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Théorie des champs classiquesHarold Erbin
Notes de cours de Magistère M1, donné par M. Nitti.
Ce texte est publié sous la licence libreLicence Art Libre :
http://artlibre.org/licence/lal/
Version : 12 février 2011Site : http://harold.e.free.fr/
Table des matières
Table des matières 2
1 Introduction 41.1 Recherche d’une équation d’onde relativiste : l’équation de Klein–Gordon 4
2 Relativité restreinte 62.1 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Formalisme lagrangien 103.1 Rappels de mécanique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Formulation lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Dérivée fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Conditions aux bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Description hamiltonienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Champ scalaire réel 174.1 Solution de l’équation de Klein–Gordon . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 Calcul de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Champ scalaire en interaction 245.1 Champ scalaire avec source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.1 Fonctions de Green — Cas général . . . . . . . . . . . . . 245.1.2 Fonctions de Green avancée et retardée . . . . . . . . . . 255.1.3 Autres fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.4 Énergie et couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.5 Potentiels retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Auto-interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Symétries et lois de conservations 366.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Théorème de Noether et courants conservés . . . . . . . . . . . . 37
6.2.1 Énoncé et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.2 Autres démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Applications du théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . 406.3.1 Symétrie U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3.2 Tenseur énergie–impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3.3 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Invariance de jauge et champs vectoriels 467.1 Transformation de jauge locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Équations pour le champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3 Degrés de liberté du champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3.1 Transformations de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.3.2 Formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2
7.4 Champ vectoriel massif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.5 Spin du champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.6 Fonction de Green pour le champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . 56
8 Brisures de symétries 588.1 Brisure explicite de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2 Brisure globale de symétrie, théorème de Goldstone . . . . . . . . 588.3 Brisure locale de symétrie, mécanisme de Higgs . . . . . . . . . . 61
9 Théories de jauge non abéliennes 649.1 Symétrie U(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.2 Symétrie SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3 Symétrie SU(2) locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.4 Généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10 Brisures de symétries non abéliennes 73
11 Champs de spin 2 7511.1 Procédure de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7511.2 Translation locale et champ tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A Théorie des champs conformes 80
Index 84
Table des figures 86
3
1 Introduction1.1 Recherche d’une équation d’onde relativiste : l’équa-
tion de Klein–GordonLa relation de dispersion d’une particule non relativiste est
E = p2
2m (1.1)
ce qui conduit à l’équation de Schrödinger
i~∂tψ(t,x) = − ~2
2m ∇2 ψ(t,x) (1.2a)
i~∂tψ∗(t,x) = ~2
2m ∇2 ψ∗(t,x) (1.2b)
en utilisant les relations de correspondances
E → i~∂t p→ −i~∇ (1.3)
La densité de probabilité d’une particule en un point de l’espace est donnéepar
ρ(t,x) = |ψ(t,x)|2 (1.4)
Cherchons l’équation de conservation associée à cette quantité :
∂t |ψ|2 = ψ∂tψ∗ + ψ∗∂tψ
= ψ
(~
2im ∇2 ψ∗
)+ ψ∗
(− ~
2im ∇2 ψ∗
)= ~
2im (ψ∇2 ψ∗ − ψ∗∇2 ψ)
= ~2im ∇(ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ)
ce qui donne∂tρ+∇J = 0 (1.5)
en définissantJ = ~
2im (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) (1.6)
Cette équation signifie que la "charge" associée à la densité ρ, définie par
Q =∫R3ρ(t,x) d3x (1.7)
est conservée (ici il s’agit de la probabilité de présence dans l’espace entier, quivaut 1). En effet, on a :
dQdt = d
dt
∫R3ρ(t,x) d3x =
∫R3∂tρ(t,x) d3x
=∫R3−∇J(t,x) d3x = −
∮∂R3
J · n dS = 0
4
Essayons de procéder de même dans le cas relativiste avec la relation dedispersion
E2 − c2p2 = m2c4 (1.8)
On obtient l’équation de Klein–Gordon
(−~2∂2t + c2~2∇2−c4m2)ψ(t,x) = 0
qui se récrit (1c2∂2t −∇2 +m2c2
~2
)ψ = 0 (1.9a)(
1c2∂2t −∇2 +m2c2
~2
)ψ∗ = 0 (1.9b)
Toutefois cette expression conduit à deux problèmes qui conduisent à larejeter.
La relation de dispersion (1.8) donne
E = ±√c2p2 +m2c4 (1.10)
or la solution négative ne peut être physique car elle correspond à une diminutionde l’énergie du système qui peut être arbitrairement grande (puisque p n’est pasborné) : il serait impossible d’atteindre le niveau fondamental.
En multipliant les équations (1.9) respectivement par ψ∗ et ψ puis en lessoustrayant, on obtient
1c2
(ψ∗∂2t ψ − ψ∂2
t ψ∗) = ψ∗∇2 ψ − ψ∇2 ψ∗
1c2∂t(ψ∗∂tψ − ψ∂tψ∗) = ∇(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)
d’où∂tρ+∇J = 0 (1.11)
avec 1
ρ = i
c2(ψ∗∂tψ − ψ∂tψ∗) (1.12a)
J = i(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) (1.12b)
Pour une valeur négative de l’énergie, ρ < 0 et il est donc impossible d’in-terpréter cette grandeur comme une densité de probabilité.
Le champ ψ ne peut donc pas être interpréter comme une fonction d’onde,mais il peut être assimiler à un champ classique, qui est une observable. Il nepeut correspondre à une particule chargée ou de spin non nul car l’équation deKlein–Gordon ne fait intervenir aucune de ces deux grandeurs.
1. le facteur i est conventionnel
5
2 Relativité restreinte2.1 Transformations de Lorentz
Postulat : Les lois de la physique sont identiques dans tous les référentiels.
Ce postulat a pour conséquence que la vitesse de la lumière c est une vitesseuniverselle. On posera c = 1 dans la suite.
On considère un espace à quatre dimension xµ = (t, x, y, z) = (t,x) notéesaussi (x0, x1, x2, x3). Un prime dénotera les coordonnées et autres grandeursdans un autre référentiel.
Les transformations de Galilée sont définies par{x′ = x+ vtt′ = t′
(2.1)
Elles ne sont valables que pour des vitesses |v| � c.Considérons deux points A et B. On émet un signal lumineux du point A
au temps t qui arrive en B au temps t′. On doit alors avoir
|c(t− t′)| = |x− x′|
ou encore(∆s)2 = c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0 (2.2)
Cette quantité invariante est appelée intervalle d’espace–temps.Plus généralement, on notera cette grandeur
ds2 = c2dt2 − dx2 = η dx (2.3)
en définissant le tenseur métrique η par
η =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
(2.4)
En adoptant la convention de sommation sur les indices répétés, on noteencore
ds2 = ηµνdxµdxν (2.5)
Cherchons maintenant la loi de transformation des coordonnées
x→ x′µ = fµ(xν) = Λµνxν + aµ (2.6)
On a
ds2 = ηµνdxµdxν
= ηρσdx′ρdx′σ
= ηρσΛρµΛσνdxµdxν
d’oùηµν = ηρσΛρµΛσν (2.7)
6
On a
ηµν =∑ρ,σ
ΛρµηρσΛσν
=∑ρ
(Λt) ρµ (ηΛ)ρν = (ΛtηΛ)µν
ce qui donne la relation fondamentale
η = ΛtηΛ (2.8)
qui définit les transformations dites de Lorentz.
Exemple 2.1.Les rotations R ∈ SO(3) définies par RtR = 1 permettent de définir la
transformation
Λ =
1 0 0 000 R0
avec
Λt =
1 0 0 000 Rt
0
Cette transformation vérifie bien la propriété (2.8) :
ΛtηΛ =
1 0 0 000 Rt
0
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
1 0 0 000 R0
=
1 0 0 000 −RtR0
=
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
Une rotation d’angle θ autour de l’axe z est définie par
R =
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
Exemple 2.2.
Transformation selon z :
(t′ x′ y′ z′
)=
a 0 0 b0 1 0 00 0 1 0c 0 0 d
(t x y z)
La relation (2.8) donne la condition
ch2 β − sh2 β = 1 (2.9)
7
où l’on a posé {a = d = ch βb = c = sh β
(2.10)
On a les relations
th β = v
ch β = 1√1− v2
sh β = v√1− v2
Les transformations de Lorentz forment un groupe à six paramètres conti-nus :
– v, associés aux translations ;– θ, associés aux rotations.
2.2 TenseursIl existe deux types d’indices :– contravariant : V µ = (V 0,V ) ;– covariant : V µ = (V 0,−V ),
qui se tansforment respectivement comme
V → ΛV (2.11a)V → (Λt)−1 (2.11b)
Soient a et b deux 4-vecteurs. On définit leur produit scalaire paramètres
a · b = aµbµ (2.12)
Le produit scalaire est invariant. En effet :
a′µb′µ = (Λt)−1 ρ
µ Λµσaρbσ
= (Λ−1)ρµΛµσaρbσ
= δρσaρbσ
= aµbµ
L’inverse (ΛtηΛ)−1 = η−1 de la relation (2.8) donne
Λ−1η−1(Λt)−1 = η−1 (2.13)
On a aussiη = η−1 (2.14)
Soit a→ Λa, alors on a ηa→ Λtηa d’où
ηΛa = (Λt)−1ηΛ−1Λa= (Λt)−1ηa
et ainsi ηµνaν = aµ et donc aν = (η−1)µνaν .On a la relaation
ηµν = δµν (2.15)
8
Exemple 2.3.Voici quelques vecteurs contra- et covariants :– Pµ = (E,p).– ∂µ = (∂t,∇). Le d’alembertien est défini par
� = ∂µ∂µ = ∂2
t −∇2 (2.16)
Un tenseur k fois contravariant et p fois contravariant du groupe de Lorentzest un objet qui se transforme comme
T →(Λ · · ·Λ
)︸ ︷︷ ︸kfois
((Λt)−1 · · · (Λt)−1)︸ ︷︷ ︸
pfois
T (2.17)
On dira qu’il est d’ordre (k, p) et il sera noté Tµ1···µkν1···νp .
On a la relationΛ σρ = ηρµη
σνΛµν = (ηΛη) σρ
Exemple 2.4.– scalaire : ordre 0.– vecteur : ordre 1.
Un tenseur d’ordre 2 T ′µν = Λ αµ Λ β
ν Tαβ est dit :– symétrique si Tµν = Tνµ ;– antisymétrique si Tµν = −Tνµ .Sa trace est donnée par
trT = T µµ (2.18)
Un tenseur d’ordre 3 est dit complètement symétrique si
Tµνρ = Tρµν = Tνρµ = · · ·
Un tenseur sera complètement antisymétrique s’il prend un signe moins à chaquepermutation impaire.
Un champ tensoriel Φν1···νnµ1···µm
(x) se transforme linéairement sous une ou plusieursmatrices Λ sous la transformation x′ = Λx :
Φ′ν1···νn
µ1···µm(x′) = Λ ρ1
µ1· · ·Λ ρm
µmΛν1
σ1· · ·Λνn
σnΦσ1···σnρ1···ρm
(x) (2.19)
Un champ scalaire φ(x) se transforme comme
φ′(x′) = φ(x) (2.20)
Un champ vectoriel Aµ(x) se transforme comme
A′µ(x′) = Λ νµ Aν(x) (2.21)
9
3 Formalisme lagrangien3.1 Rappels de mécanique du point
Un système de coordonnées généralisées q est décrit par l’action
S[q] =∫
dt L(q, q) (3.1)
où L est le lagrangien, généralement donné par
L = m
2 q2 − V (q) (3.2)
Cherchons la variation de l’action sous une transformation infinitésimale descoordonnées {
q → q + δq
q → q + δq = q + ∂t(δq)(3.3)
en supposant que la variation s’annule aux bords du domaine.On obtient alors :
S[q + δq] =∫
dt L(q + δq, q + ∂t(δq)
)≈ S[q] +
∫dt(∂L
∂qδq + ∂L
∂q∂t(δq)
)= S[q] +
∫dtδq
(∂L
∂q− d
dt∂L
∂q
)en intégrant par partie puisque le terme intégré est nul. La variation de l’actionvaut donc
δS = S[q + δq]− S[q] =∫
dtδq(∂L
∂q− d
dt∂L
∂q
)(3.4)
et on doit avoir δS = 0 pour tout δq, ce qui nous donne les équations d’Euler–Lagrange :
∂L
∂q− d
dt∂L
∂q= 0 (3.5)
On définit le moment conjugué p d’une coordonnée q par
p = ∂L
∂q(3.6)
Le hamiltonien du système est alors donné par
H(q, p) = pq − L(q, q) (3.7)
en considérant q comme une fonction de q et p.
3.2 Formulation lagrangienne des champsSoit un champ φ = φ(x). Il est décrit par l’action
S[φ] =∫
dtL(φ, ∂µφ) (3.8)
10
Si on considère seulement les théories locales, alors le lagrangien L s’écritcomme l’intégrale d’une densité de lagrangien L :
L =∫
d3x L(φ, ∂µφ) (3.9)
On écrira alors l’action sous la forme
S =∫
d4x L(φ, ∂µφ) (3.10)
De cette manière S est un invariant de Lorentz à condition que L soit aussi uninvariant : seuls les termes du type φ2, ∂µφ∂µφ, etc., peuvent apparaitre.
Par abus de langage, on dit souvent que L est le lagrangien du système.Considérons un intervalle D = [t0, t1] × S où S est un domaine spatial. On
notera ∂S le bord de S.Considérons une variation de φ :{
φ(x)→ φ(x) + δφ(x)∂µφ→ ∂µφ+ ∂µ(δφ)
(3.11)
avec δφ = 0 sur les bords.L’action sera alors
S[φ+ δφ] =∫
d4x L(φ+ δφ, ∂µφ+ ∂µ(δφ)
)≈ S[φ] +
∫d4x
(∂L∂φ
δφ+ ∂L∂(∂µφ)∂µ(δφ)
)= S[φ] +
∫d4x δφ
(∂L∂φ− ∂µ
∂L∂(∂µφ)
)+∮∂D
d3Σ δφ nµ∂L
∂(∂µφ)︸ ︷︷ ︸=0
car∮∂D
d3Σ δφ nµ∂L
∂(∂µφ) =∫S
d3x
[∂L
∂(∂µφ)
]t1t0
−∫ t1
t0
dt∮∂S
d2x∂L
∂(∂µφ) = 0
La variation de l’action
δS =∫
d4x δφ
(∂L∂φ− ∂µ
∂L∂(∂µφ)
)= 0 (3.12)
conduit donc aux équations d’Euler–Lagrange pour les champs :
∂µ∂L
∂(∂µφ) −∂L∂φ
= 0 (3.13)
Exemple 3.1 (Champ scalaire libre).Considérons un champ scalaire φ dont le lagrangien s’écrit
L = 12∂µφ∂
µφ = 12η
ρσ∂ρφ∂σφ (3.14)
11
Les équations d’Euler–Lagrange (3.13) donnent :
∂L∂(∂µφ) = 1
2∂
∂(∂µφ) (ηρσ∂ρφ∂σφ)
= 12η
ρσ(δρµ∂σφ+ δσµ∂ρφ)
= 12(ηµσ∂σφ+ ηρµ∂ρφ) = ∂µφ
d’où∂µ
∂L∂(∂µφ) = ∂µ∂
µφ = 0 (3.15)
car∂L∂φ
= 0
Exemple 3.2 (Lagrangien de Klein–Gordon).Reprenons le lagrangien de l’exemple précédent et ajoutons un terme de
masse :L = 1
2∂µφ∂µφ− m2
2 φ2 (3.16)
avec m2 > 0.De manière évidente, on a
∂L∂φ
= −m2φ (3.17)
On obtient l’équation de Klein–Gordon :
∂µ∂µφ+m2φ = 0 (3.18)
On peut écrire le lagrangien comme
L = 12(φ)2︸ ︷︷ ︸
=T
−(
12(∇φ)2 + m2
2 φ2)
︸ ︷︷ ︸=V
(3.19)
et la densité d’énergie est alors
E = T + V (3.20)
On peut écrire l’action d’une manière différence :
S =∫
d4x12(∂µφ∂µφ−m2φ2)
= −12
∫d4x φ(∂µ∂µφ+m2φ)
= −12
∫d4x φ(∂µ∂µ +m2)φ
où l’on a intégré par partie pour passer à la deuxième ligne.
12
Exemple 3.3 (Lagrangien avec auto-interaction).Ajoutons cette fois-ci un terme à la puissance 4 :
L = 12∂µφ∂
µφ− m2
2 φ2 − λ
4 φ4 (3.21)
avec m2 > 0, λ > 0.Même si l’on choisissait de mettre un signe plus devant le terme de masse,
l’énergie resterait bornée inférieurement grâce au terme en φ4.
Théorème d’Ostrogradski : Si L dépend de dérivées de φ d’ordre supérieurà 1, alors H n’est pas borné inférieurement.
3.3 Analyse dimensionnelleDans le système d’unités naturelles où
c = ~ = 1 (3.22)
toutes les grandeurs sont des puissances de la longueur ou de la masse, avec
L = M−1 (3.23)
L’action a comme dimension [S] = 1 et comme [d4x] = L4 = M−4, on doitavoir [L] = L−4 = M4, ce qui permet de déterminer la dimension du champ :
[∂2φ2] = [∂2][φ2] = M2[φ2] = M4
d’où[φ] = M (3.24)
ce qui impose la dimension des paramètres :
[m] = M [λ] = 1 (3.25)
Lorsque l’on parlera, sans plus de précisions, de la dimension n ∈ Z d’unparamètre, cela signifiera que sa dimension est Mn.
