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Spé PC*/PC Thermodynamique

Thermodynamique de PCSI

1) Frottements et fusion d’un glaçon :

2) L’oiseau buveur :

3) Mécanique et thermodynamique ; cerceau sur un plan horizontal :

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4) En vertu des grands principes :

5) Ecoulement d’un fluide :

6) Equation d’état d’un gaz de photons :

7) Aérostat à hydrogène :

L’enveloppe d’un aérostat (dirigeable) a un volume constant V. Elle est remplie de dihydrogène de masse molaire M1. Une valve y maintient une pression toujours égale à la pression extérieure. Les gaz sont considérés parfaits.

La nacelle, l’enveloppe et les deux passagers ont une masse m1.

La pression au voisinage du sol est P0, la température est T0. Dans ces conditions, la masse volumique de l’air (de masse molaire M2) vaut ρ0.

Données : V = 700 m3 ; M1 = 2 g.mol-1 ; M2 = 29 g.mol-1 ; m1 = 447 kg ; P0 = 105 Pa ; T0 = 300 k ; ρ0 = 1,18 kg.m-3 ; g = 9,81 m.s-2 ; R = 8,314 S.I.

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a) Quelle masse m2 de lest faut-il emporter pour que le ballon se maintienne en équilibre au niveau du sol ?

b) On suppose l’atmosphère isotherme. Déterminer la relation qui existe entre la masse volumique ρ de l’air à l’altitude z et cette altitude.

c) Déterminer l’altitude maximale hm que peut atteindre le ballon en se délestant au maximum.

8) Barrage quart de cylindre

Un barrage a la forme d’un quart de cylindre de rayon r. La pression atmosphérique vaut P0.

O

z

hM

eau

O

θ

eau

y

x

y

x45°

z

a) Calculer la résultante Rr

des forces pressantes exercées par une hauteur h d’eau et l’air sur les parois du barrage dont la forme est un quart de cylindre.

b) Calculer le moment résultant en O des forces de pression. Montrer que cette résultante

Rr

est équivalente à une force unique dont on précisera le point d’application P.

9) Calorimétrie : (avec débit)

10) Cryophore de Wollaston (CCP) :

Deux boules de verre A et B, en partie remplies d’eau, sont réunies par un tube vide d’air. Le compartiment A, parfaitement calorifugé, contient initialement une masse m1 = 1 kg d’eau liquide, à la température T1 = 100°C. Le liquide qui s’évapore dans A se condense dans le compartiment B, maintenu à la température de 0°C : il y a donc élimination, au fur et à mesure de sa formation, de la vapeur d’eau formée.

Ouate Mélange eau-glaceà 0°C

(B)(A)

Déterminer la masse m2 de glace formée dans le compartiment A lorsque toute l’eau liquide de ce compartiment a disparu. Faire l’application numérique.

Données :

• 11 K.g.J18,4c −−= (capacité calorifique massique de l’eau liquide).

• La chaleur latente massique de vaporisation de l’eau dépend de la température selon la loi BTA)T(LV −= (où 1g.J3303A −= et 11 K.g.J9,2B −−= ).

• 1f g.J334L −= (chaleur latente massique de fusion de la glace, qui est supposée

indépendante de la température et de la pression).

11) Utilisation de la loi de Laplace :

12) Changements d’états :

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13) Mesure de γγγγ par la méthode de Clément-Desormes (CCP) :

a) Question préliminaire: montrer que le rapport γ des chaleurs massiques d’un gaz parfaits d’un gaz parfait est égal au rapport des pentes de l’adiabatique et de l’isotherme en un point du diagramme (p, V).

b) Dans un grand ballon fermé par un robinet R, et relié à un manomètre à eau, est enfermé de l’hélium, à la température ambiante T0, sous la pression initiale p = p0 + h, où p0 est la pression extérieure et h la surpression en centimètre d’eau, lue sur le manomètre.

R

p0

h eau

He

On ouvre brusquement le robinet (détente adiabatique); la dénivellation s’annule, on referme immédiatement le robinet; progressivement, il s’établit une surpression h’ lue sur le manomètre à eau.

* Expliciter les transformations mises en jeu dans cette expérience. Dessiner le diagramme (p, V) correspondant.

* Déduire des mesures expérimentales de h = 25,9 cm et h’ = 10,0 cm la mesure de γ pour l’hélium.

14) Oscillations adiabatiques réversibles (CCP et Mines) :

Un cylindre adiabatique, horizontal, séparé en deux compartiments par un piston adiabatique, de masse m, mobile sans frottement, contient à l’état initial une mole de gaz parfait (P0, V0, T0) de chaque côté.

xl 0

Pg

Pd

A l’instant t = 0, l’opérateur écarte le piston de sa position d’équilibre de x0 faible devant la longueur l0 (V0 = l0 s).

1- Etudier les petites oscillations du système.

2- Justifier les hypothèses d’adiabaticité et de réversibilité.

15) Pompe à chaleur :

On dispose d’un lac à température constante T = 280 K et d’un appartement à T1 = 290 K et d’une pompe à chaleur fonctionnant entre les deux.

1- Sachant que la puissance des pertes de chaleur est proportionnelle (coefficient K) à la différence de température entre l’appartement et l’extérieur (à 0° C), l’appartement passe, si on coupe le chauffage, de 290 K à 285 K, en 2 h.

Calculer K en fonction des données et de la capacité calorifique µ de l’appartement.

AN: µ = 2.106 J.K-1.

2- Sachant que l’efficacité réelle de la pompe à chaleur est 40 % de l’efficacité théorique, calculer la puissance mécanique absorbée par celle-ci pour maintenir constante la température de l’appartement.

16) Machine thermique avec pseudosources (CCP) :

Soit un moteur thermique réversible fonctionnant entre deux sources de même capacité thermique C (= 4.105 J.K-1) dont les températures initiales respectives sont T20 = 283 K et T10 = 373 K. Ces températures varient.

1- Donner le schéma de principe de ce moteur en indiquant par des flêches le sens des échanges de chaleur et de travail (on désignera par T la température de la source chaude et par T' celle de la source froide).

