Numéro d'ordre : 489Numéro attribué par la bibliothèque : 07ENSL0489

THÈSEen vue d'obtenir le grade de

Docteur de l'Univérsité de Lyon - École Normale Supérieure de Lyon

spécialité : physiqueLaboratoire de Physique

École doctorale de physique et d'astrophysique

présentée et soutenue le 14 novembre 2008par Monsieur Raphaël Chetrite

Titre :Grandes déviations et relations de uctuation dans certains

modèles de systèmes hors d'équilibre

Directeur de thèse : Monsieur Krzysztof GawedzkiAprès avis de : Monsieur Jorge Kurchan, membre et rapporteur

Monsieur Christian Maes, membre et rapporteur

Devant la commission formée de :Monsieur Stephane Attal, membreMonsieur Sergio Ciliberto, membreMonsieur Francois Delduc, membreMonsieur Krzysztof Gawedzki, membreMonsieur Jorge Kurchan, membre/rapporteurMonsieur Christian Maes, membre/rapporteur

Le but unique de la sciencec'est l'honneur de l'esprit humain.Carl G.J. Jacobi (1804-1851).

A mes parents, pour tout l'amour qu'ils m'ontdonné, et à Shanah ma petite princesse

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Remerciements Mes remerciements sont en premier lieu destinés à mon directeur de thèse,Krzysztof Gawedzki. Ma collaboration avec Krzysztof a commencé dès ma deuxième année à l'écoleavec un stage d'été sur la théorie conforme. Krzysztof est pour moi le José Mourinho de la physiquemathématique ; j'ai beaucoup appris en côtoyant sa très haute qualité scientique, son exigence etson intégrité. Je remercie aussi François Delduc, qui a également joué un rôle important dans maformation scientique, ainsi que Jérémie Bec de l'observatoire de Nice avec qui j'ai collaboré. Enn,je remercie ma famille, Audrey, tous mes amis, les membres du laboratoire de physique de l'ENSLyon ainsi que les membres du jury.

Fig. 1 Krzysztof Gawedzki

Krzysztof Gawedzki est né en Pologne en 1947. Il a ef-

fectué une grande partie de sa carrière à l'IHES avant de

rejoindre l'ENS Lyon.

Ils se contentent de tuer le tempsen attendant que le temps les tue.Simone de Beauvoir.

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Table des matières

1 INTRODUCTION EN IMAGES ET EN HISTOIRES 6

2 RELATIONS DE FLUCTUATION 182.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Processus markovien a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Processus Markovien discontinus ou de saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Processus markovien continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Relations de uctuation pour les chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Elements de théorie des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Approche pédestre d'une relation de Jarzynski-Hatano-Sasa. . . . . . . . . . . 262.3.3 Chaîne de Markov renversée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4 Relations de uctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.5 Interprétation entropique des fonctionnelles W et J : . . . . . . . . . . . . . . 352.3.6 Applications aux diérents type d'inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.7 Exemple de la chaîne de Markov-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.8 Relation de Gallavotti-Cohen pour les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . 422.3.9 Réponse linéaire et relation de Green-Kubo pour les chaînes de Markov . . . 43

2.4 Exemple explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.1 Entropie en excès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.2 Entropie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6 Article 1 [45] : Fluctuation Relations For Diusion Processes. . . . . . . . . . . . . . 522.7 Article 2 [42] : Fluctuation Relations For Semiclassical Single-Mode Laser. . . . . . . 103

3 GÉNÉRALISATION DES THÉORÈMES DE FLUCTUATION-DISSIPATION ET DE GREEN-KUBO POUR UN PROCES-SUS MARKOVIEN ARBITRAIRE 1153.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Etat stationnaire hors d'équilibre (NESS) pour un processus diusifs. . . . . . . . . . 1173.3 Généralisation du théorème de uctuation-dissipation et des relations de Green-Kubo 117

3.3.1 Théoreme de uctuation-dissipation généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.3.2 Théorème de uctuation-dissipation modié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4 Perturbation du terme de dérive d'un processus diusif . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.4.1 Cas d'une perturbation sous la forme : Oat = d

2∇gat −Π∇hat . . . . . . . . . . 1253.4.2 Cas d'une perturbation sous la forme (3.53) avec h = g . . . . . . . . . . . . . 1273.4.3 Dynamique de Langevin ([44]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.5 Perturbation du terme de bruit d'un processus diusif . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.5.1 Cas autour de l'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.5.2 Cas de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

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3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7 Article 3 [44] : Fluctuation relations in simple exemples of non-equilibrium steady states134

4 TRANSPORT DE PARTICULES DANS UN ÉCOULEMENTALÉATOIRE 1604.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.2 Écoulement turbulent comme un système dynamique aléatoire . . . . . . . . . . . . . 161

4.2.1 L'équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.2.2 Le transport turbulent de particules et de champs . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.3 Théorie ergodique multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.3.1 Mesure invariante naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.3.2 Flot tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.3.3 Exposants d'étirement à grand temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4 Particules dans un champ lisse de Kraichnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.4.1 Particules lagrangiennes et ot tangent dans le modèle de Kraichnan . . . . . 1704.4.2 Grandes déviations multiplicatives dans le modèle de Kraichnan . . . . . . . . 1714.4.3 Particules massives dans le modèle de Kraichnan homogène . . . . . . . . . . 172

4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.6 Article 4 [43] : Kraichnan ow in a square : an example of integrable chaos . . . . . . 1754.7 Article 5 [16] : Toward a phenomenological approach to the clustering of heavy par-

ticles in turbulent ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5 CONCLUSION GÉNÉRALE 229

5

Chapitre 1

INTRODUCTION EN IMAGES ET EN HISTOIRES

Les sources des biographies qui suivent sont variées, de Wikipédia àdivers articles scientiques et de vulgarisation.

Une goutte d'encre versée dans un verre d'eau, la réalisation d'une mayonnaise, une assiette qui tombeet se casse, la dissolution d'un morceau de sucre dans une tasse de café... il est facile pour chacunde tirer de son expérience quotidienne une idée intuitive de ce que peut être un phénomène horsd'équilibre. Globalement, si on lme l'évolution d'un tel système, notre sens commun est interpelléquand le lm nous est projeté à l'envers. En eet, on ne voit jamais des morceaux d'assiette sesoulever du sol pour bondir sur la table en formant une assiette complète ou un morceau de sucredissous se reconstituer. L'être humain lui même fournit un bel exemple d'un tel système, il vieillitmais ne peut rajeunir, il connaît son passé mais pas son futur. Tous ces exemples le montrent,une évolution dans un certain sens est autorisée par la nature mais l'évolution en sens inverse estinterdite. On parle d'irréversibilité ou èche du temps. A contrario, il existe des phénomènes qui nenous apparaissent pas contre-intuitifs si on les examine projetés a l'envers. C'est le cas par exempled'un pendule non amorti, ou d'un solide dans un champ de force gravitationnelle constant. On ditque ce sont des phénomènes réversibles. Il se trouve en fait, qu'au niveau microscopique, aussi bienles lois de la mécanique classique que de la mécanique quantique sont réversibles. L'un des grandsparadigmes de la physique est le paradoxe de l'irréversibilité : comment passe t'on d'un mondemicroscopique réversible à un monde macroscopique irréversible.

Les systèmes précités peuvent être en général découpés en un grand nombre de constituantsélémentaires, par exemple une assiette est un assemblage de milliard de milliard de milliard demolécules (∼ 1027). Il devient premièrement impossible d'étudier individuellement chaque briqueélémentaire, mais en plus une telle étude ne reéterait que peu l'évolution de l'assiette dans sonensemble. Une molécule de l'assiette détruite en petits bouts est dans un état quasi-identique àune molécule de l'assiette intacte. On préfère alors opérer en une démarche statistique en calculantdes comportements moyens de ces constituants, par exemple pour l'assiette, la distance moyenneentre deux molécules, et on appelle physique statistique la branche qui étudie de tels systèmes àtrès grand nombre de constituants. On peut aussi remarquer que l'apparition de probabilité dans unsystème déterministe est naturellement opérée par le chaos déterministe, mécanisme qui transforme ledéterminisme en hasard et qui a été découvert par Poincaré a la n du 19 ème siècle puis redécouvertpar Lorenz [149] en 1963 avec son célèbre eet papillon. Réciproquement, la loi des grands nombrestransforme le hasard en déterminisme, de sorte que du déterminisme ou du hasard, chacun peut êtrela cause première de l'autre.

Nous sommes maintenant en mesure de dénir l'objet de la physique statistique hors d'équilibre :c'est la science qui a pour objet de donner une description statistique de systèmes irréversibles.

Nous allons débuter par une description des grandes étapes du développement de la physiquestatistique hors d'équilibre. Historiquement, les premières descriptions mathématiques d'un phéno-mène hors d'équilibre furent les équations de la dynamique des uides par Euler puis Laplace au

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18 ème siècle. Il fallut cependant attendre le 19 ème siècle et les équations de Navier-Stokes pourdisposer d'une théorie complète décrivant les mouvements macroscopiques des uides. C'est aussiau début du 19 ème siècle que Fourier [80] établit l'équation de la chaleur décrivant les transportsthermiques. Parallèlement, dès le milieu du 18 ème siècle, on commença à penser que les gaz, lesliquides et les solides étaient constitués de particules très petites, appelées molécules. C'est ainsique Bernoulli [18] en 1738 comprit sans peine que leurs chocs sur les parois d'un récipient étaient àl'origine de la pression exercée par les gaz. Il en déduisit immédiatement la loi de Mariotte, à savoirque à masse de gaz constante, le produit PV de la pression et du volume du gaz ne dépend quede la température. En 1823, un botaniste anglais du nom de Brown découvre1 sous son microscopel'aspect très erratique du mouvement de petites particules de pollen en suspension dans l'eau.

Fig. 1.1 Robert Brown

Robert Brown (1773-1858) est né en Ecosse, à Montrose, le 21 décembre 1773

d'un père pasteur épiscopalien. Il fut éduqué au Marischal College d'Aberdeen, puis

étudia la médecine à l'Université d'Edimbourg. En 1795, il est nommé Enseigne et

Aide-Chirurgien dans l'armée britannique et aecté en Irlande. Il est ensuite aecté

à Londres en 1798 où il rencontre un éminent botaniste, Sir Joseph Banks, qui le

convainc de participer, comme botaniste, à une expédition en Australie. Il partira

en 1801 pour revenir en 1805 avec une vaste collection de végétaux inconnus en

Europe. De 1806 à 1822, Robert Brown sert comme Bibliothécaire, Secrétaire et

Gardien de la société Linné de Londres. Il parviendra à trouver un accord avec le

British Museum pour qu' y soit transférés les spécimens de la collection privée de

Banks et qu'il en soit le curator. En 1810, Robert Brown est élu Fellow de la Royal

Society, puis, en 1822, Fellow de la société Linné de Londres, société qu'il présidera

nalement entre 1849 et 1853. Il meurt à Londres, le 10 juin 1858. Source : The

Microscope, 40 (4) : 1992.

L'observation requiert de déposer ces particules sur une goutte d'eau connée entre deux lamesde verre. Très vite la question se posa de savoir si ce mouvement était dû au caractère vivantdes particules de pollen. Le génie de Brown fut de mettre en doute cette hypothèse et pour s'enconvaincre, d'examiner des molécules de pollen qui avaient été conservées durant 11 mois dans unesolution alcoolisée. Il constata que le même mouvement se déroulait, alors qu'il n'y avait aucun douteque ce pollen était mort. Pour une présentation historique détaillée du mouvement brownien, onpourra consulter [56]. En 1824, Sadi Carnot [38] remarqua que la transformation par les frottementsd'énergie mécanique en chaleur est irréversible dans le sens qu'il n'existe pas de machine thermiquequi pourra retransformer intégralement cette chaleur en mouvement.

1En faite, il semble qu'un médecin hollandais, Jan Ingenhousz avait noté dés 1785 le mouvement irrégulier de lapoudre de charbon de bois à la surface d'une solution alcoolique.

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Fig. 1.2 Nicolas SadiCarnot

Nicolas Sadi Carnot (1796-1832), physicien et ingénieur militaire français,

considéré comme le créateur de la science thermodynamique. Fils aîné de Lazare

Carnot, surnommé le Grand Carnot, Sadi t ses études à l'Ecole Polytechnique.

En 1824, il décrivit sa conception du moteur à chaleur idéale, appelé moteur Car-

not, dans lequel toute l'énergie disponible est utilisée. Il découvrit que la chaleur

ne pouvait passer d'un corps froid à un corps plus chaud, et que le rendement d'un

moteur dépendait de la quantité de chaleur qu'il était capable d'utiliser.

Rudolph Clausius introduisit alors le concept de l'entropie qui est une grandeur associée à l'étatmacroscopique du système. En langage mathématique, on dit que c'est une fonction de l'état ma-croscopique.

Fig. 1.3 Rudolph Clau-sius

Rudolph Clausius (1822-1888), est l'un des plus grand physiciens du 19 ième

siècle. Le premier, ce savant allemand formula ce qu'on a coutume d'appeler le

deuxième principe et proposa une dénition claire de l'entropie. Né à Köslin, en

Poméranie, Clausius fréquenta les universités de Berlin, puis de Halle dont il sortit

diplomé en 1848. Il fut titulaire de la chaire de physique de l'École Royale d'ar-

tillerie et du génie à Berlin(1850-1855), de l'Univérsité et l'École polytechnique de

Zürich(1855-1867), de l'université de Wörzburg (1867-1869) et enn de celle de

Bonn de 1869 à sa mort.

L'entropie permet d'exprimer l'irréversibilité sous une forme quantitative : le second principe dela thermodynamique. Ce principe arme que l'entropie d'un système isolé ne peut jamais diminuer.Clausius est aussi celui qui remit l'hypothèse moléculaire à l'ordre du jour dans les années 1855-1865 [48]. En s'appuyant sur les résultats expérimentaux obtenus par Lesage, Herapath [113], Joule[126] et Regnault sur les propriétés thermodynamiques des gaz, il comprit que les molécules ne semeuvent pas longtemps en ligne droite, mais subissent de nombreux chocs, de sorte qu'il fut amenéà dénir la notion de libre parcours moyen et de temps de collision entre deux chocs. Cependant,il attribuait aux molécules une vitesse unique, tributaire de la température. C'est Maxwell, vers1865 [161, 162, 163, 164, 165] qui comprit qu'il fallait leur attribuer des vitesses diérentes, maisstatistiquement distribuées.

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Fig. 1.4 James ClerkMaxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879). Né à Edimbourg, il publie son premier ar-

ticle à l'age de 15 ans. Il entre l'année suivante à l'université d'Edimbourg, puis à

Cambridge en 1850. Il sera diplomé à Trinity Collége en 1855. Professeur à Aber-

deen entre 1856 et 1859, il se marie en 1858. Il est alors nommé au King's college

en 1860, mais s'éloigne de Londres pour vivre en Ecosse dans la maison paternelle

entre 1865 et 1871. Il est alors appelé à Cambridge pour fonder le Cavendish La-

boratory of Physics qui sera inauguré en 1874. Il instillera à ce laboratoire l'ésprit

qui en t un des foyers les plus actifs en Physique jusqu'a nos jours. Il meurt le 5

novembre 1879 à l'age de 48 ans, laissant dérrière lui une oeuvre de toute première

importance en Electromagnétisme et en Thermodynamique.

Fig. 1.5 Démon de Maxwell

Il comprend aussi le premier la nature statistique du secondprincipe montrant qu'il ne serait pas fondé si les molécules étaientindividuellement triées, par exemple selon leur vitesse, par unagent conscient : le célèbre démon de Maxwell de sa Gedan-kenexperiment. C'est enn Maxwell qui impose le nom statis-tical mechanics à ce nouveau domaine. En 1872, Boltzmann[27] pousse ces idées en posant les bases de la théorie cinétiquedes gaz. Il propose une équation d'évolution, appelée mainte-nant équation de Bolzmann, pour la probabilité de trouver uneparticule de vitesse donnée en un point de l'espace donné. Il dé-montre aussi son fameux théorème H : il existe une fonctionnelle(identiée à l'opposé de l'entropie) de cette probabilité qui dé-croît au cours du temps et atteint une valeur constante lorsquela probabilité atteint la distribution d'équilibre de Gibbs.

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Fig. 1.6 Ludwig Boltz-mann

Ludwig Boltzmann, (1844-1906), est né à Vienne en Autriche. Il soutient sa

thése, sous la direction de Joseph Stephan, en 1866, à Vienne, à l'age de 22 ans.

C'est lui qui introduit les oeuvres de Maxwell sur l'électromagnétisme dans le monde

germanique. En 1869, il obtint son premier poste de professeur, en Physique Mathé-

matique, à l'université de Graz. Il séjourne à Berlin en 1870 et 1871 où il travaille

auprès de Helmotz et de Kirchho. Il devient professeur de Mathématique à Vienne

en 1873, puis retourne a Graz, en 1876, sur la chaire de physique expérimentale,

où il se marie. Il retourne à Vienne en 1894 comme successeur de Stephan. Il ira

enseigner à Leipzig en 1900-1902. Sujet à de fréquentes dépressions, accentuées par

les polémiques dont son travail était l'objet, et atteint d'angine de poitrine, il se

suicide le 5 septembre 1906, à 62 ans, lors d'un séjour à Duino, prés de Trieste,

alors que ces idées commencent à se trouver conrmées par les travaux de Planck

et d'Einstein.

Ceci provoqua une levée de boucliers liée au paradoxe de l'irréversibilité. Deux paradoxes célèbressont passés à la postérité, celui de Zermelo [221] et celui de Loschmidt [150]. En 1896, Ernst Zermeloformule le paradoxe de récurrence après avoir pris connaissance de travaux récents du mathématicienfrançais Henri Poincaré. Poincaré démontra en 1890 que pour un système dynamique hamiltonien etstationnaire et dans le cas où le système appartient à une région bornée de l'espace des phases, alorspour presque tout état initial il retourne une innité de fois arbitrairement près de cet état initial.Zermelo objecta que cela contredisait le théorème H. La réponse de Bolzmann [28, 29] à l'objection estque pour un système macroscopique (N ∼ 1023 particules) l'espérance du temps de retour est alorsde l'ordre de exp(N), c'est à dire beaucoup plus grand que l'age de l'univers. Il reste de ce paradoxeque l'entropie n'est donc pas une fonction croissante dans le strict sens mathématique du termemais que sur des durées raisonnables elle ne peut que croître. En fait, l'objection de Zermelo, aussijustié soit-elle, ne s'applique pas à l'équation de Bolzmann car cette équation est intrinsèquementirréversible en raison de l'hypothèse du chaos moléculaire. La question pertinente est donc dansquelle limite cette hypothèse de chaos moléculaire est justiée pour une situation donnée. L'autreparadoxe qui est resté célèbre est le paradoxe que Loschmidt publie en 1876 [150] dans un articlecontenant une vingtaine de critiques ou d'objections. La principale critique était formulée en disantque si on laisse un système évoluer librement jusqu'au temps t et que l'on renverse alors toutes lesvitesses des particules, alors l'entropie du système décroîtra entre t et 2t. Boltzmann répond [28, 29]en remarquant que les états initiaux du système qui feraient diminuer l'entropie existent, certes,mais sont si prodigieusement rares qu'il est impossible de les rencontrer ou de les produire. Cetteréponse nous amène à restreindre la notion d'entropie comme une fonction qui croît pour la quasitotalité des états initiaux et sur des durées raisonnables. On peut aussi remarquer que la moindreerreur innitésimale sur le renversement des vitesses à l'instant t provoque rapidement la reprise dela croissance de l'entropie. Cela est une conséquence du caractère chaotique de la dynamique. Onpourra lire [145, 32] pour une revue sur ces paradoxes. Clôturons ce sujet en citant Rudolph Peierls[179] : We turn next to one of the most fundamental questions of statistical Mechanics, to whichthe answer has been known to some for a long time, but does not appear to be known very widelyeven today. The question is about the precise origin of the irreversibility in statistical mechanics.

En 1888, un physicien lyonnais, Louis-Gorge Gouy, t les meilleures observations de l'époque surle mouvement brownien, d'où il ressortit les conclusions suivantes [98] :

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Fig. 1.7 Observations deGouy

1) Le mouvement est extrêmement irrégulier et la trajectoire ne semble pas

avoir de tangente.

2) Deux particules browniennes, même proches, ont des mouvements indépendants

l'un de l'autre.

3) Plus les particules sont petites, plus leur mouvement est vif.

4) La nature et la densité des particules n'ont aucune inuence.

5) Le mouvement est plus actif dans les uides les moins visqueux.

6) Le mouvement est plus actif à plus haute température.

7) Le mouvement ne s'arrête jamais.

En 1900, Paul Drude [61] s'intéresse aux propriétés de transport électrique dans les conducteurs.Il formule la loi de Drude qui conduit à une interprétation microscopique de la loi d'Ohm et expliquequantitativement et qualitativement la loi de Wiedemann-Franz reliant la conductivité thermique àla conductivité électrique dans un métal.

Fig. 1.8 Paul Drüde

Paul Drüde (1863-1906), fut professeur à l'Université Humboldt de Berlin. Il

se suicida à l'age de 43 ans.

Il revient à Lorentz d'en donner une version élaborée dans la lignée des travaux de Boltzmannvers 1905. Entre temps, en 1900, un jeune français, Louis Bachelier [5] soutient une thèse de doctorat

sur la théorie de la spéculation où l'on retrouve aujourd'hui les ingrédient principaux de la théoriedu mouvement brownien.

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Fig. 1.9 LouisBachelier(1870-1946)

Aujourd'hui, l'étude des uctuations boursières est devenue le prince des phéno-

mène hors d'équilibre du moins selon des critères nancier et d'engouement des étu-

diants, mais du point de vue scientique on peut se questionner comme par exemple

Nicolas Bouleau [30] sur les bases profondes d'une telle modélisation. Bachelier

écrit le premier une relation de type Chapman-Kolmogorov pour un processus mar-

kovien, et cela sept ans avant que Markov n'introduise les chaînes de Markov et

déduit des propriétés élémentaires du mouvement brownien. Malgré cela, Bachelier

était et resta longtemps méconnu (son histoire est détaillée par Benoît Mandelbrot

dans [157]). Source : Wikipédia.

En 1905, Albert Einstein publie dans Annalen der Physik [65] son article fondateur2 sur lathéorie du mouvement brownien dont le titre traduit est sur le mouvement de petites particules ensuspension dans un liquide au repos, résultant de la théorie cinétique moléculaire de la chaleur. Ilmontre comment l'étude du mouvement brownien peut conduire à une nouvelle détermination dunombre d'Avogadro. Notons cependant qu' Einstein ne connaissait probablement pas les travauxexpérimentaux de Brown ce que montre bien sa conclusion : Möge es bald einem Forscher gelingen,die hier aufegeworfene, für die Theorie der Wärme wichtige zu entscheiden ! que l'on peut traduirepar Souhaitons que bientôt un chercheur parvienne à trancher la question ici posée, si importantepour la théorie de la chaleur ! . Einstein n'est donc pas encore certain que sa théorie s'applique aumouvement brownien. Il prend alors connaissance (par De Jena Siedentopf) des travaux de Gouy etconclu dans [66] en 1906 que le mouvement brownien est bien le phénomène qu'il a décrit3.

Fig. 1.10 Albert Einstein

Albert Einstein, né le 14 mars 1879 à Ulm et mort le 18 avril 1955 à Princeton

(New Jersey), était un physicien allemand, puis apatride (1896), suisse (1899), et

enn helvético-américain (1940). Il a publié la théorie de la relativité restreinte en

1905 et une théorie de la gravité dite relativité générale en 1915. Il a largement

contribué au développement de la mécanique quantique et de la cosmologie. Il a reçu

le prix Nobel de physique en 1921 pour son explication de l'eet photoélectrique. Il t

ses études primaires et secondaires à la Hochschule d'Aargau en Suisse, où il obtient

son diplôme le 30 septembre 1896. Il avait d'excellents résultats en mathématiques,

mais refusait de s'instruire en biologie et en sciences humaines, car il ne voyait

pas l'intérêt d'apprendre des disciplines que l'on retrouve partout dans les livres. Il

entre à l'École polytechnique fédérale de Zurich en 1896. Il s'y lie d'amitié avec le

mathématicien Marcel Grossmann, qui l'aidera plus tard quand il sera aux prises

avec les géométries non-euclidiennes. Il y rencontre aussi Mileva Maric, sa première

épouse. Il obtient son diplôme en 1900. Il lit Boltzmann, Helmholtz et Nernst. Son

ami Michele Besso l'initie aux idées de la Mécanique de Ernst Mach. Selon plusieurs

biographies, 1900 à 1902 sera un temps de précarité pour Einstein qui postulera à de nombreux postes sans être accepté.

La misère d'Einstein préoccupa énormément son père qui essaya en vain de l'aider à trouver un emploi. Albert se résigna

à oublier l'université pour chercher un travail administratif. Il publie en 1901 son premier article scientique dans les

Annalen der Physik sur la capillarité. En 1902, il est embauché à l'Oce des brevets de Berne, ce qui lui permet de

2Parallèlement William Sutherland ([209]) propose essentiellement la même théorie de manière indépendante.3Non seulement les propriétés qualitatives du mouvement brownien, mais aussi l'ordre de grandeur des trajectoires

décrites par les particules correspondent complètement avec les résultats de la théorie

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vivre correctement tout en travaillant ses théories d'arrache-pied. Durant cette période, il fonde avec Maurice Solovine

(qui traduira ses oeuvres en français) et Conrad Habicht l'Académie Olympia, un cercle de discussion se réunissant

au 49 Kramgasse. Albert et Mileva se marient en 1903. En 1904, Hans-Albert naît. En 1905, Einstein publie quatre

articles qui ouvrent de nouvelles voies dans la recherche (physique nucléaire, mécanique céleste). Eduard Einstein

naît en 1910. Quatre ans après ces articles, il est reconnu par ses pairs, en particulier Planck et Nernst qui l'invite

à l'Université de Berlin. Les ores d'emplois se multiplient. En 1911, il est invité au premier Congrès Solvay, en

Belgique, qui rassemble les scientiques les plus connus. Il y rencontre entre autres Marie Curie, Max Planck et Paul

Langevin. En 1913, Einstein est nommé à l'Académie des sciences de Prusse. En 1914, il déménage en Allemagne

et habite à Berlin de nombreuses années, les propositions de travail allemandes lui permettent de se consacrer tout

entier à son travail de recherche. A ce moment, Mileva et Albert se séparent, et ce dernier commence à fréquenter

une cousine berlinoise, Elsa. En 1916, il publie sa théorie de la gravitation, connue aujourd'hui sous le nom de la

relativité générale. En 1919, Arthur Eddington réalise la mesure de la déviation que la lumière d'une étoile subit à

proximité du Soleil, prévu par cette théorie. Cet évènement est médiatisé, et Einstein entreprend à partir de 1920 des

voyages dans le monde entier. En 1925, il est lauréat de la médaille Copley. En 1928, il est nommé président de la

Ligue des Droits de l'homme. En 1935, il est lauréat de la Médaille Franklin. La situation s'assombrit en Allemagne

dans les années 1920, il est traîné dans la boue comme Juif et paciste, et voit sa sécurité menacée avec la montée

des mouvements nationalistes dont celle du parti nazi. Peu après l'arrivée d'Hitler au pouvoir, début 1933, il apprend

que sa maison de Caput, près de Berlin, a été pillée par les nazis. Il décide de ne plus revenir en Allemagne. Après un

court séjour sur la côte belge, il s'installe aux Etats-Unis, où il travaille à l'Institute for Advanced Study de Princeton.

Il cherchera principalement une théorie uniant la gravitation à l'électromagnétisme, tâche infructueuse. Le 2 août

1939, il rédigea une lettre à Roosevelt qui contribua à enclencher le projet Manhattan. Einstein meurt le 18 avril 1955

d'une rupture d'anévrisme, son cerveau est hypertrophié à gauche. On éparpillera ses cendres dans un lieu tenu secret,

conformément à son testament mais, en dépit de ses dernières volontés, son cerveau et ses yeux sont préservés par le

médecin légiste qui a fait son autopsie. Son ls Eduard, schizophrène passera sa vie dans une clinique en Suisse, son

autre ls Hans-Albert fut ingénieur en Californie. Extrait de Wikipédia

Einstein publie toujours en 1906 [67] une théorie générale du mouvement brownien, incluant lagravité et le mouvement de rotation. Il trouve aussi une relation entre le coecient de diusion D,qui mesure les uctuations de la position à l'équilibre, et la mobilité µ (ou la friction) qui est unemesure de la réponse en vitesse de la particule sous l'application d'un champ extérieur innitésimal

D

µ= kT (1.1)

Il s'agit d'une forme primitive du théorème de uctuation-dissipation (TFD). Nous la nom-merons relation d'Einstein dans la suite.

Parallèlement, en 1906, Marian Smoluchowski [200] publie une théorie du mouvement brownienvu comme une marche aléatoire. En fait, dés 1880, Lord Rayleigh [186] étudie une marche aléatoireà temps discret sur réseau.

Toujours en 1906, Paul et Tatianna Ehrenfest [64] éclaircissent le paradoxe de l'irréversibilité àl'aide d'un modèle d'urne et de particule.

En 1907 parut un article signé de Langevin [143] qui donnait une description moderne du mouve-ment brownien à l'aide d'une approche similaire à celle de Drude pour les électrons dans les métaux.

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Fig. 1.11 Paul Langevin

Paul Langevin(1872-1946). Physicien, Philosophe, Pédaguogue français, est né

à Montmartre, quelque mois aprés l'écrasement de la commune de Paris, dans une

famille d'artisans modeste mais instruits. Étudiant à l'ESPCI, à la Sorbonne puis à

l'École Normale Supérieure, il est reçu à l'Agrégation de physique en 1897. Aprés le

concours, Langevin est boursier pendant un an au prestigieux Cavendish Laboratory

de Cambridge. Paul Langevin travaille sur les propriétés des ions gazeux, ce qui fait

l'objet de sa thése de doctorat, soutenue en 1902. En 1905, il enseigne à l'ESPCI.

En 1909, il est élu professeur au collège de France. Humaniste, défenseur de la

libérté et de la paix, il fonde en 1932, l'Univérsité ouvrière. Il co-préside avec Paul

Rivet, créateur du musée de l'Homme, et le philosophe Alain, le comité de Vigilance

des Intellectuels Anti-fascistes en 1934. En 1945, Paul Langevin est nommé, par

le Général De Gaulle, président de la commission de réforme de l'enseignement.

Il meurt en 1946. Ses cendres seront transférées au Panthéon en 1948, en même

temps que celles de Jean Perrin.

L'idée de base est que la particule de pollen a une taille de l'ordre du micromètre et que cetteparticule se déplace au sein d'une goutte d'eau. Par comparaison, la taille d'une molécule d'eauest environ 10000 fois plus petite. De plus, l'eau est un milieu très dense et qui exerce sur toutcorpuscule assez gros une force de friction −γ−→v . L'idée de Langevin fut d'introduire l'agitationthermique des molécules au moyen d'une force aléatoire η(t) dépendant du temps. Il suppose aussique le mouvement des molécules d'eau est si rapide que le temps de corrélation est négligeable desorte que nous sommes amenés à postuler que 〈η(t)〉 = 0 et que 〈η(t)η(t′)〉 ∼ δ(t − t′). Un telprocessus η(t) est appelé un bruit blanc. L'équation de Langevin est aujourd'hui l'approche la plusutilisée pour décrire le mouvement brownien.

En 1909, Jean Perrin réalise le programme d'Einstein [181] et obtint la valeur de 7.1023 pour lenombre d'Avogadro, ce qui lui valut le prix nobel de 1926. Son livre de 1912 [182]contient l'analysevisionnaire : On ne peut non plus xer une tangente, même de façon approchée, à aucun pointde la trajectoire, et c'est un cas où il est vraiment naturel de penser à ces fonctions continuessans dérivées que les mathématiciens ont imaginées, et que l'on regardait à tort comme de simplescuriosités mathématiques, puisque la nature les suggère aussi bien que les fonctions à dérivées.

L'étape historique suivante est réalisée par Enskog [68] en 1911, puis indépendamment Chapman[39, 40] en 1917, qui proposent une méthode analytique pour étudier les propriétés d'organisationd'un mélange de gaz soumis à un gradient thermique. Puis Fokker [79] et Planck [184] en 1914 et1917 respectivement sont les premiers à introduire une équation aux dérivées partielles, l'équationde Fokker-Planck, pour décrire le mouvement brownien.

Le premier mathématicien pur de notre frise historique est Norbert Wiener [217] qui en 1923donne une formulation rigoureuse du mouvement brownien. Ce faisant, il fonde la théorie modernedes probabilités.

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Fig. 1.12 Norbert Wiener

Norbert Wiener (1894-1964), est un mathématicien américain né à Columbia.

Il étudie à Harvard, où il passe un Ph.D en philosophie sur la logique mathématique

en 1913. Puis il visite Cambridge où il rencontre Russell qui lui conseille de lire

Einstein. Il va ensuite à Göttingen ou il rencontre Hilbert. Aprés les années de

guerre et des tentatives dans diérents métiers, il obtient un poste en 1919 au

MIT où il restera jusqu'à sa retraite. Ses contributions concernent la théorie du

mouvement brownien, plusieurs résultats fondamentaux en analyse harmonique et

la cybernétique.

Dans une étude sur Norbert Wiener [127], Marc Kac souligne l'originalité du travail de NorbertWiener et la diculté qu'il en résultat pour la communauté mathématique de l'époque de comprendreses travaux. Précisément Mark Kac écrit : Only Paul Levy in France, who had himself been thinkingalong similar lines, fully appreciated their signiance.

Fig. 1.13 Paul Levy

Paul Pierre Levy (1886-1971), né à Paris, suit des études à l' École Polytech-

nique puis à l'École des Mines de Paris. Il passe sa thèse en Mathématiques en

1912. En 1913, il devient professeur à l' école des Mines de Paris, puis à l'École

Polytechnique en 1920 où il restera jusqu'à sa retraite en 1959. Il est l'un des fon-

dateurs de la théorie des probabilités, avec des contributions importantes sur les

propriétés du mouvement brownien, les lois inniments divisibles et la théorie des

martingales.

Jean-Pierre Kahane souligne dans [128] que l'histoire du mouvement brownien dans la commu-nauté mathématique peut être découpée en deux périodes : une évolution lente de 1900 à 1950conduite par les fondateurs Norbert Wiener et Paul Lévy [147], puis une explosion après 1950,avec l'étude de propriétés nes comme la fractalité, des liens avec les théories du potentiels, desmartingales, des équations diérentielles stochastiques ou encore des intégrales de chemin.

Dans la lignée du théorème de uctuation-dissipation primitif d'Einstein 1.1, Johnson [123] me-sure et Nyquist [171] analyse les uctuations de diérence de potentiel aux bornes d'une résistanceélectrique.

Puis en 1930, G.S Uhlenbeck et L.S Ornstein [213] proposent une théorie du mouvement brow-nien généralisant la théorie de Fokker et Planck où le comportement aux temps très court est plussatisfaisant que dans la théorie d'Einstein. La même année, Onsager [173, 174] établit les célèbresrelations de réciprocité qui sont des propriétés de symétrie des coecients de transport.

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Fig. 1.14 Lars Onsager

Lars Onsager(1903-1976) était un physico-chimiste norvégien. Il reçut le prix

Nobel de chimie en 1968. Lars Onsager étudia à partir de 1920 le génie chimique à

l'institut norvégien de technologie de Trondheim. Il obtint en 1928, une place d'en-

seignant à la Brown University de Providence aux États-Unis. A partir de 1934,

il fut professeur de chimie à l'université Yale. Finalement de 1972 à 1976, il fut

professeur au Center for Theorical Studies de la Coral Gables University à Miami.

Après la Seconde Guerre mondiale, il se tourna vers d'autres problèmes. Il proposa

en 1949 une explication théorique des propriétés superuides de l'hélium liquide.

Richard Feynman retrouva la même théorie indépendamment deux ans plus tard. Il

obtint en 1968 le prix Nobel de chimie pour la découverte des relations réciproques

qui portent son nom et qui sont fondamentales dans la thermodynamique des pro-

cessus irréversibles. Onsager est devenu membre étranger de la Royal Society le

24 avril 1975. Onsager travailla entre autres sur la conductibilité des solutions, les

électrolytes, sur la thermodynamique et la physique statistique. Il établit aussi une

théorie sur la séparation des isotopes, qui trouva une application pratique lors du

projet Manhattan.Source : Wikipédia

Ces relations sont des reliquats macroscopiques de la réversibilité microscopique. Elles sont dé-montrées a partir de la dynamique microscopique par Casimir en 1945.

En 1936, De Donder [57] chimiste belge, créateur de l'école de thermodynamique de Bruxelle,introduit la notion d'anité d'une réaction chimique. Il pose que la production d'entropie provientde la pondération des forces qui pilotent le système par des coecients conjugués à ces forces appelésanités. En 1941, Kolmogorov [133] est le premier a donner une théorie de la turbulence développéeproche des observations expérimentales.

Fig. 1.15 Andrey Niko-laevich Kolmogorov

Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), né à Tambov, en Russie, entre à

l'Université de Moscou en 1920. Il y étudie plusieurs sujet et publie même une thèse

en Histoire. Il se tourne alors vers les mathématiques à partir de 1922 et publiera

18 articles avant sa thèse en 1929. Il devient professeur à l'Université de Moscou en

1931. Il touchera à tous les sujets de mathématiques. Il sera la premier à présenter la

théorie des probabilités sous forme axiomatique moderne. En physique, il contribua

de façon fondamental au recherche sur la turbulence, et formula le théorème KAM

(1954).Il sera, toute sa vie durant, un animateur infatigable de l'École de Moscou

de Physique Mathématique, aura de très nombreux étudiants, dont plusieurs comme

Sinaï où Gelfand deviendront des mathématiciens éminents et proliques.

En 1942, dans la lignée des travaux de Wiener, Doob [59] et Itô [117] posent les bases mathé-matiques des équations diérentielles stochastiques. Doob souligne la forte motivation physique deson travail : a stochastic dierential equation will be introduced in a rigorous way to give a precisemeaning to the Langevin dierential equation for the velocity function dx(s)

ds .” En 1951, Callen etWelton [36] énonce le théorème de uctuation-dissipation sous sa forme moderne mais dans le casquantique. Puis, En 1954 Green [101] puis Kubo [137] en 1957 établissent des relations générales

16

entre l'auto corrélation temporelle de courants à l'équilibre et les courants moyens obtenus lorsquele système est piloté hors de l'équilibre par une force innitésimale. Ceci constitue, 50 ans aprésEinstein, l'avènement de la théorie de la réponse linéaire et du théorème de uctuation-dissipation.Entre temps, en 1953, Onsager et Machlup [175, 151] proposent le principe d'Onsager-Machlup, quiest une forme fonctionnelle de la densité de probabilité dans un cas linéaire. Toujours dans le cadrede la thermodynamique linéaire, Prigogine et Glansdor [90] proposent en 1954 un principe de mi-nimum de production d'entropie pour les états stables d'un systèmes stationnaire hors d'équilibre.Ce principe a une portée pratique assez restreinte car il n'est vrai qu'au voisinage de l'équilibreavec des coecients de transport constants. En 1958, Anderson [4] montre qu'un potentiel aléatoire,aussi petit soit-t'il, localise toujours une particule quantique à une dimension, donc empêche sadiusion. En 1959, Andrey Kolmogorov et Yakov Sinai [132, 198] introduisent le concept d'entropiedans l'étude des systèmes dynamiques, cette entropie caractérisant le désordre de la trajectoire aucours du temps. Les progrès de l'informatique permettent à Alder et Wainwright [3] de montrer en1970 que la loi de décroissance de l'autocorrélation des vitesses dans un uide de sphères dures estalgébrique. Dans la même période, Sinai [199], Ruelle [190] et Bowen[31] formalisent le concept demesures stationnaires hors de l'équilibre. Divers développement continuent d' êtres trouvées dans lesannées 80, jusqu'a ce que Evans, Cohen et Morriss [70] découvrent en 1993, lors d'une simulationnumérique, une symétrie dans la distribution des uctuations de la pression microscopique pour uneparticule thermostatée soumise à une force extérieure. Cette symétrie de la distribution impliqueque la probabilité que la moyenne temporelle de la pression microscopique moyennée spatialementsoit positive devient exponentiellement négligeable devant la probabilité que cette moyenne tempo-relle soit négative si on moyenne sur un temps susamment long. Les mêmes auteurs proposentde relier cette observation à une symétrie des sommes partielles des exposants de Lyapunov d'unsystème dynamique dissipatif. Evans et Searle compléterons leurs arguments dans [71] pour un casoù le système est préparé dans un état initial qui évolue sous la dynamique. Gallavotti et Cohenproposent alors dans [85] une explication théorique dans le cadre des systèmes dynamiques uniformé-ment hyperboliques. Pour un système dynamique réversible, ils proposent et démontrent un théorèmede uctuation sur la fonction de grande déviation de la statistique de la contraction dans l'espacedes phases. Dans le but d'étendre ces résultats à des systèmes réalistes, ils formulent l' hypothèsechaotique qui postule que la plupart des systèmes se comportent comme un système uniformémenthyperbolique et ils interprètent l'observation numérique de [70] comme une conrmation de leurshypothèses.

La physique statistique à l'équilibre a une structure simple et élégante. Pour un système encontact avec un thermostat, la distribution de probabilité de l'état du système est donnée par ladistribution de Gibbs et cela quelque soit le détail de la dynamique microscopique du système. Ledéveloppement de la physique statistique hors d'équilibre n'a pas encore atteint ce niveau d'élégance.Pendant longtemps, les seules théories que nous possédions étaient valables au voisinage proche del'équilibre [138, 222]. Les premiers essai sur les systèmes loin de l'équilibre furent les travaux deHaken sur le laser [102, 103] et de Glansdor, Prigogine et Nicolis sur des réactions chimiquesoscillantes [91, 169]. La situation a évolué depuis la découverte d'Evans-Cohen-Morriss et plusieursrelations appelées relations de uctuation et valables arbitrairement loin de l'équilibre ont été misesa jour. Les relations de uctuation sont les briques communes aux trois parties de cette thèse. Dansle chapitre deux, nous présentons l'ossature théorique des relations de uctuation. Le chapitre troisest consacrée à un sous produit des ces relations, le théorème de uctuation-dissipation. Enn, lechapitre quatre traite du problème du transport de particules dans un écoulement aléatoire.

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Chapitre 2

RELATIONS DE FLUCTUATION

2.1 Introduction

Ce chapitre est consacré à la présentation détaillé des relations de uctuation dans le contexte desprocessus stochastiques markoviens.

Les relations de uctuation sont des identités robustes concernant la statistique de la productiond'entropie ou du travail réalisé dans un système physique. Elles restent valables arbitrairementloin de l'équilibre et elles s'identient aux relations de Green-Kubo et de uctuation-dissipationlorsque le système est au voisinage de l'équilibre (dans le régime de la réponse linéaire [222, 185,58]). Leur acte de naissance sont les articles de Evans-Searles [72] et de Gallavotti-Cohen [85] dansle contexte des systèmes dynamiques, faisant suite aux travaux numériques de Evans, Cohen etMoriss [70] sur une symétrie de la fonction de grandes déviations de la contraction dans l'espace desphases. Parallèlement, Christopher Jarzynski démontre dans [118] une relation pour la statistiquedes uctuations du travail réalisé sur un système soumis à des forces conservatives mais dépendantexplicitement du temps. Cette relation est maintenant connue sous le nom d'égalité de Jarzynski.En fait, une relation très similaire était contenue dans une série d'article [22, 23, 24] des années 70,voir [121] pour une comparaison récente. La relation de Jarzynski est devenue très populaire graceà sa grande simplicité et à sa possible application pour mesurer les prols d'énergie libre de petitssystèmes.

Les premières études sur les relations de uctuation concernaient donc les systèmes dynamiquesdéterministes à nombre ni de degré de liberté. De telles dynamiques peuvent aussi être utiliséespour décrire des systèmes en interaction avec un environnement ou avec un réservoir de chaleur.Pour cela, on utilise des modèles simpliés et de dimension nie de réservoir auquel on imposeune énergie constante [71], ce qui est courant pour les simulations numériques. Une descriptionmoins réaliste mais très courante de l'interaction avec l'environnement consiste à le modéliser àl'aide d'un bruit aléatoire, en général décorrélé en temps. On obtient alors une équation d'évolutionmarkovienne dont la description est techniquement plus aisée que l'évolution déterministe. Ceciexplique la popularité du cas markovien pour modéliser un système hors d'équilibre. ChristopherJarzynski a généralisé sa relation dans [119] au cas des processus markoviens, puis Jorge Kurchana démontré dans [140] que la relation de Gallavotti-Cohen était encore valable pour la dynamiquede Langevin-Kramers. Peu aprés, Lebowitz et Spohn ont généralisé ce résultat pour des processusdiusifs plus généraux dans [146] et Maes [153] relia l'origine des relations de uctuation à la naturegibbsienne de la statistique des histoires dynamiques.. Ces dernières années, beaucoup de nouveauxrésultats théoriques [52, 53, 109, 204, 41, 45] sont apparus sur les relations de uctuation dans lecas stochastique. Le laboratoire de l'Ecole Normale Supérieure de Lyon a joué un rôle importantdans la vérication expérimentale des relations de uctuation avec les travaux de l'équipe de SergioCiliberto [47, 92, 124, 125].

Notre travail sur le sujet a commencé en janvier 2006. Nous étions motivés pour comprendreune relation de Balkovsky, Falkovich et Fouxon [8] concernant la fonction de grande déviation des

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exposants de Lyapunov à temps ni dans le contexte des modèles d'écoulements homogènes turbu-lents. Il semblait acquis [74] que cette relation, que l'on peut appeler, en suivant [88], relation deuctuation multiplicative, fournit une extension de la relation de uctuation pour la contractiondans l'espace des phases. Mais cette extension ne coulait pas de source en raison du caractère mul-tiplicatif du bruit. De plus, la littérature sur les relations de uctuation semblait un peu chaotique,chaque relation ayant sa propre démonstration et son propre contexte. Nous avons donc donné dans[45] une démonstration des relations de uctuation qui s'applique à la quasi-totalité d'entres elles,y compris les relations multiplicatives. Nous nous sommes placés dans le contexte des processusde diusion dans un espace de dimension nie. Cette classe de systèmes inclue en particulier, lessystèmes dynamiques déterministes, l'équation de Langevin et le modèle de Kraichnan d'écoulementhydrodynamique. L'aspect novateur de notre travail est basé sur deux idées, la première est d'élargirla classe des systèmes renversés que nous considérons. Cette idée apparaît aussi dans [41] où deuxrenversement temporels diérents sont utilisés dans le contexte d'une dynamique de Langevin avecforces non conservatives. Nous avons exploité la liberté de choix sur le système renversé d'une façonplus systématique. La seconde idée est d'obtenir de nouvelles relations de uctuation en considé-rant de nouveaux processus de diusion déduits du processus original. En particulier, nous avonsmontré que la relation de uctuation multiplicative pour un processus de diusion général peut êtreobtenue en inversant le processus de diusion tangent. La même idée peut être utilisée pour obtenirdes relations de uctuation additionnelles, comme celle pour la fonction de grande déviation de ladiérence des exposants de Lyapunov à temps nis qui a été observée dans [43] pour un modèle deKraichnan anisotrope. L'essentiel de notre travail est donc résumé dans [45] que l'on a reproduit dansla section 2.6 de ce chapitre. Nous reproduisons aussi dans la section 2.7 un article sur les relationsde uctuation qui découlent d'une description stochastique d'un laser en régime semi-classique. Enguise de préliminaires, nous avons analysé dans la section 2.3 les relations de uctuation dans lecadre des chaînes de Markov. Ce cadre permet des démonstrations aisées et intuitives et sert d'en-trée en matière à l'article [45]. La plupart des résultats sont des traductions des résultats de [45], etexistaient déjà pour les chaînes de Markov dans la littérature. Certaines parties sont plus originales :la description des inversions temporelles sur les transitions de probabilités complète celle de [45]où l'inversion se fait sur l'équation diérentielle stochastique. La description du lien général entrethéorie de la réponse linéaire et relation de Crooks autour d'un système stationnaire hors d'équilibreest originale dans ce cadre des chaînes de Markov, ce lien est aussi vrai pour les processus diusifscomme nous l'avons montré récemment dans [44]. Dans la section 2.4, nous explicitons un exemplede chaîne de Markov possédant un état stationnaire hors d'équilibre et nous calculons explicitementles quantités que nous avons introduites dans la section 2.6.

Nous allons en premier lieu commencer par donner, dans la section 2.2, quelques éléments théo-riques sur les processus markoviens qui nous seront utiles.

A partir d'une recherche sur les arxiv de physique, on trouve qu' il y aplus de 1000 articles (limite de réponse des arxiv) qui possèdent la chaînede caractère uctuation relations" dans leur abstract. Je m'excuse doncpour tous ceux dont, par manque de connaissance, je n'ai pu citer letravail.

2.2 Processus markovien a temps continu

Schématiquement, un processus markovien est un processus dont le futur ne dépend que du présent,ou encore, telle que la connaissance du processus à l'instant t permet de le connaître sans ambiguïtéà tout instant ultérieur. Cette propriété peut s'interpréter selon deux points de vue complémentaires.Le premier point de vue consiste à dire que le système perd à chaque instant la mémoire de sonpassé. Ces systèmes modélisent ainsi, de la façon la plus brutale possible, les processus dissipatifs.

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Dans la réalité, la perte de mémoire exige un temps de relaxation non nul, mais, souvent ce tempsest si court qu'il n'est pas déraisonnable de le considérer comme nul. Un autre point de vue consisteà rapprocher la notion de propriété de Markov à celle de déterminisme en mécanique classique. Danscette dernière discipline, la donnée des conditions initiales permet de calculer la trajectoire complèteà chaque instant ultérieur. Ici nous pourrons en eet calculer le processus à chaque instant ultérieur,mais ce qui est prédit, ce n'est pas la trajectoire elle-même, mais seulement l'évolution de sa loi deprobabilité. Les processus de Markov les plus simples sont ceux ou l'évolution est discrète, appeléschaînes de Markov et que nous détaillons dans la section 2.3. Nous allons esquisser ici la descriptiondes processus de Markov à temps continu. Soit E un espace de probabilité appelé espace d'états,qui est soit égal à Rd ou à un de ses sous ensembles, soit un ensemble dénombrable. On notera dx,la mesure de Lebesgue dans le premier cas et la mesure de comptage dans le deuxième cas. On ditqu'un processus (Xt)t≥0 sur E est un processus de Markov si pour toute partie A de E, pour tous tet u positifs et s ≤ t alors presque sûrement

P (Xt+u ∈ A | Xs) = P (Xt+u ∈ A |Xt) (2.1)

La probabilité de transition vérie alors l'équation de Chapmann-Kolmogorov (propriété de semi-groupe) pour tous t et h ≥ 0 :

P t+h0 (x, dy) =∫P t0(x, dz)P t+ht (z, dy) (2.2)

On introduit le générateur innitésimal Lt du semi-groupe par

Lt =d

dtP ts∣∣t=s

, (2.3)

un processus telle que cette dérivé existe est appelé stochastiquement diérentiable. Le générateurvérie la propriété

∫Lt(z, dy) = 0. L'équation (2.2) peut être réécrite sous la forme d'une équation

intégro-diérentielle

∂tPt0(x, dy) =

∫P t0(x, dz)Lt(z, dy) (2.4)

appelé équation de Kolmogorov avancée. Ce qui peut peut être mis sous la forme opératorielle :

∂tPt0 = P t0Lt (2.5)

Il existe deux grandes classes de processus markoviens, les continus et les discontinus.

2.2.1 Processus Markovien discontinus ou de saut

Les processus markoviens discontinus, parfois appelé chaîne de Markov a temps continu, sont caracté-risés par le fait que les trajectoires du processus sont continues par morceaux. Il est usuel dans ce casd'écrire le générateur sous la forme Lt(z, dy) = Wt(z, dy)−dyδ(y−z)Vt(z) avec

∫Wt(z, dy) = Vt(z).

La fonction Wt(z, dy) est alors la probabilité de transition par unité de temps que le processus quiest en z saute entre y et y+ dy. L'équation de Kolmogorov avancé (2.4) prend alors la forme d'uneéquation maîtresse :

∂tPt0(x, dy) =

∫ [P t0(x, dz)Wt(z, dy)− P t0(x, dy)Wt(y, dz)

](2.6)

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L'autre réecriture classique de (2.4) est connu sous le nom de développement de Kramers-Moyal[135, 168] et résulte du développement

Lt(z, dy) =∫Lt(z, dx)δ(x− y)dy (2.7)

=∑

−→n

1|−→n |!δ

(−→n )(z − y)dy∫

(x− z)(−→n )Lt(z, dx)

=∑

−→n

A−→n (z, t)|−→n |! δ(−→n )(z − y)dy

Si tous les moments A−→n existent, alors l'équation de Kolmogorov avancée (2.4) devient une équationaux dérivés partielles d'ordre inni. Pawula [178] a démontré que la seule troncation de la sommequi donnait bien un générateur ayant les propriétés de positivité et de normalisation requises était lecas ou A−→n = 0 si |−→n | ≥ 3. et ou A−→n > 0 si |−→n | = 2. Dans ce cas, l'équation de Kolmogorov avancé(2.4) prend la forme de l'équation de Fokker-Planck (où de Feymann-Kac) :

∂tPt0(x, dy) = −∂yi

[A−→ei (y, t)P

t0(x, dy)

]+

12∂yi∂yj

[A−→eij (y, t)P

t0(x, dy)

](2.8)

avec −→eij est le vecteur ou tous les composants valent 0 sauf les composantes i et j qui valent 1.

2.2.2 Processus markovien continus

Cette classe de processus contient entre autres les très importants processus à accroissements indé-pendants comme le mouvement brownien ou les processus de Levy. Nous allons nous restreindre ala sous classe des processus diusifs, ils sont obtenus en imposant les conditions de Hincin [96] auprocessus (quel que soit ε) :

∫

|y−x|>εP ts(x, dy) = o(t− s) (2.9)

∫

|y−x|<ε(y − x)iP ts(x, dy) = (t− s)uis(x) + o(t− s)

∫

|y−x|<ε(y − x)i(y − x)jP ts(x, dy) = (t− s)dijs (x) + o(t− s)

Sous l'hypothèse que les coecients as et bs sont assez régulier, l'équation de Kolmogorov avancé(2.4) devient une équation de Fokker-Planck :

∂tPt0(x, dy) = −∂yi

[uit(y)P t0(x, dy)

]+

12∂yi∂yj

[dijt (y)P t0(x, dy)

](2.10)

Une description équivalente est alors donnée par l'équation diérentielle stochastique décrivant unprocessus de diusion

dx

dt= ut(x) + vt(x) (2.11)

avec la convention d'Itô, la corrélation du bruit 〈ηt(x)ηt′(y)〉 = δ(t− t′)Dt(x, y) et dt(x) = Dt(x, x).La description de l'évolution d'un système réel par une dynamique de Markov n'est bien sûr

qu'une approximation, comme le dit Nico Van Kampen [214] : Non-Markov is the rule, Markov isthe exception. Il est accepté maintenant [60, 191, 58] qu'une description markovienne d'un systèmeen contact avec un thermostat revient à négliger les corrélations entre l'état du système et celui duthermostat et à supposer que la dynamique du thermostat est susamment chaotique pour que l'onpuisse négliger ses corrélations temporelles sur les échelles de temps caractéristiques du système quel'on étudie.

21

2.3 Relations de uctuation pour les chaîne de Markov

Cette section commence dans la première sous section par un rappel dece qu'est une chaîne de Markov et dénit les notions importantes dans lasuite de mesures naturelles, localement invariantes ou en équilibre localdans le cas inhomogène, et de mesures invariantes ou d'équilibre dansle cas homogène. Nous introduisons aussi l'exemple canonique en phy-sique de chaîne de Markov que nous appellerons arbitrairement chaîne deMarkov-Gibbs. La deuxième sous section est consacrée à une démonstra-tion pédestre de relations de type Jarzynski-Hatano-Sasa. La troisièmesous section liste les principales façons de renverser une chaîne de Mar-kov dans le temps. Nous rentrons dans le vif du sujet dans la quatrièmesous section, où l'on démontre étape par étape toutes les relations deuctuation pour une inversion formelle. Puis, nous explicitons les inter-prétations entropiques des fonctionnelles W et J dans la cinquième soussection. Dans la sixième sous section, nous spécions les relations de uc-tuation trouvées dans la quatrième sous section pour chaque inversionénumérée dans la troisième section. Cela nous permet de retrouver l'in-tégralité des relations de uctuation connues. La septième sous sectionest consacrée à l'exemple de la chaîne de Markov-Gibbs où l'on introduitla chaleur et le travail reçus, dans le sens de Jarzynski mais aussi deBochkov-Kuzovlev, et on montre qu'il existe aussi des relations de uc-tuation pour le travail reçu. La huitième sous section est consacrée à larelation de Gallavotti-Cohen. Dans le cas homogène, nous montrons cetterelation sous l'hypothèse que la fonction de grandes déviations existe. En-n, dans la sous section neuf, nous commençons par expliciter la réponselinéaire d'une chaîne de Markov dans un état stationnaire pouvant êtrehors d'équilibre, puis nous explicitons le lien de cette réponse avec unerelation de uctuation de type Crooks.

22

2.3.1 Elements de théorie des chaînes de Markov

Fig. 2.1 AndreïA.Markov

Andreï A. Markov (1856-1922) obtint sa thèse à Saint-Petersbourg en 1878, puis

devint Professeur en 1886 dans cette université. C'est après 1900 qu'il appliqua sa

théorie des fractions continus à la théorie des probabilités et prouva le théorème de

la limite centrale sous des hypothèses très générales. Markov fut aussi un homme

politique impliqué dans le mouvement libéral au début des années 1920. En 1913,

lorsque le gouvernement célébra le 300 ème anniversaire de la maison de la famille

Romanov, Markov organisa une contre célébration pour le 200 ème anniversaire de

la découverte par Bernoulli de la loi des grands nombres. Markov a posé le concept

de chaîne de Markov comme une extension naturelle d'une suite de variables aléa-

toires indépendantes, et n'avait aucune motivation physique comme le souligne A.P

Youschkevitch : Markov arrived at his chain starting from the internal needs of

probability Theory, and he never wrote about their applications to physical science.

For him the only real example of the chains where the two states denoted the vowels

and consonants.

Les chaînes de Markov [170, 2] sont un objet essentiel des probabilités modernes. Elles appa-raissent et sont utilisées avec succès dans des domaines aussi divers que la physique, la biologie, lessciences sociales ou l'informatique. Une chaîne de Markov est classiquement dénie comme une suitede variables aléatoires pour laquelle la meilleure prédiction que l'on puisse faire pour l'étape n+ 1 sion connaît toutes les valeurs antérieures est la même que si on ne connaît que la valeur à l'étape n.Ce qui peut être reformulé par le fait que le futur et le passé sont indépendants conditionnellementau présent. Nous donnons maintenant une dénition plus technique. Soit E un espace de probabilité,appelé espace d'état. Une chaîne de Markov sur E1 est une suite de variable aléatoire (Xn), n ∈ Nà valeurs dans E telles qu'il existe :

1) Une suite (Un), n ∈ N de variables aléatoires indépendantes et de même loi, à valeurs dansun espace probabilisé U .

2) Une application mesurable Φ de N × E × U dans E telle que :

Xn+1 = Φ(n,Xn, Un) (2.12)

Cette dénition2 est plaisante dans l'optique de l'introduction de nos travaux car elle permet de voirune chaîne de Markov comme un système dynamique aléatoire très proche d'un processus diusif.Le premier argument de la fonction Φ indique que la chaîne est non stationnaire (en vocabulairede physicien) ou non homogène (en vocabulaire de mathématicien). Ceci est particulièrement à lamode actuellement, par exemple dans les algorithmes de recuit simulé pour rechercher des extremasglobaux de fonctions numériques [13]. La donnée d'une chaîne de Markov est équivalente à se donnerune mesure initiale µ0(dx) et une séquence de probabilité de transitions (où noyaux de transition) :Mn(x, dy) = P ( Xn+1 ∈ [y, y+dy[ |Xn = x) = P (Φ(n, x, Un) ∈ [y, y+dy[) telle queMn(x, dy) ≥ 0pour tout x et y et qui vérie la relation de normalisation

∫Mn(x, dy) = 1 (qu'on peut noter

Mn[1] = 1). Nous allons noter dans la suite Ex[F ] la moyenne de la fonctionnelle F de la chaîne de

1La dénition d'une chaîne de Markov n'est pas unique dans la littérature. Certain auteurs (par exemple [170]) lesdénissent comme des processus à temps continus mais avec un espace d'état E dénombrable.

2En toute rigueur, les chaînes de Markov obtenues avec cette dénition sont appelées des chaînes de Markovsimulables. En pratique, si E = Rd munie de la tribu des boréliens, toutes les chaînes de Markov possèdent cettepropriété.

23

Markov (Xn) avec la condition initiale X0 = x et

〈F 〉 =∫µ0(dx)Ex[F ] (2.13)

la moyenne de la fonctionnelle F de la chaîne de Markov lorsque X0 est distribué avec la mesureinitiale µ0.

Mesures importantes pour une chaîne de Markov

L'évolution de la densité (ou loi) de Xn µn(dx) = P (Xn ∈ [x, x+ dx[) est alors donnée directementpar la formule de Chapman-Kolmogorov (où équation maîtresse) :

µn+1 = µn.Mn (2.14)

Dans la suite, on utilisera la notation µdn pour se référer à une telle mesure de la chaîne évoluantavec la dynamique. Par itération, on trouve l'expression de la mesure au temps n en fonction de lamesure initiale :

µdn = µ0.M0.M1...Mn−1 (2.15)

= µ0

n−1∏

i=0

Mi

On voit donc que la probabilité de transition de passer de l'étape k à l'étape q (q > k) est donnéepar le produit ordonné :

P qk =q−1∏

i=k

Mi (2.16)

Une mesure qui jouera un grand rôle dans la suite est la mesure telle que

µn.Mn = µn ≡ µlin (2.17)

Cette mesure serait invariante si le processus étaient stationnarisé avec Mn. Il n'y a pas de nomociel pour une telle mesure, Crooks [53] l'appelle mesure balançante, Harris et Schütz [108] ainsique Ge et Jiang [94, 93, 95] mesure quasi-invariante, nous l'appellerons mesure localement invariante.Dans la suite, on utilisera la notation µlin pour se référer à cette mesure. Une condition susantemais non nécessaire pour avoir une mesure localement invariante est d'avoir pour tous n :

µn(dx)Mn(x, dy) = µn(dy)Mn(y, dx) (2.18)

On appelle mesure en équilibre local, et on note µlen une telle mesure. Dans le cas homogène oustationnaire, on appelle mesure invariante la mesure que l'on note µi qui satisfait l'équation :

µi.M = µi (2.19)

Par souci de simplicité, nous allons nous placer comme dans le chapitre 2 dans le cadre des chaînesde Markov dont l'espace d'état E est soit égal à Rd où un de ses sous ensembles, soit un ensemble dé-nombrable. On notera par dx, la mesure de Lebesgue dans le premier cas et la mesure de comptagedans le deuxième cas. On supposera que les probabilités de transition s'expriment comme :

Mn(x, dy) ≡Mn(x, y)dy (2.20)

avec Mn(x, y) positives. On appelle parfois matrice de Markov positive une telle matrice Mn . Enfait, il sut de se placer dans le cas d'une chaîne de Markov régulière3, quitte à remplacer Mn par

3Une chaîne de Markov régulière [201] est une chaîne de Markov de matrice de Markov M telle qu'il existe unentier n tel que Mn soit une matrice de Markov positive.

24

la puissance de Mn qui permet d'obtenir une matrice de Markov positive. On suppose aussi que lesmesures possèdent une densité ρn telle que

µn(dx) ≡ ρn(x)dx. (2.21)

que l'on suppose aussi positive et que l'on notera en général

ρn(x) ≡ exp (−ϕn(x)) (2.22)

Par correspondance, on associe à la mesure µdn la densité ρdn, à la mesure µlin la densité ρlin, à lamesure µlen la densité ρlen et à la mesure µi la densité ρi.

On introduit la matrice jn associée à la densité ρn :

jn(x, y) ≡ ρn(x)Mn(x, y)− ρn(y)Mn(y, x) (2.23)

Par abus de langage, on appelle jn le courant de densité (respectivement le courant de probabilitési ρn est normalisé). Ceci nous permet de réécrire l'équation (2.14) en terme de densité :

ρdn+1(x)− ρdn(x) +∫jdn(x, y)dy = 0 (2.24)

Dans la littérature, dans le cas homogène la matrice de courant local s'appelle aussi anité ou uxthermodynamique [122].

Dans le cas homogène et absolument continu, une densité invariante est la densité d'une mesureinvariante donc telle que

∫j(x, y)dy = 0↔ j[1] = 0, une propriété possible plus forte est l'annulation

de j (j(x, y) = 0) qui caractérise les densités d'équilibre. On voit que les densités d'équilibres quel'on note ρe satisfont la propriété de bilan détaillé :

ρe(x)M(x, y) = ρe(y)M(y, x) (2.25)

On dit aussi que la chaîne de Markov est réversible par rapport à ρe. Kolmogorov est le premier àavoir introduit le concept de réversibilité dans les chaînes de Markov. Une densité invariante maistelle que son courant local est non nul est appelée une densité d'un état stationnaire hors d'équilibre(que l'on abrège par densité de NESS).

Chaîne de Markov-Gibbs

Nous considérons maintenant un système auquel on associe un Hamiltonien Hn sur l'espace des étatstel que la densité de Gibbs

exp(−βHn)Zn

= exp(−β(Hn − Fn)) (2.26)

avec Fn l'énergie libre à l'instant n, soit normalisée.Nous appellons chaîne de Markov-Gibbs une chaîne homogène où inhomogène telle que cette

densité de Gibbs soit une densité localement invariante. C'est à dire telle que :∫dx exp(−βHn(x))Mn(x, y) = exp(−βHn(y)) (2.27)

C'est l'équivalent de la dynamique de Langevin (exemple 3 de [45]) avec un terme hamiltonienpossible des processus diusifs. Dans le cas où la densité de Gibbs est en équilibre local, c'est à direquand :

exp(−βHn(x))Mn(x, y) = exp(−βHn(y))Mn(y, x) (2.28)

on dit qu'on est en présence d'une chaîne de Markov-Gibbs en équilibre local. C'est l'équivalent dela dynamique de Langevin sans terme hamiltonien et sans forçage externe. Beaucoup de processusstochastiques connus sont des chaînes de Markov-Gibbs en équilibre local. Par exemple l'algorithmede simulation classique de Monte-Carlo Metropolis consiste a prendre pour matrices de transitionMn(x, y) = min[1, exp(−β(Hn(y)−Hn(x)))] qui satisfont (2.28).

