TLM1 Pivot de Gauss

7/25/2019 TLM1 Pivot de Gauss

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METHODE DU PIVOT DE GAUSS

La mthode du pivot de Gauss permet la rsolution gnrale des systmes dquations linaires n quations et pinconnues. Elle sutilise notamment pour leur rsolution numrique laide dun programme informatique, et permet larsolution de systmes comptant un grand nombre dinconnues et dquations (plusieurs centaines, voire plusieurs milliers).

Dans tous les cas, la mthode du pivot de Gauss permet de dterminer si le systme a des solutions ou non (et notammentde savoir sil est un systme de Cramer lorsque n = p). Le cas des systmes de Cramer deux ou trois inconnues a t traitdans le chapitre 4, page 45, de "Toutes les mathmatiques" (TLM1).

Lorque le systme a des solutions, la mthode du pivot permet de les calculer. Notamment, si n = p et si le systme a unesolution unique (systme de Cramer), on peut la calculer de manire beaucoup plus conomique (en nombre doprations)que par les formules de Cramer. Lorsque la solution du systme nest pas unique, la mthode du pivot permet dexprimer lessolutions laide des inconnues principales.

1 Etude dun exemple

Reprenons le systme de lexemple 4.8 de TLM1 (page 47), qui est un systme de Cramer :

(S)

8:

a11 x1 + a12 x2 + +a1p xp =b1

a21 x1 + a22 x2 + +a2p xp =b2...an1 x1 + an2 x2 + +anp xp =bn

On note comme dhabitude (TLM1, page 544)

A=

0B@

a11 a12 a1p...

...an1 an2 anp

1CA 2 Mn;p(K); B=

0B@

b1...

bn

1CA 2 Mn;1(K); X=

0B@

x1...

x1

1CA 2 Mp;1(K)


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TLM1 Mthode du pivot de Gauss 3

respectivement la matrice associe au systme , le vecteur colonne associ au second membre, et le vecteur colonne desinconnues. Ainsi la rsolution de (S)quivaut trouver X tel que

AX= B:

En pratique, on dispose le systme en matrice sans les inconnues. La matrice augmenteassocie au systme est

A0 =

0B@ a11 a12 a1p b1...

......

an1 an2 anp bn

1CA 2 Mn;p+1(K):

On opre alors uniquement sur les lignes de A0 . La mthode du pivot consiste dabord amener le systme un systmetriangulaire, ceci uniquement par oprations lmentaires sur les lignes.

On suppose que la premire colonne nest pas identiquement nulle (sinon linconnue x1 napparait pas !), ainsi quitte permuter les lignes, on suppose que a11 6=0. Ce coecient a11 est dit pivot, linconnue x1 est dite une inconnue principale.

Par oprations lmentaires sur les lignes, on met des 0 sous le pivot :

0BBB@a11 a12 a1p b1

a21 a22 a2p b2...

......

...an1 an2 anp bn

1CCCA !L2 L2 - a21a11 L1...

Ln Ln - an 1a11 L1

0BBB@a11 a12 a1p b1

0 a0

22 a0

2p b0

2

......

......

0 a0n2 a0

np b0

n

1CCCA =F:

Deux cas peuvent alors se prsenter, en fonction de la matrice

A0 =

0B@

a022 a0

2p

......

a0n2 a0

np

1CA : (1)

2.2 Premier casSupposons dabord queA0 =0 (matrice nulle). Alors, si lun des b 0i est dirent de 0; le systme na pas de solution car

la dernire ligne de la matrice F ci-dessus reprsente les quations8>:

0x2 + 0x3 + +0xp =b0

2...

0x2 + 0x3 + +0xp =b0

n

Par contre, si b02 = = b0

n = 0; il y a des solutions. La premire ligne de F permet en eet dexprimer x1 (inconnueprincipale) en fonction de x2 ; ; xn (inconnues dites secondaires). Chaque valeur des inconnues secondaires donne unesolution du systme. Le rang du systme est 1 : il est gal au nombre dinconnues principales et au rang de la matrice A dusystme (TLM1, dnition 45.10, page 596).

Les relations b02 = = b0

n = 0 sont dites relations de compatibilit. Si elles ne sont pas vries, le systme na pas desolution.