2- Quelle est la température Tf des deux sources quand le moteur s'arrête de fonctionner ?

3- Calculer le travail fourni par ce moteur j usqu'à son arrêt; vérifier et interpréter le signe.

4- Calculer le rendement global. Comparer avec le rendement théorique maximal que l'on pourrait obtenir si les températures initiales des deux sources restaient constantes.

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17) Transformation polytropique (Centrale) :

On étudie la transformation polytropique d’un gaz parfait vérifiant PVk = constante. Le gaz passe de l’état (P1, V1, T1) à l’état (P2, V2, T2) et on suppose que γ est indépendant de T.

Déterminer les valeurs de k où :

* il y a absorption de chaleur et échauffement,

* il y a absorption de chaleur et refroidissement,

* et dégagement de chaleur.

18) Température maximale d'un système isolé (Centrale et CCP) :

Trois corps homogènes de même capacité thermique C forment les sources d'une machine thermique. L'ensemble constitue un système isolé mécaniquement et thermiquement. Les températures initiales étant T30 = 300 K, T20 = 200 K et T10 = 100 K, déterminer la plus haute température que puisse atteindre l'une des sources.

Proposer une machine susceptible d'atteindre ce résultat.

19) Variation d’énergie interne lors d’un changement d’état (Mines) :

Calculer la variation d’énergie interne de l’eau quand on fait passer 1 kg d’eau de l’état liquide à 20 °C à l’état gazeux à 100 °C en restant sous une pression de 1 atm.

La chaleur latente massique de vaporisation de l’eau est Lv = A – B θ (kcal.kg-1) avec θ : température en °C et 1 cal = 4,18 J (A et B étaient fournis).

20) Changement d’états :

Un cylindre contient de l’air et de la vapeur d’eau sous la pression partielle de 0,5 atm chacun. Il est dans un thermostat à 100 °C et est fermé par un piston de masse négligeable. On comprime lentement jusqu’à ce que le volume soit divisé par 3. Quelle est la pression finale ?

21) Changement d’état du benzène (CCP) :

Le benzène voit sa température de fusion varier avec la pression selon : dTdP

= 0,032 K.

bar-1.

1. À quelle courbe correspond cette donnée ? Proposer l'allure du diagramme de phases du benzène.

2. Calculer la variation d'énergie interne massique du benzène lors de la fusion à T1 = 5,4°C sous P1 = 1,0 bar.

3. On comprime le benzène initialement liquide à 8°C sous P1 = 1,0 bar de façon isotherme. À quelle pression P2 se solidifie-t-il ?

Données : masses volumiques à T1 : ρl = 0,880 g.cm-3 et ρS = 1,031 g.cm-3 ;

chaleur latente massique de fusion : ∆hfusion = lfusion = 147 kJ. kg-1.

22) Vaporisation sous vide (ENS) :

Une ampoule de volume VL contient 1 mole d’eau liquide sous T= 373 K et sous p = 1atm. On casse l’ampoule dans une enceinte initialement vide, de volume V. L’eau dans l’état final occupe tout le volume du récipient et est sous forme vapeur, sous p = 1 atm.

ampouleeau liquide 1 atm

enceinte

1.1- Calculer ∆Seau et ∆SUnivers.

1.2- Calculer la chaleur Q reçue par l’eau et commenter. Q sera exprimé en fonction de Lv, p,T, VL et V. Commentaire.

23) Evaporation :

Une soucoupe de rayon R = 5 cm et de hauteur l = 2 cm contient de l’eau sur une hauteur h = 3 mm. Elle est placée dans une pièce à T = 298 K, l’ensemble est initialement à cette température.

Au bout de quelle durée n’y a-t-il plus d’eau dans la soucoupe ?

On donne : D = coefficient de diffusion de l’eau dans l’air à 25 °C ≈ 2. 10-5 m2.s-1, pression de vapeur saturante de l’eau à 25°C : Ps ≈ 3200 Pa.

24) Nébulisation d’une goutte d’eau (X - ESPCI) :

À cause de la dissymétrie des interactions moléculaires à son voisinage, la surface de séparation entre deux fluides non miscibles possède des propriétés élastiques : pour accroître son aire de ds il faut lui fournir une énergie mécanique δW = A ds. Le coefficient A (fonction de la température) est appelé « tension superficielle ».

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On s’intéresse ici au cas d'une goutte liquide. En prenant comme variables indépendantes la température T et l'aire s, on peut mettre la chaleur reçue dans une transformation élémentaire sous la forme :

δQ = C dT + k ds.

Le liquide est très peu compressible : on n'a donc pas à considérer la pression comme variable significative, et le volume de la goutte reste constant quelle que soit la forme de sa surface.

1- Lorsqu'on accroît s de ∆s à température constante, l'énergie interne de la goutte varie

de ∆U. Calculer ∆U∆s

en fonction de A et de T.

2- Retrouver ce résultat par une autre méthode.

3- De ce que A est une fonction toujours décroissante de T, déduire que c'est la forme sphérique qui est stable en l’absence de toute force extérieure (ce qu'on vérifie aisément à bord d'un satellite).

4- Pour l'eau on donne à T= 373 K:

A = 0,0515 J/m2 dAdt

= -2,33. 10-4 J.m-2 .K-1.

Quelle énergie faut-il fournir à une goutte d'eau sphérique de 18 g pour la couper en deux à la température constante de 373 K de façon à obtenir deux gouttes sphériques identiques ?

5- On coupe encore en deux chacune des gouttes obtenues, et ainsi de suite...

Quelle énergie faut-il fournir pour « nébuliser » la goutte initiale en 2n gouttelettes sphériques identiques

AN : pour n = 21.

25) Détente d’un liquide dans le vide (CCP) :

On place une ampoule contenant m = 0,01 kg d'eau liquide dans une enceinte indéformable de volume V maintenue au contact d'un thermostat à la température T0 = 373 K. Initialement, l'enceinte est vide et l'eau dans l'ampoule est à la température T0 et sous une pression initiale p0 égale à la pression de vapeur saturante pvs(T0) = 1,0 bar. On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait de masse molaire M = 18 g.mol-1. On donne l'enthalpie de vaporisation de l'eau lv = 2,3.103 kJ.kg-1 à la température T0. On néglige le volume massique de l'eau liquide devant le volume massique de la vapeur d'eau. On donne R = 8,314 J.K-1.mol-1.

