Thèse - univ-skikda.dzbibliotheque.univ-skikda.dz/d/elect/necaibia ammar.pdf · 2016-12-11 · Ammar NEÇAIBIA THEME Contribution à la commande PIλDµ adaptative et aux régulateurs

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITÉ DU 20 AOÛT 1955 DE SKIKDA

FFACULTÉ DE TTECHNOLOGIE

DÉPARTEMENT DE GÉNIE ÉLECTRIQUE

Thèse

Présentée pour obtenir le diplôme de

Doctorat en Sciences

Spécialité : Automatique

Par :

Ammar NEÇAIBIA

THEME

Contribution à la commande PIλDµ adaptative

et aux régulateurs auto-ajustables d’ordre fractionnaire

Devant le Jury :

Président Lashab Mohamed Maître de Conférence A, Université de Skikda

Rapporteur Ladaci Samir Professeur, Ecole Nationale Polytechnique de Constantine

Examinateurs Mekhilef Saad Professeur, Université de Malaya, Malaisie

Mansouri Rachid Professeur, Université de Tizi ouzou

Mordjaoui Mourad Maître de Conférence A, Université de Skikda

Mehenaoui Lamine Maître de Conférence A, Université de Skikda

Membre Invité Charef Abdelfatah Professeur, Université Mentouri Constantine

Année : 2016

Dédicace

Je dédie ce travail à toutes les personnes qui m’ont encouragé de prés ou de loin

pour son accomplissement.

A mes chers parents tout en m’inclinant pour leur témoigner mes remerciements

et ma reconnaissance envers les sacrifices et le soutien moral qu’ils m’ont fourni

pendant toute la durée de mes études.

A mes frères et toute ma famille.

A mon encadreur, mes professeurs qui m’ont soutenu tout le long de mes études.

Et enfin à tous mes amis sans exception surtout tous mes collègues de l’URER.MS

qui m’ont accompagné dans mon parcours.

Remerciements

Je tiens à remercier mon directeur de recherche, le Professeur Samir Ladaci,

pour ses conseils et son aide tout le long de mon cheminement dans mon projet. Je

le remercie de m’avoir proposé ce thème et de m’avoir dirigé dans un sujet de re-

cherche dans un domaine très intéressent. Je le remercie tout particulièrement pour

sa confiance et ses conseils.

Ensuite, je suis reconnaissant envers le Professeur Saad Mekhilef, pour son ac-

cueil à l’Université de Malaya en Malaisie, pour son aide, ses conseils, pour sa vision

du projet et pour tout le temps qu’il m’a consacré. J’espère collaborer encore long-

temps avec vous.

Je tiens d’abord à remercier Monsieur Lashab Mohamed, Maitre de Conférences

à l’Université de Skikda, d’avoir accepté la présidence de mon jury de thèse.

Je remercie également Monsieur Mansouri Rachid, professeur à l’Université de

Tizi Ouzou, ansi que Monsieur Merdjaoui Mourad et Monsieur Mehenaoui Lamine,

Maitres de Conférences à l’Université de Skikda, pour avoir accepté d’examiner ce

modeste travail et je remercie également Monsieur Belmaguenai Aissa.

Mes sincères remerciements vont aussi à Monsieur Charef Abdelfatah professeur à

l’Université Mentouri de Constantine, de m’avoir fait l’honneur d’assister à cette

soutenance, et pour ses longues discussions scientifiques.

Mes remerciements vont également à tout le personnel de l’URER.MS, les ensei-

gnants, les chercheurs, le personnel administratif, les doctorants, et aussi tous mes

camarades sans exception.

Finalement, j’exprime ma gratitude envers tous mes amis et ma famille pour leur

support et leur encouragement qui m’ont permis de terminer cette maîtrise.

Résumé

L’objectif de ce travail est de mettre en lumière une des techniques de com-

mande adaptative qui est la commande extrémale. La combinaison de ce type de

commande avec le système fractionnaire lui donne un dégré de liberté additionnel

et par conséquence de meilleurs performances. Un aperçu général sur les techniques

de commande adaptatives est donné, ainsi que les principes de bases du calcul frac-

tionnaire qui sera utilisé le long de ce travail.

Les contributions principales de ce travail se résument dans les points suivants :

– Intégrer l’intégration et la dérivation d’ordre fractionnaire dans les formules

des lois de commande adaptatives par recherche du point extrémal.

– Utilisation de la commande adaptative extrémale pour le réglage des para-

mètres du régulateur PID d’ordre fractionnaire.

En comparant la commande adaptative fractionnaire avec celle a dérivation d’ordre

entier, on remarque qu’il y a une amélioration dans les performances du système

en termes de temps de réponse et stabilité en présence de bruits et perturbation.

Ces arguments sont illustrés par des exemples d’application en simulations à des

processus industriels tels que le système de freinage ABS et le système de panneaux

photovoltaïques.

Table des matières

Dédicace i

Remerciements ii

Résumé iii

1 Introduction Générale 1

2 Systèmes d’ordre fractionnaire 7

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Éléments de base des systèmes d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Définitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1.1 Définition de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1.2 Définition de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1.3 Définition de Gründwald-Leitnikov . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Propriétés des opérateurs d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . 11

2.2.3 Approximation numérique des opérateurs d’ordre fractionnaire 12

2.2.3.1 Formules de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3.2 Formules de Gründwald-Leitnikov . . . . . . . . . . . 13

2.2.4 Transformée de Laplace des opérateurs d’ordre fractionnaire . 15

2.2.4.1 Intégrale d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.4.2 Dérivée d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Approximation des systèmes d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . 16

TABLE DES MATIÈRES v

2.3.1 Approximations utilisant l’expansion des fractions continues

et les techniques d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1.1 Méthode générale d’approximation des opérateurs

d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1.2 Méthode de Carlson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1.3 Méthode de Matsuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Approximations utilisant l’ajustement de courbes ou les tech-

niques d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2.1 Méthode d’Oustaloup . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Méthode de la fonction de singularité de Charef . . . . . . . . 20

2.3.4 Implémentation analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.4.1 Intégration d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . 25

2.3.4.2 Dérivée d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Systèmes de commande d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Processus d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Fonction de transfert idéale de Bode . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2.2 Réponse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.3 Principes de base de la commande d’ordre fractionnaire . . . . 31

2.4.3.1 Action intégrale d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . 32

2.4.3.2 Action dérivée d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . 35

2.4.4 Régulateur PID d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Systèmes de commande adaptative et auto-ajustable 38

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Problème de la commande adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Description du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Structures de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Classification des lois de commande adaptative . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Régulateurs adaptatifs déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.1 Modèle du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

TABLE DES MATIÈRES vi

3.5.2 Poursuite de modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.3 Condition de causalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 Commande adaptative auto-ajustable . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.2 Commande auto-ajustable indirecte . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.3 Commande auto-ajustable directe . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7 Commande adaptative a modèle de référence . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7.2 Règle de MIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.3 Adaptation du gain d’anticipation . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8 Commande adaptative extrémale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8.2 Principe de la commande extrémale . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.8.2.1 Loi évolutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.8.2.2 Fonctionnement de l’algorithme (cas simplifié) . . . . 59

3.8.2.3 Indicateurs de performances . . . . . . . . . . . . . . 60

3.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Commande extrémale d’ordre fractionnaire 62

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Historique de la commande par recherche d’extremum . . . . . 63

4.1.1.1 Développements classiques . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1.2 Développements récents . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.2 Formulation du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Classification des méthodes d’optimisation en temps réel . . . . . . . 69

4.2.1 Optimisation par résolution numérique . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.2 Optimisation par commande extrémale . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Classification des méthodes de commande extrémale . . . . . . . . . 73

4.4 Recherche d’extremum d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.2 Méthode de perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.3 Méthode de saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Application au système de freinage antiblocage (ABS) . . . . . . . . . 80

TABLE DES MATIÈRES vii

4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.2 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.3 Modèle de la roue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5.4 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Commande PIλDµ fractionnaire auto-ajustable basée sur la recherche

d’extrémum 89

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2 Principe de La recherche d’Extrémum à base de perturbation . . . . . 90

5.3 Schéma de réglage PIλDµ basée la recherche d’extremum . . . . . . . 92

5.3.1 Stratégie de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.2 Optimisation par l’approche de recherche extrémum . . . . . . 94

5.4 Exemples de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.1 Résultats comparatifs pour F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96




5.4.5 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Commande extrémale fractionnaire de systèmes photovoltaïques 110

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2 Modélisation des systèmes photovoltaïques . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2.1 Modélisation d’une cellule photovoltaïque . . . . . . . . . . . . 111

6.2.2 Caractéristiques des panneaux photovoltaïques . . . . . . . . . 112

6.2.3 Modèle de convertisseur DC/DC . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3 Poursuite du PPM par la commande extrémale d’ordre fractionnaire . 115

6.4 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Conclusion 125

Bibliographie 128

Table des figures

2.1 Diagramme de Bode de 1/(1 + s/pT )β . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Comment choisir les singularités pour l’approximation en maintenant

un écart constant entre la ligne à −20β dB/dec et les lignes droites

en zig-zag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Réseau équivalent d’un intégrateur d’ordre fractionnaire . . . . . . . . 25

2.4 Réseau équivalent d’un dérivateur d’ordre fractionnaire . . . . . . . . 26

2.5 Boucle idéale de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Tracé de Bode de la fonction de transfert idéale . . . . . . . . . . . . 29

2.7 Réponse temporelle de la fonction de transfert idéale de Bode. . . . . 30

2.8 Réponse fréquentiel du module de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9 Schéma de principe d’un système en boucle fermée avec actions d’ordre

fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10 Action intégrale d’ordre fractionnaire d’un signal d’erreur carré et

µ = [0,−0, 2,−0, 5,−1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11 dsfdsfdsfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.12 Structure du PIλDµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.13 Régulateurs PID et PIλDµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Schéma de base d’un système adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Classification générale des systèmes de commande adaptative . . . . . 44

3.3 Structure d’un régulateur linéaire général à deux degrés de liberté . . 45

3.4 Schéma synoptique de la commande adaptative à modèle de référence

MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TABLE DES FIGURES ix

3.5 Schéma de principe de gain d’adaptation anticipation . . . . . . . . . 56

3.6 Commande extrémale implémentée sur un système quadratique . . . 58

4.1 Principe de la commande par recherche d’extremum . . . . . . . . . . 63

4.2 Nombre de publications concernant ESC depuis 1960. . . . . . . . . . 66

4.3 Structure générale des méthodes avec optimisation numérique . . . . 71

4.4 Structure générale des méthodes de commande extrémale . . . . . . . 72

4.5 Les différentes méthodes de la commande extrémale . . . . . . . . . . 74

4.6 Schéma de commande ESC par perturbations. . . . . . . . . . . . . . 76

4.7 Schéma bloc du système sous considération. . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8 Schéma dynamique de l’approche extrémale d’ordre fractionnaire. . . 79

4.9 Coefficient de la force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.10 Les forces exercées sur la roue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.11 Couple de freinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.12 coefficient de force de frottement (FFC) pour différentes valeurs de

l’action intégrale ordre fractionnaire λ . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.13 Critères d’erreur quadratique en fonction de l’ordre fractionnaire λ . . 87

4.14 Les sorties pour la valeur «optimale» d’ordre fractionnaire : λ = 0.8 . 88

5.1 Schéma de réglage des paramètres du régulateur PIλDµ fractionnaire

par la recherche extrémale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Diagramme en blocs du schéma de recherche d’extrémum discret . . . 93

5.3 La réponse du système F1 : (a) Le signal de sortie, (b) Le signal de

commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4 La fonction de coût et les valeurs des paramètres, F1 :(a) kp, ki et kd

(b) les ordres fractionnaires λ, µ (c) la fonction de coût . . . . . . . . 98

5.5 Sensibilité de la fonction coût aux paramètres α et γ pour F1 . . . . . 99


commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.7 La fonction de coût et les valeurs des paramètres, F2 : (a) kp, ki et

kd ; (b) les ordres fractionnaires λ, µ ; (c) la fonction de coût . . . . . 101


TABLE DES FIGURES x


commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103





commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106




6.1 Schéma équivalent électrique de la cellule photovoltaïque réelle. . . . 112

6.2 Caractéristiques I(V) et P(V) d’un panneau photovoltaïque. . . . . . 113

6.3 Effet de la température et de l’éclairement sur le panneau photovol-

taïque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4 Le schéma de base du convertisseur boost. . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5 L’ensemble du système : panneau PV, convertisseur de Boost, le

contrôleur (FOES) et de la charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.6 Présentation de l’ensemble du système dans Matlab/Simulink. . . . . 117

6.7 La puissance de panneau PV pour différentes valeurs de l’ordre frac-

tionnaire λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.8 Les sorties du panneau PV pour différentes valeurs de l’ordre frac-

tionnaire λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.9 Le critères quadratique d’erreur en fonction de l’ordre fractionnaire λ. 119

6.10 Les sorties PV photovoltaïque pour la valeur «optimale» d’ordre frac-

tionnaire : λ = 0, 76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.11 Deux cas de données numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.12 MPPT basée sur la méthode proposée (FOES) pour un scénario fixe . 122

6.13 MPPT basée sur la méthode proposée (FOES) pour un scénario va-

riable (réel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Liste des tableaux

4.1 Avantages et désavantages des catégories de méthodes d’optimisation

en temps réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Paramètres de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3 Paramètres de la Recherche d’Extrêmum. . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Paramétres du PIλDµ et PID avec ES pour la FT F1 . . . . . . . . . 96

5.2 Les paramètres du régulateur de PIλDµ avec différentes valeurs de α

et γ pour F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Paramètres du PIλDµ et PID avec ES pour la FT F2 . . . . . . . . . 99


et γ pour F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101



et γ pour F3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102



et γ pour F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.1 Caractéristiques électriques du module PV ISOFOTON 75I-12, selon

la fiche technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2 Paramètres du Module PV ISOFOTON 75I-12. . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Paramètres de la commande extrémale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Chapitre 1Introduction Générale

L’évolution technologique incessante que connait le début du 21ème siècle nous

lance dans un univers ou la performance est un objectif de tout moment. Généra-

lement, en Automatique, il ne s’agit plus de déterminer et d’ajuster des stratégies

de commandes adéquates pour maintenir les entrées d’un système à des points de

consigne désirés, mais plutôt de faire fonctionner ces systèmes de façon à optimiser

un critère de performance donné tout en respectant des contraintes de fonctionne-

ment.

Le comportement des systèmes est généralement non-stationnaire mais évolue

dans le temps selon les différentes sources de perturbations internes et externes qui

peuvent se présenter. Dans un tel contexte, il n’existe pas de point de fonctionne-

ment qui minimise un critère de performance du système et qui reste admissible tout

le temps.

Ce challenge de conduite de processus devient encore plus difficile à réaliser quand

on considère le cas des systèmes à modèles inconnus ou dont les paramètres varient

’lentement’ dans le temps. Il devient alors nécessaire de concevoir des lois de com-

mande qui puissent ’s’adapter’ aux variations des données renvoyées en temps réel

par les différents capteurs sur l’évolution des grandeurs mesurées, et qui permettent

d’avoir une idée plus ou moins précise sur le modèle du processus commandé.

Le sujet de cette thèse se place dans ce contexte. Il a pour but d’améliorer les

performances des systèmes de commande adaptative classique par l’introduction des

opérateurs d’ordre fractionnaire dans les algorithmes de contrôle.

2

Commande d’ordre fractionnaire

Le calcul fractionnaire est une généralisation de calcul d’ordre entier, intégral et

différentiel. Avec la croissance en puissance des ordinateurs, le calcul fractionnaire

maintenant est devenu un sujet intéressant de la recherche dans les communautés

scientifiques. Au cours des dernières années, il y a eu un développement considérable

de l’utilisation de calcul fractionnaire dans divers domaines. Avant le 20ème siècle, la

théorie du calcul fractionnaire développé principalement comme un axes purement

théorique des mathématiques utiles uniquement pour les mathématiciens. Oldham

et Spanier (1974) [117] et Podlubny (1999) [144, 143] ont présenté un volume im-

portant de discussions visant ce sujet.

Les champs d’application du calcul fractionnaire évoluent de plus en plus, y com-

pris des domaines tels que, le génie électrique, l’automatisation et l’ingénierie de

contrôle, la robotique, le génie biomédical et plus récemment dans le domaine des

énergies renouvelables [11, 111]. Les principales raisons de cet intérêt croissant pour

les opérateurs et les systèmes de commande fractionnaires sont d’abord leurs bonnes

performances et leur propriété héréditaire et d’autre part les progrès récents de la

science informatique et des outils numériques.

La commande d’ordre fractionnaire (COF) est l’un des domaines qui a attiré beau-

coup d’efforts de recherche avec de nombreux résultats encourageants obtenus tels

que la commande CRONE [125, 129, 127], la commande PIλDµ d’ordre fractionnaire

fractionnaire [144, 200], la commande fractionnaire dans l’espace d’état [174, 149], la

commande optimale d’ordre fractionnaire [132], et la commande adaptative d’ordre

fractionnaire [74, 57]... etc.

Depuis une décennie, en particulier pour la commande adaptative d’ordre frac-

tionnaire, de nombreux chercheurs ont proposé différentes lois de commande telles

que le la commande adaptative a modèle de référence fractionnaire [70, 74, 15, 6, 5],

la commande PID adaptative d’ordre fractionnaire [34, 110], la commande adap-

tative à grand gain d’ordre fractionnaire [79], la commande adaptative fraction-

naire par modes glissants [44], la commande adaptative fractionnaire basée sur la

commande à modèle interne (IMC) [76] et la commande adaptative indirecte par

placement de pôles d’ordre fractionnaire [66].

Commande adaptative

3

L’optimisation des processus est généralement classée en deux familles de mé-

thodes. Premièrement, les méthodes basées sur des modèles, qui utilisent des modèles

du système pour prévoir les conditions de fonctionnement optimales. Puis, les mé-

thodes sans modèle qui présument que la fonction objective est mesurée et pour

lesquels les variables de commandes sont ajustées de manière à orienter le système

vers un fonctionnement optimal par la minimisation (ou la maximisation) d’un cri-

tère bien défini.

Une méthode particulière de l’optimisation en temps réel est celle utilisant la com-

mande adaptative d’extremum. L’origine de cette approche est attribuée à Maurice

Leblanc, ingénieur français du début du XXème siècle. Le problème traite dans Le-

blanc (1922) [81] est celui de la commande de moteurs à courant alternatif. L’auteur

propose de varier l’auto-induction d’un moteur alternatif de manière automatique

pour rendre le courant d’induit maximal. Comme mentionné par Ariyur et Krstic

(2003) [10], cette méthode de commande extrémale représente le premier algorithme

de commande adaptative.

Parmi les approches adaptatives de la régulation nous avons aussi étudié la com-

mande adaptative auto-ajustable qui fait l’objet d’un grand intérêt dans le milieu

industriel vu sa simplicité d’implémentation et son efficacité en pratique. Le principe

de la Commande adaptative indirecte à ajustement automatique repose sur l’iden-

tification d’un modèle du système en ligne et en temps réel. Puis, avec ce nouveau

modèle calculé, le régulateur permettant de satisfaire les spécifications nominales

est de nouveau élaboré [65].

Problématique

Les objectifs principaux de la commande de procédés sont d’assurer le fonctionne-

ment optimal, la stabilité et la performance dynamique des systèmes. Généralement

l’utilisation de modèles dynamiques constitue l’instrument de base à la conception

de régulateurs qui réalisent ces objectifs.

La commande adaptative extrêmale a pour objectif d’amener un système à son

point d’opération optimal en adaptant en ligne les paramètres inconnus d’un mo-

dèle avec une structure connue (ou supposée). Cette technique a connu son essor

4

au cours des années 1950 et 1960 (Sternby [160], 1980 ; (Åström and Wittenmark,

[3]), 1995), mais cette approche a graduellement disparue au profit de la commande

adaptative par modèle de référence (MRAC) [2, 3, 4], principalement par manque

d’outils d’analyse garantissant la stabilité du système en boucle fermée.

Au cours des dernières années, plusieurs équipes de chercheurs ont proposé de nou-

velles approches de commande adaptative par recherche d’extremum. Entre autres,

les travaux de Krstic et al. [62], basés sur la méthode de la moyenne, ainsi que ceux

de Guay et Zhang [50], utilisant sur la méthode de Lyapunov, présentent des résul-

tats intéressants d’optimisation en temps réels.

D’autre part, l’introduction des opérateurs d’ordre fractionnaire dans les systèmes

de commande a permis d’observer une nette amélioration de ces systèmes du point

de vue performances (rapidité, stabilité, robustesse).

Objectifs de la thèse

Le choix des schémas de commande adaptative utilisant des opérateurs ou des

filtres d’ordre fractionnaire est essentiellement motivé par les très bonnes perfor-

mances des systèmes d’ordre fractionnaire relativement à celles des systèmes d’ordre

entier [11, 40].

Notre intérêt sera principalement orienté l’approche de la commande extrêmale qui

est une commande adaptative permettant d’atteindre un optimum de rendement du

processus.

La commande adaptative fractionnaire basée sur la recherche d’un extrémum, sera

développée dans ce manuscrit, et à notre connaissance c’est le premier travail de

recherche consacré à cette technique de commande [109, 108, 113], bien que certains

chercheurs ont commencé depuis à s’y intéresser [90, 18].

La technique d’optimisation par recherche extremum est aussi utilisée pour l’ajuste-

ment en temps réel des paramètres du régulateur PIλDµ adaptatif d’ordre fraction-

naire.

Ces schémas de commande seront validés par des applications en simulations à des

processus industriels pour lesquels une pléthore de stratégies de commande ont déjà

été testées vu l’intérêt qu’il y a à optimiser au mieux leurs performance : il s’ait du

5

système photovoltaïque et du système de freinage ABS.

Il reste à noter que les processus considérés dans ce travail sont le plus souvent

des systèmes SISO, mais les résultats obtenus peuvent être facilement généralisés

aux cas MIMO.

Organisation de la thèse

Le Chapitre 2 présente une brève revue de la littérature liée au calcul fraction-

naire et aux systèmes de commande d’ordre fractionnaire en général. Nous faisons,

dans cette partie, une introduction aux éléments de base du calcul d’ordre fraction-

naire et nous répertorions quelques notions essentielles sur le calcul d’ordre fraction-

naire nécessaires pour la bonne compréhension de notre travail.

Le Chapitre 3 recense les principaux écrits portant sur les systèmes de commande

adaptative et rappelons les différentes méthodes existant dans la littérature. Une

nouvelle approche de la commande adaptative nommée la commande adaptative ex-

trémale présentée dans cette thèse a pour objectif d’amener un système à son point

d’opération optimal en adaptant en ligne les paramètres inconnus d’un modèle avec

une structure connue (ou supposée).

Le Chapitre 4 présente les techniques de commande adaptative par recherche d’ex-

tremum. La première partie de ce chapitre recense les différentes approches de com-

mande par recherche d’extremum et décrit les deux méthodes les plus utilisées dans

la littérature (la commande extrémale par la méthode des perturbations et la com-

mande extrémale par saturation) et contient la description de l’algorithme proposé

dans cette thèse.

Le Chapitre 5 introduit le principe du correcteur PIλDµ adaptatif fractionnaire ba-

sée sur la recherche d’extrémum et qui représente une extension du correcteur PID

adaptatif classique auquel sont rajoutés deux paramètres complémentaires qui sont

l’ordre d’intégration et de dérivation fractionnaires.

Le Chapitre 6 contient les résultats de simulation de l’application de la méthode

adaptative extrémale d’ordre fractionnaire a l’optimisation de la puissance électrique

délivrée par un système photovoltaïque. Ces résultats sont également comparés aux

résultats obtenus pour les différentes valeurs de l’opérateur d’ordre fractionnaire λ.

6

Enfin, nous concluons ce manuscrit par une synthèse des résultats obtenus et des re-

marques d’ordre général et nous proposons quelques perspectives intéressantes pour

la poursuite de nos recherche.

Chapitre 2Systèmes d’ordre fractionnaire

2.1 Introduction 8

2.1 Introduction

Le développement récent de la théorie des systèmes, des moyens informatiques,

des processeurs, et par conséquent de la puissance de calcul ont considérablement

amplifié l’utilisation de cette science pour la commande des processus. L’une des

théories, qui peut être considérée aussi bien ancienne que nouvelle et qui connaît

actuellement une grande popularité dans le milieu des chercheurs dans les sciences

fondamentales et en ingénierie, est celle du calcul d’ordre fractionnaire qui étend la

dérivation et l’intégration aux ordres fractionnaires.

