Tarification, discrimination et contournement

3 4 8 pp. 348-358

Nicolas CURIEN * Bruno JULLIEN ** Patrick REY ***

Tarification, discrimination et contournement

R6sum6

Cet article analyse sur un exemple la politique optimale de discrimination par les prix pour un op6ra- teur de r6seau local de t~l~communications, en situation de monopole sur ce r~seau local mais faisant face ,~ des concurrents disposant d'une technologie de contournement (bypass), plus efficace pour les clients les plus importants. Apr~s un bref survol des travaux sur la discrimination par les prix, la politique tarifaire optimale est caract~ris6e ~ titre de r6f~rence dans un cadre simple, lorsque l'op~rateur local est en monopole pur sur 1' utilisation des deux technologies (r~seau local et contournement). Les auteurs analysent ensuite l'impact de l' introduction de la concurrence sur la technologie de contournement, d6terminent la politique tarifaire optimale et pr6sentent quelques 6l~ments de statique comparative.

Mots cl6s : Exploitant t616communication, R6seau local raccordement, Tarification, Monopole, Concurrence, Optimisation 6conomique, Structure non lin6aire, R6seau interurbaln.

we consider a monopoly facing no threat of competition and having access to two distinct technologies : the network technology and the bypass technology, which is more efficient for reaching large individual customers. We then study competition between bypassors and the original network operator. We characterize the optimal tariff, analyze the resulting allocation and provide comparative statics.

Key words : Telecommunication operator, Local network, Pricing, Monopoly, Competition, Economic optimization, Non linear structure, Trunk network.

Sommaire

I. Introduction. II. Tarification non lin~aire et contournement.

III. Monopole pur. IV. Monopole face ~ la concurrence

sur la technologie du contournement. V. Conclusion.

Appendice. Bibliographie (38 r~f ).

TARIFICATION, DISCRIMINATION AND BYPASS

Abstract

This paper illustrates on an example the optimal (nonlinear) pricing policy by a monopolistic operator of a local telecommunications network facing competition in the market for access to long distance carriers (bypass). We siart by providing a brief overview of the literature on non-linear pricing and on bypass. As a benchmark,

I. INTRODUCTION

L'objet de cet article est d'analyser la situation de concurrence qui, dans le r6seau local de t616communi- cation, r6sulte du contournement, c'est-~-dire de l'acc~s direct des op6rateurs de trafic t616phonique ~ longue distance ~ certains consommateurs.

* Conservatoire national des arts et m6tiers, 2, rue Cont6, F-75003 Paris, et Laboratoire d'6conom~trie de l'Ecole polytechnique, 1, rue Descartes, F-75005 Paris, France. ** CREST-LEI et CNRS, 242, avenue Marx Dormoy, F-92120 Montrouge, France. *** CREST-EEl et CNRS EP 40, 242, avenue Marx Dormoy, F-92120 Montrouge, France.

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Le haut degr6 de concentration des recettes de trafic - un faible pourcentage de consommateurs rEalisant une fraction importante du chiffre d'affaires - ainsi qu'un progr~s technique rapide, rendent aujourd'hui le contournement extr~mement rentable, et menaqant pour la viabi- litE des opErateurs locaux. Ainsi, aux Etats-Unis, privEes d'une part significative des charges d'acc~s payees par les oprrateurs ~ longue distance, et soumises a une obligation de service universel, les compagnies tel& phoniques locales rencontrent de sErieuses difficultEs sur leur march6 traditionnel. Elles tentent de surmonter ces difficultEs par une politique active d'investissement en Europe ou dans les pays en voie de dEveloppement, et en exerqant une pression pour intervenir sur d'autres seg- ments de l'industrie domestique du tElEphone, tels que le trafic h longue distance, la construction d'Equipements, ou les services d'information.

I1 convient de noter que le terme contournement peut rev&ir des acceptions diffErentes. Au sens le plus strict, le contournement signifie l'auto-fourniture, par un consommateur isolE, ou par un groupe de consommateurs, d'un acc& direct h u n opdrateur ~t longue distance. Selon une acception plus large, le contournement comprend Egalement l'offre d'un tel acc& direct par un opErateur, y compris par la compagnie locale, si elle dispose de la technologie correspondante. Enfin, d'une mani~re tr~s gEnErale, le contournement peut &re dEfini comme une entree concurrentielle sur un segment de marchE d'un monopole non soutenable : il n'est pas alors confine au rdseau local et peut aussi intervenir sur le rEseau ~t longue distance, sous la forme d'un EcrEmage du trafic sur les axes les plus rentables. Dans cet article, on ne consid~rera que la definition intermEdiaire, restreinte au rEseau local, mais incluant la fourniture du contournement sur le march& Ce type de contournement correspond h une concurrence intermodale sur le rEseau local, dans la mesure o~ il mobilise des technologies

- faisceaux hertziens, lignes d'abonnEs en fibre opti- que - qui sont diffrrentes de la technologie utilisEe dans l'arborescence classique de la distribution tE1Ephonique (paires de cuivre, cables).

Le contournement pose h l'opErateur local et au rEgulateur une sErie de questions. Quel est le degrE optimal du contournement? L'opErateur local dominant doit-il &re autoris6 ~t fournir le contournement ? Quelle est la stratEgie tarifaire qui dissuade le contournement inefficace et autorise le contournement efficace ? Notons que l'efficacitE s'entend ici comme la maximisation de la fonction-objectif de l'opErateur local rEglementr, pondEration de second rang du surplus collectif et du profit, dans laquelle le poids attribuE au profit revile la tension de la contrainte budgEtaire.

Puisque le contournement attire les gros consommateurs, le tarif optimal est nEcessairement non linEaire, de mani~re ~ proposer des prix marginaux modErrs aux consommateurs qui doivent &re maintenus dans le rEseau pour des raisons d'efficacit6 et qui, sans cela, choisiraient de recourir au contournement. En consequence, l'analyse Economique du contournement se rapporte &roitement ?a la littErature sur la tarification

non linEaire, dont elle reprrsente en fait un aspect particulier. I1 sera donc utile de se rEfErer ~ cette littErature.

