Thèse de Doctorat - dlibrary.univ-boumerdes.dz:8080dlibrary.univ-boumerdes.dz:8080/bitstream/123456789/1421/1/Kabache... · Amélioration des performances de la commande d’un moteur

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université de Boumerdès Faculté des hydrocarbures et de la chimie

Laboratoire de Recherche sur l’Electrification des Entreprises Industrielles (LREEI)

lreei

Thèse de Doctorat En Génie Electrique

Option : Electrification et Automatisation des Procédés Industriels

Présentée par :

Mr Kabache Nadir

Magister en Génie Electrique

Thème

Amélioration des performances de la commande d’un moteur asynchrone à cage et élaboration d’un estimateur universel de ses paramètres en utilisant les Réseaux de neurones artificiels

Devant le jury composé de : Mr NasrEddine Debbache Professeur Université d'Annaba Président Mr CHETATE Boukhemis Professeur Université de Boumerdès Directeur de Thèse/

Rapporteur Mr Kamel KARA M. C. Université de Blida Examinateur Mr Idir Habi M. C. Université de Boumerdès Examinateur

Boumerdès 2007

I

II

III

Résumé

ملخص

تحكم جديد يعتمد على الشبكات العصبية االصطناعية لتحسين أداء المحرآات الكهربائية نظامفي هذا العمل نقترح

سنحاول تقديم حلول للمشاآل التي تعيق التحكم األمثل في مثل هذا النوع من المدخل المقترح من خالل . الالمتزامنةخاصة مقاومات الدوار (المحرك طيات رياضي غير الدقيق، التغير الكبير في معالمحرآات و المتمثلة أساسا في النموذج ال

مثل (أو صعبة القياس ) مثل تدفق الدوار(إضافة إلي وجود بعض متغيرات الحالة غير قابلة للقياس ) و الجزء الثابت تنطوي علىلمشاآل غير أنها عدة حلول لحل تلك ااقترحت للعلم، فإنه خالل العشريتين الماضيتين،). السرعة و الشحنةاعتمادها على نموذج المحرك الذي هو أصال غير دقيق، صعوبة قوانين التحكم المتحصل عليها، عجز : عدة نقائص منها

من أجل هذا و لتجنب تلك . ضعيفةأو تحميله بشحنات صغيرة األداء الجيد عند تشغيل المحرك بسرعات نأغلبيتها عفي هذا العمل، على دمج خصائص الشبكات العصبية االصطناعية، مبدأ التحكم كم المقترح،ام التحظالنقائص، يعتمد ن

لقدرتها راجعللتذآير فإن اختيار الشبكات العصبية االصطناعية . الالخطي بعودة الحالة وآذا قوانين التقويم الالخطية الحاجة ألي معلومات أولية عنها، إضافة إلي ذلك، المعقدة و الغير معلومة دونتالكبيرة على التقدير الدقيق للديناميكيالالستفادة من هذه المزايا، تم اقتراح شبكتين عصبيتين اصطناعيتين لتعويض نموذج . لسرعة عملها و لقدرتها على التعلم

افة إلى ذلك تم إض. الالزمة للحصول على قوانين التحكم بتقنية التحكم الالخطي بعودة الحالةتالمحرك في تقدير الديناميكيااقتراح ميكانيزمة جديدة باالعتماد على شبكة عصبية اصطناعية ثالثة لتقدير آل من مقاومة الدوار، مقاومة الجزء الثابت و

هذه الميكانيزمة تمتلك ترآيبة ذات طابع عام و مرن يمكن إعادة تشكيلها وفق طبيعة و عدد المعلمات المراد . الشحنةام تحكم للمحرآات الالمتزامنة دون ظا تسمح هذه الترآيبة للميكانيزمة المقترحة باالندماج في أي نتقديرها إضافة إلى هذ

فإن دمج الشبكات العصبية االصطناعية زيادة على ذلكفي األخير،. قوانين التحكمطوير مراعاة للطريقة التي يتم بها تإضافة إلى بساطته . على الشبكات العصبية االصطناعية تحكم يعتمد آليةنظامالثالث مع بعض يمكننا من الحصول على

التحكم المقترح و أدائه في آل ظروف عمل المحرك حتى أثناء تشغيله نظامفإن النتائج المحصل عليها تؤآد نجاعة .ضعيفةأو تحميله بشحنات صغيرة بسرعات

Résumé :

Dans le présent travail, nous proposons un schéma de commande adaptative, à base de réseaux de neurones artificiels en vue d’améliorer les performances dynamiques du moteur asynchrone. L’approche proposée vise à trouver des solutions pour les principaux problèmes de la commande de ce moteur, à savoir : ceux relatifs au modèle non linéaire imprécis, aux variations paramétriques, à l’estimation du flux rotorique, etc. Il est à signaler que, durant les dernières décennies, une multitude de solutions ont été proposées pour résoudre ces problèmes. Toutefois, dans leur majorité, souffrent de l’imprécision du modèle, de la complexité des lois de commande générées, du problème de fonctionnement pour les petites vitesses et les faibles charges, etc. Par conséquent, pour compenser les lacunes suscitées, le schéma de commande proposé utilise une association combinant : les réseaux de neurones artificiels, la commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie et la théorie de commande non linéaire adaptative. Dans cette association, les capacités d’approximation des réseaux de neurones artificiels sont exploitées pour surmonter la contrainte du modèle précis en reconstituant, en temps réel, les réactions non linéaires nécessaires pour générer les lois de commande par linéarisation entrée-sortie. D’autre part, le problème d’identification des paramètres est résolu en proposant un estimateur neuronal universel permettant d’estimer, simultanément, trois paramètres du moteur asynchrone, à savoir: la constante de temps rotorique, la constante de temps statorique et le couple de charge. Pour l’apprentissage, nous avons fait recours à la puissance de la théorie de commande non linéaire adaptative pour élaborer des règles d’apprentissage puissantes permettant un apprentissage rapide et, en temps réel, des réseaux de neurones utilisés. En combinant les avantages des réseaux utilisés dans la

IV

Résumé

commande et celui utilisé pour l’identification des paramètres, un nouveau schéma de commande, à base de réseaux de neurone artificiels, est obtenu pour la commande du moteur asynchrone. Le nouveau schéma permet d’obtenir de bonnes performances dynamiques dans toutes les conditions de fonctionnement, même, pour les valeurs très petites de la vitesse et les faibles charges. A cet effet, il est à signaler que les performances atteintes sont supérieures à celles des résultats publiés dans plusieurs approches qu’on trouve dans la littérature.

Abstract:

In the present work, a new neural-network-based adaptive control is proposed to improve the controlled induction motor drives. The suggested control tries solving the most of the induction motor problems, to know, the greatly nonlinear and inaccurate model, the parametric variations, the problem of inaccessibility to some state variables (rotor flux), etc. Indeed, many adaptive control and identification schemes were proposed for the induction motor in the last four decades. The drawback for these approaches is that they need an accurate model and an enormous mathematical development. Moreover, the performances of these approaches deteriorate at light load and low speed. To overcome these drawbacks, in this work, we will use a combination between: neural networks proprieties, the input-output feedback linearization control and the adaptive non linear control theories. In this combination, the neural networks approximation capacities are used to avoid the problem of inaccurate model by the online estimation of the needed non linear feedback states for the input-output feedback linearization control. Beside, a new universal neural estimator is used to identify three induction motor parameters. We obtain an adaptive control scheme for the induction motor based only on neural networks. The proposed scheme allows a good performances witch is satisfactory performances even at very low speeds and light loads.

V

Nomenclature

Symbole Signification Unité

rω , rθ Vitesse et position du rotor 1srad −. , rad

ω , θ Pulsation et position référentiel arbitraire 1srad −. , rad

sω , sθ Pulsation et position du référentiel tournant 1srad −. , rad

gω , gθ Pulsation et position du glissement 1srad −. , rad

aS , , bS cS Axes statoriques du référentiel triphasé

aR , , bR cR Axes rotoriques du référentiel triphasé

1sX , , 2sX 3sX Grandeurs statoriques dans le référentiel triphasé ( , , ) aS bS cS

1rX , , 2rX 3rX Grandeurs rotoriques dans le référentiel triphasé ( , , ) aR bR cR

d , q Axes du référentiel tournant

sV Vecteur de la tension statorique V

rV Vecteur de la tension rotorique V

sI Vecteur du courant statorique A

rI Vecteur du courant rotorique A

dsV , qsV Tensions statoriques dans le référentiel arbitraire V

drV , qrV Tensions rotoriques dans le référentiel arbitraire V

dV , qV Tensions statoriques dans le référentiel tournant V

asV , bsV Tensions statoriques dans le référentiel fixe V

arV , brV Tensions rotoriques dans le référentiel fixe V

dsI , qsI Courants statoriques dans le référentiel arbitraire A

drI , qrI Courants rotoriques dans le référentiel arbitraire A

dI , qI Courants statoriques dans le référentiel tournant A

asI , bsI Courants statoriques dans le référentiel fixe A

arI , brI Courants rotoriques dans le référentiel fixe A

dsΦ , qsΦ Flux statoriques dans le référentiel arbitraire Wb

drΦ , qrΦ Flux rotorique dans le référentiel arbitraire Wb

dΦ , qΦ Flux rotorique dans le référentiel tournant Wb

VI

Nomenclature

asΦ , bsΦ Flux statoriques dans le référentiel fixe Wb

arΦ , brΦ Flux rotoriques dans le référentiel fixe Wb

sL , rL Inductances statorique et rotorique H

sR , rR Résistances statorique et rotorique Ohm

sT , rT Constantes de temps statorique et rotorique 1s−

M Inductance magnétisante H

J Moment d’inertie 2mKg.

frok Coefficient de frottement visqueux 1smN −..

emC Couple électromagnétique mN.

rC Couple de charge mN.

α Inverse de la constante de temps rotorique s

pN Nombre de paires de pôles

dσ Coefficient de dispersion totale

refX Valeur de référence de la variable X

X Valeur estimée de la variable X

X~ Erreur ou variation de la variable X

MAS Moteur asynchrone à cage

RNA Réseau de neurones artificiels

DSFOC Commande vectorielle directe à orientation du flux statorique

ISFOC Commande vectorielle indirecte à orientation du flux statorique

DFOC Commande vectorielle directe à orientation du flux rotorique

ISFOC Commande vectorielle indirecte à orientation du flux rotorique

DTC Commande directe du couple

EKF Filtre de Kalman étendu

... MEF Force électromotrice

IOFLC Commande linéarisante entrée-sortie par feedback

MRAC Commande adaptative avec modèle de référence

NNIOFLC − Commande par linéarisation entrée-sortie à base de réseaux de neurones

VII

Avant propos

VIII

Avant propos

La présente thèse est le résultat d’un travail visant l’amélioration de la commande du moteur asynchrone à cage. L’effort correspondant a été consenti à partir de 1998 par la réalisation d’un mémoire de Magister et a été prolongé dans le cadre d’une Thèse de Doctorat au sein de l’Equipe de Recherche sur les Economies d’Energie (actuellement Mécatroniqque) du Laboratoire de Recherche sur l’Electrification des Entreprises Industrielles (LREEI) à l’Université de Boumerdès. A cet effet, nous considérons que les résultats obtenus font partie du projet global suscité dont la réalisation sera poursuivi avec enthousiasme.

Par ailleurs, je tiens d'abord à exprimer ma profonde reconnaissance au Professeur B. Chetate, Directeur du laboratoire et mon Directeur de Thèse, pour son encadrement, son support et les conseils et encouragements durant la réalisation de ce travail. De plus, je considère que ses conseils constructifs et précis restent d’un apport inestimable.

Je remercie N. Debbache, Professeur à l’Université de Annaba, pour avoir accepté de me faire l’honneur de présider le jury de ma soutenance, pour son égard et pour l’importance qu’il a accordé à ce travail ainsi que pour ses encouragements.

Je tiens à remercier également Messieurs K. KARA, Maître de conférence à l’Université de Blida et I. Habi, Maître de conférence à l’Université Boumerdès, pour leur participation à l'évaluation de ce travail à titre de membres du jury etpour leurs intérêts et enrichissantes observations.

Je remercie toute ma famille, particulièrement, mes parents pour tout ce qu'ils ont fait afin de me permettre d'accomplir ce travail ainsi que mon épouse pour sa compréhension et son appui permanent.

Finalement, que tous mes collègues, les membres du Laboratoire de Recherche sur l’Electrification des Entreprises Industrielles, en particulier, ceux de l’Equipe de Recherche sur les Economies de l’Energie et tous ceux qui ont collaboré de près ou de loin à la réussite de ce travail (en particulier, le Professeur A.N. Ladiguin de la chaire de Commande Electrique Automatique de l’Institut d’Energétique de Moscou), trouvent ici mes remerciements les plus sincères.

Table des matières

Table des Matières P.V. de soutenance ............................................................................................................................... I

P.V. de délibération du Jury .......................................................................................................... III

Résumé ................................................................................................................................. IV

Nomenclatures ................................................................................................................................. VI

Avant propos .............................................................................................................................. VIII

Introduction générale ........................................................................................................................ 1

Chapitre I : Etat de l’art sur la commande du moteur asynchrone et position du problème à résoudre.................................................................................................................................... 5

1. 1 Introduction ................................................................................................................................... 5 1. 2 Problématique de la commande du moteur asynchrone ................................................................ 5 1. 3 Analyse de l’historique de la commande du moteur asynchrone .................................................. 6

1. 3.1 Commande scalaire ................................................................................................................. 6 1. 3.2 Commande vectorielle ............................................................................................................ 6 1. 3.3 Commande non linéaire .......................................................................................................... 8

1.3.3.1 La linéarisation dynamique par retour d’état ................................................................ 9 1.3.3.2 La linéarisation entrée-sortie ....................................................................................... 10 1.3.3.3 La commande à structure variable: ............................................................................. 10

1. 3.4 Estimation du flux et de la vitesse rotorique:........................................................................ 11 1. 3.5 Commande adaptative du moteur asynchrone ...................................................................... 12

1. 4 Les inconvénients et les contraintes liées à la commande classique ........................................... 13 1. 5 Intelligence artificielle et commande du moteur asynchrone ...................................................... 14

1. 5.1 Commande par logique floue :.............................................................................................. 14 1. 5.2 Commande par réseaux de neurones artificiels :................................................................... 15

1.5.2.1 Les réseaux de neurones récurrents............................................................................. 15 1.5.2.2 Les réseaux de neurones multicouches avec apprentissage supervisé ........................ 15 1.5.2.3 Les réseaux de neurones multicouches avec apprentissage en temps réel .................. 17

1. 6 Position du problème à résoudre ................................................................................................. 17 1. 7 Conclusion ................................................................................................................................. 19

Chapitre II : Réseaux de neurones artificiels, principe de fonctionnement, architecture et .................. apprentissage............................................................................................................ 20

2. 1 Introduction ................................................................................................................................. 20 2. 2 Le neurone biologique ................................................................................................................. 20 2. 3 Modèle mathématique et apprentissage des réseaux de neurones artificiels ............................... 21

2. 3.1 Modèle de McCulloch-Pits ................................................................................................... 21 2. 3.2 Perceptron ............................................................................................................................. 23 2. 3.3 Réseau de neurones multicouche et rétro propagation.......................................................... 25

2. 4 Les réseaux de neurones multicouches avec apprentissage en temps réel................................... 29 2. 5 Réseaux de neurones et processus de commande....................................................................... 30 2. 6 Conclusion ................................................................................................................................. 31

Chapitre III : Commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie d’un moteur asynchrone ....... 32

3. 1 Introduction ................................................................................................................................. 32 3. 2 Concepts théoriques sur la commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie..................... 33

3. 2.1 Principes et conditions de la commande par linéarisation entrée-sortie exacte .................... 34 3. 2.2 Linéarisation partielle d’un système non linéaire régulier .................................................... 38 3. 2.3 Linéarisation partielle d’un système non linéaire irrégulier: Concept du sous-système ........... linéaire le plus large .......................................................................................................................... 39 3. 2.4 Stabilité asymptotique et poursuite asymptotique de référence ............................................ 40

Table des matières

3. 3 Commande du moteur asynchrone triphasé................................................................................. 41 3. 3.1 Introduction........................................................................................................................... 41 3. 3.2 Commande vectorielle du moteur asynchrone...................................................................... 42 3. 3.3 Commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie du moteur asynchrone .................... 46

3.3.3.1 Détermination de l’ordre du sous-système le plus large pour le modèle du moteur ....... asynchrone .................................................................................................................................... 46 3.3.3.2 Application de la linéarisation entrée-sortie par retour d’état sur le modèle du moteur . asynchrone .................................................................................................................................... 48

3. 4 Performances dynamiques de la commande du moteur asynchrone ........................................... 52 3. 4.1 Cas d’un modèle exact et d’un régime de fonctionnement nominal (flux constant)............. 52 3. 4.2 Cas d’un fonctionnement avec flux variable (défluxage) ..................................................... 55 3. 4.3 Cas d’un fonctionnement avec des variations paramétriques ............................................... 56

3. 5 Conclusion 57

Chapitre IV : Commande non linéaire adaptative par linéarisation entrée-sortie d’un moteur ............. asynchrone en utilisant des réseaux de neurones artificiels ..................................... 59

4. 1 Introduction ................................................................................................................................. 59 4. 2 Commande adaptative par linéarisation entrée-sortie du moteur asynchrone en utilisant des .......

réseaux de neurones artificiels ................................................................................. 60 4. 2.1 Evaluation des erreurs d’estimation des paramètres des réseaux de neurones...................... 62 4. 2.2 Etablissement des règles d’adaptation pour les paramètres des réseaux de neurones........... 64 4. 2.3 Architecture des réseaux utilisés........................................................................................... 65 4. 2.4 Performances dynamiques dans le cas où le flux rotorique est supposé connu .................... 66 4. 2.5 Performances dynamiques avec estimation du flux rotorique .............................................. 73

4. 3 Conclusion ................................................................................................................................. 82

Chapitre V : Estimateur universel à base de réseaux de neurones artificiels pour les paramètres du.... moteur asynchrone ................................................................................................... 84

5. 1 Introduction ................................................................................................................................. 84 5. 2 Modèle de l’estimateur universel à base du réseau de neurones artificiels ................................. 84 5. 3 Analyse des résultats de simulation............................................................................................. 88 5. 4 Conclusion ................................................................................................................................. 98

Conclusion ............................................................................................................................... 100

Annexes ............................................................................................................................... 103

A. 1 Définitions ............................................................................................................................... 103 A. 1.1 Système non linéaire affine................................................................................................. 103 A. 1.2 Fonction lisse (smooth function)......................................................................................... 103 A. 1.3 Difféomorphismes (changement de coordonnées).............................................................. 103 A. 1.4 Dérivée et crochet de Lie .................................................................................................... 104 A. 1.5 Degré relatif ........................................................................................................................ 105

A. 2 Linéarisation entrée-sortie d’un système non linéaire multi-entrée multi-sortie ....................... 105 A. 3 Modèle mathématique d’un moteur asynchrone triphasé équilibré........................................... 107 A. 4 Linéarisation entrée-sortie du modèle mathématique du moteur asynchrone ........................... 111 A. 5 Etude de la stabilité des réseaux de neurones artificiels............................................................ 115 A. 6 Paramètres internes du moteur .................................................................................................. 116 A. 7 Paramètres de commande .......................................................................................................... 117

Bibliographies ............................................................................................................................... 118

Introduction générale


1


Pour des raisons liées au faible coût, à la masse réduite, à la robustesse, à la construction simple et à un minimum d’entretien, le moteur asynchrone à cage couvre plus de deux tiers des entraînements électriques dans les installations industrielles [HIN]. Cependant, du point de vue commande, ce moteur possède des propriétés qui violent toutes les suppositions de la théorie de commande classique [LEO, BOD-1, KAB-1, GIM, HIN]. Il est caractérisé par une dynamique non linéaire, couplée, multi variables, à paramètres variants dans le temps et avec un rotor inaccessible. A cet effet, pendant longtemps, des efforts importants ont été déployés, en particulier durant les derniers quarante ans, pour développer des commandes performantes permettant de maîtriser le comportement dynamique du moteur asynchrone.

En effet, l’établissement de toute commande performante, pour le moteur asynchrone, doit fournir des solutions concrètes pour les problèmes posés. A cet effet, en premier, apparaît le problème du couplage existant entre le comportement magnétique (flux) et la partie mécanique (vitesse et couple). Ensuite, le problème des variables inaccessibles à la mesure directe, tels que: le flux rotorique où l’utilisation des capteurs physiques (effet hall) ne présente pas une solution parfaite. Il existe aussi le problème de la variation paramétrique, en particulier, les constantes de temps rotorique et statorique (chose qui est due à l’effet thermique). En effet, les dits paramètres peuvent subir des variations importantes. D’autre part, en raison de la diversité des types de charges utilisées (différentes tailles, différentes natures et différents types), il est difficile d’obtenir une information précise sur le couple de charge. En plus, tout en tenant compte les problèmes suscités, la commande doit être simple pour permettre une implémentation facile, rapide et moins coûteuse.

L’histoire de la commande du moteur asynchrone a commencé, réellement, au début desannées soixante-dix avec la proposition de la théorie d’orientation du champ par Blaschke[BLA]. Cette théorie a permis de résoudre le problème du découplage, par conséquent, il estdevenu possible de commander séparément le flux et la vitesse (couple) [LEO]. Toutefois, malgré l’innovation et l’amélioration apportées par la commande vectorielle, dans la commande du moteur asynchrone, certains inconvénients ont limité son utilisation dans les applications de hautes performances. En effet, elle ne peut réaliser qu’un découplage asymptotique autour d’un flux constant [MAR-5]. En plus, l’établissement de cette commande utilise des régulateurs PI qui conviennent mieux pour un système linéaire bien déterminé et non pour un système non linéaire tel que le moteur asynchrone.

De tels inconvénients ont poussé les chercheurs vers l’utilisation des techniques de commandenon linéaire, en particulier, celles basées sur la géométrie différentielle [KRZ, MAR-5, BOD-1, CHI-2, BOU]. Ces techniques outrepassent plusieurs simplifications exigées par lacommande vectorielle, ce qui se traduit par des lois de commande plus proches de la réalitédu comportement dynamique du moteur asynchrone. Parmi ces techniques, la commandelinéarisante entrée-sortie par retour d’état se distingue par sa simplicité et ses performances[MAR-5, BOU, SLO, LAG]. En effet, cette variante de commande permet d’améliorer plus lacommande du moteur asynchrone, en particulier, coté découplage qui devient exact danstoutes les conditions de fonctionnement [MAR-5]. Toutefois, l’établissement des lois decommande nécessite un modèle précis, avec des variables d’état et des paramètres internesparfaitement connus, pour reconstituer les réactions non linéaires d’état nécessaires pourgénérer les lois de commande [ISI, MAR-5, LAG]. D’autre part, etant donné que tous lesparamètres du moteur sont susceptibles à des modifications, en particulier, les constantes de


2

temps rotorique et statorique, ceci peut affecter considérablement les performances de cettecommande [TOL, BOD-1, KAB -1]. D’autre part, la réalisation du schéma de commandenécessite l’acquisition des grandeurs du moteur qui sont inaccessibles par la mesure directe(flux rotorique) ou celles qui posent des problèmes de mesure directe (vitesse et couple decharge) [MAR-8, BOD-2, TOL]. Il faut rappeler que ses problèmes ne concernent pas,seulement, la commande par linéarisation entrée-sortie mais tous les types de commande dumoteur asynchrone [TOL, BOD-2, DEL-1, GIM, HIN].

Par ailleurs, la littérature, consacrée à la commande du moteur asynchrone, est riche d’exemples de commande adaptative visant l’estimation du flux rotorique ou l’identificationdes paramètres du moteur [CAB-1, CHE-3, ELK, FIN, HAR-1, HIN, JEO, KWA, LIN-3,MAR-2, MAR-3, MAR-5, MAR-6, MAR-7, MAR-8, MAR-9, OUH, PER-2, SHA, TOL, VAS, VUK, WAD-1, WAD-2, WAN-1, WAN-2, WAN-3]. Toutefois, malgré que lesapproches utilisées ont permis d’obtenir des schémas de commandes adaptatives permettantd’améliorer les réponses dynamiques du moteur asynchrone, certains inconvénientsaccompagnent leur établissement. En premier lieu, apparaît le problème du modèle précis quireprésente une exigence principale pour toutes ces approches. Dans ce cas, la particularité dumoteur asynchrone et le nombre des hypothèses simplificatrices (adoptées pour établir lemodèle) réduisent considérablement la précision exigée pour ce modèle. D’autre part, desdéveloppements mathématiques supplémentaires sont nécessaires pour élaborer lesmécanismes d’estimation, d’identification et pour étudier leur stabilité [TOL, MAR-8], ce quicomplique plus les schémas de commande résultants. En outre, en plus de leur complexité, lesperformances, de la majorité de ces approches, deviennent insuffisantes dans le cas des petitesvitesses et des faibles charges.

D’autre part, un important développement, dans les modèles connectifs, a été enregistrépendant les deux dernières décennies. En effet, l’apparition de nouvelles techniques, telles que : les réseaux de neurones, la logique floue, les algorithmes génétiques et d’autres, a permis de former une nouvelle discipline appelée intelligence artificielle. Les techniques d’intelligence artificielle ont permis, non seulement, d’améliorer la commande des systèmes et de surmonter les inconvénients des techniques classiques mais, également, de changer entièrement les concepts utilisés dans l’étude et la réalisation des systèmes de commande. L’avantage essentiel des techniques suscitées, consiste dans le fait qu’elles s’orientent plus vers l’approximation des systèmes que vers la recherche de leurs modèles précis.

En parlant des problèmes d’approximation, les réseaux de neurones se sont nettement imposésen raison de leurs propriétés uniques qui sont inspirées du processus biologiqued’apprentissage et de perception du cerveau humain [FRE]. En effet, des propriétés, telles :que l’architecture et le fonctionnement parallèle, l’apprentissage, la mémoire associative, etc.ont permis au réseau de neurones d’être l’un des moyens les plus fiables utilisés pour l’identification et la commande des systèmes non linéaires incertains est mal connus. Ces propriétés ont été largement vérifiée, théoriquement et pratiquement, dans plusieurs travaux [FUN, YAN, HAQ, WID-2, NIK, ABB].

Par ailleurs, les dernières années ont vu la naissance d’une certaine tendance versl’association de différentes techniques de commande pour réaliser des schémas de commandeplus performants en profitant des avantages offerts par chacune de ces techniques.

A la lumière de ce qui a été dit, nous proposons, dans ce travail, une association combinant lesréseaux de neurones artificiels, le principe de la commande par linéarisation entrée-sortie et


3

les règles d’adaptation non linéaire. Cette association sera exploitée pour établir un nouveauschéma de commande adaptative, à base de réseaux de neurone artificiels, en vue d’améliorerles réponses dynamiques du moteur asynchrone en profitant des atouts suivants :

Capacités d’approximation des réseaux de neurones artificiels qui permettentd’identifier des dynamiques inconnues sans nécessiter des informations à priori sur elles ;

Avantages de la commande par linéarisation entrée-sortie qui assure un découplage exact et permet une intégration facile des réseaux de neurones dans son schéma de commande ;

Puissance des règles non linéaires d’adaptation qui permet de générer des règles d’apprentissage permettant une adaptation rapide et en temps réel des paramètres du réseau de neurones artificiels.

Le schéma de commande proposé comporte trois réseaux de neurones artificiels. Les deuxpremiers réseaux sont utilisés pour reconstituer les deux réactions non linéaires nécessairespour générer les lois de commande, par linéarisation entrée-sortie, correspondantes aux deuxsorties commandées qui sont la vitesse et le flux rotorique. Cependant, la réalisation duschéma de commande proposé nécessite l’estimation du flux rotorique. Pour ce faire, lemodèle du moteur asynchrone est utilisé. Etant donné que les équations, représentant les deuxcomposantes du flux rotorique, dépendent rigidement de la constante de temps rotorique, celaimplique, de plus, l’identification de ce paramètre. A cet effet, le troisième réseau de neuronesest utilisé pour estimer les paramètres nécessaires pour compléter le schéma de commandeproposé. En effet, en plus de la constante de temps rotorique, ce réseau de neurones permetd’estimer la constante de temps statorique et le couple de charge.

Finalement, en combinant les trois réseaux de neurones, on obtient un nouveau schéma de commande, à base de réseaux de neurones artificiels, pour le moteur asynchrone.

La présente thèse de doctorat s’articule sur cinq chapitres.

Après l’analyse de l’état de l’art, sur les problèmes liés à la commande du moteur asynchrone,dans le premier chapitre, un rappel historique est donné sur les principales techniques utilisées pour la commande du moteur asynchrone. Ensuite, le problème à résoudre est posé.

Le deuxième chapitre est consacré à l’étude de l’outil qui sera utilisé pour développer ce travail qui est les réseaux de neurones artificiels. Cette étude représente les différents aspects caractérisant ces réseaux, à savoir : l’architecture, le principe de fonctionnement, l’apprentissage, etc.

Dans le troisième chapitre, sont données les notions principales sur la commande par linéarisation entrée-sortie et sur son application pour la commande du moteur asynchrone, enplus d’un bref rappel sur le principe de la commande vectorielle à flux rotorique orienté. D’autre part, ce chapitre présente une étude comparative, par simulation, entre les deuxtechniques suscitées, tout en démontrant leurs insuffisances en cas de variationsparamétriques.

Dans le quatrième chapitre, un nouveau schéma de commande, à base de réseaux de neuronesartificiels, est proposé pour améliorer la commande par linéarisation entrée-sortie. Pour


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réaliser cette commande, la théorie de la commande non linéaire adaptative est exploitée pour extraire des règles d’adaptation permettant un apprentissage, en temps réel, pour les réseaux de neurones utilisés. L’insuffisance de cette commande vient de la nécessité d’un estimateur de flux.

Etant donné, que l’estimateur de flux nécessite l’identification de la constante de temps rotorique, le dernier chapitre est consacré à l’élaboration d’un estimateur neuronal universel, pour compléter le schéma de commande précédent, permettant ainsi l’élaboration d’unecommande purement neuronale pour le moteur asynchrone. Pour vérifier le caractère universel de l’estimateur proposé, il a été simulé avec trois types de commandes, à savoir : la commande vectorielle indirecte, la commande par linéarisation entrée-sortie et la commande par linéarisation entrée-sortie à base de réseaux de neurones.

Par ailleurs, plusieurs notions théoriques et définitions indispensables ainsi que les paramètres de la machine et de la commande sont présentés en annexes.

Chapitre I

Etat de l’art sur la commande du moteur asynchrone et position du problème à résoudre

Chap. I Etat de l’art sur la commande du moteur asynchrone et position du problème à résoudre

1. 1 Introduction Du point de vue commande, le moteur asynchrone à cage n’est pas, réellement, un objet trivial de commande. En effet, il possède toutes les propriétés qui violent toutes les suppositions des théories de la commande classique, parce que son modèle est non linéaire et à paramètres variables (chose qui est due à la variation de la température et au changement du niveau de saturation magnétique). Les problèmes de la commande non linéaire peuvent être résolues, dans la plupart des cas, si les variables d’état sont toutes connues. Pour le cas du moteur asynchrone à cage, les variables rotoriques sont non mesurables et, souvent, l’utilisation des capteurs de vitesse est une solution très coûteuse. Pour les raisons suscitées, le moteur à induction est devenu un objet préféré pour les nouvelles disciplines de commande et pour les méthodes d’identification depuis les années soixante-dix.

Par ailleurs, l’évolution technologique, notamment dans le domaine des semi-conducteurs, a permis la construction de nouveaux convertisseurs capables de délivrer des puissances importantes avec des tensions ou des courants d'amplitudes et de fréquences réglables. En plus, avec l'apparition des processeurs numériques performants, il est devenu possible d’implémenter, à moindres coûts, des lois de commandes sophistiquées, telles que : la commande vectorielle et les commandes non linéaires (linéarisation entrée-sortie, retour d’état dynamique, mode de glissement, etc.). Ces dispositifs et ces méthodes ont permis de retrouver, avec le moteur asynchrone, la souplesse de commande et la qualité de la conversion électromécanique, naturellement, obtenues avec le moteur à courant continu. Par conséquent, la place du moteur asynchrone, dans les applications industrielles, ne cesse de s’affirmer. A cet effet, le marché mondial des moteurs asynchrones représente, annuellement, plus de 12 milliards de dollars avec une augmentation annuelle de 15% [HIN].

Cette place, qu’occupe le moteur asynchrone, a été acquise après un long et dur travail qui a été déployé par les chercheurs en vue de résoudre les problèmes liés à sa commande. En commençant par la commande scalaire, ensuite la fameuse commande vectorielle à champ orienté, passant par les différents types de commandes non linéaires et arrivant à l’utilisation des techniques de l’intelligence artificielle, plusieurs approches de commandes ont été développées pour maîtriser le comportement du moteur asynchrone. Dans le présent chapitre, nous présenterons une analyse critique de ces différentes méthodes et nous poserons le problème à résoudre.

1. 2 Problématique de la commande du moteur asynchrone En analysant la structure du moteur asynchrone et son modèle mathématique, on constate que l’élaboration d’une commande adéquate pour ce moteur ne peut être obtenue qu’en proposant des solutions concrètes pour les principaux problèmes suivants [KAB-1, LEO, BOD-1, MAR- 5, MAR-8, GIM, ELK, HAR-1, PER-2, TOL]:

Le problème de couplage existant entre le comportement magnétique du moteur (les flux magnétiques) et le comportement mécanique (vitesse et couple électromagnétique) ;

Le problème des variables non disponibles à la mesure, telles que : le flux et les courants rotoriques (qui en raison de la structure du moteur asynchrone, sont inaccessibles à la mesure directe). En plus, malgré la possibilité d’acquisition des valeurs de la vitesse et de la position du rotor (en utilisant des tachymètres et des encodeurs optiques), ces solutions posent des contraintes techniques et économiques lors de l’implémentation de la commande ;

Le problème de la variation paramétrique, en particulier, des valeurs des constantes de temps (rotorique et statorique), due à l’effet thermique. En effet, ces résistances subissent

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des variations considérables qui peuvent dépasser 50% de leurs valeurs nominales, lorsque le moteur est chargé. En outre, les paramètres magnétiques peuvent avoir d’importantes variations, lorsque la machine s’approche de son régime de saturation;

Le problème du couple de charge, il est très difficile d’obtenir une information précise sur le moment d’inertie de l’ensemble moteur-charge et, par conséquent, sur la valeur du couple de charge (en raison de la diversité des types de charges utilisées (différentes tailles et différentes natures)) ;

Les lois de commande doivent êtres simples et faciles à implémenter avec un minimum de coûts.

Pour résoudre ces problèmes, différentes approches ont été étudiées est appliquées pour la commande du moteur asynchrone dont les plus importantes sont :

La commande vectorielle à champ orienté; La commande non linéaire: linéarisation par retour d’état dynamique, mode de

glissement, linéarisation entrée-sortie, modèle de référence, etc.; La commande basée sur l’intelligence artificielle: logique floue, réseaux de neurones,

algorithmes génétiques.

1. 3 Analyse de l’historique de la commande du moteur asynchrone

1. 3.1 Commande scalaire L’ère de la commande du moteur asynchrone a commencée par la commande scalaire [HOL-2]. Cette commande simple, en boucle ouverte, s’exécute en ajustant la tension de commande proportionnellement à une fréquence de référence bien déterminée. Elle se base sur le principe de const

fU

= pour maintenir le flux à une valeur constante dans la machine. Quelques

avantages peuvent être énumérés pour cette technique, à savoir : la non nécessité d’un capteur de vitesse, la non nécessité de connaître avec précision les paramètres du moteur, en plus, elle utilise des convertisseurs de fréquence moins chers et elle peut être utilisée pour commander plusieurs moteurs en même temps. Cependant, les performances dynamiques (du couple et du flux) de cette technique sont extrêmement médiocres, même en cas de compensation de l’effet de la variation paramétrique (par exemple la résistance statorique). En plus, cette technique possède des oscillations pour les faibles couples de charge [GIM]. Par conséquent, la majeure partie des applications industrielles, qui nécessitent de hautes performances pour la commande du couple, de la vitesse et de la position, sont restés dominer par les moteurs à courant continu.

1. 3.2 Commande vectorielle

Les avantages des moteurs asynchrones sont évidents en terme de robustesse et de coût. Cependant, il n’était pas possible pour le moteur asynchrone, avant le développement et l’implémentation de la commande vectorielle, de concurrencer les moteurs à courant continu dans les entraînement à vitesse viable. Le principe de l’orientation de champ a été développé en Allemagne à la fin des années soixante et début des années soixante-dix [BLA]. Il consiste à commander, séparément, le couple électromagnétique et le flux magnétique (par similitude au cas du moteur à courant continu à excitation séparée). Les courants instantanés sont transformés à une référence tournante, qui est alignée avec le flux rotorique, statorique ou d’entrefer, pour produire deux composantes de courant : directe (productrice de flux) et en quadrature (productrice de couple).

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Selon la façon avec laquelle on détermine l’angle du découplage, on distingue deux méthodes d’orientation du flux, directe (méthode de Blaschke) et indirecte (méthode de Hasse). Blaschke [BLA] a utilisé les capteurs à effet Hall, montés dans l’entrefer, pour obtenir les valeurs du flux et de la position, nécessaires pour l’orientation du champ. Cette méthode s’appelle ‘Orientation Directe du Flux’. Tandis que, Hasse [GIM] a réalisé l’orientation par l’imposition de la pulsation de glissement, qui est déduite des équations dynamiques du rotor. On appelle cette méthode ‘Orientation Indirecte du Flux’.

D’autre part, le circuit magnétique de la machine asynchrone est le siége de trois champs magnétiques: rotorique, statorique et d’entrefer. Alors, trois types d’orientation de champs sont possibles. Toutefois, étant donné, que l'orientation du champ d'entrefer est identique à celle du champ statorique, on a deux orientations principales: l’orientation du champ statorique et l'orientation du champ rotorique. Par conséquent, on peut envisager quatre configurations possibles pour la commande vectorielle :

La commande directe à flux statorique orienté (DSFOC); La commande indirecte à flux statorique orienté (ISFOC); La commande directe à flux rotorique orienté (DFOC); La commande indirecte à flux rotorique orienté (IFOC).

L’ISFOC nécessite un capteur de vitesse. En plus, elle est très sensible aux variations des paramètres du moteur. Les performances de l’ISFOC sont très insuffisantes comparées aux autres techniques [HOL-2], donc cette technique a été abandonnée.