La naissance du calcul d’ordre fractionnaire remonte à l’année 1695 [33], quand

Leibniz a soulevé la question suivante dans une lettre à L’Hôpital, « la signification

des dérivés avec ordre entier (dny(t)

dtn) être généralisée aux dérivées avec des ordres

non entier ? ». L’Hôpital, a soulevé une question en réponse : « Qu’en est-il si l’ordre

sera 12? ». La réponse historique de Leibniz était, « Il mènera à un paradoxe, duquel

un jour des conséquences utiles seront tirées ».

Aujourd’hui, l’intérêt de la dérivation d’ordre fractionnaire ne cesse de grandir,

notamment dans le domaine de l’automatique pour la modélisation, l’identification

et la commande des systèmes. En fait, ce n’est qu’au début des années 1990 que le

régulateur CRONE a été proposé par Oustaloup [125]. En profitant des propriétés

avantageuses des systèmes d’ordre fractionnaire, ce régulateur permettait d’assurer

la robustesse de la commande dans une bande de fréquences donnée. Depuis cette

initiative, la commande d’ordre fractionnaire captiva l’intérêt de beaucoup de cher-

cheurs. En 1999, Podlubny [144] a proposé le régulateur PIλDµ, une généralisation du

correcteur PID classique, comprenant une intégration fractionnaire d’ordre λ et une

dérivation fractionnaire d’ordre µ, élargissant ainsi le champ d’application du calcul

fractionnaire à la théorie de la commande, ce qui a orienté plusieurs chercheurs à un

nouveau axe de recherche qui est le réglage du correcteur PID d’ordre fractionnaire

[98, 195]. L’intérêt porté à ce type de correcteurs, connu pour sa simplicité et son

utilisation fréquente en industrie, est justifié par une meilleure flexibilité due aux

deux paramètres supplémentaires ; l’action d’intégration d’ordre fractionnaire λ et

l’action de différentiation d’ordre fractionnaire µ.

2.2 Éléments de base des systèmes d’ordre fractionnaire 9

2.2 Éléments de base des systèmes d’ordre fraction-

naire

Le calcul d’ordre fractionnaire a été utilisé en mécanique depuis les années 1930

et en électrochimie depuis les années 1960. Dans le domaine de la commande, des

travaux intéressants ont été réalisés par I.A. Brin [16]. Plus tard, plusieurs mathé-

maticiens et physiciens ont étudié les opérateurs différentiels et les systèmes d’ordre

fractionnaire [45, 86, 117, 143, 157].

.

Le calcul fractionnaire est une généralisation de l’intégration et de la différentia-

tion à l’opérateur fondamental d’ordre non entier aDαt où a et t sont les limites de

l’opération. L’opérateur intégro-différentiel continu est noté par :

aDαt =

dα

dtαℜ(α) > 0,

1 ℜ(α) = 0,∫ t

a(dτ)−α ℜ(α) < 0,

(2.1)

où α est l’ordre de l’opération, généralement α ∈ ℜ.

2.2.1 Définitions fondamentales

Il existe plusieurs définitions mathématiques pour l’intégration et la dérivation

d’ordre fractionnaire. Ces définitions ne mènent pas toujours à des résultats iden-

tiques mais sont équivalentes pour un large panel de fonctions (Nous citerons les

définitions de Grünwald-Letnikov, de Caputo et de Riemann-Liouville) [143].

2.2.1.1 Définition de Riemann-Liouville

L’intégrale de Riemann-Liouville est définie ainsi

Définition 1 Soient C et ℜ les anneaux des nombres complexes et réels respective-

ment, ℜ(.) symbolise la partie réelle d’un nombre complexe.

Soient λ ∈ C avec ℜ(λ) > 0, t0 ∈ ℜ et f une fonction localement intégrable définie

sur [t0,+∞).


L’intégrale d’ordre λ de f de borne inférieure t0 est définie par

RLIλt0f(t) =

1

Γ(λ)

∫ t

t0

(t− ξ)λ−1f(ξ)d(ξ) (2.2)

avec t ≥ t0 et Γ la fonction gamma d’Euler.

Définition 2 Soient µ ∈ C avec ℜ(µ) > 0, n un entier positif, t0 ∈ ℜ et f une

fonction localement intégrable définie sur [t0,+∞). La dérivée d’ordre µ de f de

borne inférieure t0 est définie par

RLDµt0f(t) =

1

Γ(n− µ)

dn

dtn

∫ t

t0

(t− τ)n−µ−1f(τ)dτ (2.3)

Où le nombre entier n est tel que (n− 1) < µ < n.

Cette dérivée d’ordre fractionnaire peut aussi être définie à partir de l’équation (2.2)

comme suit

RLDµt0f(t) =

dn

dtn

I(n−µ)t0 f(t)

(2.4)

2.2.1.2 Définition de Caputo

Caputo a introduit une autre formulation de la dérivée d’ordre fractionnaire

définie ainsi

CDµf(t) =∆ In−µDnf(t) =

1

Γ(n− µ)

∫ t

0

f (n)(τ)

(t− τ)µ−n+1dτ (2.5)

avec n un entier positif vérifiant l’inégalité n− 1 < µ < n.

Cette définition peut être formulée également en fonction de la définition de Riemann-

Liouville comme suit

RLDµf(t) =C Dµf(t) +

n−1∑

k=0

tk−µ

Γ(k − µ+ 1)f (k)(0+) (2.6)

Ce qui peut être décrit autrement par

CDµf(t) =RL Dµ

(

f(t)−n−1∑

k=0

f (k)(0+)tk

k!

)

(2.7)


2.2.1.3 Définition de Gründwald-Leitnikov

La dérivée d’ordre fractionnaire d’ordre µ > 0 de G-L est donnée par

GLDµf(t) =

dµ

dtµf(t) = lim

h→0h−µ

k∑

j=0

(−1)j

µ

j

f(kh− jh) (2.8)

Où h est la période d’échantillonnage et les coefficients

ω(µ)j =

µ

j

=Γ(µ+ 1)

Γ(j + 1)Γ(µ− j + 1)

avec ω(µ)0 =

µ

0

= 1, sont les coefficients du binome suivant

(1− z)µ =∞∑

j=0

(−1)j

µ

j

zj =∞∑

j=0

ω(µ)j zj (2.9)

La définition de Gründwald-Leitnikov de l’intégrale d’ordre fractionnaire est formu-

lée comme suit

GLIλf(t) =GL D−λf(t) = lim

h→0hλ

k∑

j=0

(−1)j

−λ

j

f(kh− jh) (2.10)

Où h est la période d’échantillonnage et les coefficients ω(−λ)j avec ω

(−λ)0 =

−λ

0

=

1, sont les coefficients du binome suivant

(1− z)−λ =

∞∑

j=0

(−1)j

−λ

j

zj =

∞∑

j=0

ω(−λ)j zj (2.11)

2.2.2 Propriétés des opérateurs d’ordre fractionnaire

Les propriétés principales des dérivées et intégrales d’ordre fractionnaire sont les

suivantes :

1. Si f(z) est une fonction analytique de z, alors sa dérivée d’ordre fractionnaire

Dαf(z) est une fonction analytique de z et α.


2. Pour α = n, où n est un entier, l’opération Dαf(z) donne le même résultat

que la différentiation classique d’ordre entier n.

3. Pour α = 0 l’opération Dαf(z) est l’opérateur identité D0f(z) = f(z).

4. La différentiation et l’intégration d’ordres fractionnaire sont des opérations

linéaires

Dαaf(z) +Dαbg(z) = aDαf(z) + bDαg(z)

5. La loi additive (propriété du semi-groupe)

DαDβf(z) = DβDαf(z) = Dα+βf(z)

est valable sous certaines contraintes sur la fonction f(z) (voir [143] pour

d’autres propriétés).

2.2.3 Approximation numérique des opérateurs d’ordre frac-

tionnaire

Beaucoup de travaux ont été réalisés sur les approximations numériques des équa-

tions différentielles d’ordre fractionnaire bien que sur la discrétisation des opérateurs

d’ordre fractionnaire [28, 146, 97] ; Diethelm a suggéré dernièrement une méthode ef-

ficace pour l’approximation numérique des équations différentielles d’ordre fraction-

naire [37], basée sur un correcteur-prédicateur de type Adams. Vinagre et al. [178]

ont développé une nouvelle méthode pour la discrétisation des opérateurs d’ordre

fractionnaire en utilisant l’approche de Tustin. Ferdi [47] a proposé une méthode

de calcul de la dérivée et l’intégrale d’ordre fractionnaire par le développement en

séries de puissances et la modélisation du signal.

Pourtant, ces méthodes sont souvent un peu compliquées ou d’ordre élevé pour être

introduites dans un schéma de commande adaptative simple pour commander des

systèmes aux paramètres inconnus ou variants dans le temps. Ceci peut déstabiliser

la boucle de commande, par une variation ordonnée de l’amplitude du signal de

référence, ou pendant la période transitoire.


2.2.3.1 Formules de Riemann-Liouville

Nous utiliserons parfois une approximation numérique simple approximation nu-

mérique de l’intégrale de Riemann, basée sur la méthode rectangulaire. Cette ap-

proximation est plus pratique dans des algorithmes sensibles au nombre de calculs

à effectuer.

En mettant,

t = k∆

Où t est le temps actuel, k un entier et ∆ la période d’échantillonnage.

On obtient

Iα0 f(k∆) =∆

Γ(α)

k−1∑

τ=0

(k∆− τ∆)α−1f(τ∆)

=∆α

Γ(α)

k−1∑

τ=0

(k − τ)α−1f(τ∆) (2.12)

Cette méthode présente l’avantage d’être simple mais l’inconvénient d’être trop

consommatrice de mémoire à mesure que la fenêtre temporelle de calcul s’élargit.

Toutefois, nous pouvons remédier à cette contrainte en limitant la "mémoire" de la

dérivée d’ordre fractionnaire, ainsi la valeur initiale sera prise à l’instant t− Tm où

Tm est la longueur prédéfinie de cette mémoire [64].

Ainsi, si Km est le nombre de périodes correspondant au temps Tm (Km = Tm

∆),

l’approximation numérique de l’intégrale d’ordre fractionnaire peut s’écrire

IαTmf(k∆) =

∆α

Γ(α)

k−1∑

τ=k−Km

(k − τ)α−1f(τ∆) (2.13)

2.2.3.2 Formules de Gründwald-Leitnikov

Pour le calcul numérique des intégrales et dérivées d’ordre fractionnaire on peut

utiliser les définitions de G-L des équations (2.10) et (2.8) respectivement.

Pour une fonction causale f(t), et pour t = kh, L’intégrale d’ordre fractionnaire est


donnée par [144]

Iλf(kh) = D−λf(kh)

∼= hλk∑

j=0

ω(−λ)j f(kh− jh) (2.14)

Où les coefficients ω(−λ)j sont les coefficients du binome de l’équation (2.11) qui

peuvent être calculés par la formule récurrente suivante, pour j = 1, 2, . . . , k

ω(−λ)0 = 1

et

ω(−λ)j =

(

1− 1− λ

j

)

ω(−λ)j−1 (2.15)

De même pour une fonction causale f(t), et pour t = kh, la dérivée d’ordre frac-

tionnaire est donnée par [143]

Dµf(kh) =dµ

dtµf(t)

∼= h−µk∑

j=0

ω(µ)j f(kh− jh) (2.16)

Où les coefficients ω(µ)j sont les coefficients du binome de l’équation (2.9) qui peuvent

être calculés par la formule récurrente suivante, pour j = 1, 2, . . . , k

ω(µ)0 = 1

et

ω(µ)j =

(

1− 1 + µ

j

)

ω(µ)j−1 (2.17)


2.2.4 Transformée de Laplace des opérateurs d’ordre frac-

tionnaire

2.2.4.1 Intégrale d’ordre fractionnaire

Nous commencerons par la transformée de Laplace de l’intégrale d’ordre frac-

tionnaire de Riemann-Liouville d’ordre λ > 0 définie par (2.2), qu’on peut écrire

comme une convolution des fonctions g(t) = tλ−1 et f(t)

Iλf(t) = D−λf(t) =1

Γ(λ)

∫ t

0

(t− τ)λ−1f(τ)dτ = tλ−1 ∗ f(t) (2.18)

La transformée de Laplace de la fonction tλ−1 est

G(s) = L

tλ−1; s

= Γ(λ)s−λ (2.19)

En utilisant la formule de la transformée de Laplace de la convolution on obtient la

transformée de Laplace de l’intégrale de Riemann-Liouville et celle de Gründwald-

Leitnikov

L

Iλf(t)

= s−λF (s) (2.20)

2.2.4.2 Dérivée d’ordre fractionnaire

Nous citons dans ce qui suit la transformée de Laplace des différentes définitions

de la dérivée.

- Dérivée de Riemann-Liouville

LDµf(t) = sµF (s)−n−1∑

k=0

sk[

Dµ−k−1f(t)]

t=0(2.21)

avec n−1 < µ < n. Cette transformée de Laplace de la dérivée de Riemann-Liouville

est bien connue (voir [117, 93]). Mais son applicabilité en pratique est limitée à

cause de l’absence d’interprétation physique des valeurs limites des dérivées d’ordre

fractionnaire pour t = 0.

2.3 Approximation des systèmes d’ordre fractionnaire 16

- Dérivée de Caputo

LDµf(t) = sµF (s)−n−1∑

k=0

sµ−k−1fk(0) (2.22)

avec n− 1 ≤ µ < n.

Il faut mentionner ici que d’un point de vue mathématique pur, il y a différentes

manières d’interpoler entre les intégrales et dérivées multiples d’ordre entier. La

plus connue et la plus étudiée est la définition de Riemann-Liouville des dérivées

d’ordre fractionnaire (voir [117, 154, 93]). L’avantage principal de la définition de

Caputo par rapport à celle de Riemann-Liouville est qu’elle permet de considérer

des conditions initiales conventionnelles faciles à interpréter telles que y(0) = y0,

y′

(0) = y1, etc. De plus, la dérivée de Caputo d’une constante est bornée (égale

à 0), alors que la dérivée de Riemann-Liouville d’une constante n’est pas bornée à

t = 0. La seule exception est quand on prend t = −∞ comme point de départ (limite

inférieure) dans la définition de Riemann-Liouville. Cependant, quand on s’intéresse

à des processus transitoires, on ne peut pas accepter de placer le point de départ à

−∞ ; dans ce cas la définition de Caputo semble être la plus appropriée quand on

la compare aux autres.

- Dérivée de Gründwald-Leitnikov

LDµf(t) = sµF (s) (2.23)

Remarque La résolution des équations différentielles d’ordre fractionnaire avec

la transformée de Laplace se fait de la même manière qu’avec les équations différen-

tielles d’ordre entier.

2.3 Approximation des systèmes d’ordre fraction-

naire

Le problème d’obtention d’un modèle réalisable continu pour un régulateur d’ordre

fractionnaire peut être considéré comme un problème d’obtention d’une approxima-


tion rationnelle de la fonction de transfert irrationnelle, modélisant le régulateur

d’ordre fractionnaire. Parmi plusieurs méthodes mathématiques, deux d’entre elles

[182] sont particulièrement intéressantes dans cet objectif au regard de la théorie de

commande

– Méthodes d’identification fréquentielle ou méthodes d’ajustement de courbes

pour l’obtention d’approximations rationnelles aux réponses fréquentielles ir-

rationnelles caractérisant les systèmes d’ordre fractionnaire.

– Méthode d’expansion de fractions continues (utilisée pour l’évaluation des

fonctions) et méthode d’approximation rationnelle (utilisée dans l’interpola-

tion des fonctions).

Nous allons présenter certaines des plus importantes méthodes des deux catégories,

avec un intérêt particulier à la méthode de la fonction singulière qui sera entièrement

détaillée, car elle a été fréquemment utilisée pour l’implémentation des algorithmes

de commande d’ordre fractionnaire proposés dans ce travail.

2.3.1 Approximations utilisant l’expansion des fractions conti-

nues et les techniques d’interpolation

L’expansion des fractions continues (EFC) est une méthode d’évaluation des

fonctions qui converge souvent beaucoup plus rapidement que le développement

en série de puissances, et converge dans un domaine plus large du plan complexe.

Le résultat de cette approximation pour une fonction irrationnelle G(s), peut être

exprimé sous la forme

G(s) ∼= a0(s) +b1(s)

a1(s) +b2(s)

a2(s)+b3(s)

a3(s)+...

= a0(s) +b1(s)

a1(s)+

b2(s)

a2(s)+

b3(s)

a3(s)+... (2.24)

où ai(s) et bi(s) sont des fonctions rationnelles de la variable s, ou des constantes.

L’application de cette méthode résulte en une fonction rationnelle G(s), qui est une

approximation de la fonction irrationnelle G(s).

D’autre part, pour l’interpolation, les fonctions rationnelles sont parfois supérieures

aux polynômes, car elle permettent de modéliser les fonctions par des pôles.


Ces techniques sont basées sur l’approximation d’une fonction irrationnelle G(s)

par une fonction rationnelle définie par le quotient de deux polynômes de la variable

s

G(s) ∼= Ri(i+1)...(i+m) =Pµ(s)

Qν(s)

=p0 + p1s+ ...pµs

µ

q0 + q1s+ ...qνsν(2.25)

qui passe par les points (si, G(si)), ...(si+m, G(si+m)).

Dans la suite nous présenterons quelques unes des méthodes les plus connues de ce

type.

2.3.1.1 Méthode générale d’approximation des opérateurs d’ordre frac-

tionnaire

En général, une approximation rationnelle de la fonction G(s) = s−α, 0 < α < 1

(Intégration d’ordre fractionnaire dans le domaine de Laplace) peut être obtenue en

réalisant l’EFC des fonctions

Gh(s) =1

(1 + sT )α

Gl(s) =

(

1 +1

s

)α

(2.26)

où Gh(s) est l’approximation pour les hautes fréquences (ωT >> 1), et Gl(s) l’ap-

proximation pour les basses fréquences (ωT << 1).

2.3.1.2 Méthode de Carlson

La méthode proposée par Carlson dans [21], dérivée du processus régulier de New-

ton utilisé pour l’approximation itérative de la racine d’ordre α, peut être considérée

comme appartenant à ce goupe. La méthode se base sur l’hypothèse suivante

(H(s))1/α −G(s) = 0; H(s) = (G(s))α (2.27)


En définissant α = 1q, m = q

2, à chaque itération, partant de la valeur initiale H0(s) =

1, une fonction rationnelle approximée est obtenue sous la forme

Hi(s) = Hi−1(s)(q −m)(Hi−1(s))

2 + (q +m)G(s)

(q +m)(Hi−1(s))2 + (q −m)G(s)(2.28)

2.3.1.3 Méthode de Matsuda

La méthode proposée dans [92] est basée sur l’approximation d’une fonction ir-

rationnelle par une fonction rationnelle obtenue par l’EFC et l’ajustement de la

fonction originale dans un ensemble de points logarithmiquement espacés. En sup-

posant que les points choisis sont sk, k = 0, 1, 2, ..., l’approximation prend la forme

H(s) = a0(s) +s− s0a1+

s− s0a2+

s− s3a3+

... (2.29)

où

ai = vi(si), v0(s) = H(s), vi+1 =s− si

vi(s)− ai(2.30)

2.3.2 Approximations utilisant l’ajustement de courbes ou les

techniques d’identification

En général toutes les méthodes d’identification dans le domaine fréquentiel peuvent

être appliquées pour obtenir une fonction rationnelle, dont la réponse fréquentielle

se rapproche de celle de la foction irrationnelle originale. Par exemple cela peut être

la minimisation de la fonction coût suivante,

J =

∫

W (s)∣

∣

∣G(ω)− G(ω)

∣

∣

∣

2

dω (2.31)

où W (s) est une fonction de pondération, G(ω) la réponse fréquentielle originale, et

G(ω) est la réponse fréquentielle de la fonction rationnelle approximée.


2.3.2.1 Méthode d’Oustaloup

La méthode [122, 124, 126] est basée sur l’approximation d’une fonction de la

forme

H(s) = sµ, µ ∈ R+ (2.32)

par une fonction rationnelle

H(s) = CN∏

k=−N

1 + sωk

1 + s

ω′

k

(2.33)

en utilisant l’ensemble des formules de synthèse suivantes

ω′

0 = α−0.5ωu; ω0 = α0.5ωu;ω

′

k+1

ω′

k

=ωk+1

ωk= αη > 1; (2.34)

ω′

k+1

ωk= η > 0;

ωk

ω′

k

= α > 0; N =log(ωN/ω0)

log(αη); µ =

logα

log(αη)

ωu étant le gain fréquentiel unité et la fréquence centrale d’une bande de fréquences

distribuées géométriquement autour. Soit, ωu =√ωhωb, où ωh et ωb sont la haute

et basse fréquence respectivement.

2.3.3 Méthode de la fonction de singularité de Charef

Dans le but d’implémenter des modèles d’ordre fractionnaire dans les schémas de

commande présentés dans ce travail, nous utiliserons la méthode appelée "Méthode

de la fonction de singularité" développée par Charef et al. [26, 164], qui est présentée

dans cette section. La méthode d’approximation sera différente selon que le transfert

d’ordre fractionnaire à approximer soit du premier ou du second ordre

Système du premier ordre fractionnaire

Pour un système d’ordre fractionnaire du premier ordre (single fractal system)

la modélisation se fait sous la forme (2.35)

G(s) =1

(1 + spT)β

(2.35)


on peut réécrire la fonction (2.35) comme suit (voir aussi [24])

G(s) =1

(1 + spT)β

= limN→∞

∏N−1i=0

(

1 + szi

)

∏Ni=0

(

1 + spi

) (2.36)

où (N +1) est le nombre total des singularités qui peut être déterminé par la bande

de fréquences du système.

L’équation (2.36) peut être tronquée à un nombre fini N , et l’approximation devient

G(s) =1

(1 + spT)β

≈∏N−1

i=0

(

1 + szi

)

∏Ni=0

(

1 + spi

) (2.37)

Les pôles et les zéros de la fonction de singularités peuvent être obtenus comme suit

pi = (ab)ip0 i = 1, 2, 3, ..., N (2.38)

zi = (ab)iap0 i = 2, 3, ..., N − 1 (2.39)

avec,

p0 = pT10ǫp20β (2.40a)

a = 10ǫp

10(1−β) (2.40b)

b = 10ǫp10β (2.40c)

β =log(a)

log(ab)(2.40d)

ǫp est l’erreur tolérée en dB.

Système du second ordre fractionnaire

Pour un système de second ordre décrit par l’équation (2.41)

G(s) =1

( s2

ω2n+ 2ξ s

ωn+ 1)β

(2.41)

avec β un nombre réel positif tel que 0 < β < 1, on peut distinguer deux cas


Mod(dB)

3β dB

pT p0 z0 p1 z1 p2 z2

fréquence

−20β dB/dec

Figure 2.1: Diagramme de Bode de 1/(1 + s/pT )β

avec une pente de −20β dB/dec et son approximation par des lignes droites enzig-zag avec des pentes individuelles de −20 dB/dec et 0 dB/dec.

- Cas où 0 < β < 0.5

On peut exprimer la fonction (2.41) comme suit

Ge(s) =( sωn

+ 1)( sωn+1

)η

( s2

ω2n+ 2α s

ωn+ 1)

(2.42)

avec α = ξβ et η = 1− 2β, ce qui peut aussi être approximé par la fonction,

Ge(s) ≈( sωn

+ 1)

( s2

ω2n+ 2α s

ωn+ 1)

∏N−1i=1 (1 + s

zi)

∏Ni=1(1 +

spi)

(2.43)

Les singularités (pôles pi et zéros zi) sont données par les formules suivantes

pi = (ab)i−1az1 i = 1, 2, 3, ..., N (2.44)

zi = (ab)i−1z1 i = 2, 3, ..., N − 1 (2.45)


fréquencepT p0 z0 p1

−20 dB/dec

−20β dB/dec

0 dB/dec

y(dB)y(dB)

y(dB)

y(dB)

Figure 2.2: Comment choisir les singularités pour l’approximation en maintenantun écart constant entre la ligne à −20β dB/dec et les lignes droites en zig-zag.

avec,

z1 = ωn

√b (2.46a)

a = 10ǫp

10(1−η) (2.46b)

b = 10ǫp10η (2.46c)

η =log(a)

log(ab)(2.46d)


L’ordre d’approximation N est calculé en fixant la bande de fréquences de travail,

spécifiée par ωmax telle que pN−1 < ωmax < pN , ce qui mène à la valeur suivante

N = Partie entière de

[

log(ωmax

p1)

log(ab)+ 1

]

+ 1 (2.47)

Ge(s) peut alors être écrite sous la forme d’une fonction paramétrique d’ordre N +2

Ge(s) =bm0s

N + bm1sN−1 + ... + bmN

sN+2 + am1sN+1 + ... + amN+2

(2.48)


Les coefficients amiet bmi

sont calculés à partir des singularités pi, zi ainsi que α et

ωn.