Un lagrangien ne peut pas contenir de monômes de degré supérieur à 4 (c’està dire des paramètres de dimension négative) pour des raisons quantiques (il yaurait trop d’autointeractions et l’énergie serait trop grande). Il s’agit du critèrede renormalisation.
3.4 Dérivée fonctionnelle
Soit F [φ] =∫
d4x f(x)φ(x) une fonctionnelle. Sa dérivée fonctionnelle estdonnée par
δFδφ(y) = f(y) (3.26)
Plus généralement, soit F [φ] =∫
d4x F (φ(x)) une fonctionnelle. On définitla dérivée fonctionnelle par
δFδφ(y) = ∂F (φ)
∂φ
∣∣∣∣x=y
(3.27)
13
Exemple 3.4.Soit F [φ] =
∫d4x φ(x)n, alors
δFδφ(x) = nφ(x)n−1 (3.28)
Formellement, on peut écrire
δFδφ(y) = f(y) =
∫d4x f(x)δ(4)(x− y) (3.29)
et alorsδφ(x)δφ(y) = δ(4)(x− y) (3.30)
On a
δ
δφ(y)
∫d4x F (φ(x)) =
∫d4x
δ
δφ(y)F (φ(x))
=∫
d4x∂F (φ)∂φ
δφ(x)δφ(y)
=∫
d4x∂F (φ)∂φ
δ(4)(x− y)
= ∂F (φ)∂φ
∣∣∣∣x=y
De même que l’on écrit la différentielle d’une fonction f comme
df =∑i
∂f
∂xidxi (3.31)
on peut écrire la variation d’une fonctionnelle comme
δF =∫
d4xδF
δφ(x)δφ(x) (3.32)
et ainsiδF = 0 =⇒ δF
δφ(x) = 0 (3.33)
Exemple 3.5.Appliquons ce formalisme au lagrangien de Klein–Gordon (3.16) :
δS
δφ(y) =∫
d4x12
(∂µδ
(4)(x− y)∂µφ+ ∂µφ∂µδ(4)(x− y)−m2 2φδ(4)(x− y)
)=∫
d4x12δ
(4)(x− y)(−∂µ∂µφ− ∂µ∂µφ− 2m2φ
)= −∂µ∂µφ−m2 = 0
où l’on a intégré par partie pour passer à la deuxième ligne.
14
3.5 Conditions aux bordPlaçons nous en deux dimensions pour la suite, le cas à quatre dimensions
se déduisant facilement. Avec δφ(t0) = δφ(t1) = 0, la variation de l’action
S =∫ t1
t0
dt∫ L
0dx L(φ, φ, φ′) (3.34)
où l’on a noté ∂xφ = φ′, donne :
δS =∫ t1
t0
dt∫ L
0dx δφ
(∂L∂φ− ∂t
∂L∂φ− ∂x
∂L∂φ′
)+∫ t1
t0
dt δφ(t, L) ∂L∂φ′
(t, L)−∫ t1
t0
dt δφ(t, 0) ∂L∂φ′
(t, 0)(3.35)
On obtient ainsi les équations d’Euler–Lagrange et les conditions aux bords(conditions de von Neumann) :
∂t∂L∂φ
+ ∂x∂L∂φ′− ∂L∂φ
= 0 (3.36a)
∂L∂φ′
(t, 0) = 0 ∂L∂φ′
(t, L) = 0 (3.36b)
Si le champ ne prend pas une valeur nulle sur la surface, alors on obtientl’action
S′ = S + µ0
∫ t1
t0
dt f(φ; t, 0)− µ1
∫ t1
t0
dt f(φ; t, L) (3.37)
où f est une fonction arbitraire du champ au bord. Considérons la variation dupremier terme :
δ
∫ t1
t0
dt µ0f(φ; t, 0) =∫ t1
t0
dt µ0f(φ+ δ φ; t, 0)−∫ t1
t0
dt µ0f(φ; t, 0)
=∫ t1
t0
dt µ0∂f
∂φ(t, 0) δφ(t, 0)
qui sera regroupé avec l’autre terme en δφ(t, 0) (dernier terme de (3.35)). Leterme en µ1 donnera de même une contribution au terme en δφ(t, L). Les con-ditions aux bords deviennent donc :
∂L∂φ′
(t, 0) = µ0∂f
∂φ(t, 0) ∂L
∂φ′(t, L) = µ1
∂f
∂φ(t, L) (3.38)
car la variation doit être nulle quels que soient δφ(t, x), δφ(t, 0), δφ(t, L).La contribution du terme de bord n’est linéaire que si f et g sont proportion-
nels à φ2. Un terme proportionnel à φ fait perdre l’homogénéité : il se comportecomme une source localisée sur le bord, et φ = 0 n’est plus solution.
Pour µ0 = µ1 = 0 on retrouve les conditions de von Neumann, et pourµ0 = µ1 =∞ on obtient les conditions de Dirichlet :
∂f
∂φ(t, 0) = 0 ∂f
∂φ(t, L) = 0 (3.39)
15
Exemple 3.6 (Champ de Klein–Gordon avec conditions aux limites).On considère l’action de Klein–Gordon à deux dimensions avec des termes
de bords f(t, x) = φ2(t, x) :
S =∫ t1
t0
dt∫ L
0dx 1
2(φ2− φ′2−m2φ2) + µ0
2
∫ t1
t0
dt φ2(t, 0)− µ1
2
∫ t1
t0
dt φ2(t, L)
(3.40)et alors {
φ′(t, 0) = µ0 φ(t, 0)φ′(t, L) = µ1 φ(t, L)
(3.41)
3.6 Description hamiltonienne des champsOn définit le moment conjugué π du champ φ par
π(x) = ∂L∂φ
(3.42)
La covariance est brisée par la mise en avant du temps.Le hamiltonien est donné par
H =∫
d3x H(φ, π) (3.43)
où H est la densité de hamiltonien :
H = π(x)φ(x)− L (3.44)
Exemple 3.7 (Hamiltonien de Klein–Gordon).Le lagrangien (3.16) devient, en faisant apparaitre φ :
L = 12 φ
2 − 12(∇φ)2 − m2
2 φ2 (3.45)
ce qui permet de calculer le moment conjugué de φ :
π(x) = ∂L∂φ
= φ(x) (3.46)
et la densité de hamiltonien est
H = E = 12π
2 + 12(∇φ)2 + m2
2 φ2 (3.47)
L’énergie se calcule en intégrant l’expression précédente :
E =∫
d3x
(12π
2 + 12(∇φ)2 + m2
2 φ2)
︸ ︷︷ ︸≥0
(3.48)
16
4 Champ scalaire réelOn rappelle le lagrangien de Klein–Gordon
Lg = 12∂µφ∂
µφ− m2
2 φ2 (4.1)
où φ(x) est un champ réel, et l’équation du mouvement associée :
(�+m2)φ = (∂2t −∇2 +m2)φ = 0 (4.2)
4.1 Solution de l’équation de Klein–Gordon4.1.1 Solution générale
Essayons une solution du type d’onde plane (ce qui consiste à faire unetransformée de Fourier sur les composantes spatiales) :
φk(t,x) = ψ(t) eik·x (4.3)
En injectant cette fonction dans l’équation (4.2), on obtient
ψk + (k2 +m2)ψk = 0
soit encoreψk + ω2
kψk = 0 (4.4)
en notantω2k = k2 +m2 (4.5)
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique qui a pour solution :
ψk(t) = ak e−iωkt + bk eiωkt (4.6)
et doncφk(t,x) = ak e−(iωkt−k·x) + bk ei(ωkt+k·x) (4.7)
La solution générale 2 s’obtient en intégrant sur les k :
φ(t,x) =∫ d4k
(2π)4
(ak e−(iωt−k·x) + bk ei(ωt+k·x)) δ(ω2 − ω2
k) (4.8)
Il reste à imposer la condition de réalité φ = φ∗. On a
φ∗(t,x) =∫ d4k
(2π)4
(a∗k ei(ωt−k·x) + b∗k e−i(ωt+k·x)) δ(ω2 − ω2
k)
=∫ d4k
(2π)4
(a∗−k ei(ωt+k·x) + b∗−k e−i(ωt−k·x)) δ(ω2 − ω2
k)
2. Il aurait aussi été possible de faire une transformée de Fourier sur les quatre dimensions.On aurait obtenu l’équation (k2 −m2)φ = 0, qui admet une solution seulement si k2 = m2,ce qui redonne la relation de dispersion (4.5). Il ne reste plus qu’à prendre la transformée deFourier inverse φ = (2π)−4
∫d4k φ ei(ωt+x·k)δ(ω2 − ω2
k), en se rappelant que l’on intègre ωsur R entier. Il faut alors séparer l’intégrale sur ω en deux, afin de se ramener uniquement audomaine ω > 0, ce qui donnera les deux termes de l’équation (4.8) ci-dessous.
17
où on a fait le changement de variable k→ −k. L’identification des coefficientsavec (4.8) donne les conditions : {
a∗−k = bk
b∗−k = ak(4.9)
d’où
φ(t,x) =∫ d4k
(2π)4
(ak e−(iωt−k·x) + a∗−k ei(ωt+k·x)) δ(ω2 − ω2
k)
=∫ d4k
(2π)4
(ak e−(iωt−k·x) + a∗k ei(ωt−k·x)) δ(ω2 − ω2
k)
en faisant le changement de variable k → −k pour le deuxième terme. Finale-ment, on définit le quadrivecteur
kµ = (ω,k) (4.10)et on obtient la solution pour φ :
φ(t,x) =∫ d4k
(2π)4
(ak e−ikx + a∗k eikx
)(4.11)
On peut remplacer la mesure par d3k :∫ d4k
(2π)4 δ(ω2 − ω2
k) =∫ d4k
(2π)4 δ((ω + ωk)(ω − ωk)
)=∫ d4k
(2π)41
2ωk(δ(ω + ωk) + δ(ω − ωk)
)=∫ d3k
(2π)3
∫ dω2π
12ωk
δ(ω − ωk)
=∫ d3k
(2π)31
2ωkoù on a utilisé le fait que ω ≥ 0, ainsi que la formule
δ(f(x)
)=∑{χi}
δ(x− χi)|f ′(χi)|
(4.12)
où les χi sont les racines de f . La solution peut donc s’écrire :
φ(t,x) =∫ d3k
(2π)31
2ωk(ak e−(iωkt−k·x) + a∗k ei(ωkt+k·x)) (4.13)
On remarque que la solution n’est plus explicitement covariante sous cette forme.En introduisant les fonctions de fréquences positive et négative
f±(x) = e∓(iωkt−k·x) (4.14)on peut écrire la solution sous la forme
φ = φ+ + φ− =∫ d3k
(2π)31
2ωk(akf
+k (x) + a∗kf
−k (x)
)(4.15)
Nous utiliserons parfois l’expression c.c. indiquant qu’il faut prendre le com-plexe conjugué du terme précédent :
φ(t,x) =∫ d3k
(2π)31
2ωk(ak e−ikx + c.c.
)
18
4.1.2 Calcul de l’énergie
Cherchons l’expression de l’énergie
E =∫
d3x
(12 φ
2 + 12(∇φ)2 + m2
2 φ2)
(4.16)
en fonction de φ. Commençons par calculer φ et ∇φ :
φ =∫ d3k
(2π)312 i(− ak e−ikx + a∗k eikx
)(4.17a)
∇φ =∫ d3k
(2π)31
2ωkik(ak e−ikx − a∗k eikx
)(4.17b)
Il est important d’utiliser des k différents dans l’intégration. Calculons lepremier terme en φ2 :∫
d3x φ2 =∫
d3x
(∫ d3k
(2π)312 i(− ak e−ikx + c.c.
))(∫ d3q
(2π)312 i(− aq e−iqx + c.c.
))= −
∫ d3k
(2π)3d3q
(2π)314
∫d3x
(akaq e−i(k+q)x − aka∗q e−i(k−q)x + c.c.
)= −
∫ d3k
(2π)3 d3q14(akaqδ
(3)(q + k) e−i(ωk+ωq)t
− aka∗qδ(3)(q − k) e−i(ωk−ωq)t + c.c.)
=∫ d3k
(2π)314(− aka−k e−2iωkt + aka
∗k + c.c.
)car ωk = ω−k, et de même on trouvera que∫
d3x (∇φ)2 =∫
d3x
(∫ d3k
(2π)31
2ωkik(ak e−ikx − c.c.
))(∫ d3q
(2π)31
2ωqiq(aq e−iqx − c.c.
))=∫ d3k
(2π)3d3q
(2π)31
4ωkωq
∫d3x (−kq)
(akaq e−i(k+q)x − aka∗q e−i(k−q)x + c.c.
)= −
∫ d3k
(2π)3 d3q1
4ωkωqkq(akaqδ
(3)(q + k) e−i(ωk+ωq)t
− aka∗qδ(3)(q − k) e−i(ωk−ωq)t + c.c.)
= −∫ d3k
(2π)31
4ω2k
k2(− aka−k e−2iωkt − aka∗k + c.c.)
et finalement∫d3x φ2 =
∫ d3k
(2π)31
4ω2k
m2(aka−k e−2iωkt + aka∗k + c.c.
)
19
En rassemblant les trois termes, on obtient
E =∫
d3x
(12 φ
2 + 12(∇φ)2 + m2
2 φ2)
= 12
∫ d3k
(2π)31
4ω2k
(− ω2
k aka−k e−2iωkt + ω2k aka
∗k + (ω2
k −m2)aka−k e−2iωkt
+ (ω2k −m2)aka∗k +m2 aka−k e−2iωkt +m2 aka
∗k + c.c.
)=∫ d3k
(2π)31
4ω2k
ω2k
(aka∗k + a∗kak
)En posant Nk = (2π)32ωk a∗kak, on obtient
E =∫
d3k ωkNk (4.18)
ωkNk correspond donc à la densité d’énergie par unité de k.
4.2 Quantification canoniqueOn considère un système de N oscillateurs harmoniques de fréquences ωi.
Le lagrangien de ce système est
L =∑i
12(p2
i − ω2i q
2i ) (4.19)
ce qui donnent les équations du mouvement (une par oscillateur) :
qi + ω2i qi = 0 (4.20)
qui ont pour solution :
qi = ai e−iωit + a∗i eiωit (4.21a)pi = −iωiai e−iωit + iωia
∗i eiωit (4.21b)
Si on promeut pi et qi en opérateurs, alors ai et a∗i le deviennent aussi :
qi → qi pi → pi ai → ai a∗i → a†i (4.22)
On a les relations de commutations suivantes :[qi, p
†j
]= iδij (4.23a)
[qi, qj ] = [pi, pj ] = 0 (4.23b)
Calculons le commutateur de ai et a†i à partir de celui de qi et p†i :[qi, p
†j
]=[ai e−iωit + a†i eiωit,−iωiai e−iωit + iωia
†i eiωit
]= iωi
[ai, a
†i
]− iωi
[a†i , ai
]= 2iωi
[ai, a
†i
]= i
20
Tous les autres commutateurs seront nuls à cause des relations de commu-tations (4.23) : [
ai, a†j
]= 1
2ωiδij (4.24a)
[ai, aj ] =[a†i , a
†j
]= 0 (4.24b)
L’hamiltonien du système s’écrit :
H =∑i
ωi
(Ni + 1
2
)(4.25)
avecNi = a†i ai (4.26)
Un état ψ se décompose sur la base des états propres |ni〉 de Ni :
|ψ〉 =∑i
ψn1,...,nN|n1 · · · nN 〉 (4.27)
Si i devient un indice continu, on obtient le champ de Klein–Gordon. Onobtient alors la relation de commutation à temps égal (en se rappelant queπ = φ) : [
φ(t,x), π(t,x′)]
= iδ(3)(x− x′) (4.28a)[φ(t,x), φ(t,x′)
]= [π(t,x), π(t,x′)] = 0 (4.28b)
qui permettent de déterminer les relation de commutation 3 :[ak, a
†k′
]= (2π)32ωk δ(3)(k − k′) (4.29a)
[ak, ak′ ] =[a†k, a
†k′
]= 0 (4.29b)
On a les différentes relations (avec |ψ〉 = |nk1 · · ·nkN〉) :
ak |0〉k = 0 (4.30a)
(a†k)nk = |nk〉 (4.30b)
a†kak = nk |nk〉 (4.30c)Nk1 |ψ〉 = nk1 |nk1〉 (4.30d)
N |ψ〉 = (nk1 + · · ·+ nkN) |ψ〉 (4.30e)
Le nombre total d’excitation est donné par
N =∫
d3k Nk (4.31)
Un seul champ permet de décrire plusieurs particules, par exemple :
3. Il est possible d’obtenir la relation de commutation[ak, a
†k′
]= δ(3)(k−k′) directement
obtenue à partir du cas classique en normalisant les ak : ˆak =√
(2π)32ωkak. Toutefois onperd la covariance explicite des différentes expressions.
