THESE DE D OCTORAT ES - Fondation Cetimfondation.cetim.fr/pages/projets/THESE-soldani18_02_2009.pdf · THESE DE D OCTORAT ES SCIENCES Par XAVIER SOLDANI Pour l’obtention du grade

THESE DE DOCTORAT ES SCIENCES

Par

XAVIER SOLDANI

Pour l’obtention du grade de :

Docteur de l’Université Paul Verlaine - Metz

Spécialité Génie Mécanique - Mécanique des Matériaux

MODELISATION ANALYTIQUE DE

L’USINAGE A GRANDE VITESSE ET

ETUDE DE L’USURE EN CRATERE –

APPLICATION AU TOURNAGE

Soutenue le 19 décembre 2008 devant le Jury d’examen composé de :

M. M. EL MANSORI Professeur à l’ENSAM - Châlons Rapporteur

M. J.C. GELIN Professeur à l’ENSMM - Besançon Rapporteur

M. P. LIPINSKI Professeur à l’ENIM - Metz Invité

M. M. NOUARI Professeur à l’Ecole des Mines - Nancy Invité

M. A. MOLINARI Professeur à l’Université Paul Verlaine - Metz Directeur de thèse

M. A. MOUFKI Mcf à l’Université Paul Verlaine - Metz Co-directeur de thèse

Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux, U.M.R., C.N.R.S. n°7554, Université Paul Verlaine, Metz - Ile du Saulcy - 57045 METZ Cedex 01 (FRANCE)

Remerciements

Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux (LPMM) de

l’Université Paul Verlaine de Metz sous la direction du Professeur A. Molinari et du Dr. A. Moufki

Je les remercie pour m’avoir aidé pendant ces trois années et de m’avoir permis de mener à terme

cette thèse.

Je remercie également, Messieurs les Professeurs J.C. Gelin et M. El Mansori qui m’ont fait le plaisir

et l’honneur de rapporter ces travaux de thèse.

Je remercie également Monsieur P. Linpinski et M. Nouari respectivement professeur à l’ENI de

Metz et à l’école des Mines de Nancy qui m’ont fait l’honneur d’avoir examiné mon travail et

participé au jury.

Je tiens également à remercier R. Bernier, J.R. Klepaczko, G. List, F. Mahfoudhi et A. Rusinek pour

leur précieuse collaboration à ces travaux de recherche.

Cette thèse a bénéficié du soutien de la fondation CETIM dans le cadre du projet national PGV

(Procédés à Grandes Vitesses). Ce projet associe les laboratoires d'Automatique, de Mécanique, et

d'Informatique industrielles et Humaines (LAMIH) de Valencienne, de l’école des Mines de Saint-

Etienne (EMSE), de Mécanique Appliquée Raymond Chaléat (LMARC) de Besançon, de

Mécanique du Système et des procédés (LMSP) de l’ENSAM Paris, de thermocinétique (LTN) de

Nantes, le Centre de Mise en Forme des Matériaux (CEMEF) de Sophia-Antipolis et le Laboratoire

de Physique et Mécanique des Matériaux (LPMM) de Metz.

- 6 -

- 7 -

Sommaire

I.1 - Introduction à l’usinage à grande vitesse........................................................................................17

I.1.1 - Formation du copeau ................................................................................................................18

I.1.2 - Paramètres importants en usinage...........................................................................................19

I.2 - Etat de l’art de la modélisation analytique......................................................................................20

I.2.1 - Historique de la modélisation analytique ...............................................................................20

I.2.2 - Résumé du modèle de Merchant (1945).................................................................................22

I.2.2.1 - Limites du modèle .............................................................................................................24

I.2.3 - Résumé du modèle de Oxley ...................................................................................................24

I.2.3.1 - Analyse du cisaillement primaire .....................................................................................25

I.2.3.2 - Analyse du cisaillement secondaire .................................................................................28

I.2.3.3 - Détermination des inconnues..........................................................................................29

I.2.3.4 - Points forts de la modélisation d’Oxley .........................................................................31

I.2.3.5 - Points faibles.......................................................................................................................31

II.1 - Introduction ......................................................................................................................................35

II.1.1 - Modélisation de la zone primaire...........................................................................................35

II.1.1.1 - Mise en place des hypothèses.........................................................................................35

II.1.1.2 - Equations du modèle.......................................................................................................36

II.1.2 - Modélisation des effets thermiques à l’interface outil-copeau ..........................................41

II.1.2.1 - Mise en place des hypothèses.........................................................................................42

II.1.2.2 - Mise en place des équations............................................................................................43

II.1.2.3 - Points forts du modèle ....................................................................................................46

II.1.2.4 - Points faibles du modèle .................................................................................................46

II.2 - Application du modèle.....................................................................................................................47

II.2.1 - Données expérimentales des essais de coupe orthogonale ...............................................47

II.2.2 - Données de la modélisation....................................................................................................50

II.2.2.1 - Loi de comportement de l’acier AISI 1050..................................................................50

II.2.2.2 - Identification des paramètres de la loi de frottement.................................................50

II.2.2.3 - Angle de cisaillement .......................................................................................................52

II.2.3 - Comparaison Essais expérimentaux / Modélisation ..........................................................52

II.2.3.1 - Influence du revêtement .................................................................................................52

II.2.3.2 - Influence de la vitesse de coupe ....................................................................................53

II.2.3.3 - Influence de l’avance t1....................................................................................................55

II.2.3.4 - Influence de l’angle de coupe α ......................................................................................56

II.3 - Conclusions .......................................................................................................................................57

- 8 -

III.1 - Introduction.....................................................................................................................................61

III.2 - Approches analytiques en tournage .............................................................................................62

III.3 - Approche de Molinari et Moufki (2005) .....................................................................................64

III.3.1 - Discrétisation de l’outil ..........................................................................................................65

III.3.2 - Hypothèses de la modélisation.............................................................................................68

III.3.3 - Modèle de coupe oblique relatif au j-ème élément............................................................70

III.3.4 - Détermination de VC , ηc0 et des efforts de coupe en tournage.......................................73

III.3.5 - Température à l’interface outil-copeau................................................................................74

III.3.6 - Angle de cisaillement φnj ........................................................................................................75

III.4 - Modèle de tournage modifié .........................................................................................................78

III.4.1 - Concept de l’élément neutre .................................................................................................78

III.4.2 - Calcul de l’angle de cisaillement de l’élément neutre ........................................................79

III.4.3 - Détermination de l’élément neutre ......................................................................................80

III.5 - Conclusions......................................................................................................................................83

IV.1 - Introduction.....................................................................................................................................87

IV.2 - Techniques expérimentales............................................................................................................88

IV.2.1 - Présentation des essais de double cisaillement...................................................................88

IV.2.1.1 - Essais quasi-statiques .....................................................................................................88

IV.2.1.2 - Essais dynamiques sur barres de Hopkinson.............................................................90

IV.3 - Résultats expérimentaux ................................................................................................................93

IV.3.1 - Résultats des essais de double cisaillement.........................................................................93

IV.3.1.1 - Procédure d’analyse des signaux bruts ........................................................................93

IV.3.1.2 - Influence de la vitesse de déformation........................................................................95

IV.3.1.3 - Influence de la température ..........................................................................................99

IV.3.2 - Comparaison LPMM / Partenaires universitaires .......................................................... 100

IV.3.3 - Comparaison avec la littérature ......................................................................................... 101

IV.4 - Modélisation thermoviscoplastique........................................................................................... 103

IV.4.1 - Loi phénoménologique de Johnson-Cook ...................................................................... 103

IV.4.1.1 - Détermination des paramètres d’écrouissage.......................................................... 104

IV.4.1.2 - Détermination des coefficients de sensibilité à la vitesse de déformation ......... 105

IV.4.1.3 - Détermination du coefficient de sensibilité à la température ............................... 106

IV.5 - Comparaison entre résultats expérimentaux et modélisation ............................................... 107

IV.6 - Conclusions................................................................................................................................... 110

V.1 - Introduction.................................................................................................................................... 113

V.2 - Exploitation des essais de coupe orthogonale .......................................................................... 114

- 9 -

V.2.1 - Détermination des paramètres de la loi de Zvorykin ...................................................... 114

V.2.2 - Loi de frottement .................................................................................................................. 116

V.3 - Comparaison entre les modèles de tournage original et modifié........................................... 119

V.4 - Comparaison avec les résultats expérimentaux de tournage obtenus par Grzesik (1998) . 122

V.4.1 - Etude de la pression spécifique de coupe.......................................................................... 122

V.4.2 - Analyse de la longueur de contact outil-copeau ............................................................... 125

V.4.3 - Etude du changement de comportement de l’acier 304 aux grandes vitesses de

déformation ......................................................................................................................................... 126

V.5 - Conclusions .................................................................................................................................... 128

VI.1 - Introduction à l’usure en usinage à grande vitesse ................................................................. 133

VI.2 - Etude des différents mécanismes d’usure ................................................................................ 134

VI.2.1 - Usure par adhésion.............................................................................................................. 134

VI.2.2 - Usure par abrasion............................................................................................................... 135

VI.2.3 - Usure par diffusion.............................................................................................................. 135

VI.3 - Modélisation de l’usure par diffusion ....................................................................................... 137

VI.3.1 - Modèle physico-chimique de Molinari et Nouari (2002)............................................... 137

VI.3.2 - Modèle empirique de Takeyama et Murata...................................................................... 138

VI.4 - Application du modèle d’usure .................................................................................................. 140

VI.4.1 - Données de la modélisation utilisées en tournage.......................................................... 141

VI.4.2 - Calibration du paramètre matériau B(θ)............................................................................ 142

VI.4.3 - Comparaison entre cratères expérimentaux et modélisés............................................. 144

VI.5 - Comparaison avec le modèle physico-chimique de Molinari et Nouari (2002) ................. 150

VI.5.1 - Données de la modélisation ............................................................................................... 150

VI.5.2 - Résultats théoriques obtenus par l’approche physico-chimique .................................. 151

VI.6 - Conclusions................................................................................................................................... 152

- 10 -

- 11 -

Introduction

- 12 -

Introduction générale

Cadre de l’étude

L’usinage à grande vitesse tient une part prépondérante dans l’industrie et la recherche scientifique

mondiale. La mise en forme des métaux par usinage représente en moyenne 3 % du PIB des pays

développés. Elle concerne de nombreux domaines d’activités tels que l’automobile, l’aéronautique,

ou l’électronique. L’usinage s’impose naturellement comme un axe majeur de recherche puisque

chacun des composants de l’usinage (machine, outil, matière à usiner) est en constante évolution.

D’un côté, les sidérurgistes développent des aciers ayant des résistances mécaniques de plus en plus

élevées. Ces aciers à très haute résistance permettent, par exemple, aux industries automobiles de

réduire les épaisseurs utiles et ainsi de diminuer le poids des véhicules et la consommation

d’essence. Parallèlement, de nouvelles problématiques / axes de recherche apparaissent. En effet,

pour mettre en forme, découper ou souder ces nouveaux aciers, il est nécessaire de développer de

nouvelles machines plus puissantes ou des outils plus résistants.

Alors que le maître mot dans l’économie actuelle est « réduction des coûts », il n’est pas concevable

que chaque industriel voulant utiliser de nouveaux aciers ait besoin de réaliser des campagnes

d’essais se révélant très onéreuses. Pour palier à ces besoins, les chercheurs de tous domaines

développent ce que l’on appelle des modèles prédictifs. Dans le domaine de l’usinage, ces modèles

permettent, entre autres, de déterminer les conditions de coupe optimales pour un couple outil-

matériau, de prédire l’énergie nécessaire à la découpe, ou encore l’usure des outils en fonction des

paramètres matériaux et procédés. Trois différentes approches ont été développées depuis une

soixantaine d’année afin de modéliser les procédés de coupe : l’approche mécanistique, les

méthodes numériques et les modèles analytiques.

L’approche mécanistique est utilisée pour définir des modèles simples basés sur des observations

expérimentales. Les lois physiques sont dans ce cas remplacées par des considérations

phénoménologiques, calibrées à partir d’essais expérimentaux. Il s’avère en outre que ce type

d’approche (dans le cas de l’usinage) est intrinsèquement lié au couple outil-matière étudié et

nécessite de nombreux essais expérimentaux.

Les approches numériques modélisant les procédés de coupe sont de plus en plus utilisées ces

dernières années. L’évolution permanente des machines de calcul, le développement de méthodes

Introduction

- 13 -

numériques avec remaillage automatique ou sans maillage, permettent de réduire considérablement

les temps de calcul pour des opérations de coupe simples. Néanmoins, des problématiques

subsistent toujours, telles que la prise en compte du frottement à l’interface outil-copeau ou la

modélisation de procédés industriels complexes.

L’approche analytique est celle exposée dans ce travail de thèse. Elle permet à l’aide de

considérations mécaniques simples, d’étudier les phénomènes thermomécaniques des procédés de

coupe les plus complexes tells que le fraisage, le tournage ou le perçage.

Guide de lecture

Les premiers modèles analytiques de la coupe ont été développés sur des opérations simples telles

que la coupe orthogonale avec une arête droite. Ces modèles développés par Merchant (1945) ou

Lee et Shaffer (1951) sont des approches purement mécaniques. Entre 1969 et 1989, Oxley a

étendu les précédentes études en prenant en compte la thermique du problème. Les modélisations

de Merchant (1945) et Oxley (1989) sont présentées en Chapitre I.

Molinari et Dudzinski (1992), Dudzinski et Molinari (1997), puis Moufki et al. (1998) ont développé

un modèle analytique de la coupe orthogonale capable de prédire les efforts, la longueur de contact

outil-copeau, la pression à la pointe de l’outil ou encore la distribution de température sur la face de

coupe de l’outil. Ce modèle appelé « modèle de la bande » pose les bases de cette thèse ; nous nous

appliquons dans le Chapitre II à présenter, comparer puis valider les résultats donnés par la

modélisation à des essais expérimentaux effectués en collaboration avec la Sabanci University

(Istambul).

Dans la suite de l’étude, Chapitre III, nous proposons de modifier le modèle de tournage

développé par Molinari et Moufki (2005). Dans leurs travaux, les auteurs utilisent le principe de la

minimisation de l’énergie de coupe pour calculer les angles de cisaillement locaux (et implicitement

la vitesse du copeau). Or différents auteurs ont montré à travers leurs études que la minimisation

n’est pas toujours en accord avec les mesures expérimentales. A partir de ces considérations, nous

proposons un nouveau concept dit de l’ « élément neutre » permettant de calculer les angles de

cisaillement locaux à partir d’une relation simple.

L’application des modèles analytiques présentés dans les parties précédentes nécessite la

connaissance du comportement du matériau. Le Chapitre IV présente les résultats expérimentaux

des essais de double-cisaillement réalisés au LPMM sur l’acier austénitique 304L. Pour décrire le

comportement mécanique du matériau, des essais à hautes vitesses de déformation et hautes

Introduction

- 14 -

températures ont été effectués ; les paramètres de la loi de Johnson-Cook modifiée ont alors pu être

déterminés.

Nous proposons dans le Chapitre V une application du modèle de tournage (présenté dans le

Chapitre III) à l’acier austénitique 304L dont le comportement a été identifié dans la partie

précédente. Une comparaison entre les modèles analytiques (original et modifié) et des mesures

expérimentales des efforts de coupe et des longueur de contact outil-copeau est présentée.

Le Chapitre VI de ce travail de thèse expose une étude des différents mécanismes d’usure présents

en usinage à grande vitesse. Nous proposons dans cette partie de coupler la distribution de

température obtenue par la modélisation analytique à un modèle d’usure par diffusion (mécanisme

thermiquement activé) afin de prédire la morphologie et déterminer la profondeur critique /

maximale des cratères d’usure.

- 15 -

- 16 -

Chapitre I

Présentation et modélisation analytique des procédés de coupe simples

e chapitre introductif présente l’usinage au sens large du terme. Dans une première partie, nous nous

attachons à définir les principaux mécanismes de la formation du copeau. Par la suite, une revue des

principaux acteurs de la modélisation analytique des procédés de coupe est présentée afin de bien définir les bases du

manuscrit. Nous nous intéressons tout particulièrement aux modèles analytiques de Merchant (1945) et Oxley

(1989) qui restent à ce jour les références dans la modélisation des procédés de coupe simple.

C

Chapitre I : Présentation et modélisation analytique des procédés de coupe simples

- 17 -

I.1 - Introduction à l’usinage à grande vitesse

L’usinage est un procédé de mise en forme par enlèvement de matière présent dans la plupart des

secteurs industriels (automobile, informatique, aéronautique, horlogerie, ...). Il existe différents types

d’usinage (tournage, fraisage, perçage, ...) en fonction de la géométrie de la pièce finale souhaitée

(Figure I.1).

(a)

(b)

(c)

Figure I.1 : Formation du copeau en tournage (a) et exemples de pièces usinées (b – c).

L’outil de coupe utilisé pour usiner les matériaux est formé de trois grandes partie : (i) la face de

coupe, (ii) la face en dépouille et (iii) l’arête de coupe (Figure I.2).

• La face de coupe est la partie de l’outil sur laquelle le copeau s’écoule après sa formation. La

température régnant peut atteindre des valeurs proches de celle de la fusion du matériau usiné.

• La face en dépouille est la zone de l’outil en contact avec la surface usinée. Des pressions, ou des

vibrations excessives sur l’outil jouent sur la qualité de surface de la pièce finale.

• L’arête de coupe fait la liaison entre les deux faces présentées précédemment. C’est à la fois la

partie la plus fragile, mais aussi celle qui subit les pressions les plus élevées ; à défaut de bonnes

conditions de coupes, elle est sujette à des risques de rupture.


- 18 -

face de coupe

face en dépouille

arête de coupe

face de coupe

face en dépouille

arête de coupe

Figure I.2 : Présentation des différentes faces de l’outil dans une opération de tournage, image

réalisée par le LTDS de Lyon.

I.1.1 - Formation du copeau

Différents procédés ont été mis en place afin d’étudier la formation et l’écoulement du copeau.

Doyle et al. (1979), puis Wright (1981) ont analysé l’écoulement du copeau en utilisant des outils en

saphir transparents. Néanmoins, les interactions à l’interface outil-copeau observées alors, ne

peuvent être généralisées aux outils à base métallique ou céramique.

Trent et Wright (2000) ont mis en place le procédé de « Quick-stop » permettant d’obtenir une

photo instantanée de la formation du copeau pendant la coupe. A l’aide d’une très faible décharge

explosive ou d’un impact, l’outil est retiré brusquement ; dans le meilleur des cas, le copeau, alors

formé, reste accroché à la matière, et son étude à l’aide d’observations microscopiques peut être

faite.

Il a été observé que le copeau se forme par un cisaillement intense dans la zone primaire de

cisaillement (1). Il est soumis à des niveaux de déformation et de température très élevés du fait du

changement brutal de direction d’écoulement de la matière dans un temps très court. Le copeau

s’écoulant le long de la face de coupe est soumis à un second cisaillement (2). Gilormini (1982,

1994), puis Oxley (1989), définissent une zone d’influence dans laquelle la matière est cisaillée. Dans

la zone secondaire de cisaillement, la vitesse d’écoulement, quasiment nulle au contact de l’outil,

croît rapidement pour atteindre la valeur de la vitesse du copeau en dehors de la zone (2). Les

pressions et températures à l’interface outil-copeau sont très importantes. Elles peuvent atteindre

respectivement des valeurs de l’ordre du GPa à la pointe de l’outil et de la température de fusion du

matériau usiné. La zone en dépouille (3) correspond à la zone de contact entre l’outil et la pièce

usinée. Il est extrêmement difficile de quantifier les pressions et températures régnant dans la zone


- 19 -

tertiaire de cisaillement. Néanmoins, il a été montré que leur valeur est sensiblement plus faible que

dans la zone secondaire. Il est à noter que la qualité de surface de la pièce finale est fortement

influencée par le contact dans cette zone (Figure I.3).

avance

Vitesse de coupe

Zone tertiaire de cisaillement

Zone secondaire de cisaillementZone primaire

de cisaillementA

Oφ

(1)(2)

(3)

α

avance

Vitesse de coupe



de cisaillementA

Oφ

(1)(2)

(3)

avance

Vitesse de coupe



de cisaillementA

Oφ

(1)(2)

(3)

α

Figure I.3 : Zones de cisaillement en usinage, image réalisée par Trent et Wright (2000).

I.1.2 - Paramètres importants en usinage

De nombreux paramètres influencent la formation du copeau et son écoulement le long de la face

de coupe : la vitesse de coupe, l’avance, les angles de coupe, le comportement intrinsèque du

matériau usiné, le frottement à l’interface outil-copeau, la lubrification, etc... Nous présentons ici

quelques uns des paramètres utilisés tout au long de ce travail.

• La vitesse de coupe V, figure I.3, indique le mode d’usinage : usinage conventionnel ou à grande

vitesse. Des études ont montré qu’une augmentation de la plage des vitesses conventionnellement

utilisées permet de réduire les efforts de coupe, de limiter la longueur de contact outil-copeau (en

segmentant le copeau) ou encore d’accroître la qualité des surfaces finales obtenues. Par contre, en

augmentant la vitesse de coupe, on observe une élévation de la température à l’interface outil-

copeau et par la même occasion, une usure prématurée des outils.

• L’avance t1, est la longueur de déplacement de l’outil pendant un tour de la pièce à usiner. Sa

valeur peut alors varier de quelques microns, pour une opération de finition, à quelques dixièmes de

millimètres pour des opérations d’ébauche.

• L’angle de coupe α, mesuré dans le plan normal à l’arête de coupe, est l’angle entre la face de


- 20 -

coupe de l’outil et la perpendiculaire à la direction de coupe. Sa valeur est directement liée au niveau

de déformation dans le copeau. Les angles de coupe négatifs ou nuls induisent des déformations

plus importantes que les angles positifs.

• Le comportement du matériau, à savoir sa capacité à se déformer dans les conditions particulières

apparaissants en usinage est un autre paramètre important lié à la formation du copeau. En effet, le

processus d’usinage à grande vitesse se fait sous des conditions extrêmes de déformations, de

températures et de vitesses de déformation. Les premiers modèles analytiques (Merchant, 1945 –

Lee et Schaffer, 1951) supposaient, comme première approximation, le matériau parfaitement

plastique. Par la suite, Gilormini (1982), Oxley (1989) ou Molinari et al, (1992) ont pris en compte

dans leur modèle respectif, les effets dynamiques et thermiques sur le matériau au travers de lois de

comportement thermo-viscoplastiques.

• Le frottement à l’interface outil-copeau est la conséquence à la fois des paramètres de coupe cités

précédemment et des affinités chimiques entre l’outil et le matériau usiné. C’est une donnée

primordiale dans la détermination du champ de température le long de la face de coupe, ainsi que

des efforts lors de l’usinage. Dans la plupart des modèles analytiques et numériques, il est supposé

être constant sur toute la face de coupe et décrit par une loi de Coulomb.

I.2 - Etat de l’art de la modélisation analytique

I.2.1 - Historique de la modélisation analytique

Afin de modéliser des procédés de coupe industriels tels que le tournage, le fraisage ou le perçage, il

est nécessaire de comprendre les phénomènes existants dans des opérations de coupe simples telles

que la coupe orthogonale ou oblique avec une arête droite. De nombreux auteurs se sont appliqués

à étudier l’usinage et développer des modèles analytiques. De Zvorykin à Molinari et al. en passant

par Merchant, Oxley ou Gilormini, tous se sont intéressés à la modélisation de la coupe (Figure

I.4).

Dans ce chapitre nous proposons une étude bibliographique de quelques uns des modèles

analytiques les plus couramment cités dans la littérature. Devant la complexité des phénomènes

rencontrés lors de l’usinage, les différents auteurs ont tout d’abord cherché à simplifier le problème

(comportement du matériau purement plastique, outil supposé parfaitement pointu, contact à

l’interface outil-copeau « glisant », ...).


- 21 -

Zvokyrin :Première

étude de la coupe

Merchant :Première

modélisation basée sur l’équilibre

des forces de coupe

Albrecht :Prise en

compte du rayon d’arête

Gilormini : Profil de vitesse dans le copeau et

calcul du rayon de courbure de celui-

ci

Usachev: Premier

travail sur la formation du

copeau

Lee et Shaffer: Modélisation par la

méthode des lignes de glissement. Le

matériau est supposéplastiquement parfait

Boothroyd :Première modélisation thermomécanique avec

détermination expérimentale des sources de chaleur dans le copeau

Oxley :Loi de comportement avec prise en compte

de l’écrouissage, sensibilité à la vitesse de déformation et à la

température

Molinari et al. : Modélisation de la coupe oblique. Loi

de frottement àl’interface outil-

copeau dépendant de la température

Zorev:Prise en

compte de l’écrouissage (vitesses très

faibles)

1896

1915

1945

1951 1960

1963

1966

1982

1989

1992

Zvokyrin :Première

étude de la coupe

Merchant :Première

modélisation basée sur l’équilibre

des forces de coupe

Albrecht :Prise en

compte du rayon d’arête

Gilormini : Profil de vitesse dans le copeau et

calcul du rayon de courbure de celui-

ci

Usachev: Premier

travail sur la formation du

copeau

Lee et Shaffer: Modélisation par la

méthode des lignes de glissement. Le

matériau est supposéplastiquement parfait

Boothroyd :Première modélisation thermomécanique avec

détermination expérimentale des sources de chaleur dans le copeau

Oxley :Loi de comportement avec prise en compte

de l’écrouissage, sensibilité à la vitesse de déformation et à la

température

Molinari et al. : Modélisation de la coupe oblique. Loi

de frottement àl’interface outil-

copeau dépendant de la température

Zorev:Prise en

compte de l’écrouissage (vitesses très

faibles)

1896

1915

1945

1951 1960

1963

1966

1982

1989

1992

Figure I.4 : Principaux acteurs de la modélisation analytique des procédés d’usinage

Merchant (1945) s’est intéressé au procédé de coupe orthogonal stationnaire avec un copeau non

segmenté. Son approche purement mécanique est basée sur l’équilibre des efforts appliqués au

copeau.

Lee et Schaffer (1951) utilisent la méthode des lignes de glissement pour décrire l’écoulement du

copeau à travers la bande de cisaillement, puis le long de la face de coupe. Ces auteurs suppriment

ainsi l’hypothèse d’un outil supposé parfait, et intègrent le rayon d’arête. Néanmoins, la méthode

des lignes de glissement impose que le matériau usiné soit parfaitement plastique.

De 1969 à 1989, Oxley propose en s’appuyant sur les travaux de Boothroyd (1963), un modèle

« thermomécanique ». Il est le premier auteur à proposer une modélisation complète du procédé de

coupe orthogonale. Oxley utilise un comportement thermo-viscoplastique pour le matériau usiné et

prend en compte à la fois les zones de cisaillement primaire et secondaire en supposant un contact

collant à l’interface outil-copeau.

Une revue détaillée des modèles de Merchant (1945) et d’Oxley (1989) est présentée par la suite.


- 22 -

I.2.2 - Résumé du modèle de Merchant (1945)

Merchant est l’un des précurseurs de la modélisation de la coupe. Dans son modèle, la formation du

copeau est supposée être due à un intense cisaillement le long d’un plan incliné d’un angle appelé

« angle de cisaillement » (φ), par rapport à la direction de la vitesse de coupe V (Figure I.5).

L’auteur suppose également que l’on se place dans des conditions stationnaires en déformation

plane. L’objet de l’étude est de prédire les efforts de coupe lors d’une opération simple de coupe

orthogonale avec une arête droite. Le modèle est basé sur les principales hypothèses suivantes : (i) le

matériau usiné a un comportement parfaitement plastique, (ii) la zone de cisaillement primaire est

assimilée à un plan, (iii) l’interface outil-copeau est le siège d’un frottement de type Coulomb (angle

de frottement λ) supposé constant quelles que soient les conditions de coupe, (iv) le contact est

supposé glissant.

En supposant, la contrainte de cisaillement τ uniforme dans le plan de cisaillement, l’effort de

cisaillement Fs, dans la zone de cisaillement primaire est donné par la relation :

τsinφ

tw=τlw=Fs 1

OA (I.1)

Où w désigne la largeur de coupe, t1 la profondeur de coupe (ou avance) et lOA la longueur de OA

(Figure I.5).

Les efforts de coupe sont alors calculés à partir de l’équilibre du copeau :

cosφN+sinφF=F

sinφN+cosφF=F

α)-λ+tan(φF=N

ssq

ssp

ss

-

(I.2)

où Fp et Fq représentent respectivement les efforts de coupe et d’avance et Ns la résultante des

contraintes normales le long du plan de cisaillement OA. L’angle α est l’angle de coupe (Figure I.5).

L’angle de cisaillement φ est déterminé en minimisant la puissance totale P dissipée pendant la

coupe :

( )( )α-λ+cossinφ

α-λcostwVτ=VF=P 1p ϕ

. (I.3)


- 23 -

La recherche du minimum de P, en supposant que la contrainte de cisaillement τ et l’angle de

frottement λ sont constants, donne la relation :

2

λ-α+

4

π=φ . (I.4)

Figure I.5 : Approche de Merchant (1945)

Les relations précédentes permettent alors de donner les expressions des efforts de coupe (I.5)

( )α-λtan2

α-λ+

4

πtantwτ2=F

2

α-λ+

4

πtantwτ2=F

1q

1p

(I.5)

L’épaisseur du copeau est calculée en écrivant la conservation du flux de matière avec l’hypothèse

que la vitesse est uniforme de part et d’autre du plan de cisaillement.

