Paris 7QA 421-422–

THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN, t0 = vendredi 31 mai

∆t = 4heures

Vous avez tout intérêt à commencer par résoudre les trois premiers exercices, minimum requisgarantissant la moyenne. Suit un problème dans les méandres duquel chacun(e) pourra errer à songoût. Les brefs commentaires explicatifs destinés à montrer votre compréhension et à aider celle ducorrecteur seront aussi appréciés que l’absence de logorrhée. A vous d’exercer votre jugement demâıtre(sse) en physique. le G.O.

1 Transformation de Lorentz et particule de masse nulle (4 points)Soit une particule d’énergie e et impulsion p — comme toute particule digne de ce nom —, et demasse nulle.

1. Quelle relation y a t-il entre l’énergie e et le module p de l’impulsion de cette particule ?

2. En déduire la vitesse de cette particule.

Jules, pour qui la particule a les caractéristiques e,p, voit Jim se déplacer à vitesse constante V. Julesrepère les événements par des coordonnées t, x, y, z, en ayant choisi son axe x̂ selon V. Jim, quant àlui, use des coordonnées t′, x′, y′, z′ et choisit son axe x̂′ opposé à la vitesse de Jules.

3. Quelles sont les expressions de l’énergie e et des composantes px, py, pz observées par Jules enfonction des e′, p′x, p′y, p′z de Jim ?

Jules adopte un axe ŷ tel que p soit dans le plan (x̂, ŷ) et repère l’impulsion de la particule par sonangle θ. Jim en fait autant dans son repère.

4. Déduire des relations précédentes les expressions de p et de cos θ en fonctions de p′, cos θ′ et V .

2 Transformation de Lorentz et champ électromagnétique (4 points)Les mêmes Jules et Jim observent maintenant un champ électromagnétique.

1. Quelle est l’expression de la matrice Λµν de la transformation x′µ = Λµνx

ν entre coordonnéesutilisées respectivement par Jules et Jim ?

2. Calculer le tableau des composantes (Fµν) du tenseur du champ électromagnétique en fonctiondes composantes E1, E2 . . . B3 des champs électrique et magnétique.

3. En déduire les expressions des composantes E′1, E′2, E

′3 du champ électrique observées par Jim

en un événement auquel Jules attribue les composantes de champ E1, E2, . . . B3.

4. En déduire les expressions des composantes B′1,B′2,B

′3 du champ magnétique observées par

Jim en ce même événement.

5. En déduire des expressions vectorielles pour les lois de transformation des champs électriqueet magnétique. Commenter.

Dans une certaine région vide, Jules observe un champ électromagnétique du type “onde plane” dontle champ électrique a pour expression

E(t, x, y, z) = ẑE ei(ωt−k·r),

avec

k = k

{cos θsin θ0

, kdf= |k|, r =

{ xyz

.

6. Quelle condition k doit-il nécessairement satisfaire ?

7. Quelles sont les expressions des composantes du champ magnétique B(t, x, y, z) ?

8. Calculer les valeurs des composantes E′x, E′y, E

′z en un événement, pour Jim, en fonctions des

valeurs de Ex, Ey . . .Bz, au même événement, pour Jules.

9. En déduire les expressions E′x(t′, x′, y′, z′), E′y(t

′, x′, y′, z′), E′z(t′, x′, y′, z′) des composantes du

champ électrique en tout événement de la région, pour Jim.

10. Vérifier que ce champ électrique E′(t′, x′, y′, z′) est encore du type onde plane, avec descaractéristiques E′, ω′, k′, cos θ′ que vous déterminerez en fonction de E, ω, cos θ et V .

11. Déterminer, au moyen des invariants du champ électromagnétique, les caractéristiques duchamp magnétique B′ observé par Jim.

12. Comparer les propriétés de transformation de la pulsation et de la direction de propagationd’une onde électromagnétique monochromatique plane avec les propriétés de transformation del’énergie et de la direction d’une particule de masse nulle (exercice 1).

3 Champ créé par une charge ponctuelle (4 points)Une charge électrique qui se déplace en ligne droite voitsa vitesse qui était constante passer brusquement de lavaleur v = 3/4 à la valeur dorénavant constante v = 1/2.Ce changement de vitesse est pris comme origine del’espace et du temps.

1. Représenter, sur des petits dessins, les régions de l’espace dans lesquelles on peut trouver duchamp électromagnétique du type rayonnement à t = −1 m, à t = 0 m, à t = 1 m, à t = 2 m.

2. A t = 2 m, représenter l’allure du champ électrique en A(x = y = 1 m, z = 0), en O(x = y =z = 0), en C(x = 1m, y = 2m, z = 0). Quelle est l’allure du champ magnétique en ces mêmes points,au même instant ? Que pouvez-vous dire des intensités du champ électrique en A et en O ?

3. Représenter l’allure des lignes du champ électrique dans le plan z = 0, à t = 2 m.

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4 Sur fond de rayonnement cosmique (≥ 8 points)1. Jules et Jim observent la même particule de masse nulle. Rappeler les expressions de p/p′

et cos θ en fonction de V et cos θ′.