- Pour 0.5 < β < 1

La fonction d’approximation est donnée comme suit

Ge(s) =( sωn

+ 1)

( s2

ω2n+ 2α s

ωn+ 1)( s

ωn+1)η

(2.49)

Où α = ξβ et η = 2β − 1, qui développée comme précédemment avec les valeurs

singulières suivantes

pi = (ab)i−1p1 i = 1, 2, 3, ..., N (2.50)

zi = (ab)i−1ap1 i = 2, 3, ..., N − 1 (2.51)

p1 = ωn

√b (2.52a)

a = 10ǫp

10(1−η) (2.52b)

b = 10ǫp10η (2.52c)

η =log(a)

log(ab)(2.52d)


Ge(s) peut alors être écrite sous la forme de la fonction paramétrique (2.48).


2.3.4 Implémentation analogiques

2.3.4.1 Intégration d’ordre fractionnaire

L’approximation de l’opérateur intégrateur d’ordre fractionnaire dans une bande

fréquentielle donnée par une fonction rationnelle a la forme (2.37)

HI(s) =KI

sβ=

KI

(1 + sωc)β

≈ KI

∏N−1i=0

(

1 + szi

)

∏Ni=0

(

1 + spi

) (2.53)

La décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle approximant l’inté-

grateur d’ordre fractionnaire HI(s) donne

HI(s) =

N∑

i=0

hi

1 + spi

(2.54)

où les hi sont les résidus des pôles donnés par l’équation (2.53).

Cette équation correspond à l’impédance d’un circuit RC du type Forster de 1ère

forme dont le schéma est représenté dans la figure(2.3) [24].

L’impédance de ce circuit est donnée par

R0 R1 Rn

C0 C1 Cn

I(s)

V (s)

Figure 2.3: Réseau équivalent d’un intégrateur d’ordre fractionnaire

Z(s) =N∑

i=0

(

Ri

1 + sRiCi

)

(2.55)


que l’on peut faire correspondre à (2.54) en mettant,

Ri = hi

Ci =1

pihipouri = 0, 1, ..., N (2.56)

2.3.4.2 Dérivée d’ordre fractionnaire

De la même manière, l’approximation rationnelle de la dérivée d’ordre fraction-

naire peut être donnée par une fonction de la forme

GD(s) = KDsα = KD

(

1 +s

ωc

)α

= KD

∏Ni=0

(

1 + szi

)

∏Ni=0

(

1 + spi

) (2.57)

La décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle obtenue donne

GD(s) = G0 +

N∑

i=0

gis

1 + spi

(2.58)

où les gi sont les résidus donnés par (2.57).

Cette équation correspond à l’admittance d’un circuit du type Forster 2ème forme,

dont le schéma est représenté à la figure(2.4).

Rp

R0 R1 Rn

C0 C1 Cn

I(s)

V (s)

Figure 2.4: Réseau équivalent d’un dérivateur d’ordre fractionnaire

L’admittance de ce circuit est de la forme

Y (s) =1

Rp+

N∑

i=0

sCi

1 + sRiCi(2.59)

2.4 Systèmes de commande d’ordre fractionnaire 27

que l’on peut faire correspondre à (2.58) en mettant,

Ci = gi

Ri =1

hiCipouri = 0, 1, ..., N

Rp = G0 (2.60)

2.4 Systèmes de commande d’ordre fractionnaire

2.4.1 Processus d’ordre fractionnaire

L’analyse dans le plan de Bode de plusieurs processus naturels, comme les lignes

de transmission, l’impédance de polarisation dielectrique, les interfaces, le rythme

cardiaque, la densité spectrale des ondes physiques, quelques types de bruit [16, 42,

165], a permis d’observer une pente fractionnaire. Ce type de processus est connu

sous le nom de processus 1/f ou systèmes d’ordre fractionnaire ou encore d’ordre non

entier. L’équation de description dans le domaine fréquentiel peut être approximée

dans le domaine de Laplace comme suit

X(s) =k

(1 + sp)β

(2.61)

Avec

– k gain du système,

– β la puissance d’ordre fractionnaire,

– p pôle d’ordre fractionnaire représentant la fréquence de coupure, 1/p est le

temps de relaxation,

– s opérateur de Laplace.

Les systèmes complexes où la puissance varie d’un nombre réel à un autre peuvent

être représentes par une fonction à pôles multiples avec des puissances d’ordre frac-

tionnaire

X(s) =k

∏ni=1(1 +

spi)βi

0 ≤ βi ≤ 1 (2.62)


2.4.2 Fonction de transfert idéale de Bode

Bode a proposé une forme idéale de la fonction de transfert de la boucle de

commande dans son travail sur la conception de feedbacks amplificateurs en 1945

(voir figure(2.5)). Cette fonction de transfert a la forme

L(s) =

(

s

ωc

)α

(2.63)

où ωc est la fréquence de coupure désirée et α la pente de la caractéristique idéale

du gain.

La marge de phase est Φm = π(1+α/2) pour toutes les valeur du gain. La marge de

gain Am est infinie. Les marges de phase constantes 60 , 45 et 30 correspondent

aux pentes α = −1.33, −1.5 et −1.66.

Le tracé de Nyquist pour la fonction de transfert idéale de Bode se réduit à une

ligne droite passant par l’origine avec arg(L(jω)) = απ2.

∑

R(s) Y (s)G0(s) =

Ksα

+

−

Figure 2.5: Boucle idéale de Bode

La fonction de transfert de Bode (2.63) peut être utilisée comme un système de

référence sous la forme suivante

Gc(s) =K

sα +K(0 < α < 2) (2.64)

Go(s) =K

sα(0 < α < 2) (2.65)

où Gc est la fonction de transfert en boucle fermée et Go est la fonction de transfert

en boucle ouverte. Les caractéristiques générales de la fonction de transfert de Bode

sont les suivantes (voir figure(2.6))


1. Boucle ouverte

– Gain d’une pente constante de −α 20 dB/dec,

– Fréquence de coupure une fonction de wc = K1/α,

– Phase ligne horizontale de −απ2,

– Nyquist ligne droite avec un argument −απ2.

logω

logω

arg(G(jω))

20log10 |G(jω)|

−20αdB/dec

−απ2

−π

−π2

Figure 2.6: Tracé de Bode de la fonction de transfert idéale

2. Boucle fermée

– Marge de gain Am infinie,

– Marge de phase constante, Φm = π(1 + α2)

– Réponse indicielle y(t) = KtαEα,α+1(−Ktα),

où Ea,b(z) est la fonction de Mittag-Leffer de deux paramètres [143].

2.4.2.1 Réponse indicielle

Dans la figure (2.7), les réponses à un échelon du système G0(s), K = 1 pour diffé-

rents valeurs de α sont représentés. Ces courbes correspondent à des taux d’amortis-

sement et la fréquence propre qui peut être obtenue à partir des racines structurelles

du dénominateur de G0(s), ces racines sont :


0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

Temps (sec)

Amplitude

y(t) = KtαEα,α+1 (−Ktα) avec K = 1

α=1.8

α = 1.5

α = 1.2

α = 1

Figure 2.7: Réponse temporelle de la fonction de transfert idéale de Bode.

s1,2 = K1/αejπ/α = K1/α(cosπ

α+ jsin

π

α) (2.66)

En utilisant les relations connues donc :

ωn =| s1,2,−δωn = ℜ(s1,2), ωp = ωn

√1− δ2 (2.67)

pour la fréquence naturel ωn, le rapport amortissement δ et la fréquence propre

d’amortisseur ωp du système en fonction de la position des pôles, ces paramètres

peuvent être déterminées par ces équations :

δ = −cosπ

α, ωn = K1/α, ωp = K1/α

√

1− (−cosπ

α)2 = K1/αsin

π

α(2.68)

2.4.2.2 Réponse fréquentielle

Pour compléter la caractérisation du système comme cela se fait pour l’ordre

entier, la fréquence et le pic de résonance peuvent être déterminé. A cet effet, nous

allons mettre s = jω, on obtient

G0(jω) =K

(jω)α +K=

K

(ωαcosαπ2+K) + jωαsinαπ

2

(2.69)


| G0(jω) |=K

√

ω2α + 2Kωαcosαπ2+K2

(2.70)

ayant un maximum à

ωα = −Kαcosπ

2=⇒ ωr = (−Kcos

π

2)1/α, α > 1 (2.71)

En substituant l’équation obtenue de la fréquence de résonance ωr dans l’équation

du module de Bode, l’équation du pic de résonance donné par :

Mr =1

sinαπ2

(2.72)

Comme on le voit, le pic de résonance, le facteur d’amortissement, ne dépend que

de α. La figure (2.8) montre le module de Bode pour K = 1 et α = 1, 1, 2, 1, 5, 1, 8.

10−2

10−1

100

101

102

10−3

10−2

10−1

100

101

Module de la FT, G0(jw) =K

(jw)α+K

Fréquence (rad/sec)

Am

plitu

de (

dB)

α = 1.0α = 1.2α = 1.5α = 1.8

Figure 2.8: Réponse fréquentiel du module de Bode.

2.4.3 Principes de base de la commande d’ordre fractionnaire

A partir du schéma de la figure (2.9), les effets des actions de commande de base

de type de Ksµ pour µ ∈ [−1, 1] seront examinées dans cette section. Les actions de


contrôle de base traditionnellement considérés seront des cas particuliers de ce cas

général, dans lequel :

– µ = 0 : action proportionnelle,

– µ = −1 : action intégrale,

– µ = 1 : action dérivée.

∑R(s)Ksµ G(s)

Y (s)E(s)+

−

Figure 2.9: Schéma de principe d’un système en boucle fermée avec actions d’ordrefractionnaire

2.4.3.1 Action intégrale d’ordre fractionnaire

Comme on le sait, les principaux effets des actions intégrales sont ceux qui

rendent le système plus lent, diminuer sa stabilité relative, et d’éliminer l’erreur

statique pour lequel le système avait une erreur finie. Ces effets peuvent être ob-

servés dans différents domaines. Dans le domaine temporel, les effets sur la réponse

transitoire sont constituées de la diminution du temps de montée et de l’augmenta-

tion du temps d’établissement et le dépassement. Dans le plan complexe, les effets

de l’action intégrale sont constitués par un déplacement du lieu des pôles du système

vers le demi-plan droit.

Enfin, dans le domaine fréquentiel, ces effets se composent d’un incrément de -20

dB/décade dans les pentes des courbes d’amplitude et une diminution de π/2 rad

dans le lieu de phase.

Dans le cas d’une action d’ordre fractionnaire (µ ∈ (−1, 0)), la sélection de la

valeur de µ doit tenir compte des effets mentionnés ci-dessus. Dans le domaine du

temps, les effets de l’action de commande peuvent être étudiés en tenant compte

des effets de cette action sur un signal d’erreur quadratique. Si le signal d’erreur a

la forme


e(t) =N∑

k=0

(−1)ku0(t− kT ), k = 0, 1, 2, ..., N. (2.73)

où u0(t) est l’échelon unitaire, et sa transformée de Laplace est :

E(s) =

N∑

k=0

(−1)ke−kTs

s(2.74)

Donc l’action de commande, comme représenté sur le schéma synoptique de la

figure (2.9), est donnée par :

u(t) = L−1U(s) = L

−1

KN∑

k=0

(−1)ke−kTs

s1−µ

(2.75)

= K

N∑

k=0

(−1)k

Γ(1− µ)(t− kT )−µu0(t− kT ) (2.76)

La figure (2.10) illustre la fonction u (t) pour les valeurs µ = 0,−0.2,−0.5,−1 ;

T = 30 ; N = 4. Comme on peut le constater, les effets de l’action de contrôle

sur le signal d’erreur varient entre les effets d’une action proportionnelle (µ = 0,

signal carré) et une action intégrale (µ = −1, les lignes droites courbe). Pour les

valeurs intermédiaires de µ, ls augmentations d’action de commande pour une erreur

constante, qui se traduit par l’élimination de l’erreur l’état d’équilibre, et diminue

lorsque l’erreur est égale à zéro, résultant en un système plus stable. Dans le plan

complexe, le lieu des pôles du système avec l’action de commande est régi par

1 +KsµG(s) = 0 (2.77)

ou par les conditions équivalentes suivantes pour l’amplitude et la phase :

| K |= 1

| s |µ| G(s) | (2.78)

arg[sµG(s)] = (2n+ 1)π, l = 0,±1,±2, . . . (2.79)

En prenant en compte le fait que :

s =| s | ejφ =⇒ sµ =| s |µ ejµφ (2.80)


0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

Temps (sec)

U(s)

µ=−

1

µ=−

0.5

µ = −0.2

µ = 0

Figure 2.10: Action intégrale d’ordre fractionnaire d’un signal d’erreur carré etµ = [0,−0, 2,−0, 5,−1].

les conditions de l’amplitude et la phase peuvent être exprimées par :

| K |= 1

| s |µ| G(s) | (2.81)

arg[sµG(s)] = arg[G(s)] + µφ = (2n+ 1)π, l = 0,±1,±2, . . . (2.82)

La sélection de la valeur de µ ∈ (−1, 0) affecte le déplacement du lieu des pôles

vers le demi-plan droit et les valeurs de K qui font que la condition d’amplitude est

atteint.

Dans le domaine fréquentiel, la courbe d’amplitude est donnée par

20 log | sµG(s) |s=jω= 20 log | G(s) | +20 µlogω (2.83)

et l’argument du phase présenté par :

arg[sµG(s)]s=jω = arg[G(s)] + µπ

2(2.84)


En faisant varier la valeur de µ entre −1 et 0, il est possible :

• Introduire une augmentation constante dans les pentes de la courbe d’amplitude

qui varie entre −20 dB/dec et 0 dB/dec.

• Introduire un retard constant dans la phase qui varie entre −π/2 rad et 0 rad.

2.4.3.2 Action dérivée d’ordre fractionnaire

0 2 4 6 8 10

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (sec)

U(s)

µ = 1

µ =0.5

µ = 0.2

µ = 0

Figure 2.11: Action intégrale d’ordre fractionnaire d’un signal d’erreur carré etµ = [0,−0, 2,−0, 5,−1].

2.4.4 Régulateur PID d’ordre fractionnaire

La structure de PIλDµ est constituée d’une connections parallèle des trois ac-

tions, proportionnelle, intégrale et dériver, comme il est montrer par la figure (2.12)

suivante :

Donc :

C(s) = Kc +Ti

sλ+ Tds

µ (2.85)

Afin d’améliorer les performances des systèmes asservis linéaires, les chercheurs ont

proposé une généralisation du contrôleur PID classique à la forme PIλDµ (2.85)

appelé PID fractionnaire, où λ et µ sont des réel positifs tel que 0 < λ < 1 et


Kc

Tisλ

Tdsµ

∑E(s) U(s)

Figure 2.12: Structure du PIλDµ

0 < µ < 1. Il est montré que les performances étaient considérablement améliorées

par rapport à celles obtenues par un PID d’ordre entier. L’expression analytique du

PID fractionnaire est donnée par l’équation(2.85)

Où

Kc : représente l’action proportionnelle.

Ti/sλ : représente l’action intégrale d’ordre fractionnaire.

Tdsµ : représente l’action de dérivation d’ordre fractionnaire.

µ µ

λ λ

PD PID

P PI

PIDPD

P PI

µ = 1 µ = 1

λ = 1 λ = 1

Figure 2.13: Régulateurs PID et PIλDµ

Comme il est montré sur la figure (2.13), le PIλDµ fractionnaire généralise le PID

conventionnel et l’étend du point au plan. Cette extension donne plus de flexibilité

dans la conception des commandes PID.

2.5 Conclusion 37

2.5 Conclusion

L’objectif de ce chapitre est de présenter, d’une manière synthétique et géné-

ralisée, les éléments sur la théorie du calcul fractionnaire et la commande à dé-

rivée/intégrale d’ordre non entier sur lesquels s’appuient nos travaux décrits dans

les chapitres (5) et (6). Nous y répertorions quelques notions essentielles sur les sys-

tèmes de commande d’ordre fractionnaire nécessaire pour la compréhension de notre

travail sur la commande adaptative d’ordre fractionnaire.

Après une introduction sur les processus d’ordre non entier, nous avons présenté les

définitions des opérateurs et des systèmes d’ordre fractionnaire. Les caractéristiques

et les méthodes de représentation et d’approximation de ces systèmes également

étudiées. Une introduction à la commande d’ordre fractionnaire donnée avec les ar-

guments qui ont avantagé son développement, et les domaines d’application cités

dans la littérature actuelle.

Chapitre 3Systèmes de commande adaptative et

auto-ajustable

3.1 Introduction 39

3.1 Introduction

En langage courant, "le mot adapter" signifie changer un comportement du sys-

tème pour se conformer aux nouvelles circonstances [2]. Intuitivement, un contrôleur

adaptatif est donc un dispositif de commande qui peut modifier son comportement

en réponse à des changements dans la dynamique du processus et la présence des

perturbations. Depuis l’évaluation ordinaire tente également de réduire les effets

des perturbations et l’incertitude du système, la question de la différence entre le

contrôle de rétroaction (la commande en boucle fermée) et le contrôle adaptatif se

pose immédiatement. Au fil des ans, il y a eu de nombreuses tentatives pour définir

la commande adaptative formellement.

Lors d’une conférence au début de 1961 [3], une longue discussion a pris fin

avec la suggestion suivante : «Un système adaptatif est un système physique qui

est conçu avec un point de vue adaptatif» Une nouvelle tentative a été faite par un

comité IEEE en 1973. Il a proposé un nouveau vocabulaire fondé sur des notions,

comme le contrôle de l’auto-organisation du système (SOC), paramètre adaptatif,

performance adaptative, et l’apprentissage du système de commande. Cependant,

ces efforts ne sont pas largement acceptés.

Une définition significative de la commande adaptative, permettrait d’analyser le

contrôleur matériel et logiciel et de décider s’il est adaptatif. Cependant, il semble

y avoir un consensus que le système en boucle fermée à gain constant n’est pas un

système adaptatif.

Le schéma de principe d’un système adaptatif est représenté dans la figure. (3.1).

La boucle de réglage de paramètre est souvent plus lente que la boucle fermée clas-

sique.

3.2 Historique

Au début des années 1950, il y avait des recherches approfondies sur la com-

mande adaptative dans le cadre de la conception de pilotes automatiques pour les

avions à haute performance. Ces avions fonctionnent sur une large plage de vitesses

et altitudes. Il a été constaté que la commande en boucle fermé à gain constant

linéaire pourrait bien fonctionner dans un état de fonctionnement bien défini, mais

3.2 Historique 40

Régulateur Système

Ajustement desparamétres

Sortie

Signalede commande

Référence

Figure 3.1: Schéma de base d’un système adaptatif

pas sur l’ensemble du régime de vol. Un contrôleur plus sophistiqué qui pourrait

bien fonctionner sur une large gamme de conditions de fonctionnement a donc été

nécessaire. Après un effort de développement considérable, il a été constaté que le

séquencement de gain est une technique appropriée pour commander les systèmes

de pilotage. L’intérêt de la commande adaptative a été diminué parce que le pro-

blème de contrôle adaptatif était trop difficile à traiter en utilisant les techniques

qui étaient disponibles à l’époque.

Dans les années 1960 [137], il y avait beaucoup de recherches en théorie de

contrôle qui ont contribué au développement du contrôle adaptatif. L’espace d’état

et la théorie de la stabilité ont été introduits. Il y avait aussi des résultats importants

dans la théorie du contrôle stochastique. Programmation dynamique, introduite par

Bellman, a augmenté la compréhension des processus adaptatifs. Des contributions

fondamentales ont également été faites par Tsypkin, qui ont montré que de nombreux

régimes d’apprentissage et de contrôles adaptatifs pourraient être décrits dans un

cadre commun. Il y avait aussi des développements majeurs dans l’identification

du système. Une renaissance de la commande adaptative eu lieu dans les années

1970, lorsque les différents régimes d’estimation ont été combinés avec différentes

méthodes de conception. De nombreuses applications ont été signalées, mais les

résultats théoriques étaient très limités.

À la fin des années 1970 et au début des années 1980, des preuves pour la stabilité

des systèmes adaptatifs sont apparues, mais avec des hypothèses très restrictives. Les

efforts pour fusionner les idées du contrôle robuste et l’identification des systèmes

3.2 Historique 41

sont d’une importance particulière. La question de la nécessité de ces hypothèses

déclencha une nouvelle recherche sur la robustesse du contrôle adaptatif, et sur les

contrôleurs qui sont universellement stabilisant. Des résultats à la fin des années

1980 et au début des années 1990 ont donné de nouvelles perspectives pour la ro-

bustesse des contrôleurs adaptatifs.

Les recherches sur les systèmes non-linéaires ont conduit à une augmentation consi-

dérable de la compréhension de la commande adaptative. Dernièrement, il a égale-

ment été établi que le contrôle adaptatif a des relations solides avec des idées sur

l’apprentissage qui se dessinent dans le domaine de la science informatique.

Il y a eu de nombreuses expériences sur le contrôle adaptatif dans les laboratoires

et l’industrie. Les progrès rapides en microélectronique étaient une forte stimulation.

L’interaction entre la théorie et l’expérimentation ont abouti à un développement

vigoureux dans le domaine. En conséquence, les contrôleurs adaptatifs ont com-

mencé à apparaître dans le commerce dans les années 1980. Ce développement est

maintenant accélèré. Un résultat est que pratiquement tous les contrôleurs à boucle

unique qui sont disponibles dans le commerce permettent aujourd’hui des techniques

adaptatives d’une certaine forme.

La principale raison pour l’introduction du contrôle adaptatif était de pouvoir adap-

ter le régulateur aux changements dans la dynamique des processus et en présence

de perturbation. Il a été constaté que les techniques d’adaptation peuvent également

être utilisées pour fournir le réglage automatique de contrôleurs.

Une approche particulière de l’optimisation en temps réel est celle employant des

techniques de commande adaptative extrémale. Dans Krstić et Wang (2000) [63] la

paternité de cette approche est attribuée à Maurice Leblanc, ingénieur et industriel

français du début du XXième siècle. Le problème traité dans Leblanc (1922) [81] est

celui de la commande des moteurs de locomotives par un courant alternatif. L’auteur

propose de faire varier de manière automatique une auto-induction (self-induction)

pour rendre maximale l’intensité d’un courant induit. Comme souligné par Ariyur

et Krstić (2003) [10], cette méthode de commande extrémale représente le premier

algorithme de commande adaptative.

Au cours des années soixante, les travaux relatifs à la commande adaptative se scin-

dèrent en deux axes de recherche : celui concernant le problème de la stabilisation

3.3 Problème de la commande adaptative 42

de la sortie d’un système dynamique et celui dont l’objectif est l’optimisation d’une

fonction de la sortie d’un système dynamique (Åström, 1995 [3]), (Sternby, 1980

[160]). Dans la première catégorie, la stabilité du schéma de commande adapta-

tive par modèle de référence ("M.R.A.C." pour Model Reference Adaptive Control)

est démontrée par Parks (1966) [137] en utilisant le formalisme des fonctions de

Lyapunov. La seconde catégorie n’a pu, quant à elle, faire l’objet d’une analyse de

stabilité rigoureuse que jusqu’à récemment avec la publication par Krstic et Wang

(2000) d’une preuve formelle de convergence du schéma de commande extrémale par

la méthode des perturbations.

Cette contribution majeure a renouvelé l’intérêt de la communauté automaticienne

pour cette classe de méthodes et stimulé la publication de nombreux travaux portant

autant sur la synthèse de méthodes originales que sur leurs applications.

3.3 Problème de la commande adaptative

Dans cette section, nous formulons le problème de la commande adaptative. Nous

le faisons en donnant le modèle du processus, les structures de régulation, et la façon

d’adapter les paramètres du régulateur.

3.3.1 Description du processus

Les processus seront principalement décrits par une seule entrée linéaire, et une

sortie unique. Dans le temps continu, le processus peut être représenté dans l’espace

d’état sous la forme :

dx

dt= Ax+Bu

y = Cx

(3.1)

La fonction de transfert du processus est représentée par :

Gp(s) =B(s)

A(s)=

b0sm + b1s

m−1 + ...bmsn + a1sn−1 + ...am

(3.2)

3.4 Classification des lois de commande adaptative 43

où s est le variable de la transformée de Laplace. Notez que A, B, et C sont

utilisés pour les matrices ainsi que les polynômes. En général, cela ne créera aucune

confusion. Dans les cas ambigus l’argument sera utilisé dans les polynômes.

3.3.2 Structures de régulation

Le processus est commandé par un contrôleur qui a des paramètres réglables. On

suppose qu’il existe une sorte de procédure de conception qui permet de déterminer

un dispositif de commande qui répond à des critères de conception, si le processus

et son environnement sont connus. Ceci est appelé le problème de conception sous-

jacente. Le problème de commande adaptative est alors de trouver un procédé de

réglage des paramètres du contrôleur lorsque les caractéristiques du processus et de

son environnement sont inconnus ou en évolution.