Pour le DSFOC, l’angle nécessaire pour l’orientation s’obtient par la mesure directe du flux statorique en utilisant les capteurs à effet Hall [BLA], les enroulements à prises [ZIN] (tapped winding) ou à travers la F.E.M. [GIM]. Comme avantages, la structure de commande par DSFOC n’exige pas une grande précision pour l’acquisition de la valeur de la vitesse. En plus, elle permet certaines performances pour les moyennes et les grandes vitesses. Toutefois, ce type d’orientation est très sensible à la variation de la résistance statorique, en particulier, pour les faibles vitesses où la chute de tension statorique devient équivalente à la F.E.M. (induite dans les enroulements statoriques) et le découplage, dans ce cas, devient difficile et même impossible à réaliser. Un problème supplémentaire pour le DSFOC, concerne la présence d’un terme de couplage commun entre le courant producteur du flux et celui producteur du couple.

L’IFOC [CAR, PER-1] se base sur l’imposition de la pulsation de glissement, dans ce cas, l’orientation de flux est dite forcée. Cette variante assure de bonnes performances pour les faibles vitesses où un découplage parfait peut être obtenu. En terme d’inconvénients, elle présente une forte dépendance à la précision de la constante de temps rotorique, en plus, elle exige un capteur de vitesse (ou de position). Par ailleurs, l’utilisation de l’IFOC montre une certaine insuffisance (perte de découplage) pour le fonctionnement à grandes vitesses, lorsque on utilise le défluxage [HOL-2, TOL]. En effet, si le flux varie, la supposition de la linéarité de sa formule devient non valide et l’évaluation précise de la pulsation de glissement rend l’orientation du flux sensible à la fois au flux, à la constante de temps rotorique et à l’inductance magnétisante.

En ce qui concerne le DFOC, comme dans le cas du DSFOC, le flux rotorique s’obtient par les capteurs à effet Hall [BLA] ou les enroulements à prises (tapped winding). Cette technique est très appréciée pour les commandes de hautes performances en raison de la qualité du découplage réalisé [GIM]. Cependant, les performances de cette technique dépendent rigoureusement de la précision avec laquelle est obtenu le flux rotorique. Si ce flux est calculé directement à partir du modèle du moteur, on trouve les mêmes inconvénients qu’avec

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l’IFOC. Tandis que, si le flux est calculé à partir du modèle des tensions, les caractéristiques sont identiques à celles du DSFOC. Le fonctionnement aux très petites vitesses est impossible avec DFOC. A noter que la différence entre le DSFOC et le DFOC est la qualité de découplage, qui est meilleure avec le DFOC.

Dans les dernières années, d’autres méthodes de commandes (simple et rapide) ont été proposées telle que la commande directe du couple (DTC) [GRA]. Cette méthode a été proposée pour la commande du couple. Les commutations du convertisseur sont directement générées en se basant sur les erreurs, entre les valeurs de référence et celles estimées du couple et du flux statorique. La méthode n’utilise pas de boucles de réglage pour les courants et ne nécessite ni capteurs de vitesse ni transformations de coordonnées, ce qui représentent ses principaux avantages, en plus de sa simplicité. Cependant, elle est sensible à la variation de la résistance statorique (en particulier, pour les petites vitesses). En plus, les variations de la fréquence de commutation des convertisseurs provoquent d’importantes oscillations dans les courants et le couple ainsi qu’un bruit important pour les petites vitesses (dans ce cas les performances peuvent être complètement détériorées).

En résumant, on peut dire que le choix d’un type de commande vectorielle, pour la machine asynchrone, dépend de quelques facteurs dont les plus importants sont la qualité des performances visées, le niveau de sensibilité aux variations des paramètres, la manière avec laquelle le flux et la vitesse sont obtenus. Dans la majorité des approches proposées, l’orientation du flux rotorique prouve des avantages remarquables par rapport à l’orientation du flux statorique. Cependant, quelques inconvénients et contraintes caractérisent la commande vectorielle en général, à savoir [BOD-1, MAR-5, TOL, KAB-1, GIM] :

Dans la conception de la commande vectorielle, l’amplitude du flux est réglée à une valeur constante, alors le découplage ciblé (entre vitesse et flux) n’est assuré qu’asymptotiquement autour du point de fonctionnement sélectionné (correspondant à la valeur constante du flux choisi) [MAR-4]. Ce découplage asymptotique présente une contrainte lorsque le flux est varié en cas de fonctionnement à grande vitesse ou en vue d’améliorer l’efficacité énergétique du moteur;

La commande vectorielle utilise des régulateurs PI dans les boucles de réglage. Comme il est connu, de la théorie de la commande linéaire, le choix des PI se base sur un modèle exact du système commandé en vue d’achever la poursuite et de rejeter les perturbations. Donc ces régulateurs conviennent mieux pour la commande des processus linéaires (dont le modèle est exactement connu) et non à la commande du moteur asynchrone dont la dynamique est fortement non linéaire et à paramètres variables;

La réalisation de la commande vectorielle se base sur une approximation linéaire du modèle du moteur, ce qui génère un écart important entre la commande (développée théoriquement) et la réalité du moteur. Dans ce cas, le concepteur n’a pas de directives claires pour choisir les paramètres des régulateurs, il fait recours donc à l’intuition et à l’essai-erreur;

Le découplage est très sensible à la variation paramétrique, en particulier celles des constantes de temps rotorique et statorique;

La conception de la commande nécessite la mesure ou l’estimation des variables commandées, à savoir : la vitesse/position, le couple et le flux.

1. 3.3 Commande non linéaire La théorie de la commande non linéaire possède plus qu’un atout permettant son application dans l’analyse et la commande des différents systèmes physiques [SLO, ISI, LAG, BOD-1]. Principalement, la commande non linéaire est liée profondément à la nature physique des

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systèmes en réduisant au maximum les multiples simplifications exigées par la commande linéaire (qui ne traite que les systèmes bien identifiés). En plus, la commande non linéaire possède la souplesse et les moyens théoriques puissants nécessaires pour étendre les objectifs de commande afin de traiter les problèmes posés par la commande moderne, tels que : l’adaptabilité, l’optimalité, la stabilité, la robustesse et la précision de fonctionnement.

Comme l’algèbre linéaire est un outil mathématique essentiel pour l’étude des structures de commandes linéaires, les auteurs ont montré, dans les deux dernières décennies, que la géométrie différentielle offre un moyen efficace pour étudier les structures de commande non linéaire [ISI, SLO]. En effet, la théorie de la commande non linéaire a atteint, actuellement, un niveau de maturité où les spécialistes sont arrivés à l'application efficace de ces techniques pour des moteurs électriques. A rappeler que le moteur asynchrone possède toutes les propriétés qui lui permettent d’être un exemple idéal d’application des techniques de commande non linéaire. Les variantes principales de commande non linéaire, appliquées pour la commande du moteur asynchrone, sont [BOD-1]:

a) La linéarisation dynamique par retour d’état; b) La linéarisation entrée-sortie et la linéarisation par retour de sortie; c) La commande à structure variable:

- le mode de glissement; - La commande par modèle de référence; - Le backsteeping; - La commande par le principe de planéité.

1.3.3.1 La linéarisation dynamique par retour d’état Cette technique a été appliquée, pour la première fois, sur le moteur asynchrone par DeLuca [DEL-2]. Cette approche présente l’un des premiers pas dans la commande non linéaire du moteur asynchrone. Elle était basée sur un modèle simplifié du moteur où la vitesse est considérée comme un paramètre constant (ou peu variable). En plus, tous les paramètres et les variables d’état du moteur sont considérés comme étant connus. Les contraintes liées à cette première tentative ont empêché son utilisation efficace. Par conséquent, les études sont étendues pour utiliser un modèle complet du moteur.

Il faut noter que l’un des problèmes du moteur asynchrone est que sa dynamique ne peut pas être linéarisé directement par un retour d’état en raison de l’absence d’une correspondance directe entre les entrées de commande (tensions statoriques) et les sorties commandées (flux et couple) [MAR-4]. En revenant à la théorie de commande non linéaire [CHA], il a été démontré que, pour une dynamique qui est non linéarisable par retour d’état, l’addition d’un intégrateur dans l’une de ses entrées peut donner un système d’ordre supérieur, qui est linéarisable par retour d’état. Cette propriété concerne, seulement, les systèmes multi-entrées/multi-sorties. Ces résultats ont été appliqués sur le moteur asynchrone en considérant son modèle complet [CHI-1]. Avec l’addition d’un intégrateur à l’une des entrées du moteur, le système résultant (du sixième ordre) est statiquement linéarisable par retour d’état. Cependant, cette structure de commande possède trois inconvénients principaux. Premièrement les lois de commande possèdent une condition de singularité pour un couple électromagnétique nul. Deuxièmement, la structure de commande nécessite une commutation entre deux différentes transformations pour éviter la condition de singularité. Enfin, la transformation ainsi que les lois de commande (nécessaires pour la linéarisation) sont très compliquées et nécessitent un grand volume de calcul. Ensuite, cette approche a été améliorée dans [CHI-2] en se basant sur le modèle du moteur, exprimé dans le référentiel tournant. En effet, l’addition d’un intégrateur dans l’axe direct d’entrée donne une seule transformation

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pour la linéarisation par retour d’état qui est non singulière pour un flux rotorique d’amplitude non nulle. Cette contrainte peut être facilement évitée comme dans le cas de la commande vectorielle [LEO].

D’une manière générale, les méthodes, basées sur la linéarisation dynamique par retour d’état, peuvent fournir une commande découplée pour le flux et la vitesse. Cependant, la structure de commande est très compliquée (encombrante en terme de calcul et possède, souvent, des conditions de singularité difficiles à éviter). D’autre part, l’établissement de ces méthodes se base sur une connaissance exacte de tous les paramètres et les variables d’état du moteur. La complexité de ces dernières rend difficile l’établissement des versions adaptatives pour elles.

1.3.3.2 La linéarisation entrée-sortie Les méthodes de linéarisation entrée-sortie présentent une meilleure alternative pour simplifier le modèle et la commande du moteur asynchrone. Les applications pratiques donnent un avantage significatif à la linéarisation entrée-sortie. En plus qu’elle permet d’établir un découplage exact entre le flux et le couple électromagnétique, elle est très simple à mettre en oeuvre par rapport à la linéarisation dynamique [BOD-1]. Cette technique de commande utilise une transformation de coordonnées (difféomorphisme) et une réaction dynamique ou statique d’état pour transformer le modèle d’un système non linéaire, tel que celui du moteur asynchrone, en un ensemble de relations séparées entrée-sortie. A noter que le schéma de la commande vectorielle, avec son aspect linéaire, peut être considéré comme un cas particulier de la linéarisation entrée-sortie. Cependant, la commande par linéarisation entrée-sortie se distingue par ces performances, en particulier, coté découplage, qui est exact pour toutes les conditions de fonctionnement du moteur.

La première tentative de commande par linéarisation entrée sortie a été proposée dans [KRZ] où un régulateur non linéaire a été utilisé pour éviter l’instabilité qui peut résulter, dans certaines conditions de fonctionnement, avec la commande vectorielle. Cette approche présente un passage de la commande vectorielle vers la commande non linéaire où il a été montré que la commande vectorielle standard peut être améliorée par l’utilisation d’un découplage entrée-sortie et une compensation statique par retour d’état. Toutefois, l’établissement de cette approche repose sur la connaissance exacte des paramètres et des variables d’état du moteur. Dans [KIM-1], une commande en courant par linéarisation entrée-sortie est proposée où le flux rotorique était varié pour minimiser la puissance d’entrée au stator tout en maintenant la vitesse du moteur constante. Dans [MAR-5], l’approche [KRZ] a été améliorée en utilisant une transformation de coordonnées et une réaction non linéaire d’état. De plus, un mécanisme a été proposé pour estimer la résistance rotorique et le couple de charge. Cette approche, qui présente une extension du travail préliminaire [MAR-4], suppose la disponibilité des composantes du flux rotorique. On trouve aussi, dans [BOD-3], une commande par linéarisation entrée-sortie où le flux rotorique était varié en vue d’obtenir un couple optimal pour les applications de grandes vitesses. Dans [KIM-2], une étude comparative a été effectuée entre deux régulateurs, l’un est basé sur la linéarisation entrée-sortie et l’autre sur le principe de passivité. Cette étude prenait en considération le régime saturé du moteur. En parallèle, on trouve d’autres approches basées sur la linéarisation par retour de sortie [MAR-2, MAR-3, PER-1]. Ces techniques permettent d’étendre le principe de la commande vectorielle en développant des versions adaptatives et robustes, dans les quelles, l’aspect de stabilité est étudié [ALO, PER-2, CHE-5].

1.3.3.3 La commande à structure variable: Parallèlement aux techniques de retour d’état, d’autres variantes de commande non linéaires ont été développées pour le moteur asynchrone, telles que : les commandes à structure

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variable [ELK]. Ce sont des techniques développées pour traiter les incertitudes des systèmes. Parmi les variantes les plus utilisées, on trouve la commande par mode de glissement [ROD, ETI, LIN-1]. Le principe du mode de glissement consiste à forcer le mouvement du système à se reproduire dans une tubulure prescrite dans l’espace d’état (surface de glissement), qui est définie suivant l’objectif de commande. Les propriétés les plus significatives du mode de glissement sont la robustesse et la faible sensibilité aux variations paramétriques. On trouve aussi d’autres principes de commande non linéaire, tels que : la commande par progression récursive en arrière ‘back stepping’ [LAO, YAO], la commande à base de passivité [DEL-1, CHE-3] et la commande à base de planéité ‘Flatness’ [DEL-1].

1. 3.4 Estimation du flux et de la vitesse rotorique: La propriété commune, des différentes techniques de commande précitées, est la nécessité de disposer d’informations précises sur les variables d’état du moteur. En ce qui concerne la commande vectorielle, elle se base sur l’alignement de l’axe direct du référentiel tournant choisi avec le vecteur spatial du flux rotorique, de ce fait, la valeur instantanée de l’amplitude du flux ainsi que sa position doivent êtres précisément connues [LEO]. En parallèle, l’une des conditions principales, pour les techniques de commande non linéaires, est la connaissance exacte de toutes les variables d’état [ISI, MAR-5]. En considérant le cas des moteurs asynchrones, on peut constater que seuls les courants statoriques sont disponibles par des mesures directes.

En ce qui concerne le flux rotorique, l’utilisation des capteurs physiques (capteur à effet hall ou bobines supplémentaire dans le stator) ne représente pas une solution avantageuse. En plus de la précision insuffisante, avec l’insertion de tels capteurs, le moteur asynchrone perd plusieurs de ses avantages tels que la robustesse mécanique, le faible coût et la construction simple. Par conséquent, il était nécessaire d’opter pour des estimateurs afin d’obtenir des valeurs plus précises pour le flux rotorique.

Pour la vitesse ou la position du rotor, la mesure est plus simple par rapport au flux. Toutefois, malgré que les tachymètres ou les encodeurs optiques permettent d’acquérir des signaux avec certaines précisions, quelques inconvénients sont relevés. En effet, les performances des capteurs sont nettement inférieures et trop bruitées pour les petites vitesses. Avec ces capteurs, plus de composantes électroniques, de câblage et d’encombrement sont nécessaires ce qui affecte la robustesse du moteur à induction. De plus, pour des faibles puissances (2 à 5kW), le prix du capteur est similaire au prix du moteur. Même pour les moyennes et grandes puissances, le capteur représente entre 20 à 30% du prix du moteur [HIN]. A cet effet, les dernières années ont vue se développer une tendance vers l’utilisation des techniques de commandes sans capteurs de vitesse en vue d’assurer de hautes performances des entraînements avec les moteurs asynchrones.

Dans la littérature, on trouve une multitude de schémas qui ont été proposés pour l’estimation du flux rotorique et de la vitesse du moteur, parmi lesquels, on peut citer :

Les estimateurs basés sur l’injection d’un signal perturbateur, ils se basent sur l’influence de quelques propriétés magnétiques du moteur sur les courants et les tensions statoriques telles que : l’effet des encoches rotoriques [FER, SCH-3], l’asymétrie du rotor [HOL-1] ou la variation de l’inductance de fuite [JAN]. Malgré que ces techniques sont indépendantes des paramètres du moteur, elles ne peuvent pas être utilisées pour les hautes performances et ne conviennent que pour une certaine gamme de fréquence.

Les estimateurs basés sur le modèle du moteur, via les équations statoriques [HIN, SCH-1] ou les équations rotoriques [ALO, BOD-4, HAR-1, XUE]. Ces techniques

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sont relativement simples mais elles sont très sensibles aux paramètres du moteur ce qui ne leurs permet pas d’être utilisées pour des applications nécessitant de hautes performances.

Les estimateurs non linéaires tels que : le filtre de Kalman [AKI, FIN, KIM-4, OUH], l’observateur de Luenberger [HIN, TOL, HOL-2], les moindres carrés [BOD-2], le modèle de référence adaptatif [PEN], le mode de glissement [KWA, BEN, TUR, PRO-2], etc.

1. 3.5 Commande adaptative du moteur asynchrone Les différentes techniques de commande du moteur asynchrone ainsi que les méthodes d’estimation de la vitesse et du flux rotorique sont basées sur le modèle mathématique du moteur. Etant donné, que ce modèle dépend des différents paramètres du moteur, la connaissance précise de tous ces derniers parait indispensable. Malheureusement, toutes les valeurs des paramètres du moteur asynchrone varient avec les conditions de fonctionnement. Les valeurs des inductances tendent vers la saturation pour de hauts niveaux de flux, les valeurs des résistances tendent à augmenter suite aux effets de l’échauffement et de peau. En outre, il est difficile d’avoir une valeur précise pour le moment d’inertie et le couple de charge. Par conséquent, différentes méthodes, de nature off-line et on-line ont été développées pour l’estimation des paramètres du moteur asynchrone.

1.3.5.1 Les méthodes off-line :

Le plus souvent, dans les installations industrielles, le convertisseur de fréquence et le moteur asynchrone sont fournis par deux constructeurs différents. Donc, il est nécessaire d’adapter le système de commande (convertisseur) avec le moteur commandé, en identifiant ses paramètres. Avant de penser à des algorithmes évolués d’identification, l’utilisation de quelques tests directs permet une identification préliminaire des différents paramètres du moteur asynchrone en régime de repos ou au cours du fonctionnement. On distingue les méthodes off-site et les méthodes on-line/off-site [TOL].

Dans les méthodes off-site, le moteur est testé séparément de son application en utilisant les tests standard [SHA]. Ce sont des testes simples, appliqués individuellement au moteur en question, mais ils ne représentent pas ses conditions réelles de fonctionnement. Dans Les méthodes on-Line/off-site ou méthodes de commissionnement individuelles ‘self-commissionning’, les tests s’effectuent en considérant l’application industrielle du moteur [LIN-2, PRO-1]. L’identification s’effectue d’une manière automatique et s’exécute comme une routine d’initialisation pour les paramètres. Cette technique peut être implémentée directement avec les régulateurs du moteur et convient mieux pour la commande des installations industrielles (un seul programme peut fonctionner pour différents moteurs). Malgré leur simplicité, ces méthodes d’identification ne peuvent pas être utilisées pour des hautes performances en raison de leur précision insuffisante. En plus, elles sont influencées par le temps de verrouillage et les non linéarités du convertisseur.

1.3.5.2 Les méthodes on-line:

Comme pour l’estimation du flux et de la vitesse, plusieurs algorithmes ont été développés pour identifier, en temps réel, les paramètres du moteur. On distingue trois ensembles principaux de techniques :

(a) . Les techniques basées sur l’injection de signaux perturbateurs et le traitement de signal. Cette catégorie regroupe toutes les approches qui estiment les paramètres du moteur en analysant le contenu harmonique des courants ou des tensions statoriques [HA]. Ces algorithmes donnent des résultas raisonnablement satisfaisants pour les

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encoches rotoriques ouverts. Pour le cas des encoches fermées qui est, malheureusement, le cas de la majorité des moteurs asynchrones de moyennes et de faibles puissances, ces techniques ne fonctionnent pas correctement. Un autre inconvénient est dû au signal injecté qui doit être d’une amplitude suffisante pour atteindre une identification effective, ce qui augmente les oscillations du couple et les pertes dans le moteur. En plus, quelques techniques nécessitent une structure spéciale pour l’injection du signal.

(b) . Les techniques basées sur des algorithmes non linéaires tels que : le filtre de Kalman [OUH, AKI, WAD-1, WAD-2], l’observateur de Luenberger [WAD-1, WAD-2], les moindres carrées [WAN-2, WAN-3], algorithmes basés sur la théorie de commande non linéaire adaptative [MAR-2, MAR-5, MAR-8, OUA, BAH], etc. Pour l’observateur de Luenberger et le filtre de Kalman, ils possèdent une structure non linéaire compliquée ce qui nécessite plus de calcul et complique plus le circuit de commande. Concernant les moindres carrés, l’identification est transformée en un problème de minimisation de certaines fonctions d’erreurs, basées sur l’erreur d’estimation des paramètres. Ces méthodes souffrent des problèmes de singularité et de la difficulté de déterminer le sens correct de minimisation de la fonction d’erreur utilisée.

(c) . Les techniques basées sur le modèle de référence adaptative (MRAC), grâce à leur simplicité, sont l’objet d’un grand intérêt [TOL, VAS]. Le principe de ces techniques est d’utiliser deux modèles pour estimer la même quantité. Un modèle utilise les signaux de références et l’autre utilise les signaux mesurés. La différence entre les estimations est utilisée pour adapter les régulateurs, ce qui permet de corriger la déviation dans les paramètres estimés [AKI, LOR-1, VUK]. Multiples inconvénients sont associés à ces techniques. L’adaptation des paramètres est opérationnelle, seulement, pour les régimes permanents et non plus pour les régimes transitoires. D’autre part, la précision d’identification est très faible pour les petites vitesses et les faibles charges. De plus, ces techniques sont, souvent, utilisées pour l’identification d’un seul paramètre, en supposant la connaissance des autres paramètres.

1. 4 Les inconvénients et les contraintes liées à la commande classique L’analyse critique, des différentes techniques de commande et d’estimation citées ci-dessus, nous permet de conclure que ces techniques sont très variées et elles donnent des possibilités pour résoudre les problèmes de commande du moteur asynchrone. Les avantages et les inconvénients sont propres à chaque méthode. Cependant, une multitude d’inconvénients communs peuvent êtres observés sur ces techniques [KAB-1, KAB-2, CHE-7, BOD-1, TOL, GIM, MAR-8, BOS-2, BOU, DEN, ELK, LOR-2], les plus importants sont :

Toutes ces techniques se basent sur un modèle mathématique qui doit être suffisamment précis pour traduire le comportement réel du moteur (cette condition est assez difficile à satisfaire pour le cas du moteur asynchrone) ;

La plupart des techniques de commandes sont incapables de conserver leurs performances pour une large gamme de variation de vitesse et du flux. En effet, dans toutes ces commandes on relève le problème de fonctionnement avec les petites et les grandes vitesses ainsi qu’avec un faible (ou variable) couple de charge ;

Il est difficile de concevoir des méthodes d’estimation pour plusieurs paramètres simultanément. Alors, chaque mécanisme d’estimation, pour un paramètre, suppose la connaissance exacte de tous les autres paramètres (ce qui ne représente pas la réalité de fonctionnement où la plupart des paramètres du moteur sont variables en fonction des conditions d’exploitation) ;

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Des erreurs importantes d’estimation sont enregistrées, en particulier, lors des régimes transitoires qui sont ignorés et, le plus souvent, les estimateurs sont performants, seulement, dans les régimes permanents ;

Généralement, les méthodes de commande et d’estimation sont compliquées, en particulier, celles basées sur la théorie de la commande non linéaire. Avec l’utilisation de telles approches (parallèlement aux algorithmes de commande) le circuit de commande devient très compliqué est difficile à implémenter pratiquement.

1. 5 Intelligence artificielle et commande du moteur asynchrone Pour surmonter les différentes contraintes liées aux techniques de commande linéaires et non linéaires, plus récemment, les chercheurs ont étudié les possibilités de concevoir des systèmes qui émulent quelques fonctions réalisées par le cerveau humain. Parmi ces fonctions intéressantes on peut citer l’auto-adaptation, l’apprentissage, la flexibilité de fonctionnement et la planification en présence de larges incertitudes et avec un minimum d’informations. En se basant sur ces aspects, des techniques appelées techniques de l’intelligence artificielle ont été développées et appliquées pour résoudre les différents problèmes de commande. En effet, deux problèmes principaux sont ciblés, la modélisation précise et l’adaptation adéquate pour tenir compte du comportement dynamique réel des systèmes. Les techniques d’intelligence artificielle ont une importance évidente pour traiter les systèmes non linéaires incertains, non modélisables ou mal identifiés. Etant donné, que le moteur asynchrone fait partie de ces systèmes, il a constitué, durant les dernières années, un domaine très fertile pour tester et appliquer ces techniques [LOR-2]. Parmi les techniques de l’intelligence artificielle qui ont été largement utilisées dans la commande du moteur asynchrone on trouve la logique floue et les réseaux de neurones artificiels. En parallèle, très récemment, des approches basées sur les algorithmes génétiques ont été proposées.

1. 5.1 Commande par logique floue : Pour la logique floue, l’un de ses aspects d'intimidation est le nom lui-même, qui inclut des connotations d'imprécision. Effectivement, la logique floue ne possède pas une représentation mathématique explicite mais c’est une manière mathématique basée sur la logique booléenne, qui traite des valeurs binaires afin de représenter des quantités imprécises. Cette méthode a été introduite par Zedeh en 1965 [ZED] est appliquée par Mamdani en 1974 [MAM]. Elle représente une variante robuste pour substituer les régulateurs conventionnels dans la commande des systèmes non linéaires. L’application de la commande floue sur le moteur asynchrone a permis des performances acceptables [CER, ABA]. Toutefois, la méthode possède quelques inconvénients, à savoir:

Avec la structure floue et l’absence d’une représentation mathématique compréhensible (accessible), il est difficile d’y introduire des modifications ou des améliorations ;

La structure des régulateurs flous est assez compliquée, en particulier, lorsque de hautes performances sont souhaitées ce qui se répercute sur les possibilités d’implémentation en temps réel;

La conception et le choix de la structure sont difficiles en raison de l’absence d’une méthodologie claire. Pour cela, les utilisateurs recourent à la conception par intuition et tâtonnement;

De même que pour la commande conventionnelle, Avec l’absence d’un mécanisme d’identification et d’adaptation de paramètres, les régulateurs flous sont incapables de compenser les incertitudes paramétriques et les performances sont affectées.

14


1. 5.2 Commande par réseaux de neurones artificiels : Les réseaux de neurones artificiels (RNA) représentent des paradigmes de calcul très puissants dont l’architecture est basée sur la reproduction du processus biologique d’apprentissage du cerveau humain, à une échelle réduite. Les RNA possèdent des propriétés qui leurs ont permis d’être l’un des moyens les plus puissants et les plus fiables dans la commande et l’identification des systèmes non linéaires [CAB-3, FRE, NAR-2, HRY]. Parmi leurs propriétés les plus importantes, on peut citer :

Ils ne nécessitent pas une compréhension à priori du comportement interne des systèmes ; Ils sont naturellement parallèles, donc, capables de résoudre, rapidement et en temps réel,

les problèmes difficiles nécessitant un énorme volume de calcul ; Ils ont une grande aptitude d’apprentissage, ce qui leurs donne une énorme capacité pour

approximer les dynamiques non linéaires compliquées par des correspondances entrées-sorties ;

Ils possèdent une architecture distribuée, une mémoire associative et la propriété de généralisation ce qui leur permet de tolérer certaines incertitudes sans perdre leurs performances ;

La capacité d’approximation des fonctions non linéaires incertaines représente un atout important pour améliorer la commande des systèmes en utilisant les techniques de commande non linéaires, qui sont très efficaces pour réaliser des commandes robustes;

La structure parallèle des RNA permet une implémentation simple et rapide ; Par comparaison aux techniques d’identification non linéaires conventionnelles tels que le

filtre de Kalman, les moindres carrées ou le modèle de référence, etc., les résultats obtenus montrent clairement que les RNA sont très efficaces pour l’identification d’une large classe de systèmes non linéaires lorsqu’il y’a un manque d’informations sur le modèle du système ou lorsqu’on considère le système comme étant une boite noire.

Malgré que les études sur les réseaux de neurones artificiels sont, relativement, anciennes (les premières tentatives remontent aux années quarante [FRE, WID]), leurs utilisations n’ont commencé que dans les années quatre-vingt du siècle passé. En effet, ces années ont connu la renaissance des réseaux de neurones artificiels avec le développement des algorithmes d’apprentissage, tels que : les règles de Widrow-Hoff [WID] et la rétro propagation [RUM]. En fonction du mode d’apprentissage et de la structure des RNA, on distingue:

Les réseaux récurrents avec apprentissage à point fixe ou à trajectoire ; Les réseaux multicouches avec apprentissage supervisé ; Les réseaux multicouches avec apprentissage en temps réel ;

1.5.2.1 Les réseaux de neurones récurrents Les réseaux récurrents ou à réaction, généralement, ne possèdent pas une couche cachée et ils sont entraînés pour approximer un point de fonctionnement fixe correspondant au régime permanant ou pour la poursuite d’une trajectoire du système. Plusieurs techniques ont été développées pour l’apprentissage de ces réseaux, on trouve la machine de Boltzmann, les règles de Hopfield, les règles de Kohonen, les règles de Widrow-Hoff. [FRE, WID, KAB-1]. Toutefois, la capacité d’approximation de ce type de réseaux est très limitée et ils ne conviennent pas pour les systèmes non linéaires compliqués (on ne trouve pas d’applications de tels réseaux dans le domaine des machines électriques).

1.5.2.2 Les réseaux de neurones multicouches avec apprentissage supervisé Les réseaux multicouches directs, avec apprentissage supervisé, sont utilisés pour imiter le comportement d’un organe qui existe déjà pour améliorer le fonctionnement de l’installation

15


existante en terme de rapidité et de simplicité. Ces réseaux sont considérés comme étant des moyens universels d’approximation. A noter qu’il a été montré que ce type de RNA peut approximer n’importe quelle fonction non linéaire, avec une précision suffisante, en utilisant un ensemble d’entrées-sorties [FUN]. Toutefois, les réseaux avec apprentissage supervisé possèdent quelques inconvénients, parmi lesquels, on peut citer :

- La nécessité d’un ensemble d’entrées-sorties (décrivant le système étudié) pour l’apprentissage (dans plusieurs systèmes réels, il est difficile d’obtenir une base d’apprentissage représentative) ;

- L’apprentissage supervisé ne permet qu’une approximation locale des fonctions ciblées (correspondantes à la base d’apprentissage) et la précision de cette approximation dépend de la taille de cette base ;

- L’imitation d’un régulateur existant mène à un régulateur sans aucune capacité d’adaptation. Malgré la propriété de généralisation, le réseau de neurones ne peut pas s’adapter correctement avec toute nouvelle condition de fonctionnement qui n’appartient pas à sa base d’apprentissage;

- La nature statique, ne permet pas à ce type de réseaux de fonctionner efficacement avec les systèmes dynamiques fortement non linéaires;

- L’apprentissage supervisé se base, généralement, sur la méthode du gradient descendant qui est très lente et inefficace pour les applications en temps réel.

Toutes ces contraintes n’ont pas empêché l’utilisation des types de réseaux de neurones suscités dans plusieurs applications pratiques y compris pour la commande des moteurs asynchrones [CAB-1, CAB-2, CHE-6, DOY, KUN, RAZ, WIS]. Par ailleurs, pour rendre l’utilisation des réseaux de neurones plus efficace, des schémas d’apprentissage, on-line, ont été proposés. Pour l’adaptation des paramètres, ces schémas utilisent des versions, on line, de rétro propagation [TAD], le filtre de Kalman [OH, CAB-2] ou le principe du modèle de référence adaptatif [ELB].

Avec l’algorithme de rétro propagation, la taille du réseau doit être assez grande pour obtenir une approximation performante. De plus, avec l’utilisation du gradient descendant, la vitesse de convergence de l’apprentissage devient très lente. Si on utilise des algorithmes non linéaires, tels que : l’EKF, la structure d’apprentissage souffrira des mêmes problèmes cités pour l’utilisation des EKF dans les méthodes de commande et d’identification conventionnelles. Pour accélérer l’apprentissage, des variantes, basées sur ce qu’on appelle algorithme de recherche arbitraire de poids ‘Random Weight change algorithme’, ont été proposées. Dans ces algorithmes, la direction de convergence du gradient est variée arbitrairement en vue d’obtenir différentes vitesses de convergence selon les conditions de fonctionnement et selon la valeur de l’erreur [BUR, LIU]. Dans ces techniques, il est difficile de vérifier que la direction du gradient, choisie arbitrairement, peut mener vers la convergence souhaitée. Une autre contrainte majeure, concerne le problème d’initialisation des paramètres du réseau de neurones qui joue un rôle important dans l’évolution future du réseau.

D’autre part, pour tirer avantage des propriétés des régulateurs flous et des réseaux de neurones artificiels, des structures hybrides combinant les deux techniques ont été proposées pour améliorer le circuit de commande du moteur asynchrone [BOS-2, BOD-3, DEN, GRA, ZER]. Malgré que ces approches assurent des performances acceptables, la structure de commande y est assez compliquée. En effet, comme la combinaison exploite les avantages communs, elle souffre des inconvénients communs de la logique floue et des réseaux de neurones.

16


1.5.2.3 Les réseaux de neurones multicouches avec apprentissage en temps réel Ce troisième type de réseaux de neurones attire plus d’attentions et son usage revêt plus d’importance dans la commande et l’identification des systèmes non linéaires incertains [KAB-1, BOS-1, CHE-2, CHE-4, GE-1, LEW, NAR-4, YAN, YAŞ, YU-1-3, ZHA-2]. Ces réseaux résultent d’une combinaison entre les propriétés des réseaux de neurones artificiels multicouches et de la puissance de la théorie de la commande non linéaire adaptative. Cette combinaison a permis d’extraire des règles d’apprentissage très puissantes permettant une adaptation en temps réel des paramètres du réseau de neurones. Via ces règles, les erreurs de poursuite, observées sur les grandeurs commandées, sont transformées en un moyen pour modifier le comportement du réseau de neurones afin d’adapter le système avec toutes ses conditions de fonctionnement. Ces réseaux possèdent les avantages des réseaux de neurones et de la commande non linéaire et permettent, à la fois, d’identifier et de commander les systèmes non linéaires sans nécessiter une connaissance approfondie de leurs dynamiques. Les avantages de ces types de réseaux sont nombreux, entre autres, on peut citer : - La possibilité d’exploiter efficacement la puissance des lois de commande non linéaire

d’une manière simple et rapide ; - Grâce à la variation non linéaire des paramètres, ces réseaux permettent d’éviter un

inconvénient majeur pour les techniques de commande conventionnelles, à savoir, la supposition d’une paramètrisation linéaire pour un système non linéaire ;

- Le comportement non linéaire de ces réseaux leur permet de s’intégrer aisément dans les systèmes de commande non linéaire (en particulier ceux basés sur la linéarisation entrée-sortie) [GE-3, CAB-3]. A cet effet, des schémas de commande très performants ont résulté de cette combinaison [KAB-1, CHE-7, YAŞ, LEW, ZHA-2] ;

- Contrairement aux autres techniques de commande, l’utilisation des fonctions d’activation de type sigmoïde permet à ce type de réseaux d’assurer une grande stabilité au cours de son fonctionnement [ALE, FUN, YU-1]. En effet, il existe même des cas où les algorithmes d’apprentissage sont déduits de l’étude de stabilité ;

- Ces réseaux utilisent une architecture simple d’une seule couche cachée avec un nombre de neurones très réduit, chose qui offre plus de simplicité, de rapidité et de facilité lors de leur implémentation ;

- Ces réseaux ne nécessitent pas une base d’apprentissage pour leur entraînement.

1. 6 Position du problème à résoudre L’analyse des caractéristiques du moteur asynchrone permet de constater que les objectifs à atteindre, par toute commande performante du moteur asynchrone, consistent essentiellement à développer une commande adaptative simple et performante permettant de [KAB-1, LEO, BOD-1, MAR-5, MAR-8, GIM, ELK, HAR-1, PER-2, TOL, OUA] :

Commander séparément la vitesse (le couple) et le flux; Compenser les effets des variations des paramètres internes du moteur (en particulier

les constantes de temps rotorique et statorique); Développer des mécanismes d’estimation des valeurs des variables d’état non

mesurables (flux rotorique); Trouver un moyen pour estimer la valeur réelle du couple de charge.

A rappeler que les solutions proposées, dans la littérature [KAB-1, KAB-2, CHE-7, BOD-1, TOL, GIM, MAR-8, BOS-2, BOU, DEN, ELK, LOR-2], sont caractérisées par plusieurs inconvénients, à savoir :

Elles se basent sur un modèle précis, chose qui ne peut pas être satisfaite dans le cas du moteur asynchrone;

17


La conception de la commande vectorielle est basée sur un modèle approximé (simplifié) du moteur ce qui pose des difficultés pour choisir les paramètres des régulateurs utilisés (on fait recours aux tâtonnement);

La complexité des lois de commande, en particulier, celle de la commande non linéaire;

La majorité des techniques d’estimation et d’identification perdent leurs performances pour les petites vitesses et les faibles charges;

Il est difficile d’estimer, simultanément, plusieurs paramètres.

D’un autre coté, avec le développement de la technologie des calculateurs numériques, il est devenu possible de concevoir et d’implémenter des lois de commande très complexes [SLO]. Par conséquent, un énorme intérêt est accordé à l’exploitation de la théorie de commande non linéaire en vue d’améliorer la commande des systèmes. Parmi toutes les méthodes, la commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie, se distingue par plusieurs avantages (qui correspondent mieux aux exigences formulées ci-dessus), tels que : [MAR-4, MAR-5, BOD-1, KAB-1, BOU] :

Un découplage exact; Possession d’un outil mathématique permettant de développer des versions adaptatives

pour la commande.

Toutefois, ses performances sont affectées par les variations paramétriques et le recours à des versions adaptatives mène à des schémas de commandes compliqués ne permettant pas un fonctionnement performant pour le moteur asynchrone dans toutes ses conditions de fonctionnement.

Par ailleurs, l’application des techniques de l’intelligence artificielle (en particulier celle des RNA), dans les systèmes de commande, ont permis de résoudre plusieurs des problèmes suscitées [KAB-1, BOS-1, CHE-2, CHE-7, CHE-9, CHE-4, GE-1, LEW, NAR-4, YAN, YAŞ, YU-1, YU-2, YU-3, ZHA-2]. Cependant, malgré l’utilisation des RNA, dans plusieurs approches de commandes des moteurs asynchrones, on ne trouve pas la description d’un véritable schéma de commande, à base de réseaux de neurones artificiels [CAB-1, CAB-2, CHE-6, DOY, KUN, RAZ, WIS, TAD, ELB, BOS-2].

