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Théorème des milieux. Hypothèses: I milieu de [AB] J milieu de [AC] Conclusion: (IJ) est parallèle à (BC) La longueur IJ est la moitié de la longueur BC. Réciproque du « théorème des milieux ». Hypothèses: I milieu de [AB] La droite (IJ) est parallèle à la droite(BC) Conclusion: - PowerPoint PPT Presentation
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Théorème des milieux
● Hypothèses:
● I milieu de [AB]
● J milieu de [AC]
● Conclusion:
● (IJ) est parallèle à (BC)
● La longueur IJ est la moitié de la longueur BC
Réciproque du « théorème des milieux »
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● Hypothèses:
● I milieu de [AB]
● La droite (IJ) est parallèle à la droite(BC)
● Conclusion:
● J est le milieu de [AC]
Théorème de Pythagore
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● Hypothèse:
● Le triangle ABC est rectangle en A
● Conclusion:
● BC²=AB²+AC²
● (le carré de la mesure de son hypothénuse est égal à la somme des carrés des mesures de ses autres côtés.)
Réciproque du théorème de Pythagore
● Hypothèse:
● BC²=AB²+AC²
● (le carré de la mesure de son hypothénuse est égal à la somme des carrés des mesures de ses autres côtés.)
● Conclusion:
● Le triangle ABC est rectangle en A
Droites remarquables du triangles(1)
● Les médiatrices des trois côtés d'un triangle ABC sont concourantes;ce point O est équidistant des trois sommets.Il existe donc un cercle qui a pour centre ce point et qui passe par les trois sommets.
● C'est le cercle circonscrit au triangle
Caractérisation du triangle rectangle
● Hypothèses:
● Le triangle ABC est rectangle en A
● J est le milieu de l'hypoténuse [BC]
● Conclusions:
● Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre [BC]
● La longueur AJ est la moitié de la longueur BC
Caractérisation du triangle rectangle
● Hypothèses:
● Les points A, B et C
appartiennent au cercle
● [BC] est un diamètre du cercle.
● Ou
● La longueur AJ est la moitié de
la longueur BC et J milieu de
[BC]
● Conclusions:
● ABC est rectangle en A
Droites remarquables du triangles(2)
● Hauteur d'un triangle
● On appelle hauteur d'un triangle la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
● Propriété:
● Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point nommé orthocentre de ce triangle
Droites remarquables du triangles(3)
● Médiane d'un triangle
● On appelle médiane d'un triangle la droite joignant un sommet et le milieu du côté opposé.
● Propriétés:
● Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point nommé centre de gravité de ce triangle
● GA'=1/3AA'et
● GA=2/3AA'
Théorème de Thalès
● Hypothèses:● M est un point du côté
[AB]● N est un point du côté
[AC]● (MN) est parallèle à
(BC)● Conclusion:● AM/AB= AN/AC= MN/BC
Droites remarquables du triangles(4)
● Cercle circonscrit dans un triangle
● Propriété:
● Les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois côtés de ce triangle.
● Il existe donc un cercle qui a pour centre ce point et qui est tangent aux trois côtés.
● Définition:On appelle cercle inscrit dans ce triangle le cercle tangent aux trois côtés du triangle.
Distance d'un point à une droite
● On appelle distance d'un point M à une droite (d) la plus courte distance du point M à un point de (d).
● C'est la longueur du segment [MH], H appartenant à la droite (d) et (MH) étant perpendiculaire à (d).
Tangente à un cercle
● Une droite (d) et un cercle (C) qui n'ont qu'un seul point commun A, sont dits tangents en A.
● Propriétés:
● Si une droite est tangente à un cercle alors cette droite est perpendiculaire au rayon correspondant
● Si une droite est perpendiculaire en A au rayon[OA] d'un cercle alors cette droite est tangente à ce cercle en A
Bissectrice d'un angle
● Définition:
● On appelle bissectrice d'un angle, la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents égaux
● Propriétés:
● Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est à égale distance des côtés de l'angle.
● Si un point est à égale distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Cosinus d'un angle aigu
● Vocabulaire:
● Dans un triangle ABC rectangle en C, on appelle:
● Hypoténuse, le côté [AB],
● Côté de l'angle droit adjacent à l'angle B:le côté [BC],
● Côté de l'angle droit opposé à l'angle B: le côté [AC]
Cosinus d'un angle aigu (suite)
● .Définition:
● Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un des angles aigus la quotient de la mesure de la longueur du côté de l'angle droit adjacent à cet angle par celle de l'hypoténuse du triangle
● Cos MNO=MN/NO
● Cos MON=MO/NO
● Remarque pour tout angle µ dont la mesure en degrés est telle que:0°≤ µ ≤ 90°, on a: 0≤ cosµ ≤ 1