Dans la section II, nous dressons un bref panorama de la littErature sur la tarification non linEaire et le contoumement, et situons notre approche par rapport ~t cette littErature. Dans la section III, nous prEsentons les hypotheses du module et traitons, ~t titre de point de rEfErence, le cas d'un monopole pur disposant des deux technologies, classique et de contoumement. Dans la section IV, nous Etudions deux situations concurren- tielles a priori distinctes, selon que l'opErateur local a acc& ou non ~ la technologie de contournement; il s'av~re que ces deux situations sont en fait 6quivalentes et donnent lieu a la mEme tarification optimale. Dans la conclusion, les principaux rEsultats de l'article sont discutEs, dans une perspective stratrgique.

II. TARIFICATION NON LINI~AIRE ET CONTOURNEMENT

Depuis [Coase, 1946] (*), les Economistes ont consi- dErE les tarifs binrmes comme un moyen, pour un monopole public, de tarifer l 'usage ?~ son cofit marginal, tout en recouvrant les cofits fixes de l'acc~s ~ l'infrastructure. Le tarif de Coase incite effectivement h une consommation efficace et conduit m~me ~ l'efficacitE maxi- male, lorsque la prime fixe n'exclut aucun consommateur; dans le cas contraire, cependant, il crEe des dis- torsions d'acc~s [Oi, 1971], [Ng et Weisser, 1974], ainsi que [Schmalensee, 1981], ont dEveloppE la thEorie des tarifs bin6mes, sous l'hypoth~se que la demande peut &re represent& comme un continuum de consommateurs, ordonnE selon un seul param&re. [Feldstein, 1972] et [Auerbach, Pellechio, 1978] ont traitE le cas d'un ensemble discret de consommateurs. [Mussa et Rosen, 1978] ont EtudiE la tarification de produits diffErencirs et [Maskin et Ryley, 1984] ont transpose l'analyse des prEcEdents au cas d'une discrimination par la quantitE plutrt que par la qualitE.

L'approche de Schmalensee est la plus pertinente dans le contexte des tElEcommunications, car cet auteur consid~re non seulement un cofit fixe global, mais Ega- lement un cofit d'acc~s sEparE pour chaque consommateur. Le rEsultat principal est que le tarif bin6me optimal, qui rend le surplus collectif maximal sous la contrainte budg&aire, est caractdrisE par un Ecart entre le prix marginal de l'usage ou de l'acc~s et le cofit marginal correspondant : pour l'usage, l'Ecart cro~t avec la difference entre les consommations respectives de l 'usager moyen et de l'usager marginal, et il varie en proportion inverse de l'ElasticitE par rapport au prix de la consom-

(*) Cette section s ' inspire largement de l ' intrressant aperqu rralis6 par [Mitchell et Vogelsang, 1991].

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mation; pour l'acc~s, l'6cart est inversement proportion- nel ?~ l'61asticit6 du prix de la participation de l'usager marginal. Le prix de l'usage est g6n6ralement au-dessus du coot, et le prix de l'acc~s en dessous, mais il peut ~tre optimal de tarifer l'usage en dessous de son coot, lorsque les courbes individuelles de demande se croisent, c'est-g-dire lorsque l'ordre dans lequel se rangent les demandes des consommateurs n'est pas le m~me quel que soit le prix. Enfin [Einhom, 1990] examine l'impact des effets de club (externalit6s positives d'acc~s et d'usage) sur le tarif bin6me optimal. I1 montre que les extemalitEs d'acc~s tendent ~ r6duire le tarif d'acc~s, parce que les usagers existants sont dispos6s g payer pour le raccordement de nouveaux usagers, et donc

augmenter le tarif d'usage afin d'assurer l'6quilibre budg6talre. Les extemalit6s d'usage tendent cependant ~t mod6rer cette hausse, puisque les usagers appel6s sont dispos6s ~ payer pour les appels qu'ils reqoivent.

Les tarifs bin6mes peuvent &re utilis6s comme 616- ments de base dans des structures tarifaires plus com- plexes : les menus de tarifs bin6mes optionnels et les tarifs non lin6aires ~t plusieurs branches. Dans le premier cas, chaque consommateur s61ectionne un tarif bin6me parmi ceux qui lui sont propos6s; dans le second, des tranches de consommation sont pr6d6finies et la facture est une fonction affine du prix dans chaque tranche. Ces tarifs ont 6t6 6tudi6s par [Faulhaber et Panzar, 1977], [Willig, 1978], [Ordover et Panzar, 1980] et [Sharkey et Sibley, 1991]. Sous l'hypoth~se que les demandes individuelles ne se croisent pas, et que la distribution des consommateurs est suffisamment rigulidre, les principaux rfsultats sont les suivants. Le tarif multibranches optimal est concave, et il est donc 6quivalent ~ un menu de tarifs bin6mes optionnels, au sein duquel les plus gros consommateurs choisissent le tarif pr6sentant la prime d'acc~s la plus forte et le prix marginal le plus faible. Un tarif ~t n branches peut ~tre calibr6 de mani~re ~t r6a- liser l'autos61ection de n classes distinctes de consommateurs; dans un tel tarif, la pente de chaque branche est sup6rieure au coot marginal de l'usage, et s'en rapproche lorsque la consommation augmente. Les tarifs optionnels sont clairement plus favorables aux gros consommateurs qu'aux petits, et cela reste vrai si des poids sont intro- duits dans la fonction-objectif de bien-&re, en raison de la concavit6 du bar, me tarifaire : si les poids les plus forts sont attribu6s aux gros consommateurs, alors il se peut m~me que ces derniers b6n6ficient d'un prix marginal inf6rieur au coot marginal, tandis que les petits consommateurs sont exclus et voient donc leur surplus r6duit ~ z6ro.

G6n6ralisant les tarifs multibranches, les tarifs non lin6aires continus ont 6t6 6tudi6s par [Goldman, Leland et Sibley, 1984], [Mirman et Sibley, 1980] e t [Wilson, 1989]. Pour comprendre le m6canisme de ces tarifs, il est utile de consid6rer les tranches incr6mentales de consommation [q, q + dq]. Soit N(p, q) le nombre des consommateurs qui achdtent au moins la quantit6 q sous le prix p. Alors, N(p, q)dq est le nombre des unit6s consomm6es dans la tranche 616mentaire [q, q+dq], sous un tarif non lin6aire tel que le prix marginal associ6

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cette tranche soit p. La fonction N(p, q) est appe- 16e profil de d~rnande, de mani6re a la distinguer de la fonction de demande ordinaire, dont elle est issue. Le tarif non lin6aire continu optimal n'est autre que le tarif de Ramsey-Boiteux correspondant ?~ cette segmen- tation du march6 en tranches de consommation infinit6si- males : au voisinage du niveau de consommation q, le prix marginal p(q) excbde le coot marginal en proportion inverse de l'61asticit6 par rapport au prix du profil de demande, c'est-h-dire de la propension des consommateurs consommant exactement la quantit6 q ~ quitter la classe [q, q + dq], dans laquelle ils sont marginaux, lorsque le prix p(q) augmente. Pour le plus haut niveau de consommation, l'61asticit6 par rapport au prix du profil de demande est infinie, puisque le seul consommateur pr6sent ~ ce niveau le quitte, en r6duisant sa consommation sous une augmentation du prix marginal; il en r6sulte que, pour le plus gros consommateur, le prix marginal est 6gal au coot marginal.