Par conséquent, en tenant compte des facteurs suivants :

Les différents avantages des RNA multicouches; L’orientation moderne vers la combinaison de différentes techniques de commande

pour profiter des avantages offerts par chacune d’elle; L’analyse critique effectuée ci-dessus.

Nous proposons une combinaison entre les propriétés des réseaux de neurones artificiels multicouches, les avantages de la commande par linéarisation entrée-sortie et la puissance des règles non linéaires d’adaptation en vue de développer un schéma de commande adaptative à base de réseaux de neurones artificiel, pour le moteur asynchrone, permettant d’atteindre les objectifs suivants :

Amélioration du schéma de commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie en utilisant les réseaux de neurones artificiels pour reconstituer, en temps réel, les réactions non linéaires d’état nécessaires pour générer les lois de commande ;

Elaboration d’un estimateur universel des paramètres du moteur asynchrone, à savoir : la constante de temps rotorique, la constante de temps statorique et le couple de charge.

18


1. 7 Conclusion L’analyse de l’état de l’art a permis de constater que le moteur asynchrone est caractérisé par :

Un modèle non linéaire fortement couplé; Des paramètres internes variables; Les variables rotoriques sont inaccessibles aux mesures directes.

En plus, nous avons constaté que toute commande, du moteur asynchrone, doit résoudre les problèmes suivants :

Le problème de couplage (entre flux et vitesse (couple)) ; Le problème des variations paramétriques; L’estimation des variables d’état non mesurables (du fait que les capteurs physiques

sont fragiles, moins précis et coûteux) ; Le problème du couple de charge ;

Parmi les principales méthodes de commande, proposées pour le moteur asynchrone, on trouve :

Les techniques d’orientation du flux (commande vectorielle) ; Les techniques de commande non linéaire ; Les techniques de commande basées sur l’intelligence artificielle.

Il a été constaté que la commande vectorielle (en particulier à orientation du flux rotorique) est caractérisée par des avantages remarquables, toutefois, elle possède les inconvénients suivants :

L’utilisation d’une approximation linéaire du modèle du moteur pose un problème pour le choix des paramètres des régulateurs utilisés pour la commande;

Le découplage n’est assuré qu’asymptotiquement autour d’un flux constant;

Malgré que la réalisation de la commande non linéaire est relativement complexe, elle permet un découplage exact. Toutefois, les deux techniques de commande (vectorielle et non linéaire) sont sensibles aux changements paramétriques.

De leur coté, les réseaux de neurones se distinguent, parmi les autres techniques de l’intelligence artificielle, par plusieurs avantages, tels que :

Ils ne nécessitent pas une compréhension à priori des systèmes ; Les capacités d’apprentissage ; La capacité d’approximation des fonctions non linéaires incertaines ; La structure parallèle qui permet un fonctionnement et une implémentation rapides ;

De nos jours, la commande des systèmes s’oriente, de plus en plus, vers la combinaison de différentes techniques de commande afin de profiter du maximum d’avantages offerts par chacune d’elles en vue de réaliser des schémas de commande plus performants et plus efficaces

C’est dans ce contexte que s’inscrit l’objectif du présent travail. En effet, pour améliorer les performances dynamiques du moteur asynchrone, on propose un schéma de commande basé sur une combinaison entre les propriétés des réseaux de neurones artificiels, le principe de la commande par linéarisation entrée-sortie et la puissance des règles non linéaires d’adaptation. Notre objectif est d’exploiter cette combinaison intéressante pour développer un véritable schéma de commande, à base de réseaux de neurones artificiels, pour le moteur asynchrone.

A cet effet, le chapitre suivant sera consacré à la présentation du principe de la commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie et son application sur le modèle du moteur asynchrone. A rappeler que cette technique représente un élément de la combinaison (RNA-IOFLC) proposée pour la commande du moteur asynchrone.

19

Chapitre II

Réseaux de neurones artificiels: principe de fonctionnement, architecture et apprentissage

Chap. II Réseaux de neurones artificiels: principe de fonctionnement, architecture et apprentissage

2. 1 Introduction

Durant les deux dernières décennies, des efforts considérables ont été faits pour résoudre différents problèmes de commande, en exploitant les développements récents dans les modèles connectifs. En effet, l’apparition des modèles connectifs, tels que : les réseaux de neurones artificiels, la logique floue, les algorithmes génétiques, etc., a permis de donner naissance à une nouvelle discipline dans l’étude et la commande des systèmes. Cette discipline qui regroupe ce qu’on appelle, actuellement, techniques d’intelligence artificielle, essaie de supplanter les techniques classiques, afin d’améliorer tous les aspects des performances des systèmes : modélisation, commande, diagnostic, etc. Parmi ces techniques, les réseaux de neurones occupent une place importante, en raison de leur principe de fonctionnement qui est inspiré de l’architecture interconnectée du cerveau humain.

En effet, comprendre les mécanismes à l’origine des fonctions supérieures du cerveau est un objet de recherche au carrefour de la neurobiologie, de la psychologie, de l’informatique et de la physique. Bien que copier le cerveau biologique était et reste toujours une ambition exagérée, l’inspiration de son principe de fonctionnement et son architecture n’est pas un souhait interdit. C’est dans ce conteste qu’était né le domaine des neurosciences et les techniques des réseaux de neurones artificiels. Deux motivations sont derrières ces techniques: premièrement, modéliser le cerveau humain et déchiffrer ses secrets. Deuxièmement, réaliser des algorithmes et des machines spécialisées dont les performances pourraient être supérieures à celles des algorithmes et des ordinateurs classiques en s’inspirant du système nerveux, de ses modes d’apprentissage, de perception et de reconnaissance de formes.

2. 2 Le neurone biologique Le cerveau humain comporte des milliards de cellules interconnectées appelées neurones. Il est, généralement, admis que les neurones biologiques représentent les éléments de base pour le traitement des informations au niveau du cerveau. Lorsque le cerveau est soumis à certains stimuli, les signaux transmis aux cellules nerveuses sont traités pour aboutir à une réponse du cerveau qui se traduit par un comportement observable.

Le neurone biologique est constitué de trois éléments principaux: le corps cellulaire, les dendrites et l’axone (figure 2.1). Les dendrites s’étendent du corps cellulaire jusqu’aux autres neurones d’où ils reçoivent des signaux, sous forme d’impulsions ou potentiels d’action, en un point de connexion appelé synapse. Par le côté récepteur de la synapse, les signaux d’entrée sont conduits vers le corps cellulaire à travers les dendrites où ils sont additionnés. A ce niveau, le traitement d’information s’effectue en associant à chaque combinaison de potentiels d’action un certain comportement ou réaction [FRE]. De ce fait, on peut déduire qu’il existe des relations stables entre certains stimuli et certains comportements. Par conséquent, le cerveau utilise les connexions des potentiels d’action pour coder les informations, ce qui constitue une certaine mémoire qui est appelée, dans la terminologie des réseaux de neurones, mémoire associative. D’autre part, durant sa durée de vie, le cerveau humain étend sa mémoire et améliore son traitement d’information en réorganisant, continuellement, automatiquement et en temps réel, ses connexions. Ce phénomène s’appelle apprentissage autonome. La mémoire associative, l’apprentissage autonome et le traitement parallèle d’information représentent les propriétés essentielles du cerveau biologique.

20


Synapse

Dendrite

2. 3 Modèle mathématique et apprentissage des réseaux de neurones artificiels Les recherches dans le domaine des réseaux de neurones ont été motivées par la recherche des réponses à deux questions importantes: la manière avec laquelle le système nerveux biologique arrive à traiter l’information à travers quelques simples impulsions (ou potentiels d’action) et comment exploiter les propriétés du cerveau humain sur des systèmes réels. L’objectif derrière ces recherches était de simuler la structure d’un ensemble de neurones biologiques en s’inspirant du système nerveux (son architecture, son organisation, son mode d’apprentissage et son fonctionnement parallèle) en vue de créer un réseau de neurones artificiels (RNA). Dans ce sens, le premier pas était d’essayer d’expliquer mathématiquement le comportement des neurones biologiques et les interconnexions entre eux, plus précisément, fournir un modèle mathématique pour le réseau de neurones biologiques. La première tentative a été proposée par McCulloch et Pits [FRE], ce modèle est connu sous le nom du ‘neurone de McCulloch-Pits.

2. 3.1 Modèle de McCulloch-Pits

Le début des recherches sur les réseaux de neurones artificiels remonte aux années quarante où le premier modèle a été proposé par les deux biologistes McCulloch et Pits (1943) [FRE]. Ce modèle mathématique est constitué d’un neurone de deux entrées et une seule sortie (figure 2.2). Un poids est associé à chaque entrée, la somme pondérée des entrées passe par une fonction non linéaire pour produire la sortie du neurone. Le neurone n’est activé que si au moins une de ces entrées est activée. La sortie du neurone est binaire. Jusqu’à ce que la somme des entrées dépasse certain seuil, sa sortie reste nulle. Le neurone de McCulloch-Pits ressemble au circuit logique d’aujourd’hui.

AxoneNoyau

DendriteAxone

Synapse

Dendrite d’un autre neurone Axone d’un autre

neurone

Fig. 2.1 Modèle d’un neurone biologique

21


Le comportement du neurone est décrit comme suit:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

=

2i

1iii xwfy (2.1)

Chaque poids exprime la puissance de la connexion. La fonction non linéaire ( ) est appelée fonction d’activation, pour le modèle de McCulloch-Pits, elle a été choisie comme suit:

iw f

( )⎩⎨⎧

<≥

=0 x00 x1

xf (2.2)

D’après la forme de la fonction d’activation, la structure proposée par McCulloch-Pits convient mieux pour les problèmes de classification ou les problèmes de séparation en deux classes.

Pour expliquer la procédure d’apprentissage du neurone de McCulloch-Pits, considérant un problème de classification. En effet, un ensemble de données est classé en ⊕ ou ⊗ selon la sortie du neurone. Si les résultats sont tracés sur un plan de deux dimensions, la connexion des poids correspondant à 0xwxw 2211 =+ représente une ligne séparatrice. Dans ce cas, la classification implique la sélection de ⊕ pour la valeur 0 ( 0xwxw 2211 <+ ) et ⊗ pour la valeur 1 ( ). La ligne de séparation XY (XY : 0xwxw 2211 ≥+ 0xwxw 2211 =+ ) représente l’exemple d’un hyperplan qui sépare les résultas de classification (figure 2.3).

Pour plusieurs applications pratiques, il n’est pas exigé que le hyperplan passe par l’origine. Dans ce cas, un paramètre de compensation est introduit, ce paramètre est appelé biais. Le modèle modifié de McCulloch-Pits devient comme suit:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑

=

=

2

1

i

iii bxwfy (2.3)

Où : - représente le biais. b

Y

X Fig. 2.3 Principe de classification par le neurone de McCulloch-Pits

Σ1

0

x1

x2

w1

w2

y

Ent

rées

Sommation

Fonction d’activation

Sortie

Neurone de McCulloch-Pits

Fig. 2.2 Schéma du neurone de McCulloch-Pits

22


2. 3.2 Perceptron La simplicité représente un inconvénient pour le neurone de McCulloch-Pits, parce qu’il est difficile de visualiser la classification et de mettre en oeuvre la connexion des poids si le nombre d’entrées dépasse deux. De plus, la structure du réseau ne permet pas de traiter des problèmes de classification complexes. A cet effet, d’autres architectures et d’autres modes d’apprentissage ont été proposés en vue d’améliorer les performances des réseaux de neurones artificiels et de diversifier leurs applications. Dans un premier temps, Rosenblatt [FRE] a proposé de mettre, en parallèle, un ensemble de neurones de McCulloch-Pits avec des interconnexions aléatoires entre les entrées et les neurones (figure 2.4). Cette nouvelle structure était l’une des versions des réseaux de neurones monocouches, appelé ‘perceptron’, en référence à la propriété de perception du cerveau biologique. L’apprentissage s’effectue en modifiant aléatoirement les poids par essai-erreur jusqu’à l’achèvement de la classification.

Fig. 2.4 Modèle du Perceptron avec connexions aléatoires

Σ

Σ

Σ

x1

x2

xn

Entré

es

Sorti

es

Par la suite, Selfridge a utilisé un choix aléatoire d’un vecteur de direction pour ajuster les poids [FRE, WID-1]. Les paramètres sont sélectionnés pour minimiser une certaine fonction positive d’énergie. Pour ce faire, un vecteur de minimisation est choisi, si les performances ne s’améliorent pas, les poids prennent leurs valeurs précédentes et une autre direction aléatoire est choisie et ainsi de suite. Selfridge a fait référence à ce processus comme « grimper une montagne ». Cette méthode ressemble à la méthode de la recherche du gradient ‘gradient search method’.

Malgré les améliorations apportées par Rosenblatt et Selfridge, leurs approches souffrent de l’absence d’un mécanisme effectif d’apprentissage qui permet de modifier les poids. A cet effet, la structure du perceptron a été modifiée en mettant, en parallèle, plusieurs neurones de McCulloch-Pits de telle sorte que chaque neurone soit connecté à toutes les entrées, tout en possédant une sortie différente. Cette structure permet de simuler la structure réelle d’un ensemble de neurones biologiques qui sont massivement interconnectés entre eux pour traiter l’information d’une manière parallèle et distribuée (figure 2.5).

Fig. 2.5 Modèle du Perceptron avec connexion complète

x Σ1

x2

xn

Entré

es

Σ

Σ

Sorti

es

23


La nouvelle variante du perceptron avait représenté un pas important dans la conception d’un vrai réseau de neurones artificiels. Pour l’apprentissage de ce perceptron, Widrow et Hoff ont développé, en 1960, une méthode mathématique pour l’adaptation des poids appelée Adaline (adaptive linear element) [FRE, WID-1]. Dans ce cas, le perceptron est équipé par des poids initiaux, une fonction d’énergie et un ensemble de sorties désirées. L’apprentissage s’effectue par la minimisation de la fonction d’énergie en utilisant ses jacobéens par rapport aux poids et aux biais ‘méthode du gradient descendant’.

La fonction d’énergie, considérée, est donnée par:

2

21 ε=J (2.4)

Avec: - la fonction d’énergie correspondante à la sortie désirée d et, J ε représente l’erreur d’approximation qui est donnée par:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∑

=

=

ni

iii bxwfd

1ε (2.5)

Les jacobéens de la fonction , par rapport à chaque poids ( ) et au biais ( b ), sont : J jw

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

∑

∑=

=

=

=

ni

iii

j

ni

iii

j

bxwdbJ

xbxwdwJ

1

1 (2.6)

Par la suite, Les poids et le biais, pour chaque neurone, sont adaptés comme suit :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=

∂∂

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

∂∂

−=

∑

∑=

=

=

=

ni

iii

j

ni

iiij

jj

bxwdbbJbb

xbxwdwwJww

j

1

*

1

*

ηη

ηη

(2.7)

Où : et - sont les poids et le biais résultants de l’apprentissage. Le nombre réel positif *jw *b η

est appelé coefficient d’apprentissage.

Pour chaque exemple de la base d’apprentissage (l’ensemble d’entrées-sorties), la procédure d’adaptation est effectuée, d’une manière itérative, jusqu’à ce que le neurone puisse classer tous les points. De plus, Le temps de convergence du processus d’apprentissage peut être réduit en utilisant la méthode de Selfridge pour sélectionner le coefficient d’apprentissage. Parce que les neurones ont besoin de sources pour superviser le fonctionnement du réseau et donner une indication sur l’erreur d’approximation, ce type de d’apprentissage est appelé ‘apprentissage supervisé’.

Le fait que le neurone artificiel adapte ses poids, d’une manière itérative, à travers une série d’exemples jusqu’à ce qu’ils soient suffisamment appris pour les classer, c’est l’émulation d’intelligence. Cela a crée une importante excitation autour des réseaux de neurones artificiels. A cet effet, dans les années 60, les recherches sur le perceptron ont atteint un point tel que les journaux publiés pleins d’articles promettant l’avènement des robots ayant les possibilités de penser. Il a semblé que le perceptron peut résoudre tous les problèmes.

24


Malheureusement, ces intérêts ont bientôt vacillés et sont presque entièrement morts, chose qui est considéré comme une réaction aux remarques de Minsky (dans son livre ‘Perceptron’ en 1969) [FRE]. Ce livre a énuméré les inconvénients du perceptron et les règles d’Adaline. L’inconvénient majeur était le fait que la classification n’est précise que pour les exemples qui sont linéairement séparables. C'est-à-dire, si des lignes droites peuvent êtres tracées entre les exemples pour les séparer en classes distinctes. De plus, il a été démontré théoriquement que la simplicité du perceptron ne lui permet pas de résoudre plusieurs problèmes simples y compris les tâches réalisées par les portes logiques simples. Avec les conclusions très pessimistes du ‘Perceptron’, les recherches, sur les réseaux de neurones, sont devenus non fondées. Ce qui a provoqué l’arrêt de ces recherches. Cette interruption a persisté jusqu’au développement d’une méthode qui permettra de résoudre le problème de l’inséparabilité linéaire (cité dans le livre suscité).

Après une interruption de presque deux décennies, les années quatre-vingt ont vu la relance des recherches sur le traitement neuronal. Une grande partie de ces recherches étaient menées par DARPA ‘Defense Advanced Research Projects Agency’ des Etats Unies. En effet, ces activités ont ravivé les études sur les réseaux de neurones artificiels. Le résultat est récolté en 1986 avec la publication de l’un des fameux textes dans l’histoire des réseaux de neurones par Rumelhart, McClelland (Etats Unis) et le groupe PDP (Grande Bretagne) qui ont, indépendamment, proposé le célèbre algorithme de rétro propagation [RUM]. A signaler que cet algorithme a été développé, pour la première fois, en 1974 [FRE] et il est resté inconnu jusqu’à sa redécouverte en 1986. L’algorithme de rétro propagation représente une généralisation de l’algorithme de Widrow-Hoff et permet l’apprentissage au réseau de neurones dans une configuration multicouche.

2. 3.3 Réseau de neurones multicouche et rétro propagation

L’insuffisance caractérisant les performances du perceptron a poussé les chercheurs à penser aux possibilités que peut offrir l’interconnexion d’un ensemble de perceptrons pour constituer une structure parallèle. Cette structure est appelée perceptron multicouches ou réseau de neurones multicouches (chaque perceptron forme une couche). Dans un réseau multicouche, les couches sont organisées pour propager l’information, uni-directionnellement, de la couche d’entrée vers la couche de sortie en passant par des couches intermédiaires ou couches cachées (figure 2.6). En raison de sa structure et de son principe de fonctionnement, le réseau multicouche, avec apprentissage supervisé, est considéré comme étant un réseau statique.

Fig. 2.6 Modèle d’un réseau multicouche

x1 f ff f

f ff fx2

Sorti

es

xn

Entré

es

Couches cachées Couche de sortie

f ff f

25


Une fois, que les chercheurs se sont rendus compte du fait que le perceptron multicouche peut résoudre plusieurs problèmes qui ne sont pas linéairement séparables, la seule chose qui manquait était un algorithme effectif qui pourrait adapter les poids de ce réseau de neurones multicouche. Pour les règles d’Adaline, les poids sont ajustés en utilisant le gradient descendant et en se basant sur l’erreur entre les sorties réelles du réseau et quelques sorties désirées connues. Bien que l’adaptation des poids de la couche de sortie soit simple à réaliser, l’adaptation des poids des couches cachées nécessite la dérivation de la fonction d’activation. Cela rend difficile l’application directe des règles d’Adaline sur le réseau multicouche en raison de la discontinuité de la fonction d’activation (fonction échelon ou signe) dont la dérivée n’est pas bien connue. A cet effet, le premier pas, dans l’apprentissage des réseaux de neurones multicouche, était la substitution de la fonction d’activation discontinue par une autre fonction continue. La fonction sélectionnée la plus populaire est la fonction sigmoïde [FRE, WID-1, HRY] qui est donnée par:

( ) ( ) xx

xx

eeeexxf −

−

+−

== tanh (2.8)

La première dérivée s’obtient par:

( ) ( )xeeee

dxd

dxxdf

xx

xx2tanh1−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

= −

−

(2.9)

L’avantage de la fonction sigmoïde, par rapport à la fonction discontinue, est qu’elle est différentiable. Via la dérivation de la fonction d’activation, il devient possible de propager les informations du gradient à travers tout le réseau. Tous les poids du réseau peuvent être donc ajustés en arrière, commençant par la couche de sortie et travaillant sur chaque couche cachée jusqu’à ce que la couche d’entrée soit atteinte. De là vient l’appellation de l’algorithme d’apprentissage par l’algorithme de rétro propagation [RUM].

L’algorithme de rétro propagation est exécuté en trois étapes : exécution en avant, rétro propagation d’erreur et adaptation de poids. Il utilise, comme fonction d’énergie, le carré de l’erreur entre les sorties réelles et désirées du réseau de neurones. Après que chaque exemple soit présenté au réseau, l’erreur est calculée et chaque poids ou biais est ajusté suivant la valeur du gradient qui minimise cette erreur. Cette procédure est exécutée, d’une manière itérative, jusqu’à ce que l’erreur d’approximation soit inférieure à un certain seuil. L’algorithme se termine par la détermination des poids et les biais minimisant la fonction d’énergie et permettant au réseau d’établir la meilleure correspondance entre les signaux d’entrée et de sortie de la base d’apprentissage [FRE, WID, CAB-2].

Les réseaux multicouches, avec apprentissage supervisé par rétro propagation, sont utilisés pour imiter le comportement d’un élément existant déjà, du circuit de commande, dans le but d’améliorer ce circuit des points de vue rapidité et simplicité (figure 2.7).

Fig. 2.7 Schéma du réseau de neurones avec apprentissage supervisé

Système Régulateurstandard

26


Théoriquement, il a été démontré que le réseau de neurones multicouche muni d’une fonction d’activation sigmoïde est capable d’approximer toutes les fonctions continues avec la précision souhaitée [FUN]. Cette capacité d’approximation a permis aux réseaux de neurones d’être très privilégiés dans l’identification et la commande des systèmes non linéaires. La figure (2.8) représente la structure typique d’un estimateur neuronal universel. Il possède une multitude d’entrées, une seule couche cachée avec une fonction d’activation sigmoïde et une couche de sortie avec une fonction d’activation linéaire.

Ent

rées

Sort

ies

Fig. 2.8 Modèle d’un estimateur neuronal universel

wij vkj

x1

x2

xM

y1

y2

yK

Soit : M , et N K - le nombre d’entrées, d’unités dans la couche cachée et de sorties du réseau de neurones, respectivement, tel que :

- Les poids, entre les neurones des couches d’entrée et de sortie, sont notés ; ( )NjMiwij ,...,1;,...,1, ==

- Les poids, entre les neurones des couches cachées et de sortie, sont notés ; ( )K1kN1jvkj ,...,;,...,, ==

- Les biais des neurones de la couche cachée sont notés ; jb- Les biais de la couche de sortie sont notés ; kb

La sortie du réseau est donnée par : ièmek

k

N

j

M

ijiijkjk bbxwvy −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑ ∑

= =1 1tanh (2.10)

Où et - sont, respectivement, la sortie et la entrée du réseau. ky ix ièmek ièmei

Définissons l’erreur, pour un neurone de sortie, comme étant la différence entre et la sortie désirée , . En utilisant cette erreur d’approximation, différentes fonctions d’énergie (ou d’erreur) peuvent êtres construites, les plus utilisées sont :

ky

kd kkk dyE −=

- L’erreur quadratique:

∑=

=K

kkEJ

1

2

21 (2.11)

- La moyenne des carrées des erreurs d’approximation:

∑=

=K

kkE

KJ

1

21 (2.12)

Pour simplifier l’étude, considérant le cas d’un réseau de neurones avec une seule sortie ( 1=K ). L’apprentissage s’effectue en minimisant la fonction d’énergie. Dans ce cas, en utilisant l’erreur quadratique (5.11), les dérivées partielles, par rapport à chaque poids et biais, s’obtiennent de la manière suivante :

27


EbJ

bxwEvJ

bxwEbJ

bxwvxEwJ

N

ijiij

j

N

ijiij

j

N

ijiijji

ij

−=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∂∂

∑

∑

∑

=

=

=

1

2

1

2

1

2

tanh.

tanh1.

tanh1.

(2.13)

Les poids et les biais sont modifiés selon les règles d’apprentissage suivantes [NAD-1, CAB-2] :

Ebb

bxwEvv

bxwEbb

bxwvxEww

N

ijiijjj

N

ijiijjj

N

ijiijjiijij

.

tanh..

tanh1..

tanh1..

*1

2*

1

2*

1

2*

η

η

η

η

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

∑

∑

∑

=

=

=

(2.14)

Le théorème suivant exprime la capacité d’approximation universelle du réseau de neurones multicouche (figure 2.8) :

Théorème 2.1 (théorème de Funahashi) : soit une fonction continue ( )xφ qui est non constante, bornée et régulièrement croissante. Soit

κ un ensemble compact de et nℜ ( )n1 xxf ,..., une fonction continue à valeurs réelles dans κ . Alors pour tout 0>ε , il existe un nombre entier et des constants réels N ( ) ( )N1jM1iwN1jv ijjj ,...,,,...,,,...,, ===θ

tel que la quantité définie par: f

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

M

1ijiij

N

1jjM1 xwvxxf θφ,...,ˆ

Satisfait: ( ) ( ) ε

κ<−

∈M1M1

xxxfxxf ,...,ˆ,...,max

Ce théorème ne donne pas une idée sur le nombre de neurones ou la structure exacte du réseau à utiliser pour approximer la fonction avec une erreur inférieure à ε . A signaler qu’on ne dispose pas encore d’une méthode générale pour sélectionner la structure du réseau de neurones qui donnera les meilleurs résultats dans tous les cas. Le choix est laissé à l’utilisateur pour sélectionner la structure selon l’application et la précision d’approximation souhaitée. En effet, plus qu’une solution optimale peut être obtenue pour minimiser la surface

d’erreur ( ) ([ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

211 ,...,ˆ,...,

21

MM xxfxxf )] à travers l’algorithme d’apprentissage.

A ce stade, il faut rappeler qu’en plus des inconvénients cités dans le premier chapitre, l’algorithme de rétro propagation souffre du problème des minimums locaux. Dans une telle situation, l’algorithme d’adaptation des poids est tel que les paramètres restent collés à un point fixe et la convergence du réseau ne peut pas être obtenue [CAB-2].

28


2. 4 Les réseaux de neurones multicouches avec apprentissage en temps réel Dans une grande partie, de la littérature sur la commande adaptative classique, il est commun de supposer que les dynamiques inconnues possèdent une structure connue avec des paramètres inconnus entrant linéairement dans la dynamique. Cette approximation linéaire, d’une dynamique inconnue, ne permet pas aux algorithmes de commande adaptative de fonctionner correctement sur les systèmes réels. Cela est dû au fait qu’il est difficile d’attribuer une structure fixe pour des non linéarités inconnues. Cette contrainte était l’une des motivations majeures derrière le recours à l’approximation, en temps réel, des dynamiques non linéaires inconnues.

Avant tout, il était nécessaire de chercher les possibilités pour concevoir un estimateur ne nécessitant pas une connaissance préalable de la dynamique à approximer. Sans doute, le réseau de neurones représente l’un des meilleurs moyens disponibles.

Cependant, avec un apprentissage supervisé (off-line), il est naturel de penser à la possibilité d’intégrer un réseau de neurones dans un schéma de commande adaptative qui s’exécute en temps réel. En effet, le plus constaté, dans l’apprentissage supervisé, est que les poids du réseau de neurones sont adaptés, off-line, en se basant sur un ensemble d’entrées-sorties. Tandis que, dans un schéma de commande adaptative, l’adaptation des paramètres du réseau doit être guidée par l’erreur de poursuite qui, par définition, ne contient aucune information sur le signal d’entrée [SLO]. Par conséquent, l’insuffisance de l’algorithme de rétro propagation, dans sa version standard, parait évidente. A cet effet, pour une utilisation efficace du réseau de neurones artificiels, dans les applications pratiques, l’algorithme de rétro propagation doit être convenablement modifié.

Dans un premier pas, quelques versions, on-line, ont été proposées pour l’algorithme de back-propagation [TAD, OH, ELB, BUR, LIU, SON]. Toutefois, ces versions souffrent des inconvénients du gradient descendant qui sont: la convergence lente, minimums locaux, un nombre important de neurones est nécessaire pour obtenir une approximation précise, etc. [KAB-1, LEW, ZHA-2]. Par conséquent, il était nécessaire de penser à d’autres moyens d’apprentissage.

Par ailleurs, il est évident que l’apprentissage des réseaux de neurones n’est qu’un problème d’ajustement de paramètres. En plus, avec l’utilisation de la fonction sigmoïde, le réseau de neurones épouse un comportement non linéaire. Donc, les outils mathématiques, utilisés dans l’étude et l’analyse des systèmes non linéaires, peuvent êtres exploités pour améliorer l’apprentissage des réseaux de neurones. A cet effet, une combinaison a été établie entre les propriétés des réseaux de neurones artificiels multicouche et la puissance de la théorie de la commande non linéaire adaptative [NAR-1]. Cette combinaison a permis d’extraire des règles d’adaptation très puissantes permettant un apprentissage, en temps réel, pour les réseaux de neurones [LEW, ZHA-2, ZHA-3]. Ces règles transforment les erreurs de poursuite, observées sur les grandeurs commandées, en un moyen pour adapter, continuellement et en temps réel, les paramètres du réseau de neurones. Comme résultat, le comportement du réseau de neurones est modifié pour adapter le circuit de commande avec les différentes conditions de fonctionnement du système commandé [KAB-1]. En effet, une telle combinaison profite, à la fois, des avantages offerts par les réseaux de neurones artificiels et par les théories de commande non linéaire adaptative. Cette combinaison représente, actuellement, l’un des moyens les plus viables et les plus efficaces pour l’identification et la commande des systèmes non linéaires incertains [BOS-1, CHE-2, CHE-4, CHE-7, CHE-9, GE-1, HRY, LEW, KAB-1, KAB-2, NAR-2, NAR-3, YAN, YAŞ, YU-1, YU-3, ZHA-2, ZHA-3].

29


Dans le présent travail, les chapitres quatre et cinq seront consacrés à l’étude et à l’application de ce type de réseau pour améliorer la commande du moteur asynchrone.

2. 5 Réseaux de neurones et processus de commande Les réseaux de neurones artificiels ont été utilisés pour la commande dans plusieurs applications et la littérature, dans ce domaine, est très riche [CAB-3, FRE-2, NAR-3, HRY]. Il est à signaler qu’un système de commande est dit neuronal si le réseau de neurones artificiels est utilisé dans le processus de détermination du signal de commande. En effet, le régulateur lui-même peut être :

(a) . Un régulateur conventionnel utilisant les paramètres produis par l’émulateur neuronal du système ;

(b) . Un réseau de neurones qui a été entraîné pour imiter le comportement d’un régulateur analogique existant ;

(c) . Une structure hybride des deux (a) et (b).

(d) . Un réseau de neurones entraîné en temps réel.

Pour éviter les inconvénients de l’émulateur neuronal, les réseaux de neurones entraînés, en temps réel, sont nettement préférés dans la commande en temps réel des systèmes non linéaires. Parmi les structures de commande non linéaires, où ce type de réseau de neurones a été largement utilisé, on distingue celles basées sur le principe de la commande par linéarisation entrée-sortie (IOFLC) [KAB-1, ZHA-1, 3, YAŞ, YAN, CAB-3]. Dans ce cas, les réseaux de neurones sont utilisés pour reconstituer les réactions non linéaires d’état nécessaires pour générer les lois de commande (figure 2.9).

Fig. 2.9 Schéma de base de la commande par feedback linéarisation basée sur un réseau de neurones artificiel

Règles d’adaptation

Système Bloc de

commandeU

Signal de référence

Filtr

e

30


2. 6 Conclusion

nous avons présenté un rappel sur quelques architectures, propriétés et

ctures existantes, le réseau de neurones multicouche offre plus

sentation du principe de la commande non linéaire

Dans ce chapitre,aspects des réseaux de neurones artificiels. Ces derniers possèdent des caractéristiques uniques, telles que : la capacité d’apprentissage, le parallélisme et la mémoire distribuée. Ces caractéristiques avantageuses ont fait des réseaux de neurones l’outil préféré des chercheurs dans différents domaines.

Parmi les différentes strud’avantages par rapport aux autres structures. De plus, la combinaison entre le réseau de neurones multicouches est la théorie de la commande non linéaire adaptative offre aux réseaux de neurones des capacités supplémentaires d’approximation et d’adaptation et la possibilité d’une intégration facile dans les schémas de commande adaptative des systèmes. Pour ces raisons, notre choix s’est porté sur cette nouvelle architecture pour améliorer la commande du moteur asynchrone à cage.

Le chapitre suivant sera consacré à la prépar linéarisation entrée-sortie et son application sur le modèle du moteur asynchrone. A rappeler que cette technique représente un élément de la combinaison (NN-IOFLC) proposée pour la commande du moteur asynchrone.

31

Chapitre III

Commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie d’un moteur asynchrone

Chap. III. Commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie d’un moteur asynchrone

3. 1 Introduction Dans l’analyse de la commande des systèmes non linéaires, il n’existe pas une méthode générale pour concevoir un régulateur mais on dispose d’un ensemble de théories [SLO, LAG], dont chacune peut être utilisée séparément ou en combinaison avec d’autres pour concevoir un système de commande. Cependant, la théorie des systèmes non linéaires reste un domaine de développement, en comparaison, avec une large quantité de connaissances, résultats et moyens bien établis qui peuvent êtres invoqués dans la commande des systèmes linéaires. Pour cette raison, on désire souvent convertir un système non linéaire en un système linéaire équivalent à travers certaines transformations de coordonnées. Ce passage permet aux systèmes non linéaires de bénéficier de la simplicité des lois de la commande linéaire. En vue d’atteindre cet objectif, les techniques de commande non linaires, basées sur la géométrie différentielle (en particulier, la commande par linéarisation entrée-sortie (IOFLC)), ont été les plus utilisées [SLO, LAG, ISI, RES].

En effet, le principe de la linéarisation entrée-sortie utilise une transformation de coordonnées (difféomorphisme) et une réaction non linéaire d’état pour transformer, algébriquement, le modèle d’un système non-linéaire compliqué en un autre plus simple où les lois de commande linéaire peuvent être facilement appliquées [ISI]. Dans ce cas, la dynamique des systèmes non linéaires ne perd rien de ses propriétés du fait que la linéarisation ne fait que transformer cette dynamique d’une forme compliquée vers une autre plus simple à travers la transformation de coordonnées sélectionnées. Généralement, la linéarisation entrée-sortie possède une nature globale et reste valide pour un large domaine de fonctionnement [SLO, ISI]. A cet effet, cette technique diffère entièrement de l’approximation Jacobéenne standard où la linéarisation s’effectue par approximation du système autour d’un point de fonctionnement particulier, ce qui ne permet qu’une linéarisation locale [SLO]. De plus, plusieurs non linéarités du système sont omises, chose qui enlève toute possibilité pour que le système résultant puisse refléter fidèlement le comportement dynamique original du système.

Un autre avantage, caractérise la technique de la linéarisation entrée-sortie, c’est sa capacité d’établir des relations entrée-sortie, exactement découplées, entre les différentes sorties commandées. Cet avantage est très apprécié pour commander les dynamiques non linéaires couplées (multi-entrées multi-sorties (MIMO)), telle que celle du moteur asynchrone. Par conséquent, avec l’apparition de cette technique, elle a été immédiatement investie dans le moteur asynchrone pour améliorer sa commande, en particulier, coté découplage [KRZ, KIM-1, MAR-4, MAR-5].

D’autre part, la commande vectorielle utilise le basculement du modèle du moteur (entre différents référentiels (fixe et mobile)) et une réaction statique d’état pour réaliser la linéarisation et la commande [LEO], ce qui est similaire au principe des techniques de la géométrie différentielle. Il a été, même, démontré que la commande vectorielle représente un cas particulier de la linéarisation entrée-sortie [MAR-5]. Toutefois, le recours à l’approximation linéaire du modèle du moteur, autour d’un flux constant, ne permet qu’un découplage asymptotique, ce qui représente l’une des insuffisances de la commande vectorielle [MAR-5, BOD-1]. Chose qui a donné la possibilité à la commande non linéaire, par linéarisation entrée-sortie, de s’imposer de ce point de vue.

Il est à signaler que le découplage exact représente l’une des principales motivations qui nous ont poussé à adopter la technique de linéarisation entrée-sortie dans le développement du présent travail. A cet effet, dans ce chapitre, sont considérées :

Les principaux concepts de la commande par linéarisation entrées-sorties et leurs applications sur le modèle du moteur asynchrone ;

32


Un bref rappel sur le principe de la commande vectorielle à flux rotorique orienté.

Ensuite, sur la base des modèles établis, une étude de simulation sera effectuée en vue de comparer les performances assurées par les deux approches de commande. L’étude (par simulation) sera consacrée aux deux cas suivants :

Un modèle avec paramètres constants ou parfaitement connus; Un modèle avec paramètres variables pour étudier l’influence de la variation des

paramètres sur les réponses dynamiques du moteur.

3. 2 Concepts théoriques sur la commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie En analysant l’état de l’art, sur l’étude des systèmes de commande non linéaire [ISI, SLO, LAG, RES, KAB-1], on peut conclure que les équations différentielles, reliant les entrées aux variables d’état d’une large classe de systèmes non linéaires, peuvent être rendues linéaires via une transformation de coordonnées et un retour d’état. Dans notre étude, nous considérons une classe de systèmes non linéaires qui est celle des ‘systèmes non linéaires affines’ qui sont linéaires par rapport à leurs entrées de commande (voir annexe A.1.1), parce que le modèle du moteur asynchrone appartient à cette catégorie de systèmes.

