UFR Sciences et Techniques, Departement des Mathematiques et Mecanique

Licence de mathematiquesDetails des cours 2015/2016 1

Table des matieres

1 Presentation synthetique 1

2 Presentation detaillee des unites d’enseignement disciplinaires 32.1 SEMESTRE 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 M11 MATHEMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 O123 Methodologie disciplinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 P11 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 I 11 Informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.5 C12 Chimie (Option 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.6 Economie et statistiques (Option 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.7 Competences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 SEMESTRE 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 M21 Analyse 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 M22 Algebre lineaire 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 M23 Mecanique statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.4 P21 Interaction et mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.5 I21 Algorithmique 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 SEMESTRE 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1 M31 Analyse 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 M32 Algebre lineaire 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 M33 Analyse Numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Option Physique : P311 Electro- et magnetostatique . . . . . . . 162.3.5 Option Informatique : I31 Algorithmique . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 SEMESTRE 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1 M41 Analyse 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 M42 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 M44 Mecanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.4 M43 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 SEMESTRE 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1. version du 15 mai 2016

2.5.1 M51 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.2 M52 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3 M53 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.4 M54 Algebre (Option 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.5 M54 Mecanique (Option 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 SEMESTRE 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.1 M61 Calcul Scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.2 M62 Calcul Differentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.3 M63 Modelisation (Option 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.4 M63 Initiations aux meties d’enseignement (Option 2) . . . . . . 252.6.5 M64 Fonctions Analytiques (Option 1) . . . . . . . . . . . . . . 252.6.6 M64 Mecanique des Fluides (Option 2) . . . . . . . . . . . . . . 262.6.7 M65 Competences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.7.1 Stage–Projet tuteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

1 Presentation synthetique

Les objectifs de la mention sont de donner la fois de solides connaissances en mathematiqueset une culture scientifique generaliste visant des futurs metiers d’enseignement, de la re-cherche et l’acces des ecoles d’ingenieurs ainsi que la preparation des concours offertsbac+3.L’etudiant peut egalement poursuivre dans des filieres debouchant sur des carrieres lieesl’analyse quantitative du traitement de l’information ou de la modelisation (banques,assurances, etc.). Des enseignements diversifies sont proposes pour permettre une orien-tation progressive.La pedagogie deployee en licence permet aux etudiants d’acquerir une capacite d’abstrac-tion et de resolution de problemes, ainsi que des capacites redactionnelles et d’expression,en vue de transmettre des savoirs en franais ainsi qu’en anglais.

Le reglement d’examen (modalites de controle des connaissances) est consultable ICI.

Semestre 1

UE CM+TD+TP=∑

ECTS

1 Mathematiques 30+45=75 6

2 Informatique 21+21+33=75 6

3 Physique 28.5+34.5+12=75 6

4 Chimie ou EcoStat 29+30+16=75 6

5 Competences : Σ 38 Σ 6Metiers de l’etudiant 10 1

Anglais 18 2Projet personnel encadre (PPE) 10 1

Methodologie disciplinaire 10 2Σ 338 30

1

Semestre 2

UE CM+TD+TP=∑

ECTS

1 Analyse I 30+42+3=75 7

2 Algebre lineaire I 30+42+3=75 8

3 Mecanique statique 9+15+6=30 2

Physique 18+24+6=48 5

Informatique 50 5

4 Competences : Σ 30 Σ 3Unite obligatoire a choix 12 1

Anglais 18 2Σ 308 30

Semestre 3

UE CM+TD+TP=∑

ECTS

1 Analyse II 31.5+46.5+3=81 10

2 Algebre lineaire II 31.5+46.5+3=81 9

3 Analyse numerique 15+20+9=44 3

4 Option : Physique ou Informatique P 39 ou I 51 4

5 Competences : Σ 36 Σ 4Unite obligatoire a choix (comp. transversales) 12 1

Anglais 18 2C2i 6 1

Σ 281 30

Semestre 4

UE CM+TD+TP=∑

ECTS

1 Analyse III 26+36+3=65 8

2 Geometrie 30+42+3=75 8

3 Probabilites 10+15=25 4

4 Mecanique generale 24+36=60 6

5 Competences : Σ 40.5 Σ 4Unite obligatoire a choix (comp. transversales) 12 1

Anglais 18 2C2i 4.5 1

Σ 265.5 30

2

Semestre 5

UE CM+TD+TP=∑

ECTS

UE 1 Integration 38+38=76 8

UE 2 Topologie 38+38=76 8

UE 3 Probabilites 20+20=40 5

UE 4 Option : Algebre ou Mecanique 38+38=76 6

UE 5 Competences : Σ 34.5 Σ 3Unite obligatoire a choix (comp. transversales) 12 1