Jules est dans une caisse fixe, de volume V, contenant un certain nombre de particules, identiques,de masse nulle, dont les impulsions sont distribuées selon la loi d3N = F (p) d3p, dictant le nombrede particules dont l’impulsion appartient au pavé (p, d3p). Pour Jim, ces mêmes d3N particules ontleurs impulsions dans un pavé (p′, d3p′) et se distribuent selon la loi d3N = F ′(p′) d3p′.

2. Déterminer par la méthode qui vous plaira (jacobien, ou d3p = p2 dp d(− cos θ) dϕ) lerapport d3p/d3p′ des volumes des pavés.)

La distribution, observée par Jules à l’équilibre thermodynamique à la température T , est celle ducorps noir,

F (p) =1

4π3Vh̄3

1

ep/kT − 1.

3. En déduire la distribution F ′(p′) observée par Jim en fonction de V , p′, cos θ′ et du volume V ′qu’il attribue à la caisse bien propre de Jules.

4. Montrer que le spectre des particules observées par Jim sous un angle θ′ donné présente l’aspectd’un spectre de corps noir à une “température” T ′(θ′) à préciser.

5. Le fond de rayonnement électromagnétique cosmique observé depuis la Terre présente effec-tivement, à une bonne approximation, la forme d’un rayonnement de corps noir de température T =2, 7 K. Toutefois, on observe une légère anisotropie du rayonnement reçu, de type dipolaire,d’amplitude ±3,5 mK du Verseau au Lion. En déduire la valeur de la vitesse (de la Terre ? du Soleil ?de la Voie Lactée ?) par rapport au cosmos.

On étudie maintenant le ralentissement d’un objet en mouvement par rapport au cosmos, sous l’effetdu bombardement du fond de rayonnement électromagnétique cosmique. On prend comme modèlepour cet objet une boule absorbante, de vitesse V x̂ par rapport à Jules, de forme sphérique avec unrayon R (dans son repère propre).

6. Calculer le volume dV ′ du domaine de l’espace dans lequel se trouvent les particules qui vontfrapper la boule sous un angle θ′, durant le temps dt′, dans le repère de la boule.

7. En déduire le nombre d4N de particules dont les impulsions appartiennent au pavé (p′, d3p′)et qui sont absorbées par la boule durant dt′.

8. En déduire la valeur de la composante d4P ′x de l’impulsion transférée à la boule durant dt′ parabsorption de particules d’impulsions appartenant à (p′, d3p′).

9. Calculer la composante d3P ′x de l’impulsion transférée à la boule durant dt′ par absorption departicules d’impulsions appartenant à l’angle solide (p̂′, d2p̂′).

10. Calculer la composante dP ′x de l’impulsion totale transférée à la boule durant dt′.

11. Quelles sont les valeurs des composantes dP ′y et dP ′z de cette impulsion ?

Il faut maintenant établir l’équation du mouvement de la boule. On complète le modèle en assignantà celle-ci un rayon R et une masse m constants.

12. Pour les scrupuleuses : peut-on imaginer un mécanisme permettant à ce modèle d’êtrecompatible avec les grands principes de conservation ?

13. Dans un repère inertiel où la boule est initialement au repos, calculer la vitesse dv acquise parla boule après un temps dt′, suite à l’absorption d’impulsion dP′.

14. En déduire, par “composition des vitesses”, la vitesse V + dV acquise par la boule dans lerepère inertiel où sa vitesse était initialement V .

15. En déduire l’équation différentielle de la vitesse V (t) de la boule par rapport au repère propredu rayonnement de corps noir à température T .

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Reste enfin à intégrer cette équation du mouvement. On suppose pour cela que la température durayonnement de corps noir reste à peu près constante au cours de la durée caractéristique de l’évolutionde la vitesse V (t) de la boule.

16. Calculer V (t). (Il est rigoureusement autorisé de poser

Adf=

20

π2h̄3

(kT )4ρR,

où ρ est la masse volumique (uniforme) de la boule, et

Bdf=

V0

1 +√

1 − V 20,

où V0 est la vitesse initiale de la boule : V0df= V (t = 0).)

17. Représenter l’allure de l’évolution de la vitesse sous la forme V (t)/V0 en fonction de t/A pourquelques valeurs caractéristiques de la vitesse initiale V0.

18. Calculer la valeur de la constante A dans le cas :(i) du Soleil dans les conditions actuelles,(ii) d’une météorite millimétrique dans un rayonnement à 103 K,(iii) d’un grain de poussière micrométrique dans les mêmes conditions.

Quelques informations disponibles dans le commerce :

∫ ∞

0

dxx3

ex − 1=

π4

15,

∫dx

x√

1 − x2= ln

x

1 +√

1 − x2

Constante de Stefan-Boltzmann σ = π2k4/60h̄3 = 5, 7× 10−8 W m−2 K−4Rayon du Soleil R¯ = 6 × 108 mMatière solaire ρ¯ = 1,4 × 103 kg m−3T. Greber and H. Blatter, Aberration and Doppler shift : The cosmic background radiation andits rest frame, Am. J. Phys. 58 () 942.

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