Pour commencer, considérons le système non linéaire affine suivant : ( ) ( )( ) ( ) 0x0 x

xhyuxgxfx

==

+=,

& (3.1)

Où : - Le vecteur des variables d’état ; nx ℜ∈ - L e vecteur des entrées ; mu ℜ∈ - L e vecteur des sorties ; my ℜ∈

- Un vecteur contenant les valeurs initiales des variables d’état ; nx ℜ∈0

, et - sont des fonctions non linéaires de classe . mnh ℜ→ℜ:nnf ℜ→ℜ: mng ℜ→ℜ: ∞C

L’application de la commande par linéarisation entrée-sortie, sur le système (3.1), nécessite la satisfaction de certaines conditions [ISI], à savoir :

Toutes les variables d’état doivent être exactement mesurables ; Tous les paramètres du modèle sont supposés parfaitement connus ou constants ; Les fonctions (f, g et h) doivent être lisses, c'est-à-dire, de classe (Voir annexe A.1.2) ; ∞C

( )xξ Il existe un certain difféomorphisme de classe , suivant lequel, le système (3.1) aura un degré relatif strict

∞Cr bien déterminé (Voir annexe A.1.5) ;

Par principe, la linéarisation entrée-sortie du système (3.1), cherche à établir une relation différentielle linéaire entre les soties du système (vecteur ) et un nouvel vecteur d’entrée de commande ( ), obtenu en utilisant la théorie de commande linéaire [SLO]. L’établissement des relations, entrée-sortie, passe par les étapes suivantes [ISI, SLO] :

yv

( )xζa- Le choix d’un difféomorphisme convenable (un changement de coordonnées zx → , voir annexe A.1.3). Il est à signaler qu’il n’y a pas de méthodes générales

permettant d’effectuer ce choix et, dans certains cas de figures, différents difféomorphismes peuvent être trouvés pour le même système. Par conséquent, le choix se porte, généralement, sur le difféomorphisme qui mène vers les lois de commande les plus simples ;

b- L’application des dérivées de (voir annexe A.1.4) sur le difféomorphisme sélectionné pour établir un changement d’état

Lie( )xTz = appelé état linéarisant ;

33


c- L’utilisation d’une réaction non linéaire d’état, à travers une entrée de commande, (commande linéarisante), pour compenser les non linéarités du système

non linéaire (3.1) et pour le transformer en un système linéaire sous une forme normale observable et commandable :

( ) ( )νβα xxu +=

( ) ( ) 4434421&4434421&

équivalent linéaire Systèmelinéaire non Système

BAzz uxgxfx ν+=⇒+= (3.2)

d- L’application de la théorie de commande linéaire pour sélectionner la loi de commande linéaire (ν ). Cette commande force la sortie à poursuivre, asymptotiquement, une sortie de référence désirée bien déterminée , tel que :

. Cette action de commande assure la stabilité globale du système

résultant de la linéarisation et, par conséquent, du système non linéaire original.

y

ry( ) ( )( 0tyty rt

=−∞→

lim )

3. 2.1 Principes et conditions de la commande par linéarisation entrée-sortie exacte Dans ce type de linéarisation, le système résultant de la linéarisation possède le même ordre que le système initial. Pour ce faire, il faut, avant tout, déterminer les conditions selon les quelles une linéarisation entrée-sortie peut être obtenue pour le système non linéaire (3.1). Pour ce faire, il faut savoir (d’après 3.2) que la quantité z& peut être examinée de deux points de vue :

A partir du système linéaire résultant νBAzz +=& ; ( ) ( )uxgxfx +=& A partir du système initial ;

A cet effet, les deux développements résultants doivent coïncider puisque ils expriment, en réalité, la même quantité z& .

( ) ( )νβα xxu +=a) vue du coté z& νBAzz +=& : L’inversion de la loi de commande, , donne : ( ) ( )[ xux αβν −= −1 ] (3.3)

z&L’utilisation de (3.3) dans l’expression de (3.2) donne :

( ) ( )[ xuxAzz 1 αβ −+= −& ] (3.4)

( )xTz =En utilisant le changement d’état ( ), on obtient :

( ) ( ) ( ) ( )uxBxxBxTAz 11 −− +−⋅= βαβ& (3.5) b) z& vue du coté : Il est évident que la dynamique initiale de ( ) ( )uxgxfx +=& x ne contient

pas un lien direct avec la variable z& . Toutefois, l’utilisation du changement d’état (déduit du difféomorphisme ( )xζ( )xTz = ) permet d’obtenir ce lien de la manière

suivante : ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) uxgxxTxf

xxTx

xxTz

xTz

⋅∂∂

+∂∂

=∂∂

=

=

&& (3.6)

( )xζEn appliquant (d’une manière récursive) la dérivée de sur le difféomorphisme Lie , le changement d’état s’obtient comme suit : ( )xT

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

==

====

==

−−

−

−−

−

xTxLzxTxLz

xTxLzxTxz

zxT

nnfn

nnfn

f

11

1

22

2

22

11

ζζ

ζζ

M (3.7)

34


L’équivalence, entre les deux systèmes (3.5) et (3.6), conduit aux deux systèmes d’équations suivants :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xBxgxxT

xxBxTAxfxxT

1

1

−

−

⋅=∂

∂

⋅⋅−⋅=∂

∂

β

αβ (3.8)

( )xβ( )xα

∫ ν ∫ ∫

z1

Fig. 3.1 Structure du système résultant de la linéarisation entrée-sortie

Pour déterminer les deux quantités ( , ) et le changement d’état , il faut résoudre le système d’équations (3.8). Pour ce faire, à priori, il faut choisir les matrices

( )xTA et . En

tenant compte de la stabilité du système linéaire résultant, ce choix peut être effectué de différentes manières. Etant donné, qu’il n’y a aucune exigence sur le choix de la forme des matrices

B

A et , il est possible de sélectionner une forme particulière pour elles. Dans ce cas, la forme la plus adéquate est la forme canonique qui rend la résolution du système (3.8) plus facile. Il faut noter que ce choix ne pose aucune contrainte ou restriction sur le développement futur de la commande. En général, tout système linéaire commandable peut être ramené à la forme canonique à travers un changement d’état linéaire [SLO]. Donc le choix des matrices

B

et peut s’effectuer comme suit : A B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

10

00

B

00001000

01000010

A M

L

L

MLMMM

L

L

, (3.9)

Ce choix correspond à une simple chaîne d’intégrateurs entre l’entrée ν (provenant du bouclage introduit) et le premier état ( ) des nouvelles coordonnées (figure 3.1). 1z

( )xT par le changement d’état donne : La multiplication de la matrice A

( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⋅

0xT

xTxT

xTA

n

3

2

M (3.10)

Par conséquent, à partir de (3.8), on obtient les deux systèmes (aux dérivées partielles) suivants :

( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∂

∂

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=∂

∂

x10 00

xgxxT

xxxT

xTxT

xfxxT

n

3

2

ββα

MM , (3.11)

35


La résolution des deux systèmes (3.11) permet d’obtenir les quantités ( )xα et ainsi que le difféomorphisme (à travers la détermination des

( )xβ

( )xζ ( )n1i Ti ,...,, = ). Toutefois, il est important de trouver le cadre conditionnant la résolution de ces systèmes d’équations [SLO]. Dans ce cas, l’étude dépasse la recherche des conditions permettant la résolution du système d’équations précédent et concernera la détermination des conditions nécessaires et suffisantes pour que le système initial (3.1) admet (ou non) une linéarisation entrée-sortie exacte. A cet effet, considérons une partie intéressante du système (3.11), qui est :

0x

T

0gx

T

0gxT

1n

2

1

=∂

∂

=∂∂

=∂∂

−

M

(3.12)

En effet, la résolution du système (3.12) joue un rôle décisif pour la résolution du système global (3.11) et, par conséquent, la résolution du problème de la linéarisation entrée-sortie exacte (ou non). Dans ce cas, l’utilisation du théorème de Frobenius sur la résolution des systèmes d’équations aux dérivées partielles (équivalents au système 3.12) donne les conditions nécessaires et suffisantes pour cette résolution. A cet effet, le théorème suivant (inspiré du théorème de Frobenius) fixe deux conditions nécessaires et suffisantes pour que le système non linéaire (3.1) admet une linéarisation entrée-sortie exacte suivant le difféomorphisme . ( )xζ

Théorème 3.1 [SLO] : ( )xf ( )xgLe système non linéaire (3.1), où et sont des champs de vecteurs

méromorphes, est linéarisable entrée-sortie si et, seulement si, il existe un certain domaine autour du point d’équilibre tel que les deux conditions suivantes sont vérifiées : i. Les champs de vecteurs { }gad gad gad g 1n

f2ff

−...,,,, sont linéairement indépendants, c'est-à-dire de { } ngad gad gad grang 1n

f2ff == −...,,,, ;

{ }gad gad gad g 2nf

2ff

−=ℑ ...,,,,ii. Le sous-ensemble, de champ de vecteurs, est

involutif, c'est-à-dire, [ ] ( )ℑ∈ℑℑ−=ℑ∈ℑ∀ℑ span 2n1ji jiji ,:,...,,,, La première condition, peut être interprétée comme une condition de commandabilité pour le système non linéaire, analogiquement, à la matrice de contrôlabilité d’un système linéaire { }BA AB B 1n−...,,, . Tandis que, la deuxième condition caractérise l’inversion du système (c’est la condition sous laquelle il est possible d’évaluer la loi de commande) [SLO].

Par la suite, la dynamique du système (3.1) (suivant les nouvelles coordonnées ( )) devient : z

( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=+−

=

==

==

==

−

−−

uxLLxLuxx

xz

zxLz

zxLzzxLz

nfg

nfn

nnfn

f

f

ξξββ

αξ

ξξ

1

11

32

2

21

1

&

&

M

&

&

(3.13)

Et une loi de commande linéarisante peut être déduite comme suit [ISI] :

( )( )[ νξ

ξ+−= − xL

xLLu n

fnfg

11 ] (3.14)

36


Remarque 3.1: Si la linéarisation exacte peut être effectuée avec la sortie réelle du système ( ) ( )xyx =ξ , la linéarisation entrée-sortie est dite linéarisation entrée-état par retour d’état ‘input-state feedback linearization’

Les conditions du théorème (3.1) peuvent être généralisées sur un système non linéaire multi-entrées multi-sorties (MIMO). A cet effet, considérant le système non linéaire MIMO suivant :

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]Tm

m

iii

xhxhy

uxGxfugxfx

L

&

1

1

=

+=+= ∑= (3.15)

( ) nxf ℜ∈ ( ) mnxG ×ℜ∈Avec et - les vecteurs d’état et d’entrée, , nx ℜ∈ u mℜ∈ et sont des champs de vecteurs méromorphes. Dans ce cas, pour une linéarisation exacte, on a :

my ℜ∈

nrm

ii =∑

=1 (3.16)

Où : - Est le vecteur des degrés relatifs correspondant aux différentes sorties suivant le difféomorphisme (voir annexe A. 1.5).

[ mi rrr L= ]][ m1 ζζζ L=

En vue de déterminer les conditions d’une linéarisation entrée-sortie exacte, pour les système (3.15), définissons les distributions suivantes :

( ) { }( ) { 2j mi1 jq1 gadspanxD

mi1 gspanxD

i1q

fj

i1

≥≤≤≤≤=

≤≤=− ,,,

,

} ( 3.17)

Le théorème suivant indique les conditions à vérifier par les distributions (3.17) afin que le système (3.15) soit exactement entrée-sortie linéarisable.

Théorème 3.2 [RES]:

Le système affine multi-entrée multi-sortie (3.15) est, localement, entrée-sortie linéarisable par retour d’état, si est seulement si, il satisfait, en un voisinage du point d’équilibre , les conditions: 0x

( )( ) nj1 : j constxD j ≤≤∀= .,dimi. ;

ii. Les distributions sont involutives ; jD nj1j ≤≤∀ :

( )( ) nxD 0n =dimiii.

Remarque 3.2 : Si les conditions du théorème (3.2) sont vérifiées pour tout , la linéarisation devient globale nx ℜ∈

Remarque 3.3 : Tout système satisfaisant les conditions de linéarisation des théorèmes (3.1) ou (3.2) est appelé système non linéaire régulier, au cas contraire, il est appelé irrégulier.

Pour plus de détails sur la linéarisation entrée-sortie d’un système non linéaire MIMO, voir annexe (A.2).

37


3. 2.2 Linéarisation partielle d’un système non linéaire régulier Dans plusieurs applications, malgré que le système non linéaire satisfait les conditions de linéarisation, il n’est pas possible d’établir une linéarisation exacte de sa dynamique. En effet, en plus de la satisfaction de ces conditions, il faut trouver le difféomorphisme approprié permettant la linéarisation exacte. Généralement, il est assez difficile de trouver un tel difféomorphisme. Par conséquent, on tombe fréquemment sur des difféomorphismes dont le degré relatif ∑ ir (pour un système SISO) ou la somme des degrés relatifs r (pour un système MIMO) sont strictement inférieurs à l’ordre du système étudié (n). Ce qui signifie que le système résultant de la linéarisation possède un ordre inférieur à l’ordre du système original. A cet effet, on obtient seulement une linéarisation partielle pour le système étudié.

Dans ce cas, pour compléter l’ordre, un autre aspect est introduit, c’est la dynamique interne [ISI, SLO]. Cette dynamique représente la partie à ajouter pour compléter l’ordre du système résultant afin d’égaliser l’ordre du système original. De même que pour un système linéaire, la dynamique interne exprime la partie non observable (à travers la relation entrée-sortie) du système. La stabilité de cette dynamique joue un rôle décisif dans la stabilité du système résultant de la linéarisation.

Considérant le cas d’un système SISO et supposant maintenant que le système (3.1) possède un degré relatif ξ (suivant le difféomorphisme nr < ). En respectant les conditions du degré relatif (voir annexe A.1.5), le système dynamique (3.1) prend la forme normale suivante [ISI, SLO] :

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )III

IIrfg

rfr

nnfr

f

f

ZzZ

uZzZzuxLLxLzzxLz

zxLzzxLz

z

,

,,

1

11

32

2

21

ξ

βαξξξ

ξξ

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=+=

==

==

==

=

−

−−

&

&

&

M

&

&

& (3.18)

Les vecteurs et sont appelées les coordonnés normales ou les états normaux du système. La fonction

rz ℜ∈ rnIZ −ℜ∈

Iξ , qui interprète la dynamique interne du système, ne doit contenir aucun signal de l’entrée u . L’entrée de commande, pour le système 3.18, est déterminée de la même manière que pour le système (3.13), par conséquent, on peut écrire [ISI, SLO] :

( )( )[ ] (3.19) νξ

ξ+−= − xL

xLL1u r

f1rfg

En procédant à une linéarisation partielle entrée-sortie, le système non linéaire est décomposé en deux parties : partie externe et partie interne. La partie externe (ou partie observable du système) peut être exprimée par une relation linéaire entrée-sortie entre et vy ou par une forme canonique contrôlable entre et . Pour la stabilité de la dynamique externe (observable), la théorie de la commande linéaire permet de sélectionner l’entrée de commande v qui force la sortie à se comporter comme une sortie désirée. Le problème se pose, alors, pour la dynamique interne (partie non observable) qui ne dépend pas du signal d’entrée. Dans ce cas, il est intéressant d’étudier cette partie du système lorsque l’entrée de commande est sélectionnée en maintenant la sortie ( ) nulle. De là vient l’appellation ‘le zéro dynamique’, dont l’étude du comportement permet de tirer des conclusions sur la stabilité de toute la dynamique interne [ISI, SLO] et, par conséquent, du système non linéaire original. En

u1zy =

y

1zy =

38


effet, la nullité de la sortie implique la nullité de toutes ses dérivées et le système (3.18) prend la forme (du zéro dynamique) suivante :

y

( III Z0Z

0z

,ξ=

=&

&

) (3.20)

Par similitude, aux cas des systèmes linéaires, si la dynamique d’ordre zéro est stable, le système non linéaire (3.1) est dit à minimum de phase [SLO].

3. 2.3 Linéarisation partielle d’un système non linéaire irrégulier: Concept du sous-système linéaire le plus large

Les avantages de la technique de linéarisation entrée-sortie favorisent son application pour la résolution du problème de commande pour plusieurs systèmes non linéaires. Cependant, on rencontre, parfois des systèmes non linéaires irréguliers (qui ne satisfont pas les conditions de linéarisation indiquées par les théorèmes 3.1 et 3.2). Ce qui fait, que l’application idéale d’une linéarisation entrée-sortie n’est pas possible. Dans ce cas, on s’interroge sur le comportement à adopter, doit-on négliger ce type de systèmes et restreindre la linéarisation entrée-sortie seulement pour les systèmes non linéaires réguliers ?

En effet, si la linéarisation exacte n’est pas possible, il apparaît intéressant de chercher les conditions permettant de linéariser la partie où le sous-système le plus large ‘largest feedback linearization subsystem’ du système original (3.1 ou 3.15). On obtient, par conséquent, un autre type de linéarisation partielle. Les solutions pour ce problème ont été traitées dans une multitude de travaux [RES, MAR-1, PAT, CAL, XU, LAG].

Pour traiter ce type de linéarisation partielle, considérant le cas général du système MIMO (3.15). Dans un premier pas, il faut vérifier si ce système est vigoureusement accessible ‘strongly accessible’ [RES, PAT]. Pour formuler cette condition nécessaire, soit la distribution C , définit comme suit :

[ ][ ][ ][ ] { } 1k m1j ggfx gxxxC m1ij11kk ≥=∈= + ,,...,,,,,,,,, LLL (3.21)

Le système est dit ‘strongly accessible’ si la distribution C est de dimension ( ). En suite, pour étudier la linéarisation partielle d’un système irrégulier, définissons les distributions suivantes [MAR-1, PAT] :

nC ℜ∈n

{ }{ }

{ }10

11

110

,

,

−

−−

=

=

==

iifi

ifii

mm

GGadQ

GadGspanG

ggspanggG LL

(3.20)

Avec :

[ ]{ }11 : , −− ∈= iif GXXfGad - c’est le crochet de (voir annexe A.1.4) pour les

deux champs de vecteurs [ YX , ] Lie

et Y . X

- c’est la partie involutive de . 1iG − 1iG −

Sur la base des distributions suscitées, on procède à la définition des nombres entiers suivants :

( )( ) ( ){ } 1j 0i jdcardk

1iGDimQDimd

GDimd

ij

1iii

00

≥≥∀≥=≥∀−=

=

−

,,, (3.22)

39


Les coefficients sont appelés ‘indices de commandabilité’, ils expriment aussi les degrés relatifs pour la linéarisation ciblée. On peut déduire, de ces indices, que le degré relatif maximal qu’on peut obtenir (pour le système non linéaire (3.15)) est : . La procédure de détermination des indices de commandabilité ainsi que les coefficients s’interrompent lorsque ces derniers commencent à s’annuler successivement.

jk

nkk ≤++ L21

idjk

Si la condition d’accessibilité rigoureuse est vérifiée, le système non linéaire peut être partiellement entrée-sortie linéarisé par retour d’état avec les indices de commandabilité

. Dans ce cas, le sous-système le plus large possible possède un degré relatif maximal [MAR-1, RES]. D’autre part, pour compléter l’ordre du système résultant de la

linéarisation, une dynamique interne est introduite. La dynamique du système résultant et la loi de commande correspondante sont déterminées d’une manière identique à celle décrite dans le paragraphe précèdent avec .

,..., 21 kk

∑i

ik

ii kr =

3. 2.4 Stabilité asymptotique et poursuite asymptotique de référence Dans la conception de toute loi de commande, on envisage principalement un comportement stable pour le système commandé dans toutes ses conditions de fonctionnement. Pour le cas d’une commande par linéarisation entrée-sortie, la loi de commande est constituée de deux parties :

i. Une compensation non linéaire permettant d’éliminer les non linéarités dans la dernière dérivée (d’ordre r ) du difféomorphisme et d’assurer, par conséquent, un découplage exact ;

ii. Une loi de commande linéaire ν assurant la stabilité en boucle fermée du système résultant de la linéarisation.

Il est clair qu’avec une compensation non linéaire linéarisante, on obtient une relation entrée-sortie linéaire entre le vecteur de sortie et la nouvelle entrée de commande (en omettant la dynamique interne) :

ν

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10

00

0000010000

01000010

MMOMMM

L

L

& zz (3.23)

Dans ce cas, le problème de la stabilisation du système linéaire résultant (3.23) et, par conséquent, celle du système non linéaire original, revient au choix approprié de la nouvelle entrée de commande ν . En revenant à la théorie de commande linéaire, l’entrée de commande ν (pour le système linéaire (3.23)) peut être choisie comme un simple placement de pôles assurant la stabilité du système entier. Par conséquent, pour le cas d’un système SISO avec un degré relatif , la commande ν peut avoir la forme suivante [ISI, SLO] : r

( ) ykykyk 011r

1r −−−−= −− &...ν (3.24)

Le système 3.23 devient, par conséquent :

(3.25) zAz 1=&

Où la matrice est donnée par : 1A

40


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

−110

1

010000

01000010

rkkk

A

L

MOMMM

L

L

(3.26)

Pour extraire les conditions de stabilité, pour le système résultant (3.25), considérant le polynôme caractéristique de la matrice , qui peut être représenté comme suit : 1A

( ) 011

1 ...1

kpkpkppK rr

rA ++++= −

− (3.27)

En s’inspirant de la théorie de commande des systèmes linéaires, le système (3.25) devient asymptotiquement stable si les coefficients , de la matrice , sont choisis d’une telle manière que le polynôme caractéristique (3.27) soit Hurwitz, c'est-à-dire, que toutes ses racines soient situées strictement dans la partie gauche du plan [SLO].

ik 1A

En utilisant (3.24), la forme finale de la loi de commande, par linéarisation entrée-sortie, devient :

( )( ) ( )[ ykykykxL

xLLu r

rrfr

fg01

111 ...1

−−−−−= −−−

&ξξ

] (3.28)

Par ailleurs, le point zéro ne présente pas toujours le seul point d’équilibre pour un système non linéaire. Généralement, le système possède des trajectoires de référence non nulles et la commande est conçue pour forcer la sortie du système à poursuivre ces trajectoires de référence. Dans ce cas, le problème de la poursuite asymptotique peut être transformé en un problème de stabilité asymptotique en utilisant la dynamique des erreurs de poursuite. Soit, par conséquent, - la sortie de référence (ou désirée) pour la sortie réelle ξ=yddy ξ= . En supposant que est une fonction méromorphe (voir annexe A.1.2), un vecteur de référence peut être généré de la manière suivante :

dξ

( )[ ]Trddddz 1−= ξξξ K& (3.29)

Avec l’utilisation de (3.29), le vecteur des erreurs de poursuite prend la forme suivante : [ ]

( )[ Trdrdd

Trdp

zzz

eeezze

121

21

−−−−=

=−=

ξξξ K&

K

] (3.30)

En remplaçant (3.30) dans (3.23), le problème de la poursuite asymptotique de référence devient un problème de stabilité asymptotique (autour d’une valeur nulle pour l’erreur de poursuite). De même, le placement de pôles peut être utilisé pour assurer la poursuite asymptotique de référence.

3. 3 Commande du moteur asynchrone triphasé

3. 3.1 Introduction Durant de longues décennies, la machine à courant continu (à excitation séparée) était la principale source pour les entraînements à vitesse variable. Cette domination a trouvé son origine dans l’existence du système balai collecteur qui assure un découplage naturel entre le courant producteur du flux magnétique principal et le courant producteur du couple moteur. Chose qui permet de commander séparément le flux et le couple. Toutefois, des contraintes liées aux commutations, à la conception, aux coûts d’entretien, etc. ont poussé les utilisateurs à chercher d’autres moteurs plus fiables [LEO]. Dans ce cas, des avantages, tels que : le faible

41


coût, la masse réduite, la robustesse, le minimum d’entretien, etc. font du moteur asynchrone le meilleur concurrent pour remplacer le moteur à courant continu. Toutefois, malgré ces nombreux avantages, le moteur asynchrone est caractérisé par une dynamique non linéaire fortement couplée, multi-variable, à paramètres variants et avec variables d’état inaccessibles à la mesure directe. Pour ces raisons, la commande du moteur asynchrone a présenté un grand défit, durant plusieurs décennies, pour les adeptes de ce moteur.

Après un long travail, la théorie d’orientation de champ, proposée par Blaschke (au début des années soixante) [BLA], a représenté un pas considérable dans l’établissement des schémas performants pour commander le moteur asynchrone. Via l’orientation du champ, il devient possible de séparer les deux comportements caractérisant le moteur asynchrone qui sont le comportement magnétique (flux) et le comportement mécanique (vitesse et couple), d’une manière identique que pour le cas du moteur à courant continu. Par la suite, la réalisation de la commande vectorielle [LEO] a permis au moteur asynchrone, non seulement, de concurrencer le moteur à courant continu mais de se substituer à lui, presque, dans la totalité des applications industrielles.

Malgré l’innovation et l’amélioration apportées par la commande vectorielle, son application pour la commande du moteur asynchrone, fait surgir certains inconvénients qui ont limité son utilisation dans les applications de hautes performances [BOD-1, GIM, KAB-1]. En effet, la conception de la commande vectorielle se base sur une approximation du modèle du moteur autour d’un point de fonctionnement particulier, ce qui ne permet pas de compenser toutes ses non linéarités. D’autre part, le découplage n’est assuré qu’asymptotiquement (en supposant un flux constant), ce qui pose un problème lorsque le flux est varié en vue de faire fonctionner le moteur à grandes vitesses ou pour optimiser son efficacité énergétique [MAR-5]. De plus, cette commande utilise des régulateurs PI qui conviennent mieux pour des systèmes linéaires bien déterminés et non pour des systèmes non linéaires, tels que : le moteur asynchrone. On peut encore reprocher à la commande vectorielle sa sensibilité à la variation paramétrique, en particulier, les constantes de temps rotorique et statorique.

En vue d’améliorer plus les performances dynamiques de la commande du moteur asynchrone, il était naturel de s’orienter vers les techniques de la commande non linéaire, en particulier, la commande par linéarisation entrée sortie. Comme expliqué (au premier chapitre et au début de ce chapitre), cette technique possède plus qu’un atout qui permet son utilisation dans la commande du moteur asynchrone [BOD-1, KAB-1]. Parmi les principaux atouts, on peut citer :

Le découplage exact qui peut être obtenu par la technique de linéarisation entrée-sortie ;

La conception de la commande s’articule sur le modèle réel du moteur et non sur son approximation linéaire ;

La puissance des lois de commande non linéaire permet plus de maîtrise de la dynamique du moteur asynchrone qui est naturellement non linéaire.

3. 3.2 Commande vectorielle du moteur asynchrone En considérant un référentiel fixe (lié au stator), le modèle du moteur asynchrone peut être exprimé par le système d’équations différentielles suivant [KAB-1] :

42


( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅+−Φ−Φ=

Φ−Φ−=Φ

Φ+Φ−=Φ

+Φ+Φ−−=

+Φ+Φ+−=

JKC

IIdt

d

NMIdt

d

NMIdt

d

VL

NIdt

dI

VL

NIdt

dI

rfrorasbrbsar

r

arrpbrbsbr

brrparasar

bssd

brrparbsbs

assd

brrparasas

ωμω

ωαα

ωαα

σβωαβγ

σβωαβγ

1

1

(3.31)

JLrMN p=μ

LsLrM1

2

d −=σLs

RsLsLr

RrM

dd σσγ += 2

2

dtd r

rθ

ω =LsLrM

dσβ =

LrRr

=αAvec , , , , , et - la

vitesse du moteur. Pour plus de détails sur le modèle du moteur asynchrone (voir annexe A.3).

Par principe, la commande vectorielle implique la transformation des grandeurs du moteur (courants, flux et tensions) du référentiel fixe ( ) à un référentiel tournant ( ) collé avec le vecteur du flux rotorique ( ), figure (3.2) [BLA, LEO]. Via cette transformation, la composante directe du flux s’aligne avec le vecteur du flux rotorique principal, tandis que la composante en quadrature devient nulle. Le basculement entre les deux référentiels (fixe et tournant) s’effectue comme suit [LEO] :

qd ,ba,

brar ΦΦ ,

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

b

a

ss

ss

q

d

XX

XX

θθθθ

cossinsincos (3.32)

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q

d

ss

ss

b

a

XX

XX

θθθθ

cossinsincos (3.33)

( )qd X X ,Avec et - les coordonnées des variables d’état, respectivement, suivant les référentiels tournant et fixe. L’angle reflète la position de l’axe direct ( ) du nouveau référentiel tournant par rapport à l’axe direct du référentiel fixe ( ).

( ba X X , )dsθ

a

Suivant la manière adoptée, pour évaluer la position du champ , on distingue deux variantes pour la commande vectorielle à champ rotorique orienté : directe et indirecte.

sθ

43


a. Commande directe (DFOC) Dans la commande directe, la position du champ tournant est calculée directement, à partir des composantes du flux rotorique estimé, comme suit [BLA, LEO] :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΦΦ

=ar

brs arctanθ (3.34)

Cette variante nécessite un estimateur de flux, ce qui présente une contrainte à surmonter lors de la commande vectorielle directe.

b. Commande indirecte (IFOC) Dans cette variante, la position du champ est calculée (imposée) à partir de la pulsation statorique qui est reconstituée, à l’aide de la vitesse rotorique ( ) et de la pulsation de glissement (

rω

), comme suit [CAR] : gω

(3.35) ∫∫ +== )dtωω(Ndtωθ grpss

Où : - la pulsation du champ tournant (de synchronisme), sω gω - la pulsation de glissement, exprimée par :

ref

qrefg

MIΦ

=α

ω (3.36)

Avec et - sont les valeurs de référence, respectivement, pour le module du flux et du courant (producteur du couple). La commande indirecte permet d’éviter l’utilisation des estimateurs de flux mais elle est considérablement affectée par la variation de la constante de temps rotorique. Dans la partie de ce chapitre, consacrée à la simulation, nous présenterons un exemple d’application de cette variante de commande sur le moteur asynchrone.

qrefIrefΦ

Essayons maintenant de donner un petit rappel sur l’établissement de la commande vectorielle. A cet effet, étant donné que :

( )

( )r

brs

r

ars

ΦΦ

=

ΦΦ

=

θ

θ

sin

cos

Où le module du flux rotorique ( ) s’obtient par : rΦ

22brarr Φ+Φ=Φ (3.37)

Un changement d’état peut être effectué, comme suit :

0

22

=Φ=

Φ=Φ+Φ=Φ

ΦΦ−Φ

=

ΦΦ+Φ

=

=

q

ss

rbrard

r

asbrbsarq

r

bsbrasard

rr

III

III

ωθ

ωω

&

(3.38)

Le modèle de la machine (3.31) s’exprime, dans le référentiel tournant, comme suit :

44


⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Φ+==

⋅+−Φ=

Φ−=Φ

+Φ−−−=

+Φ++−=

d

qrps

s

rfrqd

r

ddd

qdrpdsqq

ddqsdd

IMN

dtd

JKC

Idt

d

MIdt

d

aVNIIdt

dI

aVIIdt

dI

αωωθ

ωμω

αα

βωωγ

αβωγ

(3.39)

Suivant le modèle mathématique (3.39), une réaction d’état statique peut être définie de la manière suivante [LEO, CAR] :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

qq

dd

q

d

EE

aVV

υυ1 (3.40)

Où qd υυ , - sont de nouvelles entrées de commande à déterminer et ( ) sont les termes de couplage à compenser pour assurer le découplage entre la dynamique du flux et celle du couple, ces deux termes s’expriment par :

qd E E ,

⎪⎩

⎪⎨⎧

Φ−−=

Φ+=

drpdsq

dqsd

NIE

IE

βωω

αβω (3.41)

L’introduction de la réaction d’état statique (3.40) dans (3.39) permet d’écrire :

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Φ+=

+−=

+Φ−=Φ

+−=

⋅+−Φ=

d

qrp

s

ddd

ddd

qqq

rfrqd

r

IMN

dtd

Idt

dI

MIdt

d

Idt

dIJKC

Idt

d

αωθ

υγ

αα

υγ

ωμω

(3.42)

On obtient, par conséquent, deux sous-systèmes, un pour la partie magnétique (flux) et l’autre pour la partie mécanique (vitesse).

Commande du flux :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+Φ−=Φ

ddd

ddd

Idt

dI

MIdt

d

υγ

αα (3.43)

La dynamique du flux correspond à une structure linéaire simple de premier ordre, donc, un régulateur PI permet d’atteindre les performances souhaitées pour le flux. L’entrée de commande peut être sélectionnée comme suit [LEO] : dυ

( ) ( )( )dttkkt

refdfirefdfpd ∫ Φ−Φ−Φ−Φ−=0

υ (3.44)

Commande de la vitesse :

45


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

⋅+−Φ=

qqq

rfrqdr

r

Idt

dIJKC

Idt

d

υγ

ωμω

(3.45)

Lorsque l’amplitude du flux est réglée à une valeur constante (régime établi), la dynamique de la vitesse devient linéaire et sa commande passe par deux étapes. Dans la première étape, le couple électromagnétique de référence est généré à travers un régulateur PI de la manière suivante [LEO] :

( ) ( )( )dttkkCt

refrvirefrvpref ∫ −−−−=0

ωωωω (3.46)

Dans la deuxième étape, la sortie du premier régulateur est injectée dans un deuxième régulateur PI pour générer la loi de commande [LEO] : qυ

( ) ( )( )dtCtCkCCkt

refemcirefemcpq ∫ −−−−=0

υ (3.47) Les deux régulateurs (3.46 et 3.47) sont montés en cascade. La formule du couple électromagnétique est :

(3.48) qdem IC Φ= μ

Les paramètres des régulateurs (3.44, 3.46 et 3.47) sont sélectionnés pour assurer des poursuites asymptotiques pour toutes les grandeurs commandées (amplitude du flux rotorique, vitesse et couple électromagnétique). A cet effet, un placement de pôles peut être utilisé pour atteindre cet objectif [CAR].

3. 3.3 Commande non linéaire par linéarisation entrée-sortie du moteur asynchrone

En revenant au principe de la commande par linéarisation entrée-sortie par retour d’état ‘Input-Output Feedback Linearization Control’ (IOFLC), on peut constater que, si et sont les sorties du modèle (3.39), avec la transformation de coordonnées (3.38) et la réaction d’état (3.40), la commande vectorielle correspondra à une linéarisation entrée-sortie. Toutefois, durant tous les régimes transitoires du flux, le système dynamique (3.42) reste non linéaire et couplé (via le terme ). Par conséquent, il est difficile d’apporter de bonnes réponses pour la vitesse lors de ces régimes. De plus, le problème de couplage s’étend aux conditions de fonctionnement du moteur avec un flux variable [BOD-3, CHE-8, CHE-10]. On déduit donc, que la supposition d’un flux constant, lors de la commande vectorielle, représente l’un de ses inconvénients.

rω dΦ

qd IΦ

Dans ce cas, le recours aux avantages de la commande non linéaire, par linéarisation entrée-sortie, présente une solution adéquate en vue d’améliorer les performances du moteur asynchrone, en particulier coté découplage.

3.3.3.1 Détermination de l’ordre du sous-système le plus large pour le modèle du moteur asynchrone

En utilisant (3.39), le modèle du moteur asynchrone peut être arrangé sous la forme d’un système non linéaire affine comme suit :

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ=Φ

=

+=

rd

ry

Uxgxfxω

&

(3.49)

46


Avec : - Le vecteur des variables d’état du modèle ; ( T

srdqd IIx θωΦ=ℜ∈ 5 )))

- Le vecteur d’entrée ; ( Tqd VVU =ℜ∈ 2

- Le vecteur de sortie. ( Tdry Φ=ℜ∈ ω2

Les champs des vecteurs et sont donnés par : gf

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ+

⋅+−Φ

Φ−Φ−−−

Φ++−

=

d

qrp

rfrqd

dd

drpdsq

dqsd

IMN

JKC

I

MINII

II

xf

αω

ωμ

ααβωωγ

αβωγ

(3.50)

( ) ( ) ( )[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

000000

10

01

sd

sd

ba L

L

xgxgxg σ

σ

(3.51)

La première étape, lors de la conception de la commande non linéaire par IOFLC, consiste à vérifier si le système dynamique (3.49) satisfait ou non les conditions de linéarisation données par le théorème (3.2). Pour vérifier ces conditions, construisons les distributions suivantes :

( ) { } { }bai ggspanmigspanxD =≤≤= 1 ,1 (3.52) ( ) { }

{ bfafba

iqf

gadgadggspan

iqgadspanxD

=

≤≤≤≤= −

21 ,21 ,12

} (3.53)

( ) { }bjfbfa

jfafba

j gadgadgadgadggspanxD 11 −−= LL (3.54)

Le développement des distributions (3.52), (3.53) et (3.54) (en utilisant (3.50) et (3.51)) permet de conclure que la condition d’involutivité de la distribution ( )xD1 n’est pas satisfaite. Donc, d’après le théorème 3.2 (condition iii ), Le modèle du moteur asynchrone (3.49) n’admet pas une linéarisation entrée-sortie exacte (voir l’annexe A.4). Ce résultat nous oriente vers la recherche du sous-système linéaire le plus large pour le modèle du moteur asynchrone [RES, PAT, MAR-1]. Cependant, avant de chercher ce sous-système linéaire, il faut s’assurer que le système (3.49) vérifie la condition de l’accessibilité rigoureuse ‘Strongly accessibility’. Pour vérifier cette condition, il suffit de trouver une distribution (3.21), possédant un rang complet, c'est-à-dire, . Pour le modèle du moteur asynchrone, étant donné, que la distribution possède une dimension

C( ) 5nC ==dim

( )xD j n = 5 (annexe A.4), la condition de l’accessibilité rigoureuse est vérifiée.

Procédant maintenant au calcul des indices de commandabilité qui permettent de déterminer l’ordre maximal du système qui résultera de la linéarisation. En utilisant les résultas du paragraphe (§ 3.2.3), on trouve (annexe A.4) :

( ) 2dim 00 == Gr

( ) ( ) 224dimdim 011 =−=−= GQr

( ) ( ) 044dimdim 122 =−=−= GQr

47


Ce qui permet d’obtenir les indices de commandabilité suivant : { } 20,11 =≥∀≥= i rcardk i { } 20,22 =≥∀≥= i rcardk i { } 00,33 =≥∀≥= i rcardk i

On déduit, finalement, que le modèle du moteur asynchrone (3.49) peut être partiellement, entrée-sortie, linéarisé par retour d’état avec les indices de commandabilité et . Le sous-système le plus large à obtenir, avec cette linéarisation, possède un degré relatif maximal

[PAT].

1k 2k

4kk 21 =+

3.3.3.2 Application de la linéarisation entrée-sortie par retour d’état sur le modèle du moteur asynchrone

En se basant sur les résultats précédents, nous établirons, dans cette section, une linéarisation partielle du modèle du moteur asynchrone. En effet, il faut trouver deux difféomorphismes, correspondant aux deux sorties commandées du moteur, dont la somme des degrés relatifs est égale à l’ordre maximal trouvé précédemment qui est égal à quatre. En outre, du fait que la linéarisation n’est pas exacte, il faut déterminer une dynamique interne d’ordre un pour compléter l’ordre du système résultant jusqu’à l’ordre du système original qui est égal à cinq.