Dans la commande adaptative directe, les paramètres du régulateur sont modifiés

directement, sans que les caractéristiques du processus et de ses perturbations ne

soient déterminés. Dans les procédés adaptatifs indirects, le modèle de processus et,

éventuellement, les caractéristiques des perturbations sont d’abord déterminées. Les

paramètres du régulateur sont ajustés sur la base de ces informations.

La commande adaptative a été définie comme une commande avec des para-

mètres réglables et un mécanisme pour ajuster les paramètres. La construction d’un

dispositif de commande adaptatif comporte donc les étapes suivantes :

– Caractériser le comportement souhaité du système en boucle fermée.

– Déterminer une loi de commande appropriée avec des paramètres réglables.

– Trouver un mécanisme pour régler les paramètres.

– Mettre en œuvre la loi de commande.

3.4 Classification des lois de commande adaptative

Dans cette section, nous décrivons les types des systèmes adaptatifs : régula-

teurs auto-ajustable (RST), commande adaptative a modèle de référence (MRAC),

séquencement de gain (scheduling gain), gain d’anticipation (feedforward gain), com-

mande duale (Dual control) et commande extrémale adaptative (ESC).

3.5 Régulateurs adaptatifs déterministes 44

La classification des schémas de commande adaptatifs traditionnels selon [184], sont

présentés dans la figure (3.2).

Systèmes de commandeadaptative

Régulateursauto-ajustables

Identificationdirecte

Identificationindirecte

MRAS

Réglagesparamétriques

Estimationparamétrique

SA à structurevariables

La commandeextémale(ESC)

Systèmes deperturbation

Systèmes decommutation

Systèmesauto-conduite

Systèmesadaptatifs

duals

Figure 3.2: Classification générale des systèmes de commande adaptative

3.5 Régulateurs adaptatifs déterministes

Dans cette partie on présente une méthode algébrique simple de conception de

la commande adaptative. L’idée est de déterminer le régulateur qui impose les pôles

désirés en boucle fermée. De plus, on veut que le système suive le signal de référence

d’une manière spécifiée. Cette méthode permet en plus d’ avoir une meilleure com-

préhension de la commande adaptative ; et met en valeur les similitudes entre les

régulateurs auto-ajustables et les régulateurs adaptatifs à modèle de référence.

3.5.1 Modèle du processus

On considère un processus décrit par un modèle à une entrée et une sortie (SISO).

Même si on traitera essentiellement des systèmes discrets, on peut étudier simulta-

nément les systèmes continus en écrivant :


Ay(t) = B(u(t) + v(t)) (3.3)

où A et B représentent des polynômes, soit de l’opérateur différentiel s = ddt

, soit

de l’opérateur de décalage en avance q. On suppose que A et B sont comprimes

(premiers entre eux), i.e. ils n’ont aucun facteur commun. De plus A est supposé

normalisé (Monique), i.e. le coefficient du plus haut degré dans A est l’unité.

Un régulateur linéaire général peut être décrit par :

Ru(t) = Tur(t)− Sy(t) (3.4)

où R, S et T sont des polynômes. Cette loi de commande représente une contre

réaction (ou feedback) négative avec l’opérateur de transfert −SR

et une action directe

(ou feedforward) avec un opérateur de transfert TR. Il possède donc deux degrés de

liberté. Le schéma-bloc du système en boucle fermée est montré dans la figure (3.3).

L’élimination de u entre les équations (3.3) et (3.4) donne les équations (3.5) pour

le système en boucle fermée,

Ru = Tur − SyB

A

∑ yuur

vRégulateur

Processus

Figure 3.3: Structure d’un régulateur linéaire général à deux degrés de liberté

y(t) =BT

AR +BSur(t) +

BR

AR +BSv(t)

u(t) =AT

AR +BSur(t) +

BS

AR +BSv(t)

(3.5)

Le polynôme caractéristique de la boucle fermée est donc,


AR +BS = Ar (3.6)

L’idée clé de la méthode de conception est de spécifier le polynôme caractéris-

tique désiré en boucle fermée, Ar. Les polynômes R et S peuvent être déterminés à

partir de l’équation (3.6). Noter que dans cette procédure de conception on consi-

dère le polynôme Ar comme paramètre de conception, qui est choisi pour donner les

propriétés désirées du système en boucle fermée.

L’équation (3.6), qui joue un rôle fondamental en Algèbre, est appelée l’équation

Diophantine, on l’appelle aussi identité de Bezout ou équation de Aryabhatta.

Cette équation possède toujours une solution si les polynômes A et B n’ont aucun

facteur commun. La solution peut être cependant mal conditionnée si les polynômes

ont des facteurs trop prôches. Elle peut être obtenue en introduisant des polynômes

avec des coefficients inconnus et en résolvant les équations linéaires obtenues.

3.5.2 Poursuite de modèle

L’équation Diophantine (3.6) ne détermine que les polynômes R et S. D’autres

conditions doivent être introduites pour déterminer le polynôme T dans le régulateur

3.4 également. Pour ce faire, il est requis que la réponse de la sortie au signal de

référence ur, soit décrite par les dynamiques :

Amym(t) = Bmur(t) (3.7)

Il vient alors de l’équation (3.5) que la condition suivante doit être vérifiée,

BT

AR +BS=

BT

Ar=

Bm

Am

(3.8)

Cette condition de poursuite de modèle implique que la réponse du système en boucle

fermée aux signaux de référence soit spécifiée par le modèle (3.7). La réalisation de la

poursuite de modèle dépend du modèle, du processus et des signaux de référence. S’il

est possible d’annuler l’erreur pour tous les signaux de référence, alors la poursuite


parfaite du modèle est réalisée.

Maintenant, on discute des conséquences de la condition de la poursuite de mo-

dèle. L’équation (3.8) implique qu’il existe des simplifications des facteurs communs

de BT et Ar. On factorise le polynôme B comme suit,

B = B+B− (3.9)

Où B+ est un polynôme monique dont les racines sont stables et bien amorties

qu’on peut compenser par le régulateur B− correspond aux facteurs instables ou

faiblement amortis. Il s’en suit que B− doit être un facteur de Bm soit,

Bm = B−B′

m(3.10)

Puisque B+ est compensé, il doit être un facteur de Ar. De plus, il vient de l’équa-

tion(3.8) que Am doit aussi être un facteur de Ar. Le polynôme caractéristique de

la boucle fermée prend donc la forme :

Ar = A0AmB+ (3.11)

Puisque B+ est un facteur de B et Ar, il vient de l’équation (3.6) qu’il divise R

aussi, soit

R = R′

B+ (3.12)

et l’équation Diophantine (3.6) est réduite à :

AR′

= B−S = A0Am = A′

r(3.13)

En introduisant les équations (3.9), (3.10) et (3.11) dans l’équation (3.8) on obtient :

T = A0B′

m(3.14)


3.5.3 Condition de causalité

Pour obtenir un régulateur causal dans le cas discret ou propre dans le cas

continu, on doit imposer les conditions suivantes :

degS 6 degR

degT 6 degR(3.15)

L’équation Diophantine (3.6) possède plusieurs solutions, car si R0 et S0 sont solu-

tions, alors il en est de même par les polynômes R et S sont solutions, tels que

R = R0 +QB

S = S0 −QA(3.16)

où Q est un polynôme arbitraire. Puisqu’il existe plusieurs solutions, on peut choisir

la solution qui donne le régulateur de plus petit degré. On l’appelle la solution du

degré minimal. Puisque degA > degB, le terme du plus haut degré sur le coté gauche

de l’équation (3.6) est AR. Soit

degR = degAr − degA (3.17)

A cause de l’équation (3.16) il y a toujours une solution telle que degS < degA = n.

On peut donc toujours trouver une solution dans laquelle le degré de S est au

plus égal à degA − 1. Ceci est appelé la solution du degré minimal de l’équation

Diophantine. La condition degS ≤ degR implique alors que

degAr = 2degA− 1 (3.18)

Il vient de l’équation (3.14) que la condition degT ≤ degR implique que

degAm − degB′

m = degA− degB+ (3.19)

En ajoutant degB− aux deux cotés, on trouve que c’est équivalent à degAmdegBm ≥d0 où d0 est le degré relatif du processus.

Cela veut dire dans le cas discret que le temps de retard du modèle doit être au


moins égal au temps de retard du processus, ce qui est une condition très naturelle.

En résumé, les conditions de causalité (3.16) peuvent être réécrite ainsi

degAr = 2degA− 1

degAm − dzgBm ≥ degA− dzgB = d0

(3.20)

Il est naturel de choisir une solution dans laquelle le régulateur a le plus petit degré

possible. Dans le cas discret il est aussi raisonnable d’exiger qu’il n’y ait pas de

retard supplémentaire dans le régulateur. Ceci implique que les polynômes R, S et

T doivent avoir le même degré. La procédure de conception obtenue appelée aussi

placement de pôles de degré minimal peut être résumée dans l’algorithme suivant :

Algorithme 1 Placement de pôles de degré minimal

– Données : Polynômes A, B

– Spécifications : Polynômes Am, Bm et Ao

– Conditions de compatibilité :

degAm = degA

degBm = degB

degA0 = degA− degB+ − 1

Bm = B−B′

m

– Etape 1 : Factoriser B tel que B = B+B−, où B+ est monique

– Etape 2 : Trouver une solution R′ et S avec degS < degA à partir de

AR′ +B−S = A0Am

– Etape 3 : partir de R = R′B+ et T = A0B′

m, calculer le signal de commande

en utilisant la loi de commande

Ru = Tur − Sy

3.6 Commande adaptative auto-ajustable 50

3.6 Commande adaptative auto-ajustable

3.6.1 Introduction

Dans le contexte du réglage automatique auto-ajustable (STR), les méthodes

indirectes sont souvent appelées commande auto-ajustable explicite, parce que les

paramètres du processus sont estimés. Par contre, le réglage direct des paramètres

du contrôleur est appelé commande auto-ajustable implicite. Dans les premières

communications sur la commande adaptative directe, cette technique fut souvent

mentionnée comme un contrôleur adaptatif sans identification. Il est commode de

diviser les algorithmes auto-ajustables en direct et indirect, mais cette distinction

ne devrait pas être surestimée. L’idée de base dans les deux types d’algorithmes est

d’identifier certains paramètres liés au processus et/ou les spécifications du système

en boucle fermée.

3.6.2 Commande auto-ajustable indirecte

Estimation

Plusieurs méthodes récursives d’estimation peuvent être utilisées pour estimer

les coefficients des polynômes A et B. Dans la suite, nous allons utiliser l’Estimateur

des moindres carrés récursifs. Le modèle du processus peut être décrit explicitement

comme suit en omettant le bruit v(t) pour simplifier,

y(t) = −a1y(t−1)−a2y(t−2)− ...−any(t−n)+ b0u(t−d0)+ ...+ bmu(t−d0−m).

Noter que le degré du système est max(n; d0+m). Le modèle est linéaire par rapport

aux paramètres et peut être écrit, y(t) = ϕT (t−1)θ, où θT = (a1, a2, ..., an, b0, ..., bm),

et ϕT (t− 1) = (−y(t− 1)...− y(t− n)u(t− d0)...u(t− d0 −m)).

L’estimateur des moindres carrés avec oubli exponentiel est donné par :

θ(t) = θ(t− 1) +K(t)ǫ(t)

ǫ(t) = y(t)− ϕT (t− 1)θ(t− 1)

K(t) = P (t− 1)ϕ(t− 1)(λ+ ϕT (t− 1)P (t− 1)ϕ(t− 1)−1)

P (t) = I −K(t)ϕ(t− 1)P (t− 1)/λ

(3.21)

3.6 Commande adaptative auto-ajustable 51

Si le signal d’entrée du processus est suffisamment excitant et la structure du

modèle estimé est compatible avec le processus, les estimations vont converger à

leurs vraies valeurs. Cela prend max(n;m + d0) périodes d’échantillonnage avant

que le vecteur de régression ne soit défini. Dans le cas déterministe cela prend au

moins n+m+1 autres périodes pour déterminer les n+m+1 paramètres du modèle,

en supposant que l’entrée du processus est suffisamment et continument excitante.

Cela donc prend au moins n +m + 1 +max(n;m + d0) périodes d’échantillonnage

pour que l’algorithme converge.

En combinant l’estimateur des moindres carrés récursifs (MCR) donné par les

équations (3.21) avec la méthode de placement de pôles de degré minimal pour

la conception du régulateur donnée dans l’algorithme 1, on obtient le régulateur

auto-ajustable suivant :

Algorithme 2 Un régulateur auto-ajustable indirecte

– Données : Spécifications sous forme des polynômes Am, Bm et A0.

– Étape 1 : Estimer les coefficients des polynômes A et B dans l’équation (3.3)

en utilisant la méthode des moindres carrés récursifs donnés par (3.21).

– Étape 2 : Appliquer la méthode de placement de pôle à degré minimal donné

par l’algorithme 1 où les polynômes A et B sont les estimations obtenues dans

l’étape 1. Les polynômes R, S et T de la loi de commande sont obtenus.

– Étape 3 : Calculer la variable de commande à partir de l’équation

Ru(t) = Tur(t)− Sy(t)

Répéter les étapes 1, 2 et 3 à chaque période d’échantillonnage. A noter qu’il

existe certaines variantes de l’algorithme qui dépendent de la compensation

des zéros du processus.

3.6.3 Commande auto-ajustable directe

L’avantage des algorithmes directs des régulateurs auto-ajustables par rapport

aux algorithmes indirects est que ces derniers demandent plus de calculs et sont

parfois mal conditionnés par certaines valeurs des paramètres. Dans le cas des régu-

lateurs directs, les calculs de conception sont simplifiés ou carrément éliminés.

3.7 Commande adaptative a modèle de référence 52

L’idée clé de ces régulateurs directs est d’utiliser les équations de conception pour

reparamètriser le modèle en terme des paramètres du régulateur. Cette reparamè-

trisation est aussi une clé pour la compréhension de la relation entre les MRAS et

les régulateurs auto-ajustables.

Considérons un processus décrit par l’équation (3.3) avec v = 0 soit,

Ay(t) = Bu(t) (3.22)

et la réponse désirée donnée par l’équation (3.7),

Amym(t) = Bmur(t) (3.23)

Le modèle du processus va être maintenant reparamètrisé en termes des para-

mètres du régulateur. Pour ce faire, considérons l’équation Diophantine,

A0Am = AR′ +B−S (3.24)

En l’appliquant à y(t) on obtient :

A0Amy(t) = R′Ay(t) +B−Sy(t) = R′Bu(t) +B−Sy(t) (3.25)

Or, on a :

R′B +R′B+B− = RB− (3.26)

3.7 Commande adaptative a modèle de référence

3.7.1 Introduction

L’idée générale derrière la commande adaptative à modèle de référence (MRAC,

également connu comme un système adaptatif à modèle de référence ou MRAS) est

de créer un contrôleur en boucle fermée avec des paramètres qui peuvent être mis à

jour pour modifier la réponse du système. La sortie du système est comparée à une

réponse souhaitée à partir d’un modèle de référence. Les paramètres de commande

sont mise à jour sur la base de cette erreur.


L’objectif est de faire converger les paramètres à des valeurs idéales qui forcent la

réponse du système à correspondre à la réponse du modèle de référence.

Le système adaptatif de modèle de référence (MRAC) est un contrôleur adaptatif

important. Il peut être considéré comme un système d’asservissement adaptatif dans

lequel la performance désirée est exprimée en termes d’un modèle de référence, ce

qui donne la réponse désirée à un signal de commande. Ceci est un moyen pratique

de donner des spécifications pour un problème d’asservissement.

Un schéma synoptique du système est représenté sur la figure (3.4). Le système a

une boucle fermée composée du procédé et dispositif de commande et une autre

boucle de rétroaction qui modifie les paramètres du régulateur. Les paramètres sont

modifiés sur la base de la rétroaction de l’erreur, qui est la différence entre la sortie du

système et la sortie du modèle de référence. La boucle de contre-réaction normale est

appelée la boucle intérieure et la boucle de réglage de paramètre est appelé la boucle

externe. Le mécanisme pour le réglage des paramètres dans un système adaptatif de

modèle de référence peut être obtenu de deux façons : en utilisant une méthode de

gradient ou en appliquant la théorie de la stabilité.

Contrôleur Système

Mécanismed’ajustement

Modèle

uc

ym

y

Paramètres du régulateur

u

Figure 3.4: Schéma synoptique de la commande adaptative à modèle de référenceMRAC

Dans le MRAS le comportement désiré du système est défini par un modèle, et

les paramètres du régulateur sont ajustés en fonction de l’erreur, qui est la différence

entre les sorties du système en boucle fermée et le modèle. Les systèmes adaptatifs

de modèle de référence ont été dérivés à l’origine pour les systèmes en temps continu

déterministes. Les extensions de systèmes en temps discret et les systèmes avec des


perturbations été données plus tard.

3.7.2 Règle de MIT

La règle MIT est l’approche originale du contrôle adaptatif de modèle de réfé-

rence. Le nom est dérivé du fait qu’il a été développé au Laboratoire d’instrumen-

tation (maintenant Laboratoire de Draper) à l’université de M.I.T.(Massachusetts

Institute of Technology). Pour présenter la règle MIT, nous allons considérer un

système en boucle fermée dans laquelle le contrôleur a un paramètre θ réglable.

La réponse en boucle fermée désirée est spécifiée par un modèle dont la sortie est

ym. Soit e l’erreur entre la sortie y du système en boucle fermée et la sortie ym,

du modèle. Une possibilité consiste à ajuster les paramètres de telle sorte que la

fonction de coût soit J minimisée. Pour rendre J petit, il est raisonnable de modifier

les paramètres dans la direction du gradient négatif de J . La commande MRAC

commence par définir l’erreur de suivi, e. Ceci est simplement la différence entre la

sortie du processus et la sortie du modèle de référence :

e = y − ym (3.27)

A partir de cette erreur une fonction de coût (J(θ)) peut être formulée. J est donnée

en fonction de θ, où θ est le paramètre qui sera adapté à l’intérieur de contrôleur. Le

choix de cette fonction de coût permettra ensuite de déterminer comment actualiser

les paramètres. La fonction de coût est :

J(θ) =e2(θ)

2(3.28)

Pour savoir comment mettre à jour le paramètre θ, une équation doit être formée

pour le changement de θ. Si l’objectif est de minimiser ce coût lié à l’erreur, on

doit déplacer le gradient J dans le sens négatif. Ce changement de J est supposée

être proportionnel à la variation de θ. Ainsi, le dérivée de θ est égale à la variation

négative de J . Le résultat de la fonction de coût est représenté par :

dθ

dt= −γ

∂J

∂θ= −γe

∂e

∂θ(3.29)


Cette relation entre le changement de θ et la fonction de coût est connu comme la

règle MIT. La règle MIT est au cœur de la nature adaptative du contrôleur. Notez le

terme souligné dans l’équation ci-dessus intitulée "dérivée de sensibilité". Ce terme

est la dérivée partielle de l’erreur en ce qui concerne θ.

La dérivé partielle dθdt

, qui est appelé la dérivée de la sensibilité du système,

indique comment l’erreur est influencé par le paramètre réglable. Si on suppose que

les modifications des paramètres sont plus lent que les autres variables du système,

alors la dérivée dθdt

peut être évaluée dans l’hypothèse où θ est constant. Il existe de

nombreuses alternatives pour la fonction de coût donnée par l’équation (3.28). Si on

choisit :

J(θ) =|e| (3.30)

La méthode du gradient donne,

dθ

dt= −γ(

∂e

∂θ)sign(e) (3.31)

Le premier MRAS qui fût implémenté était basé sur cette formule. Cependant il

existe beaucoup d’autres possibilités, par exemple

dθ

dt= −γsign(e)(

∂e

∂θ)sign(e) (3.32)

qui est appelée l’algorithme du sign-sign. Une version discrète de cet algorithme

est utilisée en télécommunications, dans laquelle une implémentation simple et des

calculs rapides sont requis.

3.7.3 Adaptation du gain d’anticipation

La constante k pour ce système est inconnue. Toutefois, un modèle de référence

peut être formée avec une valeur de consigne de k, et par l’adaptation d’un gain

à action directe, la réponse du système peut être réalisée pour correspondre à ce

modèle. Le modèle de référence est donc choisi comme le système multiplie par une

constante ko souhaitée. La figure (3.5) représente le problème de réglage du gain


d’anticipation . Dans ce problème, il est supposé que le processus est linéaire avec

la fonction de transfert Gp(s) = kG(s), où G(s) est connue et k est un paramètre

inconnu.

∏

∑∏

Gp(s) = kG(s)

-γs

Gm(s) = k0G(s)

uc y

e

Modéle

θ

u

+

−

ym

Processus

Figure 3.5: Schéma de principe de gain d’adaptation anticipation

Le problème est de trouver le gain anticipatif (feedforward gain) qui donne un

système avec la fonction de transfert Gm(s) = k0G(s), où k0 est une constante

donnée, avec le dispositif de commande à gain d’anticipation u = θuc. La fonction

de transfert du signal de commande à la sortie devient θkG(s). Cette fonction de

transfert est égale à Gm(s) si le paramètre θ est choisi égal à θ = k0k. Le modèle

de référence est donc choisie comme le processus multipliée par une constante k0

souhaitée :

Y (s)

Uc(s)= k0G(s) (3.33)

La même fonction de coût comme ci-dessus est choisie et le dérivée est représentée

par :

J(θ) =e2(θ)

2−→ dθ

dt= −γe

∂e

∂θ(3.34)

L’erreur est alors reformulée en termes de fonctions de transfert multipliées par

leurs entrées.

e = y − ym = kGU −GmUc = kGθUc − k0GUc (3.35)

3.8 Commande adaptative extrémale 57

Comme on voit, cette expression de l’erreur contient le paramètre θ, qui doit

être mis à jour. Pour déterminer la règle de mise à jour, le dérivée de sensibilité est

calculée et mise à jour en termes de la sortie du modèle :

∂e

∂θ= kGUc =

k

k0ym (3.36)

Enfin, la règle MIT est appliquée pour donner une expression à la mise à jour de

θ. Les constantes k et k0 sont combinées en γ.

dθ

dt= −γ

k

k0yme = −γyme (3.37)

Remarque : Il est important de noter que la règle de MIT ne garantit pas

la convergence et la stabilité du système, et la commande MRAC basée

sur la règle MIT est très sensible aux amplitudes des signaux. En général,

le réglage de la valeur de γ est essentiel pour le taux d’adaptation et de

la stabilité du contrôleur .

3.8 Commande adaptative extrémale

3.8.1 Introduction

L’optimisation en temps réel (RO) a pour objectif de faire fonctionner un sys-

tème de façon à optimiser un critère de performance en tout temps et ce, bien que

des changements des conditions fonctionnelles et les perturbations internes et ex-

ternes peuvent apparaître. Pour ce faire, les mesures sont utilisées afin d’observer

ces changements et de répondre ensuite pour maintenir le système à son point de

fonctionnement optimal. La commande extrémale est une classe de méthodes RO

ou le gradient estimé doit converger vers 0.

Les différentes approches de la commande extrémale se classent par la formule du

gradient. Dans la majorité de ces méthodes, une perturbation temporelle périodique

connue est ajoutée à l’entrée du système et une isolation de l’échelle du temps est


nécessaire pour isoler les effets de la dynamique du système pour estimer le gradient.

Cette isolation d’échelle de temps aura peu d’impact sur la vitesse de convergence

pour des systèmes à réponse rapide tels que la plupart des systèmes électriques, la

figure (3.6) présente le schéma de base de la commande extrémale à un seul para-

mètre.

∑

ks

∏ ss+w

mξθ

d(t)

θθ∗

f(θ)f ∗

y

θ

Figure 3.6: Commande extrémale implémentée sur un système quadratique

3.8.2 Principe de la commande extrémale

3.8.2.1 Loi évolutive

Avant d’exposer la méthode dans son ensemble, la loi évolutive de l’algorithme

d’optimisation en temps réel est présentée afin de montrer le fondement du fonc-

tionnement de la commande extrémale par la méthode des perturbations. La loi

évolutive est la suivante :

θ = −k∂J

∂θ(3.38)

avec θ ∈ Rm est le vecteur des variables de commande à l’entrée de l’algorithme

de commande extrémale, J ∈ Rm −→ R est la fonction objective du problème d’op-

timisation et k ∈ R est le gain de l’ intégrateur, lié à la vitesse d’adaptation de θ.


Elle a été initialement introduite comme un problème de commande (Leblanc 1922)

dont la particularité est que le point de consigne pour l’opération du procédé est à

priori inconnu et doit être déterminé par l’algorithme de contrôle. L’idée est d’ajuster

itérativement l’entrée θ du système dans le but d’orienter la sortie vers sa valeur opti-

male. Celle-ci peut être constituée artificiellement par le calcul d’un critère (fonction

objective), vers une productivité maximale par exemple.