25

2.3.2 Approche pédestre d'une relation de Jarzynski-Hatano-Sasa.

En guise d'introduction, montrons que dans le cas inhomogène, il existe une fonctionnelle de la chaînedont la moyenne est constante dans le temps. On introduit la suite de transition de probabilité Rtelle que : µlin(dx)Rn(x, dy) = µlin(dy)Mn(y, dx). On a trivialement Rn[1] = 1 et µlinRn = µlin,donc la suite de transition de probabilité Rn engendre une chaîne de Markov pour laquelle µn estlocalement invariante. Pour les matrices de transition, on a Rn = (ρlin)−1M t

nρlin. En réorganisant le

produit ordonné∏N−1n=0 R

tn sous la forme

ρli0

[N−2∏

n=0

Mn(ρlin)−1ρlin+1

]MN−1(ρliN−1)−1 (2.29)

on obtient trivialement une formule de type Feymann-Kac :

[N−1∏

n=0

Rtn](x, y) = ρli0 (x)Ex

[δ(XN − y)

N−1∏

n=1

((ρlin−1)−1ρlin)(Xn)

](ρliN−1(y)

)−1(2.30)

[N−1∏

n=0

Rtn](x, y) = ρli0 (x)Ex

[δ(XN − y) exp

(−N−1∑

n=1

(ϕlin − ϕlin−1)(Xn)

)](ρliN−1(y)

)−1(2.31)

qu'on peut réécrire en rajoutant un terme dans la somme :

[N−1∏

n=0

Rtn](x, y) = ρli0 (x)Ex

[δ(XN − y) exp

(−

N∑

n=1

(ϕlin − ϕlin−1)(Xn)

)](ρliN (y)

)−1(2.32)

On note alors

WN [X] =N∑

n=1

(ϕlin − ϕlin−1

)(Xn) (2.33)

et en utilisant∫dx[∏N−1

n=0 Rtn

](x, y) = 1 on peut mettre l'égalité précédente sous la forme :

∫A(y)ρliN (y)dy = 〈A(XN ) exp (−WN [X])〉 (2.34)

En particulier on obtient l'égalité de type Jarzynski :

〈exp(−WN [X])〉 = 1 (2.35)

26

Une égalité semblable a été trouvée en 2000 par Hatano et Sasa [109]dans le cadre des processus diusifs unidimensionnels de type Lange-vin. Plus de 20 ans avant, en 1977, Bochkov et Kuzozlev [22, 23, 24]avait démontré un résultat similaire dans le cadre déterministe pourune fonctionnelle légèrement diérente. Longtemps ce résultat fut ou-blié. Puis en 1996, Christopher Jarzynski obtient une formule prochedans [118](formule 2.a) dans le contexte de la dynamique hamiltoniennedéterministe. En 1997 dans [119](formule 3) Christopher Jarzynski traitele cas des chaînes de Markov-Gibbs en équilibre local(formule 45), desprocessus Markoviens de saut possédant la densité de gibbs comme den-sité localement invariante (formule 5 ) et des processus diusifs unidi-mensionnels de type Langevin (paragraphe III.B) possédant la densitéde Gibbs comme densité en équilibre local. La diérence entre la relationde Bochkov-Kuzozlev et celle de Jarzynski est explicitée dans [121] dansle cadre déterministe hamiltonien. Dans le cas des chaînes de Markov,le cas de Hatano Sasa, avant de l'être dans cette thèse, a été démontréproprement par des mathématiciens chinois, Ge et Jiang [93] en 2007. Ilsemble que les autres relations de Jarzynski que nous démontrons dansce qui suit soient originales, mais sont probablement déjà connues deplusieurs personnes. Ge et Jiang [94] en 2008 et nous-mêmes [45] (rela-tion 8.19) en 2007 avont généralisé cette relation à des processus diusifsgénéraux.

Le but de ce petit paragraphe est de montrer que pour obtenir une relation de Jarzynski, iln'est pas utile de parler d'inversion temporelle. Tout au plus l'inversion temporelle intervient pourrendre la démonstration plus transparente. Dans le cas ci dessus, la transition de probabilité R aune interprétation en terme de renversement temporel comme nous allons le voir dans le prochainparagraphe.

2.3.3 Chaîne de Markov renversée

On appelle chaîne de Markov renversée la donnée de la séquence de transition de probabilitéMr

n(x, dy) et d'une mesure initiale µr0(dx). Dans le cas général, nous ne supposerons ni de rela-tion entreMr

n etMn, ni entre µr0 et µ0. Le nominatif de chaîne de Markov renversé est donc formelet ne prend son sens intuitif que lorsqu'on spécie ces liens comme dans la suite. On dit que la chaînede Markov considérée est réversible en temps(par rapport à une loi d'inversion donnée) si Mr

n =Mn. Nous noterons dans la suite

〈F 〉r =∫µr0(dx)Er

x[F ] (2.36)

la moyenne de la fonctionnelle F de la chaîne de Markov renversée. Nous allons lister maintenantles diérentes transformations qui présentent un intérêt ou qui sont utilisées pour mimer l'inversiontemporelle.

Chaîne renversée totalement

Cas général : Dans la littérature mathématique [170] pour une chaîne de Markov (Xn) lenominatif de chaîne renversée est attribué à la séquence (Xr

n) ≡ (XN−n) pour 0 ≤ n ≤ N. Nousallons appeler une telle chaîne de Markov chaîne renversée totalement. Un calcul èlémentaire permetd'exprimer les transitions de probabilitésMr

n de la chaîne renversée totalement à chaque temps n :

µdn∗+1(dx)Mrn(x, dy) = µdn∗(dy)Mn∗(y, dx) (2.37)

27

avec n∗ = N − 1− n. On vérie facilement que l'on a bien :Mrn[1] = 1.

La matrice de transition de la chaîne renversée totalement est donc : M rn = (ρdn∗+1)−1M t

n∗ρdn∗ .

L'utilisation de cette inversion dans le cadre des relations de uctuationest originale à notre travail, dans [45](paragraphe 6.6) pour les processusdiusifs, dans cette thèse pour les chaînes de Markov.

Cas homogène : chaîne duale ou adjointe : Dans la cas ou la chaîne est homogène et oula densité initiale est la densité invariante µ0 = µi, alors la probabilité de transitionMr de la chaînerenversée totalement prend la forme :

µi(dx)Mr(x, dy) = µi(dy)M(y, dx) (2.38)

Dans ce cas, la chaîne renversée est appelée chaîne duale ou adjointe dans la littérature mathématiqueet apparaît par exemple dans la démonstration de l'unicité de la densité invariante pour une chaînerécurrente et irréductible à espace d'état ni.

La transformation duale a été utilisée pour la première fois dans lecontexte des relations de uctuation par Lebowitz et Spohn [146] (para-graphe 2.2) en 1998.

On vérie aisément que µi reste une mesure invariante pour la chaîne duale : µi.Mr = µi.Si de plus la densité initiale est une mesure d'équilibre µe alors le bilan détaillé (2.25) montre

que la chaîne duale est identique à la chaîne directe et la chaîne est alors réversible par rapport àl'inversion totale. Il est instructif de noter que même dans le cas des chaînes homogénes et réversiblespar rapport à une mesure d'équilibre µe, si la distribution initiale est diérente de µe (par exempleune mesure de Dirac en un point) alors le comportement de la chaîne est diérent du comportementde la chaîne renversée en temps.

Chaîne du protocole renversée

Malgré l'aspect naturel de la chaîne renversé totalement, son utilisation en physique est limitée, voirinexistante, dans le cas non homogène. On comprend bien la diculté de réaliser un tel processusqui dépend du processus direct, mais aussi de sa mesure initiale. On dénit la chaîne du protocolerenversée comme la chaîne de probabilité de transition Mr telle qu'avec n∗ = N − 1− n :

Mrn(x, dy) ≡Mn∗(x∗, dy∗) (2.39)

la transformation x→ x∗ étant une involution ((x∗)∗ = x ). Ici, la mesure

µrn(dx) = µlin∗(dx∗) (2.40)

est une mesure localement invariante de la chaîne du protocole renversée : µrn.Mrn = µrn.

La transformation du protocole renversé a été utilisé pour la premièrefois implicitement par Gavin Crooks en 1997 dans [51] avec x∗ = x. Pourles processus diusifs, cette inversion a son pendant, c'est le protocoleinversé (paragraphe 6.4 de [45]) qui a été employé la première fois en 1998par Lebowitz et Spohn dans [146] dans le cas stationnaire. Dans le casdes processus diusifs non stationnaires, elle a été utilisée en premier parChernyak, Chertkov et Jarzynski [41] et par nous-mêmes [45] en 2007.

28

Chaîne avec inversion de courant.

Nous allons maintenant introduire un autre renversement intéressant, consistant à renverser lescourants de probabilité qui circulent dans le système. Si µ est une mesure localement invariante,on dénit la chaîne avec courant inversé comme la chaîne de probabilité de transitionMr

n telle quepour tous n :

µlin∗(dx)Mrn(x, dy) ≡ µlin∗(dy)Mn∗(y, dx) (2.41)

avec n∗ = N −1−n.Mrn est bien une probabilité de transition (Mr

n[1] = 1) et cette nouvelle chaîneadmet

µrn = µlin∗ (2.42)

comme mesure localement invariante. La matrice de transition de la chaîne avec courant inversé estalors : M r

n = (ρlin∗)−1M t

n∗ρlin∗ . On montre que le courant local de la chaîne direct dans la densité ρlin

et le courant de la chaîne avec courant inversé dans la densité localement invariante ρrn = ρlin∗ sontliés par la relation :

jrn∗ = −jn (2.43)

ce qui justie la dénomination de courant inversé. Dans le cas homogène, l'inversion de courant estle renversement dual ou adjoint.

Cette inversion à été utilisée pour la première fois par Gavin Crooks en1999 dans [53] (formule 11) dans le cadre des chaînes de Markov. Dansle cadre des processus diusifs, cette transformation a son pendant : lecourant renversé (paragraphe 6.5 de [45]) et a été utilisée en 2006 parChernyak, Chertkov et Jarzynski dans [41] (paragraphe 2) et par nous-mêmes dans [45] en 2007.

Chaîne avec inversion de courant généralisée

Nous allons maintenant permettre que l'inversion soit accompagnée d'une transformation sur lesétats de la chaîne. Si µ est une mesure localement invariante, on dénit la chaîne avec inversion decourant géneralisé comme la chaîne de probabilité de transitionMr

n telle que :

µlin∗(dx∗)Mr

n(x, dy) ≡ µlin∗(dy∗)Mn∗(y∗, dx∗) (2.44)

avec n∗ = N − 1− n et la transformation x→ x∗ étant une involution ((x∗)∗ = x). Ici, la mesure

µrn(dx) = µlin∗(dx∗) (2.45)

est une mesure localement invariante de la chaîne avec inversion de courant géneralisé : µrn.Mrn = µrn.

En notant P la transformation x → x∗, la chaîne avec inversion de courant géneralisé est la chaînede matrice de transition :M r

n = P (ρlin∗)−1M t

n∗ρlin∗σ−1P où σ(x) = σ−1(x∗) =

∣∣det(∂jx∗k)(x)∣∣ dans le

cas à espace d'états continu et σ(x) = 1 dans le cas discret. On montre alors que le courant local dela chaîne directe dans la densité ρlin et le courant de la chaîne duale dans la densité quasi invarianteρrn(x) = ρlin∗(x

∗).σ(x) sont liés par la relation :

jrn∗ = −Pσ−1jnσ−1P (2.46)

Pour mieux comprendre à quoi sert cette généralisation, regardons le cas de la chaîne de Markovhomogène à trois états (exemple 1.9.4 de Norris [170]) où les fractions sur les èches donnent lesprobabilités de transition.

On vérie directement que la probabilité uniforme (13 ,

13 ,

13) est invariante mais n'est pas d'équi-

libre. Ceci ce voit globalement par la présence d'un ux dans le sens des aiguilles d'une montre.

29

La matrice de transition de la chaîne adjointe est : P r = P t. Si maintenant, on regarde la

chaîne adjointe généralisée avec la transformation d'état τ23 :

1→ 12→ 33→ 2

, alors la chaîne adjointe

généralisée est identique à la chaîne de départ. Donc cette chaîne de Markov est réversible parrapport à l'inversion de courant généralisée.

Les cas le plus célèbre ou l'on inclut une involution de l'espace des étatsà l'inversion temporelle est l'équation de Kramers. L'involution est alorsla transformation de l'espace des phases (q, p)→ (q,−p). Jorge Kurchanest le premier en 1998 [140] à étudier les relations de uctuation associéesà ce système. A la même période, Christian Maes [153] introduit lui aussiune transformation d'espace dans l'inversion du temps.

Cas où la densité localement invariante est en équilibre local : Dans ce cas, la dénition(2.44) devientMr

n(x, dy) =Mn∗(x∗, dy∗) ce qui est exactement la dénition du protocole renversé.Le protocole renversé et l'inversion de courant généralisée sont donc identiques pour la chaîne deMarkov-Gibbs en équilibre local.

Renversement d'une chaîne de Markov-Gibbs.

Selon (2.45,2.27), la chaîne de Markov que l'on obtient en renversant une chaîne de Markov-Gibbspar le protocole renversé ou par l'inversion de courant généralisée possède la mesure localementinvariante

µr,lin (dx) = µlin∗(dx∗) =

exp(−βHn∗(x∗))Zn∗

dx∗ (2.47)

Cette nouvelle chaîne de Markov est donc encore une chaîne de Markov-Gibbs, mais avec l'hamilto-nien

Hrn(x) = Hn∗(x∗)−

1β

ln(σ(x)) (2.48)

30

De plus, d'après le paragraphe précédent, le protocole renversé et l'inversion de courant généraliséesont identiques pour la chaîne de Markov-Gibbs en équilibre local.

2.3.4 Relations de uctuation

Relation de uctuation primitive :

Les relations de uctuation vont éclore d'une comparaison quantitative entre la chaîne directe et lachaîne renversée. On note [X] = (X0, X1, ...., XN ) la trajectoire d'une chaîne de Markov jusqu'autemps N. On introduit une fonctionnelle de cette trajectoire : F [X] = F [X0, X1, ..., XN ]. On s'inté-resse à la valeur moyenne de cette fonctionnelle pour la chaîne qui commence en x et qui nit en yau temps N. Par dénition, on obtient :

dxEx [δ(XN − y)F [X]] dy

= dx

∫M0(x, dx1)M1(x1, dx2)...MN−1(xN−1, dy)F [x, x1, ..., xN−1, y] (2.49)

Ce qui peut être réécrit en faisant le changement de variable xi → x∗N−i pour i de 1 à N − 1 avecx→ x∗ étant une involution ((x∗)∗ = x ) :

dxEx [δ(XN − y)F [X]] dy

= dx

∫M0(x, dx∗N−1)M1(x∗N−1, dx

∗N−2)...MN−1(x∗1, dy)F [x, x∗N−1, ..., x

∗1, y] (2.50)

Si on introduit la trajectoire renverseé [X] = (X0 = X∗N , ...., XN−1 = X∗1 , XN = X∗0 ) et la fonction-nelle renversée telle que F [X] = F [X] alors :

dxEx [δ(XN − y)F [X]] dy

= dx

∫M0(x, dx∗N−1)M1(x∗N−1, dx

∗N−2)...MN−1(x∗1, dy)F [y∗, x1, ..., xN−1, x

∗] (2.51)

On introduit maintenant ad hoc la probabilité de transitionMr de la chaîne de Markov renversée :

dxEx [δ(XN − y)F [X]]

=∫Mr

0(y∗, dx1)...MrN−1(xN−1, dx

∗)F [y∗, x1, ..., xN−1, x∗] exp

(JN [y∗, x1, ..., x

∗])(2.52)

où la fonctionnelle JN de la chaîne est dénie de telle façon que la densité exp(JN [y∗, x1, ..., xN−1, x

∗])

vérie :

dyMr0(y∗, dx1)...Mr

N−1(xN−1, dx∗) exp

(JN [y∗, x1, ..., x

∗])

≡ dxM0(x, dx∗N−1)...MN−1(x∗1, dy) (2.53)

qu'on peut réécrire

exp (−JN [x0, x1, ..., xN ]) dx0M0(x0, dx1)...MN−1(xN−1, dxN )≡ dxNMr

0(x∗N , dx∗N−1)...Mr

N−1(x∗1, dx∗0) (2.54)

Les mathématiciens disent que exp (−JN [x0, x1, ..., xN−1, xN ]) est la dérivée de Radon-Nikodym dela mesure dxNMr

0(x∗N , dx∗N−1)...Mr

N−1(x∗1, dx∗0) par rapport à la mesure

dx0M0(x0, dx1)M1(x1, dx2)...MN−1(xN−1, dxN ). On verra plus loin que JN [x] est la création d'en-tropie uctuante dans l'environnement. Dans notre cas absolument continu, on peut exprimer JN [x]sous la forme :

JN [x0, x1, ..., xN−1, xN ] = ln[

dx0M0(x0, dx1)M1(x1, dx2)...MN−1(xN−1, dxN )dxNMr

0(x∗N , dx∗N−1)Mr

1(x∗N−1, dx∗N−2)...Mr

N−1(x∗1, dx∗0)

](2.55)

31

On peut alors réécrire (2.52) comme :

dxEx [δ(XN − y)F [X]] = Ery∗

[δ(XN − x∗)F [X] exp

(+JN [X]

)]dx∗ (2.56)

puis comme

dxEx [δ(XN − y)F [X] exp (−JN [X])] = Ery∗

[δ(XN − x∗)F [X]

]dx∗ (2.57)

Le pendant de cette relation est la formule (7.7) de l'article [45]. C'est une relation de uctuationprimitive, elle compare la moyenne d'une fonctionnelle dans la chaîne directe et dans la chaînerenversée.

Relation de Crooks généralisée et relation de uctuation détaillée

Si la mesure initiale µ0 (resp µr0) est normalisée, on peut introduire les mesures trajectoriellesM [dx](resp M r[dx]) de la chaîne directe (resp renversée ) à partir de (2.13) (resp(2.36)) :

〈F 〉 =∫

M[dx]F [x] et 〈F 〉r =∫

Mr[dx]F [x] (2.58)

Dans le cas des chaînes de Markov, on a les formules explicites :

M[dx] = µ0(dx0)M0(x0, dx1)M1(x1, dx2)...MN−1(xN−1, dxN ) (2.59)

etMr[dx] = µr0(dx0)Mr

0(x0, dx1)Mr1(x1, dx2)...Mr

N−1(xN−1, dxN ). (2.60)

On dénit alors la fonctionnelle WN par :

Mr[dx] ≡ exp (−WN [x]) M[dx] (2.61)

Il semble que les premiers à avoir écrit une relation dans cet esprit furentBochkov et Kuzozlev en 1977 [22, 23, 24] dans un cadre déterministe. In-dépendamment, Gavin Crooks en 1997 écrit d'abord une telle relationdans [51] dans le cadre des chaînes dénombrables de Markov-Gibbs enéquilibre local (formule 10) pour le renversement du protocole renverséavec x∗ = x. Puis en 1999, il généralise sa relation pour les chaînes deMarkov-Gibbs dénombrables [53](formule 14) pour l'inversion du cou-rant toujours avec x∗ = x. On pourra consulter [114] pour une compa-raison détaillée entre les formules de Bochkov-Kuzozlev et les formulesde Crooks dans un cadre hamiltonien déterministe.

On dénit aussi la fonctionnelle W rN par :

M[dx] ≡ exp(−W rN [x])Mr[dx] (2.62)

En termes rigoureux, on dit que exp(−WN [x]) est la dérivée de Radon-Nikodym de Mr[dx] parrapport à M[dx]. Nous avons directement la propriété (pendant de la relation 13.2 [45]) :

WN = −W rN , (2.63)

mais aussi que la moyenne de WN dans la chaîne directe est donnée par :

〈WN 〉 = S(M p Mr) (2.64)

32

où S(µ p ν) =∫µ(dx) ln(µ(dx)

ν(dx) ) est l'entropie relative ou distance de Kullback-Leibler [139] de µ parrapport à ν. Nous verrons plus loin que 〈WN 〉 (resp WN ) est lié avec la création moyenne d'entropie(resp création d'entropie uctuante). Avec (2.59,2.60), WN et W r

N ont pour expressions explicites :

WN [x] = ln[

µ0(dx0)M0(x0, dx1)M1(x1, dx2)...MN−1(xN−1, dxN )µr0(dx∗N )Mr

0(x∗N , dx∗N−1)Mr

1(x∗N−1, dx∗N−2)...Mr

N−1(x∗1, dx∗0)

](2.65)

et

W rN [x] = ln

[µr0(dx0)Mr

0(x0, dx1)Mr1(x1, dx2)...Mr

N−1(xN−1, dxN )µ0(dx∗N )M0(x∗N , dx

∗N−1)M1(x∗N−1, dx

∗N−2)...MN−1(x∗1, dx

∗0)

](2.66)

On voit que WN dépend de la chaîne de Markov directe, mais aussi de l'inversion utilisée et mêmedes mesures initiales des chaîne directes et renversées. On voit aussi qu'on a la relation fondamentaleentre WN [x] et JN [x] :

µ0(dx0) exp(−WN [x])dxN = µr0(dx∗N ) exp(−JN [x])dx0 (2.67)

que l'on peut réécrire dans notre cas (pendant de la relation 8.2 [45]) :

WN [x] = JN [x] + ln(µ0(dx0)dx0

)− ln(µr0(dx∗N )dxN

) (2.68)

La relation de uctuation (2.57) se réécrit alors sous la forme de la relation de uctuation centrale(pendant de la relation 8.3 [45]) :

µ0(dx)Ex [δ(XN − y)F [X] exp (−WN [X])] dy = µr0(dy∗)Ery∗ [δ(XN − x∗)F [X]]dx∗ (2.69)

que l'on peut réécrire par intégration sur x et y sous la forme :

〈F exp(−WN )〉 =⟨F⟩r

(2.70)

Christian Maes [153] est le premier en 1998 qui comprit que la relation(2.70) est la source de toute les relations de uctuation connues. PuisGavin Crooks, en 1999 l'écrit dans le cadre des chaînes de Markov-Gibbsdénombrables [53](formule 1) pour l'inversion du courant. En 2006, Har-ris et Rakos [108] l'écrivent pour les processus Markoviens de saut nonhomogéne, pour le protocole renversé avec x∗ = x et pour la fonctionnelleF [x] = f(x0)g(xN ) exp((1 − λ)WN ) (formule 3.35) ce qui généralise untout petit peu le résultat de [53]. Nous avons traité le cas des processusdiusifs généraux dans [45](voir relation 8.6).

Une première application de cette formule qui nous sera particulièrement utile dans la suiteest le cas ou la fonctionnelle F ne dépend que d'une seule variable Xn : F [X] = f(Xn), car alorsF [X] = f(X∗N−n) et donc (2.70) devient :

〈f(Xn) exp(−WN )〉 =⟨f(X∗N−n)

⟩r(2.71)

Dans le même genre d'idée, on a

〈f(Xn)〉 =⟨f(X∗N−n) exp(−W r

N )⟩r

(2.72)

Cette relation dans le cas particulier n = N et x∗ = x : 〈f(XN )〉 =〈f(X0) exp(−W r

N )〉r est très similaire à une relation de réponse non-linéaire obtenue par Kawasaki et Yamada en 1967 [218] dans le cas dé-terministe.

33

En prenant F [x] = δ(WN [x]−W ) dans (2.69), et en utilisant (2.63) : F [x] = δ(W rN [x] +W ) on

obtient une relation dans l'esprit du bilan détaillé :

µ0(dx)PN (x, dy, dW ) = µr0(dy∗)P r,N (y∗, dx∗, d(−W )) exp(W ), (2.73)

ou PN (x, dy, dW ) est la probabilité conjointe de XN et WN sous condition que X0 = x.

C'est le pendant de la relation (13.4) de [45]. Une telle relation a étéécrite pour la première fois en 2000 dans [120] par Chistopher Jarzynskidans le contexte déterministe

On peut exprimer les fonctionnelle apparues en terme des matrices de transition et des densitésρ0 et ρr0 telles que µ0(dx) = ρ0(x)dx et µr0(dx) = ρr0(x)dx :

JN [x] =k=N−1∑

k=0

ln

[Mk(xk, xk+1)

M rN−1−k(x

∗k+1, x

∗k)σ(xk)

]et (2.74)

WN [x] = ln[ρ0(x0)ρr0(x∗N )

] +k=N−1∑

k=0

ln

[Mk(xk, xk+1)

M rN−1−k(x

∗k+1, x

∗k)

]− ln[σ(x0)...σ(xN−1)σ(xN )] (2.75)

De plus, σ(x) = 1 dans le cas d'espace d'états discrets ou si la transformation x → x∗ est linéairepour le cas à espace d'états continus.

Egalité de Jarzynski-Bochkov-Kuzovlev-Hatano-Sasa géneralisée

Le choix F = 1 dans (2.70) donne la relation :

〈exp(−WN )〉 = 1 (2.76)

Ceci est une généralisation de l'égalité de Jarzynski-Bochkov-Kuzozlev-Hatano-Sasa (2.35). Le premier axe de généralisation est que la densitéinitiale µ0(dx) n'est pas forcément une densité localement invariante.Kurchan est le premier à avoir exploité cette idée dans [141] ou il consi-dère le modèle de Kramers avec force externe et où il prend pour mesureinitiale la mesure de Gibbs qui n'est pas localement invariante (formule4.46).Le deuxième axe de généralisation est la généralité du processus renversé.Cette idée est apparue dans l'article de Chernyak, Chertkov et Jarzynski[41] pour les processus diusifs où ils explicitent deux renversementspossibles, le protocole renversé et le courant renversé. Dans le cas desprocessus diusifs, cette relation a été écrite sous sa forme générale parnous-mêmes dans [45]( relation 8.7).

On peut réécrire ce résultat sous la forme d'une relation de type Jarzynski. Pour cela, on réécritles mesures initiales du système direct et renversé sous les formes µ0(dx) = exp(−f0(x))

Z0dx et µr0(dx∗) =

exp(−fN (x))ZN

dx alors (2.68) devient :

WN [x] = JN [x] + fN (xN )− f0(x0) + ln(ZNZ0

) ≡WJ,N [x] + ln(ZNZ0

) (2.77)

en introduisant la nouvelle fonctionnelle WJ,N [x] telles que

WJ,N [x] = JN [x] + fN (xN )− f0(x0) (2.78)

34

La relation (2.76) se réécrit sous la forme d'une relation de type Jarzynsky :

〈exp (−WJ ,N [X])〉 =ZNZ0

(2.79)

Dans le cas particulier où l'on choisit fN = f0 (c'est a dire µr0(dx∗) = µ0(dx)) alors la fonctionnelleWJ,N prend la forme de Bochkov-Kuzovlev Wbk,N [x] :

Wbk,N [x] ≡ JN [x] + f0(xN )− f0(x0) (2.80)

qui vérie la relation de Bochkov-Kuzozlev généralisée :

〈exp(−Wbk,N [X])〉 = 1 (2.81)

2.3.5 Interprétation entropique des fonctionnelles W et J :

Une conséquence immédiate de (2.64) ou de (2.76) est :

〈WN 〉 ≥ 0 (2.82)

Ce résultat suggère que 〈WN 〉 (resp WN ) est lié avec la création moyenne d'entropie totale (respcréation d'entropie totale uctuante). En fait, nous allons postuler que la création d'entropie uc-tuante ΣN est la fonctionnelle WN dans le cas où µr0(dx∗) = µdN (dx). C'est à dire lorsque la mesureinitiale du processus renversé est reliée par x → x∗ a la mesure nale du processus direct. De plusla relation (2.64) prend maintenant la forme

〈ΣN 〉 = S(M p Mr) ≥ 0. (2.83)

On retrouve avec cette formule, l'idée aperçue dans l'introduction générale que l'irréversibilité estliée à la capacité à distinguer les processus directs et renversées.

Les premiers à avoir clairement interprété WN comme la productiond'entropie furent Eyink, Lebowitz et Spohn en 1990 [73] puis Maes etNatocny ([154, 156]) en 2002 (Proposition 4.2) dans un cadre stationnairedu protocole renversé.

On a en fait en général

µr0(dx∗N ) exp(−ΣN [x]) ≡ µdN (dxN ) exp(−WN [x]) (2.84)

Un petit calcul montre alors la relation :

〈WN 〉 = 〈ΣN 〉+ S[µdN p µr0) (2.85)

où S[µdN p µr0] ≥ 0 est l'entropie relative µdN par rapport à µr0. Les relations de uctuation s'appliquentpour un WN général , donc en particulier, elles s'appliquent pour la création d'entropie ΣN .

Relation de Jarzynsky pour la création d'entropie uctuante

〈exp(−ΣN )〉 = 1 (2.86)

35

Relation de uctuation détaillée pour la création d'entropie uctuante

µ0(dx)PN (x, dy, dΣ) = µdN (dy)P r,N (y∗, dx∗, d(−Σ)) exp(Σ) (2.87)

On peut écrire à partir de (2.86) une inégalité de type Markov :

P (ΣN ≤ −a) ≤ exp(−a), (2.88)

ce qui implique une suppression exponentielle de la possibilité d'avoir une création d'entropie uc-tuante négative. Nous allons maintenant voir que JN [x] est l'expression de la production d'entropieuctuante dans l'environnement. A partir de (2.84) et de (2.67) on trouve que :

µdN (dxN ) exp(JN [x]) = µ0(dx0) exp(−ΣN [x]) (2.89)

qu'on peut réécrire :JN [x] = ΣN [x]− ln[ρ0(x0)] + ln[ρdN (xN )] (2.90)

On rappelle que pour une mesure ν de probabilité possédant une densité (ν(dx) = ρ(x)dx), sonentropie est donnée par :

S[ν] = −∫ν(dx) ln ρ(x) = 〈− ln ρ〉 (2.91)

donc la quantité ln[ρ0(x0)]−ln[ρdN (xN )] peut être interprétée comme la variation d'entropie uctuanteinstantanée du système entre les temps 0 et N . Selon la formule (2.90), JN [x] est la diérence entrela création d'entropie et la variation d'entropie uctuantes et peut être identiée avec la productiond'entropie uctuante dans l'environnement. Pour les quantité moyennées, on obtient (pendant de larelation 10.2 [45])

∆SenvN ≡ 〈JN [x]〉 = 〈ΣN [x]〉+ S[µ0]− S[µdN ] (2.92)

En utilisant (2.74), on obtient la production moyenne d'entropie dans l'environnement :

∆SenvN =k=N−1∑

k=0

∫ ∫µdk(dx)Mk(x, dy) ln

[Mk(x, y)

M rN−1−k(y

∗, x∗)σ(x)

](2.93)

et la création d'entropie moyenne :

〈ΣN 〉 =k=N−1∑

k=0

∫ ∫µdk(dx)Mk(x, dy) ln

[µdk(dx)Mk(x, dy)

µdk+1(dy)MrN−1−k(y

∗, dx∗)

](2.94)

En fait, nous verrons plus loin que dans certain systèmes, on peut obtenir d'autres quantités phy-siques à partir de la fonctionnelle WN , comme par exemple le travail reçu par le système.

2.3.6 Applications aux diérents type d'inversion

Renversement identité

On se place dans le cas ou Mrk ≡ Mk par construction, alors la fonctionnelle WN (2.65) prend la

forme :

WN [x] = ln[

µ0(dx0)M0(x0, dx1)M1(x1, dx2)...MN−1(xN−1, dxN )µr0(dx∗N )M0(x∗N , dx

∗N−1)M1(x∗N−1, dx

∗N−2)...MN−1(x∗1, dx

∗0)

](2.95)

La relation de uctuation détaillée (2.73) devient :

µ0(dx)PN (x, dy, dW ) = µr0(dy∗)PN (y∗, dx∗,−dW ) exp(W ) (2.96)

Cette relation est encore plus totaulogique que les autres relations deuctuation car elle ne résulte pas d'une inversion temporelle. Notre for-malisme de l'inversion temporelle dans [45] ne permet pas d'inclure cettetransformation identité.

36

Chaîne renversée totalement

Ici, des calculs explicites avec (2.65,2.55) et (2.37) donnent les expressions pour les fonctionnelles :

WN [x] = ln[ρdN (xN )ρr0(xN )

], ΣN [dx] = 0 et JN [x] = ln

[ρdN (xN )ρ0(x0)

](2.97)

La création d'entropie uctuante est nulle ici, la relation de uctuation détaillée correspondante(2.87) prend la forme du bilan détaillé généralisé :

µ0(dx)PN (x, dy) = µdN (dy)P r,N (y, dx) (2.98)

On a aussi démontré ce bilan détaillé généralisé dans [45](formule 7.15)pour les processus diusifs.

Les relations de Jarzynski (2.76) écrites avec (2.97) sont triviales (et inintéressantes) et corres-pondent juste à la normalisation de µr0.

Chaîne du protocole renversé

Dans le cas du protocole renversé, (2.65,2.55) et (2.39) permettent d'obtenir les expressions :

WN [x] = ln[µ0(dx0)dxNdx0µr0(dx∗N )

]+ ln

[M0(x0, x1)M0(x1, x0)

.M1(x1, x2)M1(x2, x1)

...MN−1(xN−1, xN )MN−1(xN , xN−1)

](2.99)

ΣN [x] = ln[ρ0(x0)ρdN (xN )

]+ ln

[M0(x0, x1)M0(x1, x0)

.M1(x1, x2)M1(x2, x1)

...MN−1(xN−1, xN )MN−1(xN , xN−1)

]≡ Σtot

N [x] (2.100)

et

JN [x0, x1, ..., xN−1, xN ] = ln[M0(x0, x1)M0(x1, x0)

.M1(x1, x2)M1(x2, x1)

...MN−1(xN−1, xN )MN−1(xN , xN−1)

]≡ J totN [x] (2.101)

On obtient dans ce cas la notion de production d'entropie moyenne dans l'environnement (2.93) laplus courante :

∆SenvN =k=N−1∑

k=0

∫ ∫µdk(dx)Mk(x, dy) ln

[Mk(x, y)Mk(y, x)

](2.102)

La fonctionnelle J totN est appelée fonctionnelle d'action dans le cas ho-mogène dans [146]. L'exposant "tot" pour totale est dû à l'identicationdans le cadre des processus diusifs par Hatano et Sasa en 2001 [109] deces fonctionnelles avec la chaleur et le travail totaux introduits par Oonoet Paniconi en 1998 [176].

Cas homogène : Dans le cas homogène et avec la transformation triviale x∗ = x, la chaîne estréversible par rapport aux protocoles renversées et la relation de uctuation détaillée (2.73) devient :

µ0(dx)PN (x, dy, dW ) = µr0(dy)PN (y, dx, d(−W )) exp(W ) (2.103)

avec

WN [x] = ln[µ0(dx0)dxNdx0µr0(dx∗N )

]+ ln

[M(x0, x1)M(x1, x0)

.M(x1, x2)M(x2, x1)

...M(xN−1, xN )M(xN , xN−1)

](2.104)

37

En particulier, si µr0 = µdN alors cette relation devient une relation de uctuation détaillée pourla création d'entropie ΣN . L'autre situation connue où (2.103) est encore vrai est le cas dit auto-renversé (i.e pour tous k :Mk =Mk∗) avec x∗ = x, car alors le protocole renversé laisse la chaîneinvariante. Dans le cas ou µ0 = µi, alors la création d'entropie totale peut s'écrire

ΣtotN [x] =

N−1∑

k=0

ln[ρi(xk)M(xk, xk+1)ρi(xk+1)M(xk+1, xk)

](2.105)

certains [203] appellent cette fonctionnelle travail housekeeping. On obtient aussi la création d'en-tropie moyenne (2.93) la plus courante :

⟨ΣtotN

⟩= N

∫ ∫dxdyρi(x)M(x, dy) ln

[ρi(x)M(x, y)ρi(y)M(y, x)

](2.106)

=N

2

∫ ∫dxdyj(x, y) ln

[ρi(x)M(x, y)ρi(y)M(y, x)

]

où l'on a introduit la matrice courant (3.95) j. Par analogie avec les formules de création d'entropieen thermodynamique hors d'équilibre [144], on introduit la matrice anité de la chaîne de Markov

A(x, y) ≡ ln[ρi(x)M(x, y)ρi(y)M(y, x)

](2.107)

Chaîne avec inversion de courant généralisée

Dans le cas de l'inversion de courant généralisée, (2.65,2.55) deviennent avec (2.44) :

WN [x] = ln

[µ0(dx0)µr0(dx∗N )

.µli0 (dx1)µli0 (dx0)

.µli1 (dx2)µli1 (dx1)

...µliN−1(dxN )µliN−1(dxN−1)

]

= ln[µ0(dx0)dxNdx0µr0(dx∗N )

]+k=N−1∑

k=0

[ϕlik (xk)− ϕlik (xk+1)

](2.108)

ΣN [x] = ln[ρ0(x0)ρdN (xN )

]+k=N−1∑

k=0

[ϕlik (xk)− ϕlik (xk+1)] ≡ ΣexN [x] (2.109)

et

JN [x] = ln

[ρli0 (x1)ρli0 (x0)

.ρli1 (x2)ρli1 (x1)

...ρliN−1(xN )ρliN−1(xN−1)

]=

k=N−1∑

k=0

[ϕlik (xk)− ϕlik (xk+1)] ≡ JexN [x] (2.110)

Dans le cas où la mesure initiale de la chaîne est la mesure localement invariante (µ0(dx) = µli0 (dx))et la mesure initiale de la chaîne renversée est µr0(dx∗) = µliN (dx) alors la fonctionnelleWN [x] (2.108)possède l'expression explicite (identique à (2.33)) :

WN [x] =k=N∑

k=1

(ϕlik − ϕlik−1)(xk) ≡W exN [x] (2.111)

L'exposant "ex" pour excès est dû à l'identication dans le cadre desprocessus diusifs par Hatano et Sasa en 2001 [109] de ces fonctionnellesavec la chaleur et le travail en excès introduits par Oono et Paniconi en1998 [176].

Pour cette fonctionnelle la relation (2.71) du type Kawasaki-Yamada :

〈f(Xn) exp(−W exN [x])〉 =

⟨f(X∗N−n)

⟩r(2.112)

est identique pour n = N à la relation (2.34).

38

Cas homogène : Dans le cas homogène W exN [dx] est nulle, donc la relation de uctuation

détaillé correspondante prend la forme du bilan détaillé généralisé :

µi(dx)PN (x, dy) = µi(dy)P r,N (y∗, dx∗). (2.113)

Dans le cas où l'inversion de courant généralisée est une symétrie, c'est à dire lorsque il existe uneinvolution x → x∗ tel que µi(dx∗)M(x, dy) = µi(dy∗)M(y∗, dx∗) alors le bilan détaillé généraliséeprend la forme

µi(dx)PN (x, dy) = µi(dy)PN (y∗, dx∗). (2.114)

2.3.7 Exemple de la chaîne de Markov-Gibbs

On rappelle que pour la chaîne de Markov-Gibbs, ϕlik a l'expression explicite ϕlik = β(Hk − Fk). Ilest naturel de dénir la chaleur transmise au système comme

∆SenvN = −βQN (2.115)

et ceci quelque soit l'inversion choisie.Par exemple dans le cadre du protocole renversé cela dénit avec (2.101) la chaleur totale QtotN et

dans le cadre de l'inversion de courant généralisée, avec (2.110) cela dénit la chaleur en excès QexN .

Travail dans le sens de Jarzynski

Si l'on considère que l'énergie interne du système est le hamiltonien qui dépend explicitement dutemps Hn, la relation(2.115) et le premier principe de la thermodynamique implique que la quantité

〈JN [x]〉β

+ 〈HN (xN )−H0(x0)〉 (2.116)

est le travail moyen reçu par le système. Donc on peut dénir le travail reçu uctuant au sens deJarzynski par :

TN ≡JN [x]β

+ ∆H avec ∆H = HN (xN )−H0(x0). (2.117)

Nous allons maintenant montrer que TN est une fonctionnelle qui dérive presque directement d'unefonctionnelle WN . Pour cela, on se place dans le cas où

µ0(dx) = µli0 (dx) et µr0(dx∗) = µliN (dx) (2.118)

Sous ces conditions, la relation (2.68) devient : WN = JN + β∆H − β∆F ≡ WN avec ∆H =HN (xN )−H0(x0) et ∆F = FN − F0 et donc

TN =WN [x]β

+ ∆F (2.119)

WN [x]β est souvent appelé le travail dissipatif.On voit que βTN est une fonctionnelle de type (2.78) et donc on a la relation de Jarzynski pour

le travail reçu (2.79) :

〈exp(−βTN )〉 =ZNZ0

(2.120)

Pour l'inversion de courant, c'est la relation originelle de Jarzynski qu'ila démontrée dans [119] en 1997 (formule 3 et 45).

39

Le travail TN obéit aussi à des relations de uctuation que nous allons expliciter, (2.73) se réécritpour TN avec (2.118) :

dx exp(−βH0(x))PN (x, dy, dT ) = dy exp(−βHN (y))P r,N (y∗, dx∗, d(−T )) exp(βT ), (2.121)

Nous allons maintenant déduire de cette relation de uctuation détaillée, la forme de Crooks de cettedernière relation. Pour cela, on dénit les distributions de travail dans le système direct et renversé :

PN (dT ) =∫ ∫

dxexp(−βH0(x))

Z0PN (x, dy, dT ) (2.122)

et

P r,N (dT ) =∫ ∫

dxexp(−βHr

0(x))Zr0

P r,N (x, dy, dT ) =∫ ∫

dx∗exp(−βHN (x∗))

ZNP r,N (x, dy, dT )

=∫ ∫

dxexp(−βHN (x))

ZNP r,N (x∗, dy∗, dT )

où la second égalité résulte de (2.48). La relation (2.121) implique alors :

PN (dT ) = P r,N (d(−T )) exp(β(T −∆F )) (2.123)

Pour le cas de l'inversion de courant, c'est la relation originelle de Crooksdémontré dans [53] en 1999 .

Cette formule sert par exemple en biophysique [189] pour évaluer ∆Flors d'éxperiences dans des conditions hors d'équilibre. Par exemple, sion a accès a PN (dT ) et P r,N (d(−T )) alors le point d'intersection entreles deux densités donne ∆F .

Travail reçu total dans le sens de Jarzynski : En particulier, avec (2.117,2.101), on dénitle travail reçu total dans le sens de Jarzynski :

T totN [x] =1β

ln[M0(x0, x1)M0(x1, x0)

.M1(x1, x2)M1(x2, x1)

...MN−1(xN−1, xN )MN−1(xN , xN−1)

]+ ∆H (2.124)

Travail reçu en excès dans le sens de Jarzynski : Pour la chaîne de Markov-Gibbs, lesquantités en excès prennent la forme (2.110,2.111)

JexN = β

k=N−1∑

k=0

[Hk(xk)−Hk(xk+1)] et W exN [x] = β

k=N∑

k=1

(Hk−Hk−1)(xk)−β(FN −F0) (2.125)

le travail en excès prend alors la forme (2.117) :

T exN [x] =k=N∑

k=1

(H lik −H li

k−1)(xk) (2.126)

Dans le cas de la chaîne de Markov-Gibbs en équilibre local, toutes lesfonctionnelles précédentes sont identiques dans leur version en excès etdans leur version totale.

40

Travail dans le sens de Bochkov-Kuzovlev

Une autre dénition du travail reçu est celle de Bochkov-Kuzovlev. Si l'on considère que l'énergieinterne du système est l'hamiltonien H0, la relation(2.115) et le premier principe de la thermodyan-mique permettent de dénir le travail uctuant au sens de Bochkov-Kuzozlev :

TN [x] ≡ JN [x]β

+H0(xN )−H0(x0) (2.127)

Cette fonctionnelle est égale à un facteur β près à la fonctionnelle WN obtenue avec le choix

µ0(dx) = µli0 (dx) et µr0(dx∗) = µli0 (dx) (2.128)

car sous ces conditions, la relation (2.68) devient :WN = JN +βH0(xN )− βH0(x0) ≡ WN . Le travailreçu de Bochkov-Kuzovlev est donc égal à

TN [x] =WN

β(2.129)

On voit que cette fonctionnelle est du type (2.80) et donc on obtient une relation de type Bochkov-Kuzovlev (2.81) : ⟨

exp(−βTN )⟩

= 1 (2.130)

et la relation (2.73) implique directement la relation de uctuation détaillée pour le travail deBochkov-Kuzovlev :

dx exp(−βH0(x))PN (x, dy, dT ) = dy exp(−βH0(y))P r,N (y∗, dx∗, d(−T )) exp(βT ), (2.131)

Travail reçu total dans le sens de Bochkov-Kuzovlev : En particulier, avec (2.117,2.101),on dénit le travail reçu total dans le sens de Jarzynski :

T totN [x] =1β

ln[M0(x0, x1)M0(x1, x0)

.M1(x1, x2)M1(x2, x1)

...MN−1(xN−1, xN )MN−1(xN , xN−1)

]+H0(XN )−H0(X0) (2.132)

Travail reçu en excès dans le sens de Bochkov-Kuzovlev : le travail en excès prend alorsla forme (2.117) :

T exN [x] =k=N−1∑

k=1

(H lik −H li

k−1)(xk) + (H li0 −H li

N−1)(xN ) (2.133)

Dans le cas de la chaîne de Markov-Gibbs en équilibre local, T totN = T exN . Si de plus,on est dans le cas autorenversé H li

k = H lik∗ , alors premièrement le travail de Bochkov-

Kuzovlev devient TN =∑k=N−1

k=1 (H lik − H li

k−1)(xk), deuxièmement le système estsymétrique sous le protocole renversé, donc la relation (2.131) devient :

dx exp(−βH0(x))PN (x, dy, dT ) = dy exp(−βH0(y))PN (y∗, dx∗, d(−T )) exp(βT )(2.134)

C'est essentiellement ce qui est démontré dans l'article de Maes, Baeiesi, Jacobs etShantzos [7](équation 15) dans le cadre d'une équation de Langevin unidimension-nelle sans force externe avec un hamiltonien qui dépend explicitement du temps. Labrisure de ce résultat que l'article [7] annonce lorsque l'on n'est pas dans le cas auto-renversé (ou anti autorenversé), résulte d'abord du fait que l'on perd la réversibilité,et que, deuxièmement, le travail (2.133) conserve son terme de bord. Mais la brisurede ce résultat n'est pas une limitation du théorème de uctuation du travail usuel(2.123).

41

Il peut sembler contradictoire que deux familles de fonctionnelles diérentes puissentreprésenter le travail reçu par le système. En fait, cela dépend de ce que l'on considèreêtre l'énergie interne du système. Si l'on considère que l'énergie interne du systèmeest l'hamiltonien qui dépend explicitement du temps Hn, alors TN est le travail reçuuctuant. Alors que si l'on considère que l'énergie interne du système est l'hamil-tonien H0 et que la diérence HN − H0 est la perturbation exterieure, alors c'estTN qui représente le travail reçu. Cette ambiguïté de la notion de travail reçu parun système est la cause de virulents débats qui ont eu lieu récemment (par ordrechronologique [215, 116, 216, 180]).

2.3.8 Relation de Gallavotti-Cohen pour les chaînes de Markov

Nous allons maintenant nous placer dans le cas de chaînes homogènes. On se place dans la situation4

où la chaîne de Markov va converger à grand temps vers un état stationnaire indépendant desconditions initiales. On espère, et parfois on prouve, que pour grand N , la distribution de WN prendla forme de grandes déviations :

PN (x, dy, dW ) ≈ exp(−Nζ(

W

N))dydW, (2.135)

ou plus exactement que la limite

− limN→∞

1N

ln[PN (x, dy,Ndw)

Ndydw

]= ζ(w) (2.136)

existe. La fonction ζ qui est indépendante de x et y est appelée la fonction de taux de grandedéviation. C'est une fonction positive et qui s'annule en son minimum. A grand N , la relation (2.73)implique (pendant de la relation 15.2 [45]) :

ζ(w) = ζr(−w)− w (2.137)

Cette relation connecte la statistique de large déviation deW pour la chaîne directe et renversée. Elleimplique que la limite w0 de W

N est non négative, ce qui est cohérent avec l'intérprétation entropiquedeW. Dans le cas ou la chaîne est réversible par rapport à l'inversion considérée, alors on a ζr = ζ etl'équation (2.137) devient une relation de symétrie des grandes déviations de la chaîne de Markov.

4Dans le cas à espace d'état dénombrable, on peut montrer que si la chaîne est irréductible, apériodique et positi-vement récurrente, alors la chaîne converge vers sa loi invariante lorsque n tend vers l'inni.

42

Les premiers à avoir démontré une relation de ce type furent Gallavottiet Cohen en 1995 dans [85] dans le contexte des systèmes dynamiquesdéterministes réversibles (donc avec ζr = ζ), de type Anosov et à tempsdiscret. Puis en 1998, Jorge Kurchan à l'époque à l'Ecole Normale Su-périeure de Lyon montre dans [140] qu'une telle relation est encore vraie(relation 3.37 de son article ) dans les processus diusifs de type Kramer-Langevin. Kurchan se place dans le cas où l'inversion temporelle spéci-que à la dynamique de Langevin, appellée inversion canoniquea dansnotre article reproduit dans la section (2.6) (paragraphe 6.3), est une sy-métrie. Il obtient donc (2.137) avec ζr = ζ . Toujours en 1998, Lebowitzet Spohn dans [146] la démontre tout d'abord pour les chaînes de Markovpour le protocole renversé dans le cas stationnaire (formule 2.12). Puisdans le cas des processus diusifs géneraux (formule 5.8) avec ce qu'on aappellé dans l'article [45] le protocole renversé qui est une symétrie dansce cas stationnaire. En 2006, Ge, Jiang et Quian [95] la redémontre defaçon rigoureuse pour les chaînes de Markov dans le cas de l'inversionidentité (formule 27). En 2007, nous l'avons démontré dans le cadre desprocessus diusifs généraux dans [45].

aCette inversion canonique est l'équivalent dans le cas des chaînes de Markov del'inversion de courant géneralisée dans le cas homogéne.

2.3.9 Réponse linéaire et relation de Green-Kubo pour les chaînes de Markov

On se place dans le cas d'une chaîne de Markov homogène de probabilité de transitionM(x, dy) quiest dans un état stationnaire de densité ρi (pas nécessairement d'équilibre) avant l'instant t = 0.A l'instant t = 0, on branche une perturbation non stationnaire et les probabilités de transitiondeviennent pour n ≥ 0 :

Mn(x, dy) =M(x, dy)+hanNa(x, dy) (2.138)

avec han pour a = 1...A des constantes. On note 〈F 〉h la moyenne d'une fonctionnelle de la nouvellechaîne de Markov ainsi dénie et 〈F 〉h=0 la moyenne de cette fonctionnelle lorsque han = 0 (donc dansl'état stationnaire). On note A(n,Xn) une fonctionnelle de la chaîne de Markov qui peut dépendreexplicitement du temps. On a alors la relation centrale de la réponse linéaire :

δ

δham

∣∣∣h=0〈A(Xn)〉h = θ(n−m) 〈Ja(Xm+1).A(Xn)〉0 (2.139)

avec θ(n−m) = 1 si n > m et θ(n−m) = 0 sinon et avec la fonction :

Ja(x) =∫dyρi(y)Na(y, x)ρi(x)−1 (2.140)

Cette relation est, dans l'esprit, un théorème de uctuation-dissipation car elle relie la fonction de ré-ponse hors d'équilibre d'une observable A à une fonction de corrélation prise dans l'état stationnaire.On appelle le courant de Green-Kubo correspondant à la perturbation (2.138) les fonctionnelles Jaainsi dénies. Dans le cas où la perturbation Na est une matrice diagonale, alors le courant deGreen-Kubo prend la forme très simple :

Ja(x) = Na(x, x) (2.141)

Il semble que cette section soit originale à cette thèse.

43

Preuve

La preuve est élémentaire et consiste juste en un développement limité au premier ordre de laprobabilité de transition du système perturbé. On a

n−1∏

k=0

Mk = Mn +n−1∑

k=0

hakMkNaM

n−1−k +O(h2) (2.142)

On en déduit que :

〈A(Xn)〉h = 〈A(Xn)〉0 +n−1∑

k=0

hakρi(y)Ja(y).Mn−1−k(y, x)A(x)dx+O(h2) (2.143)

et donc (2.139) suit directement.

Relation de Green-Kubo

Si on applique (2.139) pour A = Jb, on trouve alors la relation :

δ

δham

∣∣∣h=0〈Jb(Xn)〉h = θ(n−m) 〈Ja(Xm+1).Jb(Xn)〉0 (2.144)

Dans le cas où la perturbation est stationnaire (han = ha) alors :

∂

∂ha

∣∣∣h=0〈Jb(Xn)〉h =

n−1∑

m=0

〈Ja(Xm+1)Jb(Xn)〉0 =n−1∑

m=0

〈Ja(X0)Jb(Xm)〉0 (2.145)

La chaîne va converger vers un nouvel état stationnaire à grand temps ρ∞, on obtient alors pour nsusamment grand, une formule de Green-Kubo pour les chaînes de Markov :

∂

∂ha

∣∣∣h=0〈Jb(X0)〉ρ∞ =

∞∑

m=0

〈Ja(X0)Jb(Xm)〉0 (2.146)

Lien avec les relations de uctuation

Les relations de uctuation sont considérées comme des versions globales des théorèmes de Green-Kubo et des relations de uctuation-dissipation [70, 83, 146], c'est à dire que leurs développementsau premier ordre redonne ces dernières. Nous montrons que cette correspondance est toujours vraieici. La relation centrale de la réponse linéaire (2.139) peut être retrouvée comme le développementau premier ordre de la relation de uctuation (2.112) qui est une spécication d'une formule deCrooks dans le cas de l'inversion de courant. On part donc de :

〈A(Xn) exp(−TN )〉 = 〈A(XN−n)〉r (2.147)

et

TN [x] = W exN [x] = −

N∑

k=1

ln

(ρlikρlik−1

)(xk) (2.148)

On commence donc par développer ρlik au premier ordre en h :

ρlik = ρ0k + hakρ

1k,a +O(h2) (2.149)

où la dénition ρlikMk = ρlik donne :

44

au premier ordre : ρ0k.M = ρ0

k, donc pour tous k : ρ0k = ρi.

au second ordre : ρ1k,a.(Id−M) = ρi.Na.

Après un petit calcul, on trouve au premier ordre en h :

TN [x] = −N∑

k=1

[hakρ1k,a

ρi− hak−1

ρ1k−1,a

ρi](xk) +O(h2) (2.150)

et donc

exp(−TN [x]) = 1 +N∑

k=1

[hakρ1k,a

ρi− hak−1

ρ1k−1,a

ρi](xk) +O(h2) (2.151)

On applique maintenant δδhak|h=0 pour 1 ≤ k ≤ n − 1 aux deux cotés de la relation (2.147) et on

obtient :

δ

δhak

∣∣∣h=0〈A(Xn)〉h +

⟨ρ1k,a

ρi(Xk)A(Xn)

⟩

0

−⟨ρ1k,a

ρi(Xk+1)A(Xn)

⟩

0

= 0 (2.152)

La contribution du terme de droite de (2.147) est nulle car il contient les transitions de Mrq pour

q = 0...n∗et donc les fonctions hq pour q = n...N − 1. Donc :

⟨ρ1k,a

ρi(Xk)A(Xn)

⟩

0

−⟨ρ1k,a

ρi(Xk+1)A(Xn)

⟩

0

(2.153)

(2.154)

=∫dxρ1

k,a(x)

([n−1∏

i=k

M ](x, y)− [n−1∏

i=k+1

M ](x, y)

)A(y)dy (2.155)

= −∫dxρ1

k,a(x)(Id−M)(x, z)[n−1∏

i=k+1

M ](z, y)A(y)dydz

= −∫

[ρ1k,a.(Id−M)](z)[

n−1∏

i=k+1

M ](z, y)A(y)dydz

= −∫

[ρi.Na](z)[n−1∏

i=k+1

M ](z, y)A(y)dydz

= −∫ρi(z)Ja(z)[

n−1∏

i=k+1

M ](z, y)A(y)dydz

= −〈Ja(Xk+1).A(Xn)〉0

et on retrouve bien (2.139).

2.4 Exemple explicite

Nous allons dans cette section traiter un exemple de chaîne de Markov homogène à trois états quipossède un état stationnaire hors d'équilibre où l'on pourra calculer explicitement les quantités quel'on a introduites dans la section précédente comme la création d'entropie où la production d'entropiedans l'environnement. On modie un peu l'exemple de (2.3.3) pour avoir M(x, y) > 0. On prendla chaîne de Markov homogène à trois états où les liens en verts représentent une probabilité de

45

transition de 12 et ceux en noir une probabilité de transition de 1

4 . La matrice de transition de cettechaîne de Markov est alors

M =14

1 2 11 1 22 1 1

(2.156)

On vérie directement que la probabilité uniforme (13 ,

13 ,

13) est invariante mais n'est pas d'équilibre

(NESS). Ceci ce voit globalement par la présence d'un ux dans le sens 1→ 2→ 3.

46

Cet exemple va nous permettre d'obtenir une expression analytique desdistributions de la création d'entropie et de la production d'entropie dansl'environnement ainsi que leurs fonctions de grandes déviations.Les premiers à avoir obtenu une expression explicite pour une distribu-tion d'une quantité hors d'équilibre sont Jarzynski et Mazonka [167] en1999 dans le cadre de l'équation de Langevin non stationnaire sans forceexterne, sans terme hamiltonien et avec un potentiel quadratique (donclinéaire) . Ils ont obtenu l'expression analytique (formule 25) de la dis-tribution de travail en excès, cette distribution est alors gaussienne et safonction de grande déviation est quadratique. Dans le même cadre, en2007, Imperato et Peliti [115] ont exprimé la distribution de la produc-tion d'entropie dans l'environnement en excès JexN (identique à la chaleurreçue et la production d'entropie totale dans ce cas), mais sous la formed'un développement en série(formule 19) non explicite. Parallèlement,en 2001, Jean Farago[76], toujours pour la même équation de Langevinunidimensionnelle linéaire, obtient la distribution d'une quantité qu'il ap-pelle travail injecté. Il approfondit son travail en 2004 dans [77] pour uneéquation de Kramers et avec un bruit coloré exponentiel. Mais la quantitéqu'il appelle travail injecté ne correspond à aucune des fonctionnelles quipeuvent satisfaire un théorème de uctuation (2.117). En 2007, Turitsyn,Chertkov, Chernyak et Puliato [212] obtiennent l'expression analytique(formule 13) de la fonction de grande déviation de la création d'entropieΣtotN pour une modèle diusif linéaire. Cette fonction de grande déviation

est alors non gaussienne. Ce n'est pas très clair si leur calcul concernela création d'entropie ou la production d'entropie dans l'environnement.Enn, il existe des travaux expérimentaux de Speck, Blicke, Bechinger etSeifert en 2007 [206] et numérique de Gomez-Martin et Pagonabarragaen 2006 [97], ont étudié la distribution de la création d'entropie totaledans le cas Langevin unidimensionnel périodique stationnaire avec uneforce externe, et en prenant la densité de NESS pour densité initiale.Ici, nous explicitons la distribution analytique à temps ni de la créationd'entropie et de la production d'entropie dans l'environnement dans lecas ou la densité initiale est la densité du NESS. Ceci nous permet devérier explicitement les relations de uctuation.

2.4.1 Entropie en excès

La matrice de transition de la chaîne avec courant inversé est : M r = M t. Si maintenant, on regarde

la chaîne avec inversion de courant généralisé pour la transformation d'état τ :

1→ 12→ 33→ 2

, alors

la chaîne inversée est identique à la chaîne de départ, c'est a dire M r = M. Donc cette chaînede Markov est réversible par rapport à l'inversion de courant généralisée. Dans les deux cas, laproduction d'entropie dans l'environnement(2.110) JexN [dx] est nulle et la création d'entropie(2.109)ΣexN [dx] l'est aussi dans le cas où la mesure initiale est la mesure uniforme.

Le bilan détaillé généralisé (2.113) devient :

courant inversé : PN (x, y) = P r,N (y, x) (2.157)

courant inversé généralisé : PN (x, y) = PN (τy, τx) (2.158)

47

2.4.2 Entropie totale

Dans le cas homogène, le protocole renversé avec x∗ = x est trivialement une symétrie, doncM r = Met la création d'entropie totale (2.100) et la production d'entropie totale (2.101) dans l'environnementont pour expression

ΣtotN [x] = ln[

ρ0(x0)ρdN (xN )

] + ln[M(x0, x1)M(x1, x0)

.M(x1, x2)M(x2, x1)

...M(xN−1, xN )M(xN , xN−1)

] (2.159)

et

J totN [x] = ln[M(x0, x1)M(x1, x0)

.M(x1, x2)M(x2, x1)

...M(xN−1, xN )M(xN , xN−1)

] (2.160)

On a la relation de uctuation détaillée pour la création d'entropie (2.103) :

ρ0(x)PN (x, dy, dΣtot) = ρdN ((y)PN (y, dx, d(−Σtot)) exp(Σtot) (2.161)

On va calculer maintenant l'expression analytique des distributions de créations d'entropie totale etde production d'entropie totale dans l'environnement dans le cas où la mesure initiale est la mesureuniforme. Dans ce cas ρ0 et ρdN sont les densités uniformes et on a donc identité entre la créationd'entropie totale et la production d'entropie dans l'environnement.

ΣtotN = J totN (2.162)

La relation de uctuation détaillée (2.161) peut alors s'écrire sous la forme intégrée :

PN (Σtot) = PN (−Σtot) exp(Σtot)PN (J tot) = PN (−J tot) exp(J tot)

(2.163)

Calcul de la distribution de la production d'entropie dans l'environnement ou de créa-tion d'entropie totale

Il est en fait plus simple de calculer la fonction génératrice (transformée de Laplace) de ces distri-butions.

〈exp(−λΣtotN )〉 =

∑ 13M(x0, x1)...M(xN−1, xN )

[M(x0, x1)M(x1, x0)

...M(xN−1, xN )M(xN , xN−1)

]−λ(2.164)

=13

∑MNλ (x0, xN )dx0dxN

avec la matrice Mλ

Mλ(x, y) = M(x, y)1−λM(y, x)λ (2.165)

=14

1 21−λ 2λ

2λ 1 21−λ

21−λ 2λ 1

En notant |1〉 le vecteur avec toutes ses composantes valant 1, on peut réécrire (2.164) comme :

〈exp(−λΣtotN )〉 =

13< 1|MN

λ |1 > (2.166)

On a de plus ici la propriété que |1〉 est vecteur propre de Mλ associé à la valeur propre 1+21−λ+2λ

4 .Donc on obtient

〈exp(−λΣtotN )〉 = 4−N (1 + 21−λ + 2λ)N (2.167)

48

Pour revenir à la distribution de création d'entropie totale, il faut inverser cette transformation deLaplace. On commence par écrire :

〈exp(iλΣtotN )〉 = 4−N (1 + 21+iλ + 2−iλ)N (2.168)

= 4−N N !∑

n1,n2≥0n1+n2≤N

2n1

n1! n2! (N − n1 − n2)!2iλ(n1−n2)

=N∑

n=−NcNn 2iλn

en introduisant le coecient cNn égal à

cNn = N ! 4−NE[(N+n)/2]∑

m=max(0,n)

2m

m! (m− n)! (N + n− 2m)!(2.169)

Alors, l'inversion de Fourier donne la distribution de la création d'entropie :

PN (Σtot) =N∑

n=−NcNn δ(Σtot − n ln 2) (2.170)

qui est une distribution discrète. La relation de uctuation de type Crooks (2.163) suit alors simple-ment de la relation sur les coecient cNn

cNn = 2ncN−n (2.171)

obtenue par le changement m = m′ + n dans la sommation sur m.

Calcul de la fonction de grandes déviations de la distribution d'entropie totale.

Encore une fois, il est plus simple de repartir de la fonction génératrice. D'après (2.167) on a :

〈exp(−λΣtotN )〉 = exp(−Nφ(λ)) (2.172)

avec

φ(λ) = ln 4 − ln(1 + 21−λ + 2λ) (2.173)

Alors la fonction de grande déviation ζ de la distribution d'entropie totale telle que pour grand NPN (Σtot) ≈ exp(−Nζ(Σtot/N)) est donnée par :

ζ(w) = maxλ

[−λw + φ(λ)] (2.174)

= maxλ

[−λw + ln 4 − ln(1 + 21−λ + 2λ)]

=

lnxln 2w + ln 4 − ln(1 + 2x+ x−1) avec x = w+

√8(ln 2)2−7w2

4(ln 2−w) si |w| < ln 2∞ sinon

On a représenté cette fonction avec Mapple :

49

La symétrie de Gallavottie-Cohen ζ(w)− ζ(−w) = −w suit directement de la propriété φ(λ) =φ(1− λ) qui est visible à vue sur (2.173). On a aussi représenté ζ(−w)− ζ(w) avec Mapple :

50

2.5 Conclusion

Nous avons développé une approche unicatrice des relations de uctuation dans le cadre des chaînesde Markov. Cela avait un intérêt intrinsèque, car les preuves des relations de uctuation sont élé-mentaires dans ce cadre, mais avait aussi pour but de servir d'introduction à l'article [45] qui unieles relations de uctuation dans le cas plus physique des processus diusifs et qui est reproduit dansla section 2.6. Pour les processus diusifs, nous allons voir que l'ensemble des relations de uctua-tion va s'enrichir de nouvelles relations comme les égalités de type Jarzynsky concernant le travailhouse-keeping [204] décrit dans la section 9 de [45]. Cette nouvelle relation permet de démontrerdes inégalités entre les diérentes productions d'entropie moyenne dans l'environnement comme :

∆Stotenv ≥ ∆Sexenv (2.175)

Nous n'avons pas réussi à faire de même dans le cadre des chaînes de Markov. Les autres relations quenous n'avons pas développées dans les chaînes de Markov sont celles appelées relations de uctuationmultiplicatives et sont décrites dans la section 16 de [45]. Ces relations sont un pont avec la théoriedes systèmes dynamiques et apparaissent en particulier dans les phénomènes de transport dans lechapitre 4 de cette thèse. Nous reproduisons ensuite dans le paragraphe 2.7 un article sur les relationsde uctuation dans un modèle uni-mode de laser semi-classique, qui est un des premiers systèmesréputés loin de l'équilibre qui a été étudié [102, 103]. Cet article se veut une illustration des conceptsthéoriques introduits dans [45]. Nous avons donc extensivement traité des relations de uctuationdans les processus diusifs et dans les chaînes de Markov. La généralisation des résultats sur leschaînes de Markov pour les processus de saut ne pose pas de problèmes fondamentaux et un despremiers axes d'extension que nous allons explorer dans un futur proche est d'inscrire les relationsde uctuation dans les systèmes étendus, très étudiés actuellement.

Un second axe d'extension est d'essayer de relaxer l'hypothèse de Markovianité, quelques essaisont déjà été eectués [220, 207]. En particulier, dans le cas du transport de scalaire par un écoulementen bruit dichotomique, Grisha Falkovich [75] a démontré que la relation de Gallavotti-Cohen étaittoujours valable. Nous aimerions aussi vérier les relations de uctuation dans le système réel,non markovien et auto-similaire du trac internet, cela en collaboration avec Patrick Loiseau dulaboratoire d'informatique et du parallélisme de l'ENS Lyon.

