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Mec. Ind. (2001) 2, 455–464 2001 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reservedS1296-2139(01)01124-1/FLA
Technique de caractérisation d’un mini-régénérateurthermique pour mini-refroidisseur Stirling ou tube à gaz
pulsé
Emmanuel Poncet a∗, Philippe Nika b, Daniel Béreiziat a, François Lanzetta a
a Université de Franche-Comté, Centre de Recherche sur les Écoulements, les Surfaces et les Transferts, Parc Technologique-2,Av. Jean Moulin, 90000, Belfort, France
b Université de Franche-Comté, Institut des Microtechniques de Franche-Comté, 32, Av. de l’Observatoire, 25044 Besançon cedex, France
(Reçu le 25 avril 2001 ; accepté le 1 juin 2001)
Résumé—Cette étude propose une technique de caractérisation thermoaéraulique de mini-régénérateurs ; organes clefs des mini-refroidisseurs croygéniques Stirling ou à tube à gaz pulsé employés en refroidissement de capteurs de rayonnement, de détecteursinfrarouges ou de composants électroniques. Nous utilisons une adaptation de la méthode en régime transitoire, dite « single-blow »,qui consiste à perturber subitement l’équilibre thermique du régénérateur en le faisant traverser par un fluide chaud de températureétablie à son entrée. La modélisation thermique repose sur un modèle direct analytique convectif à trois équations pernant en compte,outre les classiques échanges de chaleur internes matrice/fluide, les pertes thermiques au travers de l’enveloppe du régénérateur etla convection naturelle externe conditionnant les performances thermiques dans les mini-systèmes. L’estimation de trois coefficientsd’échange de chaleur est obtenue en résolvant un problème inverse de traitement numérique de données bruitées en températuresissues de micro-thermocouples. Les résultats dynamiques et thermiques sont présentés pour un régénérateur tubulaire de petitetaille rempli de billes en acier, dans lequel s’écoule de l’air à des valeurs du nombre de Reynolds hydraulique comprises entre 200 et1 350. 2001 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
mini-refroidisseur / mini-régénérateur / méthode transitoire / problème inverse / coefficient d’échange de chaleur /micro-thermocouple
Abstract—Characterization technique of a thermal mini-regenerator for Stirling or pulse tube mini-refrigerator. This studyproposes a technique of dynamic and thermal characterization of mini-regenerators; the most important piece of Stirling andPulse Tube cryogenic refrigerators used for cooling of radiation sensors, infrared detectors or electronic components. We use anadaptation of the transient method known as “the single-blow technique” which consists in disrupting suddenly the regeneratorthermal equilibrium by a heated fluid flowing through it with an established level of inlet temperature. The thermal modeling is basedon a three-equation analytical convective model taking into account, in addition to the traditional internal heat transfer betweenmatrix and fluid, heat losses through the regenerator wall and external natural convection which govern heat transfer performancein mini-systems. The estimation of three heat transfer coefficients is obtained by resolving an ill-posed inverse problem with noisytemperature measurements from micro-thermocouples. The dynamic and thermal results concern a regenerator matrix made of steelspheres inside a small circular tube with air flowing at hydraulic Reynolds numbers ranging from 200 to 1350. 2001 Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS
mini-refrigerator / mini-regenerator / transient method / inverse problem / heat transfer coefficient / micro-thermocouple
Nomenclature
A conductance hydraulique . . . . kg·s−1 ·Pa−1
a coefficient de la loi de frottementb coefficient de la loi de frottement
∗ Correspondance et tirés à part.E-mail addresses: [email protected] (E. Poncet),
[email protected] (P. Nika), [email protected](D. Béreiziat), [email protected] (F. Lanzetta).
B, B0, B1,B2,Be coefficients du modèleBi nombre de BiotC′
f coefficient de frottement deDarcy–Weisbach modifié
c capacité calorifique . . . . . . . J·kg−1 ·K−1
Dh diamètre hydraulique . . . . . . mDi diamètre intérieur du régénérateur md diamètre de fil d’une grille . . . me épaisseur du tube . . . . . . . . m
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E. Poncet et al.