3.8.2.2 Fonctionnement de l’algorithme (cas simplifié)

Tout d’abord, une onde d’excitation exogène d(t) perturbe le système afin de cal-

culer numériquement le gradient, (Krstic et Wang 2000) [63]. La variable manipulée

est représentée par :

θ = θ + d(t) (3.39)

avec θ la valeur « moyenne » de la variable de commande à l’entrée de l’algorithme

de commande extrémale (sortie de l’intégrateur utilisé dans l’ algorithme). Le signal

d(t) doit répondre aux critères suivants (Tan et al. 2008) [168] :

∫ T

0

d(t)dt = 0

Pd =1

T

∫ T

0

d2(t)dt > 0

(3.40)

avec Pd puissance du signal. Le rôle de d(t) est de moduler et démoduler le signal, ce

qui permet d’extraire l’information relative au gradient. Dans la littérature (Krstic

1998 [62] ; Wang et al. 1999 [186] ; Chioua et al 2008 [30] ; Deschênes 2012 [35]), les

moyens les plus communs pour la démodulation du signal consistent à multiplier

m(t) par la même onde de perturbation d(t) utilisée pour exciter le système :

d(t) = asin(ωt) (3.41)

avec ω la fréquence angulaire. L’onde d’excitation peut aussi être générée par le


contrôle de mode glissement (sliding mode control) ( Fu et Ozgüner [133] ; Yaodong

et al [194]). La sortie y est donnée par :

y = J(x, θ) (3.42)

avec x ∈ Rn le vecteur des variables d ’état, θ ∈ Rm le vecteur des variables

manipulées et J(x, θ), la fonction objective avec un extremum. Afin de simplifier

l’analyse de la convergence, quelques simplifications sont apportées à y = J(x, θ) :

(1) le vecteur des variables manipulées devient une seule variable manipulée e et (2)

le vecteur x est retiré :

y = J(x, θ) =⇒ f(tθ) (3.43)

On s’attend à ce que f(θ) ait un extremum à θ = θ∗. Alors θ∗ est la valeur opti-

male recherchée pour la variable manipulée à l’entrée de l’algorithme de commande

extrémale.

3.8.2.3 Indicateurs de performances

Ces derniers quantifient les différents aspects de la performance de la commande

extrémale :

– Ts le temps de convergence de l’algorithme,

– D le domaine de convergence (plage de valeurs initiales pour l’entrée permet-

tant à l’ algorithme de converger vers l’optimum),

– v l’écart net maximal à l’optimum (sur une période) en régime permanent sur

la sortie :

|y(t)− y ∗ | 6 v (3.44)

Un petit Ts, un grand D et un petit v sont désirés (Tan et al. 2008). En effet :

– un petit Ts (temps de convergence, ou en anglais « settling time ») : la sortie

de la fonction objective atteint l’optimum plus rapidement,

3.9 Conclusion 61

– un grand D (la plage de valeurs de l’entrée, au temps initial) : augmente la

probabilité que la sortie de la fonction objective atteigne l’optimum,

– un petit v ( l’écart net maximal à l’optimum sur une période) : la variation de

la sortie en régime permanent est plus près de l’optimum.

De ce qui peut être déterminé par l’utilisateur, le résultat de performance de la

commande extrémale dépend notamment des caractéristiques de l’onde d’excitation

(fréquence, amplitude et puissance normalisée), du gain intégrateur (Tan et al. 2008)

et des filtres (passe-haut et passe-bas) utilisés. Ces éléments peuvent être choisis par

l’utilisateur.

Réglages des paramètres de la commande extrémale par la méthode des perturba-

tions :

– types d’onde d’excitation exogène d(t) (notamment sinusoïde et carrée),

– amplitude de l’onde d’excitation exogène a ,

– fréquence de l’onde d’excitation exogène ω,

3.9 Conclusion

Le but de ce chapitre était d’introduire la notion de commande adaptative, pour

décrire certains systèmes adaptatifs, et d’indiquer pourquoi l’adaptation est utile. Un

contrôleur adaptatif a été défini comme une unité de commande avec des paramètres

réglables et un mécanisme pour ajuster les paramètres.

Les principaux éléments sont les mécanismes d’ajustement des paramètres. Quelques

façons de le faire ont été abordés : les régulateur adaptatifs, la commande adaptative

auto-ajustable, la commande adaptative a modèle de référence, et la commande

adaptative extrémale. Ceci nous a permis de présenter les connaissances nécessaires

pour la conception des divers systèmes de commande adaptative.

Chapitre 4Commande extrémale d’ordre fractionnaire

4.1 Introduction 63

4.1 Introduction

4.1.1 Historique de la commande par recherche d’extremum

L’objectif de la commande de systèmes consiste à maintenir un système à un

point de fonctionnement donné (on souhaite que ce point de fonctionnement soit un

optimum). Pour certaines applications, il peut être difficile de déterminer a priori

ce point. L’objectif de la commande adaptative extrémale consiste à maintenir le

système à cet optimum. Dans le cadre de cette recherche, on s’intéresse à un profil

optimal. Le schéma de principe (4.1) [4]), présente l’idée générale de la méthode.

Optimiseur

ProcédéRégulateur

Points d’opération

Performance

États/mesures

Figure 4.1: Principe de la commande par recherche d’extremum

Le sujet de la commande par recherche d’extremum est très riche. Les origines

de ces méthodes remontent aux années 1950. La section suivante (4.1.1.1) recense

la littérature sur le sujet d’une manière détaillée.

4.1.1.1 Développements classiques

Le premier travail notable dans le domaine a été fait par LeBlanc en 1922 [196].

Ce travail a été la première littérature sur la commande adaptative et l’approche

aperçue était fondée sur la perturbation. La commande par recherche d’extrêmum

(commande extrémale) a reçu beaucoup d’attention entre les années 1940 et les an-

nées 1960.

La plupart des méthodes basées sur la perturbation depuis le début de 1922, uti-

lisaient une excitation périodique sinusoïdale pour estimer l’état stationnaire entre

l’objectif et l’entrée du système. Dans les années 1990 une autre approche à base de

perturbation de la commande extrémale est apparue. Dans cette nouvelle approche,

4.1 Introduction 64

un signal aléatoire stochastique peut être utilisé à la place de cette perturbation.

Toujours dans les années 1990, une nouvelle approche appelée commande ex-

trémale à mode glissant a été présentée [60]. Le concept de base est de forcer la

fonction objective à suivre une augmentation/diminution de la fonction temps via

la commande par mode glissant [196]. Après les années 1990 cette approche est de-

venue populaire et avec plusieurs autres publications sur ce sujet [52] et plus tard,

une analyse de la stabilité a été présentée [136].

L’évolution de la commande extrémale peut être divisée en deux grandes périodes :

de 1922 à 2000 et de 2000 jusqu’à maintenant. En d’autres termes, les périodes avant

et après l’article de Wang et Krstic [185] qui a été l’étincelle qui fit redémarrer la

théorie de commande extrémale.

4.1.1.2 Développements récents

Après 2009, une nouvelle approche de la commande extrémale basée sur la mé-

thode d’optimisation de Newton est développée. Cette approche est appelée la com-

mande extrémale (ESC : Extremum seeking control). Dans cette méthode, la dérivée

seconde est nécessaire pour une optimisation des paramètres et la matrice Hessienne

dans le cas de plusieurs paramètres. L’approche de Newton pour le cas d’un para-

mètre a été présentée dans [95, 94, 191]. La dérivée seconde a été calculée en utilisant

un estimateur du gradient, qui fournit la dérivée première et seconde de l’objectif

par rapport à la variable manipulée. Une analyse de la stabilité a également été

présentée.

Une méthode multi-paramètres basée sur l’approche de Newton a été présentée dans

[49]. Dans ce travail, le gradient est estimé en utilisant l’approche du filtrage clas-

sique (HPF, multiplicateur, et LPF). Le signal pour la multiplication est une forme

pondérée du signal de perturbation d’origine comme dans le cas classique tandis

que la matrice Hessienne est calculée à l’aide de filtre passe-bande, mais le signal

multiplication est soigneusement sélectionné pour éliminer les autres dérivées indé-

sirables. L’inverse de la matrice Hessienne est calculé en utilisant une équation de

Riccati. Ce travail comprenait aussi une analyse de la stabilité.

Dans la littérature de nombreuses applications peuvent être trouvées, par exemple

4.1 Introduction 65

la commande du système de freinage (ABS), les véhicules autonomes et les robots

mobiles, l’optimisation du rendement en Bio-traitement, etc... Une application in-

téressante de contrôle orienté, est l’ajustement automatique du PID [59, 58]. Dans

ce travail, les paramètres du régulateur PID sont ajustés en utilisant la méthode

standard des perturbations. L’objectif du régulateur par recherche d’extremum est

de minimiser la fonction de coût de l’erreur quadratique intégrée (ISE) :

y =1

T − t0

∫ T

t0

e2(ues, t)dt (4.1)

où e représente l’erreur entre l’entrée de référence et la sortie du système, et ues

représente l’ajustement des paramètres du régulation PID ([K , Ti, Td]).

Durant les années 1950 et 1960 (bien avant l’émergence de la théorie de la com-

mande adaptative extrémale), les méthodes ESC étaient très populaires parmi les

commandes adaptative offrirent des résultats perceptibles dans des nombreux pro-

blèmes pratiques. Cet intérêt a été rapidement abandonné car aucune analyse précise

de la stabilité ne pouvait être trouvée, malgré tous les efforts dans cette époque.

Plusieurs années plus tard, Krstic et Wang [63] ont fourni la première analyse de

stabilité rigoureuse pour une classe de problèmes de contrôle d’ESC par la théo-

rie de perturbation singulière et la méthode de pondération. Après leur article, la

communauté automatique a montré un intérêt renouvelé dans l’ESC. Comme on

peut le constater dans la Figure 4.2, le nombre de publications sur l’ESC connait

un rebond après l’année 2000. Plus d’informations sur la méthode de commande

extrémale peuvent être trouvés dans le récent article [167].

4.1.2 Formulation du problème d’optimisation

Considérons un procédé opérant avec des valeurs d’entrées u(t) pour lequel cer-

taines mesures Y (t) sont disponibles. Si le procédé répond instantanément aux va-

riations d’entrée, il peut être considéré comme statique et son comportement peut

alors être décrit par la relation :

Y (t) = h(u(t)) (4.2)

4.1 Introduction 66

1960-1969

1970-1979

1980-1989

1990-1999

2000-2009

2010-2014

0

500

1,000

1,500

Annees

Nomber

dePublications

Nombre de Publications concernant ESC depuis 1960

Figure 4.2: Nombre de publications concernant ESC depuis 1960.

En réalité, la plupart des procédés possèdent une dynamique : leur état à un instant

t donné ne dépend pas uniquement des entrées à cet instant mais également des

entrées aux instants antérieurs. Ainsi, le comportement d’un procédé dynamique à

un instant donne peut être décrit par les équations :

x = F (u(t), x(t)) (4.3a)

Y (t) = H(u(t), x(t)) (4.3b)

ou x(t) représente le vecteur des états du système. Un système dynamique est consi-

déré en régime permanent lorsque x = 0 et son comportement peut alors être décrit

par l’équation ((4.2)).

Les systèmes peuvent opérer de façon continue ou discontinue. Ces deux types

de conditions opératoires se distinguent selon différents critères. Tout d’abord les

procédés continus possèdent un régime permanent alors que les procédés discontinus

n’en n’ont pas. Ces derniers sont plutôt de nature irréversible : une fois certaines

limites franchies, aucune commande ne peut ramener un système discontinu à son

état précédent. Finalement, chaque lot a une durée d’opération finie alors que les

procédés continus n’en n’ont pas.

Dans un contexte d’optimisation des procédés, le critère de performance et les

4.1 Introduction 67

contraintes des procédés en lots peuvent être composés d’une partie associée aux

trajectoires et d’une partie associée au temps final du lot. Les problèmes d’optimi-

sation de procédés discontinus sont des problèmes de nature dynamique pouvant se

formuler comme suit :

minu

J = Φt(x(tf ), tf) +

∫ tf

t0

(Φt(u(t), x(t), t) (4.4)

ou tf est le temps final, et J le critère de performance devant être minimisé.

Pour les procédés continus, comme le temps final n’est pas défini, le problème

d’optimisation est plus souvent considéré en régime permanent : le critère de per-

formance est fonction des valeurs des différentes variables en régime permanent.

Dans ce travail, on s’intéresse à l’optimisation de procédés dynamiques continus et

les différentes méthodes d’optimisation en temps réel présentées ici font référence au

problème d’optimisation statique défini comme suit :

minu

J = Φ(x, u)

s.t F (u, x) = 0

S(u, x) ≤ 0

(4.5)

où J représente le critère de performance devant être minimisé et S, l’ensemble des

contraintes inégalité à respecter. Ainsi, les valeurs des entrées optimales u∗ minimi-

sant la fonction J du problème ((4.5)) sont valides en régime permanent.

Bien que le problème ((4.5)) soit un problème sous contraintes inégalité, il peut être

transformé en un problème sans contraintes par l’utilisation d’une fonction barrière

(Vassiliadis et Floudas, 1997). II prend alors la forme suivante :

minu

JB = Φ(x, u)− ζ∑

i

log(−(Si(u, x)))

s.t F (u, x) = 0

(4.6)

La pénalité logarithmique associée aux contraintes inégalité assure que la solution

de ce problème ne franchisse pas la frontière de la région admissible définie par ces

contraintes inégalité. La distance entre la solution du problème ((4.6)) et la frontière

de la région admissible sera plus ou moins grande selon la valeur du paramètre de

4.1 Introduction 68

réglage ζ .

Les équations ((4.3a)) reliant les entrées u aux sorties Y d’un procédé sont ra-

rement connues de façon exactes mais sont plutôt approximées par un modèle qui a

la forme suivante :

xm = Fm(u(t), xm(t), α, θ) (4.7a)

Ym(t) = Hm(u(t), xm(t), α, θ) (4.7b)

où α, et θ représentent les vecteurs des paramétrés fixes et ajustables du modèle res-

pectivement. Ainsi, le problème d’optimisation à résoudre est défini selon ce modèle

et devient alors :

minu

Jm = Φ(u, xm, α, θ)

s.t Fm(u, xm, α, θ) = 0

Sm(u, xm, α, θ) ≤ 0

(4.8)

Le modèle utilisé dans l’énonce du problème d’optimisation peut prendre la forme

d’un modèle fondamental élaboré à partir des lois fondamentales de la physique ou

celui d’un modèle empirique de type "boite noire" qui tente de reproduire localement

le comportement du procédé. Le problème d’optimisation ((4.8)) peut utiliser l’un

ou l’autre type de modèle ou même les deux a la fois.

De façon générale, les différentes fonctions du problème ((4.8)) peuvent être

détaillées comme suit :

Φm(u, xm, α, θ) = Φp(u, xm, α, θp) + Φb(u, xm, α, θb) (4.9)

Fm(u, xm, α, θ) = Fp(u, xm, α, θp) + Fb(u, xm, α, θb) (4.10)

Sm(u, xm, α, θ) = Sp(u, xm, α, θp) + Sb(u, xm, α, θb) (4.11)

ou les indices p et b représentent les fonctions et paramètres associés aux modèles

fondamentaux et empiriques respectivement.

Rien n’assure que la solution du problème ((4.8)) nous amène a l’optimum réel

du procédé, solution du problème. II existe différentes raisons expliquant la possibi-

4.2 Classification des méthodes d’optimisation en temps réel 69

lité d’une erreur entre les solutions de ces deux problèmes. L’incertitude du modèle,

l’effet sur l’optimum réel de perturbations exogènes ne faisant pas partie des mesures

disponibles et le changement dans le temps de la fonction F décrivant la dynamique

du procédé sont autant de facteurs favorisant l’erreur sur la solution du problème

((4.8)).

Afin que la solution identifiée se rapproche le plus possible du point d’opération

optimal réel, le modèle doit être une représentation adéquate du procédé réel à tout

instant : les paramétres θ sont alors ajustés régulièrement pour que les sorties du

modèle Ym correspondent le plus fidèlement possible aux mesures Y du procédé. Tou-

tefois, comme nous pourrons le constater dans ce chapitre, une bonne identification

des paramétres du modèle ne signifie pas que l’optimum de ce modèle correspondra

à celui du procédé réel.

4.2 Classification des méthodes d’optimisation en

temps réel

Les différentes méthodes d’optimisation en temps réel peuvent être regroupées

en deux catégories selon la façon dont le problème ((4.8)) est résolu. La première

catégorie regroupe les méthodes ou le point d’opération optimal u∗ est obtenu en

résolvant numériquement le problème ((4.8)). Ces méthodes effectuent la mise à

jour des paramétrés du modèle et le calcul du point d’opération optimal de façon

séquentielle. Les méthodes de cette catégorie se distinguent par la façon de mettre

à jour les paramètres du modèle selon la nature des mesures disponibles. Nous

distinguerons ici, les mesures du critère de performance J et des contraintes inégalités

S des autres mesures disponibles que nous désignerons par mesures auxiliaires.

L’autre catégorie de méthodes d’optimisation en temps réel est souvent désignée

dans la littérature sous l’appellation "commande extrémale". Elle regroupe les mé-

thodes où les conditions d’optimalité du problème ((4.8)) sont utilisées pour le suivi

du point optimal en temps réel. Ainsi, le modèle est utilisé pour estimer le gradient∂Jm∂u

et parfois le Hessien ∂2Jm∂2u

. Le problème d’optimisation est alors converti en un

problème de commande où l’information obtenue à l’aide du modèle est utilisée pour

déterminer la loi de commande permettant au système d’évoluer vers l’optimum. Ces


méthodes se distinguent entre elles par la façon dont le gradient et le Hessien sont

estimés selon le type de mesures disponibles.

Le tableau(4.1) dresse une liste des avantages et inconvénients de ces deux caté-

gories de méthodes d’optimisation en temps réel.

Table 4.1: Avantages et désavantages des catégories de méthodes d’optimisation entemps réel

Résolution numérique Commande extrémale

Avantages- Convergence rapide. - Bonne précision.- S’applique aux problèmes àgrande dimension.

- Boucle rétro-active filtre le bruitde mesure.- Modèle local = pas d’extrapola-tion de u∗.

Inconvénients- Mauvaise précision. - Convergence lente.- Identification des paramètresdu modèle affectée par le bruitde mesures.

- Difficilement applicable pour lesproblèmes de grande dimension.

4.2.1 Optimisation par résolution numérique

Dans le domaine de l’ingénierie, les algorithmes numériques de résolution de pro-

blèmes d’optimisation peuvent être utilisés pour améliorer la conception des précédés

ou encore pour améliorer leur performance opérationnelle [32]. Dans les deux cas, la

résolution des problèmes d’optimisation par l’utilisation d’algorithmes numériques

ne peut se faire sans l’utilisation d’un modèle du procédé.

Comme la performance d’un procédé peut être affectée par différentes sources

d’incertitude [199], une solution identifiée par la résolution numérique du problème

d’optimisation défini par un modèle à un instant donné ne sera pas nécessairement

valide à un temps ultérieur. L’optimisation en temps réel doit permettre d’identi-

fier et de suivre la solution optimale à tout instant, peu importe les perturbations

pouvant survenir au sein du procédé.

Le suivi du point d’opération optimal en temps réel nécessite une mise à jour du

modèle utilise pour l’optimisation ainsi qu’un calcul fréquent de ce point optimal.

La structure générale de l’optimisation en temps réel avec résolution numérique est

présentée à la Figure (4.3).


Mise à jour

du modèle

Optimisation

numérique

Procédée

Modèle

u∗

ky

θ

Figure 4.3: Structure générale des méthodes avec optimisation numérique

Chaque itération k des méthodes avec résolution numérique consiste à effectuer

les deux étapes suivantes :

Étape d’identification : appliquer les entrées u(k) au procédé et obtenir les me-

sures en régime permanent Y . Déterminer les paramétrés θ(k) du modèle qui

minimisent le problème d’estimation au sens des moindres carres suivant :

minu

G(u(k), x, Y, θ) =∑

wi(Yi −Hm,i(u(k), x, α, θ))2 (4.12)

Étape d’optimisation : avec les paramétrés θ∗(k) trouves a l’étape d’identifica-

tion, identifier le point d’opération optimal u(k + 1) = u∗ à appliquer au

procédé en résolvant numériquement le problème d’optimisation (4.8).

4.2.2 Optimisation par commande extrémale

La majeure partie des travaux sur la commande extrémale traite de problèmes

d’optimisation sans contraintes bien qu’il soit possible de considérer des problèmes

sous contraintes inégalité en utilisant notamment une fonction barrière comme celle

du problème (4.6). Les méthodes de commande extrémale consistent a transformer

le problème d’optimisation en un problème de commande. Ainsi, le modèle est utilisé

pour extraire les informations nécessaires (gradient et parfois Hessien) permettant de

commander le procédé dans une direction de descente. Ici, l’identification du modèle

et révolution du système vers l’optimum se fait de façon simultanée contrairement

aux méthodes avec résolution numérique. La plupart des méthodes de commande


extrémale font évoluer l’entrée u du système réel dans le sens opposé du gradient

estimé :

u = −kg (4.13)

où g = ∂Φm

∂uest une estimation du gradient ∂Φ

∂u.

Dans ce cas, le modèle n’est pas utilisé pour identifier u∗ mais plutôt pour estimer

le gradient. La structure générale de la commande extrémale est représentée a la

Figure (4.4). Ces méthodes se distinguent entre elles par la façon dont le gradient

est estimé.

Estimation du

gradient

Contrôleur

intégral

Procédée

Modèle

uy

g

Figure 4.4: Structure générale des méthodes de commande extrémale

Les principales méthodes de commande extrémale sont maintenant présentées.

Tout comme pour les méthodes avec résolution numérique, elles sont regroupées

en deux principales catégories selon le type de mesures disponibles : si seules des

mesures auxiliaires sont disponibles, un modèle fondamental est utilisé pour estimer

le gradient alors que si les mesures de la fonction objectif J et des contraintes S (s’il

y a lieu) sont disponibles, l’évaluation du gradient peut se faire directement à partir

de ces mesures seulement par l’utilisation d’un modèle empirique.

Méthodes utilisant les mesures auxiliaires : La commande extrémale avec mo-

dèle adaptatif [50], [198] est possible lorsque seules certaines mesures auxiliaires

sont disponibles. Un modèle fondamental est alors utilisé pour décrire le com-

portement du procédé. La fonction objectif ne dépend que des états (mesu-

rables) du procédé et de certains paramètres du modèle et non des entrées du

système.

4.3 Classification des méthodes de commande extrémale 73

Le problème est défini comme suit :

minu

Jm = Φp(xm, θp, α)

s.t Fp(u, xm, θp, α) = 0

(4.14)

Ici, on assume que le vecteur des variables d’état xm et celui des entrées u sont de

même dimension. Le vecteur d’états xm évolue selon l’équation Fp dont la structure

est donnée par :

xm = Fp(u, xm, θp, α) = F1(xm) + F2(xm)θp + F3(xm)u (4.15)

Ainsi, la loi de commande extrémale peut s’écrire en fonction de xm :

xm = −kg = −k∂Φp

∂xm

(4.16)

Puisque le vecteur d’entrées et le vecteur d’états sont de même dimension, cette loi

de commande peut être réalisée par la conception d’un contrôleur inverse. Toutefois,

l’utilisation d’un tel type de contrôleur nécessite une composante stabilisante. Ainsi,

une fonction de Lyapunov assignable est utilisée pour définir des lois de commande

et d’estimation à partir des conditions de stabilité.

4.3 Classification des méthodes de commande ex-

trémale

Plusieurs méthodes de l’ESC [189] ont été développées en parallèle avec l’en-

semble des schémas de commande adaptatifs traditionnels [184]. Comme reporté

dans [159, 184], les méthodes ESC sont généralement classées en trois catégories :

les systèmes de perturbation, les systèmes d’auto-conduite, et les systèmes de com-

mutation.

Une brève description de chacune de ces méthodes est donnée ci-dessous :

1. Systèmes de perturbation (Perturbation systems) : L’attribut le plus fonda-

mental du système de perturbation est l’introduction d’un petit signal de test

ondulé dans le système (figure 4.5). La composante de ce signal, telle que me-

4.3 Classification des méthodes de commande extrémale 74

surée à partir de la sortie du système, est multipliée directement par le signal

de test elle-même, ce qui génère une composante moyenne une fois passé à

travers un filtre passe-bas. À la sortie de ce filtre un intégrateur est ajouté

au signal de test ondulé et est introduit dans le système en tant que signal

commande.