21
– une particule : |nk 0 0 · · · 〉.– deux particules : |nk1 nk2 0 · · · 〉.Partant de l’expression (4.18), on obtient l’hamiltonien :
H =∫ d3k
(2π)31
4ωkωk(a†kak + aka
†k)
=∫ d3k
(2π)31
4ωkωk
(a†kak +
[ak, a
†k
])=∫ d3k
(2π)31
4ωkωk
(2a†kak + (2π)32ωkδ(3)(0)
)=∫
d3k ωkNk + 12
∫d3k ωkδ
(3)(0)︸ ︷︷ ︸H0
Le deuxième terme H0 du membre de droite est infini mais constant : onredéfinit l’origine des énergies de sorte que ce terme vale zéro :
H0 |0〉 = E0 |0〉 (4.32)
Plaçons le système dans un volume fini V , alors on aura :
H0 =∫
d3k 2ωkδ(3)(0) −→ H0 =∫ d3k
(2π)3 2ωkV
car ∫R3
d3x eik·x = (2π)3δ(3)(k) −→∫R3
d3x = (2π)3δ(3)(k = 0)
On peut écrire une densité d’énergie par volume :
E0 = H
V=∫ d3k
(2π)3 2ωk (4.33)
mais cette expression diverge pour k grand (divergence UV). On définit unefréquence de coupure Λ :
E0 = limΛ→∞
∫|k|<Λ
d3k
(2π)3 2ωk (4.34)
Cette expression diverge comme Λ4.On a
H |n1 · · ·nN 〉 =∫
d3k ωkNk |n1 · · ·nN 〉 (4.35)
et
Nk |n1 · · ·nN 〉 =(n1δ
(3)(k − k1) + · · ·+ nNδ(3)(k − kN )
)|n1 · · ·nN 〉 (4.36)
ce qui donneH |n1 · · ·nN 〉 =
∑i
ωini︸ ︷︷ ︸E
|n1 · · ·nN 〉 (4.37)
22
L’impulsion p est
p =∫
d3x (−φ∇φ) =∫ d3k
(2π)3 kNk (4.38)
etp |n1 · · ·nN 〉 =
∑i
niki |n1 · · ·nN 〉 (4.39)
et finalement
H |p〉 = ωp |p〉 (4.40a)p |p〉 = p |p〉 (4.40b)
ωp =√k2 +m2 (4.40c)
23
5 Champ scalaire en interaction5.1 Champ scalaire avec source
Considérons l’ajout d’une source j(x) au lagrangien de Klein–Gordon (4.1) :
L = Lg + Li = 12∂µφ∂
µφ− m2
2 φ2 + jφ (5.1)
L’équation du mouvement est :
(�+m2)φ = j (5.2)
Si j 6= 0 alors φ = 0 n’est plus solution.
5.1.1 Fonctions de Green — Cas général
Introduisons la fonction de Green G(x, x′) telle que
(�x +m2)G(x, x′) = δ(4)(x− x′) (5.3)
Alors la solution générale de l’équation (5.2) est
φ(x) =∫
d4x′ G(x, x′)j(x′) + φ0(x) (5.4)
où φ0 est solution de l’équation sans source (4.2). Montrons qu’il s’agit en effetd’une solution :
(�x +m2)φ = (�x +m2)∫
d4x′ G(x, x′)j(x′) + (�x +m2)φ0(x)
=∫
d4x′ (�x +m2)G(x, x′)j(x′) + 0
=∫
d4x′ δ(4)(x− x′)j(x′) = j(x)
Considérons une translation des coordonnées x→ x+a et x′ → x′+a, alorsl’équation (5.3) est invariante. G ne peut donc dépendre que de la différence dex et x′ :
G(x, x′) = G(x− x′) (5.5)
Exemple 5.1 (Fonction de Green de l’équation de Klein–Gordon euclidienne).
L’équation considérée est
− (∂2t +∇2−m2)G(x− x′) = δ(4)(x− x′) (5.6)
La transformée de Fourier de G est :
G =∫
d4x eikxG(x) (5.7)
L’équation précédente devient alors
−(∂2t +∇2−m2)G = (k2
0 + k2 +m2)G
= (|k|2 +m2)G = 1
24
d’oùG = 1
|k|2 +m2(5.8)
qui permet de déduire G :
GE(x− x′) =∫ d4k
(2π)4e−ik(x−x′)
|k|2 +m2(5.9)
et alorsφE =
∫d4x′ G(x− x′)j(x′) (5.10)
Si m2 = 0, on déduit :
GE(x− x′) = 14π
1|x− x′|2
(5.11)
Traitons maintenant l’équation de Klein–Gordon avec source (5.2). Aprèstransformée de Fourier de l’équation (5.3), on trouve :
(−k2 +m2)G = (−k20 + ω2)G = 1 (5.12)
Toutefois il est impossible d’inverser 4 cette équation à cause du fait qu’ellen’est pas définie pour k2 = m2 : ne solution est de déformer le contour C etd’intégrer dans C
Gc =∫ d3k
(2π)3
∫C
dk0
2πe−ik0t+ik·x
−k20 + ω2 (5.13)
mais G n’est alors pas définie de manière univoque.Il reste ensuite à refermer le contour par un demi-cercle, en prenant garde à
ce qu’il ne contribue pas à l’intégrale : pour ce faire, il faut que la partie réellede l’argument de l’exponentielle soit négative :
<(−ik0t) = t=(k0) < 0 (5.14)
donct > 0 =⇒ =(k0) < 0t < 0 =⇒ =(k0) > 0
(5.15)
et ainsie−ik0t = e−it<(k0) et=(k0) −−−−−→
|k0|→∞0 (5.16)
5.1.2 Fonctions de Green avancée et retardée
Les contours CA et CR de la figure 1 permettent de définir les fonctionsavancée GA et retardée GR, avec les propriétés suivantes :
– GA(t− t′,x− x′) = 0 si t > t′.– GR(t− t′,x− x′) = 0 si t < t′.Commençons par étudier la fonction de Green retardée GR. Cette dernière
est nulle pour t > 0 car le contour ne contient aucun pôle (figure 2) et doncl’intégrale est nulle.
4. Un opérateur D dans une équation Dφ = j est inversible s’il existe D−1 tel que φ =D−1j. D−1 existe ssi Dφ = 0⇒ φ = 0. Cette propriété est vérifiée dans le laplacien euclidien,mais pas pour le dalembertien.
25
Figure 1 – Possibilités de déformation du contour d’intégration.
Figure 2 – Contour d’intégration pour la fonction de Green retardée avec t < 0.
Considérons maintenant la valeur de l’intégrale pour t < 0 (figure 3) :
GR =∫ d3k
(2π)3
∫CR
dk0
2πe−ik0t+ik·x
−k20 + ω2
k
=∫ d3k
(2π)3 eik·x∫CR
dk0
2πe−ik0t
(ωk + k0)(ωk − k0)
=∫ d3k
(2π)3 eik·x 12π 2πi
(eiωkt
−2ωk+ e−iωkt
2ωk
)=∫ d3k
(2π)3eik·x
2ωki(
e−iωkt − eiωkt)
ce qui nous donne (pour tout t) :
GR(t− t′,x− x′) = θ(t− t′)∫ d3k
(2π)3eik·x
2ωki(
e−iωkt − eiωkt)
(5.17)
Une autre procédure tout à fait équivalente à la déformation des contoursconsiste à déplacer les pôles d’une valeur ±iε (figure 4) en faisant tendre ε vers0 à la fin 5 :
1k2
0 − ω2k
−→ 1(k0 + iε)2 − ω2
k
= 1(k0 + (ωk + iε)
)(k0 − (ωk − iε)
) (5.18)
Le champ donné par la fonction retardée est :
φR(t,x) =∫
d3x′∫ t
−∞dt′ GR(t− t′,x− x′)j(t′,x′) (5.19)
5. Le signe + donnera la fonction de Green retardée, et le signe − la fonction avancée.
26
Figure 3 – Contour d’intégration pour la fonction de Green retardée avec t > 0.
Figure 4 – Contour d’intégration, pour la fonction de Green retardée, avec lespôles déplacés.
La fonction de Green retardée donne l’effet de la source à un instant donnéen prenant en compte tout ce qui s’est produit avant. Elle respecte ainsi lacausalité.
Sa transformée de Fourier (spatiale) vaut :
GR(t,k) = i
2ωk(
e−iωkt − eiωkt)θ(t) (5.20)
La fonction avancée possède une interprétation inverse de celle de la fonctionretardée. Par exemple, en connaissant le système au temps présent, il est possiblede déterminer la source dans le passé :
φA(t,x) =∫
d3x′∫ ∞t
dt′ GA(t− t′,x− x′)j(t′,x′) (5.21)
Sa transformée de Fourier (spatiale) vaut :
GA(t,k) = i
2ωk(
eiωkt − e−iωkt)θ(−t) (5.22)
5.1.3 Autres fonctions de Green
En introduisant les deux fonctions D+ et D−, définies par
D± = e∓iωkt = e∓ik·xf± (5.23)
27
où on a réutilisé les expressions (4.14) de f±, on peut récrire les transforméesde Fourier (5.20) et (5.22) :
GR = i
2ωk(D+ −D−)θ(t) (5.24a)
GA = i
2ωk(D− −D+)θ(−t) (5.24b)
Figure 5 – Contour d’intégration pour la différence des fonctions de Green.
En faisant la différence des deux fonctions, on obtient 6 :
GR − GA = i
2ωk(D+ −D−) (5.25)
d’oùGR −GA =
∫CR−CA
eikx
k20 − ω2 (5.26)
où le contour est montré sur la figure 5.On peut chercher à exprimer D+ et D− en fonction de GR et GA :
D± = 12(GR ± GA) (5.27)
La fonction de Green de Feynman GF (figure 6) est définie par
GF (t) = D+(t)θ(t) + D−(t)θ(−t) (5.28)
Figure 6 – Contour d’intégration pour la fonction de Green de Feynman.
La rotation de Wick permet de retrouver la fonction de Green euclidienne(5.9) à partir de la fonction de Feynman (5.28) en utilisant un temps imaginaire :
GF (t) = −∫ i∞
−i∞
dω2π
e−iωt
ω2 − ω2k + iε
= −i∫ ∞−∞
dk4
2πeik4τ
−k24 − k
2 − ω2 + iε
= iGE(τ)
6. La différence de deux fonctions de Green G1 et G2 est solution de l’équation homogène.En effet, on a (�+m2)(G1 −G2) = δ − δ = 0.
28
où on a poséω = ik4 t = iτ (5.29)
5.1.4 Énergie et couplage
L’énergie pour un lagrangien avec source est
E = 12 φ
2 + 12(∇φ)2 + m2
2 φ2 − jφ (5.30)
L’influence d’une source j1(x) sur une source j2(y) est donnée par
∆E =∫
d3x j2(x)φ1(x) =∫
d3xd3x′ j2(x)G(x− x′)j1(x′) (5.31)
Ainsi la fonction de Green décrit l’interaction entre les deux souces ; elle s’in-terprète comme un échange de particules.
L’action S0 du système est donnée à partir du lagrangien (5.1)
S0 =∫
d4x
(12∂µφ∂
µφ− m2
2 φ2)
+∫
d4x jφ (5.32)
L’action totale du système est alors donnée par
S = S0 + Sk[j] (5.33)
où Sk[j] est un terme cinétique pour j. La variation de l’action par rapport à jdonne alors :
δ Skδ j
+ δ S0
δ j= 0
δ Skδ j
+ φ = 0
δ Skδ j(x) +
∫d4y G(x, y)j(y) = 0
et on déduit que l’action effective pour j est
Seff [j] = Sk[j] + 12
∫d4xd4y j(x)G(x, y)j(y) (5.34)
Cette action ne peut être mise sous la forme d’une densité de lagrangien∫d4x L(x) et n’est donc pas locale : les interactions entre les particules sont
instantannées.
Exemple 5.2 (Interaction entre deux sources ponctuelles).Considérons pour la partie cinétique le terme
Sk =∫
dt 12mx
20 (5.35)
et deux sources ponctuelles
j(x) = qδ(3)(x− x0(t)) + q′δ(3)(x− x1(t)) (5.36)
29
La fonction de Green est donnée par
G = −∫ dω
2π
∫ d3k
(2π)3e−iω(t−t′)+ik·(x−x′)
ω2 − k2 −m2 + iε(5.37)
et l’intégrale sur le temps donne :
=∫∞−∞ dt
∫ d3k(2π)3
∫ dω2π
eik·(x−x′)
ω2−k2−m2+iε e−iωt 2πδ(ω)
= −∫∞−∞ dt
∫ d3k(2π)3
eik·(x−x′)
k2+m2∫ ∞−∞
dt∫ ∞−∞
dt′ G(t− t′,x− x′) =(∫ ∞−∞
dt∫ d3k
(2π)3 eik·(x−x′))×(∫ dω
2π1
ω2 − k2 −m2 + iε
∫ ∞−∞
dt′ e−iω(t−t′))
=∫ ∞−∞
dt∫ d3k
(2π)3
∫ dω2π
eik·(x−x′)
ω2 − k2 −m2 + iεe−iωt 2πδ(ω) = −
∫ ∞−∞
dt∫ d3k
(2π)3eik·(x−x′)
k2 +m2
La présence des sources à tout instant t conduit à une énergie infinie. Onnotera
T =∫ ∞−∞
dt (5.38)
où T correspond au temps de l’expérience, et on s’intéressera uniquement àl’énergie par unité de temps.
On peut montrer que
V (x) =∫ d3k
(2π)3eik·x
k2 +m2= 1
4πe−m|x|
|x|(5.39)
L’équation (5.34) donne alors :
Eeff = SeffT
= 12
∫d3x d3x′
(qδ(3)(x− x0) + q′δ(3)(x− x1)
)V (x− x′)
×(qδ(3)(x′ − x0) + q′δ(3)(x′ − x1)
)= 1
2 2qq′∫
d3x d3x′ δ(3)(x− x0)δ(3)(x′ − x1)) 1
4πe−m|x−x′|
|x− x′|
+ 12 q2
∫d3x d3x′ δ(3)(x− x0)δ(3)(x′ − x0)
)V (x− x′)
+ 12 q′2
∫d3x d3x′ δ(3)(x− x1)δ(3)(x′ − x1)
)V (x− x′)
= qq′
4πe−m|x0−x1|
|x0 − x1|+ q2
2 V (0) + q′2
2 V (0)
Or V (0) = ∞ et l’énergie est infinie. Ce problème est dû au fait que lessources sont ponctuelles.
On obtient le lagrangien
L = 12 mx2
0 − qq′e−m|x0−x1|
|x0 − x1|(5.40)
ce qui donne l’équation de mouvement
mx0 = −∇V (x− x0) (5.41)
30
On a la relation
12
∫d3x d3x′ j(x)G(x, x′)j(x′) = 1
2
∫ d3k d3k′
(2π)6 j(k)G(−k,−k′)j(k′)
= qq′V
∫d3k
eik(x0−x1)
k2 +m2
avecj(k) =
∫d3x e−ik·xj(x) = q e−ikx0 (5.42)
On a ω = 0. On dit alors que les particules sont "virtuelles" (ou encorequ’elles ne sont pas sur leur couche de masse) : elles ne satisfont pas la relaationde dispersion.
5.1.5 Potentiels retardés
On rappelle l’expression de la fonction retardée (5.17)
GR(x) = iθ(t)∫ d3k
(2π)3eik·x − e−ik·x
2ωk
Si m = 0, on a ωk = |k|, E = |p|, v = 1, |x| = t, et alors
GR(x) = iθ(t) δ(t− |x|)4π |x| (5.43)
Le champ φ vaut
φ(t,x) =∫
d4x′ G(x− x′)j(x′)
=∫
d3x′ j(t− |x− x′| ,x′) 14π |x− x′|
doncφ(t,x) = 1
4π |x− x0(tret)|(5.44)
oùtret = t− |x(t)− x0(tret)| (5.45)
5.2 Auto-interactionsDans le cas général, le lagrangien pour φ s’écrit
L = 12∂µφ∂
µφ− V (φ) (5.46)
avecV (φ) = m2
2 φ2 + VI(φ) (5.47)
On noteraV ′(φ) = dV
dφ (5.48)
31
L’équation du mouvement est
�φ+ V ′(φ) = 0 (5.49)
Par exemple on peut avoir
VI(φ) = g
3φ3 + λ
4φ4 (5.50)
Les équations sont non linéaires dès lors que VI(φ) 6= 0, car elles contiennentdes termes quadratiques, ou plus, en φ.
On appelle solution de vide φ0 toute solution constante des équations dumouvement (5.49). Elle vérifie donc
V ′(φ0) = 0 (5.51)
Dans ce cas, les petits déplacements de φ autour de sa position de vides’écrivent
φ(x) = φ0(x) + δφ(x) δφ� φ0 (5.52)On peut développer le potentiel V et sa dérivée V ′ autour de φ0 :
V (φ0 + δφ) ≈ V (φ0) + V ′(φ0)δφ+ (δφ)2
2 V ′′(φ0) + · · · (5.53a)
V ′(φ0 + δφ) ≈ V ′(φ0) + V ′′(φ0)δφ+ (δφ)2
2 V ′′′(φ0) + · · · (5.53b)
(5.53c)
En ne gardant que les termes linéaires, et en tenant compte du fait que V ′(φ0) =0, on trouve :
V ′(φ0 + δφ) ≈ V ′′(φ0)δφ (5.54)et l’équation du mouvement (5.49) devient
�φ+ V ′(φ) = �(φ0 + δφ) + V ′((φ0 + δφ))≈ �(δφ) + V ′′(φ0)δφ = 0
On retrouve l’équation de Klein–Gordon, mais cette fois-ci pour la perturba-tion :
� δφ+m2δφ = 0 (5.55)où on définit m2 par
m2 = V ′′(φ0) (5.56)Si m2 = V ′′(φ0) < 0 (ce qui correspond à un maximum du potentiel), alors
la masse est imaginaire pure (tachyon). Les solutions correspondantes n’ont pasde sens physique et indiquent une instabilité, dû au fait que l’on a développéautour du mauvais vide. Posons iµ = m et écrivons l’équation de Klein–Gordon(partie temporelle) :
∂2t δφ− µ2δφ = 0 (5.57)
La solution estδφ = A e−µt +B eµt (5.58)
Le second terme tend vers l’infini quand t→∞ et il doit être éliminé. Toutefois,le premier terme tend vers 0 : τ = 1/µ correspond alors au temps de vie de l’étatinstable considéré.
