Diffusion thermiqueI) Les différents modes de transfert thermique

Lorsque deux corps en contact sont à des températures différentes, il y a transfert thermique du plus chaud vers le plus froid.

Diffusion thermiqueI) Les différents modes de transfert thermique

1) La conduction

Cette élévation de température correspond à un accroissement de :

• L’énergie microscopique de vibration du réseau cristallin pour les solides.

• L’énergie cinétique d’agitation désordonnée pour les fluides.

Diffusion thermiqueI) Les différents modes de transfert thermique

1) La conduction

2) La convection

Diffusion thermiqueI) Les différents modes de transfert thermique

1) La conduction

2) La convection

3) Le rayonnement thermique

Récapitulatif

MilieuConduction thermique

Convection Rayonnement

Vide Non Non Oui

Solide Oui Non Oui

Fluide Oui Oui Oui

Diffusion thermiqueI) Les différents modes de transfert thermique

1) La conduction

2) La convection

3) Le rayonnement thermique

4) Équilibres thermiques

Diffusion thermiqueII) La loi de Fourier

1) Diffusion thermique : Loi de Fourier

a) Vecteur densité de flux thermique

Surface mésoscopique dS

dSM

2Q = jTh.dS.dt

2Q = .dt

jth

d

+

P

dS

MjTh(M)

=Σ

Thj .dS

Diffusion thermiqueII) La loi de Fourier

1) Diffusion thermique : Loi de Fourier

a) Vecteur densité de flux thermique

b) Loi de Fourier

Deux observations qualitatives :

• La diffusion thermique cesse lorsque la température T(M,t) est homogène ;M, jTh doit s'annuler lorsque gradT = 0

• Conformément au 2ème Principe, la diffusion thermique ainsi que jTh est dirigée des régions chaudes vers les régions froides, i-e dans le sens des températures décroissantes ou dans le sens opposé à gradT.

Loi locale de diffusion de Fourier

En M, à la date t :

jTh = – .gradT

Ordres de grandeur :

Les métaux bons conducteurs :

Les mauvais conducteurs :

Les non – conducteurs (verre) :

Les gaz :

Les isolants thermiques :

200 – 400 W.m–1.K–1 ; 10 W.m–1.K–

1 ; 1 W.m–1.K–1 ;

10–2 W.m–1.K–1 ;

10–3 – 10–2 W.m–1.K–1 ;

Diffusion thermiqueII) La loi de Fourier

1) Diffusion thermique : Loi de Fourier

2) Rappels sur la diffusion de charges :Loi d’Ohm locale

d = v.dS.dt

2Q = q.n*.d = q.n*.v.dS.dt

dS

v

dS

dr = v.dt

d

+

P

dS

M

j(M)

Diffusion thermiqueII) La loi de Fourier

1) Diffusion thermique : Loi de Fourier

2) Rappels sur la diffusion de charges :Loi d’Ohm locale

3) Récapitulatif

Récapitulatif

Loi de Fourier Loi de Fick Loi d’Ohm

jTh vecteur densité de flux thermique

jN vecteur densité de flux de particules

j vecteur densité de courants électriques

hétérogénéité de température T

hétérogénéité de densité volumique de

particules n

hétérogénéité de potentiel V

conductivité thermique

coefficient de diffusion D

conductivité électrique

jTh = – .gradT jN = – D.gradn j = – .gradV

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

a) La diffusion unidimensionnelle

Q(x + dx,t)

Q(x,t)

jThux dS1

S

dS2

S

x

1

x + dx

2

S

2 dt.dt).dx, (x SjThQ(x + dx,t) =

Q(x,t) =

S1 dt.dt).(x, SjTh

Q(x + dx,t)

dS’2

S

dS1

S

Q(x,t)

jThux

x

1

x + dx

2

Q(x + dx,t) = –

Sdt.dt).dx, (x '

2Th Sj

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

a) La diffusion unidimensionnelle

b) La diffusion tridimensionnelle

) Bilan global

M

m = .djTh(M,t)

T(M,t)

VdS

P

jTh(P,t)

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

a) La diffusion unidimensionnelle

b) La diffusion tridimensionnelle

) Bilan global

) Bilan local

En M, à la date t :

Equation locale de la diffusion thermique

μThT

div .c 0t

j

En M, à la date t :

ΔThT

D . T t

Equation locale de la diffusion thermique

λμThD

.c

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse

Diffusion thermique

a) Conservation de la charge

III) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse

M

q = .d

j(M,t)

VdS

P

j(P,t)

En M, à la date t :

Equation locale de la conservation de la charge

ρdiv 0

tj

Diffusion thermique

b) Conservation de la masse

III) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

a) Conservation de la charge

2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse

) Le débit massique

d = v.dS.dt

dS

v

dS

2m = .d = .v.dS.dt

dr = v.dt

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

a) Conservation de la charge

b) Conservation de la masse

2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse

) Le débit massique

) La conservation de la masse

M

m = .d

j(M,t)