1. Calculer la valeur particulière VC du volume V pour que dans l'état d'équilibre final, l'eau soit à la température T0 et à la pression de vapeur saturante pvs(T0) = 1 bar, avec un titre en vapeur xF = 1 .

Calculer pour l'évolution I -> F correspondante, la chaleur Q algébriquement reçue par l'eau, la variation d'entropie de l'eau, l'entropie échangée et l'entropie créée ; commenter.

2. On suppose que le volume V est inférieur à la valeur VC déterminée à la question 1. Déterminer l'état d'équilibre final.

3. On suppose que le volume V est supérieur à la valeur VC déterminée à la question 1. Déterminer l'état d'équilibre final.

26) Vaporisation sous contrainte (Centrale) :

Un piston mobile sans frottements sépare un cylindre horizontal de longueur totale L = 20 cm et de section S = 0,05 cm2 en deux compartiments. Le compartiment de gauche, de longueur x contient une mole d'eau. Le compartiment de droite contient na moles d'air. L'ensemble est au contact d'un thermostat dont on peut faire varier la température T.

On donne la pression de vapeur saturante de l'eau à différentes températures : pvs(T0 = 273 K) = 2,4.103 Pa ; pvs(TI = 373 K) = 1,0.105 Pa ; pvs(TF = 380 K) = 1,3.105 Pa . On donne la chaleur latente de vaporisation de l'eau lv = 2,4.103 kJ.kg-1, sa masse molaire Me = 18 g.mol-1 et sa capacité thermique massique à l'état liquide ce = 4,18.103 J.K-1.kg-1. L'air est assimilé à un gaz parfait de coefficient γ = 7/5 et de constante R = 8,314 J.K-

1.mol-1. On néglige le volume occupé par l'eau liquide. On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait.

1- Déterminer la valeur numérique de na sachant que dans un état intermédiaire I on a xI = 13 cm, TI = 373 K et PI = 1,0.105 Pa.

2- Initialement on a x0 = 0 et T0 = 273 K. Calculer la pression p0 et vérifier l'absence de vapeur d'eau.

3- On élève progressivement la température T. Décrire qualitativement l'évolution de x (T), de p(T) et du nombre de moles de vapeur d'eau ne(T) en admettant que pvs (T) / T est une fonction croissante de T. On notera Te la température telle que naR / SL = pvs (Te) / Te.

4- Dans l'état final, on a TF = 380 K. Calculer pF, xF, ne et la chaleur Q reçue par le système.

Potentiels thermodynamiques

1) Détente monotherme irréversible d'un gaz parfait :

Un gaz parfait, de capacités thermiques constantes, est enfermé dans un récipient cylindrique surmonté d'un piston mobile. On donne P1 = 2.105 Pa et T1= 350 K . On place

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ce récipient dans l'air ambiant, à T0 = 298 K et P0 = 105 Pa, et on libère les cales du piston.

cales

T , P0 0T , P

1 1

Données: γ = CP /CV= 1,4 et n = 1 mol pour le gaz, R = 8,31 J. mol-1.K-1.

1- Déterminer le travail fourni par le gaz au milieu extérieur au cours de la transformation. Évaluer le travail maximum récupérable. Conclure.

2- Evaluer la variation de la fonction G* au cours de cette transformation; commenter son signe.

3- En déduire la valeur de l'entropie créée Scréée au cours de cette transformation.

2) Travail minimum nécessaire (CCP) :

1. Dans le dispositif de la figure ci-contre, les deux compartiments ont le même volurne V0. Initialement le compartiment de droite est vide et le compartiment de gauche contient une mole d'un gaz parfait de capacité thermique à volume constant Cv = 5R/2, à la température T0 et à la pression P0. L'ensemble est au contact d'un thermostat à la température T0. On supprime la paroi de séparation des deux compartiments et le système évolue vers un nouvel état d'équilibre. Calculer l'entropie créée.

2. Quel travail minimum doit fournir une machine monotherme pour revenir à l'état initial ? Proposer un procédé, correspondant à ce minimum.

3) Potentiel thermodynamique (Oral CCP) :

A l'instant initial le piston est en butée à gauche, un gaz parfait occupant le réservoir (R) dans les conditions P1, V0, T0 (P1 = 2P0). On débloque le piston lequel peut coulisser sans frottement dans le cylindre C. Le système est thermostaté (T0) et relié à l'atmosphère (P0).

On prendra γ = CP/ CV = constante.

R C

P0, T0V , T0 0

P1

1- Prouver que G* = U - T0S + P0 V est un potentiel thermodynamique adapté au système.

2- Déterminer G* (T, P) lorsque le gaz est dans un état thermodynamique caractérisé par une température T et une pression P.

Retrouver les valeurs Tf et Pf à l'équilibre.

3- On pose F* = U - T0S . Calculer ∆F* pour la transformation globale. Commenter.

4) Positions d’équilibre et stabilité (Mines) :

Dans chaque compartiment, il y a une masse identique de gaz parfait :

z

O

ω

On fait tourner le cylindre autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire ω constante. Le système est thermostaté à T.

Etudier les positions d’équilibre du piston de masse m ainsi que leur stabilité.

5) U(S, V), fonction caractéristique :

Rappeler la définition d’une fonction caractéristique.

Connaître U(S, V) revient à connaître S(U, V).Pour un gaz parfait monoatomique, on a:

S U, V = 3nR2

ln 2 U3 n R

+ n R ln VA

8

où A est une constante.

Montrer qu’on peut en déduire U et l’équation d’état de ce gaz.

Est-ce que U(T, V) est une fonction caractéristique ?

