THESE - Accueillgep.geeps.centralesupelec.fr/uploads/cocodi/theses/... · 2010. 4. 19. · Contribution au développement d’un outil logiciel d’aide à la conception de systèmes

UNIVERSITE PARIS XI UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY

N° D’ORDRE : 7641

THESE

Présentée

Pour obtenir

Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES

DE L’UNIVERSITÉ PARIS SUD XI

PAR

Eric de CECCO

Sujet :

Contribution au développement d’un outil logiciel d’aide à la conception de systèmes électromagnétiques.

Application aux machines synchrones à aimants permanents. Soutenue le 13 juillet 2005 devant le jury composé de : M. M. BESBES Ingénieur de recherche

M. S. CLENET Professeur des Universités (rapporteur)

M. C. MARCHAND Professeur des Universités

M. A. MIRAOUI Professeur des Universités (président)

M. F. WURTZ Chargé de recherche au CNRS (rapporteur)

A mon épouse, A mes enfants,

Je dédie ce travail.

Avec toute mon affection.

REMERCIEMENTS

Le travail de recherche présenté dans ce mémoire a été effectué au sein du Laboratoire de Génie Electrique de Paris (LGEP), dans l’équipe COCODI, département MOCOSEM.

Je remercie M. Alain KREISLER, Directeur du LGEP, pour m’avoir accueilli dans le

laboratoire. Je remercie M. Adel RAZEK, directeur de recherche au CNRS, responsable du

département MOCOSEM au LGEP, pour m’avoir accueilli dans le département ainsi que pour ses conseils et son soutien.

J’exprime ma profonde gratitude à M. Claude MARCHAND, Professeur des Universités à

l’Université de Paris Sud, responsable de l’équipe COCODI, qui a encadré ces travaux de thèse. Je le remercie chaleureusement pour son encadrement, ses remarques pertinentes, son soutien tout au long de cette thèse, et pour avoir su me laisser la liberté dont j’avais besoin pour travailler.

Mes plus vifs remerciements s’adressent à M. Monder BESBES, ingénieur de recherche au

CNRS, pour sa précieuse participation et sa disponibilité tout au long de cette thèse. Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde reconnaissance.

Je remercie M. Abdelatif MIRAOUI, Professeur des Universités à l’Université de

Technologie de Belfort-Monbéliard, pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury. Je remercie chaleureusement M. Stéphane CLENET, Professeur des Universités à l’Ecole

Nationale Supérieure des Arts et Métiers, ainsi que M. Frédéric WURTZ, chargé de recherche au CNRS au LEG (Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble), pour l’honneur qu’ils m’ont fait d’examiner ce mémoire en qualité de rapporteurs. Leurs avis éclairés m’ont été précieux.

J’exprime toute ma sympathie à mes camarades de travail pour l’ambiance chaleureuse qui

a toujours régnée : Z. MAKNI, avec qui j’ai souvent collaboré, M. TAFERGUENIT, W. P. CARPES Jr, K. AZOUM, M. BENSETTI, S. ALSABBAH, M. HADJALI, G. SAVEL, C. DA SILVA, O. SCHNEEGANS, … et cette liste n’est pas exhaustive.

Mes remerciements s’adressent également à M. Eric BERTHELOT, Ingénieur de

recherche au CNRS, M. Laurent SANTANDREA, Ingénieur d’Etude CNRS et M. Frédéric BOUILLAULT, Professeur des Universités à l’Université de Paris Sud, pour les fructueuses discussions que j’ai eu avec eux.

Mes remerciements à Saliou DIOUF, doctorant au laboratoire LISSI, pour son soutien et

nos fraternelles relations. Je ne saurais omettre de remercier Mme Françoise MONDESIR, Mlle Monique

SAVREUX et Mme Christine SAFAKHAH pour leur disponibilité, leur sympathie et leur aide précieuse.

Je remercie tous les membres du laboratoire qui ont su créer une ambiance de travail

chaleureuse. Mes remerciements s’adressent à tous ceux, famille et amis, qui m’ont encouragés et

soutenus tout au long de cette thèse. Je réserve une place toute particulière à mon épouse Tachrifat sans qui ce travail n’aurait

jamais débuté et grâce à qui il a été mené à terme.

REMERCIEMENTS......................................................................................................... 3

INTRODUCTION GENERALE ............................................................................ 8

- CHAPITRE I -...................................................................................................... 12

ETAT DE L’ART SUR LA CONCEPTION DES SYSTEMES ELECTROMAGNETIQUES ASSISTEE PAR ORDINATEUR...................... 12

I. GENERALITES....................................................................................................... 13 II. SITUATION DU PROBLEME .............................................................................. 13

II.1. Généralités ....................................................................................................... 13 II.2. Les différentes étapes du processus de conception.......................................... 13 II.3. Outil informatique et démarche de conception................................................ 15

III. L’OUTIL LOGICIEL D’AIDE A LA CONCEPTION « IDEAL »...................... 15 III.1. Définition........................................................................................................ 15 III.2. Enonciation des critères.................................................................................. 15 III.3. Limites de ces outils ....................................................................................... 16

IV. LES DIFFERENTES APPROCHES ET LES OUTILS DISPONIBLES............. 17 IV.1. L’approche analytique.................................................................................... 17 IV.2. L’approche analytique assistée par ordinateur ............................................... 17 IV.3. Les outils utilisant une approche procédurale................................................ 18 IV.4. Les outils de type « systèmes experts ».......................................................... 19 IV.5. Les outils mettant en œuvre des techniques d’optimisation associées à un

outil d’analyse numérique ............................................................................................ 20 V. CONCLUSION....................................................................................................... 21

- CHAPITRE II - SIMAP : UN OUTIL DE SIMULATION DE MACHINES SYNCHRONES A AIMANTS PERMANENTS ................................................ 22

I. INTRODUCTION.................................................................................................... 23 II. DESCRIPTION DE SIMAP................................................................................... 23

II.1. Structure........................................................................................................... 23 II.2. Contenu des modules ....................................................................................... 24

III. ANALYSE PAR RAPPORT A L’OUTIL « IDEAL » ......................................... 25 IV. CONCLUSION ..................................................................................................... 26

- CHAPITRE III - GENERATION D’UNE GEOMETRIE & MAILLAGE 28 A. LE MODULE PREDIMENSIONNEMENT........................................................ 29

I. INTRODUCTION.................................................................................................... 29 II. PREDIMENSIONNEMENT DE LA STRUCTURE ............................................. 29

II.1. Le module inclus dans SIMAP ........................................................................ 29 II.1.1. Désignation des grandeurs ............................................................................... 29 II.1.2. Détermination des caractéristiques de la machine............................................ 30

I.1.1.1. Algorithme mis en œuvre................................................................................ 30 I.1.1.2. Grandeurs calculées....................................................................................... 31

II.1.3. Validation......................................................................................................... 32 II.1.4. Mise en œuvre .................................................................................................. 33

II.2. Couplage avec PASCOSMATM......................................................................... 33

B. GENERATION DE GEOMETRIE ET MAILLAGE ........................................ 33 I. MISE EN ŒUVRE SOUS « MODULEF » ............................................................. 33

I.1. Description ........................................................................................................ 33 I.2. Les conducteurs................................................................................................. 34 I.3. Les sous-domaines ............................................................................................ 34 I.4. Illustration ......................................................................................................... 34

II. LA BIBLIOTHEQUE DE SIMAP ......................................................................... 35 III. ELABORATION DE NOUVELLES STRUCTURES ......................................... 36 IV. APPLICATION..................................................................................................... 36 V. CONCLUSION....................................................................................................... 37

- CHAPITRE IV -................................................................................................... 38

SIMULATION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS & POST-TRAITEMENT........................................................................................... 38

A. SIMULATION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ...................... 39 I. MISE EN EQUATION DE LA MACHINE – COUPLAGE CIRCUIT.................. 39

I.1. Aspect magnétique ............................................................................................ 39 I.2. Couplage à un circuit électrique extérieur ........................................................ 41 I.3. Discrétisation temporelle du système................................................................ 42 I.4. Résolution de ce système .................................................................................. 43 I.5. Prise en compte du mouvement ........................................................................ 44 I.6. Calcul de forces................................................................................................. 44 I.7. Prise en compte de la saturation des matériaux ................................................ 44

II. ALIMENTATION DE L’ACTIONNEUR SYNCHRONE PAR UNE SOURCE QUELCONQUE............................................................................................................... 44

II.1. Introduction...................................................................................................... 44 II.2. Alimentation par une source de courant ou de tension.................................... 45

II.2.1. Machine couplée en étoile alimentée par une source de tension en étoile ....... 45 II.2.2. Couplage polygonal des phases de la machine ................................................ 47

II.3. Machine alimentant un convertisseur alternatif-continu non commandé........ 50 II.3.1. Introduction...................................................................................................... 50 II.3.2. Ponts simples.................................................................................................... 50 II.3.3. Ponts doubles ................................................................................................... 53

II.4. Machine associée à un convertisseur alternatif-continu ou continu-alternatif 57 II.4.1. Généralités........................................................................................................ 57 II.4.2. Modélisation des composants........................................................................... 58

I.1.1.3. Les composants de puissance en conduction ................................................. 59 I.1.1.4. Commutation des composants de puissance .................................................. 59 I.1.1.5. Modélisation de la cellule .............................................................................. 59

II.4.3. Modélisation de l’ensemble convertisseur-actionneur ..................................... 60 II.4.4. Validation......................................................................................................... 64

I.1.1.6. Alimentation en pleine onde........................................................................... 65 I.1.1.7. Alimentation en MLI naturelle ....................................................................... 66

II.4.5. Réduction du régime transitoire ....................................................................... 67 II.4.6. Actionneurs à rotors excités ............................................................................. 68

III. FONCTIONNEMENT DU MODULE « SIMULATION PAR ELEMENTS FINIS »............................................................................................................................. 68

IV. APPLICATION..................................................................................................... 69 B. LE POST-TRAITEMENT .................................................................................... 70

I. INTRODUCTION.................................................................................................... 70 II. PRESENTATION................................................................................................... 71

II.1. Fonctionnalités................................................................................................. 71 II.2. Mise en œuvre.................................................................................................. 71

C. CONCLUSION....................................................................................................... 71

- CHAPITRE V - ANALYSE DE SENSIBILITE & OPTIMISATION ........ 72 A. LE MODULE « ANALYSE DE SENSIBILITE »............................................... 73

I. INTRODUCTION.................................................................................................... 73 II. ETUDE DE SENSIBILITE PAR LES PLANS D’EXPERIENCES...................... 73

II.1. Présentation...................................................................................................... 73 II.1.1. Généralités........................................................................................................ 73 II.1.2. Définitions & notations .................................................................................... 74 II.1.3. Les plans factoriels........................................................................................... 75

I.1.1.1. Définition ....................................................................................................... 75 I.1.1.2. Effet d’un facteur ........................................................................................... 75 I.1.1.3. Interactions entre facteurs ............................................................................. 75 I.1.1.4. Exemple.......................................................................................................... 75

II.1.4. Les plans fractionnaires.................................................................................... 78 I.1.1.5. Principe.......................................................................................................... 78 I.1.1.6. Les tables de Taguchi..................................................................................... 81

a) Principe.................................................................................................... 81 b) Les différentes tables............................................................................... 83

II.2. Mise en œuvre dans SIMAP ............................................................................ 83 II.2.1. Présentation ...................................................................................................... 83 II.2.2. Exemple d’utilisation de ces critères................................................................ 84 II.2.3. Possibilités offertes par SIMAP ....................................................................... 84 II.2.4. Application....................................................................................................... 85

B. LE MODULE « OPTMISATION »...................................................................... 88 I. GENERALITES....................................................................................................... 88 II. LE SIMPLEXE ....................................................................................................... 88 III. LES ALGORITHMES GENETIQUES................................................................. 89 IV. APPLICATION..................................................................................................... 89

C. CONTRAINTES D’ENCOMBREMENT............................................................ 90 I. PRESENTATION .................................................................................................... 90 II. GESTION DE CES CONTRAINTES.................................................................... 92 III. DISCUSSION........................................................................................................ 93

D. CONCLUSION....................................................................................................... 94

CONCLUSION GENERALE ............................................................................... 95

PUBLICATIONS & CONGRES .......................................................................... 98

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................... 100

INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale

L’intérêt des machines électriques, en temps qu’actionneur ou générateur, fut mis en évidence dès le 19ème siècle ; mais ce fut l’avènement de l’électronique de puissance, autorisant la production de fréquences variables à des niveaux de puissance élevée, qui permit d’étendre les domaines d’utilisation des machines de types synchrone et asynchrone. Les progrès réalisés sur les matériaux intensifièrent ce phénomène. Aujourd’hui, l’utilisation de ces machines couvrent des gammes de puissance allant de quelques watts à plusieurs gigawatts et des domaines comme l’automobile, la traction ferroviaire, l’aviation, la production d’énergie électrique, …

Des prémices à aujourd’hui, deux problèmes majeurs se sont posés aux ingénieurs et

chercheurs : celui de l’analyse et celui de la conception de systèmes électromagnétiques. Le premier consiste à déterminer les performances d’une structure donnée, alors que le second a pour mission de trouver la structure répondant à un besoin donné. Ils étaient affaires de spécialistes et ce dernier nécessitait de nombreux prototypes pour aboutir au produit ayant les caractéristiques établies dans le cahier des charges. La réduction des coûts et délais de développement étant une priorité dans le monde industriel, de nombreuses méthodes empiriques et analytiques ont été développées, mais les prototypes restaient en nombre important pour chaque nouveau produit.

Depuis les années 70, des progrès considérables ont été réalisés dans le domaine de la

modélisation numérique. De nombreuses méthodes virent le jour (éléments finis, méthode des moments, intégrales de frontières, …) et ont été améliorées depuis. Ce n’est que ces deux dernières décennies que la puissance de calcul des ordinateurs ont connu un essor suffisant pour appliquer les modèles numériques à l’analyse, en particulier l’analyse des systèmes électromagnétiques, autorisant une compréhension plus fine des phénomènes mis en jeu.

Puis, l’amélioration de ces méthodes d’analyse et des performances des ordinateurs, notamment des PC, ont permis d’associer à ces premières des méthodes d’optimisation, autorisant alors le développement d’outils logiciels d’aide à la conception. Parallèlement, des outils basés sur d’autres principes connurent un essor également très important.

Amplement répandus depuis une quinzaine d’années, ces outils logiciels permirent de réduire significativement les temps et coûts de développement d’une tâche de conception, chacun s’approchant plus ou moins d’un outil qui regrouperait convivialité, facilité de mis en œuvre, rapidité, évolutivité, précision et qui offrirait une aide substantielle à la conception de machines électriques, associées à leur convertisseurs ; en réponse à un cahier des charges. Atteindre cet objectif est un enjeu de taille, car il dispenserait le concepteur de construire quelque prototype que ce soit, qui représente une part prépondérante du coût et délais de développement d’une tâche de conception.

La création d’un outil logiciel d’aide à la conception nécessite la capitalisation d’un savoir-

faire pluridisciplinaire. Au LGEP, l’équipe MSE (Modélisation de Systèmes Electromagnétiques), devenu département MOCOSEM (MOdélisation et COntrôle des Systèmes ElectroMagnétiques), est spécialisé dans la modélisation numérique par éléments finis et dans l’optimisation. C’est autour de ce noyau que notre travail a consisté à greffer des fonctionnalités permettant d’aboutir à un tel outil. Il est structuré en modules indépendants, communiquant par le biais de fichiers au format imposé, assurant ainsi une évolutivité et une facilité de développement informatique importantes.

Il dispose d’une interface graphique conviviale et de nombreuses fonctionnalités transparentes pour l’utilisateur, assurant ainsi une grande facilité d’utilisation.

L’outil exploite la méthode des éléments finis, bien adaptée aux géométries complexes, aux milieux hétérogènes et saturables, qui garantit une précision accrue des phénomènes

Introduction générale

simulés. Cette méthode d’analyse est associée à un outil d’optimisation. Une analyse de sensibilité, exploitant les plans d’expériences, permet d’identifier les facteurs les plus influents, réduisant ainsi le nombre de paramètres lors de l’optimisation. Les temps de calculs se trouvent alors réduits de façon importante.

Toutefois, la rapidité souhaitée pour notre outil requiert un prédimensionnement précis de la structure choisie, entraînant alors une réduction importante du domaine d’exploration de l’analyse de sensibilité puis de l’analyse numérique. La rapidité s’en trouvera alors augmentée significativement.

Enfin, l’outil logiciel offre une solution complète, en aboutissant à une structure optimale à partir de la saisie d’un cahier des charges.

Ce rapport se compose de cinq chapitres. Le premier est un état de l’art des outil logiciels

et de codes d’aide à la conception d’actionneurs électriques. Le deuxième chapitre décrit la structure de notre outil et les choix effectués pour les

différentes méthodes numériques utilisées. Le troisième présente la façon dont sont générées les géométries et leurs maillages, étape

nécessaire à la méthode d’analyse numérique. Le quatrième décrit la modélisation des machines synchrones à aimants permanents,

associées à son alimentation, par la méthode des éléments finis. Enfin, le cinquième expose la mise en œuvre particulière à laquelle nous avons procédé en

ce qui concerne l’analyse de sensibilité par les plans d’expériences ; ainsi que les méthodes d’optimisation utilisées.

- CHAPITRE I -

ETAT DE L’ART SUR LA CONCEPTION DES SYSTEMES

ELECTROMAGNETIQUES ASSISTEE PAR ORDINATEUR

chapitre I – Etat de l’art

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I. GENERALITES Les outils logiciels d’aide à la conception sont complémentaires à l’expérimentation et

permettent de réduire significativement les coûts et délais de développement. Pour cette raison, de nombreux logiciels ont vu le jour depuis l’avènement de l’ordinateur, surtout quand leur prix s’est abaissé significativement, alors que leur capacité de calcul n’a cessé d’augmenter.