L’hypothèse du comportement parfaitement plastique induit l’uniformité de la contrainte normale le

long de la face OA. En écrivant l’équilibre des moments appliqués au copeau isolé (OA étant la

frontière par rapport à la pièce), Merchant détermine la longueur de contact lc entre l’outil et le

copeau :

2

α-λ+

4

πtan

cosλ

t=l 1

c (I.6)


- 24 -

I.2.2.1 - Limites du modèle

Les résultats obtenus par ce modèle montrent que les efforts de coupe sont proportionnels à la

limite d’élasticité en cisaillement τ, à la largeur de coupe w, et à l’avance t1. Or, Il a été montré

expérimentalement que ceci n’est pas en accord avec la réalité. A titre d’exemple, il est possible de

citer l’effet de la vitesse de coupe qui n’est pas reproduit par le modèle de Merchant.

Contrairement à ce que propose Merchant, l’écoulement de la matière ne peut se faire brusquement

à travers le plan OA, mais de manière progressive.

De plus, Merchant suppose que le matériau usiné est parfaitement plastique. Ainsi, il n’y a pas de

prise en compte des effets de la vitesse de déformation et de la température sur la contrainte et

donc, sur les efforts de coupe.

L’auteur néglige également les effets des paramètres de coupe (V, α, t1 ) sur les conditions de

frottement. Or, de nombreuses études tribologiques ont montré que le coefficient de frottement à

l’interface outil-copeau est très sensible aux conditions de coupe et à la température lors des essais.

Finalement, une étude plus détaillée sur l’angle de cisaillement réalisée dans le Chapitre III, permet

de montrer que les prédictions de φ données par la minimisation n’est pas toujours en accord avec

les mesures expérimentales ou les données numériques.

I.2.3 - Résumé du modèle de Oxley

Oxley est le premier à présenter une approche thermomécanique de l’usinage. Le modèle donne,

en fonction des conditions de coupe, les efforts et les températures moyennes dans les zones

primaires et secondaires ainsi que la géométrie du copeau (longueur de contact et épaisseur du

copeau).

Son modèle comprend une partie mécanique et une partie thermique issue des travaux de

Boothroyd (1963). Le modèle s’appuie sur deux observations fondamentales faites à partir de

micrographies : (i) le cisaillement primaire s’effectue dans une zone d’une certaine épaisseur, (ii) le

copeau s’écoule le long de la face de coupe de l’outil, ce qui induit une zone de cisaillement

secondaire d’épaisseur constante δt2 (Figure I.6).


- 25 -

Figure I.6 : Approche d’Oxley (1989) ; prise en compte des zones primaire et secondaire de

cisaillement dans la modélisation

Les hypothèses de déformation plane et d’état stationnaire sont prises en considération et l’arête de

l’outil est supposée parfaitement tranchante. Pour définir le comportement thermomécanique du

matériau usiné, l’auteur s’appuie sur la loi de comportement suivante :

θ),ε(n1 εθ),ε(σ=σ

&

& (I.7)

où σ et ε représentent respectivement la contrainte équivalente de Von Mises et la déformation

plastique cumulée. ε& est la vitesse de déformation équivalente associée à σ , θ représente la

température absolue, n est le paramètre d’écrouissage et σ1 une quantité ayant la dimension d’une

contrainte.

La résolution du problème revient à déterminer dans un premier temps les contraintes

d’écoulement dans chacune de deux zones puis à écrire les équations d’équilibre ainsi que l’équation

énergétique afin d’obtenir l’angle de cisaillement φ, la longueur de contact outil-copeau lc et

l’épaisseur de la zone de cisaillement secondaire δt2.

I.2.3.1 - Analyse du cisaillement primaire

La zone de cisaillement primaire est définie comme une bande d’épaisseur h autour du segment OA.

La valeur moyenne de la vitesse de déformation dans la bande est donnée par le rapport :

h

∆V=γ s& (I.8)


- 26 -

Or, l’évolution de la vitesse de cisaillement Vs dans la zone de cisaillement primaire ne peut être

déterminée que par une approche thermomécanique complète de l’écoulement de la matière dans la

bande. Ne connaissant ni l’épaisseur de la bande h ni Vs, Oxley propose une relation empirique de

la vitesse de cisaillement en fonction de la longueur OA (lOA) et d’un coefficient spécifique (C) dont

la valeur est déterminée ultérieurement.

1

s

OA

sOA t

sinφ∆VC=

l

∆VC=γ& (I.9)

Afin de calculer le glissement le long du plan OA, il est nécessaire de connaître le champ des

vitesses. Oxley suppose constante la vitesse normale VN à travers le plan de cisaillement primaire :

( )

( )α-φcos

sinφV=V

α-φcosV=sinV=V

C

CN ϕ (I.10)

La figure I.7 donne les relations de Vs à l’entrée et à la sortie de la bande (1 pour entrée de la

bande ; 2 pour la sortie) :

( )sinφα-φVtan=V

Vcosφ=V

S2

S1 (I.11)

Le saut de vitesse tangentielle entre l’entrée et la sortie de la bande est ainsi obtenu :

( )α-φcos

cosαV=V-V=∆V S1S2s (I.12)

V

VN

VC

α

φ-α

φ

∆VS

Plan de cisaillement OA

Figure I.7 : Diagramme des vitesses selon Oxley (1989)


- 27 -

En supposant que le glissement le long du plan OA est uniforme et qu’il représente la moitié du

glissement total, Oxley obtient la relation suivante :

sinφα)-cos(φ2

cosα=

V

∆V

2

1=

V

dz

dz

dVs

2

1=dtγ

2

1=γ

2

1=γ

N

S

N

h

0

∆t

0

totalOA ∫∫& (I.13)

En combinant les équations de (I.9) à (I.13), on obtient les relations suivantes pour la déformation

et la vitesse de déformation :

sinφα)-cos(φ

cosα

32

1=

3

γ=ε OA

OA (I.14)

α)-cos(φ

sinφcosα

t3

CV=

3

γ=ε

1

OAOA

.&

(I.15)

La température le long de la ligne OA est essentiellement due à la déformation plastique autour de

ce plan. Oxley propose la formulation suivante pour θOA :

OAOA0ZP0OA γ2τρc

β)-(1κ+θ=κ∆θ+θ=θ (I.16)

où θ0 représente la température de la pièce à usiner. ZP∆θ est l’augmentation de température due à

la déformation plastique le long du plan OA. κ (pris entre 0 et 1) représente le fait que la

déformation plastique se produit au-delà de OA. A la suite des travaux numériques de Tay et al.

(1976), l’auteur a fixé sa valeur à 0.7.

Le coefficient (1-β) correspondant à la fraction de chaleur passée dans la pièce, est déterminé à

partir des formules de Boothroyd (1963) :

)P

φtan0.35ln(-0.5=β

e

si 10P

φtan 0.04

e

≤≤

(I.17)

)P

φtan0.15ln(-0.3=β

e

si 10P

φtan

e

>

où k

ρcVt=P 1

e le nombre de Peclet de l’écoulement.


- 28 -

I.2.3.2 - Analyse du cisaillement secondaire

La zone de cisaillement secondaire est induite par le frottement du copeau le long de la face de

coupe de l’outil. Des déformations supplémentaires (bien supérieures à l’unité) sont ainsi générées

dans cette zone de faible épaisseur δt2 dans laquelle on suppose l’écrouissage saturé.

La loi de comportement au voisinage de la ligne OB peut alors se réduire à la relation :

θ),ε(σ=σ.

1OB (I.18)

Dans la zone de cisaillement secondaire, la vitesse est supposée varier linéairement pour atteindre

ensuite une valeur constante (Figure I.8).

α)-φcos(δt

φVsin=

δt

Vc=γ

22OB& (I.19)

φ

A

O

Zone de cisaillement secondaire

Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

δt2

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

δt2

x

y

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

δt2

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

φ

A

O


Outil

Copeau

B

Outil

Copeau A

δt2

x

y

Figure I.8 : Représentation de la zone secondaire de cisaillement, Oxley (1989)

Il est à noter que Oxley suppose que le cisaillement secondaire n’influe pas sur la conservation de

flux de matière de part et d’autre du plan OA. Ainsi, l’épaisseur du copeau t2 peut être déterminée à

partir de la relation de Merchant.

sinφ

α)-cos(φt=t 12 (I.20)

Afin de simplifier son modèle, Oxley considère la température moyenne OBθ le long de la ligne

OB :

MZP0OB ψ∆θ+θ∆+θ=θ (I.21)


- 29 -

La valeur de ψ=0.7 fait appel aux résultats numériques de Tay et al. (1976) ; l’expression de ∆θM est

déterminée à partir des travaux de Boothroyd (1963) :

ce

2

ce

2

C

M

lP

tlog+

lP

t0.19δ--0.06=

∆θ

∆θlog (I.22)

où ∆θC définit l’échauffement moyen du copeau ; il est donné par la relation :

2

OB ρct

lcτ=∆θc (I.23)

La loi de comportement (I.19) revient à écrire :

)θ,ε(σ3

1=)θ,γ(τ=τ OBOB1OBOBOBOB

&& (I.24)

La relation obtenue (I.24) est une relation implicite en OBθ . Elle permet de déterminer, à partir des

estimations de la vitesse de déformation OBγ& et de la température moyenne à l’interface OBθ , la

contrainte de cisaillement OBτ en fonction de l’angle de cisaillement φ, du coefficient C, de la

longueur de contact lc et de l’épaisseur de la zone secondaire de cisaillement δt2.

A ce stade du problème, il reste 4 inconnues (lc, φ, C et δt2) à identifier. La méthode de résolution

est présentée par la suite.

I.2.3.3 - Détermination des inconnues

a) Longueur de contact lc

Elle est déterminée à partir de l’équilibre des moments des forces s’appliquant au copeau à la pointe

O de l’outil en supposant que la distribution des contraintes normales est uniforme à l’interface

outil-copeau.

α)-λ+φcos(φsin

cosλwt

2

l=

2

lN=M 1ccC

OB (I.25)

∫OAOA wxp(x)dx=M (I.26)

où p(x) représente la pression hydrostatique le long du plan OA déterminée à partir de l’équilibre

d’un élément de volume au voisinage du plan de cisaillement OA. L’égalité des moments donne

ainsi une relation pour la longueur de contact lc :


- 30 -

( )

nC3

2-2-

2

π+1

sincosλ

α-λ+cost=l 1c ϕ

ϕϕ

(I.27)

b) Calcul de l’angle de cisaillement primaire

La détermination de l’angle de cisaillement φ se fait à l’aide des expressions de la résultante

tangentielle à l’interface outil-copeau Fc :

OBcc

1c

wl=F

α)-λ+cos(φsinφ

sinλwt=F

τ

τOA (I.28)

La combinaison des relations (I.27) et (I.28) permet d’obtenir une relation implicite donnant l’angle

de cisaillement φ.

( )

Cn

3

2-2φ-

2

π+1

cosλ

α-λ+φcos=τ

α)-λ+cos(φsinφ

sinλOA (I.29)

c) Détermination du coefficient C

Il est déterminé à partir des équations donnant la pression hydrostatique à la pointe de l’outil. Une

première relation est obtenue en supposant que la contrainte normale est uniforme le long de

l’interface outil-copeau :

c

c0 lw

N=P (I.30)

La seconde relation est obtenue à partir des équations de Henckey (Gilormini 1982, Oxley 1989) :

( )

nC+α2-

2

π+1τ=P OA0 (I.31)

Les relations précédentes, ajoutées à celle donnant l’angle de frottement (tanλ=Fc/Nc), permettent

l’expression du coefficient C.

α2+

2

π-1-

tanλτ

τ

2n

1-=C

OA

OB (I.32)


- 31 -

Finalement, l’épaisseur de la seconde zone de cisaillement est déterminée de façon à minimiser

l’énergie de coupe.

I.2.3.4 - Points forts de la modélisation d’Oxley

Oxley est le premier auteur à proposer une modélisation thermomécanique de la coupe. En effet, il

utilise pour le matériau usiné une loi de comportement thermomécanique et prend en compte les

zones de cisaillement primaire et secondaire.

Une comparaison de la modélisation à des mesures expérimentales a été faite sur deux aciers à 0.18

et 0.38% de carbone. Le modèle permet de reproduire certaines tendances expérimentales telles que

la décroissance des efforts de coupe ou l’augmentation de l’angle de cisaillement avec

l’augmentation de la vitesse.

I.2.3.5 - Points faibles

Le comportement du matériau a été identifié à partir d’essais de compression dynamique ( ε&≈ 500

s-1). Les vitesses de déformation observées dans la zone de cisaillement primaire sont de l’ordre de

104, 106 s-1. La loi ainsi obtenue n’est donc pas valable pour ces hautes vitesses de déformation. De

plus, la formation du copeau se fait principalement par cisaillement. Il aurait donc été préférable

d’identifier la loi sur des essais faisant intervenir les mêmes types de déformations.

De nombreuses relations empiriques (Boothroyd, 1963), ainsi que des résultats numériques valables

pour des conditions particulières de coupe (Tay et al., 1976) ont été introduites afin de déterminer la

vitesse de déformation dans le plan de cisaillement ou la température dans le copeau. Des questions

se posent alors sur la validité de ces hypothèses dans le cadre de nouvelles conditions de coupe, ou

pour de nouveaux couples outil-matière.

De plus, le modèle ne permet pas de déterminer la distribution de température le long de la face de

coupe de l’outil. Or sa connaissance permettrait, à l’aide de modèles d’usure, de prédire la durée de

vie des outils en fonction des conditions de coupe.

Oxley détermine le coefficient de frottement à partir de l’estimation de la pression le long du plan

OA et ce indépendamment du comportement thermomécanique du matériau usiné, des conditions

de coupe ou des relations physico-chimiques à l’interface outil-copeau. Or, on peut montrer

facilement que la vitesse ou la température sont des paramètres influant sur le coefficient de

frottement moyen.

- 32 -

- 33 -

- 34 -

Chapitre II

Présentation & validation du modèle de coupe orthogonale de Molinari et al.

(depuis 1992)

e modèle de coupe orthogonal développé au sein du LPMM (Molinari et Dudzinski (1992), Dudzinski et

Molinari (1997) puis Moufki et al. (1998)) permet de prédire les efforts de coupe, la longueur de contact

outil-copeau ainsi que la distribution de température sur la face de coupe de l’outil. Après avoir présenté la

modélisation de la zone primaire de cisaillement et des effets thermiques à l’interface outil-copeau, nous proposons par

la suite d’appliquer le modèle à deux couples outil-matériau. Nous montrons finalement que les tendances

expérimentales sont bien reproduites par le modèle pour l’ensemble des conditions de coupe observées.

L

Chapitre II : Présentation & validation du modèle de coupe orthogonale de Molinari et al. (depuis 1992)

- 35 -

II.1 - Introduction

Molinari et Dudzinski (1992), Dudzinski et Molinari (1997), puis Moufki et al. (1998) ont proposé

un modèle thermomécanique de la coupe capable de déterminer les efforts de coupe, la longueur de

contact outil-copeau, la pression à la pointe de l’outil et le champ de température le long de la face

de coupe. En 1998 Moufki et al. introduisent dans le modèle une loi de frottement dépendante de la

température moyenne à l’interface outil-copeau. Cette loi permet de reproduire les tendances

observées expérimentalement, à savoir, la décroissance des efforts de coupe avec l’augmentation de

la vitesse. En effet, de nombreuses études tribologiques ont montré que le coefficient de frottement

diminue lorsque la température augmente. Cette observation d’ordre générale se retrouve dans

l’usinage à grande vitesse. Ainsi, l’augmentation de la vitesse de coupe induit une élévation de la

température à l’interface outil-copeau qui permet, par l’intermédiaire du coefficient de frottement

moyen, de réduire les efforts de coupe. La première partie de ce chapitre est consacrée à la

présentation du modèle de coupe orthogonale de Molinari et al. (1992)

Dans une seconde partie, nous cherchons à appliquer le modèle à l’acier AISI 1050. Les lois

régissant le comportement du matériau et le frottement à l’interface outil-copeau sont données

respectivement, par la littérature et des essais de coupe orthogonale. Finalement, ces mêmes essais

nous permettent par la suite de confronter nos résultats théoriques aux valeurs expérimentales des

efforts de coupe.

II.1.1 - Modélisation de la zone primaire

II.1.1.1 - Mise en place des hypothèses

La première hypothèse consiste à dire que le copeau se forme essentiellement dans la zone primaire

de cisaillement. Cette zone est supposée être une fine bande d’épaisseur constante h inclinée d’un

angle φ par rapport à la direction de la vitesse de coupe V.

L’ensemble des équations du modèle a été résolu dans le cadre d’un état stationnaire induisant

l’hypothèse d’un écoulement continu du copeau. Afin d’utiliser l’hypothèse de déformations planes,

la profondeur de coupe doit être petite devant la largeur de coupe.

Dans la modélisation de la zone primaire, le contact à l’interface outil-copeau est supposé

totalement glissant. L’outil est lui supposé non déformable sans rayon d’arête et le frottement en

dépouille, c'est-à-dire celui existant entre la pièce usinée et l’outil, n’est pas pris en compte.


- 36 -

h

φ

α

xt1

y

V

β

copeau

outil

h

φ

α

xt1

y

V

β

h

φ

α

xt1

y

V

β

h

φ

α

xt1

y

V

β

copeau

outil

Figure II.1 : Représentation de la modélisation de la coupe (image obtenue à partir du procédé de

quick-stop » selon Trent et Wright (2000).

II.1.1.2 - Equations du modèle

Dans la première version du modèle (Molinari et Dudzinski, 1992), le comportement thermo-

viscoplastique du matériau était décrit par une loi puissance dont la forme est donnée par la relation

de Molinari et Clifton (1983) :

νmn

00 θ~

γ~

γ)+(γµ=τ~ & (II.1)

avec τ~ la contrainte d’écoulement en cisaillement, γ0 une prédéformation, µ0 une constante du

matériau, n le coefficient d’écrouissage (> 0), m la sensibilité à la vitesse de déformation (> 0) et υ

l’adoucissement thermique(< 0) .

L’écoulement est supposé unidimensionnel. Ainsi, les auteurs supposent que les effets de bords

sont négligeables. Le champ de vitesse ne dépend alors que de la composante y~ et du temps t~ . La

vitesse d’une particule dans le repère )y~,x~( lié à la bande est donnée par les composantes :

v�x = v�x (ỹ, t�)

v�y = v�y (ỹ, t�) (II.2)

v�z = 0

Sachant que l’élasticité est négligée, l’hypothèse d’incompressibilité 0y~d

v~d y = est alors utilisée,

induisant la relation :

sinφV=V=V N1N0 (II.3)


- 37 -

Zone primaire de cisaillement

Vc

VS1

VN1

VS0

VN0V

h

(φ-α)

φx

y


Vc

VS1

VN1

Vc

VS1

VN1

VS0

VN0V

h

(φ-α)

φx

y

Figure II.2 : Diagramme des vitesses, Molinari et Dudzinski (1992).

D’après le diagramme des vitesses (Figure II.2), l’expression de la vitesse du copeau est obtenue en

fonction des angles de cisaillement φ et de coupe α

α)-cos(φ

sinφV=

α)-cos(φ

V = V N

C (II.4)

Les vitesses dans le plan de cisaillement à l’entrée et à la sortie de la bande sont données par les

relations (I.38).

v�x (ỹ=0, t�) = VS0 = -V cosφ

(II.5)

v�x (ỹ=h, t�) = VS1 = VC.sin(φ - α)

Dans la modélisation proposée, nous nous intéressons à une particule dans son mouvement. Les

dérivées particulaires sont alors utilisées dans les différentes relations (équations de la chaleur et de

la quantité de mouvement, les relations de compatibilité et de la définition de la vitesse de

glissement).

Les équations de la quantité de mouvement dans un problème unidimensionnel se réduisent à

l’expression suivante :

N

x Vγ+t

vρ=

y

τ ~~∂

~∂~∂

~∂& (II.6)


- 38 -

La température dans la zone primaire est déterminée à partir de l’équation de la chaleur :

2

2

Ny

k+γτβ=Vy

+t

ρc ~∂

~∂~~~∂

~∂~∂

~∂ θθθ&

(II.7)

où β (coefficient de Taylor-Quinney) représente la fraction de la déformation plastique transformée

en chaleur.

La relation de compatibilité donne la vitesse de glissement en fonction de la vitesse de l’écoulement

de la matière à travers l’équation (II.8).

y~∂v~∂

=γ~ x& (II.8)

La vitesse de glissement est la dérivée particulaire du glissement :

NVy~γ

+t~γ

=γ~

∂∂

∂∂

& (II.9)

Afin d’obtenir des équations adimensionnelles, les variables suivantes sans dimension sont définies :

Rγ

~γ~

=γ&

&& Rγ

~t~=t &

(II.10)

Rτ

~τ~

=τ N

xx V

v~=v

où h est l’épaisseur de la bande, θ�0 la température de la pièce avant usinage, VN la vitesse normale.

τ�R est une contrainte de référence donnée par :

ν

0m

R0R θ~

γ~

µ=τ~ & (II.11)

La vitesse de déformation de référence Rγ~& est prise égale à la vitesse de déformation moyenne dans

la bande :

α)-cos(φ

cosα

h

V=

h

VV=y~dγ

~h

1=γ

~=γ

~h

0

S0S1mR ∫ -

&&& (II.12)

h

y~=y

0θ~θ~

=θ


- 39 -

Le système d’équations (II.6) à (II.9) revient au système sans dimension suivant :

y

γC+

t

γ=γ

∂∂

∂∂

& (II.13)

γ+

t

vD=

y

τ x&

∂∂

∂∂

(II.14)

2

2

y

θK+γBτ=

y

θC+

t

θ

∂∂

∂∂

∂∂

& (II.15)

νmn0 θγγ)+(γ=τ & (II.16)

où les nombres B, C, D, K sont définis par :

0

R

θ~

ρc

τ~β=B

( )cosα

α-cossin=

γh

V=C

R

N ϕϕ~&

(II.17)

α)-φcos(τ~

cosαφsinρV=

τ~γ~

hρV=D

R

2

R

RN &

ρchVcosα

α)-φkcos(=

γ~

ρch

k=K

R2&

Les nombres B, D, K caractérisent respectivement la production de chaleur par déformation

plastique, les effets d’inertie et le phénomène de conduction. Le nombre C est un facteur

géométrique.

Comme il a été énoncé dans l’introduction du modèle, l’hypothèse d’un écoulement de copeau

continu induisant un état stationnaire a été choisie. De plus, les très hautes vitesses atteintes lors de

l’usinage ne laissent pas le temps à la chaleur de diffuser. L’hypothèse de l’écoulement adiabatique

se justifie ainsi et permet de simplifier la relation (II.15) en supprimant les termes de conduction. Le

système d’équations précédent (II.13) à (II.16) devient :

y

γC=γ∂∂

& (II.18)

γD=y

τ&

∂∂

(II.19)

γβτ=y

θC &∂∂ (II.20)

m

-υ

m

-n

0m

1

θγ)+(γτ=γ& (II.21)


- 40 -

La combinaison des équations (II.18) et (II.19) puis (II.18) et (I.20) donnent, après intégration par

rapport à la variable y, les évolutions de la contrainte τ et de la température θ

0τ+DCγ=τ (II.22)

2

DCγ+γτB+1=θ

2

0 (II.23)

Ces relations, une fois introduites dans la loi de comportement, permettent d’exprimer la vitesse de

déformation pour un état stationnaire.

( ) ( )m

-υ2

0m

n-

0m

1

0 2

DCγ+γτB+1γ+γτ+DCγ=γ

& (II.24)

Les trois expressions (II.22), (II.23) et (II.24) sont fonction de la déformation γ et de la contrainte

de cisaillement à l’entrée de la bande τ0. Le cisaillement γ est obtenu en résolvant l’équation

différentielle (II.25) résultante de la combinaison des relations (II.18) et (II.24).

( ) ( )m

-υ2

0m

n-

0m

1

0 2

DCγ+γτB+1γ+γτ+DCγ

C

1=

C

γ=

dy

dγ

& (II.25)

La résolution de cette équation nécessite des conditions aux limites en déformation. Il a été supposé

qu’il n’y a des déformations que dans la zone primaire de cisaillement (y ∈ [0 ; h])

γ (y=0) = 0 (II.26)

γ (y=h) = γ1 = N

0S1S

V

VV - = tan(φ-α) + φtan

1 (II.27)

Il reste à déterminer la contrainte à l’entrée de la bande τ0. Pour ce faire, Moufki et al. (1998)

combinent les relations (II.18) et les relations de compatibilité afin d’obtenir l’équation intégrale

(II.28) qui est résolue de manière itérative.

( ) 0=h-dγτγ,γ

V1γ

0 0

N∫&

(II.28)

A ce stade de l’étude, la contrainte, la température, la déformation et de la vitesse de déformation

ont été exprimées en fonction de la hauteur h de la bande de cisaillement et de l’angle de

cisaillement φ. La détermination de cette première donnée se fait à l’aide d’observations


- 41 -

expérimentales (Shaw, 1984) qui ont permis de donner une estimation de la largeur moyenne de la

bande. Les auteurs ont choisi pour la suite de la modélisation h = 0.025 mm.

Dans le modèle de coupe orthogonale, Molinari et al. déterminent l’angle de cisaillement φ de deux

manières possibles : (i) en utilisant des relations empiriques telles que l’expression (II.29) donnée

par Zvorykin (1893), (ii) à l’aide de la méthode de la minimisation de l’énergie de coupe (vue dans la

modélisation de Merchant).

φ= A1 + A2 (α – λ) (II.29)

Le modèle de Merchant (1945) donne approximativement les valeurs A1 = 45 et A2 = 1/2.

Dans cette dernière relation, l’angle de frottement λ reste à déterminer. Il est intrinsèquement lié au

coefficient de frottement moyen à l’interface outil-copeau µ à travers la relation (II.30).

)µ(tan=λ -1 (II.30)

Afin de déterminer µ , les auteurs se sont appliqués à modéliser les effets thermiques à l’interface

outil-copeau à l’aide de l’équation de la chaleur.

II.1.2 - Modélisation des effets thermiques à l’interface outil-copeau

Des travaux antérieurs (Usai et al., 1978 ; Schulz, 1989) ont montré expérimentalement que le

frottement moyen varie avec l’angle α, l’avance t1 et la vitesse de coupe V. Or, il est difficile de

déterminer le poids de chacun de ces paramètres sur µ . En partant de l’observation que la

température moyenne à l’interface intT est elle-même dépendante de α, t1 et V, Moufki et al. (1998)

ont proposé de définir le coefficient de frottement moyen comme une fonction de intT (II.31).

Ainsi, chaque couple outil-matériau usiné peut être défini par une loi de type : )T(µ int. L’influence

des différentes conditions de coupe est alors décrite par les variations d’une seule et même variable

globale : la température moyenne à l’interface outil-copeau.

( )

q

ref

int0int T

T-1µ=Tµ=µ (II.31)

Les paramètres 0µ , q et Tref sont déterminés à partir d’essais expérimentaux, et dépendent du

coefficient de frottement moyen expérimental (calculé directement à partir des mesures d’efforts de

coupe). La dernière inconnue s’avère être la température moyenne à l’interface. Sa détermination se

fait à l’aide des relations de conservation de l’énergie et des conditions limites appropriées.


- 42 -

Ce type de loi, dépendant des conditions de coupe à travers une variable unique, permet alors de

décrire le frottement d’un couple outil-matériau pour tous les procédés d’usinage. Par conséquent,

une loi de frottement définie pour des essais de coupe orthogonale peut alors être utilisée pour des

procédés complexes tels que le tournage (Chapitre III).

II.1.2.1 - Mise en place des hypothèses

Le copeau formé s’écoulant le long de la face de l’outil est soumis à deux sources de chaleurs

distinctes : la chaleur due à la déformation plastique dans la zone secondaire de cisaillement et celle

induite par le frottement du copeau sur l’outil. Cette étude est résolue en supposant que l’énergie

totale générée par le frottement à l’interface est évacuée par le copeau. En général, seulement une

partie de l’énergie de frottement part avec le copeau ; le reste étant transféré dans l’outil. Il est

important de caractériser le coefficient de partition η définissant la proportion de chaleur due au

frottement transférée dans l’outil (Moufki et Molinari, in press ; Moufki et al., Int. Conf. of Darmstadt).

Le coefficient de partage η est fortement dépendant de la vitesse du copeau VC ; sa valeur tend vers

1 pour des valeurs croissantes de la vitesse VC. En effet, il a été montré au travers d’essais

expérimentaux que la majeure partie de la chaleur due au frottement est évacuée avec le copeau

pour des valeurs suffisamment grandes de la vitesse de coupe V. Dans ce travail de thèse

(Chapitres II et III), nous avons pris η = 1.

(a)

outil

copeau

φ

X

Y

outil

copeau

φ

X

Y

(b)

X

Y

copeau

Vc

Q(X)=Y

Tk- =0Y∂∂

hθ=y)T(0,

X

Y

copeau

Vc

Q(X)=Y

Tk- =0Y∂∂

X

Y

copeau

Vc

Q(X)=Y

Tk- =0Y∂∂

hθ=y)T(0,

Figure II.3 : Schématisation de la source de chaleur due au frottement à l’interface outil-copeau,

Moufki et al. (1998).


- 43 -

Dans l’étude présentée ici, la zone secondaire est négligée, c'est-à-dire que le contact outil-copeau

est supposé parfaitement glissant. Cette hypothèse est vérifiée quand la vitesse de coupe est assez

importante. Les autres hypothèses utilisées sont données par la suite : (i) l’outil est supposé parfait

sans rayon d’arête ; (ii) l’échauffement dû au contact en dépouille est négligé ; (iii) le flux thermique

dans l’outil est considéré nul ; (iv) la conduction dans le sens de l’écoulement est négligeable devant

le terme de transport de matière ; (v) la distribution de température dans le copeau est supposée

stationnaire et indépendante de la largeur de coupe w.