Anglais 18 2

Σ 302.5 30

Semestre 6

UE CM+TD+TP=∑

ECTS

UE 1 Calcul Scientifique 18+16+40=76 7

UE 2 Calcul Differentiel 38+38=76 7

UE 3 Option : Modelisation ou Init. Enseignement 40h 4

UE 4 Option : Fonctions analytiques ou Meca. 38+38=76 7

UE 5 Competences : Σ 36 Σ 4Stage-Projet tuteure 6 2

Unite obligatoire a choix (comp. transversales) 12 1Anglais 18 2

Σ 304 30

2 Presentation detaillee des unites d’enseignementdisciplinaires

Base de calcul semestrielS1-S4 : 12 semaines ; 2 CM + 3 TD a 1.5h = 7.5h/semaineS5-S6 : 12 semaines ; 2 CM + 2 TD a 2h = 8h

3

2.1 SEMESTRE 1.

2.1.1 M11 MATHEMATIQUES

MATHEMATIQUES

(30CM+45TD=75)

10 semaines - 2 Cours + 3TD par semaine - 3 controles continus + 1 controle terminal.

Elements de Logique

- Langage de la theorie des ensembles - Produit cartesien.

- Relations (graphe) - Fonctions - Applications - Composition.

- Injections - surjections - bijections - fonctions reciproques.

Fonctions numeriques

- Exponentielle et logarithme.

- calcul de derivee et variation.

- tangente a un graphe et changement d’echelle.

Recurrence et suites recurrentes

- Sommes finies.

- suite arithmetique.

- suite geometrique.

Nombres complexes

- Formes algebrique et trigonometrique.

- Resolution d’equations algebriques (degre un et deux).

- Resolution d’equations differentielles lineaires (d’ordre un et deux).

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1)Fonctions d’une variable reelle 6 heures de Cours et 7.5 heures de Travaux dirigesNotion d’application d’un intervalle dans un intervalle. Applications injectives, bijec-tives, surjectives. Fonctions : Domaine de definition, Graphe, Monotonie, Symetrie,Paire/Impaire, Composee, Reciproque, Translation et dilatation/contraction d’un graphe.Valeur absolue, Fonction puissance entiere et reciproques, Racines carrees, Fonctionexponentielle et proprietes (definition intuitive), Fonction logarithmique et proprietes,Fonction puissance, Fonctions trigonometriques et proprietes (definition intuitive), For-mules trigonometriques, Fonctions circulaires reciproques. Resolution des equations etdes inegalites.

2)Quelques elements de la logique 3 heures de Cours et 6 heures de Travaux dirigesAssertion, Proposition, Connecteurs logiques : negation, conjonction, disjonction, impli-cation, equivalence, Tables de verite, Raisonnement par contraposee, Raisonnement parl’absurde, Recurrence, Quantificateurs. Elements de la theorie des ensembles : reunion,

4

intersection, ensembles complementaires. Applications : injections, surjections, bijections,image directe et inverse. Application lineaire dans R, R2, R3, equation d’une droite dansle plan, resolution d’un systeme lineaire.

3)Suites 3 heures de Cours et 4,5 heures de Travaux dirigesDefinition d’une suite, Monotonie, Suites bornees/non bornees, Suites recurrentes, Suitesarithmetiques, Suites geometriques, Limites (intuitive), Calcul de limites, Exemples.

4)Limites et continuite 3 heures de Cours et 6 heures re Travaux dirigesLimites (intuitive), continuite (intuitive), Calcul des limites : limite d’une somme, limited’un produit, limite des fonctions composees, Theoreme des ”(deux) gendarmes”, crois-sance comparee, Limites et monotonie. Theoreme des valeurs intermediaires (exemples),Theoreme de bijection (exemples), Calcul d’asymptotes.

5)Derivabilite 3 heures de Cours et 4,5 heures de Travaux dirigesDerivabilite (intuitive), Calcul de derivees : Somme, Produit, Fonctions composees, Fonc-tions reciproques. Applications : Calcul de limites, Theoremes des accroissements finiset exemples, Regle de l’Hopital et exemples, Equation de la tangente. Derivees seconde :Convexite/concavite

6)Etude d’une fonction 1,5 heures de Cours et 3 heures de Travaux diriges Methodologied’etude d’une fonction reelle d’une variable reelle. Exemples.