Pour présenter l’état de l’art de ces outils logiciels, il nous paraît important de définir ce qu’est la conception, ainsi que la fonction que remplissent les outils informatiques ; puis d’énoncer les critères auxquels doit répondre l’outil idéal susceptible d’apporter une aide pour celle-ci. Ainsi pourrons-nous étudier les solutions existantes, puis présenter la nôtre (chapitre II).

Dans le cadre de cette thèse, les applications ne porte que sur les machines synchrones à

aimants permanents, associées à une alimentation, qui peut être un convertisseur ; bien que l’analyse que nous allons mener ci-après ait un caractère général.

II. SITUATION DU PROBLEME

II.1. Généralités L’élaboration d’un produit ne peut se faire qu’après une analyse du besoin. Cette phase,

bien que ne représentant qu’une faible part, en termes de durée et de coût, par rapport à la phase de conception, est à l’origine d’un très grand nombre d’erreurs, en ce sens que le produit ne répond pas à l’attente du client. De plus, les processus cognitifs mis en jeu ne sont pas véritablement connus, les savoirs nécessaires (techniques, économiques, sociaux, de production, de commercialisation, …) sont très étendus et difficilement explicites. Ceci fait que cette phase est très difficilement formalisable et donc modélisable.

Cette phase de définition du besoin permet de définir ce qu’il faut réaliser, sans faire de choix sur la façon de le réaliser. C’est le but de la conception de prononcer des choix qui répondront à la question du « comment », et ce, en tenant compte des contraintes liées à l’environnement.

Cette démarche permet d’aboutir à la phase de conception du produit, activité que nous allons détailler.

II.2. Les différentes étapes du processus de conception La démarche de conception peut se décomposer en quatre étapes : 1.Elaboration du cahier des charges : Obtenu après analyse du besoin, il peut être défini comme un document qui fera office de

contrat entre deux parties (le « concepteur » et l’ « utilisateur »). Il est à la fois un outil de communication et de structuration auquel on se réfère à différentes étapes du projet.

- En amont, il est utile à la présentation du projet aux responsables financiers pour la demande de budget nécessaire à l’élaboration du produit,

- Au cours du développement, il est une pièce de référence pour le concepteur, - Le produit fabriqué, il est un élément auquel on se réfère pour le contrôle de la

validité du contrat.

Chapitre I – Etat de l’art

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On distingue le cahier des charges utilisateur, du cahier des charges fonctionnel (ou technique). Le premier définit ce qu’il faut réaliser (le « quoi »). Le second définit la façon de réaliser le système attendu (le « comment »), et contient le contexte, les objectifs, les contraintes, une expression fonctionnelle du besoin, l’exigence qualité, …

2.Choix de la structure :

Il s’agit de déterminer les formes et les technologies afin de répondre aux besoins exprimés dans le cahier des charges technique. On peut distinguer les structures :

• « existantes », dont on exploite les caractéristiques déjà connues, mais dont on va modifier quelques paramètres pour répondre spécifiquement au cahier des charges. On parlera alors de conception « traditionnelle » ou « routinière » [1] . • « novatrices ». On parlera alors de conception « innovante ». Dans ce cas, tout ou partie du système peut être nouveau, ainsi que les formes et/ou les technologies.

Contrairement à la seconde, la première limite considérablement les coûts de fabrication,

puisque les frais de développement ont déjà été engagés. En contrepartie, il n’est pas possible de s’affranchir des limites de cette structure existante.

3.Dimensionnement On le définit comme étant l’acte de déterminer la valeur de chaque grandeur, caractérisant

un dispositif dans son environnement, de sorte que les contraintes du cahier des charges soient satisfaites.

4.Validation Il s’agit de vérifier les performances du dispositif dimensionné à l’étape précédente, par

rapport aux exigences du cahier des charges. Le développement d’outils informatiques d’analyse, dont le rôle est de simuler de façon précise le dispositif pour en déterminer les performances, a largement contribué à diminuer les temps et les coûts de développement en réduisant le nombre de prototypes nécessaires à la validation.

La précision de l’outil d’analyse dépend de la nature locale ou globale des grandeurs intervenant dans la simulation. Nous appelons grandeur globale celle qui est définie sur une zone de dimension importante par rapport au domaine d’étude complet. La grandeur locale l’est, au contraire, sur une zone de faible dimension.

Nous définissons maintenant le terme prédimensionnement que nous utiliserons largement

par la suite. Il s’agit de dimensionner une structure avec un modèle simple ; une étude plus fine est alors indispensable pour obtenir une précision plus importante. A ce stade, le choix de la structure est donc déjà fait.

Synthétiquement, le processus de conception, comme celui d’analyse, est une démarche

intellectuelle, à l’origine indépendante de tout support informatique. La première consiste à caractériser un produit répondant aux contraintes et besoins exprimés dans un cahier des charges. La seconde a pour objet de déterminer les performances d’un produit donné.

La démarche d’analyse peut être directement traitée par un logiciel adapté, ou par une approche analytique, d’où le nom de « problème direct » attribué à celle-ci. La démarche de conception est alors nommée « problème inverse ». Nous verrons en effet que cette dernière ne peut être obtenue directement.


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II.3. Outil informatique et démarche de conception Dans la démarche de conception, l’ordinateur n’est généralement pas utilisé pour résoudre

automatiquement le problème inverse, mais pour traiter le problème direct. En effet, ce sont des outils d’analyse qui sont utilisés et non des outils ayant une faculté de conception automatique. Cette approche est très répandue dans l’industrie et pas uniquement dans le domaine de l’électrotechnique.

Dans le principe, à partir du cahier des charges, une structure, choisie en fonction des connaissances du concepteur, est prédimensionnée, puis simulée par différents outils (méthode des éléments finis, méthodes utilisant des schémas à réluctances équivalentes [2] , …). Si les performances ne sont pas celles attendues, des modifications sont apportées à la structure, qui est alors simulée de nouveau.

Cette approche ne constitue pas un outil d’aide à la démarche de conception, car il s’agit bien d’une démarche d’analyse.

Cependant, il existe, dans le seul domaine de l’électrotechnique, des outils logiciels

apportant une aide substantielle à la conception. Nous allons décrire les différentes approches, après avoir défini les critères auxquels doit répondre, selon nous, un outil logiciel « idéal ».

III. L’OUTIL LOGICIEL D’AIDE A LA CONCEPTION « IDEAL »

III.1. Définition Un tel outil doit apporter une aide très importante à l’utilisateur et doit répondre, de plus, à

certains critères que nous allons énoncer.

III.2. Enonciation des critères Sept critères ont été retenus :

1. La convivialité. Généralement obtenue en informatique par des menus

déroulants et des boites de dialogues, elle peut revêtir diverses formes permettant une utilisation agréable et efficace du logiciel.

2. La facilité de mise en œuvre : l’utilisateur ne doit pas fournir de lignes de

code en quelque langage que ce soit ; et un temps court de mise en œuvre de l’outil par l’utilisateur est une condition nécessaire.

3. Le temps de réponse : les solutions doivent être obtenues rapidement.

4. L’évolutivité : une structure « innovante » doit pouvoir être prise en compte

aisément et sans aucune programmation de la part de l’utilisateur. Avec les mêmes facilités, une structure « existante » doit pouvoir être traitée et enrichie, c’est à dire étudiée en ajoutant des phénomènes physiques, qui décrivent alors plus finement le comportement du système.

5. La précision : l’outil doit intégrer les principaux phénomènes physiques

susceptibles d’influencer la conception du système et être décrits localement avec une très bonne précision. Il convient de garder à l’esprit que ces


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phénomènes peuvent être interdépendants et le sont souvent. La connaissance de grandeurs locales est en effet essentielle pour la précision, notamment à cause des géométries complexes et des inhomogénéités.

6. La portabilité : le logiciel doit fonctionner sur les système d’exploitation les

plus répandus (Windows, Unix, Linux, …).

7. La complétude : le logiciel doit être capable de traiter les 3 première étapes du processus de conception (élaboration du cahier des charges, choix de la structure et dimensionnement).

Nous nous sommes placés d’un point de vue utilisateur : le temps de développement de

l’outil n’est pas mentionné, bien que ce soit une qualité importante pour le développeur et constitue un paramètre important en ce qui concerne sa structure.

Avant de présenter les différents outils et approches existants, nous expliquons les raisons

de leurs limites.

III.3. Limites de ces outils Le problème de conception est beaucoup plus difficile à résoudre que celui d’analyse, pour

au moins deux raisons :

- Pour le premier, il existe la plupart du temps de nombreuses, voire une infinité de solutions, contrairement au second qui n’en a qu’une.

- le problème de conception est, lui, soumis à des contraintes. Ceci explique pourquoi les outils d’analyse ont longtemps été plus répandus que les outils

logiciel d’aide à la conception. Ces difficultés font que le processus de conception, assistée par ordinateur, est souvent

obtenu à partir d’un outil d’analyse associé à un processus itératif modifiant, à chaque pas, les caractéristiques du produit; et conduisant finalement à une solution répondant aux cahier des charges. La dénomination de problème direct et inverse est ainsi expliquée.

Cette démarche trouve toutefois ses limites dans le fait que le nombre de paramètres susceptibles d’être modifiés est important (communément de 20 à 30 dans le domaine de la conception d’actionneurs) et chacun d’eux dans un intervalle qui leur est propre. Le nombre de combinaisons peut s’avérer prohibitif à l’obtention d’une solution en un temps raisonnable. A titre d’exemple, 30 paramètres ayant chacun 5 niveaux conduit à 530, soit environ 1021 combinaisons. Pour obtenir une solution en quelques jours, cela implique que chaque combinaison soit traitée en un temps de l’ordre de 10-16 s (soit 1,1 jours de calcul) ce que le plus puissant ordinateur est totalement incapable de faire. Les performances actuelles des ordinateurs communément utilisés nécessites un temps de calcul de quelques fractions de secondes à plusieurs minutes selon l’outil d’analyse utilisé : l’exploration de toute les combinaisons est alors à proscrire.

Pour palier cela, on est tenté d’utiliser une stratégie de résolution en guidant le processus de conception, ce qui revient à exploiter le savoir-faire et les connaissances de l’utilisateur. Le problème est donc de les définir et de décrire la façon dont ils seront exploités.


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IV. LES DIFFERENTES APPROCHES ET LES OUTILS DISPONIBLES Dans ce paragraphe, nous passons en revue les différents outils logiciels. Notre objectif

n’est pas de décrire complètement chaque méthode, mais d’en cerner le principe pour nous permettre de déterminer si les critères énoncés précédemment sont satisfaits ou non.

Quatre catégories peuvent être identifiées. Ce sont les outils :

- exploitant une approche analytique, assistée par ordinateur, - utilisant une approche procédurale, - de type « systèmes experts », - mettant en œuvre des techniques d’optimisation associées à un outil d’analyse.

Nous présenterons au préalable une approche analytique manuelle constituant une bonne

introduction à la première catégorie précitée.

IV.1. L’approche analytique Elle est très souvent utilisée par les concepteurs de systèmes électromagnétiques. Le

principe consiste à poser un certain nombre d’équations décrivant « convenablement » le système étudié, mais en s’assurant qu’il sera inversible pour obtenir les dimensions caractéristiques de celui-ci. En effet, les équations descriptives mettent en jeu les paramètres dimensionnels du système, mais en tant que grandeurs d’entrée. La difficulté consiste à choisir les facteurs les plus déterminants, en s’assurant que les paramètres dimensionnels s’exprimeront facilement en fonction des grandeurs de sortie.

Cette approche, qui n’est pas informatique, est fastidieuse et est réservée aux spécialistes dans le sens où ils sont capables, expérience à l’appuie, de déterminer les équations qui minimiseront la difficulté des calculs tout en maximisant la précision.

L’utilisation d’un outil informatique d’analyse est appréciable, puisqu’il permet une étude plus fine [25] [32] [36] .

Cette approche est adaptée aux démarches innovantes et routinières.

IV.2. L’approche analytique assistée par ordinateur Elle a vu le jour assez récemment. Le principe repose sur le constat que la limite de

l’approche précédente est la complexité de la résolution des équations, et non le fait de les établir. En outre, les équations décrivant de nombreux systèmes électromagnétiques existent et sont publiées.

L’inversion se fait symboliquement, et génère donc directement l’outil de conception. L’accès aux systèmes d’équations inversés ainsi qu’aux dérivées symboliques permet une étude de sensibilité et une optimisation sous contraintes aisées et très rapides [1] [3] .

Un tel outil présente l’avantage de satisfaire les critères 1 (convivialité), 3 (temps de

réponse) et 4 (évolutivité).

- Il est en effet convivial grâce à son interface utilisateur, - Son temps de réponse est très court, - Il est évolutif, en ce sens qu’il ne gère que des équations : un nouveau système

pourra être conçu en introduisant les équations adéquates. Ceci implique de ressaisir bon nombre d’équations, voire la totalité : l’évolutivité à tout de même


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un prix non négligeable. Une structure existante pourra, en revanche, être aisément enrichie, en ajoutant les équations souhaitées.

Par contre, il satisfait bien moins les critères 2 (facilité de mise en œuvre) et 5 (précision).

En effet, Il est facile à mettre en œuvre, car n’exige, l’interface étant bien conçue, aucune connaissance particulière dans un langage de programmation pour entrer les équations ; mais la saisie de ces équations peut s’avérer fastidieuse, surtout si l’on souhaite une bonne précision du modèle. Soulignons toutefois que cette dernière reste accessible, si l’utilisateur accepte d’en payer le prix : entrer des centaines d’équations pour décrire localement les phénomènes physiques, ainsi que les contraintes sur chacune de ces grandeurs. La facilité de mise en œuvre en sera alors très affectée, si bien qu’un tel degré de précision n’est raisonnablement pas envisageable avec cet outil.

De plus, les grandeurs mises en jeu sont de nature globale, et non locale comme nous le souhaitions.

Quant au critère 6 (portabilité), il est satisfait car même si le logiciel est compilé pour un

système donné, dans la mesure où il est écrit dans un langage de haut niveau, il est aisé pour le fabricant de le compilé pour un tout autre système.

Critère 7 (complétude) n’est pas assurée, car le logiciel ne permet ni le choix de structure,

ni l’élaboration du cahier des charges, ni la validation (dans la mesure où la précision n’est pas suffisante).

Il convient de noter que cette approche reste l’une des plus attenante à l’outil idéal.

IV.3. Les outils utilisant une approche procédurale Le principe consiste à implanter, en un langage de programmation de haut niveau ou des

logiciels tels que les tableurs, une procédure séquentielle décrivant les étapes de conception élaborées par un spécialiste. Cette méthode a été mise au point dès l’avènement de l’ordinateur, et reste très usitée aujourd’hui encore.

Ces outils satisfont les critères 3 (temps de réponse) et 6 (portabilité). De plus, le fait d’utiliser des langages ou logiciels de haut niveau assure une portabilité aisée à d’autres systèmes d’exploitation.

A moindre échelle, le critère 1 (convivialité) peut être envisagé comme étant satisfait,

surtout si l’outil est construit avec un tableur : des cases peuvent permettre de saisir les données nécessaires.

Avec les même limites que précédemment (I.2), le critère 5 (précision) n’est vérifié que

sous condition de développer les codes en conséquence. Par contre, les critères 2 (facilité de mise en œuvre) et 4 (évolutivité) ne sont nullement

satisfait. Effectivement, le principe même de cet outil n’est pas générique, puisqu’il consiste à élaborer, en un langage de programmation de haut niveau, et pour chaque système à concevoir, un code spécifique nécessitant un spécialiste de ce système.

De plus, que l’utilisateur développe ou fasse développer son outil, une contrainte reste la même : le temps de mise au point très important pour chaque nouveau système à concevoir. Dans le premier cas, cela exige, en outre, des compétences informatiques (de moindre niveau


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pour un tableur, il est vrai). Enfin, les « structures novatrices » sont plus difficiles à implanter, puisque il n’y a pas, en

règle générale, de spécialiste. Il convient de souligner que l’enrichissement d’une structure existante n’est pas très difficile.

Enfin, le critère 7 (complétude), n’est pas satisfait, car ni le choix de la structure ni la

validation ne sont intégré à ces outils utilisant cette approche.

IV.4. Les outils de type « systèmes experts » Le principe repose sur une imitation du processus de conception tel qu’il est pratiqué par

un expert du domaine concernant le système électromagnétique à concevoir. L’outil utilise donc les connaissances de l’expert, c’est à dire celles concernant l’objet à concevoir, ainsi que celles relatives à sa démarche de résolution (hypothèses, calculs, optimisation, vérification des résultats, ….). Ceci implique que l’outil intègre :

- Un processus permettant de saisir l’ensemble de ces connaissances, qui utilise des langages déclaratifs de haut niveau, dans un formalisme proche du langage naturel.

- De disposer de moteurs d’inférences aptes à manipuler ces connaissances. Ces outils satisfont les critères 1 (convivialité) et 6 (portabilité). En effet :

- Leur interface graphique est soignée, - La formalisation des connaissances est faite en un langage de haut niveau, ce qui

permet un traitement par un interpréteur sous n’importe quel système d’exploitation ; d’autant plus que l’interpréteur est lui-même écrit en un langage de haut niveau et donc portable.

Les critères 2 (facilité de mise en œuvre) et 5 (précision) souffrent de problèmes déjà

évoqués, à savoir le fait qu’une bonne précision ne peut être obtenue qu’à condition de développer les lignes de codes nécessaires, ce qui peut devenir très fastidieux, et pénaliser la facilité de mise en œuvre. Ajoutons que cette dernière est mal assurée, puisque l’utilisateur doit fournir de nombreuses lignes de code, même si le langage est proche de son homologue naturel. Qui plus est, une bonne maîtrise des techniques propres à ces systèmes est nécessaire, car les différentes déclarations ne doivent pas conduire à des incompatibilités qui bloqueraient le déroulement du processus.

D’autre part, la collecte des connaissances auprès de spécialistes est longue et difficile à mettre en place dans le système expert.