32
Exemple 5.3.Considérons le potentiel (figure 7)
V (φ) = λ
4 (φ2 − v2)2 (5.59)
Figure 7 – Potentiel de l’équation (5.59).
La dérivée première vaut
V ′(φ) = λ(φ2 − v2)φ (5.60)
qui s’annule pourφ0 = 0 φ± = ±v (5.61)
La dérivée seconde est
V ′′(φ) = λ(3φ2 − v2) (5.62)
Explorons les cas φ0 et φ± séparément :– Pour φ0 = 0, on a m2 = V ′′(φ0) = −λv2 < 0 ce qui implique m = iv
√λ. Il
s’agit d’une instabilité. La relation de dispersion donne E2 +p2 = m2 < 0.– Pour φ0 = φ±, on a m2 = V ′′(φ±) = 2λv2 > 0.
Dans le cas général d’un système à n champs φ = (φi, . . . , φn), le lagrangienest
L = 12∑i
∂µφi∂µφi − V (φ) (5.63)
Le vide est obtenu en cherchant une solution aux n équations :
∂V
∂φi(φ0) = 0 i ∈ [1, n] (5.64)
où φj0 sont les solutions de vide. Une solution développée autour de ce vides’écrit
φ = φ0 + δφ (5.65)
33
Après linéarisation autour du vide, on obtient n équations couplées :
∂µ∂µδφi +
∑j
∂2V
∂φi∂φj(φ0) δφj = 0 (5.66)
que l’on récrit∂µ∂
µδφ+Mδφ = 0 (5.67)
où M est la matrice de masse ayant pour coefficient :
Mij = ∂2V
∂φi∂φj(φ0) (5.68)
Considérons la matrice de passage P (P−1 = P t) qui permet de diagonaliserM :
D = PMP−1 (5.69)
Alors dans cette nouvelle base, les champs deviennent δφ′ = Pφ et on obtientn équations découplées :
∂µ∂µδφ′i + λiδφ
′i = 0 (5.70)
avec λi = m2i > 0.
Exemple 5.4 (Potentiel en φ3.).On prend
VI = g
3φ3 (5.71)
avec g � 1.Dans ce cas l’équation du mouvement devient
�φ+m2φ+ gφ2 = 0 (5.72)
On cherche une solution sous forme de développement perturbatif :
φ = φ0 + gφ1 + g2φ2 + · · · (5.73)
– Ordre 0 :(�+m2)φ0 = 0 (5.74)
– Ordre 1 :(�+m2)(φ0 + gφ1) = g(φ0 + gφ1)2
d’où(�+m2)φ1 = φ2
0 (5.75)
φ20 agit comme une source pour φ1 et on peut donc écrire :
φ1(x) =∫
d4y G(x, y)φ20(y) (5.76)
– Ordre 2 :(�+m2)φ2 = 2φ0φ1 (5.77)
et alors
φ2(x) =∫
d4y G(x, y)φ0(y)∫
d4y′ G(y, y′)φ20(y′) (5.78)
34
(a) Ordre 0. (b) Ordre 1.
(c) Ordre 2.
Figure 8 – Vertex typique d’une autointeraction en φ3.
La solution générale s’écrit finalement (à l’ordre 2) :
φ(x) = φ0(x) + gφ1(x) + g2φ2(x) (5.79)
Chaque terme correspond à un certain type de vertex (figure 8).L’autointeraction permet la création de particules, le transfert d’imulsion. . .
〈p|φ |0〉 = 〈p|φ0 |0〉+ g
∫G〈p|φ0φ0 |0〉 (5.80)
35
6 Symétries et lois de conservations6.1 Généralités
Considérons l’action générale
S[φ] =∫
d4x L(φ, ∂µφ) (6.1)
Une transformation φ′ = f(φ) est une symétrie si S[φ′] = S[φ].Une symétrie est dite continue si elle dépend d’un paramètre continu : φ′ =
fα(φ), avec α ∈ R. Une symétrie qui n’est pas continue est dite discrète.
Exemple 6.1 (Symétrie discrète).Soit le lagrangien (4.1)
L = 12∂µφ∂
µφ− m2
2 φ2
Alors l’action est invariante par la transformation φ′ = −φ : S[φ] = S[−φ].De plus, si φ0 est une solution de vide, alors −φ0 l’est aussi.
Exemple 6.2 (Symétrie continue U(1)).Soit φ un champ scalaire complexe. Alors l’action
S =∫
d4x (∂µφ∗∂µφ−m2φ∗φ)
est invariante par la transformation{φ′ = eiθφ
φ′∗ = e−iθφ∗
En effet, on a S[ eiθφ] = S[φ].
Définition : Un groupe G possède les propriétés suivantes :1. g, h ∈ G⇒ gh ∈ G.2. ∀g ∈ G : 1g = g1 = g.3. ∀g ∈ G : ∃g−1 | gg−1 = g−1g = 1.4. Il est de plus commutatif (ou abélien) si ∀g, h ∈ G⇒ gh = hg.5. Un groupe est dit linéaire si g(φ1 + λφ2) = gφ1 + λgφ2 où φ2 sont des
champs de l’espac où le groupe G agit.
Exemple 6.3 (Groupe U(1)).On considère le groupe U(1) d’éléments δα = eiα. Il possède les propriétés
suivantes :1. φ′ = δαφ, φ
′′ = δβφ′ ⇒ φ′′ = δβδαφ.
2. δβδαφ = δα+βφ.3. δαδ−αφ = φ.4. φ′ = δαφ⇒ φ = δ−αφ
′.
36
5. δ0φ = φ.U(1) est appelé groupe unitaire sur C. On peut définir le groupe unitaire
Cn, que l’on note U(n), par :
U(n) ={U ∈Mn(C) | U†U = 1
}(6.2)
Exemple 6.4 (Invariance par U(2)).Soient deux champs complexes φ1 et φ2 et on notera φ = (φ1, φ2). On veut
déterminer la forme des lagrangiens invariants par U(2). Soient φ′ = Uφ. Alors
∂µφ′†∂µφ′ −→ (U∂µφ)†(U∂µφ) = (∂µφ†)U†U(∂µφ)
= (∂µφ†)(∂µφ)
Considérons maintenant le potentiel
V (φ1, φ2) = 12(m2
1 |φ1|2 +m22 |φ2|2)
Ce dernier n’est invariant que si m21 = m2
2. Plus généralement, tout potentiel dela forme
V = V (φφ†) (6.3)sera invariant.
Le groupe spécial unitaire est défini par
SU(2) = {U ∈ U(2) | detU = 1} (6.4)
On a : U(2) = U(1)× SU(2).
6.2 Théorème de Noether et courants conservés6.2.1 Énoncé et démonstration
Théorème de Noether : Pour toute symétrie continue de l’action il existeun courant conservé jµ(x) :
∂µjµ = 0 (6.5)
Ceci implique l’existence d’une charge conservée, définie par
Q(t) =∫
d3x ρ(t,x) (6.6)
En effet, on a :
dQdt = d
dt
∫R3ρ(t,x) d3x =
∫R3∂tρ(t,x) d3x
=∫R3−∇J(t,x) d3x = −
∮∂R3
J · n dS = 0
Démontrons le théorème. Soit l’action dépendant de n champs :
S[φa] =∫
d4x L(φa, ∂µφa) (6.7)
On utilisera la convention de sommation pour les indices des champs.Soit une transformation φ′a = fαa (φb), alors si :
37
– α = 0, il s’agit de la transformation identité : φ′a = φa.– α� 1, il s’agit d’une transformation infinitésimale.On considère des transformations infinitésimales :{
x→ x′ = x+ δ x
φa → φ′a(x′) = φa(x) + δ φa(x)(6.8)
Remarquons que la variation δ φa(x)
δ φa(x) = φ′a(x′)− φa(x) (6.9)
représente la variation du champ dû à la fois à la transformation du champ età la transformation des coordonnées. On définit alors la variation en un pointfixé de l’espace par
δ0 φa(x) = φ′a(x)− φa(x) (6.10)
Déterminons le lien entre d4x′ et d4x. On a
d4x′ = det(
d4x′
d4x
)d4x
≈ (1 + ∂µ δ xµ) d4x
où det(
d4x′
d4x
)est le jacobien du changement de variable. Calculons pour deux
dimensions d’espace :
det(
d4x′
d4x
)=∣∣∣∣∂0x
′0 ∂1x′0
∂0x′1 ∂1x
′1
∣∣∣∣ =∣∣∣∣1 + ∂0 δ x
0 ∂1 δ x0
∂0 δ x1 1 + ∂1 δ x
1
∣∣∣∣= (1 + ∂0 δ x
0)(1 + ∂1 δ x1)− (∂1 δ x
0)(∂0 δ x1)
≈ 1 + ∂0 δ x0 + ∂1 δ x
1
en se limitant à l’ordre 1.Cherchons le lien entre δ φ et δ0 φ (à l’ordre 1) :
δ φa(x) = φ′a(x′)− φa(x)= φ′a(x+ δ x)− φa(x)≈ φ′a(x) + δ xµ∂µφ
′a(x)− φa(x)
= φ′a(x) + δ xµ∂µ(φa(x) + δ0 φa(x)
)− φa(x)
d’oùδ φa(x) = δ0 φa + δ xµ∂µφa(x) (6.11)
Notons que cette formule peut s’appliquer à tout champ, L compris.Nous pouvons maintenant écrire la variation de l’action (en se limitant tou-
38
jours à l’ordre 1 et en utilisant les formules) :
δ S =∫
d4x′ L(φ′a(x′), ∂µφ′a(x′), x′
)−∫
d4x L(φa(x), ∂µφa(x), x
)≈∫
d4x (1 + ∂µ δ xµ)L
(φ′a(x′), ∂µφ′a(x′), x′
)−∫
d4x L(φa(x), ∂µφa(x), x
)=∫
d4x(δL+ (∂µ δ xµ)L
)=∫
d4x(δ0 L+ (∂µL) δ xµ + (∂µ δ xµ)L
)≈∫
d4x
(∂L∂φa
δ0 φa + ∂L∂(∂µφa) ∂µ(δ0 φa) + ∂µ(δ xµL)
)=∫
d4x δ0 φa
(∂L∂φa
− ∂µ∂L
∂(∂µφa)
)+∫
d4x
[∂µ(δ xµL) + ∂µ
(∂L
∂(∂µφa) δ0 φa)]
Le premier terme redonne les équations d’Euler-Lagrange, tandis que le secondest une 4-divergence. Concentrons-nous sur ce dernier et notons-le δ Sv :
δ Sv =∫
d4x ∂µ
(δ xµL+ ∂L
∂(∂µφa) δ0 φa)
=∫
d4x ∂µ
(δ xµL+ ∂L
∂(∂µφa) (δ φa − δ xν∂νφa))
=∫
d4x ∂µ
[∂L
∂(∂µφa) δ φa −(
∂L∂(∂µφa) ∂νφa − δ
µνL)δ xν
]Considérons maintenant le cas de transformations linéaires :{
δ xµ = εrXµr
δ φa = εrΦar(6.12)
où {εr} est l’ensemble des paramètres de la transformation. r représente unnombre quelconque d’indices et il est soumis à la convention de sommation.
Dans ce cas, δ Sv devient :
δ Sv =∫
d4x ∂µ
[∂L
∂(∂µφa) δ φa −(
∂L∂(∂µφa) ∂νφa − δ
µνL)δ xν
]=∫
d4x ∂µ
[∂L
∂(∂µφa) εrΦar −(
∂L∂(∂µφa) ∂νφa − δ
µνL)εrX
νr
]Le courant conservé est donc :
Jµr = ∂L∂(∂µφa) Φar −
(∂L
∂(∂µφa) ∂νφa − δµνL)Xνr (6.13)
6.2.2 Autres démonstrations
Il est possible de démontrer le théorème de Noether d’une manière plusrapide pour des cas moins généraux.
δ S = 0 est possible dans deux conditions :1. δL = 0.
39
2. δL = ∂µKµ.
Si on ne considère que les variations des champs φa → φa+ε δ φa, la variationd’action se réduit à :
δ S =∫
d4x
(∂L∂φa
δ0 φa + ∂L∂(∂µφa) ∂µ(δ0 φa)
)Dans le premier cas, si ∂L = 0, on a
∂L∂φa
δ φa + ∂L∂(∂µφa) ∂µ(δ0 φa) = 0
ce qui donne, si les équations d’Euler–Lagrange sont satisfaites :
∂µ∂L
∂(∂µφa) δ φa + ∂L∂(∂µφa) ∂µ(δ0 φa) = ∂µ
(∂L
∂(∂µφa) δ φa
)= 0
Dans ce cas, le courant s’écrit :
jµ = ∂L∂(∂µφa) δ φa (6.14)
Dans le second cas avec δL = ∂µKµ, la relation
δL = ∂µjµ
est équivalente à∂µj
µ = ∂µKµ
et on peut donc construire un nouveau courant conservé :
J ′µ = jµ −Kµ (6.15)
toujours à condition que les équationd d’Euler–Lagrange soient vérifiées.
6.3 Applications du théorème de NoetherNous allons voir que les symétries d’espace–temps conduisent à la conserva-
tion de quantités cinématiques, tandis que les symétries internes conduisent àla conservation de propriétés internes, comme la charge.
6.3.1 Symétrie U(1)
Considérons à nouveau un champ complexe φ avec le lagrangien
L = ∂µφ∗∂µφ−m2φ∗φ2 (6.16)
Ce dernier est invariant par la transformation
φ′ = eiθφ ≈ (1 + iθ)φ (6.17)
où θ est le paramètre de la transformation. On a donc
δ φ = iφ (6.18)
40
Pour le champ conjugué, on obtient les relations suivantes :
φ′∗ = e−iθφ∗ ≈ (1 + iθ)φ∗ (6.19a)δ φ∗ = iφ∗ (6.19b)
Le courant conservé est alors
jµ = ∂L∂(∂µφ) δ φ+ ∂L
∂(∂µφ∗)δ φ∗
= (∂µφ∗)iφ− (∂µφ)iφ∗
soitjµ = −i φ∗
←→∂µφ (6.20)
La charge conservée est
Q = −i∫
d3x(φ∗φ− φ∗φ) (6.21)
Pour un champ scalaire complexe, la solution de l’équation de Klein–Gordonest :
φ =∫ d3k
(2π)3 (ak e−ikx + b∗k eikx) (6.22)
Si ak et b∗k deviennent des opérateurs, alors les seuls commutateurs non nulssont : [
ak, a†k′
]=[bk, b
†k′
]= 2ωkδ(3)(k − k′) (6.23)
Dans ce cas le calcul de Q donne :
=∫ d3k
(2π)3 2ωk(a†kak − b†k bk)
Q = −i∫
d3x(φ∗φ− φ∗φ) = −i∫
d3x
∫ d3k
(2π)3
∫ d3k′
(2π)3
((a†k eikx + bk e−ikx)(−iωk′ ak′ e−ik
′x + iωk′ b†k′ e
ik′x)− (ak e−ikx + b†k eikx)(iωk′ a†k′ eik′x − iωk′ bk′ e−ik
′x))
=∫ d3k
(2π)3 2ωk(a†kak − b†k bk)
soitQ =
∫d3k (Nk+ − Nk−) (6.24)
où on a réutilisé la définition du nombre de particules :
Nk+ = (2π)32ωk a†kak (6.25a)
Nk− = (2π)32ωk b†k bk (6.25b)
Cherchons la transformation équivalente pour des champs réels ; pour celanotons ψ =
√2 <(φ) et χ =
√2 =(φ). Dans ce cas, on a :
φφ∗ = 12(ψ2 + χ2)
∂µφ∗∂µφ = 1
2(∂µψ∂µψ + ∂µχ∂µχ)
41
Les variations des champs sont données par
1√2
(δ ψ + i δ χ) = δ φ = iφ = i√2
(ψ + iχ)
que l’on peut écrire sous forme matricielle :(δ ψδ χ
)=(
0 −11 0
)(ψχ
)(6.26)
et ainsi (ψ′
χ′
)=(
1 −θθ 1
)(ψχ
)(6.27)
Une transformation non infinitésimale donne(ψ′
χ′
)=(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)(ψχ
)(6.28)
Il s’agit d’une rotation d’angle θ dans l’espace des champs.
6.3.2 Tenseur énergie–impulsion
Considérons une transformation des coordonnées
xµ → xµ + aµ (6.29)
alors la variation du champ s’écrit (en utilisant la formule (6.11)) :
φ′(x′) = φ′(xµ + aµ) ≈ φ′(x) + aµ∂µφ(x) = φ(x)
soitδ0 φ = −aµ∂µφ(x) = −∂µ(aµφ(x)) (6.30)
comme aµ est constant. En appliquant cette formule au lagrangien, on obtient :
δ0 L = −∂µ(aµL) (6.31)
Il s’agit d’une variation totale, donc δ S = 0 et
∂µJµ = ∂µ
(∂L
∂(∂µφ) δ0 φ)
= −∂µ(
∂L∂(∂µφ) (aν∂νφ)
)et finalement
∂µJµ = δ0 L ⇐⇒ −∂µ
(∂L
∂(∂µφ) (aν∂νφ))
= −∂µ(aµL) (6.32)
d’où
∂µ
(∂L
∂(∂µφ) (aν∂νφ)− aµL)
= aν∂µ
(∂L
∂(∂µφ) (∂νφ)− δµνL)
et le courant conservé, noté Tµν , est :
Tµν = ∂L∂(∂µφ) (∂νφ)− ηµνL (6.33)
42
Exemple 6.5.Considérons le lagrangien
L = 12∂µφ∂
µφ− V (φ) (6.34)
Dans ce cas, le tenseur énergie–impulsion vaut
Tµν = ∂µφ∂νφ− ηµν(
12∂µφ∂
µφ− V)
(6.35)
Les différentes composantes sont :
E = T00 = 12(φ2 + (∇φ)2) + V (6.36a)
Pi = T0i = φ∂iφ (6.36b)Pij = Tij = ∂iφ∂jφ (6.36c)
On retrouve la densité d’énergie E , la densité d’impulsion Pi et le tenseur descontraintes Pij . Les équations de conservation sont alors :
∂tE +∇P = 0 (6.37a)∂tPi +∇Pi = 0 (6.37b)
La charge conservée de la composante temporelle est l’énergie :
E =∫
d3x E (6.38)
Tµν n’est pas forcément symétrique, mais il est toujours possible de le symétriser.
