une enveloppe distincte pour chaque harmonique. En général, le temps d’extinction diminue au fur et à mesure que les harmoniques sont de rang plus élevé. Suivant les types d’instruments il peut aussi y avoir un décalage temporel entre divers harmoniques. Ainsi sur la trompette les harmoniques aigus arrivent en retard par rapport au fondamental.

ConclusionPour modéliser un instrument de manière réaliste, tous les éléments examinés plus haut sont à prendre en considération. On veillera aussi à ce que les paramètres soient modifiables non seulement en temps réel mais aussi par le jeu du musicien. Ainsi la vélocité de jeu commandera non seulement le volume mais aussi le filtre de l’excitateur, la durée du résonateur, la durée de l’enveloppe. La hauteur des notes jouera sur le contenu spectral en quantité d’harmoniques présents mais aussi sur le filtre.L’inharmonicité devra aussi être prise en considération et pourra éventuellement aussi être liée à la vélocité (appuyant plus fort sur une corde, on la tend davantage) la position de l’excitateur pourrait aussi être prise en compte dans la propagation des modes longitudinaux de la corde, qui ne seraient plus symétriques, provoquant ainsi des battements. En effet, il est bien connu des violonistes que la position de l’archet sur la corde influence le timbre de l’instrument, tout comme la pression.La synthèse par modèles physiques est une méthode de synthèse fascinante et qui ouvre la voie à un nouveau mode de production musicale et qui permet de retrouver des sensations musicales très proches de celles d’un “vrai” instrument de musique (traditionnel).Par extension, la synthèse par modèles physiques peut s’appliquer aussi à la synthèse vocale, l’émulation de piano, de guitares, de flûtes, d’orgues, de cloches et autres. Des voies à une nouvelle exploration musicale sont ouvertes.