6) Pression dans un ballon :

L'énergie interne d'une membrane en caoutchouc sphérique de rayon r est bien approchée par l'expression US(T, r) = US0(T) + 4π A(r – r0)

2 où A est une constante caractérisant son élasticité et r0 son rayon quand elle n'est pas tendue. Son entropie est supposée n'être fonction que de la température.

Un ballon de baudruche est constitué d'une telle membrane emprisonnant un nombre n0 de moles d'air assimilé à un gaz parfait et à la même température que le caoutchouc.

Déterminer l'équation vérifiée par le rayon d'équilibre du ballon en contact avec l'atmosphère à température T0 et sous pression P0.

Trouver alors la pression de l'air Pi inclus dans le ballon. A.N. : A = 1 000 N.m-1 à température ambiante et r0 = 2 cm.

Tracer l'allure de Pi. Conclure (commentaires).

7) Fonction caractéristique d'un gaz de photons :

On envisage un gaz de photons décrit par son énergie interne U, son volume V, sa pression p et sa température T telles que:

U = Vu(T) et p = u(T) /3

où l'énergie interne volumique u(T) ne dépend que de la température T.

1- On se propose de déterminer u(T).

l.1- Différentier l'expression de U(V, T). On notera u'(T) la dérivée de u(T).

1.2- On introduit des coefficients calorimétriques Cv et l tels que T dS = CV dT + l dV. En déduire que l = 4p.

1.3- En utilisant la relation de Clapeyron donnant l, en déduire que u(T) = σT4 où σ est une constante. En déduire l'expression de U(V, T).

2- Partant de l'identité thermodynamique fondamentale dU = T dS - p dV, établir l'expression de S(V, T). Vérifier que l'enthalpie libre est nulle.

8) Retour à l’état initial (CCP) :

1. On met en contact thermique deux corps de capacités calorifiques C1 et C2

(C =∂U∂T

V

, U énergie interne du corps) et de températures initiales T1 et T2. On néglige

les variations de volume, et on suppose que l’ensemble est thermiquement isolé de l'extérieur.

Déterminer la température d'équilibre Te, ainsi que la création d'entropie σ0 consécutive à cette opération.

2. On désire ramener les deux corps à leurs températures initiales.

a. Montrer que ce n'est pas réalisable en faisant fonctionner une machine thermique (réfrigérateur ou pompe à chaleur) utilisant ces deux corps comme sources d'énergie thermique (source « chaude » pour l'un et source « froide » pour l’autre ... ).

b. On utilise également l'environnement extérieur (considéré comme un thermostat à la température T0) ; déterminer le travail minimal Wm qu'il faudra fournir pour ramener les deux corps à leur état initial (on fait intervenir deux machines thermiques).

9) Etude d’une bulle savonneuse (CCP) :

Soit une bulle savonneuse rayon a (pression à l’intérieur pi, température T) contient n moles de gaz parfait. A l’extérieur, on a T et p0.

On admet que le travail élémentaire à fournir pour augmenter réversiblement de dΣ la surface Σ de la bulle (sphère de rayon a) est : δW = 2 A0(T) dΣ.

1- Exprimer F pour l’air dans la bulle.

2- Exprimer F pour la surface.

3- En utilisant le second principe, montrer que F +p0V présente un minimum à l’équilibre si l’évolution est monotherme et monobare.

4- En déduire pi –p0 en fonction de A0 et a.

10) Etude d’une bulle de savon électrisée (ENS) :

Une bulle de savon sphérique, de rayon a, contient n moles d'air (assimilé à un gaz parfait) à la pression Pi et à la température T0. L'air extérieur est à la température T0 et à la pression constante P0 .

1- Pour augmenter la surface de la couche savonneuse, il est nécessaire de fournir un travail pour vaincre les forces de tension superficielle. On admet que le travail élémentaire à fournir pour augmenter réversiblement de dΣ la surface Σ de la bulle (sphère de rayon a) est:

δW = 2 A0(T) dΣ.

a) Justifier que le potentiel thermodynamique de la transformation (évolution à température et pression extérieures constantes) est G* = F + P0 V.

b) Calculer F de la bulle.

9

c) En déduire la différence de pression Pi - P0 entre l'intérieur et l'extérieur de la bulle en fonction de A0 et de a .

2- On suppose maintenant que la paroi de la bulle est conductrice et qu'elle porte une charge q au potentiel Φ.

a) Montrer que la fonction A0(T) doit être remplacée par une fonction A (T, q) que l'on déterminera.

On rappelle qu'une sphère conductrice, de rayon a, portant la charge q est au potentiel Φ donné par q = 4πε0 a Φ et que le travail élémentaire à fournir à la sphère pour augmenter sa charge réversiblement de dq est δWélec = Φ dq.

b) Déterminer la nouvelle relation donnant la différence de pression Pi - P0 en fonction de A0(T), a et q .

c) Calculer la variation de rayon ∆a de la sphère entre le cas où elle est électrisée et celui où elle ne l'est pas. On supposera que ∆a « a. On vérifiera que :

∆aa = Pe

P0 + 2 Pi + 4 Pe

Commentaire.

11) Humidité dans l’air (Centrale) :

On étudie l'équilibre à pression p et température T constantes, de ne moles d'eau dont n eL

sont sous forme liquide sur un linge mouillé et n eV

sont en phase vapeur, mélangées à na

» n eV

moles d'air. On note x = n eV

/ (n eV

+ na) la fraction molaire en vapeur d'eau dans la phase vapeur. On admet que l'enthalpie libre de ce système fermé s'écrit :

G = G0 T( )+ n aRT x lnxppvs

− x

où pvs(T) est la pression de vapeur saturante de l'eau à la température T, et G0(T) une fonction de T.

1. On admet que G est le potentiel thermodynamique du problème. Rappeler ce que cela signifie.

2. Étudier les variations de G(x) et tracer l'allure de son graphe pour 0 ≤ x ≤ 1 . En déduire la valeur xe de x à l'équilibre. Cet équilibre est-il stable ? Comment évolue le système si x < xe ? A quelle condition le linge sèche-t-il ? En déduire pourquoi le linge humide sèche d'autant mieux que la température de l'atmosphère est plus élevée. Quel est par ailleurs l'intérêt du vent pour accélérer le séchage du linge ?