6.3.3 Transformations de Lorentz
On considère la transformation d’espace correspondant aux transformationsde Lorentz :
xµ → Λµνxν (6.39)
avecΛµνΛ ν
ρ = ηνρ (6.40)
Près de l’unité, on a
Λµν = ηµν + ωµν ωµν � 1 (6.41)
Montrons que ωµν est antisymétrique :
(ηµν + ωµν)(δνρ + ω νρ ) = ηµρ
ηµνδνρ + ωµνδ
νρ + ηµνω
νρ = ηµρ
ωµρ + ωρµ = 0
ce qui impliqueωµρ = −ωρµ (6.42)
Il existe donc six paramètres indépendants.
43
La variation de la position s’écrit :
x′µ = xµ + δ xµ = xµ + ωµνxν (6.43)
Calculons la variation du champ de la manière habituelle :
δ φ = φ(x′)− φ(x)= φ(xµ + ωµνx
ν)− φ(x)≈ ωµνxν∂µφ
que l’on peut récrire en utilisant la propriété d’antisymétrie de ωµν :
δ φ = 12 ωµν(xν∂µ − xµ∂ν)φ (6.44)
et on noteraLµν = xν∂µ − xµ∂ν (6.45)
qui est aussi antisymétrique. En utilisant les relations de correspondances p→−i∇, on voit qu’il s’agit du moment angulaire.
On utilisera les notations :
Lij = xj∂i − xi∂j (6.46a)
Li = 12 εijkL
jk (6.46b)
Ki = L0i (6.46c)
Si on considère un champ ψ quelconque tel que
δ ψ = ωµνJµν (6.47)
alors dans le cas général on a
Jµν = Lµν + Sµν (6.48)
Lµν comporte des dérivées spatiales : il s’agit donc d’un opérateur spatial. Quantà lui, Sµν correspond l’opérateur de spin, qui est entièrement interne. Il est nulpour un champ scalaire : celui-ci est donc de spin 0.
On peut calculer les relations de commutation suivantes :
[Jµν , Jρσ] = ηµρJνσ − ηνρJµσ (6.49a)[Li, Lj
]= εijkLk (6.49b)[
Ki,Kj]
= −εijkLk (6.49c)[Li,Kj
]= εijkKk (6.49d)
Si on applique la formule (6.44) au lagrangien, alors on obtient :
δ L = ∂µ(ωµνxνL) (6.50)
car
∂µ(ωµνxνL) = ωµν(∂µxν)L+ ωµνxν∂µL
= ωµνηµν︸ ︷︷ ︸
=0
L+ ωµνxν∂µL
= ωµνxν∂µL
44
On peut donc écrire que δL = ∂µJµ d’où
∂µ(
∂L∂(∂µφ) δ φ
)= ∂µ(ωµνxνL)
d’où∂µ(
∂L∂(∂µφ) δ φ− ωµνx
νL)
= 0 (6.51)
ce qu’on peut récrire :
∂L∂(∂µφ) δ φ− ωµνx
νL = ∂L∂(∂µφ) ωρσL
ρσφ− ωµνxνL
= ωρσ
(∂L
∂(∂µφ) Lρσφ− δρµxσL
)= ωρσ
2
(∂L
∂(∂µφ) (xσ∂ρ − xρ∂σ)φ− (δρµxσ − δσµxρ)L)
Le courant conservé est donc
M ρσµ = ∂L
∂(∂µφ) (xσ∂ρ − xρ∂σ)φ− (δρµxσ − δσµxρ)L (6.52)
On remarque que l’on a
M ρσµ = xρT σ
µ − xσT ρµ (6.53)
La charge de la composante temporelle est
Λρσ =∫
d3xM ρσ0 (6.54)
M ij0 correspond à la densité de moment angulaire.
45
7 Invariance de jauge et champs vectoriels7.1 Transformation de jauge locale
Prenons le lagrangien
L = ∂µφ∗∂µφ− V (φ∗φ) (7.1)
On considère la transformation de jauge locale
φ(x)→ φ′(x) = eieθ(x)φ(x) (7.2)
La constante e permet de considérer des champs différents.La dérivée se transforme alors comme
∂µφ −→ ∂µ( eieθ(x)φ) = eieθ(x)∂µφ+ (ie∂µθ) eieθ(x)φ 6= ∂µφ′ (7.3)
et le lagrangien n’est plus invariant. En effet, on a
L′ = ∂µφ∗′∂µφ′
= ∂µ( e−ieθφ∗)∂µ( eieθφ)= e−ieθ
(∂µφ
∗ − (ie∂µθ)φ∗)
eieθ(∂µφ+ (ie∂µθ)φ
)≈ ∂µφ∗∂µφ− ie∂µθ(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗)
d’oùδL = −ie(∂µθ)(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗) (7.4)
On reconnait le courant conservé pour une symétrie U(1) globale :
JµG = −i(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗) (7.5)
L’idée est alors d’introduire un champ Aµ tel que
Aµ → A′µ = Aµ + ∂µθ (7.6)
On définit alors la dérivée covariance de φ, notée Dµ, par
Dµφ = (∂µ − ieAµ)φ (7.7)
et dans ce cas on a bienDµφ→ eieθDµφ (7.8)
En remplaçant les dérivées par des dérivées covariantes dans un lagrangien(7.1), on obtient le lagrangien invariant
Lφ,A = (Dµφ)∗Dµφ− V (φ∗φ) (7.9)
En développant les termes, on obtient :
Lφ,A = (Dµφ)∗Dµφ− V (φ∗φ)= (∂µ + ieAµ)φ∗(∂µ − ieAµ)φ− V (φ∗φ)= ∂µφ
∗∂µφ− V (φ∗φ)− ieAµ(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗) + e2φ∗φAµAµ
46
ou encoreLφ,A = ∂µφ
∗∂µφ− V (φ∗φ) +AµJµG + φ∗φAµA
µ (7.10)
L’avant-dernier et le dernier termes correspondent à une interaction à troischamps et quatre champs respectivement.
Aµ = (V,A) correspond au champ électromagnétique. On a les relations
E = −∇V − ∂tA B = ∇×A (7.11a)
Q =∫
d3x JG (7.11b)
AµJµ = A0J0 −A · J ≡ qv − qAv (7.11c)
Pour une transformation locale, on a
Jµ = −ie(φ∗Dµφ− φ(Dµφ)∗) (7.12)
7.2 Équations pour le champ vectorielIl faut maintenant considérer le terme cinétique pour Aµ et obtenir le la-
grangien qui décrit le système entier :
L = Lφ,A + LA (7.13)
avecLA = (∂νAµ)(∂νAµ) (7.14)
Toutefois LA n’est pas invariant par (7.6) :
(∂νAµ)(∂νAµ) −→ ∂µ(Aν + ∂ν)∂µ(Aν + ∂ν)= (∂νAµ)(∂νAµ) + 2∂µAν∂µ∂νθ + ∂µ∂νθ ∂
µ∂νθ (7.15)
On introduit alors le tenseur antisymétrique Fµν tel que
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (7.16)
qui est invariant par (7.6) :
Fµν −→ ∂µ(Aν + ∂ν)− ∂ν(Aµ + ∂µ) = Fµν (7.17)
Le seul lagrangien que l’on peut former avec Fµν seulement est
LF = −14 FµνF
µν = −14η
µρηνσ(∂µAν − ∂νAµ)(∂ρAσ − ∂σAρ) (7.18)
En tenant compte du fait que
δ ∂µAνδ ∂αAβ
= δαµδβν (7.19)
les équations d’Euler–Lagrange donnent
∂LF∂(Aβ) = 0
47
ainsi que
∂LF∂(∂αAβ) = 1
4ηµρηνσ
((δαµδβν − δαν δβµ)(∂ρAσ − ∂σAρ) + µ←→ν
ρ←→σ
)= −2
4(∂αAβ − ∂βAα − ∂βAα + ∂αAβ)
= F βα = −Fαβ
d’où∂αF
αβ = 0 (7.20)
Si on prend en compte le lagrangien total (7.13), alors on a
∂LF∂(Aβ) = JβG (7.21)
où JβG est un courant externe qui ne dépend pas de Aµ. On obtient alors
− ∂αFαβ = JβG (7.22)
Par définition de Fµν , l’identité dite de Bianchi est vérifiée :
∂ρFµν + ∂νFρµ + ∂µFνρ = 0 (7.23)
qui se récritεµνρσ∂µFνρ = 0 (7.24)
Montrons que les équations (7.22) et (7.24) redonnent les équations de Maxwell.On a
F0i = ∂0Ai − ∂iA0 = −∂tA−∇V
soitF0i = (E)i (7.25)
Nous avons aussi
Fij = ∂iAj − ∂jAi = εijk∂iAj
d’oùFij = −εijk(B)k (7.26)
Sous forme matricielle, on a
Fµν =
0 E1 E2 E3−E1 0 −B3 B2−E2 B3 0 −B1−E3 −B2 B1 0
(7.27)
L’identité de Bianchi donne la première paire d’équations de Maxwell :
∇B = 0 (7.28a)∇×E + ∂tB = 0 (7.28b)
48
Considérons l’équation (7.22) :
∂µFµ0 = ∂iFi0 = ∂iEi = JG0
∂µFµi = ∂0F0i + ∂jFji = ∂0Ei − εijk∂jBk = JGi
ce qui donne le second jeu d’équations de Maxwell :
∇E = ρ (7.29a)∇×B − ∂tE = JG (7.29b)
Exemple 7.1 (Force de Lorentz).On retrouve la force de Lorentz pour{
J0 = q δ(x′ − x(t))J = qx δ(3)(x′ − x(t))
(7.30)
La variation de Aµ s’écrit :
δ Aµ = ∂µθ(x) (7.31)
et de faitδ Fµν = 0 (7.32)
La variation de l’action du champ Aµ est
δ
∫d4x
(−1
4FµνFµν +AµJ
µ
)=∫
d4x(0 + δ AµJµ)
=∫
d4x Jµ∂µθ
= −∫
d4x θ∂µJµ = 0
d’où∂µJ
µ = 0 (7.33)
Cette équation peut aussi se déduire de l’équation du mouvement (7.22) :
−∂ν∂µFµν = ∂νJνG = 0
car Fµν est antisymétrique.
7.3 Degrés de liberté du champ vectoriel7.3.1 Transformations de jauge
Considérons à nouveau l’équation de champ (7.20)
∂µFµν = 0 (7.20)
On obtient pour le champ Aµ :
�Aν − ∂ν(∂µAµ) = 0 (7.34)
49
Le champ Aµ possède trop de degrés de liberté et tous ne sont pas physiques.L’invariance de jauge permet de réduire ce nombre de degrés de liberté. En effet,on peut prendre α tel que
A′µ = Aµ + ∂µα (7.35)
avec A′µ qui vérifie (jauge de Lorentz)
∂µA′µ = 0 (7.36)
et dans ce cas l’équation (7.34) se réduit à
�A′µ = 0 (7.37)
Par exemple, soit B tel que
∂µAµ = B (7.38)
Dans ce cas∂µA
′µ = B + �α (7.39)
et la condition (7.36) est vérifiée si
�α = −B (7.40)
et alorsα(x) = −
∫d4x′ G�(x, x′)B (7.41)
Une solution de l’équation (7.37) dans l’espace de Fourier est
A′µ(p) = εµ(p) e−ipx + c.c. (7.42)
avec la conditionpµp
µ = 0 (7.43)
et où εµ est le vecteur de polarisation.La jauge de Lorentz (7.36) donne comme condition :
∂µA′µ = ipµ(εµ(p) eipx − c.c.) = 0 (7.44)
d’oùpµεµ(p) = 0 (7.45)
Pour chaque p il existe trois vecteurs{εiµ}i=1,2,3 formant la base d’un espace
qui lui est orthogonal :
pµεiµ = 0 (7.46a)εiµε
jµ = δij (7.46b)
La solution générale s’obtient en sommant sur tous les modes :
Aµ(x) =∫ d3p
(2π)32ωp
3∑i=1
(ai(p)εiµ(p) e−ipx + c.c.) (7.47)
50
Exemple 7.2 (Impulsion selon z).Si pµ = (p, 0, 0, p), alors
ε1 = (0, 1, 0, 0)ε2 = (0, 0, 1, 0)ε3 = (1, 0, 0,−1)
(7.48)
Il est possible d’avoirA′′µ = A′µ + ∂µα
′ (7.49)
tout en gardant la première transformation de jauge (7.35). Pour obtenir l’équa-tion de jauge similaire à (7.36) :
∂µA′′µ = ∂µA
′µ + �α′ = 0
on doit avoir�α′ = 0 (7.50)
ce qui est réalisable. Cherchons maintenant la condition pour obtenir la jaugede Coulomb (ou transverse) :
∇A′′ = 0 (7.51)
Soit C tel que∇A′ = C (7.52)
alors∇A′′ = C +∇2 α′ = 0 (7.53)
ce qui donne la condition∇2 α′ = −C (7.54)
qui admet une solution unique.La jauge de Coulomb (7.51) donne la relation :
piεi(p) = p · ε = 0 (7.55)
soitε = a1ε
1 + a2ε2 (7.56)
Il s’agit d’une propagation transverse.Finalement on a :
Aµ(x) =∫ d3p
(2π)32ωp
2∑i=1
(ai(p)εiµ(p) e−ipx + c.c.) (7.57)
Si ai(p) et ε(p) deviennent des opérateurs, alors on peut écrire un étatcomme :
|p, ε〉 = a†pεp |0〉 (7.58)
51
7.3.2 Formalisme hamiltonien
À chaque degré de liberté correspond un couple (φ, π). Le moment conjuguédu champ Aµ est
πµ = ∂L∂(∂0Aµ) = ∂L
∂Aµ(7.59)
Le développement du lagrangien (7.18) donne :
= 12∑
i,j∂iAj∂jAi+ 1
2
∑i
(A2
i−(∇Ai)2−2Ai∂iA0
)+ 1
2 (∇A0)2
LF = −14 FµνF
µν = −14(∂µAν − ∂νAµ)(∂µAν − ∂νAµ) = −1
2∂µAν∂µAν + 1
2∂µAν∂νAµ = −1
2∂iA0∂iA0 − 1
2(∂0A0)2 − 12∂0Ai∂
0Ai − 12∂iAj∂
iAj + 12∂0Ai∂
iA0 + 12(∂0A0)2 + 1
2∂iA0∂0Ai + 1
2∂iAj∂jAi = 1
2∑i,j
∂iAj∂jAi + 12∑i
(A2i − (∇Ai)2 − 2Ai∂iA0
)+ 1
2(∇A0)2
On obtient alors
π0 = 0 (7.60a)πi = Ai − ∂iA0 (7.60b)
L’équation∂L∂A0
= 0 (7.61)
est équivalente à
−∇2A0 +∇ A = J0
∇(−∇A0 − A) = ρ
soit∇E = ρ (7.62)
De même, l’équation∂
∂t
∂L∂Ai
= ∂L∂Ai
(7.63)
donneAi − ∂t∂iA0 = ∇2Ai − J i − ∂i∂jAj
soitAi −∇2Ai + ∂i(∇A− A0) = −J i (7.64)
On décompose A en une partie transverse et une partie longitudinale :
A = At +∇A (7.65)
avec∇At = 0 (7.66)
et A un scalaire. Dans ce cas
∂iAi = ∇2A (7.67)
52
etA(x) =
∫G∇2 ∇A ≡ (∇2)−1∂iAi (7.68)
La partie transverse vaut
At = A−∇∫G∇A (7.69)
L’équation de Gauss se récrit
−∇2A0 +∇2 A = ρ (7.70)
d’où−A0 + A =
∫Gρ (7.71)
On obtient donc
Ati −∇2Ati + ∂iA− ∂i∇2A+ ∂i(∇2A− A0) = −J i
Ati −∇2Ati + ∂iA+ ∂iA0 = −J i
ce qui donne finalement
Ati −∇2Ati = −Ji − ∂i∂t∫Gρ (7.72)
qui se met formellement sous la forme
�Ati = fi(J , ρ) (7.73)
Les variables A0 et A se partagent en deux catégories :– variables dynamiques : At, avec p ·At = 0.– variables non dynamique : A.Sous la transformation de jauge Aµ → Aµ + ∂µα, on a
Ati + ∂iA −→ Ati + ∂iA+ ∂iα (7.74)
et donc {Ati → AtiA→ A+ α
(7.75)
Seule la partie transverse est invariante de jauge. Ce qui change sous latransformation peut être considéré comme des multiplicateurs de Lagrange, soitdes paramètres arbitraires, puisque leur valeur ne doit pas influencer la physique.Toutefois, une telle décomposition fait perdre la covariance explicite, puisqueAt dépend de l’orientation de p. Il est impossible d’écrire une théorie invariantede Lorentz locale avec uniquement des variables dynamiques : il est nécessaired’ajouter des variables non invariantes de jauge.