Les aspects dynamiques et les extemalit6s de club sous une tarification non lin6aire, discr6te ou continue, ont 6t6 trait6s par [Dhebar et Oren, 1985a et b], [Xie et Sirbu, 1988] et [Woroch, 1989], de manibre rendre compte de la trajectoire de croissance d'un r6seau. L'6tude de la convergence du r6seau vers un 6tat d'6qui- libre stable est alors formul6e comme un probl~me de contr61e optimal~ avec r6troaction positive de la p6n6tra- tion de l'offre sur la demande.

Dans le cas des monopoles multiproduits, la ques- tion de latarification non lin6aire devient plus complexe. Elle a 6t6 abord6e par [Mirman et Sibley, 1980], [Wil- son, 1989] et [Srinagesh, 1990]. Les r6sultats obtenus pour un monopole monoproduit s'6tendent de mani~re naturelle lorsque les consommateurs ach~tent les produits dans des proportions fixes, c'est-g-dire lorsque les produits sont li6s; dans le cas contraire, des difficult6s proviennent de l'impossibilit6 d'ordonner totalement les usagers selon leurs vecteurs de consommation. C'est pourquoi le cas des services li6s a 6t6 examine en prio- rit6 : on montre qu'une offre li6e peut augmenter les profits du monopole lorsque d'autres formes de discrimination ne sont pas autoris6es, si bien que cette pratique peut ~tre observ6e, mame en l'absence d'6conomies d'enver- gure ou de compl6mentaritfs de consommation entre produits (cf [Adams et Yellen, 1976], [Schmalensee, 1984] et [McAffee, McMillan et Whinston, 1989]).

Peu d'auteurs se sont aventur6s dans l'univers des tarifs non lin6aires lorsque la structure de march6 est oligopolistique, et non plus monopolistique. Deux travaux m6ritent cependant d'etre mentionn6s : d'une part, l'analyse de [Carbajo, de Meza et Seidman, 1990], qui tente de g6n6raliser ~ des situations de concurrence ?t la Bertrand ou h la Coumot les r6sultats sur l'offre li6e d'un monopole; d'autre part, l'article de [Oren, Smith et Wilson, 1983], qui 6tudie la tarification non lin6aire dans un oligopole de Cournot symftrique (chaque firme consid6rant comme donnEes les quantit6s achet6es ~ ses concurrents dans chaque tranche de consommation, et maximisant son profit par rapport h la demande r6si- duelle). Plus r6cemment, [Stole, 1990] et [Martimort,

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1992] ont men6 une analyse thOorique du probl~me multiprincipal/agent. [Faggart, 1991] et [Biglaiser et Mezetti, 1992] ont 6tudi6 des jeux de concurrence ~ la Bertrand portant sur des propositions de contrats pour des produits homog~nes. Enfin, [Champsaur et Rochet, 1989], [Stole, 1992] et [Ivaldi et Martimort, 1992] se sont intOressOs h la concurrence en prix non linOaires pour des produits diffOrenciOs.

Le contournement, auquel est consacrOe la suite de cet article, peut ~tre rang6 au sein de la littOrature traitant de la tarification non linOaire dans un contexte concurrentiel. Les contributions thOoriques sur ce sujet sont cependant jusqu'ici relativement peu nombreuses. [Einhorn, 1987] consid~re la situation d'une compagnie tOlOpho- nique locale exposOe h la concurrence d'un opOrateur de contoumement, disposant d'une technologie au coot fixe de connexion plus 61ev6 mais au coot marginal de trafic plus faible; la firme en place n 'a pas acc~s ~ la technologie de contournement. Malgr6 quelques imper- fections dans le traitement mathOmatique de son module, il obtient deux rOsultats qui sont validOs par notre propre analyse : d'une part, il est socialement efficace de servir les plus gros usagers au moyen du contournement; d'autre part, le prix consenti ~ l 'usager marginal du rOseau - ~ la limite du contournement - est infOrieur au coot marginal encouru pour 6couler le trafic de cet usager. [Einhorn, 1990] 6tend l'analyse prOcOdente en intro- duisant une asym6trie d'information sur les coots, entre la compagnie locale et le rOgulateur. Dans cette lignOe, [Laffont et Tirole, 1990] proposent un traitement complet des asymOtries d'information, en considOrant que le rOgulateur connalt imparfaitement, non seulement les coots, mais aussi la demande; dans le cadre d'un module ne comprenant que deux types de consommateurs, ils montrent que - parce qu'elle augmente le coot vir- tuel de la firme rOglementOe - l'asymOtrie d'information entraine un excOdent de contournement et que les firmes les plus efficaces - en choisissant les contrats de rOgle- mentation les plus incitatifs - sont les mieux arm6es pour lutter contre le contournement inefficace.

Dans la suite de cet article, nous ne consid6rons pas d'asymOtries d'information. Nous reprendrons en revanche le travail initial d'[Einhorn, 1987], en le pro- longeant darts deux directions, l 'une thOorique, l'autre stratOgique. Le prolongement thOorique consiste h fournir un traitement mathOmatique complet et rigoureux de la dOtermination du bar,me non linOaire optimal, sous des hypothOses raisonnables; il s'agit en fait d'un problbme de contr61e optimal non convexe, rOclamant un traitement de fin des discontinuitOs de la fonction de consommation. Le prolongement stratOgique consiste h examiner sur un exemple deux situations alternatives : d'abord, celle d'un monopole pur disposant de la technologie classique et de la technologie de contournement; ensuite celle d'un monopole faisant face ~ la concurrence d'entrants offrant la technologie du contourne- merit. Nous donnerons une caractOrisation complete des tarifications optimales et comparerons les deux situations. Finalement, nous 6tudierons la statique comparative du module avec concurrence.

