André DANJON De l'Académie des Sciences et du Bureau des Longitudes

T A B L E S DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES VALEURS NATURELLES A 6 DÉCIMALES DE CENTIÈME EN CENTIÈME DU DEGRÉ NONAGÉSIMAL

Suivies de Tables de Conversion, d'une Table des Logarithmes des Nombres de 1000 à 9999,

et d'un Recueil de Formules et de Nombres Usuels

LIBRAIRIE HACHETTE 79, Boulevard Saint-Germain, PARIS

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. Copyright by Librairie Hachette 1948.

PRÉFACE

L E degré nonagésimal eSt certainement l'unité d'angle la plus universellement employée. Aucune | des subdivisions du quadrant qu'on a cherché à lui substituer ne semble destinée à prévaloir contre lui, et sa primauté paraît aujourd'hui mieux assurée que jamais. Il n'en eSt certes

pas de même de ses subdivisions sexagésimales, minutes et secondes, si étroitement associées au degré depuis l'antiquité, qu'on l'appelle couramment degré sexagésimal, sans que cette impro- priété de termes choque personne! On peut prédire, presque à coup sûr, leur remplacement à bref délai par les fractions décimales du degré, sauf quelques cas spéciaux où l'on conservera la minute et la seconde au titre d'unités auxiliaires.

L'usage des fractions décimales du degré a été proposé de longue date. L'une des premières grandes tables fondamentales, la Trigonometria Britannica de BRIGGS, imprimée à Gouda en 1633, donnait les valeurs des fonctions circulaires et de leurs logarithmes, de centième en centième de degré, avec 15 décimales pour le sinus, 14 pour son logarithme, 10 pour les autres quantités tabulées. C'est de beaucoup la plus correcte des tables fondamentales, celle de H. ANDOYER exceptée. La Trigonometria Artificialis de VLACH, publiée également à Gouda en 1633, lui était bien inférieure à cet égard. Elle donnait, avec 10 décimales, la dernière souvent fautive, les loga- rithmes des fondions trigonométriques de 10 secondes en 10 secondes. Moins correcte, mais mieux disposée que la table de BRIGGS, celle de VLACH lui fut généralement préférée; la plupart, sinon la totalité, des tables logarithmiques parues depuis plus de trois cents ans n'en sont que des extraits. Ainsi s'eSt perpétué l'antique mode de numération sexagésimal dont nous commençons à peine à nous libérer.

Après la Révolution Française, les physiciens et les astronomes qui, suivant l'exemple de Laplace, avaient adopté le grade centésimal, ne tardèrent pas à revenir au degré, aux minutes et aux secondes; ils eurent du moins la bonne idée de rejeter les tierces, quartes, etc., et d'utiliser les fractions décimales de la seconde, ainsi promue au rang d'unité secondaire. Dans certains cas, ils eurent même recours aux fractions décimales du degré : ainsi, pour la mesure des pouvoirs rotatoires, le calcul des éphémérides physiques, etc. Mais l'usage ne s'en eSt généralisé que tout récemment, l'emploi des machines arithmétiques l'ayant rapidement imposé. On s'eSt vite lassé des doubles conversions de fractions sexagésimales en fractions décimales et vice versa. Pour sim- plifier la tâche des bureaux de calculs et supprimer une cause d'erreurs, on tend à adopter défini- tivement le seul mode de numération compatible avec l'emploi des machines usuelles. Les tables trigonométriques en centièmes ou en millièmes de degré, ainsi que les instruments de mesure munis de verniers décimaux, connaissent une faveur grandissante.

La Librairie Hachette ayant décidé la publication d'une nouvelle Table Trigonométrique de Valeurs Naturelles, on a, après une enquête poursuivie auprès des principaux intéressés, adopté comme intervalle tabulaire une fraction décimale du degré nonagésimal. Le choix s'eSt fixé sur le centième de degré, de préférence au millième, pour réduire autant que possible le nombre de pages et le poids de l'ouvrage.