Le critère 4 (évolutivité) est une caractéristique fondamentale des systèmes experts, car il

deviennent performants lorsque le nombre de règles devient élevé : son enrichissement est alors assuré par les nouvelles connaissances de l’utilisateur, et l’on rejoint le problème de la mise en place de ces connaissances.

Les structures « innovantes » exigent par contre une reprogrammation quasi-complète, et le critère 4 (l’évolutivité) n’est plus satisfait.

Le critère 3 (temps de réponse) de ces outils est très long, jusqu’à plusieurs jours, dû au

temps de traitement des déclarations écrites en un langage symbolique de haut niveau. Enfin, le critère 7 (complétude) est satisfait.


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IV.5. Les outils mettant en œuvre des techniques d’optimisation associées à un outil d’analyse numérique

Cette approche a été très employée dès le début des années 70. Le principe consiste à mettre en œuvre un outil d’analyse numérique associé à un outil d’optimisation. Ce dernier cherche à maximiser, ou minimiser, une fonction objectif donnée, dont la valeur est déterminée par le premier. Il est à noter que cette approche utilisait à son début des outils spécifiques du système à concevoir, alors que par la suite, des programmes génériques ont vu le jour, tant pour l’analyse que pour l’optimisation, qui ont supplanté leurs prédécesseurs, car ils en ont conservés les avantages et ont pallié les inconvénients.

Une méthode d’analyse très employée est celle des éléments finis, qui présente de nombreuses qualités, que nous détaillerons au chapitre IV. On rencontre aussi la méthode des moments, des différences finies et des intégrales de frontière.

Quant aux outils d’optimisation, il en existe de nombreux types, couvrant ainsi une gamme étendue de possibilités ; certains opèrent sous contraintes, ce qu’exige le cahier des charges.

Cette méthode satisfait de nombreux critères. Le critère 2 (mise en œuvre) car aucune

programmation n’est nécessaire. Le critère 5 (précision) est l’atout majeur de cette approche qui décrit localement les

phénomènes. Pour prendre en compte des phénomènes physiques intervenant dans la conception d’un produit, il faut fournir un programme apte à en traiter les plus importants (phénomènes magnétiques, électriques, thermiques, mécaniques, acoustiques), et de le rendre configurable pour que soit pris en compte que ceux désirés par l’utilisateur. Bien entendu, la configuration doit rester conviviale pour satisfaire le critère 1.

Cette méthode peut être considérée comme portable et satisfait donc le critère 6, car elle utilise une programmation en langage de haut niveau, qui peut être compilé sous différents systèmes d’exploitation. Cette tâche incombe au détenteur des codes sources, et non à l’utilisateur.

Sous quelques conditions, le critère 4 (évolutivité) est assuré. En effet, les outils d’analyse

et d’optimisation ne sont nullement dépendant du système à concevoir. Ceci nous mène à considérer :

- que les nouvelles structures sont facilement prises en compte de par le fait que l’outil d’analyse est générique, à condition de disposer d’une interface permettant de décrire la géométrie de la-dite structure.

- que les structures existantes peuvent être améliorées, si l’outil d’analyse est riche et configurable comme nous l’avons précisé pour le critère 5. Notons cependant que l’utilisateur ne peut pas apporter ses propres connaissances.

Le critère 7 (complétude) n’est pas totalement satisfait. En effet, si la phase de

dimensionnement (et de validation) est intrinsèquement prise en compte par cette approche, il n’existe à notre connaissance aucun logiciel, basé sur cette dernière, capable de saisir le cahier des charges et de prédimensionner le dispositif.

Par contre, le critère 3 (temps de réponse) n’est nullement respecté. En effet, cette

approche est très coûteuse en temps de calcul, plusieurs heures à plusieurs jours selon, notamment, la précision souhaitée, l’étendu du domaine d’étude et de l’outil d’optimisation utilisé.


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Par conséquent, et quelque soit la nature du programme d’optimisation, pour que le temps de réponse soit, sinon court, au moins raisonnable (ce qui ne satisfera pas parfaitement le critère 3), le nombre de paramètres susceptibles d’être étudiés est limité à quelques unités (4 à 5, et ce dans un domaine de variation restreint). Ceci semble cantonner cette approche à de l’optimisation de formes [41] [42] plutôt qu’à un véritable outil de dimensionnement. Nous montrerons que cette approche confère tout de même à l’utilisateur un outil ayant les qualités requises pour concevoir un système électromagnétique.

V. CONCLUSION Les approches existantes que nous avons présentées sont éloignées de l’« idéal » que nous

avons défini. Nous pouvons remarquer cependant que les raisons qui sont à l’origine du fait que certains critères ne sont pas satisfaits ne sont pas les mêmes pour toutes les approches. Cette remarque sera mise à profit pour justifier les choix dans le cadre de ce travail.

Dans le second chapitre, nous allons présenter notre outil.

- CHAPITRE II -

SIMAP : UN OUTIL DE SIMULATION

DE MACHINES SYNCHRONES A AIMANTS PERMANENTS

chapitre II - SIMAP

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I. INTRODUCTION Au chapitre I, nous avons définis les critères auxquels, selon nous, un outil logiciel d’aide à

la conception « idéal » doit répondre ; ainsi que les caractéristiques des différentes approches que nous avons recensées. Nous adoptons la classification suivante :

1. Les approches procédurales, analytiques assistées par ordinateur et de type systèmes experts,

2. L’approche mettant en œuvre des techniques d’optimisation associées à un outil d’analyse.

Pour la première classe, la précision (critère 3) est incompatible avec la facilité de mise en

œuvre (critère 2) et l’évolutivité (critère 4). L’utilisateur devrait, en effet, saisir un nombre considérable d’équations, ainsi que les contraintes sur les très nombreux paramètres.

Pour la seconde, la limite provient des ordinateurs dont la puissance de calcul est telle que le temps de réponse de l’outil devient prohibitif dès lors que le nombre de paramètres dépasse quelques unités. Ajoutons que la rapidité d’un programme dépend aussi de la qualité du code qui le compose.

Partant de ce constat, nous exposons dans les lignes qui suivent la solution que nous avons

retenue.

II. DESCRIPTION DE SIMAP SIMAP est un acronyme de SIMULATION DE MACHINES SYNCHRONES A AIMANTS

PERMANENTS.

II.1. Structure Rappelons que l’outil doit, à partir d’un cahier des charges, aboutir à un système

électromagnétique, éventuellement associé à un convertisseur, et satisfaire les sept critères précités. Nous allons préciser dans les lignes qui suivent les besoins caractéristiques permettant d’atteindre cet objectif.

Nous estimons que la limite sera plus facilement franchie pour le second groupe précité (une méthode d’analyse associée à une méthode d’optimisation) : les puissances de calcul toujours plus accrues des PC, aisément perceptibles à l’échelle d’une année, laisse entrevoir des perspectives particulièrement attrayantes, à un terme raisonnable ; et offrent déjà des possibilités très intéressantes.

Cet outil, et bien que la facilité de mise en œuvre pour le programmeur ne soit pas exigée

dans les critères caractérisant l’outil idéal énoncés au chapitre I, se doit d’être fiable, facile à faire évoluer, et permettre une maintenance aisée. Nous avons choisi de structurer notre outil logiciel en modules indépendants, assurant chacun une fonction précise, et dialoguant par le biais de fichiers au format imposé. La mise en œuvre de ces modules et l’interface utilisateur seront assurées par un environnement portable et facile à programmer : le logiciel MATLABTM. L’interface graphique est présentée dans son ensemble sur la figure 2, en fin de chapitre.

Notre outil a donc la structure décrite par le synoptique suivant :

chapitre II - SIMAP

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figure 1 : synoptique de SIMAP

Tous les codes implantés sont dynamique, c’est à dire que les boites de dialogue ont un

contenu qui dépend de liste définies dans un fichier unique. Il suffit alors de modifier seulement ce dernier pour que soit automatiquement pris en compte ces modifications.

Nous décrivons ci-après les différents modules.

II.2. Contenu des modules Pour fonctionner, la méthode d’analyse requière une géométrie, c’est à dire un ensemble de

domaines qui composent le système électromagnétique étudié, et dont les propriétés physiques sont parfaitement définies. Ce domaine d’étude doit être maillé, ce qui signifie qu’il est découpé en des éléments discrets sur lesquels la méthode d’analyse effectue les calculs. Ceci doit se faire de façon entièrement automatisée et donc transparente pour l’utilisateur. De plus, le fait de disposer d’une géométrie maillée signifie que le choix de la structure a été fait (deuxième étape de la démarche de conception).

Nous avons donc élaboré une bibliothèque de structure contenant différentes formes d’encoches et différentes positions d’aimants (voir chapitre III). La combinaison entre eux n’exige que le choix des formes et le maillage est entièrement automatique. Il est ainsi aisé de générer une structure existante.

Par contre, les structures innovantes ne sont pas incluses, puisque non encore connues. Une interface conviviale permettant de générer une géométrie et un maillage automatique d’une telle structure, pour enrichir la bibliothèque, serait alors nécessaire.

Il convient d’ajouter que si le choix de structure est offert à l’utilisateur, aucun outil ne permet de le guider vers une solution particulière, ni dans le choix technologique des matériaux.

Les puissances de calcul actuelles des ordinateurs (notamment les PC) n’autorisent pas une

investigation très étendue de l’espace de recherche par des méthodes numériques, surtout lorsque le nombre de paramètres est importants. Par conséquent, un prédimensionnement analytique précis est requis. Celui-ci déterminera une structure proche, du moins le souhaite-t-on, de l’optimum. L’espace de recherche du programme d’analyse sera donc plus restreint, et les temps de calculs réduits d’autant.

Nous avons donc inclus dans SIMAP un prédimensionnement basé sur une approche analytique, mais il reste relativement simple et ne possède donc pas une précision suffisante. Pour palier ce problème, un couplage avec le logiciel PASCOSMA (Programme d’Analyse, de Synthèse, de Conception et d’Optimisation de Systèmes Modélisables Analytiquement), a été effectué.

Le predimensionnement, la génération automatique de la géométrie et le maillage seront traités dans le chapitre III.

Notre choix pour l’outil d’analyse est la méthode des éléments finis (MEF). La motivation

principale est son aptitude à traiter efficacement des problèmes dont la géométrie peut être

PREDIMENSIONNEMENT

GENERATION AUTOMATIQUE DE LA

GEOMETRIE & MAILLAGE

SIMULATION PAR

UNE METHODE

D’ANALYSE

POST

TRAITEMENT

OPTIMISATION

chapitre II - SIMAP

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complexe et comporter des milieux hétérogènes. Soulignons que l’accroissement des performances des ordinateurs personnels conduira à

laisser une plus grande part d’investigation à l’outil d’analyse, dont la précision est l’atout principal ; le risque étant toujours d’obtenir, par les méthodes analytiques, une solution dont l’optimum est « masqué » par des optima locaux.

Les résultats issus de l’analyse, qui sont des grandeurs instantanées, nécessitent un post-traitement pour déterminer par exemple des grandeurs moyennes ou efficaces, des ondulations, etc…

Nous détaillerons les modules MEF et post-traitement au chapitre IV. Quelques soient les qualités du module de prédimensionnement, le critère 3 (rapidité)

impose d’étudier un nombre limité de paramètres intervenant dans le processus d’optimisation, ce qui exige de rechercher les facteurs les plus influents. Une étude de sensibilité devrait s’avérer fructueuse, si celle-ci est bien menée. En effet, le fait de modifier de façon, sinon aléatoire, au moins sans stratégie rigoureuse, des facteurs, dans un intervalle donné, ne permet pas d’identifier les plus influents.

Pour cela, nous avons mis en œuvre une technique qui s’est révélée très féconde dans de nombreux domaines : les plans d’expériences. Ils offrent en effet la stratégie d’expérimentation rigoureuse précitée. En outre, sous certaines conditions, ils autorisent une étude de nombreux paramètres avec un nombre d’essais limités. A titre d’illustration, onze facteurs ayant deux niveaux chacun ce qui nécessite 211 = 2048 expériences, peut se réduire, sous certaines conditions, à 12 expériences. Nous reverrons cela au chapitre V.

Parmi les expériences menées dans le plan, celle qui donne la valeur optimale de la fonction objectif est utilisée comme point de départ pour l’optimisation.

Une fois les facteurs les plus influents identifiés, la meilleure configuration obtenue et

sachant que le prédimensionnement a permis d’obtenir une solution proche de l’optimum, une technique d’optimisation déterministe, mais ne réclamant pas de calcul de dérivée (méthode dite « heuristique »), déterminera l’optimum local le plus proche, qui devrait être l’optimum.

Toutefois, ce type d’algorithme nécessite un nombre très important d’itérations pour converger. Mais l’espace de recherche restreint, le nombre de facteurs réduit et le point initial proche de l’optimum assurent une convergence rapide.

Si l’espace de recherche est susceptible de renfermer plusieurs optima locaux (ce qui se produira si celui-ci est étendu, c’est à dire quand les temps de calcul seront suffisamment réduits pour le permettre), il conviendra de reconsidérer ce choix : une méthode stochastique sera alors nécessaire.

Le module « optimisation » élaboré contient des routines d’optimisation heuristique et stochastique. Nous détaillerons cela au chapitre V.

III. ANALYSE PAR RAPPORT A L’OUTIL « IDEAL » La structure de SIMAP ainsi élaborée permet de satisfaire de nombreux critères :

1. La convivialité (critère 1), 2. Les structures existantes sont faciles à mettre en œuvre (critère 2), 3. La précision (critère 5), bien que dans sa version actuelle, seuls sont

modélisés les phénomènes magnétiques et le couplage à un circuit électrique,

4. La portabilité (critère 6). SIMAP permettra de satisfaire l’évolutivité (critère 4), lorsque :

• L’outil d’analyse inclura la prise en compte de la température, des effets

chapitre II - SIMAP

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mécaniques et aérodynamiques,… • Une interface graphique permettra de mailler automatiquement les structures innovantes.

Par contre, la rapidité (critère 3) n’est pas un critère parfaitement satisfait, bien que la

solution retenue - prédimensionnement précis et analyse de sensibilité par les plans d’expériences - réduise substantiellement les temps de calculs.

IV. CONCLUSION Dans les chapitres suivants, nous abordons en détail les modules composant notre outil. A

titre d’illustration, la conception d’un système électromagnétique sera menée. Chaque chapitre comportera un paragraphe « Application » dans lequel sont mis en œuvre les fonctionnalités des modules abordés.

Le troisième chapitre est consacré au prédimensionnement, à l’élaboration d’une géométrie et au maillage.

Le quatrième aborde le calcul par la méthode des éléments finis et le post-traitement. Le cinquième porte sur l’analyse de sensibilité par les plans d’expériences et sur

l’optimisation. L’interface graphique est détaillée dans l’annexe IV, mais une présentation générale est

proposée sur la figure 2.

chapitre II - SIMAP

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Figure 2 : Présentation générale de l’interface

Charger fichier

Paramètres & Fonction objectif

Choix algorithme

Paramétrage algorithme

Analyse de sensibilité

Enregistrer

Voir fichier

FIN

Met en mémoire un fichier existant

Choix des paramètres et de leur intervalle de variationConstruction de la fonction objectif (boite de dialogue dynamique

Choix de l'algorithme d'optimisation dans une liste

Paramétrage de l'algorithme choisi

Choix du plan d'expériences

Enregistrement des paramètres saisis

Visualisation du fichier créé

Fichier des grandeurs

Lancer les calculs

Voir fichiers

FIN

Définition des grandeurs à calculer

Effectue les calculs de post-traitement

Donne accès aux fichiers (entrée et sortie)

Caractéristique machine

Alimentation

Voir fichiers

Lancer la simulation

Tracé des grandeurs

FIN

Saisies des données

Saisies des données

Visualisation des fichiers créés (choix)

Exécute le processeur

Accès aux grandeurs calculées par une interface

Mailler

Voir maillage

Voir domaines

Voir références

Fin

maillage des différentes parties (stator, rotor, bande de mouvement)

visualisation au choix des parties maillées ou de l'ensemble du maillage

visualisation au choix des références des différentes parties ou références du domaine d'étude complet.Choix par numéro ou en totalité.

visualisation au choix des domaines des différentes parties ou du domaine d'étude complet

Cahier des charges

Prédimensionner

Voir

Fin

Encoches

Rotor

DONNEES :

géométriques

Electriques

Mécaniques

Matériaux

Formes ...

saisie des données

action de prédimensionnement

- visualisation des fichiers d'interface (.cdc, .dim)- visualisation de la géométrie générée

choix du type

choix du type de rotor

Désignation :

- du répertoire de travail - du nom de l'étude en cours

Changement :- de répertoire de travail et/ou- d'étude

Analyse de sensibilité

Optimisation

- CHAPITRE III -

GENERATION D’UNE GEOMETRIE

& MAILLAGE

chapitre III – Génération de géométrie & maillage

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A. LE MODULE PREDIMENSIONNEMENT

I. INTRODUCTION Le maillage est utilisé par le module « simulation par éléments finis » pour effectuer la

simulation du système électromagnétique. Une finesse importante du maillage permet une meilleure précision des calculs, mais, le nombre d’inconnues étant plus élevé, la durée de simulation augmentera alors. Un compromis doit donc être trouvé, sans intervention de l’utilisateur puisque ce module est entièrement automatisé.

Pour réaliser ce maillage, ce module exploite les dimensions contenues dans un fichier issu du prédimensionnement de la structure. La géométrie est alors générée, puis maillée. Le procédé est expliqué ci-après.

II. PREDIMENSIONNEMENT DE LA STRUCTURE

II.1. Le module inclus dans SIMAP Un module effectuant le prédimensionnement de la structure a été implanté [4] [5] [6] [8]

[9] [11] [12] [25] (voir annexe I). A partir d’un fichier d’entrée issu su cahier des charges, il génère un fichier de sortie contenant les dimensions géométriques de la machine.

II.1.1. Désignation des grandeurs

Les grandeurs utilisées sont données ci-dessous. Les principales dimensions sont données sur le schéma figure 1.