3. La transpiration joue un rôle essentiel dans la régulation thermique du corps humain lorsque la température extérieure est excessive. Expliquer pourquoi l'évaporation d'eau tend à faire baisser la température du corps humain. Expliquer pourquoi les climats chauds sont d'autant plus pénibles pour l'homme qu'ils sont plus humides.

12) Chute d’une barre métallique dans la glace (X - ESPCI) :

Une barre métallique de section rectangulaire (e x a) descend très lentement à l’intérieur d'un bloc de glace. Évaluer cette vitesse de déplacement en précisant les hypothèses faites.

On notera : K = conductivité thermique de la barre ; ρb = masse volumique de la barre ; Lf = chaleur latente massique de fusion de la glace à T0 ; ρgl = masse volumique de la glace ; (ul, ugl) =- volumes massiques à T0 du liquide et de la glace.

13) Expérience du regel (ENS) :

Le fil métallique (en noir) a une section rectangulaire de côtés b selon uy et c selon uz

On envisage le dispositif de la figure précédente : on pose un fil métallique de section rectangulaire de côtés b et c aux extrémités duquel sont fixées deux masses m/2 sur un gros bloc de glace. On constate que la glace fond sous le fil, que le fil descend doucement à vitesse constante v et que l'eau regèle au-dessus du fil. De plus v est proportionnelle à la masse m, à la conductivité thermique λ du métal et inversement proportionnelle à c. On

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suppose qu'un équilibre solide-liquide s'établit au-dessus du fil avec les conditions (pS = 1 bar, TS = 273,15 K) et en dessous du fil avec les conditions (pi, Ti).

1- Établir l'expression de pi - pS en fonction de m, g, a et b.

2- En utilisant la formule de Clapeyron donnant la chaleur latente massique de fusion IF (supposée constante) en fonction des volumes massiques des deux phases (qu'on supposera constants) et de la pente dp/dT de la courbe d'équilibre, dont on rappelle qu'elle est très élevée, trouver l'expression de Ti - TS en fonction de TS, m, g, lF, vL - vS, a et b. Quel sont les signes de vL - vS et de Ti - TS?

3- On suppose le régime de diffusion thermique dans le fil métallique stationnaire. En déduire qu'il existe un flux thermique descendant dans le fil de la forme:

Φ = λ mgTS vS - vL

c lF

4- En appliquant le premier principe à la couche d'eau d'épaisseur dz qui fond sous le fil entre t et t + dt, en déduire l'expression de la vitesse v = dz/dt. On négligera ici l'écart de masse volumique de l'eau solide et de l'eau liquide. Vérifier la cohérence avec les observations.

L'expérience réussirait-elle avec un autre corps pur ?

14) Détente de Joule – Thomson d’un gaz de sphères dures :

On s'intéresse dans cet exercice à un gaz décrit par l'équation d'état P(V - nb) = nRT avec b = 4,3.10-5 m3.mol-l.

Ce gaz subit une détente de Joule - Thomson de la pression P1 = 5 bar à la pression P2 = 1 bar.

1- Donner l'expression du coefficient de Joule - Thomson pour ce gaz.

2- Calculer la variation de température occasionnée par la détente. On donne CP, m = 36 J.mol-1. K-1.

3- Évaluer la variation d'entropie molaire au cours de cette détente (T1 = 300 K).

Transferts thermiques

1) Analogie conduction thermique – électrostatique :

2) Estimation du temps de cuisson d’un œuf dur :

3) Effusivité et sensation de chaud :

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4) Solides isolés reliés par une résistance thermique :

5) Température de contact entre deux corps :

6) Problème à géométrie sphérique : (CCP) :

On a une bulle dont la face intérieure a le rayon R1 et est à la température T1 et dont la face extérieure a le rayon R2 et est à la température T2. Trouver la résistance thermique ainsi réalisée entre les deux faces.

7) Survie dans un igloo (Centrale) :

Evaluer l’épaisseur e de glace nécessaire pour que dans un igloo cubique de côté a = 1 m, un être humain puisse maintenir par la puissance P = 50 W qu’il dégage une température intérieure Ti = + 10°C alors que la température extérieure vaut Te = - 10°C.

On donne λ pour la glace: λ ≈ 0,05 W.K-1.m-1.

8) Production d'entropie dans une barre en régime stationnaire (TPE) :

Les extrémités d'une barre calorifugée en acier inox (λ = 16 W.m-1.K-1), de longueur l = 1 m, sont maintenues aux températures suivantes T1 = 300 K et T2 = 400 K.

1°) Quelle est la variation d'entropie d'un élément de volume de section S et de longueur dx ? Établir l'expression de l'entropie reçue par cet élément.

2) Calculer l'entropie σs produite dans la barre par unité de volume et pendant l'unité de temps, au point de la barre où elle est maximale.

9) Problème avec source (CCP) :

Une barre cylindrique conductrice, de résistivité ρ, d’axe Ox, isolée thermiquement, est

parcourue par un courant volumique j = j ux constant. Les extrémités de la barre, seules parties en contact avec l’extérieur, sont maintenues à des températures T1 et T2.

Quelle est la courbe de température T(x) en régime permanent (stationnaire)?

10) Conduction de la chaleur en régime sinusoïdal, onde thermique :

On considère un milieu semi-infini de conductivité thermique λ occupant le demi-espace correspondant aux valeurs positives de x. Sur le plan x = 0, on impose la température θ(0, t) donnée par:

θ(0, t) = θ0 + θ1 cos ωt

12

1- Calculer la répartition des températures θ(x, t) en régime sinusoïdal permanent.

2- A quelle profondeur δ’ l’amplitude du facteur exponentiel de décroissance de la température en fonction de x est-elle divisée par e ?

0

x

3- A quelle profondeur δ’’ l’oscillation thermique est-elle en opposition de phase avec la température θ(0, t) ?