Le passage de la figure II.3 (a) à la figure II.3 (b) nécessite une hypothèse supplémentaire : la

température moyenne à l’interface est calculée en négligeant l’inclinaison de la bande de

cisaillement. On suppose donc que la bande primaire est orthogonale à la face de coupe de l’outil.

II.1.2.2 - Mise en place des équations

L’équation de la chaleur soumise aux hypothèses citées précédemment permet d’obtenir la relation

suivante :

X

Y)T(X,V=

Y

Y)T(X,a C2

2

∂∂

∂∂

(II.32)

où cρ

k=a (II.33)

Les constantes k, ρ, c et a représentent respectivement la conduction, la masse volumique, la

capacité calorifique et la diffusibilité du matériau.

La température à la sortie de la bande primaire obtenue par le modèle unidimensionnel présenté

précédemment est donnée par T1 :

1T=Y)T(0, (II.34)

La température absolue à la sortie de la bande T1 est déterminée par la relation :

0hh1 θθ=θ=T

~~ (II.35)

avec θh obtenue par à partir de l’expression (II.23).

Loin de l’interface outil-copeau, l’élévation de température due au frottement n’est plus considérée

comme présente, la température estimée est donc T1 :

1

YT=Y)T(X,lim

∞→ (II.36)


- 44 -

Le long du contact outil-copeau, le flux thermique dans le copeau est donné par la relation :

Q(X)=Y

Tk-

0y=∂∂ (II.37)

Q(X) est la source de chaleur surfacique due au frottement. Son expression est donnée par la

relation :

P(X)Vµ=Q(X) C (II.38)

où µ et Vc représentent respectivement la valeur moyenne du frottement et la vitesse du copeau

(II.4).

La distribution de pression le long de l’interface outil-copeau est définie par P(X). Zorev (1963),

Kato et al. (1972), Buryta et al. (1994) et Childs et al. (1997) ont observé les variations des contraintes

normales et tangentielles le long de la face de coupe. Ces derniers ont mesuré expérimentalement

les valeurs de ces contraintes en utilisant un outil coupé. La figure II.4 montre les évolutions de ces

grandeurs dans le cadre de la coupe orthogonale pour des vitesses de coupe comprises ente 50 et

250 m/min et une avance de 0.1mm/rev.

La contrainte normale présente une évolution décroissante entre la pointe de l’outil et la fin du

contact outil-copeau. Quant à la contrainte de cisaillement, elle offre un pallier sur la première

partie du contact correspondant à la « zone de collage », pour finalement s’annuler pour X= lc (dans

le cas de la figure II.4, lc = 0.6mm). Zorev (1963) a été le premier auteur à modéliser ces

distributions de contrainte le long de la face de coupe.

Figure II.4 : Diagramme des contraintes normales et tangentielles en fonction de la distance à la

pointe de l’outil lors d’une opération d’usinage, Childs et al. (1997).


- 45 -

Moufki et al (1998) ont supposé le contact à l’interface outil-copeau parfaitement glissant. De plus,

les auteurs ont pris une formulation décroissante de la pression :

ξ

c0 l

x-1p=P(X)

(II.39)

où p0 représente la pression à la pointe de l’outil et ξ un entier positif. p0 et lc sont déterminés

respectivement à l’aide de l’équilibre des efforts et des moments appliqués au copeau.

Une fois la distribution de pression connue, la détermination de la distribution de la température

dans le copeau se fait à l’aide des transformées de Laplace. La relation (II.40) est ainsi obtenue :

( )

( )( )2 i 1

0 c i i 2int c h

i 0c

p V 1 2T x C l x x

2 i 1k c l

ξξ

ξξ

µθ

π ρ

+−

=

= − +

+ ∑ (II.40)

avec i!i)-(ξ

ξ!=C ξ

i .

En sommant sur toute la longueur de contact lc, la température moyenne à l’interface outil-

copeau intT est obtenue en fonction du coefficient de frottement moyen µ (II.41).

( )( )

ii j j0

int c c i hi 0 j 0

p 2 2T V l C 1 C

2 i 1 2 i j 3k c

ξ ξ

ξ ξµ θπ ρ

−

−= =

= − + + + +

∑ ∑ (II.41)

Moufki et al. (1998) ont étudié l’influence de ξ sur la distribution de température. La valeur ξ =2

donne une bonne approximation de la localisation du maximum de la température à l’interface

outil-copeau (environ 1/3 de la longueur de contact à partir de la pointe de l’outil). Les relations

(II.40) et (II.41) donnent alors respectivement les expressions (II.42) et (II.43) en prenant en

compte la valeur de ξ = 2.

( )( ) 0 c 2 2int c c h2

c

p xV2T x 8 x 15l 20 l x

15l k c

µθ

π ρ= + − + (II.42)

( )0 int

int c c h

p T4T V l

7 k c

µ θπ ρ

= + (II.43)

Il est à noter que les relations (II.42) et (II.43) donnant respectivement la distribution de

température et la température moyenne à l’interface sont des fonctions du coefficient de frottement


- 46 -

moyen (lui-même fonction de intT ). Un algorithme itératif de type Newton-Raphson est alors utilisé

pour le calcul de intT .

II.1.2.3 - Points forts du modèle

Les auteurs ont fourni depuis 1992 un modèle qui prend en compte à la fois la zone primaire de

cisaillement et les effets thermiques le long de la face de coupe de l’outil. La contrainte, la

déformation, la vitesse de déformation ainsi que le champ de température à l’entrée et à la sortie de

la zone primaire de cisaillement sont déterminés en intégrant les équations sur la largeur de la

bande. En comparaison, Oxley extrapole à l’aide de relations empiriques et/ou numériques les

valeurs des vitesses de déformation et du champ de température au-delà du plan de cisaillement OA

où elles ont été initialement calculées.

Depuis 1998, une loi de frottement dépendant de la température moyenne a été implémentée dans

le modèle. Elle permet de reproduire de façon plus réaliste les variations du coefficient de

frottement moyen en fonction des conditions de coupe (vitesse de coupe, avance, profondeur de

passe, comportement du matériau). Cette loi de frottement présente une nouvelle différence avec le

modèle d’Oxley qui lui, la calcule indépendamment des conditions de coupe et du matériau.

En outre, la détermination du coefficient de frottement moyen permet de déterminer en aval la

distribution de température dans le copeau, et sur la surface de l’outil.

II.1.2.4 - Points faibles du modèle

La modélisation de procédés complexes tels que l’usinage nécessite la mise en place d’hypothèses

plus ou moins fortes. Le modèle présenté a deux défauts majeurs : (i) la non prise en compte du

rayon d’arête, (ii) la caractérisation de la largeur de la zone primaire de cisaillement.

Dans la modélisation, l’outil est supposé parfait sans rayon d’arête. Cette hypothèse induit que

l’angle de coupe α est constant sur toute la face de coupe de l’outil. Or, il s’avère que dans le cas

réel (Figure II.5) à l’approche du rayon d’arête, α devient négatif. La différence entre la géométrie

réelle de l’outil est celle modélisée devient néanmoins négligeable pour des avances suffisamment

grandes.

Dans les modèles analytiques, la largeur de la bande de cisaillement h est une donnée du modèle. A

partir des observations microscopiques réalisées par Shaw (1984) , Molinari et al. (1992) ont choisi la

valeur h = 0.025 mm. Dans leur modèle, cette valeur est supposée être constante pour tous

matériaux et toutes conditions de coupe. Pour des matériaux pas ou peu sensibles à la vitesse de


- 47 -

déformation, Moufki et al. (1998) ont montré que le modèle est peu influencé par la valeur de la

largeur de la bande de cisaillement h.

Avance

α positif

α négatif

Avance

α positif

α négatif

α positif

α négatif

Figure II.5 : Schématisation de la géométrie réelle des outils de coupe avec rayon d’arête

II.2 - Application du modèle

II.2.1 - Données expérimentales des essais de coupe orthogonale

Une campagne d’essais expérimentaux de coupe orthogonale a été réalisée en collaboration avec la

Sabanci University (Istambul) sur un acier carbone AISI 1050. Les effets de la vitesse de coupe V,

de l’avance t1 et du revêtement de l’outil ont été analysés. Les efforts de coupe ont été mesurés pour

les différentes conditions de coupe.

L’acier n’a subi aucun traitement thermique ; sa composition est donnée par la table II.1.

Table II.1 : Composition chimique de l’acier AISI 1050

C (%) Si (%) Mn (%) P (%) < S (%) <0.45 0.1 0.60.54 0.3 0.9

0.04 0.05

Les outils de coupe utilisés pour la campagne expérimentale sont de type TPGN 160304 avec deux

grades différents. Leur géométrie est présentée par la figure II.6.

• Outil carbure revêtu de TiAlN (Grade: TT1500)

• CBN (Grade: TB650).


- 48 -

Figure II.6 : Géométrie des outils utilisés (données SANDVICK)

En fonction des revêtements d’outils, différentes conditions de coupe ont été choisies. Les avances

ont été prises suffisamment grandes (t1 > 0.1 mm/rev) de façon à ce que le rayon d’arête n’ait

pas/ou peu d’influence sur les valeurs des efforts de coupe. Deux valeurs différentes d’angle de

coupe (α = 0 et 5°) ont été prises pour une profondeur de coupe w constante égale à 2 mm.

Les résultats expérimentaux sont présentés dans les tables II.2 et II.3, correspondant

respectivement aux outils carbures revêtus de TiAlN et outils CBN.

Table II.2 : Conditions de coupe et mesures expérimentales des efforts de coupe pour le couple

TiAlN-AISI 1050.

V (m/min)

Angle de coupe α (°)

Avance (mm/rev)

Effort de coupe expérimental (N)

Effort d'avance expérimental (N)

Coefficient de frottement moyen expérimental

75 5 0.12 483 278 0.7075 5 0.16 656 383 0.7175 5 0.24 919 449 0.6075 5 0.32 1154 508 0.55150 0 0.12 449 237 0.53150 0 0.16 600 300 0.50150 0 0.24 888 445 0.50150 0 0.32 1188 509 0.43150 5 0.12 445 215 0.59150 5 0.16 592 263 0.55215 5 0.12 431 195 0.56215 5 0.16 561 215 0.49300 0 0.12 446 187 0.42300 0 0.16 589 236 0.40300 0 0.24 853 293 0.34300 5 0.12 445 160 0.46300 5 0.16 581 194 0.43425 5 0.12 428 183 0.54425 5 0.16 543 180 0.43600 5 0.12 384 90 0.33600 5 0.16 512 119 0.33


- 49 -

Table II.3 : Conditions de coupe et mesures expérimentales des efforts de coupe pour le couple

CBN-AISI 1050.

V (m/min)

Angle de coupe α (°)

Avance (mm/rev)

Effort de coupe expérimental (N)

Effort d'avance expérimental (N)

Coefficient de frottement moyen expérimental

150 5 0.12 398 133 0.43150 5 0.16 531 169 0.42150 5 0.24 796 249 0.41300 5 0.12 386 124 0.42300 5 0.16 543 194 0.46300 5 0.24 799 252 0.41420 5 0.12 387 113 0.39420 5 0.16 523 167 0.42420 5 0.24 796 227 0.38600 5 0.12 405 120 0.39600 5 0.16 540 169 0.41860 5 0.12 371 100 0.37860 5 0.16 509 134 0.361225 5 0.12 385 107 0.381225 5 0.16 498 115 0.32

D’un point de vue général les mêmes tendances sont observées dans chacun des deux cas :

Une augmentation de la vitesse V induit une décroissance des efforts de coupe. Il peut néanmoins

être observé que la décroissance des efforts de coupe reste plus faible pour les essais réalisés avec

l’outil CBN que ceux réalisés avec l’outil revêtu de TiAlN.

Une augmentation de l’avance t1 induit une augmentation des efforts. De plus, il est observé que les

efforts ne sont pas proportionnels à l’avance. Il est montré par la suite que cette tendance est bien

restituée par le modèle. Cette même remarque a été faite par Moufki et al. (1998) lors de la

comparaison expérimentale sur l’acier CRS 1018.

En réduisant l’angle de coupe α de 5 à 0°, on modifie l’écoulement du copeau le long de la face de

coupe. Expérimentalement on observe des efforts de coupe plus importants pour les angles nuls.


- 50 -

II.2.2 - Données de la modélisation

II.2.2.1 - Loi de comportement de l’acier AISI 1050

Afin d’appliquer le modèle de coupe orthogonale et ainsi, déterminer les efforts lors de l’usinage, il

est nécessaire de connaître le comportement du matériau usiné. Le modèle analytique de Molinari et

al. a l’avantage d’être très simple d’implémentation et par conséquent, il est possible d’y intégrer

tout type de loi de comportement. Dans ce cas présent, nous avons utilisé une loi

phénoménologique de type Johnson-Cook (1983).

−−

−

+

+=ν

γγγτ

rf

r

n

TT

TTmBA 1ln1

33

1

0&

& (II.44)

avec τ la contrainte de cisaillement, γ le cisaillement, n le coefficient d’écrouissage, γ& la vitesse de

déformation, m la sensibilité à la vitesse de déformation et υ l’adoucissement thermique. T0 et Tf

représentent respectivement la température ambiante et la température de fusion du matériau.

Les paramètres de la loi de Johnson-Cook, reportés dans la table II.4, ont été obtenus pas Jaspers

et Dautzenberg (2002) pour un acier normalisé AISI 1045 (sans traitement thermique). Ces valeurs

seront adoptées pour caractériser l’acier AISI 1050 (du fait de leur composition chimique très

proche).

Table II.4 : Paramètres de la loi de Johnson-Cook, selon Jaspers et Dautzenberg (2001).

A (Mpa) B (Mpa) n m υ553.1 600.8 0.234 0.0134 1

II.2.2.2 - Identification des paramètres de la loi de frottement

L’identification de la loi de frottement à l’interface outil-copeau est un élément fondamental du

modèle thermomécanique de la coupe de Molinari et al.. Dans la modélisation, le coefficient de

frottement moyen µ est fonction de la température moyenne à l’interface outil-copeau d’après la

relation (II.31). Pour chaque condition de coupe, le coefficient de frottement moyen µ est obtenu

expérimentalement à partir des mesures des efforts de coupe et de l’angle de coupe α d’après la

relation :


- 51 -

tanαF-F

F+tanαF=µ

qp

qp (II.45)

Ainsi pour chaque condition de coupe et, par conséquent, chaque valeur du coefficient de

frottement moyen expérimental µ , la relation (II.43) permet d’évaluer la température moyenne à

l’interface outil-copau intT . Les résultats sont reportés sur les figures II.7 (a) et (b) respectivement

pour l’outil revêtu de TiAlN et l’outil CBN. Chaque point apparaissant sur ces graphiques

correspond à une condition de coupe reportée dans les tables II.2 et II.3.

Finalement, la loi empirique (II.31) est utilisée afin d’obtenir la meilleure calibration de la loi pour

chacun des ensembles de points expérimentaux. Les paramètres µ0 , q et Tref correspondant à la

calibration de la loi d’interface de chaque outil sont présentés dans la table II.5.

Coefficient de frottem

ent moyen

(a) - TiAlN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

600 800 1000 1200 1400

Points expérimentaux

Modélisation

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

600 800 1000 1200 1400


Modélisation

(b) - CBN

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

600 800 1000 1200 1400 1600


Modélisation

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

600 800 1000 1200 1400 1600


Modélisation

Température moyenne à l’interface outil-copeau intT (°C)

Figure II.7 : Evolution des coefficients de frottement moyen expérimental en fonction des

températures moyennes théoriques respectivement, pour les outils carbures revêtus de TiAlN (a) et

CBN (b).

Table II.5 : Paramètres de la loi de frottement obtenus respectivement pour les outils CBN et

carbures revêtus de TiAlN.

µ 0 q Tref (°C)

TiAlN 1 3.6 1330CBN 0.42 15 1500


- 52 -

II.2.2.3 - Angle de cisaillement

L’angle de cisaillement φ est défini comme l’angle formé entre la direction de la vitesse de coupe et

le plan de cisaillement. De nombreuses études ont proposé des relations pour φ. Ernst et Merchant

(1941) puis Merchant (1945), Lee et Shaffer (1951), Rowe et Spick (1967), Wright (1982) ont tous

proposé des relations qui sont plus ou moins en accord avec l’expérience. L’équation de Merchant

provenant de la minimisation de l’énergie de coupe reste la plus couramment utilisée. C’est celle qui

est utilisée dans le présent chapitre.

Il est à noter qu’une discussion plus détaillée sur l’influence de l’angle de cisaillement est présentée

dans les Chapitres III et IV.

II.2.3 - Comparaison Essais expérimentaux / Modélisation

II.2.3.1 - Influence du revêtement

Les revêtements d’outils permettent de prolonger la durée de vie des outils, réduisant ainsi l’usure

dans les procédés à grande vitesse en jouant le rôle de barrière de diffusion (König et al., 1992 ;

Subramanian et al., 1993).

D’un point de vue expérimental, l’outil revêtu de TiAlN présente des efforts de coupe légèrement

supérieurs à ceux obtenus avec l’outil CBN pour des vitesses allant jusqu’à 425 m/min ; au-delà,

pour les vitesses de coupe les plus élevées, la tendance semble s’inverser (Figure II.8). Outre les

niveaux des efforts de coupe, il est intéressant de regarder leurs évolutions avec l’augmentation de

la vitesse pour chaque outil. Ainsi, la décroissance des efforts est plus notable pour l’outil revêtu

(TiAlN) que l’outil CBN. Cette tendance est encore plus visible en étudiant les variations du

coefficient de frottement moyen expérimental µ (Figure II.7). En effet, pour des niveaux de

température sensiblement équivalents, l’outil revêtu de TiAlN a un coefficient de frottement moyen

expérimental qui décroît fortement ; l’outil CBN µ présente un plateau jusqu’à environ 1200°C

puis chute par la suite.

La loi d’interface (II.31) développé par Moufki et al. (1998) montre dans cet exemple toute son

importance. Ainsi, le comportement à l’interface du couple outil-matière est considéré à part entière

comme une donnée de la modélisation. Ceci est en opposition au modèle d’Oxley qui lui suppose

un contact collant à l’interface et estime par la suite une valeur de l’angle de frottement à partir des

seules conditions de coupe.


- 53 -

Eff

orts

de

coup

e (N

) (a) - Effort de coupe Fp

0

100

200

300

400

500

600

150 300 425 600

TiAlN CBN

(b) - Effort d’avance Fq

0

100

200

300

400

500

600

150 300 425 600

TiAlN CBN

Vitesse de coupe (m/min)

Figure II.8 : Comparaison des efforts de coupe (a) et d’avance (b) expérimentaux obtenus pour

chaque outil ; α = 5°, t1 = 0.12 mm/rev, w = 2 mm.

II.2.3.2 - Influence de la vitesse de coupe

L’évolution des efforts de coupe Fp et Fq en fonction de la vitesse V est présentée en figures II.9 et

II.10, respectivement pour les outils carbures revêtus de TiAlN et CBN. Ces efforts sont présentés

pour différentes valeurs de l’avance t1 (l’angle de coupe α = 5°). De façon générale, quelques soient

les conditions de coupe, le modèle donne d’excellentes prédictions des efforts de coupe et d’avance.

Les tendances expérimentales, à savoir, la décroissance des efforts avec l’augmentation de la vitesse

V est bien reproduite par le modèle. Cette baisse des efforts quand V augmente, est due à la chute

du coefficient de frottement moyen à l’interface outil-copeau. Cette dernière est la conséquence

directe de l’élévation de la température moyenne intT avec la vitesse de coupe V.

Eff

ort

de c

oupe

(N

)

(a) – TiAlN ; α = 5°, avance = 0.12 mm/rev

0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600 700

(b) – TiAlN ; α = 5°, avance =0.16 mm/rev

0

200

400

600

800

0 100 200 300 400 500 600 700

Effort de coupe

Effort d’avance Points expérimentaux

exexexpérimentaux


- 54 -

(c) – TiAlN ; α = 0°, avance =0.24 mm/rev

0

200

400

600

800

1000

1200

0 100 200 300 400

(d) – TiAlN ; α = 0°, avance =0.32 mm/rev

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400


Figure II.9 : Comparaison entre efforts de coupe mesurés et modélisés pour l’outil carbure revêtu

de TiAlN ; (a) α = 5°, t1 = 0.12 mm/rev, w = 2 mm ; (b) α = 5°, t1 = 0.16 mm/rev, w = 2 mm ; (c) α

= 0°, t1 = 0.24 mm/rev, w = 2 mm ; (d) α = 0°, t1 = 0.32 mm/rev, w = 2 mm .

Dans le cas de la coupe avec l’outil CBN (Figure II.10), la décroissance des efforts avec

l’augmentation de la vitesse n’est pas aussi prononcée que précédemment. Si l’on se réfère à la

figure II.7 (b) représentant les valeurs expérimentales du coefficient de frottement en fonction de la

température à l’interface outil-copeau, un plateau est observé. Ainsi, pour des températures

inférieures à 1000°C, le coefficient de frottement est quasi constant, ce qui a pour conséquence la

stabilité des efforts de coupe.

Eff

orts

de

coup

e (N

)

(a) – CBN ; α = 5°, avance =0.12 mm/rev

0

100

200

300

400

500

600

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

(b) – CBN ; α = 5°, avance =0.16 mm/rev

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Vitesse de coupe (m/min)

Modèle

Effort de coupe

Effort d’avance Points expérimentaux

Modèle


- 55 -

E

ffort

s de

cou

pe (

N)

(c) – CBN ; α = 5°, avance =0.24 mm/rev

0

250

500

750

1000

0 100 200 300 400 500 600


Figure II.10 : Comparaison entre efforts de coupe mesurés et modélisés pour l’outil CBN ; (a) α =

5°, t1 = 0.12 mm/rev ; (b) α = 5°, t1 = 0.16 mm/rev ; (c) α = 5°, t1 = 0.24 mm/rev.

II.2.3.3 - Influence de l’avance t1

L’analyse des effets de l’avance sur les efforts de coupe est plus sensible. Ainsi, lorsqu’on augmente

t1, deux effets antagonistes apparaissent : d’une part, une avance plus grande, induit une

température à l’interface plus élevée, et donc un coefficient de frottement moyen plus faible ;

d’autre part, on augmente la quantité de matière à usiner et les efforts de coupe par la même

occasion. Ce sont ces deux effets aux influences opposées qui impliquent la non proportionnalité

des efforts avec l’avance. Ces effets sont bien décrits par le modèle analytique présenté (Figure

II.11)


- 56 -

Effo

rts

de c

oupe

(N

) (a) – TiAlN ; V = 75 m/min

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0.1 0.2 0.3 0.4

(b) – CBN ; V= 150 m/min

0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 Avance (mm/rev)

Figure II.11 : Comparaison entre les efforts de coupe expérimentaux et calculés pour un angle de

coupe α = 5°. (a) Outil revêtu TiAlN, V = 75 m/min ; (b) Outil CBN, V= 150 m/min.

II.2.3.4 - Influence de l’angle de coupe α

L’étude de l’influence de l’angle de coupe sur les efforts a été réalisée avec l’outil carbure revêtu de

TiAlN. Nous avons fait varier l’angle de coupe lors des essais expérimentaux de α = 0 à α = 5°.

Pour les deux vitesses testées expérimentalement (V=150 et 300 m/min), les variations observées

sont relativement faibles. On peut remarquer que les efforts diminuent lorsque l’angle de coupe

devient positif.

Dans le présent modèle, le frottement µ est fonction de la température moyenne à l’interface intT .

Bailey (1975) et Oxley (1989) de façon expérimentale, puis Moufki (1998) de par la modélisation,

ont respectivement montré que µ augmente pour des valeurs croissantes de l’angle de coupe α.

L’angle de cisaillement φ (défini comme une fonction de α et de l’angle de frottement λ) subit alors

deux effets antagonistes qui ont été analysés par Moufki et al. (1998). Ainsi, lorsque α diminue,

l’angle de cisaillement φ diminue également (comme l’indique par exemple la formule de Merchant),

conduisant à une augmentation de la déformation à la sortie de la bande (effet (i)). Ceci induit une

élévation de température due à la déformation plastique. La chute du coefficient de frottement

moyen due à l’augmentation de température contribue à augmenter φ (effet (ii)) mais ceci est

dominé par l’effet (i). Finalement, φ varie dans le même sens que l’angle de coupe α. D’un point de

vue expérimental, une augmentation de l’angle de coupe α induit une diminution des efforts de

coupe (Figure II.12). Cette tendance est bien reproduite par le modèle de coupe orthogonale de

Molinari et al.

Effort de coupe

Effort d’avance


Modèle


- 57 -

Effo

rts

de c

oupe

(N

) (a)

0

200

400

600

800

0 5

Efforts de coupe expérimentaux

Efforts de coupe modélisés

0

200

400

600

800

0 5

Efforts de coupe expérimentaux

Efforts de coupe modélisés

(b)

0

100

200

300

400

0 5

Efforts d’avance expérimentaux

Efforts d’avance modélisés

0

100

200

300

400

0 5

Efforts d’avance expérimentaux

Efforts d’avance modélisés

Angle de coupe α (deg)

Figure II.12 : Evolution des efforts de coupe (a) et d’avance (b) mesurés et modélisés pour des

angles de coupe α = 0 et 5°. (Outil revêtu de TiAlN ; V=300 m/min ; t1 = 0.16 mm/rev ; w = 2

mm)

II.3 - Conclusions

Dans ce second chapitre, nous nous sommes attachés à présenter le modèle analytique de la coupe

orthogonale de Molinari et al. puis le valider à l’aide d’essais expérimentaux sur l’acier AISI 1050.

Dans cette étude, les effets de la vitesse V, du revêtement d’outil, de l’avance t1 et de l’angle de

coupe α ont été analysés. Outre les niveaux des efforts de coupe (nous observons des écarts relatifs

entre les mesures expérimentales et les résultats donnés par la modélisation inférieurs à 7 %), nous

avons montré que quelques soient les variations des différents paramètres de coupe, le modèle

reproduit fidèlement les tendances expérimentales : (i) la décroissance des efforts avec une

augmentation de la vitesse V et de l’angle de coupe α, (ii) l’augmentation des efforts pour des

valeurs croissantes de l’avance t1.

Les essais réalisés avec deux outils différents (carbure revêtu de TiAlN et CBN) pour des

conditions de coupe équivalentes, ont permis de montrer toute l’importance de la loi d’interface

proposée par Moufki et al. (1998). En effet, les efforts de coupe sont intrinsèquement liés au

frottement à l’interface outil-copeau. Il est donc nécessaire d’identifier pour chaque couple outil-

matériau la loi de frottement correspondant, afin de reproduire le plus fidèlement les tendances

expérimentales. En comparaison, le modèle d’Oxley, de part l’hypothèse d’un contact collant, ne

peut étudier l’influence des revêtements sur les niveaux et les tendances des efforts de coupe.


- 58 -

La validation expérimentale du modèle de coupe orthogonale est une première étape à la

modélisation de procédés de coupe plus complexes. Le Chapitre III présente la modélisation du

procédé de tournage.

- 59 -

- 60 -

Chapitre III

Présentation d’un nouveau modèle de tournage

ous proposons dans ce chapitre de modifier le modèle de tournage développé par Molinari et Moufki

(2005). Dans leurs travaux, les auteurs utilisent le principe de la minimisation de l’énergie de coupe pour

calculer les angles de cisaillement locaux. Différents auteurs ont montré à travers leurs études

expérimentales, numériques ou analytiques que la minimisation n’est pas toujours en accord avec les mesures

expérimentales. A partir de ces considérations, nous proposons un modèle modifié dit de l’ « élément neutre »

permettant de calculer les angles de cisaillement locaux à partir d’une relation simple.

N

Chapitre III : Présentation d’un nouveau modèle de tournage

- 61 -

III.1 - Introduction

Parmi les procédés de tournage les plus couramment utilisés dans l’industrie, nous pouvons citer

l’alésage, le chariotage, le dressage, le rainurage ou le filetage. A chaque opération de tournage est

associée une géométrie d’outil spécifique (Figure III.1).

(a)

(b)

(c)

Figure III.1 : Opérations de rainurage (a), de filetage (b) et de chariotage (c)

Dans ce chapitre, nous nous intéressons au chariotage, et plus particulièrement à la modélisation

analytique du procédé. Contrairement aux procédés de coupe orthogonale et oblique, où seule

l’arête principale est en contact avec la matière, en chariotage, le processus de coupe est plus

complexe ; les arêtes principales et secondaires de l’outil reliées par une partie arrondie

interviennent dans la formation du copeau (Figure III.2). Différentes approches ont alors été

proposées afin de décrire la formation et l’écoulement du copeau.

Dans une première partie, nous nous attardons à présenter les différentes approches analytiques

utilisées, et plus particulièrement celle de Molinari et Moufki (2005), Moufki et Molinari (2005). Le

comportement du matériau, le frottement à l’interface et l’angle de cisaillement sont données

respectivement par une loi thermoviscoplastique, une loi fonction de la température, et la

minimisation de l’énergie de coupe.

Des observations expérimentales (Hill, 1951), des études numériques (Bäker, 2005, Miguelez et al.,

2007) et analytiques (Molinari et Moufki, 2008) ont montré que l’utilisation de la minimisation de

l’énergie de coupe dans le calcul de l’angle de cisaillement n’était pas toujours en accord avec

l’expérience. Ces remarques faites, nous proposons dans une seconde partie de ce chapitre un

modèle modifié de l’approche de Molinari et Moufki (2005). Ce nouveau modèle est basé sur le


- 62 -

concept d’ « élément neutre » permettant la détermination de l’angle φ.