- V : tension simple d’alimentation - Cem : couple électromagnétique - Ω : vitesse de rotation - e : entrefer (jeu mécanique) - ea : hauteur d’aimant - Dext : diamètre extérieur - Dar : diamètre d’arbre - Da : diamètre d’alésage - lc : largeur de la cale amagnétique - hc : hauteur de la cale amagnétique - Lm : longueur active de la machine - hcr : hauteur culasse rotorique - hcs : hauteur culasse statorique - Ne : nombre total d’encoches - Nepp : nombre d’encoches par pôle et

par phase - p : nombre de paires de pôles - tr : taux de remplissage des encoches - bi : rapport pas polaire pas

dentaire - δ : densité de courant (A/mm²) - kb : coefficient de bobinage - Br : induction rémanente des

aimants - Hc : champ coercitif des aimants - Be : induction dans l’entrefer - Bd : induction dans la dent - mvt : masse volumique des tôles - mvai : masse volumique des aimants - mvcu : masse volumique du cuivre - rcu : résistivité du cuivre - α : coefficient de variation de

résistivité du cuivre - αM : coefficient de variation de

l’aimantation des aimants - µra : perméabilité relative des

aimants


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figure 1 : Désignation des grandeur de la machine

Pour les paramètres d’entrées, nous avons : Dext, Dar mini, Lm, e, lc, hc, bi Cem, Kp, Tm Un, Nn, δ, f, tr, q, kr, ki, kd kh, kf, km. Bd, Bcs, Bcr, Be, Kfu, µr. mvt, pmt, µrt mvai, Br, µrai, αM, pmai

Ils sont saisis par une interface graphique, voir chapitre VI et annexe V.

II.1.2. Détermination des caractéristiques de la machine

I.1.1.1. Algorithme mis en œuvre

Les paramètres de sortie sont déterminés selon l’algorithme figure 2. Il est à noter que le diamètre d’alésage est déterminé par le biais du coefficient spécifique de puissance, puis réajusté lorsque les dimensions des encoches sont connues. Les paramètres dépendant de ce premier ne sont pas réévalués, car le but n’est pas de mettre en œuvre un algorithme d’optimisation.

Dexthcs

ld

hcr

Dar/2

Da/2

lc

hc

eea

bec

dent


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Saisie du cachier des charges

Diamètre d'alésage

hauteur couronne statorique et

rotorique

longueur d'aimant

section d'encoche

diamètre d'arbrediamètre rotor

recalcul du diamètre d'alésage

nombre de spires

ampère-tours démagnétisants

largeur d'encoche

épaisseur d'aimant géométrie de l'encoche

(hauteur, ...)

diamète arbre supérieur au

minimum ?

FIN

Avertissement à l'utilisateur

non

oui

sauvegarde des résultats

figure 2 : Algorithme du programme de prédimensionnement.

I.1.1.2. Grandeurs calculées

Le programme de prédimensionnement détermine, à partir des paramètres d’entrée : • Les dimensions géométriques • Les pertes :

- Joules - fer - mécaniques

• La masse :

- des aimants - des tôles - du bobinage

• Le coût

- des aimants - des tôles - du cuivre


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- total

II.1.3. Validation

Dans le cadre de cette thèse, nous avons travaillé avec PASCOSMA (voir II.2). Celui-ci est devenu Pro-Design, qui est un outil commercialisé. Ce sont des outils de conception exploitant une approche analytique (voir chapitre I). C’est ce dernier qui a été utilisé, par un autre thésard, pour prédimensionner des structures que nous avons exploité.

Nous présentons la machine obtenue par Pro-Design [10] (figure 4) et celle issu de notre algorithme (figure 3).

figure 3 : machine obtenue par le module prédimensionnement

figure 4 : Machine issue de Pro-Design


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Nous remarquons qu’une différence apparaît au niveau de l’épaisseur de l’aimant. Ceci

provient du fait que le modèle sous Pro-Design la calcule à vide, alors que dans notre module, le champ démagnétisant est pris en compte.

Nous ne prétendons nullement que notre module a les performances de Pro-Design, mais cette comparaison montre que les dimensions obtenues par notre module sont raisonnables.

II.1.4. Mise en œuvre

L’interface graphique assurant le fonctionnement de ce module (saisie du cahier des charges, de la forme du rotor et du stator, …) est détaillée annexe IV.

Ce module ne possède pas une précision suffisante (voir chapitre II) . Nous avons alors mis

en œuvre un couplage avec l’outil logiciel PASCOSMA. En effet, dans le cadre de cette thèse, c’est avec celui-ci que nous avons développé l’interfaçage avec notre outil.

II.2. Couplage avec PASCOSMATM PASCOSMA est un outil de prédimensionnement analytique assisté par ordinateur [3] . Cet

outil logiciel permet la saisie : - d’équations modélisant le système étudié - des contraintes agissant sur ce système.

Grâce à des calculs symboliques, l’outil détermine les dimensions de ce dispositif. Obtenir une précision importante, de façon à ce que la solution obtenue soit proche de l’optimum, est possible, si l’utilisateur fournit un modèle suffisamment élaboré.

Son association à SIMAP a été permise en créant un module de conversion générant un fichier exploitable par le module de génération de géométrie et de maillage.

Le prédimensionnement effectué, il faut générer la géométrie et la mailler pour la simulation

par éléments finis.

B. GENERATION DE GEOMETRIE ET MAILLAGE

I. MISE EN ŒUVRE SOUS « MODULEF »

I.1. Description MODULEF permet de réaliser des maillages [15] . C’est un préprocesseur qui lit un fichier de

donnée contenant les mots clés définissant les actions à effectuer (par exemple « définir les contours de la figure », « effectuer une rotation », « mailler », …).

Pour notre module, nous traitons en trois séquences le domaine d’étude (qui n’est pas nécessairement la machine entière s’il existe des symétries) : le rotor, le stator et la bande de mouvement. Pour chacun d’eux, sont définis les points d’un motif élémentaire (par exemple une encoche). La position de ces points dans le plan dépend des dimensions du motif considéré, qui sont lus dans le fichier généré par le module « prédimensionnemeont » (voir chapitre II, partie A).

A partir de ces points, sont définies les lignes sur lesquelles le nombre de nœuds est précisé. Puis, le maillage peut être effectué. Les nœuds définis sur les lignes sont conservés, et


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d’autres sont ajoutés automatiquement à l’intérieur des sous domaines. Ensuite, les duplications sont effectuées sur le motif élémentaire maillé (symétrie et rotation

essentiellement) pour aboutir au domaine d’étude complet. Nous obtenons ainsi des encoches dont la forme et le maillage sont identiques.

Enfin, les différentes parties sont fusionnées. La difficulté est que les points des différentes parties subissant un collage soit parfaitement superposable (même coordonnées). Le détail est donné annexe II.

I.2. Les conducteurs La surface bobinable d’une encoche n’est pas égale à sa section, ce qui conduit à définir un

taux de remplissage égal au rapport de ces deux surfaces respectives. Dans le cas d’une modélisation des conducteurs électriques ne prenant pas en compte l’effet pelliculaire, l’encoche peut être partagée en deux parties. L’une est vide et l’autre pleine, c’est à dire que les conducteurs y sont massifs.

I.3. Les sous-domaines Les sous domaines sont repérés par un numéro, ce qui permet de leur affecter des propriétés

physiques. La numérotation est automatique, et à chaque sous domaine est affecté un numéro incrémenté de une unité par rapport au précédent ; et cela bien que chaque partie soit créée par des fichiers différents.

Les encoches sont donc constituées de deux sous domaines distincts. Une interface permet de visualiser ces numéros pour que l’utilisateur puisse leur affecter

des propriétés.

I.4. Illustration Les figure 5 à 8 précisent ce qui précède.

figure 5 : création d’une encoche, puis du stator


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figure 6 : création du rotor

figure 7 : bande de mouvement : un domaine côté rotor, un côté stator, un

domaine à l’intérieur où s’effectue le glissement

figure 8 : fusion des parties précédentes pour former le domaine d’étude complet

II. LA BIBLIOTHEQUE DE SIMAP Nous disposons actuellement de trois formes d’encoches :

aimant arbre et

culasse rotoriques


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- Rectangulaires, - Arrondies, - Trapézoïdales,

et de deux positions d’aimants : - Déposés radialement, - Insérés (aimantation tangentielle).

La figure 9 présente ces fonctionnalités. L’appel (automatique) au fichier correspondant au besoin se fait grâce aux choix effectués

dans le module « prédimensionnement » (par une interface graphique).

figure 9 : Les possibilités offertes par la bibliothèque de structure de SIMAP

III. ELABORATION DE NOUVELLES STRUCTURES Une telle possibilité est exigée par le critère 4 défini au chapitre I (évolutivité). Si ceci est

parfaitement possible, puisque MODULEF est un produit disponible gratuitement, la mise en œuvre reste délicate, et assez fastidieuse. De plus, il est nécessaire d’écrire des lignes de codes, bien que cela ne soit pas un langage informatique à proprement parlé.

Une interface dispensant l’utilisateur de toute ligne de code pour créer ses propres structures permettrait de satisfaire ce critère.

IV. APPLICATION Les données du cahier des charges et les principaux paramètres d’entrée de la machine


p.37/106

étudiée [10] sont rappelés dans le tableau 1.

Dénomination Désignation valeur Couple électromagnétique Cem 3,23 Nm

Longueur machine L 80 mm Diamètre extérieur Dext 80 mm

Tension d’alimentation Un 260V

Don

nées

issu

e du

cah

ier d

es

char

ges

Vitesse de rotation nominale Nn 3400 tr/min Jeu mécanique (entrefer) e 0,6 mm Taux de remplissage des

encoches tr 0,5

Température de fonctionnement T 80°C

Aimantation M 1,045 USI Prin

cipa

ux

para

mèt

res

d’en

trée

Nombre de paires de pôles p 3 tableau 1 : données du cahier des charges et principaux paramètres d’entrées

Nous avons opté pour des encoches trapézoïdales. Le prédimensionnement issu de PASCOSMA a donné une structure présentée figure 10.

figure 10 : Géométrie maillée de l’actionneur étudié

V. CONCLUSION Nous avons présenté dans ce chapitre les modules réalisant les fonctions de

prédimensionnement, génération de la géométrie et de maillage. Nous proposons en annexe une explication des principes utilisés dans l’élaboration des géométries.

La structure prédimensionnée, la géométrie créée et maillée, l’analyse par éléments finis

peut se faire.

- CHAPITRE IV -

SIMULATION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS &

POST-TRAITEMENT

chapitre IV – Simulation par éléments finis & post-traitement

p. 39/106

A. SIMULATION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

I. MISE EN EQUATION DE LA MACHINE – COUPLAGE CIRCUIT

I.1. Aspect magnétique Compte tenu de la présence d’aimant permanent, nous avons : ejh σ+=×∇ 0 (1)

avec :

0μ

−= rbbh (2)

où h est le vecteur champ magnétique, b le vecteur induction magnétique, br l’induction rémanente des aimants, e le vecteur champ électrique, j le vecteur densité de courant et j0 le vecteur densité de courant imposé (par une source extérieure) ; µ0 la perméabilité magnétique, ν la conductivité magnétique et σ la conductivité.

Sachant que : ab ×∇= (3) D’après l’une des équations de Maxwell :

t∂

∂−=×∇

be (4)

Nous déduisons de (4) :

e a grad= − −∂∂

ϕt

(5)

où a est le potentiel vecteur magnétique, et ϕ le potentiel scalaire électrique. Nous obtenons en remplaçant dans (1) les grandeurs obtenues dans (2) et (5) [16] :

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=∇∇

×∇+∇−−=×∇×∇

0.

.

ϕσ

νϕσ∂∂σν

rr

rrrrr0 baja

t )7(

)6(

L’invariance selon l’axe Oz, perpendiculaire au plan Oxy de l’étude, conduit au trois points

suivants : - le potentiel vecteur a n’a qu’une composante (selon Oz), - le potentiel scalaire électrique ne dépend que de la cote z et du temps t, - le vecteur densité de courant j n’a qu’une composante (selon Oz).


p. 40/106

Ceci se traduit par :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

zj

zaa

),,(),(),,(

tyxjtztyx

ϕϕ

( )( )( )

789

(8) implique que le gradient de ϕ est nul, et le potentiel scalaire électrique n’est connu qu’à une constante près, que nous choisissons égale à zéro pour simplifier les équations.

Enfin, il nous faut imposer les conditions aux limites sur le bord du domaine d’étude. Nous imposons une conditions de Dirichlet homogène (qui impose une valeur du potentiel vecteur a tangentiel : l’induction magnétique est nulle dans l’air). Cette condition a l’avantage de simplifier le problème, le rayonnement produit par le convertisseur électromagnétique n’est alors pas modélisé.

Finalement, il nous faut résoudre l’équation scalaire :

( ) 00 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

+−+ xryr by

bxt

ajadiv∂∂

∂∂

∂∂σν grad (10)

Nous notons ℜ(A) le membre de gauche, ce qui revient à résoudre ℜ(A) = 0. La

formulation dite faible est obtenue en intégrant ℜ(A) sur le domaine d’étude, noté Ω, et en multipliant par une fonction test. L’équation à résoudre est alors :

( ) 0),,( =ℜ∫∫Ω

dydxtyxAψ (11)

où ψ est une fonction test. La méthode de Galerkine consiste à choisir ψ de la même nature

que l’inconnue (A), ce que nous notons ψ = a’ 2[19] . La forme intégrale, après intégration par partie, est discrétisée en domaine élémentaires Ωe

et l’inconnue est interpolée par ses valeurs en chaque nœud appartenant à l’élément e [18] :

( ) ∑=

=en

ii

ei

e tAyxNtyxA1

)(),(,, (12)

où ne est le nombre de nœuds de l’éléments e, et :

⎩⎨⎧

=≠

=jisijisi

yxN jjei 1

0),( (13)

Nous obtenons finalement un système matriciel de la forme :


p. 41/106

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]KFdtdACAS +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+ (14)

[S] est la matrice de rigidité, [C] la matrice d’amortissement, [F] le vecteur source dû aux

courants et [K] la matrice source dû aux aimants permanents, avec :

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μ=

Ω=

Ω=

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

Ω

Ω

Ω

Ω

dy

NBx

NBK

dNJF

dNNC

dy

Ny

Nx

Nx

NS

e

e

e

e

ixr

iyri

ji

jiij

jijiij

∂∂

∂∂

σ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ν

1

(15)

I.2. Couplage à un circuit électrique extérieur Une machine est associée à une source de tension extérieure grâce à ses phases dans

lesquelles circulent un courant inconnu, contrairement à une alimentation en courant. La démarche est ici fondamentale, car nous montrons que si le problème est simple pour une phase unique, des précautions devront être prises pour les systèmes polyphasés.

Pour établir les équations, nous utilisons une phase de la machine à laquelle sont reliés une source de tension représentée par une source parfaite (E), une résistance (R), une inductance1 (L) et un élément non linéaire (γ) [17] [16] :

figure 1 : Domaine couplé à un circuit magnétique

1 elle permet de prendre en compte les têtes de bobine de la machine en plus de celle du circuit extérieur.

R L

γ U

I


p. 42/106

L’équation du circuit électrique est donc :

dtdII

dtdILIRU φγ +++= ).(. (16)

et nous rappelons l’équation de base caractérisant le milieu magnétique :

r r∇ ∇ − =ν a j0 0 (17)

Il faut maintenant exprimer J0 en fonction de I et Φ en fonction de a 2[17] :

- Le flux de j0 à travers la section des conducteurs actifs formant un enroulement n’est autre que le courant I,

- le flux Φ n’est autre que le flux total. C’est donc la circulation sur le circuit fermé défini par ces conducteurs du potentiel vecteur a à un nombre de spires près.

Nous obtenons finalement le système matriciel :

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

UK

dtdI

dtdA

LDC

IA

RDS

tλγ0

0 (18)

où [I] est le vecteur courant dans chaque phase, [L] la matrice inductance pour chaque phase, [U] la matrice source de tension pour chaque phase et [D] est la matrice de couplage telle que :

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]IDF

ADt

==Φ λ

(19)

avec λ un coefficient prenant en compte la longueur de la machine et la périodicité. [D] s’exprime, pour chaque nœud i et pour chaque phase k de l’élément e :

e

ib

sk

eik dN

Sn

Dk

k Ω= ε (20)

où εk vaut +/-1 selon l’orientation du conducteur,

ksn le nombre de spires de la phase k et

kbS la surface bobinable de la phase k.

I.3. Discrétisation temporelle du système Pour résoudre le système algébrique différentiel en temps, il faut choisir une discrétisation

temporelle. Pour les systèmes du premier ordre, on rencontre principalement trois méthodes : les méthodes d’Euler, de prédiction-correction et de type Runge-Kutta [18] . Les deux dernières nécessitent plusieurs évaluations de la fonction interpolée pour chaque pas en temps, ce qui ferait accroître les temps de calcul. Le choix portera donc sur la première.


p. 43/106

Le principe consiste à approcher la dérivée par une différence finie. Pour un vecteur X, nous avons :

dXdt

X Xt

avect t

t t t

+

+=−

≤ ≤α

αΔ

Δ

Δ

: 0 1 (21)

De plus, nous avons besoin de déterminer le vecteur à l’instant t t+α .Δ : ( ) ttttt XXX ααα −+= Δ+Δ+ 1 (22)

α = 0 correspond à la méthode d’Euler explicite, α = 1 à celle d’Euler implicite et α = 0,5 à celle de Cran-Nicholson. D’une manière générale, on parle de méthode d’Euler semi-implicite. Deux critères importants sont à étudier : la stabilité et la stabilité sans oscillation, qui dépendent de la valeur du pas en temps. La méthode d’Euler implicite est inconditionnellement stable, contrairement à son homologue semi-implicite [18] . La méthode d’Euler explicite est conditionnellement stable, et peu présenter des oscillations si le pas en temps est trop élevé, mais elle est bien moins lourde à mettre en œuvre, et nécessite moins d’itération. Pour cette raison, et malgré ses inconvénients, elle a été implanté dans le code de calcul. Ainsi, pour tout vecteur X, nous avons :

dXdt

X Xtt t

t t t

+

+=−

Δ

Δ

Δ (23)

Le système devient alors :

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] t

ttt

t IA

tLDt

tC

UK

IA

tLDt

tC

RDS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ

Δ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ

Δ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Δ+

.0

.0

0 λλγ (24)

Ce système est rendu symétrique en multipliant la seconde ligne par -Δt/λ [17] :

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] t

ttt

t IA

LDt

CtU

K

IA

LDt

CtR

DS⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−Δ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−Δ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ+−

−

Δ+ λλλλγ

0.