7)Nombres complexes 4,5 heures de cours et 6 heures de Travaux dirigeesCoordonnees cartesiennes, coordonnees polaires d’un point, Forme algebrique d’un com-plexe, Forme trigonometrique d’un complexe, Ensemble des nombres complexes, Conjuged’un nombre complexe, Module d’un nombre complexe, Argument d’un nombre com-plexe, Inegalite triangulaire, Equations du second degre, Ecriture eiθ, Racines n-iemed’un nombre complexe, Applications de nombres complexes a la trigonometrie et a lageometrie : Formules d’addition, Interpretation geometrique d’un quotient, translation,homothetie, rotation.

8)Primitives, Equation differentielles 4,5 heures de Cours et 6 heures de TravauxdirigesCalcul de primitives : Formules fondamentales, integration par partie, changement de va-riables. Equations lineaires du premier degre a coefficients constants : solution generale del’equation homogene, equations non homogenes, solution particuliere, Exemples. Equa-tions lineaires du second degre a coefficients constants : solution generale de l’equationhomogene, equations non homogenes, solution particuliere, Exemples.

Controles de connaissances2 Controles continus de 1,5 heures chacun, Controle terminal de 3 heures

5

2.1.2 O123 Methodologie disciplinaire

METHODOLOGIE DISCIPLINAIRE

(10hTD/TP)

3 semaines + 1 controle terminal.

Introduction au calcul formel

- Initiation a la pratique d’un logiciel de calcul formel en liaison avec les differentsaspects du programme du premier semestre : limites des suites numeriques etdes fonctions ; analyse des fonctions numeriques ; representation graphique desdonnees ; derivation formelle ; calculs de primitives et equation differentielles

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Initiation au calcul formel avec ”Mathematica”. Application aux notions vues au coursdu premier semestre :- Logique propositionnelle, technique de demonstrations, ensembles.- Limites de fonctions en un point, en infini.- Continuite d’une fonction en un point, sur un intervalle. Discontinuites de fonctions.- Derivabilite et non-derivabilite d’une fonction. Quotient differentiel.

6

2.1.3 P11 Physique

PHYSIQUE -

(28.5C+34.5TD+12TP=75)Generalites. Approximation de l’optique geometriqueFormation des images : stigmatisme et approximation de GaussSystemes centres dioptriques dans l’approximation de GaussLentilles spheriques minces : construction d’images. Associations de lentilles.Elements de cinematique. Composition des mouvements. Referentiels galileens.Dynamique : loi fondamentale dans les referentiels galileens - applications.Electrocinetique et circuits en courant continuGeneralites sur les circuits en regime permanent.Loi d’Ohm.Association de resistances, lois de Kirchhoff

2.1.4 I 11 Informatique

INFORMATIQUE

(21C+21TD+33TP=75)

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

L’objectif de ce cours est de permettre aux etudiants de premiere annee d’acquerir lesconnaissances de base sur le fonctionnement d’un ordinateur, la resolution de problemespar le calcul d’une machine et l’ecriture de petits programmes en Python.Voir http://meloni.univ-tln.fr/Enseignement/Enseignement.html

2.1.5 C12 Chimie (Option 1)

CHIMIE

(29C+30TD+17TP=75)Proprietes du tableau periodique.Molecules polyatomiques. Representations de Lewis de la liaison covalenteAtome d’hydrogene. Applications aux atomes polyatomiquesLiaison chimique : orbitale atomique (Schrdinger).Applications aux molecules polyatomiquesChimie organiqueFormule d’un compose organique et structure tetraedrique du carbone.Isomeries : plane – chiralite –configurations. Conformations.

7

2.1.6 Economie et statistiques (Option 2)

STATISTIQUES DESCRIPTIVES

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Chapitre I. Distribution statistique.1. Variable statistique.2. Variable aleatoire.3. Variables statistiques groupees ; distribution statistique.4. Fonction de comptage et fonction de repartition.5. Distribution des masses.Chapitre II. Parametres de position (ou tendance centrale) d’une variable statistique1. Les parametres ordinaux.2. Les parametres cardinaux.3. Les differentes moyennes : arithmetique, geometrique, harmonique, quadratique.Chapitre III. Parametres de dispersion et parametres de forme. Concentration.1. Parametres de dispersion : Moments, moments centres, variance et ecart type.2. Parametres de forme : aplatissement, asymetrie3. Parametre de concentration : courbes de Lorenz et indice de Gini.4. Notions sur les distributions gaussiennes.Chapitre IV. Statistiques bivariees.1. Couples de variables statistiques, distributions marginales, independance, disributionsconditionnelles.2. Droite de regression ou des moindres carres.

2.1.7 Competences

Voir : http://sctech.univ-tln.fr/-Licences-.html

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2.2 SEMESTRE 2.

du S2 au S4 tout les modules de Maths ont des seances de TP de calcul formelavec programme mathematique rattache strictement aux TD. Le but est d’enseigner auxetudiants d’effectuer des calculs et d’en visualiser les resultats a l’aide d’un ordinateuravec un minimum de programmation.