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III. MONOPOLE PUR

III.1. Le module.

Le cadre utilis6 est le suivant. Un rOseau local de t616communication sert une population de consommateurs, de masse totale normalis6e ~ l'unitO. Chaque consommateur est infinitOsimal et caractOris6 par un param~tre 0 : un consommateur de type 0 obtient une utilit6 nette U = 20x/~ - P quand il consomme une quantit6 q pour une facture totale de P (*). Pour fixer les id6es, le param~tre 0 est suppos6 uniformOment dis- tribu6 sur [0, 1].

Le r6seau est exploit6 par un monopole put, qui dispose de deux technologies pour servir chacun des consommateurs. La premiere technologie (le rdseau) prOsente seulement un coot unitaire constant pour chaque unit6 consommOe, tandis que la seconde technologie (contournement) comprend un coot fixe de connexion du consommateur et un coot unitaire constant (plus faible que le prOc6dent) par unit6 consommOe; la seconde technologie est donc plus efficace pour les clients les plus importants (0 proche de 1). Plus prOcisOment, le coot pour un consommateur consommant une quantit6 q est :

- - cq avec la technologie de rOseau, - - cq/a + f avec la technologie du contoumement,

a v e c f > O e t a > l . Pour chaque consommateur, la fonction de coot est

donc C(q) = min{cq, cq/a + f } ; nous noterons qe le niveau critique de consommation tel que cqe = cqe/a + f , au-delh duquel la technologie du contournement est la plus efficace des deux technologies.

111.2. Information complete.

Dans un contexte d'information complete, l'opOra- teur peut parfaitement discriminer et extraire la tota- lit6 du surplus de chacun des consommateurs (via par exemple un tarif personnalis6 P(q) = 2 0 v ~ ; maximiser les profits revient donc ~ maximiser pour chaque consommateur 0 le surplus total S(O, q) = 20x/-~-C(q). Nous noterons par S FB (0) le niveau de surplus (et donc, ici, de profit) correspondant, dit de premier rang (first best), et par qrB (0) le profil de consommation associO. Nous dOfinissons aussi :

S(O) = max{2Ovr~ - cq} = OZ/c, q

S(0) = max{20x/~ - cq/a - f } = a 0 2 / c - f . q

(*) La quantit6 q doit ~tre interprOt6e comme l'index d 'un bien composite, reflOtant notamment le nombre de lignes louOes et le nombre et la durOe des tOlOcommunications.

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I1 est clair que tousles consommateurs sont servis, et que la technologic de r6seau est utilis6e (pour servir les consommateurs de type 0 proche de 0); nous supposerons que la technologic du contournement est 6galement utilis6e (pour les consommateurs de type 0 proche de 1) :

H1 : S(1) > S(1), soi t : a > 1 + fc.

Sous H I , les consommateurs de type inf6rieur 0 FB = v / f c / ( a - 1), d6fini par S(0 FB) = s(0FB), sont servis par la technologie de r6seau, tandis que les autres sont servis par la technologic du contournement; de plus, 0 < 0 FB < 1, e t :

qFB(O) = (OIc) 2, SFB(O) = 021

pour 0 < 0 < 0 FB,

q F ' ( o) = ( Olc) S " (o) = - f pour I > O > 0 rB .

111.3. Information incomplete.

Nous supposerons maintenant, et dans tout ce qui suit, que l 'op6rateur ne connalt pas le type de chacun des consommateurs, mais seulement leur distribution. Sans perte de g6n6ralit6, nous supposerons que l 'op6rateur propose un tarif P (q) (P'(q) repr6sentant done le prix, au sens habituel du terme, d 'une unit6 additionnelle). Un consommateur de type 0 choisit alors un niveau de eonsommation q(O) = a r g m a x { 2 0 x / q - P(q)}, et

q

obtient une utilit6 nette U(O) = 20 q~/-q---~ - P(q(O)). De mani~re 6quivalente, l 'op6rateur peut proposer un m6canisme de r6v61ation, que l 'on peut repr6senter soit comme une famille de couples quantit6/tarif, (q(O), P(O))O C [0, 1], ou comme une famille de couples quantit6/utilit6, (q(O), U(O))O E [0, 1], satisfaisant les conditions d'incitations suivantes :

(IC) U(O) est absolument continue,

U'(O) = 2X/- ~ presque partout,

q(O) est croissante.

Le probl~me pos6 h l 'op6rateur revient done h choisir le profil (q(O), U(O))O E [0, 1] de fa~on ~ maximiser l 'esp6rance de profit, soit :

/o 1 w = {2ov/ - C(q(O)) - u(0 )} d0,

sous les contraintes (IC) et la contrainte de participation U(O) >_ O. Comme les contraintes d'incitation ne sont pas affect6es par une diminution uniforme de U(O), et que l 'objectif de l 'op6rateur le conduit h vouloir mini- miser l 'esp6rance de U(O), la eontrainte de participation doit 6tre satur6e pour au moins l 'une des valeurs du param6tre 0. Comme par ailleurs les contraintes d' incitation impliquent que l'utilit6 U(O) crolt avec 0, c 'est n6cessairement pour 0 = 0 que cette contrainte doit 6tre


satur6e. En utilisant (IC) et U(0) -- 0, on peut alors r66crire l 'objectif de l 'op6rateur comme suit :

/o 1 W = {2(20 - 1)V ~ - C(q(O))} dO.

On v6rifie imm6diatement que la solution de ce programme, qm(O), est donn6e par (*) :

qm(O) : 0 si 0_< 1/2

[(2o - 1)/c] 2

[a(20 - 1)/c] 2

si 1/2 < 0 _<

(1 + x / f c / ( a - 1)) /2

si

(1 + x//fc/(c~ - 1)) /2 < 0 < 1.

D6finissons le param&re correspondant au monopole _0 m ~ 1/2, 0 TM ~ (1 + x / fc / (a - 1))/2. On a : 0 FB < 0 TM < 1 et _0 m > 0, e t l 'on vdfifie que les consommateurs de type 0 < 0_ m s o n t exclus, que ceux de type 0 compris entre _0 TM et 0 TM sont servis par la technologic de r6seau, et enfin que ceux de type 0 sup6rieur ~t 0 m sont servis via la technologic du contournement.