00

(25)

C’est la matrice entre accolade qui est inversée et qui permet d’obtenir le potentiel vecteur

en chaque nœud, et le courant dans chaque phase à l’instant t+Δt.

I.4. Résolution de ce système Notre système est symétrique mais non défini positif. Le stockage est de type profil

inférieur et la résolution se fait par la méthode de Cholesky adaptée [16] [17] .


p. 44/106

I.5. Prise en compte du mouvement Plusieurs méthodes ont été développées pour permettre la prise en compte du mouvement,

entre autres celle du macro-élément [16] et celle de la bande de mouvement [22] . C’est cette dernière qui a été choisie.

I.6. Calcul de forces La méthode des travaux virtuels est implantée dans le code de calcul. Selon le principe de

conservation de l’énergie, la variation d’énergie électrique est égale à la variation d’énergie électromagnétique emmagasinée dans la structure ajoutée à la variation d’énergie mécanique.

On obtient alors, en notant u

u∂∂

=∂ :

),( uWu Φ−∂=F (25) Cette dérivation est faite en maintenant le flux Φ constant. Cette méthode est donc adaptée à

une formulation où la continuité normale de b est vérifiée au sens fort [38] [39] [40] . La force globale obtenue permet de déterminer le couple.

I.7. Prise en compte de la saturation des matériaux Pour résoudre le système algébrique dans le cas de la saturation [31] , la méthode de

Newton-Raphson a été choisie, car elle converge en très peu d’itérations. Le modèle utilisé est la courbe b(h) de première aimantation anhystérétique du matériau.

II. ALIMENTATION DE L’ACTIONNEUR SYNCHRONE PAR UNE SOURCE QUELCONQUE

II.1. Introduction Notre objectif est de :

- Pouvoir alimenter la machine par une source de courant ou de tension de forme quelconque.

- Pouvoir alimenter la machine par un convertisseur (onduleurs et redresseurs simple et double),

- Prendre en compte l’inductance du circuit extérieur, - Réduire le régime transitoire numérique (lors d’une alimentation en tension), - Autoriser les rotors excités, - Mettre en forme le code pour en faire un module autonome.

Ce module « simulation par EF » exploite un code de calcul résultant d’une mise en forme

de [24] . Notre travail est une contribution à l’élaboration de ce programme, dans le cadre des objectifs fixés ci-dessus.


p. 45/106

II.2. Alimentation par une source de courant ou de tension Nous présenterons nos calculs pour des systèmes q-phasés, basés sur un schéma triphasé par

soucis de clarté. Le code de calcul est conçu pour traiter les cas généraux q-phasés. De plus, la source de courant est définie par des valeurs mises à jour à chaque pas en temps. Ceci ne nécessite pas de couplage comme le cas d’une alimentation par une source de tension, et ne sera pas davantage détaillé.

La prise en compte du circuit extérieur, rappelé au I.2, implique que :

1- La tension U est appliquée à une phase de la machine, 2- Le courant I est le même pour le circuit électrique et la machine.

Dans le cas d’un couplage polyphasé en étoile, deux cas se présentent :

- lors d’une alimentation par un convertisseur les neutres ne peuvent être reliés, - lors d’une alimentation par une source de tension triphasée étoile, les neutres

ne sont généralement pas reliés. Dans ces conditions, la tension U ne peut pas être appliquée à une phase, ce qui est contraire

à l’hypothèse 1. Dans le cas d’un couplage série, le courant de phase et de ligne sont différents, ce qui est en

contradiction avec l’hypothèse 2. Nous allons présenter les solutions mise en œuvre pour chaque couplage.

II.2.1. Machine couplée en étoile alimentée par une source de tension en étoile

Nous allons établir la structure de la matrice [R+γ], ainsi que [L]. Pour cela, nous établissons nos calculs à partir du schéma de la figure 2, sans considérer le composant γ car aucun composant semi-conducteur n’intervient dans ce mode d’alimentation.

figure 2 : Coulage de l’actionneur à une source de tension triphasée

Les composants Ri et Li modélisent les imperfections de la ligne mais aussi de chaque phase

de la source et de l’actionneur.

L1

L2

L3 R3

R2

R1

U1

U2 U3

E3

E1

E2

I1

I2

I3

source de tension machine synchrone

IN RN


p. 46/106

RN a une valeur théoriquement infinie. Dans le programme, nous prenons une valeur de 1020Ω, de façon à ce que le courant la traversant soit négligeable devant les autres courants du circuit.

Nous introduisons une inconnue supplémentaire (IN), ce qui oblige à ajouter une équation dans le modèle du circuit électrique. Nous avons alors :

{ }

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

∈=−−−−

∑=

0

,...,2,10

1N

q

ii

NNii

iiii

II

qiIREdtdILIRU

(26)

En approximant la dérivée par une différence finie, comme précédemment, nous avons sous

forme matricielle :

[ ] [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ][ ]tttt

tt ItLADIt

LRU Δ−=−Δ+− Δ+Δ+ λ (27)

Avec, pour les matrices non déjà définies :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

3

2

1

qU

UUU

UM

(28)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Δ+

N

q

tt

II

III

IM3

2

1

(29)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

11111000

0000000000000

3

2

1

L

L

O

L

L

L

Nq

N

N

N

N

RRRRRRRRR

R (30)


p. 47/106

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000000000000000000000000

3

2

1

L

L

O

L

L

L

qL

LL

L

L (31)

Nous voyons que la matrice [R] n’est pas symétrique. Pour palier ce problème, il suffit de

multiplier la dernière équation par RN. Nous obtenons alors :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

NNNNN

Nq

N

N

N

N

RRRRRRRRRRRRRR

R

L

L

O

L

L

L

0000000000000000

3

2

1

(34)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000000000000000000000000

3

2

1

L

L

O

L

L

L

qL

LL

L

L (35)

Les valeurs à chaque instant de la tension ou du courant sont enregistrées dans un fichier créé par une interface. Celle-ci sera présentée intégralement au chapitre VIII.

II.2.2. Couplage polygonal des phases de la machine

Le schéma est conforme à la figure 3.


p. 48/106

figure 3 : couplage de la machine en polygone

Cette fois, la tension simple Ui n’est pas appliquée à une phase de la machine synchrone.

Prendre les courants Ji pour inconnues conduit à un système symétrique. La mise en équation donne :

( ) ( )

( ) ( ) 011

111

11

=−−

+−+

−−+−

−−−

++

+++

−−

iii

iiiiiim

iimiii

iiiii

Udt

JJdLJJRJL

JREdt

JJdLJJRU (36)

avec : { }qi ,...,2,1∈ (37) et en prenant pour convention :

⎩⎨⎧

==−==+

1111

isiqiqisii

(38)

Pour déterminer les courants de lignes, nous avons :

{ }qiJJI iii ,...,2,11 ∈−= − (39) avec la même convention.

Sous forme matricielle, nous obtenons la même équation que précédemment, en l’exprimant avec les courants de phase de la machine Ji (qui sont des inconnues) :

[ ] [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ][ ]tttt

tt JtLADJt

LRU Δ−=−Δ+− Δ+Δ+ (40)

I C J= (41)

L1

L2

L3 R3

R2

R1

U1

U2 U3

E3

E1

E2

I1

I2

I3

source de tension machine synchrone

J1

J3

J2

Rm3

Rm1

Rm2 Lm2

Lm1

Lm3


p. 49/106

avec :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

1

43

32

21

UU

UUUUUU

U

q

L

(42)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Δ+

q

tt

J

JJJ

JL

3

2

1

(43)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=

1100000001100001100001110001

OOOO

O

O

O

L

C (44)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−−

++−−++−

−++−−−++

=

mqqq

q

m

m

m

m

RRRRRR

RRRRRRRRR

RRRRRRRRRR

R

11

5544

43433

32322

12121

000000

0000000

00

OO

O

O

O

L

(45)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−−

++−−++−

−++−−−++

=

mqqq

q

m

m

m

m

LLLLLL

LLLLLLRRL

LLLLLLLLLL

L

11

4544

43433

32322

12121

000000

0000000

00

OO

O

O

O

L

(46)

Nous remarquons que les matrices [R] et [L] sont symétriques.


p. 50/106

II.3. Machine alimentant un convertisseur alternatif-continu non commandé.

II.3.1. Introduction

Trois types de convertisseurs alternatif-continu non commandé peuvent être recensés : - Pour les deux premiers, la machine, qui est ici la source, est couplée en étoile.

On rencontre les ponts redresseurs simples (P) et doubles (PD), - Pour le troisième, la machine est couplé en polygone. Les ponts redresseurs

sont dits séries (S). Seuls les deux premiers ont été implantés. Le modèle pour les composants électroniques de

puissance sont modélisés très simplement par une résistance faible à l’état passant et très élevée à l’état bloqué.

II.3.2. Ponts simples

Le pont simple a été implanté, qui servira principalement à la phase de test et de validation. Un actionneur a été pré-dimensionné, et analysé grâce au module de simulation par éléments finis [37] .

Le schéma est conforme à la figure 4. Nous avons conservé les mêmes conventions en ce qui concerne les courants et tensions de phases, pour que les vecteurs implantés dans le code de calcul gardent la même signification.

figure 4 : Pont simple alimentant une charge E, R, L. Cas du triphasé

Cette fois, la résistance RN a une valeur nulle, le neutre est relié. Les diodes sont modélisées par une résistance de faible valeur à l’état passant et de forte

valeur à l’état bloqué. L’état dépend du signe du courant dans le composant. Nous pouvons établir les relations suivantes :

γ1 L1

L2

L3 R3

R2

R1

U1

U2 U3

Ech

I1

I2

I3

charge

machine synchrone

IN RN

γ2

γ3

Rch

Lch

Ich


p. 51/106

{ }

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

++=

=

∈=+−+++

∑=

Nch

chch

chchchch

q

iNi

NNchiiiiiii

II

Edt

dILIRV

II

qiIRVILIIRE

1

,...,2,10γ

(47)

Sous forme matricielle, nous obtenons :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

N

q

II

II

I M2

1

(48)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

2

1

qE

EE

E M (49)

[ ]

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+++++++++++++

=+

chNchNchNchNchN

chNqq

chN

chN

chN

chN

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

R

L

OOMM

MO

L

L

γ

γγ

γ

γ

00000

00000000

33

22

11

(50)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

chchchchch

chq

ch

ch

ch

ch

LLLLLLLLLLLLLL

L

L

OOMM

MO

L

L

00000

00000000

3

2

1

(51)


p. 52/106

Cette fois encore, les matrices [R+γ] et [L] sont symétrisées après avoir multiplié la deuxième équation par RN + Rch et Lch, respectivement.

Le pont simple inférieur s’obtient de façon analogue et ne sera donc pas détaillé. Il a été implanté dans le code de calcul.

Nous avons effectué une simulation avec une charge purement résistive, de valeur 25Ω. Les

courants dans les diodes sont donnés figure 5. A titre de comparaison, une simulation avec le logiciel Simplorer a été effectuée. Pour cela, nous avons simulé l’actionneur en faisant débiter la machine sur une charge linéaire triphasée purement résistive, ainsi que la fem à vide. Nous avons obtenu Lc = 70mH (inductance cyclique) et E = 237V.

Les valeurs simulées ont été implantées dans le modèle utilisé sous Simplorer (figure 6). Les courants négatifs sont liés à la convention choisie (convention moteur pour

l’actionneur), alors qu’il est générateur. Nous remarquons également la présence d’un régime transitoire numérique (du au fait que

le potentiel vecteur en chaque nœud est initialement nul) ; ainsi que la commutation de chaque diode qui n’a pas lieu exactement au passage par zéro du courant, car le pas en temps est fixe. Ceci se traduit par une surtension importante au niveau de la tension (en charge) de l’actionneur (figure 5). Pour remédier à ce problème, un pas en temps variable, évalué par une extrapolation linéaire, serait une solution intéressante.

Le phénomène d’empiètement (conduction simultanée des diodes) est également très visible et conforme à la simulation sous Simplorer (figure 7).

figure 5 : Courant dans les diodes du pont P3, charge purement résistive


p. 53/106

figure 6 : Modèle de la machine sous Simplorer

figure 7 : courant dans les diodes. Simulation à l’aide de SIMPLORER

Nous remarquons que les allures des courants sont semblables, au régime transitoire près. Le phénomène d’empiètement est du même ordre de grandeur.

Le phénomène de commutation n’est pas visible, car le pas en temps est très petit, et la diode ne possède pas de modèle dynamique relatif au courant de recouvrement inverse.

II.3.3. Ponts doubles

Ce cas n’a été traité que pour le triphasé, pour un actionneur spécial (voir annexe II). Le principe consiste à associer deux ponts redresseurs simples, l’un étant à anodes communes (supérieur), l’autre à cathodes communes (inférieur). Le schéma est conforme à la figure 8.


p. 54/106

figure 8 : schéma du pont double, permettant d’aboutir à un système d’équations symétrique

L’indice « s » correspond au pont supérieur, l’indice « i » au pont inférieur. La résistance

RN à une valeur théoriquement infinie, et égale à 1020Ω dans le code. Le système d’équations est le suivant :

L1

L2

L3 R3

R2

R1

U1

U2 U3

Vchi

I1

I2

I3

charge

machine synchrone

IN RN

γs2

γs3

Rch/2

Lch/2

Ichs

γi3

γi2

γi1

γs1 Iγs1

Iγi1

Iγs2

Iγi2

Iγs3

Iγi3

Ichi

Rch/2

Lch/2

Ech/2

Ech/2


p. 55/106

{ }

222

222

0

0

3,2,1

1

chchichich

chich

chchschsch

chsch

q

kNk

ichNsch

NNichiik

kkkk

NNschsk

kkkk

ikikk

Edt

dILIRV

Edt

dILIRV

II

III

IRVIRdtdILIRU

IRVIRdtdILIRU

kIII

s

++=

++=

=

=+

=+++++

=+−−++

∈−=

∑=

γγ

γ

γγ

γ

(52)

Les inconnues sont ici les courants dans les composants semi-conducteurs et le courant de neutre. Nous obtenons sous forme matricielle :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

++

++

++

++

++

++

=+

NNNNNNN

Nch

ichch

Nchch

ich

Nchchch

i

Nch

schch

Nchch

sch

Nchchch

s

RRRRRRR

RR

RRR

R

RRR

RR

R

RRRR

RR

RRR

RRR

RRRR

RR

RRRRR

R

R

22200

22200

22200

00222

00222

00222

333

222

111

333

222

111

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

(53)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

=

0000000

0222

00

0222

00

0222

00

000222

000222

000222

33

22

11

33

22

11

chchch

chchch

chchch

chchch

chchch

chchch

LL

RRR

LRL

RR

LLLLR

LL

LLL

LLR

LR

LLLL

L

L

(54)


p. 56/106

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

N

i

i

i

s

s

s

IIIIIII

I

3

2

1

3

2

1

γ

γ

γ

γ

γ

γ

(55)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

03

2

1

3

2

1

EEEEEE

E (56)

Nous présentons un résultat de simulation concernant les courants dans les phases de

l’actionneur (le même que précédemment) (figure 9), ainsi qu’une simulation avec Simplorer (le modèle de la machine restant inchangé) (figure10).

figure 9 : courant dans les phases de la machine


p. 57/106

figure 10 : simulation sous Simplorer de la machine débitant dans un pont PD3.

Les amplitudes crêtes à crêtes de la figure 9 correspondent à celles de la figure 10. Le

régime transitoire numérique de la simulation par éléments finis

II.4. Machine associée à un convertisseur alternatif-continu ou continu-alternatif

II.4.1. Généralités

Ce travail s’inscrit dans une démarche de généralisation du mode de fonctionnement de l’actionneur (alternateur ou moteur) et de la charge (source ou charge) d’une part ; et de la nature du convertisseur associé d’autre part (onduleur de tension, commutateur de courant, redresseur). De plus, nous exigeons que le code de calcul puisse traiter des actionneurs possédant un nombre de phase quelconque (mais fixé, pour chaque application). Nous pensons ainsi couvrir une part très importante des applications utilisant des machines synchrones pilotées par un convertisseur.

Compte tenu de ce qui précède, notre choix s’est porté sur un interrupteur conforme au schéma de la figure 11 et dont les propriétés sont définies ci-après.

figure 11 : interrupteur utilisé dans le module EF


p. 58/106

Ces interrupteurs seront associés en bras de pont pour former un convertisseur (figure 12).

figure 12 : association d’interrupteurs pour former un convertisseur

Différentes configurations sont possibles pour chaque interrupteur, de façon à modéliser les divers convertisseurs (onduleurs de tension, commutateurs de courant, redresseurs en pont complet ou demi pont). Deux possibilités sont à distinguer :

• Un interrupteur peut être démunie de tout composant. Si ce sont les cellules du pont à anodes communes qui sont ainsi configurées, le convertisseur modélisé sera un redresseur en demi pont à cathode communes.

• Un interrupteur peut comporter un composant commandable et une diode en anti-parallèle. Dans ces conditions, plusieurs modes de commande de l’interrupteur sont à distinguer.

- Si l’interrupteur est commandable à la fermeture uniquement, le convertisseur modélisé est un commutateur de courant,

- Si l’interrupteur est commandable à l’ouverture et la fermeture, le convertisseur est un onduleur de tension.

- Enfin, s’il est commandable ni à l’ouverture, ni à la fermeture, le convertisseur n’est autre qu’un pont redresseur.