La méthode de perturbation mesure effectivement la pente des caractéristiques

du système. Dans l’hypothèse où il existe un maximum ou minimum dans les

caractéristiques de la plante, la méthode de perturbation entraîne le point de

fonctionnement du système près de ce point et établit une stabilité dans le

régime permanent.

y

x

C

R

FPB∫

dt

∼ ∑

⊗

Système de perturbation

y

x

∫

dt

dy/dt

Système auto-conduite

y

x

dy/dt

∫

dt

Système de commutation

Figure 4.5: Les différentes méthodes de la commande extrémale

2. Systèmes de commutation (Switching systems) : L’entrée du système de com-

mutation est alimentée par un intégrateur qui est entraîné par un dispositif

4.4 Recherche d’extremum d’ordre fractionnaire 75

contenant une hystérésis. Cet élément de commutation prend l’entrée à partir

de la sortie dérivé du système de telle sorte que l’action de commutation est

associée à une valeur négative de l’écart.

3. Systèmes d’auto-conduite (Self-driving systems) : Dans un système d’auto-

conduite, la dérivée temporelle du signal de sortie est mesurée et est utilisé

pour exciter l’intégrateur, qui fournit la commande du système nécessaire.

Contrairement au systèmes de commutation ou de perturbation, un système

d’auto-conduite ne nécessite pas de signal externe. Ces systèmes fonctionnent

de manière efficace sur le principe de rétroaction (feedback) positive et sont

utilisés pour produire un signal de commande qui guide le système vers un

optimum (figure 4.5). Les systèmes d’auto-conduits ne peuvent pas être s’auto-

initialiser, ce qui nécessiterait l’initialisation à travers une entrée type échelon

ou un bruit blanc. En outre, de tels systèmes sont susceptibles de s’écarter du

point de fonctionnement optimal par effet de la conduite elle-même dans la

mauvaise direction.

4.4 Recherche d’extremum d’ordre fractionnaire

4.4.1 Introduction

Le premier cas d’utilisation de la technique de commande extrémale (Extremum

Seeking : ES), revient à Leblanc en 1922 avec des applications aux systèmes fer-

roviaires électriques. Dans les années 1950 et 1960, ES a été largement étudiée et

utilisée dans les applications à la fois dans l’ex-Union soviétique [171] et de l’Ouest

[188]. La capacité de cette technique à forcer θ(k) à converger vers un minimum

local θ∗ de J (θ) fit l’objet d’épreuves de stabilité obtenues à la fin des années 1990

[61]. Par la suite, ES est devenue un outil utile pour les applications de temps réel

ainsi qu’un champ actif de la recherche théorique [10].

4.4.2 Méthode de perturbations

Cette méthode de recherche extrêmale trouve la valeur du gradient à l’aide de

filtres et d’une excitation sinusoïdale (Voir la Figure 4.6). Plus précisément, une


fonction sinus est ajoutée à l’entrée du système pour servir d’excitation. Cette per-

turbation fait alors osciller la variable de sortie. Le signal de sortie est ensuite envoyé

dans un filtre «passe haut» qui laisse uniquement passer les oscillations causées par

l’excitation du système. En d’autres mots, les données retenues sont uniquement les

∇y et non la sommation de y et ∇y. La fonction restante est donc une fonction si-

nusoïdale d’amplitude ∇y∗∇u avec une moyenne de nulle car elle est centrée en zéro.

x = f(x, α(x, θ))

y = h(x)

y

s

s+ wh

⊗

y − ηwl

s+ wl

ξ1

s

⊕

asin(wt)

θ

θ

f ∗ θ∗

f

θθ∗

f ∗

Figure 4.6: Schéma de commande ESC par perturbations.

Cette fonction est alors multipliée par la même fonction asin(ωt) qui a servi à

exciter le système. Ceci donne une fonction quadratique en sinus qui est toujours du

même signe. Elle n’est donc plus centrée en zéro. Ce signal est ensuite dirigé dans un

filtre « passe bas » pour obtenir la moyenne. La valeur à la sortie du filtre devient

une approximation du gradient de la fonction qui est multipliée par l’amplitude de

l’entrée au carré.

La dernière étape consiste à utiliser cette valeur qui représente le gradient pour

diriger le système au point optimal. Pour ce faire, cette valeur est multipliée par

un gain et additionnée à l’entré du système, pour que celui-ci se déplace dans la

direction ou le gradient est le plus petit, jusqu’à obtenir aucune variation de la


sortie. Cette position correspond à la valeur minimale du système.

4.4.3 Méthode de saturation

Un nouveau système de commande robuste pour une classe des systèmes dyna-

miques linéaires de premier ordre est basée sur l’approche proposée par Carnevale

et al. [22] appelé la commande extrémale dynamique ’Dynamic Extremum Seeking’,

dont l’objectif est d’utiliser un signal de référence pour un système dynamique de

telle sorte qu’une fonction inconnue du coût de sa sortie est minimisée ou maximisée.

Nous abordons le problème pour trouver le minimum global d’une fonction sta-

tique inconnue g(.) : R → R dont l’entrée est affectée par une perturbation t → d(t)

comme le montre la figure (4.7). Comme dans [22], nous supposons que la carte g(.)

vérifie l’hypothèse suivante.

∑

ǫy = −y + θθ

d

ug

y

++

ygg(y + d)

Figure 4.7: Schéma bloc du système sous considération.

Hypothèse 1 : La fonction inconnue g(.) : R → R est localement lipschitzienne

et localement bornée.

Dans la synthèse de problème de l’Extremum Seeking considéré comme nous

supposons pour exploiter un signal de sondage θ qui est contraint d’agir sur la

fonction g(.) par l’intermédiaire d’un système dynamique scalaire ayant la forme

simplifiée suivante :

ǫ y = −y + θ (4.17)

où ǫ est un scalaire positif. L’entrée et la sortie de la fonction statique g(.) sont

supposées être deux signaux mesurables, comme représenté sur la figure (4.7) ce qui


correspond à :

ug(t) = y(t) + d(t)

yg(t) = g (y(t) + d(t)) (4.18)

Comme dans le système de commande d’ordre entier initiale proposée dans [22],

il y a certaines conditions de bornitude sur le signal de perturbation d excitant la

fonction g(.) devant être remplies, comme indiqué dans l’hypothèse 2.

Hypothèse 2 : La perturbation d(.) est bornée et a sa dérivée temporelle bornée

aussi, à savoir il existe des nombres positifs d et dd tels que |d(t)| ≤ d, ˙d(t) ≤ dd

pour tout t ≥ 0.

La stratégie de commande implique également l’attribution de deux lois de re-

cherche d’extrêmum θ, en supposant que les signaux de l’équation (4.18) sont dis-

ponibles. De plus, il faut faire une hypothèse forte capable d’obtenir une dérivée

idéal de l’entrée et la sortie de la fonction inconnue g(.), c’est-à-dire nous supposons

connaître :

z1(t) = ug(t) = y(t) + d(t),

z2(t) = yg(t) =∂g (y(t) + d(t))

∂y

(

y(t) + d(t))

(4.19)

Il est clair que dans la mise en oeuvre pratique, nous allons utiliser des approxima-

tions des signaux présentés dans l’équation (4.19)

. Le schéma de commande proposé est obtenu par l’introduction de l’opérateur

d’ordre fractionnaire 1/sλ au schéma de commande initial de Carnevale et al. [22].

Comme représenté dans la figure (4.8). La fonction inconnue est g(.), et les entrées

de cette dernière sont la sortie du système linéaire dynamique du premier ordre y et

le signal de perturbation d.

Le paramètre ǫ > 0, régle la vitesse de convergence de y à δkθ, où δk > 0 est le

gain statique du système linéaire. La sortie d’une saturation unitaire est alimentée


∏

s

s

k2M

−k1sλ

ǫy = −y + δθ∑

d

θ

g(y + d)y

z1

z2

Figure 4.8: Schéma dynamique de l’approche extrémale d’ordre fractionnaire.

avec le signal k2z1(t)z2(t) et est intégrée avec un ordre fractionnaire 1/sλ et multiplié

par k1, ce qui donne la référence du système θ(t), avec les scalaires positifs k1 et k2.

Par l’introduction de l’intégration d’ordre fractionnaire sur le signal de commande

θ nous obtenons la dynamique suivante :

dλθ

dt= −k1 sat(k2z2(t)z1(t)) (4.20)

donc,

sλθ = −k1 sat(k2z2(s)z1(s)) (4.21)

et la loi de commande d’ordre fractionnaire devient,

θ =−k1 sat(k2z2(s)z1(s))

sλ(4.22)

avec k1 > 0, k2 > 0, et l’ordre de la fraction 0 ≤ λ ≤ 1. Le schéma de principe du

système en boucle fermée correspondant est représenté à la figure (4.8).

Dans [69, 181] on a remarqué que l’introduction de l’intégration de l’ordre fraction-

naire dans les algorithmes d’adaptation permet d’augmenter l’amplitude de référence

4.5 Application au système de freinage antiblocage (ABS) 80

pour laquelle la stabilité en boucle fermée est maintenue. En fait, pour cet objectif

de commande stable, il vaut mieux choisir le paramètre de régulation k2 assez petit.

C’est pourquoi nous pouvons stabiliser la boucle de commande adaptative en utili-

sant intégration d’ordre fractionnaire où la loi de commande entier échoue.

Remarque 1 : La sélection de θ comme mentionné dans l’équation (4.22) garan-

tit que θ ≤ k1sλ

, une propriété intéressante du signal de sondage car il évite l’excitation

dynamique à haute fréquence. De plus, chaque fois que cela est nécessaire, la mé-

thode permet de répondre aux contraintes de la saturation des dispositifs physiques

[111].

4.5 Application au système de freinage antiblocage

(ABS)

4.5.1 Introduction

Les systèmes de freinage antiblocage (ABS) sont un outil important dans l’indus-

trie automobile. Elles permettent l’arrêt immédiat du véhicule effectuer des virages

plus sûrs lorsque les roues sont empêchées de blocage. La conception de l’ABS a été

initialement proposée pour traiter le freinage sur des surfaces glissantes, c’est-à-dire

empêcher le blocage et le dérapage des roues [187, 83]. Le but principal de cette

recherche est de satisfaire l’augmentation de la sécurité, l’efficacité et les exigences

d’une conduite sûre.

Des progrès importants ont été réalisés par l’introduction et le développement de

systèmes de sécurité active comme les systèmes de freinage antiblocage, le système

(ABS) est largement utilisé dans les automobiles.

Dans une situation de freinage d’urgence les roues d’un véhicule ont tendance

à verrouiller rapidement, ce qui augmente le taux de glissement longitudinal du

véhicule. Le taux de glissement, lors du freinage, est définie comme la différence

entre la vitesse du véhicule et la vitesse circonférentielle du pneu, divisée par la

vitesse du véhicule [80].

Lorsque le verrouillage de la roue est total (β = 1), le contrôle de la direction du


véhicule et la stabilité diminue, et la distance de freinage augmente normalement.

Par conséquent, l’objectif de la commande du système de freinage est de maintenir le

taux de glissement à des valeurs qui obtiennent le coefficient d’adhérence maximale

(voir Fig. 4.9).

La réalisation de cet objectif est difficile, parce que la zone maximum d’adhérence

varie en fonction de plusieurs paramètres, par exemple les conditions d’adhérence

entre la route et la roue, la charge verticale, la pression de gonflage, l’angle de glisse-

ment, etc... Par conséquent, les systèmes de contrôle d’ABS ont besoin de connaître

le point exact à utiliser dans les courbes d’adhérence [µ− s].

Dans le présent travail, nous nous sommes intéressés à appliquer une nouvelle stra-

tégie de commande adaptative fractionnaire basé sur la recherche d’extremum, pour

optimiser la distance de freinage, tandis que la capacité de direction est conservée

même sous un freinage dur [12, 193].

0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,7 0,9 1 1.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

β

µ(β)

Sèche

Humide

Glace

Figure 4.9: Coefficient de la force de frottement

Dans les dernières années, les algorithmes de la recherche d’Extremum ont été

appliqués dans divers domaines de recherche liés aux systèmes ABS [38]. Un domaine

dans lequel la technique ESC s’est avérée un outil extrêmement puissant est de

maintenir le taux de glissement à des valeurs qui obtiennent le coefficient d’adhérence

maximale [96, 39].

Le but principal de ce travail est l’introduction des opérateurs fractionnaires

dans l’approche ESC, qui présente plusieurs avantages par rapport aux techniques

de commande classiques tels que la facilité de mise en oeuvre et devrait améliorer


l’efficacité d’utilisation du système ABS sous la présence des perturbations et des

incertitudes. La mise en oeuvre du système ABS à l’aide de la commande extrémale

d’ordre fractionnaire atteint ces deux objectifs clés d’importance vitale.

L’idée de l’algorithme de recherche extrémale d’ordre fractionnaire (ESFO) a

été également introduite par Malek et al. [90] avec une configuration différente,

basée sur le régime perturbé ES, montrant des résultats intéressants sur les systèmes

solaire. Cette étude propose une méthode de commande robuste qui combine de la

commande fractionnaire et la recherche extrémale pour contrôler le glissement en cas

de freinage d’urgence, et permettra d’assurer la stabilité du système de commande

en boucle fermée à des variations brusques et rapide des conditions extérieures.

4.5.2 Description du problème

En raison de la non-linéarité de la dynamique et la présence de l’incertitude dans

les systèmes de freinage, la conception de l’ABS est difficile. Le caractère de la force

de frottement agissant sur les pneus a un maximum pour permettre un patinage

des roues non nulle et diminue lorsque le glissement augmente. Les systèmes ABS

standard applique la pression de freinage d’une façon rapide et intermittente. Dans

certaines d’entre eux, l’objectif de l’action intermittente est de "chercher" le maxi-

mum de la caractéristique de frottement.

Dans ce travail, nous étudions la conception d’ABS par des systèmes de recherche

extrémale adaptative d’ordre fractionnaire ; notre objectif est de concevoir un algo-

rithme de commande pour le couple de freinage pour obtenir un maximum de force

de frottement sans connaître au préalable le glissement optimal. Le modèle de la

roue est présenté par Ariyur et Krstic (chap.6 de [10]).


4.5.3 Modèle de la roue

Considérons le modèle d’une seule roue représenté dans la figure 4.10. La dyna-

mique de la roue sont donnés par l’équation suivante

mx1 = −Nµ(β)

Ix2 = −Bx2 +NRµ(β)− u (4.23)

Où x1 est la vitesse linéaire et x2 est la vitesse angulaire Ω de la roue, m est la

masse, N = mg est le poids de la roue, R est le rayon de la roue, I est le moment

d’inertie de la roue, Bx2 est le couple de frottement de freinage, u est le couple de

freinage, µ(β) est le coefficient de force de frottement et le patinage des roues, β est

définie comme suit :

β(x1, x2) =x1 −Rx2

x1(4.24)

Pour le cas d’un freinage Rx2 < x1.

Le coefficient de la force de friction µ(β) est illustré à la Figure 4.9 à partir duquel

on voit qu’il existe un optimum µ∗ à β∗.

Afin de formuler ce problème sous forme d’une recherche extrémale, nous intro-

duisons une constante (qui est inconnue) β0 et définissons β = β − β0. L’équation

régissant β est :

˙β = β =

(

Rx2

x12+

mR2

Ix1

)

x1 +RB

Ix1x2 +

R

Ix1u (4.25)

Comme x1 est mesurable par un accéléromètre, il est facile de voir que la commande

en boucle fermée est simple :

u = −k0Ix1

R(β − β0)−Bx2 −

Ix2

x1x1 −mRx1 (4.26)

Où k0 est une constante positive, et stabilise l’équilibre β0 du système (4.25) de façon

exponentielle, donnant ˙β = k0β. Notez que dans la commande u nous n’imposons

pas la connaissance de la fonction µ(β).

Afin de maximiser la force de frottement Nµ est de maximiser µ(β). Nous pouvons

définir la sortie du système (4.25) en tant que y = µ(β) et maximiser y. Si µ(β)


est connue, on peut alors choisir β0 pour être à l’optimum β∗, puis β convergera

de façon exponentielle à la valeur optimale et la force de frottement maximum sera

atteint.

Cependant, β0 ne pouvaient pas être exactement choisie au point optimale parce

µ(β) n’est pas connu et que nla valeur optimale diffère pour différentes conditions

de la route.

Nous employons le schéma de la recherche extrêmale d’ordre fractionnaire pour cher-

cher la valeur optimale de β en tenant compte l’incertitude des conditions routières.

Le modèle de la roue en boucle fermée peut s’écrire comme suit :

1

k0β = −β + β0 (4.27)

y = µ(β) (4.28)

Plusieurs modèles de frottement de pneu décrivant le comportement non linéaire sont

rapportés dans la littérature. Il existe des modèles statiques ainsi que les modèles

dynamiques. Le modèle de pneu le plus réputé est par [80] et par [134], également

connu sous le nom de "formule magique" et il est dérivé à partir de données expéri-

mentales de manière heuristique. Ici nous utilisons l’expression donnée dans [151] est

dérivée avec une méthodologie semblable où µ est exprimée en fonction du glissement

des roues, et β la vitesse du véhicule, v.

Ω(x2)

uR

v(x1)

BΩ

N = mg

Nµ

Figure 4.10: Les forces exercées sur la roue.


Pour les simulations, nous utilisons une fonction simple qui correspond qualita-

tivement µ(β) dans la figure (4.9) :

µ(β) =[

C1

(

1− e−C2β − C3β)]

e−C4βν (4.29)

Cette fonction a un maximum à β = β∗, dont la valeur est µ(β∗) = µ∗. La

simulation fait pour β∗ = 0.25 et µ∗ = 0.6, les paramètres de la roue sont choisis

comme : m = 100kg, B = 0.01 et les conditions initiales sont : la vitesse linéaire

x1(0) = 120km/hr, la vitesse angulaire x2(0) = 400/3.7, ce qui rend β(0) = 0.

Lorsque les paramètres sont spécifiés pour différentes surfaces de la roue. Voir tableau

(4.2) [151]. Les paramètres dans (4.29) indiquent ce qui suit :

– C1 : la valeur maximale de la courbe de frottement.

– C2 : la forme de la courbe de frottement.

– C3 : la différence de la courbe de frottement entre la valeur maximale et la

valeur à β = 1.

– C4 : la valeur de l’humidité est dans la gamme de 0, 02− 0, 04s/m.

Remarque 2 : les paramètres C1···4 sont choisis à partir de la table (4.2) pour

l’asphalte mouillé comme état de la surface.

Les conditions de surface C1 C2 C3

Asphalte, sec 1.029 17.16 0, 523asphalte, humide 0, 857 33, 822 0, 347

Béton, sec 1, 1973 25, 168 0, 5373Pavés sec 1, 3713 6, 4565 0, 6691

Pavés mouillés 0, 4004 33, 708 0, 1204neige 0, 1946 94, 129 0, 0646glace 0, 05 306, 39 0

Table 4.2: Paramètres de frottement

Paramètre Description ValeurK1 Mise à jour du gain de gradient 1 16K2 Mise à jour de gain de gradient gain 2 1M Saturation Min/Max 0.01

Table 4.3: Paramètres de la Recherche d’Extrêmum.


4.5.4 Résultats et discussion

La méthode proposée est mise en oeuvre dans l’environnement de simulation

comme une approche de commande adaptative fractionnaire et les résultats obtenus

du système de commande proposé sont comparés à ceux du système de commande

avec la méthode conventionnelle.

Nous pouvons également noter l’amélioration substantielle du coefficient de force

de frottement (FFC) pour différentes valeurs de l’action intégrale d’ordre fraction-

naire par rapport au cas entier λ = 1.

Un autre avantage notable de la stratégie proposée est que le (FFC) est maintenu

à sa valeur souhaitée pratiquement après la phase de convergence pour toutes les

valeurs d’ordre fractionnaire comme il peut être vu dans Figure (4.12).

Maintenant, pour obtenir la meilleure action intégrale d’ordre fractionnaire λ en

termes de minimisation de l’erreur quadratique entre la puissance de sortie y et la

valeur de puissance maximale ym, on considère le critères donné par :

Jλ =N∑

k=0

(y(k∆)− ym(k∆))2 (4.30)

0 1 2 3 4 5 6 7−500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

t (sec)

u

Couple de freinage

FOES & λ= 1.4FOES & λ= 1.3FOES & λ= 1.2FOES & λ= 1.1FOES & λ= 1FOES & λ= 0.9FOES & λ= 0.8FOES & λ= 0.6FOES & λ= 0.3

Figure 4.11: Couple de freinage

4.6 Conclusion 87

0 1 2 3 4 5 6 7−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

t (sec)

FFC

Coefficient de force de frottement

FOES & λ= 1.3

FOES & λ= 1.2

FOES & λ= 1.1

FOES & λ= 1

FOES & λ= 0.9

FOES & λ= 0.8

FOES & λ= 0.6

FOES & λ= 0.3

Figure 4.12: coefficient de force de frottement (FFC) pour différentes valeurs del’action intégrale ordre fractionnaire λ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5J(λ)

λ

Figure 4.13: Critères d’erreur quadratique en fonction de l’ordre fractionnaire λ

4.6 Conclusion

Ce chapitre a permis d’illustrer les bénéfices de l’algorithme de commande ex-

trêmale proposé, en vue d’améliorer les performances de l’algorithme de commande

4.6 Conclusion 88

0 1 2 3 4 5 6 70

1000

2000

3000

4000

u

Couple de freinage

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8µ

(β)

Coefficient de force de frottement (FFC)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t (sec)

β

Glissement

0 1 2 3 4 5 6 7−50

0

50

100

150

t (sec)

x

Vitesse linéaire et la vitesse angulaire

Vitesse angulaireVitesse linéaire

Pour λ= 0.8, la valeur optimale

Figure 4.14: Les sorties pour la valeur «optimale» d’ordre fractionnaire : λ = 0.8

extrémale par la méthode de saturation proposée par Carnevale. L’introduction de

l’opérateur fractionnaire, à la commande extrémale sert à améliorer les résultats des

performances du système.

Finalement, un exemple de simulation est validé sur un système de freinage antiblo-

cage (ABS). Il a permis de constater que l’utilisation de la méthode ES avec intro-

dution de l’opérateur fractionnaire résulte en un meilleur comportement du système

du point de vue performance et réduit significativement le temps de convergence

vers l’optimum.

Chapitre 5Commande PIλDµ fractionnaire

auto-ajustable basée sur la recherche

d’extrémum

5.1 Introduction 90

5.1 Introduction

Les régulateurs PID fractionnaire (PIλDµ) ne sont pas couramment utilisés dans

l’industrie par rapport au PID classique. La raison principale est que le réglage des

paramètres du régulateur fractionnaire reste un problème ouvert.

La contribution principale dans ce travail réside dans l’introduction des opérateurs

d’ordre fractionnaire dans un schéma classique de recherche d’extrémum pour l’ajus-

tement des paramètres au ’mieux’ possible.

Nous proposons de généraliser une méthode classique de réglage PID basée sur l’ap-

proche Extremum Seeking (ES) pour le réglage des paramètres de régulateur PIλDµ,

en employant une intégration et une différentiation d’ordre fractionnaire dans la

stratégie de réglage des paramètres des actions de commande, afin d’atteindre des

performances optimales.

La recherche d’Extrémum est une méthode qui ne se base pas sur le modèle du

système pour le réglage en ligne des paramètres en minimisent une fonction de coût

qui reflète la performance du régulateur. L’avantage principal de ce procédé est

qu’il peut être appliqué dans les cas où il n’y a aucune connaissance du modèle du

procédé.

5.2 Principe de La recherche d’Extrémum à base de

perturbation

Un signal d’excitation est superposé au signal de commande dans le but d’extraire

l’information relative au gradient voir la figure (4.6). On notera que pour cette

classe de commandes extrémales, une mesure de la fonction objective est supposée

disponible (y = J(x, θ)) avec x −→ Rn vecteur des variables d’état, 0 −→ R

n vecteur

des variables manipulées et J : Rn −→ Rn −→ R la fonction objective (continue

suffisamment dérivable). Un filtre passe-haut de fréquence de coupure wh isole les

variations de la variable optimisée de sa valeur moyenne. L’état représentant le filtre

passe-haut est note η. Ce signal est ensuite module par une perturbation identique à

celle ajoutée à la commande. Un filtre passe-bas de fréquence de coupure wl et dont

la sortie est notée ξ, réduit le niveau d’oscillation du signal résultant ξ =dJ

dθsoit le

5.2 Principe de La recherche d’Extrémum à base de perturbation 91

gradient recherché. Finalement, un régulateur à action intégrale de gain k conduit

ce gradient estimé à zéro. Le schéma de commande s’écrit :

θ = −kξ, θ = θ + a sin(ωt)) (5.1a)

ξ = −ωξ + ωl(y − η)a sin(ωt) (5.1b)

η = −ωhη + ωhy (5.1c)

La valeur des états en régime permanent est obtenue en utilisant la condition d’équi-

libre x = f(x, θ) = 0 est notée x = 1. La fonction objective en régime permanent

s’écrit donc, y = J(l(θ), θ). Soient les variables d’écart par rapport a l’optimum

recherche,

θ = θ − θ∗ (5.2a)

y = y − y∗ (5.2b)

η = η − y∗ (5.2c)

où y∗ est la valeur minimale de la fonction objective à l’équilibre de y obtenue pour

θ = θ∗. En supposant que x soit en régime permanent, le régime moyen pour les

trois états (θ, ξ et η) est obtenu en prenant la moyenne du membre de droite des

équations (5.1a) a (5.1c) sur l’intervalle [0,−2π

ω]. Les états moyens sont notes (.)a.