En revenant à l’historique de la commande non linéaire du moteur asynchrone, la première application de la linéarisation entrée-sortie a été proposée dans [KRZ]. Cette approche présente un passage de la commande vectorielle vers la commande non linéaire où il a été montré que la commande vectorielle standard peut être améliorée par l’utilisation d’un découplage entrée-sortie et d’une compensation statique par retour d’état. Par la suite, une multitude d’approches, à base de linéarisation entrée-sortie, a été proposée pour améliorer les différents aspects de la commande du moteur asynchrone [MAR-4, MAR-5, BOD-1, BOD-3, BOU, CHE-5, KAB-1].

En s’appuyant sur les résultats fournis dans [MAR-5, KAB-1] et, en considérant le modèle du moteur asynchrone (3.49), soient les deux difféomorphismes suivants :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=Φ=Φ=Φ

r

dr

xx

ωζζ

ω )()( 22

(3.55)

En respectant les conditions du degré relatif (annexe A.1.5), la dérivation successive des deux difféomorphisme donne :

Pour le difféomorphisme : Φζ( )

( )

ddsd

ffg

g

VLM

Uxgx

xLxLL

Uxgx

xxL

Φ=

⋅∂

∂=

=⋅∂

∂=

ΦΦ

ΦΦ

σα

ζζ

ζζ

2

)()(

)(

0)()()(

(3.56a)

( )

[ ]ddd

drdrf

IMdt

dxfx

xxL

Φ−Φ⋅−=

ΦΦ=

∂∂

= ΦΦ

22

2)()()(

2α

ζζ (3.56b)

( )

( ) ( ) ds

ff

Vxgxf

xfx

xLxL

1

2

)()(

)(

+=∂

∂=

Φ

ΦΦ

ζζ (3.56c)

48


Pour le difféomorphisme : ωζ( )

( )

qdsd

ffg

g

VL

Uxgx

xLxLL

Uxgx

xxL

Φ=

⋅∂

∂=

=⋅∂

∂=

σμ

ωω

ωω

ζζ

ζζ

)()(

)(

0)()()(

(3.57a)

( )

JkrC

I rfqd

f xfx

xxL

ωμ

ωω

ζζ

+−Φ⋅=

∂∂

=

)()()( (3.57b)

( )

( ) ( ) qs

ff

Vxgxf

xfx

xLxL

⋅+=∂

∂=Φ

2

2

)()(

)(

ω

ωζζ (3.57c)

Avec : ( ) ( )( ) ( 22222

222

226

224)(

qddd

qdrpd

IIMIMM

IMNMxf

++Φ+−

Φ+Φ⋅+=Φααγα

ωαβαα

) (3.58)

( ) ( ) ( ) ddrpqddrp IIxf NN Φ−Φ+−Φ−= ωγαμω μμβω2)( (3.59)

dsd L

Mg Φ=σα2

1 dsd L

g Φ=σμ

2, (3.60)

En se basant sur les deux difféomorphismes précédents, considérant le changement d’état (transformation de coordonnées) suivant :

ω

ω

ζζ

ζζ

f

f

Lzz

Lzz

====

Φ

Φ

4

3

2

1

(3.61)

La dynamique du moteur asynchrone, suivant les nouvelles coordonnées (3.61), est donné par :

( ) ( )

( ) ( ) qsf

f

dsf

f

VxgxfLzzLz

VxgxfLzzLz

22

4

43

12

2

21

+==

==+==

==

ΦΦ

Φ

ωω

ω

ζζζζ

&

&

&

&

(3.62)

Etant donné, que la linéarisation obtenue est partielle, il faut ajouter une dynamique interne pour égaliser l’ordre du système original (3.49). Comme il a été signalé dans le paragraphe (§ 3.2.3), cette dynamique exprime la partie du système inobservable par la relation entrée-sortie résultante de la linéarisation. Donc elle ne doit pas inclure les entrées de commande. Pour notre cas, la linéarisation nécessite une dynamique interne d’ordre un. On peut constater que la dynamique de la position du champ tournant (3.35) possède les propriétés d’une dynamique interne. Par conséquent, le système résultant (d’ordre cinq) est donné par :

( ) ( )

( ) ( )

d

qrps

q

d

IMNz

Vxgxfzzz

Vxgxfzzz

Φ+==

+==

+==

Φ

αωθ

ω

&&

&

&

&

&

5

24

43

12

21

(3.63)

49


En se basant sur le système résultant (3.63), les entrées de commande (permettant sa linéarisation) sont obtenues par [SLO, MAR-5, KAB-1] :

( )[ ] ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ΦΦ−

ωω νν

xfxf

xGVV

q

d 1 (3.64)

( )xGDans ce cas, la matrice de découplage est donnée par :

( ) ( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Φ

Φ

dsd

dsd

L

LM

xgxg

xG

σμ

σα

0

02

00

2

1 (3.65)

Pour établir la loi de commande (3.64), il faut que la matrice de découplage soit non singulière, c'est-à-dire :

( )( ) ( )

022 22

22 ≠ΦΦ= =⋅ r

sdd

sd LM

LMGDet

σμα

σμα (3.66)

Il est évident que la matrice de découplage devient singulière lorsque le module du flux rotorique s’annule. Il faut rappeler que cette contrainte existe dans toutes les approches de commande, développées pour le moteur asynchrone. En effet, la nullité du module du flux rotorique représente une condition physique qui n’est réalisable qu’à l’instant du démarrage. Tandis que, dans toutes les autres conditions de fonctionnement, ce module possède une valeur strictement différente de zéro. Donc, on peut supposer que la condition de non singularité de la matrice de découplage est toujours vérifiée [MAR-5, LEO]. Pour éviter la singularité au démarrage, on attribue au flux rotorique une petite valeur initiale qui peut être interprétée comme étant un flux rémanent résultant de la structure magnétique du moteur.

Le système linéaire, résultant de l’insertion de la loi de commande (3.64) dans (3.63), peut être exprimé par :

d

qrpf

IMnz

zzz

zzz

Φ+==

====

Φ

αωθ

υ

υ

ω

&&

&

&

&

&

5

4

43

2

21

(3.67)

En comparant le système linéaire (3.67), résultant de la linéarisation entrée-sortie, avec celui obtenu par la commande vectorielle (3.42), on peut évaluer la différence entre les deux techniques de commande. Il est évident que la linéarisation entrée-sortie assure un découplage exact et global entre la dynamique de la vitesse et celle du flux, ce qui permet de commander, séparément, les deux dynamiques pour toutes les conditions de fonctionnement. Par conséquent, les inconvénients du découplage, engendrées pour la commande vectorielle, sont surmontés par la linéarisation entrée-sortie.

D’autre part, les entrées de commande sont sélectionnées afin de forcer les sorties commandées (la vitesse et l’amplitude du flux) à suivre leurs valeurs de référence, correspondantes aux conditions de fonctionnement du moteur. Soient alors et refω refΦ , respectivement, les valeurs de référence pour la vitesse et l’amplitude du flux rotorique et soient les deux vecteurs des erreurs de poursuite suivants :

[ ] [ ][ ] [ refref

refref

zzeee

zzeee

ωωωωω &

&

−−==

Φ−Φ−== ΦΦΦ

4321

22

2121

] (3.68)

A partir de (3.24), les nouvelles entrées de commande ( ), s’obtiennent comme suit: ωυυ ,Φ

50


2211

22112

ωωωωω ωυ

υ

ekek

ekek

ref

ref

−−=

−−Φ= ΦΦΦΦΦ

&&

&& (3.69)

Etant donné, que les valeurs de référence, pour la vitesse et le flux, sont constantes alors : 0===Φ=Φ refrefrefref ωω &&&&&&

En omettant la dynamique interne, l’utilisation des équations (3.67), (3.68) et (3.69), permet d’avoir une forme canonique, pour les deux systèmes linéaires résultants, comme suit:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Φ

ΦΦ

Φ

Φ

2

1

2

1

2

1

2

1

ω

ωω

ω

ω

ee

Kee

ee

Kee

&&

&

&&

&

(3.70)

Avec: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΦΦ

Φ2121

10 ,

10

ωωω kk

Kkk

K

Les polynômes caractéristiques (de et ) se donnent, suivant (3.27), par : ΦK ωK

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

++= ΦΦΦ

122

122

ωωω kpkppK

kpkppK (3.71)

Le choix des paramètres de commande s’effectue par un placement de pôles de telle sorte que, les racines des polynômes caractéristiques des matrices et (3.71) soient strictement dans la partie gauche du plan (les polynômes

ΦK ωK( )pKΦ ( )pKω et soient Hurwitz). Pour la

résolution de (3.71), soient les deux déterminants :

221

221

kk4

kk4

ωωω −=Δ

−=Δ ΦΦΦ

Etant donné, qu’il n’y a pas une restriction sur le choix des paramètres de commande, on peut considérer le cas simple d’une racine double pour les polynômes (3.71), c'est-à-dire :

12

12

k2k0

k2k0

ωωω =⇒=Δ

=⇒=Δ ΦΦΦ (3.72)

Par conséquent, si les coefficients de commande ( , , et ) sont sélectionnés suivant (3.72), les racines, pour et

1kΦ 2kΦ 1kω 2kω( )pKω( )pKΦ , s’obtiennent par :

021

021

2

2

<−=

<−= ΦΦ

ωω kp

kp

Ce qui signifie que si la dynamique interne est supposée stable, les lois de commande (3.64 et 3.69) permettent d’assurer une poursuite asymptotique pour le système linéaire résultant (3.67) et, par conséquent, pour le système original (3.49). Finalement, les tensions de commande réelles, se donnent par (en utilisant 3.33) :

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q

d

ss

ss

bs

as

VV

VV

θθθθ

cossinsincos (3.73)

La figure (3.3) représente le schéma de base de la commande par linéarisation entrée-sortie du moteur asynchrone.

51


3. 4 Performances dynamiques de la commande du moteur asynchrone Pour tester le comportement du moteur asynchrone, le modèle mathématique (3.31) est simulé en utilisant les lois de commande générées par :

La commande vectorielle indirecte (IFOC) (3.40, 3.44, 3.46 et 3.47). La commande par linéarisation entrée-sortie par retour d’état (IOFLC) (3.64 et 3.69) ;

Les paramètres internes du moteur asynchrone et les paramètres de la commande, utilisés pour la simulation, sont donnés dans les annexes A.6 t A.7.

Les cas étudiés, par simulation numérique, sont les suivants : Modèle avec paramètres constants et à flux constant ; Influence de la variation du flux (défluxage) ; Influence de la variation paramétrique ;

Remarque : Pour le réglage de la vitesse, les réponses apportées par un PI standard sont très médiocres, à cet effet, il a été substitué par une action IP [CAR].

3. 4.1 Cas d’un modèle exact et d’un régime de fonctionnement nominal (flux constant) La commande du moteur asynchrone devient assez simple lorsque on suppose que son modèle est connu avec exactitude (c'est-à-dire, que tous ses paramètres sont parfaitement connus et toutes ses variables d’état sont disponibles). Dans un tel cas d’hypothèse, toutes les conditions sont vérifiées pour une application idéale des deux types de commande : vectorielle et par linéarisation entrée-sortie. A cet effet, dans une première étape, le modèle mathématique (3.31) est simulé en considérant les conditions suivantes de fonctionnement:

Démarrage à vide où la vitesse du moteur et le flux rotorique poursuivent leurs valeurs nominales ( , ) ; 1

ref srad100 −⋅=ω Wb161ref .=Φ

A l’instant , la valeur nominale du couple de charge (s1t = mN85TL ..= ) est appliquée ; A l’instant , Inversion du sens de rotation avec charge nominale ; s2t = A l’instant , élimination du couple de charge ; s3t =

Les réponses dynamiques obtenues sont présentées sur les figures (3.4) pour la vitesse, (3.5) pour le flux, (3.6) pour le couple électromagnétique, (3.7) et (3.8) pour les courants statoriques, (3.9) et (3.10) pour les tensions statoriques. Il est clair que, pour les conditions de fonctionnement nominales, les deux techniques de commande assurent des performances presque identiques. Le découplage est bien établi ce qui permet de réaliser des commandes indépendantes pour le flux et la vitesse avec les deux types de commandes. Les légères différences, qui peuvent être mentionnées, peuvent être résumés comme suit :

Lois de commande x

G

fΦ

fω

Φref

ωref

ef

eω

Vasν Vd

Φarωr

2rΦ

2refΦ

Φbr

Filtr

e

f

ν(d,q)

(a,b)ω

VbsVq

MAS

(d,q)

(a,b)

Fig. 3.3 Schéma de base de la commande par linéarisation entrée-sortie du MAS

52


53

La chute de vitesse et plus importante dans le cas de la commande vectorielle ( %14≈ de la vitesse nominale) qu’avec la linéarisation entrée-sortie ( %10≈ ) ;

Tandis que l’évolution du flux est idéale, lors du démarrage, pour la linéarisation entrée sortie, avec la commande vectorielle on constate un dépassement de ( ) ; %20≈

Le couple de démarrage développé, dans le cas de la commande vectorielle, est plus important ( du couple nominal) par rapport à celui développé dans le cas de la commande par linéarisation entrée-sortie (

%160≈%140≈ ), chose qui se traduit par un

démarrage légèrement plus rapide pour la commande vectorielle. Cependant, le dépassement du couple, lors de l’application de la charge, est plus important dans le cas d’une commande vectorielle ( contre pour la linéarisation entrée-sortie). %24≈ %13≈

Pour les courants statoriques, on enregistre des valeurs de pic plus importantes avec la commande vectorielle, du courant nominal, par rapport à pour la linéarisation entrée sortie.

%260≈ %200≈

Ces résultats confirment les déductions faites ci-dessus, concernant la ressemblance existante entre les commandes : vectorielle et par linéarisation entrée-sortie.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-100

-50

0

50

100 Vit. réf.IOFLC IFOC

0 1 2

85

90

95

100

Vitesse rotorique (rad/s)

t(s)

Fig. 3.4 Evolution de la vitesse rotorique

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Flux réf.IOFLC IFOC

0 1 2 3 41.141.161.181.2

1.22

Flux rotorique (Wb)

t(s)

Fig. 3.5 Evolution du module du flux rotorique

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-15

-10

-5

0

5

10

15Coup. réf.IOFLC IFOC

Couple électromagnétique (N.m)

t(s)

Fig. 3.6 Evolution du couple électromagnétique


54

0 1 2 3 4-5

0

5

10

15Id / IOFLCId / IFOC

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15Iq / IOFLCIq / IFOC

Courants statoriques dans le référentiel tournant (A)

t(s) t(s)

Fig. 3.7 Evolution des courants statoriques dI et qI

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15IOFLC IFOC

t(s) t(s)

Courants statoriques directs dans le référentiel fixe (A)

Fig. 3.8 Evolution du courant statorique direct aI : (a) avec FLC, (b) avec IFOC

0 1 2 3 4-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200Vd / IOFLCVd / IFOC

200

0 1 2 3 4-200

-150

-100

-50

0

50

100

Vq / IOFLCVq / IFOC 150

Tensions statoriques dans le référentiel tournant (V)

t(s) t(s)

Fig. 3.9 Evolution des tensions statoriques dV et qV

0 1 2 3 4-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200IOFLC IFOC

t(s) t(s)

Tensions statoriques directes dans le référentiel fixe (V)

Fig. 3.10 Evolution de la tension statorique directe aV : (a) avec FLC, (b) avec IFOC


55

3. 4.2 Cas d’un fonctionnement avec flux variable (défluxage) Avec des paramètres constants et des conditions nominales de fonctionnement, on peut supposer le flux constant ce qui permet de réaliser le découplage dans le cas d’une commande vectorielle. Toutefois, il est légitime de s’interroger si ce découplage reste valide lorsque le flux varie dans certaines conditions de fonctionnement. Considérant, comme exemple, le cas du défluxage qui est appliqué lorsque le moteur est appelé à fonctionner avec une vitesse supérieure à sa vitesse nominale. Les figures (3.11), (3.12) et (3.13) illustrent l’évolution de la vitesse, du flux rotorique et du couple électromagnétique pour des vitesses de rotation, respectivement, égales à 150% et à 200% de la vitesse nominale. Dans le cas de la commande par linéarisation entrée-sortie, les performances apportées sont toujours maintenues et un découplage exact est constaté entre la vitesse et le flux. Par contre, pour la commande vectorielle, pour toute variation du flux, le découplage est perdu ce qui entraîne un certain régime transitoire. En effet, avec la violation de la condition du flux constant, les équations (3.43 et 3.45) deviennent non linéaires et couplées et la conception des régulateurs devient inadéquate, chose qui génére des perturbations dans les réponses dynamiques du moteur. Les résultats suscités montrent l’un des principaux avantages de la commande non linéaire par linéarisation entrée sortie par rapport à la commande vectorielle.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

50

100

150

200

Vit. réf.IOFLC IFOC


t(s)

Fig. 3.11 Evolution de la vitesse avec défluxage

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Flux réf. IOFLC Flu. Dir. / IFOCFlu. Inv. / IFOC

Flux rotorique (Wb)

t(s)

Fig. 3.12 Evolution du flux rotorique avec défluxage

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

4

6

8

10

12Coup. réf.IOFLC IFOC


t(s)

Fig. 3.13 Evolution du couple électromagnétique avec défluxage


56

3. 4.3 Cas d’un fonctionnement avec des variations paramétriques L’un des problèmes, rencontrés dans la commande du moteur asynchrone, concerne la variation de ses paramètres internes en raison des changements de la température et du niveau de saturation magnétique dans le moteur [TOL]. Parmi les paramètres susceptibles aux variations rapides, les constantes de temps rotorique et statorique dont la variation peut dépasser 50% de leurs valeurs nominales. Pour tester l’influence de la variation paramétrique sur les des deux types de commandes : vectorielle et par linéarisation entrée sortie, des changements sont appliqués sur les valeurs des résistances rotorique et statorique. En supposant le fonctionnement du moteur loin de la zone de saturation (la variation des paramètres magnétiques n’est pas considérée).

En ce qui concerne la résistance rotorique, deux échelons de 50% et de 25% de sa valeur nominale sont introduits, respectivement, aux instants t = 2 et t = 3. L’analyse des résultats de simulation, présentés sur les figures (3.14, 3.15 et 3.16), permet d’observer la détérioration des performances dynamiques pour les deux types de commande. L’influence de la valeur de la résistance rotorique vient du rôle important qu’elle joue dans le découplage pour la commande vectorielle (3.40) et la linéarisation entrée-sortie (3.64). De la même manière, des variations sont appliquées sur la résistance statorique. Dans ce cas, seulement, les réponses dynamiques de la linéarisation entrée sortie sont affectées. Pour la commande vectorielle indirecte, il est bien connu que l’un de ses avantages c’est son indépendance par rapport à la variation de la résistance statorique, du fait que cette dernière n’as aucun rôle dans la conception de la commande, en particulier, du point de vu découplage. Pour la linéarisation entrée-sortie, si la résistance statorique n’intervient pas dans la matrice de découplage (3.65), elle joue un rôle important dans l’évolution des fonctions non linéaires (3.58) et (3.59).

0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

120

Vit. réfVar. Rr Var. Rs

0 1 2 3 4-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Vit. réfVar. Rr Var. Rs

IOFLC

t(s)

IFOC

t(s)

(rad/s)

Influence des variations de Rr et Rs sur la vitesse rotorique

(rad/s)

Fig. 3.14 Influence de la variation des résistances rotorique et statorique sur la vitesse du moteur

1.5

0 1 2 3 40

0.5

1

Flux réf.Var. Rr Var. Rs

2.5

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

Flux réf.Var. Rr Var. Rs

IOFLC

t(s)

(Wb) (Wb) IFOC

Influence des variations de Rr et Rs sur le flux rotorique

t(s)

Fig. 3.15 Influence de la variation des résistances rotorique et statorique sur le flux rotorique


57

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

Coup. réf.Var. Rr Var. Rs

0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

10

12

Coup. réf.Var. Rr Var. Rs

IOFLC

t(s)

IFOC

t(s)

(N.m)

Influence des variations de Rr et Rs sur le couple électromagnétique

(N.m)

Fig. 3.16 Influence de la variation des résistances rotorique et statorique sur le couple électromagnétique

3. 5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté, en premier lieu, Les principales notions de la commande par linéarisation entrée-sortie par retour d’état (IOFLC), chose qui a permis de définir les conditions, selon lesquelles, chaque type de système non linéaire peut être, totalement (ou partiellement), entrée-sortie linéarisé par retour d’état. Les résultats obtenus ont été, ensuite, appliqués sur le modèle du moteur asynchrone. A cet effet, le modèle mathématique du moteur asynchrone d’ordre cinq ne peut admettre qu’une linéarisation partielle (dont l’ordre maximal du sous-système linéaire le plus large qu’on peut obtenir est quatre). En se basant sur ce sous-système, les lois de commande par linéarisation entrée-sortie ont été obtenues. En parallèle, pour permettre la comparaison, le principe de la commande vectorielle indirecte à flux rotorique orienté (IFOC) est présenté. Enfin, les lois de commande générées par IOFLC et par le IFOC ont été appliquées sur le modèle du moteur en vue d’étudier les performances qu’il est possible d’atteindre par ces deux techniques de commande. En analysant la conception et les réponses dynamiques obtenues pour les deux techniques de commande, les conclusions suivantes peuvent êtres tirées :

La conception de la commande par linéarisation entrée sortie ainsi que le choix des paramètres de commande sont très simples en comparaison avec la conception de la commande vectorielle ;

Dans le régime de fonctionnement nominal (à flux et à paramètres constants), les deux techniques de commande (IOFLC et IFOC) assurent presque les mêmes performances (en dehors de quelques légères différences) ;

L’avantage de l’IOFLC devient évident lorsque le moteur est appelé à fonctionner avec un flux variable (défluxage). En effet, les performances de l’IOFLC, en particulier le découplage exact, sont maintenues pour toutes les conditions de fonctionnement. Par contre, dans le cas de la commande vectorielle, la variation du flux influe sur le découplage et des régimes transitoires apparaissent dans les réponses dynamiques du moteur ;

Les deux techniques de commande perdent leurs performances dans le cas des variations paramétriques ;

En supposant la disponibilité des courants statoriques et la vitesse à la mesure directe, les deux techniques nécessitent l’estimation du flux rotorique.


De ce qui précède, on peut constater que la commande par linéarisation entrée-sortie possède des avantages évidents, tels que: la capacité d’assurer un découplage exact. Par ailleurs, comme il a été mentionné, dans le chapitre précédent, cette commande permet une intégration simple des réseaux de neurones artificiels dans son schéma de commande. Par conséquent, cette technique de commande est choisie pour réaliser la commande du moteur asynchrone dans la suite de ce travail. Pour ce faire, il est nécessaire de résoudre les problèmes suivants :

La nécessité d’un modèle précis pour le moteur asynchrone ;

L’influence de la variation des valeurs des paramètres du moteur ;

La reconstitution du flux rotorique ;

Pour surmonter les inconvénients liés à la version standard de la commande par linéarisation entrée-sortie, dans le chapitre suivant, les réseaux de neurones artificiels seront utilisés pour améliorer son schéma de commande.

58

Chapitre IV

Commande non linéaire adaptative par linéarisation entrée-sortie d’un moteur asynchrone en utilisant des réseaux de neurones

artificiels

Chap. IV. Commande non linéaire adaptative par linéarisation entrée-sortie d’un moteur asynchrone en

utilisant des réseaux de neurones artificiels

4. 1 Introduction Les résultats du chapitre précédent nous ont permis de conclure que la commande par linéarisation entrée-sortie permet d’atteindre des performances acceptables. Toutefois, bien que les performances soient assurées pour un modèle supposé à paramètres constants et parfaitement connus, elles deviennent médiocres pour toute changement paramétrique. Il est évident que la dégradation de performances vient de l’absence d’un mécanisme d’adaptation permettant de compenser l’échec du circuit de commande lors de la variation paramétrique. Pour faire face à cette dégradation, une version adaptative des lois de commande est nécessaire.

Pratiquement, pour concevoir une commande adaptative effective pour le moteur asynchrone, il faut résoudre deux problèmes essentiels. Premièrement, le problème de l’inaccessibilité à certaines variables d’état du moteur asynchrone, en particulier, le flux rotorique où le recours aux capteurs physiques est accompagné par plusieurs contraintes, à savoir: le coût, le bruit, la sensibilité à la température, le mauvais fonctionnement à basse vitesse et durant les régimes transitoires, etc. Le deuxième problème concerne la variation des paramètres internes du moteur, en particulier, les constantes de temps rotorique et statorique. La littérature, consacrée à la commande du moteur asynchrone, est riche d’approches traitant le problème d’estimation du flux rotorique et d’identification des paramètres du moteur [CAB-1, CHE-3, ELK, FIN, HAR-1, HIN, JEO, KWA, LIN-3, MAR-2, MAR-3, MAR-5, MAR-6, MAR-7, MAR-8, MAR-9, OUH, PER-2, SHA, TOL, VAS, VUK, WAD-1, WAD-2, WAN-1, WAN-2, WAN-3]. Toutefois, si ces approches permettent d’améliorer les performances de la commande des moteurs asynchrones, ils sont caractérisés par plusieurs inconvénients (voir chapitre I), parmi lesquels, on peut citer les suivants :

Les approches s’articulent sur le modèle du moteur qui doit être le plus précis possible. En tenant compte du nombre d’hypothèses simplificatrices (admises pour établir le modèle du moteur, voir l’annexe A.3), la précision du modèle obtenu peut être affectée. Cette imprécision ne permet pas aux différentes techniques d’estimation et d’identification de fonctionner correctement ;

La majorité de ces techniques souffrent du problème de fonctionnement pour les petites vitesses et les faibles charges. Dans ce cas, la variation des paramètres ne provoque que de légers changements dans la dynamique du moteur, ce qui ne permet pas aux techniques d’identification de distinguer la variation des paramètres ;

Le problème d’estimer plusieurs paramètres simultanément. A signaler que la majorité des techniques permettent l’estimation d’un paramètre tout en supposant constants le reste des paramètres. Dans le cas où plus d’un paramètre est estimé, la variation de l’un peut affecter l’estimation des autres.

Un énorme développement mathématique est nécessaire pour extraire les modèles des estimateurs et étudier leur stabilité.

La complexité de plusieurs techniques d’estimation donne des schémas de commande compliqués qui sont difficiles à implémenter.

Par ailleurs, durant les dernières années, les réseaux de neurones multicouches ont émergé en tant que moyen le plus viable pour l’identification et la commande des systèmes non linéaires incertains [ZHA-1, ZHA-2, ZHA-3, YU-1, YU-2, YU-3, SON, NAR-3, GE-1, CHE-4, BOS-1, ALE]. En plus, il a été démontré, mathématiquement [FUN], qu’un réseau de neurones artificiels, avec une structure appropriée, peut approximer n’importe quelle fonction non linéaire avec la précision souhaitée. Cette capacité d’approximation a été largement vérifiée dans la pratique [YAN, HAQ, WID-2, NIK, ABB].

59



Par conséquent, étant donné que les problèmes suscités (de la commande du moteur asynchrone) peuvent être classés en qualité de problèmes d’approximation, l’utilisation des réseaux de neurones artificiels est une solution appropriée pour surmonter les inconvénients et les contraintes des estimateurs standards.

A rappeler que l’application des réseaux de neurones artificiels ne représente pas une nouveauté dans la commande des moteurs asynchrones du fait que, dans la littérature, on trouve plus qu’un exemple de telles applications [ZER, WIS, OH, KIM-3, HAQ, GRA, ELB, DOY, DEN, CHE-6, CAB-1, CAB-2, BUR, BOS-3]. La première partie de ces approches, qui est la plus importante, se base sur un apprentissage supervisé qui s’effectue ‘off line’ en utilisant un ensemble d’entrées-sorties exprimant le fonctionnement de l’organe à remplacer. Dans ce cas, l’inconvénient se situe dans le rôle du réseau de neurones qui ne fait qu’imiter le comportement d’un organe existant déjà. Malgré la caractéristique de généralisation des réseaux de neurones, avec un tel apprentissage, ils ne peuvent pas s’adapter correctement avec les changements éventuels dans une dynamique non linéaire variable. Pour cette raison, ce type de réseaux de neurones ne convient pas pour un schéma de commande adaptatif tel que celui qu’on tente de développer pour la commande du moteur asynchrone, dont la dynamique est fortement non linéaire et variable. La deuxième partie des approches utilise quelques schémas d’apprentissage, en temps réel. En plus, de la complexité et de l’insuffisance des algorithmes d’apprentissage, ces approches n’interviennent que partiellement dans le schéma de commande du moteur. A cet effet, il est à signaler qu’on ne dispose pas d’un véritable schéma de commande, à base de réseaux de neurones artificiels, pour le moteur asynchrone.

Par ailleurs, les dernières années ont connu le développement d’algorithmes d’apprentissage très puissants pour les réseaux de neurones artificiels. Ces algorithmes s’inspirent de la théorie de commande non linéaire adaptative pour extraire un ensemble de règles d’apprentissage permettant une adaptation rapide et en temps réel pour les paramètres des réseaux de neurones [LEW, ZHA-1, ZHA-2, ZHA-3, KAB-1, KAB-2, KAB-3, CHE-7, CHE-9]. L’utilisation de tels algorithmes étend les perspectives de l’application des réseaux de neurones. En effet, au lieu d’être un simple élément, dans un schéma de commande standard, les réseaux de neurones peuvent eux-mêmes constituer ce schéma de commande.

En vue de profiter des possibilités offertes par ce type de réseaux de neurones, ils seront utilisés, dans ce chapitre, pour développer un nouveau schéma de commande adaptative pour le moteur asynchrone.

4. 2 Commande adaptative par linéarisation entrée-sortie du moteur asynchrone en utilisant des réseaux de neurones artificiels

Revenant aux lois de commande, générées à travers la commande par linéarisation entrée-sortie (établies dans le 3ième chapitre), elles s’expriment par (équation 3.64) :

( )[ ] ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ΦΦ−

ωω νν

xfxf

xGVV

q

d 1 (4.1)

Il est évident que la précision de cette loi de commande dépend strictement de l’évaluation exacte des fonctions non linéaires et (équations 3.58 et 3.59). Si le modèle du moteur est utilisé, pour reconstituer ces termes non linéaires à travers les équations (3.58) et (3.59), les conditions suivantes doivent êtres satisfaites :

ωfΦf

i. Le modèle mathématique du moteur asynchrone doit être suffisamment précis pour que les deux équations (3.58 et 3.59) puissent donner les valeurs vraies de et ; Φf ωf

60



ii. Toutes les variables d’état du moteur doivent être exactement connues ; iii. Tous les paramètres du moteur doivent être parfaitement connus.

La satisfaction des conditions suscitées est difficile avec l’utilisation des techniques standards d’estimation et d’identification. A cet effet, nous avons fait recours aux réseaux de neurones artificiels en vue de compenser certaines lacunes des méthodes classiques. Dans ce contexte, nous proposons l’utilisation des réseaux de neurones pour estimer, en temps réel, les fonctions non linéaires ( et ). L’approche proposée repose sur une combinaison regroupant le principe de la linéarisation entrée-sortie, les propriétés des réseaux de neurones artificiels et les théories non linéaires d’adaptation. Parmi les objectifs visés, par cette approche, on peut citer :

Φf ωf

La diminution du besoin en un modèle précis pour le moteur asynchrone. l’établissement de nouvelles règles d’adaptation permettant un apprentissage, en temps

réel, pour les réseaux de neurones utilisés. La reconstitution fidèle et en temps réel des fonctions non linéaires ( et ) pour

toutes les conditions de fonctionnement du moteur ; Φf ωf

Pour estimer les fonctions non linéaires ( et ), considérant deux réseaux de neurones artificiels et . Supposant, de plus, qu’il existe des poids idéaux permettant à ces réseaux de reproduire, à leurs sorties, les valeurs réelles (idéales) des fonctions et comme suit:

Φf ωf

ΦNN ωNN

Φf ωf

( )( ωωωωω σ

σ

XWWF

XWWFTc

T

Tc

T

⋅=

⋅= ΦΦΦΦΦ

) (4.2)

Où:

, - Sont les valeurs idéales des fonctions non linéaires et ; ΦF ωF Φf ωf , ( )ΦΦ ×Ne1X : ( )wNeX ×1:ω - Sont les vecteurs d’entrées pour les deux réseaux de neurones ;

, ( )ΦΦ ×Nc1W : ( )ωω Nc1W ×: - Sont les matrices des poids idéaux entres les couches cachées et de sortie ;

, - Sont les matrices des poids idéaux entres les couches cachée et d’entrée ;

( )ΦΦΦ × NeNcWc : ( ωωω NeNcWc ×: )

Avec une seule sortie pour chaque réseau, les nombres ( ) et ( ) représentent, respectivement, les nombres de neurones dans les couches d’entrée et cachée ;

ωNe Ne ,Φ ωNc Nc ,Φ

σ : C’est une fonction d’activation de type sigmoïde, pour les neurones des couches cachées des deux réseaux de neurones, la fonction utilisée est:

( ) ( )xA1A

x2

1

⋅−+=

expσ (4.3)

Où : et - sont deux positifs réels, utilisés pour ajuster la forme de la fonction sigmoïde. 1A 2A

Pour un fonctionnement stable des deux réseaux de neurones, considérant les conditions de limitations suivantes [LEW, CHE-7, CHE-8, KAB-2] :

ω

ω

ωω maxmax 0

0 ,

00

Θ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ΘΘ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Θ Φ

Φ

ΦΦ W

WW

W cc (4.4)

Avec : et - sont des limites bornées et connues. ΦΘmaxωmaxΘ

61



Pratiquement, les paramètres idéaux (des réseaux de neurones) existent mais ils sont inconnus, donc, il faut les estimer. Par conséquent, on ne peut avoir que des valeurs estimées, pour les fonctions non linéaires et , qui peuvent être exprimées par : Φf ωf

( )( ωωωωω σ

σ

XWWF

XWWFTc

T

Tc

T

⋅=

⋅= ΦΦΦΦΦ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

) (4.5)

Avec : , - les valeurs estimées des fonctions non linéaires et ; ΦF ωF Φf ωf

, , et - les matrices des poids estimés des deux réseaux de neurones qui obéissent aux conditions de limitation (4.4).

ΦW ΦcW ωW ωcW

4. 2.1 Evaluation des erreurs d’estimation des paramètres des réseaux de neurones Afin d’établir des règles d’apprentissage pour les réseaux de neurones proposés, il est nécessaire de connaître les erreurs d’estimation de leurs paramètres. Ces erreurs d’estimation traduisent la déviation entre les paramètres estimés et les paramètres idéaux. Etant donné, que les valeurs idéales sont inconnues, il est commode de relier les erreurs d’estimation à des grandeurs bien déterminées du modèle du moteur asynchrone. Dans ce cas, il n’y pas mieux que les erreurs de poursuites, observées sur les sorties commandées (vitesse et flux rotorique). Comme nous allons le voir, ce choix permet d’atteindre deux objectifs à la fois, d’une part, les erreurs d’estimation (des réseaux de neurones) seront reliées à des signaux bien connus pour le circuit de commande et, d’autre part, la stabilité de ces erreurs d’estimation entraînera la stabilité des erreurs de poursuite et, par conséquent, la stabilité du système entier. Pour traiter le problème de la commande adaptative, on considère, généralement la dynamique des erreurs filtrées ‘Filtered Errors’ [LEW, ZHA-2, SLO, KAB-1]. Revenant aux vecteurs des erreurs des poursuites, définies au 3ème

chapitre par les équations (3.68), les erreurs filtrées peuvent être données par [SLO] :

21

21

ωωωω eeke

eeke

ff

ff

+⋅=

+⋅= ΦΦΦΦ (4.6)

En utilisant (3.63), la dynamique de ces erreurs prend la forme suivante : ( ) ( )( ) ( ) 2fd2f

2fd1f

ekVxgxfe

ekVxgxfe

ωωωω

ΦΦΦΦ

⋅++=

⋅++=

&

& (4.7)

Si on se trouve dans des conditions idéales, les fonctions non linéaires et se présentent avec leurs valeurs idéales (données par (4.2)) dans le système d’équations (4.7), qui devient, par conséquent :

Φf ωf

( ) ( )( ) ( ) 2fd2f

2fd1f

ekVxgxFe

ekVxgxFe

ωωωω

ΦΦΦΦ

⋅++=

⋅++=

&

& (4.8)

Toutefois, pour l’établissement des lois de commande, on ne dispose que des valeurs estimées pour les fonctions et . Donc, en utilisant ces valeurs estimées (4.5), les tensions de commande, pour le système (4.8), peuvent être obtenues comme suit :

Φf ωf

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

ωω

ΦΦ

ωωωωω

ΦΦΦΦΦ

νν

xFxFxG

eKekxFeKekxF

xGVV 1

fF2f

fF2f1

q

d (4.9)

Où : , , et - sont des positifs choisis pour assurer la stabilité asymptotique de (4.6), ils sont liés avec les paramètres de commande (chapitre 3, équation 3.69, voire (A.7)).

fkΦ ΦFK ωFKfkω

En remplaçant (4.9) dans (4.8), on obtient :

62



ωωωω FeKe

FeKe

fFf

fFf~

~

+⋅−=

+⋅−= ΦΦΦΦ

&&

& (4.10)

Où les erreurs d’estimation des deux réseaux de neurones sont données par : ( ) ( ){ } { }( ) ( ){ } { ωωωωωωωωω σσ

σσ

ˆˆˆ~ˆˆˆ

}~

TT

TT

WWXFXFF

WWXFXFF

−=−=

−=−= ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ (4.11)

Avec : ( )( )(( )ωωωω

ωωωω

σσ

σσ

σσ

σσ

XW

XW

XW

XW

Tc

Tc

Tc

Tc

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

ΦΦΦΦ

ΦΦΦΦ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

) (4.12)

Etant donné, que notre objectif est l’estimation des valeurs des poids des réseaux de neurones (permettant d’estimer et (par 4.5)), le système (4.11) doit être développé pour faire apparaître leurs erreurs d’estimation. Ainsi, en utilisant le développement de Taylor des termes et , respectivement, autour de

Φf ωf

et ( )ωω XW Tc ⋅ˆ( )ΦΦ ⋅ XW T

cˆ

Φσ ωσ , on peut obtenir (en négligeant les termes d’ordre supérieur) [KAB-1] :

( )( ωωωωωωω σσσ

σσσ

ωωXWXW

XWXW

Tc

TcXW

Tc

TcXW

Tc

Tc

⋅Ο++=

⋅Ο++=

⋅

ΦΦΦΦΦΦ⋅ΦΦΦ

ˆ~ˆˆ

ˆ

)~ˆˆ

2ˆ

2ˆ

&

&

(4.13)

( )ΦΦ ⋅Ο XW Tc

ˆ2 ( )ωω XW Tc

2 ⋅Ο ˆOù : et - expriment l’ensemble des termes d’ordre supérieur du développement de Taylor, avec :

ccc

ccc

WWW WWW

WWW WWW

ωωωωωωˆ~,ˆ~ˆ~,ˆ~

−=−=

−=−= ΦΦΦΦΦΦ (4.14)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==Φ

L

L

MOMM

L

L

&

(Nc,Ne)dWσd

)(Nc,dWσd

)(Nc,dWσd

,Ne)(dWσd

),(dWσd

),(dWσd

,Ne)(dWσd

),(dWσd

),(dWσd

dWd

ΦcΦcΦc

ΦcΦcΦc

ΦcΦcΦc

c

ˆ2

ˆ1

ˆ

2ˆ

22ˆ

12ˆ

1ˆ

21ˆ

11ˆ

ˆˆ σσ 4.15

En utilisant (4.13), le développement de (4.11) donne :

( ) ( ){ }

( ) ({ } ωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωω

σσσ

σσ

σσσ

σσ

Ψ++−=

⋅Ο⋅+++=

Ψ++−=

⋅Ο⋅+++=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

XWWXWW

XWWXWWWWF

XWWXWW

XWWXWWWWF

Tc

TTc

T

Tc

TTc

TT

Tc

TTc

T

Tc

TTc

TT

~ˆˆˆˆˆ~

ˆ~ˆ~ˆˆ~~

~ˆˆˆˆˆ~

ˆ

)

~ˆ~ˆˆ~~

2

2

&&

&

&&

&

(4.16)

Avec : ( )( ωωωωωωωω σ

σ

XWWXWW

XWWXWWTc

TTc

T

Tc

TTc

T

⋅Ο⋅+=Ψ

⋅Ο⋅+=Ψ ΦΦΦΦΦΦΦΦ

ˆˆ~ˆˆ

)~

2

2

&

& (4.17)

Les termes résiduels sont bornés comme suit [LEW, ZHA-2, KAB-1] : ( ωΨΨΦ , )

1

1

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ωωωωωωωωωω σσ

σσ

WXWWWXW

WXWWWXW

TcF

TFc

TcF

TFc

+⋅+⋅≤Ψ

+⋅+⋅≤Ψ ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

&&

&&

(4.18)

63



En utilisant (4.16), on obtient finalement l’expression de la dynamique des erreurs de poursuite, en fonction des erreurs d’estimation des paramètres des réseaux de neurones, comme suit :

{ }{ } ωωωωωωωωωωωωω σσσ

σσσ

Ψ++−+⋅−=

Ψ++−+⋅−= ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

XWWXWWeKe

XWWXWWeKeTc

TTc

TfFf

Tc

TTc

TfFf

~ˆˆˆˆˆ~

~ˆˆˆˆˆ~

&&&

&&& (4.19)

4. 2.2 Etablissement des règles d’adaptation pour les paramètres des réseaux de neurones

On constate qu’à partir de (4.19), les erreurs de poursuite (vitesse et flux), sont devenues fonctions des erreurs d’estimation des paramètres des réseaux de neurones et . Le problème d’estimation (des fonctions non linéaires et ) se transforme, donc, en un problème d’ajustement des paramètres.