Gm débit massique . . . . . . . . . kg·s−1
h coefficients de convectionsurfacique . . . . . . . . . . . . W·m−2 ·K−1
K perméabilité intrinsèque de lamatrice . . . . . . . . . . . . . m2
Kn nombre de Knudsenl,L longueurs, respectivement du fil et
du régénérateur . . . . . . . . . mLc dimension caractéristique . . . mLp libre parcours moyen des
molécules de gaz . . . . . . . . m
M masse molaire du gaz . . . . . . kg·mol−1
p∗ variable de Laplaceadimensionnelle
p pression absolue locale . . . . . Par rayon polaire . . . . . . . . . . m
R constante des gaz parfaits . . . J·K−1·mol−1
Rc temps caractéristique durégénérateur . . . . . . . . . . . s
Reh nombre de Reynolds hydrauliqueRep nombre de Reynolds de particule
S section totale . . . . . . . . . . m2
s temps . . . . . . . . . . . . . . sT température absolue locale . . . K�T température absolue moyenne . K
U vitesse de Darcy . . . . . . . . m·s−1
u vitesse interstitielle . . . . . . . m·s−1
x coordonnée d’espace . . . . . . m
Symboles grecs
µ viscosité dynamique . . . . . . kg·m−1·s−1
ρ masse volumique . . . . . . . . kg·m−3
σπ , σ1,σ2, σe surface spécifique . . . . . . . . m−1
ε porositéκ0 coefficient de forme
λ conductivité thermique . . . . . W·m−1 ·K−1
γ constante isentropique d’un gazτ temps adimensionnelθ température réduiteχ coordonnée d’espace réduite
Indices et exposant
a ambiancee extérieur ou entréei intérieurg gazs solidet tube enveloppelib surface libre de passage du fluideγ indicateur simplificateur d’écritureimp impulsionnelle
1. INTRODUCTION
Les régénérateurs ont été développés en 1816 par Ro-bert Stirling pour la mise au point de son moteur à airchaud. Ils représentent une importante classe d’échan-geurs de chaleur dans lesquels les transferts thermiquessont obtenus par l’intermédiaire d’un échange périodiqueentre un gaz et une matrice solide. En fait, le rôle durégénérateur pourrait être ramené à celui d’une épongethermique : prendre et restituer alternativement de la cha-leur au gaz le traversant pour le refroidir de la tempéra-ture ambiante à celle de la partie froide. Ainsi, lorsquele gaz va du compresseur vers l’échangeur de la sourcefroide, il est « thermalisé » par le régénérateur. C’est unéchangeur absolument crucial à la réalisation des cyclesthermodynamiques dans les réfrigérateurs cryogéniquesde types Gifford–MacMahon, Stirling et à tubes à gazpulsé (TGP). L’optimisation des performances frigori-fiques dans le cas de microrefroidisseurs qui doivent al-lier haute efficacité et petite taille passe par les connais-sances précises des transferts thermiques internes et de laperte de charge. Dans ces systèmes, le régénérateur est leplus souvent constitué d’un matériau poreux sous formed’un assemblage de petites grilles, de tissus métalliquesfins ou de microbilles. Au cours des cycles successifs,les variations de la température de la matrice solide doi-vent être réduites au maximum en utilisant un empile-ment de longueur importante à haute capacité thermique,dans lequel la conduction axiale doit être la plus faiblepossible en raison de la position du régénérateur entrel’organe de compression et la source froide du réfrigé-rateur. Le volume de gaz contenu dans le régénérateurreprésente un volume mort supplémentaire pour le mini-refroidisseur et pénalise donc ses performances. La poro-sité et la longueur de la matrice deviennent alors des pa-ramètres importants pour lesquels il faut adopter un com-promis en raison de l’impossibilité de concilier efficacitéfrigorifique élevée et perte de charge faible. A ce titre,le remplissage par billes amène des porosités inférieuresau remplissage par grilles (porosité ε ≈ 40 % au lieu de60 %) et par contre coup des pertes de charge plus impor-tantes. Les propos précédents montrent bien la difficultéde concilier les différentes fonctions du régénérateur. Lemeilleur compromis en matière de caractérisation com-plète des performances d’un régénérateur donné ne peutdonc sortir que d’une analyse globale prenant en compteà la fois la dynamique des fluides et les échanges ther-miques. La difficulté est accrue en raison du fonctionne-ment particulier de ces machines : débit de gaz, pressionset températures internes variables dans le temps, thermo-dépendance des propriétés physiques du fluide et des ma-
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Technique de caractérisation d’un mini-régénérateur thermique
tériaux en raison de l’important gradient de températurele long du régénérateur. . .
Le dimensionnement actuel des régénérateurs indus-triels repose sur les travaux anciens de Nusselt, lesabaques d’efficacité de Hausen ou le concept de nombred’unité de transfert (NUT) de Shah [1]. Malheureuse-ment, ces méthodes sont mal adaptées aux mini-régéné-rateurs en raison de leur imprécision eu égard aux condi-tions de fonctionnement très particulières des cryorefroi-disseurs.
La littérature fait mention de trois méthodes de carac-térisation des régénérateurs :
• la méthode calorimétrique ;
• la méthode statique dite « single-blow » en anglais[2–4] ;
• la méthode dynamique ou alternée [5, 6].
