TD 22 Corrigé - Loi E-S Pour Les Réducteurs Et Multiplicateurs de Vitesse à Train Épicycloïdal

TD 22 corrig - Loi E-S pour les rducteurs et multiplicateurs de vitesse train picyclodal Page 1/10

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour lIngnieur S. Gnoul 05/04/2012

CORRIG EXERCICE 1 : DIFFRENTES CONFIGURATIONS DUN TRAIN PICYCLODAL. .............................. 1

CORRIG EXERCICE 2 : TRAINS PICYCLODAUX DE TYPE IV. ................................................................. 2

Exemple 2.1 : Poulies Redex. ......................................................................................................... 2

Exemple 2.2 : Botier de commande de raboteuse. ........................................................................ 3

CORRIG EXERCICE 3 : TRAINS PICYCLODAUX DE TYPE III. .................................................................. 4

Exemple 3.1 : Rducteurs ATV. ...................................................................................................... 4

CORRIG EXERCICE 4 : TRAINS PICYCLODAUX DE TYPE I. .................................................................... 5

Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. .................................................................................... 5

Exemple 4.2 : Rducteur 2 vitesses. ............................................................................................ 9 Vous devez tre capable de dterminer la loi E/S en vitesse de trains picyclodaux selon 2 mthodes diffrentes :

par la cinmatique graphique (voir exercice du treuil-palan),

laide de la relation de Willis.

Corrig Exercice 1 : DIFFRENTES CONFIGURATIONS DUN TRAIN PICYCLODAL.

Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et complter les tableaux suivants, reprsentant les diffrentes configurations possibles de ce train.

Caractristique du train picyclodal

Satellite Porte

satellite Plantaire

A Plantaire

B Relation de Willis Raison de base du train

2 4 1 3 1/0 3/0 4/0. 1 . 0 4/0

1/0 1 32'

3/0 1 2''0

( 1) . .zz

z z

Utilisation possible

Pice dentre

Pice de sortie

Pice fixe/bti 0

Relation de Willis simplifie avec e et s, et en tenant compte de la pice qui est fixe

Rapport de transmission : /0

/0

e

s

i

1 3 4 /0 /0. 0e s /0

/0

e

s

i

1 4 3 /0 /01 . 0e s /0

/0

1e

s

i

3 1 4 /0 /0. 0s e /0

/0

1e

s

i

3 4 1 /0 /0. 1 . 0e s /0

/0

1e

s

i

4 1 3 /0 /01 . 0s e /0

/0

1

1

e

s

i

4 3 1 /0 /0. 1 . 0s e /0

/0 1

e

s

i

4, 3 1 /0 1/0 2/0. 1 . 0s e e



Corrig Exercice 2 : TRAINS PICYCLODAUX DE TYPE IV.

Exemple 2.1 : Poulies Redex. (Selon le concours cole de lAir filire PSI 2004)

Satellite 6, 10

Porte satellite 5

1

er cas : on choisit

Plantaire A 31

Plantaire B 24

Train picyclodal (de raison de base 1 ) :

31/0 1 24/0 1 5/0. 1 . 0

avec

5/0

31/0 2 6 241

24/0 31 100

( 1) . . 1,17z z

z z

2me

cas : on choisit

Plantaire A 24

Plantaire B 31

Train picyclodal (de raison de base 2 ) :

24/0 2 31/0 2 5/0. 1 . 0

avec

5/0

24/0 2 10 312

31/0 24 60

( 1) . . 0,856z z

z z

Utilisation : 24 fixe par rapport 0, 5 est l'entre e et 31 la sortie s (5=e et 31=s)

D'o : /0 1 /01 . 0s e

/0

/0 1

15,9

1

e

s

D'o : 2 /0 2 /0. 1 . 0s e

/0 2

/0 2

5,91

e

s

On retrouve bien le mme rapport de rduction dans les 2 cas. Ainsi le choix du plantaire A ou B na pas dimportance dans la relation de Willis.

31

6 10

5

24



Exemple 2.2 : Botier de commande de raboteuse.

Question 1 : Dterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentes, la relation entre

1/0 2/0 /0,e e set .

Train picyclodal :

Train simple : 8/0 1 13

13/0 8

( 1) .z

z

Utilisation : 110 e 28 e 11 s

D'o : 9 9 811 111/0 /0 2/010 9 10 9 13

. . . 1 . . 0B Be s eC C

z z zz z

z z z z z

Question 2 : Dterminer, aprs avoir formul lhypothse qui convient, la relation entre les iz lie aux

conditions gomtriques de montage des roues dentes.