Arête principale

Face de coupe

Arête secondaireArête arrondie

Arête principale

Face de coupe

Arête secondaireArête arrondie

Figure III.2 : Outils de coupe pour des opérations de chariotage

.

III.2 - Approches analytiques en tournage

La géométrie complexe de l’outil dans les opérations de tournage induit des problématiques

nouvelles pour les chercheurs ; des approches analytiques différentes ont alors été proposées pour

décrire la formation et l’écoulement du copeau. Du fait de la complexité des mécanismes mis en jeu

lors de la formation du copeau, la quasi-totalité des modèles analytiques de la littérature sont basés

sur le concept de l’arête équivalente. Le modèle d’arête équivalente le plus simple, développé par

Colwell (1954), propose de remplacer l’arête réelle de l’outil par une arête droite fictive reliant les

deux points délimitant l’engagement de l’outil dans la matière (Figure III.3). Hu et al. (1986),

Young et al. (1987, 1994), Wang et Mathew (1995), Wang (2001), Arsecularatne et al. (1995, 1996,

1998) utilisent la simplification dite « de l’arête équivalente ».


- 63 -

r

Avance

Arête équivalente de Colwell (1954)

Arête de coupe

pro

fon

de

ur

de

co

upe

d

κr

r

Avance

Arête équivalente de Colwell (1954)

Arête de coupe

pro

fon

de

ur

de

co

upe

d

κr

Figure III.3 : Simplification de l’arête équivalente selon Colwell (1954)

Or l’hypothèse de l’arête équivalente a ses limites. Ces auteurs supposent le copeau comme étant un

ensemble de copeaux élémentaires indépendants de très faible largeur. Si l’on considère le cas où les

angles d’inclinaison et de la face de coupe de l’arête principale sont nuls (la vitesse de coupe est

alors perpendiculaire à la face de coupe), la direction d’écoulement de chaque copeau élémentaire

est donnée par la normale locale et coïncide alors avec la résultante des forces de frottement

élémentaires. L’arête de coupe équivalente est ainsi supposée être une ligne perpendiculaire à la

direction de la résultante des forces de frottement. Dans leur approche, l’arête de coupe équivalente

induit implicitement le fait que le copeau s’écoule dans une seule et unique direction. Or ceci est en

contradiction avec la première hypothèse considérant que le copeau est formé de multiples copeaux

élémentaires indépendants ayants des directions d’écoulement différentes. De plus, lorsque les

angles de coupe sont différents de zéro, ces auteurs découplent les effets du rayon de bec de l’outil

et des angles de coupe sur la direction d’écoulement du copeau. Ainsi, l’arête de coupe supposée

équivalente, est en premier lieu déterminée dans le cas où la vitesse de coupe est perpendiculaire à la

face de coupe, puis projetée dans le plan de la face de coupe. Enfin, l’angle d’écoulement du copeau

et les efforts de coupe sont respectivement calculés à partir de la règle de Stabler (1951) et du

modèle de coupe orthogonal d’Oxley (1989).

De façon globale, les approches ainsi proposées donnent de bonnes approximations sur les efforts

de coupe en tournage. Elles permettent en effet, de donner une valeur moyenne des efforts locaux

(en chaque point de l’outil). Néanmoins, la simplification présentée a ses limites ; elle ne permet pas

la connaissance de données locales telles que la distribution de température sur la face de coupe de

l’outil qui influence directement l’usure.


- 64 -

III.3 - Approche de Molinari et Moufki (2005)

En 2005, Molinari et Moufki, puis Moufki et Molinari ont présenté un modèle analytique de

chariotage basé sur la modélisation de la coupe oblique (Moufki et al., 2000). Dans leur approche, la

partie arrondie de l’outil est discrétisée en N arêtes droites élémentaires. Chaque arête élémentaire

« j » est définie par les angles locaux d’inclinaison λsj, et de coupe αn

j, par leur position angulaire βj,,

et la quantité de matière à usiner Aj (Figure III.6).

Avant de commencer l’étude, il est important de noter qu’une fois la discrétisation réalisée, il existe

deux échelles distinctes : (i) l’échelle globale et (ii) l’échelle locale.

• L’échelle globale représente la partie intégrante de l’outil (les arêtes principales et secondaires liées

par la partie arrondie de la plaquette de coupe). A titre d’exemple, à l’échelle globale, la direction

d’écoulement du copeau (respectivement, les efforts de coupe) est celle observée lors de l’opération

de chariotage (sont ceux mesurés par des capteurs).

• L’échelle locale définit le processus de formation de chaque copeau élémentaire usiné par les

arêtes discrétisées « j ». (Figure III.4, III.6)

axe de révolution

pièce à usiner

axe de révolution

pièce à usiner

Figure III.4 : Schématisation de la discrétisation de la partie arrondie de l’outil en N+1 arêtes

droites élémentaires (N=3 sur la figure).


- 65 -

Pour un couple outil - matériau et des conditions de coupe données, des observations

expérimentales ont montré que le copeau s’écoule selon une seule et unique direction : la direction

globale d’écoulement. Ainsi les N arêtes élémentaires voient leur direction locale d’écoulement être

imposée par le mouvement global du copeau. Ceci met en évidence l’existence d’interactions entre

les éléments adjacents. En effet, les copeaux élémentaires ne doivent pas être considérées comme

étant libres de contraintes, mais comme étant soumis à des efforts par les éléments voisins. Pour ce

faire, Molinari et Moufki (2005) ont proposé une modification du modèle de coupe oblique de

Moufki et al. (2000) afin de prendre en compte les interactions inter-éléments et de résoudre le

problème de tournage dans son ensemble.

III.3.1 - Discrétisation de l’outil

En premier lieu, il est nécessaire d’établir les systèmes de références utilisés dans l’étude sur la

discrétisation de l’outil. Cinq plans de référence Pr, Pf, Ps0, Ps’ and Pn

0 (Figure III.5) ont été

considérés. Le plan de référence Pr est normal à la direction de la vitesse de coupe V. Le plan de

travail Pf est parallèle à la direction d’avance et perpendiculaire à Pr. Les plan Ps0 et de la fin de Ps’

contiennent respectivement l’arête principale de coupe et l’arête secondaire de coupe et, sont

perpendiculaires au plan Pr. Le plan Pn0 est le plan normal perpendiculaire à l’arête principale de

coupe.

arête de coupe principale

face de coupe

direction de coupe

arête de coupe secondaire

direction d’avance

Efforts de coupe

repère de référence axe de révolution


face de coupe

direction de coupe

arête de coupe secondaire

direction d’avance

Efforts de coupe

repère de référence axe de révolution

Figure III.5 : Plans de références utilisés pour la modélisation du tournage


- 66 -

Il est à noter que l’arête principale de l’outil est représentée dans les notations par l’exposant « 0 ».

L’angle d’inclinaison λs0, mesuré dans le plan Ps

0 est l’angle entre l’arête principale de coupe et le

plan de référence Pr. L’angle de coupe αn0 mesuré dans le plan Pn

0 (normal à l’arête principale) est

l’angle entre la face de coupe de l’outil et le plan de référence Pr. Leurs valeurs sont données par les

conditions de coupe.

Arête de coupe jAngle d’écoulement

du copeauηcj

Angle de la face de coupe αnj

Angle d’inclinaisonλsj

Vitesse de coupe

V

Surface de copeau non déformé Aj

Arête de coupe jAngle d’écoulement

du copeauηcj

Angle de la face de coupe αnj

Angle d’inclinaisonλsj

Vitesse de coupe

V

Surface de copeau non déformé Aj

Figure III.6 : Schématisation d’une arête élémentaire j dans une opération de coupe oblique

Les angles de coupe αn j et d’inclinaison λs

j ainsi que la position angulaire βj de chaque arête

élémentaire « j » sont données par les relations suivantes :

( )0s

0n

jc

0s

jc

1-js

js

jc

js

jc

0s1-j

n

cosλ sinαsinξ- sinλcosξsin=λ

cosλsinξ

sinλcosξ-sinλsin=α

(III.1)

( )N

1-j+ψ-2r

fcos=β 1-

j

ψ

(III.2)

où ψ (mesuré dans le plan Pr) est l’angle correspondant à la partie discrétisée de l’arête de l’outil

(Figure III.6) . Il est défini par la relation suivante :

)≤

)≥

r1-1-

rr1-

κ cos-r(1 d if r

d-rsin-

2r

fcos=ψ

κ cos-r(1 d if κ+2

π-

2r

fcos=ψ

(III.3)


- 67 -

où d, r et κr définissent respectivement la profondeur de coupe, la rayon de bec de l’outil et l’angle

entre l’arête principale de coupe et la direction d’avance (Figure III.6).

La largeur locale de coupe wrj, et la profondeur locale d j sont donnés par :

2N

ψ sin2r=w j

r (III.4)

( )jrr

jr

j wd ξκ −= sin (III.5)

où ξr j représente l’angle entre les plans Ps

0 et Psj mesuré dans le plan de référence Pr et donné par

la relation :

2N

ψ+κ+

2

π - β=ξ rj

jr (III.6)

ξc j , caractérisant l’arrondie de l’arête, est défini comme étant l’angle entre l’arête principale de

coupe et l’arête de coupe élémentaire « j ». Il est mesuré dans le plan de la face de coupe, et son

expression est donnée par :

0s

0n

jr

0n

jr

0sj

c sinλ sinαtanξ-cosα

ξ tan cosλ=ξ (III.7)

ξr j correspond à la projection de l’angle ξc

j dans le plan de référence Pr.

Les relations précédentes permettent le calcul de la surface du copeau non déformé Aj usiné par

l’arête élémentaire « j ».

( )( )

( )

( )

1+N=j si /4f-rf2

1-

2r

fcos-π/2r =A

Nj1 si -sin2N

ψsin2rf =A

κ cos-1r d si

κ cos-1r d si

r-d + cosκ rf

0 =A

221-21+N

jrrj

r

r

r0

≤≤

≤≤

ξκ

(III.8)


- 68 -

III.3.2 - Hypothèses de la modélisation

L’écoulement du matériau est supposé stationnaire et unidimensionnel. Dans leurs travaux,

Molinari et Moufki (2005) et Moufki et Molinari (2005) supposent que la vitesse du copeau Vc est

uniforme le long de la face de coupe. Ceci induit une seule et unique direction d’écoulement du

copeau. Elle est représentée dans le plan de la face de coupe par le vecteur unitaire zflj = zfl = Vc /

||Vc||. La vitesse du copeau est définie par son intensité ||Vc|| et son angle ηc0 caractérisant la

direction globale d’écoulement ηc0. ηc

0, mesuré dans le plan de la face de coupe, est l’angle entre la

direction d’écoulement du copeau et la normale à l’arête principale de coupe (Figure III.7). Il est

déterminé à l’aide de l’équilibre global des efforts mécaniques appliqués au copeau. La vitesse du

copeau ||Vc|| est calculée à partir de la minimisation de l’énergie de coupe.

Sachant que chaque copeau élémentaire « j » doit suivre le mouvement global du copeau dont la

direction est donnée par l’angle ηc0, l’écoulement local de l’élément « j » est défini par l’angle ηc

j

mesuré dans la face de coupe par rapport à la normale locale ; son expression est donnée par :

ηcj = ηc

0- ξcj

(III.9)


arête de coupe de l’élément j

direction de coupe

direction opposée àl’avance

plan

de ré

fére

nce

axe de

révo

lutio

n

direction globale d’écoulement



direction de coupe


plan

de ré

fére

nce

axe de

révo

lutio

n

arête de coupe principalearête de coupe principale


direction de coupe


plan

de ré

fére

nce

axe de

révo

lutio

n

direction globale d’écoulement

Figure III.7 : Représentation de la discrétisation de la partie arrondie de l’outil dans la face de

coupe et sa projection dans le plan de référence Pr.


- 69 -

Le mouvement global du copeau implique des interactions entre éléments adjacents qui ont pour

conséquence de modifier l’expression de l’équilibre global du copeau. Elle est donnée par la relation

suivante :

Rj outil/copeau + Rj

pièce/copeau + Rj j-1/j + Rj

j+1/j = 0 (III.10)

où Rj j-1/j et R

j j+1/j représentent la résultante des efforts exercés respectivement par les éléments j-1

et j+1 sur le j-ème élément. En première approximation, les auteurs ont supposé que la somme des

résultantes Rj j-1/j et R

j j+1/j est perpendiculaire à la direction d’écoulement du copeau :

R j-1/j + R

j+1/j = Rn j yfl (III.11)

où yfl est le vecteur unitaire (représenté dans le plan de la face de coupe) normal à la direction

d’écoulement zfl.

copeau

outil

direction de cisaillement dans la zone primaire

arête de coupevue S

zone primaire de cisaillement

vitesse de copeau Vc

vitesse de coupe V

pièce à usiner

face de coupe

copeau

outil

direction de cisaillement dans la zone primaire

arête de coupevue S

zone primaire de cisaillement

vitesse de copeau Vc

vitesse de coupe V

pièce à usiner

face de coupe

Figure III.8 : Représentation de la coupe oblique associée à chaque arête élémentaire « j ».


- 70 -

III.3.3 - Modèle de coupe oblique relatif au j-ème élément

Le processus de formation de chaque copeau élémentaire « j » est le résultat d’une opération de

coupe oblique contrainte dont la vitesse d’écoulement locale du copeau est égale à la vitesse VC du

copeau global. Molinari et Moufki (2005) ont proposé une modification du modèle de la coupe

oblique libre (Moufki et al., 2000) prenant en compte les interactions existantes entre les éléments

adjacents. Ce modèle est alors appliqué à chaque arête « j » afin de déterminer les contraintes et

déformations locales, les efforts de coupe, la température locale à l’interface outil-copeau, ou encore

la longueur de contact.

Le copeau est supposé être formé par un cisaillement intense dans la zone primaire de cisaillement

qui est assimilée à une bande d’épaisseur uniforme h. D’un autre côté, à l’interface outil-copeau, le

contact est supposé parfaitement glissant ; ce qui revient à négliger la zone secondaire de

cisaillement. Pour chaque copeau élémentaire « j », la zone primaire de cisaillement est caractérisée

par l’angle de cisaillement local φnj, mesuré dans le plan Pn

j, et obtenu à partir de la condition

d’incompressibilité :

jnj

nj

cc

js

jn

tanαcosαcosηV

Vcosλ

1=tanφ

-

(III.12)

L’ensemble des paramètres décrivant l’écoulement thermomécanique de la matière dans la zone

primaire de cisaillement est supposé ne dépendre que de la position zj le long de la normal au plan

de cisaillement (Figure III.9) ; par conséquent l’approche est considérée être unidimensionnelle.

Le matériau est décrit par une loi phénoménologique de type Johnson-Cook donnée par la relation

(III.13).

−−

−

+

+=ν

γγγτ

rf

r

n

TT

TTmBA 1ln1

33

1

0&

& (III.13)

où τ représente la contrainte d’écoulement, γ le cisaillement, n le coefficient d’écrouissage, γ& la

vitesse de déformation, m la sensibilité à la vitesse de déformation et υ l’adoucissement thermique.

T0 et Tf représentent respectivement la température ambiante et la température de fusion du

matériau.

A partir des équations de la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie (sous

conditions adiabatiques) et de la loi constitutive du matériau usiné, on obtient les expressions de la

contrainte (III.14), de la température (III.15) et de la vitesse de déformation (III.16) :


- 71 -

τh j=ρ(Vcosλs

j sin φn j )2 γ j +τ0

j (III.14)

( ) ( ) jj0

2j2j

nj

swj

h γτ+2

γsinφVcosλ

ρc

β+θ=θ ρ (III.15)

( ) ( )

m

1-

θgγmg

3τexpγ=γ

j2

j1

j

0j && (III.16)

avec ( )

nj

j1

3

γB+A=γg et ( )

υ

Tr-T

T-θ-1=θg

m

rj

j2

où ρ, c et β représentent respectivement la densité, la capacité calorifique et le coefficient de Taylor

- Quinney. θw est la température initiale de la pièce. La contrainte à l’entrée de la bande τ0 j est

déterminée en résolvant l’équation intégrale (III.17) à travers la bande primaire de cisaillement :

( ) 0=h-dγτ,γγ

sinφVcosλ j

γ

0j

0jj

jn

js

h

∫&

(III.17)

En supposant que les déformations dans le copeau se limitent à la zone primaire de cisaillement, les

conditions limites (III.18) sont obtenues :

( )jn

jn

jsh

jn

jnj

h

j0

α-φcoscosηsinφ

cosα=γ

0=γ

(III.18)

L’angle ηshj caractérisant la direction de cisaillement dans la zone primaire de cisaillement pour

chaque copeau élémentaire est donné par la relation :

j

n

jn

jn

js

jn

jcj

shα cos

)α - (φ cos λ tan-φ sinη tan=η (III.19)

Les relations (III.20) représentent l’équilibre des forces extérieures appliquées sur le j-ème élément

exprimées dans la base orthonormée (xj, yj, zj) liée à la zone primaire de cisaillement.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 0=α-φcossinηR -N-α-φcoscosηtanλ+α-φsincosλ

0=cosηR+sinηF-sinηsinλ

0=α-φsinsinηR +cosηF+α-φsincosηtanλ-α-φcoscosλ

jn

jn

jc

jn

jsh

jn

jn

jc

jjn

jn

jauoutil/cope

j

jc

jn

jsh

jsh

jc

jauoutil/cope

j

jn

jn

jc

jn

j sh

jsh

jn

jn

jc

jjn

jn

jauoutil/cope

j

R

R

R

(III.20)


- 72 -

Les forces élémentaires Fshj et Nsh

j définissent respectivement l’effort de cisaillement et la force

normale appliquée sur le j-ème élément à la sortie de la bande de cisaillement. La somme de ces

deux composantes représente la résultante des forces appliquée par la pièce sur le copeau

élémentaire « j » (Rj pièce/copeau = Fsh

j xsh + Nshj zj ).

L’effort de cisaillement Fshj est obtenu directement à partir de la contrainte à la sortie de la bande τh

j

(III.14)

Fshj = -τh

j Ash j (III.21)

où Ash j représente la surface de la zone primaire de cisaillement pour l’élément « j ». Elle est

déterminée en utilisant la conservation du flux de matière (AjV= Ash j Vc) :

j

nj

s

jsh

sinφcosλ

Aj=A (III.22)

Finalement, les équations (III.20) permettent de déterminer les relations donnant l’effort normal

Nshj, la résultante des efforts locaux appliqués par l’outil sur le copeau auoutil/cope

jR et la somme

des efforts appliqués sur le j-ème élément par les éléments adjacents Rnj.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )jn

jn

jjc

jn

jn

jn

jn

jc

jjn

jn

jsh

jc

jjshj

shj

n

jn

jn

jc

jjn

jn

j

jn

jn

jcn

jshsh

auoutil/copej

jn

jn

jc

jn

jn

jnc

jjn

jn

jauoutil/cope

j jsh

α-φsintanλ-cosηα-φcos

α-φsincosηtanλ-α-φcossinη+sinηtanληcosF=R

α-φsincosηtanλ-α-φcoscosλ

)α- sin(φj sinηR-cosηj F-=

α-λ cos sinη R α-φ cosj cosη tanλ +α-φ sinλ cos =N

R

R

(III.23)

où λj définit l’angle de frottement à l’interface outil-copeau ( ( )j1-j µtan=λ ).


- 73 -

III.3.4 - Détermination de VC , ηc0 et des efforts de coupe en tournage

Les efforts de coupe sont déterminés en sommant les résultantes élémentaires auoutil/copejR

appliquées au copeau. Les efforts P1, P2 et P3 (FIG. III.4) représentent respectivement les

projections de la résultante globale ∑ 1

0

+

=

N

jR j

ilcopeau/out dans les direction de la vitesse de coupe xr, de

l’opposée à l’avance zr et la direction radiale yr.

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )∑

∑

∑

1+N

0=j

0n

0c

j0nr

j0s

0nr

jauoutil/cope

j3

1+N

0=j

0n

0c

j0nr

j0s

0nr

jauoutil/cope

j2

1+N

0=j

0s

0n

0c

0s

0c

j0s

0n

jauoutil/cope

j1

cosα cosηtanλ+sinα-cosκ-tanλG+ sinλcosαsinκcosλ R=P

cosα cosηtanλ+sinα-sinκ+tanλG+ cosλ(cosαcosκcosλ R=P

cosλ sinαcosη+ sinλsinηtanλ+ cosλcosαcosλ R=P

(III.24)

Néanmoins, à ce stade de l’étude, l’angle ηc0 définissant la direction globale d’écoulement du copeau

reste encore à déterminer. Pour se faire, l’équilibre global du copeau (III. 25) ainsi que l’équilibre

des efforts exercés sur le j-ème élément sont considérés (III.26) :

0Rzx = N F1N

0jauoutil/cope

jj

jshsh

jsh∑ +

=++ (III.25)

Fshj xsh + Nsh

j zj + Rjoutil/copeau + Rn

j yfl = 0 (III .26)

En combinant les relations (III.25) et (III.26), nous obtenons l’expression : 0= R1N

0j

jn∑ +

=. En

utilisant l’expression donnant l’angle global d’écoulement en fonction de l’angle local (ηcj= ηc

0- ξc j),

nous obtenons une équation non linéaire permettant de calculer ηc0.

( ) ( )( )( ) ( )∑

+

=

−−−−−−+1N

0jj

nj

njj

cj

nj

n

jn

jn

jc

jjn

jn

jsh

jc

jjshj

shαsintanλcosηαcos

αsincosηtanλαcossinηsinηtanλcosηF

ϕϕϕϕ

(III.27)

Finalement, pour boucler le modèle, VC est alors calculé à partie de la minimisation de l’énergie de

coupe.


- 74 -

III.3.5 - Température à l’interface outil-copeau

La thermique joue un rôle prépondérant dans les différents procédés d’usinage à grande vitesse. On

rappelle que la température à l’interface outil-copeau provient de deux sources de chaleur

distinctes : (i) l’échauffement dû à la déformation plastique dans la zone primaire de cisaillement

exprimé par la relation (III.15) ; (ii) l’augmentation de température due au frottement entre le

copeau et la face de coupe de l’outil.

La loi de frottement dépendante de la température (II.31) et l’expression de la distribution de

pression (II.39) développées par Moufki et al. (1998), et détaillées dans le Chapitre II, sont repris

dans le modèle afin de calculer la distribution de température dans chaque copeau élémentaire « j ».

Les équilibres des efforts extérieurs appliqués aux copeaux élémentaires et de leurs moments sont

utilisés pour déterminer respectivement la pression à la pointe de l’outil p0 j et la longueur de

contact outil-copeau lcj :

1)+(ξcosηlw

cosλcosλR=p

jc

jc

jr

js

jjauoutil/copej

0

(III.28)

j

r

j

csj

copeauutilo

jshj

cw

A

cosη

1

cosλR

N

2

2+ξ=l

/

(III.29)

La distribution de température j

intT (x) (où x représente la distance par rapport à l’arête élémentaire

« j ») et sa valeur moyenne j

intT à l’interface outil-copeau, données respectivement par les relations

(III.30) et (III.31), sont déterminées en résolvant l’équation de la chaleur par la méthode des

transformées de Laplace.

( ) ( ) jh

ξ

=0i

2

1+2ii-ξj

ciξξj

c

cj0j

jint θ+xx-lC×

1+2i

2

l

1

πkρc

Vpµ=(x)T

∑ (III.30)

( ) ( )j

h

ξ

=0i

s1-ξ

iξ

=0s

siξ

jccj

0jj

int θ+3+s+i2

2C1- ×C×

1+2i

2

πkρc

lVpµ=T ∑ ∑

(III.31)

k et θhj représentent, respectivement, la conductivité thermique de la pièce à usiner, et la

température à la sortie de la bande (donnée par la relation (III.15)). On rappelle que i!i)-(ξ

ξ!=C ξ

i .


- 75 -

Une étude paramétrique réalisée par Moufki et al. (1998) a montré que ξ =2 donne une bonne

approximation de la distribution de température. De ce fait, les équations (III.30) et (III.31)

deviennent :

( ) ( )( ) jh

jc

2jc

cj0j2j

c

jint θ+x20ll158x

πkρc

xVpµ

l15

2=(x)T 2 −+ (III.32)

jh

cj

cj0j

jint θ+

πkρc

Vlpµ

7

4=T (III.33)

III.3.6 - Angle de cisaillement φnj

On rappelle que dans le présent modèle de tournage de Molinari et Moufki la vitesse du copeau VC

est déterminée de façon à minimiser l’énergie de coupe du procédé. Ayant supposé que VC est

uniforme, l’angle de cisaillement local φnj est alors calculé à partir de la relation (III.12).

Hill (1951) a montré des divergences entre les mesures expérimentales et les angles de cisaillement

donnés par la minimisation dans le cadre de la coupe orthogonale. Plus récemment Bäker (2005) et

Miguelez et al. (2006) puis Molinari et Moufki (2008) ont montré, respectivement, à l’aide de

simulations numériques et analytiques des différences entre les prédictions de l’angle de cisaillement

φ et le modèle de Merchant.

Dans ses simulations numériques de coupe orthogonale, Bäker s’est placé dans un cas de coupe

idéal. Le matériau est supposé parfaitement plastique et le frottement à l’interface outil-copeau est

supposé nul afin de s’approcher des hypothèses de Merchant. La mesure de l’angle de cisaillement

obtenu (27°) s’éloigne alors de façon significative de la prédiction de Merchant (45°) (Figure III.9).

Simulation φ=27°

Merchant φ=45°

α=0°

Simulation φ=27°

Merchant φ=45°

α=0°

Figure III.9 : Simulation numérique 2D du procédé de coupe orthogonale réalisée avec un


- 76 -

remaillage dynamique, (α=0°, frottement à l’interface outil copeau négligé), Bäker (2005).

Dans la suite de ses travaux, Bäker montre que pour obtenir les prédictions données par la

minimisation, il doit imposer la géométrie du copeau. Pour ce faire, il propose d’utiliser dans ses

simulations un « guide » permettant de diriger le copeau non déformé jusqu’à la zone de

cisaillement (Figure III.10). En fonction de la position du guide, l’angle de cisaillement varie. Dans

le premier cas (a), le guide n’est pas en contact direct avec le copeau formé ; son écoulement est

« libre » et l’angle de cisaillement mesuré est de 32°. Dans le second cas, le guide est mis en contact

avec le copeau ; l’angle ainsi mesuré est de 45°.

(a)

φ = 32°φ = 32°

(b)

φ = 45°φ = 45°

Figure III.10 : Comparaison des angles de cisaillement obtenus par des simulations numériques de

coupe orthogonale pour un copeau « libre » (a) et « guidé » (b), Bäker (2005).

Molinari et Moufki (2008) ont obtenu analytiquement des résultats analogues à ceux de Bäker. Ils

ont montré que la géométrie du copeau induit des variations de l’angle de cisaillement. Pour une

géométrie parfaite du copeau (ligné brisée EBD), l’angle de cisaillement φ est donné par la

minimisation (φ = φM) (Figure III.11). Dans le cas réel, où la géométrie du copeau est perturbée

d’un angle θ (ligne brisée ECD), l’angle de cisaillement est compris entre les angles FAC et FAD.

Les auteurs postulent que l’angle θ décrivant cette perturbation est dépendante du matériau usiné ;

ils démontrent alors la relation φ = φM – θ/2 pour l’angle de cisaillement, où φM est donné par

l’approche de Merchant.


- 77 -

A

BC

D

t1

Pièce à usiner

Outil

φM

E θ

F A

BC

D

t1

Pièce à usiner

Outil

φM

E θ

A

BC

D

t1

Pièce à usiner

Outil

φM

E θ

F

Figure III.11 : Etude analytique présentant l’influence d’une perturbation sur l’angle de cisaillement

φ, Molinari et Moufki (2008)

Les études numériques de Miguelez et al. (2007) ont montré des résultats similaires pour des

simulations de coupe orthogonale réalisées avec les approches ALE (Arbitraly Lagrangian Eulerian)

et Lagrangiennes. Le matériau usiné est l’acier 42CD4 ; son comportement est thermo-

viscoplastique et décrit par la loi de Johnson-Cook. Les auteurs ont négligé le frottement à

l’interface outil-copeau. Les deux approches montrent des résultats semblables ; l’angle de

cisaillement donné par les simulations numériques (pour une vitesse de coupe V=240 m/min) est

de l’ordre de 25° alors que la minimisation prédit dans le cas présent (frottement négligé, α = 0°),

un angle φ de 45° (Figure III.12).

(a)

26°

Merchant

26°

Merchant

(b)

25°

Merchant

25°

Merchant

Figure III.12 : Simulations numériques de coupe orthogonale (frottement à l’interface outil-copeau

négligé, angle de coupe α = 0°) obtenues respectivement par les approches ALE (a) et

Lagrangienne (b), Miguelez et al., (2007).


- 78 -

Bäker (2005), Miguelez et al., (2007), puis Molinari et Moufki (2008) ont montré à travers leurs

études numériques et analytiques en coupe orthogonale que l’approche de Merchant (basée sur le

principe de minimisation de l’énergie de coupe) ne donne pas toujours les valeurs réelles de l’angle

de cisaillement. Dès lors, on peut supposer que ces remarques sont également valables dans le

procédé de tournage pour la détermination de l’angle de cisaillement local φnj.

Nous proposons par la suite une modification du modèle de tournage original permettant le calcul

de l’angle de cisaillement local en proposant le concept d’ « élément neutre ».

III.4 - Modèle de tournage modifié

Le but du modèle de tournage modifié est de déterminer un angle de cisaillement local φnj

permettant, par la suite, le calcul de la vitesse du copeau VC. Il est à noter que dans le nouveau

modèle proposé, l’hypothèse selon laquelle la vitesse d’écoulement du copeau est uniforme est

toujours considérée. La discrétisation de l’outil présentée dans le paragraphe III.3.1 est reprise ici.