On a, d'autre part, porté à 6 le nombre des chiffres décimaux, pour assurer effectivement le dix-millième de degré, que les tables à 5 décimales, usuelles en France, ne permettent pas d'atteindre, pas plus qu'elles ne permettent d'atteindre à coup sûr la seconde sexagésimale. La présente table ne peut donc être interpolée à vue, mais les calculateurs disposant de machines arithmétiques se soucient peu du nombre des chiffres de la différence tabulaire : on emploie cou- ramment, aujourd'hui, des tables numériques dont la différence comporte 5 chiffres. Ceux qui, par nécessité, calculent encore à la plume, trouveront du reste une table de parties proportionnelles encartée dans le volume. Ils disposeront également d'une table des logarithmes des nombres à 6 décimales.

La table des sinus et des cosinus peut être interpolée linéairement dans toute son étendue. Celles des tangentes et des sécantes peuvent l'être aussi de 0° à 75°,8. Au delà, il faut tenir compte de la différence seconde (voir les Instructions) ; pour les angles très voisins de 90°, on aura recours à des tables auxiliaires (voir les Instructions). Au surplus, il est rare que l'on ait besoin, dans ces cas exceptionnels, de 6 chiffres décimaux; si l'on se contente de 6 chiffres significatifs exacts, l'interpolation linéaire reste légitime jusqu'à 87°, au moins.

La présente table est extraite d'un manuscrit à 10 décimales. Les épreuves en ont été soigneu- sement comparées à la Trigonometria Britannica, de BRIGGS, et, pour les angles de 5 en 5 centièmes de degré, aux Nouvelles Tables Fondamentales de H. ANDOYER. Les différences tabulaires ont été vérifiées par sommation.

Je remercie M. le Professeur Ronald A. FISHER et M. le Docteur Frank YATES, ainsi que MM. OLIVER et BOYD, Éditeurs à Edimbourg, qui ont autorisé la reproduction des tableaux de la page 126, extraits des Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research.

A. D.

TABLE DES MATIÈRES

Préface 1 Instructions pour l'emploi des Tables 3 Tables des fondions G et H. Interpolation 5 Tables Trigonométriques à 6 décimales Tables de Conversion 9 Table des Logarithmes des Nombres de 1 000 à 9 999, à 6 décimales.. 100 Abaque pour les différences secondes • 1I8 Formules usuelles 119 Nombres usuels Statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " ' 125

INSTRUCTIONS pour l'usage des Tables

Les valeurs naturelles des 6 fondions trigonomé- triques sont données dans l'ordre habituel : sinus, cosécante, tangente, cotangente, sécante, cosinus, avec 6 chiffres décimaux, de centième en centième de degré. Pour le sinus, la tangente et le cosinus, seule la partie décimale figure dans la table.

On peut interpoler linéairement les Tables du sinus et du cosinus dans toute leur étendue, ainsi que celles des tangentes et des cosécantes des angles inférieurs à 75°,80, et celles des cotangentes et des sécantes des angles supérieurs à 14°,20.

L'interpolation par la formule de Newton (voir page 124), limitée aux différences secondes, est légi- time pour la tangente et la cosécante de 750,80 à 87°,3 5, et pour la cotangente et la sécante de 20,65 à 14°,20. L'emploi de la formule de Bessel permet d'accroître ces intervalles de 1°,10 : il est légitime, en effet, jusqu'à 88°,45 dans le premier cas, et dès 1°,5 5 dans le second. Les Tables des facteurs d'interpola- tion se trouvent page 5. La correction aura toujours pour effet de diminuer la valeur numérique donnée par l'interpolation linéaire.

Lorsque le terme correctif dépendant de la diffé- rence seconde n'excède pas 50 unités du sixième ordre, sa valeur peut être lue directement, à une unité près, sur l'abaque de la page 118. On marque la valeur de l'angle sur la graduation supérieure, celle de la fraction complémentaire sur la graduation en bas à droite; un fil tendu entre ces deux points marque, sur le diamètre gradué, la valeur de la quantité qu'il faut retrancher du résultat de l'interpolation linéaire.

On peut obtenir avec 6 décimales exactes la valeur de la tangente ou de la sécante d'un angle compris entre 87° et 90°, ou celle de la cotangente ou de la cosécante d'un angle inférieur à 3°, en faisant usage de la Table des fondions auxiliaires G et H (H. An- doyer, Nouvelles Tables Fondamentales) (page 5), grâce aux relations :

La Table des Logarithmes des nombres n'appelle qu 'une seule remarque : les quantités portées dans la colonne de droite sont les différences tabulaires D calculées entre les colonnes 4 et 5. Pour passer de là aux autres différences, il suffira de calculer mentale- ment le chiffre de leurs unités.