Le système moyenne s’écrit [56]

d

dt

θa

ξa

ηa

=

−kξa

−ωlξa + ωlω

2πa∫ 2π

ω

0ν(θ) sin(ωt))dt

−ωhηa + ωhω

2π

∫ 2πω

0ν(θ)dt

(5.3)

avec θ = θa + a sin(ωt)

Cette méthode d’optimisation est facilement transposable au cas multivariable en

utilisant les propriétés orthogonales des fonctions sinusoïdales. Pour ce faire, chacune

des entrées est additionnée à une fonction de la forme a sin(2nω) où n représente

le numéro de l’entrée. Après le filtre «passe haut », le signal de sortie est divisé en

n branches. Chacune des branches est multipliée par la même fonction qui lui était

5.3 Schéma de réglage PIλDµ basée la recherche d’extremum 92

associée à l’étape précédente. Comme le produit de chaque fonction est orthogonal

à tous les autres, seule la variation causée par cette entrée est non nulle. Le restant

de chaque branche est similaire à celle monovariable.

5.3 Schéma de réglage PIλDµ basée la recherche d’ex-

tremum

La contribution principale dans ce travail réside dans l’introduction des opé-

rateurs d’ordre fractionnaire dans un schéma classique de commande Extrémale

Adaptative pour aboutir à un régulateur PIλDµ plus performant et ne nécessitant

pas la connaissance du modèle pour l’ajustement des paramètres, voir Figure (5.1).

Le régulateur PIλDµ adaptatif d’ordre fractionnaire proposé dans ce travail est auto-

ajustable. Il est basé sur l’approche de recherche extrémale [10, 148], en employant

une intégration et une différentiation d’ordre fractionnaire dans la stratégie de ré-

glage des paramètres des actions de commande.

∑

−

+

Régulateur PIλDµ Système

L’algorithme

Extremum Seeking

La fonction coût

r e u y

θ

J(θ)

Figure 5.1: Schéma de réglage des paramètres du régulateur PIλDµ fractionnairepar la recherche extrémale.

L’intérêt de ce genre de régulateur est justifié par une meilleure flexibilité, puis-

qu’il présente deux paramètres supplémentaires qui sont les nombres réels λ et µ des

actions intégrales et dérivées, respectivement.


5.3.1 Stratégie de commande

Nous avons utilisé une nouvelle méthode d’auto-réglage de régulateur PIλDµ

qui peut être appliquée aux systèmes linéaires. Cette méthode appelée Extremum

Seeking (ES), qui est un algorithme d’optimisation en temps réel qui n’est pas basé

sur un modèle du système ([10, 31]), le schéma de cette approche est représenté

dans la figure (5.2) en mode discret. La recherche d’Extrémum est une méthode

∏∑

J(θ)θ(k) J(θ(k))

z−1z+h

−γz−1

θ(k)

αj cosωj(k)

Figure 5.2: Diagramme en blocs du schéma de recherche d’extrémum discret

d’optimisation qui modifie de manière itérative l’entrée θ de l’objectif de la fonction

J(θ) pour atteindre un local minimum. Comme le montre la figure (5.2), elle effectue

cette optimisation par une perturbation sinusoïdale des paramètres d’entrée θ(k) du

système et ensuite estimer le gradient ∇J(θ(k)).

Le gradient est déterminé par un filtrage passe-haut du signal discret J(θ(k)) pour

enlever la partie de la composante continue et ensuite démoduler par multiplication

d’une sinusoïde à temps discret de la même fréquence que le signal de perturbation.

Cette procédure estime le gradient en éliminant la partie de J(θ(k)) qui résulte de

la perturbation du paramètre d’estimation θ(k). Les informations sur le gradient

sont ensuite utilisées pour modifier les paramètres d’entrée à la prochaine itération,

particulièrement l’estimation de gradient est intégrée avec un pas γ, ce qui donne

une nouvelle estimation du paramètre θ(k) [59, 63, 167].

L’intégrateur 1/s effectue l’adaptation du fonctionnent et agit comme un filtre passe-

bas. La mise en oeuvre de l’algorithme ES en temps discret dans la Figure (5.2) est


donnée par [31] :

ξ(k) = −hξ(k − 1) + J (θ(k − 1)) (5.4)

θi(k + 1) = θi(k)− γiαi cos(ωik) [J (θ(k))− (1− h)ξ(k)] (5.5)

θi(k + 1) = θi(k + 1) + αi cos(ωi(k + 1)) (5.6)

où ξ(k) est un scalaire et l’indice i indique la ieme entrée du vecteur θ. γi est le gain

d’adaptation et αi sont les amplitudes de la perturbation.

Les valeurs des paramètres α, γ et la forme de la fonction objectif J(θ) à minimiser,

agissent sur la stabilité et la convergence du système, comme indiqué par [59].

La fréquence de modulation ωi est choisie tel que ωi = aiπ, où a satisfait 0 < a < 1.

Le système d’adaptation contient un filtre passe-haut donnée par (z − 1)/(z + h)

tel que 0 < h < 1 et une fréquence de coupure bien en dessous de la fréquence de

modulation ωi.

5.3.2 Optimisation par l’approche de recherche extrémum

Dans cette approche, un critère quadratique de l’intégrale de l’erreur (ISE) est

choisie comme une fonction objective de coût. IL est défini comme suit :

J (θ) =1

T − t0

∫ T

t0

e2 (t, θ) dt (5.7)

où l’erreur e(t, θ) est la différence entre la référence et le signal de sortie du système

en boucle fermée,

e(t, θ) = r(t)− y(t, θ) (5.8)

et le vecteur θ contient les cinq paramètres de PIλDµ fractionnaire ci-dessous :

θ = [kp, ki, kd, λ, µ] (5.9)

Avec deux paramètres supplémentaires qui sont l’inégal et la dérivés ordres fraction-

naire λ et µ, relativement au problème de régulateur PID classique original avec

l’algorithme de l’Extremum Seeking [59].

La fonction objective J(θ) définie dans l’équation (5.7) est basée sur l’erreur dans

5.4 Exemples de simulation 95

l’intervalle de temps [t0, T ]. En réglant t pour approximer le temps Tpeak auquel la

réponse indicielle du système en boucle fermée atteint le premier pic, la fonction de

coût J(θ) met à zéro la pondération effectivement sur la partie initiale transitoire

de la réponse. Par conséquent, le dispositif de commande est réglé afin de minimiser

l’erreur au-delà de la période Tpeak sans contraintes sur la partie initiale transitoire.

La structure du système de commande est représenté sur la figure (5.1) [110].

5.4 Exemples de simulation

Pour mettre en évidence l’efficacité de ce type de commande, nous nous pro-

posons d’étudier quelques exemples d’applications. Nous appliquons la stratégie de

réglage ES pour le PID fractionnaire proposé aux trois modèles de systèmes propo-

sés dans [88, 53, 59] et nous comparons ses performances à celles obtenues pour le

régulateur PID d’ordre entier classique utilisant la même méthode adaptative ES.

Rappelons que Killingsworth et Krstić (2006) ont comparé le réglage de PID clas-

sique appliqué à ces modèles, avec les méthodes de réglage suivante l’IFT (Iterative

Feedback Tuning), ZN (Ziegler-Nichols) et IMC (Internal Model Control) trouvés

dans [51, 88], et ont montré sa supériorité en ce qui concerne la performance et

vitesse de convergence.

Ces différentes stratégies de réglage sont appliquées aux systèmes :

F1(s) =1

1 + 20se−5s (5.10)

F2(s) =1

1 + 20se−20s (5.11)

F3(s) =1

(1 + 10s)8(5.12)

F4(s) =1− 5s

(1 + 10s)(1 + 20s)(5.13)

Notez que F1 et F2 ont des retards, F3 a un pôle multiple, et F4 est à phase non

minimale.

Nous appliquons ES pour l’auto-réglage du PIλ Dµ à (5.10)-(5.13) afin de faciliter la

comparaison avec les résultats obtenus avec le PID d’ordre entier trouvés dans [59]

avec la même méthode de réglage (ES).


Les systèmes en boucle fermée sont simulés en utilisant un pas d’échantillonnage

de 0.01. Les paramètres du régulateur PID Kp, Ki et Kd sont donnés par Ziegler-

Nichols (ZN) dans [88]. Ils Ont utilisé comme un point de départ les paramètres du

régulateur PID kp, ki et kd donnée par Ziegler-Nichols (ZN) pour l’auto réglage de ces

paramètres pour les deux cas, fractionnaire et entier. Pour le choix des paramètres

fractionnaire λ et µ , les valeurs initiale son , λ = µ = 0, 5.

L’objectif de ce chapitre est d’apercevoir les qualités et les améliorations obte-

nues en utilisant un correcteur PIλ Dµ d’ordre fractionnaire pour la commande des

systèmes précédemment cités. Par ailleurs, nous nous intéresserons le moins possible

à l’aspect modélisation.

5.4.1 Résultats comparatifs pour F1

Comme première application nous avons considéré la fonction du transfert F1

donnée par (5.10), qui possède un temps de retard de 5 sec. Les paramètres de

simulation sont : t0 = 0s to Tf = 120s, α = [0.2, 0.15, 0.15, 0.05, 0.02]T , γ =

[200, 200, 200, 120, 60]T et ωi = aiπ et le vecteur des paramètres ajuster est : θ =

[kp, ki, kd, λ, µ]T .

Les deux paramètres a et h dans le schéma de commande sont fixés à 0.8 et 0.5

respectivement. Le tableau (5.1) contient une comparaison chiffrée entre les perfor-

mances obtenues par les deux correcteurs.

Table 5.1: Paramétres du PIλDµ et PID avec ES pour la FT F1

Type de régulateur kp ki kd λ µ

PIλDµ fractionnaire 3.70 0.1350 8.3000 1.650 0.9740PID classique 3.58 0.1287 7.6970 1 1

La figure (5.3) montre que le PIλDµ fractionnaire produit une réponse indicielle

presque similaire au PID classique, avec un dépassement inférieur et un effort de

commande plus petit que l’ordre entier.

Cette amélioration est plus visible sur les valeurs de fonction coût dans la Figure

5.4-(c), qui converge vers une valeur plus basse, ce qui signifie moins d’erreur et

montre que la commande ES minimise la fonction de coût (5.7) avec convergence en


moins de dix itérations de paramètres PID qui produisent un minimum local.

Ces meilleurs résultats sont dûs à la présence des deux paramètres supplémentaires

du PID fractionnaire. Le tableau (5.1) montre que les paramètres kp, ki et kd sont

augmentés dans le cas d’ordre fractionnaire , ce qui améliore la réponse du système.

0 20 40 60 80 100 120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

FOPIDPID

(a)

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

u(t)

FOPIDPID

(b)

Figure 5.3: La réponse du système F1 : (a) Le signal de sortie, (b) Le signal decommande.

La sensibilité de la fonction coût aux paramètres α et γ est illustrée dans la

Figure (5.5), par l’évolution de la fonction de coût au cours de réglage des paramètres

pour le système F1(s), et dans le tableau (5.2) les différentes valeurs de α et γ sont

présentés. Dans chaque cas, la diminution de l’amplitude de perturbation α et le gain


0 20 40 60 80 100 1200

2

4

6

8

10

12

θ

t

KpKiKd

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

t

Fra

ctio

nal O

rder

s

λµ

(a) (b)

0 20 40 60 80 100 12010

−4

10−3

10−2

10−1

J(θ)

t

PIDFOPID

(c)

Figure 5.4: La fonction de coût et les valeurs des paramètres, F1 :(a) kp, ki et kd(b) les ordres fractionnaires λ, µ (c) la fonction de coût

l’adaptation γ, l’ES converge vers un coût similaire avec un temps de convergence

plus lent. Toutefois, dans les deux cas, le temps de convergence est mieux pour le

PIλDµ d’ordre fractionnaire.

Table 5.2: Les paramètres du régulateur de PIλDµ avec différentes valeurs de α etγ pour F1 .

Paramètres de réglage kp ki kd λ µ

α, γ 3.70 0.1350 8.3000 1.2650 0.9740α/2, γ 3.68 0.1305 8.7353 1.2910 0.9780α, γ/10 3.71 0.1343 8.5104 1.2230 0.9665α/2, γ/10 3.66 0.1289 8.1971 1.2960 0.9892


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45010

−4

10−3

10−2

10−1

J(θ(

k)

Iterations (k)

α,γ PID

α,γ FOPID

α/2,γ/10 FOPID

α/2,γ/10 PID

Figure 5.5: Sensibilité de la fonction coût aux paramètres α et γ pour F1


L’auto-réglage du régulateur PIλDµ basé sur l’approche ES, appliquée a la fonc-

tion du transfert F2 donnée par (5.11), qui possède un temps de retard de 20 sec. Les

paramètres du simulation sont : t0 = 0s to Tf = 200s, α = [0.12, 0.05, 0.05, 0.08, 0.05]T ,

γ = [600, 400, 400, 180, 160]T et ωi = aiπ et le vecteur des paramètres ajuster est :

θ = [kp, ki, kd, λ, µ]T .


respectivement (les mêmes valeurs utilisées pour F1).

Les paramètres du PIλDµ fractionnaire et PID classique, déterminés par la méthode

de réglage ES sont présentés dans le tableau (5.3), pour faire une comparaison.

Table 5.3: Paramètres du PIλDµ et PID avec ES pour la FT F2

Type de régulateur kp ki kd λ µ

PID 1.01 0.0320 7.2215 1 1PIλDµ 0.94 0.0304 5.4509 1.0240 0.9935

Comme pour le premier exemple (cas de petit temps de retard), la figure (5.6)

montre que le régulateur PIλDµ produit une réponse indicielle presque similaire à

celui du PID classique.

Mais quelques améliorations sont apparentes sur le comportement du signal de

commande dans la Figure (5.6-b) qui a évidemment besoin de moins d’énergie et

sur la valeur de fonction coût dans la Figure (5.7-c), qui converge vers une valeur


plus basse, ce qui signifie moins d’erreur entre la consigne et la réponse indicielle.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

PIDFOPID

(a)

0 50 100 150 2000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

t

u(t)

FOPIDPID

(b)

La sensibilité de la fonction coût aux paramètres α et γ illustrée dans la Figure

(5.8), par l’évolution de la fonction de coût au cours de réglage des paramètres pour

le système F1(s), et dans le tableau (5.4). Comme le premier exemple, le taux de

convergence est mieux pour le PIλDµ d’ordre fractionnaire.


Figure 5.7: La fonction de coût et les valeurs des paramètres, F2 : (a) kp, ki et kd ;(b) les ordres fractionnaires λ, µ ; (c) la fonction de coût

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

8

θ

Iterations (k)

KpKiKd

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Fra

ctio

nal O

rder

s

µλ

(a) (b)

0 50 100 150 200

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

J(θ(

k)

t

PIDFOPID

(c)

Table 5.4: Les paramètres du régulateur de PIλDµ avec différentes valeurs de α etγ pour F2 .

Paramètres de réglage kp ki kd λ µ

α, γ 0.94 0.0304 5.4509 1.0240 0.9935α/2, γ 3.68 0.0305 5.7353 1.0291 0.9480α, γ/10 3.71 0.0343 5.8104 1.0223 0.9665α/2, γ/10 3.66 0.0389 6.0900 1.0296 0.9192


L’auto-réglage du régulateur PIλDµ basé sur l’ES, est appliqué a la fonction

du transfert F3 donnée par (5.12), qui possède des pôles multiples. Les paramètres

du simulation sont : t0 = 0s à Tf = 350s, α = [0.051.15, 0.5, 0.01, 0.04]T , γ =



0 50 100 150 200

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

J(θ(

k)

t

α,/2 γ/10 PIDα/2, γ/10 FOPIDα, γ PIDα, γ FOPID

[1000, 2800, 800, 120, 60]T et ωi = aiπ.


respectivement. Les paramètres PIλDµ fractionnaire et PID classique, déterminés

par la méthode de réglage ES sont présentés dans le tableau (5.5), pour faire une

comparaison.


Tuning Method kp ki kd λ µ

PID 0.6840 0.0124 13.3380 1 1PIλDµ 0.8255 0.0152 13.1560 1.0110 0.9968

Table 5.6: Les paramètres du régulateur de PIλDµ avec différentes valeurs de α etγ pour F3

ES Tuning parameters kp ki kd λ µ

α, γ 0.8255 0.0152 13.156 1.0110 0.9968α/2, γ 0.8097 0.0147 13.858 1.0453 0.9720α, γ/10 0.8543 0.0164 14.087 1.0987 0.9645α/2, γ/10 0.9032 0.0187 14.436 1.1296 0.9055

La figure (5.9) montre que la PID fractionnaire produit une réponse indicielle

presque similaire au PID classique. Mais une certaine amélioration peut être touchée

le comportement du signal de commande dans la Figure (5.9)-(b), ce qui évidemment

besoin de moins d’énergie, et sur les valeurs de fonction de coût dans la figure (5.10)-


(c), qui converge vers une valeur plus basse, ce qui signifie moins d’erreur.


0 50 100 150 200 250 300 3500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

PIDFOPID

(a)

0 50 100 150 200 250 300 3500.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

t

u(t)

PIDFOPID

(b)


L’auto-réglage du régulateur PIλDµ basé sur l’ES, est maintenant appliquée a la

fonction du transfert F4 donnée par (5.13), qui possède une phase non minimale. Les

paramètres du simulation sont : t0 = 0s to Tf = 250s. α = [0.25, 0.03, 0.1, 0.025, 0.01]T ,

γ = [2500, 5000, 2500, 460, 250]T et ωi = aiπ et le vecteur des paramètres ajuster est :

θ = [kp, ki, kd, λ, µ]T .


Figure 5.10: La fonction de coût et les valeurs des paramètres, F3 : (a) kp, ki etkd ; (b) les ordres fractionnaires λ, µ ; (c) la fonction de coût

0 50 100 150 200 250 300 3500

5

10

15

20

25

θ

t

KpKiKd

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

t

Fra

ctio

nal O

rder

s

µλ

(a) (b)

0 50 100 150 200 250 300 3500

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3

J(θ)

t

FOPIDPID

(c)


0 50 100 150 200 250 300 3500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

J(θ)

t

α, γ FOPID

α, γ PID

α/2, γ/10 FOPID

α/2, γ/10 PID


respectivement (les mêmes valeurs utilisées pour F4). Les paramètres PIλDµ frac-

tionnaire et PID classique, déterminé par la méthode de réglage ES sont présentés

dans le tableau (5.7), pour faire une comparaison.

La figure (5.12) montre que la PID fractionnaire produit une réponse indicielle

presque similaire à PID classique. Mais une certaine amélioration peut être touchée

le le comportement du signal de commande dans la Figure (5.12)-(b), ce qui a


Tuning Method kp ki kd λ µ

PID 3.35 0.0680 21.4400 1 1PIλDµ 3.88 0.1022 16.3524 0.8940 1.1725


évidemment besoin de moins d’énergie, et sur les valeurs de fonction de coût dans

la figure (5.13)-(c), qui converge vers une valeur plus basse, ce qui signifie moins

d’erreur.

La variation de la fonction de coût au cours du temps, comme représenté dans

les figures 5.13-(c), 5.13-(d) et 5.13-(e), pour différentes valeurs du paramètre de

modulation fréquentiel a (0.2, 0.5 et 0.9 respectivement), converge toujours à une

valeur inférieure dans la cas de commande PIλDµ fractionnaire.

La sensibilité de la fonction coût aux α et γ est illustré dans la figure 5.14,

l’évolution des la fonction de coût au cours ES réglage des paramètres F PID pour

le système F4(s) avec différentes valeurs de α et γ sont présentés dans le tableau(5.8).

Comme dans les exemples précédents, le taux de convergence de la fonction objectif

est mieux pour PIλDµ d’ordre fractionnaire.

Table 5.8: Les paramètres du régulateur de PIλDµ avec différentes valeurs de α etγ pour F4

ES Tuning parameters kp ki kd λ µ

α, γ 3.88 0.1022 16.3524 0.8940 1.1725α/2, γ 3.68 0.1502 16.9873 0.9352 1.1265α, γ/10 3.71 0.1345 16.2924 0.9620 1.1534α/2, γ/10 3.66 0.1809 17.1254 1.0100 1.0294


0 50 100 150 200 250−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

ESFOPID

(a)

0 50 100 150 200 2500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t

u(t)

PIDFOPID

(b)


5.4.5 Discussion des résultats

La recherche d’extrémum utilise des filtres simples avec une modulation par

des signaux sinusoïdaux pour estimer le gradient. Cela rend la méthode de réglage

ES bien difficile à mettre enouvre, mais comme indiqué dans [59] il donne une

meilleure performance par rapport aux autres techniques d’optimisation tels que

Ziegler-Nichols (ZN), internal model controle (IMC) et Iterative feedback tuning

(IFT).

En particulier, dans le cas du régulateur PID fractionnaire traité dans ce travail,


0 50 100 150 200 2500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

θ

t

KpKiKd

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fra

ctio

nal O

rder

s

t

µλ

(a) (b)

0 50 100 150 200 2500

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3

J(θ)

t

FOPIDPID

0 50 100 150 200 2500

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

J(θ)

t

PIDFOPID

(c) (d)

0 50 100 150 200 2501

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3

J(θ)

t

PIDFOPID

(e)

Figure 5.13: La fonction de coût et les valeurs des paramètres, F4 : (a) kp, ki etkd ; (b) les ordres fractionnaires λ, µ ; (c) la fonction de coût

ce qui implique deux paramètres supplémentaires qui sont l’intégrale d’ordre frac-

tionnaire λ et la dérivé fractionnaire µ, cette difficulté est justifiée par une certaine

amélioration dans les signaux de sortie et de contrôle on peut voir sur les figures

(5.3, 5.6), et (5.12), pour les modèles de système différentes.

On doit remarquer que la performance de paramètres de PIλD µ d’ordre fraction-

naire obtenus à partir de l’approche ES est mieux, mais très proche de PID classique

(avec la même méthode de réglage). Cette similitude est attendue puisque les deux

méthodes tentent de minimiser la même fonction de coût [59].


0 50 100 150 200 2500

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3

J(θ)

time

α, γ FOPIDα, γ PIDα/2, γ/10 PIDα/2, γ/10 FOPID


L’amplitude sinusoïdale de perturbation, α, et le gain d’intégration, γ, ont une

influence significative sur la stabilité, la vitesse de convergence, et la solution elle-

même. Et nous avons constaté que l’augmentation de ces paramètres peut augmenter

le taux de convergence, mais déstabiliser le système. En outre, sur la fonction des

trajectoires de coûts présentés dans la figure (5.5), les deux combinaisons de para-

mètres, l’ESFO a été capable d’atteindre le même coût minimum, mais à des taux

de convergence différents. Dans les figures (5.8) et (5.14), le point minimum est pas

la même (diminution de paramètres donnent taux de convergence trop lent), ce qui

peut affecter les performances de régulateur.

Un autre avantage de la technique de réglage proposé qui a également été remar-

qué par la même référence, et est toujours valable dans le cas d’ordre fractionnaire,

est que ES présente une certaine souplesse qui permettent de modifier la fonction

de coût (en utilisant l’intégrale temporelle de l’erreur absolue (ITAE ) et l’intégrale

de l’erreur absolue (IAE) ou l’intégrale temporelle de l’erreur quadratique (ITSE)),

ce qui permet les paramètres PID à retourner chaque fois qu’il est souhaitable de

souligner un aspect différent de la performance. Cependant, la stabilité de l’ES doit

être maintenue pour la nouvelle fonction de coût par le choix des paramètres ES

[59].

5.5 Conclusion 109

5.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons introduit la commande extrémale comme une ap-

proche efficace pour optimiser le réglage des paramètres du régulateurs PIλDµ frac-

tionnaire, celui-ci étant une généralisation du correcteur PID classique avec deux

paramètres complémentaires qui sont l’ordre d’intégration et de dérivation.

Ces derniers, ont été approximés par une fonction rationnelle par la méthode de

Charef. Cette méthode proposée est utilisé, pour faire converger les cinq paramètres

du régulateur PID d’ordre fractionnaire, par la minimisation d’un critère intégral

donné (ISE) qui caractérise le comportement souhaité du système en boucle fermée.

Cette méthode de réglage est démontrée par des systèmes typique, et cherche les

paramètres qui donnent des performances meilleures ou comparables à la méthode

réglage conventionnelle (d’ordre entier). De plus, ES fournit des résultats favorables,

en présence d’actions d’ordre fractionnaire.