Enn, il reste aussi à étendre les relations de uctuation pour le cas quantique [142, 69].

51

2.6 Article 1 [45] : Fluctuation Relations For Diusion Processes.

52

Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s00220-008-0502-9Commun. Math. Phys. 282, 469–518 (2008) Communications in

MathematicalPhysics

Fluctuation Relations for Diffusion Processes

Raphaël Chetrite, Krzysztof Gawedzki

Université de Lyon, C.N.R.S., ENS-Lyon, Laboratoire de Physique,46 Allée d’Italie, 69364 Lyon, France. E-mail: kgawedzk@ens-lyon.fr

Received: 18 July 2007 / Accepted: 29 September 2007Published online: 22 May 2008 – © Springer-Verlag 2008

Abstract: The paper presents a unified approach to different fluctuation relations forclassical nonequilibrium dynamics described by diffusion processes. Such relations com-pare the statistics of fluctuations of the entropy production or work in the original processto the similar statistics in the time-reversed process. The origin of a variety of fluctua-tion relations is traced to the use of different time reversals. It is also shown how theapplication of the presented approach to the tangent process describing the joint evolu-tion of infinitesimally close trajectories of the original process leads to a multiplicativeextension of the fluctuation relations.

1. Introduction

Nonequilibrium statistical mechanics attempts a statistical description of closed andopen systems evolving under the action of time-dependent conservative forces or undertime-independent or time dependent non-conservative ones. Fluctuation relations arerobust identities concerning the statistics of entropy production or performed work insuch systems. They hold arbitrarily far from thermal equilibrium. Close to equilibrium,they reduce to Green-Kubo or fluctuation-dissipation relations, usually obtained in thescope of linear response theory [87,44]. Historically, the study of fluctuation relationsoriginated in the numerical observation of Evans, Cohen and Morriss [23] of a symme-try in the distribution of fluctuations of microscopic pressure in a thermostatted particlesystem driven by external shear. The symmetry related the probability of occurrence ofpositive and negative time averages of pressure over sufficiently long time intervals andpredicted that the former is exponentially suppressed with respect to the latter. Ref. [23]attempted to explain this observation by a symmetry, induced by the time-reversibility, ofthe statistics of partial sums of finite-time Lyapunov exponents in dissipative dynamicalsystems. This was further elaborated in [25] where an argument was given explaining

Member of C.N.R.S.

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such a symmetry in a transient situation when one starts with a simple state which evolvesunder dynamics, see also [26]. In refs. [35,36], Gallavotti and Cohen provided a theore-tical explanation of the symmetry observed numerically in [23] employing the theory ofuniformly hyperbolic dynamical systems. In this theory, the stationary states correspondto invariant measures of the SRB type [82] and the entropy production is described by thephase-space contraction [74]. The authors of [35,36] established a fluctuation theoremabout the rate function describing the statistics of large deviations of the phase-spacecontraction in a time-reversible dynamics. To relate to the behavior of realistic systems,they formulated the chaotic hypothesis postulating that many such systems behave, forpractical purposes, as the uniformly hyperbolic ones. They interpreted the numericalobservations of ref. [23] as a confirmation of this hypothesis. The difference between thefluctuation relations for a transient situation analyzed in [25,26] and the stationary onediscussed in [35,36] was subsequently stressed in [16]. The debate about the connectionbetween the transient and stationary fluctuation relations still continues, see e.g. [77]and [33].

In another early development, Jarzynski established in [48] a simple transient relationfor the statistics of fluctuations of work performed on a system driven by conservativetime-dependent forces. This relation is now known under the name of the Jarzynskiequality. A similar observation, but with more limited scope, was contained in earlierwork [4–6], see [52] for a recent comparison. The simplicity of the Jarzynski equalityand its possible applications to measurements of free-energy landscape for small systemsattracted a lot of attention, see [72,73] and the references therein.

The first studies of fluctuation relations dealt with the deterministic dynamics offinitely-many degrees of freedom. Such dynamics may be also used to model systemsinteracting with environment or with heat reservoirs. To this end, one employs simplifiedfinite-dimensional models of reservoirs forced to keep their energy constant [24]. Thistype of models was often used in numerical simulations and in discussing fluctuationrelations, see e.g. [33]. A more realistic treatment of reservoirs would describe them asinfinite systems prepared in the thermal equilibrium state. Up to now, only infinite sys-tems of non-interacting particles could be treated effectively, see [21,22]. A less realisticdescription of interaction with environment or with reservoirs consists of replacing themby a random noise, usually shortly correlated in time. This leads to Markovian stochas-tic evolution equations. Stochastic models are often easier to control than deterministicones and they became popular in modeling nonequilibrium dynamics.

In [49], Jarzynski generalized his relation to time-dependent Markov processes withthe instantaneous generators satisfying the detailed balance relation. At almost the sametime, Kurchan has shown in [56] that the stationary fluctuation relations hold for thestochastic Langevin-Kramers evolution. His result was extended to more general diffu-sion processes by Lebowitz and Spohn in [59]. In [63], Maes has traced the origin offluctuation relations to the Gibbsian nature of the statistics of the dynamical histories,see a recent discussion of the fluctuation relations from this point of view in [64]. Searlesand Evans generalized their transient fluctuation relation to the stochastic setup in [76].Finally, within the stochastic approach, the scope of the transient fluctuation relationswas further extended due to the works of Crooks [18,19], Jarzynski [51], Hatano andSasa [46], Speck and Seifert [78] and Chernyak, Chertkov and Jarzynski [10], just tocite only the papers that most influenced the present authors. It is worth stressing thatthe general transient fluctuation relations do not impose the time reversibility of thedynamics but compare the fluctuation statistics of the original process and of its timereversal. Such an extension of the scope of fluctuation relations is a possibility in the

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stationary case as well, but it becomes a necessity in many transient situations. Withinthe theory of the hyperbolic dynamical systems, the stationary fluctuation theorem of[35] was recently generalized to the random dynamics in [8].

In [1], Balkovsky, Falkovich and Fouxon noticed another robust relation concerningthe large deviations of finite-time Lyapunov exponents in the context of homogeneoushydrodynamic flows. It was remarked in [29], that this observation, which we shallcall, following [40], the multiplicative fluctuation relation, provides an extension ofthe previously known fluctuation relations for the phase-space contraction. The simpleargument presented in [1] dealt with a transient situation. It was very similar to theoriginal Evans-Searles argument as formulated later in [26]. The multiplicative fluc-tuation relation was explicitly checked in the Kraichnan model of hydrodynamic flows[1,29,11].

The theoretical work on fluctuation relations has established most of them as mathe-matical identities holding within precisely defined models, but concerning statistics ofevents that are rare, especially for macroscopic systems. The relevance of such identitiesto numerical simulations and, even more, to real experiments, required a confirmation.Numerical (see e.g. [7,45,83,38,86]) and experimental testing of the fluctuation relations(see e.g. [15,37,17,2,54,47]) has attracted over the years a lot of attention, inspiring fur-ther developments. It will probably remain an active field in the future. It is not, however,the topic of the present paper.

The growing number of different fluctuation relations made urgent a development ofa unifying approach. Several recent reviews partially provided such a unification fromdifferent points of view, see ref. [26,64,57,10]. In the present paper, we attempt ano-ther synthesis, with the aim of supplying a uniform derivation of most of the knownfluctuation relations, including the multiplicative ones. We shall work in the setup of(possibly non-autonomous) diffusion processes in finite-dimensional spaces, somewhatsimilar, but more general than the one adopted in [59]. The systems considered include,as special cases, the deterministic dynamics, the Langevin stochastic equation, and theKraichnan model of hydrodynamic flow. This is certainly not the most general setuppossible for discussing fluctuation relations (for example, the discrete-time dynamics,the stochastic dynamics with jumps, or non-Markovian evolutions are not covered),but it is general enough for a unified discussion of a variety of aspects of fluctuationrelations. Most of our considerations are simple extensions of arguments that appea-red earlier in usually more constrained contexts. There are two basic ideas that we tryto exploit to obtain a larger flexibility than in the previous discussions of fluctuationrelations. The first one concerns the possible time-reversed processes that we admit.This idea appeared already in [10], where two different time inversions were used forthe Langevin dynamics with non-conservative forces, leading to two different back-ward processes and two different fluctuation relations. We try to exploit the freedom ofchoice of the time-inversion in a more systematic way. The second idea, which seemsoriginal to us, although it is similar in spirit to the first one, is to obtain new fluctua-tion relations by considering new diffusion processes derived from the original one.In particular, we show that the multiplicative fluctuation relations for general diffusionprocesses may be obtained by writing a more standard relation for the tangent diffu-sion process describing a simultaneous evolution of infinitesimally close trajectories ofthe original process. The same idea may be used [13] to explain additional fluctuationrelations, like the one for the rate function of the difference of finite-time Lyapunovexponents “along unstable flag” that was observed in [11] for the anisotropic Kraichnanmodel.

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The present paper is organized as follows. In Sect. 2, we define the class of diffusionprocesses that will be discussed and list four special cases. Section 3 recalls the notionsof transition probabilities and generators of a diffusion process, as well as the detailedbalance relation. In Sect. 4, we introduce the tangent diffusion process induced from theoriginal one and define the phase-space contraction. Time inversions leading to differentbackward processes are discussed in Sect. 5, with few important examples listed inSect. 6. A formal relation between the expectations in the forward and in the backwardprocess is introduced in Sect. 7. As examples, we discuss the case of tangent process inthe homogeneous Kraichnan flow, a simple generalization of the detailed balance relationand the 1st law of thermodynamics for the Langevin dynamics. Section 8 is devoted toa general version of the Jarzynski equality, whose different special cases are reviewed,and Sect. 9 to a related equality established by Speck and Seifert in [78]. We formulatethe Jarzynski equality as a statement that for a certain functional W of the diffusionprocess, the expectation value of e−W is normalized. In Sect. 10, the functional W isrelated to the entropy production and the positivity of its expectation value is interpretedas the 2nd law of thermodynamics for the diffusive processes. In Sect. 11, we show howthe general Jarzynski equality reduces in the linear response regime to the Green-Kuboand Onsager relations for the transport coefficients and to the fluctuation-dissipationtheorem. In Sect. 12, we discuss briefly a peculiar one-dimensional Langevin process inwhich the equilibrium is spontaneously broken and replaced by a state with a constantflux, leading to a modification of the fluctuation-dissipation relation. The model is wellknown from the theory of one-dimensional Anderson localization and describes also theseparation of infinitesimally close particles with inertia carried by a one-dimensionalKraichnan flow. Section 13.3 formulates in the general setup of diffusion processeswhat is sometimes termed a detailed fluctuation relation [51,19], an extension of theCrooks fluctuation relations [18]. Few special cases are retraced in Sect. 14.

Up to this point of the paper, the discussion is centered on the transient evolutionwhere the system is initially prepared in a state that changes under the dynamics. InSect. 15, we discuss the relation of the transient fluctuation relations to the stationaryones which pertain to the situation where the initial state is preserved by the evolution.The stationary relations are usually written for the rate function of large deviations ofentropy production observed in the long-time regime. In our case, they describe the longtime asymptotics of the statistics of W . The Gallavotti-Cohen relation was the firstexample of such identities. We show how the fluctuation relation for the tangent processin the homogeneous Kraichnan flow discussed in Sect. 7 leads to a generalization of theGallavotti-Cohen relation that involves the large-deviations rate function of the so calledstretching exponents whose sum describes the phase-space contraction. In Sect. 16, weextend such a multiplicative fluctuation relation to the case of general diffusion pro-cesses. Section 17 contains speculation about possible versions of fluctuation relationsfor multi-point motions and Sect. 18 collects our conclusions. Few simple but more tech-nical arguments are deferred to Appendices in order not to overburden the main text,admittedly already much more technical than most of the work on the subject. Some ofthe technicalities are due to a rather careful treatment of the intricacies related to theconventions for the stochastic differential equations that are usually omitted in physicalliterature. The aim at generality, even without pretension of mathematical rigor, placesthe stress on the formal aspects and makes this exposition rather distant from physicaldiscourse, although we make an effort to include many examples that illustrate generalrelations in more specific situations. The physical content is, however, more transparentin examples to such examples which are scarce in the present text but which abound in

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the existing literature to which we often refer. Certainly, the paper will be too formal formany tastes, and we take precautions to warn the potential reader who can safely omitthe more technical passages.

After submission of the first version of the paper, we received the article [66] whichinfluenced our revision of Sect. 10.

2. Forward Process

As mentioned in the Introduction, the present paper deals with non-equilibrium systemsmodeled by diffusion processes of a rather general type. More concretely, the mainobjects of our study are the stochastic processes xt in Rd (or, more generally, on ad-dimensional manifold), described by the differential equation

x = ut (x) + vt (x) , (2.1)

where x ≡ dxdt and, on the right hand side, ut (x) is a time-dependent deterministic

vector field (a drift), and vt (x) is a Gaussian random vector field with mean zero andcovariance

⟨vi

t (x) vjs (y)

⟩ = δ(t − s) Di jt (x, y) . (2.2)

Due to the white-noise nature of the temporal dependence of vt (typical vt are distri-butional in time), Eq. (2.1) is a stochastic differential equation (SDE). We shall considerit with the Stratonovich convention1 [71,67], keeping for the Stratonovich SDEs thenotation of the ordinary differential equations (ODEs). Examples of systems describedby Eq. (2.1) include four special cases that we shall keep in mind.

Example 1. Deterministic dynamics. Here vt (x) ≡ 0 and Di jt (x, y) ≡ 0 so that

Eq. (2.1) reduces to the ODE

x = ut (x) . (2.3)

Example 2. Lagrangian flow in the Kraichnan model. This is a process used in modelingturbulent transport. The SDE (2.1), where one usually takes ut (x) ≡ 0, describes themotion of tracer particles in a stationary Gaussian ensemble of velocities vt (x) whitein time. Such an ensemble, with an appropriate time-independent spatial covarianceDi j (x, y), was designed by Kraichnan [62] to mimic turbulent velocities. In particular,homogeneous flows are modeled by imposing the translation invariance Di j (x, y) =Di j (x − y) and isotropic ones by assuming that Di j (x, y) is rotation-covariant. In thispaper, we shall consider only the case when Di j (x, y) is smooth. A discussion of thecase with Di j (x, y) non-smooth around the diagonal, pertaining to the fully developedturbulence, may be found in [29], or, on a mathematical level, in [60].

Example 3. Langevin dynamics. Here Eq. (2.1) takes the form2

x i = −i j∂ j Ht (x) + i j∂ j Ht (x) + Git (x) + ζ i

t , (2.4)

1 The choice of the Stratonovich convention guarantees that ut and vt transform as vector fields under achange of coordinates.

2 We use throughout the paper the summation convention.

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where is a constant non-negative matrix and an antisymmetric one, the HamiltonianHt is a, possibly time dependent, function, Gt is an additional force, and ζt is thed-dimensional white noise with the covariance

⟨ζ i

t ζj

s⟩ = 2 δ(t − s) β−1i j . (2.5)

In this example, the noise ζt plays the role of the (space-independent) random vectorfield vt so that Di j

t (x, y) = 2β−1i j . For Gt ≡ 0 and a time independent HamiltonianHt ≡ H , the Langevin dynamics is used to model the approach to thermal equilibrium atinverse temperature β [46]. The deterministic vector field −i j∂ j H drives the solutiontowards the minimum of H (if it exists) whereas the Hamiltonian vector field i j ∂ j Hpreserves H . The noise ζt generates thermal fluctuations of the solution. Note thatits spatial covariance is aligned with the matrix appearing in the dissipative force−i j∂ j H (such an alignment, known from Einstein’s theory of Brownian motion, isoften called the Einstein relation). Inclusion of the Hamiltonian vector field permits tomodel systems where the noise acts only on some degrees of freedom, e.g. the onesat the ends of a coupled chain, with the rest of the degrees of freedom undergoing aHamiltonian dynamics. The introduction of a time-dependence and/or of the force Gtpermits to model nonequilibrium systems. In the particular case of vanishing , theSDE (2.4) reduces to the ODE

x i = i j∂ j Ht (x) + Git (x) (2.6)

describing a deterministic Hamiltonian dynamics in the presence of an additional forceGt .

Example 4. Langevin-Kramers equation. This is a special case of the Langevin dynamicsthat takes place in the phase space of n degrees of freedom with x = (q, p) and

=(

0 00 γ

), =

(0 1−1 0

), Ht = 1

2 p · m−1 p + Vt (q), Gt = (0, ft (q)),

where γ = 0 is a non-negative n × n matrix, m−1 a positive one, and 1 the unitone. Here, Eq. (2.4) reduces to the standard relation pi = mi j q j between momenta andvelocities, where m is the mass matrix, and to the second order SDE,

mi j qj = −γik qk − ∂i Vt (q) + fti (q) + ζi , (2.7)

that we shall call Langevin-Kramers equation, with the n-dimensional white noise ζsuch that

⟨ζi t ζ j t ′

⟩ = 2β−1γi j δ(t − t ′) .

The Langevin-Kramers equation has the form of the Newton equation with the friction−γ q and white-noise ζt forces supplementing the conservative one −∇Vt and theadditional one ft . It was discussed in [57] in a very similar context. In the limit ofa strongly overdamped system when the friction term becomes much larger than thesecond order one, the Langevin-Kramers equation (2.7) reduces to the first order SDE,

γik qk = − ∂i Vt (q) + fti (q) + ζi ,

which, if γ > 0, may be cast again into the form (2.4) but with = γ−1, = 0and Ht = Vt . One should keep in mind this change when applying the results describedbelow for the Langevin dynamics (2.4) to the overdamped Langevin-Kramers dynamics.

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3. Transition Probabilities and Detailed Balance

Let us recall some basic facts about the diffusion processes in order to set the notations.We shall denote by Et0

x the expectation of functionals of the Markov process xt solvingthe SDE (2.1) with the initial condition xt0 = x . For t ≥ t0, the relation

Et0x g(xt ) =

∫Pt0,t (x, dy) g(y) ≡ (Pt0,t g)(x) (3.1)

defines the transition probabilities Pt0,t (x, dy) of the process xt and the operator Pt0,t .The transition probabilities satisfy the normalization condition

∫Pt0,t (x, dy) = 1 and

the Chapman-Kolmogorov chain rule∫

Pt0,t (x, dy) Pt,t ′(y, dz) = Pt0,t ′(x, dz) .

The evolution of the expectation values is governed by the second-order differentialoperators Lt defined by the relation

d

dtEt0

x g(xt ) = Et0x (Lt g)(xt ) . (3.2)

The explicit form of Lt is found by a standard argument that involves the passage fromthe Stratonovich to the Itô convention. For reader’s convenience, we give the details inAppendix A. The result is:

Lt = uit∂i + 1

2 ∂ j di jt ∂i , (3.3)

where

di jt (x) = Di j

t (x, x) and uit (x) = ui

t (x)− 12 ∂y j Di j

t (x, y)|y=x . (3.4)

Due to the relation (3.1), Eq. (3.2) may be rewritten as the operator identity ∂t Pt0,t =Pt0,t Lt . Together with the initial condition Pt0,t0 = 1, it implies that Pt0,t is given bythe time-ordered exponential

Pt0,t =−→T exp

( t∫

t0

Ls ds)=∞∑

n=0

∫

t0≤s1≤s2≤....≤t

Ls1 Ls2 ....Lsn ds1ds2...dsn . (3.5)

In particular, Pt0,t = e(t−t0)L ≡ Pt−t0 in the stationary case with ut ≡ u and Dt ≡ D.The operator Lt ≡ L is then called the generator of the process.

The stochastic process xt may be used to evolve measures. Under the stochasticdynamics, the initial measure µt0(dx) evolves at time t to the measure

µt (dy) =∫µt0(dx) Pt0,t (x, dy) . (3.6)

We shall use below the shorthand notation: µt = µ0 P0,t . For measures with densitiesµt (dx) = ρt (x) dx with respect to the Lebesgue measure dx , Eq. (3.6) is equivalent tothe evolution equation

∂tρt = ∂i(− ui

t + 12 di j

t ∂ j)ρt ≡ L†

t ρt , (3.7)

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where L†t is the (formal) adjoint of the operator Lt . The latter relation may be rewritten

as the continuity equation

∂tρt + ∇ · j = 0 with j it = (ui

t − 12 di j

t ∂ j )ρt , (3.8)

where ∇ · j ≡ ∂i j it is the divergence of the density current jt corresponding to the

measure µt (the probability current, if µt is normalized). In the case with no explicittime dependence when Lt ≡ L , an invariant density ρ, corresponding to an invariantmeasure µ(dx) = ρ(x) dx of the process, satisfies the equation L†ρ = 0 which maybe rewritten in the form of the current conservation condition ∇ · j = 0. We shall oftenwrite the invariant density ρ(x) in the exponential form as e−ϕ(x). One says that theprocess satisfies the detailed balance relation with respect to ϕ if the density currentj related to the measure µ(dx) = e−ϕ(x)dx vanishes itself, i.e. if

ui = − 12 di j∂ jϕ .

Equivalently, this condition may be written as the relation

L† = e−ϕL eϕ ,

for the generator of the process or as the identity

µ(dx) Pt (x, dy) = µ(dy) Pt (y, dx) (3.9)

for the transition probabilities. In all these three forms, it implies directly that µ is aninvariant measure. The converse, however, is not true: there exist stationary diffusionprocesses with invariant measures that do not satisfy the detailed balance relation.

The generator of the stationary Langevin equation with = 0 and G = 0 satisfiesthe detailed balance relation with respect to ϕ = βH so that the Gibbs density ρ(x) =e−βH(x), and, if the latter is normalizable, the Gibbs probability measure µG(dx) =Z−1e−βH(x)dx , are invariant under such dynamics. The invariance still holds when = 0 but, in this case, the detailed balance relation fails. We shall see below how togeneralize the latter to catch also the case with conservative forces when = 0.

4. Tangent Process and Phase-Space Contraction

One may generate other processes of a similar nature from the diffusive process (2.1).Such constructions will play an important role in studying fluctuation relations. As thefirst example, let us consider the separation δxt between the solution xt of Eq. (2.1)with the initial value x0 = x and another solution infinitesimally close to xt . Such aseparation evolves according to the law

δxt = Xt (x) δx0 ,

where the matrix Xt (x) with the entries

Xit j (x) =

∂xit

∂x j0

(x) (4.1)

solves the (Stratonovich) SDE

X ij =

(∂kui

t + ∂kvit

)(xt ) Xk

j (4.2)

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with the initial condition X0(x) = 1. Together with Eq. (2.1), the SDE (4.2) definesa diffusion process (xt ,Xt ) that we shall call the tangent process. In particular, thequantity − ln det Xt that represents the accumulated phase-space contraction along thetrajectory xt , solves the SDE

ddt

(− ln det X) = −(∇ · ut + ∇ · vt )(xt ) . (4.3)

The right hand side of Eq. (4.3) is the phase-space contraction rate. We infer that

− ln det Xt = −T∫

0

(∇ · ut )(xt ) dt −T∫

0

(∇ · vt )(xt ) dt . (4.4)

The second integral on the right hand side should be interpreted with the Stratono-vich convention. The phase-space contraction is an important quantity in the study ofnonequilibrium dynamics and it will reappear in the sequel.

5. Backward Processes

Among the diffusion processes that may be generated from the original process (2.1)are the ones which may be interpreted as its time reversals. The action of time inversionon space-time will be given by the transformation

(t, x) −→ (T − t, x∗) ≡ (t∗, x∗) (5.1)

for an involution x → x∗. It may be lifted to the level of process trajectories by definingthe transformed trajectory xt by the relation

xt = x∗t∗ . (5.2)

In general, however, we shall not define the time-reversed process as xt because, inthe presence of dissipative deterministic forces like friction, such time inversion wouldlead to an anti-dissipative dynamics. We shall then allow for more flexibility. In order todefine the time-reversed process, we shall divide the deterministic vector field ut intotwo parts

ut = ut,+ + ut,− , (5.3)

that we shall loosely term dissipative and conservative, choosing different time-inversionrules for them. The time-reversed process x′t will be given by the SDE

x ′ = u′t (x ′) + v′t (x ′) (5.4)

with the deterministic vector field u′t = u′t,+ + u′t,− and the random one v′t defined bythe equations

u′it,±(x) = ±(∂k x∗i )(x∗) u kt∗,±(x∗) and v′it (x) = ±(∂k x∗i )(x∗) vk

t∗(x∗) . (5.5)

Note that ut,+ transforms as a vector field under the involution x → x∗ and ut,− as apseudo-vector field. For vt we may use whichever rule since vt and −vt have the samedistribution. The SDE (5.4) for the time-reversed process x′t coincides with the one forthe process xt defined by Eq. (5.2) if and only if ut,+ vanishes and vt is transformed

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according to the pseudo-vector rule. We shall call x′t the backward process referringto xt as the forward one. The random vector field v′t of the backward process is againGaussian with mean zero and white-noise behavior in time. Its covariance is

⟨v′it (x) v

′ js (y)

⟩ = δ(t − s) D′i jt (x, y) ,

where

D′i jt (x, y) = (∂k x∗i )(x∗) Dkl

t∗ (x∗, y∗) (∂l x

∗ j)(y∗) . (5.6)

As before, see Eqs. (3.4), we shall denote

d ′i jt (x) = D′i j

t (x, x), u′it (x) = u′it (x)− 12 ∂y j D′i j

t (x, y)|y=x . (5.7)

Remark 1. Using the chain rule (∂ j x∗i )(x∗)(∂k x∗ j )(x) = δik , it is easy to see that the

time-inversion transformations (5.5) are involutive.

Let us emphasize that the choice of a time inversion consists of the choice of the involution(5.1) and of the splitting (5.3) of ut . We shall call the process time-reversible (for agiven choice of time inversion) if the deterministic vector fields u and u′ of the forwardand of the backward processes coincide and if the respective random vector fields vtand v′t have the same distribution, i.e. if

uit,+(x) + ui

t,−(x) = (∂k x∗i )(x∗)(uk

t∗,+(x∗) − uk

t∗,−(x∗))

and if

Di jt (x, y) = (∂k x∗i )(x∗) Dkl

t∗ (x∗, y∗) (∂l x

∗ j)(x∗) . (5.8)

Note that the first identity is equivalent to the relations

uit,±(x) = 1

2

(ui

t (x) ± (∂k x∗i )(x∗) ukt∗(x∗)

)(5.9)

and can be always achieved by taking such a splitting of ut . It may be not easy, however,to realize physically the backward process corresponding to the splitting (5.9). Thesecond condition (5.8) is a non-trivial constraint on the distribution of the the white-noisevelocity vt . Nevertheless, if Dt is time-independent, it may be satisfied by choosingthe trivial involution x∗ ≡ x .

Parallelly to the splitting (5.3) of the drifts ut and u′t , we shall divide the operatorsgenerating the forward and the backward evolution into two parts:

Lt = Lt,+ + Lt,−, L ′t = L ′t,+ + L ′t,−according to the formulae:

Lt,+ = uit,+∂i + 1

2 ∂ j di jt ∂i , Lt,− = ui

t,−∂i ,

L ′t,+ = u′it,+∂i + 12 ∂ j d

′i jt ∂i , L ′t,− = u′it,−∂i .

The time-inversion rules become even more transparent when expressed in terms of thesplit generators. Let R denote the involution operator acting on the functions by

(R f )(x) = f (x∗) . (5.10)

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Lemma 1.

L ′t,± = ± R Lt∗,±R . (5.11)

Proof of Lemma 1, involving a straightforward although somewhat tedious check, isgiven in Appendix B.

Below, similarly as for the forward process, we shall denote by E′t0x the expectationof functionals of the backward process satisfying the initial condition x′t0 = x . Fort ≥ t0, the relations

E′t0x g(x′t ) = (P ′t0,t g)(x) with P ′t0,t =−→T exp

( t∫

t0

L ′s ds)

define the operators whose kernels give the transition probabilities of the time-reversedprocess x′t .

6. Examples of Time-Inversion Rules

The preceding considerations were very general. Physically, not all time-inversion rulesfor the diffusive processes (2.1) described above are on equal footing. In particularsituations, some rules may be more natural or easier to implement than other ones. Letus list here a few cases of special time inversions that were discussed in the literatureand/or will be used below.

6.1. Natural time inversion. Taking the trivial splitting ut,+ = 0, ut,− = ut com-bined with an involution x → x∗ leads to the time-inversion rules that producethe backward process with trajectories related by the transformation (5.2) to the ones ofthe forward process if the pseudo-vector field rule is used when transforming vt . Thisis the time inversion usually employed for the deterministic systems but it may be usedmore generally.

6.2. Time inversion with ut,+ = 0. Consider the time inversion corresponding to anarbitrary involution x → x∗ and the choice

ut,+ = 0, ut,− = ut . (6.1)

of the splitting of ut . Such a time inversion is a slight modification of the natural one towhich it reduces in the case of deterministic dynamics (2.3) with vt ≡ 0. As we showin Appendix C, the backward dynamics corresponding to the splitting (6.1) is given bythe relations

u′it,+(x) = 12 d ′i j

t (x) (∂ j ln σ)(x), u′it,−(x) = −(∂k x∗i )(x∗) ukt∗(x∗) , (6.2)

where σ(x) = σ(x∗)−1 denotes the absolute value | det(∂ j x∗i )(x)| of the Jacobianof the involution x → x∗. The time inversion considered here will be used to obtainfluctuation relations in the limiting case of deterministic dynamics (2.3) when Di j

t isset to zero and the backward dynamics is given by the ODE

x ′i = u′it (x ′) for u′it (x) = −(∂k x∗i )(x∗) ukt∗(x∗) , (6.3)

obtained from the ODE (2.3) by the natural time inversion.

480 R. Chetrite, K. Gawedzki

6.3. Time inversion in the Langevin dynamics. To explain why the rules of time inversionwith non-vanishing ut,+ are more generally needed, we consider the case of the Lan-gevin dynamics that involves the dissipative force −∇Ht . Let us arbitrarily split thecorresponding drift ut into two parts:

ut = −∇Ht + ∇Ht + Gt = ut,+ + ut,− , (6.4)

see Eq. (2.4). Recall the relation (2.5) that aligns the matrix with the covariance ofthe white-noise vt = ζt . It is natural to require the backward dynamics to be also of theLangevin type but for the time-reversed Hamiltonian H ′t (x) = Ht∗(x∗). This requiresthat

u′t = −′∇H ′t + ′∇H ′t + G ′t = u′t,+ + u′t,− , (6.5)

and that v′t (x) = ζ ′t with the covariance of the white noise ζ ′t aligned with matrix ′ asin Eq. (2.5). Upon restriction to linear involutions x∗ = r x with the matrix r squaringto 1, the transformation rules (5.5) become

u′t,±(x) = ±rut∗,±(r x), ζ ′t = ±rζt∗ .

The condition on the covariance of ζ ′t imposes the relation ′ = rr T . Applying r toboth sides of Eq. (6.5) taken at time t∗ and at point r x , we infer that

− r′r T∇Ht (x) + r′r T∇Ht (x) + rG ′t∗(r x) = ut,+(x)− ut,−(x) .

The latter identity, together with Eq. (6.4), result in the relations

ut,+(x) = −∇Ht (x) + 12 ( + r′r T )∇Ht (x) + 1

2 (Gt (x) + rG ′t∗(r x)) ,

ut,−(x) = − 12 (− r′r T )∇Ht (x) + 1

2 (Gt (x)− rG ′t∗(r x)) .

At least when is strictly positive, Ht is not a constant, and the extra force Gt isabsent, one infers that the component ut,+ cannot vanish identically by considering thecontraction (∇Ht ) · ut,+. We shall call canonical a choice of the time inversion for theLangevin dynamics for which

′ = rr T = , ′ = −rr T = , (6.6)

ut,+ = −∇Ht , ut,− = ∇Ht + Gt . (6.7)

Note that such a time inversion treats the force Gt as a part of ut,− even when thisforce is of the non-conservative type. The Langevin dynamics is time-reversible undera canonical time inversion if H ′t = Ht and G ′t = Gt . For the Langevin-Kramersequation, the standard phase-space involution (q, p)∗ = r(q, p) = (q,−p) verifiesEqs. (6.6) and it leads to the particularly simple canonical time-inversion rules with

V ′t = Vt∗ , f ′t = ft∗

and to the time-reversibility if Vt = Vt∗ and ft = ft∗ .

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 481

6.4. Reversed protocol. The time inversion corresponding to the choice

ut,+ = ut , ut,− = 0 (6.8)

and the trivial involution x∗ ≡ x was termed in [10] a reversed protocol. It may beviewed as consisting of the inversion of the time-parametrization in the vector fieldsin the SDE (2.1), if the vector-field rule is used to reverse vt . In the stationary case,where it results in time-reversibility, such a time inversion was employed already in [59].Here, we shall admit also a possibility of a non-trivial involution x → x∗. The reversedprotocol leads then to the backward process with

u′it,+ = (∂k x∗i )(x∗) ukt∗(x∗), u′it,− = 0, v′it = (∂k x∗i )(x∗) vk

t∗(x∗) . (6.9)

6.5. Current reversal. Suppose that e−ϕt are densities satisfying L†t e−ϕt = 0. Such

densities would be preserved by the evolution if the generator of the process were frozento Lt . The density current corresponding to e−ϕt has the form

j it =

(ui

t + 12 di j

t (∂ jϕt ))

e−ϕt ,

see Eq. (3.8). It is conserved due to the relation L†t e−ϕt = 0. The time inversion defined

by the choice

uit,+ = − 1

2 di jt ∂ jϕt , ui

t,− = uit + 1

2 di jt ∂ jϕt , (6.10)

and an arbitrary involution x → x∗ leads, after an easy calculation using the results ofAppendix C, to the backward process with

u′it,+ = − 12 d ′i j

t ∂ jϕ′t , u′it,−(x) = −(∂k x∗i )(x∗) uk

t∗,−(x∗)

v′it = ±(∂k x∗i )(x∗) vit∗(x∗) (6.11)

for ϕ′t (x) = (ϕt∗ + ln σ)(x∗). The density current for the backward process correspon-ding to the densities e−ϕ′t is

j ′it =(u′it + 1

2 d ′i jt (∂ jϕ

′t )

)e−ϕ′t

= u′it,−(x) e−ϕ′t (x) = −(∂k x∗i )(x∗) ukt∗,−(x∗) e−ϕt∗ (x∗)σ (x)

= −(∂k x∗i )(x∗)(uk

t∗(x∗) + 1

2 di jt∗ (x

∗)(∂ jϕt∗)(x∗)

)e−ϕt σ(x)

= − (∂k x∗i )(x∗) j k(x∗) σ (x) (6.12)

and is also conserved, as is easy to check. It follows that L ′†t e−ϕ′t = 0. We shall term thetime inversion corresponding to the choices (6.10) the current reversal. For x∗ ≡ xwhen it just reverses the sign of the density current, it was already employed in animplicit way in [43], and was introduced explicitly (under a different name) in [10]. Thelatter reference discussed also a simple two-dimensional model for which the inverseprotocol and the current reversal led to different backward processes.

482 R. Chetrite, K. Gawedzki

6.6. Complete reversal. Finally, modifying slightly the last scheme, let us suppose thedensities ρt = e−ϕt evolve under the dynamics solving Eq. (3.7). With the same splitting(6.10) as for the current reversal, we obtain the backward process for which Eqs. (6.11)and (6.12) still hold for ϕ′t (x) = (ϕt∗ + ln σ)(x∗). We shall call the corresponding timeinversion the complete reversal. Unlike in the other examples, it depends also on thechoice of the initial density ρ0 and may be difficult to realize physically. The time-reflected densities ρ′t = e−ϕ′t evolve now according to the backward-process versionof Eq. (3.7). The current reversal and the complete reversal coincide in the case withoutexplicit time dependence and with the choice of ϕt ≡ ϕ such that e−ϕdx is an invariantmeasure.

7. Relation Between Forward and Backward Processes

A comparison between the forward and the backward processes will be at the core offluctuation relations that we shall discuss. To put the processes in the two time directionsback-to-back, we shall adapt to the present setup the arguments developed in Sect. 5 of[59]. Let us introduce a perturbed version of the generator Lt of the forward process,

L1t = Lt − 2 ui

t,+∂i − (∂i uit,+) + (∂i u

it,−) . (7.1)

Operator L1t is related in a simple way to the generator of the backward process:

R(L1

t

)†R = R

(∂i u

it,+ − ∂i u

it,− + 1

2 ∂i di jt ∂ j − (∂i u

it,+) + (∂i u

it,−)

)R

= R Lt,+ R − R Lt,−R = L ′t∗ , (7.2)

where R is defined by Eq. (5.10) and the last equality is a consequence of the relations(5.11). Let us consider the time-ordered exponential of the integral of L1

t . Using therelation L1

t = (R L ′t∗R)† that follows from Eq. (7.2), we infer that

P1t0,t ≡

−→T exp( t∫

t0

L1s ds

)= ←−T exp

(t∗0∫

t∗(R L ′s R)† ds

)

=[

R−→T exp

(t∗0∫

t∗L ′s ds

)R]† = (

R P ′t∗,t∗0 R)†. (7.3)

Above, the first inversion of the time order from−→T to

←−T was due to the change ofintegration variables s → s∗ = T − s, and the second one, to the fact that the hermitianconjugation reverses the order in the product of operators. Let us remark that A(y,dx)

dx dyis the kernel of the operator A† and A(x∗, dy∗) of the operator R AR if A(x, dy) isthe kernel of a real operator A. Rewriting Eq. (7.3) in terms of the kernels, with thesecomments in mind, we obtain the identity

dx P1t0,t (x, dy) = dy P ′t∗,t∗0 (y

∗, dx∗) . (7.4)

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 483

Remark 2. The transition probability of the backward process on the right hand side maybe replaced by the one of the forward process in the time-reversible case.

Note that the 2nd order differential operator L1t differs from Lt only by lower order

terms, see Eq. (7.1). A combination of the Cameron-Martin-Girsanov and the Feynman-Kac formulae [79] permits to express the kernel P1

t0,t (x, dy) as a perturbed expectationfor the forward process.

Lemma 2. If the matrix(di j

t (x))

is invertible for all t and x then

P1t0,t (x, dy) = Et0

x e−

t∫

t0

Js ds

δ(xt − y) dy , (7.5)

where

Jt = 2 ut,+(xt ) · d−1t (xt ) xt − 2 ut,+(xt ) · d−1

t (xt ) ut,−(xt ) − (∇ · ut,−)(xt ) (7.6)

is a (local) functional of the solution xt of the SDE (2.1). The right hand side of Eq. (7.6)uses the vector notation. The first term in the expression for Jt has to be interpretedwith the Stratonovich convention.

Proof of Lemma 2 is deferred to Appendix D. A combination of the relations (7.5) and(7.4) gives immediately

Proposition 1.

dx Et0x e−

t∫

t0

Js ds

δ(xt − y) dy = dy P ′t∗,t∗0 (y∗, dx∗) . (7.7)

This is the first fluctuation relation of a series to be considered. It connects the transitionprobability of the backward process to an expectation in the forward process weightedwith an exponential factor. Let us illustrate this relation in a few particular situationsrelated to the examples of the diffusion processes considered in Sect. 2.

Example 5. Tangent process in the stationary homogeneous Kraichnan model. RecallSect. 4 devoted to the definition of a tangent process. Let us consider the tangent process(xt ,Xt ) with fixed initial data x0 = x and X0 = 1 for the homogeneous Kraichnanmodel. As was discussed in detail in [40], in this case, the distribution of the process Xtmay be obtained by solving, instead of the SDE (4.2) with ut ≡ 0, a simpler linear ItôSDE

d X = St dt X (7.8)

with a matrix-valued white-noise St such that

⟨Si

t k S js l

⟩ = −δ(t − s) ∂k∂l Di j (0) .

In other words, in Eq. (4.2), we may replace ∂kvi (xt ) by ∂kv

it (0) ≡ Si

t k , if we changethe SDE convention to the Itô one at the same time. Consequently, in the homogeneousKraichnan model, the process Xt may be decoupled from the original process xt . Let

484 R. Chetrite, K. Gawedzki

us abbreviate: −∂k∂l Di jt (0) = Ci j

kl . Remark the symmetries Ci jkl = C ji

lk = Ci jlk = C ji

kl .The Itô SDE (7.8) may be rewritten as the equation

X ij = − 1

2 Cikkl Xl

j + Sit l Xl

j (7.9)

that employs the Stratonovich convention. Upon the use of the notations:

Uij (X) = − 1

2 Cikkl Xl

j , V it j (X) = Si

t l Xlj ,

it may be cast into the form

X = U (X) + Vt (X) , (7.10)

falling within the scope of (stationary) diffusion SDEs (2.1) and defining a Markovprocess Xt . The covariance of the white-noise “velocity” Vt (X) is

⟨V i

t k(X) V js l(Y )

⟩= δ(t − s) Di j

kl (X,Y ) with Di jkl (X,Y ) = Ci j

nm Xnk Y m

l .

As in the general case (3.4), we shall denote:

di jkl (X) = Di j

kl (X, X) U ij (X) = Ui

j (X)− 12 ∂X k

lDik

jl (X,Y )∣∣Y=X = −

d + 1

2Cni

nk Xkj .

Let us apply the reversed-protocol time inversion discussed in Sect. 6.4 to the forwardSDE (7.10). It corresponds to the trivial splitting of U with U+ = U and U− = 0 and toan involution X → X∗ that we shall also take trivial: X∗ ≡ X . The backward evolutionis then given by the same equation (7.9) with St replaced by S′t = St∗ , a matrix-valuedwhite noise with the same distribution as St . The time-reversibility follows. Supposethat the covariance C of the white noise S(t) is invertible3, i.e. that there exists a matrix(C−1)lnjm such that Ci j

kl (C−1)lnjm = δi

mδnk . Then the matrix

(d−1)lnjm(X)= (X−1)l p(X−1)nr (C

−1)prjm

provides the inverse of di jkl (X). Substituting these data into Eq. (7.6), we obtain

Jt=2(U ) jl(Xt ) (d

−1)lnjm(Xt ) Xmt n=− (d + 1) (X−1

t )nm Xmt n=− (d + 1)

d

dtln | det Xt |.

The relation (7.7) applied to the case at hand leads to the identity

d X0 Pt (X0, d X) | det X0|−(d+1)| det X |d+1 = d X Pt (X, d X0) , (7.11)

where Pt (X0, d X) denotes the transition probability of the forward process Xt solvingthe SDEs (7.8) or (7.9) and d X0 on the left hand side and d X on the right hand sidestand for the Lebesgue measures on the space of d × d matrices. We made use of thefact that the backward process has the same law as the forward one. Equation (7.11) isnothing else but the detailed balance relation with respect to ϕ(X) = (d + 1) ln | det X |.

3 The assumption about inversibility of C may be dropped at the end by a limiting argument.

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 485

Indeed, note that the density current corresponding to the density ρ(X) = | det X |−d+1

j (X) = (U (X) + 1

2 d(X)∇ϕ) | det X |−d+1 ,

see Eq. (3.8), vanishes.Integrating the left hand side of the identity (7.11) against a function f (X0, X) and

using the relation Pt (X0, d X) = Pt (1, d(X X−10 )) that follows from the invariance of

the corresponding SDE under the right multiplication of X by invertible matrices, weobtain the equalities

∫f (X0, X) det(X X−1

0 )d+1 d X0 Pt (X0, d X)

=∫

f (X0, X) det(X X−10 )d+1d X0 Pt (1, d(X X−1

0 ))

=∫

f (X0, X X0) (det X)d+1 d X0 Pt (1, d X)

=∫

f (X−1 X0, X0) (det X) d X0 Pt (1, d X) ,

where we twice changed variables in the iterated integrals. On the other hand, the inte-gration of the right hand side of Eq. (7.11) against f (X0, X) gives

∫f (X0, X) d X Pt (X, d X0) =

∫f (X, X0) d X0 Pt (X0, d X)

=∫

f (X X0, X0) d X0 Pt (1, d X)

=∫

f (X−1 X0, X0) d X0 Pt (1, d X−1) .

Comparing the two expressions, we infer that

Pt (1, d X) (det X) = Pt (1, d X−1) . (7.12)

This is a version of the Evans-Searles [25] fluctuation relation for the stationary homoge-neous Kraichnan model. In the context of general hydrodynamic flows, it was formulatedand proven by a change-of-integration-variables argument in [1], see also [40]. We shallreturn in Sect. 15 to the relation (7.12) in order to examine some of its consequences.Subsequently, we shall generalize it in Sect. 16 to arbitrary diffusion processes of thetype (2.1).

Example 6. Generalized detailed balance relation. Consider the complete-reversal rulesdiscussed in Sect. 6.6 and corresponding to the choice (6.10). Since, by virtue of theassumption that the densities e−ϕt evolve under the dynamics, see Eq. (3.7),

L†t e−ϕt = −∂i ui

t,−e−ϕt = e−ϕt (uit,−∂iϕt − ∂i u

it,−) = −e−ϕt ∂tϕt , (7.13)

the last two terms in the definition (7.6) reduce to − (∂tϕt )(xt ) in this case so that

Jt = −(∇ϕt )(xt ) · xt − (∂tϕt )(xt ) = − d

dtϕt (xt ) . (7.14)

486 R. Chetrite, K. Gawedzki

Upon integration over time, this produces boundary terms and Eq. (7.7) implies thegeneralized detailed balance relation:

µ0(dx) P0,T (x, dy) = µT (dy) P ′0,T (y∗, dx∗) , (7.15)

for µt (dx) = e−ϕt (x)dx . Note that Eq. (7.15) holds for any choice of the involutionx → x∗. Upon integration over x , it assures that the measures µt stay invariant underthe dynamics, what was assumed from the very beginning. In the case with no explicittime dependence, i.e. when Lt ≡ L , Eq. (7.15) holds, in particular, for ϕt ≡ ϕ suchthat µ = e−ϕdx is an invariant measure. In that case, the generalized detailed balancerelation reduces to the detailed balance one (3.9) if u− in the splitting (6.10) vanishesand x∗ ≡ x . This was the case in Example 5. Below, we shall see examples where theinvariant measure µ is known and the generalized detailed balance relation holds butwhere the detailed balance itself fails. Some of those cases fall under the scope of theLangevin dynamics. Let us discuss them first.

Example 7. 1st law of thermodynamics and generalized detailed balance for Langevindynamics. For Langevin dynamics with the splitting (6.7) of the drift, a direct substitutionyields

Jt = −β(∇Ht )(xt ) · xt + β(∇H)(xt ) · Gt (xt )− (∇ · Gt )(xt ) ≡ J Lant .

Upon the use of the dynamical equation (2.4),

T∫

0

J Lant dt =

T∫

0

[β (∇Ht )(xt ) · (∇Ht )(xt ) − β (∇Ht )(xt ) · ζt

−(∇ · Gt )(xt )]dt ≡ βQ , (7.16)

where Q may be identified with the heat transferred to the environment modeled bythe thermal noise. On the other hand, using the original expression for J Lan

t togetherwith the (Stranonovich convention) identity d

dt Ht (xt ) = (∇Ht )(xt ) · xt + (∂t Ht )(xt ),we obtain the relation

T∫

0

J Lant dt = −βU + βW , (7.17)

where U = HT (xT )− H0(x0) is the change of the internal energy of the system and

W =T∫

0

[(∂t Ht )(xt ) + (∇H)(xt ) · Gt (xt )− β−1(∇ · Gt )(xt )

]dt (7.18)

may be interpreted as the work performed on the system. With these interpretations, acomparison of the two expressions for the integral of J Lan

t leads to the 1st law ofthermodynamics:

U = −Q + W . (7.19)

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 487

This was discussed in a simple example of the forced and damped oscillator in [53]. Inthe absence of the extra force Gt , the expression for the work reduces to

W =T∫

0

(∂t Ht )(xt ) dt (7.20)

and represents the so called Jarzynski work introduced in [48] for deterministicHamiltonian dynamics. In the stochastic Langevin-Kramers dynamics, the expressionsfor the heat and the work become:

Q =T∫

0

[qt · γ qt − qt · ζt

]dt, W =

T∫

0

[(∂t Vt )(qt ) + qt · ft (qt )

]dt . (7.21)

The second quantity is equal to the sum of the Jarzynski work and of the work of theexternal force ft . It was introduced and discussed in [57]. In the stationary case, itreduces to the injected work [56] and, up to the β-factor, coincides with the “actionfunctional” (for uniform temperature) given by Eq. (6.3) of [59]. Note that the generalexpression (7.18) for work also makes sense in the case of deterministic dynamics (2.6)obtained from the SDE (2.4) by setting = 0, in particular for the deterministicHamiltonian evolution with Gt ≡ 0.

If Gt ≡ 0, the splitting (6.7) is a special case of the splitting used for the currentreversal for ϕt = βHt , see Eq. (6.10). In particular, if Ht ≡ H then the transitionprobabilities of the Langevin process satisfy the generalized detailed balance relation(7.15) that takes the form

µ(dx) PT (x, dy) = µ(dy) P ′T (y∗, dx∗) (7.22)

for µ(dx) = e−βH(x)dx and any involution x → x∗ = r x . The latter identity replacesin the presence of the conservative force ∇H the detailed balance relation (3.9) andstill assures that the Gibbs density e−βH is invariant under such Langevin dynamics. Ifthe involution r satisfies additionally the relations (6.6) and H(r x) = H(x), resultingin the time-reversibility, then one may replace P ′T by PT in Eq. (7.15).

Example 8. Linear Langevin equation. Consider the linear SDE

x = M x + ζt , (7.23)

where M is a d × d matrix and ζt is the white noise with the covariance (2.5) andmatrix strictly positive. We shall be interested in cases when the matrix −1 M isnon-symmetric. For an elementary discussion of mathematical aspects of such SDEs seee.g. [42]. In the context of nonequilibrium statistical mechanics, examples of such linearequations were considered in [58] as models of a harmonic chain of oscillators interactingwith environment of variable temperature or, quite recently, in [81] for modeling coiledpolymers in a shearing flow. The diffusion process xt that solves Eq. (7.23) with theinitial value x0 = x is given by the formula

xt = e t M x +

t∫

0

e (t−s)M ζs ds .

488 R. Chetrite, K. Gawedzki

The transition probabilities of this process are Gaussian and have the explicit form

Pt (x, dy) = det(2πβ−1Ct )−1/2 exp

[− β

2

(y − e t M x

) · C−1t

(y − e t M x

)]dy ,

(7.24)

where

Ct = 2

t∫

0

es Mes MTds (7.25)

is a strictly positive matrix. Suppose that all the eigenvalues λ of M have negative realparts. Under this condition, et M tends to zero exponentially fast when t →∞ so thatC∞ ≡ C is finite and

Pt (x, dy) −→t→∞ det(2πβ−1C)−1/2 exp

[− β

2y · C−1 y

]dy ,

with the right hand side defining the unique invariant probability measure of the process.This Gaussian measure has the form of the Gibbs measure for the quadratic Hamiltonian

H(x) = 12 x · C−1x . (7.26)

Introducing the matrix

= + MC (7.27)

that is antisymmetric:

+ T = 2 + 2

∞∫

0

e s M (M + MT )e s MTds

= 2 + 2

∞∫

0

d

dse s Me s MT

ds = 0,

the linear SDE (7.23) may be rewritten in the Langevin form (2.4) as

x = −∇H(x) + ∇H(x) + ζt . (7.28)

Conversely, the last SDE with H as in Eq. (7.26) for some C > 0 is turned into theform (7.23) upon setting

M = −( −)C−1 . (7.29)

Note that the last equation implies the relation (7.27) for . In Appendix E, we showthat M given by Eq. (7.29) has necessarily all eigenvalues with negative real part andthat C may be recovered from M as C∞ given by Eq. (7.25) with t = ∞. Thisestablishes the equivalence between the SDEs (7.23) and (7.28).

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 489

The probability current associated by the formula (3.8) to the Gaussian invariantGibbs measure µG(dx) = Z−1e−βH(x)dx is

j (x) = Z−1C−1x e−βH(x) .

It vanishes only when = 0. In the latter case, the transition probabilities (7.24)satisfy the detailed balance relation (3.9) for ϕ = βH + ln Z . If = 0 then only ageneralized detailed balance relation (7.22) holds for any choice of the linear involutionx → x∗ = r x . If moreover rr T = , rr T = − and rCr T = C , then P ′T onthe right hand side of Eq. (7.15) may be replaced by PT .

8. Jarzynski Equality

We shall exploit further consequences of the relation (7.7) between the forward andthe backward processes. In this section we shall derive an identity that generalizes thecelebrated Jarzynski equality [48,49] and shall prepare the ground for obtaining morerefined fluctuation relations following the ideas of [31,63] and [19]. Let ϕ0 and ϕT betwo functions generating measures

µ0(dx) = e−ϕ0(x)dx, µT (dx) = e−ϕT (x)dx , (8.1)

respectively. In particular, we could take e−ϕT (x) such that the measure µT is related toµ0 by the dynamical evolution (3.6), i.e. µT = µ0 P0,T , but we shall not assume sucha choice unless explicitly stated. In general, the measures (8.1) may be not normalizablebut we shall impose the normalization condition later on. We shall associate to µ0 andµT the time-reflected measures

µ′0(dx) = e−ϕ′0(x)dx = e−ϕT (x∗)dx∗, µ′T (dx) = e−ϕ′T (x)dx = e−ϕ0(x∗)dx∗.

Let us modify the functionalT∫

0Jt dt introduced in the last section by boundary terms

ϕ ≡ ϕT (xT )− ϕ0(x0) by setting

W = ϕ +

T∫

0

Jt dt . (8.2)

The functional W will be the basic quantity in what follows. Its physical interpretationin terms of the entropy production will be discussed in Sect. 10 below.

For any functional F on the space of trajectories xt parametrized by time in theinterval [0, T ], we shall denote by F the functional defined by F(x) = F(x), wherex is given by Eq. (5.2). We shall also introduce the shorthand notation

E0,Tx,y F(x) = E0

x F(x) δ(xT − y)

for the (unnormalized) expectation of the process xt with fixed initial and final points,and similarly for the backward process. The following refinement of the relation (7.7)of Proposition 1 holds:

490 R. Chetrite, K. Gawedzki

Proposition 2.

µ0(dx) E0,Tx,y F(x) e−W(x) dy = µ′0(dy∗) E′0,Ty∗,x∗ F(x′) dx∗. (8.3)

Proof of Proposition 2 is contained in Appendix F. Note that the explicit dependence onthe choice of measures µ0 and µ′0 trivially cancels the one buried in W . In particular,for F ≡ 1, Proposition 2 reduces to Proposition 1 with t0 = 0 and t = T . As before,the backward-process expectation E′ may be replaced by the forward-process one Efor the time-reversible process.

If the measures µ0 and µ′0 are normalized then we may use them as the probabilitydistributions of the initial points of the forward and of the backward process, respec-tively. The corresponding probability measures M(dx) and M ′(dx′) on the space oftrajectories on the time-interval [0, T ] are given by the relations

∫F(x)M(dx) =

∫ (E0

x F(x))µ0(dx) ≡

⟨F

⟩, (8.4)

∫F(x′)M ′(dx′) =

∫ (E′0x F(x′)

)µ′0(dx) ≡

⟨F

⟩′. (8.5)

Upon integration over x and y, the identity (8.3) induces the following equality betweenthe expectations with respect to the trajectory measures M and M ′:

Corollary 1.⟨F e−W

⟩=

⟨F

⟩′. (8.6)

It was stressed in [63], and even more explicitly in [19], that the identity of the type of(8.6), comparing the expectations in the forward and the backward processes, is a sourceof fluctuation relations. An important special case of Eq. (8.6) is obtained by settingF ≡ 1. It was derived in [48] in the context of the Hamiltonian dynamics and in [49] inthe one of Markov processes:

Corollary 2. (Jarzynski equality).⟨

e−W⟩= 1 . (8.7)

Let us illustrate the meaning of the above relation by considering a few special cases.

Example 9. The case of Langevin dynamics. With the splitting (6.7) used for the canonicaltime inversion, upon taking ϕt = β(Ht − Ft ), where Ft = −β−1 ln

∫e−βHt (x)dx

denotes the free energy, we infer from Eq. (7.17) that

W = β(W − F) , (8.8)

where F = FT −F0 is the free energy change and W is the work given by Eq. (7.18).The difference W − F is often called the dissipative work. The Jarzynski equality(8.7) may be rewritten in this case in the original form

⟨e−βW

⟩= e−βF , (8.9)

in which it has become a tool to compute the differences between free energies ofequilibrium states from nonequilibrium processes [45,17,72,73].

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 491

Example 10. The case of deterministic dynamics. Upon splitting the drift ut with ut,+ ≡0 related to the modified natural time inversion described in Sect. 6.2, the expression(7.6) reduces to

Jt=−(∇ · ut )(xt ) ≡ J natt . (8.10)

For the deterministic dynamics where Di jt (x, y) ≡ 0, the difference between the vector

fields ut and ut disappears and J natt reduces to

J dett = −(∇ · ut )(xt ) . (8.11)

The right hand side represents the phase-space contraction rate along the trajectory xt ,see Eq. (4.3). In this case,

W = ϕ −T∫

0

(∇ · ut )(xt ) dt =T∫

0

[ ddtϕt (xt )− (∇ · ut )(xt )

]dt ≡ Wdet . (8.12)

For ϕT = ϕ0 = ϕ, the last integral in Eq. (8.12) was termed “the integral of thedissipation function” in [26]. In the case of the deterministic dynamics (2.6) obtainedfrom the Langevin equation by setting = 0, the expression (8.12) for W reduces tothe one of Eq. (8.8) if we take ϕt = β(Ht − Ft ). In the deterministic case, the Jarzynskiequality (8.7) reads

∫e

T∫

0(∇·ut )(xt ) dt

e−ϕT (xT ) dx0 = 1 (8.13)

and may be easily proven directly. To this end recall Eq. (4.4) which implies for the

deterministic case thatT∫

0(∇ · ut )(xt ) dt = ln det XT (x0), where the matrices Xt (x) of

the tangent process are given by Eq. (4.1). The equality (8.13) is then obtained by thechange of integration variables x0 → xT whose Jacobian is equal to det XT (x0).

Example 11. The reversed protocol case. In the setup of Sect. 6.4 with ut,− = 0,

Jt = 2 ut (xt ) · d−1t (xt ) xt ≡ J tot

t .

In the stationary case, the integralT∫

0J tot

t dt , rewritten with use of the Itô convention, was

termed an “action” in [59], see Eq. (5.3) therein. In [43], it was considered in the contextof the Langevin equation with the extra force Gt (but without the Hamiltonian term∇Ht ). It was then identified as βQtot with the quantity Qtot interpreted, following[68], as the total heat produced in the environment. The functional W of the forwardprocess is given here by the formula

W = ϕ + 2

T∫

0

ut (xt ) · d−1t (xt ) xt dt ≡ W tot . (8.14)

492 R. Chetrite, K. Gawedzki

In particular, for the Langevin dynamics (2.4), one obtains:

W tot = ϕ + β

T∫

0

(−∇Ht +∇Ht + Gt )(xt ) · −1xt dt . (8.15)

The Jarzynski equality (8.7) was discussed for this case in [43,78,10]. Note that W tot

is not well defined for the Langevin-Kramers dynamics. On the other hand, for the linearLangevin equation of Example 8 and for ϕt = β(H − F),

W tot = β

T∫

0

xt · (C−1 + MT−1) xt dt = −βT∫

0

xt · C−1−1xt dt (8.16)

and it vanishes if = 0. A long time asymptotics of the probability distribution of aquantity differing from the last one by a boundary term was studied in [81].

Example 12. Hatano-Sasa equality [43]. In the current-reversal setup of Sect. 6.5, withthe splitting (6.10) of the drift ut induced by the normalized densities e−ϕt such thatL†

t e−ϕt = 0,

Jt = −(∇ϕt )(xt ) · xt ≡ J ext , (8.17)

since now the last two terms on the right hand side of Eq. (7.6) vanish, compare toEq. (7.13). Upon integration, this gives:

T∫

0

J ext dt = −ϕ +

T∫

0

(∂tϕt )(xt ) dt. (8.18)

In [43], the integral given by Eq. (8.17) was identified in the context of the Langevinequation with the force Gt as equal to βQex , where Qex was termed the excess heat,following [68]. The difference Qtot − Qex = Qhk was called, in turn, the housekee-ping heat and was interpreted as the heat production needed to keep the system in anonequilibrium stationary state, see again [68,43,78,10]. Using in the definition (8.2)the functions ϕ0 and ϕT from the same family, we infer from Eq. (8.18) that

W =T∫

0

(∂tϕt )(xt ) dt ≡ Wex . (8.19)

The equality (8.7) for this case was proven by Hatano-Saso [43], see also [57]. Notethat in the stationary case, Wex = 0. The Langevin dynamics discussed in Example 9provides a special instance of the situation considered here if Gt ≡ 0. Consequently, inthat case, Wex is equal to the dissipative Jarzynski work (in the β−1 units) β(W−F)with W given by Eq. (7.20).

Example 13. The case of complete reversal. Recall that for the complete reversal rule ofSect. 6.6 based on the choice of densities e−ϕt evolving dynamically, Jt is the totaltime derivative, see Eq. (7.14). The use in the definition (8.2) of the functions from thesame family annihilates the functional W:

W ≡ 0 . (8.20)

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 493

9. Speck-Seifert Equality

Let us consider the two functionals W tot and Wex of the process xt introduced inExamples 11 and 12. We shall take them with the same functions ϕt satisfying L†

t e−ϕt =0. The two Jarzynski equalities

⟨e−W tot

⟩= 1 =

⟨e−Wex

⟩hold simultaneously. In [78]

a third equality of the same type, this time involving the quantity

Whk = W tot −Wex =T∫

0

[∇ϕt (xt ) + 2 ut (xt ) · d−1t (xt )

]xt dt

was established in the context of the Langevin equation where Whk = βQhk = βQtot−βQex is the housekeeping heat (in the β−1 units). We shall prove here a generalization ofthe result of [78]. To this end, let us consider, besides the original process xt satisfyingthe SDE (2.1), the Markov process x′′t satisfying the same equation but with the driftut replaced by

u′′t = −ut − dt∇ϕt . (9.1)

We shall denote by⟨ · ⟩′′ the expectation defined by Eq. (8.4) but referring to the process

x′′t . Note in passing the relations L ′′†t e−ϕt = 0, where the operators L ′′t are given byEq. (3.3) with u′′t replacing ut . In particular, in the stationary case, the processes xtand x′′t have the same invariant measure.

Proposition 3.

⟨F e−Whk

⟩=

⟨F

⟩′′. (9.2)

Proof. The above identity may be proven directly with the use of the Cameron-Martin-Girsanov formula, see Appendix D, by comparing the measures of the processes xt andx′′t corresponding to SDEs differing by a drift term. Here we shall give another proofbased on applying twice the relation (8.6). First, we use this relation with the functionalF replaced by F e−W tot +2Wex

for the current-reversal time inversion with the trivialinvolution x∗ ≡ x and the vector-field rule for vt . This results in the equality

⟨F e−Whk

⟩=

⟨F e−W tot +2Wex

⟩′, (9.3)

where the expectation⟨ · ⟩′ pertains to the backward dynamics with

u′it = −uit∗ − di j

t∗ ∂ jϕt∗ , v′it = vit∗ ,

see Eqs. (6.11). Now, we observe that the same backward process may be obtained bythe reversed-protocol time inversion, again for x∗ ≡ x , from the process x′′t introducedabove. The identity (8.6) applied for the processes x′′t and x′t reads:

⟨F ′′ e−W ′′ ⟩′′ =

⟨F ′′

⟩′, (9.4)

494 R. Chetrite, K. Gawedzki

where

W ′′ = ϕ + 2

T∫

0

u′′t (xt ) · d−1t (xt ) xt dt

is the functional W referring to the dynamics with u′′t = u′′t,+ given by Eq. (9.1). The

application of Eq. (9.4) to F ′′ = F e−W tot +2Wexreduces the right hand side of Eq. (9.3)

to the expectation⟨F e−(W tot−2Wex +W ′′)⟩′′. The equality (9.2) follows by checking that

W tot − 2Wex + W ′′ = ϕ + 2

T∫

0

ut (xt ) · d−1t (xt ) xt dt − 2

T∫

0

(∂tϕt )(xt ) dt

+ ϕ + 2

T∫

0

(− ut (xt )− dt (xt )∇ϕt (xt )) · d−1

t (xt ) xt dt

= 2ϕ − 2

T∫

0

[∂tϕt (xt ) + ∇ϕt (xt ) · xt

]dt = 0 .

Setting F ≡ 1 in the identity (9.2), we obtain the result that was established by adifferent argument in [78] in the context of the Langevin equation:

Corollary 3. (Speck-Seifert equality).⟨

e−Whk⟩= 1 . (9.5)

10. Entropy Production

An immediate consequence of the Jarzynski equality (8.7) and of the Jensen inequality(i.e. of convexity of the exponential function) is

Corollary 4. (2nd law of thermodynamics for diffusion processes).⟨W

⟩ ≥ 0 . (10.1)

To explain the relation of the latter inequality to the 2nd law of thermodynamics, let usfirst remark that the quantity on the left hand side has the interpretation of a relativeentropy. Recall, that for two probability measures µ(dx) and ν(dx) = e−w(x)µ(dx),the relative entropy of ν with respect to µ is defined by the formula

S(µ|ν) =∫w(x) µ(dx)

and is always non-negative. Now, the identity (8.6) may be read as the relation

M ′(dx) = e−W M(dx)

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 495

between the measures M(dx) and M ′(dx) ≡ M ′(dx). In other words, e−W is therelative (Radon-Nikodym) density of the trajectory measure M ′ with respect to themeasure M . It follows that

⟨W

⟩ = S(M |M ′)so that the inequality (10.1) expresses the positivity of the relative entropy.

Up to now, the measures µ0 and µT were unrelated. Let us consider the parti-cular case when µT is obtained by the dynamical evolution (3.6) from µ0 so thatµT = µ0 P0,T . In this case, the relative entropy S(M |M ′) may be interpreted as theoverall entropy production in the forward process between times 0 and T , relativeto the backward process, see [27,65,39]. Let for a measure ν(dx) = ρ(x)dx , S(ν) =− ∫

ln ρ(x) ν(dx) denotes its entropy. Using the definition (8.2), we may rewrite⟨W

⟩ = S(µT ) − S(µ0) + Senv, (10.2)

where the difference S(µT )− S(µ0) is the change of entropy of the fixed-time distri-bution of the process during the time T and

Senv =T∫

0

⟨Jt

⟩dt . (10.3)

The latter quantity will be interpreted as the mean entropy production in the environ-ment modeled by the stochastic noise, measured relative to the backward process. Theinequality (10.1) states that the overall entropy production cannot be negative in mean.In this sense, it is a version of the 2nd law of thermodynamics for the diffusion processesunder consideration. In the stationary case, where µT = µ0, the overall mean entropyproduction reduces to the one in the environment Senv .