2.2.1 M21 Analyse 1

ANALYSE I

(30C+45TD=75)

Fonctions num. d’une variable reelle

- convergence (suites - limites - bornes).

- Continuite (valeurs intermediaires).

- Equations non lineaires.

- Derivabilite (Accroissements finis).

- Fonctions speciales (trigo., Bessel,...).

- Developpements limites (Taylor).

- Calcul de primitives.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1. Suites numeriques et limites.

DEFINITION (suite qui tend vers 0 ou ±∞)

DEFINITION et PROPOSITION (suite convergente)

DEFINITION (suite bornee, majoree, minoree)

PROPOSITION (operations elementaires sur les limites)

PROPOSITION (conservation des inegalites larges)

PROPOSITION (comparaison)

THEOREME FONDAMENTAL (Cauchy)

THEOREME (des suites adjacentes)

THEOREME (de la borne superieure)

THEOREME (des suites croissantes )

DEFINITION et PROPOSITION (sous-suite)

THEOREME (Bolzano-Weierstrass)

2. Fonctions continues.

PROPOSITION et DEFINITION (limite)

PROPOSITION (caracterisation sequentielle)

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LIMITE A DROITE AU POINT a ∈ RLIMITE A GAUCHE AU POINT a ∈ RLIMITE QUAND x TEND VERS +∞LIMITE QUAND x TEND VERS −∞DEFINITION (continuite en un point a ∈ D(f)

THEOREME (des fonctions composees)

THEOREME (des valeurs intermediaires)

THEOREME (des valeurs extremes)

LEMME (de stricte monotonie)

THEOREME (continuite de la fonction reciproque)

3. Fonctions derivables et developpements limites.

DEFINITION (derivabilite en un point)

THEOREME (des fonctions composees)

THEOREME (Fermat)

THEOREME DE VALEUR MOYENNE (Cauchy)

APPLICATIONS DU THEOREME DE VALEUR MOYENNE

DEFINITION et PROPOSITION (developpement limite)

THEOREME (formules de Taylor)

PROPOSITION

4. Fonction exponentielle et autres fonctions usuelles.

THEOREME et DEFINITION (exponentielle complexe)

PROPOSITION (proprietes de l’exponentielle reelle)

DEFINITION et PROPOSITION (logarithme Neperien)

DEFINITION et PROPOSITION (cosinus et sinus)

DEFINITION de PI et PROPOSITION (periodicite)

5. Calcul de primitives et integrale de Riemann.

DEFINITION (primitive)

DEFINITION (subdivision et sommes de Darboux)

DEFINITION et THEOREME (integrabilite au sens de Riemann)

THEOREME (propriete de Chasles)

THEOREME (linearite et respect de l’ordre)

THEOREME (Riemann)

THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL INTEGRAL

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2.2.2 M22 Algebre lineaire 1

ALGEBRE LINEAIRE I

(30C+45TD=75)

Algebre lineaire

- Polynomes (D’Alembert).

- Systemes lineaires.

- Espace vectoriel (base et dimension).

- Applications lineaires (Noyau et Image).

- Matrices (changement de base).

- Determinants (methode de calcul).

2.2.3 M23 Mecanique statique

MECANIQUE

(9CM+15TD+6TP = 30)

Mecanique statique

- Produits scalaire et vectoriel et changement de base.

- Torseur (definition).

- Equilibres de solides et de systemes de solides rigides.

- Resolution de treillis plan en elasticite lineaire.

11

2.2.4 P21 Interaction et mouvements

PHYSIQUE - Interactions et mouvements

(18C+24TD+6TP=48)

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1 Grandeurs fondamentales de la dynamique2 Lois de conservation (p, L et E)3 La relation fondamentale de la dynamique et le theoreme du moment cinetique dansun referentiel galileen4 RFD dans un referentiel non-galileen5 Champs forces centrales : application aux interactions gravitationnelles6 Oscillateurs7 References

2.2.5 I21 Algorithmique 1

INFORMATIQUE - Algorithmique I

(18C+9TD+24TP=51)

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Voir : http://didier.univ-tln.fr

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2.3 SEMESTRE 3.

2.3.1 M31 Analyse 2

(36CM+54TD=90)

Fonctions de plusieurs variables

- Continuite.

- Gradient et plan tangent.

- Hessienne et Taylor a l’ordre 2.

- Recherche d’extremum.

- Utilisation des fonctions implicites.