II.4.2. Modélisation des composants

Pour optimiser l’ensemble machine-convertisseur, il est nécessaire de modéliser les composants de puissance assurant la conversion d’énergie tant en conduction qu’en commutation. Dans ce premier cas, le modèle doit prendre en compte la nature du composant, bipolaire (diode bipolaire, IGBT, thyristor, thyristor GTO) ou résistif (MOS), ainsi que sont état.

Nos adoptons la convention suivante pour une cellule K (figure 13) :

figure 13 : convention tension/courant pour une cellule K

vk

ik


p. 59/106

I.1.1.3. Les composants de puissance en conduction

A l’état passant, ils présentent une caractéristique uk(ik) exponentielle, que l’on modélise généralement par une source de tension (que nous notons vK0) en série avec une résistance, dit résistance dynamique (que nous notons rK). Ce modèle n’est toutefois suffisant que pour des valeurs de courant inférieures à deux fois le courant nominal du composant ; au delà, un modèle à deux pentes s’avère préférable en terme de précision.

Notre choix s’est porté sur le premier modèle, car son implantation est nettement plus simple. Cependant, nous envisageons l’implantation du second dans un avenir proche.

Les transistors à effet de champ, dont seule la version à grille isolée est utilisée en

électronique de puissance, présente une caractéristique purement résistive à l’état passant. La tension vk0 sera donc nulle pour ce type de composant.

A l’état bloqué, le modèle des composants bipolaire et MOS est une résistance élevée et

constante. Les effets de la température ne sont pas pris en compte.

I.1.1.4. Commutation des composants de puissance

Les phénomènes de commutation auxquels sont soumis les composants de puissance à l’ouverture et à la fermeture est très petite, de l’ordre de quelques centaines de nanosecondes, voire quelques microsecondes pour les IGBT et les diodes bipolaires ; et de quelques centaines de microsecondes à quelques milliers pour les thyristors et GTO. Le pas en temps nécessaire à la modélisation de ces phénomènes rendrait notre outil inexploitable, tant les durée de simulation deviendrait importantes.

De plus, l’amplitude et la durée des phénomènes de commutation dépend, entre autres, de la température et de la rapidité d’amorçage des composants commandables ; ce qui accroît la difficulté de la modélisation, et augmenterait encore la durée de simulation.

I.1.1.5. Modélisation de la cellule

Les chutes de tension à l’état passant des interrupteurs de puissance généralement faible devant la tension de la source et de l’actionneur, peuvent devenir non négligeable lors d’une alimentation sous faible tension (par un groupe de batterie d’accumulateur, qui ne dépasse guère 45V en charge). Par contre, les phénomènes de commutation perturbent peu l’actionneur.

En conséquence, le module EF ne modélise les composants de puissance qu’en conduction, et les phénomènes de commutation seront simulés par le module post-traitement.

Nous rentrons les trois cas suivants, en ce qui concerne la topologie de la cellule, et qui

conduit à son modèle :

- IK ≤ 0 : la diode (si elle est présente) conduit - si IK > 0, deux cas se présentent. Si le composant est :

• commandé, il est conducteur, • non commandé, il est bloqué.

Si l’on note avec un indice D les grandeurs relatives à la diodes, et avec un indice T celles

relatives au composant commandable, les modèles sont alors conformes à la figure 14.


p. 60/106

figure 14 : modèle de la cellule selon les trois cas envisagés

Le modèle général de la cellule est alors celui de la figure 15. La valeur des éléments dépendra des conditions précitées.

figure 15 : Modèle général de la cellule

II.4.3. Modélisation de l’ensemble convertisseur-actionneur

L’ensemble actionneur-convertisseur est conforme au schéma de la figure 16. L’indices 1 représente la partie supérieure, l’indice 2 la partie inférieure. Les phases sont numérotées de 1 à q.

rDi rTi

rT

vT0vD0

rD

IK < 0 IK > 0, T conducteur IK > 0, T bloqué

vK

iK

vK0

rK


p. 61/106

figure 16 : actionneur synchrone associé à un convertisseur. Le nombre de phases est quelconque, mais

fixé pour chaque application

Pour aboutir à un système d’équations symétrique, les inconnues sont les courants dans les

cellules et le courant dans le neutre. Ainsi, nous avons :

L1

L2

L3 R3

R2

R1

Vch2

I1

I2

I3

charge

/

source

machine synchrone

IN RN

Rch/2

Lch/2

Ich1

Ich2

Rch/2

Lch/2

Ech/2

Vch1 IK1 IK1 IK1

IK2 IK2 IK2

Ech/2

VK11VK12 VK13

VK21 VK22 VK23


p. 62/106

{ }

{ }

{ }

222

222

.

.

,...,2,1

,...,2,10

,...,2,10

222

111

122

111

21

02

01

2

11

222

111

21

1

chchchch

chch

chchchch

chch

q

kchk

q

kchk

Nchch

KKKiK

KKKiK

KKi

NNchKi

iiii

NNchiKi

iiii

Edt

dILIRV

Edt

dILIRV

II

II

III

IrKV

IrKV

qiIII

qiIRVVdtdILIRE

qiIRVVdtdILIRE

iii

iii

ii

i

−+=

++=

=

=

−=+

+=

+=

∈−=

∈=+−−++

∈=+−+++

∑

∑

=

=

(57) En prenant les courant dans les cellules et dans le neutre pour inconnues, nous obtenons :

( ) ( )

( ) ( ) { }qi

III

VEIRdt

dILIR

Irdt

IIdLIIRE

VEIRILIR

Irdt

IIdLIIRE

q

kN

q

kkk

Kch

NN

q

j

Kchq

jK

ch

KKii

iiiii

Kch

NN

q

jK

chq

jK

ch

KKii

iiiii

i

j

j

ii

ijj

ii

,...,2,1

222

222

1 121

011

2121

01

'

1

2121

2

2

2

22

111

11

∈

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=++

++−

+−+

+=++

++−

+−+

∑ ∑

∑∑

∑∑

= =

==

==

(58)

Sous forme matricielle, le vecteur courant a pour expression :


p. 63/106

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

N

q

q

II

III

II

I

2

22

21

1

12

11

M

M

(59)

La matrice [R] s’exprime alors de la façon suivante :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

−−−

−++

−++

−++

=

NNNNNNN

Nch

qKqchch

Nch

Nchch

Kch

Nchchch

K

Nqch

Kqchch

Nch

Nchch

Kch

Nchchch

K

RRRRRRR

RR

rRRR

R

RR

RRR

rRR

R

RRRR

rRR

RRR

rRRR

RR

RRRR

rRR

RRRRR

rR

Rq

LL

LL

OOMOOM

OO

LL

LL

OOOM

OO

LL

22200

20

22200

22200

00222

0002

00222

00222

21

2221

2111

22

11

1

12

11

(60)

Elle n’est malheureusement pas symétrique. Pour y remédier, il faut modifier le vecteur inconnu des courants, et considérer :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

N

qK

K

K

qK

K

K

II

III

II

I

2

22

21

1

12

11

M

M

(61)

La matrice [R] devient donc :


p. 64/106

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−

−−−−−−

−−−−−

−++−

−

−−++−

−−−−−−

=

NNNNNNN

Nch

qKqchch

Nch

Nchch

Kch

Nchchch

K

Nqch

Kqchch

Nch

Nchch

Kch

Nchchch

K

RRRRRRR

RR

rRRR

R

RR

RRR

rRR

R

RRRR

rRR

RRR

rRRR

RR

RRRR

rRR

RRRRR

rR

Rq

LL

LL

OOMOOM

OO

LL

LL

OOOM

OO

LL

22200

20

22200

22200

00222

0002

00222

00222

21

2221

2111

22

11

1

12

11

(62)

Et la matrice [L] :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

=

000000000

02

0000000

002

000

0002

00

0002

0000000

00002

0

000002

12

11

1

22

11

chqq

ch

ch

qch

ch

ch

LLL

LLL

LLL

LL

L

LL

L

LL

L

L

LL

OOMOOM

OO

LL

LL

OOOM

OO

LL

(63)

Enfin, pour la matrice [E] :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

+−

−

−

−

02

2

2

2

2

2

2

22

21

12

11

qKch

Kch

Kch

Kqch

Kch

Kch

VE

VE

VE

VE

VE

VE

M

M

(64)

II.4.4. Validation

Nous présentons quelques simulations pour valider le code implanté. Nous avons mis en œuvre une interface pour générer la plupart des signaux de commande des interrupteurs et d’alimentation directe par une source (voir annexe III).


p. 65/106

I.1.1.6. Alimentation en pleine onde

Nous avons représenté la tension aux bornes d’une phase de la machine (figure 17). L’allure du courant est conforme au modèle théorique [23] (figure 18).

figure 17 : tension aux bornes d’une phase de la machine

figure 18 : courant dans la phase de la machine


p. 66/106

I.1.1.7. Alimentation en MLI naturelle

Le principe repose sur l’approximation d’une onde sinusoïdale par un signal de forme rectangulaire ; et ce, en valeur moyenne sur un intervalle de temps petit devant la période de cette onde. Sur chaque intervalle de temps, la valeur moyenne de l’onde sinusoïdale varie, ce qui conduit à faire varier le rapport cyclique du signal rectangulaire : on parle alors de modulation de la largeur de l’impulsion.

Le signal MLI naturel a été obtenu en comparant un signal triangulaire à une sinusoïde. Le rapport des fréquences et des amplitudes définissent l’indice de modulation (m) et la profondeur de modulation (r), respectivement. Ils sont réglables par l’interface.

Les allures de la tension et du courant sont données figures 19 et 20, avec m = 20 et r = 0,8.

figure 19 : Signal MLI naturel appliqué à l’actionneur

figure 20 : Courant dans une phase de l’actionneur


p. 67/106

II.4.5. Réduction du régime transitoire

Nous souhaitons simuler des actionneurs pour un point de fonctionnement donné. Afin de réduire les temps de calcul, l’élimination du régime transitoire est un atout précieux. Or, pour cela, il serait nécessaire de connaître l’état magnétique de la machine et les courants de phase qui existeraient si l’actionneur était en régime permanent. L’élimination du régime transitoire est donc impossible, mais on peut le réduire en prédéterminant ces grandeurs de façon approchée.

Pour aboutir au résultat escompté, un code élément fini avec une formulation dans le domaine fréquentiel pourrait être utilisé. Un unique point de calcul pour la fréquence d’alimentation de la machine permettrait de déterminer avec une bonne approximation l’état initial recherché. Nous avons préféré utiliser un modèle analytique de Ben-Echenbourg conduisant à la détermination des grandeurs recherchées.

Nous avons implanté une méthode plus rapide, qui consiste en un modèle de Ben-

Echenbourg dont les élément sont déterminés analytiquement à partir des dimensions de la machine (issu du module de pré-dimensionnement). Nous déterminons alors l’inductance cyclique Lc, la résistance par phase, la fem à vide E, et les déphasages grâce auxquels nous déduisons le courant initial. Ensuite, un calcul unique par éléments finis permet de déterminer l’état magnétique initial de la machine.

La figure présente un calcul avec (figure 22) et sans (figure 21) réduction du régime

transitoire.

figure 21 : Simulation sans réduction du régime transitoire (alimentation en tension sinusoïdale)


p. 68/106

figure 22 : Simulation avec réduction du régime transitoire (alimentation en tension sinusoïdale)

II.4.6. Actionneurs à rotors excités

La possibilité d’intégrer de nouvelles structures fait parti du cahier des charges de notre outil. Le module EF doit donc permettre de les simuler. Les actionneurs à rotor excités est une fonctionnalité qui a été ajoutée à notre outil et a été utilisée dans [71] . Le courant continu peut être défini par des ampères-tours ou une densité de courant (voir annexe III).

III. FONCTIONNEMENT DU MODULE « SIMULATION PAR ELEMENTS FINIS »

Ce module est indépendant. Les propriétés de l’actionneur à simuler et de son convertisseur sont décrites dans un fichier au format imposé, constitué de mots clés désignant :

- les propriétés physiques de la machine, - les caractéristiques des aimants, - les propriétés des algorithmes de résolution, - les caractéristiques des composants électronique de puissance, - la nature du convertisseur.

Les principales caractéristiques de ce module sont présentées annexe III.


p. 69/106

IV. APPLICATION La structure prédimensionnée et maillée au chapitre III (figure 23) est alimentée en

créneaux de courants.

figure 23 : La structure prédimensionnée sur laquelle les calculs EF sont effectués

L’ensemble des grandeurs calculées par le module peuvent être représentées graphiquement.

Une interface a été élaborée à cet effet. Sur la figure 24, nous avons présenté le courant dans la phase 1, et la tension induite à ces bornes ; ainsi que le couple et la distribution du potentiel vecteur.


p. 70/106

figure 24 : quelques exemples de tracés

Nous proposons en annexe III une description détaillée de ce module.

B. LE POST-TRAITEMENT

I. INTRODUCTION Le module EF détermine le courant dans chaque phase, et le potentiel vecteur en chaque

nœud, et ce, pour chaque pas de calcul. Il serait donc raisonnable que le fichier de sortie donne accès directement à ces grandeurs, et de laisser au module post-traitement le soin de calculer les flux, pertes, … Malheureusement, le nombre de nœuds est très important (quelques milliers), si bien qu’un tel fichier aurait une taille de plusieurs dizaine de mégaoctets.

De nombreux calculs sont donc effectués par le module EF, et le module post-traitement détermine grandeurs moyennes, efficaces, ondulation, harmoniques, …


p. 71/106

II. PRESENTATION

II.1. Fonctionnalités Les grandeurs que le module peut calculer sont les suivantes : • Tension :

- valeur efficace - valeur moyenne - harmoniques - Crète

• Courant :

- Efficace - Crète

• Couple : - moyen - ondulation (max – min) - ondulation relative à la valeur moyenne - harmoniques

- Erreur quadratique : ( )

∑=

−N

i imp

impi

CCC

1

2

, Cimp étant le

couple imposé. • Pertes :

- Joules - fer

II.2. Mise en œuvre Le choix des grandeurs à calculer se fait par une boite de dialogue dynamique, qu’il est ainsi

facile à enrichir pour de nouvelles fonctionnalités. Le fichier de sortie contenant les calculs est aisément lisible grâce à ces mots clés explicite (voir annexes).

C. CONCLUSION

Dans ce chapitre, les fonctionnalités du module « simulation par éléments finis » et « post-traitement » ont été présentées. Le premier prend en compte des machines ayant un couplage en étoile ou polygonal ; elles peuvent être associées à divers types de convertisseurs (redresseurs, onduleurs, commutateurs de courants, source de tension ou source de courant). Ce module ne modélise les composants électroniques de puissance qu’en conduction, la prise en compte de la commutation impliquerait un pas en temps très faibles ce qui entraînerait des durées de simulations inacceptables.

Le second module effectue des calculs post-traitement, mais ne réclamant pas le fichier contenant les solutions du potentiel vecteur en chaque nœud et pour chaque pas en temps, car celui-ci aurait une taille trop importante. Pour cette raison, c’est également cette unité EF qui effectue un certains nombres de calcul post-traitement, comme le flux ou les tensions induites.

- CHAPITRE V -

ANALYSE DE SENSIBILITE & OPTIMISATION

chapitre V – Analyse de sensibilité et optimisation

p. 73/106

A. LE MODULE « ANALYSE DE SENSIBILITE »

I. INTRODUCTION Au chapitre II, nous avons mis en évidence la nécessité d’identifier les facteurs les plus

influents sur une fonction objectif avant d’effectuer l’optimisation. Ceci permet en effet de réduire le nombre de paramètres étudiés, et donc les temps de calculs.

Les plans d’expériences possèdent de nombreuses qualités exploitées dans ce module : une stratégie expérimentale rigoureuse, un nombre de facteurs étudiés importants avec un nombre limité d’expériences, ainsi qu’une possibilité d’utilisation automatique et donc transparente pour l’utilisateur.

II. ETUDE DE SENSIBILITE PAR LES PLANS D’EXPERIENCES

II.1. Présentation

II.1.1. Généralités

Une étude de sensibilité consiste à déterminer les facteurs les plus influents sur la réponse d’un système. Pour cela, le système est modélisé par une fonction simple, généralement un polynôme de degré N, dont la valeur doit être élevée si l’on veut une bonne précision. Dans cette expression apparaissent les monômes de chaque paramètre jusqu’à l’ordre N, ainsi que les combinaisons entre tous les facteurs et pour toutes les puissances de 1 à N. Toutefois, le modèle proposé devient inexploitable lorsque le nombre de paramètres et l’ordre sont supérieur à quelques unités chacun.

Ainsi est-on réduit à simplifier le modèle en ne considérant que les monômes d’ordre 1 et les combinaisons entre paramètres. La fonction s’écrit alors :

( )

nn

nnnnnn

nn

nn

nnnn

nn

nn

nnn

xxxa

xxxa

xxaxxxaxxxaxxxaxxxaxxxa

xxa

xxaxxaxxaxxaxxaxxa

xaxaxaaxxxF

......

......

...

......

......,...,,

21...12

1212

223532235432234

2112421124321123

11

2242243223

1131132112

2211021

+

+

+++++++++

+

++++++++

++++=

−−−−

−−

(1)

Le nombre de coefficients reste cependant important et le modèle valable localement uniquement.

Les plans d’expériences permettent une identification des coefficients [26] [36] , mais nous ne les exploitons que pour déterminer les facteurs les plus influents ; celle-ci ne sera donc pas


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menée. De plus, une réduction du nombre d’essais nécessaires, sous des conditions parfaitement définies, et des risques clairement identifiés, est envisageable [34] .

Nous exposons dans ce qui suit les notions fondamentales, puis la mise en œuvre à laquelle nous avons procédé.

II.1.2. Définitions & notations

- Facteur : paramètre continu ou discret pouvant varier dans un intervalle donné, et qui agit sur le système étudié. Le nombre de facteurs considérés dans une expérience est noté Nf. Ce sont dans notre cas les paramètres du système à optimiser.