The rate of change of the fixed-time entropy S(µt ) for µt = µ0 P0,t is easilycalculated with the use of Eq. (3.7) to be

d S(µt )

dt=

∫ [ut · ∇ϕt + 1

2 (∇ϕt ) · dt (∇ϕt )](x) µt (dx) (10.4)

for µt (dx) = e−ϕt (x)dx . Rewriting the expression (7.6) for Jt in terms of the Itôconvention, it is also easy to show that

⟨Jt

⟩ =∫ [

2 ut,+ · d−1t ut,+ + (∇ · ut,+) − (∇ · ut,−)

](x) µt (dx) . (10.5)

The average (10.5) represents the instantaneous mean rate of the entropy production inthe environement. Combining the last two expressions, we obtain the relation

d S(µt )

dt+

⟨Jt

⟩ = 2∫ [

(ut,+ + 12 dt (∇ϕt )) · d−1

t (ut,+ + 12 dt (∇ϕt ))

](x) µt (x) (10.6)

which is explicitly positive. This provides still another proof of the positivity of theexpectation

⟨W

⟩which is the time integral of the latter expression if the measure µT

is obtained by evolving dynamically µ0. See Eq. (13) in [66] for the special case of thelatter relation. If µT = µ0 P0,T then one has to distinguish between those two measuresand the relation (10.2) is modified to

⟨W

⟩ = S(µ0 P0,T ) − S(µ0) + Senv + S(µ0 P0,T )|µT ) ,

496 R. Chetrite, K. Gawedzki

i.e. the right hand side is increased by the relative entropy of the measure µT withrespect to the measure obtained from µ0 by the dynamical evolution. Consequently, theaverage

⟨W

⟩is minimal when µT = µ0 P0,T .

Note that Senv as defined by Eq. (10.3) depends on the time inversion employed(more precisely, on the splitting of ut ), and the quantities obtained by employing differenttime inversions are, in general, different. They may have different physical relevance.We may talk about the total mean entropy production in the environment

Stotenv =

T∫

0

⟨J tot

t

⟩dt =

T∫

0

dt∫ [

2 ut · d−1t ut + (∇ · ut )

](x) µt (dx) ,

if the reversed protocol of Sect. 6.4 and Example 11 is used or about the excess meanentropy production

Sexenv =

T∫

0

dt∫ [∇ · ut − 2ut · (∇ϕt )− 1

2 (∇ϕt ) · dt (∇ϕt )](x) µt (dx)

in the environment for the current reversal of Sect. 6.5 and Example 12 (in the latterformula, e−ϕt satisfies L†

t e−ϕt = 0 and is, in general different from the density ofµt = µ0 P0,t ). The Speck-Seifert equality (9.5) combined with the Jensen inequalityimply that Sex

env does not exceed Stotenv which may be also seen directly since

Stotenv −Sex

env =⟨Whk ⟩

= 2

T∫

0

dt∫ [

(ut + 12 dt · (∇ϕt )) · d−1

t (ut + 12 dt · (∇ϕt ))

](x) µt (dx) ≥ 0 .

As an illustration, consider the stationary Langevin equation with the vanishing additio-nal force where Sex

env = 0 although Stotenv may be non-zero if = 0. In particular,

in the linear case studied in Example 8,

Stotenv =

T∫

0

⟨J tot

t

⟩dt =

T∫

0

⟨β xt · MT−1 Mxt + tr M

⟩dt = −T tr−1 M

by Eq. (10.5).For the general diffusion process and the drift splitting corresponding to the modified

natural time inversion of Sect. 6.2, i.e. for ut,+ ≡ 0,

Snatenv =

T∫

0

⟨J nat

t

⟩dt = −

T∫

0

dt∫(∇ · ut )(x) µt (dx) , (10.7)

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 497

see Eq. (8.10). The difference

Stotenv − Snat

env = 4

T∫

0

T (µt ) dt, (10.8)

where the functional

T (µt ) = 12

∫ [ut · d−1

t ut + (∇ · ut )](x) µt (dx) (10.9)

was called the traffic in [66].For the Langevin equation with the splitting (6.7) corresponding to the canonical

time inversion, the entropy production in the environment is proportional to the meanheat transferred to the environment as given by Eq. (7.16):

SLanenv = β〈Q〉 =

T∫

0

dt∫ [

β (∇Ht )(x) · (∇Ht )(x) − i j∂i∂ j H(x)

−(∇ · Gt )(x)]µt (dx) .

In the deterministic case when Jt is given by Eq. (8.11), the mean rate of entropyproduction in the environment is

⟨J det

t

⟩ = −∫(∇ · ut )(x) µt (dx)

for µt = µ0 P0,t obtained by the dynamical evolution from µ0 with P0,t (x0, dy) =δ(y − xt )dy. For uniformly hyperbolic dynamical systems without explicit timedependence, the measures µt tend for large t to the invariant SRB measure µ∞ andthe mean rate of entropy production in the environment converges to the expectation ofthe phase-space contraction rate −∇ · u with respect to µ∞ [74]. A discussion of therelation between of the phase-space contraction and the production of thermodynamicentropy in deterministic dynamics employing models of finite-dimensional thermostatsmay be found in [33].

Finally, let us remark that if the complete reversal of Sect. 6.6 is employed to definethe backward process then the overall entropy production vanishes because W ≡ 0 inthis case, see Eq. (8.20). With our flexibility of the choice of backward processes, thereare always ones with respect to which there is no overall entropy production!

11. Linear Response for the Langevin Dynamics

11.1. Green-Kubo formula and Onsager reciprocity. As noted in [23,32,59], fluctuationrelations may be viewed as extensions to the non-perturbative regime of the Green-Kuboand Onsager relations for the nonequilibrium transport coefficients valid within the linearresponse description of the vicinity of the equilibrium. Here, for the sake of completeness,we shall show how such relations follow formally from the Jarzynski equality (8.7) forthe Langevin dynamics. To this end, we shall consider the latter with a time independentHamiltonian Ht ≡ H and the additional time-dependent force

Gt (x) = gta Ga(x) ,

498 R. Chetrite, K. Gawedzki

where the couplings gta, a = 1, 2, are arbitrary (regular) functions of time (and thesummation over the index a is understood). In the case at hand, we infer from Eq. (8.8)that

W =T∫

0

gta J a(xt ) dt for J a = β(∇H) · Ga − ∇ · Ga .

In particular, for the Langevin-Kramers equation (2.7),

J a = β f ai (q) qi

is the power injected by the external force f a (in the β−1 units). The quantities J a

are often called fluxes associated to the forces Ga .Let us denote by

⟨F

⟩the expectation defined by Eq. (8.4) with µ0 standing for the

Gibbs measure Z−1e−βH dx and by⟨F

⟩0 the same expectation taken for gta ≡ 0,

i.e. in the equilibrium system. Expanding Eq. (8.7) up to the second order in gta andabbreviating J a(xt ) ≡ J a

t , we obtain the identity

−T∫

0

gta⟨J a

t

⟩0 dt−

T∫

0

T∫

0

gta gtb⟨J a

t Rbt ′⟩0 dt dt ′ + 1

2

T∫

0

T∫

0

gta gtb⟨J a

t J bt ′⟩0 dt dt ′ = 0 ,

(11.1)

where the insertion of the response field Rat is defined by the relation

⟨F Ra

t

⟩0 =

δ

δgta

∣∣∣g≡0

⟨F

⟩.

Note that⟨J a

t Rbt ′⟩0 = 0 for t ′ > t because of the causal nature of the stochastic evolu-

tion. The vanishing of the term linear in gta in Eq. (11.1) implies that the equilibriumexpectation of the fluxes J a vanishes

⟨J a

t

⟩0 = Z−1

∫J a(x) e−β H(x) dx = 0 ,

which is easy to check directly. Stripping the quadratic term in Eq. (11.1) of arbitraryfunctions gta , we infer that

⟨J a

t Rbt ′⟩0 = θ(t − t ′)

⟨J a

t J bt ′⟩0 .

The integration of the latter equation over t ′ ≥ 0 results in the relation

∂

∂gb

∣∣∣g=0

⟨J a

t

⟩ =t∫

0

⟨J a

t J bt ′⟩0 dt ′ , (11.2)

where on the left hand side we consider the derivative with respect to the coupling gbconstant in time. In the limit t →∞, we may expect the convergence of the expectation⟨J a

t

⟩in the presence of the time-independent force gaGa (and of its derivatives over

gb) to the nonequilibrium stationary expectation⟨J a

t

⟩st (and its derivatives). Let us also

assume that the temporal decay of the stationary equilibrium correlation function ofthe fluxes is sufficiently fast, e.g. exponential. These may be often established for thedynamics governed by the Langevin equation by studying the properties of its generator.With these assumptions, Eq. (11.2) implies

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 499

Proposition 4. (Green-Kubo formula).

∂

∂gb

∣∣∣g=0

⟨J a

t

⟩st =

t∫

−∞

⟨J a

t J bt ′⟩0 dt ′ .

The stationary equilibrium correlation function⟨J a

t J bt ′⟩0 depends only on the difference

t − t ′ of times. Besides, if the system is time-reversible, then⟨J a

t J bt ′⟩0 =

⟨J b

t J at ′⟩0 and

the Green-Kubo formula may be rewritten in the form

∂

∂gb

∣∣∣g=0

⟨J a

t

⟩st =

12

∫ ⟨J a

t J bt ′⟩0 dt ′ = 1

2

∫ ⟨J b

t J at ′⟩0 dt ′

which implies

Corollary 5. (Onsager reciprocity).

∂

∂gb

∣∣∣g=0

⟨J a

t

⟩st =

∂

∂ga

∣∣∣g=0

⟨J b

t

⟩st .

11.2. Fluctuation-dissipation theorem. Let us consider again the Jarzynski equality forthe Langevin dynamics, this time in the absence of the additional force Gt but with atime dependent Hamiltonian

Ht (x) = H(x) − hta Oa(x) , (11.3)

where hta, a = 1, 2, vanish at t = 0 and Oa(x) are functions of x (“observables”).In this case, Eq. (8.8) reduces to the relation

W = −βT∫

0

hta Oa(xt ) − βF ,

where

βF = − ln∫

e−β(

H(x)− hT a Oa(x))dx + ln

∫e−βH(x)dx .

Expanding the left hand side of the Jarzynski equality (8.7) up to the second order inhta and abbreviating Oa(xt ) ≡ Oa

t , we infer that

βT∫

0hta

⟨Oa

t

⟩0 dt − β hT a

⟨Oa

0

⟩0 = 0 (11.4)

and that

12 β

2T∫

0

T∫

0hta ht ′b

⟨Oa

t Obt ′⟩0 dt dt ′ + β

T∫

0

T∫

0hta ht ′b

⟨Oa

t Rbt ′⟩0 dt dt ′

− 12 β

2 hT a hT b⟨Oa

0 Ob0

⟩0 = 0 , (11.5)

500 R. Chetrite, K. Gawedzki

where the insertion of the response field Rat is defined similarly as that of Ra

t beforeby

⟨F Ra

t

⟩0 =

δ

δhta

∣∣∣h≡0

⟨F

⟩.

Again, similarly as before,⟨Oa

t Rbt ′⟩0 = 0 for t ′ > t because of causality.

The first order equality (11.4) is equivalent to the time-independence of the equili-brium expectation of Oa

t . As for the second order relation (11.5), upon expressing hta

as the integral of hta , it is turned into the equality

βT∫

0

T∫

0hta ht ′b

⟨ (Oa

t Obt − Oa

t Obt ′) ⟩

0 dt dt ′ = 2T∫

0

T∫

0

t ′∫

0hta ht ′′b

⟨Oa

t Rbt ′⟩0 dt dt ′ dt ′′ .

After the change of the order of integration over t ′ and t ′′ followed by the interchangeof those symbols, the right hand side becomes

2T∫

0

T∫

0

T∫

t ′hta ht ′b

⟨Oa

t Rbt ′′

⟩0 dt dt ′ dt ′′ = 2

T∫

0

T∫

0

t∫

t ′hta ht ′b θ(t − t ′)

⟨Oa

t Rbt ′′

⟩0 dt dt ′ dt ′′

with the use of causality. Stripping the resulting identity of the integrals against arbitraryfunctions hta , we obtain the identity

β⟨Oa

t Obt

⟩0 − β

⟨Oa

t Obt ′⟩0 = θ(t − t ′)

∫ t

t ′

⟨Oa

t Rbt ′′

⟩0 dt ′′ + θ(t ′ − t)

∫ t ′

t

⟨Oa

t ′ Rbt ′′

⟩0 dt ′′

which is the integrated version of the differential relation between the dynamical 2-pointcorrelation function and the response function:

Proposition 5. (Fluctuation-dissipation theorem). For t > t ′,

− ∂t⟨Oa

t Obt ′⟩0 = β−1⟨Oa

t Rbt ′⟩0 . (11.6)

Note the explicit factor β in this identity. Relations between the dynamical correlationfunctions and the response functions were used in recent years to extend the concept oftemperature to nonequilibrium systems [20,14].

12. One-Dimensional Langevin Equation with Flux Solution

Let us consider, as an illustration, the one-dimensional Langevin equation of the form

x = −∂x Ht (x) + ζt (12.1)

with⟨ζt ζt ′

⟩ = 2β−1δ(t − t ′) (any force is a gradient in one dimension). As before,xt will represent the Markov process solving the SDE (12.1). First, let us consider thetime-independent case with a polynomial Hamiltonian H(x) = axk + . . . with a = 0and the dots representing lower order terms.

• If k = 0 then, up to a linear change of variables, xt is a Brownian motion and doesnot have an invariant probability measure.

• If k = 1 then xt + at is, up to a linear change of variables, a Brownian motion andxt still does not have an invariant probability measure.

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 501

• If k ≥ 2 and is even then for a > 0 the Gibbs measure µ0(dx) = Z−1e−βH(x)dxprovides the unique invariant probability measure of the process xt . It satisfies thedetailed balance condition j (x) = 0, where j (x) is the probability current definedby Eq. (3.8). If a < 0, however, then the Gibbs density e−βH(x) is not normalizable4.In this case, the process xt escapes to ±∞ in finite time with probability one andit has no invariant probability measure.

• If k ≥ 3 and is odd then the Gibbs density e−βH(x) is not normalizable. Theprocess xt escapes in finite time to −∞ if a > 0 and to +∞ if a < 0, but ithas a realization with the trajectories that reappear immediately from ±∞. Such aresuscitating process has a unique invariant probability measure

µ0(dx) = ±N−1(

e−βH(x)

x∫

∓∞eβH(y)dy

)dx ≡ e−ϕ0(x)dx (12.2)

with the density e−ϕ0(x) = O(x−k+1) when x → ±∞ and N the (positive) nor-malization constant. The measure µ0 corresponds to a constant probability currentj (x) = ∓(βN )−1 and the model provides the simplest example on a nonequilibriumsteady state with a constant flux.

Let us look closer at the last case. Adding the time-dependence and taking ϕt as inEq. (12.2) but with Ht replacing H , we obtain the Hatano-Sasa version of the Jarzynskiequality (8.7) with W =Wex given by Eq. (8.19). Suppose, in particular, that the timedependence of Ht has the form (11.3) with functions Oa having compact support. Letus introduce also the deformed observables

Oa(x) =

x∫

∓∞Oa(y) eβH(y) dy

x∫

∓∞eβH(y) dy

.

Expanding the Jarzynski identity (8.7) to the second order in hat as in Sect. 11.2, oneobtains:

Proposition 6. (Deformed fluctuation-dissipation relation). For t > t ′,

− ∂t⟨Aa

t Obt ′⟩0 = β−1⟨Aa

t Rbt ′⟩0

∓(βN )−1∫(∂x Ob)(x) dx Pt−t ′(x, dy) Aa(y) , (12.3)

where Pt (x, dy) is the transition probability in the stationary process andAa = Oa − Oa.

Remark 3. It is easy to show directly, that Eq. (12.3) still holds if Aa is replaced by Oa .Note that the term on the right hand side of (12.3) violating the standard fluctuation-dissipation theorem (11.6) contains the constant flux of the probability current j (x) asa factor. Proof of Proposition 6 and of its version with Aa replaced by Oa will be givenin [12].

4 This leads to the breaking of the quantum-mechanical supersymmetry underlying the Fokker-Planckformulation of the Langevin dynamics [85,69,80].

502 R. Chetrite, K. Gawedzki

The Langevin equation (12.1) with the flux solution arises when one studies thetangent process for particles with inertia moving in the one-dimensional homogeneousKraichnan ensemble of velocities vt (y) with the covariance

⟨vt (y) vs(y

′)⟩ = δ(t − s) D(y − y′) ,

see Example 2. The position y and the velocity w of such particles satisfy the SDE [3]

y = w, w = 1τ(−w + vt (y)) ,

where τ is the so called Stokes time measuring the time-delay of particles with inertiaas compared to the Lagrangian particles that follow the flow. The separation betweentwo infinitesimally close trajectories of particles satisfies the equations [84]

ddtδy = δw,

ddtδw = 1

τ(−δw + (∂yvt )(y) δy) (12.4)

and, similarly as in Example 5, we may replace 1τ ∂yvt (y) on the right hand side by a

white noise ζ(t) with the covariance

⟨ζt ζs

⟩ = −δ(t − s) τ−2 D′′(0) ,

where the primes denote the spatial derivatives. The ratio x = δwδy satisfies then the SDE

x = −x2 − 1τ

x + ζt (12.5)

which has the form (12.1) with H(x) = 13 x3 + 1

2τ x2, a third order polynomial. Thesolution with the trajectories appearing at +∞ after disappearing at −∞ correspondsto the solution for (δy, δw) with δy passing through zero with positive speed. The topLangevin exponent for the random dynamical system (12.4) is obtained as the mean valueof x (which is the temporal logarithmic derivative of |δy|) in the invariant probabilitymeasure (12.2) with constant flux [84].

A very similar SDE arose earlier [41] in the one-dimensional Anderson localizationin white-noise potential V (y) , where one studies the stationary Schrödinger equation

− ψ ′′(y) + V (y) ψ(y) = E ψ(y) .

By setting x = ψ ′/ψ , one obtains then the evolution SDE

x ′ = −x2 − E + V (y) (12.6)

that has an invariant probability measure with constant flux, as already noticed in [41].The expectation value of x in that measure may be expressed by the Airy functions [61].It gives the (top) Lyapunov exponent which is always positive, reflecting the permanentlocalization in one dimension. The SDE (12.5) may be obtained from (12.6) but takingin the latter E = − 1

4τ 2 and by the substitutions x − t2τ → x , V → ζ and y → t .

This shifts the Lyapunov exponent down by − 12τ and the top exponent for the inertial

particles may have both signs [84].

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 503

13. Detailed Fluctuation Relation

For a general pair of forward and backward diffusion processes (2.1) and (5.4), it is stillpossible to obtain identities resembling the generalized detailed balance relation (7.15)at the price of adding constraints on the process trajectories. Let us introduce a functionalW ′ of the backward process by mimicking the definition (8.2) of W for the forwardprocess:

W ′ = ϕ′ +

T∫

0

J ′t dt

with

J ′t = 2 u′t,+(x′t ) · d ′−1t (x′t ) x′t − 2 u′t,+(x′t ) · d ′−1

t (x′t ) u′t,−(x′t ) − (∇ · u′t,−)(x′t ) ,see Eq. (7.6). Since the time inversion is involutive, the mirror version of the identity(8.3),

µ′0(dx ′) E′0,Tx ′,y′ F ′(x′) e−W ′(x′) dy′ = µ0(dy′∗) E0,Ty′∗,x ′∗ F ′(x) dx ′∗dx ′∗ , (13.1)

must also hold. Taking x ′ = y∗, y′ = x∗ and F ′ = F e−W , we infer that thecompatibility of identities (8.3) and (13.1) imposes the equality

W ′ = −W , (13.2)

which may be also checked directly. We infer that, whatever the time inversion used intheir definition, the entropy-production functionals W for the forward and the backwardprocesses are related by the natural time inversion. The replacement in Eq. (8.3) of thefunctional F(x) by the functional F(x) δ(W(x)− W ) including the constraint fixingthe value of W , leads then to

Proposition 7. (Detailed fluctuation relation).

µ0(dx) E0,Tx,y F(x) δ

(W(x)−W

)dy = µ′0(dy∗) e W

×E′0,Ty∗,x∗ F(x′) δ(W ′(x′) + W

)dx∗ .

(13.3)

The primes on the right hand side may be dropped in the time-reversible case if, addi-tionally, ϕ0 = ϕ′0 and ϕT = ϕ′T . A relation of this type, named the ”detailed fluctuation theorem”, was established in [51]in the setup of Hamiltonian dynamics. It is close in spirit to the earlier observation madefor the long-time asymptotics of deterministic dynamical systems in [31]. We shall viewProposition 7 as a source of fluctuation relations that hold for the diffusion processes(2.1), including the Jarzynski equality (8.7) already discussed and various identities thatappeared in the literature in different contexts, see [51,18,19,57]. Taking, in particular,F ≡ 1 in Eq. (13.3) and introducing the joint probability distributions of the end-pointof the process and of the entropy production functional W ,

E0,Tx,y δ(W(x)−W ) dy dW = P0,T (x, dy, dW ) ,

E′0,Tx,y δ(W ′(x′)−W ′) = P ′0,T (x, dy, dW ′) ,we obtain

504 R. Chetrite, K. Gawedzki

Corollary 6.

µ0(dx) P0,T (x, dy, dW ) = µT (dy) e W P ′0,T (y∗, dx∗, d(−W )) . (13.4)

This may be viewed as an extension to a general diffusive SDE (2.1) of the detailedbalance relation (3.9), or of its generalization (7.15). In particular, when the backwardprocess is obtained by the complete reversal of Sect. (6.6) with W ≡ 0, the latter relationreduces to Eq. (7.15) with both sides multiplied by δ(W )dW .

In the case when the measures µ0 and µ′0 are normalized, Proposition 7 gives rise,upon integration over x and y, to a detailed fluctuation relation between the forwardand the backward processes with the initial points sampled with measures µ0 and µ′0,respectively:

Corollary 7.⟨F δ

(W −W

)⟩ = eW⟨F δ

(W ′ + W

) ⟩′.

Finally, taking F = 1 in the latter identity and denoting

p0,T (dW ) =⟨δ(W −W

) ⟩dW, p′0,T (dW ′) =

⟨δ(W ′ −W ′

) ⟩′dW ′ ,

we obtain

Corollary 8. (Crooks relation) [18,19].

p0,T (dW ) = e W p′0,T (d(−W )) . (13.5)

Note that p0,T (dW ) is the distribution of the random variable W if the time-zerovalues of the forward process xt are distributed with the measure µ0 and, similarly,p′0,T (dW ′) is the distribution of the random variable W ′ if x′0 is distributed withthe measure µ′0. In particular, in the time-reversible case, p′0,T (dW ) = p0,T (dW )

if ϕ′0 = ϕ0 and ϕ′T = ϕT . Finally, note that integrating the Crooks relation (13.5)multiplied by e−W over W , one recovers the Jarzynski equality (8.7).

14. Special Cases

14.1. Deterministic case. As already explained in Sect. 6.2 and 13, taking ut,+ = 0 andut,− = ut leads in the limit of the deterministic dynamics (2.3) to the expression (8.12)for W . The time-reversed dynamics corresponds to the vector fields of Eqs. (6.2). Itreduces in the deterministic case to the ODE (6.3). The functional W ′ of the backwardprocess, that could be also found from the relation (13.2), takes the form

W ′ = ϕ′ +

T∫

0

[(∇ ln σ)(x′t ) · (x ′t − u′t,−) − (∇ · u′t,−)(x′t )

]dt .

In the deterministic limit, this simplifies to the expression

W ′ = ϕ′ −T∫

0

(∇ · u′t )(x′t ) dt

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 505

which is of the same form as Eq. (8.12) for W . Proposition 7 and Corollaries 6,7 and8 still hold in the deterministic limit. In particular, in the time-reversible deterministiccase with u′ = u and ϕT = ϕ0 = ϕ′0, the fluctuation relation (13.5) reduces to

Corollary 9. (Evans-Searles transient fluctuation theorem) [25,26].

p0,T (dW ) = eW p0,T (d(−W )) .

The latter relation may also be proven directly by a change of the integration variablesx0 → xt [26].

14.2. Reversed protocol case. For the reversed protocol time inversion of Sect. 6.4 andExample 11 that corresponds to the choice (6.8), the backward process is given byEq. (6.9) and

W ′ = ϕ′ + 2

T∫

0

u′t (x′t ) · d ′−1t (x′t ) x′t dt

and has the same form as W , see Eq. (8.14). For such a time inversion with x∗ ≡ x ,employed already in the stationary context in [59], the fluctuation relation (13.5) for thechoice of ϕt such that L†

t e−ϕt = 0 was established in [10].

14.3. Current reversal case. For the time inversion (6.10) discussed in Sect. 6.5 andExample 12, the functional W ′ of the backward process is given by the expression ofthe same form as Eq. (8.19):

W ′ =T∫

0

(∂tϕ′t )(x′t ) dt

for ϕ′t (x) = (ϕt∗+ln σ)(x∗). The fluctuation relation (13.5) for this type of time inversion(with x∗ ≡ x) was proven in [10]. Integrated against e−W , Eq. (13.5) reduces to theHatano-Sasa case of the Jarzynski equality (8.7) that we discussed in Example 12.

14.4. Langevin dynamics case. Recall that for the Langevin dynamics (2.4), the back-ward process obtained by using a canonical time inversion defined by Eqs. (6.6) and(6.7) is also of the Langevin type with

u′t = −∇H ′t + ∇H ′t + G ′t , (14.1)

where H ′t (x) = Ht∗(r x), G ′t (x) = −rGt∗(r x). The white noise ζ ′t = ±rζt∗ has thesame distribution as ζt . Consequently, for ϕ′t = β(H ′t − F ′t ), the functional W ′ isgiven by the primed version of Eq. (8.8) and is equal to the dissipative work (in the β−1

units).If, instead of the canonical time inversion, we use the reversed protocol with x∗ ≡ x ,

then the backward process is again the Langevin dynamics with u′t given by Eq. (14.1),except that this time H ′t (x) = Ht∗(x) and G ′t (x) = Gt∗(x). The white noise ζ ′t = ζt∗

506 R. Chetrite, K. Gawedzki

has again the same distribution as ζt . The functional W ′ is given in that case by theprimed version of Eq. (8.15). The two time inversions lead to the equivalent backwardprocesses for the Langevin-Kramers equation but, as already mentioned, W tot is notwell defined in the case of the reversed protocol.

Finally, if we apply the current-reversal time inversion (6.10) with x∗ ≡ x to theLangevin dynamics (2.4) with Gt ≡ 0 by setting ϕt = β(Ht − Ft ) = ϕ′t∗ = β(H ′t∗ −F ′t∗) for H ′t (x) = Ht∗(x), the drift of the backward dynamics becomes

u′t = −∇H ′t − ∇H ′t

and has the changed sign of the antisymmetric matrix with respect to the forwardprocess. The white noise ζ ′t = ±ζt∗ . Here both W and W ′ have the form of thedissipative work.

15. Transient Versus Stationary Fluctuation Relations

The fluctuation relations considered up to now dealt with the quantities related to finite-time evolution in a random process that, in general, was not stationary. Such simplerelations, whose prototypes were the Evans-Searles fluctuation relation [25] or the Jar-zynski equality [48] are called transient fluctuation relations. On the other hand, aswas recalled in Introduction, Gallavotti and Cohen have established in [35] a fluctuationrelation for quantities pertaining to the long-time evolution in stationary deterministicdynamical systems of chaotic type and similar relations were subsequently obtained forthe Langevin dynamics and Markov processes in [57] and [59]. Such fluctuation rela-tions, that are commonly termed stationary, are usually more difficult to establish thanthe transient ones and require some non-trivial work that involves the existence and theproperties of the stationary regime of the dynamics. Such properties are in general harderto establish in the non-random case than in the random one. Also, in the random case,the invariant measure of the process, if it exists, is usually smooth. It could be used as themeasure µ0(dx) = e−ϕ0(x)dx = µT (dx) = µ′0(dx∗) in the definition (8.2), leading tothe exact detailed fluctuation relation (13.3) pertaining to the stationary evolution. Onthe other hand, in the dissipative deterministic systems, the invariant (SRB) measuresare not smooth, so that they may not be used this way and the exact stationary fluctuationrelations may be obtained only in the asymptotic long-time regime. Let us discuss brieflya formal relation between such asymptotic fluctuation relations and the transient ones,sweeping under the rug the hard points.

We shall consider the stationary case of the SDE (2.1), with ut ≡ u and Dt (x, y) ≡D(x, y). Under precise conditions, the Markov process xt that has decaying dynamicalcorrelations and attains at long times the steady state independent of the initial (or/andfinal) position [42,55]. In such a situation, the distribution of the functional W isexpected (and may often be proven with some work) to take for long time T and forW/T = O(1) the large deviation form

P0,T (x, dy, dW ) ∝ e−T ζ(W/T ) dy dW (15.1)

independent of x and y. The function ζ is called the large deviations rate function. Ithas vanishing minimum. More exactly, the relation (15.1) means that

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 507

− supw∈I

ζ(w) ≤ limT→∞

1

Tln

∫

TI

P0,T (x, y|W) dW

≤ limT→∞

1

Tln

∫

TI

P0,T (x, y|W) dW ≤ − infw∈I

ζ(w)

for any interval I in the real line. In particular, in the limit T →∞, the distribution ofW/T concentrates at the non-random value w0 , where the rate function ζ attains itsminimum. With similar assumptions about the inverse process, we shall denote by ζ ′the large deviation rate function of the functional W ′. The detailed fluctuation relation(13.4) implies then immediately, if the boundary term ϕ′0(y∗)/T = (ϕT (y)+ln σ(y))/Tconverges to zero when T →∞, a relation between the rate functions ζ and ζ ′:

Corollary 10. (Stationary fluctuation relation).

ζ(w) = ζ ′(−w) − w. (15.2)

Equation (15.2) connects the statistics of large deviations of W for the forward and forthe backward stationary stochastic processes. Note that the equality ζ ′ ≥ 0 implies thatthe asymptotic value w0 of W/T is non-negative. This conclusion may be also drawnfrom the 2nd law (10.1). In the special case of a stationary time-reversible dynamics, theinverse process coincides with the direct one so that ζ ′ = ζ . Equation (15.2) comparesthen the large deviations of W of opposite signs in the forward process. In particular,it states that the probability that W/T takes values opposite to the most probable onesaround w0 is suppressed by the exponential factor e−T w0 for large times T .

Recall from the definition (8.2) that W differs from the extensive quantityT∫

0Jt dt

by a boundary term which should not contribute to the large deviations if ϕT staysbounded, although the presence of such terms may change the time-scales on whichthe large deviation regime is effectively visible. On the contrary, unbounded ϕT maygive contributions to the large deviations statistics [83,9,86,70]. For the deterministic

dynamics whereT∫

0Jt dt = −

T∫

0(∇ · u)(xt ) dt is the phase-space contraction along the

trajectory, see Eq. (8.11), the identity (15.2) with ζ ′ = ζ is essentially the originalGallavotti-Cohen fluctuation relation [35,31] established rigorously by the authors forthe reversible Anosov dynamical systems with discrete time. For such systems, thethermodynamic formalism [75,34] may be used to prove the existence of the stationary(SRB) measure and of the large deviations regime for the phase-space contraction, seealso [74] for a somewhat different approach. In [56], the fluctuation relation (15.2) wasdiscussed for the Langevin-Kramers dynamics, see also [59,57]. Its version consideredhere for a general stationary diffusion process is equivalent in the case of vanishingtime-inversion-odd drift u− to the fluctuation relation discussed in [59], see Eq. (5.8)therein.

As another (although related) example of how the transient fluctuation relations yieldstationary ones involving large deviations, let us recall the case of the tangent process inthe homogeneous Kraichnan model leading to the Itô multiplicative SDE (7.8) (or theStratonovich SDE (7.10) equivalent to it) and defining the matrix-valued process Xt .

508 R. Chetrite, K. Gawedzki

We have established for it the transient fluctuation relation (7.12) that may be rewrittenas the identity

E01 det(XT ) f (XT ) = E0

1 f (X−1T ) (15.3)

for functions f of real d × d matrices with positive determinant. Such matrices Xmay be cast into the form

X = O ′ diag(eρ1 , . . . , eρd ) O−1 (15.4)

with a diagonal matrix of non-increasing positive entries sandwiched between twoorthogonal ones. Note that ln det X = ∑

ρi . The so called stretching exponentsρ1 ≥ · · · ≥ ρd are uniquely defined by Eq. (15.4). Consider functions f (X) thatare left- and right-invariant under the action of the orthogonal group O(d). They maybe viewed as functions of the vector ρ of the stretching exponents. The distributionPT (d ρ) of such exponents is defined by the relation

E01 f (XT ) =

∫

ρ1≥..≥ρd

f ( ρ) PT (d ρ) .

The identity (15.3) implies then that

PT (d ρ) e∑ ρi = PT (d(− ρ)) , (15.5)

where − ρ = (−ρd , . . . ,−ρ1) is the vector of the stretching exponents of the matrixX−1. In a few particular situations (e.g. in the isotropic case), it has been establishedthat for long times and ρ/T = O(1), the distribution of the stretching exponents takesthe large deviation form

PT (d ρ) ∝ e−T Z( ρ/T )d ρand the identity (15.5) implies then the stationary fluctuation relation

Z(σ) −d∑

i=1

σi = Z(− σ) , (15.6)

see [11]. Since −∑ρi represents the phase-space contraction − ln det Xt in the

Kraichnan model, the relation (15.6) may be viewed as a modified Gallavotti-Cohenidentity (15.2) for the homogeneous Kraichnan model. The modification goes in twodirections. On one hand, the original Gallavotti-Cohen relation involved the determinis-tic dynamics, whereas the relation (15.6) pertains to random Kraichnan dynamics. On theother hand, it refers to the “multiplicative” large deviations for the vector ρ of the stret-ching exponents containing more detailed information than the phase-space contractionrepresented by −∑

ρi . For example, the most probable values of the stretching ratesσi = ρi/T for which Z(σ) = 0 define the Lyapunov exponents λi whereas the mostprobable phase-space contraction rate is equal to the negative of their sum. We shall seein the next section how to extend such multiplicative fluctuation relations to the gene-ral diffusive processes. The source of such an extension resides in transient relationsthat may be proven for general random or deterministic dynamical systems by a simplechange-of-variables argument à la Evans-Searles [26], as first indicated in [1].

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 509

16. Multiplicative Fluctuation Relations

As we have mentioned above, the SDE (2.1) defining the diffusive process xt may beused to induce other diffusive processes, the simplest example being the tangent process(xt ,Xt ) introduced in Sect. 4 and satisfying the SDEs

x = ut (x) + vt (x), X = Ut (x, X) + Vt (x, X)

with

Uit j (x, X) = (∂kui

t )(x) Xkj , V i

t j (x, X) = (∂kvit )(x) Xk

j ,

see Eq. (4.2). The covariance of the white noise vector field (vt , Vt ) is given by therelations (2.2) and

〈 vit (x) V k

s l(y,Y ) 〉 = δ(t − s) ∂ym Dikt (x, y) Y m

l ,

〈 V pt r (x, X) v j

s (y) 〉 = δ(t − s) ∂xn D pjt (x, y) Xn

r ,

〈 V pt r (x, X) V k

s l(y,Y ) 〉 = δ(t − s) ∂xn∂ym D pkt (x, y) Xn

r Y ml .

One may now apply the theory developed above for general diffusion processes to thecase of the tangent process. As an example, let us consider the natural time inversion ofSect. 6.1 corresponding to the trivial splitting

(ut,+, Ut,+) = 0, (ut,−, Ut,−) = (ut , Ut )

and to the involution

(x, X)∗ = (x∗, X∗) with (X∗)i j = (∂k x∗i )(x) Xkj .

The backward process (x′t ,X′t ) satisfies in this case the SDE

x ′ = u′t (x ′) + v′t (x ′), X ′ = U ′t (x ′, X ′) + V ′t (x ′, X ′)

with

u′it (x) = −(∂k x∗i )(x∗) ukt∗(x∗) ,

U ′t (x, X) = −(∂k∂m x∗i )(x∗) (X∗)mj ukt∗(x∗) − (∂m x∗i )(x∗)U m

t∗ j (x∗, X∗)

= (∂nu′it )(x) Xnj

and, similarly,

v′it (x) = ±(∂k x∗i )(x∗) vkt∗(x∗), V ′t (x, X) = (∂nv

′it )(x) Xn

j .

Note that the backward process (x′t ,X′t ) defined this way coincides with the tangentprocess of x′t . Equations. (3.4) applied to case at hand give:

(ui

t,+(x) , (Ut,+)kl(x, X)

) = − d+12

(∂yn Din(x, y)|y=x , ∂xn∂ym Dkm(x, y)|y=x Xn

l

)

= − d+12

(0 , (X−1)rp

)(

di jt (x) ∂ym Dik

t (x, y)|y=x Xml

∂xn D pjt (x, y)|y=x Xn

r ∂xn∂ym D pkt (x, y)|y=x Xn

r Xml

)

510 R. Chetrite, K. Gawedzki

in the matrix notation, where the matrix on the right hand side is the counterpart of(di j

t (x))

for the tangent process. Substituting the above expression to the definition(7.6), we infer that

Jt = −(d + 1)(X−1t )rp Xp

t r + (d + 1)(X−1t )rp ∂nu p

t (xt )Xnt r − (d + 1) ∂nun

t (xt )

= −(d + 1)d

dtln det Xt .

The relation (7.7) of Sect. 7 gives then for the case of the tangent process the identity

dx d X0 P0,T (x, X0; dy, d X) (det X0)−(d+1)(det X)d+1

= dy d X P ′0,T (y∗, X∗; dx∗, d X∗0)

that may be viewed as an extension of the relation (7.11) obtained in Example 5 for thehomogeneous Kraichnan process to a general diffusive process. Similarly as in Example 5,we infer from the above equation the multiplicative fluctuation relation

dx P0,T (x, 1; dy, d X) (det X) = dy P ′0,T (y∗, 1∗; dx∗, d(X−1)∗) . (16.1)

Suppose that we are given a Riemannian metric γ on Rd (for example the usual flat one).Since the matrix X = XT maps the tangent space at x = x0 to the one at y = xT , seeEq. (4.2), it is natural to define the stretching exponents ρ of X by the relation (15.4)with O and O ′ mapping the canonical basis of Rd into a basis orthonormal withrespect to the metric γ (x) and γ (y), respectively. The joint probability distributionP0,T (x, dy, d ρ) of the end-point of the process xt and of the stretching exponents ofXt is then given by the relation

∫f (X) P0,T (x, 1, dy, d X) =

∫

ρ1≥..≥ρd

f ( ρ) P0,T (x, dy, d ρ)

for functions f (X) left- and right-invariant under the action of the orthogonal groupspreserving, respectively, the metric γ (x) and γ (y). Similarly we introduce the kernelsP ′0,T (x ′, dy′, d ρ′) using the transition probabilities of the backward process and themetric γ ′ obtained from γ by the involution x → x∗. Equation (16.1) implies thenthe identity

vγ (dx) P0,T (x, dy; d ρ) e

∑

iρi = vγ (dy) P ′0,T (y, dx∗; d(− ρ)) ,

where vγ (dx) is the metric volume measure. For the stationary dynamics, we mayexpect the emergence of the large deviations regime for the stretching rates with

P0,T (x, dy; d ρ) ∼= e−T Z( ρ/T ) dy d ρfor large T and ρ/T = O(1), and similarly for the backward process. One obtainsthen the identity

Z(σ) −d∑

i=1

σi = Z ′(− σ) . (16.2)

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 511

As usually, the rate function Z ′ for the backward process may be replaced by Z for atime-reversible dynamics. The relation (16.2) generalizes the fluctuation relation (15.6)obtained for the Lagrangian flow in the homogeneous Kraichnan model that was time-reversible. The multiplicative fluctuation relations were studied recently in [30] also forparticles with inertia carried by the homogeneous Kraichnan flow. Due to the Stokesfriction force, the standard time-reversibility is broken in such a system, leading to amodification of the relation between the rate functions Z ′ and Z .

17. Towards N-Point Hierarchy of Fluctuation Relations

Another way to induce new diffusive processes from the original one described by theSDE (2.1) is to consider simultaneously its N solutions starting at different initial points.They may be viewed as a solution of the SDE

x = ut (x) + vt (x) (17.1)

with x = (x1, . . . , xN ), ut (x) = (ut (x1), . . . , ut (xN )), and vt (x) = (vt (x1), . . . ,

vt (xN )). The covariance of the white noise vector field vt ≡ (vt,1, . . . , vt,N ) appearingon the right hand side is

〈 vit,m(x) v

js,n( y) 〉 = δ(t − s) Di j

t (xm, yn) .

The spatial part of the covariance restricted to the diagonal is

di jt,mn(x) = Di j

t (xm, xn) .

The machinery producing the fluctuation relations described in this paper may be appliedto the N -point diffusion process governed by the SDE (17.1), at least if the matrix(di j

t,mn(x))

is invertible, recall that the inverse of the matrix(di j

t (x))

appears in theexpression (7.6) for Jt . We postpone a closer examination of the possible hierarchyof fluctuation relations obtained this way to the future. Here, let us only remark thatthe tangent process (xt ,Xt ), which was studied in the preceding section and led tothe multiplicative fluctuation relation (16.1), could be viewed as a limiting case of the(d + 1)-point process where the last d points are infinitesimally close to the first one.

18. Conclusions

We have developed a unified approach to fluctuation relations for finite-dimensional dif-fusion processes. The setup of the paper covered the cases of deterministic dissipativecontinuous-time dynamical systems, of the Langevin dynamics with non-conservativeforces, and of the Kraichnan model of hydrodynamic flows. The fluctuation relationswere obtained by comparing the forward diffusion process to the backward one produ-ced by a time inversion. We have admitted different time inversions that treated diffe-rently two parts of the deterministic drift in the diffusion equations. This was physicallymotivated in situations when one part of the drift was assimilated with a dissipative andanother one with a conservative force, but was used in other situations as well, leadingto a greater flexibility. As particular cases, we discussed the natural time inversion usedfor deterministic systems, its slight modification for stochastic dynamics that permit-ted to take easily the deterministic limit of fluctuation relations, as well as the reverse

512 R. Chetrite, K. Gawedzki

protocol and the current reversal discussed in a similar context in [10], and the com-plete reversal. We showed that any of the allowed time inversions leads to a detailedfluctuation relation (13.3) of Proposition 7 that may be viewed as a constrained versionof the generalized detailed balance relation to which the identity (13.3) reduces in thecase of the complete reversal. The constraint fixes the value of the entropy productionmeasured relative to the corresponding backward process. We obtained various tran-sient fluctuation relations as corollaries of the detailed one. Among examples were theEvans-Searles fluctuation relation (14.1), the Crooks one (13.5), and various versions ofthe Jarzynski equality (8.7), including the original ones for the deterministic Hamilto-nian dynamics and for the Langevin dynamics with local detailed balance (8.9), the onefor reversed protocol, and the Hatano-Sasa one. By comparing the detailed fluctuationrelations for two different time inversions, we obtained also a generalization (9.2) of theSpeck-Seifert equality (9.5). For the sake of completeness, we included into the papera derivation from the Jarzynski equality of the Green-Kubo and the Onsager relations,and of the fluctuation-dissipation theorem. On a simple example of a one-dimensionalLangevin equation with spontaneously broken equilibrium, we indicated how in such asituation the Hatano-Sasa version of the Jarzynski equality induced corrections to thefluctuation-dissipation theorem proportional to the flux of the probability current.

In the case of stationary diffusion processes, we pointed out that the transient fluc-tuation relations may give rise to the asymptotic symmetries of the large-deviations ratefunction of the entropy production which were established first by Gallavotti-Cohen forthe uniformly hyperbolic dynamical systems and were extended later to (some) diffusionprocesses by Kurchan and Lebowitz-Spohn. Finally, we wrote explicitly a detailed fluc-tuation relation for the induced tangent diffusion process obtained from the original one.This produced a multiplicative transient fluctuation relation that led for long times to aGallavotti-Cohen-type symmetry of the large-deviations rate function for the stretchingexponents governing the behavior of infinitesimally close trajectories of the diffusionprocess. We speculated that considering distant multi-point trajectories of the processshould give rise to a hierarchy of fluctuation relations. It could also provide a way toproduce fluctuation relations for flow processes describing the simultaneous evolutionof all trajectories of the process [55]. A similar extension should also permit to formu-late fluctuation relations for hydrodynamic flows modeling fully developed turbulence[40,60]. We postpone such questions to further studies.

Appendix A.

The Stratonovich SDE (2.1) defining the process xt is equivalent to the Itô SDE

dxi = (ui

t (x) + uit (x)

)dt + vi

t (x) dt ,

with the correction term

uit (x) = 1

2 ∂x j Di jt (x, y)|y=x .

By the Itô calculus, g(xt ) satisfies the Itô SDE

dg(x) = (ui

t (x) + uit (x)

)∂i g(x) dt + vi

t (x)∂i g(x) dt + 12 di j

t (x)∂i∂ j g(x) dt

with the second order Itô term. For the expectation of g(xt ), this gives the ODE

d

dtEt0

x g(xt ) = Et0x

(ui

t (xt ) + uit (xt )

)∂i g(xt ) + 1

2 di jt (xt )∂i∂ j g(xt )

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 513

from which the formula

Lt =(ui

t + uit (xt )

)∂i + 1

2 di jt ∂i∂ j ,

easily seen to be equivalent to Eq. (3.3), follows.

Appendix B.

Proof of Lemma 1.

(Lt,−Rg)(x) = uit,−(x)∂i (Rg)(x) = ui

t,−(x) (∂i x∗k)(x)(∂k g)(x∗)

= −(u′kt∗∂k g)(x∗) = −(R L ′t∗,−g)(x) ,

(Lt,+ Rg)(x) = uit,+(x)∂i (Rg)(x) + 1

2 ∂ j di jt (x)∂i (Rg)(x)

= uit,+(x)(∂i x∗k

)(x)(∂k g)(x∗) − 12 ∂y j Di j (x, y)|y=x (∂i x∗k

)(x)(∂k g)(x∗)

+ 12 (∂ j x∗l)(x)∂x∗l d

i jt (x)(∂i x∗k

)(x)(∂k g)(x∗)

= (u′kt∗,+∂k g)(x∗) − 12 (∂ j x∗l)(y)∂y∗l Di j (x, y)|y=x (∂i x∗k

)(x)(∂k g)(x∗)

− 12

(∂x∗l ∂ j x∗l(x)

)di j

t (x)(∂i x∗k)(x)(∂k g)(x∗)

+ 12 ∂x∗l (∂ j x∗l)(x)di j

t (x)(∂i x∗k)(x)(∂k g)(x∗)

= (u′kt∗,+∂k g)(x∗) − 12 ∂y∗l (∂ j x∗l)(y)Di j

t (x, y)(∂i x∗k)(x)|y=x (∂k g)(x∗)

+ 12 ∂x∗l d

′klt∗ (x

∗)(∂k g)(x∗)

= (u′kt∗,+∂k g)(x∗) + 12 (∂ld

′klt∗ ∂k g)(x∗) = (R L ′t∗,+g)(x) ,

where we have used the relations (3.4), (5.5, (5.6) and (5.7).

Appendix C.

In order to prove the first of the equalities (6.2), let us note that the condition ut,+ = 0means that

uit,+(x) = 1

2 ∂y j Di jt (x, y)|y=x

so that, according to Eqs. (5.5) and (5.6),

u′it∗,+(x∗) = (∂k x∗i )(x) 12 ∂yl Dkl

t∗ (x, y)|y=x

= 12 ∂yn (∂ j x∗n

)(y∗)(∂l x∗ j)(y)(∂k x∗i )(x)Dkl

t (x, y)|y=x

= 12 (∂ j x∗n

)(y∗)∂yn (∂k x∗i )(x)Dklt (x, y)(∂l x

∗ j)(y)|y=x

+ 12

(∂xn (∂ j x∗n)(x∗)

)(∂k x∗i )(x)dkl

t (x)(∂l x∗ j)(x)

= 12 ∂y j D′i j

t∗ (x∗, y)|y=x∗ + 1

2 (∂n x∗k)(x)(∂k∂ j x∗n)(x∗) d ′i j

t∗ (x∗)

= 12 ∂y j D′i j

t∗ (x∗, y)|y=x∗ + 1

2 d ′i jt∗ (x

∗)(∂ j ln σ)(x∗) ,

514 R. Chetrite, K. Gawedzki

where we used the identity

(∂ j ln σ)(x∗) = (∂n x∗k)(x)(∂ j∂k x∗n)(x∗)

to obtain the last equality. The first of the relations in Eqs. (6.2) follows. The second oneis an immediate consequence of the transformation rule in Eqs. (5.5).

Appendix D.

Proof of Lemma 2. The Cameron-Martin-Girsanov formula5 says that if yt is the dif-fusion process solving the SDE

y = wt (y) + ut (y) + vt (y) , (D.1)

then

Et0x F(y) = Et0

x F(x) e−U (x)

for xt solving the SDE (2.1) and

U (x) =t∫

t0

[− ws(xs) · d−1

s (xs) xs + ws(xs) · d−1s (xs) us(xs)

+ 12ws(xs) · d−1

s (xs) ws(xs) + 12 (∇ · ws)(xs)

]ds

if the functional F depends on the process restricted to the time interval [t0, t]. Thefirst term under the integral in the expression for U (x) has to be interpreted with theStratonovich rule. Denoting by L t the generator of the process yt solving the SDE(D.1),

L t = (wit + ui

t )∂i + 12 ∂ j d

i jt ∂i ,

we obtain this way the relation

Pt0,t (x, dy) ≡ Et0x δ(yt − y) dy = −→T exp

[ t∫

t0

Ls ds](x, dy)

= Et0x e−U (x) δ(xt − y) dy .

Next, if ft (x) is a time-dependent function then, by the Feynman-Kac formula,

−→T exp[ t∫

t0

(Ls − fs) ds](x, dy) = Et0

x e−U (x)−

t∫

t0

fs (xs ) ds

δ(xt − y) dy .

The application of the latter formula for wt = −2ut,+ and ft = −∇ · ut,+ + ∇ · ut,−gives Eq. (7.5) in view of the relation (7.1).

5 We have transformed the formula usually written in the Itô convention [79] to the Stratonovich one.

Fluctuation Relations for Diffusion Processes 515

Appendix E.

Here we show that the matrix M given by Eq. (7.29), where and C are strictlypositive and is antisymmetric, has eigenvalues with negative real parts and that thematrix C may be recovered from Eq. (7.25) by setting t = ∞. If λ is an eigenvalue ofM , i.e. if

− ( −)C−1xλ = λxλ

for some xλ = 0 then

λ = − xλ · C−1( −)C−1xλxλ · C−1xλ

= − xλ · C−1C−1xλxλ · C−1xλ

< 0 .

Equation (7.29) implies that

MC + C MT = −2

which is solved by C∞ given by Eq. (7.25) with t = ∞. Besides, this is the uniquesolution because if M D + DMT = 0 then

d

dte t M De t MT = 0

and

D = limt→∞ e t M De t MT = 0 .

Appendix F.

Proof of Proposition 2. It is enough to check the last identity for the so called cylindricalfunctionals

F(x) = f (xt1 , . . . , xtn )

for 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ T . Since

e−W = eϕ0(x0) e−

t1∫

0Js ds

e−

t2∫

t1

Js ds

· · · e−

T∫

tnJs ds

e−ϕT (xT ) ,

then, by virtue of Eq. (7.5), the left hand side of Eq. (8.3) is equal to

dx∫

f (x1 . . . , xn) P10,t1(x, dx1) P1

t1,t2(x1, dx2) · · · P1tn ,T (xn, dy) e−ϕT (y)

with the integral over x1, · · · , xn . With the use of relation (7.4), this may be rewrittenas

e−ϕT (y)dy∫

f (x1 . . . , xn) P ′0,t∗n (y∗, dx∗n ) · · · P ′t∗2 ,t∗1 (x

∗2 , dx∗1 ) P ′t∗1 ,T (x

∗1 , dx∗)

and, after the change of variables x∗i+1 → x ′n−i , as

e−ϕT (y)dy∫

f (x ′∗n . . . , x ′∗1 ) P ′0,t∗n (y∗, dx ′1) · · · P ′t∗2 ,t∗1 (x

′n−1, dx ′n) P ′t∗1 ,T (x

′n, dx∗).

This is equal to the left hand side of the identity (8.3) since e−ϕT (y)dy = e−ϕ′0(y∗)dy∗.

516 R. Chetrite, K. Gawedzki

Acknowledgements. The authors are grateful to S. Ciliberto, G. Falkovich, I. Fouxon, G. Gallavotti andP. Horvai for discussions.

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Communicated by G. Gallavotti

2.7 Article 2 [42] : Fluctuation Relations For Semiclassical Single-Mode Laser.

103

FLUCTUATIONS RELATIONS for

SEMICLASSICAL SINGLE-MODE LASER

Raphael Chetrite

Laboratoire de Physique, C.N.R.S., ENS-Lyon, Universite de Lyon,46 Allee d’Italie, 69364 Lyon, France

Abstract

Over last decades, the study of laser fluctuations has shown that laser theory may be regarded as aprototypical example of a nonlinear nonequilibrium problem. The present paper discusses the fluctuationrelations, recently derived in nonequilibrium statistical mechanics, in the context of the semiclassical lasertheory.

1 Introduction

Nonequilibrium statistical mechanics aims at a statistical description of closed and open systems evolvingunder the action of time-dependent conservative forces or under time-independent or time dependentnon-conservative ones. Fluctuation relations are robust identities involving the statistics of entropyproduction or performed work in such systems. They hold arbitrarily far from thermal equilibrium,reducing close to equilibrium to Green-Kubo or fluctuation-dissipation relations usually obtained in thescope of linear response theory [10, 19, 24, 11, 6, 3]. In a previous paper [2], we presented a unifiedapproach to fluctuation relations in classical nonequilibrium systems described by diffusion processes. Wetraced the origin of different fluctuation relations to the freedom of choice of the time inversion. Thepurpose of this paper is to illustrate the results of [2] on the example of a phenomenological model oflaser described by a stochastic differential equation. The semiclassical theory of laser describes the regimewhere, due to a large number of photons in the laser cavity, one may treat the electrical field classically,but the two level atoms are treated quantum mechanically [20, 9]. The dynamical behavior of a singlemode laser is then described by the equation of motion for the complex amplitude of the electric field Et:

dE

dt= (at − bEE)E, (1)

where Et is the complex conjugate of Et. The function at is called the net gain coefficient and it takesinto account the coherent emission and absorption of atoms and the losses. In the general case, at mayhave an explicit dependence on time. b is called the self-saturation coefficient. In most instances, it has apositive real part. There exist cases (with absorber) [21] where b has a negative real part, but we shall notconsider them below. If the resonance frequency ωc of the laser cavity and the atomic frequency ωa areexactly tuned then both at and b are real. In the case of detuning [22], at and b are both complex. Theequation of motion (1) describes the dynamical behavior of the laser field in a completely deterministicmanner with the properties like coherence or spectral width lying outside the domain of the theory. Thekey to the understanding of such questions resides in the fluctuations of the electric field which are causedby random spontaneous atomic emissions. Such fluctuations may be accounted for by replacing Eq. (1)by the stochastic differential equation

dE

dt= (at − bEE)E + η(t, E, E), (2)

with the noise η(t, E, E) mimicking the effect of the random spontaneous emission of atoms in othermodes, a purely quantum effect neglected in the semiclassical theory, but also the effect of vibrations ofthe cavity[20, 9]. We shall take η(t, E, E) as a random Gaussian field with zero mean and delta-correlatedin time. In the following, we shall look at two possible forms for η, one additive and the other onemultiplicative. The present paper is organised as follows. In Sect. 2, we recall the main results of [2].In Sect. 3.1, we study the most elementary model of laser: the stationnary tuned laser with an additive

1

noise, and show that its dynamics satisfies the detailed balance. Sect. 3.2 is devoted to the fluctuationrelations for a non-stationnary tuned laser. In Sect. 4.1, we examine the case of a stationnary laser withdetuning. The detailed balance is broken here, but we show that its slight generalisation, the modifieddetailed balance, still holds. In Sect 4.2, we study the non-stationnary detuned case. In Sects. 5, we lookat a slightly different case with the multiplicative noise.

Acknowledgements. The author thanks Francois Delduc and Krzysztof Gawedzki for encouragement,and Patrick Loiseau for his help in the numerical computation of Sect. 5.2.

2 Fluctuation relation in diffusive systems [2]

In [2], we dealt with arbitrary diffusion processes in Rd defined by stochastic differential equation (SDE)

x = ut(x) + vt(x), (3)

where x ≡ dxdt

and, on the right hand side, ut(x) is a time-dependent deterministic vector field (a drift),and vt(x) is a Gaussian random vector field with mean zero and covariance:

⟨vit(x)vjs(y)

⟩= δ(t− s)Dij

t (x, y). (4)

For the process solving the SDE (3) defined using the Stratonovich convention, we showed a detailedfluctuation relation (DFR):

µ0(dx)P0,T (x; dy, dW ) exp(−W ) = µ′0(dy∗)P′0,T (y∗; dx∗, d(−W )), (5)

where:

• µ0(dx) = exp(−ϕ0(x))dx is the initial distribution of the original (forward) process,

• µ′0(dx) = exp(−ϕ′0(x))dx is the initial distribution of the backward process obtained from theforward process by applying a time inversion (see below),

• P0,T (x; dy, dW ) is the joint probability distribution of the time T position xT of the forward processstarting at time zero at x and of the functional WT [x] of the process (to be given later) that has theinterpretation of the entropy production.

• P ′0,T (x; dy, dW ) is the similar joint probability distribution for the backward process.

The key behind the DFR (5) is the action of the time inversion on the forward system. First, the timeinversion acts on time and space by an involutive transformation (t, x) → (t∗ = T − t, x∗). Second, torecover a variety of fluctuation relations discussed in the literature [14, 15, 4, 5, 13, 23, 1], we allow for anon-trivial behaviour of the drift ut under the time-inversion dividing it into two parts:

ut = ut,+ + ut,− (6)

with ut,+ transforming as a vector field under time inversion, i.e. u′it∗,+(x∗) = +(∂kx∗,i)(x)ukt,+(x), and

ut,− transforming as a pseudo-vector field, i.e. u′it∗,−(x∗) = −(∂kx∗,i)(x)ukt,−(x). The random field vt

may be transformed with either rule: v′it∗(x∗) = ±(∂kx

∗,i)(x)vkt (x). By definition, the backward processsatisfies then the SDE

x = u′t(x) + v′t(x) (7)

taken again with the Stratonovich convention. The functionnal WT which appears in the DFR dependsexplicitely on the functions ϕ0, ϕ′0 and on the time inversion and has the explicit form:

WT = ∆T ϕ+

∫ T

0

Jt dt, (8)

where ∆T ϕ = ϕT (xT )− ϕ0(x0) with

µT (dx) ≡ exp(−ϕT (x))dx ≡ exp(−ϕ′0(x∗))dx∗ = µ′0(dx∗), (9)

and whereJt = 2ut,+ · d−1

t (xt)(xt − ut,−(xt))−∇ · ut,−(xt) (10)

with dt(x) = Dt(x, x) and uit,+ = uit,+ − 12∂yiDij

t (x, y)|y=x. The time integral in Eq. (8) should be takenin the Stratonovich sense.

2

The measures µ0 and µ′0 in the DFR (5) do not have to be normalized or even normalizable. If theyare, then distributing the initial points of the forward and the backward processes with probabilitiesµ0(dx) and µ′0(x), resperctively, we may define the averages

〈F 〉 =

∫µ0(dx)Ex F [x], 〈F 〉′ ≡

∫µ′0(dx)E′x F [x], (11)

where Ex (E′x) stands for the expectation value for the forward (backward) process atarting at x. Fromthe DFR one may derive a generalisation of the celebrated Jarzynski equality [12, 13],

〈 exp(−WT )〉 = 1, (12)

which may be viewed as an extension of the fluctuation-dissipation theorem to the situations arbitrarilyfar from the equilibrium. Note that the relation (12) implies the inequality 〈WT 〉 ≥ 0.

To reformulate the DFR in a form where the entropic interpretation of WT is clearer, consider theprobability measures M [dx] and M ′[dx] on the spaces of trajectories of the forward and and of thebackward process, respectively, such that

〈F 〉 =

∫F [x]M [dx], 〈F 〉′ =

∫F [x]M ′[dx]. (13)

The DFR may be reformulated in the Crooks form [5] as the identity

〈F exp(−WT )〉 = 〈F 〉′, (14)

where F [x] = F [x] with xt = x∗T−t, and the relation (14) implies the equality

M ′[dx] = exp(−WT [x])M [dx], (15)

for the trajectory measures with M ′[dx] = M ′[dx]. By introducing the relative entropy S(M |M ′) =∫ln( M [dx]

M′[dx])M [dx] of the measure M ′ with respect to M , we infer that

〈WT 〉 = S(M |M ′). (16)

Thus the inequality 〈WT 〉 ≥ 0 follows also from the positivity of relative entropy. One may postulate that∫ T0〈Jt〉 dt describes the mean entropy production in the environment modeled by the stochastic noise:

∫ T

0

〈Jt〉 dt = ∆T Senv. (17)

This is coherent with the previous result and particular cases, see [7, 8, 16]. We may then interprete∫ T0Jtdt

as the fluctuating entropy production in the environment. An easy calculation leads to the relation

〈WT 〉 = S(µT )− S(µ0) + ∆T Senv + S(µT |µT ), (18)

where µt(dx) = exp(−ϕt(x)) dx is the measure describing the time t distribution of the forward process ifits initial distribution were µ0(dx). S(µt) =

∫ϕt(x)µt(dx) is the mean instantenous entropy of the forward

process xt and S(µT ) − S(µ0) is its change over time T . We could interprete ϕt(xt) as the fluctuatinginstantenous entropy. In general, µT is not linked to µT of formula (9). The relative entropy S(µT |µT ) isa penalty due to the use at time T of a measure different than µT . In the case where µT = µT , 〈WT 〉 isthe mean entropy production in the system and environment during time T and we could interpret WT

as the corresponding fluctuating quantity. After a simple calculation [17], one gets

∆T Senv =

∫ T

0

〈Jt〉 dt =

∫ T

0

dt

∫ [2ut,+(x) · d−1

t (x)(t(x)dx− ut,−(x)µt(dx)

)− (∇ · ut,−)(x)µt(dx)

], (19)

S(µT )− S(µ0) =

∫ T

0

dt

∫t(x) · ∇ϕt(x) dx , (20)

where t is the probability current at time t with the components

it =(uit −

1

2dijt ∂j

)exp(−ϕt) (21)

that satisfies the continuity equation

∂t exp(−ϕt) + ∂iit = 0.

We shall apply now these results to three type of semiclassical single-mode laser.

3

3 Tuned laser with additive noise

3.1 Stationnary case

Let us consider the most common model of a stationnary laser with no detuning and with an additiveform of the noise [20, 9]. Its dynamics is described by the SDE

dE

dt= (a− bEE)E + η, (22)

with a and b real, b > 0, and with white noise η with mean zero and covariance

〈ηtηt′〉 = D δ(t− t′), (23)

〈ηtηt′〉 = 〈ηtηt′〉 = 0.

We can write the covariance matrix in the (E, E) space as

d = D(0 11 0

). (24)

The equation (22) has then the form of the Langevin equation describing equilibrium dynamics of theprocess Et = (Et, Et):

dE

dt= −1

2d∇Hab + η (25)

for Hab(E) = 1D

[b(EE)2 − 2aEE]. The Einstein relation is satisfied for the inverse temperature equal to1 implying that the Gibbs measure

µab(dE) = Z−1ab exp(−Hab(E) dE (26)

is invariant, has a vanishing probability current j, and satisfies the detailed balance

µab(dE0) P0,T (E0; dE) = µab(dE) P0,T (E; dE0). (27)

This relation is a particular case of the detailed fluctuation relation (5) where the time inversion actstrivially in the spatial sector, i.e. E∗ = E, the pseudo-vector part of the drift is taken zero, and we startwith the Gibbs measure µab for the forward and the backward processes. In this case both processeshave the same distribution and WT ≡ 0. The relation (27) may be projected to the one for the processIt = EtEt describing the the intensity of the laser:

µab(dI0) P0,T (I0; dI) = µab(dI) P0,T (I; dI0). (28)

The fluctuating entropy production in the environement may be identified with the heat production ∆TQwhich is a state function here:

∆TQ =

∫ T

0

Jtdt = −H(ET ) +H(E0). (29)

This relations is the first principle of the thermodynamics in the case with no work applied to the system. Ifwe start with the Gibbs density then the mean entropy production in the environment ∆T Senv = 〈∆TQ〉vanishes (19) as well as the instantaneous entropy production and WT . If the process starts with anarbitrary measure µ0(dE) then at subsequent times the measure is

µt(dE) =

∫µ0(dE0) P0,t(E0; dE) (30)

converging at long times to the invariant measure µab(dE). During this process the mean rate of heatproduction 〈qt〉 in the environment is (19)

〈qt〉 = 〈Jt〉 = −∫

(∇Hab · jt)(E) dE . (31)

After an integration by part, this may be written as

〈qt〉 = −∫Hab(E) ∂tµt(dE) . (32)

4

3.2 Non-stationnary case

3.2.1 Non-stationary net gain coefficient

Let us consider now the SDEdE

dt= (at − bEE)E + η (33)

with an explicit time dependence for the (real) net gain coefficient at, with b > 0, and with the whitenoise η as before. The explicit time dependance at may result from an external manipulation. In thematrix notation, the last equation takes the form

dE

dt= −1

2d∇Ht + η . (34)

with Ht ≡ Hatb. Here, we are outside the scope of the detailed balance and we enter in the world oftransient fluctuation relations. To find an interesting DFR in this case, let us search for an appropriatetime inversion. For example, we may impose that the backward process is still described by a Langevinequation but with the hamiltonian H ′t(E) = Ht∗(E

∗). By assuming a linear relation E∗ = ME and bytransforming the drift with the vector rule, we obtain for the drift of the backward process the relation

u′t(x) = −1

2MdMT (∇H ′t)(E). (35)

To assure that MdMT = d, we shall take M = 1 or M = D−1d, i.e. E∗ = E or E∗ = E = (E, E). Inthese two cases, Ht(E

∗) = Ht(E) so that H ′t(E) = Ht∗(E) and the backward process satisfies the sameSDE as the forward process but with the time-dependence of the Hamiltonian reparametrized. With thischoices, a small calculation gives

T∫

0

Jt dt = −∫ T

0

∇Ht(Et) · dEt = −HT (ET ) +H0(E0) +

∫ T

0

(∂tHt)(Et) dt . (36)

The first principle of thermodynamics implies then that∫ T0

(∂tHt)(Et) dt is the work performed on thelaser during a time T. Starting from the Gibbs measure for the forward and the backward process, weobtain the relation

WT = −∆T F +

∫ T

0

(∂tHt)(Et) dt = −∆T F −2

D

∫ T

0

(∂tat) It dt, (37)

where ∆T F = FT − F0 is the change of the Helmholz free energy Ft = − ln∫

exp(−Ht(E)) dE. TheDFR (5) takes here the form

µ0(dE0) P0,T (E0; dE, dW ) exp(−W ) = µT (dE) P ′0,T (E∗; dE∗0 , d(−W )), (38)

where µt denotes the Gibbs measure corresponding to Ht. In this case, there is a non vanishing entropyproduction in the environnement given by

∆T Senv = 〈∆TQ〉 =

∫ T

0

〈Jt〉 dt =

∫ T

0

dt

∫Ht(E) (∂tϕt)(E) exp(−ϕt(E)) dE, (39)

where µt(dE) = exp(−ϕ(E)) dE is the distibution of Et if E0 is distributed with the Gibbs measureµ0(dE). Note that, in general, µt 6= µt. The associated Jarzynski equality (12) takes the form

⟨exp

[−

T∫

0

(∂tHt)(Et) dt]⟩

= exp(−∆F ), (40)

that is, explicitly,

⟨exp

[ 2

D

T∫

0

(∂tat) It dt]⟩

= exp(a2

T− a2

0

bD

) 1 + erfc(a

T√bD

)

1 + erfc( a0√bD

). (41)

In fact, there is an infinity of Jarzynski equalities that correspond to different splittings of the driftut = − 1

2d∇Ht into ut,± parts. The peculiarity of the Jarzynski equality with the functionnal WT of (37)

is that upon its expansion to the second order in the small time variation at = a + ht with ht a oneobtains the standart fluctuation dissipation theorem [10, 19, 24, 11, 6, 3]

δ 〈It〉δhs

∣∣∣h≡0

=2

D∂s 〈IsIt〉0 (42)

for s ≤ t, where 〈 · · · 〉0 is the equilibrium average in the stationary state with h ≡ 0.