- Integrales multiples.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Objectifs : Comprendre la topologie elementaire du plan. Maıtriser les concepts fonda-mentaux de l’analyse des fonctions de deux variables valeurs dans R et R2 (limites,continuite et differentiabilite). Savoir discuter les extremas de fonctions simples. Savoircalculer des integrales doubles et triples sur des domaines simples (on ne developpe pasde maniere formelle une theorie de l’integrale de Riemann).Un script complet est disponible sur ahttp://pillet.univ-tln.fr/data/pdf/m31.pdf

1 Fonctions de plusieurs variables1.1 Topologie de Rn

1.1.1 Points et vecteurs, produit scalaire, norme et distance1.1.2 Boules, voisinages, ensembles ouverts, ensembles fermes1.1.3 Adherence, interieur, bord1.1.4 Suites dans Rn

1.1.5 Continuite1.1.5.1 Limites de fonctions1.1.5.2 Fonctions continues sur Rn

1.1.5.3 Continuite uniforme1.2 Fonctions differentiables1.2.1 Courbes differentiables1.2.2 Champs scalaires1.2.2.1 Derivees partielles1.2.2.2 Derivees directionnelles1.2.2.3 Differentielle1.2.2.4 Plan tangentApproximation lineaire1.2.2.5 Regles de differentiation1.2.2.6 Fonctions de classe Cn

1.2.2.7 Formule de Taylor ( l’ordre 2)

13

1.2.2.8 ExtremaFormes quadratiquesLe gradient1.2.3 Champs vectoriels1.2.3.1 Changements de coordonnees1.2.3.2 Derivees partielles d ?un champ vectoriel1.2.3.3 Champs vectoriels differentiables1.2.3.4 Laplacien et fonctions harmoniques1.2.4 Transformations1.2.4.1 Jacobien d’une transformation1.2.4.2 Fonctions composees, changement de variablesLe calcul des operateurs differentiels1.2.4.3 Le theoreme de la fonction inverse1.2.4.4 Le theoreme de la fonction impliciteExtremas lies

2. Integrales multiples2.1 Sommes et integrales de Riemann2.2 Integrales iterees2.3 Integrales doubles2.3.1 Integrales sur un rectangle2.3.2 Integrales sur un domaine simple2.3.3 Changement de variables2.3.4 Calcul d’aires2.4 Integrales triples2.4.1 Integrales sur des quadrilateres2.4.2 Integrales sur des domaines simples2.4.3 Changement de variables2.4.4 Calcul de volumes

2.3.2 M32 Algebre lineaire 2

(36CM+54TD=90)

Algebre multilineaire

- Applications bilineaires (divers produits).

- Orthonormalisation de Gram Schmidt.

- Formes lineaires.

- Multilinearite et determinants.

- Valeurs et vecteurs propres.

- Diagonalisation (cas symetrique et orthogonal).

- Application aux systemes differentiels.

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Resume detaille pour l’annee 2015/2016

- Quelques rappels d’algebre lineaire et reduction des matrices carrees-Forme lineaire, dual d’un espace vectoriel et applications-Formes bilineaires et formes quadratiques-Espaces euclidiens, procede d’orthonormalisation de Gram-Schmidt-Application lineaire adjointe, groupe orthogonal, endomorphismes symetriques-Reduction des endomorphismes symetriques-Formes multilineaires, determinant.

2.3.3 M33 Analyse Numerique

(15CM+20TD+9TP= 44)

- Methodes directes pour la resolution dessystemes lineaires (Gauss, LU, Cholesky).

- Resolution d’equations non lineaires pardichotomie.

- Interpolation polynomiale (Lagrange,Hermite, splines).

- Integration numerique (quadraturesinterpolatoires, Newton-Cotes).

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

chap 1 : Recherche de zero de fonctions reelles (Dichotomie, Newton, plus generalementmethode de point fixe, notion d’ordre de convergence...)chap 2 : Interpolation (Lagrange, Hermite, estimations d’erreur, splines...)chap 3 : Integration numerique (formule de quadrature, estimation d’erreur, stabilite,formule de quadrature de Gauss, Newton-Cotes...)chap 4 : Resolution numerique d’equations differentielles ordinaires (Theoreme de Cauchy-Lipschitz, construction de schemas s’appuyant sur le chap 3, proprietes qualitatives dessolutions du probleme de Cauchy et proprietes qualitatives des solutions discretes pourles schemas d’Euler explicite, implicite et de Cranck-Nicholson)Note de cours et TD :http://faccanoni.univ-tln.fr/user/enseignements/20142015/M33_L2.pdf

http://galusins.univ-tln.fr/coursm43.pdf

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2.3.4 Option Physique : P311 Electro- et magnetostatique

(C+TD+6TP=33)

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Loi de Coulomb.Champ et potentiel electrostatiques crees par des distributions discretes et continues decharges.Theoreme de Gauss et applicationsDipole electrique et proprietes electriques de la matiereChamp magnetostatiqueDefinition des forces de Lorentz et de LaplaceLoi de Biot et Savart et applicationsTh d’ampere et applicationsDipole magnetique

2.3.5 Option Informatique : I31 Algorithmique

(18C+18TD+18TP=51)

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Voir : http://zanotti.univ-tln.fr/ALGO/I31/

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2.4 SEMESTRE 4.