- Niveau : nombre de valeurs que peut prendre un facteur dans un intervalle donné. Les niveaux ne sont pas représentés par les valeurs dans l’expérience, mais par un entier prenant une valeur comprise entre 1 et le nombre de niveaux, ce qui établit une échelle linéaire entre les valeurs minimale et maximale du niveau du facteur considéré.

- Désignation d’un plan d’expériences : N N f , où N est le nombre de niveau des facteurs, et Nf le nombre de paramètres. Si tous les facteurs n’ont pas le même nombre de

niveaux, soient N1 et N2, on le note N NN Nf f1 2

1 2× , où Nf1 et Nf2 sont le nombre de facteurs à N1 et N2 niveaux, respectivement.

- Réponse : grandeur que l’on mesure, relative au système étudié, dont la valeur dépend de celles des paramètres. Pour chaque expérience, la réponse est notée R(i).

- La moyenne générale, notée M, a pour expression : -

∑=

==exp

1exp

)(1)(N

iiR

NiRM (2)

où Nexp est le nombre d’expériences réalisées. - On considère également une moyenne ne mettant pas en jeu toutes les expériences,

mais seules celles dont le niveau d’un des facteurs Fk est à un niveau donné j. Nous notons cela :

R F jk( )= (3) - Interaction : on parle d’interaction entre facteurs lorsque l’influence d’un facteur sur la

réponse du système dépend de la valeur d’un ou plusieurs autres facteurs. Par exemple, soit une fonction ayant pour expression 212121 .),( xxxxxxf ++= . 21 xetx sont des facteurs et 21.xx est une interaction.

- Action : c’est ce qui agit sur la réponse d’un système. Il peut donc s’agir d’un facteur ou d’une interaction. Le nombre de niveaux d’une interaction est égal au produit des niveaux des actions qui la compose. Dans l’exemple précédent, 2121 ., xxetxx sont des actions. Les deux premières ont deux niveaux, la dernière quatre niveaux.

- Ordre d’une interaction : une interaction entre n facteurs est dite d’ordre n. - Effet : il mesure l’influence d’une action sur la réponse du système. - Orthogonalité de deux actions : deux actions sont dites orthogonales lorsque dans une

série d’expériences, il est possible de déterminer l’effet de chaque action sans ambiguïté. Ceci est à opposer aux cas où l’effet d’une action est confondu avec celui d’une autre action. On parle alors d’ « alias ».

- Degré de liberté : c’est le nombre d’effets indépendants pour une action donnée. La


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somme de tous les effets (c’est à dire pour chaque niveau du plan) d’un facteur est nulle. Le degré de liberté est donc égal au nombre de niveaux du facteur décrémenté de 1.

Dans ce qui suit, nous allons présenter les plans factoriels et fractionnaires. Nous

illustrerons nos propos par un exemple dans lequel est considéré un système dont la réponse dépend de trois facteurs, chacun ayant deux niveaux.

II.1.3. Les plans factoriels

I.1.1.1. Définition

Un plan factoriel n’est autre que l’étude de toutes les combinaisons des facteurs pris en compte dans l’expérience, et ce, pour tous les niveaux, relatifs à chaque facteur. Le nombre d’expériences à réaliser est alors :

( )∏=

=g

k

pk

kNN1

exp (4)

où Nk est le nombre de niveaux des facteurs pk, et g le nombre de groupes de facteurs ayant des niveaux différents.

Ainsi, pour les plans factoriels, il existe toujours deux expériences dont tous les facteurs sont au même niveau, sauf un et seulement un. On comprend alors pourquoi il est aisé de déterminer les effets de chaque facteur ; et nous verrons que cela permet également de déterminer d’éventuelles interdépendances entre facteurs.

I.1.1.2. Effet d’un facteur

L’effet d’un facteur Fi est la moyenne des réponses obtenues pour chaque niveau j de ce facteur, ce que nous notons E Fi (j). La relation permettant de déterminer cette valeur est :

E R F j MF j ii ( ) ( )= = − (5)

I.1.1.3. Interactions entre facteurs

La modélisation d’un système par la moyenne de ses réponses M et par les effets (moyens) de tous les facteurs pour chaque niveau est insuffisant pour décider de conserver ou non un paramètre pour l’optimisation. Ainsi est-on amené à considérer les interactions entre facteurs.

Une interaction entre deux facteurs Fi et Fj n’est autre que l’écart entre la moyenne des réponses lorsque les facteurs sont à un niveau donné, et les effets moyens de ces facteurs. La relation est, pour une interaction d’ordre deux :

I R F k F l M E EF k F l i j F k F li j i j( ) ( ) ( ) ( )( ; )= = = − − − (6)

I.1.1.4. Exemple

Nous prenons pour exemple la fonction F dépendant de trois variables A,B et C :

BCACABCBACBAF +++++= 7335),,(


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Les facteurs A, B et C varient dans les intervalles suivants :

[ ] [ ] [ ]5;16;25;1 ∈∈∈ CBA

Le plan factoriel est donné tableau 1.

N° expérience 3 facteurs réponse i A B C Y(i)

1 1 1 1 27 2 1 1 2 67 3 1 2 1 55 4 1 2 2 111 5 2 1 1 99 6 2 1 2 251 7 2 2 1 175 8 2 2 2 343

tableau 1 : plan factoriel pour notre exemple

Dans ce plan d’expériences à deux niveaux, 1 et 2 représentent la valeur minimale et maximale de chaque facteur, respectivement.

Nous avons alors :

524

)8()6()4()2(524

)7()5()3()1(

304

)8()7()4()3(304

)6()5()2()1(

764

)8()7()6()5(764

)4()3()2()1(

141

)2()1(

)2()1(

)2()1(

=−+++

=−=−+++

=

=−+++

=−=−+++

=

=−+++

=−=−+++

=

=

MYYYYEMYYYYE

MYYYYEMYYYYE

MYYYYEMYYYYE

M

CC

BB

AA

Les effets ne donnent pas les coefficients intervenant dans la fonction car il y a les interactions AB, AC et BC. Toutefois, le facteur le plus influent est A, vient ensuite C puis B ; ce qui est cohérent avec l’expression de la fonction F.

La relation 0)2()1( =+ XX EE est vérifiée pour { }CBAX ,,∈ . La valeur relative des facteurs est très instructive. Nous utilisons alors les effets normalisés

par rapport à la moyenne, ce qui conduit à :

369,0369,0213,0213,0539,0539,0

*)1(

*)1(

*)1(

*)1(

*)1(

*)1(

=−==−==−=

CC

BB

AA

EEEEEE

Une représentation graphique des effets a été développée dans SIMAP, et se présente ainsi (figure 1) :


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figure 1 : Représentation graphique des effets normalisés des facteurs A, B et C

La valeur de normalisation est importante, surtout si elle est faible. Dans ce cas, on peut en

déduire qu’aucun facteur n’est influent. Pour chaque facteur A, B et C, nous avons pour les interactions :

44442828282812121212

)2()2()1()2()2()1()1()1(

)2()2()1()2()2()1()1()1(

)2()2()1()2()2()1()1()1(

=−=−===−=−===−=−==

CBCBCBCB

CACACACA

BABABABA

IIIIIIIIIIII

Le rapport entre les interactions Ixy est cohérent avec l’expression de F. Elles peuvent être normalisées par rapport à la même valeur que précédemment. Graphiquement, on obtient (figure 2) :

C

B

A


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figure 2 : Représentation graphique des interactions normalisées des facteurs A, B et C

A partir de ces résultats, le choix des facteurs à utiliser pour l’optimisation est aisé. Il serait

ici envisageable de conserver pour l’optimisation : - A pour son effet important - B pour son effet assez important et son interaction avec A.

II.1.4. Les plans fractionnaires

Réduire le nombre d’expériences nécessaires à la modélisation d’un système, à nombre de facteur donné, est envisageable, mais au risque d’une perte d’information [35] . Nous présentons le principe dans ce qui suit.

I.1.1.5. Principe

Les plans fractionnaires font intervenir la notion d’alias. Par définition, un alias est la superposition des effets de deux actions, dans le cadre d’une série expériences.

Pour expliquer clairement le problème, nous considérons un plan fractionnaire pour modéliser le même système que précédemment. Le fractionnement peut se faire de différentes façons. Nous représentons tableau 3 le plan factoriel, en faisant apparaître les interactions AB, BC et AC pour lesquelles le niveau a pour valeur :

- 1 si chaque action qui les compose ont un niveau identique, - 2 si chaque action qui les compose ont un niveau différent.

Pour ABC, il faut appliquer les deux règles précédentes, mais en considérant l’interaction

AB avec le facteur C.


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N° expérience A B C AB AC BC ABC Ymes 1 1 1 1 1 1 1 1 10 2 1 1 2 1 2 2 2 12,5 3 1 2 1 2 1 2 2 13 4 1 2 2 2 2 1 1 17 5 2 1 1 2 2 1 2 9 6 2 1 2 2 1 2 1 14 7 2 2 1 1 2 2 1 24 8 2 2 2 1 1 1 2 5

tableau 2 : Le plan factoriel avec les interactions d’ordre 2 et 3.

Le fractionnement se fait en choisissant une colonne et en ne conservant que les cellules

d’interaction dont les valeurs sont identiques (soit 1, soit 2 dans cet exemple). Ces cellules désignent alors des lignes, et donc les expériences retenues pour le plan fractionnaire.

Le choix de la colonne aura pour conséquence de ne pas permettre l’étude de l’action correspondante, car cette action aura toujours la même valeur. Il est donc préférable de choisir une action d’influence négligeable, ce qui n’est pas connu à priori. Le choix d’un plan fractionnaire est donc difficile si le comportement du système étudié est totalement inconnu.

En considérant négligeable l’interaction d’ordre 3, nous prenons pour notre exemple le niveau 1, ce qui correspond aux expériences N°1, 4, 6 et 7. Sur le tableau 3, nous voyons que les actions suivantes varient en même temps :

- A et BC - B et AC - C et AB

Chaque couple forme donc un alias entre les actions qui le compose. Il en résulte le plan fractionnaire tableau 4, en désignant les expériences par le même numéro que le plan factoriel.

N° expérience facteurs réponse

i A B C Y(i) 1 1 1 1 27 4 1 2 2 111 6 2 1 2 251 7 2 2 1 175

tableau 3 : Le plan fractionnaire pour notre exemple

Le nom des facteurs A, B et C a été inscrit dans chaque colonne. Ce sont eux qui varient,

mais les effets mesurés ne sont pas ceux des facteurs, mais des couples aliasés (A+BC, B+AC et C+AB). Nous avons :


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72727272222240404040

4040227272

141

)2()2()1()2()2()1()1()1(

)2()2()1()2()2()1()1()1(

)2()2()1()2()2()1()1()1(

)2()1(

)2()1(

)2()1(

−===−=−===−=−===−=

=−==−==−=

=

CBCBCBCB

CACACACA

BABABABA

CC

BB

AA

IIIIIIIIIIII

EEEEEE

M

Ce plan d’expériences conduit donc à des interprétations différentes du plan factoriel,

comme le montre la figure 3 et 4.

figure 3 : Représentation graphique des effets normalisés des facteurs A, B et C


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figure 4 : Représentation graphique des interactions normalisées des facteurs A, B et C

Finalement, l’utilisation de plans fractionnaires nécessite de résoudre trois étapes difficiles : - La détermination des interactions non négligeables à priori, - L’établissement des conditions d’orthogonalités entre les actions établies au premier

point et que l’on ne souhaite donc pas voir aliasées à une autre action, - La recherche du fractionnement du plan factoriel, duquel les plans fractionnaires sont

issus. Ces difficultés sont contournables en utilisant une méthode proposée par G. Taguchi, qui, à

partir de quelques tables standards, permet de résoudre de très nombreux problèmes [35] .

I.1.1.6. Les tables de Taguchi

a) Principe Les simplifications apportées par G. Taguchi se basent sur les hypothèses suivantes : - les interactions d’ordre supérieur à deux sont négligeables, - les interactions d’ordre deux sont négligeables, sauf quelques unes parfaitement

identifiées. La dénomination d’une table de Taguchi utilise la lettre « L » à laquelle sont associés des

nombres, dont la forme est : LNe(Np). Ne est le nombre d’expériences nécessaire du plan fractionnaire, p le nombre de facteurs et N le nombre de niveaux des facteurs. Np est donc le plan factoriel duquel est issu le plan fractionnaire.

Un outil accompagne la plupart de ces tables : le triangle des interactions que nous allons


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présenter à partir d’un exemple : celui de la table L8(27) (tableau 5 et 6).

N° facteur N° expérience

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2

tableau 4 : table L8(27)

N° facteur N° facteur

2 3 4 5 6 7

1 3 2 5 4 7 6 2 1 6 7 4 5 3 7 6 5 4 4 1 2 3 5 3 2 6 1

tableau 5 : Triangle des interactions de la table L8(27)

L’intersection entre une ligne i et une colonne j donne le numéro de la colonne de l’interaction des facteurs. Par exemple, si l’on place un facteur A en colonne N°1 et un autre B en colonne N°2, l’interaction AB est présente en colonne N°3.

Si nous souhaitons étudier 7 facteurs n’ayant aucune interaction, il suffit de les placer chacun dans une colonne. Par contre, si certaines interactions doivent être prises en compte, il faut utiliser le triangle. Soit, par exemple, un système dont la réponse Y dépend de quatre facteur A, B, C et D ; et les interactions AB, AC et BC ne sont pas négligeables.

Nous plaçons alors les facteurs comme suit, avec la notation suivante : X → 10 si le facteur

X est placé en colonne 10. Nous plaçons A et B : A→ 1 B→ 2 AB sera automatiquement en colonne 3, ce qui interdit d’y placer un facteur sous peine de

créer un alias avec AB. Pour le facteur C : C→ 4 AC sera en colonne 5 et BC en colonne 6. Pour D : D→ 7 L’interaction AD a été supposée négligeable. BC est situé en colonne 3 et dans le triangle,

nous voyons que AD également. AD et BC sont alias, ce qui conduira à des erreurs


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d’interprétation si AD n’est pas négligeable comme nous l’avons supposé.

b) Les différentes tables Les tables publiées par Taguchi sont classées en trois catégories : • Aucune interaction ne peut être étudiée : Les interactions ne sont pas orthogonales aux facteurs principaux. Elles sont réparties sur

l’ensemble des autres colonnes répartissant ainsi les erreurs liées aux interactions présentent dans le système qui sont alors aliasées. Il n’existe alors aucun triangle des interactions.

L’identification des facteurs influents lorsque les interactions ne sont pas connues a priori, ne serait-ce qu’intuitivement, est alors aisée.

• Une interaction entre deux facteurs peut être étudiée L’interaction se trouve répartie sur l’ensemble des autres colonnes et, ainsi, ne réclame pas

de lui sacrifier une colonne. Il n’existe alors aucun triangle des interactions. Les deux facteurs, ayant une interaction que l’on souhaite étudier, doivent être placés dans les deux premières colonnes.

• Plusieurs interactions peuvent être étudiées Chaque interaction que l’on souhaite étudier consomme une colonne. Les interactions non

étudiées et non négligeables sont aliasées à d’autres facteurs ou interactions. Le triangle des interactions permet d’identifier ces alias.

II.2. Mise en œuvre dans SIMAP

II.2.1. Présentation

Dans notre outil, l’utilisateur choisit les paramètres qu’il désire étudier, les niveaux de chaque facteur, les intervalles de variation, ainsi que les interactions supposées non négligeables. Une procédure automatique détermine si un plan factoriel ou fractionnaire s’impose, et dans ce dernier cas, la table de Taguchi adaptée.

Pour les plans factoriels, ils s’imposent dès lors que toutes les interactions veulent être étudiées. Pour choisir les plans adaptés, nous utilisons les critères des degrés de libertés et d’orthogonalité [35] .


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II.2.2. Exemple d’utilisation de ces critères

A B C D AB BC AC Nombre d’expériences

nécessaires Données de

départ niveaux 2 2 2 2

calcul des niveaux des interactions

= produit des niveaux des facteurs concernés

4 4 4

Degrés de liberté = nombre de niveau - 1 1 1 1 1 Calculs des

degrés de liberté des interactions

= produit des dl des facteurs concernés

1 1 1

Bilan (dl) 7 orthogonalité produit des niveaux des

actions concernées

A et BC 2 4 8 D et AB 2 4 8 C et AB 2 4 8 D et AB 2 4 8

tableau 6 : Récapitulation des critères utilisés pour choisir un plan fractionnaire

Le nombre d’expériences nécessaires est le maximum entre le nombre de degrés de liberté (7) et le nombre imposé par l’orthogonalité (8). Il faut donc 8 expériences, il faut utiliser L8(27).

II.2.3. Possibilités offertes par SIMAP

SIMAP propose une utilisation : - de plans factoriels pour un nombre quelconque de facteurs, bien qu’un nombre égal à 4

ou 5 soit raisonnable, pour limiter le nombre d’expériences (qui sera de 32 pour 5 facteurs à deux niveaux !). Un algorithme général était en effet plus simple à implanter.

- de plans fractionnaires, avec les tables L4(23), L8(27), L9(34) et L12(211). Il convient de préciser que la table L12(211) ne permet pas d’étudier les interactions. Onze

facteurs peuvent être étudiés, ce qui est utile pour dégrossir un problème. Nous avons implanté des outils importants dans SIMAP : - Si des facteurs ont des niveaux premiers entre eux, un avertissement advient, car cela

entraîne un nombre d’expériences important [35] , - Le placement des facteurs dans les colonnes des tables de Taguchi est automatique, en

prenant naturellement en compte les interactions supposées non négligeables que l’utilisateur mentionne par une interface graphique. Ceci élimine une étape fastidieuse des tables de Taguchi, et constitue un atout majeur dans l’utilisation des plans d’expériences dans SIMAP,

- Les résultats du plan sont donnés graphiquement, tant en ce qui concerne les effets que les interactions. Les alias sont également mis en évidence (pour les plans fractionnaires).


