Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 Thierry DIAS, HEP Vaud, Lausanne [email protected] / résolution de

Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012

Thierry DIAS, HEP Vaud, [email protected]

http://perso.orange.fr/dias.thierry/

résolution de problèmes en géométrie

© Photos12.com - Serge Sautereau


1. Enseigner / apprendre en mathématiques1.1 apprendre en mathématiques1.2 la géométrie à l'école

2. Raisonner2.1 raisonner en mathématiques2.2 raisonnement et cognition

3. Apprendre à raisonner3.1 démarche3.2 situations3.3 programmation

Apprendre à raisonner à l'école


Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde.

Expérimenter le monde, c’est investir le réel de significations, de signes.

Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.


raisonner en mathématiques : entrons dans le vif du sujet !

réponse vers 11h45

sisi

alorsalors


1. enseigner / apprendre la géométrie

apprendre en mathématiques

la géométrie à l'école


1.1 apprendre en mathématiques

construire une culture scientifique

des attitudes

des connaissances


des connaissancesdes connaissances des attitudesdes attitudes

apprendre en mathématiques

construire une culture scientifique

référence : socle commun

des capacitésdes capacités

1.1 Apprendre en mathématiques


une culturescientifique à l'école

une culturescientifique à l'école

acquérir des connaissancesacquérir des connaissances

des concepts, des objets, des relations

développer des attitudesdévelopper des attitudes

• raisonnement, recherche• pensée critique

savoirssavoirs

savoirs faire

savoirs faire

savoirs être

savoirs être

construire des capacitésconstruire des capacités

des méthodes, des techniques



à l’école primaire, on ne vise pas l'acquisition de

connaissances formelles,

mais principalement des connaissances

fonctionnelles…

… utiles pour résoudre des problèmes

construire des connaissancesconstruire des connaissances



Quel est le bassin qui a la plus petite aire ?

Loubna veut creuser un bassin dans son jardin. Elle a fait quatre dessins différents parmi lesquels elle doit maintenant choisir celui qui a la plus petite aire.

construire des connaissancesconstruire des connaissancessavoirssavoirssavoirs

fairesavoirs

faire



1.2 la géométrie à l’école

géo : la terre - metrikos : mesure

instructions, programmes


Les activités du domaine géométrique :

ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles,

utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur.

1.2 La géométrie à l’école


Combien pouvez-vous trouver de triangles à

l'intérieur de cette figure ?



monde réel

outils perceptifs : la vue, le toucher

espace géométrique

outil de validation : la théorie

espace spatio-géométrique

outils d’aide : les instruments


comment faire ?comment faire ?


2. raisonner…

mathématiques et raisonnement

raisonnement et cognition


2.1 raisonner… en mathématiques

déduction

induction

expérimentation


le raisonnement : un processus

2.1 raisonner en mathématiques


Le raisonnement intervient dans de

nombreuses activités mathématiques :

• compréhension et catégorisation

• planification, tri

• choix, prise de décision

• explication

• argumentation, preuve


résolution de problèmes

résolution de problèmes


le combat entre induction et déduction est stérile


du particulier au généralde l'exemple à la théorie du général au particulier

de la théorie à l'exemple

http://fr.wikipedia.org/wiki/Claude_Bernard

http://www.math93.com/euclide.htm

observation !observation ! règles !règles !

Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 2.1 raisonner en mathématiques

méthode recommandée :

investigation et/ou résolution de problèmesméthode recommandée :

investigation et/ou résolution de problèmes


En fait, trois principaux* types de raisonnements

peuvent être utilisés en mathématiques à l'école :

la déduction, l'induction, mais aussi le

raisonnement expérimental (heuristique)

* autres raisonnements : par analogie, par l'absurde, par contraposée, par récurrence, …


prémisseprémisse

conclusionconclusion

théoriethéorie

expérienceexpérience

génériquegénérique

spécifiquespécifique


Le raisonnement expérimental

démarche pratiquée dans une activité scientifique de recherche qui comprend plusieurs étapes :

• le recueil d'informations (objets, propriétés, relations), le questionnement, l'observation,

• l'élaboration d'hypothèses (conjectures en mathématiques), la mise en place d'investigations (essais, tentatives, expériences),

• la déduction de conséquences à partir de certaines hypothèses (si je décide cela, alors j'obtiens ceci), le rejet d'autres,

• la confrontation des prévisions avec les faits observés (validation, vérification, débat)


vers la découverte

vers la découverte


En déplaçant toutes les pièces de ce puzzle, peut-on trouver une autre façon de les agencer dans un carré de même dimension ?