Pour le train picyclodal : 10 9 11 9B CR R R R 10 9 11 9B Cz z z z

Moteur 2

11 10

9B 9C

13

8

Moteur 1 Sortie

10/0 11/0 13/0. 1 . 0

avec

13/0

10/0 2 9 11

11/0 10 90

( 1) . .B

C

z z

z z

Satellite 9

Porte satellite 13

Plantaire A 10

Plantaire B 11

Si et seulement si les modules des 2 engrenages sont gaux,

car d=m ;z



Corrig Exercice 3 : TRAINS PICYCLODAUX DE TYPE III.

Exemple 3.1 : Rducteurs ATV.

Voir exemple donn dans le cours (page 24) pour le schma cinmatique et le calcul...



7

5

4

2

1

10d 10g

Emplacement du cble

Tambour (qui tait non reprsent sur le plan ci-dessus)

22

25

23

Corrig Exercice 4 : TRAINS PICYCLODAUX DE TYPE I.

Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. tude analytique du rducteur seul (sans la partie frein).

Question 1 : Complter le repre des pices dans le tableau dcrivant les 2 trains picyclodaux (droite et gauche).

Question 2 : Dterminer la condition gomtrique de montage qui relie les iz .

Pour le 1er

train picyclodal : 10 1 22.dD D D 10 1 22.dz z z

(pour pouvoir engrener ensemble, il faut 10 1 2dm m m )

Pour le 2me

train picyclodal : 10 4 52.gD D D 10 4 52.gz z z

(pour pouvoir engrener ensemble, il faut 10 4 5gm m m )

Question 3 : Indiquer les repres des pices matrialisant lentre et la sortie du systme. Pice dentre : arbre 1 Pice de sortie : arbre 7

Train

picyclodal 1 Train

picyclodal 2

Satellite 2 5

Porte satellite 4 7

Plantaire A 1 4

Plantaire B 10d (droite) 10g (gauche)



Question 4 : Dterminer littralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission.

Train picyclodal 1 (de raison de base 1 ) :

1/0 1 10 /0 1 4/0. 1 . 0d avec 4/0

1/0 1 10 1021

10 /0 2 1 10

( 1) . .d d

d

z zz

z z z


4/0 2 10 /0 2 7/0. 1 . 0g avec

28/0

10 104/0 1 52

10 /0 5 4 40

( 1) . .g g

g

z zz

z z z

Utilisation :

10 /0 10 /0

1/0 /0

7/0 /0

0d g

e

s

Par consquent :

Train picyclodal 1 donne : /0 1 4/01 . 0e

Train picyclodal 2 donne : 4/0 2 /01 . 0s

Do : /0 1 2 /01 . 1 . 0e s

10/0 10

1 2/0 1 4

1 . 1 1 . 1ge d

s

zz

z z

1 10 4 10/0

/0 1 4

( )( )

.

d ge

s

z z z z

z z

Question 5 : Complter le tableau page prcdente indiquant le nombre de dents, le module et les diamtres primitifs des diffrents pignons ou couronnes.

On a i i iD m z et 10 1 2

10 4 5

d

g

m m m

m m m

Question 6 : En dduire la valeur numrique du rapport de rduction du systme.

A.N. : /0

/0

34e

s

Nombre de dents

Module Diamtre primitif

Pignon arbr 1 21 2 42

Pignon rapport 2 51 2 102

Couronne 10d 123 2 246

Pignon arbr 4 23 3 69

Pignon rapport 5 34 3 102

Couronne 10g 91 3 273

(10d et 10g solidaires du bti).



tude graphique du rducteur seul (sans la partie frein).

Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En dduire les positions des CIR qui seront ncessaires lors de lutilisation dune mthode graphique.

Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5.

On aura certainement besoin dutiliser : 2/0I D et 5/0I G (tout point de RSG est un CIR).

Question 8 : Imaginer et mettre en uvre une dmarche pour dterminer graphiquement (dans la position du systme dcrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au

bti 0 : 5/0FV . (Justifier les diffrentes tapes de la construction).

7/0 5/0F FV V 5/0

5/0 4/0E E

I

V V

NB : 10d = 10g = 0 le bti.

1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantan de Rotation donc :

2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient 2/0 2/1 1/0 1/0B B B BV V V V

(car, comme 2/1B I , on a 2/1 0BV ).

3) Connaissant 2/0I et 2/0BV , on dtermine 2/0CV par la rpartition linaire des vitesses.

4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtient 4/0 4/2 2/0 2/0C C C CV V V V

(car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a 4/2 0CV ).

5) Connaissant A et 4/0CV , on dtermine 4/0 5/0E EV V par la rpartition linaire des vitesses.

6) Connaissant 5/0I et 5/0EV , on dtermine 5/0 7/0F FV V par la rpartition linaire des vitesses.