Cette solution v6rifie le r6sultat standard de sous- consommation (qm(O) < qFB(0) pour 0 < 1) et peut &re mise en oeuvre par un tafif P(q) d6fini, pour q dans [qm(O_m), qm(Om], p a r P'[q(O)] = 0v/~ et p[qm(O_m)] =

2 _ 0 m ~ . On v6rifie : P'(q) > C'(q) pour q < qFB(1), P(q) > C(q) ; le prix marginal d 'une unit6 suppl6mentaire est sup6rieur tt son coot marginal et aueun consommateur n 'est subventionn6. Si l 'on note Urn(.) et Sin(.) les profils correspondants d'utilit6 et de surplus total, on a done : Urn(.) < sm(.) <_ S FB, la demi~re in6galit6 6tant stricte sauf pour 0 = 1.

En outre, on remarque qu 'un moins grand nombre de consommateurs sont servis par la technologic de contournement (0 FB < 0m). Ce r6sultat d6coule de la sous-consommation.

I ~ MONOPOLE FACE A LA C O N C U R R E N C E

SUR LA TECHNOLOGIE DU C O N T O U R N E M E N T

Nous supposons maintenant que des concurrents ont acc6s ~ la technologic du contournement. Nous supposerons une concurrence paffaite sur cette technologic, qui permet aux consommateurs d 'opter pour cette technologic ~ prix coOtant, c'est-~-dire avec un tarif

/3(q) = ~-q + f ; un consommateur de type 0 consomme

alors ~'(0) et obtient une utilit6 nette 6gale ~ S(0). La contrainte de participation des consommateurs devient done :

(*) I1 suffit de maximiser I'objectif de l'op~rateur point-par-point; on v6rifie en effet que la solution ainsi obtenue v6rifie la contrainte d'incitation de non-d6croissance.

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(R) U(O) >_ max{S(0) , 0}.

Sans perte de g6n6ralit6, nous pouvons supposer que les consommateurs optant pour la technologie du contournement sont servis par l 'o~6rateur exploitant 6ga- lement le r6seau, avec un tarif P(q) et donc un profit nul. Le programme que doit r6soudre cet op6rateur est donc maintenant de maximiser :

/01 W = {20X/- ~ - C(q(O)) - U(0)} d0,

sous les contraintes (IC) et cette nouvelle contrainte de participation (R). Nous noterons par q*(O) la solution de ce programme, et par U*(O) et S*(O) les profils d'utilit6 et de surplus total correspondants. Enfin, nous d6finissons :

0_* = inf{Olq*(O ) > 0},

"0" -- sup{Olq*(O ) < q~},

O* = sup{OlU*(O ) > S(0)}.

Nous avons :

Proposition IV.1. La politique tarifaire optimale pour l 'opdrateur du r6seau est telle que 0 < O* < O* _< O* < 1, et v6rifie : pour 0 < 0_*, q* (0) = U* (0) = 0,

pour 0_* < 0 < 0", 0 < q*(0) < q~ et U*(0) > 0, S(0),

pour 0* < 0 < 0", 0 < q*(O) < qe et U*(O) = S(O) > 0, pour 0* < 0, q*(0) = ~'(0) > qe et U*(0) = S(0) > 0.

De plus, q*(O) est continue sur [0_*,0"]. Ce r6sultat est formellement d6montr6 dans un cadre

gdn6ral dans [Curien, Jullien et Rey, 1994]. L'intuition en est la suivante. Nous avons vu qu 'en l 'absence de concurrence sur la technologie du contournement, il est optimal de surtarifer cet acchs. Ceci n 'est plus possible du fait de la concurrence et l'op6rateur, cherchant ~ se rapprocher de cet id6al, doit donc se contenter de tarifer

prix cofitant - en particulier, il n 'es t jamais optimal de subventionner l 'acc~s ~ la technologie du contournement. La proposition confirme 6galement le fait que l 'introduction de la concurrence se fait sentir essentiel- lement pour les plus grands clients : la contrainte de participation U* (0) >S(O) est satur6e pour les consommateurs de type 0 > 0* (et seulement pour ces consommateurs).

Cette proposition montre notamment que la tarification optimale est la m~me, que l 'op6rateur ait ou non acc~s ~i la technologie du contoumement : en effet, dans l 'hypoth~se off il a acc~s h cette technologie, il est optimal pour lui de tirer tous ses profits des consommateurs de t ype0 < (qu'il sert de mani~re plus efficace par la technologie de r6seau), et de r6aliser un profit nul avec les autres consommateurs (qui sont servis de mani6re

plus efficace par la technologie du contournement et peuvent donc &re laiss6s aux concurrents).

353

Compte tenu de la proposition IV.I., nous pouvons r66crire le programme de l 'op6rateur du r6seau de la mani~re suivante :

_ m a x fa{2ov/7 -cq(O)-U(O)} dO, (o_,o,q(o),u(o)) .to_

SOUS :

u ' (o ) : 2v ,

u (o ) >_

u (-o) = (-o) ,

u (o ) = o,

q'(O) > O.

r(o)

Nous notons ~p* (0) et I'* (0) les valeurs des multipli- cateurs associ6s aux deux premieres contraintes ~ l 'opti- mum [voir Jullien, 1994].

Nous ignorerons pour simplifier la derni~re contrainte (portant sur la non-d6croissance du profil de quantit6), et v6rifierons ex post qu'elle est bien satisfaite. Les conditions d'optimalit6 indiquent que F* (0) est nul en 00_*, partout non d6croissant et constant sur tout intervaUe off U*(O) > S(O). De plus, la fonction ~p*(0) est

n6gative en 0__*, nulle en 0", et la fonction F* (0) + c;* (0) est partout absolument continue. Enfin, les conditions du premier ordre par rapport ~t q(O) et U(O) s'6crivent [voir Jullien, 1994]:

(d/dO)(qo*(O) + r*(O)) = 1.

La premiere condition exprime l 'arbitrage familier entre rente informationnelle et efficacit6 : le multiplicateur qo* mesure le cofit des rentes additionnelles qui doivent &re donn6es pour restaurer la condition d'incitation li6e ~ une modification de q(O). Comme d'habitude, ce cofit induit une d6viation par rapport ~ la quantit6 de premier rang, qFB(0) ; toutefois, et contrairement au cas standard, qo peut ~tre tant n6gatif que positif (*) : il y a sous-consommation (q(O) < qFB(0)) si ~(0) < 0, c'est-h-dire lorsque les contraintes d'incitation sont telles qu 'une augmentation de q(O) impose une augmentation des rentes des consommateurs de type sup~rieur h O, mais sur-consommation darts le cas contraire - lors- qu 'une augmentation de q(O) impose d 'augmenter les rentes des consommateurs de type inf&ieur ~ O.