2.2 raisonnement et cognition

fonctions cognitives


deux* principaux types de raisonnement cognitifs :1. inférence2. analogie

Le raisonnement inférentiel :utilisé face à un problème qui n'a encore jamais été rencontré et pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état.

Le raisonnement analogique :réutilisation adaptée d'une solution déjà utilisée face à un problème présentant des spécificités communes avec celui à résoudre.



fonctions instrumentales mémoire attention langage

la gnosie : vision et imagerie mentalela praxie : gestes volontaires

fonctions exécutives (fonctions dites "de haut niveau")

le raisonnement

En fait, le cerveau fait appel simultanément à plusieurs fonctions selon les activités auxquelles nous participons.

fonctions cognitivesfonctions cognitives



Quelques apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement.

fonctions cognitivesfonctions cognitives


La démarche scientifique qui propose d'apprendre en résolvant des problèmes est adaptée au développement des capacités de raisonnement.

Le raisonnement dépend de plusieurs fonctions cognitives dont certaines dites de "haut niveau" : elles sont très difficiles à évaluer (car non spécifiques).

Les problèmes proposés aux élèves doivent être en mesure de développer les deux types de raisonnement (inférence et analogie) : ils doivent donc être diversifiés.


3. apprendre à raisonner…

une démarche

des situations et activités

une progression


agir, dire, prouver, retenir

3.1 démarche : résoudre des problèmes


ACTION

VALIDATION

FORMULATION

INSTITUTIONALISATION

expériences sensibles et mentales

manipulations mettre en mots

décrire

faire des hypothèses

argumenter

discuter

prouver

stabilisation du savoir

définitions

ENTRAINEMENT

RECHERCHE

mise en

COMMUN

3.1 Démarche : résoudre des problèmes

agiragirdiredire

prouverprouverretenirretenir


Trouver une propriété commune à ces 4 figures.

3.1 Démarche : résoudre des problèmes

Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

Leur construction se fait à partir d'un carré.


varier les registres et les domaines

3.2 situations et activités

Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.2 Situations et activités

départdépart

le plus court chemin en touchant le mur ?

arrivéearrivée


reproduire, compléterreproduire, compléter

3.2 Situations et activités


référence aux fonctions cognitives :1.développer l'attention2.entraîner la mémorisation3.organiser les jeux de langage

3.3 programmation


gnosie

faculté de reconnaître par l'un de ses sens (toucher, vue) la forme d'un objet, de se le représenter et d'en saisir la signification

praxie

capacité d'effectuer un geste ou une activité décidée et précise

pourquoi un programme en 3 temps : renforcer ses fonctions cognitivespourquoi un programme en 3 temps : renforcer ses fonctions cognitives

2. mémorisationfaire des liens, comprendre les relations entre les objets = travail sur les propriétés

3. jeux de langagemettre en mots des connaissances : utiliser des figures pour raisonner

1. attention

3.3 Programmation


1. attention1. attention

3.3 Programmation

observer attentivementreproduire précisément

11



3.3 Programmation


22

Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.3 Programmation



20 secondes

20 secondes

Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.3 Programmation


1. attention… et mémoire

1. attention… et mémoire

20 secondes

20 secondes


2. jeux de mémoire2. jeux de mémoire

3.3 Programmation

observer rapidementreproduire précisément

20 secondes

11



? aide ?? aide ?

3.3 Programmation

observer rapidementreproduire précisément

20 secondes

22



• observer les étapes d'un programme

• re-construire la figure

22

3.3 Programmation



• observer les étapes d'un programme

• re-construire la figure

33

3.3 Programmation


3. jeux de langage3. jeux de langage

3.3 Programmation

Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang

les uns derrières les autres.

Range les animaux dans l’ordre en lisant attentivement les

renseignements :



3.3 Programmation

11



3.3 Programmation

22



3.3 Programmation

33


Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les

mathématiques, à susciter les intelligences des êtres

et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir

et d’apprendre.

merci de votre attention


Thierry DIAS, HEP Lausanne

[email protected]

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