53
7.4 Champ vectoriel massifDans le cas d’un champ vectoriel massif, le lagrangien pour Aµ est
L = −14FµνF
µν + m2
2 AµAµ (7.76)
qui donne l’équation du mouvement (dite équation de Proca)
− ∂µFµν = m2Aν (7.77)
soit(�+m2)Aν − ∂ν(∂µAµ) = 0 (7.78)
Le passage dans l’espace de Fourier donne
pµpµ = m2 (7.79)
Le lagrangien (7.76) n’est pas invariant de jauge :
δ(AµAµ) = Aµ∂µα (7.80)
Il est ainsi impossible d’utiliser une condition de jauge pour réduire le nombrede degrés de liberté. Toutefois on a la relation
−∂ν∂µFµν = m2∂νAν = 0
et ainsi la relation∂νAν = 0 (7.81)
reste valable. On obtient donc l’équation du mouvement
(�+m2)Aµ = 0 (7.82)
Encore une fois nous obtenons
pµεiµ = 0 (7.83)
et alors
Aµ(p) =3∑i=1
(ai(p)εiµ(p) e−ipx + c.c.) (7.84)
Le champ possède alors trois polarisations.
Exemple 7.3.Si pµ = (E, 0, 0, p), alors
ε1 = (0, 1, 0, 0)ε2 = (0, 0, 1, 0)ε3 = (E, 0, 0,−p)
(7.85)
54
7.5 Spin du champ vectorielÉtudions la transformation de Lorentz du champ Aµ :
A′µ(x′) = Λ νµ Aν(x)
A′µ(xρ + ω σρ xσ) = (δνµ + ω ν
µ )Aν(x)A′µ(x) + ω σ
ρ xσ∂σA′µ(x) = Aµ(x) + ω ν
µ Aν(x)
et on note queδ xρ = ω σ
ρ xσ (7.86)
On en déduit alors que
δ Aµ(x) = ω νµ Aν(x)− ω σ
ρ xσ∂σAµ(x) (7.87)
soit, en symétrisant cette expression :
δ Aµ(x) =ωρσ
2
((xρ∂σ − xσ∂ρ)Aµ + (δρµδσν − δσµδρν)Aν
)(7.88)
En définissant δ Aµ comme
δ Aµ(x) =ωρσ
2 [Jρσ] νµ Aν (7.89)
on obtient[Jρσ] ν
µ = Lρσδνµ + [Sρσ] νµ (7.90)
où[Sρσ] ν
µ = δρµδσν − δσµδρν (7.91)
On peut définir un vecteur S tel que
Si = εijkSjk (7.92)
Par exemple on a
Sz = S12 =
0 0 0 00 0 i 00 −i 0 00 0 0 0
(7.93)
Cherchons les valeurs propres de Sz :∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 0 00 −λ i 00 −i −λ 00 0 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ (−λ)2(λ2 − 1) = 0
d’oùλ = 0,±1 (7.94)
Le champ Aµ est donc de spin 1.
55
7.6 Fonction de Green pour le champ vectorielConsidérons l’équation de Proca avec source :
(�+m2)Aν − ∂ν(∂µAµ) = Jν (7.95)
Dans l’espace de Fourier, cette équation devient
−pµpµAν +m2Aν + pνpµAµ = Jν
soit ((−p2 +m2)ηµν + pνpµ
)Aµ = Jν (7.96)
et on notera l’opérateur Dµν :
Dµν = (−p2 +m2)ηµν − pνpµ (7.97)
Soit Gνρ la fonction de Green 7 :
DµνGνρ = δρµ (7.98)
Multiplions l’équation précédente par pµ :((−p2 +m2)pν + pνp
2)Gνρ = pρ
m2pνGνρ = pρ
et on peut injecter cette solution dans la même équation :
(−p2 +m2)ηµνGνρ + pµpρ
m2 = δρµ
ce qui donne
Gνρ = ηνρ − pνpρ/m2
p2 −m2 (7.99)
Toutefois, cette équation pose problème pour m2 = 0 : en effet, la fonctionde Green propage toutes les composantes de Aµ, mais cela n’a pas de sens pourA0. La relation précédente donne (en multipliant à la deuxième ligne par pµ) :
(−p2ηµν + pνpµ)Gνρ = δρµ
(−p2pν + pνp2)︸ ︷︷ ︸
=0
Gνρ = pρ
Ainsi l’hypothèse queDµν est inversible est fausse car elle possède un vecteurpropre nul : Dµνp
µ = 0. La solution consiste à utiliser l’invariance de jauge :
∂µAµ = 0 pµA
µ = 0 (7.100)
Dans ce cas on obtient
−p2ηµν Aµ + pνpµA
µ︸ ︷︷ ︸=0
= Jν
7. On remarque que la fonction de Green contient toujours deux fois plus de variables.
56
d’où− p2ηµνG
νρ = δρµ (7.101)
soit au finalGµν = −
ηµνp2 (7.102)
On voudrait avoirpµGµν = 0 (7.103)
et dans ce casGµν = −
ηµνp2 + pµpν/p
2
p2 (7.104)
carGµν = p2Πµν (7.105)
où Π est le projecteur orthogonal à p :
Π ={
0 v ‖ p1 v ⊥ p
(7.106)
Ce dernier n’est inversible que dans le sous-espace où il projette. On a lesrelations
Πµν = ηµν − pµpν
p2 (7.107a)
Π2 = Π (7.107b)ΠµνΠ ρ
ν = Πµρ (7.107c)Πµνpν = 0 (7.107d)
Soit Vµ tel que pµVµ = 0, alors
ΠµνVµ =(ηµν − pµpν
p2
)Vµ = pν (7.108)
Sur l’espace orthogonal à pµ on a
(Π−1)µν = ηµν − pµpν
p2 (7.109)
57
8 Brisures de symétries8.1 Brisure explicite de symétrie
Considérons le lagrangien
L0 = ∂µφ∗∂µφ− m2
2 φ2 (8.1)
L’invariance sous U(1) conduit au courant conservé
jµ = −i φ∗←→∂µφ (8.2)
Ajoutons alors un terme qui brise explicitement la symétrie :
L = L+ µ2(φ+ φ∗)2 µ2 � m2 (8.3)
Nous avons vu que nous avons ∂µJµ = δL. Ainsi on peut voir de quellemanière le courant n’est pas conservé lorsqu’un terme brise la symétrie. On a
L′ = L0 + ( eiθφ+ e−iθφ∗)2
= L0 + µ2( e2iθφ2 + e−2iθφ∗2 + 2φφ∗)
et en faisant un développement limité, on obtient
δL = µ2(2iθφ2 − 2iθφ∗2) (8.4)
d’où∂µJ
µ = 2iµ2(φ2 − φ∗2) (8.5)En choisissant la valeur de µ on peut paramétriser la violation.
8.2 Brisure globale de symétrie, théorème de GoldstoneUne particule correspond à une excitation élémentaire d’un champ autour
d’une certaine configuration (solution de vide, minimum). Sous l’action d’unesymétrie, une solution φ1 se transforme en une solution φ2 6= φ1. Ainsi, pourune solution de vide, si φ0 → φ′0 = φ0, alors le vide préserve la symétrie.
Exemple 8.1.Soit le lagrangien
L = ∂µφ∗∂µφ+m2φ∗φ− λ
2 (φ∗φ)2 (8.6)
qui donne l’équation du mouvement
�φ−m2φ+ λφ∗φ2 = 0 (8.7)
Les solutions de vide sontφ0 = 0 (8.8)
et |φ0|2 = m2
λ , soit
φα = eiα√m2
λ(8.9)
Alors on a φ0 → eiθφ0 = φ0 qui est invariant, mais φα → eiθφα = φα+θ 6=φα.
58
Figure 9 – Potentiel (8.11).
Une symétrie O(2) pour le lagrangien de Klein–Gordon libre entraine unedégénérescence du spectre de masse.
Exemple 8.2 (Potentiel en chapeau mexicain).Considérons le lagrangien
L = ∂µφ∗∂µφ− V (φ∗φ) (8.10)
avecV = λ
2 (|φ|2 − v2)2 (8.11)
présenté sur la figure 9.Ce lagrangien est invariant par la transformation globale φ → eiθφ. Toute-
fois, le système, à temps long, choisit dynamiquement un état non symétriquepar U(1) : une configuration en φ = 0 va "tomber" dans un minimum (puisqueφ = 0 est instable).
Plaçons nous dans le vide φ = v. Écrivons un petit déplacement en dehorsde cette position :
φ(x) = v(1 + ρ(x)) eiα(x) α, ρ ∈ R (8.12)
Pour φ = φ, on a α = ρ = 0.On a
∂µφ = v(∂µρ+ i∂µα(1 + ρ)) eiα
d’où
|∂µφ|2 = v2(∂µρ∂µρ+ (1 + ρ)2∂µα∂µα)
≈ v2∂µρ∂µρ+ v2∂µα∂
µα+O(ρα2)
etV = λ
2 (v2(1 + ρ)2 − v2)2 = 2λv4ρ2 +O(ρ4) (8.13)
59
On obtient donc le lagrangien
Lfluc = v2(∂µρ∂µρ+ ∂µα∂µα)− 2λv4ρ2 + interactions (8.14)
Ainsi, α correspond à un champ de masse nulle tandis que ρ possède unemasse 2λv2.
Théorème de Goldstone : Pour chaque symétrie globale brisée, il existeune particule de masse nulle associée, appelée boson de Goldstone.
Démontrons ce théorème. Soit le lagrangien
L = 12
N∑i=1
∂µφi∂µφi − V (φi) (8.15)
On considère une transformation continue linéaire
φi → φ′i = U(θ) ji φj (8.16)
telle que
U(0) = 1 (8.17a)U(ε) = 1 + εT +O(ε2) (8.17b)
On obtient l’invariance pour les dérivées :∑i
∂µφ′i∂µφ′i = ∂µφk U
ki U
`i︸ ︷︷ ︸
=δk`
∂µφ`
= ∂µφi∂µφi
ce qui est équivalent à U†U = 1, soit U ∈ O(N).Écrivons maintenant la condition d’invariance du potentiel
V (φ′i) = V (φi + εT ji φj) = V (φi) (8.18)
dans le vide∂V
∂φi
∣∣∣∣φ=φ
= 0 (8.19)
Cette condition donne
∂
∂φk
(V (φi + εT j
i φj)− V (φi))
= O(ε2)
∂V
∂φ`(φi + εT j
i φj)(δk` + εT k
` )− ∂V
∂φk= O(ε2)(
∂V
∂φ`(φi) + ∂2V
∂φ`∂φmεT jm φj
)(δk` + εT k
` )− ∂V
∂φk= O(ε2)
soit en prenant le point φ = φ :
∂2V
∂φ`∂φmεT jm φj(δk` + εT k
` ) + ∂V
∂φ`(φi)εT k
` = O(ε2)
60
ce qui donne l’équation aux valeurs propres (en tenant compte de la conditiond’équilibre)
∂2V
∂φk∂φmT jm φj = 0 (8.20)
or comme par hypothèse T jm φj 6= 0, on a forcément
mmk = ∂2V
∂φk∂φm= 0 (8.21)
ce qui démontre le théorème.Pour un groupe à plusieurs paramètres (A = 1, . . . , n), on a
φi −→ φi + εATA ji φj (8.22)
S’il existe k ensemble{εA}tels que εATA j
i φj = 0, alors il reste k symétriesrésiduelles et n − k symétries sont brisées. Il y aura donc n − k bosons deGoldstone.
Un mode de Goldstone se déplace dans le sens de la symétrie, ce qui ne coutepas d’énergie.
Exemple 8.3 (Symétrie résiduelle de SO(3).).Soit φ = (φ1, φ2, φ3) ∈ R3 qui se transforme par R ∈ SO(3) : φ→ Rφ. Soit
le lagrangienL = 1
2∂µφt∂µφ− λ
4 (φ2 − v2)2 (8.23)
Le vide est donné par |φ|2 = v2. Considérons le vide φ0 = (0, 0, v). Alors lasymétrie résiduelle est SO(2) : φ0 → R2φ0 avec
R2 =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
(8.24)
SO(3) possède trois générateurs La ={L1, L2, L3} et SO(2) un seul : L3. Il
y aura donc 3−1 = 2 bosons de Goldstone, qui sont générés par les générateursqui ne laissent pas le vide invariant.
Idée du calcul : il faut introduire autant de vecteurs que de générateurs (un
courant pour chaque paramètre, à coupler) :3∑a=1
JaµAaµ et
∂µφ −→ Dµφ−3∑a=1
(LaAaµ)φ (8.25)
8.3 Brisure locale de symétrie, mécanisme de HiggsDans le cas d’une brisure locale de symétrie, il n’y a pas de boson de Gold-
stone, mais Aµ prend une masse.Reprenons le lagrangien de la QED scalaire :
L = (Dµφ)∗Dµφ− 14FµνF
µν − V (φ∗φ)
= ∂µφ∗∂µφ− 1
4FµνFµν + iqAµ(∂µφ)φ∗ + c.c.+ q2φ∗φAµA
µ − V (φ∗φ)(8.26)
61
avecV = λ
2 (|φ|2 − v2)2 (8.27)
Les solutions de vide sont données par
|φ0| = v (8.28)
Le système est invariant de jauge{Aµ → Aµ + ∂µθ(x)φ→ eiqθ(x)φ
(8.29)
On choisit une jauge telle que φ soit réel : φ(x) =√
2ρ(x) eiψ(x) → ρ(x) enprenant qθ = −ψ. Il s’agit de la jauge unitaire. Dans ce cas le vide correspondà ρ0 = v.
Une fluctuation autour du vide s’écrit
ρ(x) = v + h(x) h� v (8.30)
et injectons ce résultat dans le lagrangien :
L = 12∂µρ∂
µρ− 14FµνF
µν + iqAµ(∂µρ)ρ+ c.c.︸ ︷︷ ︸=0
+q2ρ2AµAµ − λ
2 (ρ2 − v2)2
= 12∂µh∂
µh− 14FµνF
µν + q2
2 (2v2 + 2√
2vh+ h2)AµAµ −λ
2
(v2 +
√2vh+ h2
2 − v2)2
= 12∂µh∂
µh− λv2h2 +O(h3)− 14FµνF
µν + q2v2AµAµ +O(hA2) +O(h2A2)
Le spectre contient donc :– un champ scalaire réel de masse m2 = 2λv2 (un degré de liberté) ;– un champ vectoriel de masse m2 = 2q2v2 (trois degrés de liberté).Le champ vectoriel, initialement avec deux degrés de liberté, a récupéré un
des deux degrés de liberté du champ complexe.Soit un lagrangien invariant sous un groupe G. Alors on observe une symétrie
résiduelle si le vide considéré est invariant par un sous-groupe H ⊂ G non réduità l’identité.
Exemple 8.4 (Symétrie résiduelle SO(3) locale).Basons nous sur l’exemple 8.3 et la symétrie SO(3). Dans le cas d’une
symétrie locale, il n’y aura pas de bosons de Goldstone. À la place, le spec-tre contiendra :
– un champ scalaire massif ;– deux champs vectoriels (A1
µ, A2µ) massifs et chargés ;
– deux champs vectoriels A3µ massifs et neutre.
A1µ et A2
µ se transforment entre eux par(A1µ
A2µ
)−→
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)(A1µ
A2µ
)(8.31)
On définit
A+ = A1 + iA2 A− = A1 − iA2A+ → eiθA+ A− → eiθA− (8.32)
62
Exemple 8.5 ("Unification" électrofaible).On considère un système invariant par SU(2)×Uγ(1) de générateurs respec-
tifs τa (a = 1, 2, 3) et γ où τa sont les matrices de Pauli. Les quatre bosonsassociés sont notés Aaµ et γµ.
Soit H = (φ1, φ2), alors
SU(2) : H → UH
Uγ(1) : H → eiqθH
où q = 1/2 est l’hypercharge. Soit
V = λ
2 (H†H − v2)2 (8.33)
et le vide est H†0H0 = v2. On considère le vide H0 = (0, v). Les symétries SU(2)et Uγ(1) ne préserve pas le vide, mais cherchons un sous-groupe de SU(2)×Uγ(1)qui le fasse : (
eiθ/2 00 e−iθ/2
)× eiθ/2
(0v
)=(
0v
)(8.34)
Et U(1) ≡ τ3 + γ. Les champs vectoriels d’origine se combinent :
Aµ = A3µ + γµ (8.35a)
Zµ = A3µ − γµ (8.35b)
W±µ = A1µ ± iA2
µ (8.35c)
Le premier est neutre et sans masse, le second neutre et massif, et les deuxderniers chargés et massifs (q = ±1, m2 = gv2). Le champ H qui contenait à labase quatre degrés de liberté devient un champ scalaire (0, v + h) : il s’agit duchamp de Higgs et mH = λv2.
63
9 Théories de jauge non abéliennesNous avons vu qu’un champ se transformant par φ → eiαφ conduit à l’ap-
parition d’un champ de jauge Aµ → Aµ + ∂µα. Une telle transformation appar-tient au groupe abélien U(1).