5

3.2.2 External coherent field

Another frequent way to induce a non-stationary behavior of the laser is to add an external coherentfield at the laser frequency, modulated with a time-dependant amplitude Eextt , which is injected into thecavity [10]. The gain and the self saturation of the laser depends now on the total field Et + Eextt , butthe losses depend just of Et, so the equation (22) becomes:

dE

dt=(a− b

∣∣E + Eextt

∣∣2)

(E + Eext)− αEextt + η, (43)

where α is the part of the dissipation in the net gain coefficient a. This equation takes for Etott = Et+Eextt

the form:dEtot

dt=(a− b

∣∣Etot∣∣2)Etot − αEext +

dEext

dt+ η . (44)

Upon denoting −αEextt +dEext

tdt

= ft, this may be rewritten as

dEtot

dt= −1

2d∇Ht + η . (45)

with

Ht(Etot) ≡ Hab(E

tot)− 2

D

(ftE

tot + ftEtot) .

In the case where Eextt is not infinitesimal, we are outside the linear response regime, but the Jarzynskirelation (40) is always true with

∂tHt(Etot) = − 2

D

((∂tft)E

tot + (∂tft)Etot) .

In the limit of infintesimal ft, this Jarzynski relation gives once again the fluctuation dissipation theorem[10]:

δ 〈At〉δfs

∣∣∣h≡0

=2

D∂s⟨Etots At

⟩0, (46)

δ 〈At〉δfs

∣∣∣h≡0

=2

D∂s⟨Etots At

⟩0. (47)

4 Detuned laser with additive noise

4.1 Stationary case

For the stationary case with no tuning [22],

dE

dt= (a− bEE)E + η, (48)

with a = a1 + ia2 and b = b1 + ib2 complex, b2 > 0, and with covariance of the noise η given by Eq. (23).The detuning destroys the Langevin form of the equation because the drift cannot be put any more inthe form u = − d

2∇H but, instead,

u = −d2∇Ha1b1 + iDΠ∇Ha2b2 , (49)

with Π =( 0 1−1 0

). It is easy to see that the probability current of the Gibbs measure µa1b1(dE) is

j(E) = i Z−1a1b1

Π∇Ha2b2 exp(−Ha1b1) = Z−1a1b1

(−ib2E2E + ia2E, −ib2EE2 − ia2E) exp(−Ha1b1) (50)

and that it is conserved: ∇ ·j = 0 because H depends only on the intensity I. It follows that the measureµa1b1(dE) is preserved by the dynamics. We are in a steady state [6]. The detailed balance breaks downdue to the non-vanishing of current j. It is replaced by the modified detailed balance:

µa1b1(dE0) P0,T (E0; dE) = µa1b1(dE) P0,T (E, dE0). (51)

This relation, once again, implies a detailed balance for the process for intensity:

µa1b1(dI0) P0,T (I0; dI) = µa1b1(dI) P0,T (I; dI0). (52)

6

The relation (51) is a particular case of the DFR (5) where the time inversion acts in the spatial sectoras the complex conjugation E∗ = E, with the vector and pseudo-vector parts of the drift equal to

u+ =((a1 − b1EE)E, (a1 − b1EE)E

), u− =

(i(a2 − b2EE)E, −i(a2 − b2EE)E

). (53)

Here again the backward process that we obtain with this choice of time inversion has the same distributionas the forward one and the heat production

∆TQ =

∫ T

0

Jt dt = −Ha1b1(ET ) +Ha1b1(E0) (54)

is a state function. If the forward and the backward processes are distributed initially with the Gibbsdensity exp(−Ha1b1) then, in average, there is no entropy production in environment

∆T Senv = 〈∆TQ〉 =

∫ T

0

〈Jt〉 dt = −∫ T

0

dt

∫∇Ha1b1 · j(E) dE = −

∫ T

0

dt

∫Ha1b1 · ∇j(E) dE = 0 (55)

and WT = 0. We have the usual features of equilibrium.

4.2 Non-stationnary case

Introduction of a time dependence of the net gain coefficient to the previous model leads to the SDE

dE

dt= (at − bEE)E + η (56)

with an explicit time dependence for the net gain coefficient at = a1,t+ ia2,t and b = b1 + ib2 with b2 > 0.Here, the fluctuation relation can be developed exactly as in Sect.3.2 but now (38) becomes for E∗ = E :

µa1,0b1(dE0) P0,T (E0; dE, dW ) = µa1,T b1(dE) P0,T (E, dE0, d(−W )), (57)

where µa1,tb1 denotes the Gibbs measure corresponding to Ha1,tb1 and

WT = −∆T Fa1b1 +

∫ T

0

(∂tHa1,tb1)(Et) dt = −∆T Fa1b1 −2

D

∫ T

0

(∂ta1,t) It dt, (58)

The corresponding Jarzynski relation takes the form

⟨exp

[ 2

D

T∫

0

(∂ta1,t) It dt]⟩

= exp(a2

1,T − a21,0

b1D

) 1 + erfc(a1,T√b1D

)

1 + erfc(a1,0√b1D

), (59)

compare to (41). The second order expansion in the small time variation at = a+ht with ht = h1,t+ ih2,t

gives now the fluctuation-dissipation relations

δ 〈It〉δh1,s

∣∣∣h≡0

=2

D∂s 〈IsIt〉0 ,

δ 〈It〉δh2,s

∣∣∣h≡0

= 0, (60)

see [3] for the details.

5 Tuned laser with multiplicative noise

5.1 Stationnary case

It is not always clear a priori whether the noise is better represented by a multiplicative or additive model.In laser theory, when the randomness is due to pumping, it is more reasonable to use the multiplicativemodel of noise [20]. The stationary laser dynamics is then described by the non-Langevin SDE for thecomplex amplitude Et:

dE

dt= (a− bEE)E + ηtE, (61)

with a real, b positive and the white noise ηt as before. In complex coordinates, the covariance matrix(4) takes now the form

D(E,E′) =( 0 DEE′

DE′E 0

)(62)

7

and, on the diagonal,

d(E) = D(E,E) = DEE( 0 1

1 0

). (63)

One can show directly that the density exp(−ϕ(I)), where

ϕ(I) =2b

DI + (1− 2a

D) ln I (64)

and I = EE, is preserved by the dynamics and corresponds to the vanishing current, leading to thedetailed balance

exp(−ϕ(E0)) dE0 P0,T (E0; dE) = exp(−ϕ(E)) dE P0,T (E; dE0). (65)

It is normalisable if a > 0. In this case, the normalized measure µ(dE) = Z−1 exp(−ϕ(I)) dE is invariantand we are once again in an equilibrium case. There is no invariant probability measure when a ≤ 0.Note the the intensity I satisfies here a closed SDE

dI

dt= 2(a− bI)I + (ηt + ηt)I (66)

that should be taken with the Stratonovich convention.

5.2 Non-stationnary case

Introduction of a time dependence of the net gain coefficient to the previous model results in the SDE

dE

dt= (at − bEE)E + ηtE. (67)

With E∗ = E or E∗ = E and the vector rule for the time-inversion of the drift, the backward processsolves the same SDE with at and ηt replaced by at∗ and ηt∗ . This time reversal corresponds both to theso called reversed protocol and to the current reversal of the articles [1, 2]. The DFR (5) takes now theform

exp(−ϕ0(I0)) dE0 P0,T (E0; dE, dW ) exp(−W ) = exp(−ϕT (I)) dE P ′0,T (E∗; dE∗0 , d(−W )) (68)

with

ϕt(I) =2b

DI + (1− 2at

D) ln I (69)

and

WT =

∫ T

0

(∂tϕt)(Et) dt = − 2

D

∫ T

0

(∂tat) ln It dt. (70)

The intensity process It satisfies the SDE (66) with the net gain coefficient a replaced by at. Thebackward intensity process is given by the same SDE with at and ηt replaced by at∗ and ηt∗ , leading tothe DFR (5)

exp(−ϕ0(I0))) dI0 P0,T (I0; dI, dW ) exp(−W ) = exp(−ϕT (I)) dI P ′0,T (I; dI0, d(−W )). (71)

Introducing the distribution of WT in the forward and the backward process by the relations:

P0,T (W ) dW =

∫exp(−ϕ0(I0)) dI0 P0,T (I0; dI, dW )dI∫

exp(−ϕ0(I0)) dI0and

P ′0,T (W ) dW =

∫exp(−ϕT (I0)) dI0 P

′0,T (I0; dI, dW ) dI∫

exp(−ϕT (I0)) dI0

we obtain by integration (68) the Crooks relation [4]:

P0,T (W ) = P′0,T (−W ) exp(W −∆T F ) with ∆T F = FT − F0, (72)

where Ft = − ln∫

exp(−ϕt(I)) dI. In the case with positive a0 and aT , we may derive the associatedJarzynski equality: ⟨

exp(−WT )⟩

= exp(−∆T F ), (73)

where

exp(−∆T F ) =

∫exp(−ϕT (E)) dE∫exp(−ϕ0(E)) dE

(74)

8

or, explicitly⟨

exp[ 2

D

∫ T

0

(∂tat) ln It dt]⟩

=

(2b

D

)−2(aT−a0)/DΓ(2aT /D)

Γ(2a0/D). (75)

Expanded to the second order in ht = at − a, the identity (73) induces the generalised fluctuationdissipation theorem (for a non-Langevin case):

δ 〈ln It〉δhs

∣∣∣h≡0

=2

D∂s 〈ln It ln Is〉0 (76)

for s < t. Once again, it is the fluctuation dissipation theorem associated to the stochastic equation (67),as it was demonstated in [3].

We did a numerical verification of the Crooks relation (72) for the case T = 1, at = 1 + t, b = 1 and

D = 1. We realized with Patrick Loiseau1 a Matlab computation. Below, we draw P0,1(W ), P′0,1(W ) as

a function of W and ln(P0,1(W )

P′0,1(−W )

) as a function of W −∆1F . The simulation was done on 5000 initial

conditions between 0 and 10. For each initial condition, we considered 50 realizations of the noise. Theinterval of discretisation in time was 2−15.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

W

P(W)

Figure 1: P0,1(W ) as a function of W . Here 〈W1〉 = 0.1023.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

W

P′(W)

Figure 2: P ′0,1(W ) as a function of W . Here 〈W ′1〉 = 0.784.

1Universite de Lyon, Ecole Normale Superieure de Lyon.

9

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x = W−∆F

y=

ln(

P(W

)P

′ (−

W))

Figure 3: ln( P0,1(W )

P′0,1(−W )

) as a function of W −∆1F . The continuum line is the identity function

6 Conclusion

We have discussed different fluctuation relations for a stochastic model of the semiclassical regime ina single mode laser. In particular, we showed that the stationary tuned laser with additive noise hasan equilibrium state with detailed balance (27) and that the detuning preserves the features (51) and(55) of equilibrium. We also studied the non stationnary case, showing for the tuned and the detunedlaser close to equilibrium the standart fluctuation-dissipation theorems (42) and (60) that extend to theappropriate Jarzynski equality (59) far from equilibrium. Finaly we studied laser with multiplicativenoise. We specified in this case the detailed balance relation (65) satisfied in the stationary case andthe fluctuation-dissipation theorem (76). We also verified numerically the Crooks relation (72) in thenon-stationary case.

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11

Chapitre 3

GÉNÉRALISATION DES THÉORÈMES DE FLUCTUATION-DISSIPATION ET DE GREEN-KUBO POUR UN PROCESSUSMARKOVIEN ARBITRAIRE

3.1 Introduction

Nous avons exposé dans le chapitre précédent, les relations de uctuation qui sont valables arbitrai-rement loin de l'équilibre. En fait, pendant longtemps, les seules prédictions quantitatives que l'onpossédait pour un système hors d'équilibre n'étaient valables qu'au voisinage de l'équilibre. C'est lecas du théorème de uctuation-dissipation[185, 58, 188, 92] démontré sous sa forme moderne parCallen et Welton [36] en 1951, des relations de réciprocités démontrées par Onsager [173, 174] en 1930et du théorème de Green-Kubo [136, 101] qui date de 1957. Le théorème de uctuation-dissipationsous la forme de Callen et Welton stipule que si initialement à temps zéro le système hamiltonienest dans un état d'équilibre et qu'alors on rompt cet équilibre en remplaçant le hamiltonien H parun hamiltonien dépendant du temps H−ht,aOa, alors la réponse d'une observable A(xt) au premierordre en h est liée à la fonction de corrélation dynamique

⟨ObsAt

⟩0prise dans l'état d'équilibre :

〈At〉 = 〈A〉0 + β

∫ t

0ds hs,b ∂s

⟨ObsAt

⟩0

(3.1)

avec 〈A〉0 la moyenne de A dans l'état d'équilibre de Gibbs et β l'inverse de la température. Cethéorème de uctuation-dissipation, que nous qualions de standard, n'est valable que si le systèmenon perturbé est un système à l'équilibre.

115

Fig. 3.1 Herbert Callen

Herbert Callen (1919-1993) est un physicien américain né à Philadelphie. Il

étudia à Temple University et participa pendant la guerre au projet Manhattan avant

de faire sa thèse au MIT sous la direction de Tisza. En 1948, il devient professeur à

l'université de Pensylvanie. Il est l'auteur du livre de thermodynamique [37] le plus

connu au monde.Source : Wikipédia

Ce théorème [137, 136] (ou plutôt sa modication) a été originalement démontré dans le casquantique [36]. Il relie la réponse d'un système à une perturbation aux uctuations du système nonperturbé. Pour une revue récente sur le théorème de uctuation-dissipation avec une approche un peudiérente de cette thèse on pourra consulter [158]. Récemment, la violation de ce théorème dans lecas de système hors d'équilibre est devenue un axe central de recherche en physique hors d'équilibre,par exemple dans les système vitreux [35, 50, 54], pour les matériaux granulaires [10, 34], pourles suspensions de colloïdes [11, 82] ou pour des systèmes de biophysique [112, 159]. Notre travailsur le sujet a commencé début 2006, en même temps que nous commencions à nous intéresser auxrelations de uctuation. Nous étions motivés par les propriétés chaotiques du modèle d'advectionpassive unidimensionnelle de particules massives dans un ot de Kraichnan (voir chapitre 4). Aprèsquelques manipulations, le processus tangent de ce modèle se ramène à une équation de Langevinunidimensionnelle mais avec un hamiltonien cubique (H(x) ∼ x3). Il s'ensuit que la mesure deGibbs n'est pas normalisable et que la densité invariante de ce processus est un état stationnairehors d'équilibre (NESS). L'introduction de [44] reproduite ici dans la section 3.7 donne plus dedétails sur ce modèle et sur ses liens avec la localisation unidimensionnelle d'Anderson. Le butétait de comprendre si il était possible d'écrire pour ce problème des relations de uctuation ou unthéorème de uctuation-dissipation. Notre travail est résumé dans [44] où nous avons généralisé lethéorème de uctuation-dissipation en supposant que le système non perturbé est dans un NESS,cela dans le contexte des processus diusifs multidimensionnels de type Langevin. En particuliernous avons démontré que le théorème de uctuation-dissipation garde sa forme standard (3.1) sion écrit les fonctions de réponse et de corrélation du NESS dans un référentiel lagrangien bienchoisi. Nous avons aussi démontré que dans ce contexte, ce théorème de uctuation-dissipationgénéralisé est le développement limité de relations de uctuation bien choisies, comme c'était lecas autour de l'équilibre [45] ou dans le cas des chaînes de Markov dans la section (2.3). Notrebut dans ce chapitre est de généraliser les théorèmes de uctuation-dissipation et de Green-Kubodans le cadre des processus markovien quelconques dont on a esquissé la théorie dans la section(2.2), en particulier pour les processus diusifs généraux. Nous commençons donc par rappelerquelques notions sur les processus diusifs et sur leur état stationnaire dans la section 3.2. Puis,dans la section 3.3, nous énonçons le théorème de uctuation-dissipation (3.10) que l'on peut écrireautour d'un état stationnaire d'un processus markovien, nous montrons ses liens avec les relationsde uctuation. La section 3.4 est consacrée au cas où le terme qui met le système hors d'équilibrerésulte d'une variation du terme déterministe du processus diusif alors que la section 3.5 explicitele problème complémentaire où le terme qui met le système hors d'équilibre résulte cette fois ci d'unevariation du terme aléatoire du processus diusif. En particulier, dans la section 3.4, nous analysonsle théorème de uctuation-dissipation autour d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck général, d'un

116

modèle stochastique de laser non tuné, d'un modèle stochastique de laser à bruit multiplicatif etenn de la dynamique de Langevin pour retrouver les résultats de [44].

3.2 Etat stationnaire hors d'équilibre (NESS) pour un processusdiusifs.

Les processus diusifs seront le processus markovien dominant dans ce chapitre. La dynamiquestationnaire que nous considérons dans ce cas est décrite par l'équation de diusion dans Rd (ouplus généralement sur une variété de dimension d)

x = u(x) + vt(x) , (3.2)

où x ≡ dxdt , u(x) est un champ de vecteur déterministe stationnaire, et vt(x) est un champ de

vecteurs aléatoire gaussien de moyenne nulle et de covariance⟨vit(x) vjs(y)

⟩= δ(t− s)Dij(x, y) . (3.3)

Eq. (3.2) est une équation diérentielle stochastique (SDE) que l'on décide de prendre en conven-tion de Stratonovich. On a donné une description mathématique ce ces processus dans le cas nonstationnaire dans le paragraphe 3 de l'article [45] reproduit dans la section (2.6). Nous rappelons icisimplement que l'évolution de la densité moyenne %t du processus xt est donnée par l'équation decontinuité

∂t%t + ∇ · jt = 0 (3.4)

avec le courant :

jit ≡(ui − 1

2dij∂j

)ρt + zit avec dijt (x) = Dij

t (x, x) et uit(x) = uit(x)− 1

2∂yjD

ijt (x, y)|y=x

(3.5)déni à un vecteur zit de divergence nul ∂iz

it = 0 près. On introduit aussi la vitesse locale vt = ρ−1

t jtqui a pour expression :

vt ≡ u− 12ρ−1t d∇ρt + ρ−1

t zt (3.6)

car alors l'équation de continuité (3.4) prend la forme d'une équation hydrodynamique d'advectionde la densité :

∂t%t + ∇ · (vt%t) = 0, (3.7)

c'est à dire que la densité %t évolue comme la densité de particules lagrangienne déterministe obéis-sant à l'équation x = vt(x). Une densité invariante ou stationnaire ρi vérie l'équation L†ρi = 0qui peut être aussi écrite ∇ · ji = 0 où ∇ · (vi%) = 0, alors qu'une densité d'équilibre ρe vériel'équation je = ve = 0. On a explicité dans le paragraphe 2 de [44] des exemples intéressants dansdivers domaines de la physique (localisation d'Anderson, turbulence ...) où une densité stationnairehors d'équilibre possède une expression analytique.

3.3 Généralisation du théorème de uctuation-dissipation et des re-lations de Green-Kubo

On considère un système préparé dans un état stationnaire hors d'équilibre avec la densité invarianteρi = exp(−ϕi) pour un processus markovien de générateur (2.3) L. Par exemple dans le cas desprocessus diusifs, on prendra la dynamique (3.2) pour les temps négatifs. A t = 0, on branche uneperturbation non stationnaire en considérant que le générateur du processus markovien devient :

Lt = L+ hatMat (3.8)

117

avec hat des fonctions du temps seulement. On note 〈F 〉h la moyenne d'une fonctionnelle F duprocessus perturbé et 〈F 〉0 la moyenne de la même fonctionnelle du processus non perturbé. Onnote ρlit = exp(−ϕlit ) la densité localement invariante du processus perturbé, c'est à dire telle queL†t .ρ

lit = 0. On va essayer de généraliser le théorème de uctuation-dissipation standard (3.1) pour

ce cadre général. On va donc chercher à lier la valeur moyenne dans le processus perturbé d'uneobservable A(t, xt) et des corrélations prises dans le système non perturbée.

Nous explorons simultanément trois directions de généralisations par rap-port au théorème de uctuation-dissipation usuel (3.1). Premièrement,on considère un processus markovien général plutôt qu'un processus deLangevin, cette idée est relativement classique, beaucoup d'auteurs (parexemple Risken [188] se placent dans le cadre des équations de Fokker-Planck générales ce qui est équivalent à un processus diusif général.Deuxièmement, la perturbation dépend du temps intrinsèquement dansM et pas seulement au travers de h. Enn, la principale généralisationest que le système non perturbé est un état stationnaire hors d'équilibreet pas un état d'équilibre.

3.3.1 Théoreme de uctuation-dissipation généralisé

On se place dans le cadre de la réponse linéaire. Cela consiste à supposer que les fonctions h sontinnitésimales et on étudie le processus au premier ordre en h. On montre alors assez facilement quepour une observable quelconque At(x) qui dépend explicitement du temps et du point courant, onobtient la relation de réponse linéaire générale pour t > s :

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉h =

⟨((ρi)−1M †bρi

)sAt

⟩0

(3.9)

où le symbole At sous la moyenne du processus est une abreviation pour At(xt) (cette conventionva être supposée dans la suite ; elle dière légèrement de la convention employée dans l'article quiaccompagne ce chapitre ). Cette relation relie la fonction de réponse hors d'équilibre d'une observableA à une fonction de corrélation prise dans l'état stationnaire. Le théorème de uctuation-dissipationgénéralisé est juste une réécriture de (3.9) en introduisant une observable Bb

t ≡ Bbt (x) telle que

le membre de droite de (3.9) puisse s'écrire sous la forme ∂s⟨BbsAt⟩

0ce qui donne le théorème de

uctuation-dissipation standard ( pour t > s) :

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 = ∂s

⟨Bbs At

⟩0

(3.10)

Pour cela, l'observable Bbt (x) doit alors vérier une équation de compatibilité qui s'écrit sous l'une

des formes :

∂sBbs − (ρi)−1L†.ρiBb

s = (ρi)−1M b†s .ρ

i ou (3.11)

M b†s .ρ

i = exp(sL†)∂s. exp(−sL†)ρiBbs ou (3.12)

ρiBbt = exp(tL†)ρiBb

0 +∫ t

0ds exp

((t− s)L†

)M b†s (ρi) (3.13)

118

Le théorème de uctuation-dissipation a donc toujours la forme du casstandard (3.1) et une brisure de ce théorème résulte de la considérationd'une fonction B qui ne vérie pas l'équation de compatibilité (3.11). Larelation (3.9) est connue depuis longtemps et apparaît déjà dans [188](équation 7.10) pour un processus diusif général ou antérieurement dansun article de Peter Hänggi [106] de 1977 qui est la meilleure référenceque nous avons trouvée (très tardivement) sur le théorème de uctuation-dissipation. Ce qui est moins classique et original à notre travail, est laréécriture sous la forme (3.10) et la démonstration que ce résultat estle développement limité de l'équation (2.112) écrite pour un processusmarkovien général. On a démontré le même phénomène dans le cadredes chaînes de Markov dans la section 2.3.

Preuve : règle de somme

La relation de compatibilité (3.11) se démontre facilement en utilisant la règle de somme

∂s 〈BsAt〉0 =⟨(−(ρi)−1L†.ρiB

)sAt

⟩0

+ 〈∂sBsAt〉0 (3.14)

qui exprime une dérivée temporelle d'une fonction de corrélation de deux observables Bs(x) et At(x)comme une autre fonction de corrélation. Cette règle de somme se démontre pédestrement :

∂s 〈BsAt〉0 = ∂s

∫dxρi(x)Bs(x)P t−s(x, dy)At(y) (3.15)

= −∫dxL†

(ρi(x)Bs(x)

)P t−s(x, dy)At(y) +

∫dx ρi(x) (∂sBs(x))P t−s(x, dy)At(y)

=⟨(−(ρi)−1L†.ρiB

)sAt

⟩0

+ 〈∂sBsAt〉0 =⟨[(−(ρi)−1L†.ρiB

)s

+ ∂sBs

]At

⟩0

(3.16)

Lien avec les relations de uctuation

Lien avec une relation de Crooks : Nous allons montrer ici que la relation (3.9) est ledéveloppement au premier ordre de la relation (8.6) de l'article [45] (ou plutôt de son équivalentpour les processus Markoviens quelconques), reproduit dans la section 2.6, écrite pour le courantinversé et pour la fonctionnelle F = At ( 0 < t < T ) :

⟨At e−WT

⟩=⟨AT−t

⟩ravec WT =

∫ T

0(∂tϕlit )(xt)dt = −

∫ T

0∂t ln(ρlit )(xt)dt. (3.17)

On commence par développer ρlit au premier ordre en h :

%lit = %0t + ht,a%

a,1t +O(h2) (3.18)

Alors L†t .%lit = 0 donne à l'ordre 0 :

L†.%0t = 0 (3.19)

la condition au limite %li0 = ρi implique alors

%0t = ρi

Et à l'ordre 1 :L†.%a,1t = −Ma,†

t .%i (3.20)

119

On peut donc exprimer WT au premier ordre en h :

WT = −T∫

0

∂t

(ht,a(%i)−1%a,1t

)dt +O(h2) , (3.21)

et donc

exp(−WT ) = 1 +∫ T

0

[∂t

(ht,a(%i)−1%a,1t

)](xt)dt+O(h2) (3.22)

= 1 +∫ T

0∂t(ht,a)(%i)−1(xt)%

a,1t (xt)dt+

∫ T

0ht,a(%i)−1(xt)∂t%

a,1t (xt)dt+O(h2)

On développe alors (3.17) jusqu'à l'ordre 1 en h :

⟨At⟩

0+∫ds hb,s

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

∫ T

0∂s(hs,a)

⟨At(xt)

((%i)−1%as,1

)(xs)

⟩0dt (3.23)

+∫ T

0hs,a

⟨At(xt)

((%i)−1∂s%

as,1

)(xs)

⟩0dt + O(h2) =

⟨AT−t

⟩r

Le membre de droite ne dépend fonctionnellement que de hu, u > t, donc si on applique l'opérateurδ

δhb,s|h=0 pour 0 < s < t aux deux membres on obtient :

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 = ∂s

⟨At(xt)

((%i)−1%bs,1

)(xs)

⟩0−⟨At(xt)

((%i)−1∂s%

as,1

)(xs)

⟩0

(3.24)

En utilisant alors la règle de somme (3.15), on obtient pour 0 < s < t

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 =

⟨[(%i)−1M †bs .%

i]

(xs)At(xt)⟩

0(3.25)

qui est exactement la relation (3.9).

Lien avec une relation de Jarzynski-Hatano-Sasa : On vient de démontrer que le théo-rème de uctuation-dissipation généralisé est une version locale de la relation de Crooks (3.17), alorsque dans le cas standard du théorème de uctuation-dissipation, il a été démontré, par exempledans [45] paragraphe (11.2), que le théorème de uctuation-dissipation résultait plutôt d'un déve-loppement au second ordre de la relation de Hatano-Sasa (équations 8.7 et 8.19 de [45]). Nous allonsmontrer que cette correspondance est toujours vraie à condition que l'opérateur de perturbation nedépende pas explicitement du temps (i.e Ma

t ≡Ma). Dans le cas général (Mat 6= Ma) on va montrer

que ce n'est plus le cas. On suppose ici que hT,a = 0. Commençons par généraliser le résultat (3.18)en développant ρlit au second ordre en h :

%lit = %i + ht,a%a,1t + ht,aht,b%

ab,2t + O(h3) (3.26)

avec

L†%a,1t = −Ma,†t %i et L†%ab,2t = −1

2(Ma,†

t %b,1 +M b,†t %a,1) (3.27)

Le developpement de WT (3.21) jusqu'à l'ordre 2 donne :

WT = −∫ T

0(∂t%

lit

%lit)(xt)dt = −

∫ T

0

[∂t(ht,a%

a,1t ) + ∂t(ht,aht,b%

ab,2t )

%i(1 + ht,b (%i)−1%b,1t )

](xt)dt+ O(h3) (3.28)

= −∫ T

0

[(%i)−1

(∂t(ht,a%

a,1t ) + ∂t(ht,aht,b%

ab,2t )

).(

1 − ht,b (%i)−1%b,1t

)](xt)dt+ O(h3)

= −∫ T

0

[(∂t(ht,a(%i)−1%at,1

)](xt)dt−

∫ T

0

[− ht,b (%i)−2%bt,1∂t(ht,a%

at,1)

+ ∂t

(ht,aht,b(%i)−1%abt,2

) ](xt)dt + O(h3)

120

donc

exp(−WT ) = 1 +∫ T

0

[∂t(ht,a(%i)−1%a,1t

](xt)dt (3.29)

+∫ T

0

[−ht,b (%i)−2%b,1t ∂t(ht,a%

a,1t ) + ∂t

(ht,aht,b(%i)−1%ab,2t

)](xt)dt

+12

∫ T

0

∫ T

0

[∂t

(ht,a(%i)−1%a,1t

)](xt)

[∂s(hs,b(%i)−1%b,1s

](xs)dtds + O(h3)

qui se réécrit :

exp(−WT ) = 1 +∫ T

0

[∂t

(ht,a(%i)−1%a,1t

)](xt)dt (3.30)

+∫ T

0

[−∂t

2

(ht,aht,b (%i)−2%a,1t %b,1t

)+ ∂t

(ht,aht,b(%i)−1%ab,2t

)](xt)dt

+12

∫ T

0

∫ T

0

[∂t(ht,a)

((%i)−1%a,1t

)(xt) + ht,a

((%i)−1∂t%

a,1t

)(xt)

]

·[∂s(hs,b)

((%i)−1%b,1s

)(xs) + hs,b

((%i)−1∂s%

b,1s

)(xs)

]dsdt + O(h3)

et en moyenne

〈exp(−WT )〉 = 1 +∫ T

0∂t(ht,a)

⟨[(%i)−1%a,1

]t

⟩dt+

∫ T

0ht,a

⟨[(%i)−1∂t%

a,1t

]t

⟩dt (3.31)

+∫ T

0

[−∂t

2(ht,aht,b)

⟨[(%i)−2%a,1t %b,1t

]t

⟩0

+ ∂t(ht,aht,b)⟨[

(%i)−1%ab,2t

]t

⟩0

]dt

+12

∫ T

0

∫ T

0

[∂tht,a∂shs,b

⟨[(%i)−1%a,1

]t

[(%i)−1%b,1

]s

⟩0

+ 2∂tht,ahs,b⟨[

(%i)−1%a,1]t

[(%i)−1∂s%

b,1s

]s

⟩0

+ht,ahs,b

⟨[(%i)−1∂t%

a,1t

]t

[(%i)−1∂s%

b,1s

]s

⟩0

]dsdt + O(h3) .

La deuxième ligne du membre de droite s'annule en raison de la stationnarité du processus nonperturbé et des conditions aux limites h0,a = 0 = hT,a. On peut réécrire cette dernière relationcomme :

〈exp(−WT )〉 = 1 +∫ T

0

∫ T

0∂tht,ahs,b

δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨[(%i)−1%a,1]t

⟩dtds

+∫ T

0ht,ahs,b

δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨[(%i)−1∂t%

a,1t ]t

⟩dt

+12

∫ T

0

∫ T

0

[∂t(ht,a)∂s(hs,b)

⟨((%i)−1%a,1

)t

((%i)−1%b,1

)s

⟩0

+ 2∂tht,ahs,b⟨(

(%i)−1%a,1)t

((%i)−1∂s%

b,1s

)s

⟩0

+ ht,ahs,b

⟨((%i)−1∂t%

a,1t

)((%i)−1∂s%

b,1s

)s

⟩0

]dsdt + O(h3) .

Après intégration par parties, et en utilisant la causalité, la relation de Jarzynski donne pour t > s,

0 = − ∂tδ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨[(%i)−1%a,1

]t

⟩+

δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨[(%i)−1∂t%

a,1t ]t

⟩

+ ∂t∂s

⟨((%i)−1%a,1

)t

((%i)−1%b,1

)s

⟩0− ∂t

⟨((%i)−1%a,1

)t

((%i)−1∂s%

b,1s

)⟩0

− ∂s

⟨((%i)−1%b,1

)s

((%i)−1∂t%

a,1t

)⟩0

+⟨(

(%i)−1∂t%a,1t

)t

((%i)−1∂s%

b,1s

)s

⟩0

121

On intègre alors sur t allant de s à T :

− δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨((%i)−1%a,1

)T

⟩+

δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨∫ T

sdt (%i)−1(xt)∂t%

a,1t (xt)

⟩+ (3.32)

∂s

⟨((%i)−1%a,1

)T

((%i)−1%b,1

)s

⟩0−⟨(

(%i)−1%a,1)T

((%i)−1∂s%

b,1s

)s

⟩0

−∂s⟨(

(%i)−1%b,1)s

∫ T

sdt(

(%i)−1∂t%a,1t

)t

⟩

0

+⟨∫ T

sdt(

(%i)−1∂t%a,1t

)t

((%i)−1∂s%

b,1s

)s

⟩

0

= 0,

ce qui peut être réécrit :

− δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨[(%i)−1%a,1

]T−∫ T

sdt (%i)−1(xt)∂t%

a,1t (xt)

⟩(3.33)

+ ∂s

⟨[(%i)−1%a,1)T −

∫ T

sdt (%i)−1(xt))∂t%

a,1t (xt)

] [(%i)−1%b,1

](xs)

⟩

0

−⟨[

((%i)−1%a,1)T −∫ T

sdt ((%i)−1∂t%

a,1t )t

] [(%i)−1∂s%

b,1s

]⟩

0

= 0 ,

ce qui est diérent de (3.9). Par contre, dans le cas ou Mat = Ma, alors ∂t%

a,1t = 0 et donc cette

relation devient :

δ

δhb,s

∣∣∣h=0

⟨(%i)−1(%a,1)T

⟩= ∂s

⟨((%i)−1%a,1

)T

((%i)−1%b,1

)s

⟩0. (3.34)

Or dans ce cas, l'équation de compatibilité (3.11) devient :

− (ρi)−1L†.ρiBb = (ρi)−1M b†.ρi donc (3.35)

Bb = (%i)−1%b,1

et donc la relation (3.34) est la relation (3.9) dans le cas A = Ba.

Relation de Green-Kubo généralisée

Si on dénit le ux de Green-Kubo Jb(s) comme :

Jbs = (ρi)−1M †bs ρi (3.36)

alors la relation (3.9) implique :

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈Jat 〉 =

⟨JbsJ

at

⟩0

(3.37)

avec Js ≡ J(s, xs). Dans le cas stationnaire où hat ≡ ha et Mat ≡Ma, on obtient :

∂

∂hb

∣∣∣h=0〈Jat 〉 =

∫ t

0

⟨JbsJ

at

⟩0ds (3.38)

=∫ t

0

⟨Jb0J

as

⟩0ds .

Si pour t grand le processus converge vers un état stationnaire, on obtient alors la formule de Green-Kubo :

∂

∂hb

∣∣∣h=0〈Ja0 〉∞ =

∫ ∞

0

⟨Jb0J

as

⟩0ds (3.39)

122

où on note par 〈· · · 〉∞ la moyenne dans l'état stationnaire perturbé. Le terme de gauche de cetteéquation a souvent l'interprétation physique d'un coecient de transport. Il est usuel d'appelerrelation de Green-Kubo une telle relation entre coecient de transport et fonctions de corrélationdans l'état invariant.

Fig. 3.2 Ryogo Kubo

Ryogo Kubo (1920-1995) est un physicien mathématicien japonais. Dans les

années 50, il s'intéresse au transport électronique et à la conductivité. Il est le

premier à s'attaquer à ces problèmes sous l'angle des fonctions de Green. Il est

récompensé de la médaille Boltzmann en 1977.

On peut remarquer que le ux dépend du système non perturbé seulement au travers de ladensité invariante.

3.3.2 Théorème de uctuation-dissipation modié

Dans le théorème de uctuation-dissipation (3.10), l'observable Bbs est solution de l'équation (3.11),

mais dans l'esprit du théorème de uctuation-dissipation usuel (3.1), je peux vouloir imposer unefonction donnée f b(x) independante du temps à la place de Bb

s(x). On obtient alors le théorème deuctuation-dissipation modié (MFDT) (pour t > s) :

∂s

⟨f bs At

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨Cbs At

⟩0

(3.40)

avec Cbs l'observable de brisure :

Cbs = −(ρi)−1M b†s .ρ

i − (ρi)−1L†.f bρi. (3.41)

Maintenant si on prend l'observable A = fa, on obtient le théorème de uctuation-dissipation modiésous la forme (pour t > s) :

∂s

⟨f bs f

at

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈fat 〉+

⟨Cbs f

at

⟩0

(3.42)

Dans le cas ou Mt = M , on peut réexprimer (3.42) en transformée de Fourier. On dénit :

Cab(ω) =

∞∫

−∞

eiω(t−s)⟨f bs fat⟩0dt =

∞∫

s

eiω(t−s)⟨f bs fat⟩0dt +

∞∫

s

e−iω(t−s)⟨fas f bt⟩0dt , (3.43)

Rab(ω) =

∞∫

s

eiω(t−s) δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈fat 〉 dt et Bab(ω) =

∞∫

s

eiω(t−s)⟨Cbs fat⟩0dt . (3.44)

123

Le théorème de uctuation-dissipation modié (3.42) est équivalent à la relation :

iω Cab(ω) = β−1(Rab(ω)− Rba(−ω)

)+ Bab(ω)− Bba(−ω) (3.45)

dans l'espace de fréquences.

Preuve de (3.40) :

∂s

⟨f bs At

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+ ∂s

⟨(f b −Bb

)sAt

⟩0

(3.46)

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 −

⟨[ρi−1L†.ρi(f b −Bb)

]sAt

⟩0−⟨∂sB

bs At

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨[(ρi)−1L†.ρiBb − ∂sBb − (ρi)−1L†.f bρi)

]sAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨[−(ρi)−1M b†

s .ρi − (ρi)−1L†.f bρi

]sAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨CbsAt

⟩0

où la deuxième égalité provient de la règle de somme (3.15) et la quatrième de (3.11) .

3.4 Perturbation du terme de dérive d'un processus diusif

On se place dans le cas où un système diusif est perturbé par un changement du terme déterministe :

x = u(x) + ha,tOat (x) + vt(x) , (3.47)

avec comme avant : ⟨vit(x) vjs(y)

⟩= δ(t− s)Dij(x, y) . (3.48)

Dans le cadre de la perturbation du générateur (3.8), cela revient à prendre :

Mat = Oat .∇ (3.49)

Le courant de Green-Kubo (3.36) prend la forme :

Jbs = −∇.Obs +Obs.∇ϕi (3.50)

En introduisant la vitesse locale vi (3.6) de l'état stationnaire ρi, l'équation de compatibilité (3.11)se réécrit sous la forme

∂sBbs + vi∇Bb

s = −(ρi)−1∇[(Obs −

d

2∇Bb

s

)ρi − zBb

s

](3.51)

et l'observable de brisure (3.41) du théorème de uctuation-dissipation modié (3.40) :

Cbs = vi∇f b + (ρi)−1∇[(Obs −

d

2∇f b

)ρi − zf b

]. (3.52)

On reconnaît alors dans le membre de gauche de l'équation (3.51) la dérivée convective de Bbs dans le

référentiel ayant une vitesse locale vi. On va maintenant traiter des cas particuliers de perturbation,ce qui simpliera l'équation (3.51) ou l'observable de brisure (3.52).

124

3.4.1 Cas d'une perturbation sous la forme : Oat = d

2∇gat − Π∇hat

On se place dans le cas où la perturbation peut se mettre sous la forme :

Oat =d

2∇gat −Π∇hat (3.53)

avec Π une matrice antisymétrique xe. Le théorème de uctuation-dissipation (3.10) s'écrit

∂s

⟨gbsAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 (3.54)

à condition que gbt vérie l'équation (3.51) :

∂sgbs + vi∇gbs = (ρi)−1∇

[Π∇hbsρi + zgbs

](3.55)

en particulier si on choisit dans la dénition de vi (3.6) le terme à divergence nul z = Π∇ρi ( onnote V i la vitesse avec ce choix de z) alors l'équation de transport devient :

∂sgbs + V i∇gbs = −Π∇.(gbs − hbs)∇ϕi (3.56)

car on a (ρi)−1∇[Π∇hbsρi+Π(∇ρi)gbs] = (ρi)−1∇[Π∇(hbsρi)+(gbs−hbs)Π(∇ρi)] = −Π∇.(gbs−hbs)∇ϕi.

Dans le cas stationnaire ou gat est indépendant du temps (gat ≡ ga), pour le même choix de vi, on ale théorème de uctuation-dissipation modié (3.40) :

∂s

⟨gbsAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨Cbs At

⟩0

avec (3.57)

Cbs = V i∇gb + Π∇. (gas − has)∇ϕi (3.58)

Application au processus d'Ornstein-Uhlenbeck (cas linéaire)

On s'intéresse ici au modèle D-dimensionnel

x = Mx + vt , (3.59)

avec M une matrice réelle et⟨vt vs

⟩= δ(t− s) 2

βΓ. (3.60)

On suppose que les parties réelles des valeurs propres de M sont négatives. Ce type de système aété, par exemple, utilisé pour modéliser des polymères dans des écoulements turbulents [46, 212].On considère le système perturbé avec Mt = M+ htN , c'est à dire le système décrit par l'équationstochastique

x = Mx+ htNx + vt , (3.61)

On montre alors que le théorème de uctuation-dissipation modié prend la forme :

β

2(Γ−1NS)ij∂s 〈xs,i xs,j At〉 =

δ

δhs

∣∣∣h=0〈At〉 (3.62)

avec NS = N+Nt

2 .

125

Preuve : On a montré dans [45] (exemple 8 ) que le modèle d'Ornstein UhlenbeckD-dimensionnel(3.59) peut être réécrit comme la dynamique de Langevin

x = −Γ.∇H + Π.∇H + vt ,

où

H(x) =12xtC−1x et Π = Γ +MC avec C = 2

∫ ∞

0exp(sM)Γ exp(sM t) (3.63)

On a donc ρi(x) = exp(−βH) et V i = 0. Ici la perturbation O = Nx et si on décompose N en partiesymétrique et antisymétrique N = NS +NA cela permet d'écrire :

O = NSx+NAx =d

2(βΓ−1NSx)− (−NA)x =

d

2∇(

β

2xΓ−1NSx)− (−NA)∇(

x2

2)

On a alors la décomposition (3.53) avec g = β2xΓ−1Nsx, Π = −Na et h = x2

2 . On peut alors écrirele TFD modié (3.57) :

∂s 〈fsAt〉0 =δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+ 〈CsAt〉0 avec

Cb = β∇.(g − h)(−NA)∇H = ∇.(g − h)NAC−1x = (βxΓ−1NS − x)NAC

−1x = 0

et on en déduit (3.62).

Remarque : On peut réécrire Γ = −12(MC + CM t) sous la forme

Γij = −β2

(Mik 〈xkxj〉+Mjk 〈xkxi〉) (3.64)

Dans une partie de la littérature [208], cette relation est appelée relation de uctuation-dissipationlinéaire.

Application à un modèle de laser non accordé [42]

Il est connu depuis longtemps que les uctuations du champ électrique complexe E d'un laser semi-classique à un mode sont bien décrites par un processus diusif à bruit additif [104, 195] de laforme

dE

dt= (a− bEE)E + η, (3.65)

avec le bruit blanc η de covariance

〈ηtηt′〉 = D δ(t− t′) et 〈ηtηt′〉 = 〈ηtηt′〉 = 0. (3.66)

En général, le laser est considéré accordé et alors a et b sont réels, mais il est aussi intéressant [197]de considérer le cas non accordé où a et b sont complexes, on note a = a1 + ia2 et b = b1 + ib2 avecb2 > 0. Dans ce cas, on montre [42] que l'on peut mettre le processus sous la forme :

dE

dt= −d

2∇Ha1,b1 + iDΠ∇Ha2,b2 + η avec (3.67)

Ha,b =1D

(bI2 − 2aI) , I = EE et d =( 0 DD 0

), Π =

( 0 1−1 0

). (3.68)

126

On perturbe le système en prenant un coecient de gain a non stationnaire at = a+ ht. La pertur-bation est de la forme (3.47) avec

hi(t)Oi = −d2∇[−2h1,tI

D

]+ iDΠ∇

[−2h2,tI

D

]= h1,t

d

2∇[

2ID

]+ h2,t (−Π∇[2iI]) (3.69)

donc O1 = d2∇[

2h1,tID

]et O2 = −Π∇ [2iI] sont de la forme (3.53) avec g1 = 2I

D , h1 = 0, g2 = 0 et

h2 = 2iI. Les observables de brisure (3.52) sont alors nulles :

C1 = ∇(2ID

)Π∇(Ha1,b1) = 0 et C2 = ∇(2iI)Π∇(Ha1,b1) = 0 (3.70)

On trouve donc les relationss de uctuation-dissipation [42] :

δ

δh1,s

∣∣∣h=0〈At〉 =

2D∂s 〈IsAt〉0 et

δ

δh2,s

∣∣∣h=0〈At〉 = 0 (3.71)

3.4.2 Cas d'une perturbation sous la forme (3.53) avec h = g

La perturbation se met donc sous la forme :

Oat =d

2∇gat −Π∇gat (3.72)

Le théorème de uctuation-dissipation prend sa forme usuelle :

∂s

⟨gbsAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 (3.73)

à condition que gt vérie l'équation (3.56) :

∂sgas + V i∇gas = 0 (3.74)

qui a ici l'interprétation physique que gas doit être constant dans le référentiel lagrangien qui évolueavec la vitesse locale V i(x) et on note gas,L une telle observable lagrangienne solution de (3.74). On

a aussi le théorème de uctuation-dissipation modié (3.57) pour gbs ≡ gb quelconque :

∂s

⟨gbAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨CbAt

⟩0

avec (3.75)

Cb = V i.∇gb (3.76)

Cas des covariance et perturbation homogénes

Ce cadre est très souvent traité dans la littérature [1, 206]. On note d(x) = d et Oa(x) = Oa. On estalors directement dans le cas de la décomposition (3.72) avec ga = 2Oa.d−1x et Π = 0. Le théorèmede uctuation-dissipation modié (3.75) devient :

2Ob.d−1∂s 〈xsAt〉0 =δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+ 2Ob.d−1

⟨V 0s At

⟩0

(3.77)

avec V 0 qui est la vitesse locale de l'état stationnaire avec le choix z = 0.

127

En 1972, Agarwal [1] traite ce cas avec en plus vi = 0 et (Ob)i = δbi (avecla notation d = 2D). Il trouve le théorème de uctuation-dissipation (sa

formule (2.15)) : (D−1)ij∂s⟨xjsAt

⟩0

= δδhi,s h=0

〈At〉. Pendant longtemps

cet article, repris dans le livre de Risken [188], est resté la seule tenta-tive pour écrire un théorème de uctuation-dissipation hors d'équilibre.Risken [188] écrit sur la page 163 de son livre : "Dissipation-uctuationtheorems for systems in nonthermal equilibrium... have been derived byAgarwal". Pourtant, on peut objecter que prendre vi = 0 et d(x) = dimplique que le terme déterministe se met sous la forme u(x) = −d

2∇ϕavec exp(−ϕ) la densité d'équilibre de ce modèle. Le modèle d'Agarwaldecrit donc la dynamique de Langevin a l'équilibre à la température βavec Γ = βd

2 et H = ϕβ . Récemment, en 2006, Speck et Seifert [206] (re-

lation 11) ont écrit un théorème de uctuation-dissipation dans ce casen se plaçant à une dimension avec d = 2D, O = D et V i 6= 0. La for-mule (3.75) devient dans ce cadre : ∂s 〈xsAt〉0 = δ

δhs h=0〈At〉+

⟨V isAt

⟩0

alors que leur relation (11) s'écrit : δδhs h=0

〈At〉 = 〈xsAt〉0 −⟨V isAt

⟩0.

L'équivalence entre ces deux relations se montre en utilisant (3.15)et : −(ρi)−1L†.(ρix) = −u + 2v0 = −x + u(x) + v(x) + 2V i donc−〈xsAt〉0 + 2

⟨V isAt

⟩0

+ 〈vsAt〉0 = δδhb,s h=0

〈At〉 +⟨V i

sAt⟩

0. On a

de plus : 〈vsAt〉0 = 2 δδhh=0

〈At〉 donc on trouve leur relation (11) :δδhs h=0

〈At〉 = 〈xsAt〉0 −⟨V isAt

⟩0

Application à un modéle de laser à bruit multiplicatif ([42])

Il est parfois intéressant [195] de considérer un laser avec un bruit non additif, par exemple oùl'intensité I = EE vérie l'équation de diusion [42] :

dI

dt= 2(a− bI)I + vt(I) (3.78)

avec ⟨vs(I)vt(I ′)

⟩= 2DII ′δ(t− s). (3.79)

C'est un système qui possède, dans le cas accordé où a et b sont réels, un état d'équilibre (vi = 0)de la forme :

ρi(I) = exp(−2bDI)I

2aD−1 (3.80)

On perturbe le système at = a+ ht, alors l'observable

O = 2I = d∇[2 ln(I)D

] (3.81)

est de la forme de la décomposition (3.72) avec g = 2 ln(I)D et Π = 0, et on obtient alors la relation

de uctuation-dissipation [42] :

2D∂s 〈ln(Is)At〉0 =

δ

δhs

∣∣∣h=0〈At〉 . (3.82)

3.4.3 Dynamique de Langevin ([44])

Nous avons traité extensivement ce modèle dans l'article [44] reproduit dans la section 3.7 . Ici, lesystème non perturbé a la forme :

xi = −Γij∂jH(x) + Πij∂jH(x) + Gi(x) + ηi , (3.83)

128

où Γ est une matrice constante non négative, Π une matrice constante antisymétrique, H unHamiltonien, G une force externe et ηt un bruit blanc de covariance :

⟨ηit η

js

⟩= 2β−1Γijδ(t− s) . (3.84)

Ici le système perturbé est obtenu avec

Ht(x) = H(x)− ha,tOat (x). (3.85)

La perturbation est donc de la forme (3.72) avec ga = βOa. On a le théorème de uctuation-dissipation :

β ∂s

⟨Obs,LAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 (3.86)

à condition que Oat,L soit constant dans le référentiel lagrangien en mouvement avec la vitesse V i de

l'état stationnaire associé avec le terme z = Πβ∇ρi. De même, pour l' observable Ob indépendante du

temps, on retrouve l'équation (4.5) de [44] en écrivant le théorème de uctuation-dissipation modié(3.57) :

β ∂s

⟨ObsAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+ β

⟨CbsAt

⟩0

(3.87)

avec l'observable de brisure comme dans (3.75) :

Cb = V i∇Ob. (3.88)

Dans le cas où la force externe est nulle G = 0 et la densité de Gibbs ρ = exp(−βH) est une densitéd'équilibre avec V i = 0 donc Cb = 0, on retrouve le théorème de uctuation-dissipation usuel :

β ∂s

⟨ObsAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉 . (3.89)

Relation de Green-Kubo pour la dynamique de Langevin

Le ux de Green-Kubo associé a une perturbation homogène ~ht est ici

Jb =∂ϕi

∂xb(3.90)

Exemple du frottement uide, processus de Ornstein-Uhlenbeck : On s'intéresse auprocessus sur la vitesse ~v

d~v

dt= −α~v + ~ηt (3.91)

avec ⟨ηat η

bs

⟩= 2

α

βδabδ(t− s) . (3.92)

qui obéit à l'équation de Langevin avec H = ~v2

2 . Donc le ux de Green-Kubo associé a une pertur-

bation homogène ~ht prend la forme :Jb = βvb (3.93)

La relation de Green-Kubo (3.39) est ici :

∂

∂hb

∣∣∣h=0〈va0〉∞ = β

∫ ∞

0

⟨vb0 v

as

⟩0ds . (3.94)

129

Exemple du frottement de Coulomb : Nous considérons l'équation :

d~v

dt= −α ~v

|~v| + ~ηt (3.95)

avec ⟨ηat η

bs

⟩= 2Dδabδ(t− s). (3.96)

C'est la dynamique de Langevin de température β = αD et de Hamiltonien H = |~v| de densité

invariante exp(−β |~v|). Le ux de Green-Kubo associé a une perturbation homogène ~ht prend laforme :

Jb = β∇b |~v| = βvb

|~v| . (3.97)

Il est argumenté dans [110, 130], que l'équation (3.95) décrit bien la dynamique d'un milieu granulairequasi-bidimensionnel excité par des vibrations verticales. Un milieu granulaire est constitué d'uneassemblée de particules nement divisées (de taille supérieure au micron ) soumises aux seulesinteractions de contact. Expérimentalement, la répartition des vitesses ~v des grains dans une tellesituation suit bien une loi en exp(−β |~v|) plutôt que en exp(−β

2~v2) . La relation de Green-Kubo

(3.39) est ici :∂

∂hb

∣∣∣h=0

⟨vat|~v|t

⟩

∞= β

∫ ∞

0

⟨vb0 v

as

|~v|0 |~v|s

⟩

0

ds . (3.98)

Dynamique de Langevin-Kramers bidimensionnel avec champ électrique orthoradial

On considère une particule brownienne massive chargée, avec la charge e, dans un plan, soumise aun potentiel harmonique V = k~r2

2 , au champ électrique orthoradial f(r)~eθ et à la force de friction−γ d~rdt . Son équation est donc

md2~r

d2t= −γ d~r

dt− k~r + ef(r)~eθ + ~ηt (3.99)

avec ⟨ηat η

bt′

⟩= 2

γ

βδabδ(t− t′) . (3.100)

C'est la dynamique de Langevin(-Kramers) dans l'espace des phases x = (~r, ~p) avec Γ = γ( 0 00 Id ),

Π = ( 0 Id−Id 0 ), H = ~p2

2m + k~r2

2 et G = ( 0ef(r)~eθ

). Le système suramorti, obtenu en limite m→ 0,

s'écrit :d~r

dt= −k

γ~r +

e

γf(r)~eθ + ~ηt (3.101)

avec ⟨ηat η

bt′

⟩=

2βγδabδ(t− t′) . (3.102)

On peut l'interpréter comme la dynamique de Langevin avec Γ = Idγ , Π = 0, H = k~r2

2 et avec une

force externe eγ f(r)~eθ. La densité de Gibbs est une densité invariante avec une vitesse ~vi = 0 si on

choisit z = − eγ f(r) exp(−βH)~eθ. C'est donc un système d'équilibre. Et pourtant, si on perturbe le

système de façon standard par Ht(x) = H(x) − ha,tOa(x), on trouve le théorème de uctuation-dissipation modié :

β ∂s

⟨ObsAt

⟩0

=δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈At〉+

⟨CbsAt

⟩0

(3.103)

130

avec (3.52)

Cb = exp(βH) ~∇.[Ob

e

γf(r) exp(−βH)~eθ

]=

e

γ

f(r)r∂θO

b

On voit donc que l'on ne retrouve le théorème de uctuation-dissipation usuel que si le système estperturbé par un opérateur radial.

Cet exemple montre qu'il ne sut pas d'avoir un système de Langevind'équilibre pour qu'une fois perturbé de façon standard (3.85), le théo-rème de uctuation standard soit vérié.

Dynamique de Langevin-Kramers unidimensionnelle avec G = 0

On a montré que si ce modèle dans l'espace des phases possède la densité de Gibbs pour étatd'équilibre et si on le perturbe de façon standard (3.85) alors on obtient le théorème de uctuation-dissipation standard (3.89). Mais il est très facile de briser le théorème de uctuation-dissipationstandard en prenant une perturbation qui n'est pas de la forme (3.85). Par exemple, Risken [188](exemple 2 à la page 168) considère la dynamique de Langevin-Kramers dans une dimension d'espace

avec le hamiltonien H = p2

2m + f(r) et la perturbation de la dynamique par le terme Ot = Ft(0, 1)et n'arrive pas à écrire de théorème de uctuation-dissipation pour ce cas. Ici V 0 = Π∇H et donc(3.77) s'écrit :

β

γ∂s 〈psAt〉0 =

δ

δFs

∣∣∣h=0〈At〉 −

β

γ

⟨f ′sAt

⟩0

(3.104)

Par exemple, on a la relation :

− β

γ∂t 〈ps xt〉0 =

δ

δFs

∣∣∣h=0〈xt〉 −

β

γ

⟨f ′s xt

⟩0

(3.105)

qui se réécrit en fonction de la vitesse :

∂t 〈xs xt〉0 = − γ

mβ

δ

δFs

∣∣∣h=0〈xt〉+

1m

⟨f ′s xt

⟩0

(3.106)

Cet exemple montre que la forme de la perturbation standard (3.1) estcapitale pour trouver le théorème de uctuation-dissipation usuel (3.89).

3.5 Perturbation du terme de bruit d'un processus diusif

On se place maintenant dans le cas où le système perturbé est donné par le processus diusif :

x = u(x) + vt(x) , (3.107)

avec : ⟨vit(x) vjs(y)

⟩= δ(t− s) Dt

ij(x, y) . (3.108)

etDt = D(1 + ht) (3.109)

où D est la matrice de covariance du système non perturbé. Cette perturbation intervient parexemple dans les modèle de moteurs browniens, dans le modèle de température à rochet [187]. Dansle cadre de la perturbation du générateur (3.8), cela revient à prendre :

M =∇d∇

2. (3.110)

131

3.5.1 Cas autour de l'équilibre

On a montré dans le paragraphe 3 de [45] que ρe = exp(−ϕe) est un état d'équilibre si et seulementsi u = −d

2∇ϕe. Par application de (3.46), on a le théorème de uctuation-dissipation standard :

∂s 〈ϕesAt〉0 =δ

δhs

∣∣∣h=0〈At〉 (3.111)

car l'observable de brisure est nul :

C = −(ρe)−1[M †ρe + L†(ϕeρe)

]= 0 . (3.112)

3.5.2 Cas de Langevin

On est dans la situation physique où l'on perturbe une équation de Langevin en supposant que latempérature du bain est variable de la forme Tt = T (1 + ht). Par application de (3.46), on obtientle théorème de uctuation-dissipation modié :

β ∂s 〈HsAt〉0 =δ

δhs

∣∣∣h=0〈At〉+ 〈CsAt〉0 (3.113)

avec

C = −(ρi)−1[M †ρi + βL†(Hρi)

](3.114)

= β vi.∇H − (ρi)−1∇.[ρi(Π∇H +G) + βziH

]

et si on prend zi = 1βΠ∇ρi (notant la vitesse V i) alors

C = βV i.∇H − (ρi)−1∇.[ρiG] = βV i.∇H −∇.G+G.∇ϕi. (3.115)

Dynamique de Langevin avec G=0

Dans ce cas, V i = 0 et on trouve alors le théorème de uctuation-dissipation standard (formule(7.29) de [188]) :

β ∂s 〈HsAt〉0 =δ

δhs

∣∣∣h=0〈At〉 (3.116)

donnant pour A = H :

β ∂s 〈HsHt〉0 =δ

δhs

∣∣∣h=0〈Ht〉 . (3.117)

3.6 Conclusion

Dans le chapitre présent, j'ai passé en revue plusieurs versions du théorème de uctuation-dissipationpour des système diusif et je les ai explicitées sur de nombreux exemples. Actuellement, SergioCiliberto, Artyom Petrosyan et Rubén Gomez-Solano de l'équipe d'hydrodynamique du laboratoirede l'Ecole Normale Supérieure de Lyon essaient de vérier le théorème de uctuation-dissipationmodié écrit en (3.87) dans une expérience de particules colloïdales piégées optiquement par unlaser. Cette expérience est assez proche de celle réalisée par un groupe de Stuttgart [21]. En plusdu renforcement de cette collaboration, nous espérons approfondir dans le futur les liens de cesthéorèmes de uctuation-dissipation avec les moteurs browniens [187] et les systèmes biologiques[112].

Le théorème de uctuation-dissipation est connu pour simplier le schéma de renormalisationperturbative pour les processus stochastiques non linéaires [160], on peut donc se demander si notregénéralisation peut avoir certaines conséquences dans ce contexte.

132

Enn, le théorème de uctuation-dissipation dans le cas non markovien, bien que développéoriginellement par les pères fondateurs [107, 136, 208], nous semble mériter une formulation plustransparente. En tous cas, dans ce contexte non markovien, le lien entre théorème de uctuation-dissipation et relations de uctuation [207] est un sujet ouvert.

133

3.7 Article 3 [44] : Fluctuation relations in simple exemples of non-equilibrium steady states

134

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ournal of Statistical Mechanics:An IOP and SISSA journalJ Theory and Experiment

Fluctuation relations in simple examplesof non-equilibrium steady states

Raphael Chetrite1, Gregory Falkovich2,3 andKrzysztof Gawedzki1

1 Laboratoire de Physique, CNRS, ENS-Lyon, Universite de Lyon,46 Allee d’Italie, F-69364 Lyon, France2 Physics of Complex Systems, Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100,Israel3 KITP, University of California at Santa Barbara, Santa Barbara, CA 93106,USAE-mail: raphael.chetrite@ens-lyon.fr, gregory.falkovich@weizmann.ac.il andkgawedzk@ens-lyon.fr

Received 16 June 2008Accepted 22 July 2008Published 12 August 2008

Online at stacks.iop.org/JSTAT/2008/P08005doi:10.1088/1742-5468/2008/08/P08005

Abstract. We discuss fluctuation relations in simple cases of non-equilibriumLangevin dynamics. In particular, we show that, close to non-equilibrium steadystates with non-vanishing probability currents, some of these relations reduce toa modified version of the fluctuation–dissipation theorem. The latter may beinterpreted as the equilibrium-like relation in the reference frame moving withthe mean local velocity determined by the probability current.

Keywords: driven diffusive systems (theory), exact results, stationary states

c©2008 IOP Publishing Ltd and SISSA 1742-5468/08/P08005+25$30.00

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

Contents

1. Introduction 2

2. NESS in Langevin processes 52.1. NESS for resurrecting processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. NESS for forced diffusions on circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Modified fluctuation–response relation 8

4. Modified fluctuation–dissipation theorem 84.1. Lagrangian-frame interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Direct derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. General fluctuation relations 11

6. Fluctuation relations in Langevin dynamics 136.1. Fluctuation relations for resurrecting processes . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2. Fluctuation relations for forced diffusions on circle . . . . . . . . . . . . . . 16

7. Fluctuation relations close to NESS 167.1. Reduction of Crooks’ DFR to MFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2. Jarzynski–Hatano–Sasa equality and MFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. Conclusions 20

Acknowledgments 20

Appendix A 20

Appendix B 23

References 24

1. Introduction

In statistical mechanics, the fluctuation–dissipation theorem (FDT) provides a simplerelation in an equilibrium state between the response of the fixed-time averages to smalltime-dependent perturbations of the Hamiltonian and the dynamical correlations [34, 35].Let Oa(x) for a = 1, . . . , A be a collection of (classical) observables. With the shorthandnotation Oa

t for the single-time functions Oa(xt) of the dynamical process xt, the responsefunction and the two-time correlation function in a steady state are, respectively,

Rab(t− s) =δ

δhs

∣∣∣h=0〈Oa

t 〉h and Cab(t− s) = 〈Oat O

bs〉0, (1.1)

where 〈−〉h denotes the dynamical expectation obtained from the steady state by replacingthe time-independent Hamiltonian H(x) by a slightly perturbed time-dependent oneH(x)−htO

b(x). The FDT asserts that, when the unperturbed state is the equilibrium atinverse temperature β, then

β−1Rab(t− s) = ∂sCab(t− s). (1.2)

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

Such a direct relation between the response and correlation functions is violated in systemsout of equilibrium and a lot of interest in the research on non-equilibrium statisticalmechanics was devoted to such violations. In particular, they were studied intensively forglassy systems [13, 10, 7], for colloidal suspensions [3, 19], for granular matter [2, 6] andfor biophysical systems [39, 27]. In recent years, it has been realized that the FDT, aswell as the Green–Kubo relation, another linear response law of the equilibrium regime,are special cases of more general fluctuation relations that hold also far from equilibrium.Such relations pertain either to non-stationary transient situations [16, 28] or to stationaryregimes [20]. In particular, the so-called Jarzynski equality [28] for the dynamics with atime-dependent Hamiltonian reduces to the FDT for tiny time variations [8].

In the present paper, we revisit the violations of the FDT in simple examples ofnon-equilibrium steady states (NESS) for systems with few degrees of freedom evolvingaccording to the Langevin equation, possibly including non-conservative forces, see,e.g., [42, 14, 41, 25, 23, 44]. For such systems, we show a modified fluctuation–dissipationtheorem (MFDT) that may be written in the form

β−1RabL (t, s) = ∂sCab

L (t, s) (1.3)

similar to the equilibrium relation, somewhat in the spirit of [44]. Above, RabL (t, s)

and CabL (t, s) denote the response function and the dynamical correlation function in

the Lagrangian frame moving with the mean local velocity ν0(x) of the NESS. TheLagrangian-frame functions are obtained by replacing in the definitions (1.1) the time-independent observables Oa(x) by the time-dependent ones Oa(t, x) that evolve accordingto the advection equation

∂tOa(t, x) + ν0(x) · ∇Oa(t, x) = 0, (1.4)

i.e. are frozen in the Lagrangian frame. In the equilibrium, the mean local velocity ν0(x)vanishes and the MFDT (1.3) becomes the FDT (1.2).

The other goal of the present work is to explain how the MFDT (1.3) may be obtainedfrom more general fluctuation relations by restricting them to the regime close to NESS,similarly as for the case of the equilibrium FDT. Before doing that, we recall differentfluctuation relations holding arbitrarily far from stationarity and equilibrium in Langevinsystems and their perturbations. Our discussion follows with minor modifications therecent exposition [8].