Pour la présente étude, nous avons opté pour une adap-tation de la seconde en soumettant brusquement le régé-nérateur de petite taille, initialement isotherme et sansécoulement, à un pseudo-échelon de température d’en-trée du gaz. Ainsi, l’étude des performances d’un petitrégénérateur tubulaire rempli de billes d’acier aléatoire-ment disposées et enclin aux pertes thermiques est abor-dée en utilisant l’air comme fluide de travail. Les résultatsglobaux obtenus portent tant sur le plan de la recherchede la courbe de frottement intrinsèque à l’organe étudiéque sur la description du transfert de chaleur à partir d’unmodèle convectif à trois équations (modèle direct). La ré-solution d’un problème inverse de traitement numériquede données bruitées en températures issues de microther-mocouples permet de remonter, via l’algorithme de mi-nimisation de Simplex, aux valeurs de trois coefficientsd’échange de chaleur globaux caractéristiques du régé-nérateur étudié sous les conditions expérimentales impo-sées. La rapidité est l’avantage principal de la techniquede caractérisation développée puisqu’elle repose sur unmodèle de connaissance analytique et demande peu dedonnées expérimentales à inverser pour obtenir des ré-sultats pratiques. En absolu, seuls les relevés temporelsdes températures du gaz d’entrée et de sortie suffisentpour estimer les trois coefficients d’échange du modèle.En particulier, les distributions spatiales des températuresdans les billes et dans le tube à différents instants ne sontpas nécessaires. De plus, la méthode itérative d’estima-tion paramétrique devrait apporter une meilleure préci-sion que les schémas classiques de dimensionnement em-ployés jusqu’à maintenant consistant à traiter les pointsexpérimentaux avec la méthode des moindres carrés or-dinaires ou à utiliser la méthode de la tangente (maximumslope-technique) [2–4].
2. MODÉLISATION DU PROBLÈME
2.1. Domaine de validité des équationsclassiques
Le système complet d’équations pour un régénérateurminiature contenant un milieu poreux et traversé par unflux gazeux est normalement décrit à partir des relationsgénérales locales de la mécanique des fluides et de lathermique. Il comporte les trois équations de quantitéde mouvement pour le fluide, l’équation de continuité etles trois équations de l’énergie pour le gaz, la matriceet le tube enveloppe. Un aspect fondamental qu’il fautenvisager pour les systèmes à échelle réduite traverséspar un écoulement gazeux est la validité des formulationsclassiques. Pour les écoulements de fluide, on sait qu’ily a passage du régime continu de Poiseuille au régimemoléculaire de Knudsen dès que le libre parcours moyendes molécules de gaz Lp devient important face auxdimensions caractéristiques Lc du système. Le critère estle nombre de Knudsen :
Kn = Lp
Lc 1 (1)
Lp est calculé par la théorie cinétique des gaz via larelation suivante :
Lp = T
P3λg(γ − 1)
√πM
8TR(2)
Dans la situation envisagée, le libre parcours moyen estde l’ordre de 10−7 m ; alors que la dimension des pores dela matrice avoisine 10−4 m. On peut donc conclure queles modèles habituels sont encore valables (Kn ≈ 10−3).
2.2. Hypothèses utilisées
La complexité des conditions expérimentales rencon-trées ne permet pas d’effectuer une résolution analytiquedu problème si des simplifications ne sont pas introduitespar la suite. Les hypothèses suivantes sont retenues :
• la masse volumique du fluide est considérée constante :cela suppose que le gradient de pression le long durégénérateur doit être faible ;
• l’écoulement monodimensionnel est axial (absence detortuosité) : cette hypothèse est vérifiée si le rapport entrede diamètre intérieur du régénérateurDi et le diamètre departicule dp est tel que Di/dp > 10 ;
• la porosité de la matrice est uniforme (on retrouve lacondition précédente Di/dp > 10) ;
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E. Poncet et al.
• le fluide est assimilé à un gaz parfait ;
• les transferts thermiques avec pertes sont caractériséspar trois coefficients globaux de convection : gaz/matrice,gaz/paroi et paroi/milieu extérieur ;
• la conduction thermique axiale dans la matrice et letube est négligeable : il faut pour cela que le gradient detempérature soit négligeable au sein de la matrice solideet du tube en satisfaisant la condition suivante sur lenombre de Biot :
Biγ = hγ dp
2λγ 1 (γ = s, t)
• les variations des propriétés physiques sont négli-geables dans la plage de température étudiée ;
• l’effet de la détente Joule–Thomson est négligé dansnos conditions opératoires.