Un groupe G est dit abélien si, pour u(α), u(β) ∈ G, on a
u(α)u(β) = u(β)u(α) = u(α+ β) (9.1)
c’est à dire que l’action sur le champ φ est
u(α)u(β)φ = u(β)u(α)φ (9.2)
Au contraire, un groupe G′ n’est pas abélien si pour U1, U2 ∈ G′, on a
U1U2 6= U2U1 (9.3)
Notons que l’on a toujours les propriétés qui définissent un groupe :
U1U2 ∈ G′ 1 ∈ G′ ∃U−1 | U−1U = UU−1 = 1 (9.4)
9.1 Symétrie U(2)Les champs φ = (φ1, φ2) ∈ C2 se transforment par
φ′ = Mφ (9.5)
où on noteM =
(a bc d
)a, b, c, d ∈ C (9.6)
Prenons comme lagrangien
L = ∂µφ∗1∂µφ1 + ∂µφ
∗2∂µφ2 = (∂µφ)†∂µφ (9.7)
avecφ† =
(φ∗1 φ∗2
)(9.8)
qui se transforme comme
φ† −→Mφ† = φ†M† (9.9)
Le lagrangien devient ainsi
L −→ (∂µφ)†M†M∂µφ (9.10)
Pour avoir l’invariance du lagrangien, il faut que
M†M = 1⇐⇒M ∈ U(2) (9.11)
Cela signigie queM−1 = M† (9.12)
On peut démontrer que U(2) est bien un groupe. En effet, soit U1, U2 ∈ U(2),alors
U1U†2U1U2 = U†2U
†1U1U2 = 1
64
Le déterminant de U ∈ U(2) vaut :
det(U†U) = det 1detU† detU) = 1|detU |2 = 1
soitdetU = eiθ (9.13)
On peut décomposer toute matrice U de U(2) comme
U = Uf (θ)Us (9.14)
oùUf (θ) =
(eiθ/2 0
0 eiθ/2)
= eiθ/2 id detUs = 1 (9.15)
La relation
detU = detUf detUs = detUf= eiθ
donne
Uf (θ) =√
detU id (9.16a)
Us = U√detU
(9.16b)
Le groupe SU(2) est défini comme
SU(2) = {Us ∈ U(2) | detUs = 1} (9.17)
On a doncU(2) = U(1)× SU(2) (9.18)
Ce groupe n’est donc pas simple car il est composé de deux sous-groupes :un abélien et l’autre non abélien.
9.2 Symétrie SU(2)Soit φ = (φ1, φ2) deux champs complexes intervenant dans le lagrangien :
L = ∂µφ†∂µφ− V (φ†φ) (9.19)
et soit U ∈ SU(2) (6.4) :
U†U = 1 detU = 1 (9.20)
On note φ′ = Uφ.Considérons une petite transformation :{
U = 1 + εω ε� 1φ′ = φ+ ε δφ
(9.21)
65
U dépend de trois paramètres : il existera donc trois courants conservés
Jµ = ∂L∂(∂µφi)
δ φi + ∂L∂(∂µφ∗i )
δ φ∗i (9.22)
En effet, on a :
U†U = (1 + εω)†(1 + εω)= (1 + εω†)(1 + εω)≈ 1 + ε(ω† + ω) = 1
d’oùω† = −ω (9.23)
et ω est antihermitique. Calculons maintenant le déterminant :
det(1 + εω) ≈ 1 + ε trω = 1
d’oùtrω = 0 (9.24)
La matrice la plus générale répondant à ces conditions est :
ω =(
ix y + iz−y + iz −ix
)x, y, z ∈ R (9.25)
On peut décomposer cette matrice en utilisant les matrices de Pauli σa(a = 1, 2, 3) :
ω = i
[x
(1 00 −1
)+ y
(0 −ii 0
)+ z
(0 11 0
)](9.26)
En notant λa les paramètres, on a la notation compacte :
ω = iλaσa λa ∈ R (9.27)
ω appartient à l’algèbre de Lie su(2), qui possède les propriétés suivantes(ω1, ω2, ω3 ∈ su(2)) :
– ω1 + λω2 ∈ su(2).– [ω1, ω2] ∈ su(2).– [ω1, [ω2, ω3]] + cycliques = 0 (identité de Jacobi).
où [ω1, ω2] est le commutateur de ω1 et ω2, défini par
[ω1, ω2] = ω1ω2 − ω2ω1 (9.28)
Le lien entre su(2) et SU(2) se fait par exponentiation :
U = eiω =∞∑n=0
in
n! ωn (9.29)
On remarque que
( eiω)† = e−iω†
= e−iω
( eiω)† eiω = 1det eiω = ei trω = 1
66
D’une manière plus explicite, on a donc
U = exp(i
2
3∑a=1
λaσa
)(9.31)
Pour les matrices de Pauli, on a les propriétés suivantes :[σa, σb
]= 2iεabcσc (9.32a)
σt = σ∗ (9.32b)
La variation du champ sera donc{δ φi = iσaijφj
δ φ∗i = −i(σaijφj)∗ = −iφ∗jσaji(9.33)
et donc on obtient les trois courants :
Jaµ = ∂µφ∗i (iσaijφj)− ∂µφi(iφ∗jσaji)
= i((∂µφ†)iσaijφj − φ∗jσaji(∂µφ)i
)d’où
Jaµ = i(∂µφ†σaφ− φ†σa∂µφ) (9.34)
Considérons le cas où λ1 = λ2 = 0 et λ3 = ε. Dans ce cas on a{δ φ1 = iφ1
δ φ2 = −iφ2(9.35)
On peut alors définir une transformation de U(1) :{φ1 → eiεφ1
φ2 → e−iεφ2(9.36)
soitU =
(eiε 00 e−iε
)(9.37)
Pour chaque λa on peut se restreindre à un sous-groupe abélien : U(1) ⊂SU(2).
9.3 Symétrie SU(2) localeSoit U(x) ∈ SU(2), alors
δ φi = −λa(x)σa ji φj (9.38)
et pour une transformation non infinitésimale :
φ −→ φ′ = e−iΛ(x)φ Λ(x) = λa(x)σa ∈ su(2) (9.39)
Dans ce cas le terme cinétique hamiltonien se transforme comme
67
∂µφ†∂µφ −→ ∂µ
(φ†U†(x)
)∂µ(U(x)φ
)=(
(∂µφ†)U†(x) + φ†∂µU†(x))((
∂µU(x))φ+ U(x)∂µφ
)= ∂µφ
†∂µφ+ (∂µφ†)U†(x)(∂µU(x)
)φ+ φ†∂µU†(x)
(∂µU(x)
)φ+ φ†
(∂µU
†(x))U(x)∂µφ
qui n’est pas invariant de jauge. Pour U(1) nous avions été amenés à introduireun champ de jauge Aµ et une dérivée covariante associée.
Dans le cas non abélien, on introduit
Dµφi = ∂µφi + i(Aµ) ji φj (9.40)
Aµ est donc une matrice.Si Dµφ→ (Dµφ)′ = UDµφ, alors (Dµφ)†Dµφ est invariant. Explicitement,
on a
(Dµφ)′ = ∂µφ′ + iA′µφ
′
= ∂µ(Uφ) + iA′µ(Uφ)= U∂µφ+ (∂µU)φ+ iA′µ(Uφ)= U(Dµφ) = U(∂µφ+ iAµφ)
où on a utilisé, dans la dernière ligne, la définition de Dµ. On obtient donc larelation
(∂µU)φ+ iA′µUφ = iUAµφ
soit après simplification :
A′µ = UAµU−1 − i(∂µU)U−1 (9.41)
Si on considère une transformation infinitésimale : U = e−iΛ ≈ 1 − iΛ, onobtient :
A′µ = (1− iΛ)Aµ(1 + iΛ)− i(∂µ(1− iΛ)
)(1 + iΛ)
= Aµ id−i(ΛAµ −AµΛ) + ∂µΛ
soitδ Aµ = ∂µΛ + i [Aµ,Λ] (9.42)
Λ ∈ su(2) donc Λ† = Λ, tr Λ = 1 et on rappelle que Λ = λaσa. De mêmeAµ ∈ su(2) donc
Aµ = Aaµσa (9.43)
On en déduitδ Aaµ = ∂µA
a + εabcAbµΛc (9.44)
Soit M ∈ SU(2), alors on définit la représentation adjointe de M par
M −→ UMU−1 (9.45)
Soit ω ∈ su(2), alorseiω =
∑n
in
n! ωn (9.46)
et donc
U eiωU−1 = U
(∑n
in
n! ωn
)U−1 =
∑n
in
n! ω′n = eiω
′(9.47)
68
et dans la représentation adjointe on a donc
ω′ = UωU−1 (9.48)
On a M†M = M2 → UM2M−1 qui n’est pas invariant. Par contre trM estun invariant. On a
trM ′2 = tr(UM2U−1) = tr(UU−1M2) = trM2
Si on a des champs à deux composantes φ, χ se transformant sous U , alorsles combinaisons φ†ψ,φ†Mφ, trM2n sont invariantes.
Un lagrangien pour Aµ doit être :– invariant de Lorentz (donc scalaire) ;– contenir des dérivées d’ordre 1– invariant sous SU(2) locale.On définit
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i [Aµ, Aν ] (9.49)
qui se transforme comme
F ′µν = U(x)FµνU−1(x) (9.50)
On obtient alors le lagrangien de Yang–Mills (1954) :
LYM = − 12g2 tr(FµνFµν) (9.51)
On peut décomposer Fµν comme
Fµν = F aµνσa (9.52)
avec
F aµν = ∂µAaν − ∂νAaµ − i([Aµ, Aν ])a
= ∂µAaν − ∂νAaµ − iAbµAcν(
[σb, σc
])a
= ∂µAaν − ∂νAaµ − iAbµAcν(iεbca)
= ∂µAaν − ∂νAaµ + εabcAbµA
cν
On a la relationσaσb = 1
4 δab + i
2 εabcσc (9.53)
On peut donc écrire le lagrangien de Yang–Mills comme
LYM = − 12g2 tr(FµνFµν) = − 1
2g2 tr(F aµνσaF b µνσb)
= − 12g2 F
aµνF
b µν tr(σaσb)
= − 12g2 F
aµνF
b µν tr(
14 δab + i
2 εabcσc)
= − 14g2 F
aµνF
aµν
69
car tr(εabcσc) = 0.Le lagrangien ne peut contenir un terme de masse, qui briserait l’invariance
de jauge. Toutefois, il peut contenir un terme du type εµνρσ tr(FµνFρσ). Dans unlagrangien général, pour faire apparaitre la constante de couplage g, on effectuele remplacement A→ A/g.
Soit M →M ′ = UMU−1. On définit la dérivée covariante adjointe comme
DµM = ∂µ + ig [Aµ,M ] (9.54)
qui est invariant. Dans ce cas tr(DµMDµ) est aussi invariant. PourM = Maσa,on a
(DµM)′a = ∂µMa − gεabcAbµM c (9.55)
Les équations d’Euler–Lagrange
∂µ∂L
∂(∂µAaν) −∂L∂Aaν
= 0 (9.56)
donnent∂ρF
b ρσ − gεbcdAcρF d ρσ = 0 (9.57)
qui est non linéaire. On peut l’écrire sous la forme
∂ρFρσ + ig [Aρ, F ρσ] = 0 (9.58)
ou encoreDρF
ρσ = 0 (9.59)
qui est l’équation de Yang–Mills dans le vide. En faisant de même que pour lechamp de jauge U(1), on écrit l’identité de Bianchi :
εµνρσDνFρσ = 0 (9.60)
On peut ajouter un courant au lagrangien de Yang–Mills :
LYM = −14F
aµνF
aµν − gJaµAaµ (9.61)
ce qui donneraDρF
ρσ = gJσ (9.62)
et en contractant par Dσ, on trouve :
DσJσ = 0 (9.63)
car on peut montrer que DσDρFρσ = 0. Il s’agit donc d’un courant qui est
conservé de manière covariante :
∂ρJρ + ig [Aρ, Jρ] = 0 (9.64)
Soit M ∈ su(2), telle que
M = 12
(M3 M1 − iM2
M1 + iM2 −M3
)(9.65)
70
On définit le vecteur M = (M1,M2,M3). M se transforme comme
M ′ = e−iΛM eiΛ ≈M − i [Λ,M ] (9.66)
donc δM = −i [Λ,M ] et comme M et Λ peuvent être exprimées comme com-binaison des matrices Pauli σa : Λ = λaσa et M = Maσa, on récrit lavariation comme
δMa = εabcλbM c = T acM c (9.67)que l’on met sous la forme
δM = T M (9.68)
et T ac = λb(T ac)b avec (T ac)b = εbac, donc δM = e−λbT b
M avec e−λbT b ∈SO(3). Les expressions de T b sont :
T 1 =
0 0 00 0 −10 1 0
T 2 =
0 0 10 0 0−1 0 0
T 3 =
0 −1 01 0 00 0 0
(9.69)
SU(2) SO(3)τa T a
U = e−iλaτa
O = e−iλa(iT )a
M =(
M3 M1 − iM2
M1 + iM2 −M3
)M =
M1
M2
M3
M → UMU−1 M → OM[τa, τ b
]= iεabcτ c
[iT a, iT b
]= iεabc iT c
U2 = −1 ∈ SU(2) M → (−1)M(−1) = M
Table 1 – Comparaison entre les représentations SU(2) et SO(3).
SU(2) et SO(3) ne sont équivalents que dans leurs algèbres de Lie. detM =((M1)2 + (M2)2 + (M3)2) = |M |2 est invariant par rotation.
9.4 GénéralisationsOn peut étendre les concepts de la section précédente aux groupes SU(N)
et SO(N). Un élément s’écrira
U = e−iλaτa
a = 1, . . . , d (9.70)
et on aura les commutateurs [τa, τ b
]= ifabcτ c (9.71)
où fabc ∈ R est antisymétrique en a, b, c. Un champ φ variera comme
δ φi = iλaτa ji φj (9.72)
et on définit la dérivée covariante :
Dµφ = ∂µφ+ igAaµτaφ (9.73)
ainsi queF aµν = ∂µA
aν − ∂νAaµ − gfabcAbµAcν (9.74)
Chaque groupe peut être associé à un autre groupe :
71
– SU(2)←→ SO(3) (d = 3) ;– SU(4)←→ SO(6) (d = 15) ;– SO(4)←→ SU(2)× SO(2) (d = 6).Comme exemple considérons U(2) = U(1)× SU(2). Les matrices carrées τa
hermitiques de dimension 2 sont données par :
τa ={
12
(0 11 0
),
12
(0 −11 0
),
12
(1 00 −1
),
12
(1 00 1
)}(9.75)
On a donc les relations
Aµ =4∑a=1
Aaµτa =
3∑a=1
Aaµτa
︸ ︷︷ ︸= ASµ
+12Bµ 12 (9.76a)
∂Aµ = ∂µΛ + i [Aµ,Λ] (9.76b)
Λ =3∑a=1
λaτa︸ ︷︷ ︸= ΛS
+12λ
4 (9.76c)
δ ASµ = ∂µΛS + i[ASµ ,ΛS
](9.76d)
δ Bµ = ∂µλ4 (9.76e)
Fµν =3∑a=1
F aµντa
︸ ︷︷ ︸= FSµν
+Bµν 1 (9.76f)
FSµν = ∂µASν − ∂νASµ + i
[ASµ , A
Sν
](9.76g)
Bµν = ∂µBν − ∂νBµ (9.76h)trFµνFµν = F aµν F
aµν +BµνBµν (9.76i)
L = LSU(2)YM + LU(1) (9.76j)
Dµφ = ∂µφ+ i∂µAaµτ
aφ+ igBµφ (9.76k)
72
10 Brisures de symétries non abéliennesOn considère une symétrie SU(2) locale, avec Aµ = Aaµτ
a, φ = (φ1, φ2) ∈ C2
et φ′(x) = U(x)φ(x), où U ∈ SU(2). Le lagrangien s’écrit
LYM = −12 trFµνFµν + (Dµφ)†(Dµφ)− V (φ†φ) (10.1)
et on définit
Dµφ = ∂µφ+ igAµφ (10.2a)(Dµφ)i = ∂µφi + igAaµτ
a ji φj (10.2b)
V = ±m2φ†φ+ λ
4 (φ†φ)2 (10.2c)
Pour le signe positif, le spectre est :– 4 champs scalaires réels de spin nuls de masse m (4 degrés de liberté) ;– 3 champs de spin 1 et de masse nulle (3× 2 = 6 degrés de liberté).On considère le vide φ0 = 0 laissé invariant pour tout U . Considérons main-
tenant le cas du signe négatif. La solution φ0 = 0 est instable. On obtient leminimum pour
|φ0|2 = 2m2
λ= v2 (10.3)
On note φ0 = (v1, v2) tel que |v1|2 + |v2|2 = v2 qui définit une sphère tridimen-sionnelle. Soit U telle que
U =(
u z−z∗ u∗
)uu∗ + zz∗ = 1 (10.4)
alors Uφ0 6= φ0 et δ φ = −iΛφ donc δ φ0 6= 0 pour chaque transformation a :
δ1 φ0 = −iλ2
(v1v2
)δ2 φ0 = −iλ2
(−iv1iv2
)δ3 φ0 = −iλ2
(v1−v2
)Il n’y a donc pas de transformation infinitésimale qui laisse φ0 invariant. La
symétrie SU(2) est donc brisée à l’unité.On développe autour φ0 = (v, 0) avec v ∈ R. On a
φ(x) = φ0 + δ φ(x) =(v0
)+ 1√
2
(a+ ibc+ id
)(10.5)
On développe le potentiel :
|φ|2 =(v + a√
2
)2+ b2
2 + c2
2 + d2
2
donc, à l’ordre 2 :V (|φ|2) = m2v2 + λ
4 v4 + 1
2(2m2)a (10.6)
Pour chaque symétrie brisée on obtient boson de Goldstone, ici b, c et d.Le terme cinétique vaut
(Dµφ)†(Dµφ) = (Dµ δ φ)2 + (m2)ab
2 AaµAb µ (10.7)
73
où(m2)ab = g2φ†0(τaτ b)φ0 =
(v∗1 v∗2
)τa(v1v2
)(10.8)
Et le lagrangien pour les champs A devient
LA = −14F
µνFµν + 12m
2vA
aµAaµ m2v = v2g2 (10.9)
et celui pour φ :Lφ = (Dµ δ φ)†(Dµ δ φ)− 1
2(2m2)a2 (10.10)
ce qui fait 13 degrés de libertés, soit 3 en plus. Or le nombre de degrés de libertédoit toujours être fixé. Pour voir apparaitre le spectre, il faut fixer la jauge. Pource faire, on choisit
λ3 = b
vλ1 = −d
vλ2 = c
v(10.11)
et doncφ′ =
(v 0
)+(a/√
2 0)
(10.12)
et le lagrangien devientLφ = ∂µa∂
µa+ · · · (10.13)
Le spectre contient désormais :– un champ scalaire de spin 0 et de masse 2m2 (un degré) ;– trois vecteurs de spin 1 massifs avec m2
v = g2v2 (neuf degrés).Cette théorie n’est pas correcte car tous les champs ne sont pas massifs.
