TD Géométrie des Nombres Complexes

Terminale S TD - Maths

TD - COMPLEXES 2

I Exercices dapplication

Exercice I.1. 15 min

Dans le plan complexe muni dun repre orthonormal (O ; ~u ,~v ), on donne les points A, B etC daffixes respectives :

zA = 1 + 2i ; zB = 1 4i ; zC = 5i.Dterminer laffixe laffixe du point D tel que C soit le centre de gravit du triangle ABD.

Exercice I.2. 10 minSoit r la rotation de centre A, daffixe 1 + 2i et dangle /4.Soit t la translation de vecteur ~u, daffixe 4 i.Dterminer limage par rotation r, puis par la translation t, du point M daffixe 2 2i.


On se place dans le plan complexe muni dun repre orthonormal (O ; ~u ,~v ). On donne dans cerepre les ponts A, B, C et D, daffixes respectives :

zA = 1 + i ; zB = 2i ; zC = 3 i ; zD = 2 + 2i.Dmontrer que ABCD est un carr.


On pose z =1 2ziz + i

, avec z 6= 1.Dterminer lensemble des points M du plan complexe, daffixe z, tels que |z| = 2.


On note A et B les points daffixes respectives 1 et 2i.Dterminer, en utilisant les points A et B :

1. lensemble E des points daffixes z tels que (2 + i)z + (2 i)z = 4 ;2. lensemble F des points daffixes z tels que (z + 2i)(z 2i) = 4 .

Exercice I.6. 5 minDans le plan rapport un repre orthonorm dorigine O, on donne le point A daffixe a.Dterminer lensemble des points M daffixe z tels que : zz = az + az.


Dterminer lensemble des points M du plan complexe, daffixe z, tels que :

|z 4i| = | iz + 1 2i|.

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II Exercices dentranement

Exercice II.1. 30 min

Le plan complexe est muni dun repre orthonormal direct (O ; ~u ,~v ).On considre les points A, B, C et I daffixes :

zA =

6 i22

, zB = 1 i, zC = zAzB

et zI = 1.

1. Dterminer le module et un argument de zA et zB.

2. crire zC sous forme algbrique, puis sous forme trigonomtrique.

3. En dduire les valeurs exactes de cos( 12

)et de sin

( 12

).

4. Prciser la nature du triangle OIB, puis dterminer les images de I et B par la rotation decentre O et dangle /12. En dduire la nature du triangle OAC.


Le plan complexe est muni dun repre orthonormal direct (O ; ~u ,~v ). On considre les pointsA, B et C daffixes respectives 2, 1 i3 et 1 + i3, le point D milieu de [OB] et la rotationr de centre O et dangle 2/3.

1. Dterminer les affixes des images de A, B et C par cette rotation.En dduire que le triangle ABC est quilatral.

2. On considre le point L dfini parAL =

OD . Dterminer laffixe du point L.

3. Montrer queOL est orthogonal

OD .

4. En dduire que L est sur le cercle de diamtre [AO].


Le plan complexe est muni dun repre orthonormal direct (O ; ~u ,~v ).

1. Rsoudre dans lensemble C des nombres complexes lquation : z2 + 23z + 4i = 0.

2. Dterminer le module et un argument de chacune des solutions.

3. Soit T la transformation du plan qui, tout point M daffixe z, associe le point M daffixez telle que z = ei(2pi)/3 z.

a. Caractriser gomtriquement la transformation T.

b. Soit M1 le point daffixe z1 = 3 + i. Dterminer les affixes respectives z2 et z3 des

points M2 et M3 tels que M2 = T (M1) et M3 = T (M2).

c. Construire les points M1, M2 et M3.

d. Dterminer la nature du triangle M1M2M3.




Le plan complexe est muni dun repre orthonormal direct (O ; ~u ,~v ) dunit 2 cm.

1. Rsoudre dans lensemble C des nombres complexes lquationz 4z

= i.

crire la solution sous forme algbrique.

2. Rsoudre dans C lquation z2 2z + 4 = 0. crire les solutions sous forme exponentielle.3. Soit A, B, A et D les points du plan complexe daffixes respectives : a = 2, b = 4, a = 2i

et d = 2 + 2i. Quelle est la nature du triangle ODB?

4. Soient E et F les points daffixes respectives e = 1 i3 et f = 1 + i3.Quelle est la nature du quadrilatre OEAF?

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soitr la rotation de centre O et dangle /2.

a. On dsigne par E limage par la rotation r du point E. Calculer laffixe e du pointE.

b. Montrer que le point E est un point du cercle C .

c. Vrifier que ed = (3+2)(ed). En dduire que les points E, E et D sont aligns.d. Soit D limage du point D par la rotation r. Dmontrer que le triangle EED est

rectangle.



III Exercices dapprofondissement

Exercice III.1. 60 min

ABC est un triangle quelconque. lextrieur de ce triangle, on construit les triangles quila-traux ABC, BAC et ACB. On note J, K et L les centres de gravit de ces triangles.

1. Montrer que les triangles ABC et ABC ont le mme centre de gravit.

2. Montrer que le triangle JKL a aussi le mme centre de gravit.


Dans le plan complexe rapport un repre orthonormal direct (O ; ~u ,~v ), on considre lespoints : A daffixe a = 5 i3 et B daffixe b, tel que le triangle OAB soit quilatral et(OA ,

OB ) = /3. Q est le milieu du segment [OB].

1. Calculer laffixe b du point B. En dduire laffixe q du point Q.

2. Dterminer laffixe k du point K tel que le quadrilatre ABQK soit paralllogramme.

3. Dmontrer que le rapportk ak

est imaginaire pur.

En dduire la nature du triangle OKA, puis celle du quadrilatre OQAK.

4. Soit C le point daffixe c =2a

3. Calculer le rapport

k bk c .

Montrer que le point C est lintersection des droites (OA) et (BK).


Soit k un rel strictement positif.On dfinit pour tout z C lapplication f , appele inversion, par :

f(z) =k

z.

Dans le plan complexe muni dun repre orthonormal (O ; ~u ,~v ), on note M le point daffixe zet M le point daffixe f(z).

1. Dmontrer queOM =

k

OM2OM .

2. En dduire que M est le point de la droite (OM) tel que :OM OM = k.

3. Quelle est limage du point M par lapplication f ?

4. Dterminer lensemble des points invariants par f .

5. On dfinit le cercle C de centre O et de rayonk. Soit M un point lextrieur de C . On

mne depuis le point M une tangente au cercle C . On note T le point dintersection decette tangente avec le cercle. Soit N le projet orthogonal de T sur (OM).Dmontrer que :

OM ON = OT2.En dduire que le point N concide avec le point M, image de M par lapplication f .


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