ΦNN ωNN

Φf ωf

Dans ce cas, en revenant à la théorie de la commande non linéaire adaptative, on trouve différentes règles d’adaptation qui ont été proposées pour adapter les paramètres d’un système non linéaire dont la dynamique des erreurs de poursuite possède la forme donnée par (4.19). Parmi ces règles, on trouve la règle ‘σ-modification’ [IOA] et la règle ‘e1-modification’ [NAR-2]. En raison de sa robustesse et sa stabilité, la règle ‘e1-modification’ est largement utilisée pour établir un algorithme d’apprentissage, en temps réel, pour les réseaux de neurones artificiels [LEW, ZHA-2, ZHA-3, YAŞ, KAB-1, KAB-2].

Par conséquent, Les règles d’adaptation, pour les deux réseaux de neurones, peuvent être formulées comme suit [LEW, CHE-7, KAB-1, KAB-2, KAB-3] :

Pour le réseau : ΦNN

{ }[ ][ ]ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ


+Γ−=

+−Γ−=

WeeWXW

WeeXWW

f2fT

cc

f1fT

c

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

τσ

τσσ

&&

&&

(4.20)

Pour le réseau : ωNN

{ }[ ][ ]ωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωω

τσ

τσσ

WeeWXW

WeeXWW

f2fT

cc

f1fTc

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

+Γ−=

+−Γ−=

&&

&&

(4.21)

Avec : , , et où , , et sont des

réels positifs et c’est la matrice identité. IbΓ 1Φ Φ= IbΓΦc 2Φ= IbΓ 1ωω = IbΓ c 2ωω = 1bΦ 2Φb 1bω 2ωb

( 22×I ) , , , - sont des cœfficients positifs sélectionnés pour avoir une

meilleure convergence pour les paramètres des réseaux de neurones. 1Φτ 2Φτ 1ωτ 2ωτ

Remarques 4.1: Les règles d’adaptations (4.20 et 4.21) ont été proposées pour la première fois par F. Lewis [LEW].

Remarques 4.2: Les règles d’adaptation se composent de deux Parties :

La première partie tente de diminuer l’amplitude de l’erreur, son effet est donc similaire à la descente du gradient, utilisée dans l‘algorithme de rétro propagation [LEW] ;

La deuxième partie a pour rôle le maintient des paramètres estimés bornés. Cette partie donne plus de robustesse et plus de stabilité pour les règles d’adaptation [NAR-2].

64



Afin d’assurer la stabilité de fonctionnement, pour le système global, les règles d’adaptation (4.20) et (4.21) doivent ramener et maintenir les erreurs de poursuite à des valeurs infiniment petites. Pour valider cet aspect, une étude de stabilité, pour ses règles, est donnée dans l’annexe (A.5).

4. 2.3 Architecture des réseaux utilisés Le choix de l’architecture du réseau de neurones représente une étape essentielle dans l’établissement de la commande. En effet, la complexité et la vitesse de fonctionnement du futur circuit de commande dépendent de cette architecture. Il faut rappeler qu’il n’y a pas une règle bien connue d’après laquelle l’architecture du réseau peut être sélectionnée. Généralement, lors du choix, un compromis doit être réalisé entre les performances souhaitées et la complexité engendrée. Théoriquement, l’approximation peut être effectuée par un réseau de neurones d’une seule couche cachée doté d’un nombre approprié de neurones [FUN]. Toutefois, les réseaux à apprentissage supervisé nécessitent plus de couches cachées et un nombre important de neurones pour approximer les relations liant les ensembles d’entrées-sorties. Ceci est du aux insuffisances des algorithmes d’apprentissage supervisé (voir chapitre II). Cependant, Cet inconvénient peut être facilement surmonté par l’utilisation des règles d’adaptation non linéaires telles que celles données par (4.20 et 4.21). En effet, de telles règles permettent, non seulement, d’optimiser la procédure d’apprentissage mais, également, l’architecture du réseau. Cet effet peut être constaté dans l’architecture sélectionnée pour les deux réseaux de neurones utilisés dans la présente étude. Cette architecture comporte :

Une couche d’entrée : Pour simplifier l’utilisation, le vecteur d’entrée (des deux réseaux) est choisi parmi les variables d’état qui sont directement mesurables. Le choix convenable est fixé sur les courants statoriques, donc, les vecteurs d’entrées et sont choisis comme suit :

ΦX

ωX

Tqd

Tqd

IIX

IIX

][

][

⋅=

⋅= ΦΦ

ωω η

η (4.22)

Où : et - sont deux positifs réels utilisés pour normaliser les entrées des réseaux de neurones ;

Φη ωη

Une couche cachée : Malgré la complexité des fonctions à estimer, par les réseaux de neurones, il à été prouvé qu’une seule couche cachée, avec seulement deux neurones, permet une approximation suffisante pour les deux fonctions ;

Une couche de sortie : Pour les couches de sortie, chaque réseau est muni d’une seule sortie correspondante à la fonction estimée ;

Fonction d’activation de la couche cachée : c’est une fonction sigmoïde de la forme de celle donnée par (4.3) ;

Fonction d’activation de la couche de sortie : Pour simplifier plus la structure du réseau de neurones, cette fonction est sélectionnée comme une simple fonction linéaire de la forme . xaxy ⋅=)(

Remarque 4.1: Pour réduire le nombre de paramètres, à adapter, les biais sont pris nuls pour toutes les couches des deux réseaux. Cette considération donne aux réseaux de neurones un comportement symétrique, chose qui est très intéressante pour la commande des systèmes [HRY].

La figure (4.1) illustre un schéma de base de la commande par linéarisation entrée-sortie, basée sur les deux réseaux de neurones proposés.

65



Fig. 4.1 Schéma de base de l’association, linéarisation entrée-sortie/réseaux de neurones

Vd (d,q)

(a,b)Vq

Ias

Vas

G

(d,q)

(a,b) ΦF

MAS

Id

Iq

Φd

ωF


Φref

ωref

ef

eω

2rΦ

2refΦ Loi de

commande VbsIbs ωr

Estimateur de flux

4. 2.4 Performances dynamiques dans le cas où le flux rotorique est supposé connu

Pour tester les performances de la commande proposée, les deux réseaux de neurones et , dotés des règles d’adaptation (4.20) et (4.21), sont insérés dans le schéma de commande

du moteur asynchrone (Fig. 4.1). Les sorties des réseaux de neurones (les estimations) sont utilisées, dans (4.8), pour déterminer les tensions de commande pour le moteur. Dans une première étape, nous considérons les mêmes conditions de simulation que celles citées dans le chapitre trois, paragraphe (§ 3.4.1).

ΦNN

ωNN

Les réponses dynamiques obtenues sont représentées sur les figues (4.2) pour la vitesse, la figure (4.3) pour le couple électromagnétique et la figure (4.4) pour le flux rotorique. La première chose à remarquer c’est que la commande neuronale a pu, fidèlement, reproduire la propriété du découplage de la commande par linéarisation entrée-sortie. Cette propriété peut être constatée à travers les réponses dynamiques. En effet, les deux comportements magnétique et mécanique sont exactement découplés (à part quelques fluctuations qui sont dues aux régimes transitoires). En outre, en comparant les performances obtenues (par la commande neuronales) et celles de la commande vectorielle indirecte (IFOC) et de la commande par linéarisation entrée-sortie (IOFLC), on peut conclure que les trois approches de commande assurent presque les mêmes performances. Par ailleurs, quelques apports positifs peuvent être comptabilisés pour la commande neuronale proposée :

Par rapport à la linéarisation entrée-sortie standard, la commande neuronale assure un démarrage plus rapide avec un couple de démarrage plus important ( du couple nominal) ;

%200≅

Malgré que les valeurs des couples de démarrage sont du même ordre, le démarrage est plus rapide avec la commande neuronale qu’avec la commande vectorielle indirecte ;

Avec la commande neuronale, la chute de vitesse, provoquée par l’application de la charge nominale, est plus petite avec un rétablissement plus rapide ;

A part quelques petites perturbations passagères, observées lors des régimes transitoires, le flux rotorique suit fidèlement sa référence.

En ce qui concerne l’évolution des courants statoriques, d’après les figures (4.5) et (4.6), on peut constater qu’ils sont maintenus à leurs valeurs nominales. Les courants de démarrages sont dans les limites admissibles ( du courant nominal). La même chose peut être dite sur les tensions statoriques, figure (4.7) et (4.8).

%300≅

66



67

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-100

-50

0

50

100Vit. réfNN-IOFLCIFOC IOFLC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

85

90

95

100


t(s)

Fig. 4.2 Evolution de la vitesse du moteur asynchrone pour les différents types de commandes

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-20

-15

-10

-5

0

5

10

Cou. réf.NN-IOFLC IFOC IOFLC


t(s)

Fig. 4.3 Evolution du couple électromagnétique pour les différents types de commandes

0 1 2 3 4-10

-5

0

5

10

15

20Id-NN-IOFLCId-IFOC Id-IOFLC

0 1 2 3 4-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20 Iq-NN-IOFLCIq-IFOC Iq-IOFLC

Courant statorique dans le référentiel tournant (A)

t(s) t(s)

Fig. 4.5 Evolution des courants statoriques Id et Iq pour les différents types de commandes

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.25

Flux réf.NN-IOFLC IFOC IOFLC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1.15

1.2

Flux rotorique (Wb)

t(s)

Fig. 4.4 Evolution du flux rotorique pour les différents types de commandes



68

0 1 2 3 4

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20NN-IOFLC

t(s)

IFOC

t(s)

IOFLC

Courant statorique direct dans le référentiel fixe (A)

t(s)

Fig. 4.6 Evolution du courant statorique Ias pour les différents types de commandes

0 2 4

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 2 4

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 2 4

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200NN-IOFLC

t(s)

IFOC

t(s)

IOFLC

Tension statorique directe dans le réfrentiel fixe (V)

t(s)

Fig. 4.8 Evolution de la tension statorique Vas pour les différents types de commandes

200

Les performances montrées par la commande neuronale confirment, d’une manière visible, les capacités d’approximation des réseaux de neurones artificiels. Ces dernières peuvent êtres observées en comparant les fonctions non linéaires ( et ) estimées par les réseaux de neurones et celles reconstituées à partir du modèle du moteur, figure (4.9 et 4.10). En omettant les régimes transitoires (changement des conditions de fonctionnement), les deux estimations coïncident et les erreurs d’estimation tendent vers des valeurs nulles (figure 4.11). Il est bien entendu que cette approximation précise résulte de l’action des règles non linéaires d’adaptation (4.20 et 4.21). L’action de ces règles permet de modifier le comportement dynamique des deux réseaux en ajustant continuellement et, en temps réel, leurs paramètres. Les figures (4.12 et 4.13), montrent comment les paramètres des réseaux de neurones évoluent en fonction des différentes conditions de fonctionnement du moteur. A rappeler, que l’adaptation des paramètres est effectuée en minimisant les erreurs de poursuite, qui sont ramenées à des valeurs infiniment petites (4.14).

Φf ωf

0 1 2 3 4-200

-150

-100

-50

0

50

100

150Ud-NN-IOFLCUd-IFOC Ud-IOFLC

200

0 1 2 3 4-200

-150

-100

-50

0

50

100

Uq-NN-IOUq-IFOC Uq-IOFLC

150

Tensions statoriques dans le référentiel tournant (V)

t(s) t(s)

Fig. 4.7 Evolution des tensions statoriques Vd et Vq pour les différents types de commandes



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 104

0 0.05 0.1

-1

0

1

x 104

t(s)

Fig. 4.9 Estimation de la fonction fΦ par le réseau de neurones NNΦ et en utilisant le modèle du moteur

x 105

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

0

t(s)

Fig. 4.10 Estimation de la fonction fω par le réseau de neurones NNω et en utilisant le modèle du moteur

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 105

t(s)

Erreurs d'estimation des réseaux de neurones artificiels

Fig. 4.11 Erreurs d’estimation des fonctions fΦ et fω par les réseaux de neurones NNΦ et NNω

0 1 2 3 4-60

-40

-20

0

20

40

60

0 1 2 3 4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Paramètres du réseau de neurones

t(s) t(s)

Fig. 4.12 Evolution des paramètres du réseau de neurones NN

Φ

69



70

P

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

50

100

150

200

Vit. réfNN-IOFLCIFOC IOFLC


t(s)

Fig. 4.15 Evolution la vitesse du moteur lors du défluxage pour les différents types de commandes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16 Cou. réfNN-IOFLCIFOC IOFLC


t(s)

Fig. 4.16 Evolution du couple électromagnétique lors du défluxage pour les différents types de commandes

0 1 2 3 4-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000 200

0 1 2 3 4-50

0

50

100

150

aramètres du réseau de neurones

t(s) t(s)

Fig. 4.13 Evolution des paramètres du réseau de neurones NNω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4000

-2000

0

2000

4000

6000

t(s)

Erreurs filtrées pour le flux et la vitesse

Fig. 4.14 Evolution des erreurs de poursuite pour la vitesse et le flux rotorique

D’autre part, en ce qui concerne le fonctionnement du moteur avec un flux variable, l’évolution de la vitesse (Fig. 4.15), du flux rotorique (Fig. 4.16) et du couple électromagnétique (Fig. 4.17) montre que les performances de la commande neuronale sont conservées.



71

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Flux réf.NN-IOFLC IFOC IOFLC

2 2.1 2.2 2.3

0.70.80.9

11.1

3 3.1 3.2 3.3

0.5

0.6

0.7

0.8

Flux rotorique (Wb)

t(s)

Fig. 4.17 Evolution du flux rotorique lors du défluxage pour les différents types de commandes

Toutes les performances suscitées sont intéressantes, toutefois, il est indispensable de vérifier le comportement de la commande neuronale proposée en cas de variations paramétriques. En effet, comme il a été montré dans le chapitre précédent, les performances des deux commandes : vectorielle et par linéarisation entrée-sortie, se détériorent avec la variation des paramètres, en particulier, avec la variation des valeurs des constantes de temps rotorique et statorique. En vue de tester le comportement de la commande neuronale, dans de telles situations, des variations brusques (échelons) et lentes (linéaires) ont été introduites sur les constantes de temps : rotorique et statorique. La réaction des réseaux de neurones, vis-à-vis de ces variations, est remarquable. En effet, les performances se maintiennent pour toutes les variation : lentes ou brusques (de l’ordre de 100%) même dans le cas où les valeurs des deux paramètres varient simultanément. Les réponses obtenues, pour la vitesse (4.18), montrent que l’échelon appliqué, sur la constante de temps rotorique ou statorique, se traduit par une petite chute de vitesse qui est rapidement compensée par le circuit de commande. Les mêmes remarques peuvent êtres faites à propos de l’évolution du couple électromagnétique (figure 4.19). Pour le flux rotorique, à part quelques faibles fluctuations qui sont liées aux régimes transitoires, son module suit fidèlement sa référence (figure 4.20).

Le comportement des réseaux de neurones peut être expliqué d’une manière très simple. En effet, chaque variation des paramètres se traduit par une modification dans les variables d’état du moteur et, par la suite, dans les valeurs des erreurs de poursuites des grandeurs commandées (vitesse et flux). Etant donné, que c’est ces erreurs qui sont utilisées pour l’apprentissage des réseaux de neurones, donc toute variation paramétrique sera compensée sans recourir à aucun mécanisme d’identification pour les paramètres en question. En comparant l’évolution des fonctions non linéaires ( et ), obtenues par les réseaux de neurones et à travers le modèle mathématique du moteur, on peut constater la différence existante entre la commande neuronale et la commande par linéarisation entrée-sortie. Tandis que pour un régime de fonctionnement stationnaire (paramètres constants), les deux estimations ont les mêmes valeurs (figures 4.21 et 4.22), une différence se manifeste clairement entre les deux estimations pour chaque variation paramétrique (figure 4.23). En effet, lors de la variation des paramètres, en raison de l’absence d’une identification pour ces paramètres, les fonctions reconstituées par le modèle ne réagissent pas à cette variation et elles gardent toujours les mêmes valeurs. Par conséquent, le circuit de commande ne permet pas de compenser l’effet des variations des paramètres. Par contre, les règles d’adaptation permettent aux réseaux de neurones de s’adapter avec cette nouvelle situation, ce qui permet aux fonctions non linéaires de prendre des valeurs convenables. Comme résultat, les lois de commande sont modifiés suivant les nouvelles conditions de fonctionnement et les variations paramétriques sont compensées rapidement.

Φf ωf



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Vit. réf.NN-IOFLC IOFLC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 490

95

100

Var. Rr Var. Rs


t(s)

Fig. 4.18 Evolution de la vitesse rotorique dans le cas des variations de Tr et Ts

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

4

6

8

10

12Cou. réf.NN-IOFLC IOFLC


t(s)

Var. Rr

Var. Rs

Fig. 4.19 Evolution du couple électromagnétique dans le cas des variations de T et Tr s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Flux réf.NN-IOFLC IFOC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1.14

1.15

1.16

1.17

Var. Rr

Var. Rr

Flux rotorique (Wb)

t(s)

Fig. 4.20 Evolution du flux rotorique dans le cas des variations Tr et Ts

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 104

t(s)

Fig. 4.21 Evolution de la fonction fΦ dans le cas des variations Tr et Ts

72



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 105

t(s)

Fig. 4.22 Evolution de la fonction fω dans le cas des variations Tr et Ts

0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2x 104

0 1 2 3 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 104

t(s) t(s)

Fig. 4.23 Différence entre les valeurs des fonctions fΦ et fω, estimées par réseaux de neurones et par modèle du moteur, dans le cas des variations de Tr et Ts

4. 2.5 Performances dynamiques avec estimation du flux rotorique Dans le paragraphe précédent, une association intéressante a été réalisée entre les capacités d’approximation des réseaux de neurones et le principe de la linéarisation entrée-sortie. Pour un régime de fonctionnement à paramètres constants, l’association proposée permet d’obtenir des performances dynamiques comparables et même supérieures, dans certains cas, à celles obtenues par la commande vectorielle indirecte et la commande par linéarisation entrée-sortie. La supériorité de la commande neuronale devient évidente, lors de la variation des paramètres où leurs effets sont rapidement compensés sans recourir à aucun moyen d’identification. Toutefois, l’obtention de telles performances n’est possible qu’en supposant la connaissance du flux rotorique. Cette supposition représente un inconvénient pour la commande neuronale précédente. Il est évident que l’estimation du flux rotorique représente l’un des problèmes majeurs à résoudre lors de la commande du moteur asynchrone. Par conséquent, pour compléter le schéma de commande proposé, il faut estimer le flux rotorique. Pour ce faire, le modèle mathématique du moteur asynchrone peut être utilisé. Dans ce cas, un simple estimateur peut être proposé, pour les deux composantes du flux rotorique, à savoir :

⎪⎩

⎪⎨⎧

Φ−Φ−=Φ

Φ+Φ−=Φ

arrpbrbsbr

brrparasar

NMI

NMI

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ωαα

ωαα&

&

(4.23)

Où : et - représentent les valeurs estimées des deux composantes du flux rotorique. arΦ brΦ

La réalisation du schéma d’estimation (4.23) dépend de deux facteurs :

La connaissance exacte des courants statoriques et de la vitesse du moteur ;

73



La connaissance exacte de la constante de temps rotorique ( α1Tr = ) et de l’inductance magnétisante ( ) M

En ce qui concerne les courants statoriques et la vitesse il est possible de recourir à la mesure directe pour obtenir leurs valeurs. D’autre part, en supposant un régime de fonctionnement non saturable, l’inductance magnétisante peut être supposée constante. Reste, par conséquent, le problème de la constante de temps rotorique. A signaler que, dans la littérature, on trouve plusieurs approches pour l’identification de la résistance rotorique ou de la constante de temps rotorique [OUH, MAR-6, VUK, WAD-1, WAD-2, WAN-1, WAN-3]. Les principaux inconvénients de ses approches sont la complexité de la conception et le problème de fonctionnement pour les petites vitesses et les faibles charges (voir chapitre I).

Pour surmonter ses inconvénients, nous proposons une nouvelle variante, basée sur les réseaux de neurones artificiels, pour identifier la variation de la constante de temps rotorique. L’avantage essentiel de cette alternative c’est qu’elle ne nécessite aucun développement supplémentaire du fait qu’elle est déduite directement à partir des résultats obtenus dans le paragraphe précédent. Dans ce cas, il est constaté que l’estimation des fonctions non linéaires ( et ) peut être effectuée de deux manières : Φf ωf

Par les deux réseaux de neurones artificiels en utilisant (4.5) ; Par le modèle mathématique du moteur en utilisant les équations (3.58) et (3.59).

En raison de l’absence d’un mécanisme d’identification (pour la constante de temps rotorique), les équations (3.58) et (3.59) ne permettent d’obtenir que les valeurs nominales des fonctions ( et ), c'est-à-dire, celles correspondantes aux valeurs nominales des paramètres (valeurs obtenues par identification off line). Par contre, les règles d’adaptation (4.20 et 4.21) permettent aux réseaux de neurones d’approximer les valeurs réelles de ces fonctions non linéaires, qui correspondent à toutes les conditions de fonctionnement du moteur même en cas des variations de paramètres. On se trouve, par conséquent, dans une situation où, les valeurs réelles des fonctions recherchées (avec variation des paramètres) sont données par les réseaux de neurones, tandis que, leurs valeurs nominales (avec paramètres nominaux) sont données par le modèle. Pour évaluer la différence, entre les deux estimations, on peut revenir aux figures (4.21, 4.23 et 4.24). En négligeant les erreurs d’estimation des réseaux de neurones, on peut dire que la différence, entre les deux estimations, vient de la variation de paramètres et, plus précisément, de celle de la constante de temps rotorique. Par conséquent, l’estimation de la variation de ce paramètre peut être facilement réalisée en exploitant la différence suscitée. C’est sur cet aspect que repose le principe de l’estimateur proposé. Pour développer cet estimateur, considérons les suppositions suivantes :

Φf ωf

i. Les courants statoriques ainsi que la vitesse sont disponibles par des mesures directes ; ii. Les inductances et la constante de temps statorique sont supposées constantes ;

iii. Seulement la valeur nominale (valeur déterminée par l’identification standard du moteur) de la constante du temps rotorique ( ) est connue, tandis que, sa variation est supposée inconnue.

rT

En tenant compte de ces suppositions, l’objectif de l’estimateur est de reconstituer la variation que peut subir la constante de temps rotorique. Pour ce faire, le coefficient α (l’inverse de ) peut être écrit comme suit:

rT

ααα ~+= n (4.24)

Où :

74



représente la valeur réelle ; α

représente la valeur nominale ; nα

α~ représente la déviation par rapport à la valeur nominale.

En considérant (4.24), les expressions des fonctions non linéaires et (3.58 et 3.59)

peuvent êtres réécrites comme suit:

Φf ωf

( ) ( ) ( αχαα ~,,, xxfxf nn ΦΦ

∗

Φ += )

)

(4.25)

( ) ( ) ( αχαα ωωω~,,, xxfxf nn +=

∗ (4.26)

Avec :

Les termes et représentent les valeurs réelles des fonctions non linéaires ( et ) ;

∗

Φf∗

ωf Φf

ωf Les termes et s’obtiennent par (3.58 et 3.59), avec nfΦ nfω nαα = (les valeurs

nominales des fonctions et ) ; Φf ωf Les termes et Φχ ωχ expriment l’influence de la variation de l’inverse de la constante

de temps rotorique sur les valeurs réelles des fonctions et . Φf ωf

( )αζ ~,xΦ ( )αζω~,xEn utilisant (4.24), dans (3.58) et (3.59), les termes et sont données par :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23212

21~2Y~Y,,~, YYYYxfxfx nn +++++=−= Φ

∗

ΦΦ αααααχ (4.27)

( ) ( ) ( ) 4~,,~, Yxfxfx nn ααααχ ωωω =−=

∗ (4.28)

Où : ( ) ( ) dd

2q

2d

22d1 IM6IIM2M24xY Φ−++Φ+= β)( (4.29)

(4.30) ddnqdrp IMIMNxY Φ−Φ= γω 222 )(

ddrd

ILMxY Φ

−= 3

3

32σ

)( (4.31)

qdrd

IL

MxY Φ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=σ

μ2

4 1)( (4.32)

α~La variation ( ) peut être déduite de deux manières :

(a) . A travers la fonction non linéaire en résolvant l’équation (4.27), par rapport à l’inconnu

Φfα~ ;

(b) . A travers en résolvant l’équation (4.28) ; ωf

A partir des expressions (3.58), (3.59), (4.27) et (4.28), il apparaît claire que l’utilisation de l’expression de rend l’estimation de la variation de la constante de temps rotorique plus simple à partir de l’équation (4.28). Par conséquent, une estimation préliminaire peut être effectuée par :

ωf

( ) ( ) ( )44

~,,,~Yx

Yxfxf n αχααα ωαω =

−=

∗

(4.33)

Pour valider l’estimateur (4.33), il faut vérifier les conditions de singularité. A partir de (4.32), le dénominateur de l’estimateur (4.33) prend une valeur nulle si le courant statorique

75



( ) ou le flux rotorique sont nuls. Pour le flux rotorique et, comme expliqué au chapitre précédent, la nullité de cette grandeur représente une condition physique qui ne se produit qu’à l’instant du démarrage. Donc la nullité du flux rotorique peut être écartée. Reste donc, le problème de nullité du courant statorique. Après le découplage, qui est exact pour le cas de la linéarisation entrée-sortie, le courant statorique ( ) reflète l’image du couple électromagnétique qui dépend, de son coté, de la valeur du couple de charge. Le courant statorique ( ) prend donc une valeur nulle pour un couple électromagnétique nul, c'est-à-dire, pour un fonctionnement à vide. Il faut noter que, pratiquement, à part l’instant de démarrage, le courant statorique peut avoir des valeurs très petites mais non nulles, chose qui est due à la présence des couples de charge parasites tel que celui de frottement. Malgré cela et, pour éviter d’une manière certaine la singularité de l’estimateur proposé, l’utilisation de ce dernier peut être limitée au fonctionnement du moteur avec charge. En effet, cette limitation ne réduira, en aucun cas, les performances de l’estimateur proposé du fait que la variation de la constante de temps rotorique n’a aucun effet sur le fonctionnement du moteur à vide. Par conséquent, l’expression de l’estimateur est modifié comme suit :

qI

qI

qI

( ) ( )καχα ω

+ΥΥ=

44

~,Sign~ x (4.34)

Avec κ un nombre réel positif suffisamment petit introduit pour éviter la singularité de l’estimateur proposé et selon la valeur du terme ( ) 14 ±=ΥSign 4Υ . Pour compléter le modèle de

l’estimateur proposé, il faut déterminer la valeur de la fonction où la valeur réelle de la fonction . D’après ce qui a été expliqué, ci-dessus, le réseau de neurones permet de fournir une approximation suffisante pour la valeur recherchée. Par la suite, l’expression finale de l’estimateur proposé devient :

∗

ωf

ωf ωNN

( ) ( )καχα ω

+ΥΥ=

44

~,ˆSign~ x (4.35)

α~Où et α~ sont les valeurs estimées de et ωχ ωχ . En utilisant la sortie du réseau (4.5), l’équation (4.28) devient :

ωNN

( ) ( nn xfFx ααχ ωωω ,ˆ )~,ˆ −= (4.36)

Fig. 4.24 Schéma de la commande neuronale proposée avec estimation de la constante de temps rotorique.

Vd (d,q)

(a,b)Vq

Ias

Vas

G

(d,q)

(a,b)

fωn

Estimateur de α~

Estimateur du flux

α~ arΦ

ΦF

MAS

Id

Iq

Φd

ωF


eΦref

ωref

f

eω

2reΦ Loi de

commandef

VbsI ω2

rΦ bs r

brΦ

76



En utilisant (4.35), les deux composantes du flux rotorique peuvent être estimées de la manière suivante:

( ){ }( ){ }⎪⎩

⎪⎨⎧

Φ−Φ−+=Φ

Φ+Φ−+=Φ

arrpbrbsnbr

brrparasnar

NMI

NMI

ˆˆ~ˆ

ˆˆ~ˆ

ωαα

ωαα&

&

(4.37)

On obtient, finalement, le schéma de commande neuronale proposé pour le moteur asynchrone qui est illustré sur la figure (4.24).

Pour tester le comportement du circuit de commande avec le schéma d’estimation (proposé pour

rT1

=α et le flux rotorique), ce dernier a été inséré dans le circuit de commande du

moteur correspondant à la figure (4.24). Le schéma de commande résultant est simulé avec différentes variations de la constante de temps rotorique (brusque et linéaire). En plus, les capacités de l’estimateur sont testées pour un fonctionnement à très petite vitesse et à très faible charge.

Pour les deux types de variations (brusque et linéaire), l’estimateur démontre des performances très satisfaisantes (figures 4.25 et 4.26). Pour les variations brusques, certaines légères oscillations apparaissent lors des changements brusques de la constante du temps rotorique (Fig. 4.25). Ces oscillations disparaissent pour les changements linéaires de telle sorte que l’estimation devient idéale (Fig. 4.26). Les erreurs d’estimation, entre les valeurs estimées et les valeurs idéales, ne se manifeste que pour les régimes transitoires (Fig. 4.27). La précision de l’estimateur peut être clairement prouvée par les réponses dynamiques du moteur. En effet, les figures (4.28 et 4.29) pour la vitesse et (4.30 et 4.31) pour le couple électromagnétique, montrent que ces deux grandeurs maintiennent leurs performances pour tout type et tout ordre de variation même avec des échelons représentant une variation de 100% de la valeur nominale de Tr . Pour le flux rotorique, à par certaines faibles perturbations (lors des régimes transitoires), le flux rotorique estimé suit fidèlement sa valeur de référence (Fig. 4.32 et 4.33). Il est normal de voir de telles perturbations qui ne reflètent que les oscillations observées sur les estimations de la constante de temps rotorique. Les figures (4.34 et 4.35) illustrent les estimations de la fonction non linéaire , qui sont effectuées par réseaux de neurones et en utilisant le modèle nominal, pour les deux types de variation. En outre, on peut observer la présence d’une différence entre les deux estimations lors de la variation de la constante de temps rotorique. A rappeler que c’est cette différence qui est utilisée pour reconstituer la variation de .

ωf

rT

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 46

8

10

12

14

16

18Tr estimée Tr idéale

0 0.5 1 1.5 2

7

8

9

2 2.5 3

17.5

18

3 3.510.5

1111.5

12

Constante du temps rotorique estimée (1/s)

t(s)

Fig. 4.25 Valeurs estimées de l’inverse de la constante de temps rotorique pour des variations brusques de Tr

77



78

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 46

8

10

12

14

16

18Tr estiméeTr idéale

2.45 2.5 2.55 2.6

17.4

17.6

3.15 3.2 3.25

10.6

10.8

11

Constante de temps rotorique estimée (1/s)

t(s)

Fig. 4.26 Valeurs estimées de l’inverse de la constante de temps rotorique pour

des variations linéaires de Tr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-5

0

5

10Var. brusque Var. linéaire

Erreur d'estimation de Tr (1/s)

t(s)

Fig. 4.27 Erreur d’estimation de l’inverse de la constante du temps rotorique pour des variations brusques et linéaires de Tr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120Vit. réfNN-IOFLC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 490

95

100

105


t(s)

Fig. 4.29 Evolution de la vitesse du moteur pour des variations linéaires de Tr

120

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

Vi. réf NN-IOFLC

100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 490

95

100


t(s)

Fig. 4.28 Evolution de la vitesse du moteur pour des variations brusques de Tr



79

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-2

0

2

4

6

8

10

12Coup. réfNN-IOFLC

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

5

6

7


t(s)

Fig. 4.30 Evolution du couple électromagnétique pour des variations brusques de Tr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-2

0

2

4

6

8

10

12Coup. réf.NN-IOFLC

1 1.5 2 2.5 3 3.5 45.5

6

6.5

7


t(s)

Fig. 4.31 Evolution du couple électromagnétique pour des variations linéaires de Tr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Flux réf. Flux estimé

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.15

1.16

1.17

Flux rotorique estimé (Wb)

t(s)

Fig. 4.32 Evolution du flux rotorique estimé pour des variations brusques de Tr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.155

1.16

1.165

1.17


t(s)

Fig. 4.33 Evolution du flux rotorique estimé pour des variations linéaires de Tr



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 105

t(s)

Fig. 4.34 Evolution de la fonction fω (réseau de neurones et modèle) pour des variations brusques de Tr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 105

t(s)

Fig. 4.35 Evolution de la fonction fω (réseau de neurones et modèle) pour des variations linéaires de Tr

Pour tester le fonctionnement, à petite vitesse et à faible charge, l’estimateur proposé est testé avec une vitesse très basse (0.5% de la vitesse nominale) et une faible charge (1% de la charge nominale). Les estimations obtenues pour ( ) sont représentés sur la figure (4.36). En dehors de quelques régimes transitoires passagers (lors de la diminution brusque de la vitesse ou du couple de charge), l’estimateur permet une estimation satisfaisante. Chose qui peut être observé dans les réponses dynamiques du moteur qui ne sont pas affectées (où la vitesse (Fig. 4.37), le couple électromagnétique (Fig. 4.38) et le flux rotorique estimé (4.39) conservent leurs performances).

rT

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45

10

15

20

25Tr esitmèeTr idéale

Constante du temps rotorique estimée (1/s)

t(s)

Faible vitesse Faible charge

Fig. 4.36 Evolution de l’inverse de la constante de temps rotorique estimée pour petite vitesse et faible charge

80



81

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

20

40

60

80

100

120Vit. réf.NN-IOFLC


t(s)

Fig. 4.37 Valeurs de vitesse utilisées pour tester l’estimateur neuronal à petites vitesses et à faibles charges

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-5

0

5

10

15Coup. réf.NN-IOFLC


t(s)

Fig. 4.38 Valeurs du couple de charge utilisées pour tester l’estimateur neuronal à petites vitesses et à faibles charges

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Flux réf.Flux est.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1.12

1.14

1.16

1.18


t(s)

Fig. 4.39 Evolution du flux rotorique estimé à petites vitesses et à faibles charges



4. 3 Conclusion Dans ce chapitre, une nouvelle approche de commande, basée sur les réseaux de neurones artificiels, est proposée en vue d’améliorer les performances dynamiques du moteur asynchrone et d’éviter quelques inconvénients et limitations liées aux différents types de commandes classiques, telles que : la commande vectorielle et la commande par linéarisation entrée-sortie. La commande proposée représente le résultat d’une combinaison entre le principe de la linéarisation entrée-sortie et les propriétés des réseaux de neurones artificiels. Cette combinaison aboutit à l’établissement d’un algorithme d’apprentissage très robuste permettant une adaptation, en temps réel, pour les paramètres des réseaux de neurones utilisés. Cet algorithme permet de transformer les erreurs de poursuite, observées sur les grandeurs commandées (vitesse et module du flux rotorique), en un moyen pour adapter le comportement des réseaux de neurones afin qu’ils puissent avoir à leurs sorties les valeurs exactes des fonctions non linéaires nécessaires pour générer les lois de commande par linéarisation entrée-sortie.

L’approche de commande proposée a été étudiée de deux points de vue :

En supposant le flux rotorique connu ;

En estimant le flux rotorique.