Les Tables de conversion permettent de passer des fractions sexagésimales aux fractions décimales, et des heures aux degrés, ou vice versa.

Une table des Parties proportionnelles est encartée dans ce volume. Elle donne, sur une même ligne, les produits de la différence tabulaire par les fadeurs 0,1 ; 0,2; etc...; 0,9.

INSTRUCCIONES para el empleo de las Tablas

Los valores naturales de las seis funciones trigono- métricas estàn dadas en el órden habitual : seno cosecante, tangente, cotangente, secante, coseno, con 6 cifras decimales, de centesimo en centésimo grado. Por lo que se refiere al seno, la tangente y el coseno, ùnica- mente la parte decimai figura en la tabla.

Se puede interpolar linearmente las Tablas del seno y del coseno en toda su extensión, del mismo que las de las tangentes y 'cosecantes de los àngulos inferiores a 750,80, y las de las cotangentes y de las secantes de los àngulos superiores à 14°,20.

La interpolación por la fórmula de Newton (véase pàgina 124), limitada a las diferencias segundas, es • legítima para la tangente y la cosecante de 75°,80 a 87°,35, y para la cotangente y la secante de 20,65 é 140,20. El empieo de la fórmula de Bessel permite acrecentar estos intervalos en 1°,10 : es legítimo en efecto, hasta los 8 80,45 en el caso primero, y dcsde 1°,5 5 en el segundo.

Las tablas de los factores interpolados se encuentran en la pàgina 5. La corrección tendrà siempre por efecto el disminuir el valor numerico dado por la interpolación lineai.

Cuando el término correctivo dependiente de la diferencia segunda no exceda en cincuenta unidades del sexto orden, su valor podrà leerse directamente, sobre poco mas o menos de una unidad, en el àbaco de la pàgina 118. Se senala el valor del àngulo sobre la graduación superior y la de la fracción comple- mentaria sobre la graduación abajo, a la derecha; un hilo tenso entre estos dos puntos senala, en el dià- metro graduado, el valor de la cantidad que hay que sustraer del resultado de la interpolación lineal.

Se puede obtener con 6 decimales exactos el valor de la tangente o de la secante de un àngulo compren- dido entre 870 y 90°, o el de la cotangente o de la cose- cante de un àngulo inferior a 30, valiéndose de la Tabla de funciones auxiliares G y H (H. Andoyer, Nouvelles Tables Fondamentales) merccd a las relaciones

En cuanto a la Tabla de Logaritmos de los números, una sola advertencia : las cantidades inscritas en la columna derecha son las diferencias tabulares calcu- ladas entre las columnas 4 y 5. Para pasar de éstas a las otras diferencias basta calcular mentalmente la cifra de sus unidades.

Las tablas de conversión permiten pasar de las fracciones sexagesimales a las fracciones decimales, y de las horas a los grados, o vice versa.

Una tabla de Partidas proporcionales figura en este volumen, que nos presenta, en una misma linea, los productos de la diferencia tabular por. los factorcs 0,1 ; 0,2; etc... ; 0,9.

DIRECTIONS for the use of the Tables

The natural values of the 6 trigonometrical functions are given in the usual order : sine, cosecant, tangent, cotangent, secant, cosine, with six decimal figures, hundreth by hundreth of degree. For the sine, tangent and cosine, the decimal part only is given in the table.

The tables of the sine and cosine may be interpo- lated in their whole extent, as well as those of the tan- gents and cosecants of the angles under 75°·80 and those of the cotangents and secants of the angles above 14°- 20.

The interpolation by Newton's formula (see page 124) confined to the second differences is legitimate for the tangent and cosecant from 75°· 80 to 87°.35, and for the cotangent and secant from 20-65 to 14°-20. By using Bessel's formula, one may increase those intervals of 1°·10, for it is allowed up to 88°.45 in the firSt case, and right from Io - 5 5 in the second. The tables of the interpolation factors may be found page 5. The result of the correction will always be to lessen the numerical value obtained by linear interpolation.