2.4.1 M41 Analyse 3

(26CM+39TD=65)

- Continuite uniforme.

- Integrale d’une fonction continue.

- Serie numeriques.

- Integrales generalisee.

- Convergence simple et uniforme.

- Suites et series de fonctions.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1) Series numeriques- Series termes positifs, principe comparaison, critere Cauchy, D’Alembert- Series absolument CV et semi CV. Thm des series alternees. Critere d’Abel2) Integrales generalisees- Cas des fonctions positives, criteres de comparaisons- Convergence absolue, semi-convergence, critere d’Abel- Comparaison series et integrales- Integrales generalisees dependant d ?un parametre : continuite et derivabilite3) Suites et series de fonctions- Convergence simple et uniforme. Intervertion de limites et integrales- Convergence normale- Series entieres : rayon de convergence, derivation et integration terme terme- Series de Fourier (survol)

2.4.2 M42 Geometrie

(30CM+45TD=75)

- Geometrie affine et euclidienne,isometries, coniques.

- Courbes dans le plan et l’espace.

- Integrales curvilignes, theoremede Stokes dans le plan.

- Surfaces, integration.Notes de cours via :asch@univ-tln.fr subject=demande de polycopie geometrie L2 UTLN

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2.4.3 M44 Mecanique.

(24CM +36TD = 60)

- Calcul d’integrales doubles et triples, matrice d’inertie.

- Directions principales.

- Cinematique du solide rigide et des systemes.

- Cinetique et dynamique du solide rigide et des systemes.

- Principe fondamental de la dynamique.

- Puissance, energie.

- Theoreme de l’energie, oscillations au voisinage d’une position d’equilibre.

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2.4.4 M43 Probabilites

(12CM+12TD= 24)

- Denombrement.

- Probabilites discretes.

- Lois discretes.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1. Generalites ; rappels sur le calcul ensembliste.

2. Experience aleatoire ; echantillonage ; discernabilite.

3. Combinatoire.1) Arrangements 2) Combinaisons 3) Statistiques de Fermi-Dirac et Bose-Einstein.

4. Espaces probabilises.1) Axiomes de Kolmogorov, exemples (cas discrets). 2) Evenements independants3) probas conditionnelles ; elements sur les chaines de Markov. 4) Formule deBayes. 5) Thm de Poisson.

5. Variables aleatoires reelles.1) Definitions et operations sur les v.a. 2) Probabilite image. 3) Lois discretesusuelles. 4) Fonction de repartition. 5) Esperance.

6. Moments ; elements de Statistiques.1) Variance. 2) Covariance. 3) lois usuelles. 4) Droite de regression.

7. Couples et familles de variables aleatoires.1) Independance. 2) loi de la somme de v.a. independantes.

On se limite au cas discret, des exemples d’espaces infinis sont donnes a l’aide de suitesde variables de Bernoulli.

2.5 SEMESTRE 5.

2.5.1 M51 Integration

(40CM+40TD=80)

- Mesure (definition seulement).

- Integrale au sens de Lebesgue.

- Convergences monotone et Fatou.

- Convergence dominee.

- Espaces Lp.

- Utilisation du Theoreme. de Fubini.

- Utilisation du Theoreme du changement des variables.

- Transformee de Fourier dans L1 et L2.

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Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Litterature : Lieb-Loss, Analyse

2.5.2 M52 Topologie

(40CM+40TD=80)

- Espace metrique : ouverts, fermes, fct. continues, esp. complet, fermes emboıtes, pointfixe (appl. contract.).

- Espace norme : normes dans RN , esp. des appl. lineaires continues, et bilineairescontinues.