2.3. Caractérisation dynamiquedu régénérateur
De façon analogue aux tuyaux cylindriques, on carac-térise globalement la chute de pression motrice +p d’unécoulement permanent d’un fluide visqueux en régime la-minaire ou turbulent à travers un tube rempli d’un maté-riau poreux à l’aide du coefficient de frottement modifiéC′
f de Darcy–Weisbach :
C′f = 2+pDh
ρgu2L(3)
Dans le cadre de l’étude des milieux poreux composés demicrocanaux, des corrélations de calcul sont proposéessous la forme suivante ; a et b dépendant du type dematrice :
C′f = a
Reh+ b (4)
Parmi la grande variété des définitions du nombre de Rey-nolds, la plus réaliste découle de l’analyse de l’écoule-ment en conduite avec le diamètre hydraulique Dh et lavitesse interstitielle du fluide u dans les pores de la ma-trice comme grandeurs de référence :
Reh = ρguDh
µg= GmDh
µgSlib(5)
Si le régénérateur est constitué de billes ou de grillesmétalliques, le diamètre hydraulique de matrice serarespectivement calculé par les relations suivantes :
Dh = 2
3
εdp
(1 − ε)ou Dh = εd
(1 − ε)(6)
et la porosité ε pour un grillage carré vaut :
ε = 1 − πd
4(l + d)
√1 +
(d
l + d
)2
(7)
Le débit massique Gm a pour expression :
Gm = ρguSlib = ρguεS = ρgUS (8)
On définit alors la conductance hydraulique A :
A= Gm
+p= 2ερgD
2hS
RehC′fµgL
(9)
On remarque que la relation entre la perte de charge, oule gradient de pression, et le débit massique s’écarte rapi-dement d’une simple loi linéaire puisque la conductancehydraulique A dépend du débit massique par l’intermé-diaire du nombre de Reynolds.
Pour un empilement non consolidé de particules iden-tiques simples, dans lequel transite un écoulement lami-naire incompressible de Darcy, la loi de Kozeny–Carmanpermet de calculer la perméabilité K par :
K = d2pε
3
36κ0(1 − ε)2pour Reh < 10
Dh
εdp(10)
κ0 est un facteur de forme (3,6 < κ0 < 5). Il vaut 4,8 pourun empilement de sphères de diamètre dp.
Ainsi, on montre que les coefficients a et b nécessairesau calcul du coefficient de frottement modifié (équa-tion (5)) ont pour expression :
a = 2εD2h
Ket b = 0 (11)
Pour un écoulement turbulent où la dégradation d’énergieest plus importante, il faut utiliser la loi d’Ergun :
a = 300(1 − ε)2
ε2
D2h
d2p
b = 3,5(1 − ε)
ε
Dh
dp(12)
Quelque soit le régime d’écoulement isotherme, ladétermination expérimentale du coefficient de frottementmodifié C′
f ne nécessite que des mesures de pression et laconnaissance du débit massique.
2.4. Modèle de transferts thermiques
Il s’agit de modéliser le comportement thermique enrégime transitoire de régénérateurs de petite taille soumis
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Technique de caractérisation d’un mini-régénérateur thermique
à des pertes de chaleur avec l’extérieur non négligeablesdevant les échanges gaz-matrice internes au système. Parconséquent, nous introduisons trois coefficients globauxde convection : le coefficient he de pertes externes del’enveloppe, le coefficient d’échange interne gaz/paroi htet le coefficient d’échange hs entre le gaz et la matrice.Conformément aux hypothèses données précédemment,les trois équations locales de la chaleur s’écrivent :
ργ cγ
(∂Tγ
∂t+ Uγ
ε
∂Tγ
∂x
)
= λγ
(∂2Tγ
∂r2 + 1
r
∂Tγ
∂r
)(γ = g, s, t) (13a)
avec Us =Ut = 0 (13b)
Les conditions aux limites et initiale du problèmesont :
• en r = 0 : les champs de température du gaz et de lamatrice sont axisymétriques ;
∂Tg
∂r
∣∣∣∣r=0
= 0 et∂Ts
∂r
∣∣∣∣r=0
= 0 (14)
• en r = ri : on considère l’identité du flux thermiquetransféré ;
λg∂Tg
∂r
∣∣∣∣r=ri
= λt∂Tt
∂r
∣∣∣∣r=ri
et λs∂Ts
∂r
∣∣∣∣r=ri
= 0 (15)
• en r = re : les pertes thermiques externes par convec-tion naturelle sont prises en compte ;
λt∂Tt
∂r
∣∣∣∣r=re
= he(Ta − Tt|r=re
)(16)
La condition initiale d’uniformité des températures ausein de la totalité du régénérateur est imposée :
Tγ (0, x,0)= Ta (γ = g, s, t) (17)
Après moyennage spatiale des équations locales de lachaleur selon le rayon, le problème thermique est écritsous forme adimensionnelle en introduisant les grandeurssuivantes :
χ = x
L(18)
τ = t
Rc(19)
θγ =�Tγ (χ, τ )− Ta
Tγ e − Ta(γ = g, s, t) (20)
Rc = L
U
ρscs(1 − ε)+ ρtct(2 + e/ri)e/ri
ρgcg(21)
B = Rchsσp
(1 − ε)ρscsB0 = hsσp
ρgcg
L
U
B1 = L
U
εσ1ht
ρgcgB2 = σ2ht
ρtctRc
Be = σehe
ρtctRc
(22)
Les coefficients constants B,B0,B1,B2 et Be sont desexpressions analytiques des paramètres physiques et géo-métriques qui caractérisent les différents échanges ther-miques [7]. Rc représente un temps caractéristique quisitue l’abscisse du point de tangence à la courbe de latempérature de sortie du fluide au voisinage du point d’in-flexion.
