Algbre Linaire Semestre 2 Bachelor 1 2009 - 2010

Fiche de TD N3

Matrices

Exercice 1:

Soit f l'application linaire dfinie par : IR4 IR

3, f( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 - x2 , x3 - x4 , 0 )

Soit B1 , B2 les bases canoniques respectives de IR4 et IR

3. On note B3 = { u1 , u2 , u3 } une

nouvelle base de IR 3

, avec : u1 = ( 1 , 1 , 0 ) u2 = ( 1 , 0 , 1 ) et u3 = ( 0 , 1 , 1 )

Calculer les matrices A1 = [f]B1,B2 et A2 = [f]B1,B3

Exercice 2 :

Soit f : IR3 [X] IR3 [X] dfinie pour tout polynme P par : f(P) = P + ( 1 - X ) P'

Soient B la base canonique de IR3 [X] et B1 = { P1 , P2 , P3 , P4 } une nouvelle base de IR3 [X]

avec : P1 = 1 ; P2 = 1 - X ; P3 = 1 + X2 ; P4 = 1 X

3

Calculer les matrices A1 = [f]B et A2 = [f]B1,B

Exercice 3 :

Soit f : IR3 IR

3 dfinie par f ( x , y , z ) = ( 2x - y - z , y , z ). Soient B la base canonique de

IR3 et B' = { u1 , u2 , u3 } une nouvelle base de IR

3 avec u1 = ( 1 , 1 , 0 ) ; u2 = ( 1 , 0 , 1 ) et u3

= ( 1 , 0 , 0 )

Calculer les matrices suivantes : A1 = [f]B,B et A2 = [f]B',B'

Exercice 4 :

Calculer AB et BA si c'est possible dans les cas suivants :

1 ) A= et B=

2 ) A= et B=

3 ) A= et B=

4 ) A= et B=

Exercice 5 :

Soit A= et I=

1) Calculer A2

2) Montrer que A2 = A + 2I et dterminer une matrice B tel que AB = I

4) Calculer A-1

par la mthode de Jordan

Exercice 6 :

Soit P(X) = ( 1 + X + X2/2! + X

3/3! ) ( 1 - X + X

2/2! - X

3/3! ) et

A= 1) Dvelopper P(X)

2) Calculer A2 , A

3 , A

4 , et A

n pour n > 3

3) On pose M = I + A + (1/2!)A2 + (1/3!)A

3

Montrer, en utilisant P(X) , que M est inversible et calculer son inverse M-1

Exercice 7 :

Soient P(X) = 4X2 - X

3 et Q(X) = 1 + 2X + 3X

2 - X

3

Soit A= et B=

1) Calculer P(A) et Q(B)

2) A est-elle inversible ? B est-elle inversible ? Si oui calculer A-1

, B-1

Exercice 8 :

Soit f : IR3 --------------> IR

3

( x , y , z ) ------------> ( 2x + y + z, x + 2y + z , x + y + 2z )

1) Montrer que f est une application linaire

2) Ecrire la matrice A = [f]B dans la base canonique B de IR3 : ( B = { e1 , e2 , e3 } )

3) On considre une nouvelle base B' = { u1 , u2 , u3 } de IR3, o u1 = ( 1 , -1 , 0 ) ; u2 = ( 1 , 0

, -1 ) ; u3 = ( 1 , 1 , 1 )

Ecrire la matrice A' = [f]B' dans la base B'

4) Dterminer la matrice de passage de P de B B' et calculer P-1

( l'inverse de P )

5) Utiliser la relation A = P A' P-1

pour calculer An , pour n 2 et A

-1.

Exercice 9 :

On considre IR3 muni de la base canonique B = { e1 , e2 , e3 }.Soit A la matrice de f dans la

base B : 1) Dterminer le noyau et l'image de f ( on dterminera une base du noyau et une base de

l'image )

2) f est-elle injective , surjective , bijective ?

3) On considre une nouvelle famille B' = { u1 , u2 , u3 } de IR3,

o u1 = ( -1 , 0 , 1 ) , u2 = ( -1 ,

1 , 0 ) et u3 = ( 1 , 1 , 1 )

a) Montrer que B' est une base de IR3 et crire la matrice de passage P de B B

b calculer linverse P-1

de P

c) En dduire la matrice A' de f dans B'

4) Calculer, en utilisant la formule du changement de base, et la puissance An pour n 1

5) On considre 3 suites dfinies par les relations de rcurrence suivantes :

et on note Xn = et X0 =

a) Prsenter sous forme matricielle la relation Xn et Xn+1

b) Calculer les valeurs de xn, yn, zn en fonction de n et de x0, y0, z0. En dduire xn, yn, zn pour

x0 = 1, y0 = 0 et z0 = 1

6) Pour quelle(s) valeur(s) de x0, y0, z0, les suites xn, yn, zn sont elles constantes ?

Exercice 10 :

Soit l'application linaire g : IR3[X]----> IR3[X], qui tout polynme P = aX3 + bX + cX + d

de IR3[X] associe un polynme Q de R3[X] dfini par Q = g (P) = dX3 + bX + cX + a (a, b, c

et d sont des rels quelconques)

1) Dterminer le noyau de g et en dduire que g est un automorphisme.

2) Donner la matrice A de g par rapport la base canonique B de IR3[X].

3) Calculer A

4) En dduire A-1

et An, n 1

5) Soit la matrice C = A - I

a) Calculer C

b) En dduire Cn , pour n 1