III.4.1 - Concept de l’élément neutre

Nous proposons dans ce paragraphe de modifier le modèle de tournage en intégrant le concept

original d’ « élément neutre » afin de calculer les angles de cisaillements locaux.

Il a été vu auparavant que tous les copeaux élémentaires sont soumis aux interactions des éléments

adjacents ; ces éléments sont définis comme « contraints » et la modélisation de la zone primaire de

cisaillement ainsi que des effets thermiques à l’interface outil-copeau est alors faite à partir du

modèle de coupe oblique dans lequel l’écoulement local est imposé par le mouvement global du

copeau. A partir de l’équilibre global du copeau, il a été montré que ∑ 1

0

+

==

N

j

jn 0R (Rn

j étant la force

exercé sur « j » par les éléments « j-1» et « j+1»). En réalisant une discrétisation suffisamment fine,

on peut trouver un élément « j » tel que 0jn =R . Cet élément est alors appelé « élément neutre » et

est assimilé à une arête droite dans une opération de coupe orthogonale (si λs0 = αn

0 = 0) ou

oblique libre (en opposition aux éléments contraints).

La figure III.13 permet d’illustrer la différence existante entre les directions locales d’écoulement et

la direction globale du copeau. Pour l’illustration, nous nous plaçons dans le cas de coupe

orthogonale, c'est-à-dire, où la vitesse est perpendiculaire à la face de coupe de l’outil (λs0 = αn

0 =

0). Sur la figure III.13, chaque copeau élémentaire « j » est supposé indépendant des éléments

adjacents (aucune interaction) et il résulte donc d’une opération de coupe orthogonale libre dont la

direction d’écoulement naturelle est perpendiculaire à l’arête droite élémentaire. L’élément neutre


- 79 -

est alors celui pour qui la normale à son arête droite élémentaire coïncide avec la direction globale

du copeau.

Nous venons ainsi de mettre en évidence l’existence d’un élément « j » pouvant être assimilé à une

arête droite dans une opération de coupe orthogonale ou oblique libre. Pour les procédés de coupe

simples, différents modèles (Merchant, 1945 ; Lee et Schaffer, 1951) ou relations empiriques

(Zvorykin, 1893) ont été proposées afin de déterminer l’angle de cisaillement. Nous proposons

d’utiliser la loi de Zvorykin afin de calculer l’angle de cisaillement local de l’élément neutre.

axe de révolution

pièce à usinéedirections locales

d’écoulement

direction globale d’écoulement du

copeau

face de coupe (perpendiculaire àla

vitesse de coupe)

élément neutre

ηc0

f/2d

axe de révolution

pièce à usinéedirections locales

d’écoulement

direction globale d’écoulement du

copeau

face de coupe (perpendiculaire àla

vitesse de coupe)

élément neutre

ηc0

f/2d

Figure III.13 : Schématisation des directions locales et du mouvement global du copeau dans le cas

de la coupe orthogonale (λs0 = αn

0 = 0). L’élément neutre, supposé indépendant des éléments

adjacents, est celui pour qui la normale à son arête droite élémentaire coïncide avec la direction

globale du copeau.

III.4.2 - Calcul de l’angle de cisaillement de l’élément neutre

Nous présentons dans ce paragraphe les différentes relations empiriques donnant l’angle de

cisaillement φ. Elles sont citées chronologiquement.

Dans la littérature, Zvorykin (1893) est le premier auteur à avoir proposé une relation empirique de

l’angle de cisaillement. Il présente une relation donnant φ comme fonction des angles de la face de

coupe α et de frottement λ.

φ= A1 + A2 (α – λ) (III.34)


- 80 -

La formulation présentée a l’avantage d’être d’ordre général ; les paramètres A1 et A2 sont à calibrer

à partir de mesures expérimentales.

Ernst et Merchant (1941), puis Merchant (1945) ont proposé un modèle basé sur la minimisation de

l’énergie de coupe (III.35). Leur relation s’écrit sous la forme :

π α-λ

φ= +4 2

(III.35)

Or comme nous l’avons précisé auparavant, il a été montré que la minimisation n’est pas toujours

en accord avec les mesures expérimentales (Hill, 1951) ou les études numériques et analytiques

(Bäker, 2005 ; Miguelez et al., 2007 ; Molinari et Moufki, 2008).

En 1951, Lee et Shaffer ont proposé un modèle basé sur l’analyse des lignes de champs et donnent

une expression de l’angle de cisaillement :

π

φ= + α-λ4

(III.36)

Il a été montré par la suite par Pugh (1959) que le modèle de Lee et Shaffer surestime l’angle de

cisaillement expérimental.

Dans la suite de notre modélisation, nous proposons d’utiliser une loi générale de type Zvorykin

(1893) pour déterminer l’angle de cisaillement local de l’élément neutre dans le modèle de tournage.

La vitesse du copeau étant supposée uniforme, sa valeur peut alors être calculée à partir des

données locales correspondant à l’élément neutre :

)α-cos(φηcos

φsinλVcos=V=V

neutren

neutren

neutrec

neutren

neutres neutre

cc (III.37)

La dernière étape de la modélisation consiste alors à déterminer la position de l’élément neutre.

Pour ce faire, un algorithme itératif est nécessaire ; le cheminement utilisé est présenté par la suite.

III.4.3 - Détermination de l’élément neutre

La détermination de l’élément neutre se fait à l’aide d’un algorithme itératif composé de trois

boucles imbriquées. La première consiste à résoudre la partie thermique du modèle analytique ; la

seconde à déterminer l’élément neutre en vérifiant une équation non linéaire donnant la direction

locale d’écoulement du copeau ; la dernière, à vérifier l’équilibre global du copeau.


- 81 -

• Pour une estimation de la direction globale du copeau, on balaye tous les éléments un à un. La

géométrie locale (λsj, αn

j), leur position angulaire (ξcj) ainsi que la direction locale d’écoulement (ηc

j)

donnée par la relation (III.9) est alors calculée.

• Afin de déterminer la position de l’élément neutre, on va supposer par la suite que chaque copeau

élémentaire « j » (et la géométrie qui lui est associée) est neutre. On vérifie par la suite si cette

hypothèse est vraie ou fausse.

• L’étape suivante du schéma itératif consiste à résoudre la partie thermique du problème de coupe

oblique libre pour l’élément « j ». Les angles de frottement (λ j) et de cisaillement (φn j) sont calculés

respectivement à partir de l’étude thermique à l’interface outil-copeau et de la loi de Zvorykin

(III.34). La vitesse du copeau, étant supposée être constante pour l’ensemble des éléments, est alors

déterminée à partir des données locales calculées pour l’élément neutre et de la relation (III.37).

• Une correction de l’estimation de la température moyenne à l’interface est faite jusqu’à ce que

intT vérifie la relation (III.33).

• Une fois la résolution de la partie thermique réalisée, il faut vérifier que l’élément « j », supposé

être neutre, vérifie la relation 0jn =R . Pour l’élément neutre, dire que la résultante des efforts qui

lui est appliquée par les éléments adjacents est nulle est équivalent à dire que sa direction

d’écoulement est donnée par le modèle de coupe oblique libre. Dans l’algorithme itératif, nous

vérifions ainsi que la direction d’écoulement ηcj vérifie la relation (III.38) :

f(ηcj) = cos(φn

j - αn j) sin φn

j sin ηcj - tan λs

j cos2(φn j - αn

j) cos ηcj + (cos αn

j - sin(φn j - αn

j) sinφn

j) tan λ j sin ηc

j+ tan λ j tan λs

j sin(φn j - αn

j) cos(φn j - αn

j) cos2ηcj = 0

(III.38)

Si la relation (III.38) est vérifiée alors l’élément « j » est bien l’élément neutre ; sinon, l’élément

suivant est alors à son tour supposé être l’élément neutre, et le schéma itératif est parcouru une

nouvelle fois.

• Finalement, nous vérifions que l’estimation de la direction globale d’écoulement du copeau ηc0

vérifie bien l’équilibre à travers la relation ∑ 1

0

+

==

N

j

jn 0R .


- 82 -

Pour une estimation de la température moyenne à l’interface outil-copeau

Pour une estimation de la direction globale du copeau ηc0

Pour j = 0 à N+1

• Calcul pour l’arête élémentaire « j » des angles λsj, αnj, ξc

j

• Calcul de ηcj = η c

0 – ξcj

• Supposons « j » l’élément neutre

jh

cj

cj0j

jint θ+

πkρc

Vlpµ

7

4=TL’équation est-elle vérifiée ?

NO

N,

nouv

elle

est

imat

ion

OUI

ηcj vérifie-t-il l’équation : f(ηc

j) = 0 (III.38)

OUI

NO

N,

on p

asse

àl’é

lém

ent s

uiva

nt

Le copeau global est-il en équilibre ∑ 1N

0j

jn 0R

+

== ?

NO

N,

nou

velle

est

imat

ion

de η

c0

jλ( )intjj Tµµ =•

φnj = A1 + A2 (αn

j– λj)•

)α-cos(φηcos

φsinλVcos=V=V

j n

j n

j c

j n

j sj

cc•

1)+(ξcosηlw

cosλcosλ=p

jc

jc

jr

js

jtool/chipj

0

jR

jr

j

csj

tool/chip

jshj

cw

A

cosη

1

cosλ

N

2

2+ξ=l

R

• τh j=ρ(Vcosλs

j sin φnj )2 γ j +τ0

j

( ) ( ) jj0

2j2j

nj

swj

h γτ+2

γsinφVcosλ

ρc

β+θ=θ ρ•

•

•

• Calcul des angles de cisaillement locaux φnj :

Pour j = 0 à N+1

jnj

nj

cc

js

jn

tanαcosαcosηV

Vcosλ

1=tanφ

-

• Calcul des efforts de coupe P1, P2 et P3

Pour une estimation de la température moyenne à l’interface outil-copeau

Pour une estimation de la direction globale du copeau ηc0

Pour j = 0 à N+1

• Calcul pour l’arête élémentaire « j » des angles λsj, αnj, ξc

j

• Calcul de ηcj = η c

0 – ξcj

• Supposons « j » l’élément neutre

jh

cj

cj0j

jint θ+

πkρc

Vlpµ

7

4=TL’équation est-elle vérifiée ?

NO

N,

nouv

elle

est

imat

ion

OUI

ηcj vérifie-t-il l’équation : f(ηc

j) = 0 (III.38)

OUI

NO

N,

on p

asse

àl’é

lém

ent s

uiva

nt

Le copeau global est-il en équilibre ∑ 1N

0j

jn 0R

+

== ?

NO

N,

nou

velle

est

imat

ion

de η

c0



φnj = A1 + A2 (αn

j– λj)• φnj = A1 + A2 (αn

j– λj)•

)α-cos(φηcos

φsinλVcos=V=V

j n

j n

j c

j n

j sj

cc•

1)+(ξcosηlw

cosλcosλ=p

jc

jc

jr

js

jtool/chipj

0

jR

jr

j

csj

tool/chip

jshj

cw

A

cosη

1

cosλ

N

2

2+ξ=l

R

• τh j=ρ(Vcosλs

j sin φnj )2 γ j +τ0

j

( ) ( ) jj0

2j2j

nj

swj

h γτ+2

γsinφVcosλ

ρc

β+θ=θ ρ•

•

•

• Calcul des angles de cisaillement locaux φnj :

Pour j = 0 à N+1

jnj

nj

cc

js

jn

tanαcosαcosηV

Vcosλ

1=tanφ

-

• Calcul des efforts de coupe P1, P2 et P3

Figure III.14 : Algorithme itératif utilisé dans le nouveau modèle de tournage


- 83 -

III.5 - Conclusions

Dans une première partie de ce chapitre nous avons présenté le modèle de tournage développé par

Molinari et Moufki (2005). Nous avons vu que le modèle est basé sur deux points fondamentaux :

(i) la discrétisation de la partie arrondie de l’outil ; (ii) la prise en compte dans l’équilibre du copeau

des interactions entre les éléments discrétisés.

Dans une seconde partie, après avoir mis en évidence les faiblesses du principe de la minimisation

dans le calcul de l’angle de cisaillement, nous avons proposé une modification du modèle de

tournage en intégrant le concept d’élément neutre. Cette nouvelle méthode de résolution nous

permet d’utiliser des mesures expérimentales de l’angle de cisaillement (pour une opération de

coupe orthogonale simple avec une arête droite) afin de calibrer les paramètres de la loi de Zvorykin

régissant les variations de φ.

Afin de compléter l’étude, nous proposons par la suite de confronter les deux modèles de tournage

entre eux. Pour ce faire, le couple outil-matériau WC-304L a été choisi. Le comportement du

matériau est une donnée majeure de la modélisation ; dans le cadre du projet national PGV2

financé par le CETIM, nous avons caractérisé le comportement thermomécanique de l’acier

austénitique 304L soumis à de sévères sollicitations de températures et de vitesses de déformation.

Le Chapitre IV présente les essais statiques et dynamiques réalisés au sein du LPMM, ainsi que la

modélisation du comportement de l’acier 304L. L’application de la modélisation de tournage

présentée ici est développée dans le Chapitre V.

- 84 -

- 85 -

- 86 -

Chapitre IV

Caractérisation du comportement de l’acier 304L soumis à de sévères

sollicitations

ans le cadre de l’usinage à grande vitesse, le matériau usiné est soumis à de très sévères sollicitations

(températures, déformations et vitesses de déformations). Afin de modéliser au mieux l’usinage, il est

nécessaire de connaître le comportement du matériau soumis à des conditions extrêmes. Dans le cadre du

projet national PGV2, financé par la fondation CETIM, nous avions pour but de déterminer le comportement de

l’acier austénitique 304L pour de hautes vitesses de déformation et de hautes températures. Pour ce faire, des essais

quasi-statique (à température ambiante et jusqu’à 600°C) et dynamiques (sur barres de Hopkinson) ont été réalisés

au LPMM. Des comparaisons avec les données de la littérature, et de partenaires universitaires ont été faites afin de

valider nos résultats expérimentaux. Finalement, une loi phénoménologique de type Johnson-Cook modifiée a été

choisie pour décrire le comportement de l’acier 304L.

Chapitre d'équation 2 Section 1

D

Chapitre IV : Caractérisation du comportement de l’acier 304L soumis à de sévères sollicitations

- 87 -

IV.1 - Introduction

Les aciers inoxydables possèdent d’excellentes propriétés (résistance à la corrosion et soudabilité).

Ils doivent leur capacité de résistance à la corrosion à la présence d’alliage de chrome qui, au

contact de l’air, forme un film protecteur d’oxyde de chrome. Parmi les aciers inoxydables, il est

possible de distinguer cinq grandes familles selon leur structure cristallographique : les aciers

inoxydables austénitiques, ferritiques, martensitiques, biphasés et durcissables par précipitation.

Nous nous intéressons dans ce chapitre à la caractérisation dynamique des aciers inoxydables

austénitiques, et plus particulièrement à l’acier 304L. Il contient à la fois une grande proportion de

chrome (≈ 18%) pour la résistance à la corrosion et de nickel (≈8%) afin de stabiliser la structure

austénitique. Du fait d’une ductilité importante et des qualités citées précédemment, l’acier 304L est

utilisé dans de nombreuses applications architecturales (escaliers, panneaux extérieurs, ascenseurs),

ménagères (casseroles, poubelles, tambour de machine à laver) ou structurelles (wagons

marchandises, pipelines).

Le comportement plastique dépend du type de sollicitation et de l’histoire de la déformation. Dans

la mise en forme par enlèvement de copeau, la matière s’écoulant à travers la zone primaire est

principalement sollicitée en cisaillement. La technique expérimentale de double cisaillement

développée au LPMM par le Pr. Klepaczko a ainsi été choisie pour caractériser le comportement de

notre matériau. Sa composition chimique est donnée dans la table suivante :

Table IV.1 : Composition chimique de l’acier 304L étudié

C Mn Si P S Cu Ni Cr Co NMax. 0.07 Max. 2 Max. 1 Max. 0.045 0.03 – 8-10,5 17-19,5 – –

0,028 1,5 0,26 0 ,033 0,030 0,53 8,25 18,25 0,140 0,0895

Une première série d’essais quasi-statique a été réalisée par le biais d’une machine hydraulique pour

une plage de température allant de l’ambiante à 600°C. Nous avons par la suite soumis notre

matériau à de hautes vitesses de cisaillement à travers le dispositif expérimental des barres de

Hopkinson.

Finalement, une étude comparative avec les données de la littérature (Venugopal et al., 1997 ; Lee et

Lin, 2001 ; Xue et al., 2004) ainsi que celles de partenaires scientifiques du projet PGV2 (Mines de

Saint-Etienne, LAMIH de Valenciennes) a été menée afin de valider nos résultats.


- 88 -

IV.2 - Techniques expérimentales

Connaître le comportement des matériaux est essentiel pour les applications de mise en forme

rapide, de crash, etc. Plusieurs paramètres vont influencer ces comportements, on trouve

principalement l’effet de la température et de la vitesse de déformation. Différents types d’essais ont

ainsi été développés afin d’obtenir une caractérisation complète des matériaux (Figure IV.1).

Dans des domaines d’application tels que les crash-tests, l’emboutissage ou l’usinage à grande

vitesse, les matériaux sont soumis à des vitesses de déformations très élevées. Les caractérisations

statiques ou quasi-statiques ne suffisent plus dans la détermination du comportement des

matériaux. Il s’avère donc nécessaire de développer de nouveaux procédés permettant de

déterminer le comportement des matériaux soumis à de grandes vitesses de déformation. Parmi ces

méthodes on trouve l’essai de double cisaillement développé par Campbell et Ferguson (1970).

Vitesse de déformation (s-1)

Impact

102 104 106 1 0

50

100

150

200 Torsion

Flexion

Expansion d’anneau

Compression, Traction, Torsion dynamique

Déformation (%)

Figure IV.1 : Domaines des vitesses de déformation associés aux essais

IV.2.1 - Présentation des essais de double cisaillement

IV.2.1.1 - Essais quasi-statiques

La machine dont dispose le LPMM (Zwick-REL) est munie d’un asservissement hydraulique.

L’avantage de ce dernier est qu’il permet d’atteindre des vitesses de traverse très élevées et, ainsi des

hautes vitesses de déformation. En effet, avec une géométrie d’éprouvettes bien définie, la gamme

de vitesses s’étend de 10-4 à 102 s-1. Les schémas du montage (a) et de l’éprouvette (b) utilisés sont

présentés figure IV.2.


- 89 -

Figure IV.2 : Schéma du montage de double cisaillement (a), Rusinek (2000) et de l’éprouvette de

double cisaillement avant et après déformation (b).

La mesure de la force axiale lors d’un essai est faite par le biais de jauges de déformation collées sur

la traverse fixe ainsi que par la cellule de force propre à la machine. Les déplacements δ1(t) et δ2(t)

sont mesurés par deux capteurs de type LVDT (Linear Variable Differential Transformer).

Le déplacement moyen de la partie centrale de l’échantillon de double cisaillement (Uspec) peut être

ainsi mesuré. Le cisaillement nominal est obtenue en divisant le déplacement par la hauteur de la

zone cisaillée h de l’éprouvette (Figure IV.2) :

h

(t)U=γ(t)

spec . (IV.1)

La vitesse de déformation γ& est obtenue par dérivation de la déformation au cours du temps

(t)Udt

d

h

1=(t)γ spec& . (IV.2)

La contrainte est déterminée en faisant le rapport de la force mesurée F(t) par la surface cisaillée.

Ayant deux surfaces cisaillées, la contrainte moyenne est notée :

h


- 90 -

2A

F(t)=τ(t) . (IV.3)

Les essais réalisés sur la machine hydraulique Zwick nous donnent le comportement du matériau

pour des vitesses de déformations allant jusqu’à 102 s-1.

En usinage à grande vitesse, les vitesses de déformations dans la zone primaire de cisaillement

peuvent atteindre des valeurs de l’ordre de 105 s-1. Afin de déterminer le comportement de notre

matériau dans les conditions les plus proches de celles de l’usinage, il est nécessaire d’étudier

d’autres techniques de sollicitation à grande vitesse de déformation.

IV.2.1.2 - Essais dynamiques sur barres de Hopkinson

La partie essentielle du dispositif est le tube de Hopkinson sur lequel est vissé un porte-éprouvette

qui assure le maintien de l’échantillon. En amont de ce tube, un canon à air comprimé permet de

lancer des projectiles avec des vitesses maximales d’impact de 200 m/s. Dans sa configuration

classique (Figure IV.3), le dispositif est constitué d’un projectile, d’une barre entrante, de

l’échantillon et d’une barre sortante. Les déformations εi , εT et εR, représentant respectivement les

déformations incidentes transmises et réfléchies, sont mesurées à l’aide de jauges de déformations

placées sur les barres d’entrées et de sorties. Elles permettent par la suite de déterminer la

déformation dans l’éprouvette.

LBarre d’entrée Barre de sortieImpacteur

εi εRεTV


εi εRεT


εi εRεTV

Figure IV.3 : Dispositif du tube de Hopkinson

Afin de réduire le temps de chargement de l’éprouvette, et ainsi obtenir des vitesses de déformation

plus élevées, le tube de Hopkinson peut être remplacé par un procédé d’impact direct (Figure 4). Le

projectile est alors envoyé directement sur le spécimen à la vitesse voulue.


- 91 -

Canon à gaz

ImpacteurTube de Hopkinson

V Canon à gaz

ImpacteurTube de Hopkinson

V

Figure IV.4 : Technique du double cisaillement dynamique, Rusinek (2000)

Ce principe a été appliqué aussi bien en compression (Dharan-Hauser, 1970) qu’en double

cisaillement (Klepaczko, 1994).

L’un des avantages du procédé d’impact direct, réside dans le fait que la vitesse de sollicitation est

déterminée de façon exacte. La mesure de la vitesse du projectile se fait à l’aire de photodiodes

couplées à deux compteurs de temps. Le passage du projectile devant le faisceau lumineux

déclenche les compteurs de temps. Les distances entre les faisceaux lumineux étant connus, il est

facile de remonter à la vitesse, ainsi qu’aux phases d’accélération ou de décélération.

Le déplacement de l’échantillon est mesuré par un capteur optique. Une cible noire/blanche est

alors colée sur l’éprouvette. Dès lors qu’un mouvement de cette cible est détecté, le capteur optique

relié à un oscilloscope enregistre le déplacement.

La mesure de l’onde transmise est primordiale dans les essais dynamiques. Elle se fait par le biais de

jauges de résistance collées sur la surface du tube sortant. Ces jauges sont placées de façon à ce que

le signal de l’onde transmise soit stabilisé, mais suffisamment près afin d’éviter les dispersions de

l’onde.

La théorie sur les essais de double cisaillement est développée par Klepaczko (1994). Selon cette

théorie, le déplacement réel de l’échantillon (Uech) est la différence entre le déplacement mesuré par

l’extensomètre optique (Uext) et celui du tube de Hopkinson induit par l’impact (Utub).

Uéch (t) =Uext (t) − Utub (t) (IV.4)

Le déplacement élastique du tube dépend de l’onde transmise et est déterminée par la relation :

∫ ξξε=t

0T0tub d)(C)t(U (IV.5)


- 92 -

où C0 est la célérité de l’onde élastique et )t(εT le signal de l’onde transmise mesurée par la jauge

de résistance.

La déformation en cisaillement dans l’éprouvette s’exprime sous la forme :

))d(εC-(t)U(h

1=γ(t)

t

0

T0ext ∫ ξξ (IV.6)

En dérivant cette expression par rapport au temps, nous obtenons la vitesse de déformation en

cisaillement γ&

)(t)εC-(t)Udt

d(

h

1=(t)γ T0ext& (IV.7)

La contrainte de cisaillement dans l’éprouvette est déterminée à partir de la relation (IV.3) présentée

auparavant.

Du fait de la transmission intégrale des effets (force et déplacement), la force appliquée à

l’éprouvette est identique à celle transmise au tube. Cette dernière est définie par :

Ttubetube .ε.EA=F (IV.8)

où Etube représente le module d’Young du tube de Hopkinson.

La section du tube est connue à l’aide des données sur les diamètres intérieur (d) et extérieur (D) :

)d-(D4

π=A 22

tube (IV.9)

Finalement on obtient une nouvelle expression de la contrainte de cisaillement :

(t)εEBA

)d-π(D=.ε

2A

.EA=τ(t) Ttube

éch

22

Téch

tubetube (IV.10)


- 93 -

IV.3 - Résultats expérimentaux

Des essais de double cisaillement et de traction ont été effectués au LPMM. Les plus larges gammes

de vitesses et de température ont été étudiées sur les essais de double cisaillement. Les essais de

traction (LPMM et LAMIH), ainsi que les essais de torsion (Mines de Saint-Etienne) sont comparés

aux essais de double cisaillement pour valider les différentes approches. Pour quantifier les

comparaisons, il est nécessaire de définir un critère d’écoulement. Le critère de von-Misès a été

choisi. Il est basé sur l'observation selon laquelle la pression hydrostatique n’induit pas de

déformation plastique. Ainsi, on peut affirmer que seule l'énergie de distorsion influence le passage

d'un état élastique à un état plastique. Le critère de von-Misès peut alors être formulé selon : le

matériau rentre dans le domaine plastique lorsque l'énergie élastique de distorsion atteint une valeur

seuil, indépendamment du type de l'état de contraintes. Les contraintes et déformations

équivalentes sont données par la relation (IV.11) :

3

γ=ε

τ3=σ

eq

eq

(IV.11)

IV.3.1 - Résultats des essais de double cisaillement

IV.3.1.1 - Procédure d’analyse des signaux bruts

Le procédé de double cisaillement permet d’obtenir des essais à de hauts niveaux de déformation et

de vitesses de déformation. Néanmoins, le signal brut nécessite d’être analysé et corrigé.

La première correction à apporter concerne la rigidité du système. En effet, le signal brut mesure la

réponse force-déplacement asociée à l’ensemble du montage. Il convient donc de retrancher la

déformabilité de la machine au déplacement total lors de l’exploitation de l’essai. Cela amène à un

redressement de la courbe (Figure IV.5) à partir de la relation (IV.12) :

)E×E

E-Eσ(-ε=ε

mesuréthéorique

mesuréthéorique

mesurécorrigée (IV.12)


- 94 -

Contrainte équivalente (MPa)

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Courbe brute

Rigidité corrigée

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Courbe brute

Rigidité corrigée

Déformation équivalente

Figure IV.5 : Correction de la rigidité sur une courbe contraintes-déformations pour une vitesse de

déformation de 10-3 s-1.

La seconde correction concerne les niveaux des contraintes et de déformations. Les résultats des

travaux de Campbell et Ferguson (1970) montrent que les éprouvettes de double cisaillement

subissent une flexion importante. Ils ont ainsi observé qu’aux grandes déformations, les

déformations plastiques ne sont pas confinées dans la zone cisaillée mais apparaissent également à

l’interface éprouvette-support en raison des fortes rotations de ces derniers. Le mode de

déformation s’éloigne alors du cisaillement pur. Ainsi, les montages utilisés lors des essais de double

cisaillement que ce soit en quasi-statique ou en dynamique doivent assurer un parfait encastrement

des éprouvettes (ce qui n’est pas réalisé expérimentalement).

Des simulations numériques (Rusinek, 2000) permettent de déterminer les valeurs des coefficients

de correction sur la contrainte λC et la déformation λD. De manière générale, il n’y a presque pas de

correction à apporter sur le niveau de contrainte (λC =1,1). Au niveau des déformations, Rusinek

(2000) a déterminé une valeur du coefficient λD égale à 0,6 (Figure IV.6 ).


- 95 -


0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Courbe brute

Rigidité corrigée

Correction sur les contraintes et déformations

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Courbe brute

Rigidité corrigée

Correction sur les contraintes et déformations


Figure IV.6 : Correction du niveau de contrainte et de déformations pour une vitesse de

déformation de 10-3 s-1.

IV.3.1.2 - Influence de la vitesse de déformation

Comme il a été énoncé dans la première partie, des essais de double cisaillement ont été effectués à

la fois sur une machine hydraulique (10-3 s-1 ≤ ε& ≤ 102 s-1) et sur les barres de Hopkinson (ε& ≥ 103

s-1). Le matériau présente des comportements différents en fonction de la vitesse de déformation.

D’une manière générale, il apparaît une augmentation de la contrainte d’écoulement avec la vitesse

de déformation. Plus la vitesse de déformation de l’essai est élevée, plus l’augmentation de la

contrainte est prononcée. Ainsi, il a été observé que (pour un niveau de déformation donnée) la

contrainte équivalente σeq du 304L est relativement peu sensible à la vitesse de déformation pour

des valeurs de ε& comprises entre 10-3 et 1 s-1 (Figure IV.7). Une augmentation plus nette de la

contrainte commence à apparaître entre 1 et 100 s-1. A partir de 100 s-1, l’allure des courbes est

modifiée (Figure IV.7) par la présence d’un adoucissement thermique. Celui-ci est dû à

l’augmentation de température dans l’échantillon. Pour de hautes vitesses de déformation, la durée

d’essai devient relativement faible, ne laissant pas à la chaleur le temps d’être transférée

uniformément à l’extérieur (on tend vers un régime adiabatique). Au-delà de 1000 s-1, le matériau

devient très sensible à l’effet de la vitesse de déformation, et sa contrainte d’écoulement augmente

considérablement.