4- A.N. Le milieu considéré est une roche pour laquelle h = = 10-6 m2.s-1. On prendra pour la pulsation ω les valeurs correspondant respectivement à l’oscillation journalière ou annuelle de la température dans l’atmosphère.

Rechercher δ’ et δ’’pour les deux cas.

11) Cylindre constitués de couches (X - ESPCI) :

Déterminer le graphe du champ de température T(x) en régime stationnaire dans un cylindre d'axe Ox et de section S constitué de N couches de conductivité λ1 et d'épaisseur e alternées avec N couches de conductivité λ2 et de même épaisseur e sachant qu'on maintient T(x = 0) = T ' et T(x = 2Ne) = T ’’ et que le cylindre est calorifugé latéralement. Tracer T(x) pour N = 3.

12) Interprétation microscopique de la conductivité thermique (Mines) :

Quelle explication microscopique peut-on donne à la différence des valeurs de conductivité thermique pour un gaz et pour un liquide ?

On donne λair = 0,023 W.m-1.K-1 et λeau = 0,6 W.m-1.K-1 .

13) Formation d’une couche de glace (Mines) :

L’eau liquide d’un lac est à la température de congélation Te = 273 K. L’air au-dessus du lac est à la température constante Ta = 263 K. Libre de glace à t = 0, le lac se couvre progressivement d’une couche de glace dont l’épaisseur est notée )(tl . La glace possède

une masse volumique µ, une conductivité thermique K, une chaleur latente massique de fusion Lf et une capacité calorifique que l’on négligera.

D’autre part, la puissance thermique échangée à l’interface glace-air est donnée, pour une surface S de glace, par (loi de Newton) STtTP ath ))(( 0 −= α , où T0(t) est la température

de la glace en x = 0.

a) Déterminer l’épaisseur de glace )(tl formée à l’instant t, ainsi que la température

T0(t). On posera :

)(2 20ae

f

TT

KLet

K

−==

α

µτ

αl

glace

Air Ta

Eau liquide Te

O

x

)(tl

glace

Air Ta

T0(t)

Pth

b) Tracer les graphes donnant )(tl et T0(t). On exprimera )(tl en cm et t en heures. On

donnera également le taux d’accroissement dttd /)(l de l’épaisseur )(tl de la couche

de glace. Que vaut ce taux à t = 0 + ?

Données :

11221111432 ...10;.80;...10.5;.10.9 −−−−−−−−−− ==== KsmkcalkgkcalLKsmkcalKmkg f αµ

14) Fusible :

Un fil électrique cylindrique, de longueur L et de rayon a << L, de conductivité électrique

σ est parcouru par un courant de vecteur densité de courant

r j = j

r u z uniforme. On se

place en régime stationnaire. On suppose le fil très long de telle sorte que la température ne dépend que de r en coordonnées cylindriques.

1. En faisant un bilan pour la couronne comprise entre r et r + dr, montrer que la température est solution de :

λ

r∂

∂rr

∂T∂r

+

j2

σ= 0

2. En déduire que T(r) est de la forme :

T r( ) = −j2r2

4σλ+ α ln r + β

13

et justifier que nécessairement α = 0. Quel est le point dont la température est la plus élevée ? Était-ce prévisible ?

3. On suppose que l'atmosphère impose T(r = a) = T0 et on se donne la température de fusion TF du métal. En déduire comment varie le rayon aM d'un fil destiné à réaliser un fusible fondant pour un courant d'intensité IM.

4. En réalité le fil évacue vers l'atmosphère une puissance thermique Φ = 2π a L h (T(a) - T0) où h est une constante telle que a h << λ. En déduire comment varie le rayon aM d'un fil destiné à réaliser un fusible fondant pour un courant d'intensité IM.

15) Un transfert conductif axial : filière (Centrale) :

Un fil métallique cylindrique de section droite circulaire de diamètre D défile à grande vitesse u (dans le référentiel de l'atelier entre deux galets. On désigne par µ la masse volumique du métal, par c sa chaleur massique et par λ sa conductivité thermique supposée isotrope. Ta est la température constante de l'air ambiant.

h désigne le coefficient de transfert conducto-convectif de sorte qu'à l'abscisse x où la température du fil est T(x) (le régime étant supposé stationnaire), le flux thermique latéral est ainsi : jcc = h(Ta - T(x)).

1) a) On isole une tranche de fil d'épaisseur dx et d'abscisse x à l'instant t. Quelle est son

abscisse à l'instant t + dt ? En déduire que sa température varie de dT = u ∂T∂x

dt.

b) En négligeant le rayonnement, écrire l'équation traduisant le bilan thermique local en régime stationnaire.

2) En déduire le champ de température T(x) en régime stationnaire. On précisera la condition aux limites pour x -> ∞, le fil ayant une longueur 1 très grande (hypothèse qu'on précisera plus loin). On posera To = T(0).

3) Simplifier l'expression précédente dans le cas où

u >> 1µc

λhD

En déduire une longueur caractéristique a qu'on exprimera en fonction de µ, c, h, u et D.

A.N. On donne : µ = 8.103 kg.m-3 c = 460 J.kg-1.K-1 λ = 15 W.m-1.K-1 (acier) ;

h = 30 W.m-2.K-1 (convection forcée), D = 10-2 mm, u = 0,1 m.s-1.

Exprimer numériquement la condition sur u. Calculer numériquement a.

4) Calculer la puissance thermique perdue par le fil. Commenter

16) Une résolution de l'équation de la chaleur (X – ESPCI) :

On considère la diffusion thermique dans un solide suivant la direction (Ox) ; on suppose qu'il n'y a ni production, ni absorption de chaleur dans le milieu. On appelle T(x,t) la température au sein du solide et K le coefficient thermique.

Pour certaines conditions initiales (que l'on suppose réalisées ici), il est possible de chercher une solution de l'équation de la chaleur de la forme (méthode de séparation des variables):

T(x,t) = T0 + f(x).g(t)

où T0 désigne une constante, f(x) une fonction de x uniquement et g(t) une fonction du temps seulement.

a) Déterminer l'expression générale des fonctions f(x) et g(t).

b) On suppose qu'à t = 0, T(x,0) =T1 + T2 sin(px) (T1, T2 et p désignant des constantes). Montrer que la solution trouvée ci-dessus convient et déterminer complètement cette solution.