- Espace de Hilbert : projection sur un convexe ferme, repr. des formes lineaires etbilineaires continues.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1. Espace metriques- ouverts, fermes, fct. continues, interieur, adherence, densite, valeurs d’adherence- espaces complets : fermes emboites, point fixe (appl. contract.), espace defonctions continues sur [0, 1]- espaces compacts :intersection decroissante de compacts, propriiete de Bolzano-Weierstrass, precompacite,fcts continues sur un compact Tm Dini

2. Espace normes- espaces de Banach, exemples, quotient par un sous espace, series dans les Ba-nach, suites totales- normes dans RN , equivalence des normes dans un evn de dimension finie, thmde Riesz (loc compact entraine dim finie)- espaces d’applications lineaires continues, dual, norme duale- enonces du Thm de la borne uniforme et de l ?appli ouverte (et graphe ferme)

3. Espace de Hilbert- Espace l2(N)- projection sur un convexe ferme, proj sur un sous espace, biorthogonal, criterede totalite- Representation du dual- Systemes othonormaux, Thm de Bessel-Parseval, bases hilbertiennes, identifi-cation avec l2(N)

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2.5.3 M53 Probabilites

(20CM+20TD=40)

- Probabilites continues.

- Lois continues.

- Convergence presque sure.

- Convergence en probabilite.

- Convergence en lois.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

- denombrement- proba discretes : conceptes importants : axiomatique, Lois, independance, couple dev.a ; discretes, lois discretes importantes, fonction generatrice- elements de th de la mesure, les sigma-algebres engendrees par des partitions denom-brables, monotonie des mesures- mesure de Lebesgue Stiltjes associees aux foncts de repartion : decomposition en massesde Dirac et mesures a.c.- mesure image et th du transfert- moments ; independance d’evenements et de v ;a. ; lois mixtes : lois continues impor-tantes- calculs de lois pour v.a. scalaires et vectorielles

Litterature : Foata-Fuchs, Calcul des probabilites

2.5.4 M54 Algebre (Option 1)

(40CM+40TD=80)

- Groupes et morphismes.

- Groupe monogenes et cyclique.

- Anneaux et morphismes.

- Anneaux integres et ideaux.

- Corps et extensions.

- Corps finis et arithmetique.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

1. Theorie des groupes :- Morphismes, generateurs et relations d’equivalences- Le groupe Z, ses sous-groupes et ses quotients- Arithmetique dans Z- Sous-groupes distingues et quotients

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- Produits directs et semi-directs- Groupes agissant sur un ensemble- Le groupe Symetrique- Theorie de Sylow- Groupes abeliens de type fini

2. Theorie des anneaux :- Anneau des series de Laurent, des series formelles et des polynomes- Ideaux premiers et maximaux- Anneaux principaux, factoriels, euclidiens

3. Theorie des corps :- Caracteristique, extensions de corps, corps de decomposition- Extensions algebriques, transcendantes- Corps finis- Theorie de Galois

2.5.5 M54 Mecanique (Option 2)

(40CM+40TD=80)

- Cinematique des milieux continus.

Trajectoire, ligne de courant,champ des vitesses, derivee particulaire et deformation.

- Lois de conservation.

- Conservation de la masse, equation de continuite, conservation de la quantite de mou-vement (Thm), tenseur des contraintes, equations du mouvement.

- Lois de comportement - Solides elastiques problemes generaux de l’elasticite, energieelastique, formulation variationnelle d’un probleme d’elasticite, approximation des solu-tions

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2.6 SEMESTRE 6.

2.6.1 M61 Calcul Scientifique

(20CM+20TD+40TP= 80 )

- Resolution de systemes d’equations non lineaires. Point fixe (Newton, secante, corde).

- Methodes iteratives pour la resolution de systemes lineaires (Gauss-Seidel, Jacobi,gradient).

- Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres : methode QR et de puis-sance.

- Resolution numerique des EDO : problemes de conditions initiales et de conditions auxlimites, methodes a un pas (Euler), multi-pas (Adams), de Runge-Kutta.

2.6.2 M62 Calcul Differentiel

(40CM+40TD=80)

- Differentielle d’ordre un.

- Accroissements finis.

- Differentielles partielles.

- Fonctions implicites.

- Differentielle d’ordre deux.

- Taylor

- Extremalite.

- Equat. differentielles (Cauchy-Lipschitz).

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

Objectifs :- Renforcer la maıtrise par l’etudiant des methodes introduites dans le M31, en particulieren ce qui concerne l’analyse des fonctions d’un nombre fini mais arbitraire de variables :notions de continuite, de differentiabilite de Frechet et de Gteaux ; developpement deTaylor ; theoremes de la fonction reciproque, de la fonction implicite, du rang ; multipli-cateurs de Lagrange pour les extremas lies.- Sensibiliser l’etudiant au fait que la plupart des problemes “interessants” ou “naturels”n’admettent pas de solution explicite. Que mme si une telle solution existe elle estsouvent moins utile que les informations que l’on peut deduire d’une analyse qualitative(de l’utilite des estimations).- Connaıtre et savoir mettre en oeuvre les principales methodes de resolution des equationsdifferentielles ordinaires lineaires. Equations coefficients constants. Methode de Frobe-nius pour les equations du second ordre coefficients polynomiaux, discussions de quelquescas classiques (Bessel, hypergeometrique, ...).