A partir des performances obtenues, nous pouvons conclure, en supposant le flux rotorique connu, que la commande neuronale proposée a permis d’obtenir des performances identiques à celles des commandes : vectorielle et par linéarisation entrée-sortie. La supériorité de la commande proposée est constatée dans le cas des variations paramétriques. Dans ce cas, une commande adaptative est réalisée en compensant les variations des constantes de temps (rotorique et statorique) sans avoir besoin d’aucun mécanisme d’identification, ce qui permet d’alléger plus le circuit de commande. Toutefois, l’indisponibilité des valeurs du flux rotorique présente un inconvénient pour cette variante de commande.

Pour surmonter cet inconvénient, un estimateur de flux a été proposé. Etant donné, que ce dernier est basé sur le modèle du moteur, ceci implique, l’identification de la constante de temps rotorique. Dans ce cas, une comparaison simple, entre les estimations des fonctions non linéaires (par réseaux de neurones et par modèle à paramètres constants) permet d’approximer la variation de ce paramètre. Il est à signaler que cette approximation reste valide pour toutes les conditions de fonctionnement du moteur, même, pour de très petites vitesses et de très faibles charges. Par la suite, la valeur estimée (de la constante de temps rotorique) a été utilisée, avec le modèle du moteur, pour estimer le flux rotorique.

En effet, les principaux avantages du schéma de commande proposée peuvent être résumés comme suit:

L’association, entre les règles non linéaires d’adaptation et les propriétés des réseaux neurones artificiels, a permis d’élaborer un apprentissage, en temps réel, pour les paramètres des réseaux de neurones utilisés;

Les capacités d’approximation des réseaux de neurones ont été clairement prouvées. En effet, les fonctions non linéaires ciblées sont approximées avec une précision à un tel point où la commande proposée permet d’obtenir des performances satisfaisantes pour tous les régimes de fonctionnement du moteur asynchrone;

Un mécanisme simple est obtenu pour l’estimation de la constante de temps rotorique et, par la suite, le flux rotorique. La précision d’estimation est assurée même pour des

82



conditions critiques de fonctionnement, telles que: les petites vitesses et les faibles charges ;

La simplicité de la structure des réseaux de neurones utilisés (une seule couche cachée avec deux neurones) permet de simplifier considérablement le schéma de commande en minimisant le temps de calcul;

Un autre avantage, très important, peut être attribué à l’approche proposée, il concerne la diminution du besoin en un modèle précis pour le moteur asynchrone, chose qui est très importante du fait que la précision du modèle représente plus qu’une nécessité pour l’établissement de toute autre commande pour le moteur asynchrone.

Sachant, que l’approche proposée a permis d’obtenir des performances très satisfaisantes. Toutefois, l’obtention des performances suscitées nécessite que tous les autres paramètres soient constants, ce qui représente un inconvénient pour l’approche. En effet, en supposant un régime de fonctionnement loin de la zone de saturation, les inductances magnétiques peuvent êtres supposées constantes. Toutefois, cette supposition ne peut pas être étendue à la constante de temps statorique, que l’effet thermique peut affecter considérablement. A signaler que l’estimateur proposé peut être étendu pour inclure la constante de temps statorique mais le développement devient très compliqué.

Pour surmonter cette difficulté, dans le chapitre suivant, un estimateur neuronal universel sera développé. Ce dernier permettra d’estimer trois paramètres simultanément, à savoir : la constante de temps rotorique, la constante de temps statorique et le couple de charge. Cet estimateur permettra de compléter le schéma de commande proposé dans le présent chapitre.

83

Chapitre V

Estimateur universel à base de réseaux de neurones artificiels pour les paramètres du moteur asynchrone

Chap. V. Estimateur universel, à base de réseaux de neurones artificiels, pour les paramètres du moteur asynchrone

5. 1 Introduction Dans le chapitre précédent, une solution originale, basée sur les réseaux de neurones artificiels, a été proposée en vue d’améliorer le schéma de commande par linéarisation entrée-sortie tout en compensant l’effet de la constante de temps rotorique. Toutefois, pour un fonctionnement correct de ce schéma de commande, la constante de temps statorique est supposé constante, ce qui représente un inconvénient pour cette première tentative. En effet, l’approche proposée peut être étendue pour résoudre ce problème mais la solution est difficile à mettre en oeuvre. D’autre part, cette première variante ne fournit pas une solution pour l’acquisition des valeurs du couple de charge, qui est de son coté inconnu.

Par conséquent, dans ce chapitre, nous proposons un nouvel estimateur universel, à base de réseaux de neurones, en vue d’estimer les paramètres nécessaires pour compléter le schéma de commande précédent. Pour un fonctionnement efficace, l’estimateur proposé doit être d’une architecture simple, facile à mètre en oeuvre, capable de fonctionner correctement même dans des conditions critiques, telles que : les petites vitesse et les faibles charges.

Pour atteindre l’objectif suscité, un estimateur simple, constitué d’un seul réseau de neurones d’une seule couche cachée de trois neurones, est proposé pour estimer les variations des constantes de temps rotorique et statorique et du couple de charge. D’autre part, pour simplifier la conception et le processus d’apprentissage de l’estimateur, une nouvelle fonction de coût est adoptée pour l’optimisation du fonctionnement du réseau proposé. Cette dernière se base sur les grandeurs mesurables du moteur, telles : que les courants statoriques et la vitesse du moteur. Deux motivations principales sont à l’origine de l’adoption d’un tel choix : d’une part, les valeurs des grandeurs suscitées s’obtiennent facilement par la mesure directe et, d’autre part, ces grandeurs permettent de détecter et d’observer l’influence des variations paramétriques (ce sont des grandeurs indicatrices). Le principe de l’estimateur proposé consiste à utiliser les paramètres estimés, par le réseau de neurones, dans le modèle du moteur pour reconstituer les courants statoriques et la vitesse. L’erreur entre les grandeurs mesurées et celles estimées est calculée, ensuite, elle est développée en vue d’obtenir une correspondance entre cette erreur et les erreurs d’estimation des paramètres du réseau de neurones. Par la suite, en se basant sur cette correspondance, les règles d’apprentissage, proposées dans le chapitre précédent, seront utilisées pour l’apprentissage du réseau.

L’estimateur proposé possède une structure qui lui permet de s’intégrer facilement dans n’importe quel schéma de commande du moteur asynchrone. Par conséquent, il peut être considéré comme étant un estimateur universel. Pour vérifier cette propriété, l’estimateur sera testé avec les trois commandes considérées, à savoir : la commande vectorielle indirecte, la commande par linéarisation entrée-sortie et la commande neuronale.

5. 2 Modèle de l’estimateur universel à base du réseau de neurones artificiels Dans cette étape de notre travail, supposons que :

Pour les constantes de temps rotorique et statorique, on ne connaît que les valeurs nominales correspondantes à celles déterminées par les tests standards ;

Le couple de charge est supposé inconnu ; La variation des inductances n’est pas considérée.

En tenant compte des suppositions suscitées, définissons un vecteur regroupant les quantités à estimer comme suit :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

=

rC

r

s

P (5.1)

84


Où : − : Représente la variation de l’inverse de la constante du temps statorique (sΔ

sT1 ) ;

− : Représente la variation de l’inverse de la constante du temps rotorique (rΔrT

1=α ) ;

− : Représente la variation du couple de charge. rCΔ

Ces variations sont déterminées comme suit:

rC

nrnr

r

snss

CT1

T1

T1

T1

r=Δ

−=−=Δ

−=Δ

αα (5.2)

Où :

et - sont respectivement les valeurs exacte et nominale de la constante de temps statorique ;

sT snT

et - sont respectivement les valeurs exacte et nominale de la constante de temps rotorique ;

rT rnT

- Est la valeur exacte du couple de charge. rC

Pour estimer le vecteur P , considérant un réseau de neurones à trois couches (d’entrée, cachée et de sortie), ce vecteur s’obtient par :

( )Tc XP ΝΝ= ˆˆˆ σ (5.3)

Avec : [ bsas

NIIX

η1

= ]

))

- Le vecteur des entrées du réseau de neurones et c’est un

coefficient positif permettant de normaliser les dites entrées ;

Nη

- La matrice des poids estimés entre la couche cachée et de sortie ; ( cs nnN ×:ˆ

- La matrice des poids estimés entre la couche cachée et d’entrée ; ( ecc nnN ×:ˆ

, et - Sont respectivement le nombre d’entrées, le nombre de neurones dans la couche cachée et le nombre de sorties ;

2ne = 2nc = 3ns =

σ - Est une fonction d’activation sigmoïde identique à celle utilisée dans le chapitre précédent (4.3).

Le vecteur P , qui contient les valeurs estimées des composantes du vecteur P , est donné par :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

=

rC

r

s

Pˆˆˆ

ˆ (5.4)

Où : −

snss T

1T1−=Δ ˆ

ˆ - La valeur estimée de ; sΔ

− rnr

r T1

T1−=Δ ˆ

ˆ - La valeur estimée de ; rΔ

− : La valeur estimée de ; rCΔ rCΔ

85


− , - Sont, respectivement, les valeurs estimées des constantes de temps rotorique et statorique.

sT rT

Pour l’apprentissage du réseau, conformément aux explications données dans l’introduction du présent chapitre, on utilise une fonction d’erreur basée sur la dynamique des courants statoriques et de la vitesse du moteur. Par conséquent, en utilisant le vecteur des paramètres estimés ( P ), les courants statoriques et la vitesse peuvent être reconstitués, à travers le modèle du moteur (équation 3.31), comme suit :

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−Φ−Φ=

+Φ−Φ+−=

+Φ+Φ+−=

JCII

VL

NII

VL

NII

rasbrbsarr

bssd

arrpbrbsbs

assd

brrparasas

ˆˆˆˆˆˆ

1ˆˆˆˆˆˆˆ

1ˆˆˆˆˆˆˆ

μω

σωββαγ

σωββαγ

&

&

&

(5.5)

Avec :

sndnn

sd

rnsd

TM

MT

M

σαβγ

σβγ

σαβγ

1

ˆ1ˆˆ

1ˆˆ

+=

Δ+Δ+=+=

(5.6)

En utilisant (5.2, 5.4 et 5.6), le système (5.5) peut être organisé comme suit:

s321 VAPBAZAZ ++Φ+= ˆˆˆˆ& (5.7) Où :

[ ]Tbsass VVV =

- représente les estimations des valeurs mesurées des courants statoriques ( ) et de la vitesse ( ).

[ Trbsas IIZ ωˆˆˆ = ]

]bsas II , rω

- représente l’estimation des deux composantes du flux rotorique. Ces deux valeurs sont évaluées en utilisant le modèle du moteur et la valeur estimée de

[ Tbsas ΦΦΦ ˆˆˆ =

α (voir chapitre IV, équation (4.23)).

Les matrices , , et sont données par : 1A 2A 3A B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΦΦ−

Φ−−

Φ−

=

0ˆˆˆ0

ˆ0

1

brar

arpn

brpn

NN

Aμμ

βγβγ

(5.8)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

0A n

n

2 βαβα

(5.9)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00a00a

A3 (5.10)

[ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−Φ−

−Φ−

=

J

IMI

IMI

B bsbrbs

asaras

100

0ˆˆˆ1

0ˆˆˆ1

ˆ βσ

βσ

(5.11)

86


D’autre part, en supposant l’existence d’un réseau de neurones, avec des poids idéaux (exacts) qui permet d’obtenir les valeurs exactes des composantes du vecteur P . Ces dernières, sur la base du modèle du moteur (3.31), permettent de reconstituer les valeurs exactes des variables mesurées du vecteur Z . Dans ce cas le vecteur exact ( P ) est donné par :

( )Tc XP ΝΝ= σ (5.12)

Où : N , cN - sont des matrices contenant les poids exacts du réseau de neurones et :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

=

rC

r

s

P (5.13)

Où : sΔ , rΔ et rCΔ - sont, respectivement, les valeurs exactes de , et . En utilisant

(5.2) et (5.13), les valeurs mesurées des courants statoriques et de la vitesse s’expriment par : sΔ rΔ

rCΔ

PBVAAZAZ s321 ++Φ+= ˆ& (5.14)

Avec : et : [ ]Trbsas IIZ ω=

[ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−Φ−

−Φ−

=

J

MII

MII

B bsbrbs

asaras

100

0ˆ1

0ˆ1

βσ

βσ

(5.15)

Considérant le vecteur d’erreur d’estimation, des courants statoriques et de la vitesse, qui est donné par :

[ ]Trrbsbsasas IIIIZ ωω ˆˆˆ~−−−= (5.16)

En utilisant (5.7) et (5.15), la dynamique du vecteur d’erreur s’obtient par :

PBZAZ 4~ˆ~~

+=& (5.17)

Avec :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ−ΔΔ−ΔΔ−Δ

=−=

rr CC

rr

ss

PPPˆˆˆ

ˆ~ (5.18)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

=

0ˆˆ

ˆNM10

ˆN0M1

A

brar

arprsn

brprsn

4

ΦμΦμ

ΦβΔβΔσ

γ

ΦβΔβΔσ

γ

(5.19)

En considérant (5.4), (5.12) et (5.18), la dynamique des erreurs (5.17) devient :

( ) ( )( Tc

Tc4 XXBZAZ ΝΝ−ΝΝ+= ˆˆˆ )~~ σσ& (5.20)

En suivant le même développement, qu’au chapitre précédent (en utilisant le développement de Taylor), le système (5.20) prend la forme suivante :

( )( PT

cT

c4 BZAZ ζσσσ +ΧΝΝ+ΧΝ−Ν+= )~ˆˆˆˆˆ~ˆ~~ &&& (5.21)

87


Où : ; ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= T

c Xˆσσ Ν

- est une fonction bornée exprimant les erreurs correspondantes au développement de Taylor (voir chapitre 4, paragraphe 4.2.1).

Pζ

Par similitude, à ce qui a été fait au chapitre précédent, en considérant la dynamique des erreurs (5.21), les règles d’adaptation pour les paramètres du réseau peuvent être obtenues par :

( ) [ ][ ] c4n

T3nc

2nT

c1n

ZZ

ZZ

Ν⋅⋅−ΝΧ⋅⋅Β⋅=Ν

Ν⋅⋅−Β⋅⋅ΧΝ−⋅=Ν

ˆ~ˆˆ~ˆˆ

ˆ~ˆ~ˆˆˆˆ

τστ

τσστ

&&

&&

(5.22)

Les coefficients sont des positifs choisis en vue d’améliorer la convergence des règles (5.22). La figure (5.1) représente le schéma de fonctionnement de l’estimateur proposé.

niτ

5. 3 Analyse des résultats de simulation

Pour tester les performances de l’estimateur proposé, il a été inséré, premièrement, dans un schéma de commande par linéarisation entrée-sortie standard (IOFLC). Les capacités d’estimation sont étudiées dans différents cas de figures, à savoir :

Fonctionnement dans le cas d’un régime de fonctionnement nominal ; Fonctionnement avec une petite vitesse et une faible charge ; Vérification de la capacité de l’estimateur à accomplir une estimation séparée pour

chaque paramètre.

Par ailleurs, en vue de vérifier le caractère universel de l’estimateur proposé, ce dernier est inséré dans deux autres schémas de commande qui sont ceux de la commande vectorielle indirecte (IFOC) et de la commande par linéarisation entrée-sortie à base de réseaux de neurone artificiels (NN-IOFLC).

A cet effet, dans le cas d’un régime de fonctionnement nominal, des variations busques et linéaires (entre et des valeurs nominales) sont appliquées sur l’inverse des

Fig. 5.1 Schéma de fonctionnement de l’estimateur neuronal proposé

%100+ %50−

MAS

Estimation de Ias, Ibs et

ωr


Estimateur du flux

asI

ωr

P

Bloc de commande

Vas

Vbs

Ia Ibss

arΦ

arΦ bsI

rω

88


89

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

0

5

10

15

20

25Val. idéale Val. estimée


t(s)

Fig. 5.2 Valeurs estimées de l’inverse de la constante de temps rotorique pour des variations brusques et linéaires

0 1 2 3 4 5-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Inverse de Tr (1/s) Couple de charge (N.m)Inverse de Ts (1/s)

Erreurs d'estimation

t(s) t(s) t(s)

Fig. 5.5 Erreurs d’estimation du réseau de neurones pour les trois paramètres estimés

constantes de temps rotorique et statorique. Les estimations des paramètres recherchés sont illustrés sur la figure (5.2) pour l’inverse de la constante de temps rotorique, sur la figure (5.3) pour l’inverse de la constante de temps statorique et sur la figure (5.4) pour le couple de charge. Lors du déroulement des régimes transitoires, les variations brusques des paramètres provoquent certaines oscillations qui sont rapidement amorties. A l’exception des cas des régimes transitoires, les paramètres estimés suivent fidèlement leurs valeurs de référence (ou idéales). Les erreurs d’estimation, pour les trois paramètres, tendent rapidement vers des valeurs nulles (figure (5.5)).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

0

10

20

30


Constante de temps statorique estimée (1/s)

t(s)

Fig. 5.3 Valeurs estimées de l’inverse de la constante de temps statorique pour des variations brusques et linéaires

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55.75

5.8

5.85

Couple de charge estimé (N.m)

t(s)

Fig. 5.4 Valeurs estimées du couple de charge pour des variations brusque et linéaire de rT et sT


90

0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10-3

0 1 2 3 4 5-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Paramètres du réseau de neurones

N

ur la figure (5.6), sont représentées les erreurs d’estimation : des courants statorique et de la itesse rotorique, qui sont utilisées pour l’apprentissage du réseau de neurones proposé. Il est remarquer que chaque variation, de n’importe quel paramètre, provoque la déviation des

cet effet, on constate que la précision d’estimation peut être clairement évaluée en analysant s réponses dynamiques du moteur. La vitesse, représentée sur la figure 5.8, suit précisément

a référence avec une erreur de poursuite négligeable. Pour le couple (Fig. 5.9), on n’observe

t(s) t(s)

cN

Fig. 5.7 Evolution des paramètres du réseau de neurones proposé : cas des variations (brusques et linéaires) de rT et sT

Svàgrandeurs estimées par rapport à celles mesurées. Cette déviation est exploitée, par les règles d’adaptation (5.22), pour modifier le comportement du réseau afin qu’il puisse délivrer les valeurs des paramètres correspondant aux différentes conditions de fonctionnement (Fig. 5.7). Au fur et à mesure que les erreurs d’estimation tendent vers zéro, les poids du réseau de neurones s’approchent de leurs valeurs exactes jusqu’à ce que la meilleure estimation soit atteinte pour les paramètres en question.

Alesque quelques faibles perturbations qui sont dues aux oscillations du couple de charge estimé. En omettant les faibles perturbations, les valeurs du flux rotorique estimé correspondent bien aux valeurs de référence (Fig. 5.10). Il faut signaler, que malgré que les oscillations des paramètres estimés sont d’une certaine importance (durant les régimes transitoires), les perturbations engendrées dans les réponses dynamiques sont négligeables. Ceci est dû à l’action rapide des règles d’apprentissage qui permettent d’amortir rapidement ces oscillations. D’autre part, la précision d’estimation permet aussi au circuit de commande d’adapter les tensions de commande aux différentes conditions de fonctionnement du moteur

0 1 2 3 4 5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

0.3Courant Ia (A) Vitesse (rad/s)Courant Ib (A)

Erreurs d'estimation

0 1 2 3 4 5t(s) t(s) t(s)

Fig. 5.6 Evolution des erreurs d’estimation des courants statoriques ( aI , bI ) et de la vitesse : cas des variations (brusque et linéaire) de rT et sT


91

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8Coup. réf.Coup. réel

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55

5.5

6

6.5


t(s)

Fig. 5.9 Evolution du couple électromagnétique lors de l’utilisation de l’estimateur proposé avec IOFLC : cas des variations (brusque et linéaire) de rT et sT

0 1 2 3 4 50

5

10

15Courant IdCourant Iq

0 1 2 3 4 5-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

Tension VdTension Vq

(A) (V)

Courants et tensions statoriques dans le référentiel tournant

t(s) t(s)

Fig. 5.11 Evolution des courants ( dI , qI ) et des tensions ( dV , qV ) lors de l’utilisation de l’estimateur proposé avec IOFLC : cas des variations (brusque et linéaire) de rT et sT

(figure 5.11 et 5.12). En outre, les courants statoriques correspondent à leurs valeurs nominales et les pics des courants sont maintenus dans des limites admissibles.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120VitVit

. réf.

. réel.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 598

100

102


t(s)

Fig. 5.8 Evolution de la vitesse du moteur lors de l’utilisation de l’estimateur proposé avec IOFLC : cas des variations brusques et linéaires de rT et sT

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.15

1.16

1.17


t(s)

Fig. 5.10 Evolution du flux rotorique estimé lors de l’utilisation de l’estimateur proposé avec IOFLC : cas des variations (brusque et linéaire) de rT et sT


92

15

0 1 2 3 4 5-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

-200

-100

0

100

200

Courant Ia (A) Tension Va (V)

t(s) t(s)

Fig. 5.12 Evolution du courant aI et de la tension ( aV ) lors de l’utilisation de l’estimateur proposé avec IOFLC : cas des variations (brusque et linéaire) de rT et sT

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120Vit. réf. Vit. réel.


ar ailleurs, il est clair que les variations paramétriques introduites sont très exagérées et ne

s vitesses et

se ( de la vitesse nominale) ;

La alisée sur les réponses dynamiques de la vitesse

t(s)

Fig. 5.13 Vitesse utilisée pour tester le comportement du réseau de neurones à petite vitesse et faible charge

Pcorrespondent pas aux différents cas du fonctionnement réel du moteur. Par exemple, une variation, simultanée et brusque, de %100 pour les constantes de temps (rotorique et statorique) ne peut pas avoir lieu réellement. Cependant, ces variations peuvent être considérés comme des cas critiques permettant de tester les performances de l’estimateur proposé. Dans ce cas, si l’estimateur arrive à se comporter correctement, dans ses situations critiques, il peut facilement s’adapter avec les conditions réelles de fonctionnement du moteur où les variations paramétriques sont plus faibles par rapport à celles considérées.

D’autre part, pour tester le comportement de l’estimateur, dans le cas des petitedes faibles charges, les situations suivantes sont considérées :

Charge nominale avec vitesse nominale ; Charge nominale avec une très petite vites %1 Faible charge ( %1 de la charge nominale) avec une petite vitesse ; Faible charge avec vitesse nominale.

répartition de ces situations peut être visu(Fig. 5.13) et du couple électromagnétique (Fig. 5.14). En observant les estimations fournies par les réseau de neurones, pour les trois paramètres (Fig. 5.16, Fig. 5.17 et Fig. 5.18), il est évident que l’estimateur proposé maintient ses performances pour n’importe quelle condition de fonctionnement. De son coté, l’évolution du flux rotorique estimé (Fig. 5.15) montre que ce dernier n’est pas affecté par de telles conditions de fonctionnement.


93

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 58

10

12

14

16

18

20

22



t(s)

Fig. 5.16 Valeurs estimées de la constante de temps statorique : cas des petites vitesses et des faibles charges

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-2

0

2

4

6

8

Coup. réf.Coup. réel


t(s)

Fig. 5.14 Couple de charge utilisé pour tester le comportement du réseau de neurones à petite vitesse et à faible charge

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Flux réf.Flux réel


t(s)

Fig. 5.15 Evolution du flux rotorique estimé : cas des petites vitesses et des faibles charges

24

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 58

10

12

14

16

18

20



t(s)

Fig. 5.17 Valeurs estimées de la constante de temps rotorique : cas des petites vitesses et des faibles charges


94

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

0

5

10

15

20

25Val. idéale Val. estimèe


t(s)

Fig. 5.19 Valeurs estimées de l’inverse de la constante de temps rotorique pour des variations distinctes de rT , sT et du couple de charge

e adaptative,

à effectuer une estimation séparée, pour les

10

En ce qui concerne les paramètres du réseau de neurones (Fig. 5.7), il est intéressantd’observer l’évolution des poids de la couche de sortie ( N ). Nous constatons que chaque trois poids (parmi les neuf poids) reflètent l’image de l’un des paramètres estimés. Par conséquent, malgré la structure interconnectée du réseau de neurones, sa dynamique interne révèle l’existence d’un certain découplage entre les évolutions des paramètres estimés.

Dans ce contexte, il faut rappeler que, dans plusieurs approches de commanddéveloppées pour le moteur asynchrone, le problème de dépendance (ou de couplage), entre les paramètres estimés, est signalé. A cet effet, pour estimer un paramètre, le reste des paramètres sont supposés constants ce qui limite les perspectives de la commande adaptative. D’autre part, des estimations erronées peuvent êtres obtenues pour un paramètre en raison de l’influence de la variation des autres paramètres.

Pour confirmer la capacité du réseau de neuronesdifférents paramètres considérés, son comportement est testé en appliquant des variations distinctes pour les constantes de temps rotorique et statorique et le couple de charge. A partir des résultats obtenus (Fig. 5.19, Fig. 5.20 et Fig. 5.21), on peut déduire que :

Durant les périodes, s511t .÷= et s553t ÷= . , les variations du couple de charge imation des constantes d

n’influent pas sur l’est e temps rotorique et statorique, qui ne subissent aucun changement de valeurs ; Durant la période, s5251t .. ÷= , la variation de la constante de temps rotorique est estimée sans qu’aucune influence ne soit exercée sur la valeur de la constante de temps statorique qui reste constante ; De même, la variation de la constante de temps statorique, s5352t .. ÷= , n’a aucune influence sur la constance la valeur de la constante de temps rotorique qui reste constante.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-2

0

2

4

6

8

Val. idéale Val. estimée


t(s)

Fig. 5.18 Valeurs estimées du couple de charge : cas des petites vitesses et des faibles charges


Fig. 5.20 Valeurs estimées de l’inverse de la constante de temps statorique pour

des variations distinctes de rT , sT et du couple de charge

En analysant les constatations suscitées et leurs liens avec l’évolution des poids du réseau, on

mmande vectorielle à flux rotorique orienté

peut conclure que le réseau à trois sorties, se comporte comme une superposition de trois réseaux mono-sortie. Dans ce cas, chaque réseau prend en charge l’estimation de l’un des trois paramètres. Cette propriété spécifique est très précieuse donne l’impression que la structure du réseau de neurones proposé peut être modifiée pour correspondre à une utilisation bien déterminée. Par exemple, si la commande ciblée ne nécessite que la connaissance d’un seul paramètre, on peut utiliser une version mono-sortie de l’estimateur proposé, etc. Un autre avantage intéressant peut être attribué à l’estimateur proposé, c’est son élaboration qui ne dépend pas de l’algorithme de commande. Par conséquent, il peut être inséré dans n’importe quel schéma de commande du moteur asynchrone, sans tenir compte du type ou du développement mathématique utilisé pour établir la commande. Grâce à ces deux avantages, l’estimateur proposé gagne plus de perspectives et son utilisation peut être généralisée conformément aux objectifs visés, par exemple :

Il peut être inséré dans un schéma de copour l’estimation de la constante de temps rotorique ;

Il peut être inséré dans un schéma de commande vectorielle à flux statorique orienté ou dans la commande directe du couple (DTC) pour l’estimation de la constante de temps statorique ; Il peut être utilisé avec la commande par linéarisation entrée-sortie pour estimer les deux constantes de temps ;

Il peut être utilisé pour estimer la constante de temps rotorique afin de compléter le schéma de commande neuronale, proposé dans le chapitre précèdent.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

0

2

4

6

8

10Val. idéale Val. estimèe


t(s)

Fig. 5.21 Valeurs estimées du couple de charge pour des variations distinctes de rT , sT et du couple de charge

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30


Constante de temps statorique estimée (1/s)

t(s)

95


A la lumière de ce qui a été dit, on peut attribuer, sans exagération, un caractère universel à l’estimateur proposé.

Pour valider cette propriété, l’estimateur est inséré dans le schéma d’une commande vectorielle indirecte (IFOC) et dans le schéma de commande par réseaux de neurones (NNIOFLC), proposé dans le chapitre précédent. Les figures (5.22), (5.23) et (5.24) représentent les estimations des paramètres (l’inverse de , l’inverse de et le couple de charge) avec l’IFOC et le NN-IOFLC. On remarque la présence de certaines oscillations dans les paramètres estimés, durant les régimes transitoires, mais elles sont rapidement éliminées par les règles d’adaptation. L’influence des paramètres estimés varie d’un type de commande à l’autre, cela peut être constaté dans les réponses dynamiques obtenues pour la vitesse (Fig. 5.25), pour le couple électromagnétique (Fig. 5.26) et pour le flux rotorique (Fig. 5.27). Bien qu’avec le NN-IOFLC, les oscillations des paramètres affectent un peu les réponses dynamiques, leur effet est rapidement compensé par le circuit de commande ce qui permet aux grandeurs commandées de regagner leurs valeurs de référence. Ce cas ne se présente pas pour la commande vectorielle. En effet, malgré que les perturbations, sur les valeurs estimées des paramètres, sont faibles et de courtes durées (Fig.22), elles arrivent à affecter le découplage (Fig. 5.27), en particulier, la constante de temps rotorique. La perte du découplage ralentie le rétablissement des grandeurs commandées (flux, vitesse et couple). Cela ne fait que confirmer la dépendance rigide existant entre la commande vectorielle et ce paramètre.

sT rT

Il faut signaler que pour toutes les commandes adaptatives, l’insertion d’un mécanisme d’estimation engendre, toujours, des perturbations dans les réponses dynamiques du système commandé lors des changements brusque des conditions de fonctionnement [TOL, MAR-5].

D’autre part, en comparant les performances, la commande par linéarisation entrée-sortie apparaît meilleure, en particulier avec l’utilisation des réseaux de neurones. Dans ce cas, l’utilisation de l’estimateur proposé avec le schéma de commande neuronal, proposés dans le chapitre précédent, le schéma de commande du moteur asynchrone devient, entièrement, basé sur des réseaux de neurones artificiels (pour la commande et l’estimation des paramètres). Les avantages importants de cette commande, purement neuronale, sont :

La diminution du besoin en un modèle précis pour le moteur asynchrone ;

La simplification de la commande du moteur asynchrone ;

La réalisation d’une commande adaptative performante et valide pour toutes les conditions de fonctionnement du moteur asynchrone, même avec petite vitesse et faible charge ;

La génération des lois de commande qui correspondent mieux au comportement réel du moteur asynchrone où toutes ses non linéarités peuvent être compensées, sans aucune information à priori sur elles (en utilisant les capacités d’approximation des réseaux de neurones).

96


97

0 1 2 3 4 5 6

0

20

40

60

80

100Vit. réf.IOFLC IFOC NN-IOFLC


t(s)

Fig. 5.22 Evolution de la vitesse du moteur lors de l’utilisation de l’estimateur proposé dans différents types de commandes

0 1 2 3 4 5 6-4

-2

0

2

4

6

8

10

12Coup. réfIOFLC IFOC NN-IOFLC


t(s)

Fig. 5.23 Evolution du couple électromagnétique lors de l’utilisation de l’estimateur proposé dans différents types de commandes

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Flux. réfIOFLC IFOC NN-IOFLC

0 1 2 3 4 5 6

1.1

1.15

1.2


t(s)

Fig. 5.24 Evolution du flux rotorique estimé lors de l’utilisation de l’estimateur proposé dans différents types de commandes


98

0 1 2 3 4 5 68

10

12

14

16

18

20

22

24data1data2

0 1 2 3 4 5 68

10

12

14

16

18

20

22

24

t(s) t(s)

NN-IOFLC IFOC

Valeurs estimées de l'inverse de Tr (1/s)

Fig. 5.25 Valeurs estimées de l’inverse de Tr lors de l’utilisation de l’estimateur proposé dans différents types de commandes

0 1 2 3 4 5 610

15

20

25

30

35Val. idé.Val. est.

0 1 2 3 4 5 610

15

20

25

30

35

40

t(s) t(s)

NN-IOFLC IFOC

Valeurs estimées de l'inverse de Ts (1/s)

Fig. 5.26 Valeurs estimées de l’inverse de Ts lors de l’utilisation de l’estimateur proposé dans différents types de commandes

0 1 2 3 4 5 6-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Val. idé.Val. est.

t(s) t(s)

NN-IOFLC IFOC

Couple de charge estimè (N.m)

Fig. 5.27 Valeurs estimées du couple de charge lors de l’utilisation de l’estimateur proposé dans différents types de commandes

5. 4 Conclusion Dans ce chapitre, un nouvel estimateur universel, à base d’un réseau de neurones artificiels, est proposé pour estimer trois paramètres jouant un rôle important dans la commande du moteur asynchrone. En effet, un réseau de neurones artificiels d’une seule couche cachée est utilisé pour estimer, simultanément, le couple de charge et les variations des constantes de temps rotorique et statorique. L’apprentissage du réseau est effectué en utilisant une nouvelle fonction d’erreur, basée sur la dynamique des grandeurs mesurables du moteur qui sont les courants statoriques et la vitesse du moteur. Pour ce faire, les paramètres estimés sont utilisés pour reconstituer les grandeurs suscitées. Par la suite, en comparant les valeurs mesurées avec celles reconstituées, en utilisant le modèle du moteur asynchrone, des règles d’apprentissage


sont extraites. Ces règles permettent l’adaptation, en temps réel, des poids du réseau de neurones proposé.

Pour vérifier ses performances, l’estimateur proposé a été utilisé avec différents schémas de commande. En analysant les avantages apportés par l’estimateur, les conclusions suivantes peuvent être faites :

La simplicité de l’estimateur peut être évaluée de différents points de vues. Du coté architecture, le réseau de neurones ne contient qu’une seule couche cachée de trois neurones. Tandis que, du point de vue apprentissage, il utilise une simple fonction d’optimisation basée, uniquement, sur les grandeurs mesurables du moteur. Par ailleurs, du coté conception, l’estimateur est développé indépendamment de l’algorithme de commande ;

Les capacités d’approximation de l’estimateur lui permettent de fournir des estimations suffisamment précises des paramètres en question, même pour des conditions critiques de fonctionnement, telles que: les petites vitesses et les faibles charges;

Malgré son architecture interconnectée, le réseau de neurones accomplit une estimation séparée pour chaque paramètre;

Grâce à la souplesse de son architecture, les applications de l’estimateur peuvent être généralisées par simple modification de son architecture;

Les avantages suscités confèrent à l’estimateur proposé un caractère universel qui lui permet d’être inséré dans les différents schémas de commande du moteur asynchrone, chose qui a été vérifié en l’insérant dans trois schémas de commande différents, à savoir : ceux de la commande vectorielle indirecte, de la commande par linéarisation entrée-sortie et de la commande par linéarisation entrées sortie à base de réseaux de neurones artificiels. Dans les cas d’études suscités, des performances satisfaisantes ont été obtenues pour les différentes conditions de fonctionnement du moteur.

En combinant les propriétés de l’estimateur proposé avec ceux de la commande neuronale (développée dans le quatrième chapitre) un nouveau schéma de commande, basé intégralement sur des réseaux de neurones artificiels, est élaboré pour la commande du moteur asynchrone. L’utilisation de ce schéma de commande offre plusieurs avantages, à savoir :

La diminution des exigences relatives à la précision du modèle du moteur asynchrone favorise l’utilisation d’un tel schéma de commande par rapport aux autres types de commandes ;

L’utilisation des réseaux de neurones permet de compenser toutes les non linéarités du moteur asynchrone ;

La possibilité de faire fonctionner le moteur asynchrone dans toutes ses conditions de fonctionnement, même avec de très petites vitesses et de très faibles charges ;

La souplesse et les capacités d’approximation, prouvées par l’estimateur universel proposé, permettent d’envisager l’estimation de tous les paramètres du moteur asynchrone, y compris la vitesse (en vue de réaliser une commande sans capteur de vitesse).

99

Conclusion générale



Actuellement l’utilisation des techniques de l’intelligence artificielle, en particulier les réseaux de neurones artificiels, connaît une croissance continue dans les différents domaines technologiques. D’autre part, les propriétés de la commande non linéaire (par linéarisation entrée-sortie) permettent de surmonter les limitations liées à la commande vectorielle en réalisant un découplage idéal pour le moteur asynchrone. De plus, cette technique représente le meilleur cadre possible pour intégrer les réseaux de neurones artificiels dans la commande du moteur asynchrone.

Ainsi, le présent travail est consacré à la recherche d’une combinaison, entre les propriétés des réseaux de neurones artificiels, le principe de la commande par linéarisation entrée-sortie et la puissance des règles non linéaires d’adaptation, en vue d’établir un schéma de commande adaptative (à base de réseaux de neurones artificiels) pour le moteur asynchrone à cage. Le schéma suscité permet d’améliorer les performances dynamiques du moteur asynchrone en surmontant certains inconvénients et limitations accompagnant l’emploi des différentes techniques de commandes classiques.

Pour commencer, différentes architectures de commande ont été étudiées en vue de sélectionner celle qui représente le plus d’avantages.

Par la suite, deux réseaux de neurones artificiels sont proposés pour reconstituer les réactions non linéaires d’état, nécessaires pour générer les lois de commande par linéarisation entrée-sortie. La théorie de la commande non linéaire adaptative a été exploitée pour établir des règles d’adaptation permettant un apprentissage, en temps réel, pour les réseaux de neurones utilisés. Ces règles transforment les erreurs de poursuites en un moyen permettant de modifier le comportement des réseaux de neurones afin qu’ils puissent adapter la dynamique du moteur asynchrone en fonction des différentes conditions de fonctionnement. Les résultats obtenus, dans cette partie, permettent de tirer les conclusions suivantes :

Les capacités d’approximation des réseaux de neurones artificiels ont été prouvées. A cet effet, sous l’action des règles d’apprentissage proposées ci-dessus, les fonctions non linéaires ciblées ont été fidèlement estimées pour tous les régimes de fonctionnement du moteur asynchrone ;

L’utilisation des réseaux de neurones a permis d’alléger la conception de la commande en diminuant le besoin en un modèle précis pour le moteur asynchrone. Avec les réseaux de neurones, seules certaines informations sur la dynamique du moteur (tels que : les degrés relatifs et les grandeurs choisies comme entrées pour les réseaux) sont nécessaires ;

Dans le cas ou les valeurs du flux sont supposées connues, cette approche permet de compenser l’effet des variations de tous les paramètres du moteur sans recourir à aucun mécanisme d’identification;

Pour estimer le flux, le modèle du moteur asynchrone peut être utilisé mais pour cela il faut connaître la valeur précise de la constante de temps rotorique. Par conséquent, un autre avantage peut être reconnu pour l’approche proposée. En effet, la variation de la constante de temps rotorique se déduit facilement en comparant les valeurs des fonctions non linéaires estimées par réseaux de neurones et celles obtenues à partir d’un modèle nominal (avec des paramètres fixes) ;

100


Malgré les performances apportées, le nouveau schéma de commande proposé ne fournit pas une solution rationnelle pour la commande adaptative du moteur asynchrone puisque la constante du temps statorique est supposée constante. D’autre part, l’approche ne traite pas le problème du couple de charge.