Dans l’espace de Laplace, la solution analytique duproblème thermique instationnaire prend la forme sui-vante :
θ̄impg
(χ,p∗)
= exp
(− p∗
(Lε
RcU+ B0
p∗ +B
+ p∗ +Be
p∗B1
p∗ +Be +B2
)χ
)(23)
θ̄imps
(χ,p∗) = Bθ̄
impg
p∗ +B(24)
θ̄impt
(χ,p∗) = B2θ̄
impg
p∗ +Be +B2(25)
Les réponses impulsionnelles �T imp(χ, τ ) dans l’espacetemporel sont obtenues par inversion numérique destransformées de Laplace θ̄ imp(χ,p∗) (algorithme d’in-version numérique de Stehfest [8]). Les réponses en tem-pérature pour une température d’entrée du fluide quel-conque �Tge(0, τ ) sont obtenues par le calcul numériquedu produit de convolution suivant :
�T (χ, τ )= �Tge(0, τ ) · �T imp(χ, τ ) (26)
2.5. Technique de caractérisationthermique du régénérateur
La technique de caractérisation thermique du ré-générateur consiste à déterminer les trois coefficientsd’échange à partir des seuls relevés temporels expéri-mentaux des températures d’entrée (échelon de tempé-rature) et de sortie du gaz. Il s’agit de résoudre un pro-blème inverse d’optimisation paramétrique visant à fairecorrespondre un modèle analytique avec des résultats ex-périmentaux. Ainsi, une procédure itérative minimise la
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E. Poncet et al.
Figure 1. Schéma de l’installation expérimentale.Figure 1. Sketch of the test apparatus.
somme des écarts quadratiques entre les valeurs mesu-rées des températures de sortie du fluide et celles recalcu-lées par le modèle pour fournir des estimateurs des coeffi-cients d’échange. L’algorithme d’optimisation utilisé (al-gorithme de Simplex, Matlab) est particulièrement adaptéau traitement numérique de données expérimentales trèsbruitées, telles que celles délivrées par des sondes ther-moélectriques de petite taille. Dans une étude prélimi-naire [7], la présente technique a été validée sur des don-nées simulées par le modèle et artificiellement bruitées.
3. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL
L’élément principal de l’installation expérimentale,représentée à la figure 1, est le régénérateur thermiquetubulaire à billes. Il se présente sous la forme d’un tuyaucylindrique isolant en polychlorure de vinyle (PVC), dediamètre intérieur Di de 30 mm, de longueur L égale à94 mm et d’épaisseur e réduite à 5 mm pour minimiser lacapacité thermique. L’isolation du tube enveloppe est vo-
lontairement négligée puisque le modèle prend en compteles pertes thermiques externes. Le remplissage est assurépar des billes en acier, de diamètre dp égal à 2,9 mm àdeux pour cent près. L’empilement aléatoire détermineune matrice solide, de porosité ε égale à 0,47 mesuréeavec une incertitude de deux pour cent, assimilable à unmilieu poreux non consolidé. Les billes sont maintenuesentre deux grilles métalliques, générant de faibles pertesde charge inférieures à 40 Pa, implantées respectivementdans le divergent d’entrée et dans le convergent de sortiedu régénérateur. Toutes les caractéristiques géométriqueset physiques importantes du régénérateur et de l’empile-ment sont résumées dans le tableau I.
Le principe de la méthode de caractérisation du ré-générateur à étudier consiste à déterminer le coefficientde frottement modifié et les trois coefficients de convec-tion en réponse à un échelon de la température d’entréepour un débit de fluide constant. Le gaz utilisé est l’air,dont les propriétés thermophysiques sont considérées va-riables avec la température selon les expressions du ta-bleau II.
460
Technique de caractérisation d’un mini-régénérateur thermique
TABLEAU IPropriétés géométriques et physiques (à 293 K) du régénérateur.