- 96 -


0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

= 0.001 s-1ε&

= 1 s-1ε&

= 100 s-1ε&

0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

= 0.001 s-1ε& = 0.001 s-1ε&

= 1 s-1ε& = 1 s-1ε&

= 100 s-1ε& = 100 s-1ε&


Figure IV.7 : Influence de la vitesse de déformation sur les courbes contraintes-déformations pour

l’acier 304L

Les essais sur les barres de Hopkinson ont permis d’atteindre des vitesses de déformation allant de

4400 à 14880 s-1. La table IV.2 et la figure IV.7 présentent l’évolution de la contrainte en fonction

de la vitesse de déformation imposée. La contrainte augmente très nettement sous l’effet de la

vitesse ; l’augmentation est d’autant plus importante que la vitesse de déformation croît.

Table IV.2 : Niveaux des contraintes mesurées après essais sur barres de Hopkinson pour une

déformation de 0.1

Vitesse de déformation ( s-1)

Contrainte pour une déformation de 0.1 (Mpa)

4400 8196700 8906800 93614880 1070

Les courbes contraintes-déformations obtenues à partir des barres de Hopkinson ont une allure

différente de celles obtenues sur machine hydraulique. En effet, la courbe présente un pic de

contrainte important, suivi d’une rapide chute, avant de croître de nouveau sous l’effet de

l’écrouissage.

Les appareils de mesure disponibles (les caméras les plus couramment utilisées proposent des


- 97 -

vitesses d’enregistrement de l’ordre de 3000 à 250 000 images/s) ne permettent pas de définir avec

exactitude les raisons de ce pic. Plusieurs hypothèses sont proposées afin d’expliquer les

phénomènes qui sont à l’origine du pic de contraintes.

Ce pic résulte tout d’abord de l’inertie générée lors de l’impact ; il peut être lié également à la densité

de dislocations ainsi qu’à la présence d’atomes tels que le carbone et l’azote ; en début de

chargement, les dislocations restent bloquées par les atmosphères de Cottrell. Pour accommoder la

déformation de nouvelles dislocations mobiles se créent, induisant une forte augmentation de la

contrainte. Ces nouvelles dislocations mobiles se mettent par la suite en mouvement, provoquant

une chute rapide de la contrainte. La dernière partie de la courbe est semblable au processus

existant en chargement quasi-statique et est ainsi définie par une compétition entre la multiplication

et l’annihilation des dislocations mobiles et immobiles.


0

400

800

1200

1600

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

4400 s-1

6746 s-1

6803 s-114880 s-1

0

400

800

1200

1600

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

4400 s-1

6746 s-1

6803 s-114880 s-1


Figure IV.8 : Influence des hautes vitesses de déformation sur les courbes contraintes-

déformations pour l’acier 304L

Afin de définir la contrainte d’écoulement du matériau à ces vitesses de déformations, nous

proposons de « lisser » la seconde partie de la courbe (après le pic de contrainte). L’intersection

entre la zone élastique et la nouvelle courbe obtenue nous permet de définir la contrainte

d’écoulement (Figure IV.9)


- 98 -


0

200

400

600

800

1000

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125

Courbe linéarisée

Courbe brute

= 4400 s-1ε&0

200

400

600

800

1000

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125

Courbe linéarisée

Courbe brute

0

200

400

600

800

1000

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125

Courbe linéarisée

Courbe brute

= 4400 s-1ε& = 4400 s-1ε&


Figure IV.9 : Lissage des courbes contraintes-déformations pour les hautes vitesses de

déformations

La figure IV.10 présente la valeur de la contrainte équivalente en fonction de la vitesse de

déformation pour trois niveaux de déformation (0.05, 0.1, 0.15). En premier lieu est observée une

faible évolution de la contrainte de cisaillement sur tout le domaine des vitesses quasi-statique

(jusqu’à 1 s-1). Celle-ci augmente par la suite légèrement jusqu’à 100 s-1, puis de façon beaucoup plus

importante dans le domaine dynamique (au-delà de 1000 s-1). Cette même tendance est observée

pour tous les niveaux de déformations présentés.

La réponse non linéaire de la contrainte avec l’évolution de la vitesse de déformation doit être prise

en compte dans la modélisation du comportement.


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Déformation = 0.05Déformation = 0.1

Déformation = 0.15

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Déformation = 0.05Déformation = 0.1

Déformation = 0.15

Log (ε& )

Figure IV.10 : Contrainte équivalente de von-Misès en fonction du logarithme de la vitesse de

déformation pour des déformations de 0.05, 0.10 et 015


- 99 -

IV.3.1.3 - Influence de la température

Dans le domaine quasi-statique (10-3 s-1), nous avons fait varier la température des essais de double

cisaillement de l’ambiante à 600°C. Une décroissance de la limite d’écoulement avec l’augmentation

de la température est observée jusqu’à 400°C.

Tous les essais réalisés à une température de 600° présentent une augmentation de la contrainte. Ce

phénomène, répété lors de tous les essais effectués, peut être assimilé au « vieillissement

dynamique ». Le phénomène est induit par une diffusion des atomes de carbone du matériau vers

les dislocations créant ainsi une augmentation de la contrainte d’écoulement dans un certain

domaine de température.


300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700

Déformation = 0.05

Déformation = 0.1

Déformation = 0.15

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700

Déformation = 0.05

Déformation = 0.1

Déformation = 0.15

Température d’essais (°C)

Figure IV.11 : Contrainte équivalente de von-Misès en fonction de la température pour des

déformations de 0.05, 0.10 et 015

Robinson et Shaw (1984), Lou et Northwood (1995) et Sakata et al. (1994)) ont montré que le

phénomène de vieillissement dynamique apparaît généralement pour des températures comprises

entre 150 et 300°C. Cho et al. (2000) ont observé que la diffusion d’autres éléments substitutionnels

tels que le chrome ou le nickel pouvait se faire au-delà de 900° pour un acier inoxydable

austénitique 304L. En résumé, aucun des auteurs aillant étudié le comportement de l’acier 304L n’a

observé de vieillissement dynamique pour une température de 600°C. Dans le cadre d’un projet

CETIM, ce même acier 304L a été livré à plusieurs laboratoires de recherches. Les laboratoires des

Mines de Saint-Etienne et le LAMIH de Valencienne ont tous deux étudié le comportement du

matériau à de hautes température (respectivement 700 et 800°). Néanmoins, seul le LPMM a

observé une augmentation de la contrainte pour des températures de l’ordre de 600°C.


- 100 -

Dans la modélisation réalisée, nous n’avons ainsi pas pris en compte le phénomène, apparenté à du

vieillissement dynamique, observé à 600°C.

IV.3.2 - Comparaison LPMM / Partenaires universitaires

Afin de valider la campagne d’essais de double cisaillement du LPMM, nous proposons de

comparer nos résultats à ceux obtenus par l’école des Mines de Saint-Etienne (Figure 14). Ils ont

effectué des essais de torsion pour des vitesses de 10-3 à 60 s-1 et des températures variant de 20 à

700°C. Le mode de sollicitation (torsion / double cisaillement) est similaire. La comparaison se fait

en contrainte et déformations équivalentes au sens de von-Misès.


0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3

Essai de torsion

-10.1s=ε&

-10.089s=ε&

Essai de double cisaillement

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3

Essai de torsion

-10.1s=ε&

-10.089s=ε&

Essai de double cisaillement

Déformation

Figure IV.12 : Comparaison des essais de torsion (Mines de st-Etienne) et de double cisaillement

pour des vitesses de déformation respectivement de 0.089 et 0.1 s-1

Dans le domaine de l’ambiante, il y a une bonne concordance des résultats obtenus dans les deux

laboratoires pour des sollicitations similaires. Le niveau de la contrainte d’écoulement ainsi que la

pente d’écrouissage sont en très bon accord.

Les essais à température (200 et 400°C) présentent des résultats semblables (Figure IV.13). A

température ambiante comme à 200°C, nous avons une très bonne corrélation des résultats. A

400°C, un faible écart entre les résultats des Mines de Saint-Etienne et ceux du LPMM est observé.


- 101 -


(a) – T = 200°C

0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

T=200°

Double cisaillement (LPMM)

Torsion (Mines de St-Etienne)

0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

T=200°



(b) – T = 400°C

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4

T=400°



0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4

T=400°




Figure IV.13 : Comparaison des essais de torsion (Mines de Saint-Etienne) et de double

cisaillement (LPMM) pour des vitesses de sollicitation de 10-1 s-1 et des températures de 200 (a) et

400°C (b).

Afin de compléter cette étude, nous comparons les résultats de caractérisation de l’acier austénitique

304L à ceux de la littérature.

IV.3.3 - Comparaison avec la littérature

Une recherché bibliographique a été réalisée afin de comparer les résultats expérimentaux que nous

avons obtenus au LPMM à ceux de la littérature. Pour ce faire, nous proposons dans ce paragraphe

d’étudier les travaux de Venugopal (1997), Lee et Lin (2001), et de Xue et al. (2004).

Figure IV.14 : Données de caractérisation de l’acier 304L pour les différentes conditions de

températures et de vitesses de déformation.

1 2

3 4

Vitesse de déformation

Tem

péra

ture

Pas de données

expérimentales

Essais sur barres de

Hopkinson de Lee et Lin (2001), Xue et al. (2004)

Essais à hautes températures réalisés par Venugopal et al.

(1997), El Wahabi et al. (2003)

Essais quasi-statiques à

température ambiante : Lee et Lin (2001), Xue et al. (2004)

1 2

3 4

1 2

3 4

Vitesse de déformation

Tem

péra

ture

Pas de données

expérimentales

Essais sur barres de

Hopkinson de Lee et Lin (2001), Xue et al. (2004)

Essais à hautes températures réalisés par Venugopal et al.

(1997), El Wahabi et al. (2003)

Essais quasi-statiques à

température ambiante : Lee et Lin (2001), Xue et al. (2004)


- 102 -

0

200

400

600

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

LPMM

Venugopal

0

200

400

600

800

1000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

LPMM (4400 /s)

Lee et Lin (3700 /s)

Xue et al. (3200 /s)


0

200

400

600

800

1000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

LPMMLee et Lin (2001)Xue et al. (2004)

= 10-3 s-1ε&T=200°C

T=20°C T=20°C

Pas de données expérimentales

= 10-3 s-1ε&

0

200

400

600

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

LPMM

Venugopal

0

200

400

600

800

1000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

LPMM (4400 /s)


Xue et al. (3200 /s)


0

200

400

600

800

1000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

LPMMLee et Lin (2001)Xue et al. (2004)

= 10-3 s-1ε& = 10-3 s-1ε&T=200°C

T=20°C T=20°C

Pas de données expérimentales

= 10-3 s-1ε& = 10-3 s-1ε&

Figure IV.15 : Comparaison des résultats obtenus au LPMM avec ceux de la littérature en fonction

des conditions de températures et de vitesses de déformation.

Lee et Lin (2001), et Xue et al. (2004) ont étudié le comportement de l’acier 304L à température

ambiante pour des vitesses de déformations comprises entre 10-3 et 5000 s-1. Il est à noter que ces

auteurs ont utilisé un acier qui n’a subi aucun traitement thermique. Pour les vitesses quasi-statiques

(Zone 1) la courbe contrainte équivalente – déformation équivalente se situe exactement entre les

résultats obtenus respectivement par Lee et Lin (2001) et Xue et al. (2004). Le niveau de la

contrainte d’écoulement semble cependant plus proche des données de Xue et al. (2004). Le niveau

d’écrouissage est cependant relativement plus faible que celui des deux auteurs cités avec un début

de chute de la contrainte pour des déformations approchant 0.25.

Les données obtenues par barres de Hopkinson (Zone 2) corroborent la première remarque faite

sur les essais réalisés à vitesse quasi-statique. En effet, les résultats expérimentaux du LPMM

semblent plus proches de ceux de Xue et al. (2004).

La Zone 3 définit le comportement du matériau à hautes températures. El Wahabi et al. (2003) ont

étudié le comportement du 304L soumis à des essais de compression à 1050°C. Venugopal et al.


- 103 -

(1997) ont réalisé des tests de torsion à 200°C pour des vitesses de déformation comprises entre 10-

3 et 100 s-1. Pour des niveaux de déformations donnés, les valeurs des contraintes présentées sont

sensiblement équivalentes. On pourra noter toutefois un niveau d’écrouissage plus important dans

les résultats de Venugopal et al. que dans ceux réalisés au LPMM.

La Zone 4 est représentative des conditions expérimentales apparaissants dans l’usinage (vitesse de

déformation et température élévées). Néanmoins, nous n’avons pas de données expérimentales

dans ce domaine.

IV.4 - Modélisation thermoviscoplastique

La modélisation du comportement thermoviscoplastique des matériaux est un domaine majeur de la

mécanique puisqu’elle permet, à l’aide de modèles, des calculs prévisionnels sur la tenue des

structures ou encore les procédés de mise en forme tels que l’usinage.

Il existe deux principaux types d’approches pour décrire le comportement des matériaux. La

première est dite « phénoménologique ». Le comportement est donné par des lois empiriques

déterminées à partir d’observations expérimentales. La seconde approche est basée sur des

considérations physiques telles que la microstructure des matériaux ou la densité de dislocations.

IV.4.1 - Loi phénoménologique de Johnson-Cook

La loi phénoménologique proposée par Johnson-Cook et présentée dans le chapitre précédent

(III.13) a été choisie pour décrire le comportment de l’acier 304L.

Le paramètre A est défini comme la limite d’écoulement du matériau pour une vitesse de

déformation de référence 0γ& ( 0γ& =10-3 s-1). Les coefficients B et n définissent l’écrouissage du

matériau. Les termes m et υ définissent respectivement la sensibilité à la vitesse de déformation et

l’adoucissement thermique du matériau. Il est à noter que la température de fusion du matériau est

Tf = 1793 K.

En deçà de 1 s-1, l’essai de cisaillement peut être supposé entièrement isotherme. Par contre au-delà

d’une vitesse de 102 s-1, il est nécessaire de prendre en compte l’échauffement du matériau lors de la

déformation plastique. Les contraintes isothermes sont alors déterminées en faisant une correction

prenant en compte l’échauffement adiabatique durant le processus. Pour un incrément de

déformation, l’élévation de température associée est calculée à l’aide de l’équation (IV.13)


- 104 -

∫ t

0 τdγ

ρC

1=T(t) (IV.13)

La contrainte isotherme est alors déterminée directement à partir de la contrainte en considérant

que la température de l’essai est donnée par l’incrément de température.

υisotherme θ-1

τ=τ (IV.14)

où ( ) ( )rfr T-T/T-T=θ définit l’adoucissement thermique de la loi de Johnson-Cook (III.13).

IV.4.1.1 - Détermination des paramètres d’écrouissage

La première étape consiste à déterminer la valeur des paramètres A, B et n. Comme il a été dit

précédemment, A correspond à la limite d’écoulement du matériau en quasi-statique à température

ambiante. Dans le cas de l’acier 304L,

A = 303 MPa

Nous déterminons les paramètres B et n sur la partie non linéaire de la courbe contrainte-

déformation à l’aide de la méthode des moindres carrés. Les valeurs des paramètres ainsi obtenues

sont :

B = 1084 et n = 0,669

La figure IV.16 présente la comparaison avec l’expériences pour une vitesse de déformation

0γ& =10-3 s-1.


0

200

400

600

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

10-3/s Expérimental

Johnson Cook


Figure IV.16 : Détermination des coefficients d’écrouissage dans la loi de Johnson-Cook pour

l’acier 304L.


- 105 -

IV.4.1.2 - Détermination des coefficients de sensibilité à la vitesse de

déformation

La sensibilité à la vitesse de déformation de l’acier austénitique 304L n’est pas linéaire (paragraphe

IV.3.1.2). Il est alors nécessaire de dissocier la plage de vitesse de déformation en deux domaines

distincts. En effet, le comportement du matériau évolue relativement peu pour des vitesses de

déformations inférieures à 100 s-1 en comparaison aux essais effectués à 103 s-1 et plus (Figure

IV.17). Nous estimons ainsi, la valeur tγ& = 103 s-1 comme étant la vitesse de transition entre les

deux régimes.


0

200

400

600

800

1000

1200

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


0

200

400

600

800

1000

1200

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

200

400

600

800

1000

1200

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

200

400

600

800

1000

1200

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


Logarithme de la vitesse de déformation

Figure IV.17: Variation de la contrainte d’écoulement équivalente en fonction de la vitesse de

déformation équivalente pour une déformation donnée de 10% (à température ambiante).

Afin de prendre en compte les deux domaines de vitesses de déformation, la loi de Johnson-Cook

nécessite une modification. Nous présentons (IV.15) la modification apportée par Marusich et

Ortiz (1995).

[ ]( )

[ ] t

mmm

t

n

t

n

siBA

simBA

γγθγγ

γγγτ

γγθγγγτ

ν

ν

&&&

&

&

&

&&&

&

≥−

+

+=

≤−

+

+=

−

1ln133

1

1ln133

1

221

002

011

(IV.15)

Les paramètres m1 et m2 représentent respectivement les coefficients de sensibilité à la vitesse de

déformation pour chacun des domaines représentés ( γ&≤ tγ& ou γ&> tγ& ).


- 106 -

1er cas : si γ&≤ tγ&

Le paramètre m1 est déterminé à l’aide de la méthode des moindres carrés. La valeur du coefficient

est :

m1= 0,014.

La très faible valeur de m1 reflète bien la faible influence de la vitesse de déformation jusqu’à

1000 s-1.

2nd cas : si γ&> tγ&

Pour les hautes vitesses de déformation, la contrainte augmente très nettement (Figure IV.17) ; le

coefficient m2 définissant la sensibilité au taux de déformation augmente alors. Or, ce faisant, le taux

d’écrouissage, définissant la capacité d’un matériau à s’écrouir, diminue avec l’effet de la vitesse.

Nous devons ainsi déterminer de nouveau les paramètres B2 et n décrivant l’écrouissage du

matériau. Dans la modélisation présentée, la valeur de n reste constante ; B2 et m2 sont donnés par :

m2= 0,447

B2 = 659

IV.4.1.3 - Détermination du coefficient de sensibilité à la température

Les comparaisons de nos résultats avec ceux de la littérature et de nos partenaires universitaires ont

permis de montrer que les essais réalisés à 600°C ne reflètent pas le comportement réel de l’acier

304L. Par conséquent lors de la modélisation, seuls les résultats expérimentaux effectués à 200 et

400°C ont été utilisés.

Pour une vitesse de déformation de référence 0γ& =10-3 s-1, le coefficient d’adoucissement thermique

est une nouvelle fois déterminé à l’aide de la méthode des moindres carrés. La valeur de ce

coefficient est de :

υ = 1,06


- 107 -

IV.5 - Comparaison entre résultats expérimentaux et modélisation

Nous venons de déterminer le comportement du matériau à travers la loi constitutive de Johnson-

Cook. Afin de retranscrire au mieux le comportement de l’acier 304L pour les grandes vitesses de

déformation, la modification apportée par Marusich et Ortiz (1995) a été utilisée. Un récapitulatif

des paramètres utilisés dans la modélisation est donné dans la table suivante.

Table IV.2 : Récapitulatif des paramètres de la loi de Johnson-Cook ( 0γ& = 10-3s-1, tγ& =103 s-1).

A (MPa) B1 (MPa) B2 (MPa) m1 m2 υ

303 1084 654 0.0144 0.447 1.06

Nous proposons dans cette partie de comparer la modélisation ainsi obtenue avec les résultats

expérimentaux du LPMM, des Mines de Saint-Etienne et du LAMIH de Valencienne. Les figures

IV.18 et IV.19 montrent respectivement l’influence de la vitesse de déformation et de la

température sur le comportement.


- 108 -

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.001/s expérimental

0.001/s Johnson Cook

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.1/s expérimental

0.1/s Johnson Cook

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

10/s expérimental

10/s Johnson Cook

0

200

400

600

800

1000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

100/s expérimental

100/s Johnson Cook


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0.05 0.1 0.15 0.2

4400/s expérimental

4400/s Johnson Cook

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

6803/s expérimental

6803/s Johnson Cook


Figure IV.18 : Comparaison entre la modélisation de Johnson-Cook et les essais expérimentaux à

température ambiante, et pour des vitesses de déformation comprises entre 0.001 et 6800 s-1.


- 109 -

0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Johnson-Cook


= 0.089 s-1ε&

T=100°

0

200

400

600

800

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Johnson-Cook


= 0.089 s-1ε& = 0.089 s-1ε&

T=100°

0

200

400

600

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Johnson-Cook


= 0.001 s-1ε&

T=200°

0

200

400

600

800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Johnson-Cook


= 0.001 s-1ε& = 0.001 s-1ε&

T=200°

0

200

400

600

800

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

= 0.001 s-1ε&

Johnson-CookT=400°


0

200

400

600

800

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

= 0.001 s-1ε& = 0.001 s-1ε&

Johnson-CookT=400°


Johnson-CookT=400°


0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Johnson-Cook


= 0.089 s-1ε&

T=500°

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Johnson-Cook


= 0.089 s-1ε& = 0.089 s-1ε&

T=500°


= 0.089 s-1ε&0

100

200

300

400

500

600

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Johnson-Cook


T=700°

= 0.001 s-1ε&0

100

200

300

400

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Johnson-Cook

Traction (LAMIH)

T=800°

= 0.001 s-1ε& = 0.001 s-1ε&= 0.001 s-1ε&0

100

200

300

400

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Johnson-Cook

Traction (LAMIH)

T=800°

0

100

200

300

400

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Johnson-Cook

Traction (LAMIH)

T=800°

= 0.001 s-1ε&= 0.001 s-1ε&


Figure IV.19 : Comparaison entre la modélisation de Johnson-Cook et les essais expérimentaux

pour des températures comprises entre 100 et 800°C et vitesse de déformation quasi-statique.


- 110 -

IV.6 - Conclusions

Nous avons réalisé des essais de double cisaillement pour de larges gammes de vitesses et de

températures sur deux types de machines différentes (hydraulique et barres de Hopkinson). Une

bonne concordance existe avec les essais de torsion réalisés aux Mines de Saint-Etienne.

Nous avons proposé les paramètres de la loi de comportement de Johnson-Cook (1983) qui inclue

la modification apportée par Marusich et Ortiz (1995) permettant de prendre en compte à la fois les

faibles et hautes vitesses de déformation. La validation de la modélisation montre que pour des

déformations inférieures à 0.4 la loi de Johnson-Cook retranscrit bien le comportement du matériau

étudié. En effet, sur toute la gamme de température étudiée (en double cisaillement et en torsion) le

modèle reste fidèle aux résultats expérimentaux.

Ce travail réalisé dans le cadre d’un projet CETIM nous a permis de déterminer le comportement

de l’acier 304L soumis à de sévères sollicitations de cisaillement à grande vitesse et hautes

températures. La loi de Johnson-Cook ainsi caractérisée est, dans la suite de ces travaux,

implémentée dans les modèles de tournage présentés le chapitre précédent.

- 111 -

- 112 -

Chapitre V

Application de la modélisation du tournage à l’acier 304L

ne application de la modélisation à l’acier austénitique 304L est présentée dans ce chapitre. En intégrant la

loi de comportement déterminée auparavant dans les modèles de tournage présentés dans le chapitre III,

nous déterminons les efforts de coupe et la longueur de contact pour des conditions données. Une comparaison entre les

résultats de la modélisation et des mesures expérimentales provenant de la littérature est réalisée.

U

Chapitre V: Application du modèle de tournage à l’acier austénitique 304

- 113 -

V.1 - Introduction

Nous proposons dans ce chapitre une application des deux modèles de tournage (original et

modifié) à l’acier austénitique 304L. Nous avons vu dans la partie précédente que la modélisation

du chariotage nécessite les entrées suivantes : (i) la loi constitutive du matériau usiné ; (ii) la loi de

frottement du couple outil-matériau ; (iii) la loi de Zvorykin de l’angle de cisaillement (pour le

modèle modifié).

Le comportement du matériau est donné par la loi constitutive de Johnson-Cook dont les

paramètres ont été déterminés dans le Chapitre IV. Nous utilisons dans un premier temps les

paramètres calibrés pour les vitesses de déformations inférieures à 1000 s-1 (Table V.1 ).

Table V.1 : Paramètres de la loi constitutive de Johnson-Cook de l’acier 304L

A (MPa) B1 (MPa) n m1 υ303 1084 0.669 0.0144 1.06

Les lois régissant le frottement à l’interface outil-copeau et l’angle de cisaillement sont déterminées

à partir des essais expérimentaux de coupe orthogonale de Grzesik (1999). Ces essais ont été

réalisés avec des outils en carbure de tungstène (WC) revêtus par des couches simples (TiC),

doubles (TiC/TiN) et triples (TiC/Al2O3/TiN).

Les autres paramètres d’entrée du modèle (constantes du matériau ; largeur de la zone primaire de

cisaillement) sont pris dans la littérature. Les valeurs utilisées sont résumées dans la table V.2

Table V.2 : Paramètres d’entrée des modèles analytiques de coupe orthogonale et de tournage

Largeur de bande h (mm)

Densité ρ (kg/m³)

Capacité calorifique C (500J/kg K)

Conductivité thermique K (W/m K)

0.025 7800 500 54


- 114 -

V.2 - Exploitation des essais de coupe orthogonale

Grzesik (1999) a réalisé des essais de coupe orthogonale sur l’acier austénitique 304. Sa composition

chimique est très proche de celle de l’acier 304L dont le comportement a été présenté

précédemment.

Dans ses travaux, l’auteur a étudié l’influence des revêtements d’outils sur les efforts de coupe, le

frottement à l’interface outil-copeau et l’angle de cisaillement. Les conditions de coupe en coupe

orthogonale sont résumées dans la table V.3.

Table V.3 : Conditions de coupe des essais de coupe orthogonale réalisés par Grzesik (1999)

Vitesse de coupe V (m/min)


Largeur de coupe w (mm)

180 -5 2

V.2.1 - Détermination des paramètres de la loi de Zvorykin

Dans ses travaux, Grzesik donne l’angle de cisaillement pour les différentes conditions de coupe.

Les valeurs de l’angle φ sont obtenues à partir des mesures de la largeur du copeau t2. En effet, dans

les conditions d’écoulement stationnaire (copeau supposé continu) et de contact glissant à

l’interface outil-copeau, la relation de conservation de flux de matière s’écrit :

V t1 = Vc t2 (V.1)

L’expression de la vitesse de coupe Vc (relation II.4) déduite de la condition d’incompressibilité,

associée à la relation (V.1) donne l’angle de cisaillement φ :

sinαt

tcosα

= tanφ

1

2

(V.2)

Dans la relation de Zvorykin (φ = A1 + A2 (αn – λ)), φ est une fonction de l’angle de frottement

( )µ(tan=λ -1 ). Le coefficient de frottement moyen étant dépendant du revêtement, il est nécessaire

de déterminer les coefficients A1 et A2 pour chaque outil étudié. Pour ce faire, une régression

linéaire est employée. La figure V.1 présente les valeurs expérimentales ainsi que la calibration faite

des angles de cisaillement en fonction de (α - λ) pour les différents outils.


- 115 -

TiC

0

10

20

30

-50 -40 -30 -20

Modélisation


0

10

20

30

-50 -40 -30 -20

Modélisation


A1 = 27

A2 = 1/6

TiC/TiN

0

10

20

30

-50 -40 -30 -20

Modélisation


0

10

20

30

-50 -40 -30 -20

Modélisation


A1 = 33

A2 = 1/3

Angle de cisaillem

ent φ

n (deg)

TiC/Al2O3/TiN

0

10

20

30

-50 -40 -30 -20

Modélisation


0

10

20

30

-50 -40 -30 -20

Modélisation


(α- λ)

A1 = 37

A2 = 1/2

Figure V.1 : Calibration des paramètres de la loi de Zvorykin pour chaque revêtement à partir des

mesures expérimentales de Grzesik (1999)


- 116 -

V.2.2 - Loi de frottement

Grzesik a étudié l’influence de l’avance sur le coefficient de frottement expérimental pour les

différents revêtements cités précédemment (TiC, TiC/TiN et TiC/Al2O3/TiN).

Il convient tout d’abord d’étudier les données expérimentales du frottement en fonction de

l’avance. On observe pour les trois revêtements étudiés que les tendances sont semblables, à savoir

que le coefficient de frottement moyen diminue lorsque l’avance augmente (Figure V.2 ; Figure

V.3 - a - b - c). Les tendances expérimentales des outils revêtus de TiC et de TiC/Al2O3/TiN sont

très similaires ; une pente plus forte pour les faibles avances de coupe, puis un ralentissement aux

plus grandes valeurs de t1. Le frottement de l’outil revêtu de TiC/TiN ne semble pas subir ce

ralentissement ; son évolution est quasi-linéaire. Cet outil présente le plus large rang de coefficients

de frottement mesurés [0.46 ; 0.95]. Il est montré par la suite que la température moyenne à

l’interface s’en trouve affectée.


ent moyen

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

TiCTiC/TiN

TiC/Al2O3/TiN

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

TiCTiC/TiN

TiC/Al2O3/TiN

Avance (mm/rev)

Figure V.2 : Evolution du coefficient de frottement moyen expérimental en fonction de l’avance

de l’outil pour les trois revêtements étudiés (Grzesik, 1999).

A l’aide du modèle de coupe orthogonale (et de la relation II.43), on détermine la température

moyenne à l’interface outil-copeau pour les différentes conditions de coupe. Ainsi, à chaque

coefficient de frottement moyen expérimental µ correspond une température moyenne intT

déterminée par le modèle. La table V.4 résume les différentes valeurs pour chaque revêtement.


- 117 -

Table V.4 : Températures moyennes déterminées par le modèle de coupe orthogonale (acier 304) ;

V=180 m/min, α = -5°.