On s’est placé dans la jauge unitaire pour φ′ = φ0 + δ φ = (v+χ, 0). δ a = 0mais δ b, δ c, δ d = iλ et donc ne sont pas invariants.
74
11 Champs de spin 211.1 Procédure de Noether
Une autre démonstration consiste à écrire la variation du champ comme
δ φ = α(x)f(φ) (11.1)
qui est toujours valable pour f quelconque à condition que α� 1. Dans ce cas,on a :
δL = ∂L∂φ
αf(φ) + ∂L∂(∂µφ) ∂µ(α(f(φ)))
= α
[∂L∂φ
f(φ) + ∂L∂(∂µφ)∂µ(f(φ))
]+ ∂L∂(∂µφ) f(φ)∂µα
Si δL = 0, alors ceci doit être vrai pour tout α, et en particulier pour α = cste.On en déduit :
∂L∂φ
f(φ) + ∂L∂(∂µφ)∂µ(f(φ)) (11.2)
d’où aussiδα(x) L = ∂L
∂(∂µφ) f(φ)∂µα = Jµ∂µα (11.3)
Considérons maintenant l’action
S0 =∫
d4x L(φ, ∂µφ) (11.4)
telle que δg L = 0. Dans ce cas
δα(x) S0 =∫
d4x (∂µα)Jµ (11.5)
Cherchons alors S1 tel que δα(x) S = 0, avec S = S0 + S1 :
S1 = −∫
d4x JµAµ (11.6)
avecδ Aµ = ∂µα (11.7)
et alors
δ S =∫
d4x ∂µαJµ −∫
d4x Jµ +(−∫
d4xAµ δαxJµ)
est nulle si δαxJµ = 0. Si ce n’est pas le cas, on a
δ S = −e2∫
d4x φ∗φ∂µαAµ (11.8)
comme Jµ est donné parJµ = ieφ∗
←→∂µφ (11.9)
75
Alors on peut définir S2 par
S2 = e2
2
∫d4x |φ|2AµAµ (11.10)
tel que S = S0 +S1 +S2 soit invariant. On note que S2 contient des termes nonlinéaires en Aµ.
Il est ainsi possible d’ajouter des termes jusqu’à obtenir une action invari-ante.
11.2 Translation locale et champ tensorielConsidérons une translation locale infinitésimale :
xµ −→ x′µ = xµ + aµ(x) (11.11)
Si aµ = cste, alors δ S0 = 0 comme nous l’avons vu précédemment. Dans ce casle courant conservé est le tenseur énergie–impulsion Tµν :
∂µTµν = 0 Tµν = T νµ (11.12)
Dans le cas d’une transformation locale, on obtient :
δ` S0 =∫
d4x ∂νaµTµν = 12
∫d4x Tµν (∂µaν + ∂νaµ) (11.13)
Appliquons la procédure de Noether et cherchons S1 pour obtenir une actionS = S0 + S1 sous la translation locale :
S1 = 12
∫d4x Tµν h
µν (11.14)
avecδ hµν = −(∂µaν + ∂νaµ) (11.15)
Dans ce cas on a bien δ S = 0 puisque δ S1 = − δ S0.On suppose que h est un tenseur de spin 2 et donc symétrique
hµν = hνµ (11.16)
car dans tous les cas la partie antisymétrique n’intervient pas comme Tµν estantisymétrique.
L’action s’écrit donc
S = S0[φ,A] + 12
∫d4x Tµν h
µν + S2
où
S2 =∫
d4x(A ∂ρhµν∂
ρhµν +B ∂ρhρµ∂σh
σµ + C ∂ρhρµ∂
µh σσ
+D ∂µhρρ ∂
µh σσ + E hµνh
µν + F h µµ h ν
ν
)La condition δ S2 = 0 impose E = F = 0. En effet, on a δ h µ
µ = −2∂µaµ etalors
δ(E hµνhµν + F h µ
µ h νν ) = 4E hµν∂
µAν + 4F h µµ ∂νa
ν = 0
76
Cette condition doit être vraie pour tout h. Si on choisit h tel que h µµ = 0, alors
4E hµν∂µAν = 0
ce qui impose E = 0. De même on trouve F = 0.On peut aussi montrer que
δ S2 = 0⇐⇒ B = −C = −2A D = −A ∀A
L’action s’écrit finalement
S = 12
∫d4x Tµν h
µν +A
∫d4x
(12∂ρhµν∂
ρhµν − ∂ρhρµ∂σhσµ
+ ∂ρhρµ∂
µh− 12∂µh∂
µh
)(11.17)
Les équations d’Euler–Lagrange donnent
−�hµν+∂ν∂σhσµ+∂µ∂σhσν−∂µ∂νh+ηµν (�h−∂ρ∂σhρσ) = 2k2Tµν (11.18)
en posantA = − 1
4k2 (11.19)
T agit comme une source. Comme h est symétrique, il s’agit d’un ensemble dedix équations couplées.
L’analyse dimensionnelle donne :
[h] = 0 [A] = M2 [k] = M−1 (11.20)
Pour déterminer les constantes A et k2, prenons une source ponctuelle :
T00 = mδ(3)(x) Tij = Ti0 = 0 (11.21)
Ce choix est dû au fait que, dans la limite classique, T tend vers la masse.On cherche une solution statique du type
h00 = 2φ(x)h0i = 0hij = 2ηijψ(x)h = ηµνh
µν = 2φ(x) + ψ(x)
(11.22)
En injectant cette solution dans les équations du mouvement (11.18), onobtient les diverses équations :
– Pour i 6= j, on a hij = Tij = 0 :
2∂i∂jψ + 2∂i∂jψ − ∂i∂j(2φ+ 6ψ) = 0−2∂i∂j(φ+ ψ) = 0
d’oùφ = −ψ (11.23)
77
– 0, 0 :
−�h00 + η00(�h− ∂i∂jhij) = 22T00
−2�φ+ (−4�φ+ 2∂i∂jηijφ) = 2k2mδ(3)(x)−6�φ− 2∇2 φ = 2k2mδ(3)(x)
4∇2 φ = 2k2mδ(3)(x)
car � = −∇2, et on obtient l’équation de Poison :
∇2 φ = k2
2 mδ(3)(x) (11.24)
Cette équation admet pour solution
φ(r) = −k2m
8πr = −GNmr
(11.25)
où on a écrit l’équation classique. On peut donc déterminer les valeurs desconstantes :
k2 = 8πGN A = 164πGN
(11.26)
Nulle part nous n’avons parlé de géométrique : on a uniquement considérél’interaction du point de vue des particules.
Dans le cas sans source, l’équation (11.18) se réduit à
� hµν = 0 ∂µhµν = 0 (11.27)
où on a poséhµν = hµν −
12 ηµνh (11.28)
Considérons une transformation générale des coordonnées :
x′µ = xµ + aµ(x) = fµ(x) (11.29)
avec aµ quelconque. La procédure de Noether donnerait une infinité de termes.Une autre solution est d’utiliser la géométrie différentielle. On note l’élément delongueur
ds2 = gµν (x)dxµdxν −→ gµν(x(x′)
) ∂xµ∂x′ρ
∂xν
∂x′σdx′ρdx′σ (11.30)
où g est le tenseur métrique. De cette loi de transformation on déduit :
g′µν (x) = gµν(x(x′)
) ∂xµ∂x′ρ
∂xν
∂x′σ(11.31)
Notonsgµν (x) = ηµν + hµν(x) hµν(x)� 1 (11.32)
Comme x′µ = xµ + aµ, on a
∂xµ
∂x′ρ= δµρ − ∂ρaµ (11.33)
78
et alors
g′ρσ = (ηµν + hµν)(δµρ − ∂ρaµ)(δνσ − ∂σaν)= ηρσ + hρσ − ∂ρaσ − ∂σaρ︸ ︷︷ ︸
= h′ρσ
h représente donc les fluctuations autour de l’espace plat et qui se couplentà la matière. On peut généraliser cette idée à gµν quelconque.
Pour cela dans l’action on fait les remplacements
d4x −→√−det g d4x hµν −→ ηµν
ce qui donne
S =∫
d4x√−det g
(12 hµν∂µφ∂νφ− V (φ)
)(11.34)
Si on reprend l’exemple de la source pontuelle, on obtient comme élémentde longueur
ds2 = (1 + 2φ)d2 − (1− 2φ)dxidxi (11.35)
L’action vaut dans le cas général :
S2 = − 116πGN
∫d4x
√−det g R[g]
= − 116πGN
∫d4x
√−det g R[η + h]
= S2[h] + · · ·
où R est la courbure scalaire.
79
A Théorie des champs conformes 8
Dans toute cette section on se placera dans un espace à deux dimension munide la métrique euclidienne :
ds2 = dx1 + dy1 (A.1)
On définit une transformation d’échelle par
xi → xi = λxi (A.2)
et ds2 se transforme alors comme
ds2 → ds2 = λ2ds2 (A.3)
On généralise ce résultat en définissant une transformation conforme commeétant une transformation des coordonnées
xi → xi(x) (A.4)
telle queds2 → ds2 = λ2(x)ds2 (A.5)
Sous une telle transformation, un champ de dimension critique 9 ∆ se trans-forme comme
φ(x)→ λ(x)∆φ(x) (A.6)
En posantdz = dx+ idy (A.7)
il est possible de factoriser d2 :
ds2 = dz dz∗ = |dz|2 (A.8)
Considérons alors la transformation
z → z = f(z) (A.9)
où f est une fonction holomorphe. Alors, en se souvenant que d(f(z)) = f ′(z) dz,on a
dz dz∗ = |f ′(z)|2 dz dz∗ (A.10)
ce qui correspond à une transformation conforme avec
λ(z, z∗) =∣∣∣∣dfdz
∣∣∣∣ (A.11)
L’ensemble des fonctions holomorphes permet d’effectuer des transformationsconformes.
Considérons maintenant une transformation infinitésimale :
z → z = z + α(z) α� 1 (A.12)
8. Ces notes sont basées sur une explication donnée par Vladimir Dotsenko.9. Par exemple la dimension critique d’un champ tensoriel correspond à son ordre.
80
Il est alors possible de développer α(z), analytique, en série entière 10 autour dez = 0 :
α(z) =∞∑
n=−1αnz
n+1 (A.13)
Les coefficients {αn} correspondent aux paramètres de la transformation, quisont donc en nombre infini.
Prenons maintenant un champ φ = φ(z) (qui ne dépend que de z pour desraisons de simplicités) et qui se transforme donc comme
φ→ φ = φ+ δφ =(1 + α′(z)
)φ (A.14)
On aura
φ(z) =(1 + α′(z)
)∆φ(z + α(z)
)≈(1 + ∆α′(z)
)(1 + α(z)∂z)φ(z)
= φ(z) + (∆α′(z) + α(z)∂z)φ(z)
ce qui nous donne la variation de φ sous la transformation :
δφ = φ− φ = (∆α′(z) + α(z)∂z)φ(z) (A.15)
qui se récritδα(z)φ(z) = 1
2πi
∮Cz
dξ α(ξ)T (ξ) φ(z) (A.16)
où Cz est un contour qui entoure le point z. T est le tenseur d’énergie impulsionrécrit en terme des variables z et z∗. On a
trTµν = Tzz∗ = 0 (A.17)
La variation de l’action sous la transformation A.12 (terme de bord) est
δS[φ] =∮C
dsµανTµν = 12πi
∮Cz
dz α(z)T (z) (A.18)
où s est le vecteur normal au contour.La fonction de corrélation en deux points est
〈φ(z)φ(z0)〉 =
∫Dφ e−S[φ]φ(z)φ(z0)∫
Dφ e−S[φ](A.19)
La variation de cette intégrale fonctionnelle doit être nulle sous les transforma-tions (A.12) et (A.14) :∫
Dφ(−δA[φ] + δφ) e−A[φ]φ(z0) = 0 (A.20)
10. Le décalage d’indice est conventionnel.
81
Exemple A.1.Calculons la variation de la valeur moyenne de λ2 avec une fonction de poids
gaussienne e−aλ2 ⟨λ2⟩ =
∫ ∞−∞
dλ e−aλ2λ2 (A.21)
par la transformationλ→ λ+ α (A.22)
On obtient : ⟨λ2⟩ =
∫ ∞−∞
dλ e−a(λ+α)2(λ+ α)2
≈∫ ∞−∞
dλ e−aλ2
e−2aαλ(λ2 + 2αλ)
≈∫ ∞−∞
dλ e−aλ2(1− 2aαλ)(λ2 + 2αλ)
=⟨λ2⟩+
∫dλ(−2aλ3α+ 2αλ) e−aλ
2
d’oùδI = 2α
⟨−aλ3 + λ
⟩= 0 (A.23)
Ici cette intégrale est trivialement nulle (fonction impaire et intervalle symétrique)mais dans le cas général on peut déduire certaines relations.
On a (en considérant le point z = 0) :
δφ(z) = 12πi
∮Cz
dξ α(ξ)T (ξ) φ(0)
=∑n
αn1
2πi
∮Cz
dξ ξn+1T (ξ) φ(0)
qui donneδφ =
∑n
αnLn φ(0) (A.24)
avecLn = 1
2πi
∮C
dξ ξn+1T (ξ) (A.25)
qui sont les générateurs des transformations conformes. Ils satisfont les relationsde commutation
[Ln, Lm] = (n−m)Ln+m + c
2πn(n2 − 1)δn+m,0 (A.26)
Il s’agit de l’algèbre de Virasoro. Elle a été créée dans les années 70 pour lesbesoins de la théorie des cordes. Le paramètre c est appelé charge centrale etdans le cadre d’une théorie des champs elle est égale à la dimensionD de l’espace.
Remarque : La valeur c = 0 donne l’algèbre de reparamétrisation des fonc-tions :
f(x)→ f(x+ α(x)) (A.27)
82
et alorsLn = −xn∂x (A.28)
carδf = α(x)∂xf(x) =
∑n
αnxn+1∂xf(x)) (A.29)
83
IndexÉquation
de Maxwell, 48Klein–Gordonavec source, 24
État instable, 32
Action, 10Algèbre de Lie, 66
Champfluctuation, 32scalaire, 9complexe, 46libre, 11
tensoriel, 9vectoriel, 9
ChargeU(1), 41énergie, 43de Noether, 37de Schrödinger, 4transformation de Lorentz, 45
Convention de sommation, 6Courant
SU(2), 67U(1), 41de Noether, 39transformation de Lorentz, 45
Dérivée covariante, 46Développement perturbatif, 34Densité
de hamiltonien, 16de lagrangien, 11de probabilité, 4
Equationde conservationSchrödinger, 4
de Klein–Gordon, 5de Schrödinger, 4Euler–Lagrange, 11Klein–Gordon, 12libre, 17libre (solution), 18
Fonction de Greeneuclidienne (fourier)), 25Klein–Gordon, 25
avancée, 27de Feynman, 28retardée, 25retardée (fourier), 27
Force de Lorentz, 49
Groupe, 36SU(2), 37U(1), 36U(2), 37de Lorentz, 8
Hamiltonien, 10, 16densité, 16
Identitéde Bianchi, 48
Indicecontravariant, 8covariant, 8
Intervalle d’espace-temps, 6
Lagrangien, 10, 11champ vectoriel, 47densité, 11Klein–Gordon, 12
avec source, 24libre, 17
scalairecomplexe, 40
Matrice de masse, 34Mesure invariante, 18Moment conjugué, 10, 16
Postulatrelativité restreinte, 6
Produit scalaire, 8
Relationcommutation, 20, 21de commutation, 44de dispersion
classique, 4relativiste, 4
Solution de vide, 32Symétrie
continue, 36discrète, 36
84
Tachyon, 32Tenseur, 8
énergie–impulsion, 42antisymétrique, 9champ électromagnétique, 47métrique, 6symétrique, 9
Théorèmede Noether, 37Ostrogradski, 13
Théorielocale, 11
Trace, 9Transformation
de Galilée, 6de jaugechamp vectoriel, 46locale, 46
de Lorentz, 6
85
Table des figures1 Possibilités de déformation du contour d’intégration. . . . . . . . 262 Contour d’intégration pour la fonction de Green retardée avec
t < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Contour d’intégration pour la fonction de Green retardée avec
t > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Contour d’intégration, pour la fonction de Green retardée, avec
les pôles déplacés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Contour d’intégration pour la différence des fonctions de Green. . 286 Contour d’intégration pour la fonction de Green de Feynman. . . 287 Potentiel de l’équation (5.59). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Vertex typique d’une autointeraction en φ3. . . . . . . . . . . . . 359 Potentiel (8.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
86