ρ c λ dp ε L e Di Di/dp
kg·m−3 J·kg−1·K−1 W·m−1·K−1 m – m m m –Sphères (acier) 7 660 481 52 0,0029 0,47 – – – 10,4Tube (PVC) 1 450 1 000 0,16 – – 0,094 0,005 0,03 –
TABLEAU IIVariation des propriétés thermophysiques de l’air en fonction de la température.
Masse volumique Viscosité dynamique Conductivité thermique Capacité calorifiquekg·m−3 kg·m−1·s−1 W·m−1·K−1 J·kg−1·K−1
ρ(p,T )= pM/RT µ(T )= 1,875·10−5(T /293)0,6386 λ(T )= 0,026(T /293)0,7231 cg = 975,3 + 0,0368(T − 273)
+ 2·10−4(T − 273)2
Deux régénérateurs identiques sont montés en pa-rallèle avec des parcours aérauliques absolument sem-blables de manière à respecter la même perte de chargedans chacune des branches. Un jeu de quatre électro-vannes pilotées par un microprocesseur et disposées enamont et en aval des deux échangeurs permet d’orienterle gaz vers le circuit requis de manière strictement syn-chronisée. Cet artifice permet de maintenir le débit de gazdésiré et de « thermaliser » le gaz et le circuit avant de dé-clencher l’échelon de température d’entrée du gaz, touten conservant le régénérateur à tester à température ini-tiale uniforme (température ambiante). La mise en tem-pérature du gaz pour réaliser l’échelon est assurée par unréchauffeur sous forme d’une résistance électrique enfer-mée dans un conduit dans lequel circule l’air. Une vannepointeau permet d’imposer différents débits dans le régé-nérateur sous une pression constante d’entrée ajustée aumoyen d’un détendeur de précision. L’installation fonc-tionne en circuit ouvert.
Les mesures instantanées de températures de gaz enrégime transitoire imposent le choix de capteurs de pe-tites dimensions à faible inertie thermique pour suivrecorrectement les variations de températures. Pour ces rai-sons, notre choix s’est porté sur des microthermocouplesChromel/Alumel (type K) de diamètres égaux à 12,7 µmà l’entrée et à 25 µm à la sortie, pour lesquels les valeursdes constantes de temps convectives ne dépassent pas50 ms dans nos conditions opératoires. La technique dé-licate de fabrication consiste à effectuer sous binoculaireun soudage des fils par décharge capacitive. Les deuxmicrothermocouples sont implantés au cœur de l’écou-lement à l’entrée du régénérateur pour le 12,7 µm (µT1)et à sa sortie pour le 25 µm (µT2) dans le divergent et leconvergent respectivement. Ces sondes sont étalonnées
en régime thermique permanent dans des conditions ex-périmentales identiques à celles rencontrées lors des es-sais. Pour cela, on utilise un capteur de température detype semi-conducteur AD22103 1 , de sensibilité mesu-rée égale à 26,5 mV·K−1 et de grande fidélité dans laplage de température 273–373 K, monté successivementà l’entrée et à la sortie du régénérateur.
4. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX
4.1. Caractérisation hydrodynamiquedu régénérateur
Nous avons effectué les essais de caractérisation hy-drodynamique du mini-régénérateur avec des débits al-lant de 1,3 à 8 Nm3·h−1 sous une pression constanted’entrée égale à 2,12 bars mesurée avec un manomètreBourdon (classe 0,5). L’incertitude sur la masse volu-mique est inférieure à un pour cent. Le comportementdu régénérateur est étudié pour trois températures d’en-trée du gaz Tge en régime « thermalisé » (298 K, 313 Ket 338 K). Les débits sont mesurés avec une incertitudemaximale de trois pour cent pour la pression de travailchoisie. La mesure de la chute de pression au moyend’un manomètre à pression différentielle est obtenue avecune incertitude maximale de six pour cent pour les plusfaibles débits. La contribution des grilles de maintien del’empilement de billes n’excède pas trois pour cent de lachute de pression totale. Les propriétés thermophysiques
1 Commercialisé par la Société One Technology Way, P.O. Box 9106,Norwood, MA 02062-9106, USA.
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E. Poncet et al.
Figure 2. Évolution du coefficient de frottement modifié C ′f en
fonction du nombre de Reynolds pour une pression constanted’entrée du gaz égale à 2,12 bars.Figure 2. Evolution of the modified friction factor versus theReynolds number for a constant entrance gas pressure of 2.12bars.
ont été calculées aux différentes températures à l’aide desrelations du tableau II.
L’ensemble des résultats est présenté à la figure 2 sousforme de l’évolution du coefficient de frottement modi-fié C′
f en fonction du nombre de Reynolds Reh de plagede valeurs comprises entre 150 et 1 100. Dans nos condi-tions opératoires, les incertitudes relatives maximales surles valeurs du nombre de Reynolds et du coefficient C′
fsont estimées respectivement à 12 % et à 20 %.