Coefficient de frottement moyen

Température moyenne (°C)





0.04 0.92 1174 0.95 1202 0.84 11160.08 0.70 1209 0.79 1309 0.67 11890.1 0.63 1221 0.73 1322 0.62 12100.14 0.54 1228 0.62 1324 0.56 12550.16 0.51 1233 0.56 1309 0.54 12650.2 0.46 1241 0.46 1241 0.51 1306

Avance (mm/rev)

TiC TiC/TiN TiC/Al2O3/TiN

Nous avons tracé pour chaque revêtement, les évolutions du coefficient de frottement en fonction

de l’avance et de la température modélisée (Figure V.3). Les figures (a’) et (c’) définissant

respectivement les lois de frottement des outils TiC et TiC/Al2O3/TiN, présentent la même

tendance ; le coefficient de frottement chute avec l’augmentation de la température moyenne.

La figure (b’) représentant l’outil revêtu de TiC /TiN montre une évolution différente. La fonction

donnant µ en fonction de intT n’est plus uniquement monotone. Elle décroît avec l’élévation de

température, puis augmente de nouveau pour les hautes valeurs de intT . On explique le phénomène

par la compétition entre les effets antagonistes de l’avance et du coefficient de frottement sur la

température moyenne à l’interface outil-copeau. D’une part, de faibles avances induisent de petites

déformations et vitesses de déformation, et par conséquent de faibles températures moyennes.

D’autre part, plus l’avance est faible, plus le coefficient de frottement moyen est élevé, et plus la

température moyenne théorique déterminée à partir de la relation (II.43) est importante. Dans le cas

de l’outil revêtu de TiC /TiN, les mesures expérimentales donnant le coefficient de frottement

moyen ne permettent pas de définir une loi du type )T(µ=µ int . Nous nous intéressons dans la

suite de l’étude aux seuls revêtements TiC et TiC/Al2O3/TiN. Afin de reproduire les variations de

µ en fonction de intT des outils revêtus de TiC et TiC/Al2O3/TiN, nous utilisons la loi (II.31)

proposée par Moufki et al. (1998). Les paramètres µ0, q et Tref calibrés pour les deux couples outil-

matériau sont présentés dans la table V.5

Table V.5 : Coefficients de calibration de la loi de frottement de l’acier 304 en fonction du type de

revêtement

µ 0 q T ref

TiC 1.4 23 1255TiC/Al 2O3 /TiN 1.2 5 1520


- 118 -

(a) – TiC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Avance (mm/rev)

(a’) – TiC

0

0.5

1

1.5

500 700 900 1100 1300

Modélisation


0

0.5

1

1.5

500 700 900 1100 1300

Modélisation


Température moyenne à l’interface (°C)


ent moyen (b) – TiC /TiN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Avance (mm/rev)

(b’) – TiC /TiN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1150 1200 1250 1300 1350

t1=0.04 mm/rev t1=0.08 mm/rev

t1=0.12 mm/rev

t1=0.14 mm/rev

t1=0.16 mm/rev

t1=0.2 mm/rev

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1150 1200 1250 1300 1350

t1=0.04 mm/rev t1=0.08 mm/rev

t1=0.12 mm/rev

t1=0.14 mm/rev

t1=0.16 mm/rev

t1=0.2 mm/rev


(c) – TiC/Al2O3/TiN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Avance (mm/rev)

(c’) – TiC/Al2O3/TiN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

600 900 1200 1500

Modélisation


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

600 900 1200 1500

Modélisation



Figure V.3 : Evolutions du coefficient de frottement expérimental en fonction de l’avance (a, b, c)

et de la température moyenne à l’interface outil-copeau (a’, b’, c’) ; V=180 m/min, α = -5°.


- 119 -

V.3 - Comparaison entre les modèles de tournage original et modifié

Nous avons présenté dans le chapitre précédent une modification du calcul de l’angle de

cisaillement local dans le modèle de tournage. Nous cherchons dans ce paragraphe à étudier

l’influence de la méthode de détermination de l’angle de cisaillement (par la loi de Zvorykin ou par

la minimisation de l’énergie de coupe) sur les résultats de la modélisation.

Nous avons appliqué les deux modèles de tournage au couple outil-matériau TiC-304L ; les lois

régissant le frottement et l’angle de cisaillement (cas du modèle modifié) sont celles déterminées

dans les paragraphes V.2.1 et V.2.2. Les conditions de coupe expérimentales de Grzesik ont été

choisies pour cette comparaison. Les données sont résumées dans la table V.6

Table V.6 : Conditions de coupe utilisées dans la comparaison entre les deux modèles de tournage


Avance f (mm/rev)


Profondeur de coupe d (mm)

Rayon de bec de l'outil r (mm)

Angle κr (deg)

180 0.1 -5 1 0.8 90

La figure V.4 présente l’évolution des angles de cisaillement locaux en fonction de leur position (0

≤ j ≤ 21) pour chacun des deux modèles. Les tendances des angles de cisaillement donnés par la

minimisation de l’énergie de coupe et la loi de Zvorykin sont similaires. Néanmoins, la minimisation

de l’énergie surestime la valeur donnée par la relation de Zvorykin de φn j de 10° en moyenne. Dans

le cas présent, l’élément neutre (défini précédemment) a été déterminé comme étant l’élément

numéro 7. Son angle de cisaillement local φn 7 donné par la relation de Zvorykin est directement

calibrée à partir de mesures expérimentales. On peut donc supposer que sa valeur théorique ainsi

déterminée est proche de sa valeur réelle. En comparant les valeurs des angles φn 7 donnés par

Zvorykin et par la minimisation, on voit un écart d’environ 9°.

Cet écart de valeurs de l’angle de cisaillement local φn j donné par la minimisation et la loi de

Zvorykin induit des différences notables au niveau des grandeurs locales (déformation,

température à la sortie de la bande, ...) et globales (coefficient de frottement moyen à l’interface,

efforts de coupe).


- 120 -

Angle de cisaillem

ent local (deg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

Numéro d’élément j

Figure V.4 : Comparaison entre les angles de cisaillement locaux donnés par la minimisation

(modèle original) et la loi de Zvorykin (modèle modifié) ; V=180 m/min, α = -5°, d=1 mm.

Supposons fixées les autres conditions de coupe, une augmentation de l’angle de cisaillement induit

une baisse du niveau de déformation dans la zone primaire de cisaillement (Figure V.5 - a). La

température à la sortie de la bande s’en trouve affectée ; une différence moyenne de l’ordre de

200°C est alors observée (Figure V.5 - b). La pression à la pointe de l’outil P0, déterminée à partir

de l’équilibre des efforts extérieurs appliqués au copeau (relation III.27), croît considérablement

avec l’augmentation de l’angle de cisaillement (Figure V.5 - c) ce qui a tendance à augmenter la

température moyenne à l’interface.

Finalement, jintT est soumise à deux effets antagonistes ; d’un côté, l’augmentation de l’angle de

cisaillement diminue la température à la sortie de la bande et de l’autre elle induit une augmentation

de pression à la pointe de l’outil. La somme de ces deux effets montre que le modèle modifié donne

des températures à l’interface outil-copeau plus faibles que le modèle original (Figure V.5 - d). Par

conséquent, de par la loi de frottement dépendant de la température, jµ est plus élevé dans le cas

du modèle modifié (Figure V.5 - e).

Dans la suite de l’étude, nous cherchons à confronter les modèles analytiques à des mesures

expérimentales des efforts de coupe en tournage.


- 121 -

D

éform

ation à la sortie de la bande

(a)

0

2

4

6

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

0

2

4

6

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

Numéro d’élément

Tem

pérature à la sortie de la

bande (°C)

(b)

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original


Pression à la pointe de l’outil (MPa)

(c)

1000

1500

2000

2500

3000

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

1000

1500

2000

2500

3000

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

Numéro d’élément Tem

pérature à l’interface outil

-copeau (°C

)

(d)

1000

1100

1200

1300

1400

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original

1000

1100

1200

1300

1400

0 5 10 15 20

Modèle modifié

Modèle original



ent moyen

(e)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

Modèle original

Modèle modifié

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

Modèle original

Modèle modifié


Figure V.5 : Comparaison des données locales déterminées par le modèle original et le modèle

modifié en fonction du numéro d’élément (N=20).


- 122 -

V.4 - Comparaison avec les résultats expérimentaux de tournage obtenus par Grzesik (1998)

Dans une seconde étude expérimentale, Grzesik (1998) a réalisé des essais de chariotage sur les

mêmes couples outil-matériau utilisés en coupe orthogonale et présentés dans la première partie du

chapitre. L’auteur a mesuré l’effort dans la direction de la vitesse de coupe ainsi que la longueur de

contact outil-copeau lors des essais de chariotage pour les différentes conditions de coupe (Table

V.7). La mesure des efforts a été réalisée à l’aide de jauges de déformations biaxiales ; les plaquettes

de coupe ont été observées a posteriori par microscopie optique afin de mesurer les longueurs de

contact.

Table V.7 : Conditions de coupe expérimentales de Grzesik (1998)



Profondeur de coupe d (mm)

Rayon de bec de l'outil r (mm)

Angle κr (deg)

180 -5 1 0.8 90

Nous proposons dans ce paragraphe de confronter notre modélisation (modèles original et modifié)

aux résultats expérimentaux, et ainsi de valider ou non nos travaux théoriques. On rappelle que la

loi de comportement de l’acier 304, les lois de cisaillement et de frottement sont respectivement

données par la table V.1, et les paragraphes V.2.1 et V.2.2.

V.4.1 - Etude de la pression spécifique de coupe

Dans ses travaux, Grzesik définit la pression spécifique de coupe kc comme étant le rapport de

l’effort de coupe sur la surface à usiner (relation V.3)

d×f

P=k 1

c (V.3)

où P1 représente l’effort dans la direction de la vitesse de coupe (mesuré expérimentalement ou

donné par la relation III.24) ; f et d représentent respectivement l’avance et la profondeur de coupe.

Nous résumons dans la table V.8 les valeurs expérimentales de la pression spécifique de coupe

obtenues par Grzesik pour les différentes conditions de coupe et outils. L’auteur observe que la

pression spécifique de coupe diminue pour des valeurs croissantes de l’avance. kc, définissant

l’effort de coupe à appliquer par unité de surface, montre que l’usinage de l’acier 304 est plus aisé


- 123 -

pour les grandes valeurs d’avance. Cette tendance expérimentale est bien reproduite par la

modélisation (Figure V.6). En effet, la loi de frottement en fonction de la température permet

d’obtenir la réduction des efforts de coupe pour des valeurs croissantes de l’avance (par

l’intermédiaire de la température à l’interface outil-copeau).

Table V.8 : Pression spécifique de coupe expérimentale pour l’acier austénitique 304 (Grzesik,

1998)

0.040.080.10.140.160.20.28 2944

314030452800

370434003209

TiC/Al2O3/TiN

5398 4438

Pression spécifique de coupe (Mpa)Avance

(mm/rev)

TiC

4220

3378

37763473

3145

Pour les deux revêtements étudiés, le modèle modifié semble plus proche des données

expérimentales que le modèle original. On rappelle qu’il a été observé dans la comparaison entre les

deux modèles que la température moyenne calculée par le modèle modifié est plus faible que celle

donnée par le modèle original. Ceci induit une augmentation du coefficient de frottement moyen

(Figure V.5 – d, e). Par conséquent, les efforts de coupe s’en trouvent affectés, et l’on observe alors

un écart d’environ 15% des efforts de coupe donnés par les deux modèles. Du fait d’un coefficient

de frottement plus élevé le modèle modifié donne des efforts plus importants que le modèle

original et semblent ainsi se rapprocher des valeurs expérimentales.

Il est important de noter dans la modélisation l’importance de la loi d’interface permettant de

décrire le comportement du couple outil-matériau. A titre de comparaison, la figure V.7 présente

l’évolution de la pression spécifique modélisée (pour l’outil WC revêtu de TiC) pour un coefficient

de frottement constant ( µ =0.6). On observe que la pression spécifique de coupe reste constante

pour les différentes valeurs de l’avance. Dans le cadre de l’usinage à grande vitesse, les effets

thermiques à l’interface outil-copeau facilitent la coupe en réduisant le coefficient de frottement. Il

s’avère donc nécessaire de prendre en compte la chute du frottement avec l’augmentation de la

température dans la modélisation des procédés à grande vitesse.


- 124 -

Pression spécifique de coup

e (N

/mm

2 )

(a) – TiC

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.1 0.2 0.3

Modèle modifié

Modèle original


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.1 0.2 0.3

Modèle modifié

Modèle original


Avance (mm/rev)

(b) – TiC/Al2O3/TiN

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.1 0.2 0.3

Modèle modifié

Modèle original


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.1 0.2 0.3

Modèle modifié

Modèle original


Avance (mm/rev)

Figure V.6 : Comparaison des pressions spécifiques de coupe mesurées expérimentalement et

données par les modèles de tournage original et modifié ; V=180 m/min, α = -5°, d = 1 mm, r =

0.8 mm, κr = 90°

Pression spécifique de coupe (N

/mm

2 )

TiC

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.1 0.2 0.3

Modèle original

Modèle modifié

0.6=µ)Tf(=µ int

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.1 0.2 0.3

Modèle original

Modèle modifié

0.6=µ)Tf(=µ int

Avance (mm/rev)

Figure V.7 : Effets de la loi de frottement sur la pression spécifique de coupe pour le couple TiC-

304 ; V=180 m/min, α = -5°, d = 1 mm, r = 0.8 mm, κr = 90°


- 125 -

V.4.2 - Analyse de la longueur de contact outil-copeau

Grzesik a mesuré par microscopie optique la longueur de contact entre le copeau et la face de

coupe de l’outil lors des essais de tournage. Il a observé que sa valeur augmente de façon quasi-

linéaire avec l’avance. Le résumé des longueurs de contact expérimentales de Grzesik est présenté

dans la table V.9.

Table V.9 : Valeurs expérimentales de la longueur de contact (Grzesik, 1998)

0.040.080.10.140.160.20.28

Avance (mm/rev)

TiC TiC/Al2O3/TiN

0.63

0.19 0.250.43 0.5

1.01 0.781.09 0.91

0.58 0.530.83

1.5 1.31

Longueur de contact (mm)

On rappelle que dans le modèle de tournage, la longueur de contact élémentaire lc j est déterminé à

l’aide de l’équilibre des moments appliqués au copeau (relation III.28). Afin de comparer les valeurs

expérimentales et théoriques, nous avons pris la moyenne des longueurs de contact élémentaires.

La tendance expérimentale, à savoir, l’augmentation de la longueur de contact lorsque l’avance croît,

est bien reproduite par les deux modèles (Figure V.8). Le modèle modifié semble toutefois plus

proche des mesures expérimentales avec un écart relatif de l’ordre de 15% en moyenne sur

l’ensemble des mesures.

En comparant les deux modélisations, on s’aperçoit que les longueurs de contact données par le

modèle original sont plus faibles que celles données par le modèle modifié. Si on revient à la figure

V.5 – c, présentant la pression à la pointe de l’outil pour les différents éléments, on observe que P0

est beaucoup plus important dans le cas du modèle original. L’augmentation de la pression à la

pointe de l’outil a tendance à accroître l’effet de levier, et par conséquent, à réduire la longueur de

contact entre l’outil et le copeau.

Finalement, la longueur de contact calculée par le nouveau modèle semble plus proche des mesures

expérimentales de Grzesik que le modèle original. L’angle de cisaillement, à travers le calcul de la

pression à la pointe de l’outil, joue ici un rôle prépondérant dans la prédiction des longueurs de

contact.


- 126 -

Longueur de contact m

oyenne (m

m)

(a) – TiC

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Modèle modifié

Modèle original


0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Modèle modifié

Modèle original


Avance (mm/rev)

Longueur de contact m

oyenne (m

m)

(b) – TiC/Al2O3/TiN

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Modèle modifié

Modèle original


0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Modèle modifié

Modèle original


Avance (mm/rev)

Figure V.8 : Comparaison des longueurs de contact mesurées expérimentalement par Grzesik

(1998) et modélisées pour les outils revêtus de TiC (a) et de TiC/Al2O3/TiN (b) ; V=180 m/min, α

= -5°, d = 1 mm, r = 0.8 mm, κr = 90°

V.4.3 - Etude du changement de comportement de l’acier 304 aux

grandes vitesses de déformation

Les vitesses de déformation présentes dans la zone primaire de cisaillement peuvent atteindre des

grandeurs très importantes ( γ&≈ 105, 106 s-1), et cela, quelque soit la vitesse de coupe.

L’identification expérimentale des paramètres de la loi de comportement de l’acier 304L (Chapitre

IV) montre une forte sensibilité à la vitesse de déformation pour des valeurs de γ& supérieures à

1000 s-1. Nous rappelons que dans la présente étude, les paramètres de la loi de Johnson-Cook

utilisés ont été calibrés pour des vitesses inférieures à 1000 s-1.

Dans le modèle de la bande de Molinari et Dudzinski (1992), puis Dudzinski et Molinari (1997), la

distribution de la vitesse de déformation est supposée être une fonction de la seule direction y (et

constante dans la direction x, Figure V.9). En calculant les valeurs de la vitesse de déformation

dans la direction y (y ∈ [0 ; h]), on met en évidence l’apparition d’une couche limite dans laquelle la

vitesse de déformation γ& et la température θ croient de façon exponentielle à l’approche de y = h

(Figure V.10).


- 127 -


Vc

VS1

VN1

VS0

VN0V

h

(φ-α)

φx

y


Vc

VS1

VN1

Vc

VS1

VN1

VS0

VN0V

h

(φ-α)

φx

y

Figure V.9 : Schématisation de la modélisation de la zone primaire de cisaillement.

Ainsi, plus l’acier est sensible à la vitesse de déformation (c'est-à-dire, plus le coefficient m de la loi

de Johnson-Cook est élevé), plus les niveaux de la déformation et de la température à la sortie de la

bande sont importants. La prise en compte du comportement de l’acier 304L aux très grandes

vitesses de déformation induit alors des niveaux de déformation et de températures qui ne

correspondent pas au cas réel.

Coordonnée y Coordonnée y Coordonnée y Coordonnée y

Figure V.10 : Mise en évidence de la couche limite à l’approche de y = h dans les distributions de la

vitesse de déformation (a) et de la température (b). Coupe orthogonale, acier CRS 1018, V= 250

m/min, α=5°, h=0.025 mm, Dudzinski et Molinari, 1997.

Une étude analytique est actuellement en cours (Moufki et Molinari) afin de proposer une nouvelle

distribution de la vitesse de déformation dans la zone primaire de cisaillement. Les résultats

attendus se rapprochent de ceux de Stevenson et Oxley (1969) (Figure V.11) ; la distribution de la


- 128 -

vitesse de déformation donne une gaussienne autour de la ligne virtuelle AB. Ces résultats

permettront alors de prendre en compte le comportement réel de l’acier soumis aux très hautes

vitesses de déformations.

A

B

fin de la zone primaire de cisaillement

A

B


A

B


Acier à faible teneuren carbone CS1114

(0.13 % C)

Acier à faible teneuren carbone CS1114

(0.13 % C)

Figure V.11 : Distribution de la vitesse de déformation dans la zone primaire de cisaillement pour

un acier à faible teneur en carbone, Stevenson et Oxley (1969).

V.5 - Conclusions

Ce chapitre présente une application à l’acier austénitique 304L des modèles de tournage (original et

modifié) présentés précédemment. Nous avons confronté dans cette partie les approches de

Molinari et Moufki (2005) et le nouveau modèle proposé. La modification apportée présente

l’avantage de pouvoir utiliser une relation empirique simple dans le calcul des angles de cisaillement

locaux (en opposition à la méthode de minimisation utilisée dans le modèle original). La relation de

Zvorykin utilisée ici a été calibrée à partir de mesures expérimentales en coupe orthogonale (avec

une arête droite).

Nous avons montré, pour différents outils, des écarts significatifs sur les valeurs des angles de

cisaillement locaux données par la minimisation de l’énergie de coupe et la relation de Zvorykin.

Les grandeurs locales telles que la déformation et la température à la sortie de la bande s’en

trouvent grandement affectées. Elles induisent alors des différences au niveau des grandeurs

globales telles que les efforts de coupe ou la longueur de contact. Les tendances données par les

modèles analytiques sont similaires ; néanmoins, le modèle modifié donne des prédictions des

efforts et de la longueur de contact outil-copeau plus proches de celles mesurées

expérimentalement. Ainsi, en s’appuyant sur les mesures expérimentales de Grzesik en tournage,


- 129 -

nous avons montré l’importance d’une meilleure définition/prédiction de l’angle de cisaillement

local.

- 130 -

- 131 -

- 132 -

Chapitre VI

Etude de l’usure en cratère sur l’acier

CRS 1018

es hautes vitesses utilisées en usinage tendent à augmenter l’usure des outils lors de la coupe. Il a été montré

que le niveau de température joue un rôle prépondérant dans l’apparition des différents mécanismes d’usure

tels que l’adhésion, l’abrasion ou la diffusion. Nous proposons ici de coupler la distribution de température donnée par

le modèle analytique de tournage à un modèle d’usure. Le but est de prédire l’usure en cratère des outils pour

différentes conditions de coupe. Pour ce faire nous nous appuyons sur une campagne expérimentale réalisée au LPMM

sur l’acier CRS 1018.

Chapitre d'équation 3 Section 1

L

Chapitre VI: Etude de l’usure en cratère sur l’acier CRS 1018

- 133 -

VI.1 - Introduction à l’usure en usinage à grande vitesse

Les grandes vitesses de coupe permettent par l’intermédiaire de la température et du coefficient de

frottement de réduire les efforts de coupe en usinage. Cependant, le passage de l’usinage

conventionnel à l’usinage à grande vitesse induit des conditions extrêmes en pression et en

température à l’interface outil-copeau. Celles-ci induisent une usure prématurée des outils en

usinage à grande vitesse. L’usure a des conséquences néfastes sur la qualité de surface de la pièce

usinée (la précision de coupe diminue, les vibrations augmentent) et induit une augmentation de

l’énergie nécessaire à la coupe et bien sûr, des coûts de production.

La connaissance des mécanismes d’usure devient alors fondamentale dans l’étude des procédés de

coupe à grande vitesse. Ces mécanismes, aux origines mécaniques (usure par abrasion ou adhésion)

ou chimiques (usure par diffusion) apparaissent selon les conditions d’usinage et les couples outils-

matériaux. Lorsque les températures à l’interface outil-copeau restent relativement faibles, les

mécanismes d’usure par adhésion ou abrasion sont prépondérants ; à l’inverse, pour les hautes

valeurs de température régnant sur la face de coupe de l’outil, le mécanisme de diffusion devient

alors plus important, Hastings (1976), Carriliero et al (2002).

Dans la première partie de ce chapitre nous présentons l’étude des différents mécanismes d’usure

apparaissant dans l’usinage.

Par la suite, nous nous intéressons au mécanisme d’usure par diffusion et plus particulièrement à sa

modélisation analytique. Or contrairement aux approches physico-chimiques relativement

complexes de Loladze (1962-1981), Battachryya et Ghosh (1964), Cook et Nayak (1966) ou

Molinari et Nouari (2002) nous cherchons à développer un modèle d’usure thermiquement activé

très simple d’utilisation. Pour ce faire, nous nous sommes basés sur les travaux de Takeyama et

Murata (1963) présentant un modèle empirique d’usure par diffusion ; la partie thermique étant

décrite par la modélisation analytique proposée dans le Chapitre V.


- 134 -

VI.2 - Etude des différents mécanismes d’usure

Dans les procédés de mise en forme, à faible ou grande vitesse, différents mécanismes d’usure

prennent place. Parmi les plus importants, on citera, l’usure par adhésion, par abrasion ou par

diffusion. Loladze (1962-1981), Subramanian et al. (1993), Carriliero et al. (2002) ont montré

successivement que l’usure par diffusion devient prépondérante devant les autres mécanismes pour

des hautes températures.

Diffusion

Abrasion - Erosion

Fatigue - Plastique

Corrosion

Adhésion

Température

Ta

ux

d’u

sure Diffusion

Abrasion - Erosion

Fatigue - Plastique

Corrosion

Adhésion

Température

Ta

ux

d’u

sure

Figure VI.1 : Mécanismes d’usure présents en usinage en fonction de la température, Carriliero et

al. (2002)

VI.2.1 - Usure par adhésion

L’effet de la pression locale entre le copeau et l’outil crée des jonctions entre les deux composants

en contact. De par le mouvement de coupe, ces véritables micro-soudures se forment et se rompent

en continu. En fonction des résistances mécaniques en présence, différents cas sont observés :

• Les jonctions nouvellement formées sont moins résistantes que l’outil et le matériau usiné. La

rupture apparaît alors au centre de la micro-soudure, et dans ce cas l’usure est négligeable.

• Les jonctions sont plus résistantes que la matériau usiné. La rupture a lieu dans le copeau ; des

fragments de celui-ci adhèrent à l’outil et peuvent former dans certains cas (pour de faibles vitesses

de coupe) ce qu’on appelle une « arête rapportée ». Elle résulte de l’accumulation de fragments

microscopiques et induit des variations de la géométrie locale de l’outil.

L’usure par adhésion dépend à la fois des conditions de coupe et de l’affinité chimique des deux

composants en présence. De hautes pressions et de faibles vitesses de coupe permettent ainsi la

création de jonctions ; le mécanisme d’usure par adhésion est également associé à celui de l’arête


- 135 -

rapportée et au phénomène de grippage. Ils induisent des vibrations supplémentaires, et par

conséquent une baisse de la qualité de coupe.

VI.2.2 - Usure par abrasion

L’usure par abrasion est visible sur les faces de coupe et en dépouille des outils de coupe. Les

surfaces abrasées présentent des sillons parallèles à la direction d’écoulement. Ils sont

principalement causés par des inclusions siégeant dans le matériau à usiner. Les particules dures de

carbure, de nitrate ou d’oxyde provenant de la pièce frottent sur les faces de coupe et de dépouille.

Figure VI.2 : Exemples d’usure abrasive : (a) usure au niveau d’un joint d’étanchéité qui a

provoqué un site d’accumulation de débris abrasifs (Wikipedia). (b) usure d’une plaquette de coupe

après usinage d’un alliage de titane (Casto et al., 1999).

VI.2.3 - Usure par diffusion

Le mécanisme d’usure par diffusion résulte d’échanges des constituants chimiques entre l’outil et le

copeau sous l’effet des très hautes températures (Opitz et König, 1967 ; Wright et Trent, 1974). Les

grains de carbure et d’autres constituants migrent de la surface de l’outil vers le copeau. Au même

instant, est observée la diffusion inverse des constituants de la matière usinée vers l’outil.

L’écoulement continu du copeau favorise les échanges des constituants à travers la diffusion et

creuse un cratère à la surface de l’outil (Figure VI.3). La perte de matière provoque alors

l’affaiblissement de la résistance mécanique de la surface de l’outil.

Weill (1966), Hastings (1976), Subramanian (1993) puis Carriliero et al, (2002) ont montré

l’influence de la température (à travers la vitesse de coupe) sur la prédominance de l’usure par

diffusion devant les autres mécanismes présentés auparavant. Dans le cadre de l’usinage à grande

vitesse, les températures à l’interface outil-copeau peuvent atteindre des valeurs proches de la


- 136 -

température de fusion. L’usure par diffusion tient alors un rôle prépondérant dans les procédés de

coupe à grande vitesse.

Figure VI.3 : Exemple d’usure en cratère pour un outil en carbure de tungstène non revêtu après

un essai de tournage d’acier 42CD4 ; V =300 m/min, f =0.1 mm/rev, κr =90°, d =2 mm, αn0 = λs

0

= 0°

Nous nous intéressons ainsi dans la suite de ces travaux à la modélisation de l’usure par diffusion ;

le but étant de déterminer une méthode simple permettant la prédiction de la profondeur maximale

/ critique des cratères d’usure KT (Figure VI.4).

KT

Face de coupe de l’outil

Cratère d’usure

KT

Face de coupe de l’outil

Cratère d’usure

Figure VI.4 : Schématisation des cratères d’usure ; KT définit la profondeur maximale du cratère.


- 137 -

VI.3 - Modélisation de l’usure par diffusion

VI.3.1 - Modèle physico-chimique de Molinari et Nouari (2002)

Nous avons vu dans la présentation des principaux mécanismes d’usure, que la diffusion a un rôle

prépondérant dans l’usinage à grande vitesse du fait des hautes températures régnant à l’interface

outil-copeau.

Dans sa thèse, Nouari (2000) présente une revue bibliographique des principaux modèles d’usure

par diffusion. Il décrit en particulier les modèles physico-chimiques de Loladze (1962-1981), de

Battachryya et Ghosh (1964) et de Cook et Nayak (1966). Nouari énonce les limites des modèles

existants ; il met en évidence le fait que les différents auteurs ne prennent pas en compte la

convection de la matière due au mouvement du copeau et l’évolution de la concentration des

constituants à l’interface outil-copeau durant la diffusion. De plus ces différents auteurs supposent

que la température le long de la face de coupe de l’outil est uniforme ; ces différents modèles ne

permettent alors pas de prédire la forme des cratères d’usure.

Dans leurs travaux, Molinari et Nouari (2002) proposent un modèle d’usure prenant en compte la

diffusion des différents constituants de l’outil et de la matière usinée en fonction de la distribution

de température sur la face de coupe de l’outil ; cette dernière est calculée à l’aide du modèle de

coupe présenté dans le Chapitre II et, permet de déterminer le profil des cratères d’usure.

L’approche physico-chimique de Molinari et Nouari (2002) est basée sur le principe de migration

des constituants de l’outil sous l’effet de la température. L’évolution des concentrations volumiques

Ci1 et Ci2 du constituant i dans l’outil et le copeau est gouvernée par les relations (VI.1)

x

CiV-

y

CD=

t

C

y

CD=

t

C

2c2

i22

i2i1

2i1

2

i1i1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(VI.1)

où Di1 et Di2 représentent les coefficients de diffusion de l’espèce i, respectivement, dans l’outil et

le copeau.