When the correction term depending on the second difference does not exceed 5 0 units of the sixth decimal place, its value may be read directly, to the nearest unit, on the abacus of page 118. We illustrate its use by an example. For cot 2°'4327, join 2°-43 on upper graduation to -27 on lower graduation by a thread. The point where the thread crosses the graduated diameter gives the value of the quantity which is to be substracted from the result of the linear interpolation.

The value of the tangent or secant of an angle comprised between 87° and 90°, or that of the cotangent or of the cosecant of an angle under 30, may be obtained, to 6 decimal figures, by using the Table of auxiliary functions G and H (H. Andoyer, Nouvelles Tables Fondamentales) by the relations :

Concerning the Logarithm Table of numbers, one remark only is necessary : the quantities noted in the right hand column D are the tabular differences reckoned between column 4 and 5. The differences between other columns for the same line can be read at once from the last figures.

The conversion Tables enable one to pass from sexagesimal fractions to decimal ones, and from hours to degrees or vice versa.

A table of Proportional Parts is inserted in this volume. It gives, on one line, the products of the tabular difference multiplied by the factors o • i; 0-2; etc...; 0.9.

ANWEISUNG zum Gebrauche der Tafeln

Die natürlichen Werte der 6 trigonometrischen Funktionen werden in der üblichen Reihenfolge : Si- nus, Cosekante, Tangente, Cotangente, Sekante, Cosi- nus, nach Gradhundertsteln mit sechs Dezimalstellen angegeben. Von Sinus, Tangente und Cosinus gibt die Tafel nur den Dezimalbruch.

Die Tafeln des Sinus und des Cosinus lassen sich in ihrem ganzen Umfange linear interpolieren, ebenso verhält es sich mit den Tafeln der Tangenten und Co- sekanten der Winkel kleiner als 75°,80 und denjenigen der Cotangenten und Sekanten der Winkel grös- ser als 14°,20.

Zulässig ist für Tangente und Cosekante zwischen 750,80 und 87°,35, sowie für Cotangente und Sekante zwischen 2°,65 und 14°,20 die Interpolation nach der Newton'schen Formel mit Differenzen zweiter Ordnung. Die Anwendung der Bessel'schen Formel ermöglicht eine Erweiterung dieser Intervalle um 1°,10, da sie im ersten Falle bis auf 88, °45 und im zwei- ten Falle von 1°,55 ab anwendbar ist. Die Tafel der Interpolationsfaktoren findet man auf Seite 5. Die Berichtigung ergibt immer eine Verminderung des durch lineare Interpolation erzielten numerischen Wertes.

Übersteigt die von der Differenz zweiter Ordnung abhängige Berichtigung keine 50 Einheiten der sechsten Stelle, so kann man deren Wert mit Annähe- rung zur nächsten Einheit direkt vom Abakus Seite II8 ablesen. Man notiert den Wert des Winkels an der oberen Teilung, den des Bruchteils rechts an der unteren; ein zwischen beiden Punkten gespannter Faden gibt am graduierten Durchmesser den Wert an, den man vom Resultate der linearen Interpolation abzuziehen hat.

Mit Anwendung der Tafeln der Hilfsfunktionen G und H (H. Andoyer, Nouvelles tables fondamentales) und im Sinne der Gleichungen:

kann man den Wert der Tangente oder der Sekante eines Winkels zwischen 87° und 90° sowie der Cotan- gente oder der Cosekante eines Winkels unter 3° auf sechs Dezimalstellen genau erhalten.

Zum Gebrauche der Logarithmentafel der Zahlen sei nur eines bemerkt: die in der ersten Spalte angegebe- nen Grösse sind die Differenzen D zwischen Spalte 4 und 5. Um die anderen Tafeldifferenzen zu erhal- ten wird es dann genügen ihre Einerziffer im Kopfe auszurechnen.

Die Umrechnungstafeln ermöglichen den Ubergang von den Sexagesimalbrüchen zu den Zentesimalbrü- chen sowie von den Stunden zu den Graden, oder umgekehrt. Diesem Bande ist eine Tafel der Proportionalteile hinzugefügt. Sie gibt auf einer Zeile die Produkte der Multiplikation der Tafeldifferenz mit den Fak- toren 0,1 ; 0,2, u. s. w...; 0,9.

Page 5

TABLES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Table des fonctions G et H

Parties proportionnelles

Table du facteur d'interpolation

Parties proportionnelles

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