The general results presented in this paper apply, in particular, to two types of one-dimensional systems with NESS that we shall call type 1 and type 2. The type 1 systemsundergo an overdamped Langevin dynamics described by the stochastic differentialequation (SDE) on the line:

x = −∂xH(x) + ζ (1.5)

with a Hamiltonian H(x) = axk + · · ·, for odd k ≥ 3 and the white noise ζt with thecovariance

〈ζtζs〉 = 2β−1δ(t− s). (1.6)

The Gibbs density e−βH is not normalizable here, so it does not give rise to an invariantprobability measure. In fact, for a > 0, the process xt solving equation (1.5) escapesin finite time to −∞. It has, however, a realization with trajectories that reappear

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

immediately from +∞, see appendix A. Such a resurrecting process has a non-Gibbsianinvariant probability measure with constant probability flux. The processes of that kindarise naturally in the context of simple hydrodynamical and disordered systems that werecall below. The reader more interested in the abstract discussion of NESS for Langevindynamics may skip the following two paragraphs.

The hydrodynamical model giving rise to equation (1.5) with a cubic Hamiltoniandescribes particles with inertia moving in one-dimensional Kraichnan’s randomvelocities [31, 18]. Such velocities vt(r) form a Gaussian ensemble with mean zero andcovariance:

〈vt(r)vs(r′)〉 = δ(t− s)D(r − r′). (1.7)

The evolution of the inertial particles is described by the SDE [4]:

r = u, u =1

τ(−u + vt(r)), (1.8)

where τ is the Stokes time measuring the time delay of the particles relative to the flowmotion. The separation between two infinitesimally close trajectories satisfies then theequations

d

dtδr = δu,

d

dtδu =

1

τ(− δu + δr∂rvt(r)), (1.9)

where one may replace (1/τ)∂rvt(r) on the right-hand side by a white noise ζt with thecovariance (1.6) for β−1 = −(1/2τ 2)∂2

rD(0). For the ratio x = δu/δr, one then obtainsthe SDE:

x = −x2 − 1

τx + ζ (1.10)

of the form (1.5) for H(x) = 13x3 + (1/2τ)x2. The resurrecting solutions xt jumping

instantaneously from −∞ to +∞ correspond here to the solutions for (δr, δu), whereδr passes through zero with a non-vanishing speed, i.e. to the crossing of close particletrajectories with faster particles overcoming slower ones (this is allowed in this model of adilute particle suspension with no pressure and no back-reaction on the flow [17]). The topLyapunov exponent for the random dynamical system (1.8) is obtained as the mean valueof x (which is the temporal logarithmic derivative of |δr|) in the invariant non-Gibbsianprobability measure of the resurrecting process [46].

The above story is a variation of a much older story [22, 38] of the one-dimensionalAnderson localization in the stationary Schrodinger equation:

− d2

dr2ψ + V ψ = Eψ (1.11)

with a δ-correlated potential V (r). For x = ((d/dr)ψ)/ψ, one obtains the equation

d

drx = −x2 − E + V (1.12)

that may be viewed as a stochastic evolution equation (1.5) with H(x) = 13x3 + Ex and

ζ = V if r is replaced by t. The resurrecting trajectories correspond here to wavefunctionswith nodes. The invariant measure with constant flux for such an SDE was already used

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

in [22]. The substitution x → x + 1/2τ , E → −1/4τ 2, V → ζ turns equation (1.12) intoequation (1.10) (provided that one replaces r by t).

The type 2 one-dimensional systems with NESS covered by our discussion are obtainedby adding a non-conservative force to the Langevin dynamics. More specifically, we shallconsider a particle which moves on a circle according to the SDE:

x = −∂xH(x) + G(x) + ζ, (1.13)

where, as before, ζt is the white noise with covariance (1.6). The above dynamics pertainsagain to the overdamped regime where it is the particle velocity rather than the particleacceleration that is proportional to the force. The angular coordinate x will be takenmodulo 2π. We shall assume that H(x + 2π) = H(x) and G(x + 2π) = G(x) but∫ 2π

0G(x)dx = 0 so that the force G is not a gradient and it drives the system out of

equilibrium. Equation (1.13) was used, for example, to describe the motion of a colloidalparticle in an optical trap [43]. It was discussed recently in [40] in a context similar tothe one of this work.

The present paper is organized as follows. Section 2, returns to the discussion ofstationary Langevin diffusion processes, presenting more details on the one-dimensionalsystems with explicit non-Gibbsian invariant measures [8, 40]. For such systems, weexamine in section 3 the simplest fluctuation–response relation that describes the changeof the invariant measure under a small time-independent variation of the Hamiltonian.In section 4, we prove the MFDT (1.3) that holds around NESS of the Langevin-type dynamics, in particular, in the one-dimensional cases with explicit invariantmeasures. Section 5 is devoted to a brief presentation of general fluctuation relations forSDEs [32, 37, 24, 33, 8]. These are specified for the Langevin systems under considerationin section 6. In particular, we describe the Crooks detailed fluctuation relation [12] andthe Hatano–Sasa [24] version of the Jarzynski equality [29, 30], both holding arbitrarily farfrom stationarity. In section 7, we return to the MFDT, showing that it may be viewedas a limiting case around the stationary situation of the Crooks transient fluctuationrelation or, in a special case, of the Jarzynski–Hatano–Sasa equality. Finally, after briefconclusions, in appendix A, we collect some facts about the one-dimensional processeswith explosion. Appendix B illustrates the MFDT by an explicit calculation for theLangevin particle driven by a constant force along a circle.

2. NESS in Langevin processes

The general stationary dynamics that we consider is described by the Langevin equationin d dimensions with an external force:

xi = −Γij∂jH(x) + Πij∂jH(x) + Gi(x) + ζ i, (2.1)

where Γ is a constant non-negative matrix and Π an antisymmetric one, H is theHamiltonian, G the external force and the white noise ζt has the covariance

〈ζ itζ

js〉 = 2β−1Γijδ(t− s). (2.2)

The deterministic force −Γ∇H decreases the energy, driving the solution towards theminimum of H , if it exists, whereas the noise mimics the effect of a thermal bath. We haveadded the Hamiltonian force Π∇H that preserves the energy in order to cover systems

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

governed by Langevin–Kramers equations [32] or Fermi–Pasta–Ulam chains [15]. Thegenerator L of the process xt satisfying the SDE (2.1) is defined by the relation

∂t〈f(xt)〉 = 〈(Lf)(xt)〉. (2.3)

It is a second-order differential operator:

L = ((−Γ + Π)(∇H) + G) · ∇+ β−1∇ · Γ∇ (2.4)

in the vector notation, with the formal adjoint

L† = −∇ · ((−Γ + Π)(∇H) + G) + β−1∇ · Γ∇. (2.5)

The transition probabilities Pt(x, dy) of the process satisfy the evolution equation:

∂tPt(x, dy) = LxPt(x, dy), (2.6)

with the subscript in Lx indicating that L acts on the variable x. The dynamics of themean instantaneous density t of the process xt is generated by the adjoint operator L†

and takes the form of the continuity equation

∂tt = L†t = −∇ · jt (2.7)

with the current4

jt = (− Γ(∇H) + Π(∇H) + G− β−1(Γ− Π)∇)t. (2.8)

Following [24], let us introduce the mean local velocity νt = −1t jt. With the use of the

velocity field, the above continuity equation may be rewritten in the hydrodynamical formas the advection equation for the density t:

(∂t +∇ · νt)t = 0, (2.9)

stating that ρt is annihilated by the convective derivative or, in other words, that it evolvesas the density of Lagrangian particles whose trajectories obey the ordinary differentialequation:

x = νt(x). (2.10)

For an invariant density, the corresponding current is conserved: ∇ · j = 0. If for thedensity the current j itself vanishes then one says that the dynamics (2.2) satisfies thedetailed balance relative to . The detailed balance holds relative to the Gibbs densitye−βH if G = 0 (this was ensured by the addition of the term β−1Π∇ to the current).When G = 0, the invariant density is not known explicitly, in general, even if it exists.There are, however, special cases of processes satisfying the SDE (2.2), where one mayobtain an analytic formula for a non-Gibbsian invariant density. Let us list two examples.

4 For convenience, we have included in the current the term β−1Π∇.

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

2.1. NESS for resurrecting processes

The first, type 1, example is obtained for the Langevin equation on the line. In thiscase, any force is a gradient so that, upon setting for simplicity Γ = 1, the dynamicalequation becomes the SDE (1.5) with the covariance of the white noise given by (1.6).The detailed balance holds here relative to the Gibbs density e−βH since the correspondingcurrent vanishes. Such a density may, however, be not normalizable, hence not leading toan invariant probability measure. Let us look closer at various possibilities by consideringthe case of a polynomial Hamiltonian with the highest degree term equal to axk [8]. Fork = 0 or k = 1, the solution xt of equation (1.5) is, up to a linear change of variables,a Brownian motion, which does not have an invariant probability measure. For evenk ≥ 2 and a > 0, the Gibbs measure μ(dx) = Z−1e−βH(x)dx provides the unique invariantprobability measure of the process xt. If a < 0, however, then the Gibbs density is notnormalizable. In this case the process escapes with probability 1 to ±∞ in a finite timeand it has no invariant probability measure. For odd k ≥ 3, the Gibbs density e−βH(x)

is also not normalizable. Changing eventually x to −x, we may assume that a > 0. Inthis case, the process xt escapes in finite time to −∞ but it has a realization with thetrajectories that reappear immediately from +∞, as discussed in appendix A. Such aresurrecting process has a unique invariant probability measure:

μ(dx) =1

Z

(∫ x

−∞eβH(y)dy

)e−βH(x) dx ≡ H(x) dx, (2.11)

where Z is the (positive) normalization constant. The density H of μ behaves as(Zaβkxk−1)−1 when x → ±∞, see the estimate (A.17) in appendix A. It correspondsto the constant current j = −(βZ)−1 with the flux towards negative x. The situationprovides one of the simplest examples of NESS. In particular, the inertial particle in theone-dimensional Kraichnan flow and the Anderson localization in the one-dimensional δ-correlated potential lead naturally to the resurrecting processes corresponding to k = 3,as discussed in section 1.

2.2. NESS for forced diffusions on circle

The second, type 2, model with an explicit analytic expression for the invariant non-Gibbsian measure is the perturbed one-dimensional Langevin equation (1.13) on the unitcircle. Now, the unique invariant probability measure is given by the formula [42, 25, 40]

μ(dx) =1

Z

(∫ 2π

0

eβU(x,y) dy

)e−βH(x) dx ≡ H(x) dx (2.12)

for 0 ≤ x ≤ 2π, with

U(x, y) = H(y) + θ(x− y)

∫ x

y

G(z) dz + θ(y − x)

(∫ x

0

G(z) dz +

∫ 2π

y

G(z) dz

). (2.13)

Also here the density H of the measure μ corresponds to a constant probability current:

j =1

βZ

(eβ

∫ 2π0

G(z) dz − 1)

. (2.14)

In the following, we shall see how the presence of the probability flux in NESS deformsthe usual fluctuation relations.

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3. Modified fluctuation–response relation

As a warm-up, let us see what is the form taken by the most elementary fluctuation–response relation [36] in the one-dimensional systems with NESS that we discussed above.The set-up of the fluctuation–response relation is as follows. One prepares the systemin the far past in the invariant state with probability density H which is given byequations (2.11) and (2.12) for the type 1 and type 2 systems, respectively. At t = 0,the Hamiltonian H is perturbed by a small time-independent potential V (vanishingsufficiently fast when x → ±∞ for type 1 and periodic for type 2), leading to the changeH → H ′ = H + V . The system evolves then and converges toward the new steady statewith the probability density H′ . The fluctuation–response relation compares the initialand the final averages of an observable Ot ≡ O(xt):

〈O0〉 =

∫O(x)H(x) dx and 〈O∞〉 =

∫O(x)H′(x) dx. (3.1)

By a straightforward differentiation of the explicit formulae for the invariant densities,one obtains the identity

〈O∞〉 = 〈O0〉 − β[〈O0(V0 − V0)〉 − 〈O0〉〈V0 − V0〉], (3.2)

up to terms of the second order in V , where

V (x) =

∫ x

−∞ V (y)eβH(y) dy∫ x

−∞ eβH(y) dyand V (x) =

∫ 2π

0V (y)eβU(x,y) dy

∫ 2π

0eβU(x,y) dy

(3.3)

for systems of type 1 and type 2, respectively. Equation (3.2) deforms the usual

fluctuation–response relation around the Gibbs state [36] by replacing V by (V − V )

with the averaged potential V dependent on the initial Hamiltonian H . Note that, in thetype 2 case, V is again periodic.

4. Modified fluctuation–dissipation theorem

Coming back to the general case, let us consider a system prepared at negative times inthe steady state of the stationary Langevin dynamics (2.1). This forces the time zero valuex0 of the corresponding process to be distributed according to the invariant probabilitymeasure μ0(dx) = 0(x) dx. At t = 0, one switches on a non-stationary perturbation,taking the Hamiltonian for the positive times to be equal to

Ht(x) = H(x)−∑

a

ha,tOa(x), (4.1)

where ha,t carry the time dependence and functions Oa(x) (the ‘observables’) are supposedto vanish sufficiently fast when |x| → ∞ or, for type 2 systems, to be periodic. We denoteby 〈F〉h the corresponding expectation, with 〈F〉0 referring to the non-perturbed case.The expression

〈FRat 〉0 =

δ

δha,t

∣∣∣h=0〈F〉h. (4.2)

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defines the response correlations. To shorten further the notations, let us set

〈Oat R

bs〉0 ≡ Rab(t− s), 〈Oa

t Obs〉0 ≡ Cab(t− s), θ(t− s)〈Oa

t Bbs〉0 ≡ Bab(t− s)

(4.3)

for Ot ≡ O(xt) and the induced observable

Bb = −10 j0 · ∇Ob (4.4)

with j0 standing for the current (2.8) corresponding to the invariant density 0. Notethat, for the one-dimensional NESS with constant probability current j0, the observableBb = j0

−10 ∂xO

b has the constant probability flux as an explicit factor. Remark that, bycausality, the response function Rab(t− s) vanishes for s ≥ t. We shall show the followingmodified version of the fluctuation–dissipation theorem (MFDT) holding for t > s:

β−1Rab(t− s) = ∂sCab(t− s)− Bab(t− s). (4.5)

The second term on the right-hand side of equation (4.5) is new compared to the FDTaround the equilibrium steady state. Indeed, in the equilibrium case, the external forceG = 0 and 0 = Z−1e−βH is the normalized Gibbs factor with j0 = 0 so that Bb = 0 andthe MFDT (4.5) reduces to the standard equilibrium form (1.2).

4.1. Lagrangian-frame interpretation

What the formula (4.5) for the response function means is better understood by rewritingit with the explicit form of the right-hand side as

β−1Rab(t− s) =

∫dxOb(x)0(x) ∂sPt−s(x, dy) Oa(y)

−∫

dx (j0 · ∇Ob)(x) Pt−s(x, dy) Oa(y)

=

∫dxOb(x) (∂s +∇ · ν0(x))

∫0(x)Pt−s(x, dy) Oa(y), (4.6)

where Pt(x, dy) denotes the stationary transition probabilities of the unperturbed processand we have integrated by parts to obtain the second equality, setting −1

0 j0 ≡ ν0. Notethat the time derivative ∂s of the equilibrium relation has been replaced by the convectivederivative ∂s +∇· ν0(x) which acts on the first component of the joint probability densityfunction of the time s and time t values of the stationary process xt. This suggests thatthe MFDT (4.5) should take the equilibrium form in the Lagrangian frame moving withthe stationary mean local velocity ν0(x).

To render this interpretation more transparent, let us replace the time-independentobservables Oa(x) by the time-dependent ones Oa(t, x) evolving according to the advectionequation (1.4). We shall define the Lagrangian-frame response function and correlationfunction by

RabL (t, s) =

δ

δhb,s

∣∣∣h=0〈Oa

t (t)〉h, CabL (t, s) = 〈Oa

t (t)Obs(s)〉0, (4.7)

where 〈−〉h denotes now the expectation referring to the Hamiltonian Ht(x) = H(x) −∑a ht,aO

a(t, x) and Ot(t) with the double time dependence is the shorthand notation for

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O(t, xt). Writing the MFDT (4.5) with the explicit right-hand side given by equation (4.6)for the observables Oa(t, x), one casts this relation into the form

β−1RabL (t, s) =

∫dxOb(s, x)0(x) ∂sPt−s(x, dy) Oa(t, y)

−∫

dx 0(x)(ν0(x) · ∇Ob(s, x))Pt−s(x, dy) Oa(t, y)

= ∂s

∫dxOb(s, x)0(x) Pt−s(x, dy) Oa(t, y) = ∂sCab

L (t, s), (4.8)

where the last equality follows from the advection equation (1.4). This proves theidentity (1.3) announced in the introduction. We should stress that, in spite of thesimilarity between that relation and the equilibrium FDT (1.2), in general it is not truethat the dynamical process xt viewed in the Lagrangian frame of the velocity field ν0

is governed by an equilibrium Langevin equation, although this is what happens in thesimple example considered in appendix B.

For the Langevin process on the circle, a fluctuation–dissipation relation for velocitiessimilar to (4.5) was discussed in [44], see equation (11) there, with the interpretationsimilar in spirit, but not in form, to the above one, see the subsequent discussion there.One of the consequences of the fluctuation–dissipation relation of [44] linking the effectivediffusivity and mobility was checked experimentally in [5], see also [26].

It is sometimes more interesting, especially for applications, to re-express thefluctuation–dissipation relations in terms of the frequency space quantities. Let

Cab(ω) =

∫ ∞

−∞eiω(t−s)Cab(t− s) dt =

∫ ∞

s

eiω(t−s)Cab(t− s) dt +

∫ ∞

s

e−iω(t−s)Cba(t− s) dt,

(4.9)

Rab(ω) =

∫ ∞

s

eiω(t−s)Rab(t− s) dt, Bab(ω) =

∫ ∞

s

eiω(t−s)Bab(t− s) dt. (4.10)

Note that Rab(ω) measures the response to a small time-dependent potential of frequencyω. The MFDT (4.5) is equivalent to the relation

iωCab(ω) = β−1(Rab(ω)− Rba(−ω)) + Bab(ω)− Bba(−ω) (4.11)

in the frequency space.In general, assuming that the transition probabilities Pt(x, dy) converge at long times

to the invariant measure, all three terms of equation (4.5) tend to zero when (t−s) →∞.Mimicking the idea employed with success for disordered systems [13, 14, 7], their relativeproportions, or the relative proportions of the corresponding terms in equation (4.11),could be used to define dynamical temperatures that would, in general, depend also onthe observables involved. We discuss those proportions in a simple case of the Langevindynamics on a circle with a constant force in appendix B.

We propose three derivations of the result (4.5): the first one direct, that we shallpresent now, and the next two ones from the general fluctuation relations that will bediscussed in the subsequent sections.

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4.2. Direct derivation

The beginning of the argument is quite standard, see, e.g., [1] or section 2.3.2 of [41]. Bythe definition of the response correlations

Rab(t− s) =δ

δhb,s

∣∣∣h=0

∫Oa(y)t(y) dy, (4.12)

where t is the density obtained by the perturbed dynamical evolution (2.7) from 0.Using the explicit form (2.8) of the current, one obtains by the first-order perturbationthe relation

t(y) dy = 0(y) dy −∑

b

∫ t

0

hb,s ds

∫dx[∇ · ((Γ− Π)(∇Ob)0)](x) Pt−s(x, dy) +O(h2).

(4.13)

Consequently, for t > s,

Rab(t− s) = −∫

dx[∇ · ((Γ− Π)(∇Ob)0)](x) Pt−s(x, dy) Oa(y). (4.14)

Now, a straightforward although somewhat tedious algebra shows that

β−1∇ · ((Γ− Π)(∇Ob)0) = L†(Ob0) +∇ · (Obj0) = L†(Ob0) + j0 · ∇Ob, (4.15)

where the adjoint generator L† is given by equation (2.5) and in the last equality we haveused the conservation of the current j0. Substituting this identity into equation (4.14)and integrating the term with L† by parts, we obtain the relation

β−1Rab(t− s) = −∫

dx[(Ob0)(x)Lx + (j0 · ∇Ob)(x)]Pt−s(x, dy)Oa(y) (4.16)

which, together with equation (2.6), implies the MFDT (4.5).

5. General fluctuation relations

In [8], two of us discussed arbitrary diffusion processes in d dimensions defined by theStratonovich SDE:

x = ut(x) + vt(x), (5.1)

where ut(x) is a time-dependent deterministic vector field (a drift) and vt(x) is a Gaussianrandom vector field with mean zero and covariance:

〈vit(x)vj

s(y)〉 = δ(t− s)Dijt (x, y). (5.2)

The Langevin equation (2.1) provides a special example of such an SDE. For theprocesses solving equation (5.1), we showed, combining the Girsanov and the Feynman–Kac formulae, a detailed fluctuation relation (DFR):

μ0(dx) PT (x; dy, dW ) e−W = μ′0(dy∗) P ′T (y∗; dx∗, d(−W )), (5.3)

where

(1) μ0(dx) = 0(x)dx is the initial distribution of the original (forward) process,

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(2) μ′0(dx) = ′0(x) dx is the initial distribution of the backward process obtained fromthe forward process by applying a time inversion (see below),

(3) PT (x; dy, dW ) is the joint probability distribution of the time T position xT of theforward process starting at time zero at x and of a functional WT of the same processon the interval [0, T ] (described later),

(4) P ′T (x; dy, dW ) is the similar joint probability distribution for the backward process.

The key behind the DFR is the action of a time inversion on the forward system.First, such an inversion acts on time and space by an involution

(t, x) → (T − t, x∗). (5.4)

The above involution may be extended to the action x → x, on trajectories by the

formula xt = x∗T−t and, further, to the action on functionals of trajectories F → F by

setting F [x] = F [x]. Second, to recover a variety of fluctuation relations discussed inthe literature [32, 37, 11, 12, 28, 45, 9], we allow for a non-trivial behavior of the drift ut(x)under the time inversion, dividing it into two parts, u = u+ + u−, with u+ transformingas a vector field under the space–time involution (5.4) and u− as a pseudo-vector field,i.e. defining

u′iT−t,±(x∗) = ±(∂kx∗i)(x)uk

t,±(x), u′ = u′+ + u′−. (5.5)

The random field vt(x) may be transformed with either rule. By definition, the backwardprocess satisfies then the Stratonovich SDE:

x = u′t(x) + v′t(x) (5.6)

and is, in general, different from the naive time inversion xt of the forward process. Thefunctional WT involved in the DFR depends explicitly on the densities 0 and T , wherethe latter is defined by the relation μ′0(dx∗) = T (x) dx:

WT = −ΔT ln +

∫ T

0

Jt dt (5.7)

with the notation ΔT ln ≡ ln T (xT )− ln 0(x0). In the above formula

Jt = 2ut,+(xt) · d−1t (xt)(xt − ut,−(xt))− (∇ · ut,−)(xt), (5.8)

where dijt (x) = Dij

t (x, x) and uit,+(x) = ui

t,+(x) − 12∂yjDij

t (x, y)|y=x. The time integralin equation (5.7) should be taken in the Stratonovich sense. The functional W ′

T for thebackward process is defined in the same way, setting μ0(dx∗) = ′T (x) dx. One has therelation

W ′T = −WT , (5.9)

where the tilde denotes the involution of trajectory functionals introduced before.The quantity Jt has the interpretation of the rate of entropy production in the

environment modeled by the thermal noise. When the density T coincides with thedensity obtained from 0 by the dynamical evolution (2.7), where now the current

jt = (ut − 12dt∇)t with u = u+ + u− (5.10)

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then the first contribution −ΔT ln to WT may be interpreted as the change in theinstantaneous entropy of the process. In this case, the functional WT becomes equal tothe overall entropy production. Keep in mind that this is a fluctuating quantity which,in general, may take both positive and negative values.

The DFR (5.3) holds even if the measures μ0 and μ′0 are not normalized, or even notnormalizable. For normalized initial measures, we denote by

〈F〉 =

∫F [x]M[dx] and 〈F〉′ =

∫F [x]M′[dx] (5.11)

the averages over the realizations of the forward and the backward process xt, 0 ≤ t ≤ T ,with x0 distributed according to the probability measure μ0 and μ′0, respectively. M[dx]and M′[dx] stand for the corresponding measures over the space of trajectories. One ofthe immediate consequences of the DFR (5.3) is the identity

〈e−WT 〉 = 1 (5.12)

obtained by the integration of both sides. This is a generalization of the celebratedJarzynski equality [29, 28]. The relation (5.12) implies the inequality 〈WT 〉 ≥ 0 thathas the form of the second law of thermodynamics stating the positivity of the averageentropy production. The Jarzynski equality, however, provides also information about anexponential suppression of the events with negative entropy production in non-equilibriumsystems for which 〈WT 〉 > 0.

With a little more work [8] involving a multiple superposition of the FDR (5.3), thelatter may be cast into the Crooks form [12]:

〈Fe−WT 〉 = 〈F〉′. (5.13)

In terms of the trajectory measures M[dx] and M′[dx], this becomes the identity

M′[dx] = e−WT [x]M[dx], (5.14)

where M′[dx] = M′[dx]. Equation (5.14) permits us to interpret the expectation of WT

as the relative entropy of the trajectory measures:

〈WT 〉 =

∫lnM[dx]

M′[dx]M[dx] ≡ S(M|M′), (5.15)

in line with the above entropic interpretation of the functional WT .

6. Fluctuation relations in Langevin dynamics

Let us specify the DFR (5.3) to the case of Langevin dynamics (2.2) with, possibly, time-dependent Hamiltonian H and external force G. A canonical choice of the time inversionfor such a system takes

u+ = −Γ∇H, u− = Π∇H + G (6.1)

and a linear involution x∗ = Rx such that RΓRt = Γ and RΠRt = −Π [8]. Forexample, for the Langevin–Kramers dynamics in the phase space, the usual R changesthe sign of momenta. The backward dynamics has now the same form as the forwardone, with the time-reversed Hamiltonian H ′

t(x) = HT−t(Rx) and the time-reversed

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external force G′t(x) = −RGT−t(Rx). In this case, we may use the Gibbs densities

t(x) = Z−1t e−βHt(x) = ′T−t(Rx) at the initial and final times, with Zt standing for

the partition function∫

e−βHt(x) dx if the integral is finite and Zt = 1 otherwise. Astraightforward calculation gives

WT = ln(ZT /Z0) +

∫ T

0

(β∂tHt + βGt · ∇Ht −∇ ·Gt)(xt) dt. (6.2)

For normalizable Gibbs factors this is often called the ‘dissipative work’. W ′T is given by

the same expression, with Ht and Gt replaced by H ′t and G′

t.

Another useful choice of the time inversion is based on the eventual knowledge ofthe densities t corresponding to the conserved currents with ∇ · jt = 0. Note that suchdensities would be left invariant by the evolution (2.7) if the time dependence of theHamiltonian and of the external force were frozen to the instantaneous values Ht and Gt.One takes

u+ = β−1Γ∇ ln , u− = −Γ∇(H + β−1 ln ) + Π∇H + G. (6.3)

With the linear involution x∗ = Rx as above, the backward process has

u′+ = β−1Γ∇ ln ′, u′− = Γ∇(H ′ + β−1 ln ′) + Π∇H ′ + G′, (6.4)

where ′t(x) = T−t(Rx) and H ′ and G′ are as before. The current corresponding to thedensity ′t satisfies

j′t(x) = −RjT−t(Rx). (6.5)

It is also conserved. Such a time inversion (for R = 1) was considered in [24] and, moreexplicitly, in [9]. In [8], it was called the current reversal. The DFR (5.3) holds now for

WT = −∫ T

0

(∂t ln t)(xt) dt (6.6)

andW ′T given by the same expression with t replaced by ′t. The Jarzynski equality (5.12)

for this case (assuming that t are normalized) was first proven by Hatano and Sasa in [24].Note that, if G = 0, then the current corresponding to the densities t = Z−1

t e−βHt isconserved and with this choice of t the two-time inversions coincide. In particular, forG = 0 and the time-independent Ht ≡ H , the functional WT identically vanishes and theDFR reduces to the equality

e−βH(x)dxPT (x, dy) = e−βH(y)dy P ′T (y∗, dx∗) (6.7)

which is a more global version of the detailed balance relation. On the right-hand side,one may replace P ′

T by PT for Π = 0 and x∗ ≡ x because, in that case, the forward andbackward processes have the same distribution.

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6.1. Fluctuation relations for resurrecting processes

Let us consider the process solving the SDE (1.5), with Ht(x) = axk + o(|x|k) at large |x|with odd k ≥ 3 and a > 0. We admit a mild time dependence of Ht(x) disappearing whenx → ±∞. The corresponding process still has a resurrecting version, as in the stationarycase described in appendix A. Let us discuss first the canonical time inversion with thetrivial involution x∗ = x leading to the backward process of the same type with Ht(x)replaced by H ′

t(x) = HT−t(x). The definition of the functional WT for the resurrectingprocess requires a little care in order to account for the contributions from the jumps from−∞ to +∞. This may be done by compactifying the line to a circle, writing x = cot θfor θ modulo π. One has∫ T

0

Jt dt = −β

∫ T

0

(∂xHt)(xt)xt dt =

∫ T

0

(βka cotk−1 θt + · · · ) sin−2 θtθt dt (6.8)

and the integral diverges to +∞ whenever θt passes from the negative to the positivevalues, i.e. whenever xt jumps from −∞ to +∞. Upon taking t = e−βHt , we infer that

WT =

⎧⎨⎩

∫ T

0

(∂tHt)(xt) dt if xt has no rebirths for 0 < t < T ,

+∞ otherwise,

(6.9)

and similarly for W ′T . As a result, the contributions of the rebirths to the DFR (5.3)

trivially decouple, reducing the latter to the identity

e−H0(x)dxP 0T (x; dy, dW ) e−W = e−HT (y) dy P ′0

T (x; dy, d(−W )) (6.10)

between the joint distributions of the endpoints and of the functional WT =∫ T

0(∂tHt)(xt)

(usually called the ‘Jarzynski work’), or of its counterpart W ′T , in the processes without

rebirths. In the stationary case, equation (6.10) reduces to the detailed balance relation

e−βH(x)dxP 0t (x, dy) = e−βH(y)dy P 0

t (y, dx), (6.11)

which ensures upon integration over x that the process without rebirths preserves theinfinite measure e−βH(x) dx.

On the other hand, one could use for the same SDE with the resurrecting solutionthe current reversal based on the splitting

ut,+ = β−1∂x ln Ht , ut,− = −∂x(Ht + β−1 ln Ht) (6.12)

of the drift −∂xHt, with the density Ht given by equation (2.11). The use of the involutionx∗ = −x leads then to the backward process solving the SDE (1.5) with the HamiltonianHt(x) replaced by

H ′t(x) = HT−t(−x)− 2β−1 ln

(∫ −x

−∞eβHT−t(y)dy

). (6.13)

From the estimate (A.17) in appendix A, one infers that H ′t(x) = axk + o(|x|k) for large

|x| (we have used the non-trivial spatial involution to keep a positive). Hence H ′t is of the

same type as the Hamiltonian Ht for the forward process. In this case, the functionals WT

andW ′T are given by equation (6.6) with t(x) replaced by Ht(x) and HT−t

(−x) = H′t(x),

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respectively, with no extra contributions from the rebirths. In the stationary case, onehas WT = 0 = W ′

T and the DFR (5.3) reduces to the modified detailed balance relation

H(x) dxPT (x, dy) = H(y) dy P ′T (−y, d(−x)). (6.14)

The latter links the transition probabilities of the resurrecting forward and backwardprocesses and ensures upon integration over x or y that those processes preserve theprobability measures H(x) dx and H(−x) dx, respectively.

6.2. Fluctuation relations for forced diffusions on circle

Consider the process satisfying the SDE (1.13) with periodic Hamiltonian H(x) =H(x + 2π) and external force G(x) = G(x + 2π), both possibly time-dependent. The useof the canonical time inversion with the trivial involution x∗ = x leads to the backwardprocess of the same type with H ′

t = H ′T−t and G′

t = −G′T−t. The functionals WT and W ′

T

are given here by the formula (6.2).

On the other hand, the use of the current reversal with the densities Ht ofequation (2.12) and the trivial inversion x∗ = x leads to the backward process satisfyingthe same SDE with Ht replaced by

H ′t(x) = −HT−t(x)− 2β−1 ln HT−t

(6.15)

and Gt by G′t as above. The functionals WT and W ′

T are given now by equation (6.6) witht(x) equal to Ht(x) and H′

t(x) = HT−t

(x), respectively. They vanish in the stationarycase when the DFR (5.3) reduces again to the modified detailed balance relation

H(x) dxPT (x, dy) = H(y) dy P ′T (y, dx). (6.16)

Note that, in general, to obtain the DFR for the probability distributions on the circle, oneshould sum both sides of the relation (5.3) pertaining to the motion on the line, over theshifts of x or y by 2πn with integer n (both summations amount to the same). To get theJarzynski equality, one has to integrate the relation obtained this way over x and y from0 to 2π. Another simple remark is that for the SDE (1.13) on the circle, one may always

assume that the external force G is constant by changing G(x) to G = (1/2π)∫ 2π

0G(x) dx

and by subtracting∫ x

0(G(y) − G)dy from H(x). Such a change does not affect the

DFR (5.3) obtained by the current reversal that uses only the invariant densities andit modifies in a simple way the DFR obtained from the canonical time inversion becausein the latter we used the Gibbs measures for the initial and final distributions.

7. Fluctuation relations close to NESS

As promised, we shall show here that the MFDT (4.5), proven directly in section 4.1, mayalso be derived by reducing the Crooks’ DFR for the current reversal, and, in a specialcase, the Jarzynski–Hatano–Sasa equality, to the situations close to NESS.

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7.1. Reduction of Crooks’ DFR to MFDT

Let us consider the DFR (5.13) for the Langevin dynamics (2.1) with F = Oat and

0 < t < T , the backward dynamics determined by the current reversal and, for simplicity,the trivial space involution x∗ ≡ x, see section 6. It is

〈Oat e−WT 〉 = 〈Oa

T−t〉′. (7.1)

We shall assume that the time dependence of the Hamiltonian is given by equation (4.1)with ha,0 = 0 = ha,T , and that the external force G is time-independent. Let, as above,0(x) dx denote the invariant probability measure of the unperturbed process (assumedto exist). By t, we shall denote now the normalized densities whose current jt, given byequation (2.8), is conserved, i.e. such that

L†t −∑

a

ht,a∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)t) = 0. (7.2)

Expanding

t = 0 +∑

a

ht,aa1 +O(h2), (7.3)

we obtain from equation (7.2) the relation

L†a1 = ∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0) (7.4)

whose unique solution

a1 = (L†)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)] (7.5)

is chosen by imposing the orthogonality of a1 to the constant mode, required by the

normalization of t. For the current reversal, the functional WT is given by equation (6.6)so that

WT = −∑

a

∫ T

0

(∂tht,a)(−10 a

1)t dt +O(h2)

=∑

a

∫ T

0

ht,a∂t−10 (L†)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)]t dt +O(h2), (7.6)

where we have integrated once by parts over t. The application of the operator(δ/δhb,s)|h=0 for 0 < s < t to both sides of equation (7.1) gives the identity

Rab(t− s)− 〈Oat ∂s−1

0 (L†)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)]s〉0 = 0. (7.7)

We have used the fact that, by causality, the right-hand side of equation (7.1) does not givethe contribution because the perturbation is concentrated around time (T − s) > (T − t).From the relation (7.7), it follows that

Rab(t− s) = 〈Oat ∂s−1

0 (L†)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)]s〉0= ∂s

∫dx(L†)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)](x)Pt−s(x, dy)Oa(y)

= −∫

dx(L†)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)](x)LxPt−s(x, dy)Oa(y)

= −∫

dx[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)0)](x)Pt−s(x, dy)Oa(y), (7.8)

which is equation (4.14) above. The rest of the proof of the identity (4.5) goes as before.

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

7.2. Jarzynski–Hatano–Sasa equality and MFDT

The standard FDT around the equilibrium Langevin dynamics (2.1) without the externalforce may be obtained by expanding the Jarzynski equality (5.12) for the Hamiltonian (4.1)up to second order in h, see [8]. The Jarzynski equality may then be viewed as an extensionof the FDT to the case of Hamiltonians with arbitrary time dependence driving the systemfar from equilibrium. The natural question is whether this picture may be generalized tothe case of the modified FDT (4.5) holding around NESS. We shall show here that theanswer is a qualified yes.

Let us expand to second order in h the Hatano–Sasa version of the Jarzynskiequality (5.12) obtained from the Crooks’ DFR (7.1) for the current reversal by replacingOa by 1. We shall need to know the form of the densities t with conserved current,i.e. satisfying equation (7.2), to second order in h. One has

t = 0 +∑

a

ht,aa1 +

∑

a,b

ht,aht,bab2 +O(h3) (7.9)

with 1a as before, see equation (7.5), and

ab2 = (L+)−1[∇ · ((Γ− Π)(∇Oa)b

1)]. (7.10)

Expanding, in turn, the functional WT given by equation (6.6) to second order, we obtain

WT = −∑

a

∫ T

0

(∂tht,a)(−10 a

1)t dt−∑

a,b

∫ T

0

(∂t(ht,aht,b))(−10 ab

2 − 12−2

0 a1

b1)t dt

+ O(h3), (7.11)

and, further,

⟨e−WT

⟩h− 1 =

∑

a

∫ T

0

(∂tht,a)⟨(−1

0 a1)t

⟩hdt

+∑

a,b

∫ T

0

(∂t(ht,aht,b))⟨(−1

0 ab2 − 1

2−2

0 a1

b1)t

⟩0dt

+ 12

∑

a,b

∫ T

0

∫ T

0

(∂tht,a)(∂shs,b)⟨(−1

0 a1)t(

−10 b

1)s

⟩0dt ds +O(h3). (7.12)

The second term on the right-hand side integrates to zero because of the stationarity ofthe unperturbed expectation and the boundary conditions h0,a = 0 = hT,a. Expandingthe remaining perturbed expectation in the first term on the right-hand side, we infer that

⟨e−WT

⟩h− 1 =

∑

a,b

∫ T

0

∫ T

0

(∂tht,a)hs,b

⟨(−1

0 a1)tR

bs

⟩0dt ds

+ 12

∑

a,b

∫ T

0

∫ T

0

(∂tht,a)(∂shs,b)⟨(−1

0 a1)t(

−10 b

1)s

⟩0dt ds +O(h3) = 0,

(7.13)

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

where the last equality follows from the (generalized) Jarzynski equality (5.12). Theintegration by parts and the causality permit us to conclude that, for t > s,

∂t

⟨(−1

0 a1)tR

bs

⟩0

= ∂t∂s

⟨(−1

0 a1)t(

−10 b

1)s

⟩0, (7.14)

or, integrating once over t, that

⟨(−1

0 a1)tR

bs

⟩0

= ∂s

⟨(−1

0 a1)t(

−10 b

1)s

⟩0

(7.15)

(we used the fact that both sides vanish for t = s). Note that equation (7.15) staystrue if we add to a

1 any multiple of 0, so that we may drop the normalization condition∫a

1(x) dx = 0. From equations (7.5) and (4.15), it follows then that we may take

−10 a

1 = β(Oa − Oa) ≡ βAa, (7.16)

where the dressed observable

Oa = −−10 (L†)−1[j0 · ∇Oa]. (7.17)

The identity (7.15) becomes now the relation

β−1〈Aat R

bs〉0 = ∂s〈Aa

t Abs〉0 = ∂s〈Aa

t Obs〉0 − ∂s

∫dx (Ob0)(x)Pt−s(x, dy)Aa(y)

= ∂s〈Aat O

bs〉0 +

∫dx (Ob0)(x) LxPt−s(x, dy)Aa(y). (7.18)

Integrating by parts in the last term and using the definition (7.17), we finally obtain theidentity

β−1〈Aat R

bs〉0 = ∂s〈Aa

t Obs〉0 −

∫dx (j0 · ∇Ob)(x) Pt−s(x, dy)Aa(y)

= ∂s〈Aat O

bs〉0 − 〈Aa

t Bbs〉0 (7.19)

which is the MFDT (4.5) with the observable Oa replaced by Aa. It is a consequenceof the identity (4.5) but, in general, it does not seem to be equivalent to it, except forthe equilibrium case with vanishing external force and 0 = Z−1e−βH when j0 = 0, andAa = Oa.

In the special cases of the one-dimensional NESS with constant current j0 describedabove, the dressing (7.17) of the observables coincides with the one given by equations (3.3)for types 1 and 2, respectively. This may be easily seen by checking that, for the latter,

L†0V = −j0∂xV (7.20)

with 0 = H given by equations (2.11) and (2.12).

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

8. Conclusions

We have discussed different fluctuation relations for the Langevin dynamics. Thoseincluded an extension of the fluctuation–dissipation theorem (FDT) (1.2), one of themost important relations of the (close to) equilibrium statistical mechanics, to the case ofnon-equilibrium steady states (NESS) of Langevin processes. The modified fluctuation–dissipation theorem (MFDT) (4.5) that holds around NESS has a new term containingthe probability current but in the Lagrangian frame moving with the mean local velocitydetermined by the current, it takes the form (1.3) similar to that of the equilibrium FDT.We also pointed out that, similarly to the equilibrium FDT, the MFDT may be viewedas a limiting case of more general fluctuation relations that are valid arbitrarily far fromthe stationary situation, namely of the Crooks’ detailed fluctuation relation (5.13) for thebackward dynamics with inverted probability current or of the Jarzynski–Hatano–Sasaequality (5.12). The general discussion was illustrated on two examples of one-dimensionalsystems with explicit non-equilibrium invariant measures.

Acknowledgments

The work of GF was supported in part by the US National Science Foundation undergrant no. PHY05-51164 and by the Minerva Foundation.

Appendix A

We return here to the case of the stationary SDE (1.5). The transition probabilitiesPt(x, dy) for the diffusion process solving this equation are given by the kernels of theexponential of the generator L = β−1∂2

x − (∂xH)∂x of the process:∫

Pt(x, dy)f(y) = (etLf)(x), (A.1)

see equation (2.6). One has the following relation:

L = −β−1e(1/2)βHQ†Q e−(1/2)βH (A.2)

for Q = ∂x + 12β(∂xH), Q† = −∂x + 1

2β(∂xH). The Fokker–Planck operator:

β−1Q†Q = −β−1∂2x + 1

2(∂2

xH) + 14β(∂xH)2 (A.3)

is a positive self-adjoint Hamiltonian of a supersymmetric quantum mechanics [47] so thatthe transition probabilities may be defined by the relation

Pt(x, dy) = e(1/2)βH(x) e−tβ−1Q†Q(x, dy) e−(1/2)βH(y). (A.4)

If the Gibbs density is normalizable with Z =∫

e−H(x)dx < ∞ then ψ0(x) =Z−1/2e−(1/2)βH(x) provides the zero-energy ground state of the Fokker–Planck Hamiltonian.Such a ground state is supersymmetric: Qψ0 = 0. The transition probabilities givenby equation (A.4) are correctly normalized here:

∫Pt(x, dy) = 1. However, for the

Hamiltonian H(x) = axk + o(|x|k) at large |x| with either even k ≥ 2 and a < 0 orodd k ≥ 3, the ground state ψ0 of β−1Q†Q is not given by e−(1/2)βH(x) but has positiveenergy E0 > 0 and breaks the supersymmetry: Qψ0 = 0. In these cases, the transition

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

probabilities (A.4) are not normalized for t > 0 with

1 >

∫Pt(x, dy) ∼

t largee−E0t. (A.5)

The defect (1 −∫

Pt(x, dy)) gives the probability that the diffusion process xt solvingthe SDE (1.5) and starting at time zero at x escapes by time t to ±∞. WritingPt(x, dy) ≡ Pt(x, y) dy, the probability that the escape happens between times s ands + ds may be expressed as

(− d

ds

∫Ps(x, dy)

)ds =

(−

∫∂y[(β

−1∂y + (∂yH)(y))Ps(x, y)] dy

)ds

=(−(β−1∂y + (∂yH)(y))Ps(x, y)|y=∞

y=−∞

)ds (A.6)

with the y = ±∞ terms determining the rates of escape to ±∞, respectively.Let us concentrate on the case with H(x) = axk + o(|x|k), for odd k ≥ 3 and a > 0,

denoting the transition probabilities of equation (A.4) by P 0t (x, dy). Although they are

not given by a closed analytic expression, their time integral, equal to the Green kernelof L, is∫ ∞

0

ds P 0s (x, dy) = (−L)−1(x, dy) = β

(∫ min(x,y)

−∞eβH(z) dz

)e−βH(y)dy. (A.7)

From the last formula, we infer that

limy→±∞

∫ ∞

0

ds (β−1∂y + (∂yH)(y))P 0s (x, dy) = δ1,∓1 (A.8)

so that the process xt escapes here only to −∞ (this is already true if we ignore thenoise in equation (1.5)). On the other hand, since the limit of the right-hand side ofequation (A.7) when x → +∞ exists, it follows that the transition probabilities fromx = +∞:

P 0t (∞, dy) = lim

x→+∞P 0

t (x, dy) (A.9)

are finite, non-zero measures. One may then define a resurrecting version of the processxt solving the SDE (1.5). The trajectories of such a process reappear immediately at +∞after almost surely reaching −∞. The resurrecting process is Markov and its transitionprobabilities are

Pt(x, dy) =∞∑

n=0

P nt (x, dy), (A.10)

where P nt (x, dy) are the transition probabilities with exactly n jumps from −∞ to +∞.

They are given by the recursion relation:

P n+1t (x, dy) = −

∫ t

0

ds

(d

ds

∫P 0

s (x, dy)

)P n

t−s(∞, dy). (A.11)

In terms of the Laplace transforms:

P nω (x, dy) =

∫ ∞

0

e−tωP nt (x, dy), (A.12)

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

the recursion (A.11) becomes the equality

P n+1ω (x, dy) =

(1− ω

∫P 0

ω(x, dz)

)P n

ω (∞, dy) (A.13)

which may be easily solved by iteration:

P nω (x, dy) =

(1− ω

∫P 0

ω(x, dz)

)n

P 0ω(∞, dy) (A.14)

for n ≥ 1. Re-summing the geometric progression, one obtains for the Laplace transformof the transition probabilities of the resurrecting process the expression

Pω(x, dy) = P 0ω(x, dy) +

(1− ω

∫P 0

ω(x, dz))

P 0ω(∞, dy)

ω∫

P 0ω(∞, dz)

. (A.15)

Note that P 0ω(x, dy) is analytic in ω for Reω > −E0 but Pω(x, dy) has a pole at ω = 0

with the residue

μ(dy) =P 0

0 (∞, dy)∫P 0

0 (∞, dz)=

1

Z

(∫ y

−∞eβH(z)dz

)e−βH(y)dy, (A.16)

where Z is the normalization constant. This is the invariant probability measure (2.11)of the resurrecting process.

Let us finish by estimating the behavior of the density of the invariant measure μ(dy)when |y| → ∞. We shall show that∫ y

−∞eβ(H(z)−H(y))dz =

1

aβkyk−1+ o(y−k+1). (A.17)

To this end, we rewrite the latter integral as∫ ∞

0

e−β(H(y)−H(y−z))dz = y1−k

∫ ∞

0

e−β(H(y)−H(y−uy1−k))du. (A.18)

We take H(y) = ayk + h(y) and assume that h(y) is smooth and that

h(y)|y|−k →|y|→∞

0, (∂yh)(y)|y|−k+1 →|y|→∞

0. (A.19)

First note that for z > 0

a(yk − (y − z)k) = ak∑

l=1

(−1)l+1C lky

k−lzl ≥ 3εzyk−1 + εzk (A.20)

if ε > 0 is small enough. Next, for 0 < z < 12|y| and |y| large enough

|h(y)− h(y − z)| ≤ z|∂yh(y − ϑz)| ≤ εzyk−1 (A.21)

and for z ≥ 12|y||h(y)− h(y − z)| ≤ C + εzk (A.22)

so that, altogether,

H(y)−H(y − z) ≥ −C + εzyk−1 = −C + εu (A.23)

for z = uy1−k. It is also easy to see that for each u > 0

lim|y|→∞

[H(y)−H(y − uy1−k)] = aku. (A.24)

The estimate (A.17) follows then from the dominant convergence theorem applied to theintegral on the right-hand side of equation (A.18).

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Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

Appendix B

We shall illustrate here the MFDT (4.5) and its version (4.11) in the frequency space onthe simple example of the one-dimensional Langevin equation (1.13) on a circle with theHamiltonian H = 0 and a constant force G. In this case, equation (1.13) has, of course,the explicit solution

xt = x0 + Gt +√

2β−1W (t) (B.1)

for the standard Brownian motion W (t). Since x is the angular variable, the aboveprocess possesses an invariant probability measure with the constant density 0 = 1/2π.The corresponding current j0 = (1/2π)G is constant and so is the local mean velocityν0 = G. The transition probabilities of the process have the form of the shifted andperiodized heat kernel:

Pt(x, dy) =

√β

4πt

∞∑

n=∞e−(β|x−y+Gt+2πn|2)/4tdy =

1

2π

∞∑

n=−∞ein(x−y+Gt)−β−1n2tdy

=1

2πϑ3

(1

2(x− y + Gt), e−t/β

), (B.2)

where ϑ3(z, q) is the Jacobi theta function [21]. For the (real) observables Oa(x) =∑n Oneinx, one obtains easily the equalities:

Rab(t− s) = θ(t− s)∑

n

OanO

b−nn

2e(inG−β−1n2)(t−s),

Cab(t− s) =∑

n

OanO

b−neinG(t−s)−β−1n2|t−s|,

Bab(t− s) = −iGθ(t− s)∑

n

OanOb

−nn e(inG−β−1n2)(t−s).

(B.3)

The result for the Fourier transforms (4.9) and (4.10) follows immediately:

Rab(ω) =∑

n

OanOb

−n

n2

β−1n2 − iω − inG,

Cab(ω) =∑

n

OanOb

−n

2β−1n2

β−2n4 + (ω + nG)2,

Bab(ω) = −∑

n

OanOb

−n

inG

β−1n2 − iω − inG.

(B.4)

The modified FDT (4.5) or (4.11) are clearly satisfied. Taking a = b, one may define thefactors

Xa(t− s) =Raa(t− s)

β∂sCaa(t− s)for t > s, Xa(ω) =

2 ImRaa(ω)

βωCaa(ω)(B.5)

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ech.(2008)P

08005Fluctuation relations in simple examples of non-equilibrium steady states

that control the violation of the standard FDT [13, 14]. In particular, for Oa(x) equal tosin(nx) or cos(nx) with n = 0, one obtains (replacing the superscript a by n in this case)

Xn(t− s) =

[1 +

βG

ntan (nG(t− s))

]−1

, Xn(ω) =β−2n4 + ω2 − n2G2

β−2n4 + ω2 + n2G2. (B.6)

Note that Xn(0) = 1 = Xn(∞) but that these factors are not necessarily positive. Thisis also true for the ‘effective temperatures’:

T aeff(t− s) = β−1Xa(t− s)−1, T a

eff(ω) = β−1Xa(ω)−1. (B.7)

In particular, T neff(ω) is positive only in the region where ω2 > (n2G2−β−2n4) and in this

region it decreases with ω2 approaching for ω2 →∞ the value β−1.The above calculations show that the equilibrium relation (1.2) between the response

and correlation functions is strongly violated in the Langevin equation on a circlewith a constant drift unless the drift vanishes. On the other hand, the drift may beremoved altogether by passing into the frame moving with constant velocity ν0 = G,see equation (B.1). This is captured by our MFDT (1.3). Indeed, the solutions of theadvection equation (1.4) are

Oa(t, x) =∞∑

n=−∞Onein(x−Gt) (B.8)

so that the Lagrangian-frame response and correlation functions are

RabL (t, s) = Rab(t− s)|G=0, Cab

L (t, s) = Cab(t− s)|G=0 (B.9)

and the MFDT (1.3) takes here the form of the equilibrium FDT holding for G = 0.

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doi:10.1088/1742-5468/2008/08/P08005 25

Chapitre 4

TRANSPORT DE PARTICULES DANS UN ÉCOULEMENTALÉATOIRE

4.1 Introduction

Dans ce chapitre, je présente une étude de modèles simples du transport turbulent basée sur desméthodes de la théorie des systèmes dynamiques. Les modèles en question constituent des exemplesde sytèmes hors d'équilibre avec des relations de uctuation spéciques. Ma présentation généralede la thématique suit de près les cours donnés par K. Gawedzki à Warwick et à Trieste [88, 89].

Le transport de matière ou de particules polluantes par des écoulements turbulents est un phé-nomène très important possédant des applications depuis l'astrophysique jusqu'à la météreologie,en passant par les sciences chimiques ou environnementales. Ces dernières décennies, d'importantsprogrès ont été accomplis dans la compréhension du rôle joué par la turbulence dans ce transport.Nous allons nous placer dans l'approximation du transport passif, où les concentrations des élémentstransportés sont susamment faibles pour que l'on puisse négliger leur rétroaction sur l'écoulement.Du point de vue mathématique, le transport passif peut être décrit par un système dynamiquealéatoire et certaines techniques développées récemment pour les systèmes dynamiques trouvent unchamp d'application naturel pour le problème de transport, en particulier à nombre de Reynoldsmodéré [26]. Réciproquement, les problème de transport ont joué un rôle de créateurs de nouvellesquestions fondamentales pour la théorie des systèmes dynamiques. En particulier, les vitesses sontnon lisses à grand nombre de Reynolds et l'étude de tels systèmes dynamiques non diérentiels estun domaine embryonnaire.

Nous allons commencer par décrire dans la section 4.2 comment un écoulement turbulent peutêtre modélisé par un système dynamique aléatoire. Nous introduirons en particulier des modèles detransport dans des champs de vitesse aléatoire. Puis, dans la section 4.3, nous ferons un rapide survolde la théorie ergodique multiplicative que nous appliquerons à un cas particulier de transport detraceurs. Nous introduirons les notions de mesure naturelle invariante, de ot tangent, d'exposantsd'étirement, d'exposants de Lyapunovs, de grandes déviations multiplicatives et de relation de uc-tuation multiplicatives. Ce dernier thème constitue un lien avec le chapitre 2 de cette thèse. Dans lasection 4.4, nous allons étudier le cas particulier de l'écoulement de Kraichnan qui permet d'obtenirdes résultats analytiques aussi bien pour le transport de traceurs que celui de particules massives.Enn, dans les chapitres 4.6 et 4.7, nous reproduisons deux articles, le premier concernant le modèlede transport de Kraichnan où l'on a relaxé l'hypothèse habituelle d'isotropie, le second où l'on aconstruit et développé un petit modèle phénoménologique de transport de particules massives quipermet de retrouver les caractéristiques du transport de particules massives dans un ot turbulentréaliste obtenu numériquement [15].

160

4.2 Écoulement turbulent comme un système dynamique aléatoire

Il existe deux façons de voir un écoulement turbulent comme un système dynamique aléatoire.La première concerne les équations hydrodynamiques, telle que l'équation de Navier Stokes, quigouvernent l'évolution de la vitesse et éventuellement de la densité et de la température. La secondeconcerne les propriétés de transport.

4.2.1 L'équation de Navier-Stokes

L'équation de Navier Stokes a été écrite par Claude-Louis Navier en 1823 puis par George GabrielStokes en 1843. C'est une réécriture de l'équation de Newton appliqué a un élément de uide :

ρ(∂t~υ + (~υ.~∇)~υ) = ρν ~∇2~υ − ~∇p+ ~f, (4.1)

avec ρ la masse volumique du uide, ν sa viscosité cinématique, p la pression dans le uide et ~f ladensité de force externe appliquée a l'élément de uide. A cette équation, il faut ajouter l'équationde continuité :

∂tρ+ ~∇.(ρ~υ) = 0, (4.2)

et une équation d'état F (ρ, p) = 0. Si le uide est incompressible, l'équation d'état devient ρ = ρ0,où ρ0 est constant et homogène, et les équations de Navier Stokes deviennent :

∂t~υ + (~υ.~∇)~υ = ν ~∇2~υ +1ρ0

(−~∇p+ ~f) et (4.3)

~∇.~v = 0

ce qui peut être vu comme un système dynamique non-autonome sur l'espace de dimension inni V0

des vecteurs de divergence nulle :

dX

dt= F (t,X) pour X ∈ V0. (4.4)

Trés souvent, on considère que la densité de force externe ~f est aléatoire, donc F (t,X) aussi, etl'équation (4.4) donne alors un système dynamique aléatoire. L'équation de Navier-Stokes est nonlinéaire. Le rapport entre le terme non linéaire (~υ.~∇)~υ et le terme décrivant la dissipation visqueuseν ~∇2~υ dépend de l'échelle de longueur l à laquelle on se place. Il est mesuré par le nombre deReynolds :

Re(l) ≡ (∆lυ) lν

(4.5)

avec ∆lυ l'amplitude typique de la variation de la vitesse sur l'échelle l de longueur. On dénit demême le temps typique de rotation d'un vortex de taille l

τl ≡l

∆lυ(4.6)

En particulier, si la taille du récipient est L (appelé échelle intégrale), Re(L) ≡ Re est le nombre deReynolds à l'échelle intégrale et τL est le temps intégral. A l'autre extrémité, Re(η) = 1 pour l'échellevisqueuse (ou de Kolmogorov) η où le terme non linéaire et le terme visqueux ont même amplitude.Le temps de Kolmogorov τη donne le temps de rotation des plus petits vortex. Des observationsexpérimentales des écoulements turbulents ont aboutit à la classication suivante :

Re ≤ 1 : écoulement laminaire, Re ∼ 10 : amorce de la turbulence, Re ≥ 100 : turbulence développée.

161

Dans le régime laminaire, on connaît certaines solutions explicites des équations de NaviersStokes avec des conditions aux limites bien choisies [12]. Dans le régime d'amorce de la turbulence,l'écoulement est gouverné par quelques modes instables de la dynamique. La théorie standard dessystèmes dynamiques qui étudie l'évolution temporelle de quelques degrés de liberté gouvernés pardes équations diérentielles ou des suites récurrentes, permet alors d'expliquer l'apparition du chaos[63]. Par contre, dans le régime de turbulence développée, il y a un grand nombre de degrés de libertéinstables. La théorie d'échelle de Kolmogorov [133] prévoit dans ce régime :

∆lυ ∼ l13 pour η ≤ l ≤ L, (4.7)

ce qui est proche des observations expérimentales. Le nombre de modes instables peut être estimépar (Lη )3 ∼ Re

94 . On observe alors l'apparition de nouveaux phénomènes comme une cascade avec

un ux d'énergie approximativement independant d'échelle et l'apparition d'intermittence.

4.2.2 Le transport turbulent de particules et de champs

Une autre façon de voir un écoulement turbulent comme un système dynamique concerne le transportde particules et de champs par le uide [26].

Transport de particules

Traceurs : Les traceurs sont des particules idéalisées de masse nulle, en suspension dans unuide et soumis à la diusion moléculaire. Leur mouvement est gouverné par l'équation :

d~R

dt= ~υ(t, ~R) +

√2κ~η(t) (4.8)

où κ est la diusivité moléculaire et ~η(t) est le bruit blanc gaussien standard. Le cas des particuleslagrangiennes proprement dites correspond à ~η = ~0.

Particules inertielles ou massives : On ne néglige pas ici la masse des particules. Souvent,on suppose que ces particules subissent un frottement proportionnel a leur vitesse relative par rapportau uide [166]. Leur position ~R(t) et leur vitesse ~U(t) satisfont alors l'équation

d~Rdt = ~U

d~Udt = 1

τ

(−~U + ~υ(t, ~R) +

√2κ ~η(t)

) (4.9)

avec τ le temps de Stokes. Dans la limite des τ faibles, on retrouve le cas du traceur.

Polymères : C'est l'exemple de molécules avec une extension spatiale. Leur mouvement estparfois modélisée par les équations [20]

d~Rdt = ~υ(t, ~R) +

√2κ ~η(t)

d ~Bdt = ( ~B.~∇)~υ(t, ~R)− α~B +

√2σ ~ξ(t)

(4.10)

où ~R décrit la position de la n de la chaîne du polymère, ~B est le vecteur de séparation entre lesdeux bouts du polymère et ~η(t) et ~ξ(t) sont des bruits blancs indépendants. Le terme −α~B décritla réaction élastique à l'étirement du polymère.

Ces trois cas du transport de particules sont des exemples de système dynamique de dimensionnie si ~υ, ~η et ~ξ sont donnés. Mais si ~υ, ~η et ~ξ sont aléatoires avec une statistique donnée, alors cesont des systèmes dynamiques aléatoires qui peuvent encore être étudiés en adaptant les ingrédientde la théorie des systèmes dynamiques.

162

Transport de champs

Les écoulements turbulents peuvent aussi transporter des quantités physiques décrites par deschamps, comme la température, la concentration ou le champ magnétique. Si l'intensité des ceschamps est susamment petite, leur évolution peut être décrite par des équations d'advection-diusion linéaires avec des coecients qui dépendent du champ de vitesse ~υ et on peut négliger larétroaction du champ sur la dynamique du uide. C'est le cas d'advection-diusion passive.

Champ scalaire : Par exemple, la température θ(t, ~r). Ici, l'évolution est décrite par l'équa-tion :

∂tθ + (~υ.~∇)θ − κ~∇2θ = g (4.11)

ou κ est la diusivité du scalaire et g une source.

Champ de densité : L'évolution de la concentration d'un polluant n(t, ~r) est décrite parl'équation :

∂tn+ ~∇.(n~υ)− κ~∇2n = h , (4.12)

ce qui est diérent de l'évolution d'un champ scalaire dans le cas d'un écoulement compressible où~∇.~υ 6= 0.

Densité dans l'espace des phases : Par exemple, une suspension de particules massivesdans un aérosol n(t, ~r, ~u). L'équation d'évolution est alors :

∂tn+ ~∇~r.(n~υ) + ~∇~u(n~u− ~υτ

)− κ~∇2n = h (4.13)

avec τ le temps de Stokes.

Champ magnétique : L'évolution du champ magnétique ~B(t, ~r) dans un écoulement turbulentest :

∂t ~B − ~∇× (~υ × ~B)− κ~∇2. ~B = ~G (4.14)

avec κ la diusivité magnétique et ~G un terme de source.

Relation entre le transport de particules et de champs

Les transports de particules et de champs sont en faits intimement reliés. Si on note ~R(t; t0, ~r0|~η)la position du traceur au temps t qui passe en ~r0 au temps t0 pour la réalisation du bruit ~η, alorsl'équation (4.11) dans le cas sans source se résout sous la forme :

θ(t, ~r) = θ(t0, ~R(t0; t, ~r|~η)) (4.15)

où la ligne supérieure signie la moyenne sur les réalisations du bruit. Physiquement, cela exprimejuste que la température est une quantité intensive dont la valeur en un point résulte de la moyennedes valeurs aux positions des traceurs à un temps antérieur. De la même façon, l'équation (4.12)dans le cas sans source se résout sous la forme :

n(t, ~r) =∫n(t0, ~r0) δ

(~r − ~R(t; t0, ~r0|~η)

)d~r0 (4.16)

On peut introduire la matriceW (t; t0, ~r0|~η) qui propage la séparation entre deux particules innimentproches :

W ij(t; t0, ~r0|~η) =

∂Ri(t; t0, ~r0|~η)

∂rj0(4.17)

163

Alors on peut réexprimer (4.16) sous la forme :

n(t, ~r) = det(W (t0; t, ~r|~η))n(t0, ~R(t0; t, ~r|~η). (4.18)

Il existe aussi des liens similaires entre le transport de la densité dans l'espace des phases (4.13) et desparticules inertielles (4.9) ainsi qu'entre le transport du champ magnétique (4.14) et des polymères(4.10).

4.3 Théorie ergodique multiplicative

Nous allons nous restreindre à la dynamique de traceurs en l'absence de diusion dans une régionbornée V de l'espace. La trajectoire de ces traceurs est solution de l'équation :

d~R

dt= ~υ(t, ~R). (4.19)

Le champ de vitesse ~υ(t, ~r) est aléatoire, non nécessairement incompressible. Nous allons supposerque la statistique du champ de vitesse est stationnaire. La plupart des considérations qui suiventsont aussi vraies pour les autres équations de transport de particules.

4.3.1 Mesure invariante naturelle

Dans le cas d'écoulement stationnaire et déterministe, on dit que n(d~r) est une mesure invariantepar l'écoulement dans la région V si pour tous t et pour toute fonction f mesurable et bornée :

∫

Vf(~R(t; 0, ~r))n(d~r) =

∫

Vf(~r)n(d~r). (4.20)

Cela peut être généralisé pour les écoulement aléatoires stationnaire en considérant une collectionde mesure n(d~r|~υ) paramètrisée par les réalisations de vitesse. On demande alors que pour toutefonction mesurable f de V × V, où V est l'espace des réalisations de vitesse,

⟨∫

Vf(~R(t; 0, ~r|~υ), ~υt|)n(d~r|~υ)

⟩=⟨∫

Vf(~r, ~υ)n(d~r|~υ)

⟩≡∫

V×Vf(~r, ~υ)N(d~r, d~υ). (4.21)

ou 〈−〉 est la moyenne sur les réalisations de vitesse et ~υt(s, ~r) = ~υ(s + t, ~r). Cette collection demesure n(d~r|~υ) dénit donc une mesure N(d~r, d~υ) sur l'éspace V × V. Cette dernière est invariantepar le groupe de transformation a un paramètre :

(~r, ~υ)→(~R(t; 0, ~r|~υ), ~υt

)(4.22)

N est appelée mesure invariante du système dynamique aléatoire (4.19). Si l'on distribue les par-ticules dans le uide a un temps t0 avec la densité uniforme nt0(~r) = 1

|V | , cette densité va évoluer

dans le temps selon l'équation d'advection ∂tn + ~∇.(n~υ) = 0. En particulier, si l'écoulement estincompressible alors la densité va rester homogène pour des temps ultérieurs. Mais si l'écoulementest compressible, alors les particules vont s'agglutiner en certains endroits et pour presque touteréalisation de vitesse, la densité nt0(t, ~r|~υ) devient de plus en plus irrégulière lorsque le temps aug-mente. Ceci est bien illustré dans les gures (4.1) tirés de [25]. Un phénomène similaire arrive pourla densité dans l'espace des phases de particules inertielles [14, 15]. Avec Jérémie Bec, nous avonsexhibé et développé un petit modèle phénoménologique de transfert de particules inertielles par desvortex aléatoires dans un espace-temps discrétisé qui reproduit qualitativement la distribution desparticules inertielles dans un ot turbulent réaliste obtenu par des simulations numériques. Ce travaila donné lieu à une publication que nous reproduisons dans la section 4.7.