La méthode ES donc, a un avantage pour le réglage de PIλDµ fractionnaire. En outre,

la fonction de coût peut être choisie pour refléter les caractéristiques de performance

souhaitées.

Chapitre 6Commande extrémale fractionnaire de

systèmes photovoltaïques

6.1 Introduction 111

6.1 Introduction

Le but de ce chapitre est d’appliquer l’algorithme de commande adaptative extré-

male présenté précédemment dans le chapitre (4), pour suivre le point de puissance

maximale (MPP) dans un système photovoltaïque.

L’algorithme de commande proposé permet au générateur photovoltaïque de suivre

les points de fonctionnement optimaux sous la présence des fluctuations d’irradiation

et du changement de température. Cet algorithme ne nécessite pas la connaissance

du modèle photovoltaïque.

6.2 Modélisation des systèmes photovoltaïques

6.2.1 Modélisation d’une cellule photovoltaïque

La cellule solaire, unité de base d’un panneau solaire photovoltaïque, produit

typiquement une puissance de 1, 3 W pour une surface de 10 cm2. Pour produire

plus de puissance, des cellules solaires identiques sont assemblées pour former un

module solaire (ou panneau photovoltaïque). La mise en série de plusieurs cellules

solaires somme les tensions pour un même courant, tandis que la mise en parallèle

somme les courants en conservant la tension. La plupart des panneaux solaires pho-

tovoltaïques destinés à un usage général sont composés de 36 cellules en silicium

mono ou polycristallin connectées en série pour des applications en 12 V nominale.

Lorsque la jonction est éclairée, elle présente la particularité de pouvoir fonc-

tionner en générateur, en produisant un courant de court-circuit proportionnel à

l’éclairement [41] .

Ce comportement en statique peut être décrit par l’équation électrique suivante :

Ipv = Icc − Isat[exp(Vpv + (IpvRs)

nVt)− 1]− Vpv + (IpvRs)

Rp(6.1)

Avec,

Vt = eTK : représentant le potentiel thermodynamique,

Isat : le courant de saturation (A),

K : la constante de Boltzman (1, 38110− 23 J/K),

T : la température effective des cellules ( K),

6.2 Modélisation des systèmes photovoltaïques 112

e : la charge d’un électron (C),

n : le facteur d’idéalité de la jonction,

Ipv : le courant fourni par la cellule lorsqu’elle fonctionne en générateur (A),

Vpv : la tension aux bornes de cette même cellule (V ),

Icc : le photo-courant de la cellule dépendant de l’éclairement et de la température

(ou bien courant de court circuit) (A),

Rs : la résistance shunt caractérisant les courants de fuite de la jonction (Ω),

Rp : la résistance série représentant les diverses résistances de contacts et de connexions

(Ω).

DIcc

Rs

Rp Vpv

Ipv

Figure 6.1: Schéma équivalent électrique de la cellule photovoltaïque réelle.

6.2.2 Caractéristiques des panneaux photovoltaïques

Le panneau solaire photovoltaïque étant une association de cellules solaires indi-

viduelles, sa caractéristique I(v) est directement liée à la caractéristique de la cellule

solaire de base. De même que pour la cellule, la tension qui est présente lorsqu’il

ne circule aucun courant est appelée tension en circuit ouvert (Voc). A l’opposé, le

courant présent lorsqu’il n’y a aucune tension est appelé courant de court-circuit

(Icc) voir la Figure 6.2.

La meilleure combinaison s’appelle le point de puissance maximale du panneau so-

laire photovoltaïque. La tension et le courant correspondants sont appelés tension à

puissance maximale (Vpmax) et courant à puissance maximale (Ipmax).

Le point de puissance maximale (MPP) d’un panneau solaire se trouve au niveau

du genou de la courbe courant et de tension. La lecture de la fiche technique sur

le panneau nous dit que Vmpp (tension au point de puissance maximale) et Impp


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

1

2

3

4

5

Cou

rant

de

pann

eau

PV

(A

)

Tension de panneau PV (V)

Pmax

Isc

Impp

Vmpp

Voc

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

15

30

45

60

75

Pui

ssan

ce d

e pa

nnea

u P

V (

W)

Figure 6.2: Caractéristiques I(V) et P(V) d’un panneau photovoltaïque.

(courant au point de puissance maximale), en localisant le point de ces deux valeurs

d’intersection, on peut voir que le MPP est au niveau du genou de la courbe.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

20

40

60

80

Tension du pannnau (V)

Piu

ssan

ce d

e P

V (

W) 1000W/m2,25°C

800W/m2,25°C

600W/m2,25°C

400W/m2,25°C

200W/m2,25°C

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

1

2

3

4

5

Cou

rran

t de

PV

(A

) 1000W/m2, 25°C

1000W/m2, 30°C

1000W/m2, 35°C

1000W/m2, 40°C

1000W/m2, 45°C

Figure 6.3: Effet de la température et de l’éclairement sur le panneau photovol-taïque.

La figure (6.3) illustre également que la variation de tension est moins par rapport

au courant, mais avec différentes éclairement,

Mais le courant varie de façon linéaire avec l’intensité solaire. La température

affecte également la puissance de sortie du panneau et le courant augmente légère-

ment avec une augmentation de la température, alors que la tension diminue avec

l’augmentation de la température. Lorsque la tension est affectée par la température


plus que le courant, les calculs de tension doivent être considérés, lorsque de grands

chaînes des panneaux sont utilisés pour assurer que le système répond aux exigences

utilisés.

6.2.3 Modèle de convertisseur DC/DC

Le problème de la poursuite de puissance photovoltaïque maximale (MPPT est

utilisé pour commander la tension d’entrée par la variation du rapport cyclique du

convertisseur type boost (un convertisseur DC/DC élévateur), où le module PV

délivre une puissance maximale. Cela, pour compenser le décalage entre la charge

et le point de fonctionnement à puissance maximale du module PV. la configuration

de base du convertisseur élévateur est représenté sur la figure (6.4). Lorsque l’inter-

rupteur est à l’état «off», l’énergie solaire est transférée à la capacité de stockage

de sortie par l’inductance de boost. la variation de temps de commutation peut ré-

guler la tension d’entrée et du courant. Pendant le temps d’arrêt toff et le temps

de fonctionnement ton, le flux du courant dans l’inductance L peut être exprimée

comme.

Load

+

-

iV 0VSwitch

LI

L

D

+

-

0I

PWM

Figure 6.4: Le schéma de base du convertisseur boost.

DuredeTon : Imax − Imin =(

V0−Vi

L

)

toff

DuredeToff : Imax − Imin ==(

Vi

L

)

ton(6.2)

Le rapport cyclique du signal de commande est défini comme suit : D =Toff

Ton−Toff.

En éliminant la différence Imax − Imin, la tension de sortie V0 peut être exprimée

comme suit : V0 = Vi

(

Ton+Toff

Toff

)

= Vi

1−D.

6.3 Poursuite du PPM par la commande extrémale d’ordre fractionnaire 115

Du système global, comme le montre la figure (6.5), constitué des principaux com-

posants suivants : le panneau photovoltaïque, qui génère de l’énergie directement à

partir du rayonnement solaire, le convertisseur élévateur, dont l’interrupteur est ac-

tionné par le schéma de commande proposé FOES. En raison de la première priorité

de la commande de convertisseur type boost est suivi MPP, la stratégie de commande

dans cette étude est basée sur l’augmentation de niveau de la tension de sortie du

système PV, ainsi que maximiser l’exploitation de la puissance de générateur PV.

La sortie du système PV, la tension et de courant mesurés sont formés comme

des entrées pour l’algorithme FOES, et considérés en tant que fonction inconnue

g(y) = P = I.V .

ConvertisseurDC/DC

PanneauPV

CommandeMPPT

Charge

Signale de commande

iV0V

iI 0I

Figure 6.5: L’ensemble du système : panneau PV, convertisseur de Boost, le contrô-leur (FOES) et de la charge.

6.3 Poursuite du PPM par la commande extrémale

d’ordre fractionnaire

Les commandes MPPT basées sur la maximisation de la puissance de sortie sont

principalement utilisées quand la charge du générateur photovoltaïque est une bat-

terie. II y a un certain nombre de commandes MPPT qui effectuent une recherche

du point de puissance maximale selon révolution de la puissance fournie par le géné-

rateur photovoltaïque. La commande MPPT extrémale est basée sur cette technique

qui est décrite dans le chapitre (3).

Ainsi, dans la littérature, on retrouve différents types d’algorithmes basés sur des

commandes extrémales (dans la littérature nommé Extremum Seeking) Ces algo-

6.4 Résultats et discussion 116

rithmes utilisent la valeur de la puissance fournie par le générateur photovoltaïque

pour l’application d’une action de contrôle adéquate pour le suivi du point de puis-

sance maximale. Ces commandes ont comme avantages leurs précisions et leur rapi-

dité de réaction.

Plusieurs commande des systèmes photovoltaïques développées ces dernières an-

nées sont toutes basées sur le principe de la commande extrémale. Ce type de com-

mande se base sur la recherche d’un extrême d’un paramètre ou d’une variable

physique d’un système par la variation ou la perturbation d’un paramètre d’entrée

de ce système.

Dans le cas particulier d’un générateur photovoltaïque, une commande MPPT

extrémale d’ordre fractionnaire oblige le point de fonctionnement du générateur

photovoltaïque à se rapprocher du point de puissance maximale et à osciller autour

de lui d’une façon stable.

La commande MPPT extrémale est appliquée dans ce contexte à la recherche

du point de puissance maximale d’un générateur photovoltaïque portant sur un

comportement en régime établi caractérisé par une oscillation autour du point de

puissance maximale. L’algorithme fait évoluer les valeurs des tensions et des courants

du générateur photovoltaïque vers le point de puissance maximale par une variation

positive ou négative de la tension du générateur photovoltaïque (VPV ) au cours du

temps.

6.4 Résultats et discussion

Le système photovoltaïque représenté sur la figure (6.5) est constitué d’un pan-

neau 75 Watts PV dont les spécifications sont indiquées dans les tableaux (6.1) et

(6.2), alors que les paramètres du régime de contrôle sont représentés dans le ta-

bleau (6.3). Le système est simulé en utilisant le logiciel Matlab/Simulink comme

représenté sur la figure (6.6).

La méthode proposée est mise en oeuvre dans l’environnement de logiciel en

les résultats obtenus du système de commande proposé sont comparés à ceux du

système de commande avec le procédé classique.

La figure (6.7) montre les sorties de puissance simulée du panneau photovol-


Extremum Seeking

(u(1)*u(2))

g(y)

y_out

To Workspace

25

Temperature

Extrmum Seeking

G

T

Ipv

Vpv

PV module

Isofoton, IS_ 75/12

PV Panel

[tsii Gss]

Irradiation Data

Vout

theta

Ipv

Ppv

Vpv

PWM

theta

Ppv

Vpv

Ipv

Ipv

PWM

Vout

Vpv

Display

0

1Band-LimitedWhite Noise

Vpv

PWM

Vout

Ipv 1

BOOST

Figure 6.6: Présentation de l’ensemble du système dans Matlab/Simulink.

taïque, qui est donnée par l’équation ((6.1)) pour différentes valeurs de l’ordre frac-

tionnaire utilisant le schéma de commande extrémale d’ordre fractionnaire proposé.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

10

20

30

40

50

60

70

80

t (sec)

puis

sanc

e P

pv

λ =1

λ =0.9

λ =0.8

λ =0.76

λ =0.6

λ =0.4

λ =0.3

Figure 6.7: La puissance de panneau PV pour différentes valeurs de l’ordre frac-tionnaire λ.

A partir de la figure (6.7), nous pouvons facilement voir que l’action intégrale

d’ordre fractionnaire λ, a un impact sur les performances de la stratégie de com-


mande FOES proposé en termes de taux de convergence du MPPT pour les mêmes

conditions de température et d’ensoleillement. Nous pouvons également noter l’amé-

lioration substantielle de la réponse de puissance pour différentes valeurs de l’action

intégrale d’ordre fractionnaire par rapport au cas classique entier lorsque λ = 1 . Un

autre avantage remarquable de la stratégie de commande FOES est que la puissance

du panneau PPV est maintenue à sa valeur optimale après la phase de convergence

pour toutes les valeurs de commande fractionnaires comme on peut le voir sur la

Figure (6.8) pour les différents sorties du système.

0 0.02 0.04 0.060

20

40

60

80

t (sec)

Ppv

0 5 10 15 20 250

20

40

60

80

Vpv

Ppv

0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

5

10

15

20

t (sec)

Vpv

0 0.02 0.04 0.060

1

2

3

4

5

t (sec)

I pv

λ=1 λ=0.9 λ==0.8 λ==0.76 λ=0.4 λ==0.3

Figure 6.8: Les sorties du panneau PV pour différentes valeurs de l’ordre fraction-naire λ.

Maintenant, pour obtenir la meilleure action intégrale ordre fractionnaire λ en

termes de minimisation de l’erreur entre la puissance de sortie y et la valeur maximale

de puissance ym, on considère le critère d’erreur quadratique donnée par :

Jλ =

Nω∑

k=0

(y(k∆)− ym(k∆))2 (6.3)

Le critère est obtenu lorsque λ est varié de 0.3 à 1, où Nω est la largeur de

la fenêtre de temporel du simulation, et ∆ est la fréquence d’échantillonnage dans

le temps. La figure (6.9) montre le tracé de l’erreur quadratique Jλ en fonction


de l’ordre fractionnaire λ. D’après la figure (6.9), la plus petite erreur quadratique

correspond au paramètre λ = 0.76.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,76 0,8 0,9 10.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

λ

Jλ

Figure 6.9: Le critères quadratique d’erreur en fonction de l’ordre fractionnaire λ.

Pour la valeur fractionnaire λ = 0.76 particulier dans la commande FOES, le

trackeur du MPP converge en environ 0.015 sec, alors que pour le contrôleur basé

sur ESC d’ordre entier modifiée [82] le temps de convergence du MPP est d’environ

0.02 sec comme illustré dans la figure (6.10).

0 0.02 0.04 0.060

20

40

60

80

time (sec)

Ppv

0 5 10 15 200

20

40

60

80

Vpv

Ppv

0 0.02 0.04 0.0612

14

16

18

20

22

time (sec)

Vpv

0 0.02 0.04 0.060

1

2

3

4

5

time (sec)

I pv

Figure 6.10: Les sorties PV photovoltaïque pour la valeur «optimale» d’ordre frac-tionnaire : λ = 0, 76.


On peut noter que pour la plupart des approches fondées sur les ESC classiques

existants (voir par exemple [82]), une atténuation de perturbation survient lorsque

le système MPPT commence, mais cette atténuation est largement améliorée avec la

technique FOES pour la plupart du paramètre d’ordre fractionnaire et complètement

éliminé pour certaines autres valeurs telles λ = 0.76.

Ce fait illustre la robustesse de la stratégie de commande d’ordre fractionnaire

proposé par rapport à celles classiques. Toutefois, la chute de la puissance dans les

figures (6.7) et (6.8) se produit pour les petites valeurs de l’ordre fractionnaire λ (λ =

0.3), qui est causée par la petite action intégrale d’ordre fractionnaire insuffisant.

Le résultat principal et la contribution de l’approche ESFO proposé, est d’amé-

liorer le temps de réponse et la robustesse de la puissance de sortie de panneau PV

en présence de perturbations, en raison de changements de conditions environne-

mentales, et les bruits de mesure dans le schéma de commande ES présentés dans

la figure (6.6).

En effet, cette amélioration de robustesse est avantageuse surtout, en raison du

fait que les systèmes de commande fractionnaire et les opérateurs d’ordre fraction-

naire sont des processus à mémoire long agissant comme des filtres efficaces contre

les perturbations et les bruits additifs.

L’algorithme ESFO proposé est également capable de réduire le gain de com-

mande et des oscillations autour de la MPP.

Réponse à un scénario d’irradiance expérimentale

Pour démontrer l’efficacité de la méthode proposée. On simule le système dans

les conditions réelles, en prend des données expérimentales de rayonnement solaire,

présentées dans la figure (6.11(a)).

Ces données ont été mesurées sur le toit de la station de météorologie à l’unité

de recherche (URERMS) Adrar, en Algérie. Nous avons examiné deux cas dans ce

scénario. Dans le premier cas, l’irradiation est presque constante autour d’une valeur

bien déterminée égale à 930 (W/m2), et dans le second scénario l’irradiation a des

changements rapide.

Figue (6.11(b)) donne une vue détaillée de 30 min d’éclairement du 13h22-13h52


6 8 10 12 14 16 18 200

200

400

600

800

1000

1200

t (h)

Irra

diat

ion

(w/m

2 )

Fixed scenario

Varied scenario

(a)

0 5 10 15 20 25 30750

800

850

900

950

1000

1050

t (min)

Irra

diat

ion

(w/m

2 )

(b)

Figure 6.11: (a) Données d’éclairement pour une journée (le 23 Février 2011) al’unité de recherche, URERMS . (b) Données d’irradiance de 30 min (13h22-13h52AM) de même jour.

AM, le 23 Février, 2011. Cette courte période est choisie parce qu’elle comprend

des changements rapides et permettre évaluer l’approche de commande pour cette

entrée.

La figure (6.12) montre les résultats de MPPT pour différentes valeurs de l’ordre

fractionnaire λ, pour un scénario d’éclairement fixe. La méthode FOES permet de


suivre avec précision le point de puissance maximale MPP plus rapidement que

l’approche classique ES (λ = 1). Considérant que, la figure (6.13) illustre la réponse

de l’approche FOES proposé pour un scénario d’éclairement variant dans le temps.

La commande FOES suit le MPP avec des performances meilleurs que l’approche

classique.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

10

20

30

40

50

60

70

80

time (sec)

Pow

er P

V

ES Conventional λ=1

ES−FRO λ=0.8

ES−FRO λ=0.76

Figure 6.12: MPPT basée sur la méthode proposée (FOES) pour un scénario fixe

Nous pouvons voir que le choix de cet ordre fractionnaire λ est essentiel dans

l’approche proposée, comme nous remarquons que les valeurs très voisines de λ

mènent le système à des comportements différents (un résultat plus mauvais que la

valeur «optimale», λ = 0, 76 dans les résultats de simulation , ce qui concerne le

temps de convergence et la stabilité, de la puissance souhaitée maximale).

Ce fait est un avantage important de la commande proposée, qui ne dépend pas

des paramètres du système PV (considéré comme une fonction inconnue, comme

indiqué dans le chapitre (4) à la section (4.4.3)), mais sur la valeur réelle de l’inté-

grateur ordre fractionnaire λ dans le système de contrôle, nous offrant un nouveau

paramètre de réglage et un degré de liberté supplémentaire pour l’amélioration de

la performance de base de MPPT-ES classique.


0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

ESFO λ=1

ESFO λ=0.8

ESFO λ= 0.76

ESFO λ=0.6

Figure 6.13: MPPT basée sur la méthode proposée (FOES) pour un scénario va-riable (réel)

Table 6.1: Caractéristiques électriques du module PV ISOFOTON 75I-12, selon lafiche technique.

Paramètre de spécification ValeurPuissance maximale, Pmax 75 W +/− 10%

Tension à la puissance maximale , Vmpp 17,3 VCourant à la puissance maximale, Impp 4.34 A

Tension en circuit ouvert, Voc 21,6 VCourant de court-circuit, Ioc 4.67 A

Coefficient de température du Isc , κIsc 0.065± 0.015%/ CCoefficient de température du Voc , κVoc

−160± 20 mV/ CRendement de panneau, ηPV 11.2%

NOCT 47± 2 C

Table 6.2: Paramètres du Module PV ISOFOTON 75I-12.Paramètre Description Valeur

ncell Nombre de cellules photovoltaïques montés en série 36Rp Résistance série 0.24 ΩRp Résistance parallèle 670 Ωη facteur d’idéalité 1.3

6.5 Conclusion 124

Table 6.3: Paramètres de la commande extrémale.Paramètre Description Valeur

k1 Mise à jour du gain de gradient 1 4k2 Mise à jour du gain de gradient 2 2M Saturation Max/Min ±0.2

6.5 Conclusion

Ce chapitre présente l’application de la commande extrémale d’ordre fraction-

naire sur le système photovoltaïque, pour atteindre le point maximum de puissance

optimale. L’introduction de l’opérateur fractionnaire, à la commande extrémale sert

à améliorer les résultats de système, en approchant du point optimal. Les paramètres

de l’algorithme proposé, sont auto-ajustables, de tel sorte que le système de com-

mande devient capable de réduire le gain de commande et le niveau d’oscillation

autour du MPP, et améliorer l’efficacité du système de contrôle.

Nous montrons que l’algorithme FOES proposé converge vers l’optimum plus rapi-

dement que pour l’approche classique (l’ordre entier) et les résultats des simulations

numériques montrent l’efficacité du système à trouver l’optimum global avec succès

dans divers cas.

Le schéma de contrôle proposé est meilleure que celui de l’ES classique, parce qu’il

offre un paramètre de réglage supplémentaire qui est l’opérateur d’ordre fraction-

naire, permettant plus de performance et robustesse contre les perturbations et le

bruit.

Conclusion Générale et Perspectives

Conclusion Générale

L’objectif de ce travail de recherche était d’étendre l’application de la commande

adaptative, par l’introduction des opérateurs d’ordre fractionnaire, et d’élargir cette

théorie de commande naissante, en ouvrant de nouveaux horizons pour le dévelop-

pement de la commande adaptative. Pour cela, nous avons développé et appliqué

un algorithme original de commande adaptative extrémale d’ordre fractionnaire en

deux façons différent.

Cette thèse peut se décomposer en deux travaux principaux :

– Introduire les opérateurs fractionnaires sur une approche de commande adap-

tative appelée « Extremum Seeking Control ».

– Proposer un algorithme d’auto-réglage des paramètres du régulateur PIλDµ

par l’approche adaptative extrémale.

Dans le premier travail nos contributions apparaissent à partir du troisième cha-

pitre par l’introduction des opérateurs d’ordre fractionnaire dans le schéma de com-

mande extrêmale (ESC). Nous avons alors, voulu immerger des opérateurs d’ordre

fractionnaire dans la structure du régulateur adaptatif extrémal.

En effet, l’intégration d’ordre fractionnaire permettent d’augmenter la rapidité de

convergence de l’algorithme, et agissent dans la boucle de commande comme des

filtres qui diminuent l’effet des bruits et les fluctuations des signaux de perturba-

tion. C’est ainsi que nous avons proposé un nouveau schéma de commande adapta-

6.5 Conclusion 126

tive d’ordre fractionnaire : par l’introduction d’une intégration d’ordre fractionnaire

dans la loi de commande ESC.

Nous avons pu montrer par des exemples de simulation que l’ordre λ de l’intégration

agit comme un nouveau paramètre de réglage, permettant d’améliorer le compor-

tement du processus et d’élargir le domaine de stabilité en réduisant l’amplitude

nécessaire du gain d’adaptation γ.

Des résultats de simulation ont également confirmé que l’utilisation de la méthode

ES avec optimisation de l’opérateur fractionnaire résulte en un meilleur résultat

du point de vu performance et réduit significativement le temps de convergence à

l’optimum.

Le deuxième travail consiste à utiliser le même principe de recherche d’extrêmum

mais d’une façonne différente. Nous proposons de généraliser une méthode classique

de réglage PIλDµ basée sur l’approche Extremum Seeking (ES), en employant la

dérivée et l’intégrale d’ordre fractionnaire dans la stratégie de commande pour le

réglage des paramètres de régulateur PIλDµ, afin d’atteindre des performances op-

timales.

L’ES est une méthode qui ne se base pas sur le modèle du système pour le réglage

en ligne des paramètres en minimisant une fonction coût qui soit le reflet de la per-

formance du régulateur.

Nous sommes donc arrivés à la conclusion que la nouvelle commande adaptative

extrémale d’ordre fractionnaire était la mieux indiquée pour la commande d’un sys-

tème dynamique à paramètres variables. Toutes les simulations ont été effectuées à

partir du logiciel Simulink de Matlab.

Perspectives ...

Les perspectives de ce travail sont très prometteuses et pourrait donner lieu à

des études complémentaires dans plusieurs directions :

– Généraliser les résultats obtenus au cas des systèmes multi-variables (MIMO).

– Proposer d’autres schémas pour la commande extrémale d’ordre fractionnaire

basée sur d’autres approches classiques.

– Étudier l’application des algorithmes proposés à des processus d’ordre frac-

6.5 Conclusion 127

tionnaire.

– Implémentation des algorithmes de commande proposée sur des systèmes réels,

notamment pour l’application sur les systèmes photovoltaïques.

Bibliographie

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Thèse - univ-skikda.dzbibliotheque.univ-skikda.dz/d/elect/necaibia ammar.pdf · 2016-12-11 · Ammar NEÇAIBIA THEME Contribution à la commande PIλDµ adaptative et aux régulateurs