On observe que l’ensemble des points expérimentauxdécrit une évolution très voisine de celle qui se rapporteà la relation (12) (cas turbulent). La valeur du coefficientest alors comprise entre 2,01 et 4,33.
Toutefois, nos mesures surestiment les résultats citéspour les faibles valeurs du nombre de Reynolds (jusqu’à+37,1 %). A l’inverse, une sous-estimation du coefficientest relevée pour les fortes valeurs du nombre de Reynolds(jusqu’à −14,3 %). Un passage préférentiel du gaz à laparoi diminuant le coefficient de frottement n’est pas àexclure même si le rapport Di/dp est supérieur à 10. Lanon uniformité en taille des particules solides et la naturecompressible du fluide (considéré comme isovolume)peuvent également expliquer ces écarts. Notons aussique dans nos conditions opératoires, la perte de chargepeut engendrer une diminution maximale de la massevolumique de 3 %.
Pour les écoulements suffisamment turbulents, unefaible dépendance du coefficient de frottement aux va-riations du nombre de Reynolds est obtenue ici ; il s’agitd’une tendance relevée par tous les auteurs de la littéra-ture.
On observe également une diminution significative ducoefficient de frottement avec la température à nombrede Reynolds constant. Par exemple, si l’on compare
les courbes de frottement relatives à Tge = 298 K et àTge = 338 K, la diminution atteint onze pour cent pourReh = 350.
Au vue de l’allure de la courbe relative à la tempéra-ture Tge = 298 K, une corrélation de frottement a été éta-blie avec un écart relatif maximal de deux et demi pourcent par rapport aux mesures correspondantes :
C′f = 406,6
Reh+ 1,76 (27)
Cette corrélation présente des écarts relatifs maximumde quatorze pour cent et trente trois pour cent avec lacorrélation de Ergun pour les grands et les petits nombresde Reynolds respectivement. Les résultats sont donnéspour une seule pression d’entrée (2,12 bars). Ils devrontêtre consolidés ensuite avec des pressions de travail plusélevées.
4.2. Caractérisation thermiquedu régénérateur
Dans ce travail de mise au point de la méthode decaractérisation, nous avons effectué les essais de carac-térisation thermique du mini-régénérateur sous la mêmepression d’entrée que précédemment. Les relevés tem-porels sont effectués avec une période d’échantillonnageégale à 0,5 s sur une durée de 500 s pour laquelle lerégime permanent est quasiment atteint aux valeurs dunombre de Reynolds considérées. Pour la précision etla reproductibilité des expériences, les étalonnages sontcontrôlés en deux points à l’aide du capteur de référenceAD22103 : avant de déclencher l’échelon et à l’équilibrethermique. Dans nos conditions opératoires, la calibra-tion réalisée in situ détermine une température absolue dugaz mesurée à 0,3 K près ; soit une incertitude maximaleinférieure à un pour cent. Sous forme réduite, la tempé-rature réduite du gaz θg est obtenue avec une incertitudeinférieure à cinq pour cent. En régime permanent, les me-sures bruitées délivrées par les microthermocouples révè-lent un écart type σ égal à 0,1 K.
La figure 3 illustre les réponses temporelles expéri-mentales et recalculée par le modèle lors de la réponseà un pseudo-échelon de température du gaz en entrée.Le profil donné par le modèle s’écarte de celui mesuréessentiellement aux courts instants puisqu’il prévoit as-sez mal l’effet d’accumulation de chaleur des capacitésthermiques de la matrice et du tube. Il s’agit là probable-ment d’un problème lié au traitement numérique des don-nées, en particulier à l’inversion numérique de la trans-formée de Laplace par l’algorithme de Stehfest [8]. Pour
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Technique de caractérisation d’un mini-régénérateur thermique
Figure 3. Évolution temporelle des températures d’entrée et desortie du gaz pour un Reynolds Reh = 872.Figure 3. Time evolution of the entrance and exit gas temper-atures with a Reynolds number of Reh = 872.