On peut dans ce qui suit interpr6ter 0 + ~(0) comme le type a justS, ou fictif (au sens de prix ficti~, du consommateur de type 0. Les conditions aux limites sont (**) :

(*) En particulier, les conditions d'optimalit6 imposent : qo* (0_*) <

0 et l i m 0 _ > ~ . - qo*(0*) > 0. En d 'autres termes, pour les plus

petits consommateurs , les contraintes d'incitation sont vers le haut, tandis que pour les plus gros, plus tent6s par l 'acc~s concurrentiel ~t la technologie du contoumement , elles sont vers le bas. Ceci est

contraster avec la situation sans concurrence sur la technologie du contournement, off les contraintes d'incitation pertinentes sont toujours vers le haut (en particulier (qdn(0) = 0 - 1 < 0) et aucune contrainte n 'es t per~ue en 0 = l (~m(1 ) = 0).

(**) ~ - ( 0 " ) repr6sente la limite a gauche (pour 0 inf4rieur ~ 0") de cpen 0".

6/11 ANN. Tf~LgCOMMUN., 50, n ~ 2, 1995

354 N. CURIEN. - TARIFICATION, DISCRIMINATION ET CO N T O U RNEMENT

0-* + ~(0__*) = o,

2[0* + ~ _ ( 0 " ) ] ~ - cq*(V)

= 2[0* + v _ ( 0 * ) ] ~ - c ~ - ( 0 " ) / . - f ,

u*(~*) = ~(~*).

La premibre de ces conditions d6termine le point d'exclusion, en de~h duquel on ne raccorde pas les consommateurs. La seconde d6termine le point de bas- culement au-delh duquel il est prdf6rable de servir les consommateurs au moyen de la technologie du contournement. Ces deux conditions sont identiques ~ celles obtenues en information parfaite, h ceci prbs qu'elles reposent sur le type fictif, 0 + (p* (0), au lieu du type rdel O. Cela vient du fait qu'outre l 'arbitrage du cofit- b6ndfice effectu6 en information parfaite, ces conditions prennent aussi en compte l ' impact des consommateurs suppl6mentaires sur les rentes h laisser aux consommateurs d6jh pr6sents.

Deux cas sont h distinguer pour ddterminer ~*(0), selon que la contrainte de participation est ou non satur6e. Sur [_0",0'[, U*(O) > S(0) ; le multiplicateur F(0) associd h la contrainte de participation est donc constant et la seconde condition d'o~timalit6 s'6crit : ~ ' (0) = 1. Sur [0",0"], U(O) = S(O) et q*(O) = ~'(0) ; la condition d'optimalit6 sur q* conduit alors h : 0 + ~* (0) = sO. Notons par ailleurs que la condition d'optimalit6 impose : ~*' (0) = 1 - I '*' (0) < 1 (puisque la fonction I'* ne peut d6croltre), ce qui reflbte le fait que la contrainte d'incitation est relativement moins ganante lorsque la condition de participation est satur6e.

Combinant ces conditions d'optimalitd, nous sommes en mesure de caract6riser la solution du programme ci- dessus.

Proposi t ion IV.2. Deux cas sont h distinguer :

/ 2 - a O* l < a < 4 / 3 ; _ 0 * - V ~ - a f c < -

et : - - pour 0-* < 0 < 4*,

~* (0) = 0 - 20*, F* (0) = 0,

q*(O) = 4(0 - 0_*)2/c 2 < ~(0) < qe,

- - pour0* < 0 < 0 " ,

~ * ( 0 ) = ( a - 1 ) 0 , r * ( 0 ) = (2 - ~ ) ( 0 - 4*) > 0,

q*(O) = a202/c 2 = ~(0) < qe,

2 e cas : a _> 4/3.

0-* - [ ( V / - ~ - 1) - ( a - 1)]0" < 0* -=

0" - v/ fc/,~(3 + n ~ Z d - 1 ) - 4,~)

et :

~*(0) = o - 2o* , r * ( 0 ) = 0,

q*(O) = 4 ( 0 - - 0_*)2/C 2 < q(O) < qe.

D6monstration. Sur l 'intervalle [_0*,t~*[, U*(O) > S(0), F*(0) = 0

et ~ ( 0 ) = 1. Compte tenu de la condition au bord 0-* + ~*(0_*) = 0, nous avons donc : ~*(0) = 0 - 20_*, et la condition d'optimalit6 sur q* devient : q*(O) = 4(0 - 0_*)2/c 2.

0*. Supposons O* < Les conditions ddterminant O* et O* s'dcrivent alors :

4"

U*(0*) - f 2x/q ~ dO = S(0*) -= a ( 0 * ) 2 / c - f , do

~ ( V ) - ( J / c ) ~ = qo =_ ,~ f / ( ,~ - 1)c.

La continuitd de ~*(0) et de q*(O) en 0* impose en outre q*(0*) = ~'(0"), soit t~* + qa*(0*) = a0*, ou encore :

2(4* - 0") = ~ * .

Prises ensembles, ces conditions ddfinissent :

-- V 2a f c ' -- a ) f c '

0 " = ~ 1 a ( a - 1) fc .

La condition/~* < 0* implique alors : a < 4/3.

Supposons maintenant 0* = 0*. Les conditions au bord s'6crivent alors, en utilisant 0* + qo_ (0*) -- 2(0* -

_0") et + ~_ (0" ) c 0*) :

4(0* - 0_*) 2 = 4a0"(0" - /9*) - a 0 2. - fc ,

U*(O*) -- f 2 V ~ ~ dO = S(O*) - a(0" )2 /c f. dO

Soit encore :

0-* = [ ( ~ 1) - ( a - 1)]0", .

0*= ~ / y c / c , ( 3 + 4 x / ~ - 1) - 4a) .

Cette configuration suppose q*(O*) <_ qe - o~f /(o~ - 1)c, ce qui implique c~ _> 4 /3 .

Q.E.D.