17) Fonte d’un glaçon (X - ESPCI) :

Une sphère solide d'un corps pur, de centre fixe O, de rayon initial R0, est immergée dans le même corps pur à l'état liquide et fond lentement. On note respectivement λ la conductivité thermique du liquide, µS et c la masse volumique et la capacité calorifique massique du solide, Lf et M l'enthalpie molaire de fusion et la masse molaire du corps pur. On suppose la conductivité thermique du solide infinie, ce qui lui permet d’avoir à chaque instant une température uniforme, et la capacité calorifique massique du liquide négligeable. Au cours de la fusion, la sphère reste à la température Tf de fusion du corps pur et, loin du solide, le liquide conserve une température constante T0 > Tf. Il n'y a pas de convection.

1- Soit R(t) le rayon instantané de la sphère. Déterminer la température T(r,t) dans le liquide.

2- Effectuer une bilan d’énergie pour la sphère entre les instants t et t + dt. En déduire l'équation différentielle vérifiée par R(t).

3- Calculer R(t) et exprimer la durée nécessaire τ à la fusion complète du solide.

4- De quelle quantité ∆T s'élèverait, pendant la même durée, la température de la sphère si, au lieu de fondre, elle restait un solide surchauffé ?

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5- On considère un glaçon plongé dans un grand volume d’eau. Calculer τ et ∆T. La valeur de τ est-elle réaliste ?

On donne les valeurs numériques : λ = 0,609 W.m-1.K-1 , µS = 917 kg. m-3, c = 2,09 kJ.K-1.kg-1 , Lf = 6,03 kJ.mol-1, Tf = 0°C , T0 = 15°C et R0 = 5 mm.

18) La taille d’une planète (ENS) :

Un astéroïde, gros caillou du système solaire, est appelé conventionnellement planète si la hauteur H de la plus haute montagne ne dépasse pas le 100ième du rayon moyen R du caillou.

1. Hauteur maximale d'une montagne

On constitue une colonne verticale de parpaings en les posant l'un sur l'autre. A un certain moment, l'adjonction d'un nouveau parpaing au sommet de la colonne provoque l'effondrement du parpaing le plus bas. La "montagne de parpaings" a atteint sa hauteur maximale H.

Montrer que H s'exprime uniquement en fonction de la chaleur de fusion Lf du matériau et du champ de gravitation g régnant à la surface de la planète.

Déterminer la hauteur maximum des montagnes terrestres en prenant Lf = 200 kJ/kg et g = 10 m/s2. Comparer à la hauteur réelle.

La hauteur des montagnes sur Mars est-elle plus grande que celle des montagnes terrestres ?

2. En supposant que le caillou soit homogène, de masse volumique ρ, montrer que le

caillou devient une planète si son rayon R > Rmin = 1,5 Lf

Gρ.

Applications :

Lune : ρ = 3,34 103 kg/m3 ; Lf = 240 kJ/kg (S iO2) ; R = 1700 km

Astéroïde Vesta : ρ = 3,15 103 kg/m3; Lf = 240 kJ/kg ; R = 260 km

La plus haute montagne de la Lune a une hauteur H = 4,8 km. La plus haute montagne de Vesta a une hauteur H ≈ 70 km.

3. Comment expliquer que les petits astéroïdes ne sont pas sphériques ?

19) Etres vivants :

Un être vivant a une température T. Il rayonne une puissance donnée par la loi de Stéfan: P = σ T4 S, σ = 5,77.10-8 SI. S est la surface de contact entre l’être vivant et l’atmosphère.

L’atmosphère est à la température T0 < T et l’animal reçoit de la part de l’atmosphère une

puissance P0 = σ T04 S.

L'animal recoit d'autre part de l'énergie du fait de l'absorption de nourriture. On appelle G la gloutonnerie de l'animal G = Pa/m, si Pa est la puissance absorbée. On suppose l'animal sphérique de rayon r et de masse volumique ρ ≈ 1000 kg.m-3 .

1. Calculer G en fonction de σ, ρ, r, T et T0. Comparer G pour la souris, le chat, le serpent. Conclure.

2. Pour G fixé, les hommes des pays froids sont plus grands que ceux des pays chauds. Est-ce en accord avec la question précédente ?

3. Un homme de 80kg mange quotidiennement 1 kg de nourriture. Il reçoit ainsi un énergie de 12 MJ. Calculer G en W.kg-1.

4. Un lilliputien a une hauteur h = 2mm et une section s = 0,5 mm x 1 mm. Calculer G pour T - T0 = 20°C. Un homme ordinaire prend 1 h 30 par jour pour s'alimenter. Qu'en est-il pour le lilliputien ?

Diffusion de particules

1) Diffusion de vapeur d'eau dans l'air (Mines) :

De l'eau est portée juste à ébullition dans un bécher, de telle sorte qu'à sa surface de cote z = 0, la densité moléculaire prenne pendant la durée de l'étude la valeur fixée n(z = 0, t) = n0 = Π / kBT où Π = 1 bar est la pression de vapeur saturante à la température T = 100 °C. Le bécher est fermé et surmonté d'un tube vertical de section S et de hauteur L dans lequel on note n(z, t) la densité moléculaire de vapeur d'eau qui diffuse dans l'air qui joue le rôle de fluide support.

À l'extrémité supérieure du tube, de cote z = L, un courant d'air emporte par convection des molécules d'eau et impose une relation entre la densité de flux de particules et la densité moléculaire de la forme jN(z = L, t) = k n(z = L, t) où k est une constante.

Déterminer n(z) et jN en régime stationnaire en fonction de z, k, D, n0 et L.

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2) Approche probabiliste de la diffusion :

Dans un tube cylindrique compris entre x = -L/2 et x = L/2, des neutrons sont répartis à un instant tp = pτ avec p entier sur des sites discrets d'abscisses xp = na avec n entier. Entre les instants tp et tp + 1 , chaque neutron a une probabilité ατ de disparaître. S'il ne disparaît pas, il a une même probabilité d'effectuer un saut vers l'un ou l'autre des deux sites voisins situés à sa gauche et à sa droite.