permettre des comparaisons significatives entre les dif-férents relevés, nous avons représenté sur la figure 4 lescourbes de températures du gaz en sortie sous forme adi-mensionnelle. La normalisation s’effectue au moyen dutemps caractéristique Rc pour la variable temps et destempératures initiale et d’entrée du gaz. Au vue des résul-tats, on remarque que la configuration générale de l’écou-lement ne subit pas de changement notable puisque l’adi-mensionnalisation détermine un relevé temporel caracté-ristique de l’ensemble des débits concernés. Dans le ta-bleau III, nous présentons les premiers résultats d’estima-tion des coefficients d’échange obtenus à partir des me-sures de températures réalisées pour trois configurationshydrodynamiques de l’écoulement (Reh = 462, Reh =872 et Reh = 1 060). Le temps caractéristique Rc est égalà 113,8 s pour Reh = 462, à 61,3 s pour Reh = 872 et à51,2 s pour Reh = 1 060. A partir de ces premiers résul-tats, nous avons constaté que le coefficient d’échange herelatif aux pertes externes ne peut pas être estimé en rai-
Figure 4. Évolution temporelle de la température de sortie dugaz pour différents nombres de Reynolds.Figure 4. Time evolution of the exit gas temperature fordifferent Reynolds numbers.
son de la faible sensibilité des réponses en températures àce paramètre. En effet, pour ces gammes de températuresdu gaz (295–325 K), les échanges avec le milieu am-biant sont très inférieurs aux échanges thermiques entrele gaz et la matrice. Les mêmes difficultés se présententpour l’évaluation du coefficient ht ; en effet, les évolu-tions temporelles des températures sont beaucoup moinssensibles aux variations de ce paramètre qu’à celles ducoefficient hs. De plus, les coefficients he et ht sont étroi-tement corrélés. Les estimations du coefficients hs pré-sentent des valeurs du même ordre de grandeur que cellesdonnées par les corrélations déjà publiées [9–12]. Notonsque ces corrélations existantes ne sont peut-être pas lesmieux adaptées à notre configuration et que leur domainede validité respectif n’est pas précisé.
Au vue des résultats, l’hypothèse d’une conductionthermique axiale négligeable dans la matrice solide parles points de contact semble vérifiée puisque la valeur
TABLEAU IIIComparaison des valeurs estimées et des valeurs publiées des coefficients d’échange.
Rc, s Reh hs, W·m−2·K−1 ht, W·m−2·K−1 he, W·m−2·K−1
113,8 Reh = 462 Valeurs estimées 20,7 218 –Corrélation [10] 35,7 – 10
61,3 Reh = 872 Valeurs estimées 42,4 439 –Corrélation [10] 47,6 – 9
51,2 Reh = 1 060 Valeurs estimées 49,2 448 –Corrélation [10] 51,3 – 9
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E. Poncet et al.
du nombre de Biot est inférieure à 1 (Bis ≈ 10−3). Enrevanche, cette condition n’est pas vérifiée (Bit > 1) pourle tube.
5. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
La méthode et le montage expérimental décrits per-mettent de réaliser rapidement et avec une précision ac-ceptable la caractérisation complète d’un mini-régénéra-teur. Celle-ci passe par l’établissement des courbes ca-ractéristiques du frottement et la détermination des troiscoefficients d’échange thermique. L’allure générale dela courbe de frottement expérimentale correspond assezbien à celle obtenue à partir de la relation classique d’Er-gun avec cependant des écarts pour les valeurs extrêmesdu nombre de Reynolds (jusqu’à +37,1 %) probablementdus à la non-uniformité de la porosité à la paroi de l’en-veloppe. Cet aspect devient inévitable et plus manifestedans les mini-systèmes. Un effet de la température surle frottement, phénomène encore peu étudié, a été noté ;la perte de charge diminue lorsque la température aug-mente.
L’estimation du coefficient externe he s’est révéléeimpossible, celle de ht assez imprécise en raison de lafaible sensibilité du modèle pour ces paramètres dansle cadre des conditions expérimentales réalisées. Pourle coefficient ht, uniquement significatif pour des mini-échangeurs, la littérature actuelle ne fournie d’ailleurspas de valeurs de comparaison. L’estimation de hs reste,quant à elle, cohérente avec les relations fournies par lesauteurs de la spécialité, bien que l’utilisation de celles-ci semble confuse : notations, définitions et domaines devalidité non précisés clairement.
La figure 5 représente un prototype de refroidisseurà tube à gaz pulsé miniature dont la fabrication est is-sue de la technologie Silicium ; sa réalisation a été menéepar le LPMO (Laboratoire de Physique et Métrologie desOscillateurs) de Besançon. Le régénérateur est constituéde billes de verre d’une centaine de micromètres de dia-mètre. L’emploi de la technique décrite doit permettred’optimiser le fonctionnement thermique global de l’ap-pareil.
Remerciements
Nous remercions Monsieur O. Charles, ProfesseurAgrégé à l’Antenne de Vesoul de l’Institut Universitairede Technologie de Besançon-Vesoul, pour sa collabora-tion dans la réalisation de la chaîne de mesure de tempé-rature.
Figure 5. Refroidisseur à tube à gaz pulsé miniature.Figure 5. Miniature pulsed tube refrigerator.
RÉFÉRENCES
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