Comme nous l 'avons d6jh not6, en l 'absence de concurrence la tarification optimale conduit h surtarifer l 'acc~s h la technologie du contournement, tant en termes marginaux, ce qui conduit h une sous-consommation et donc h une limitation de l 'utilisation de la technologie du contournement, moins performante pour les plus faibles consommations, qu 'en termes absolus. L'introduction de la concurrence ne permet plus de telles surtarification (ni en termes marginaux, ni en termes absolus). On peut donc s'attendre h ce qu'elle tende h accroltre le nombre de consommateurs servis par la technologie du contoumement : les plus gros des clients servis par la technologie de r6seau en l 'absence de concurrence, qui ne renon~aient h la technologie du contournement que parce qu'elle dtait surtarif6e, adoptent maintenant

ANN. TI~LI~COMMUN., 50, n ~ 2, 1995 7/11


celle-ci et consomment plus qu'auparavant. On peut en fait montrer que l 'introduction de la concurrence se r6percute sur l 'ensemble des consommateurs, qui tous consomment plus qu'en l 'absence de concurrence. En particulier, le nombre de consommateurs exclus (ayant une consommation nulle) diminue :

355

En d'autres termes, aucun consommateur n 'est sub- ventionn6 (sauf h la marge, pour les consommateurs les plus gros parmi ceux qui sont servis par le r6seau). La tarification optimale est illustr6e par les deux figures 1 et 2, qui correspondent respectivement aux cas a < 4 /3 e t a >_ 4/3.

Proposition IV.3. Nous avons :

i) (0 FB ~ 0 <)0__* _~ 0_ ra , 0* < ~ F B ( < ~ m * ) ;

ii) pour 0 E [_0",0"], q*(O) > qm(O); iii) 0* > 2_0* et :

q*(O) <,qVB(o) = 4(0) sur ]0", 2_0"[,

q*(O) > q F B ( 0 ) = 4(0) sur 120_*,0_*[.

D6monstration (voir appendice).

L'op6rateur soumis h la concurrence sur la technologie du contournement exclut donc toujours plus qu' i l ne serait souhaitable du strict point de vue de l 'effi- cacit6, mais toutefois moins qu 'en l 'absence de concurrence. La raison en est la suivante. De mani~re g6n6rale, les consommations des petits consommateurs sont dimi- nu6es, par rapport h leur niveau efficace, afin de r6duire la rente informationnelle qui doit ~tre laiss6e aux plus gros consommateurs - en particulier, les plus petits des consommateurs sont exclus pour cette raison. Or l ' introduction de la concurrence rend impossible de diminuer la rente laissde aux plus gros des consommateurs, qui

peuvent obtenir la totalit6 du surplus efficace en s 'adres- sant aux concurrents sur la technologie du contournement. I1 devient donc moins utile qu'auparavant de cher- cher h diminuer les niveaux de consommation des petits consommateurs : il est m~me en fait optimal d 'accepter une sur-consommation de la part des plus gros clients servis par le rdseau, via un tarif pr6sentant une subven- tion h la marge; plus prdcisdment, un tarif optimal est donn6 par (le tarif optimal n 'est d6fini de maniSre uni- que que pour les niveaux d 'usage correspondant effectivement hun type de client, et peut en fait &re 6tendu de diverses fa~ons aux autres niveaux de consommation) :

P(q)=min ~-+20__*v~ , - + f . a

On v6rifie ais6ment que ce tarif conduit dans tous les cas les consommateurs de type 0 inf6rieur h _0" h ne pas consommer, ceux de type compris entre 0* et 0* h choisir un niveau de consommation 6gal h q*(O) = 4(0 - 0_*)2/c 2, et enfin ceux de type sup6rieur

consommer ~'(0) = . Dans le cas off a est

cq sup6rieur 5 4/3, tarifer P(q) = ~- + 20_*x/~ - et laisser

les plus gros clients aux concurrents - est 6galement optimal. Ce tarif satisfait par ailleurs les conditions suivantes :

cq < P(q) <_ cq/a

P(q) = cq/a P'(q)

P'(q)

+ f , pour q* (/9") < q < q* (0"),

+ f , pour q > q*(O*),

> c, pour q*(_O*) < q < q*(O*m),

< c, pour q*(O *~) < q < q*(O*).

U

q~

= qe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . I - - I j J / / - I I Um(e

: ,=or B e ~ e . ~. ~. ~r8 ~

a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I

q. 0, 7 , : i �9 I l

I I I

o o=o_ ru a" 20_- 0_" ~" ~, ~rB ~.

b

FIG. 1. - - Tarification optimale : le cas 1 < a < 4/3 .

a) profil d'utilit6, b) profil de quantit6.

Optimal tarification : case 1 < a < 4/3 .

a) utility profil, b) quantity profil.

) 0

Notre analyse nous permet 6galement de faire quel- .ques statiques comparatives, en fonction de l'efficacit6 relative de la technologie du contournement.

Proposition IV.4.

i) 0_*, 0* et 0* croissent avec f , d6croissent avec a , ii) q* (0) et U* (0) d6croissent avec f et croissent avec

O~.

D6monstration. i) La croissance par rapport h f est imm6diate

d'apr~s les expressions de la proposition IV.2. En ce qui conceme la d6croissance par rapport ~ a , cela se v6rifie aussi de mani6re imm6diate dans le cas 1 < a < 4/3. Dans le cas a >_ 4/3, il suffit de remarquer que les expressions :

[ V / - ~ - 1) - (a - 1 ) ] / a et 3 + 4 V / ~ a - 1) - 4a ,

sont toutes deux d6croissantes par rapport h a .

8/11 ANN. TI~LI~COMMUN., 50, n ~ 2, 1995

356 N. CURIEN. -- TARIFICATION, DISCRIMINATION ET CONTOURNEMENT

g(~rB)

J i i J , I I I

0 0 = e ra e " o = ~ . ~ r a ~=

a

qn I I I

qO(e) f i , ,

~ I

o o.e r~ e" ze* e" ~. g,-s ~.

b

FIG. 2. - - Tar i f ica t ion o p t i m a l e : le cas c~ > 4 / 3 .

a) profi l d 'u t i l i t6 , b) profi l de quanti t6.

Optimal tarification : case a > 4 / 3 .

a) utility profil, b) quantity profil.

) 6

ii) En utilisant les contraintes d'incitation et de participation, on obtient :

/0 ~ U*(O) = U*(0_*) + U'(O) dO,

= 0 + dO,

= 0 + 2 4(0 --0")2/c2 dO.

I1 s'ensuit que q*(O) et U*(O) sont des fonctions d6croissantes de -0*, et la conclusion ddcoule du point i).