4/0 2/0C C

A

V V

2/1B I

2/0D I

5/4E I

5/0G I

2/0

2/0 1/0B B

I

V V



Question 9 : Justifier que 5/0 7/0F FV V . En dduire, en utilisant les proprits du thorme de Thals

(proportionnalit des cts dans les triangles de rpartition linaire des vecteurs vitesse), la

relation entre 7/0FV , 1/0BV , 1R , 2R et 4R .

En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient 7/0 7/5 5/0 5/0F F F FV V V V

(car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a 7/5 0FV ).

Daprs le thorme de Thals, on a successivement :

5/0 5

55/0

1

2. 2

F

E

V R

RV

4/0 4

1 24/0

E

C

V R

R RV

2/0 2

22/0

1

2. 2

C

B

V R

RV

do 5/0 4/0 2/0 4

1 25/0 4/0 2/0

1 1. . . .

2 2

F E C

E C B

V V V R

R RV V V

donc 45/0 2/01 2

1. .

4F B

RV V

R R

Question 10 : En dduire, en fonction de 1R , 2R , 4R et 5R , le rapport de transmission.

Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation daxe (AA), donc :

7/0 7/0 7/0 4 5. ' .( )FV A F R R

1/0 1/0 1/0 1. .BV AB R

En remarquant que les deux vecteurs vitesses 7/0FV et 1/0BV ont mme sens, on obtient le rapport de

transmission :

47/0 4 5 1/0 1

1 2

1.( ) . . .

4

RR R R

R R

1/0 4 5 1 2

7/0 4 1

4.( )( )

.

R R R R

R R

Question 11 : Retrouver, laide du rsultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du nombre de dents.

Comme 10 1 22.dR R R et 10 4 52.gR R R (voir question 2)

On a :

10 4 4 10 410 1 1 10 14 1

1/0

7/0 4 1 4 1

2. 2.4.( )( ) 4.( )( )

2 2 2 2

. .

g gd dR R R R RR R R R R

R R

R R R R

4 10 1 10 1 10 4 10 1 10 4 101/0

7/0 4 1 1 4 1 4

( )( ) ( )( ) ( )( )

. . .

g d d g d gR R R R R R R R D D D D

R R R R D D

C'est--dire en fonction du nombre de dents : 1 1 1 10 2 4 2 101/0

7/0 1 1 2 4

( . . )( . . )

. . .

d gm z m z m z m z

m z m z

1 10 4 101/0

7/0 1 4

( )( )

.

d gz z z z

z z

On retrouve bien le mme rapport de transmission quavec la relation de Willis (question 4).



Exemple 4.2 : Rducteur 2 vitesses.

Question 1 : Dterminer la vitesse de rotation de larbre de sortie 1 en fonctionnement Petite Vitesse , puis en fonctionnement Grande Vitesse .

Entre Grande vitesse

Entre

Petite vitesse

Sortie

28

36

8

25 13

34

37

19 17



Train picyclodal 1 Train picyclodal 2

Satellite 37 36

Porte satellite 17 28

Plantaire A 19 17

Plantaire B 25 8


19/0 1 25/0 1 17/0. 1 . 0 avec 17/0

19/0 1 25 371

25/0 37 190

83( 1) . . 4,37

19

z z

z z


17/0 2 8/0 2 28/0. 1 . 0 avec 28/0

17/0 1 8 362

8/0 36 170

79( 1) . . 4,65

17

z z

z z

Rducteur roue 13 et vis sans fin 34 :

34/0 13

13/0 34

4141

1

z

z

(plus ou moins, selon que la vis ait un pas droite ou gauche)

Utilisation :

On a 19/0 18/0 , 28/0 1/0 et 25/0 13/0 (pices solidaires entre elles)

De plus 8/0 0 (8 solidaire du bti).

Par consquent :

Train picyclodal 1 donne : 34/018/0 1 1 17/0. 1 . 041

Train picyclodal 2 donne : 17/0 2 1/01 . 0

Do 34/018/0 1 1 2 1/0. 1 . 1 . 041

34/0

1/0 18/0 11 2

1.

411 . 1

1/0 18/0 34/00,033.( 0,107. )

Fonctionnement en petite vitesse ( 18/0 0 et 34/0 1500 / mintr ) 1/0 5,3 / mintr

Fonctionnement en grande vitesse ( 18/0 34/0 1500 / mintr ) 1/0 44,2 / min 54,8 / mintr ou tr

NB : si on choisit de prendre :

-0,107, on trouve 1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 44,2 / mintr (grande vitesse)

+0,107, on trouve 1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 54,8 / mintr (grande vitesse)

Comme les 2 vitesses sont dans le mme sens, les solutions sont :

1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 54,8 / mintr (grande vitesse)

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