1- On note p (xn, tp) la probabilité pour un neutron donné d'être en xn à l'instant tp. Exprimer p (xn , tp) en fonction de p (xn - 1, tp) et de p (xn + 1, tp).

2. On fait l'approximation des milieux continus. Montrer que p (x, t) est solution d'une équation aux dérivées partielles de la forme :

∂p∂t

= −α p + D∂

2p∂x2

et exprimer D en fonction des données. Vérifier son homogénéité. De quelle équation aux dérivées partielles est solution la densité linéique n (x, t) de neutrons ?

3. On suppose que le matériau reçoit en x = ± L/2 un flux stationnaire de neutrons. Déterminer n(x) en régime stationnaire.

3) Bilan de particules pour un milieu à symétrie sphérique.

Dans un milieu théoriquement infini diffusent des particules (par exemple des neutrons) : le coefficient de diffusion est noté D. Ces particules sont créées dans une boule de centre O et de rayon R0 à raison de q0 particules par unité de temps et de volume.

On suppose, dans tout l'exercice, que le système conserve la symétrie sphérique, et on note n(r, t) le nombre de particules par unité de volume au point M distant de r du point O. Le vecteur densité de courant de particules est donné par la Loi de Fick :

r j = -Dgrad n .

Le régime est stationnaire, c'est-à-dire indépendant du temps.

1. Déterminer

r j pour r > R0 puis pour r < R0 (r = OM).

2. En déduire l'expression de n(r) pour tout r. On considèrera que lim n(r) = 0.

r �∞ -

3. Établir l'équation vérifiée par n(r, t) en notant q(r, t) le nombre de particules produites par unité de temps et de volume. Utiliser cette équation - dans le cadre proposé dans cet exercice - pour retrouver les résultats du 2).

4) Diffusion de particules dans un matériau radioactif :

5) Diffusion en présence d'un champ extérieur :

On étudie un équilibre de sédimentation mettant en jeu la diffusion, mais aussi un champ extérieur, en l'occurrence celui de pesanteur. Des particules sphériques de rayon R, de masse volumique ρ, sont en suspension dans un fluide de masse volumique ρ0. Leur densité volumique n ne dépend que de la hauteur z par rapport au fond du récipient. Au cours de leur chute, les particules sphériques sont soumises à une force visqueuse –6πηR

r v où η est la viscosité du liquide.

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Les particules sont aussi soumises au poids et à la poussée d'Archimède, de résultante

4π

3R3 ρ0 − ρ( )g r

e z . On souhaite déterminer la distribution à l'équilibre de la densité

volumique n(z).

1. Au cours de leur chute dans le liquide, les particules atteignent rapidement une vitesse limite. La déterminer.

2. En déduire l'expression de la densité de courant d'entraînement.

3. Quelle est celle de la densité de courant diffusif ?

4. Déduire des deux questions précédentes l'expression de la densité volumique n(z) en régime permanent.

5. Cette expression peut aussi s'interpréter à l'aide du facteur de Boltzmann. En déduire une relation entre le coefficient de diffusion D, la constante de Boltzmann kB, la température T, le rayon R et la viscosité η.

6) Pollution par le dioxyde de soufre (Centrale) :

1. Un polluant de concentration massique c (x, y, z, t) diffuse dans l'air au repos avec des coefficients de diffusion constants Dx, Dy et Dz différents suivant les trois axes. Établir l'équation aux dérivées partielles dont est solution c (x, y, z, t).

2. En présence d'un vent uniforme de vitesse U r u z , montrer que c(x,y,z,t) est solution de

l'équation aux dérivées partielles :

∂c∂t

+ U∂c∂x

= D x

∂2c

∂x2 + D y

∂2c

∂y2 + Dz

∂2c

∂z2

3- Dans la suite, on néglige le terme D x

∂2c

∂x2. À quelle condition sur U, Dx et sur la

distance Lx caractéristique des variations de c (x, y, z, t) avec x, cette approximation est-elle validée ?

4. Ce modèle convient pour traiter l'émission de SO2 avec un débit massique qm par une cheminée d'usine dont la sortie est assimilée à un point C (x = 0, y = 0, z = h) . On admet

qu'on peut omettre le mouvement vertical des effluents à condition de remplacer la hauteur réelle h de la cheminée par une hauteur effective H > h . La solution s'écrit alors :

c x, y, z( )=qm

2πx DyDz

exp −y2U

4Dyx−

z − H( )2U

4Dzx

avec Dy = 36,0 m2.s-1, Dz = 9,0 m2.s-1, H = 180 m, U = 3,0 m.s-1 et qm = 32,6 g.s-1.

Tracer le graphe de c(x, y = 0, z = 0) pour 0 ≤ x ≤ 100 km. Conclure sachant que la valeur maximale autorisée pour c est climite = 30 µg .m-3 ?

7) Dispersion d’une nappe de pétrole :

On envisage un volume sphérique V = 4πR3/3 de pétrole assimilé à un liquide incompressible et indilatable, qu'on souhaite disperser en N gouttes sphériques identiques. L'énergie interne du pétrole est de la forme Uo + Aσ où la constante A est le coefficient de tension superficielle eau-pétrole et σ la surface totale de contact eau pétrole. La mer joue le rôle d'un thermostat à température T.

1- Exprimer le rayon rN des N gouttes en fonction de R et N. En déduire l'énergie interne U(N) en fonction de Uo, N, A et R. Comment évoluerait la nappe si U était un potentiel thermodynamique ? Dans quelle gamme de température serait-ce le cas ?

2. On suppose pour simplifier que l'entropie d'une goutte ne dépend pas de sa taille. Montrer que l'entropie des N gouttes s'écrit S(N) = So + kB ln(N!). Comment évoluerait la nappe si le pétrole était un système isolé ?

3. Montrer que la nappe est dispersée si 4πR2 A (21/3 - 1) < kB T ln 2.