164

Fig. 4.1 Visualisation de l'agglomération des traceurs distribué initialement avec la densité homo-gène. Les gure b) et d) montrent la distribution des traceurs après le temps t = 0.2τL et t = 5.1τL

La mesure de probabilité n(t, d~r|~υ) sur V est dite naturelle si pour toute fonction continue f etpour presque toute réalisation de vitesse :

∫

Vf(~r)n(t, d~r|~υ) = lim

t0→−∞1

t− t0

∫ t

t0

∫f(~r)nt0(t, d~r|~υ) . (4.23)

En particulier, sous la condition d'existence de la limite∫V f(~r)nt(d~r|~υ) = lim

t0→−∞∫f(~r)nt0(t, d~r|~υ),

la mesure naturelle est la distribution des particules à l'instant t lorsqu' elles sont distribuées unifor-mément très loin dans le passé. Pour les écoulements compressibles, la mesure naturelle est concentréesur un attracteur aléatoire et non stationnaire, mais c'est une mesure invariante (4.21) qui induitla mesure invariante naturelle N(d~r, d~υ) du système dynamique (4.19). Cette mesure permet defaire la statistique de fonctions des points d'espace et des réalisations de vitesse f(~r, ~υ). Une tellemesure est souvent appelée lagrangienne puisque elle calcule des moyennes le long de trajectoireslagrangiennes(4.21).

4.3.2 Flot tangent

On introduit la matrice W (t; t0, ~r|~υ) (4.17) qui propage une séparation innitésimale δ ~R entre deuxtrajectoires lagrangiennes dans une réalisation de vitesse donnée :

W ij(t; t0, ~r|~υ) =

∂Ri(t; t0, ~r|~υ)∂rj

, (4.24)

δ ~R(t; t0, ~r|~υ) = W (t; t0, ~r|~υ) δ~r . (4.25)

165

On diagonalise la matrice W tW et on écrit ses valeurs propres ordonnées sous la forme exponen-tielle : exp(2ρ1) ≥ exp(2ρ2) ≥ ... ≥ exp(2ρd). On obtient alors les exposants d'étirement ordonnésρi(t; t0, ~r|~υ). La combinaison de l'étirement, de la rotation et de la contraction des vecteurs de sépa-ration entre deux trajectoires lagrangiennes entraîne un comportement typique linéaire des exposantsd'étirements. On dénit les taux d'étirement σi(t; t0, ~r|~υ) ≡ 1

|t|ρi(t; t0, ~r|~υ), qui sont parfois appelésexposants de Lyapunovs à temps ni. Les fonctions σi(t; t0, ~r|~υ) peuvent être traitées comme desvariables aléatoires sur l'espace V ×V muni de la mesure naturelle invariante N(d~r, d~υ). Leur densitéde probabilité jointe est alors :

Pt(~σ) =∫

V×Vδ (~σ − ~σ(t; t0, ~r|~υ))N(d~r, d~υ) . (4.26)

Les densités de probabilité Pt(~σ) et P−t(~σ) sont reliées de façon très simple :

Pt(~σ) = P−t(− ~σ) avec ~σ = (σd, σd−1, ..., σ1). (4.27)

car on a

~R(−t; 0, ~R(t; 0, ~r|~υ)|~υt) = ~r doncW (t; 0, ~r|~υ) = W (−t; 0, ~R(t; 0, ~r|~υ)|~υt)−1 et donc

~σ(t; 0, ~r|~υ) = − ~σ(−t; 0, ~R(t; 0, ~r|~υ)|~υt).(4.27) dérive alors de la propriété d'invariance de N(d~r, d~υ).

4.3.3 Exposants d'étirement à grand temps

Nous allons maintenant nous intéresser à la distribution limite des taux d'étirement à grand temps.

Théorème ergodique multiplicatif

Ce théorème a été démontré par Osedelec([177]) en 1968 et Ruelle [192] en 1979.

Fig. 4.2 David Ruelle

David Ruelle (Gand, 20 août 1935 - ) est un physicien mathématicien d'ori-

gine belge, ayant acquis la citoyenneté française en 1984. Chevalier de la Légion

d'Honneur en 1989.

Il suppose que la mesure invariante N(d~r, d~υ) est ergodique et que∫

max(‖W (t; 0, ~r|~υ)‖ , 0)N(d~r, d~υ)< ∞ et arme qu'il existe alors des constantes ordonnées λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λd telles que pour Npresque tous (~r, ~υ),

limt→+∞

σi(t; 0, ~r|~υ) = − limt→−∞

σd−i+1(t; 0, ~r|~υ) = λi (4.28)

Les constantes λi sont appelées les exposants de Lyapunovs.

166

Fig. 4.3 Aleksandr Lya-punov

Aleksandr Mikhailovitch Liapounov (1857 -1918) est un mathématicien russe.

Son père, Mikhail Vassilievich était astronome à l'Université de Kazan jusqu'à deux

ans avant la naissance d'Aleksandr Mikhailovich. Alors nommé directeur du lycée

Demidovski, il déménagea avec sa petite famille pour Yaroslavl, où Aleksandr vit le

jour le 6 juin 1857. Peu de temps après la mort de son mari, la mère d'Alexandre,

accompagnée de ses enfants, quitta Yaroslavl pour Nizhny Novgorod (appelée Groky

entre 1932 et 1990) en 1870, et Lyapunov y intégra le Gymnasium. Il y rencontra

Andrei Markov qui devint un de ses proches, et tout deux entrèrent à la faculté

de Physique et de Mathématique de Saint-Petersbourg après avoir été diplômés du

Gymnasium en 1876. A l'Université, il suivit les enseignements de Pafnouti Tche-

bychev, qui eut une grande inuence sur lui. Lyapunov obtint son diplôme en 1880 et

décida de rester à Saint-Petersbourg pour continuer ses recherches. En 1881, il pu-

blia ses deux premiers articles sur l'hydrostatique : "Sur l'équilibre des corps lourds

dans des liquides lourds contenus dans certains type de récipients", et "Sur le poten-

tiel des pressions hydrostatiques". En 1893, il fut nommé professeur de l'Université

de Kharkov, où il est resté jusqu'en 1902. Il joua un rôle majeur dans la Société

Mathématique de Kharkov, dont il fut vice-président de 1891 à 1898, puis président de 1899 jusqu'à son départ de

Kharkov, en 1902. Il édita également les Communications de la Société Mathématique de Kharkov. En 1901, Lyapunov

fut élu à l'Académie des Sciences Russe à St-Petersbourg, et devint académicien l'année suivante en mathématiques

appliquées. D'après Grigorian : En 1917, Lyapunov quitta St-Petersbourg pour un poste à Odessa, sur les côtes de la

mer Noire. Il enseigna à l'Université, mais dans le printemps de 1918, la santé de sa femme commença à se dégrader

rapidement. Natalia Rafailovna sourait d'une variété de tuberculose, et Lyapunov fut très atteint par les problèmes

de santé de sa femme. Elle mourut le 31 octobre 1918, et Lyapunov se suicida par balle la même journée.Source :

Wikipédia.

Le premier exposant de Lyapunov code la croissance exponentielle de la séparation innitésimaleentre deux trajectoires, pour presque tous ~r, ~υ et δ~r

λ1 = limt→+∞

1t

ln |W (t; 0, ~r|~υ)δ~r| (4.29)

Si λ1 > 0, on dit que il y a sensibilité aux conditions initiales et existence du chaos. Les exposants delyapunov sont les limites à grand temps des taux d'expansion, mais il est aussi important de savoircomment cette limite est atteinte.

La limite centrale multiplicative

Dans le cas où tous les exposants de Lyapunovs sont diérents, c'est à dire λ1 > λ2 > ... > λd et oùles corrélations temporelles du processus tangent décroissent susamment vite, on peut postuler laforme limite

limt→+∞

t−12Pt(~λ+ t−

12~τ) =

exp(−12~τ .C

−1~τ)√det(2πC)

(4.30)

c'est a dire que

~τ(t; 0, ~r|~υ) =~ρ(t; 0, ~r|~υ)− t~λ√

t(4.31)

se comportent comme un vecteur gaussien de matrice de covariance C à grand temps. Aucun théo-rème mathématique général n'assure ce comportement.

167

Les grandes déviations multiplicatives

Si on suppose encore que tous les exposants de Lyapunovs sont diérents, on peut espérer [9, 43]l'émergence d'un régime de grandes déviations à grand temps où

− limt→+∞

1t

lnP (~σ) = H(~σ) (4.32)

avec une fonction H ≥ 0, appelée la fonction de taux des grandes déviations, qui s'annule en ~λ.Ici encore, aucun théorème mathématique général n'assure ce résultat, mais il existe des preuvesd'existence partielle pour des systèmes déterministes [100] et des systèmes aléatoires avec des vitessesdécoréllées en temps [6, 43]. Pour un écoulement incompressible,

∑i σi = 0 et la fonctionH est innie

en dehors de l'hyperplan∑

i σi = 0.

Relations de uctuation multiplicatives

On note ~υ′ le champ de vitesse renvérsée en temps : ~υ′(t, ~r) = −~υ(−t, ~r). La relation de uctuationmultiplicative compare les grandes déviations des processus avec ~υ et ~υ′ :

H ′(− ~σ) = H(~σ)−∑

i

σi . (4.33)

C'est une relation de type Gallavotti-Cohen. Dans le cas particulier ou le champ de vitesse est ré-versible, c'est à dire si ~υ et ~υ′ ont la même distribution, alors H ′ = H. La relation de uctuationoriginale concernait les grandes déviations de s = −t∑i σi qui est l'exposant de contraction dansl'espace des phases et qui a été interprété [193, 194] comme la création d'entropie d'un systèmedynamique. Gallavotti et Cohen ont établit en 1995 [85] que la fonction de taux des grandes dévia-tions pour s dans un système dynamique déterministe hyperbolique et réversible en temps satisfaitl'équation :

ζ(−σ) = ζ(σ) + σ (4.34)

où σ = s/t. Dans notre cadre, la relation (4.33) possède une justication élementaire si on supposel'existence du regime de grandes déviations [74].

Malgré qu'elle concerne des événements rares, la théorie des grandes déviations joue un rôleimportant dans les phénomènes de transport turbulent. En eet, c'est souvent les événements trèsrares qui permettent de dépasser un seuil moyen, par exemple d'émission toxique d'agent chimique,ce qui provoque l'émoi de la place publique. La fonction H intervient par exemple pour obtenir :

le taux de décroissance de traceurs en présence de la diusion [9], les dimensions multifractales d'un attracteur [100, 17], l'évolution de l'étirement d'un polymère [46].

4.4 Particules dans un champ lisse de Kraichnan

En 1968, Robert Kraichnan est le premier a considérer un champ de vitesse gaussien et décorelléen temps [134]) (au même temps, A. P. Kazantev l'utilise pour modéliser l'eet dynamo [131]). Lastatistique du champ de vitesse est donc donnée par les fonctions a 1 et 2 points :

⟨υi(t, ~r)

⟩= 0 et (4.35)

⟨υi(t, ~r) υj(t′, ~r′

⟩= δ(t− t′)Dij(~r, ~r′) .

168

Fig. 4.4 Robert Kraich-nan

Robert Kraichnan(1928,2008) est un phycicien juif américain. Le texte suivant

est une partie d'un hommage écrit par Shiyi Chen, Gregory Falkovich, Uriel Frisch,

Gregory Eyink et Steven Orszag. "The world lost a profound and original theoretical

physicist when Robert Kraichnan passed away after a long illness on February 26,

2008 at his residence in Santa Fe, New Mexico. He contributed much to our current

understanding of uid turbulence, the subject which occupied him for most of his

career, but he made fundamental contributions also to general relativity, quantum

eld theory, quantum many-body theory, and statistical physics. Robert H. Kraich-

nan was born in Philadelphia on Jan. 15, 1928. His earliest scientic interest was

in general relativity, which he began to study on his own at age 13 out of a classic

text of Arthur Eddington. Kraichnan won the Westinghouse Science Competition

with a project on general relativity. At age 18, he wrote an undergraduate thesis at

MIT, "Quantum Theory of the Linear Gravitational Field" 1946-47, which was a

prescient piece of work. He was awarded a Ph.D. from MIT in 1949 and became one

of Einstein's last assistant(....) In the late 1950's Kraichnan turned to tackle one

of the most famously dicult subjects in physics, the problem of uid turbulence.

Kraichnan became a world-leader in this subject, driving major dévelopments for a remarkable forty-year span, from

about 1957 to 1997. For many workers in uid turbulence, it was enough to say "Bob said..." Those years also saw

Kraichnan's career take an unusual path. He decided to leave academia and to set up his own scientic consulting

business. From 1962 onward, Kraichnan was an independent research scientist, living rst in the mountains of New

Hampshire and later in Los Alamos and the outskirts of Santa Fe, funded by grants from US research agencies such

as the NSF, ONR and DOE. Kraichnan was a consultant to Los Alamos National Laboratory for over 20 years(.....)

Kraichnan returned to academia in 2003 when he was installed as Homewood Professor of The Johns Hopkins Uni-

versity. Unfortunately, Bob was already quite ill and could not leave Santa Fe. Until near death, however, he was able

to pursue research in the quantum measurement problem, a subject of long-standing interest to him. In addition to

his achievements in physics, Kraichnan enjoyed classical music and was an accomplished violinist. Bob was also, in

better days, an avid hiker. He took long walks daily, thinking deeply about science as he hiked. Much of his best work

was done in his head while walking the hills and woods of New Hampshire and, later, the mountains and canyons of

New Mexico. Kraichnan is survived by his wife, artist and photographer Judy Moore-Kraichnan, and by his former

wife Carol Gebhardt, their son John Kraichnan, and granddaughter Sasha Kraichnan. With the passing of Kraichnan,

the physics community has lost a deeply original theorist. He was a unique and solitary thinker, but never isolated.

Throughout his career, Bob took special interest in mentoring new researchers and was extraordinarily generous in

sharing his own ideas. His many colleagues and friends feel sorrow, remembering his warm and kindly presence and

his penetrating insights. We'll miss him very much"

Pour mimer la turbulence loin des conditions de bord, on suppose en général :

l'homogénéité : Dij(~r, ~r′) = Dij(~r − ~r′), l'isotropie : Dij(~r) = δijD1(|~r|) + rirjD2(|~r|), et une loi d'échelle : Dij(~r)−Dij(~0) =

O(|~r|2) si |~r| η,

O(|~r|ξ) si η |~r| L.

On appelle régime de Batchelor l'intervalle ou Dij(~r)−Dij(~0) est approximativement quadratique,c'est a dire lorsque l'on se place en dessous de l'échelle de viscosité. Ce régime est utilisé pourmodéliser des écoulements à nombre de Reynolds modéré. Le régime ou Dij(~r) − Dij(~0) suit uneloi d'échelle de coecient 0 < ξ < 2 modélise le régime inertiel de la turbulence développée a grandnombre de Reynolds. Le modèle de Kraichnan, bien que peu réaliste, est un très bon laboratoired'idées théorique et numérique pour les propriétés de transport dans un écoulement turbulent. Ilpermet de tester d'anciennes idées sur le transport turbulent mais d'en trouver de nouvelles [74].

Nous avons traité le cas bidimensionnel du régime de Batchelor du modèle de Kraichnan aniso-

169

trope avec symétrie du carré dans l'article [43] reproduit dans la section 4.6.

4.4.1 Particules lagrangiennes et ot tangent dans le modèle de Kraichnan

Dans l'ensemble de Kraichnan, l'évolution des traceurs est gouvernée par l'équation (4.19) :

d~R = ~υ(t, ~R)dt, (4.36)

que l'on peut interprétér par exemple avec la convention d'Itô [129]. La convention de Stratonovichdonne les mêmes résultats dans le cas où ∂riD

ij(~r, ~r′)|~r=~r′ = 0, ce qui est le cas grâce aux propriétésd'homogénéité et d'isotropie. La probabilité de transition de trouver la particule en ~r à l'instant tsachant qu'elle était en ~r0 à l'instant t0,

P (t0, ~r0; t, ~r) =⟨δ(~r − ~R(t; t0, ~r0)

)⟩, (4.37)

vérie alors l'équation de Kolmogorov avancée :

d

dtP (t0, ~r0; t, ~r) = D0∇2

~rP (t0, ~r0; t, ~r), (4.38)

comme pour le processus de Wiener d'une particule brownienne, où Dij = 2D0δij . Il en suit que

P (t0, ~r0; t, ~r) =1

(4πD0 |t− t0|)d2

exp(− (~r − ~r0)2

4D0 |t− t0|) . (4.39)

En moyenne, la turbulence de Kraichnan provoque donc juste une diusion. On appelle D0 la diu-sivité tourbillonnaire. En particulier, (4.15) et (4.16) implique que le scalaire moyenné est la densitémoyenne évolue par :

〈θ(t, ~r)〉 =∫d~r0

θ(t0, ~r0)

(4πD0 |t− t0|)d2

exp(− (~r − ~r0)2

4D0 |t− t0|) (4.40)

et

〈n(t, ~r)〉 =∫d~r0

n(t0, ~r0)

(4πD0 |t− t0|)d2

exp(− (~r − ~r0)2

4D0 |t− t0|). (4.41)

Une bulle initiale de scalaire ou de densité subit donc en moyenne juste une diusion dans le référen-tiel du laboratoire. Néanmoins, l'évolution de la densité moyenne ne donne pas de renseignementssur la dynamique des uctuations, qui sont par contre sous-jacent si on regarde l'évolution du uidedans le référentiel qui évolue avec le uide. Dans ce but, nous allons étudier la dynamique d'uneséparation innitésimale entre deux trajectoires lagrangiennes :

dδRi = δRj ∇jυi(t, ~R(t)

)dt . (4.42)

Dans cette équation comme dans (4.19) les conventions d'Itô et de Stratonovich sont identiques.Pour une fonction f quelconque, la formule d'Itô s'écrit grâce a l'homogénéité :

df(δR) = (δ ~R.~∇)υi(t, ~R(t)

)∇if(δR)dt− 1

2δRkδRl (∇k∇lDij)(~0)∇i∇jf(δR)dt (4.43)

et donc en moyenne :

d 〈f(δR)〉 =⟨

12δRkδRlCijkl∇i∇jf(δR)dt

⟩, (4.44)

170

où nous avons noté Cijkl = −(∇k∇lDij)(~0). La grande simplication du modèle de Kraichnan homo-gène est que le processus tangent se découple du processus direct (4.19), on peut réécrire l'équation(4.42) sous la forme

dδR = S(t) δR dt (4.45)

avec la convention d'Itô est avec la matrice de bruit blanc S(t) possédant la covariance⟨Sik(t)S

jl (s)

⟩= Cijkl δ(t− s) . (4.46)

Cette simplication est possible tant que nous faisons des statistique à position initiale ~R(~0) xée.Dans l'équation (4.45), la convention d'Itô est diérente de la convention de Stratonovich, contrai-rement au cas de l'équation (4.42).

4.4.2 Grandes déviations multiplicatives dans le modèle de Kraichnan

Dans le cas isotrope, on a necéssairement :

Cijkl = β(δikδjl + δilδ

jk) + γδijδkl . (4.47)

On dénit aussi le degré de compressibilité :

℘ ≡

⟨(∑i∇iυi

)2⟩

⟨(∑i,j ∇iυj

)2⟩ =

CijijCiijj

=(d+ 1)β + γ

2β + dγ. (4.48)

tel que 0 ≤ ℘ ≤ 1. On introduit aussi l'échelle de temps caractéristique

τ =2d δ(0)⟨(∑i,j ∇iυj

)2⟩ =

2dCiijj

=2

2β + dγ. (4.49)

Le processus tangent a pour équation (4.45) :

dW = S(t).Wdt avec W (0) = Id . (4.50)

La formule d'Itô donne alors pour toute fonction f de la matrice W :

d

dt〈f(W )〉 =

⟨12Wmi W

nj C

ijkl

∂

∂Wmk

∂

∂Wnl

f(W )⟩. (4.51)

Nous nous sommes intéressé à l'évolution des taux d'étirements ρi, donc il nous sut de prendreune fonction f qui ne dépend de W qu'au travers des ρi. Pour cela, on prend une fonction f sur legroupe GL(d) qui vérie la propriété :

f(O′WO) = f(W ) pourO, O′ ∈ O(d) . (4.52)

Un calcul long mais direct [19] donne :

d

dt〈f(~ρ)〉 = 〈Lf(~ρ)〉 (4.53)

avec le générateur :

L =β + γ

2

∑

i

∂2

∂ρ2i

+∑

i 6=jcoth(ρi − ρj)

∂

∂ρi

+

β

2

(∑

i

∂

∂ρi

)2

− (d+ 1)β + γ

2

∑

i

∂

∂ρi. (4.54)

171

Après conjugaison par la fonction F(~ρ) = exp(−12

∑i ρi)

(∏i<j sinh(ρi − ρj)

) 12, l'opérateur L de-

vient l'Hamiltonien du modèle intégrable quantique de Calogero-Sutherland-Moser [172] :

FLF−1 =β + γ

2

∑

i

∂2

∂ρ2i

+12

∑

i<j

1sinh2(ρi − ρj)

+

β

2

(∑

i

∂

∂ρi

)2

+ cst ≡ −HCSM . (4.55)

On peut alors exprimer la densité de probabilité jointe des taux d'expansion

Pt(~σ) = t exp(tL)(~0, t~σ) = t lim~ρ0→0F−1(~ρ0) exp(−tHCSM )(~ρ0, t~σ)F(t~σ) (4.56)

explicitement à l'aide de la théorie spectrale de l'Hamiltonien HCSM qui est connue [172]. La formede grandes déviations de Pt(~σ) est alors donnée par la méthode du col, ou had hoc par la forme [9]

Pt(~σ) ' t exp(tL∞)(~0, t~σ) ∼ exp (−tH(~σ)) (4.57)

où L∞ est l'opérateur du second ordre a coecient constant dérivé de L en remplaçant coth(ρi−ρj)par 1 (resp −1) si i < j (resp i > j). Un petit calcul donne alors :

H(~σ) =τ

4(d+ ℘(d− 2))

(d− 1)(d− 2)

∑

i

(σi − λi)2 + (℘−1 − d)

(∑

i

(σi − λi))2

2

(4.58)

avec les exposants de Lyapunov λi ayant pour valeurs :

τλi =(d+ ℘(d− 2)) (d− 2i+ 1)

(d− 1)(d+ 2)− ℘ . (4.59)

En particulier, on a λ1 > 0 pour ℘ < d4 (phase chaotique) et λ1 < 0 pour ℘ > d

4 (phase nonchaotique). On peut vérier explicitement que la fonction H vérie la relation de uctuation mul-tiplicative de Gallavotti-Cohen (4.33) avec H ′ = H. On a discuté cette relation dans l'article [45]reproduit dans la section 2.6 de cette thèse. On remarque que dans le cas isotrope discuté ci-dessus,les exposants de Lyapunov sont régulièrement espacés et que la forme de grandes déviations estgaussienne. Ces deux propriétés sont perdues dans le cas non isotrope que l'on a traité dans l'article[43] reproduit dans la section 4.6.

4.4.3 Particules massives dans le modèle de Kraichnan homogène

Les particules inertielles(4.9) dans un écoulement de Kraichnan sont décrites en l'absence de diusionmoléculaire (κ = 0) par les équations

dRi

dt = U i,dU i

dt = 1τ

(−U i + υi(t, ~R)

),

(4.60)

avec le champ de vitesse ~υ comme dans (4.35). Encore une fois, les conventions de Itô et Stratonovichsont identiques pour ce système. L'évolution de petites séparations dans l'espace des phases entredeux particules inertielles satisfait donc

dδRi

dt = δU i,dδU i

dt = 1τ

(−δU i + δRj∇jυi(t, ~R)

).

(4.61)

172

Comme pour les cas des traceurs, si l'on fait des statistiques à position xées dans l'espace desphases, cette équation se réécrit :

dδRdt = δU

dδUdt = 1

τ (−δU + S(t)δR)(4.62)

avec la convention d'Itô et pour S(t) la matrice de bruit blanc avec la covariance (4.46). La relationde Gallavotti-Cohen s'écrit ici [81] :

H(τ−1~1− ~σ) = H(~σ) (4.63)

avec ~1 = (1, 1, ..., 1).

Cas unidimensionnel

Si l'on pose, δR ≡ ψ(t) exp(− t2τ ), l'équation (4.62) se réécrit sous la forme d'une équation de

Schrödinger :

− d2ψ(t)dt2

+ V (t)ψ(t) = − 14τ2

ψ(t) (4.64)

avec le potentiel-bruit blanc V (t) ≡ S(t)τ de covariance 〈V (t)V (s)〉 = −D′′(0)

τ2 δ(t− s) et avec l'énergieE ≡ − 1

4τ2 . On reconnaît alors le modèle d'Anderson de localisation uni-dimensionnel qui a été résolu

par Halperin [105]. Le processus x(t) =dψ(t)dtψ(t) satisfait ici à l'équation

dx

dt= −(x2 + E) + V (t) . (4.65)

On a expliqué pourquoi ce processus possédait un état stationnaire hors d'équilibre dans l'introduc-tion de [44] reproduit dans la section 3.7 de cette thèse. Cet état stationnaire possède la mesurenormalisée :

µi(dx) =1Z

exp(

2τ2

D′′(0)

(13x3 + Ex

))(∫ x

−∞exp

(− 2τ2

D′′(0)

(13y3 + Ey

))dy

)dx , (4.66)

comme déjà obsérvé dans [105]. L'exposant de localisation λ ≡⟨ddt (ln |ψ(t)|)

⟩= 〈x(t)〉 se calcule

explicitement [148] en termes de fonction d'Airy [99] et on peut montrer qu'il est toujours positif,ce qui indique une localisation permanente en une dimension. Les exposants de Lyapunovs desparticules massives dans lécoulement de Kraichnan unidimensionnel s'expriment facilement à partirde l'exposant de localisation :

λ1 = λ− 12τ

et λ2 = −λ− 12τ

. (4.67)

On peut les exprimer en fonction de u = [12(− τD′′(0)

2 )−1/3 :

λ1 = −2D′′(0)u2

(−u+

Ai′(u2)Ai(u2) +Bi′(u2)Bi(u2)Ai(u2) +Bi(u2)

)(4.68)

et

λ2 = −2D′′(0)u2

(−u− Ai′(u2)Ai(u2) +Bi′(u2)Bi(u2)

Ai(u2) +Bi(u2)

)(4.69)

avec Ai et Bi les fonctions d'Airy.

173

4.5 Conclusion

En conclusion, le transport passif de particules et de champs par des écoulements hydrodynamiques,par exemple turbulents, est modélisé par des équations simples reliées entre elles. La dynamique departicules est mathématiquement décrite par un système dynamique aléatoire. Si le champ de vitesseest lisse en espace, la statistique des taux d'étirement du processus tangent donne une caractérisationimportante de la dynamique de particules déterminant plusieurs propriétés de transport. À temps in-ni, les taux d'étirement convergent vers des constantes, les exposants de Lyapunov. Si les exposantsde Lyapunov sont tous diérents, on s'attend à ce que la distribution des taux d'étirements prennepour des temps longs la forme de grandes déviations caractérisée par une fonction H qui satisfaitla symétrie de Gallavotti-Cohen. Dans le cas particulier d'un écoulement de Kraichnan possédantsusamment de symétrie, le processus tangent est relié à un système intégrable quantique. Cecidonne accès à une expression analytique de H.

174

4.6 Article 4 [43] : Kraichnan ow in a square : an example ofintegrable chaos

175

Journal of Statistical Physics, Vol. 126, No. 6, March 2007 ( C© 2006 )DOI: 10.1007/s10955-006-9225-5

Kraichnan Flow in a Square: An Exampleof Integrable Chaos

Raphael Chetrite,1 Jean-Yves Delannoy1 and Krzysztof Gawedzki1,2

Received June 30, 2006; accepted September 20, 2006Published Online: February 23, 2007

The Kraichnan flow provides an example of a random dynamical system accessibleto an exact analysis. We study the evolution of the infinitesimal separation betweentwo Lagrangian trajectories of the flow. Its long-time asymptotics is reflected in thelarge deviation regime of the statistics of stretching exponents. Whereas in the flowthat is isotropic at small scales the distribution of such multiplicative large deviationsis Gaussian, this does not have to be the case in the presence of an anisotropy. Weanalyze in detail the flow in a two-dimensional periodic square where the anisotropygenerally persists at small scales. The calculation of the large deviation rate function ofthe stretching exponents reduces in this case to the study of the ground state energy of anintegrable periodic Schrodinger operator of the Lame type. The underlying integrabilitypermits to explicitly exhibit the non-Gaussianity of the multiplicative large deviationsand to analyze the time-scales at which the large deviation regime sets in. In particular,we indicate how the divergence of some of those time scales when the two Lyapunovexponents become close allows a discontinuity of the large deviation rate function in theparameters of the flow. The analysis of the two-dimensional anisotropic flow permitsto identify the general scenario for the appearance of multiplicative large deviationstogether with the restrictions on its applicability.

KEY WORDS: multiplicative large deviations, Kraichnan model

1. INTRODUCTION

The Kraichnan random ensemble of velocities (23) has been extensively used tomodel various phenomena related to turbulent transport both in the inertial intervalof scales that develops at high Reynolds numbers and at moderate Reynolds num-bers where the viscosity effects play an important role. (16) The passive transport

1 Laboratoire de Physique, ENS-Lyon, 46 Allee d’Italie, 69364 Lyon, France.2 Member of C.N.R.S.

1165

0022-4715/07/0300-1165/0 C© 2006 Springer Science+Business Media, LLC

1166 Chetrite et al.

of scalar or vector quantities in a velocity field is governed by the Lagrangian flowdescribing the evolution of the trajectories of fluid particles. From the mathemati-cal point of view, such flow provides an example of a random dynamical system(1)

which in the case of the Kraichnan velocities is described by a stochastic dif-ferential equation. For the Kraichnan flows corresponding to moderate Reynoldsnumbers, the methods borrowed from the theory of random dynamical systemsor stochastic differential equations appear to provide important information aboutthe transport properties of the flows. To start with, the values of the Lyapunovexponents of the flow, whose existence is asserted by the multiplicative ergodictheorem, allow to decide whether the flow is chaotic (positive top Lyapunov expo-nent) or not, leading to different directions of the cascades of passively advectedscalars. (12) More detailed information about the transport properties of the flowmay be extracted from the knowledge of the fluctuations of the exponential stretch-ing rates around their limiting long-time values equal to the Lyapunov exponents.In the generic case where all the Lyapunov exponents are different, the statistics ofthe stretching exponents may be expected to exhibit at long but finite times a largedeviation regime captured quantitatively by a single function of the vector of thestretching rates. Since the existence of such multiplicative large deviation regimeis not assured by general mathematical theorems, see Ref. 5 for partial results, it isinteresting to have at our disposal models where it may be established and studiedin detail.

One such example that has been known for some time is the homogeneousisotropic Kraichnan flow. The corresponding stochastic differential equation hasbeen studied in the mathematical literature in the eighties and nineties of thelast century. In particular, the Lyapunov exponents have been found in Ref. 25and 4 but the large deviations have been studied only separately for the topstretching exponent or for the sum of them. (5) With the regain of interest ofphysicists in the Kraichnan model in the mid-nineties, the same stochastic equationresurfaced as the model for the Lagrangian flow at moderate Reynolds numberswith the motivations, the accents and the language proper to the turbulence theorycommunity. (10) In particular, it was realized that many properties of the turbulenttransport require more information about the flow than the spectrum of Lyapunovexponents and may be expressed in terms of the rate function of the large deviationsof the stretching exponents. Those include the rate of decay of the moments ofadvected scalar (3) or of growth of those of the magnetic field(11) or, in compressibleflows, of the density fluctuations, (2) the multifractal properties of long-time densityconcentrations (6) and the threshold for the onset of the drag reduction in polymersolutions. (9) In the homogeneous and isotropic Kraichan flow, the large deviationregime of the stretching exponents is Gaussian and the corresponding rate functionis a quadratic polynomial. (3,2) Its simple form has permitted to extract analyticanswers for many characteristics features of passive advection in such flows. (16)

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1167

The simplicity of the multiplicative large deviation regime in the homoge-neous isotropic Kraichnan flow is due to the decoupling of the dynamics of thestretching exponents from that of the eigen-directions for stretching and contrac-tion. (3) As a result also the exact distribution of the stretching exponents may befound analytically in this case as it appears to be related to the heat kernel of theintegrable quantum Calogero-Sutherland Hamiltonian for particles on the line in-teracting with the attractive pair potential proportional to the function sinh−2 of theinter-particle distance. (7,19) In the present paper we analyze the two-dimensionalKraichnan flow in a periodic square often used in numerical simulations. Thelarge scale anisotropy due to the shape of the flow volume generically persistson small scales inducing isotropy breaking terms in the distribution of strain thatdrives the evolution of the stretching exponents. Due to the presence of such terms,the stretching exponents dynamics does not decouple anymore from that of the(unstable) eigen-directions. The Lyapunov exponents may nevertheless be stillcomputed analytically and their difference expressed in terms of elliptic integrals.The distribution of the sum of the stretching exponents is still Gaussian for alltimes (this is a general fact for the homogeneous Kraichnan flows). As for the ratefunction of the large deviations of the difference of the stretching exponents, itscalculation may be reduced to that of the ground-state energy of the integrable one-dimensional periodic quantum Lame operator. For general values of the couplingconstant, the eigenvalues of the latter may be found by numerical diagonalizationof infinite tridiagonal matrices. (14) Those matrices reduce to finite ones at integervalues of the coupling and for the lowest eigenvalues. Alternatively, the groundstate energy of the Lame operator may be found by direct numerical integration ofthe eigenvalue equation. Both approaches permit to obtain the large deviation ratefunction for the stretching exponents that turns out to be non-quadratic althoughwith quadratic asymptotes. The analysis of the spectral gap of the Lame operatorpermits to assess the time scales at which the multiplicative large deviation regimesets in. In particular, the divergence of the time scales relative to the multiplicativecentral-limit regime when the difference of the Lyapunov exponents tends to zeroaccompanies the observed discontinuity of the large deviation rate function in theanisotropy parameter at the point where the Lyapunov exponents coincide.

The plan of the paper is as follows. In Sect. II, we discuss the relationsbetween the Lagrangian flow and random dynamical systems introducing theconcepts of the natural invariant measure and of the tangent process and statingtwo different definitions of the stretching exponents. In Sect. III we introduce theKraichnan ensemble of velocities and discuss how the general concepts consideredbefore simplify in the homogeneous Kraichnan velocities. We recall briefly theresults about the statistics of the stretching exponents in the isotropic version ofthe Kraichnan model. Section IV is the core of the present paper. We discussthere the Kraichnan flow in a periodic square, the persistence of anisotropy atsmall distances, the calculation of the Lyapunov exponents and, finally, the large

1168 Chetrite et al.

deviations for the stretching exponents, their relation to the Lame equation, theirnon-Gaussianity, and their discontinuity in the anisotropy parameters. The lastsection collects our conclusions. We believe that the simple model consideredhere allows to identify a general scenario for the occurrence of the multiplicativelarge deviations when all the Lyapunov exponents are different and to understandthe mechanism of its failure when some of the Lyapunov exponents get close.

2. LAGRANGIAN FLOW AS A RANDOM DYNAMICAL SYSTEM

2.1. Random Dynamical Systems

We shall start by describing the Lagrangian flow in the language of randomdynamical systems. Let us consider an ensemble of velocities uω

t (r) in a boundedregion V of the d-dimensional space. Here ω is a random parameter belongingto a probability space equipped with a probability measure P(dω). may betaken as the space of velocity realizations. We shall assume the stationarity of thevelocity ensemble, i.e. the existence of a 1-parameter group of measure preservingtransformations ω → ωs of such that uωs

t (r) = uωt+s(r). The Lagrangian flow

describing the trajectories of tracer particles carried by the fluid is defined by theordinary differential equation

d R

dt= uω

t (R) . (1)

Under simple regularity assumptions including the spatial smoothness of the ve-locities uω

t (r), the solutions Rωt (r) of Eq. (1) parametrized by their time zero

position r define a family of random smooth maps ωt of the region V such that

Rωt (r) = ω

t (r) with the composition rule

ωs+t =

ωst ω

s . (2)

In particular, one obtains a 1-parameter group of transformations

(r, ω) −→ (ω

t (r), ωt

)(3)

of the product space V × which realizes the flow dynamics.

2.2. Natural Invariant Measure

Note that ωs−s(r) is the time zero position of the solution that at time s passes

through r . Suppose that, for continuous functions f on V , the limit

lims→−∞

1

|V |∫

Vf(

ωs−s(r))

d r =:∫

Vf (r) µω(d r) (4)

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1169

exists for almost all ω and defines a random family of probability measuresµω(d r) on V . Note that due to the composition rule (2),

∫

Vf(ω

t (r))µω(d r) =

∫

Vf (r) µωt (d r) . (5)

The measures µω(d r) describe the distribution of the time zero positions ofthe Lagrangian trajectories whose initial points were uniformly seeded in thefar past. For incompressible velocities the uniform distribution is conservedby the flow so that µω(d r) = 1

|V |d r but in the presence of compressibility,the Lagrangian trajectories develop preferential concentrations and the mea-sures µω(d r) tend to be singular and supported by lower dimensional randomattractors.

From the random measures µω(d r) one may synthesize a measureM(d r, dω) on the product space V × defined by the relation

∫

V ×

f (r, ω) M(d r, dω) =⟨ ∫

Vf (r, ω) µω(d r)

⟩

where 〈··〉 denotes the expectation w.r.t. the probability measure P(dω). Notethat due to the property (5),

∫

V ×

f(ω

t (r), ωt

)M(d r, dω) =

∫

V ×

f (r, ω) M(d r, dω)

so that the measure M(d r, dω) is invariant under the 1-parameter group (3) ofdynamical transformations. We shall call M(d r, dω) the natural invariant mea-sure of the random dynamical system (1). Below, we shall assume that M(d r, dω)is ergodic with respect to the group (3), i.e. that functions invariant under the dy-namics are constant M-almost everywhere.

2.3. Tangent Process

Much information about the Lagrangian flow may be extracted by looking at theevolution of the separation between two infinitesimally close trajectories. Considerthe Jacobi matrix ∇ω

t (r) ≡ W ωt (r) with the entries

W ij = ∇ j

ωt

i (r) .

The matrix W ωt (r) propagates the infinitesimal separations:

δRω(t ; r) = W ωt (r) δr .

Note that W ω0 (r) = Id and that W ω

t (r) satisfies the linear differential equation

dW

dt= Sω

t W (6)

1170 Chetrite et al.

with (Sωt )i

j = ∇ j uωt

i (Rωt (r)) equal to the matrix elements of the strain along the

Lagrangian trajectory. We shall call W ωt (r) the tangent process. In studying it

below, Eq. (6) will play a crucial role. Note that the composition rule (2) impliesthat

W ωs+t (r) = W ωs

t

(ω

s (r))

W ωs (r) .

In particular,

W ω−t (r) = W ω−t

t

(ω

−t (r))−1

. (7)

We shall be interested in the statistical properties of the d × d matricesW ω

t (r) for fixed but large t with (r, ω) sampled according to the natural invariantmeasure M(d r, dω). As for any real invertible d × d matrix, one may decompose

W = O ′ diag[eρ1 , . . . , eρd ] O (8)

with a diagonal positive definite matrix sandwiched in between orthogonal ones.One may demand that the stretching exponents ρi = ρω

i t (r) given by half thelogarithm of the eigenvalues of the matrices W T W and W W T , be ordered so thatρ1 ≥ · · · ≥ ρd . They carry an important part of the information about the tangentprocess. The joint probability distribution function (PDF) of the time t stretchingexponents is given by the formula:

Pt (ρ) =∫

V ×

d∏

i=1

δ(ρi − ρω

i t (r))

M(d r, dω) .

Note the relation

ρωi −t (r) = −ρ

ω−t

d−i+1t

(ω

−t (r))

between the forward and the backward exponents that follows from Eq. (7). Theinvariance of the natural measure under the 1-parameter dynamics (3) implies thenthat

P−t (ρ1, . . . , ρd ) = Pt (−ρd , . . . ,−ρ1) .

2.4. Multiplicative Ergodic Theorem and Multiplicative

Large Deviations

The main general result about dynamical systems, the multiplicative ergodic the-orem of Oseledec, (26) see also Ref. 27, states that under mild assumptions, thelimits

limt→±∞

1

tln(W T W )ωt (r) =: ω

±(r)

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1171

exist for M-almost all (r, ω). Besides,

ω±(r) = Oω

±(r) diag[λ1, · · · , λd ] Oω±(r)T (9)

where λ1 ≥ · · · ≥ λd are the Lyapunov exponents that, due to the ergodicityassumption, are (r, ω)-independent. In particular, λi are the limits when t → ∞of the ratios ρω

i t (r)/t for M-almost all (r, ω).When all Lyapunov exponents are different, one may expect that for large but

finite time the distribution of the stretching exponents takes for ρ1 > · · · > ρd

the large deviation form: (3,19)

Pt (ρ) ∝ e−t H (ρ1/t,...,ρd/t) (10)

with a convex rate function H attaining its minimal value equal to zero at thevector λ of the Lyapunov exponents. In particular, if H is regular around λ

one would obtain, as a corollary, the multiplicative central limit result stat-ing that 1√

t(ρ t − λt) tends when t → ∞ to the vector of normal variables

with the inverse covariance given by the second derivative matrix H ′′(λ). Toour knowledge, no general theorems assure existence of the multiplicativelarge deviation regime, see Ref. 5 for some partial results. There are, never-theless, examples of random (and non-random(22)) dynamical systems wherethe relation (10) indeed holds. As has been already mentioned in Introduc-tion, the examination of one of such examples is the main topic of the presentpaper.

For time reversible velocity ensembles, i.e. when the velocities uωt (r) and

−uω−t (r) have the same distribution, the rate function H possesses the symmetry:

H (−ρd/t, . . . ,−ρ1/t) = H (ρ1/t, . . . , ρd/t) −d∑

i=1

ρi/t , (11)

see Refs. 2,16. Eq. (11) is an extension, somewhat in the spirit of Ref. 17, ofthe fluctuation relations considered originally by Evans-Cohen-Morriss (15) andGallavotti-Cohen(18) for the large-deviation rate function of the phase-space con-traction rate −∑

ρi and established in a setup of random dynamical systems closeto the one of the present paper in Ref. 8.

2.5. Stretching Along the Unstable Flags

We shall call a family F = (Ei )di=1 of i-dimensional subspaces

0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ Ed−1 ⊂ Ed = Rd

a flag. An example is provided by the flag F0 composed by the subspaces E0i

spanned by the first i vectors of the canonical basis of Rd . Clearly, the group

1172 Chetrite et al.

GL(d) acts on the space of flags. The subgroup B ⊂ GL(d) composed of theupper triangular matrices preserves the flag F0 and the space Fl of all flags, theflag variety, may be identified with the homogeneous space GL(d)/B = O(d)/Dwhere D = O(d) ∩ B is the subgroup of the diagonal matrices with entries ±1.We shall denote by d F the normalized O(d)-invariant measure on Fl.

The flow ωt on the volume V induces the flow ω

t on the product spaceV × Fl defined by

ωt (r, F) = (

ωt (r), W ω

t (r)F).

Mimicking the constructions from Sect. 2.2 of the natural invariant measure, onemay define the measures dσω(d r, d F) on V × Fl by the relation

lims→−∞

1

|V |∫

V ×Flf(

ωs−s(r, F))

d r d F =:∫

V ×Flf (r, F) σω(d r, d F)

if the limit exists for continuous functions f for almost all ω. Clearly, themeasures σω depend only on the past velocities and the formula

∫

V ×Flf(ω

t (r, F))σω(d r, d F) =

∫

V ×Flf (r, F) σωt (d r, d F) . (12)

analogous to Eq. (5) holds. Out of the measures σω, one may synthesize a measure(d r, d F, dω) on the product space V × Fl × by the relation

∫

V ×Fl×

f (r, F, ω) (d r, d F, dω) =⟨ ∫

V ×Flf (r, F, ω) σω(d r, d F)

⟩.

For F = O F0 with O ∈ O(d), consider the Iwasawa decomposition of theinvertible matrix W = W ω

t (r) O :

W = O ′ diag[eη1 , . . . , eηd ] N

with O ′ orthogonal and N upper-triangular with units on the diagonal. The ex-ponents ηi = ηω

i t (r, F) do not depend on the freedom in the choice of O . Weshall call them the stretching exponents along the flag F . With (r, F, ω) sam-pled w.r.t. the probability measure (d r, d F, dω), they become random variables.Their joint time t PDF will be denoted Qt (η).

When all the Lyapunov exponents are different then the orthogonal matricesOω

±(r) in Eq. (9) are determined modulo the right multiplication by matrices fromD. In particular, Oω

−(r) defines a flag Fω(r) of subspaces Eωi (r) = Oω

−(r)E0i

of (less and less) unstable directions of the flow. In this case,∫

V ×Flf (r, F) σω(d r, d F) =

∫

Vf (r, Fω(r)) µω(d r) ,

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1173

i.e. the measure σω(d r, d F) is concentrated in the direction of the flag variety Flon the unstable flags. The subspaces Eω

i (r) may be characterized by the propertythat for 0 = e ∈ Eω

i (r) \ Eωi−1(r),

limt→−∞

1

tln ‖W ω

t (r)e‖ = λi

with the limit testing the far past asymptotics. The unstable flags Fω(r) dependonly on the velocities at the negative times and are covariant under the 1-parameterdynamics (3):

W ωt (r) Fω(r) = Fωt

(ω

t (r)).

We shall call the exponents ηωi t (r) = ηω

i t (r, Fω(r)) the stretching exponentsalong the unstable flags.

The exponents ηωi t (r) are not equal to the stretching exponents ρω

i t (r) in-troduced previously. In particular, they are not necessarily non-increasing with ialthough again the ratios ηω

i t (r)/t tend for M-almost all (r, ω) to the orderedLyapunov exponents λi when t → ±∞. Although the PDFs Qt (η) and Pt (ρ)are, in general, different (in particular, the latter is non-zero only for ordered ar-guments), we shall see below that the large deviation parts of Pt and Qt areclosely related. In fact, the stretching exponents ηi are more natural objects thanthe exponents ρi and, as we shall see in examples, their evolution is often simplerto describe.

3. LAGRANGIAN FLOW IN THE KRAICHNAN MODEL

3.1. Kraichnan Ensemble of Velocities

The Kraichnan ensemble of d-dimensional velocities uω(t, r) is the Gaussianrandom ensemble characterized by vanishing mean and time decorrelated covari-ance:

⟨uω

ti (r) uω

t ′j (r ′)

⟩ = δ(t − t ′) Di j (r, r ′) .

In particular, we shall consider a homogeneous ensemble in the d-dimensionalperiodic box V of side L with the spatial covariance given by the Fourier series:

Di j (r, r ′) =∑

k∈ 2πL Zd

[(1 − ℘)δi j − (1 − ℘d)ki k j ] ei k·(r−r ′) d(|k|) , (13)

as often used in numerical simulations. The spectral function d will be assumedfast decreasing or of compact support so that the resulting covariance and, conse-quently, almost all velocity realizations uω

t (r) are smooth in space. The simplestwould be to take d supported only on the modes with |k| = 2π

L , i.e. on the

1174 Chetrite et al.

lowest nontrivial ones. The parameter ℘ in Eq. (13) is called the compressibilitydegree. It is equal to the ratio of the covariances 〈(∇i uω i )2〉/〈(∇i uω j )2〉 andis contained between zero and one. Vanishing ℘ corresponds to an incompressibleflow and ℘ = 1 to a gradient one.

The Lagrangian flow in the Kraichnan ensemble of velocities is defined bythe ordinary differential Eq. (1). Because of the white-noise temporal behaviorof the Kraichnan velocities, Eq. (1) becomes, however, a stochastic differentialequation and, in line with more standard notations, will be written in the form

dR = uωt (r) dt .

In principle, it requires a choice of the stochastic convention, like Ito’s orStratonovich’s one, but in the case in question both choices lead to the samesolutions (this is due to the vanishing of ∇r j Di j (0, 0)). As before, one obtainsfrom the solutions a family t

ω of smooth random maps. (24)

For the Kraichnan model, the convergence (4) takes place in the L2 norm ofthe Gaussian process. Besides, due to the homogeneity of the velocity ensemble,

∫

V ×

f (r) M(d r, dω) =⟨ ∫

Vf (r) µω(d r)

⟩= 1

|V |∫

Vf (r) d r . (14)

Similarly, due to the homogeneity,∫

V ×Fl×

f (r, F) (d r, d F, dω) =⟨ ∫

V ×Flf (r, F) σω(d r, d F)

⟩

= 1

|V |∫

V ×Flf (r, F) d r χ (d F) (15)

for some probability measure χ (d F) on Fl. Note that averaging Eq. (12) withrespect to the probability measure P(dω) for functions f independent of r , oneinfers that

∫

Fl

⟨f(W ω

t (r0)F)⟩

χ (d F) = 1

|V |∫

V ×Fl

⟨f(W ω

t (r)F)⟩

d r χ (d F)

=∫

Flf (F) χ (d F) , (16)

i.e. that the measure χ (d F) is invariant under the process W ωt .

3.2. Tangent Process in Kraichnan Velocities

Further simplifications appear in the statistics of the tangent process W ωt (r). For

positive t , W ωt (r) depends only on the velocities at positive times and µω(r)

on the velocities at negative times. The temporal decorrelation of the Kraichnan

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1175

velocities implies then for any function f of invertible d × d matrices and fort ≥ 0 the factorization

∫

V ×

f(W ω

t (r))

M(d r, dω) ≡⟨ ∫

Vf(W ω

t (r))µω(d r)

⟩

=⟨ ∫

V

⟨f(W ω

t (r))⟩

µω(d r)

⟩= 1

|V |∫

V

⟨f(W ω

t (r))⟩

d r = ⟨f(W ω

t (r0))⟩

where the last but one equality follows from the relation (14) and the last one isagain due to the homogeneity of the velocity ensemble. We infer that it is enoughto know the distribution of W ω

t (r0) for one fixed r0. This simplifies considerablythe analysis of the statistics of the stretching exponents in the Kraichnan model.

Let us suppose now that f is a function on GL(d) invariant under theright multiplication of its argument by diagonal matrices with entries ±1 so thatf (W ) for W = W ω

t (r) O depends on O only via the flag F = O F0 (but isnot, in general, a function of W ω

t (r)F only), see Sect. 2.5. Again due to thedecorrelation of velocities at positive and negative times and the relation (15),

∫

V ×Fl×

f (W ) (d r, d F, dω) ≡⟨ ∫

V ×Flf(W ω

t (r) O)σω(d r, d F)

⟩

= 1

|V |∫

V ×Fl

⟨f(W ω

t (r) O)⟩

d r χ (d F) =∫

Fl

⟨f(W ω

t (r0) O)⟩

χ (d F) (17)

The last relation permits to simplify the analysis of the statistics of the stretchingexponents along the unstable flags.

3.3. Multiplicative Stochastic Equation for the Tangent Process

For fixed r0, the distribution of the tangent process W ωt (r0) may be obtained by

solving the multiplicative stochastic equation

dW = Sωt W dt , (18)

the stochastic version of Eq. (6), with initial condition W0 = Id . The further cru-cial simplification, due to the time decorrelation and spatial homogeneity of theKraichnan velocity ensemble, is that in Eq. (18) one may take (Sω

t )ij = ∇ j uω

ti (r0)

instead of (Sωt )i

j = ∇ j uωt

i (Rωt (r0)). In other words, the dependence on the tra-

jectory Rωt (r0) may be dropped from Sω

t as long as we are interested in thedistribution of W ω

t (r0) for fixed r0, provided we consider the differential Eq. (6)with the Ito convention (here the convention does matter, see Appendix A inRef. 16).

1176 Chetrite et al.

Summarizing, the strain process Sωt in Eq. (18) may be taken as the matrix-

valued white noise with mean zero and the covariance⟨(

Sωt

)i

k

(Sω

t ′) j

l

⟩ = δ(t − t ′) ∇rk ∇r ′l Di j (0, 0) =: δ(t − t ′) Ci jkl . (19)

For the spatial velocity covariance Di j (r, r ′) given by the Fourier series (13),

Ci jkl =

∑

k∈ 2πL Zd

[(1 − ℘)δi j − (1 − ℘d)ki k j ]kkkl d(|k|)

= 2α δi jkl + β (δi

kδjl + δi

l δjk ) + γ δi jδkl (20)

where ki ≡ ki and δi jkl is equal to 1 if i = j = k = l and to zero otherwise. The

compressibility degree

℘ = 〈(tr Sω)2〉〈tr SωT Sω〉 = 2α + (d + 1)β + γ

2α + 2β + dγ.

The positivity of the covariance imposes the inequalities

γ ≥ |β| , 4α + (d + 2)β + 2γ ≥ d|β| .We shall exclude the trivial case α = β = γ = 0. The case of vanishing α

corresponds to the isotropic situation when the distributions of Sω and of O Sω OT

coincide for any orthogonal matrix O . The α-term breaks the O(d)-invarianceof the distribution of Sω to the discrete subgroup of the symmetries of a cube. Itis the source of a small scale anisotropy that occurs generically in the Kraichnanflow in a periodic box. Indeed, vanishing of α requires a fine tuning of thespectral density d(|k|). For example, when d is non-zero only for |k| = 2π

L thennecessarily α = 0.

3.4. Generator of the Tangent Process

The generator of the process Wt satisfying stochastic equation Eq. (18), i.e. theoperator L such that for any regular function f on the group GL(d),

d

dt〈 f (W )〉 = 〈(L f )(W )〉 ,

is given by the formula

L = 1

2

d∑

i, j,k,l,n,m=1

(2α δ

i jkl + β

(δi

kδjl + δi

lδjk

) + γ δi jδkl

)W k

m W ln ∂W i

m∂W j

n

= α

d∑

i=1

(E i

i

)2 + 1

2(β + γ )E2 − 1

2γJ 2 + 1

2βD2 − (

α + 1

2(d + 1)β + 1

2γ)D ,

(21)

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1177

where, for Eij denoting the basic matrices with the matrix elements (Ei

j )kl =

δikδ jl ,(E j

i f)(W ) = d

ds|s=0 f

(e−s Ei

j W) = −

∑

k

W jk∂W i

kf (W ) , E2 =

∑

i, j

E ji E i

j ,

J 2 = − 1

2

∑

i, j

(E j

i − E ij

)2, D = d

ds|s=0 f (es W ) = −

∑

i

E ii .

Note that E2 is the quadratic Casimir of gl(d), J 2 the one of so(d) and Dthe generator of the dilations. Formula (21) goes back to Ref. (28) where it wasdiscussed for the isotropic incompressible case. For any values of the parameters,the generator L commutes with the right regular action

(RM f )(W ) = f (W M)

of GL(d) on functions on itself.

3.5. Stretching Exponents in the Isotropic Case

The isotropic case with α = 0 has been treated in Refs. 2, 3, see also Refs. 7, 28.Here L commutes also with the left action of O(d) given by

(L O f )(W ) = f (O−1W ) .

In particular, L preserves the space of functions invariant under the left andright action of O(d), i.e. functions f (ρ) that depend on W only through thestretching exponents, see Eq. (8). In other words, the stretching exponents evolveindependently of the angles of the O(d) matrices in the decomposition (8). Onfunctions f (ρ), the generator L reduces to the operator

Lρ = β+γ

2

(d∑

i=1

∂2

∂ρ2i

+∑

i = j

coth(ρi − ρ j )∂

∂ρi

)

+ β

2

( d∑

i=1

∂

∂ρi

)2− (d+1)β+γ

2

d∑

i=1

∂

∂ρi.

The right hand side is the generator of the diffusion process ρ t satisfying thestochastic differential equations (3)

dρi = β+γ

2

∑

j =i

coth(ρi − ρ j )dt − (d+1)β+γ

2dt + ζi t dt (22)

where ζ t is the white noise with the covariance

〈ζi t ζ j t ′ 〉 = [(β + γ )δi j + β] δ(t − t ′) .

1178 Chetrite et al.

The time t PDF Pt (ρ) may be expressed in terms of the heat kernel of theCalogero-Sutherland Hamiltonian. (7,19) The Lyapunov exponents are given byRefs. 4, 25.

λi = β+γ

2(d − 2i + 1) − (d+1)β+γ

2

and are all different. The large deviation form of Pt (ρ) is easy to obtain by thefollowing heuristic considerations. (3) Since |ρi − ρ j | for i = j grows approxi-mately linearly with time, at long times coth(ρi − ρ j ) ≈ ±1 and the operator Lρ

should reduce to the asymptotic form

Lasρ = β+γ

2

d∑

i=1

∂2

∂ρ2i

+ β

2

(d∑

i=1

∂

∂ρi

)2

+d∑

i=1

λi∂

∂ρi.

Similarly, the stochastic equation (22) simplifies at long times to

dρi = λi dt + ζi t dt

The long-time asymptotics of ρi is now easy to find leading to the large deviationform (10) of the PDF Pt (ρ) with the quadratic rate function(3,2)

H (ρ/t) = 1

2(β+γ )

[d∑

i=1

( ρi

t− λi

)2 − β

(d+1)β+γ

(d∑

i=1

( ρi

t− λi

))2]

(23)

taking its minimal value at ρ/t = λ and possessing the symmetry (11).Let us turn now to the stretching exponents ηω

t (r, F) along flags F = O F0.Since ηi are defined by the Iwasawa decomposition of the matrix W = W ω

t (r) O ,functions of η may be identified with functions f of W invariant under theright action of upper-triangular matrices N with units on the diagonal and the leftaction by orthogonal matrices O (such functions are necessarily invariant underthe right action by diagonal matrices with entries ±1). The calculation of theaverage of f (W )) with respect to the measure (d r, d F, dω) is now simplifiedby Eq. (17). For fixed r0 and O ∈ O(d), the statistics of W ω

t (r0) O may be foundby solving the Ito stochastic Eq. (18) with the initial condition W0 = O . It followsthat

d

dt

⟨f(W ω

t (r0) O)⟩ = ⟨

(L f )(W ω

t (r0) O)⟩

.

In the isotropic case with α = 0, the generator L preserves the space of functioninvariant under the right action by upper-triangular matrices N with units on thediagonal and under the left action of orthogonal matrices O and reduces on such

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1179

functions to the operator

Lη = β+γ

2

d∑

i=1

∂2

∂η2i

+ β

2

(d∑

i=1

∂

∂ηi

)2

+d∑

i=1

λi∂

∂ηi

of the form coinciding for all times with the asymptotic form Lasρ of Lρ . As the

result,

⟨f(W ω

t (r0) O)⟩ =

∫e−tLη(0, η) f (η) dη =

∫f (η) e−t H

(η1/t,...,ηd/t

)dη

∫e−t H

(η1/t,...,ηd/t

)dη

with H given by Eq. (23). In particular, the O-dependence drops out and theintegral over the flag variety Fl on the right hand side of Eq. (17) becomes trivial(in fact, in the isotropic case, χ (d F) = d F i.e. it is O(d)-invariant measure onFl). We infer that the time t PDF Qt (η) of the stretching exponents along the(unstable) flags is Gaussian for all times:

Qt (η) = e−t H (η1/t,...,ηd/t)

∫e−t H (η1/t,...,ηd/t) dη

.

In particular, its large deviation form coincides with that for the stretching ex-ponents ρi except that in the latter case, it is restricted to the region whereρ1 > · · · > ρd . We shall see below that such coincidence of the large deviationstatistics for ρ and η holds in more general situations.

4. KRAICHNAN FLOW IN A PERIODIC SQUARE

4.1. Generator of the 2d Tangent Process

We shall discuss here the statistics of the solutions of the multiplicative stochasticEq. (18) for 2 × 2 matrices with the covariance of the white noise strain Sω

t givenby Eqs. (19) and (20) with d = 2. The overall time scale of the strain is set by

4δ(0)

〈tr SωT Sω〉 = 1

α + β + γ≡ τ .

The distribution of Sωt is invariant under the 90 rotations and reflections in the

coordinate axis. If O π4

is the rotation by 45, i.e.

O π4

= 1√2

(1 1

−1 1

)

1180 Chetrite et al.

then S′tω = O π

4Sω

t OTπ4

has the similar distribution to that of Sωt but with parame-

ters

α′ = −α , β ′ = α + β , γ ′ = α + γ

Note that τ ′ = τ , 2γ ′ + α′ = 2γ + α and that the compressibility degree is thesame for both sets of the parameters. We shall call the ratio

κ = |α|τ = |α′|τ ′

the anisotropy degree. It measures the difference between the covariances ofthe the processes Sω

t and S′tω relative to 〈tr SωT Sω〉 and it is contained between

zero and one. We shall use the dependence on κ to measure the influence of theanisotropy on the distribution of the tangent process Wt . For Wt solving Eq. (18),the distribution of W ′

t = O π4Wt OT

π4

will coincide with that of the solution ofEq. (18) for the primed values of the parameters. As the result, the distributionof the stretching exponents ρω

t (r) as well as that of ηωt (r) for the two sets of

parameters are identical. Below, we shall then restrict ourselves to the case withα ≥ 0.

The parametrization (8) takes in two dimensions the form:

W =(

cos φ

2 sin φ

2

− sin φ

2 cos φ

2

) (eρ1 0

0 eρ2

) (cos ψ sin ψ

− sin ψ cos ψ

)

(we may assume that det W = 1). Hence functions of W may be viewed asfunctions of two angles and the stretching exponents and satisfying the relations

f (φ, ρ1, ρ2, ψ) = f(φ + π, ρ2, ρ1, ψ − π

2

),

f (φ, ρ1, ρ2, ψ) = f (φ, ρ1, ρ2, ψ + 2π )

that permit to restrict the parameters to the region ρ1 ≥ ρ2 and 0 ≤ φ,ψ ≤ 2π .For the generator of the tangent process given by Eq. (21) one obtains the followingcomplicated expression:

L = 1

2α[∂ρ1 + ∂ρ2 ]2

+ 1

2α[2 sin φ coth(ρ1 − ρ2) ∂φ − cos φ (∂ρ1 − ∂ρ2 ) − sin φ sinh−1(ρ1 − ρ2) ∂ψ ]2

+ 1

2(β + γ )[∂ 2

ρ1+ ∂ 2

ρ2+ 2 sinh−2(ρ1 − ρ2) ∂2

φ + 1

2sinh−2(ρ1 − ρ2) ∂2

ψ

− 2 cosh(ρ1 − ρ2) sinh−2(ρ1 − ρ2) ∂φ∂ψ + coth(ρ1 − ρ2) (∂ρ1 − ∂ρ2 )]

+ 2 γ ∂2φ + 1

2β[∂ρ1 + ∂ρ2 ]2 − 1

2(2α + 3β + γ ) [∂ρ1 + ∂ρ2 ] . (24)

L is self-adjoint in the L2 scalar product with the measure e−ρ1−ρ2 sinh |ρ1 −ρ2|dφdρ1dρ2dψ . Note that L commutes separately with the translation of φ byπ , with permutation of ρi and with the arbitrary translations of ψ . Since at theend we shall be interested in the distribution of the (ordered) stretching exponents,we may right away restrict ourselves to the sector of functions that are periodic in

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1181

φ of period π , even under the interchange of ρi and independent of ψ . Uponsetting

1

2(ρ1 + ρ2) ≡ r , ρ1 − ρ2 ≡ ρ

L reduces in the action on ψ-independent functions to the operator Lr + Lφρ

with

Lr = 1

4(2α + 3β + γ ) ∂2

r − 1

2(2α + 3β + γ ) ∂r , (25)

Lφρ = 2α[

sin φ coth ρ ∂φ − cos φ ∂ρ

]2 + 2γ ∂2φ

+ 1

2(β + γ )

[2 ∂2

ρ + 2 sinh−2 ρ ∂2φ + 2 coth ρ ∂ρ

]. (26)

It follows that at all times the processes rt and (ρt , φt ), starting at r0 = 0 = ρ0

and φ0 = 0, are independent.

4.2. Sum of Lyapunov Exponents

The PDF of rt takes for all times the Gaussian large deviation form since Lr hasconstant coefficients:

Pt (r ) = 1√

π (2α + 3β + γ )te−t Hr (r/t) (27)

with the quadratic rate function

Hr (r/t) =(r/t + 1

2 (2α + 3β + γ ))2

2α + 3β + γ.

In particular, when t → ∞, the PDF of r concentrates at rt = − 1

2 (2α + 3β + γ )which gives the half of the sum of the Lyapunov exponents:

λ1 + λ2 = −(2α + 3β + γ ) . (28)

Note that if one normalizes the Lyapunov exponents by multiplying them by theoverall time scale τ = (α + β + γ )−1 then one obtains the relation

(λ1 + λ2)τ = −2℘ (29)

stating that the normalized sum of the Lyapunov exponents is directly tied to thecompressibility degree.

The Evans-Cohen-Morriss-Gallavotti-Cohen symmetry (11) involves hereonly the large deviations of rt and reduces to the identity

Hr (−r/t) = Hr (r/t) − 2r/t . (30)

1182 Chetrite et al.

4.3. Asymptotic Form of the (ρ, φ)-Process

It remains to find the large-time form of the joint PDF of φ and ρ. Unlike in theisotropic situation, the evolution of ρ does not decouple from the angle φ andboth have to be treated at the same time. Recall that we may restrict ourselves tothe sector of functions of period π in φ and even in ρ so that we may consideronly ρ ≥ 0 (i.e. ρ1 ≥ ρ2) imposing the appropriate boundary condition at ρ = 0(recall that L acts at smooth functions on GL(d)). At long times, ρ/t will stillconcentrate at a single value equal to the difference of the Lyapunov exponents.Anticipating the latter to be strictly positive (except in the case when β = γ = 0treated in Sect. 4.I), we infer that at large t the process ρt will take predominantlylarge values ∝ t . Consequently, we should be able to replace coth ρ by 1 in theexpression (26) for the generator Lφρ and drop the term with sinh−2 ρ reducingLφρ to the asymptotic form:

Lasφρ = 2α

[sin φ ∂φ − cos φ ∂ρ

]2 + 2γ ∂2φ + (β + γ )

[∂2ρ + ∂ρ

]. (31)

Note on the margin that under a similar transformation applied to operator Lof Eq. (24), all terms involving the angle ψ drop out implying that ψ becomesfrozen at long times, in agreement with the Oseledec theorem. With an appropriateboundary conditions at ρ = 0, the operator Las

φρ is self-adjoint with respect tothe L2 scalar product with the measure eρdρdφ. The restriction to ρ ≥ 0 willnot, however, effect the large deviation form of the PDF of ρ. In what follows, weshall then simplify the things considering the operator Las

φρ as acting on functionsof ρ defined on the whole line, restricting ρ to positive values only at the veryend.

Although Lasφρ still does not preserve the subspace of functions that depend

only on ρ, it does preserve the one of functions that depend only on φ. Hencethe evolution of φ becomes at long times independent of that of ρ althoughthe opposite is not true. More specifically, the angle φ undergoes at long time adiffusion on the circle of circumference π whose generator

Lasφ = 2α

[sin φ ∂φ

]2 + 2γ ∂2φ (32)

is obtained by restricting Lasφρ to functions independent of ρ. Such diffusion

process converges exponentially fast (we shall find the rate of the exponentialconvergence below) to a stationary state. The stationary density

χ (φ) =[γ + α sin2 φ

]−1/2

∫ π

0

[γ + α sin2 ϕ

]−1/2dϕ

. (33)

is the unique positive normalized solution of period π of the equation

Lasφ†χ (φ) = (

2α[∂φ sin φ]2 + 2γ ∂2φ

)χ (φ) = 0 .