Ainsi, plus la technologie du contoumement est efficace, et plus les consommateurs obtiennent un niveau d'utilit6 important; cela est 6vident pour les consommateurs servis par cette technologie, mais les autres b6n6fi- cient aussi d'un effet indirect, qui passe par le fait que l'op6rateur a moins int6r~t qu'auparavant h diminuer leur niveau de consommation et leur rente pour diminuer la rente des consommateurs plus gros qu'eux. Par ailleurs, une augmentation de la pression concurrentielle, due 5 une amSlioration de la technologie du contoumement, a pour effet de pousser le segment de clientele du r6seau vers les plus petits clients : la part de march6 de la technologie du contoumement s'accroh et le nombre de consommateurs exclus du march6 diminue.

A N N . T I ~ L I ~ i C O M M U N . , 5 0 , n ~ 2, 1 9 9 5

V. CONCLUSION

Cet article, h partir d'un exemple d6taill6, nous a per- mis de calculer la forme pr6cise de la tarification optimale. Les conclusions sont cependant g6n6rales et li6es

la nature des technologies. L'hypothSse de base est que la technologie du contoumement est efficace pour les consommations 61ev6es tandis que la technologie de r6seau est adapt6e aux faibles consommations. En particulier, l'analyse reste valide en pr6sence d'un coOt fixe global pour le r6seau, ainsi que d'un coot de connexion (inf6rieur h celui du contoumement), pour peu que ces coots fixes ne soient pas suffisamment importants pour provoquer la fermeture du r6seau en pr6sence de concurrence.

Nous avons suppos6 que le contoumement 6tait foumi par un march6 concurrentiel, hypothSse vraisemblable si la technologie utilise des liaisons hertziennes. Le cas des fibres optiques est moins clair. I1 serait int6ressant de compl6ter l'analyse par une 6tude de la concurrence imparfaite sur le march6 du contournement.

L'article 6tudie les choix optimaux d'un monopole non r6glement6. Le lecteur int6ress6 peut se reporter ~t [Curien, Jullien, Rey, 1994] pour une analyse g6n6rale du monopole r6glement6. Les conclusions que l'on obtient sont proches dans le cas d'une r6glementation avec transferts entre l'6tat et le monopole, mais different dans le cas off l'op6rateur doit respecter un 6quilibre budg6taire.

APPENDICE

D~monstration de la proposition V.3.

i) -0* > 0 est 6vident. Nous montrons maintenant : 0* < 0 m.

Cas 1 < a < 4/3 :

O* ~ /2-a fc i 2 - a ~__ ~ -- - Y 2a ~ - - a (a 1) (d'apr~s H1),

<~ /22- - -~1(~-1 ) ( 1 < a < 4 / 3 ) ,

1 < ~ - 0 ~

Cas a _> 4/3 :

_0* - [ ( ~ / - ~ - 1) - (a - 1)] •

~ / f c / a ( 3 + 4 V ~ - 1 ) - 4 a ) <

[ ( V / - ~ - 1 ) - ( a - 1)]

V/(a - 1 ) / ~ ( 3 + 4 V / ~ - 1 ) - 4 a ) (HI).

9/11


Mais :

[(X/c~(a - 1) - (c~ - 1)]

V / ( a - 1) /a(3 + 4V/-~a - 1) - 4c~) < 1/2

-: ',- 2(a - 1)(1 - V/(o~ - 1)/o~) <

V/3 -4c~(1 - V/(C~- 1) /a )

4(a - 1)2(c~ - 2X/(a - 1)a) + (a - 1)) <

- - v / G - 1 ) . )

4(c~ - 1)2(2a - 1) + (4c~ 2 - 3c~) <

[8(c~ - 1) 2 + 4c~]v ~ - 1)a

2ol 3 -- 4 a 2 + 13c~/4 - 1 <

( 2 . - 3 . + - 1 ) .

2c~ 3 - 6 a 2 + 1 9 a / 4 - 1 <

- + 2 ) v / ( . -

(en 6levant au cart6 et apr~s simplification)

0 < a3 _ (169/16 - 8)a 2 + 5a/2 - 1,

condition qui est toujours v6rifi6e pour c~ _> 4/3.

Nous montrons maintenant : 0* < ~FB. C a s l < a < 4 / 3 :

- O * i fc(o~- 1) i f---c ~FB - , - - < - .

c~ 1

Cas o~ >_ 4/3 :

- - + 4 J - J ( g :) <

I fc _ -~FB O l - - 1 - - 1

~ - 1 < 3 a - 4 ~ 2 + 4 ~ X / ~ - 1)

, ' . .~ 4 a 2 - 2 a - 1 < 4 a V / - ~ - 1),

(en 6levant au carr6 et apr~s s implif ication)

0 < 8c~ 2 - 4 c ~ - 1,

condit ion qui est toujours vrrif ire pour c~ >_ 4 / 3 .

ii) Pour 0 E [0_*, 0"],

q*(O) = 4 ( 0 - 0 " ) 2 / c 2 >

qm(O) =,(20 - 1)2/c 2 = 4(0 - 0-'~)2/c2, puisque d'apr6s i), 0* < 0-r~.

iii) NOUS montrons d'abord : 0" > 2t9". Cas 1 < a < 4 / 3 : il est imm6diat de vOrifier :

20* =_ ~ a) fc < = c~(2 - o~ ) fc <

Cas o~ _> 4/3 :

20-" - - 2[ ~ ( x / - J ( ~ - : ) - (,~ - : ) ]~* < ~* - V

4 a ( c ~ - l ) < 1 - 2 ( a - 1 ) + ( a - : ) 2 ,

0 < 4 .

357

Enfin, pour t~* < 0 < , on a toujours : q*(O) = ~FB,

~'(0), et d'apr~s i), puisque 0" < ~'(0) > qFB(0) = ~ (0 ) ; il suffit donc de montrer que :

q*(O) < qFB(0) : ~(0) sur ]0-*,20-*[,

q*(O) > qFB(0) = ~(0) sur ]20-*,0"[.

Or le ratio q*(O)/~(O) 6volue c o m m e 2 ( 0 - 0") /0 , et est donc inf6rieur ~ 1 pour 0 < 20_* et sup6rieur pour 0 sup6rieur ~ 20*.

Q.E.D.

Manuscrit refu le 2 janvier 1995.

B I B L I O G R A P H I E

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Tarification, discrimination et contournement