Par conséquent, dans une deuxième étape, un troisième réseau de neurones est proposé en vue d’estimer, simultanément, la constante de temps rotorique, la constante de temps statorique et le couple de charge. Ensuite, pour vérifier les capacités de cet estimateur, il a été inséré dans trois schémas de commande différents, à savoir: ceux de la commande vectorielle, de la commande par linéarisation entrée-sortie et de la commande par linéarisation entrée-sortie à base de réseaux de neurones artificiels. Cet estimateur, permet une amélioration importante du schéma de commande du moteur asynchrone. A cet effet, les avantages apportés peuvent être résumés comme suit :

L’estimateur proposé se distingue par son architecture simple qui ne contient qu’une seule couche cachée de trois neurones ;

L’utilisation de la dynamique des grandeurs mesurables (courants statoriques et vitesse du moteur) permet de simplifier la procédure d’apprentissage des réseaux de neurones ;

L’estimateur proposé possède une structure générale qui est conçue indépendamment de l’algorithme de commande, chose qui lui confère un caractère universel. A cet effet, pour les trois schémas de commande (commande vectorielle indirecte, commande par linéarisation entrée-sortie, commande par linéarisation entrées sortie à base de réseaux de neurones artificiels), l’estimateur proposé permet d’effectuer une commande adaptative pour le moteur asynchrone dans tous ses régimes de fonctionnement ;

L’architecture de l’estimateur proposé peut être modifiée selon le nombre de paramètres à estimer en correspondance avec l’application envisagée ;

Le caractère universel et l’architecture souple permettent à l’estimateur proposé de s’intégrer dans n’importe quel type de commande du moteur asynchrone sans se soucier de la manière avec laquelle la commande est conçue ;

Les capacités d’approximation de l’estimateur proposé lui permettent d’estimer les paramètres ciblés même pour des conditions critiques de fonctionnement tels que : les petites vitesses et les faibles charges. En plus, l’estimation d’un des paramètres s’effectue d’une manière séparée par rapport aux autres.

Par ailleurs, en combinant l’estimateur proposé avec les deux autres réseaux de neurones, utilisés pour la commande par linéarisation entrée-sortie, un nouveau schéma de commande adaptative, à base de réseaux de neurones artificiels, est élaboré pour la commande du moteur asynchrone. Ce schéma permet une commande adaptative pour le moteur asynchrone en tenant compte de l’estimation de trois paramètres importants, à savoir : la constante de temps rotorique, la constante de temps statorique et le couple de charge.

En la comparant avec plusieurs approches existantes de commande adaptative [MAR-6, MAR-7, MARLIN-3-8, AMR-9, WAN-1, WAN-3], l’approche proposée se distingue par quatre avantages déterminants, à savoir:

101


en recourant aux capacités d’approximation des réseaux de neurones artificiels, l’approche proposée ne nécessité pas un modèle précis pour le moteur asynchrone ce qui permet de simplifier considérablement la conception de la commande ;

L’estimation et la compensation de l’effet de toutes les variations paramétriques sont réalisées même pour des conditions critiques de fonctionnement (petites vitesses et faibles charges) ;

Malgré l’architecture interconnectée du réseau de neurones, l’estimation de chaque paramètre est effectuée d’une manière indépendante, sans qu’elle ne soit affectée par la variation des autres paramètres, ce qui n’est pas le cas pour la majorité des autres schémas de commande adaptative ;

La stabilité du type de réseau de neurones utilisé a été largement étudiée et démontrée, théoriquement et pratiquement, dans différentes applications et travaux de recherche.

Pour terminer, il est à signaler que les capacités d’approximation (prouvées par les réseaux de neurones artificiels utilisés) nous permettent d’envisager d’autres perspectives de développement du présent travail, parmi lesquelles, on peut citer :

L’implémentation de la commande proposée en utilisant les solutions modernes, tels que : les systèmes reconfigurables sur puces (FPGA, etc.), en particulier, pour la réalisation de l’estimateur neuronal dont l’architecture a été largement simplifiée ;

Etendre l’approche proposée pour inclure l’estimation des paramètres magnétiques, en particulier, l’inductance magnétisante et le cœfficient de dispersion magnétique, chose qui permettra d’améliorer de plus la commande du moteur asynchrone en considérant même la saturation magnétique ;

L’exploitation des capacités d’approximation des réseaux de neurones pour développer un estimateur de vitesse, chose qui permettra d’éliminer le capteur de vitesse du schéma de commande. En effet, en raison des contraintes techniques et économiques (posées par les capteurs), la commande sans capteur de vitesse est très recommandée actuellement.

102

Annexes

Annexes

A. 1 Définitions

A. 1.1 Système non linéaire affine

Un système non linéaire d’ordre est dit affine suivant ses entrées si [SLO] : n Il se compose de équations différentielles ordinaires de premier ordre; n Il peut être représenté sous la forme suivante :

( ) ( )( ) ( ) 0x0 x

xhyuxgxfx

==

+=,

& (A.1)

Avec: - Le vecteur des variables d’état ; nx ℜ∈ - Le vecteur d’entrées ; mu ℜ∈ - Le vecteur de sorties ; py ℜ∈

- Un vecteur contenant les valeurs initiales des variables d’état; n0x ℜ∈

, et - Des fonctions non linéaires de classe . nnf ℜ→ℜ: mng ℜ→ℜ: pnh ℜ→ℜ: ∞C

Le système (A.1) possède un point d’équilibre ( )eqeq ux , , si la condition suivante est satisfaite:

( ) ( ) 0uxgxf eqeqeq =+ (A.2)

A. 1.2 Fonction lisse (smooth function)

En mathématique, une fonction est dite lisse ou un méromorphe lorsqu’elle est indéfiniment différentiable, c'est-à-dire, possède une dérivée pour tout ordre défini. Les fonctions mathématiques se distinguent par leurs classes. Cette classe indique le nombre de fois qu’on peut dériver, continuellement, une fonction.

Une fonction est dite de classe C ou, généralement de classe , si elle est continue. 0C Une fonction est dite de classe si elle peut être différenciée -fois, avec une dérivée continue. Telle fonction est dite finement différentiable.

1n C n ≥, niémen

Une fonction est dite lisse si elle appartient à la classe . Une telle fonction est référée, généralement à la classe , la fonction exponentielle fait partie de cette classe.

1n C n ≥∀,∞C

A. 1.3 Difféomorphismes (changement de coordonnées) En mathématique, un difféomorphisme est une application inversible qui transforme une fonction différentiable en une autre telle que la fonction et son inverse soient toutes les deux lisses. Formellement, soient deux espaces mathématiques M et , une application bijective,

, est dite un difféomorphisme si à la fois : N

N M F →:

N M F →: Et son inverse :

M N F 1 →− : Sont différentiables. Si les deux fonctions ( ) sont continuellement dérivables 1F F −, fois−r ,

est appelée difféomorphisme de classe . Si le difféomorphisme est valide pour toute F rC ℜ , il est dit que c’est un difféomorphisme global. Pour la linéarisation entrée-sortie par feedback, le concept de difféomorphisme correspond à la transformation de coordonnées sélectionnée pour simplifier le comportement dynamique du système non linéaire afin d’établir la relation entrée-sortie ciblée. Pour le système 3.1, s’il est difficile d’achever l’objectif de la commande à travers la sortie effective , il est nécessaire de choisir un difféomorphisme convenable, ce dernier doit être lié, explicitement ou implicitement, à la sortie effective du système.

( )xh

103

Annexes

A. 1.4 Dérivée et crochet de Lie

En mathématique, la dérivée de peut être définie de différentes manières suivant son utilisation. Pour une fonction, cette dérivée exprime sa différentiation le long d’un champ de vecteurs. Formellement, en disposant de deux éléments [SLO] :

Lie

Une fonction lisse ( ) ℜ→ℜnn21 xxxh :,...,,

Un champ de vecteurs lisses ( ) ( ) nnn21in21 xxxf ffff ℜ→ℜ:,...,,,,...,, .

On définit la dérivée de de la fonction , le long du champ de vecteurs , par la fonction scalaire suivante :

Lie h f

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=⋅∇=

n

nf

f

ff

xh

xh

xhFhhL

M2

1

21... (A.3)

Ce qui représente le produit scalaire du gradient de la fonction par le champ de vecteurs . D’une manière récursive on obtient :

h f

( ) ( ) ,.....,, 21i fhLhLLhL

hhL1i

f1i

ffif

0f

=⋅∇==

=−−

En considérant le cas mono-sortie ( 1p = ) pour le système (A.1), soit :

Le difféomorphisme ; ( )xhy = les vecteurs de champ et ( )xf ( )uxg ;

La première dérivée de du difféomorphisme Lie ( )xh , suivant les deux champs de vecteurs et , se donne par : ( )xf ( ) uxg ⋅

( ) ( ) xxxhxLh &

∂∂

= (A.4)

L’expression (A.4) peut être divisée en deux parties : ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]uxgxxhxhL

xfxxhxhL

g

f

⋅∂

∂=

∂∂

= (A.5)

Les dérivées de d’ordre s’obtiennent, d’une manière récursive, comme suit : Lie k

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 1 ,

0 ,21

1

≥=

≥=−−

−

kxhLLLxhLLkxhLLxhL

kffg

kfg

kff

kf

Avec : , et ( ) ( )xhLxhLL g0fg = ( ) ( )xhxhL0

f = .

Un autre opérateur mathématique, qui est très utile, c’est le ‘crochet de ’. En effet, pour deux champs de vecteurs et

Lief g , le crochet de est un troisième champ de vecteur défini

par: Lie

[ ] gffggadgf f ⋅∇−⋅∇==, (A.6)

D’une manière récursive, on peut obtenir :

[ ]

[ ]gadfgad

gfgadggad

1if

if

1f

0f

−=

=

=

,

,M

104

Annexes

A. 1.5 Degré relatif Le degré relatif représente l’une des notions principales de la commande géométrique par linéarisation entrée-sortie. Ce paramètre, qui détermine l’ordre du système résultant, indique le nombre de fois qu’il est nécessaire d’appliquer les dérivées de pour faire apparaître explicitement l’entrée de commande dans l’expression du difféomorphisme sélectionné. Mathématiquement, le système affine (A.1) possède un degré relatif , en un point

, si (voisinage de ) on a les deux conditions suivantes (cas mono-sortie) [ISI, SLO] :

Lie

nr1r ≤≤:

0x x∀ 0x

( )( ) 0xhLL

2r0j 0xhLL1r

fg

jfg

≠

−=≡−

,,, L (A.7)

On dit qu’un système possède un degré relatif strict ( r ) si les conditions (A.7) soient vérifiées pour tout point , c'est-à-dire, sur 0x ℜ . A signaler, que pour un système linéaire, le degré relatif se détermine par la différence de degrés entre le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfère.

Les conditions (A.7) peuvent être généralisées, pour un système MIMO, comme suit :

( )( )

,m,j jxLL,r,i,m, ,j,m,,kxLL

krfg

kkifg

k

j

j

L

LLL

1/un moinsau pour : 020 1 1 : 0

1 =≠

−====− ζζ

Où représente le degré relatif du système suivant la sortie ir iζ .

A. 2 Linéarisation entrée-sortie d’un système non linéaire multi-entrée multi-sortie

Considérant le système non linéaire multi-entrée multi-sortie (MIMO) suivant :

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]Tm1

m

1iii

xhxhy

uxGxfugxfx

L

&

=

+=+= ∑= (A.8)

Avec et - les vecteurs d’état et d’entrée, nx ℜ∈ u mℜ∈ ( ) nxf ℜ∈ , ( ) mnxG ×ℜ∈ et sont des champs de vecteurs méromorphes. Considérant un difféomorphisme qui ramène le vecteur de sortie original au nouveau vecteur de sortie

my ℜ∈

[ ]m1 ζζζ L=

y ζ . Chaque sortie, , est différentiée fois jusqu’à l’apparition explicite d’une entrée ( représente

le degré relatif du système suivant la sortie ). Par conséquent, le système possède un vecteur de degré relatif . Pour une linéarisation exacte, on a :

m1i i ,...,: =ζ ir iu ir

iζ

[ mi rrr L= ]

nrm

1ii =∑

=

(A.9)

Pour un système MIMO, La condition qui caractérise le vecteur de degrés relatifs peut être formulée comme suit [SLO]:

(A.10) ( )( )

,m,1j jun moinsau pour 0xLL

2,r,0i ,m, ,1j ,m,,1k 0xLL

k1r

fg

kkifg

kj

j

L

LLL

=≠

−====− /:

:

ζ

ζ

En appliquant les dérivées de sur le difféomorphisme Lie ζ , suivant les champs de vecteurs et G , un changement d’état peut être obtenu comme suit : f ( )xQ

105

Annexes

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=

=

=

=

=

=ℵ

−

−

−

xLz

xz

xLz

xz

xLz

xz

x

m1r

frm

m1m

k1r

frk

k1k

11r

fr1

111

mm

kk

11

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

,

,

,

,

,

,

M

M

M

M

(A.11)

Pour une linéarisation exacte, doit être d’un rang complet :( )xℵ ( ) n=ℵdim (où n l’ordre du système original (A.8)). Par la suite, la dynamique du système non linéaire (A.8) prend la forme normale suivante :

uGFZ ZZ +=& (A.12)

Où : est le vecteur d’état suivant les nouvelles coordonnées, c’est le vecteur d’entrées, avec :

[ ]Trm1mr11kr111 mk1zzzzzzZ ,,,,,, LLLLL=

[ m1 uuu L= ]

( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

xL

z

xL

z

xL

z

1nF

mrf

2m

krf

2k

1rf

21

Z

m

k

1

ζ

ζ

ζ

M

M

M

M

M

,

,

,

)( (A.13)

(A.14) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

−−

−−

−−

1rfg

1rfg

1rfg

1rfg

1rfg

1rfg

Z

mj

m1

kj

k1

1j

11

LLLL

00

LLLL

00

LLLL

00

mnG

L

MOM

L

MOM

L

MOM

L

LOL

L

MOM

L

A partir de la matrice , on extrait la matrice de découplage suivante : ZG )( mmGD ×

106

Annexes

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

−−

−−

−−

1rfg

1rfg

1rfg

1rfg

1rfg

1rfg

D

mj

m1

kj

k1

1j

11

LLLL

LLLL

LLLL

mmG

L

MOM

L

MOM

L

(A.15)

Comme pour le système SISO, la loi de commande, pour le système MIMO (A.12), peut être sélectionnée comme suit :

[ ]

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

= −

xL

xL

xL

Gu

mrfm

krfk

1rf1

1D

m

k

1

ζυ

ζυ

ζυ

M

M

(A.16)

Il est clair que la non singularité de la matrice de découplage ( ( ) 0GD ≠det ) est une condition indispensable pour l’établissement de la loi de commande (A.16). L’introduction de la loi de commande (A.16) dans le système (A.12) permet d’obtenir un système linéaire de la forme :

MMM VBZAZ +=& (A.17)

Où les matrices et sont données par : MA MB

( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=×

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×=

Mm

Mk

1M

M

Mm

Mk

1M

M

B

B

B

mnB

A00000

0A000000A

nnAM

M

L

OMM

MM

LMO

L

, (A.18)

Les matrices élémentaires sont données par : ( ,...,m1i BA MiMi =:, )

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=×

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=×10

00mrB

00001000

01000010

rrA iMiiiMi

L

MOM

L

L

L

MOMMM

L

L

, (A.19)

A. 3 Modèle mathématique d’un moteur asynchrone triphasé équilibré La structure du moteur asynchrone comporte deux parties, fixe et mobile. La partie fixe ou stator se constitue d’une carcasse et d’un circuit magnétique dans lequel est logé le bobinage statorique. La partie mobile ou rotor tourne autour de l’axe symétrique de la machine. Ces deux parties sont séparées par un entrefer. Les trois enroulements statoriques, séparés par un angle électrique de 120 degrés, sont logés dans des encoches réparties régulièrement sur la face interne du stator. Ces enroulements sont alimentés par un système triphasé de tensions sinusoïdales de fréquence et d’amplitude constante, ou par un onduleur de tension ou de courant à fréquence et à amplitude réglables. Suivant la structure électrique du rotor, on distingue deux types de moteurs : le moteur à rotor bobiné qui est doté d’un bobinage triphasé raccordé en étoile avec l’extérieur et équipé de trois bagues sur lesquelles frottent trois balais. Le moteur à induction dont le bobinage ordinaire est substitué par un ensemble de barres ferromagnétiques court-circuitées entre elles pour constituer une forme de cage, d’où vient la nomination de moteur à cage.

107

Annexes

I

L’établissement du modèle mathématique d’un moteur asynchrone triphasé nécessite l’adoption de quelques hypothèses simplificatrices. En général, on suppose, d’une part, que les trois phases statoriques et rotoriques sont symétriques et permettent une distribution spatiale sinusoïdale des forces magnétomotrices dans un circuit magnétique supposé non saturable et, d’autre part, on néglige l’effet d’encoches, l’effet de peau, les courants de Foucault et les pertes ferromagnétiques. En adoptant ces hypothèses, l’application des lois des mailles sur les enroulements triphasés statoriques et rotoriques (figure A.1) donne [LEO, CAR, KRA] :

Pour les tensions statoriques et rotoriques :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΦΦΦ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

3

2

1

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

dtd

III

RVVV

(A.20)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΦΦΦ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

3

2

1

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

dtd

III

RVVV

(A.21)

Pour les flux magnétiques (statoriques et rotoriques) :

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΦΦΦ

3

2

1

3

2

1

3

2

1

r

r

r

sr

s

s

s

s

s

s

s

III

MIII

L (A.22)

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΦΦΦ

3

2

1

3

2

1

3

1

s

s

s

sr

r

r

r

r

r

r

r

III

MIII

L (A.23)

Pour le couple électromagnétique et la vitesse rotorique :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

3

2

1

3

2

1

r

r

rsr

T

s

s

s

p

III

dtLd

III

NCem (A.24)

remr CC

dtdJ −=ω (A.25)

La vitesse (mécanique) du moteur rω s’exprime par dt

d rr

θω = et les matrices des inductances

s’obtiennent comme suit:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

sss

sss

sss

s

lMMMlMMMl

L (A.26)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

rrr

rrr

rrr

r

lMMMlMMMl

L (A.27)

Fig. A.1 schéma simplifié d’un moteur asynchrone triphasé

Rr

Rr

Rr

Rs

Rs

Rs

s1

Is2

Is3

Ir1

Ir2

Ir3

Φ Φs1 r1

Φr2

Φr3

Φs2

Φs3

Vr1

Vr2

Vr3

Vs1

Vs2

Vs3

108

Annexes

[ ]

( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎟⎠

⎜⎝

−⎟⎠

⎜⎝

+ rr 33θθ coscos

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎞⎛⎞⎛

=

rrr

rrr

r

srsr

32

32

32

32

22

MM

θπθπθ

πθθπθ

ππθ

coscoscos

coscoscos

cos

(A.28)

[A] : La matrice de passage de Park, avec sa version modifiée, est donnée par [CAR] :

Sa

Sb

Sc

Rb

Ra

Ra

d

q

θθ ag

θr

Il est difficile, même impossible, d’exploiter le modèle dynamique de la machine asynchrone dans le repère triphasé (a, b, c) due à la présence des paramètres de couplage (stator-rotor)variant dans le temps (la matrice des inductances srM ) ainsi qu’au nombre important d’équations différentielles. A cet effet, des changements de coordonnées sont sollicités pour simplifier la représentation mathématique de ce modèle. Le principe est de ramener ce modèle du référentiel triphasé fixe à un ensemble de référentiels biphasés tournants (d, q) avec des vitesses appropriées dont tous les paramètres de la machine apparaissent constants et le nombre d’équations soit réduit (Fig. A.2). Parmi ces changements de coordonnées, on trouve celui de Park où le passage s’effectue à travers une matrice appelée matrice de Park. La transformation s’exprime par [KRA, CAR, LEO] :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

0 XXX

AXXX

q

d

(A.29)

( )

( )

⎥⎥⎥

⎥

⎦⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎠⎝⎠⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21

21

21

33

32cos

32coscos

3

πθπθθ

(A.30)

Où

⎤

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎞

⎜⎛ +−⎟

⎞⎜⎛ −−−=

2sin2sinsin2 πθπθθA

θ - Le déplacement angulaire du nouveau référentiel patransformation inverse s’obtient comme suit:

⎡⎤⎡ 1 XX d

Avec :

Fig. A.2 Application du modèle de Park sur la machine asynchrone

r rapport au référentiel réel. La

[ ]⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⋅=⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

−

0

1

3

2

XXA

XX q (A.31)

⎤

109

Annexes

[ ]

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

21

32sin

32cos

21

32sin

32cos

1cos

321

πθπθ

πθπθA (A.32)

En supposant que le référentiel biphasé tourne avec une vitesse

⎥⎥−

2sin θθ

ω bien déterminée (faisant un angle θ avec l’axe statorique (qui est pris comme référela transformation de Park sur le système d’équations précédent donne :

Pour les tensions :

aS nce (figure A.2)). L’application de

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

Φ+Φ

+=

Φ−Φ

+=

dsqs

qsqs

qsds

dsds

dtd

dtd

RsIV

dtd

dtdRsIV

θ

θ

(A.33)

⎩

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

= 0 (A.34)

Φ+Φ

+=

=Φ−Φ

+=

dtd

dtd

RrIV

0dt

ddt

dRrIV

drgqr

qrqr

qrgdr

drdr

θ

θ

Pour les flux :

⎢⎢⎢⎢⎡

ΦΦΦ

qr

dr

qs

ds

dr

qs

ds

IIII

LrMLrM

MLsMLs

0000

0000

(A.35)

Avec ,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣Φqr

MslsLs −= , MrlrLr −= Msr23M = . Les angles rθ et θ sont liées par l’angle de

glissement gθ comme suit (figure A.2) :

(A.36)

couple, p sieurs form peuvent n u

rg θθθ −=

Pour le lu es être déduites do t la pl s utilisée est [CAR, LEO] :

( qrqsdrp

em II )dsLrMN

C Φ−Φ= (A.37)

Suivant la vitesse attribuée

au référentiel tournant, on distingue des référentiels fixe et tournant. Dans le référentiel tournant, des pulsations particulières sont utilisées, le plussouvent, la pulsation statorique ou du champ tournant (ω ) et la pulsation rotorique ( ). rpN ω

Avec la pulsation statorique, le référentiel machine apparaissent constantes ce qui convient mieux pour l’établissement de la commande.

est lié au champ tournant et les grandeurs de la

Tandis qu’avec la pulsation rotorique, le référentiel est lié au rotor, ce dernier convient mieux pour l’étude des caractéristiques des grandeurs rotoriques. Pour le référentiel fixe ou lié au stator, la pulsation est nulle. Dans ce cas, les grandeurs du moteur apparaissent sinusoïdales (la forme naturelle des grandeurs du moteur). A cet effet, ce référentiel est dit réel.

Prenant l’exemple du référentiel fixe, en utilisant les équations (A.33, A.34, A.35 et A.37), le modèle du moteur asynchrone s’exprime par [MAR-5, KAB-1] :

110

Annexes

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

+Φ+Φ−−= VL

NIdt

dIbs

dsbrrparbs

bs

σβωαβγ 1

⎪⎪⎧ +Φ+Φ+−= V

LNI

dtdI

asds

brrparasas

σβωαβγ 1

⎨

⋅+−Φ−Φ=

Φ−Φ−=Φ

Φ+Φ−=Φ

JKC

IIdt

d

NMIdt

d

NMIdt

d

rfrasbrbsar

r

arrpbrbsbr

brrparasar

ωμω

ωαα

ωαα (A.38)

Avec , Ls

RsLsLr

RrM

dd σσγ += 2

2,

JLrMN p=μ ,

LsLrM

d

21−=σ

LrRr

=α , LsLrM

dσβ = et

dtrd

rθω = - la vitesse

de rotation du moteur.

A. 4 Linéarisation entrée-sortie du modèle mathématique du moteur asynchrone ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎛Φ

=

r

r

Uxgxfxω

&

(A.39)

- le vecteur des variables d’état du modèle ; - le ve

⎜⎜⎝

=

+

y

Avec : ( )Trbsasbsas IIx ωΦΦ=ℜ∈ 5

( )Tbsas VVU =ℜ∈ 2 cteur des entrées ; ( )Trry Φ=ℜ∈ ω2 - le vecteur des sorties.

ps des vecteurs et Les cham f g sont donnés par :

( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

+Φ−Φ

kCNMI brarrpbs

ωαω⎢

⎢

⎣

⎡

−Φ−Φ

+=

JII

xf

rfrasbrbsarμ

α (A.40) ⎢

⎢Φ−Φ− NMI brrparas

brarrpbs

ωααΦ+Φ−−Φ+Φ+−βNγI

NβγI brrparas

αωωα

( ) ( ) ( )[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

000000

10

01

Ls

Ls

xgxgxg d

d

aa σ

σ

(A.41)

La première étape, lors de la conception de la commande non vérifier si le système dynamique (A.39) satisfait données par le théorème 3.2 (chapitre 3). Pour vérifier ces conditions, construisons les distributions suivantes [PAT, RES] :

linéaire par IOFLC, consiste à (ou non) les conditions de linéarisation

( ) { } { }bai1 ggspanmi1 gspanxD =≤≤= , (A.42) ( ) { }

{ }bfafba

i1q

f2

gadgadggspan

2i1 2q1 gadspanxD

=

≤≤≤≤= − ,, (A.43)

( ) { }bjfbfa

jfafba

j ggspanxD = gadgadgadgad 11 −− LL (A.44)

111

Annexes

En utilisant (A.40) et (A.41), le développement des disobtient :

Pour la distribution :

tributions (A.42), (A.43) et (A.44), on

( )xD1

( ) ( )( ) 511 : 2dim ,

000000

10 ⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

01

ℜ∈∀=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= xxDLs

Ls

xD d

d

σ

σ

(A.45)

Pour la distribution :

⎪⎪

( )xD2

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞− γ

⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Φ−

=−=

b

sda

aaf M

Lxg

dxxdfxf

dxxdggad

μ

ασ

0

01

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Φ

−=−=

a

sdb

bbf

ML

xgdx

xdfxfdx

xdggad

μα

γ

σ0

0

1

Dans ce cas on obtient:

( )( ) 52( )2 xD : 5dim ,

00

000

000

010

001

ℜ∈∀=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ΦΦ−

−

−

= xxD

LsLs

LsM

LsM

LsLs

LsLs

span

d

a

d

b

d

d

dd

dd

σμ

σμ

σα

σα

σγ

σ

σγ

σ

(A.46)

Pour toutes les distributions, , on à : ( ) 3j xD j ≥; [ ]022 == bfaf gadgad , on peut écrire : Donc on déduit que :

( ) 5,,3: ,

0000

00000

00000

00010

00001

D j ==∀

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ΦΦ−

−

−

= nj

LsLs

LsM

LsM

Ls

LsLs

spanx

d

a

d

b

d

d

dd

dd

KL

σμ

σμ

σα

σα

σγ

σ

σγ

σ

(A.47)

A partir des distributions précédentes on déduit :

⎪⎪Ls

112

Annexes

i. : Toutes les distributions possèdent des dimensions constantes où : - ( )( ) 51 x 2txD ℜ∈∀== :cosdim ; - ( )( ) 52 x 5txD ℜ∈∀== :cosdim ; - ( )( ) 53 :j ; x 5txD 5j ,...,:cosdim =∀ℜ∈∀== .

ii. : Pour la distribution on a ( )xDn ( )( ) x 5nxD 5n ℜ∈∀== :dim ( )xD jiii. : Pour la condition d’involutivité des distributions , on a :

(a). Pour la distribution , le crochet de , pour les deux champs de vecteurs et , st donné par :

( )xD1 Lie ag bge

[ ] [ ] [ ] ( )xDgggdx

gdx

gg ba

ab

ba , =−=dgdg

ba1,0 ∈⇒

(b). Pour la distribution , le développement du crochet de , pour les deux champs de d gad , donne :

Par conséquent, la distribution ( )xD1 est involutive.

( )xD2 Lievecteur af et fs a g b

[ ] ( ) ( )

( ) ⎟⎟⎟⎟

⎜⎜=−=

00, bf

aff

bfbaf gad

dtad

dtgad

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝2

00

s

af

LM

gaddg

gaddgad

αμ

teur

⎜⎜⎛

dσ

Il est clair que le champ de vec s [ ]bfaf gadgad , ne peut pas être écrit sous la forme d’une binaison linéaire en fonction de osantes de la distribution . Donc la

istribution n’est pas involutive. Par conséquent, le modèle mathématique du moteur ion

la lin ation st pas possible, pour le modèle mathématique du moteur asynchrone, essayons maintenant de chercher le sous-système le plus large pour ce système.

Avant de chercher le sous-système linéaire le plus large du système original (A.39), il faut s’assurer que ce dernier vérifie la condition de l’accessibilité rigoureuse (Strongly accessibility) [PAT, RES]. Pour vérifier cette condition, il suffit de trouver une distribution, de la forme de celle donnée par (3.21, chapitre 3), possédant un rang complet (

s comp ( )xD2

( )xD2

comdasynchrone (A.39) ne satisfait pas les conditions d’une linéarisat exacte (selon le théorème (3.2)). Si éaris exacte n’e

( ) 5nC ==dim ).

imension D’après (A.44), la distribution est identique à celle donnée par (3.21). Etant donné, que la distribution ( )xD j possède une d 5

( )xD j

n = , alors, la condition de l’accessibilité rigoureuse est vérifiée.

Procédons maintenant au calcul des indices de commandabilité en vue de déterminer l’ordre maximal du système qui résultera de la linéarisation, suivant le paragraphe (§3.2.3) :

− Pour la distribution 0G

{ }ba ggspanG =0

Etant donné, que la distribution 0G est involutive alors 00 GG = .


113

Annexes

{ } { }==

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨=

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪

ΦΦ−

−

⎪⎫

⎪⎧ −

⎪⎪⎩ Ls

LsM

Ls

LsLs

Gad

d

a

d

b

d

d

dd

f

σμ

σμ

σα

σ

γσσ

000

1

,

Il été e distribution

gadgadggspanGspanG bfafba

γ 001001

MLsLs

spandd

ασσ

000

00

Ls00

a montré ci-dessus qu la 21 GG = n’est pas involutive, la partie involutive de cette distribution peut être choisie de la manière suivante:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Φ−

−

=

Ls

LsM

Ls

LsLs

spanG

d

b

d

d

dd

σμ

σα

σ

σγ

σ

00000

00

010

01

1 ou

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Φ

−

=

Ls

LsM

LsLs

Ls

spanG

d

a

d

dd

d

σμσα

σγ

σ

σ

00

00000

10

001

1


{ } { }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ΦΦ−

−

−

=

==

1

, 22112 gadgadgadgadggspanGadGspanG fafbaf

γ

0000

0000

0000

0010

0000

LsLs

LsM

LsM

LsLs

LsLs

span

d

a

d

b

d

d

d

dd

bfafb

σμ

σμ

σα

σα

σγ

σ

σσ

De mê d duit que

0

me que pour 1G , on é 12 GG ≡ . Le calcul s’arrête à ce niveau puisque les résultats successifs sont identiques.

− Pour la distribution : 1Q

{ }{ } 1bfafba

00f1

G gadgadggspan

G GadspanQ

≡=

= ,

− Pour la distribution : 2Q

{ }{ } 1bfafba

10f2

Q gadgadggspan

G GadspanQ

≡=

= ,

Le calcul est arrêté à ce niveau puisque les résultats successifs sont identiques.

114

Annexes

− Calcul des indices de commandabi AT] : lité [P( ) 2Gr 00 == dim

( ) ( ) 224GQr 011 =−=−= dimdim

( ) ( ) 044GQr 122 =−=−= dimdim

Ce qui fait que les indices de commandabilité sont : { } 20i 1rcardk i1 =≥∀≥= ,

{ } 20i 2rcardk i2 =≥∀≥= ,

{ } 00i 3rcardk i3 =≥∀≥= ,

On déduit, finalement, que le modèle du moteur asynchrone (A.39) peut être partiellement, entrée- de commandabilité et . Le sous-système le plus large à obtenir, avec cette linéarisation, possède un degré relatif maximal

[PAT].

A. 5 Etude de la stabilité des réseaux de neurones artificiels Pour vérifier la stabilité des règles d’apprentissage proposées (chapitre 4, équations 4.20 et

sortie, linéarisé par retour d’état avec les indices 1k 2k

4kk 21 =+

4.21), considérons les deux fonctions suivantes :

( )[ ]( )[⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

−

Φ−ΦΦΦΦ

ωωωωω ΘΓΘtre21V

ΘΓΘtre21V

1T2f

1T2f

~~

~~

] (A.48)

Avec: ΦΦΦ Θ−Θ=Θ ˆ~ et ωωω Θ−Θ=Θ ˆ~ , (chapitre 4, équation 4.4) Les matrices ΦΓ

⎢ Γ= Φ

0c

1 ⎢ Γ=Γ wc

2 0 (A4.49)

et ωΓ sont données par: ⎤⎡Γ

Γ0 ⎤⎡Γ 0⎥⎦⎣ Φ ⎣ w

, ⎥⎦

Selon (A.48), les fonctions ΦV et ωV sont définies positives et ont les mêmes formes, donc, l’étude de stabilité peut être faite sur l’une d’elle et généralisée sur l’autre. Par la suite, le développement de la dérivée de V donne: Φ

( )( )ΦΦΦΦΦΦ


−ΦΦΦ

+−=

++−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=

ΘΘtreek

WWtreWWeek

ΘΓΘtreeV

f22

ff

cT

cf2T

f22

ff

11

1T1ff

ˆ~

ˆ~ˆ~

~~

τ

ττ

&&&

(A.50)

En luti isant: 11 1~ˆ ΘΘ −= , l’éq ation (A.50) devienΘ u t:

( )( )ΦΦ − Θτ (A.51) ΦΦΦΦΦΦ +−= ΘΘtreekV f22

ff~&

: Où, avec l’utilisation de la propriété

( )( ) 2Ttr ΦΦΦΦΦΦ Θ−Θ⋅Θ≤Θ−ΘΘ~~~~ (A.52)

L’équation (A.51) prend la forme de l’inégalité suivante :

115

Annexes

( )ΦΦΦΦΦΦΦΦ Θ−Θ⋅Θ+−≤~~

f2

ff eekV τ& (A.53) L’utilisation de l’équation (4.4, chapitre 4) permet d’obtenir :

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ Θ+Θ ΦΘ−−≤~~

max f2

f2

ff eeekV ττ& (A.54) En posant ) , ),τ(τmaxβ 212 = et m,τ(τminβ 211 = ),(max 2m1mΘ = Θ Θ , l’inégalité (A.54) peut être

e suit : réécrite comm

ΦΦΦΦΦΦΦ +Θ Θ−−≤~

f22

f12

ff eeekV mββ& Θ~ (A.55)

En suite, on peut avoir :

⎟⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ Θ

−2

m22 1e

β (A.56) ⎠

⎜Θ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

⎟⎠

⎜⎝

−ΘΘ

−−≤Φ

ΦΦΦΦΦ1f

f1

2m2

ff1 2kekV

ββ β ~~&

⎝⎠⎝ Φfk2

En suivant les mêmes étapes, à partir de la fonction , on peut obtenir: ωV

⎟⎟

⎠

⎞⎞⎛ Θ2

1 β⎜⎜

⎝Θ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

−−ΘΘ

−−≤ f1f

m2ff1 k

ek2

ekV βωωω

ωωω β ~~&

⎛⎞⎛⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

m2

1f

22

2βω (A.57)

Considérons l’ensemble compact suivant:

{2

m2

111ff

1⋅Φ ω max(

(A.58)

Conformément à (A.58), les 2kk

xxDee ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Θ=∈ ≤

ββ ),

:,

dérivées des fonctions et sont définies négatives en dehors d’un ensemble fermé, représenté par le domaine Eta

rigine de

ΦV ωVD . nt donné que l’ensemble D est

( )F2F12f1f ΘΘ,e,e ~,~compact autour de l’o [KAB-1], par conséquent, les

dynamiques des erreurs filtrées et des erreur d’estimation des paramètres des réseaux de neurones sont uniformément et asymptotiquement stables [SLO, KAB-1]. On peut déduire, donc, la stabilité des règles d’adaptations proposées (4.20 et 4.21) ainsi que celle des lois de

A. 6 Paramètres internes du moteur Le moteur asynchrone utilisé possède les paramètres suivants [MAR-3, MAR-6, MAR-8] :

Puissance nominale

commandes générées.

0.6 kW

5.8 N.m Couple nominal

Vitesse nominale 100 rad.s-1

Flux nominal 1.16 Wb

Résistance statorique 5.3 Ohm

Résistance rotorique 3.3 Ohm

Inductance statorique 0.365 H

0.375 H Inductance rotorique

Inductance 0.340 H

Moment d’inertie 0.0075 kg.m2

116

Annexes

A. 7 P mande a. :

la commande vectorielle indirecte :

,

aramètres de comChapitre III

Paramètres de

150k fp = , 87k fi = 8 2kvp = , 36828kvi .= , 1kcp = , kci .= 0107

Paramètres de la commande par linéarisation entré e-sortie :

850k = , 1ΦΦ

ΦΦ +

=F

f Kkk

11

12 2 ΦΦΦ == kKF , 8501 =ωk , 12k 2 kK = ωωk = , ωF ,

ω

ωω

Ff K

k+

=1

1 k

b. Chapitre IV :

Paramètres utilisés dans les formules erreurs filtrées :

2Φ= kKF , 2ωω kKF = , Φ2

1ΦΦ =

kk f , 2

1ωω

kk f = Φ+ k1 1 ωk+

Paramètres des réseaux de neurones : 11 , 1b , 850b , 1b , 01 , 001 , 0000101 .=ωτ , 000012 .=ωτb 1 .=Φ 2 =Φ 1 .=ω 2 =ω 1 .=Φτ 2 .=Φτ ,

1=Φη , 10=ωη , ( ) ( )x000101350x

⋅−+=Φ .exp

σ , ( ) ( )x00101100x

⋅−+=

.expωσ

c. Chapitre V :

Paramètres des réseaux de neurones :

50n .=1τ , 502n .=τ , 13n =τ , 14n =τ , ( ) ( )x00010133x

⋅−+=

.expσ

117

Références

Références

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