VdS

P

j(P,t)

En M, à la date t :

Equation locale de la conservation de la masse

μdiv 0

tj

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

1) Équation dite de la «chaleur»

a) Conservation de la charge

b) Conservation de la masse

2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse

c) Récapitulatif

RécapitulatifConservation de

l’énergieConservation des

particules Conservation de

la charge Conservation de

la masse

Grandeur extensive

Énergie interneU

Nombre de particules N

Charge électriqueQ

MasseM

Grandeur intensive

u* = .ul’énergie interne

volumique

dU = u*.d

nla densité particulaire

ou volumique

dN = n.d

la charge volumique

dQ = .d

la masse volumique

dM = .d

Équation bilan locale

divjTh + = 0 divjN + = 0 divjélec + = 0 divjmas + = 0t

u *

tμ

tρ

tn

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

3) Propriétés

Diffusion thermiqueIII) Propriétés de la diffusion thermique

3) Propriétés

a) La linéarité

Diffusion thermique

b) Unicité de la solution

III) Propriétés de la diffusion thermique

3) Propriétés

a) La linéarité

Diffusion thermique

c) Irréversibilité

III) Propriétés de la diffusion thermique

3) Propriétés

b) Unicité de la solution

a) La linéarité

Se(x + dx,t)

Se(x,t)

dS1

S

jThux dS2

S

x

1

x + dx

2

Se(x,t) =

δ 1S

(x,t).d .dtQ(x,t)

T(x,t) T(x,t)

Thj S

Se(x + dx,t) =

δ 2S

(x + dx,t).d .dtQ(x + dx,t)

T(x + dx,t) T(x + dx,t)

Thj S

Diffusion thermique

d) Distance et temps caractéristiques

III) Propriétés de la diffusion thermique

3) Propriétés

c) Irréversibilité

b) Unicité de la solution

a) La linéarité

Diffusion thermique

Température

0x

T(x) – T0

largeur à mi – hauteur : 2 = 2 D.t.ln2

Diffusion thermiqueIV) Le cas stationnaire – Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

a) Position du problème

Barreau

O

ux x

Système : Une tranche de barreau entre les abscisses x et x + dx, entre les dates t et t + dt.

dS1 dS2

x

1

x + dx

2

Q(x,t) Q(x + dx,t)

(x,t)

2Q = Q(x,t) + Q(x + dx,t)

(x + dx,t)Barreau

O

ux xdS1 dS2

x

1

x + dx

2

Diffusion thermique

b) 1ère Conséquence : La résistance thermique

IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

a) Position du problème

La résistance électrique

Résistance électriqueV0 V1

U = V0 – V1

I

U = Rélec.I

La résistance thermique

Résistance thermiqueT0 T1

T = T0 – T1

01

T = Rth.01

Diffusion thermique

b) 1ère Conséquence : La résistance thermique

IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

a) Position du problème

c) 2nde Conséquence : La loi de la température

Diffusion thermiqueIV) Le cas stationnaire - Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

a) Position du problème

2) Conduction radiale dans un cylindre

z

O

R0

R1

r + dr

r

R1

R0

z

Principe de Curie

Une cause crée un effet.

Le principe de Curie postule que l’effet a au moins les symétries et les invariances de la cause.

Cette propriété est valable pour tous les vecteurs polaires et toutes les grandeurs scalaires.

Diffusion thermiqueIV) Le cas stationnaire - Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

a) Position du problème

2) Conduction radiale dans un cylindre

b) 1ère Conséquence : La résistance thermique

La résistance thermique

Résistance thermiqueT0 T1

T = T0 – T1

01

T = Rth.01

3. On intègre l’équation différentielle précédente entre les bornes définies par le problème.

Récapitulatif :

1. Régime stationnaire pas de travail, W = 0, pas de source interne le flux se conserve ;

2. On combine la conservation du flux avec la loi de Fourier ;

Diffusion thermiqueIV) Le cas stationnaire - Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

a) Position du problème

2) Conduction radiale dans un cylindre

b) 1ère Conséquence : La résistance thermique

c) 2nde Conséquence : La loi de la température

Diffusion thermiqueIV) Le cas stationnaire - Résistance thermique

1) Conduction longitudinale dans un cylindre

2) Conduction radiale dans un cylindre

3) Le transfert thermique par convection ou contact

T1T2

2Q = h(T2 – T1)dS.dt

dS

Le transfert thermique par convection

Diffusion thermiqueV) Cas du régime sinusoïdal

z

Atmosphère

Terre

T0 + T1cost

La température de cave

x =δz

pour t =0T

t)(z,T3T

5T

, et T