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II.2.4. Application

Sur l’actionneur prédimensionné par Pro-Design (figure 5.a), nous choisissons cinq facteurs pour l’analyse de sensibilité. Quatre sont présentés figure 5.b, le cinquième étant le rapport arc polaire/pas polaire, noté bi.

La fonction objectif est :

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

N

i imp

impi

CCC

f1

2

où Cimp est le couple imposé et Ci le couple calculé par éléments finis. Les interactions supposées non négligeables sont lib-eb et lib-ea. Le nombre de niveaux par

facteur est choisi égal à deux. Le plan fractionnaire de Taguchi adapté est alors L8(27). Le tableau 8 présente ce plan ainsi

que la réponse, c’est à dire la valeur de la fonction objectif. La figure 6 donne les effets normalisés des cinq facteurs et la figure 7 les interactions

normalisées lib-eb et lib-ea. La figure 8 donne les alias révélés par SIMAP. La figure 9 présente le couple en fonction de la position du rotor pour l’actionneur initial et celui issu de la configuration optimale obtenue par le plan.

figure 5 : L’actionneur étudié et les paramètres analysé par les plans d’expériences

N° Experience lib eb bi ea hcr Réponse

a. l’actionneur étudié b. Définition de quatre facteurs choisis pour l’analyse de sensibilité


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1 1 1 1 1 1 2.09 2 1 1 2 2 2 13.9 3 1 2 1 1 2 15.6 4 1 2 2 2 1 19.0 5 2 1 1 2 1 1.19 6 2 1 2 1 2 6.20 7 2 2 1 2 2 7.37 8 2 2 2 1 1 2.84

tableau 7 : Le plan d’expériences L8(27) et la réponse du système

figure 6 : Représentation graphique de l’effet normalisé des facteurs étudiés


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figure 7 : Interactions normalisées lib - eb en fonction de eb et lib - ea en fonction de ea

figure 8 : Liste des alias fournis par SIMAP

Liste des alias

1. lib x (hc - bi)

2. eb x (bi - ea)

3. ea x (bi - eb)

4. bi x (ea - eb) x (hc - lib)

5. hc x (bi - l)


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figure 9 : Couple en fonction de la position du rotor pour l’actionneur

prédimensionné et issu de l’analyse de sensibilité

Les facteurs lib et eb sont retenus pour l’optimisation, à cause de leur effet et de leur forte

interaction. Cet actionneur ainsi analysé peut maintenant être optimisé.

B. LE MODULE « OPTIMISATION »

I. GENERALITES Les facteurs les plus influents et le meilleur point initial identifiés (c’est à dire la valeur des

paramètres donnant la valeur minimale de f parmi les 8 expériences menées), l’optimisation peut débuter.

De nombreuses méthodes sont présentent dans la littérature [44 à 70]. Dans SIMAP, nous avons implanté un algorithme déterministe ne nécessitant pas de calcul de dérivée : le simplexe. Est également inclus un algorithme stochastique : l’algorithme génétique.

La prise en compte des contraintes est assurée automatiquement par l’algorithme génétique et par une méthode de pénalité extérieure pour la méthode du simplexe que nous utilisons. Une pénalisation intérieure étant préférable [41] [42] , nous envisageons son implantation.

II. LE SIMPLEXE Cet algorithme ne nécessite pas de calcul de dérivée, ce qui est un atout important lorsque la

valeur de la fonction objectif est déterminée par un calcul éléments finis où le bruit numérique est important.

Par contre, il converge très lentement si le nombre de paramètres est important et si le point


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initial est éloigné de la solution. L’utilisation cet algorithme est envisageable dans SIMAP pour deux raisons. En premier lieu, le nombre de facteurs étudiés est limité grâce à l’utilisation d’un plan d’expériences. En second lieu, le point initial est proche de la solution grâce au prédimensionnement précis et au plan d’expériences. En effet, de ce dernier est extrait l’expérience la plus proche de l’optimum parmi celles menées.

Dans ces conditions d’utilisation, cet algorithme s’est avéré très performant [10] .

III. LES ALGORITHMES GENETIQUES Ses propriétés [43] en ont fait l’algorithme très usité lorsqu’il est associé à un programme

d’analyse par E.F. Leur principal défaut, pour ne pas dire l’unique, est le nombre très important d’itérations nécessaires à la convergence, ce qui a conduit les chercheurs à mettre en œuvre des solutions pour le réduire. Nous avons recensé les algorithmes génétiques :

- avec « chromosomes assistants », dont le principe repose sur une modification de la procédure de croisement [53] . Quelques individus ayant des performances particulièrement élevées sont utilisés pour générer une partie des descendants. Ainsi espère-t-on localiser avec une forte probabilité l’optimum recherché.

- avec ajustement dynamique des paramètres de réglage [44] [45] . L’espace de recherche est réduit progressivement autour de ce qui semble être l’optimum. La réduction du nombre de bits codant les paramètres, semble, selon les auteurs, être un atout important.

- couplés avec un algorithme déterministe, pour obtenir une convergence rapide vers un optimum (local ou non) lorsque celui-ci semble être identifié par l’algorithme génétique [48] . On parle alors de méthodes hybrides.

- couplé à un réseau de neurones, qui utilise les points calculés par l’algorithme génétique pour obtenir un modèle sur lequel il est plus facile de déterminer un optimum (par des méthodes déterministes) [49] . Progressivement, le modèle est de plus en plus fin, et les résultats obtenus par le réseau de neurones permettent d’accélérer la convergence de l’algorithme génétique, puisque ce dernier bénéficie d’informations plus précises.

- couplé à un réseau de neurones et un moteur de logique floue [47] [55] . Ce dernier intervient surtout sur les conditions de passage de l’algorithme génétique au réseau de neurones.

Ces méthodes réduisent le nombre d’itération nécessaires à la convergence de l’algorithme,

mais au risque de rester piégé dans un extremum local plus facilement qu’avec l’algorithme standard. Les performances obtenues avec l’algorithme du simplexe ne nous semble pas justifier l’utilisation d’un algorithme génétique. Par contre, si l’espace de recherche du processus numérique devait être plus important, le simplexe pourrait devenir moins intéressant qu’un algorithme génétique « modifier ».

IV. APPLICATION L’actionneur précédent, prédimensionné par Pro-Design et sur lequel une analyse de sensibilité par les plans d’expériences a été effectuée, peut maintenant être optimisé. Le point initial optimal, issu de cette analyse, ainsi que les facteurs les plus influents ont été exploités. Dix itérations ont été nécessaires pour obtenir la convergence. L’allure du couple est présentée figure 10, avec les valeurs numériques récapitulées dans le tableau 9.


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Courbe issue Du prédimensionnement

De la meilleure expérience du plan

d’expériences précédent (n°5)

De l’optimisation

Ondulation de couple 3 Nm 2,2 Nm 1,8 Nm

Couple moyen 5,1 Nm 4,2 Nm 3,6 Nm tableau 8 : Couple moyen et ondulation de couple de la figure 10.

0 20 40 60 80 100 120 0

1

2

3

4

5

6

courbe issue duprédimensionnement

courbe issue duplan d'expériences

courbe issue del'optimisation par laméthode du Simplexe

angle rotorique (degrés)

Couple (N)

figure 10 : Couple aux différentes étapes de l’étude

C. CONTRAINTES D’ENCOMBREMENT

I. PRESENTATION Le prédimensionnement d’un actionneur peut se faire en fixant l’encombrement, c’est à dire

le diamètre extérieur et la longueur. A l’intérieur de ce volume, il faut loger le rotor, la couronne rotorique, les aimants, l’entrefer, les encoches et la couronne statorique.

Considérons une section active d’un actionneur (figure 11).


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figure 11 : Données dimensionnelles d’une machine

Il y a deux types de contraintes, de nature géométrique, que nous nommons contraintes d’encombrement : l’une s’exerçant sur le rayon, l’autre sur le pas dentaire.

* Pour le premier type de contrainte, nous avons :

D h e e h h h Dar

cr a c enc csext

2 2+ + + + + + = (1)

L’entrefer et le diamètre extérieur étant imposés, nous avons :

D h e h h h D ear

cr a c enc csext

2 2+ + + + + = − (2)

Dexthcs

ld

hcr

Dar/2

Da/2

lc

hc

e ea

bec

dent


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Dans le membre de gauche, certains paramètres peuvent être choisis dans une étude de sensibilité ou d’optimisation, les autres doivent s’ajuster pour respecter l’équation.

• Pour le second type de contrainte, nous avons :

l l DNd enc

a

e

+ =π .

(3)

avec Da le diamètre d’alésage, et Ne le nombre total d’encoches.

II. GESTION DE CES CONTRAINTES Dans les équations (1) et (2), toutes les grandeurs ne peuvent évoluer indépendamment les

unes des autres. Or, dans un plan d’expériences, seules certaines d’entre elles - choisies par l’utilisateur - sont susceptibles de varier. Il est donc nécessaire de mener le plan d’expériences en respectant ces équations.

Nous notons que les variables apparaissant dans le membre de gauche l’une des équations (1) ou (2) Pc, au nombre de Mc, l’indice « c » désignant le fait qu’ils sont soumis à une contrainte d’encombrement. Parmi celles-ci, il y a :

- celles choisies par l’utilisateur pour l’étude de sensibilité ou l’optimisation, notés Pe au nombre de Me.

- celles que l’utilisateur accepte de voir modifier pour respecter l’équation, notés Pm, au nombre de Mm.

- les autres, qui sont alors fixent, notés Pf, au nombre de Mf. Sous une forme générale, l’équation s’écrit :

CPcM

iic =∑

=1 (4)

où C est une constante, égale à D eext

2− pour l’équation (1), et πD

Na

e

(2).

L’équation devient :

∑∑∑

∑∑∑

===

===

−−=⇔

=++

fem

fme

M

iif

M

iie

M

iim

M

iif

M

iim

M

iie

PPCP

CPPP

111

111 (5)

Nous pouvons décomposer chaque facteur en une grandeur constante, égale à sa valeur

initiale obtenue par le module de prédimensionnement, notée Pm i0, et une grandeur variable, notée δPm i qui évolue lors d’une analyse de sensibilité ou une optimisation. Nous avons alors :

imimim PPP δ+= 0 (7)


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Nous choisissons de modifier chaque facteur Pm i proportionnellement à sa partie constante. Nous avons alors, en notant α le coefficient de proportionnalité :

0imim PP αδ = (8) Sachant que :

∑∑==

=mm M

iim

M

iim PP

10

1αδ (9)

Et que :

∑∑==

−=em M

iie

M

iim PP

11

δδ (10)

De (9) et (10) nous déduisons :

∑

∑

=

=−=m

e

M

iim

M

iie

P

P

10

1δ

α (11)

Nous avons alors :

0

10

1 . imM

iim

M

iie

im PP

PP

m

e

∑

∑

=

=−=δ

δ (12)

La relation (12) est implanté dans ce module optimisation, pour les deux équations.

III. DISCUSSION Le fait de modifier des facteurs non prévus dans un plan d’expériences est contraire à la

démarche expérimentale rigoureuse qu’ils offrent : les effets des facteurs calculés seront biaisés par ces variations non prévues par le plan, ce qui crée des alias entre les facteurs présents dans le plan et ceux, inconnus du plan, variant pour respecter la contrainte. Ce problème n’a pas les mêmes conséquences selon l’objectif recherché dans l’utilisation de ce plan :

- Dans le cadre d’une identification de paramètres, c’est la valeur de la fonction objectif qui est importante. L’erreur porte alors sur les coefficients du polynôme.

- Dans le cadre d’une recherche d’optimum, on recherche une configuration qui maximise la fonction objectif. Les variations de ces paramètres non prévues dans le plan est alors sans conséquence.

- Enfin, dans le cadre d’une étude de sensibilité, on recherche les facteurs les plus influents sur la fonction objectif. Le risque est alors d’identifier à tort des facteurs dont les effets sont importants, ce qui rendra l’optimisation moins performante puisque


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celle-ci sera menée avec des paramètres mal choisis.

Notre outil exploite ces deux dernières possibilités. Le fait de modifier les paramètres Pm proportionnellement à leur valeur initiale limite l’erreur précitée, en ce sens qu’elle est répartie uniformément sur tous les paramètres Pm. Il conviendra alors de choisir les paramètres Pm les moins influents et en nombre important de façon à réduire l’erreur au maximum.

D. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons présenté l’analyse de sensibilité exploitant les plans d’expériences factoriels et fractionnaires par la méthode Taguchi, dont les grands principes ont été décrits ; ainsi que l’optimisation par l’algorithme génétique et du simplexe. L’utilisation de ces méthodes (plans d’expériences fractionnaires et algorithme du simplexe) permettent de réduire de façon importantes les temps de calculs.

Nous avons exposé ensuite les problèmes que posent les modifications de géométrie lorsque les paramètres ne peuvent variés de façon indépendantes, ce qui se produit si l’encombrement de l’actionneur est fixé. Nous avons discuté des conséquences de ces contraintes sur l’interprétation des plans d’expériences.

CONCLUSION GENERALE

Conclusion générale

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Dans ce manuscrit, nous avons présenté la philosophie de développement d’un Outil Logiciel d’aide à la conception d’actionneurs électriques. Sa structure modulaire qui consiste en l’association de modules indépendants communiquant par le biais de fichiers au format imposé, lui confère évolutivité et grande souplesse de maintenance informatique.

Un prédimensionnement précis est nécessaire pour être assuré d’obtenir un point initial

proche de l’optimum. Il est obtenu par un couplage avec PASCOSMA (devenu Pro-Design) qui effectue une première optimisation de nature analytique. Ainsi, le domaine d’exploration du processus numérique (constitué des modules « simulation par EF », « analyse de sensibilité » et « optimisation ») peut être réduit de façon à limiter les temps de calcul.

Un lien avec l’analyse numérique est assuré par le module « Génération de géométrie & maillage », grâce à sa bibliothèque de structures, dont le fonctionnement est transparent pour l’utilisateur. Ce module est doté de nombreuses fonctionnalités, comme la visualisation ou le repérage des domaines, autorisant alors l’adjonction aisée des propriétés physiques.

La bibliothèque de structures (contenant actuellement des encoches arrondies, trapézoïdales et rectangulaires ; et les rotors à aimants déposés ou insérés) peut facilement être enrichie.

Le module « Simulation par éléments finis » prend en compte des couplages et des modes

d’alimentation qui recouvrent une grande diversité d’applications : couplage étoile et triangle ; alimentation en tension, courant, commutateurs de courant, onduleurs de tension et redresseurs. L’analyse des performances est aisée grâce à la représentation graphique des grandeurs calculées. La méthode choisie assure une bonne précision des résultats. Associée au module « Analyse de sensibilité & optimisation », la rapidité d’obtention de la structure optimale est importante.

L’analyse de sensibilité est effectué grâce à la mise en œuvre des plans d’expériences, qui autorisent l’étude d’un nombre important de paramètres en peu d’expériences. Leur utilisation est entièrement automatisé, c’est à dire que le choix du plan (factoriel ou fractionnaire de Taguchi) et le placement des facteurs est transparente pour l’utilisateur. La représentation graphique des résultats assure un choix commode des facteurs à conserver pour l’optimisation. Parmi les expériences menées, la meilleure solution est automatiquement choisie comme point initial pour l’optimisation.

L’optimisation de la structure, avec les facteurs les plus influents, est effectuée avec la méthode du simplexe, algorithme déterministe ne nécessitant pas de calcul de dérivée. Le fait que l’intervalle d’étude soit restreint avec un point initial proche de l’optimum est suffisant pour assurer une convergence rapide, bien qu’intrinsèquement, ce type d’algorithme nécessite un nombre important d’itérations. Un algorithme génétique est également inclus dans ce module.

Les perspectives que nous pouvons envisager concernent tout d’abord le module

« simulation par EF ». Le couplage magnéto-thermique n’est pas inclus. Or, les dimensions minimales d’un système de conversion d’énergie sont imposées par l’échauffement. Ce couplage nous semble donc une perspective prioritaire.

Le modèle thermique des actionneurs pourrait être fait à partir d’un couplage analytique-numérique. En effet, les coefficients caractéristiques des matériaux, pour un modèle thermique, sont « empiriques », ce qui laisse penser qu’un modèle numérique ne sera guère plus précis qu’un modèle analytique.

Les vibrations occupent une place également importante dans la conception d’actionneurs.

Conclusion générale

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Intégrer ces phénomènes dans le module d’analyse doit être envisagé à court terme. Enfin, les problèmes de compatibilité électromagnétique (CEM) ne doivent pas être

négligés. Toutefois, leur prise en compte est délicate et nécessite une modélisation en trois dimensions [33] . De plus, ne considérer que l’actionneur serait une erreur, car le convertisseur qui lui est associé est une source rayonnante bien plus prépondérante.

Enfin, une extension à d’autres types d’actionneurs (synchrone à rotor saillant, à réluctance

variable et à bobinage global, asynchrones,…) serait un atout important. Pour cela, seuls les modules « Génération de géométrie et maillage » et « Prédimensionnement » devront être enrichis, ce dernier ne prenant en compte, dans le stade actuel de son développement, que les actionneurs synchrones à aimants permanents.

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PUBLICATIONS & CONGRES

Publications & congrès

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E. DE CECCO, C. MARCHAND, M. BESBES « Software tool for conception and optimisation of permanent magnet synchronous machines » International Journal of Applied Electromagnetism and Mechanics, vol 19, n°1-4, 2004

Z. MAKNI, E. DE CECCO, M. BESBES, C. MARCHAND, F.WURTZ « Analytical and Numerical Analysis Based Design of a Permanent Magnet Synchronous Machine » VIII-th International Workshop on Optimisation and inverse Problems in electromagnetism, Grenoble, FRANCE, September 6-8 2004.

E. DE CECCO, Z. MAKNI , C. MARCHAND, M. BESBES « Sensitivity study with fractional factorial design and its integration in a CAD package for electromechanical systems ». International Symposium on Electromagnetic fields in Mecatronics, Electrical and Electronic Engineering, Baiona-Vigo, SPAIN, september 15-17 2005.

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