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1183

4.4. Difference of Lyapunov Exponents

The difference of the Lyapunov exponents may be found now by applying thefollowing strategy. Suppose that there exists a smooth periodic function f (φ) ofperiod π such that

Lasφρ (ρ + f (φ)) = λ = const. (34)

It follows that

d

dt

⟨ρ⟩ = λ − d

dt

⟨f (φ)

⟩ −→t→∞ λ

with the exponentially fast convergence. We infer then that λ is equal to the meanasymptotic rate of change of ρ that, in turn, is equal to the difference of theLyapunov exponents. Identity (34) may be rewritten in somewhat more explicitform as

2α sin2 φ + β + γ + Lasφ f (φ) = λ .

Integrating the latter equality against χ (φ), we obtain the relation

λ =∫ π

0

[β + γ + 2α sin2 ϕ

]χ (ϕ) dφ (35)

that fixes the value of λ. It is easy to see that Eq. (35) is also a sufficient conditionfor the existence of the function f (φ) satisfying condition (34). Substituting theexplicit expression (33) for χ (φ), we infer that

λ1 − λ2 = β − γ + 2

∫ π

0 [γ + α sin2 ϕ]1/2 dϕ∫ π

0 [γ + α sin2 ϕ]−1/2 dϕ. (36)

Recall that γ ≥ |β| and 2α + 2β + γ ≥ |β| and that we have assumed thatα ≥ 0. It follows that λ1 − λ2 ≥ β + γ ≥ 0 and at least one of the last inequalitiesis sharp unless β = γ = 0. Hence λ1 > λ2 if β + γ > 0 which is consistent withthe assumption that, typically, ρ becomes large for long times. The integrals are

given by the elliptic functions K (k) and E(k) with the modulus k =√

αα+γ

:

∫ π

0 [γ + α sin2 ϕ]1/2 dϕ∫ π

0 [γ + α sin2 ϕ]−1/2 dϕ= (α + γ )

E(k)

K (k).

Fig. 1 depicts the normalized Lyapunov exponents λiτ for τ = (α + β + γ )−1

as functions of the anisotropy degree κ = |α|τ ,

λ1τ = − 1 + 3 − 2℘ + κ

2

E(√

2κ3−2℘+κ

)

K(√

2κ3−2℘+κ

) ,

1184 Chetrite et al.

Fig. 1. (Color online) Normalized Lyapunov exponents λ1τ and λ2τ as functions of anisotropydegree κ = |α|τ for three values of the compressibility degree ℘.

λ2τ = 1 − 2℘ − 3 − 2℘ + κ

2

E(√

2κ3−2℘+κ

)

K(√

2κ3−2℘+κ

) ,

for three values of the compressibility degree ℘ = 0, ℘ = 12 and ℘ = 1. Note

that λ1τ decreases and λ2τ increases with κ at constant compressibility degree℘, with the sum of the two fixed to −2℘, see Eq. (29). The incompressiblesystem stays always chaotic (i.e. with positive top Lyapunov exponent) and this isalso true for sufficiently small compressibility degree. For ℘ slightly below 1

2 ,however, an increase of κ may kill chaos. For ℘ ≥ 1

2 the system is never chaotic.For ℘ = 1, the tendency of anisotropy to bring the Lyapunov exponents closerattains its maximum with the two Lyapunov exponents coinciding for the extremeanisotropy when Sω

t is a diagonal matrix with independent equally distributedentries representing independent stretching and contraction along the coordinateaxes (or when it is the 45o rotation of such a matrix).

4.5. Large Deviations for Exponents ρ

The joint PDF of φt and ρt takes the form of the heat kernel

Pt (φ, ρ) = e t Lφρ (0, 0; φ, ρ)

and for large time t should be well approximated by the modified heat kernel

Past (φ, ρ) = e t Las

φρ (0, 0; φ, ρ) .

In the latter, the ρ-contribution may be diagonalized by the Fourier transform sothat we get

Past (φ, ρ) =

∫

Ce−νρ + t (β+γ )ν(ν+1) e t Lν (0, φ)

dν

2π i(37)

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1185

where the integration is over a line Re ν = −1/2 parallel to the imaginary axisand

Lν = 2α[

sin φ ∂φ − ν cos φ]2 + 2γ ∂2

φ

is a second order differential operator acting on periodic functions of period π .For Re ν = −1/2, Lν is self-adjoint with respect to the L2 scalar product with themeasure dφ. As we shall see below, the contour C of integration in Eq. (37) maybe moved to any line parallel to the imaginary axis. Operator Lν may be viewed asa perturbation of the generator Las

φ of Eq. (32) with which it coincides for ν = 0.By a rescaling, a similarity transform and the elliptic change of variables

φ −→ u(φ) =∫ φ

0

[ α + γ

γ + α sin2 ψ

]1/2dψ ,

Lν is put into the form of a one-dimensional Schrodinger operator:

− 1

2(α+γ )e−ν h(φ) Lν eν h(φ) = − d2

du2+ ν(ν + 1) V (φ(u)) (38)

for the function

h(φ) = 1

2ln

[γ + α sin2 φ

]

and the attractive potential depicted on Fig. 2,

V (φ(u)) = γ

α + γ− γ

γ + α sin2 φ= −k2 cn2(u, k) = −k2 + k2 sn2(u, k) ,

where sn(u, k) and cn(u, k) are the Jacobi elliptic function corresponding to

the modulus k =√

αα+γ

. The Schrodinger operator of Eq. (38) acts on periodic

functions of u with the period 2K (k) (that corresponds to the period π in φ).Up to a constant, it is equal to the Lame integrable operator in the Jacobian form,see Refs. 14, 30,

Hν = − d2

du2+ ν(ν + 1) k2 sn2(u, k) .

We thus obtain the relation

Past (φ, ρ) =

∫

Ce−νρ + t (2α+β+γ )ν(ν+1) + ν(h(0)−h(φ)) e−2(α+γ )t Hν (0, u(φ))

du(φ)

dφ

dν

2π i

(39)

Note that by the Feynman-Kac formula, for ν = ν1 + iν2 with ν1,2 real, theabsolute value of the integrand on the right hand side is bounded by

e−ν1ρ + t (β+γ )[ν1(ν1+1)−ν2

2

]+ ν1(h(0)−h(φ)) e

−2(α+γ )t(− d2

du2 +[ν1(ν1+1)−ν22 ]V (φ(u))

)

(0,u(φ))du(φ)

dφ.

1186 Chetrite et al.

Fig. 2. (Color online) V (φ(u)) as a function of u2K (k) for, from middle top to bottom for u = 0,

k2 = αα+γ

= 0.2, 0.6, 0.9 and 0.99999.

For γ > 0, the last expression tends to zero when ν2 → ±∞ (uniformly onbounded intervals of ν1) since β + γ ≥ 0 and V is attractive. It follows thenthat the contour of integration C on the right hand side of Eq. (39) may be, asannounced, moved to any line parallel to the imaginary axis. Let us consider thespectral decomposition

e−2(α+γ )t Hν =∞∑

n=0

e−2(α+γ )t Eν,n |ν,n〉〈ν,n| (40)

with the eigenvalues Eν,n = Eν,n(k2) of Hν ordered in a non-decreasing way forν real. For large t , the dominant contribution comes from the ground state ν,0

of Hν . In particular, for the vanishing coupling constant, 0,0 = (2K (k))−1/2,E0,0 = 0, E0,1 = E0,2 = π2 K (k)−2 and e t H0 (0; u(φ)) converges at long timesto (2K (k))−1 with the exponential rate equal to 2π2(α + γ )K (k)−2. Note thatthis rate goes to zero when γ tends to zero since the half-period K (k) divergesin this limit.

Insertion of the expansion (40) into the expression (39) permits to extract thelarge deviation form of the PDF of ρt from the ground state contribution:∫ π

0Pas

t (φ, ρ) dφ ∝∫

Ce−t [νρ/t − (2α+β+γ )ν(ν+1) + 2(α+γ ) Eν,0(k2)] dν

2π i∝ e−t Hρ (ρ/t)

(41)

with the rate function

Hρ(ρ/t) = maxν

[νρ/t − (2α + β + γ )ν(ν + 1) + 2(α + γ ) Eν,0(k2)

](42)

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1187

defined for ρ/t > 0. We shall denote by νmax the value of ν where the maximumis attained (the maximum over real ν corresponds to a minimum of the real partalong the axis parallel to the imaginary one). Note that only the ground stateenergy of operator Hν contributes to the rate function Hρ . The ground statewave function enters the prefactors in the long time asymptotics of the PDF ofρ. Let us check that when t → ∞ then ρ/t concentrates at the value equalto the difference of the Lyapunov exponents as given by Eq. (36). To this end,we must find the minimum of Hρ(ρ/t). The stationarity condition implies theequations

ν = 0 , ρ/t = (2α + β + γ )(2ν + 1) − 2(α + γ ) ∂ν Eν,0(k2) (43)

and the minimizing value of ρ/t is given by the relation

(ρ/t)min = 2α + β + γ − 2(α + γ ) ∂ν Eν,0(k2)|ν=0 .

The derivative of the ground state energy may be calculated by the first orderperturbation theory:

∂ν Eν,0|ν=0 = 〈0,0|k2 sn2(·, k)|0,0〉 = k2 + 1

2K (k)

∫ 2K (k)

0V (φ(u) du

= 1 − 1 − k2

2K (k)

∫ π

0

[1 − k2 cos2 φ]−3/2 dφ = 1 − E(k)

K (k)

where the last equality follows from the elliptic identity 2.584.37 in Ref. (21).We obtain this way the relation

(ρ/t)min = β − γ + 2(α + γ )E(k)

K (k)

which agrees with Eq. (36) for λ1 − λ2 ≡ λ.

A closed expression for the second derivative of the rate function Hρ maybe obtained by differentiating twice the defining relation (42):

H ′′ρ (ρ/t) = dνmax

d(ρ/t)= 1

2(2α + β + γ − (α + γ ) ∂2

ν Eν,0(k2)|ν=νmax

) (44)

since νmax is related to ρ/t by the second of Eqs. (43) whose differentiation leadsto the last equality. In particular,

H ′′ρ (λ) = dνmax

d(ρ/t)

∣∣∣λ

= 1

2(2α + β + γ − (α + γ ) ∂2

ν Eν,0(k2)|ν=0) (45)

1188 Chetrite et al.

By the second order perturbation expansion,

∂2ν Eν,0|ν=0 = 2∂ν Eν,0|ν=0 − 2

∞∑

n=1

E−10,n |〈0,0|k2 sn2(·, k)|0,n〉|2

= 2 − 2E(k)

K (k)− k4 K (k)2

π2

∞∑

n=1

n−2 fn(k)2 (46)

with the Fourier coefficients fn(k) = ∫ 1−1 cos(πnx) sn2(K (k)x, k) dx . H ′′

ρ (λ) isequal to the inverse variance of the normal random variable obtained by the centrallimit lim

t→∞ (ρt − λ t)/√

t .

Combining Eqs. (42) and (27), one obtains the following form of the largedeviations rate functions for the stretching exponents:

H (ρ1/t, ρ2/t) = ( ρ1

t + ρ2

t + 2α + 3β + γ )2

4(2α + 3β + γ )

+ maxν

[ν( ρ1

t− ρ2

t

) − (2αβ + γ )ν(ν + 1)

+2(α + γ ) Eν,0( α

α+γ

)]. (47)

for ρ1 > ρ2. When α = 0 (the isotropic case) then Eν,0 = 0 and the largedeviation rate function (47) reduces to the one given by the two-dimensionalversion of expression (23).

4.6. Large Deviations for Exponents η

Similarly as in the isotropic case, the PDF of the stretching exponents ηt alongthe unstable flags may be obtained from Eq. (17) by considering the Iwasawadecomposition

W =(

cos φ

2 sin φ

2

− sin φ

2 cos φ

2

) (eη1 0

0 eη2

) (1 x

0 1

). (48)

of the solutions of the linear stochastic Eq. (18) with the initial condition given bya (random) rotation matrix. In the parametrization (48) and upon the substitution12 (η1 + η2) = r , η1 − η2 = η, the generator L of the tangent process takes theform:

L = 1

2(2α + β + γ )

[ 1

2∂2

r + 2 cos2 φ ∂2η + 2 sin2 φ ∂2

φ + 2 sin2 φ e−2η∂2x

− 2 sin(2φ) ∂η∂φ + 2 sin(2φ) e−η∂η∂x − 4 sin2 φ eη∂φ∂x + 2 sin2 φ ∂η

+ sin(2φ) ∂φ − 2 sin(2φ) e−η∂x

] + 1

2(β + γ )

[2 sin2 φ ∂2

η − 2 sin2 φ ∂2φ

+ 2 cos2 φ e−2η∂2x + 2 sin(2φ) ∂η∂φ − 2 sin(2φ) e−η∂η∂x − 4 cos2 φ e−η∂φ∂x

+ 2 cos2 φ ∂η − sin(2φ) ∂φ + 2 sin(2φ) e−η∂x

]

+ 2γ ∂2φ + 1

2β∂2

r − 1

2(2α + 3β + γ )∂r .

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1189

It is self-adjoint in the L2 scalar product with the measure e−2r+ηdφdr dηdx .In the action on functions independent on x , L reduces to the sum Lr + Lφη

with Lr given by Eq. (25) and

Lφη = 2α[

sin φ ∂φ − cos φ ∂η

]2 + 2γ ∂2φ + (β + γ )

[∂2η + ∂η

]. (49)

Note that the operator Lφη has the form identical to the asymptotic form Lasφρ

of Lφρ , see Eq. (31). In principle, it acts now on functions of φ with period 4π

but it preserves the subspace of functions with period π . The evolution of rdecouples from that of φ and η leading to the PDF (27).

As for the joint time t PDF of φ and η, it is related to the heat kernel ofLφη by the equality

Pt (φ, η) =∫ π

0e tLφη (φ0, 0; φ, η) χ (φ0) dφ0 (50)

obtained from Eq. (17). Indeed, it follows from the relation relation (16) that theprobability measure χ (d F) on the flag variety Fl of the 1-dimensional subspacesspanned by vectors (cos φ0

2 ,− sin φ0

2 ) has to be proportional to χ (φ0) dφ0 wherethe function χ (φ) is the stationary density (33) of the angle φ. Since χ (φ) isperiodic with period π (as a consequence of the invariance of the law of thetangent process with respect to the rotations by 90o), so must be Pt ( · , η) andwe could restrict the φ0-integration in Eq. (50) to the interval [0, π [. The rest ofthe analysis of the large deviations of η runs as for the large deviations of ρ. Asthe result, the large deviation rate function for η has the same functional form(47) as that for ρ except of the absence of the restriction η1 > η2. In particular,the rate function Hη of the difference η = η1 − η2 of the stretching exponentscoincides with the function Hρ as defined by Eq. (42) on the whole real line ratherthan on the half line:

Hη(η/t) = maxν

[νη/t − (2α + β + γ )ν(ν + 1) + 2(α + γ ) Eν,0(k2)

]. (51)

Note that Hη(η/t) + η/(2t) is then an even function of η/t . Indeed, the values ofνmax at which the maximum on the right hand side of Eq. (51) is attained for η/tand for −η/t are related by the reflection around ν = −1/2. They are smallerthan −1 for η/t < −λ, lie in between −1 and 0 for −λ < η/t < λ and arepositive for η/t > λ. Fig. 3 presents the graph of the maximizing νmax as afunction of (η/t)τ for κ = 0.8 and ℘ = 0.9. We obtain this way the fluctuationrelation that compares the rate function for opposite values of η/t :

Hη(−η/t) = Hη(η/t) + η/t. (52)

It resembles the Evans-Cohen-Morriss-Gallavotti-Cohen relation (30) but is dif-ferent from it (recall that r and η are independent random variables at all times).

1190 Chetrite et al.

Fig. 3. (Color online) νmax as a function of (η/t)τ for κ = 0.8 and ℘ = 0.9.

Although η/t may take negative values, Eq. (52) implies that the probability ofsuch events is exponentially suppressed for large t when λ1 > λ2.

4.7. Properties of the Rate Function Hη

The large deviations rate function Hη is related to the ground state energy Eν,0(k2)of the Lame operator Hν for k2 ≡ α

α+γby the formula (51). A lot is known about

the eigenvalues and eigenfunctions of Hν . The power series expansions for theeigenfunctions in an appropriate parametrization may be obtained by solving a re-cursion relation(30) or by diagonalizing tridiagonal matrices. (14) For ν a positiveinteger and the lowest 2ν + 1 eigenvalues, the corresponding matrices becomefinite and one obtains as the eigenfunctions the “Lame polynomials”. The Lame op-erator may be diagonalized (for general quasi-momenta) by the Bethe Ansatz (13,20)

that in this case goes back to the work of Hermite (30) in the second half of thenineteenth century. A simple Maple program computes Eν,0(k2). (29) We also useda C program to compute Eν,0 by solving directly the eigenvalue equation. Fig. 4presents the graph of Eν,0(k2) as a function of ν for k2 = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8and 1. For large values of ν, (29)

Eν,0(k2) = |kν| − 1

4(1 + k2) + O(|ν|−1) .

This leads to the following large |ρ|/t behavior of Hη :

Hη(η/t) = − η

2t+

(|η|2t + √

α(α + γ ))2

2α + β + γ− 2α + γ

4+ O(|η|−1) .

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1191

Fig. 4. (Color online) Eν,0(k2) as a function of ν from bottom to top for k2 = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8and 1.

Note that the left and right asymptotes are parabolas (displaced with each otheralong the horizontal axis) and that

H ′′η (±∞) = 1

2(2α + β + γ ),

in agreement with Eq. (44) since ∂2ν Eν,0 tends to zero at large |ν|. Recall that we

have calculated the central-limit inverse variance H ′′η (λ) before, see Eq. (45), so

that around the minimum,

Hη(η/t) = 1

4

( η

t − λ)2

2α + β + γ − (α + γ )∂2ν Eν,0(k2)|ν=0

+ O(| η

t− λ|3)

with ∂2ν Eν,0 given by Eq. (46). The difference between H ′′

η (±∞) and H ′′η (λ)

attests to the non-Gaussian character of the large deviations of η. Fig. 5 presentsthe behavior of 1

τH ′′

η (±∞) and of 1τ

H ′′η (λ) for ℘ = 0, 0.7 and 1 as functions

of the anisotropy degree κ = ατ .The first quantity diminishes with growing κ from the isotropic value 1

2 forκ = 0 to the extremely anisotropic one equal to 1

4 for κ = 1 whereas the secondone increases starting from the same initial value. It is plausible that for ℘ = 1,1τ

H ′′η (λ) diverges in the limit κ → 1. We infer that the undimensionalized central-

limit covariance 1τ

H ′′η (λ) increases with anisotropy and that the probability of

large values of η/t decreases slower than if the rate function Hη were quadraticwith the H ′′

η equal to its central-limit value. Fig. 6 represents the graph Hη

1192 Chetrite et al.

Fig. 5. (Color online) From bottom to top: 1τ

H ′′η (±∞) (the lower curve) and 1

τH ′′

η (λ) for ℘ = 0, 0.7and 1 as functions of the anisotropy degree κ .

together with the large value asymptotes and the quadratic approximation near theminimum for κ = 0.8 and ℘ = 0.9.

4.8. Time Scales of the Large Deviations Regime

It is interesting to look at the time scales at which the large deviation regimefor the difference ρ or η of the stretching exponents sets in. There were three

Fig. 6. (Color online) τ Hη(x/τ ) as a function of x with the large η asymptotes on the left figureand the quadratic approximation around the minimum (the curve tighter for large values) for κ = 0.8and ℘ = 0.9. The vertical lines correspond to η/t = λ.

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1193

Fig. 7. (Color online) The gap in the spectrum of Hν : (a) as a function of ν for, from middle top tobottom at ν = 0, k2 = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1, (b) as a function of k2 = α

α+γfor, from top to

bottom, ν = 4, 3, 2, 2 and 0.

approximations involved in reducing the exact PDFs to their large deviation form.Let us analyze them one by one.

The first approximation consisted in replacing the PDF Pt (φ, ρ) byPas

t (φ, ρ) involving the asymptotic form Lasφρ of the generator Lφρ . The asymp-

totic form should set in exponentially fast in time with the rate given by the differ-ence λ of the Lyapunov exponents. This approximation becomes exact when oneanalyzes the difference η of the stretching exponents along the unstable flags.

The second approximation consisted of considering only the contributions ofthe ground state of Hν to the kernel of the operator e−2(α+γ )tHν in Eq. (39) withthe contour integral along C = Re ν = νmax. The contributions of the excitedstates to that kernel decouple exponentially fast with a rate given by the spectralgap of 2(α + γ )Hνmax for νmax equal to the value of ν that maximizes the righthand side of Eq. (42). We obtain this way a continuum of time scales that dependon ρ/t or on η/t . The plot of the gap Eν,1 − Eν,0 of Hν as a function of ν

for k2 = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1 is given in Fig. 7a. For k2 = 1 the gap isexpected to vanish for −1 ≤ ν ≤ 0 and its small but positive value on the graph isdue to the slowdown in the numerical algorithm. Indeed, as noticed before, the gapof Hν for ν = 0 or ν = −1 is equal to π2 K (k)−2 and tends to zero when k2

tends to 1 (i.e. when γ approaches 0). For ν < −1 or ν > 0, the limiting valueof the gap when k2 tends to 1 should, however, be positive and increasing with|ν + 1/2|. Fig. 7b presents the gap as a function of k2 for ν = 0, 1, 2, 3 and 4.Since the interval |νmax + 1/2| ≤ 1/2 corresponds to ρ/t ≤ λ or to |η/t | ≤ λ,

1194 Chetrite et al.

we infer that the decoupling of the contributions of the excited states of Hν to thePDFs of ρ or η on those intervals takes more and more time when γ → 0.

The third approximation in extracting the large deviation form of Pt (ρ) orQt (η) consisted in replacing the integral in (41) along the contour C = Re ν =νmax by its saddle point value. This induces the correction to Hρ(ρ/t) whoseleading term comes from the one-loop contribution

1

2tln

(2α + β + γ − (α + γ ) ∂2ν Eν,0|ν=νmax

2α + β + γ − (α + γ ) ∂2ν Eν,0|ν=0

)= 1

2tln

(H ′′(λ)/H ′′(ρ/t)

)

and similarly for Hη(η/t). As we noticed at the end of the previous subsection, itis plausible that for ℘ = 1 , H ′′

ρ (λ) = H ′′η (λ) diverges in the limit κ → 1 causing

the divergence of the last correction.

4.9. The Case with Equal Lyapunov Exponents

At the end, let us consider the special case of the potential flow with maximalanisotropy when ℘ = 1 and κ = 1, i.e. when β = γ = 0. In this case the strainmatrix (Sω

t )ik is diagonal with (Sω

t )12 = (Sω

t )21 = 0 and

⟨(Sω

t

)1

1

(Sω

t ′)1

1

⟩ = 2α δ(t − t ′) = ⟨(Sω

t

)2

2

(Sω

t ′)2

2

⟩,

⟨(Sω

t

)1

1

(Sω

t ′)2

2

⟩ = 0 .

The solution of the multiplicative Ito stochastic equation with initial conditionW0 = Id takes the form

Wt = diag[

e∫ t

0 (Sωs )1

1 ds − α t , e∫ t

0 (Sωs )2

2 ds −α t]

and the stretching exponents ρ t are given by the formula

ρ1t = max(e∫ t

0 Sω(s)11 ds −α t , e

∫ t0 Sω(s)2

2 ds − α t)

ρ2t = min(e∫ t

0 Sω(s)11 ds − α t , e

∫ t0 Sω(s)2

2 ds − α t).

This results in the joint time t PDF

Pt (ρ1, ρ2) = 1

2πα te− t

4α ( ρ1t +α)2

e− t4α ( ρ2

t +α)2

θ (ρ1 − ρ2)

or, in terms of r ≡ 12 (ρ1 + ρ2) and ρ ≡ ρ1 − ρ2 ,

Pt (ρ1, ρ2) = 1

2πα te− t

2α ( rt +α)2

e− t8α ( ρ

t )2

θ (ρ).

Similarly the stretching exponents ηt along the flags F = O F0, are givenby the Iwasawa decomposition (48) of the matrices W = Wt O with the flagsF = O F0 distributed with respect to the measure χ (d F) on the flag variety Fl

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1195

that is invariant under the process Wt , see Eq. (16). Any such measure has to beconcentrated on the two flags given by the coordinate axis. On obtains then theformula

η1t = e∫ t

0 Sω(s)11 ds − α t , η2t = e

∫ t0 Sω(s)2

2 ds − α t

if O F0 is given by the first coordinate axis or the one with interchanged ηi t ifO F0 is given by the second coordinate axis. In any case, the joint t PDF of thestretching exponents η takes the form

Pt (η1, η2) = 1

4πα te− t

4α ( η1t +α)2

e− t4α ( η2

t +α)2

or, in terms of r ≡ 12 (η1 + η2) and η ≡ η1 − η2 ,

Pt (η1, η2) = 1

4πα te− t

2α ( rt +α)2

e− t8α ( η

t )2

.

The PDF of rt agrees with that of Eq. (27), i.e. rt/t is the normal variablewith mean −α equal to the half of the sum of the Lyapunov exponents and withvariance α/t . As for ρt/t , it is distributed as an absolute value of the centerednormal variable with variance 4α/t . In particular, the difference of the Lyapunovexponents vanishes and the large deviation rate function for ρt is quadratic:

Hρ(ρ/t) = 1

8α

(ρ

t

)2. (53)

Similarly, η/t is a normal variable with mean zero and variance 4α/t and

Hη(η/t) = 1

8α

(η

t

)2. (54)

The values of the Lyapunov exponents agree with those given by the limitingvalues of Eqs. (28) and (36). Recall however, that the non-Gaussianity of the largedeviations, as measured by the difference 1

τ[H ′′

η (λ) − H ′′η (±∞)], was increasing

with the growth of the anisotropy degree κ , see Fig. 5. For ℘ = 1, in particular,1τ

H ′′η (λ) was growing with κ whereas 1

τH ′′

η (±∞) = 12(κ+1) decreased to the

value 14 for κ = 1. This seems in contradiction with the results (53) and (54)

with the quadratic large deviations rate functions for ℘ = 1 and κ = 1 withH ′′

ρ (ρ/t) = H ′′η (η/t) = τ

4 everywhere and not only at infinity. The solution of thepuzzle lies in the non-uniformity of the large deviation regime when β, γ → 0 andthe two Lyapunov exponents tend to each other. As we have noticed in the previoussubsection, the time scales at which the large deviation regime sets in diverge whenγ → 0 (and, consequently, β → 0 and λ → 0). That could explain why the limitof H ′′

ρ (λ) = H ′′η (λ) when γ → 0 is not equal to the value of H ′′

ρ (0) = H ′′η (0) for

γ = 0.

1196 Chetrite et al.

Fig. 8. (Color online) Illustration of conjectured point-wise convergence of τ Hη(x/τ ) to x2/8(diamonds) for x > 0 and to x2/8 − x (crosses) for x < 0. The dotted line corresponds to β = 0 andγ = α, the solid one to β = 0 and γ = 0.01α.

Numerical calculations, see Fig. 8, seem to indicate, however, that Hρ stillconverges point-wise to its form for γ = 0 when γ → 0. Such point-wise con-vergence when γ → 0 cannot take place for the large deviations rate functionHη. Indeed, recall that that for γ > 0 it is Hη(η/t) + η/(2t) that is an evenfunction of η/t whereas for γ = 0, the rate function Hη(η/t) is even itself. Thepoint-wise convergence of Hη that is a function on the whole real line cannot thenhold. Instead, for negative η/t , the rate function Hη(η/t) should converge whenγ → 0 to Hη(η/t) − η/t . Let us note that the evenness of Hη(η/t) + η/(2t) forγ > 0 is a consequence of the relations

Pt (φ, η) ≡ e tLφη (0, 0; η, φ) = eη e tLφη (φ, η; 0, 0) = eη e tLφη (φ, 0; 0,−η) .

(55)

The first one follows from the self-adjointness of the operator Lφη with respect tothe measure eη dφdη on the product of the circle by the real line and the secondone from the commutation of Lφη with the translations of η. Recall that the PDFof η is given by the integral

∫ π

0e tLφη (φ, η) dφ

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1197

into which the initial and the final angles do not enter in a symmetric way so thatthe equalities (55) do not imply that

∫ π

0e tLφρ (0, 0; φ, ρ) dφ = eη

∫ π

0e tLφη (0, 0; φ,−η) dφ .

Nevertheless, for γ > 0 the last equality holds if the full PDF of η are replacedby its large deviation approximation, the angular asymmetry showing up only inthe prefactors related to the ground state eigenfunctions of Hν . On the other hand,for γ = 0 the angular asymmetry does not decouple from the large deviation formof the PDF of η and conspires to render the latter even. The lack of point-wiseconvergence of Hη to its form for γ = 0 is a reflection of the singular behaviorof the eigenfunctions of Hν when γ → 0.

To summarize, although the distribution of the stretching exponents η stillexhibits large deviation regime when γ = 0, the corresponding rate function isnot equal to the limit of the rate functions for γ > 0 signaling that when twoLyapunov exponents coincide, the occurrence of the multiplicative large deviationregime becomes problematic.

5. CONCLUSIONS

We have examined in detail the tangent process W ωt describing the evo-

lution of infinitesimal separations between Lagrangian trajectories in the two-dimensional Kraichnan flow in a periodic square. The process W ω

t is driven bythe time decorrelated strain whose distribution is, in general, anisotropic, possess-ing only the symmetry with respect of the 90o rotations and axes reflections. Ourinterest was concentrated on the large deviation regime of the stretching exponentsρi or ηi that appear in the matrix decompositions W = O ′ diag[eρ1 , eρ2 ] O orW = O ′ diag[eη1 , eη2 ] N with orthogonal matrices O, O ′ and upper-triangularN . The anisotropy couples the dynamics of the stretching exponents to the evo-lution of the matrices O ′, in contrast to the situation in the isotropic case wherethe stochastic dynamics of the stretching exponents is decoupled from that of thematrices O ′ and O or O ′ and N . The stochastic evolution of the matrices O ′

becomes, however, independent, at least at long times, from that of the stretchingexponents, attaining exponentially fast a stationary state. The latter feeds to theevolution of the stretching exponents in a steady fashion permitting them still toattain the large deviation regime. The large deviation rate function for the stretch-ing exponents may be expressed in terms of the ground state energy of an operatoron the group of orthogonal matrices parametrized by the variables conjugate tothe stretching exponents. The contribution of the excited states to the PDF of thestretching exponents decouples exponentially fast with the rate equal to the gap ofthe angular operator. This scenario for the multiplicative large deviations seemsquite general whenever the Lyapunov exponents are all different, at least in the

1198 Chetrite et al.

homogeneous Kraichnan model. When some of the Lyapunov exponents becomeclose, some of the time scales for the appearance of the large deviation regimeas well as the prefactors multiplying the exponential large deviation PDF maydiverge.

What is special about the flow on the periodic square is that the operator onthe orthogonal group in question takes form of the integrable periodic Schrodingeroperator of the Lame type facilitating the calculations. This simplification due tothe hidden integrable structure allowed to obtain closed formulae for the Lyapunovexponents in terms of elliptic integrals and to analyze the large deviation rate func-tion with precision. The results of the analysis show that the anisotropy effectslower the top Lyapunov exponent and increase the lower one (relative to an overallinverse time scale), with the sum of the two fixed by the compressibility degreeof the flow. The sum of the two stretching exponents is normally distributedwith the covariance again fixed by the compressibility degree. The difference ofthe stretching exponents, however, exhibits in the presence of anisotropy non-Gaussian large deviations. Its central limit covariance grows with anisotropy butthe quadratic large-value asymptotes of the rate function have the top coefficientsthat decrease with increasing anisotropy. This non-Gaussian scenario for the mul-tiplicative large deviations applies, however, only when the Lyapunov exponentsare different. At the extreme anisotropy, when the strain matrix is diagonal withindependent equally distributed entries, the two Lyapunov exponents coincideand the large deviations for the stretching exponents are Gaussian. We have an-alyzed in more detail this discontinuous restoration of the Gaussianity of largedeviations.

For the Kraichnan flow in a periodic rectangle, the multiplicative large devia-tions may be analyzed similarly. The results will be published elsewhere. It remainsan open question whether the Kraichnan flow in a three-dimensional periodic boxpossesses a hidden integrable structure that would permit to extend the analysis ofthe present paper to that case.

ACKNOWLEDGMENTS

The work of R.C. on the present project was started during his stay as trainee atthe Department of Physics of Complex Systems at Weizmann Institute in Rehovot.The research of K.G. was partially done in framework of the European contractsStirring and Mixing/HPRN-CT-2002-00300 and Euclid/HPRN-CT-2002-00325.R.C. and K.G. thank Grisha Falkovich and Sasha Fouxon for discussions thatinitiated this work. K.G. acknowledges discussions with Giovanni Gallavotti andhelpful comments about Lame operator from Giovanni Felder, Edwin Langmannand, especially those from Hans Volkmer who made available to us his notes anda relevant Maple program.

Kraichnan Flow in a Square: An Example of Integrable Chaos 1199

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4.7 Article 5 [16] : Toward a phenomenological approach to theclustering of heavy particles in turbulent ows

212

T h e o p e n – a c c e s s j o u r n a l f o r p h y s i c s

New Journal of Physics

Toward a phenomenological approach to theclustering of heavy particles in turbulent flows

Jeremie Bec1,3 and Raphael Chetrite2

1 Laboratoire Cassiopee, CNRS, OCA; BP4229, 06304 Nice Cedex4, France2 Laboratoire de Physique, ENS Lyon, 46 Allee d’Italie, 69007 Lyon, FranceE-mail: jeremie.bec@obs-nice.fr

New Journal of Physics 9 (2007) 77Received 17 January 2007Published 30 March 2007Online at http://www.njp.org/doi:10.1088/1367-2630/9/3/077

Abstract. A simple model accounting for the ejection of heavy particles from thevortical structures of a turbulent flow is introduced. This model involves a spaceand time discretization of the dynamics and depends on only two parameters:the fraction of space-time occupied by rotating structures of the carrier flowand the rate at which particles are ejected from them. The latter can be heuristicallyrelated to the response time of the particles and hence is a measure of theirinertia. It is shown that such a model reproduces qualitatively most aspects of thespatial distribution of heavy particles transported by realistic flows. In particularthe probability density function of the mass m in a cell displays a power-lawbehaviour at small values and decreases faster than exponentially at large values.The dependence of the exponent of the first tail upon the parameters of thedynamics is explicitly derived for the model. The right tail is shown to decreaseas exp(−C m log m). Finally, the distribution of mass averaged over several cellsis shown to obey rescaling properties as a function of the coarse-grain size andof the ejection rate of the particles. Contrary to what has been observed in directnumerical simulations of turbulent flows (Bec J et al 2007 Phys. Rev. Lett. 98084502), such rescaling properties are only due in the model to the mass dynamicsof the particles and do not involve any scaling properties in the spatial structureof the carrier flow.

3 Author to whom any correspondence should be addressed.

New Journal of Physics 9 (2007) 77 PII: S1367-2630(07)41700-11367-2630/07/010077+16$30.00 © IOP Publishing Ltd and Deutsche Physikalische Gesellschaft

2 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

Contents

1. Introduction 22. Ejection of heavy particles from eddies 43. A simple mass transport model 54. Distribution of mass 85. Coarse-grained mass distribution 126. Conclusions 15Acknowledgment 15References 15

1. Introduction

Understanding the dynamics of small-size tracer particles or of a passive field transported by anincompressible turbulent flow plays an important role in the description of several natural andindustrial phenomena. For instance it is well known that turbulence has the property to induce anefficient mixing over the whole range of length and time scales spanned by the turbulent cascadeof kinetic energy (see e.g. [1]). Describing quantitatively such a mixing has consequences inthe design of engines, in the prediction of pollutant dispersion or in the development of climatemodels accounting for transport of salinity and temperature by large-scale ocean streams.

However, in some settings, the suspended particles have a finite size and a mass densityvery different from that of the fluid. Thus they can hardly be modelled by tracers because theyhave inertia. In order to fully describe the dynamics of such inertial particles, one has to considermany forces that are exerted by the fluid even in the simple approximation where the particleis a hard sphere much smaller than the smallest active scale of the fluid flow [2]. Neverthelessthe dynamics drastically simplifies in the asymptotics of particles much heavier than the carrierfluid. In that case, and when buoyancy is neglected, they interact with the flow only through aviscous drag, so that their trajectories are solutions to the Newton equation

d2X

dt2= −1

τ

[dX

dt− u(X, t)

], (1)

where u denotes the underlying fluid velocity field and τ is the response time of the particles.Even if the carrier fluid is incompressible, the dynamics of such heavy particles lags behindthat of the fluid and is not volume-preserving. At large times particles concentrate on singularsets evolving with the fluid motion, leading to the appearance of strong spatial inhomogeneitiesdubbed preferential concentrations. At the experimental level such inhomogeneities have beenknown for a long time (see [3] for a review). At present the statistical description of particleconcentration is a largely open question with many applications. We mention the formation ofrain droplets in warm clouds [4], the coexistence of plankton species [5], the dispersion in theatmosphere of spores, dust, pollen, and chemicals [6], and the formation of planets by accretionof dust in gaseous circumstellar disks [7].

The dynamics of inertial particles in turbulent flows involves a competition between twoeffects: on the one hand particles have a dissipative dynamics, leading to the convergence of their

New Journal of Physics 9 (2007) 77 (http://www.njp.org/)

3 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

trajectories onto a dynamical attractor [8], and on the other hand, the particles are ejected fromthe coherent vortical structures of the flow by centrifugal inertial forces [9]. The simultaneouspresence of these two mechanisms has so far led to the failure of all attempts made to obtainanalytically the dynamical properties or the mass distribution of inertial particles. In order tocircumvent such difficulties a simple idea is to tackle independently the two aspects by studyingtoy models, either for the fluid velocity field, or for the particle dynamics that are hopefullyrelevant in some asymptotics (small or large response times, large observation scales, etc).Recently an important effort has been made in the understanding of the dynamics of particlessuspended in flows that are δ-correlated in time, as in the case of the well-known Kraichnanmodel for passive tracers [10]. Such settings, which describe well the limit of large responsetime of the particles, allows one to obtain closed equations for density correlations by Markovtechniques. The δ-correlation in time, of course, rules out the presence of any persistent structurein the flow; hence any observed concentrations can only stem from the dissipative dynamics.Most studies in such simplified flows dealt with the study of the separation between two particles[11]–[15].

Recent numerical studies in fully developed turbulent flows [16] showed that the spatialdistribution of particles at length scales within the inertial range is strongly influenced by thepresence of voids at all active scales spanned by the turbulent cascade of kinetic energy. Thepresence of these voids has a noticeable statistical signature on the probability density function(PDF) of the coarse-grained mass of particles which displays an algebraic tail at small values.These numerical investigations confirmed a prediction made in [17] regarding the presence ofsuch a power-law behaviour at small masses, which was based on studying the growth rateof mass moments in the limit of small particle response times. To understand at least from aqualitative and phenomenological viewpoint how voids form and how they affect the statistics ofthe mass distribution, it is clearly important to consider flows with persistent vortical structureswhich are ejecting heavy particles. For this purpose, we introduce in this paper a toy modelwhere the vorticity field of the carrier flow is assumed piecewise constant in both time and spaceand takes either a finite fixed value ω or vanishes. In addition to this crude simplification of thespatial structure of the fluid velocity field we assume that the particle mass dynamics obeys thefollowing rule: during each time step there is a mass transfer between the cells having vorticityω toward the neighbouring cells where the vorticity vanishes. The amount of mass escaping toneighbours is at most a fixed fraction γ of the mass initially contained in the ejecting cell. Weshow that such a simplified dynamics reproduces many aspects of the mass distribution of heavyparticles in incompressible flow. In particular, we show that the PDF of the mass of inertialparticles has an algebraic tail at small values and decreases as exp(−A m log m) when m is large.Analytical predictions are confirmed by numerical experiments in one and two dimensions.

In section 2, we give some heuristic motivations for considering such a model and aqualitative relation between the ejection rate γ and the response time τ of the heavy particles.Section 3 consists of a precise definition of the model in one dimension and in its extension tohigher dimensions. Section 4 is devoted to the study in the statistical steady state of the PDF ofthe mass in a single cell. In section 5, we study the mass distribution averaged over several cellsto gain some insight on the scaling properties in the mass distribution induced by the model.Section 6 encompasses concluding remarks and discussions on the extensions and improvementsof the model that are required to get a more quantitative insight on the preferential concentrationof heavy particles in turbulent flows.

New Journal of Physics 9 (2007) 77 (http://www.njp.org/)

4 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

2. Ejection of heavy particles from eddies

The goal of this section is to give some phenomenological arguments explaining why the modelwhich is briefly described above, might be of relevance to the dynamics of heavy particlessuspended in incompressible flows. In particular we explain why a fraction of the mass ofparticles exits a rotating region and give a qualitative relation between the ejection rate γ andthe response time τ entering the dynamics of heavy particles. For this we focus on the two-dimensional case and consider a cell of size where the fluid vorticity ω is constant and the fluidvelocity vanishes at the centre of the cell. This amounts to considering that the fluid velocity islinear in the cell with a profile given to leading order by the strain matrix. Having a constantvorticity in a two-dimensional incompressible flow means that we focus on cases where the twoeigenvalues of the strain matrix are purely imaginary complex conjugate. The particle dynamicsreduces to the second-order two-dimensional linear system

d2X

dt2= −1

τ

dX

dt+

ω

τ

[0 1

−1 0

]X. (2)

It is easily checked that the four eigenvalues of the evolution matrix are the following complexconjugate

λ±,± = −1 ± √1 ± 4iτω

2τ. (3)

Only λ+,− and λ+,+ have a positive real part which is equal to

µ = −1 + (1/2)√

2√

1 + 16τ2ω2 + 2

2τ. (4)

This means that the distance of the particles to the center of the cell increases exponentially fastin time with a rate µ. If we now consider that the particles are initially uniformly distributedinside the cell, we obtain that the mass of particles remaining in it decreases exponentially fastin time with a rate equal to −2µ. Namely the mass of particles which are still in the cell at timeT is

m(T ) = m(0)(1 − γ) = m(0) exp

[−T

τ

(−1 +

1

2

√2√

1 + 16τ2ω2 + 2

)]. (5)

The rate γ at which particles are expelled from the cell depends upon the response time τ ofthe particles and upon two characteristic times associated to the fluid velocity. The first is thetime length T of the ejection process which is given by the typical life time of the structure withvorticity ω. The second time scale is the turnover ω−1 which measures the strength of the eddy.There are hence two dimensionless parameters entering the ejection rate γ: the Stokes numberSt = τω giving a measure of inertia and the Kubo number Ku = Tω which is the ratio betweenthe correlation time of structures and their eddy turnover time. We hence obtain the followingestimate of the ejection rate

γ = 1 − exp

[−Ku

St

(−1 +

1

2

√2√

1 + 16St2 + 2

)]. (6)

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5 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

0 1 2 3 4 5 60.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Stokes number St = τ ω

Eje

ctio

n ra

te γ

St = 1.03

Ku = 3Ku = 1Ku = 1/3

Figure 1. Fraction of the mass of particles that are uniformly distributed andejected from an eddy of arbitrary size as a function of the Stokes numberSt = τω. The various curves refer to different values of the Kubo number Ku

as labelled.

The graph of the fraction of particles ejected from the cell as a function of the Stokes numberis given in figure 1 for three different values of the Kubo number. The function goes to zero asKu St in the limit St → 0 and as Ku St−1/2 in the limit St → ∞. It reaches a maximum whichis an indication of a maximal segregation of the particles, for St ≈ 1.03 independently of thevalue of Ku.

In three dimensions, one can extend the previous approach to obtain an ejection rate forcells with a uniform rotation, i.e. a constant vorticity ω. There are however two main difficulties.The first is that in three dimensions the eigenvalues of the strain matrix in rotating regions areno longer purely imaginary but have a real part given by the opposite of the rate in the stretchingdirection. Such a vortex stretching has to be considered to match observation in real flows. Thesecond difficulty stems from the fact that the vorticity is now a vector and has a direction, sothat ejection from the cell can be done only in the directions perpendicular to the direction of ω.These two difficulties imply that the spectrum of possible ejection rates is much broader than inthe two-dimensional case. However the rough qualitative picture is not changed.

3. A simple mass transport model

We here describe with details the model in one dimension and mention at the end of the sectionhow to generalize it to two and higher dimensions. Let us consider a discrete partition of an intervalin N small cells. Each of these cell is associated to a mass which is a continuous variable. Wedenote by mj(n) the mass in the jth cell at time t = n. At each integer time we choose randomlyN independent variables; j = 1 with probability p and j = 0 with probability 1 − p. The

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6 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

j

j j + 1− 1j0

1

Ω

µ

Figure 2. Sketch of the dynamics in the one-dimensional case: the fluxes of massare represented as arrows. A cross means no flux.

evolution of mass between times n and n + 1 is given by:

mj(n + 1) =

mj(n) − γ

2[2 − j−1 − j+1] mj(n) if j = 1 ,

mj(n) +γ

2[j−1 mj−1(n) + j+1 mj+1(n)] if j = 0 .

(7)

In other terms, when j = 1, the jth cell loses mass if j−1 = 0 or j+1 = 0, and when j = 0,it gains mass if j−1 = 1 or j+1 = 1. The flux of mass between the jth and the (j + 1)th cell isproportional j − j+1 (see figure 2). In particular, if j = j+1, no mass is transferred betweencells. When the system is supplemented by periodic boundary conditions between the cells N

and 1, it is clear that the total mass is conserved. Hereafter we assume that the mass is initiallymj = 1 in all cells, so that the total mass is

∑j mj = N. Spatial homogeneity of the random

process j implies that 〈mj〉 = 1 for all later times, where the angular brackets denote averagewith respect to the realizations of the j’s.

A noticeable advantage of such a model for mass transportation is that the mass fieldm = (m1, . . . , mN) defines a Markov process. Its probability distribution pN(m, n + 1) at timen + 1, which is the joint PDF of the masses in all cells, is related to that at time n by a Markovequation, which under its general form can be written as

pN(m, n + 1) =∫

dNm′pN(m′, n)P[m′ → m]

=∫

dNm′pN(m′, n)

∫dN p()P[m′ → m|], (8)

where P[m′ → m|] denotes the transition probability from the field m′ to the field m

conditioned on the realization of = (1, . . . , N). In our case it takes the form

P[m′ → m|] =N∏

j=1

δ[mj − (m′j + µj−1(n) − µj(n))]. (9)

The variable µj denotes here the flux of mass between the jth and the (j + 1)th cell. It is afunction of j, j+1, and of the mass contained in the two cells. It can be written as

µj(n) = γ

2

[j(n)(1 − j+1(n))m′

j(n) − j+1(n)(1 − j(n))m′j+1(n)

]. (10)

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7 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

Figure 3. Left panel: sketch of the ejection model in two dimensions; the rotatingcells are designated by small eddies; the flux of mass (blue arrows) is from therotating cells to those without any eddy. Right panel: snapshot of the distributionof mass in the statistically steady regime for a domain of 502 cells with p = 0.75;white squares are almost empty cells and the darker regions correspond to cellswhere the mass is concentrated.

In the particular case we are considering, the joint probability of the j’s factorizes and we have

p(j) = pδ(j − 1) + (1 − p)δ(j), (11)

so that the Markov equation (8) can be written in a rather explicit and simple manner.The extension of the model to two dimensions is straightforward. The mass transfer out from

a rotating cell can occur to one, two, three or four of its direct nearest neighbours (see figure 3left panel). One can similarly derive a Markov equation which is similar to (8) for the joint PDFpN,N(M, n) at time n of the mass configuration M = mi,j1i,jN . The transition probabilityreads in that case

P[M′ → M|] =N∏

i=1

N∏j=1

δ[mi,j − (m′i,j + µ

(1)i−1,j − µ

(1)i,j ) + µ

(2)i,j−1 − µ

(2)i,j )]. (12)

where the fluxes now take the form

µ(1)i,j = γ

4

[i,j(1 − i+1,j)m

′i,j − i+1,j(1 − i,j)m

′i+1,j

], (13)

and µ(2)i,j defined by inverting i and j in the definition of µ

(1)i,j .

After a large number of time steps, a statistically steady state is reached. The stationarydistribution is obtained assuming that pN,N(M, n) = pN,N(M) is independent of n in the Markovequation (8). In this stationary state the mass fluctuates around its mean value one correspondingto a uniform distribution; strong deviations at small masses can be qualitatively observed (seefigure 3 right panel).

The model can be easily generalized to arbitrary space dimensions. However, as we have seenin previous section, besides its interest from a purely theoretical point of view, the straightforwardextension to the three-dimensional case might not be relevant to describe concentrations of inertialparticles in turbulent flows.

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8 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

Table 1. Enumeration of all possible configurations of the spin vorticity inthree neighbouring cells, together with their probabilities and the associatedmass fluxes.

j−1 j j+1 Probability µj−1 µj

0 0 0 (1 − p)3 0 00 0 1 p(1 − p)2 0 −γm′

j+1/20 1 0 p(1 − p)2 −γm′

j/2 γm′j/2

0 1 1 p2 (1 − p) −γm′j/2 0

1 0 0 p(1 − p)2 γm′j−1/2 0

1 0 1 p2 (1 − p) γm′j−1/2 −γm′

j+1/21 1 0 p2 (1 − p) 0 γm′

j/21 1 1 p3 0 0

4. Distribution of mass

Let us consider first the one-dimensional case in the statistically stationary regime. Afterintegrating (8), one can express the single-point mass PDF p1 in terms of the three-point massdistribution p3 at time n

p1(mj) =∫

dm′j−1dm′

jdm′j+1p3(m

′j−1, m

′j, m

′j+1)

∫dj−1djdj+1 × p(j−1)p(j)p(j+1)

× δ[mj − (m′j + µj−1 − µj)]. (14)

We then explicit all possible fluxes, together with their probabilities, by considering all possibleconfigurations of the spin vorticity triplet (j−1, j, j+1). The results are summarized in table 1.This leads to rewriting the one-point PDF as

p1(m) = [p3 + (1 − p)3]p1(m) +2p2(1 − p)

1 − γ/2p1

(m

1 − γ/2

)+

p(1 − p)2

1 − γp1

(m

1 − γ

)

+2p(1 − p)2

∫ 2m/γ

0dm′ p2

(m′, m − γ

2m′

)

+p2(1 − p)

∫ 2m/γ

0dm′

∫ 2m/γ−m′

0dm′′p3

(m′, m − γ

2(m′ + m′′), m′′

). (15)

The first term on the right-hand side comes from realizations with no flux. The second term isejection to one neighbour and the third to two neighbouring cells. The fourth term involving anaverage over the two-cell distribution is related to events when mass is transferred from a singleneighbour to the considered cell. Finally, the last term accounts for transfers from the two directneighbours. Note that, in order to write (15), we made use of the fact that p2(x, y) = p2(y, x).

Numerical simulations of this one-dimensional mass transport model are useful to grabqualitative information on p1. Figure 4 represents the functional form of p1 in the stationaryregime for various values of the ejection rate γ and for p = 1/2. The curves are surprisinglysimilar to measurements of the spatial distribution of heavy particles suspended in homogeneousisotropic turbulent flows [3, 16]. This gives strong evidence that, on a qualitative level, themodel we consider reproduces rather well the main mechanisms of preferential concentration.More specifically, a first observation is that in both settings the PDFs display an algebraic

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9 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

106

104

102

100

1010

108

106

104

102

100

102

m

p 1(m)

γ = 0.1γ = 0.2γ = 0.3γ = 0.4γ = 0.5γ = 0.6γ = 0.7γ = 0.8γ = 0.9

Figure 4. Log–log plot of the one-point PDF of the mass in one dimension forp = 1/2 and different values of the parameter γ as labelled. The integration wasdone on a domain of 216 = 65 536 cells and time average we performed during106 time steps after a statistical steady state is reached.

behaviour for small masses. This implies that the ejection from cells with vorticity one has astrong statistical signature. A second observation is that at large masses, the PDF decays fasterthan exponentially, as also observed in realistic flows. As we will now see these two tails can beunderstood analytically for the model under consideration.

We here first present an argument explaining why an algebraic tail is present at small masses.For this we exhibit a lower bound of the probability P < (m) that the mass in the given cell is lessthan m. Namely, we have

P < (m) = Prob(mj(n) < m) Prob(A), (16)

where A is a set of space-time realizations of such that the mass in the jth cell at time n issmaller than m. For instance we can choose the set of realizations which are ejecting mass inthe most efficient way: during a time N before n, the jth cell has spin vorticity one and its twoneighbours have zero. The mass at time n is related to the mass at time n − N by

mj(n) = (1 − γ)Nmj(n − N), that is N = log [mj(n − N)/mj(n)]

log(1 − γ). (17)

The probability of such a realization is clearly pN (1 − p)2N . Replacing N by the expressionobtained in (17), we see that

Prob(A) =[

mj(n)

mj(n − N)

]β

with β = log[p(1 − p)2]

log(1 − γ). (18)

New Journal of Physics 9 (2007) 77 (http://www.njp.org/)

10 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−2

0

2

4

6

8

10

Ejection rate γ

Exp

onen

t α

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

0

1

γ

α num

−α th

eor

p = 0.1p = 0.5p = 0.9α = −1

Figure 5. Scaling exponent α as a function of the ejection rate γ for three differentvalues of p as labelled. The solid lines represents the prediction given by (21); theerror bars are estimated from the maximal deviation of the logarithmic derivativefrom the estimated value. Inset: difference between the numerical estimation andthe value predicted by theory.

After averaging with respect to the initial mass mj(n − N), one finally obtains

P < (m) Amβ. (19)

Hence the cumulative probability of mass cannot have a tail faster than a power law at smallarguments. It is thus reasonable to make the ansatz that p1(m) have an algebraic tail at m → 0, i.e.that p1(m) Cmα. To obtain how the exponent α behaves as a function of the parameters γ andp, this ansatz is injected in the stationary version of the Markov equation (15). One expects thatthe small-mass behaviour involves only the terms due to ejection from a cell, namely the three firstterms in the rhs of (15), and that the terms involving averages of the two-point and three-pointPDFs give only sub-dominant contributions. This leads to

Cmα ≈ C[p3 + (1 − p)3

]mα + C

2p2(1 − p)

1 − γ/2

[m

1 − γ/2

]α

+ Cp(1 − p)2

1 − γ

[m

1 − γ

]α

. (20)

Equating the various constants we finally obtain that the exponent α satisfies

2p

(1 − γ/2)α+1+

(1 − p)

(1 − γ)α+1= 3. (21)

Note that the actual exponent α given by this relation is different from the lower-bound β + 1obtained above in (18) and (19). However it is easily checked that α approaches the lower boundwhen p → 0. As seen from figure 5, formula (21) is in good agreement with numerics. Notethat the large error bars obtained for p small and γ large are due to the presence of logarithmicoscillations in the left tail of the PDF of mass. This log periodicity is slightly visible for γ = 0.9in figure 5. It occurs when the spreading of the distribution close to the mean value m = 1 is

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11 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

much smaller than the rate at which mass is ejected. This results in the presence of bumps in thePDF at values of m which are powers of 1 − 2γ . Notice that for all values of p, one has α 0when γ 2/3. However, according to the estimate (6), values of the ejection rate larger than2/3 can be attained only for large enough Kubo numbers. This is consistent with the fact thatpower-law tails with a negative exponent were not observed in the direct numerical simulationsof turbulent fluid flows [16] where Ku ≈ 1.

It is much less easy to get from numerics the behaviour of the right tail of the mass PDFp1(m). As seen from figure 4, there was no events recorded where the mass is larger than roughlyten times its average. We however present now an argument suggesting that the tail is faster thanexponential, and more particularly that log p1(m) ∝ −m log m when m1. We first observethat in order to have a large mass in a given cell, one needs to transfer to it the mass comingform a large number M of neighbouring cells. Estimating the probability of having a large massis equivalent to understand the probability of such a transfer. For moving mass from the jth cellto the (j − 1)th cell, the best configuration is clearly (j−1, j, j+1) = (0, 1, 1). After N timesteps with this configuration, the fraction of mass transfered is 1 − (1 − γ/2)N . This process isthen repeated for moving mass to the second neighbour, and so on. After order M iterations, themass in the Mth neighbour is

m = 1 − [1 − (1 − γ/2)N

]M

(1 − γ/2)N(22)

This means that

M = M(m, N) = log[1 − m(1 − γ/2)N

]log

[1 − (1 − γ/2)N

] (23)

with the condition that N > −(log m)/[ log(1 − γ/2)]. The probability of this whole process ofmass transfer is

P = [p2(1 − p)

]N M = exp[log(p2(1 − p))N M(m, N)

]. (24)

All the processes of this type will contribute terms in the right tail of the mass PDF. The dominantbehaviour is given by choosing N = N such that N M(m, N) is minimal. Such a minimumcannot be written explicitly. One however notices that, on the one hand, if N is much larger thanits lower bound (i.e. N − (log m)/[ log(1 − γ/2)]), then NM(m, N) − m(log m)/[ log(1 −γ/2)]. On the other hand when N is chosen of the order of log m, then NM(m, N) ∝ m log m.This suggests that the minimum is attained for N ∝ log m. Finally, such estimates lead to theprediction that the right tail of the mass PDF behaves as

p1(m) ∝ exp[−C m log m

], (25)

where C is a positive constant that depends upon the parameters p and γ . As seen in figure 6,such a behaviour is confirmed by numerical experiments.

The estimations of the left and right tails of the distribution of mass in a given cell can beextended to the two-dimensional case. The results do not qualitatively change. The exponent α

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12 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

1 5 10 15 20 2510

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

m log m

p 1(m)

0.0 0.5 1.00

2

4

6

8

10

12

γ

C

Figure 6. Lin-log plot of the one-point PDF of the mass m in one dimensionrepresented as a function of m log m for p = 1/2 and various values of theparameter γ as labelled; the different colours and symbols are the same as thoseused in figure 4. Inset: behaviour of the constant C appearing in (25) as a functionof the ejection rate γ for three different values of the fraction of space p occupiedby eddies (blue crosses: p = 0.1, black times: p = 0.5, red circles: p = 0.9).

of the algebraic behaviour at small masses is given as a solution of

4p3

(1 − γ/4)α+1+

6p2(1 − p)

(1 − γ/2)α+1+

4p(1 − p)2

(1 − 3γ/4)α+1+

(1 − p)3

(1 − γ)α+1= 5(1 − p + p2). (26)

By arguments which are similar to the one-dimensional case and which are not detailed here,one obtains also that log p1(m) ∝ −m log m. Numerical experiments in two dimensions confirmthese behaviours of the mass probability distribution.As seen from figure 7 an algebraic behaviourof the left tail of the PDF of m is observed and the value of the exponent is in good agreementwith (26).

5. Coarse-grained mass distribution

We investigate in this section the probability distribution of the mass coarse-grained on a scaleL much larger than the box size , which is defined as

mL =

L

K∑j=−K

mj, where K = L/2. (27)

As seen from the numerical results presented on figure 8, the functional form of the PDF pL(m)

is qualitatively similar to that of the mass in a single cell. In particular for various values of L

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10−6

10−4

10−2

100

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

m

p 1(m

)

0.0 0.5 1.0

0

5

10

γ

α

Figure 7. Log–log plot of the one-point PDF of the mass in two dimensions forp = 1/2 and various values of the parameter γ; the symbols and colour refer tothe same values of γ as in figure 4. The integration was done on a domain of 10242

cells and time average were performed during 3 × 104 time steps after a statisticalsteady state is reached. Inset: exponent α of the algebraic left tail as a functionof the ejection rate γ for three different values of p (blue crosses: p = 0.1, blacktimes: p = 0.5, red circles: p = 0.9). The solid lines show the analytic valuesobtained from (26).

it also displays an algebraic tail at small arguments with an exponent which depends both on L

and on the parameters of the model. We here present some heuristic arguments for the behaviourof the exponent.

For this, we consider the cumulative probability P<L (m) to have mL smaller than m. We first

observe that in order to have mL small, the mass has to be transfered from the bulk of the coarse-grained cell to its boundaries. Assume we start with a mass order unity in each of the 2K + 1sub-cells. The best realization to transfer mass is to start with ejecting an order-unity fractionof the mass contained in the central cell with index j = 0 to its two neighbours. For this thethree central cells must have vorticities (−1, 0, 1) = (0, 1, 0), respectively, during N timesteps. After that the second step consists in transferring the mass toward the next neighbours;the best realization is then to have during N time steps (−2, −1, 0, 1, 2) = (0, 1, 1, 1, 0).The transfer toward neighbours is repeated recursively. At the jth step, the best transfer is givenby choosing (−j−1, −j, −j+1) = (0, 1, 1) and (j−1, j, j+1) = (1, 1, 0) during a time N.One can easily check that for large N and after repeating this procedure K times, the masswhich remains in the 2K + 1 cells forming the coarse-grained cell is mL (1 − γ/2)N . Thetotal probability of this process is [p4(1 − p)2]KN , which leads to estimating the cumulativeprobability of mL as

P <L (m) ∝ mαL, with αL ≈ 1

2

L

log(1 − γ/2)log

[p4(1 − p)2

]. (28)

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14 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

10−1

100

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

mL

p L(m

L)

κ = 8

κ = 10κ = 14

L = 4L = 5L = 6L = 7L = 8L = 9

Figure 8. Log–log plot of the PDF of the coarse-grained mass mL in onedimension for p = 2/3 and various values of γ and L associated to three differentratios κ = L/ log(1 − γ/2) as labelled.

This approach guarantees that the PDF pL(m) = dP <L /dm of the coarse-grained mass m behaves

as a power law at small values. Note that only the contribution from realizations with an optimalmass transfer is here evaluated and the actual value of the exponent should take into accountrealizations of the vorticity which may lead to a lesser mass transfer. However we expect theestimation given by (28) to hold for L sufficiently large, because the contribution from realizationswith a sub-dominant mass transfer become negligible in this limit.

As to the right tail of pL(m), one expects a behaviour similar to that obtained in the case of theone-cell mass distribution, namely log pL(m) ∝ −m log m for m 1. Indeed, the probabilityof having a large mass in a coarse-grained cell should clearly be of the same order as theprobability of having a large mass in a single cell. This, together with the estimates (28) for theexponent of the left tail, gives a motivation for looking, at least in some asymptotics, for possiblerescaling behaviours of pL(m) as a function of L and of the ejection rate γ . For instance one canargue whether the limits L → ∞ and γ → 0 are equivalent. The estimation (28) suggests thatthe exponent αL depends only on the ratio κ = L/log(1 − γ/2). Note that the limit of small γ

should mimic that of small response time of the heavy particles. Rescaling of the distributionof the coarse-grained mass was observed in direct numerical simulations of heavy particles inturbulent homogeneous isotropic flows [16].

Such a rescaling is confirmed by numerical simulations. Figure 8 represents the PDF of thecoarse-grained mass mL for various values of L and γ chosen such that the ratio κ is 8, 10 or 14.While the left-hand tail and the core of the distribution are clearly collapsing, the rescaling ismuch less evident for the right-hand tail. Obtaining better evidence would require much longerstatistics in order to resolve the distribution at large masses.

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15 DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT

6. Conclusions

We introduced here a simple model for the dynamics of heavy inertial particles in turbulentflow which solely accounts for their ejection from rotating structures of the fluid velocity field.We have shown that this model is able to reproduce qualitatively most features of the particlemass distribution which are observed in real turbulent flows. Namely the probability density ofthe mass in cells is shown to behave as a power-law at small arguments and to decrease fasterthan exponentially at large values. Moreover, we studied how this distribution depends on theparameters of the model, namely the ejection rate of particles from eddies and the fraction of spaceoccupied by them. Such dependence reproduce again qualitatively observations from numericalsimulations in homogeneous turbulent flows. Finally, we have seen that coarse-graining masseson scales larger than the cell size is asymptotically equivalent to decrease the ejection rate relatedto particle inertia. This gives evidence that there exists a scaling in the limit of large observationscale and small response time of the particles, even if the flow has no scale invariance.

There are several extensions that need to be investigated in order to gain from the studyof such models more quantitative information on the distribution of particles in real flows. Themost significant improvement is to give a spatial structure to the fluid velocity. This can be doneby introducing a spatial correlation between the vorticities of cells. Preliminary investigationssuggest that such a modified model could be approached by taking its continuum limit. Anothereffect that may be worth taking into consideration is random sweeping of structures by the fluidflow. We assumed that the eddies are frozen (and occupy the same cell) during their wholelifetime. The model could be extended by adding to the dynamics random hops between cells ofthese structures. Another extension could consist of investigating in a systematic manner three-dimensional versions of the model. As stated above, many statistical quantities may dependon how ejection from rotating regions is implemented in three dimensions. Finally, it is worthmentioning again that the main advantage of such models is to give a heuristic understanding ofthe relations between the properties of the fluid velocity field and the mass distribution of particles.This first step is necessary in the development of a phenomenological framework for describingthe spatial distribution of heavy particles in turbulent flows. This would allow Kolmogorov 1941dimensional arguments to be used to understand how the particle dynamical properties dependon scale. Moreover, such a framework could be used to obtain refined predictions accountingfor the effect of the fluid flow intermittency and to describe the dependence upon the Reynoldsnumber of the spatial distribution of particles.

Acknowledgment

This work benefited from useful discussions with M Cencini, D Mitra and S Musacchio who arewarmly acknowledged.

References

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Chapitre 5

CONCLUSION GÉNÉRALE

J'ai essayé de donner un panorama assez complet des relations de uctuation dans les systèmesstochastiques, de leur restriction au régime linéaire et de leur application au transport dans unécoulement turbulent. Le chapitre 2 sur les relations de uctuation et en particulier la partie sur leschaînes de Markov permet, peut-être, de démystier, grâce à la simplicité du formalisme mathéma-tique, les relations de uctuation qui apparaissent souvent ésotériques aux physiciens. Le chapitre3 généralise la théorie de la réponse linéaire et approfondit ses liens avec les relations de uctua-tion. Enn, le chapitre 4 est une esquisse de la théorie du transport dans un écoulement turbulent.Globalement, les mystères du hors d'équilibre s'éclaircissent système après système, mais la quêted'une théorie plus uniée n'en est qu'à ses balbutiements et il reste beaucoup de chemin à parcourirpour obtenir une classication des systèmes hors d'équilibre aussi simple que celle des systèmes àl'équilibre. J'espère pouvoir participer à cette aventure dans les années qui viennent.

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Il était une fois un pays qui renfermait tousles pays du monde, et dans ce pays il y avaitune ville qui incorporait toutes les villes dupays, et dans cette ville il y avait une rue quiréunissait en elle toutes les rues de la ville ; etdans cette rue(.....), et dans cette chambre il yavait un homme, et cet homme riait, riait, et nuln'avait jamais ri comme lui.Rabbi Nahman de Bratzlav.

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