Les auteurs supposent que les vitesses de coupe sont suffisament importantes ; ainsi la matière qui

s’écoule le long de la face de coupe de l’outil est vierge de toute migration de constituants. Par

conséquent, le mécanisme de diffusion n’a pas le temps d’affecter de façon significative la

concentration des espèces chimiques dans le copeau.

Molinari et Nouari obtiennent alors une relation donnant la profondeur local du cratère en fonction


- 138 -

de la distribution de température, des concentrations des constituants, et des coefficients de

diffusions :

( ) ( )∑=

−=

n

1iinti1

0i2

0i1

outilT (x)θD

π

tCC

ρ

2t)(x,K (VI.2)

La relation (VI.2) montre que l’approche physico-chimique de Molinari et Nouari (2002) nécessite

la connaissance des coefficients de diffusions des constituants de l’outil et du matériau à usiner. Il

est à noter que la principale difficulté de ces approches résulte dans la détermination de ces

coefficients. Elle s’effectue expérimentalement en plaçant côte à côte deux blocs de matière dont la

composition chimique a été déterminée au préalable. Un échauffement à température donnée est

alors réalisé afin de provoquer la migration des constituants d’un bloc à l’autre. Finalement une

nouvelle analyse de la composition chimique des matériaux étudiés permet de déterminer les

coefficients de diffusions. Néanmoins, ces expérimentations sont toujours réalisées dans le cas

statique (Adda et Philibert (1966), Askou (1970), Ingle et. al (1991) et Kaur et. al (1989 – 1995)). Il y

a donc une méconnaissance des effets dynamiques sur les coefficients de diffusions des constituants

dans un matériau.

Dans la suite de ces travaux, nous cherchons à utiliser une approche équivalente à celle de Molinari

et Nouari (2002). Nous proposons ainsi de coupler la distribution de température donnée par la

modélisation analytique à un modèle empirique d’usure par diffusion. Cette approche simplifiée

permet de ne pas à avoir à utiliser des coefficients de diffusions expérimentaux. La modélisation de

l’usure se fait alors à partir d’un modèle simple basé sur l’approche de Takeyama et Murata (1963).

VI.3.2 - Modèle empirique de Takeyama et Murata

En 1963, Takeyama et Murata définissent l’usure en usinage W comme un mécanisme combinant à

la fois l’abrasion (Wa) et un processus physico-chimique dépendant de la température (Wd).

W=Wa(L,σa) +Wd (θ, t) (VI.3)

L et σa représentent respectivement la longueur usinée et la résistance à l’abrasion du constituant

principal de l’outil ; θ définit la température absolue de l’arête de coupe et t le temps d’usinage. Il est

à noter que l’on se place dans le cas où la vitesse de coupe est constante (L=Vt).

En outre, les auteurs admettent que les particules abrasives de la matière sont renouvelées

continuellement au cours de l’usinage et que leur distribution dans le matériau est uniforme ; Wa est

supposé être proportionnel à la longueur usinée et indépendant de la température. Wd est considéré

être proportionnel à exp [-E/Rθ] (avec E l’énergie d’activation thermique et R la constante des gaz


- 139 -

parfait).

En prenant en compte les hypothèses citées précédemment, et en dérivant la relation (VI.1) par

rapport au temps t, Takeyama et Murata obtiennent :

Rθ

E-expB+AV=

dt

dW (VI.4)

dt

dW est définit comme étant le volume de matière perdu par unité de surface et de temps ; A et B

sont des constantes du matériau restant à définir (Figure VI.5).

Surface unité

θ = constante

KT

Surface unité

θ = constante

KT

Figure VI.5: Schématisation d’un volume de matière

Afin de prédire l’usure en coupe orthogonale, Filice et al. (2007) ont proposé d’intégrer la seule

partie thermiquement activée du modèle de Takeyama et Murata dans un code éléments finis. Ils

définissent le paramètre B comme une fonction polynomiale de la température locale θ et le

déterminent à l’aide de données expérimentales d’usure (par méthode inverse en calibrant B de telle

sorte que le modèle coïncide avec l’expérience). Finalement, l’expression de la profondeur KT du

cratère est donnée par :

( ) t)Rθ

E-(expθB=KT (VI.5)


- 140 -

VI.4 - Application du modèle d’usure

Afin d’utiliser le modèle de Takeyama et Murata, des mesures expérimentales de profondeur KT de

cratères sont nécessaires à la calibration du paramètre B(θ). Pour ce faire, nous avons réalisé au sein

du LPMM une campagne expérimentale d’usure pour le couple outil-matériau H13A - CRS 1018.

Des essais de tournage ont été mis en place pour différentes vitesses de coupe et différents temps

d’usinage (les autres conditions de coupe étant fixées, Table VI.1). Par la suite, pour chaque

condition, nous avons mesuré à l’aide d’un profilomètre la profondeur maximale des cratères KT

pour chaque temps d’usinage (Figure VI.6).

K

T expérim

ental m

esuré (µm)

0

25

50

75

100

125

150

175

0 5 10 15 20 25 30 35

Vitesse de coupe V

0

25

50

75

100

125

150

175

0 5 10 15 20 25 30 35

Vitesse de coupe VVitesse de coupe V

Temps d’usinage (min)

Figure VI.6: Mesures expérimentales des profondeurs des cratères en fonction du temps d’usinage

pour différentes vitesses V données dans la Table VI.1 ; f = 0.1 mm/rev, d =1 mm, κr = 90°, α =

0°, λs = 0°, r = 0.4 mm

On observe expérimentalement que plus la vitesse de coupe est élevée, plus la pente de la courbe

donnant la profondeur des cratères d’usure KT en fonction du temps d’usinage est importante.

Ainsi, la durée de vie d’un outil (déterminée dans ce cas par la taille critique du cratère) est bien plus

importante pour les faibles vitesses de coupe (Figure VI.6). On peut expliquer ce phénomène par

l’effet des hautes températures régnant à l’interface outil-copeau. Les grandes vitesses de coupe

induisent des températures plus élevées, et par conséquent, une usure prématurée des outils. Il est à

noter que pour les vitesses et les temps d’usinage présentés ici, aucune rupture d’outil n’a été

observée expérimentalement.


- 141 -

Table VI.1 : Données expérimentales de la profondeur maximale des cratères d’usure en tournage ;

f = 0.1 mm/rev, d =1 mm, κr = 90°, α = 0°, λs = 0°, r = 0.4 mm


Temps (min)

K T expérimental

(µm)1 8

5.55 2115.21 3523.74 5433.67 74

1 55.04 2113.27 4427.04 89

1 95.47 359.21 45

1 145.05 4810.38 7118.58 160

1 142.95 395.5 567.29 67

1 301.97 433.03 575.28 6216.93 156

200

120

140

160

180

100

VI.4.1 - Données de la modélisation utilisées en tournage

Le matériau utilisé dans les essais expérimentaux de tournage est l’acier laminé à froid CRS 1018. Sa

composition chimique est donnée dans la table VI.2. Les outils de coupe, normalisés H13A, sont

en carbure de tungstène (WC) non revêtus avec une concentration de cobalt (Co) de 6%.

Table VI.2 : Composition chimique de l’acier CRS 1018

Elements C Mn P S% 0.18 0.71 0.02 0.022


- 142 -

• Le comportement du matériau est supposé être régi par la loi de Johnson-Cook qui a été

présentée dans les chapitres précédents. Les paramètres utilisés ont été déterminés à l’aide de tests

de compressions dynamiques par Vural et al. (2003) (Table VI.3).

Table VI.3 : Paramètres de la loi de Johnson-Cook de l’acier CRS 1018 (Vural et al., 2003)

A (Mpa) B (Mpa) n m υ560 300 0.32 0.046 0.55

• Le frottement à l’interface outil-copeau est défini par la relation (II.31) présentée auparavant ; les

paramètres ont été déterminés par Moufki et al. (1998) pour le couple outil-matériau P10 –

CRS1018 (µ0 = 0.68 ; q = 1.7 ; Tref = 1793 K).

• Le modèle de tournage modifié présenté dans le Chapitre III est utilisé ici. L’angle de

cisaillement local de l’élément neutre est donné par la loi de Zvorykin (III.34) dont les paramètres

ont été déterminés par Moufki et al. (1998) (A1 = 35 ; A2 = 0.5)

• En première approximation, le paramètre E, décrivant l’énergie d’activation thermique a été pris

constant ; d’après Filice et al. (2007), E=75.35 kJ/mol.

VI.4.2 - Calibration du paramètre matériau B(θ)

Dans ce type de modèle empirique, une bonne calibration des paramètres matériaux est

primordiale. Dans notre cas, B(θ) est déterminé à l’aide d’une méthode inverse en utilisant les

mesures expérimentales des profondeurs maximales de cratères KT. Pour chaque KT mesuré

expérimentalement, la relation (VI.5) nous permet de calculer la valeur de B(θ). En appliquant la

méthodologie de Filice et al. (2007), le paramètre B(θ) est calibré pour l’ensemble des vitesses, mais

pour un temps d’usinage t fixé. Nous avons choisi t = 5 min ; les données expérimentales utilisées

dans la calibration de B(θ) sont résumées dans la table VI.4.

La température θ sur la face de coupe de l’outil est calculée à l’aide du modèle de tournage modifié

présenté dans le Chapitre III. Ainsi, à chaque vitesse de coupe est associée une distribution de

température ; la température maximale correspond alors à la profondeur maximale du cratère. On

rappelle que dans la modélisation proposée l’écoulement du copeau est supposé stationnaire ; la

température est alors indépendante du temps.


- 143 -

Table VI.4 : Données utilisées dans la calibration du paramètre B(θ) pour le couple H13A –

CRS1018


Temps (min) K T (µm) θ (°C) B(θ) (m/s)

100 5.55 21 881 0.00382120 5.04 21 897 0.00421140 5.47 35 931 0.00646160 5.05 48 1073 0.00959180 5.50 56 1099 0.01027200 5.28 62 1121 0.01184

Afin de modéliser l’évolution du paramètre B(θ), différentes interpolations (constante, linéaire et

polynomiale) ont été testées ; les paramètres utilisés dans chacun des cas sont donnés

respectivement par les relations (VI.7), (VI.8) et (VI.9).

• Modèle constant :

B =0.007 (VI.7)

• Modèle linéaire :

B(θ) = 3 × 10-5 θ - 0.022 (VI.8)

• Modèle polynomial :

B(θ) = -2.3 × 10-8 θ2 + 7.6 × 10-5 θ - 0.045 (VI.9)

La meilleure approximation du paramètre B(θ) est obtenue pour une interpolation polynomiale

(Table VI.5, Figure VI.7). Par la suite, la relation (VI.9) a donc été choisie afin de décrire le

comportement de B en fonction du maximum de la température observée sur la face de l’outil.


- 144 -

B(θ)

0.000

0.005

0.010

0.015

800 900 1000 1100 1200

Interpolation polynomiale

Interpolation linéaire

Données expérimentales

0.000

0.005

0.010

0.015

800 900 1000 1100 1200

Interpolation polynomiale

Interpolation linéaire

Données expérimentales

Température maximale (°C)

Figure VI.7 : Calibration du paramètre matériau B(θ) en fonction de la température maximale

donnée par le modèle de tournage pour un temps d’usinage t =5min ; f = 0.1 mm/rev, d =1 mm, κr

= 90°, α = 0°, λs = 0°, r = 0.4 mm.

VI.4.3 - Comparaison entre cratères expérimentaux et modélisés

On rappelle que la calibration du paramètre matériau B(θ) s’est faite pour un temps d’usinage fixé à

t=5 min. Les profondeurs des cratères obtenus pour des temps d’usinage différents sont alors

dépendantes de cette interpolation. La table VI.5 résume les mesures expérimentales et les résultats

obtenus par la modélisation (relation VI.5) pour les différentes interpolations de B(θ) citées

auparavant.

La figure VI.8 montre l’évolution de la profondeur maximale des cratères en fonction du temps

d’usinage pour chaque vitesse de coupe. Les points définissent les mesures expérimentales réalisées

au profilomètre pour le couple outil-matière H13A-CRS1018 ; les lignes continues représentent la

modélisation obtenue.

Une très bonne corrélation est observée entre les mesures expérimentales et la modélisation de la

profondeur maximale du cratère sur l’ensemble des conditions de coupe. La moyenne des écarts

relatifs entre l’expérience et le modèle est inférieure à 20%.


- 145 -

Table VI.5 : Comparaison des profondeurs maximales des cratères expérimentaux et modélisés en

fonction du type d’interpolation choisi pour la variable B(θ) (constante, linéaire ou polynomiale).


Temps (min)

K T expérimental

(µm)

K T (constante)

(µm)

K T (interpolation

linéaire) (µm)

K T (interpolation

polynomiale) (µm)1 8 6 4 4

5.55 21 33 22 2215.21 35 90 62 5923.74 54 141 96 9333.67 74 200 136 131

1 5 6 5 45.04 21 30 23 2313.27 44 79 60 5927.04 89 161 123 121

1 9 6 6 65.47 35 33 30 319.21 45 55 51 52

1 14 6 10 105.05 48 30 50 5010.38 71 62 102 10318.58 160 111 183 184

1 14 6 11 112.95 39 18 31 315.5 56 33 58 587.29 67 43 78 77

1 30 6 11 111.97 43 12 22 223.03 57 18 34 345.28 62 31 60 5916.93 156 101 191 188

100

200

120

140

160

180


- 146 -

(a)

0

50

100

150

0 8 16 24 32 40

V=100 m/min

Modélisation


0

50

100

150

0 8 16 24 32 40

V=100 m/min

Modélisation


(b)

0

25

50

75

100

125

150

0 5 10 15 20 25 30

V=120 m/min

Modélisation


0

25

50

75

100

125

150

0 5 10 15 20 25 30

V=120 m/min

Modélisation


(c)

0

25

50

75

0 2 4 6 8 10

V=140 m/min

Modélisation


0

25

50

75

0 2 4 6 8 10

V=140 m/min

Modélisation


(d)

0

50

100

150

200

0 5 10 15 20

V=160 m/min

Modélisation


0

50

100

150

200

0 5 10 15 20

V=160 m/min

Modélisation


Profondeur m

axim

ale des cratères K

T (µm)

(e)

0

25

50

75

100

0 2 4 6 8

V=180 m/min

Modélisation


0

25

50

75

100

0 2 4 6 8

V=180 m/min

Modélisation


(f)

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20

V=200 m/min

Modélisation


0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20

V=200 m/min

Modélisation


Temps d’usinage (min)

Figure VI.8 : Modélisation de la profondeur des cratères en fonction du temps d’usinage pour

différentes vitesses de coupe ; f = 0.1 mm/rev, d =1 mm, κr = 90°, α = 0°, λs = 0°, r = 0.4 mm.


- 147 -

Outre la profondeur KT, les observations réalisées au profilomètre nous permettent d’obtenir une

cartographie du cratère expérimental en deux et trois dimensions. La figure VI.9 présente les

morphologies des cratères modélisés et expérimentaux pour les différentes vitesses.

Du point de vue de la modélisation (VI.9 - a), la longueur de contact lc, représentée en abscisse,

diminue légèrement avec l’augmentation de la vitesse ; par conséquent le point le plus bas du

cratère, qui se situe approximativement au tiers de lc se décale alors vers la pointe de l’outil.

La figure VI.9 - (b) permet de comparer la forme des cratères expérimentaux et modélisés pour une

vitesse de coupe de 200 m/min et un temps d’usinage de 5 min. On observe des différences

notables sur la position du KT maximum. Pour la vitesse considérée, la modélisation donne une

position x du cratère à la pointe de l’outil égale à 0.1 mm. La mesure expérimentale montre que sa

position réelle se situe à environ x = 0.78 mm. On rappelle que dans la modélisation proposée,

l’écoulement du copeau est supposé continu et stationnaire. La géométrie de l’outil est prise comme

étant constante au cours du temps ; l’usure relative de l’outil n’est donc pas prise en compte durant

l’usinage. Or nous savons que l’usure modifie l’écoulement du copeau ; l’apparition du cratère

redéfinit alors la surface de coupe de l’outil et affecte ainsi la distribution de température et / ou la

longueur de contact outil-copeau.

K

T (µm)

(a)

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

V=200 m/min

V=180 m/min

V=160 m/min

V=140 m/min

V=120 m/min

V=100 m/min

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

V=200 m/min

V=180 m/min

V=160 m/min

V=140 m/min

V=120 m/min

V=100 m/min

Distance à la pointe de l’outil (mm)

(b)

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

Cratère expérimental

Cratère modélisé

x=0.78 mmx=0.1 mm

V=200 m/min

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

Cratère expérimental

Cratère modélisé

x=0.78 mmx=0.1 mm

V=200 m/min

Distance à la pointe de l’outil (mm)

Figure VI.9 : (a) Cratères d’usure modélisés pour les différentes vitesses de coupe (t = 5 min) ;

(b) Position relative des cratères modélisé et expérimental ; V = 200 m/min, t = 5 min, f = 0.1

mm/rev, d =1 mm, κr = 90°, α = 0°, λs = 0°, r = 0.4 mm.


- 148 -

(a)

x=0.59

V=180 m/min

t=1 min

x=0.59

V=180 m/min

x=0.59

V=180 m/min

t=1 min

.

(a’)

V=180 m/min

t=1 min

V=180 m/min

t=1 min

(b)

V=180 m/mint=5 min

x=0.81 mm

V=180 m/mint=5 min

x=0.81 mm

(b’)

V=180 m/min

t=5 min

V=180 m/minV=180 m/min

t=5 min

(c)

x=0.58

V=200 m/min

t=1 min

x=0.58

V=200 m/min

x=0.58

V=200 m/min

t=1 min

.

(c’)

V=200 m/mint=1 min

V=200 m/minV=200 m/mint=1 min


- 149 -

(d)

x=0.78 mm

V=200 m/min

t=5 min

x=0.78 mm

V=200 m/min

x=0.78 mmx=0.78 mm

V=200 m/min

t=5 min

(d’)

V=200 m/min

t=5 min

V=200 m/min

t=5 min

Figure VI.10 : Evolution des cratères en 2D et 3D pour des vitesses de coupe respectives de 180 (a

- b) et 200 m/min (c - d) en fonction du temps d’usinage ; f = 0.1 mm/rev, d =1 mm, κr = 90°, α =

0°, λs = 0°, r = 0.4 mm.

La figure VI.10 présente l’évolution des cratères pour des temps d’usinage de 1 et 5 min et des

vitesses de coupe de 180 et 200 m/min. On observe pour les deux vitesses considérées, que

l’augmentation du temps d’usinage induit un accroissement du volume global de matière enlevée.

Le passage des figures (a) à (b) puis (c) à (d), correspondant à des variations du temps d’usinage de 1

à 5 min, montre que pour des conditions de coupe équivalentes, le temps d’usinage induit un

déplacement du cratère / de la profondeur maximale du cratère. On observe expérimentalement

que plus le temps d’usinage est important plus la distance à la pointe de l’outil est élevée. Ceci

implique que l’usure de l’outil, en modifiant l’écoulement du copeau, modifie la distribution de

température théorique (sans usure) le long de la face de coupe de l’outil et la longueur de contact

outil-copeau.


- 150 -

VI.5 - Comparaison avec le modèle physico-chimique de Molinari et Nouari (2002)

VI.5.1 - Données de la modélisation

Dans leurs travaux, Molinari et Nouari ont appliqué leur modèle d’usure au couple outil-matériau

K1-CRS 1018 ; la distribution de température est obtenue à partir du modèle de coupe orthogonale

présenté en Chapitre II.

Les données de la modélisation utilisées par les auteurs sons les suivantes :

• Le comportement thermo-viscoplastique du matériau était décrit par une loi puissance dont la

forme est donnée par la relation de Molinari et Clifton (1983). Les coefficients sont donnés dans la

table VI.6

νmn

00 θ~

γ~

γ)+(γµ=τ~ & (VI.10)

• Le frottement à l’interface outil-copeau est identique à celui utilisé précédemment ; les paramètres

ont été déterminés par Moufki et al. (1998) pour le couple outil-matériau P10 – CRS1018 (µ0 =

0.68 ; q = 1.7 ; Tref = 1793 K).

• L’angle de cisaillement est supposé être régi par la loi de Zvorykin (III.34) dont les paramètres ont

été déterminés par Moufki et al. (1998) (A1 = 35 ; A2 = 0.5).

Table VI.6 : Coefficients des paramètres de la loi de Molinari et Clifton (1983) utilisés dans la

modélisation

υ n m µ0

-0.38 0.015 0.019 3.58E+09


- 151 -

VI.5.2 - Résultats théoriques obtenus par l’approche physico-chimique

Il est à noter en premier lieu, que les procédés et les conditions de coupe, ainsi que la loi de

comportement utilisée dans la modélisation de Molinari et Nouari, diffèrent de la précédente

application exposée dans le paragraphe VI.4 (modèle de Takeyama et Murata modifié).

Les variations de profondeurs maximales des cratères en fonction du temps d’usinage obtenues par

Molinari et Nouari (2002) sont présentées dans la figure VI.11 pour des vitesses de coupe de 200 et

500 m/min. Les auteurs observent de façon théorique que la profondeur des cratères croit

beaucoup plus rapidement pour les hautes vitesses de coupe. Cette même observation avait été faite

sur les mesures expérimentales présentées auparavant. Le modèle physico-chimique retranscrit donc

bien les premières tendances expérimentales. Néanmoins, le modèle physico-chimique appliqué au

couple K1 - CRS 1018 semble donner des profondeurs maximales de cratères relativement plus

faibles que celles obtenues expérimentalement pour le couple outil-matériau H13A - CRS 1018. A

titre comparatif, pour un temps d’usinage t = 17 min, l’approche de Molinari et Nouari (2002)

donne un KT = 16 µm (expérimentalement, nous avions mesuré KT = 156 µm). Les deux outils

utilisés (modélisation – essais expérimentaux) sont des carbures de tungstène non revêtus ; leur

grade est différent, leur résistance à l’usure peut donc varier.

Figure VI.11 : Evolution des profondeurs des cratères KT en fonction du temps d’usinage pour

deux vitesses de coupe ; la distribution de température est obtenue à partir du modèle de coupe

orthogonale ; α = −5◦, f = 0.25 mm, Molinari et Nouari (2002)


- 152 -

VI.6 - Conclusions

Nous avons proposé dans ce chapitre de coupler la distribution de température donnée par la

modélisation analytique du tournage à un modèle empirique d’usure par diffusion. En calibrant un

unique paramètre matériau, à partir de quelques données expérimentales, nous avons montré qu’il

est possible de prédire avec précision les profondeurs maximales / critiques des cratères d’usure

pour une large gamme de conditions de coupe. En comparaison, les modèles d’usure physico-

chimiques nécessitent la connaissance des coefficients de diffusion de chaque constituant de l’outil

et du matériau usiné pour des températures équivalentes à celles de l’interface outil-copeau. Leur

application s’avère ainsi beaucoup plus complexe et parfois plus aléatoire (du fait de la méthode de

détermination des coefficients de diffusion). Malgré la pertinence du modèle, l’observation des

cratères a mis en évidence un point faible de la modélisation présentée ; la distribution de

température étant supposée stationnaire (pour une condition de coupe donnée), le modèle n’est pas

capable de prédire le déplacement du cratère pour différents temps d’usinage. Pour ce faire, il

faudrait modifier les hypothèses de la modélisation et redéfinir la surface de coupe de l’outil ainsi

que l’écoulement du copeau avec le temps.


- 153 -

- 154 -

- 155 -

Conclusions générales

- 156 -


Les objectifs de ce travail de thèse étaient multiples :

• Le premier consistait à étendre le développement des modèles analytiques de la coupe de Molinari

et al.

• Le second demandait de déterminer expérimentalement le comportement de l’acier austénitique

304L, puis le modéliser à l’aide de la loi constitutive de Johnson-Cook.

• Le dernier était de développer un modèle d’usure permettant de prédire les profondeurs

maximales/critiques des cratères des outils lors d’opérations de coupe.

Après avoir exposé en Chapitre I une brève revue de littérature des principaux modèles analytiques

des procédés de coupe orthogonale (Merchant, 1945 ; Oxley, 1969-1989), nous nous sommes

attachés dans le Chapitre II, à présenter, puis valider le modèle analytique de coupe orthogonale de

Molinari et al. (1992, 1997, 1998) pour différents couples outils-matériaux. A travers une

comparaison modélisation-essais expérimentaux réalisée sur l’acier AISI 1050, nous avons montré

que les tendances expérimentales (effets de la vitesse et de l’angle de coupe, de l’avance) étaient bien

reproduites par le modèle. En outre, à l’aide de l’étude réalisée sur les différents outils (WC revêtu

de TiAlN ; CBN), nous avons pu mettre en évidence l’importance de la loi d’interface définissant le

comportement de chaque couple outil-matière. Ce second chapitre a ainsi permis de montrer les

différences entre le présent modèle et celui d’Oxley (1969-1989). Finalement ces deux premières

parties nous auront permis de montrer que le modèle analytique de la coupe orthogonale de

Molinari et al. est capable de prédire les efforts de coupe quelques soient les conditions utilisées ou

le couple outil-matériau choisi.

Dans la suite de ces travaux de thèse, nous avons cherché à développer le modèle analytique du

procédé de tournage. L’objectif principal était de corriger un point faible du modèle original, à

savoir la détermination des angles de cisaillement locaux. Pour ce faire, nous avons proposé dans le

Chapitre III une modification du modèle intégrant le concept d’ « élément neutre ». La méthode

de minimisation de l’énergie de coupe est alors remplacée par une simple relation empirique de type

Zvorykin. L’idée de ce nouveau modèle dérive des résultats expérimentaux, analytiques et

numériques montrant des écarts significatifs entre les mesures expérimentales et les valeurs de

l’angle de cisaillement données par la méthode de minimisation. En utilisant la discrétisation de la

partie arrondie de l’outil, nous avons réussi à déterminer un élément, appelé « élément neutre » qui


- 157 -

ne subit pas les interactions des éléments adjacents ; l’angle de cisaillement local de cet élément est

alors déterminé à partir de relations empiriques simples permettant ainsi le calcul de la vitesse du

copeau.

Afin de comparer les approches analytiques de tournage (originale et modifiée), une application à

l’acier austénitique 304L a été présentée. Or, tout comme la loi d’interface, le comportement du

matériau s’avère être un point important de la modélisation. Le Chapitre IV présente alors les

résultats des essais expérimentaux réalisés au laboratoire. Afin de décrire au mieux le comportement

mécanique de l’acier 304L, des essais à des vitesses de déformations allant de 10-3 à 15000 s-1 et des

températures comprises entre 20 et 600°C ont été effectués. Lors de l’usinage, le cisaillement est le

principal mode de déformation ; la technique du double cisaillement développée au LPMM par J. R.

Klepaczko a donc été choisie ici. Par la suite, nous avons montré, en confrontant nos résultats

expérimentaux à ceux de nos partenaires universitaires (projet PGV, soutenu par la fondation

CETIM) et des données de la littérature, une cohérence des données obtenues. Ces mesures

expérimentales nous ont alors permis de déterminer les constantes de la loi de Johnson-Cook

modifiée prenant en compte le changement de comportement aux grandes vitesses de déformation.

Une fois le comportement du matériau obtenu, nous avons présenté dans le Chapitre V

l’application à l’acier austénitique 304L des modèles de tournage présentés auparavant. Nous avons

montré les effets des données locales (angles de cisaillement locaux, déformations et température à

la sortie de la zone primaire de cisaillement) sur les grandeurs globales (efforts de coupe, longueur

de contact outil-copeau) ; nous avons conclu que les modifications apportées ont permis de

reproduire plus fidèlement les mesures expérimentales.

Nous avons proposé dans le Chapitre VI de coupler la distribution de température donnée par le

modèle de tournage modifié à un modèle empirique d’usure par diffusion. Il a été montré que

l’approche proposée permet, à partir de quelques données expérimentales, de prédire avec précision

les profondeurs maximales / critiques des cratères d’usure pour une large gamme de conditions de

coupe.

De nombreuses perspectives de ces travaux sont possibles :

• Il serait intéressant d’étudier les variations du modèle de la coupe intégrant un nouveau type de loi

de frottement ; en effet, nous souhaiterions intégrer une loi d’interface outil-copeau dépendant du

couple vitesse-pression et non plus de la température moyenne à l’interface outi-copeau.

• Des mesures expérimentales de la température moyenne à l’interface outil-copeau nous

permettraient de valider les données théoriques obtenues par la modélisation. Pour ce faire, il est

nécessaire d’intégrer la notion de coefficient de partage. En effet, expérimentalement les mesures de

températures se font sur des temps d’usinage très court ; l’outil, à température ambiante, fonctionne


- 158 -

alors comme « une pompe à chaleur » et absorbe la chaleur due au frottement à l’interface outil-

copeau.

• Afin de compléter la validation du modèle d’usure, nous allons essayer d’étoffer nos mesures

expérimentales en faisant varier les conditions de coupe (différents angles et profondeurs de coupe,

avance, ...). De plus, dans la comparaison théorique des approches empirique et physico-chimique,

il est nécessaire d’appliquer les modèles au même couple outil-matériau et ce, pour des conditions

de coupe similaires.

- 159 -

- 160 -

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THESE DE D OCTORAT ES - Fondation Cetimfondation.cetim.fr/pages/projets/THESE-soldani18_02_2009.pdf · THESE DE D OCTORAT ES SCIENCES Par XAVIER SOLDANI Pour l’obtention du grade