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- Methode de separation des variables pour les equations aux derivees partielles lineairescoefficicients constants. Etude de quelques cas concrets (Laplace, Poisson, Fourier, ...).- Savoir determiner les symetries d’un probleme (equation differentielle, integrale mul-tiple) et adapter sa formulation en utilisant des systemes de coordonnees adaptes.

2.6.3 M63 Modelisation (Option 1)

(20CM+20TD=40)

- Sensibilisation aux thematiques developpees dans les laboratoires.

CPT (10CM+10TD=20)

1. IntroductionRSA, temps de calcul, Shor ; bits et operations classiques ; qubits et operationsquantiques

2. Complement d’algebre lineaireEtats et portes d’un qubit, Theoreme spectrale et decomposition en valeurssingulieres, matrices de Pauli, boule de Bloch ; produits tensoriels de vecteurs,operateurs

3. Axiomes de la mecanique quantique

4. Communication assistee par l’intricationno cloning, dense coding, teleportation

IMath (10CM+10TD=20)

1. Histoire de la conjecture de Fermat1. La conjecture de Fermat2. La conjecture de Shimura-Taniyama-Weila) Courbes elliptiquesb) Formes modulairesc) La conjecture de Shimura-Taniyama-Weild) Theoreme de Wilese) Fermat’s last theorem

2. Les grandes conjectures en Theorie des Nombres1. Syracuse2. Goldbach3. Catalan4. Nombres premiers jumaux5. Nombres de Fermat6. Nombres de Mersenne

3. Resultats elementaires1. Theoreme Fondamental de l’Arithmetique2. Infinitude des nombres premiers3. Sur les nombres de Fermat

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4. Sur les nombres de Mersenne

4. Quadratic reciprocity1. Residu class rings2. Fermat’s little theorem3. Quadratic residues4. Le symbole de Legendre5. Le symbole de Jacobi6. Loi de reciprocite quadratique

5. Tests de primalite1. Generalites2. Test de Solovay-Strassen

6. Cryptographie1. Cryptographie classique :Cesar, chiffrement affine, chiffrement de Vigenere, cryptanalyse.2. Cryptographie clef publique :RSA, factorisation des grands nombres, exponentiation rapide.3. Protocole d’echange de clefs de Diffie-Hellman

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

2.6.4 M63 Initiations aux meties d’enseignement (Option 2)

(12CM+28STAGE= 40)

- Realisation a l’IUFM

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

L’option 2 n’a pas ete realisee.

2.6.5 M64 Fonctions Analytiques (Option 1)

(40CM+40TD= 80)

-Fonctions d’une variable complexe.

-Series de puissance.

-Residus, thm. de Cauchy et applications.

-Series de Fourier.

-Transformation de Laplace.

-Applications aux equations differentielles.

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

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Un script complet est disponible sur http://pillet.univ-tln.fr/data/pdf/m65.pdf

1. Notion d’holomophie— Geometrie et topologie du plan de Gauss et de la sphere de Riemann— Calcul differentiel complexe— Courbes planes, formes differentielles et integrales complexes— Fonctions holomorphes et theoreme de Cauchy— Branches du logarithme, formule de Cauchy

2. Fonctions analytiques— L’anneau des series formelles— Analyticite et holomorphie— Principe du maximum— Fonctions entieres— Fonctions meromorphes et series de Laurent— Singularites essentielles— Theoreme des residus— Prolongement analytique

3. La transformation de Laplace— L’integrale de Laplace— La formule d’inversion de Mellin— Applications : systemes lineaires, decomposition spectrale, deconvolution

4. La transformation de Fourier— De Laplace a Fourier— La formule d’inversion de Fourier— Le theoreme de Plancherel— Applications : equations aux derivees partielles de la physique mathematique

2.6.6 M64 Mecanique des Fluides (Option 2)

(40CM+40TD=80)

- Equations : Euler, Navier-Stokes et formulation integrale.

- Fluide parfait incompressible : thm generaux, force exercee sur un obstacle.

- Fluide parfait compressible : propagation du son, ondes de choc, methode des ca-racteristiques.

- Fluides visqueux incompressibles : solutions exactes, approx. de couche limite, approx.de Stokes.

2.6.7 M65 Competences

2.6.7.1 Stage–Projet tuteure

Resume detaille pour l’annee 2015/2016

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Les projets :

1. Le concept d’entropie en probablilite et statistique

2. Resolution numerique de systemes dynamiques et preservation d’invariants.

3. Probabilite : Loi des logarithmes iteeres

4. Probabilite : Lois stables

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