Exemple 1 Soit a un paramtre. Considrons le systme

(S)

8>>>>>>:

0

@x

y

z

1

A=

0

@1

0

0

1

A|{z }solution particulire

+ y

0

@-2

1

0

1

A+z

0

@1

0

1

1

A| {z }solution du systme homogne

; (y; z) 2 R2

9>>>>>=>>>>>;

2.3 Deuxime cas

Supposons maintenant que la matrice A0 dnie en (1)nest pas la matrice nulle.

Premier sous-cas : La premire colonne de A0 est non nulle. Quitte permuter les lignes (ce qui revient seulement permuter les quations), on peut supposer que a022 6= 0. Ce coecient devient le deuxime pivot, x2 est dite inconnueprincipale. A laide de ce pivot, on met des zros sous a22 :

0BBB@a11 a1p b1

0 a

0

22 a

0

2p b

0

2......

......

0 a0n2 a0

np b0

n

1CCCA !L3 L3 - a032a0

22

L2...

0

BBBBBB@

a11 a1p b1

0 a022 a0

2p b0

2

0 a0033 a00

3p b00

3

......

......

...0 0 a00n3 a

00

np b00

n

1

CCCCCCA:

On note alors

A00 =

0B@

a0033 a00

3p

......

a00n3 a00

np

1CA (2)

et on ritre le procd en procdant sur A00 comme on a procd sur A0:

Deuxime sous-cas :La premire colonne de A0 est nulle. Alors x2 est dite inconnue secondaire. Si la deuxime colonne

de A0

est nulle, x3 est dite aussi inconnue secondaire . Comme A0

nest pas identiquement nulle, une de ces colonnes nestpas nulle, et quitte permuter les lignes, on peut supposer que

A0 =

0B@

0 0 a02j a0

2p

......

......

0 0 a0nj a0

np

1CA ;

avec a02j 6= 0. Le coecient a0

2j est alors le second pivot, xj est une inconnue principale et x2 ; x3 ; ; xj-1 sont ditesinconnues secondaires. A laide de ce pivot, on met des0 sous a2j :


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0BBBB@

a11 a1p b1

0 0 0 a02j a0

2p b0

2

......

......

...0 0 0 a0nj a

0

np b0

n

1CCCCA

!L 3L 3 -

a 03j

a 02j

L 2

.

..

0BBBBBBB@

a11 a1p b1

0 0 0 a02j a0

2p b0

2

...... 0 b003

......

... (A00)...

0 0 0 0 b00n

1CCCCCCCA

:

On recommence alors le procd avec la matriceA00:

Conclusion : A la n du processus, on obtient une matrice de la forme suivante, dite forme chelonne :0BBBBBBBBBBBBBB@

a11 a1p j 1

0 0 0 a02j a0

2p j 2

... 0 j...

... 0 a(r)

rk j r... 0 0 j

...

... ... ... j ...0 0 0 0 j n

1CCCCCCCCCCCCCCA

Le rang du systme est r = nombre de pivots. Les inconnues principales sont les inconnues qui correspondent aux pivots(xj est une inconnue principale si la colonne j contient un pivot). Il y a r = rg(S)inconnues principales. Les autres inconnuessont dites secondaires.

Dans le cas o n = p = r; le systme est un systme de Cramer et la mthode du pivot de Gauss donne lunique solutiondu systme (voir lexemple trait en section 1).

Dans le cas gnral, les relations de compatibilit sont r+1 = = n = 0. Le systme na des solutions que si cesrelations sont vries. Dans ce cas, on exprime les inconnues principales en fonctions des inconnues secondaires.

Exemple 2 Considrons le systme de 3 quations 4 inconnues

(S) :

8:

1 x +2y +z +t =1

-1 y -2t =1

-1 z +4t = -2

Les inconnues principales sontx; y; z. Linconnue secondaire estt. Il ny a pas de relation de compatibilit. En "remontant" partir du dernier pivot comme dans lexemple trait en section 1, il vient dabord

0@ 1 2 1 1 10 -1 0 -2 1

0 0 -1 4 -2

1A !

L1L1+L3

0@ 1 2 0 5 -10 -1 0 -2 1

0 0 -1 4 -2

1A :


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Puis en "remontant" partir de lavant dernier pivot, on obtient0@ 1 2 0 5 -10 -1 0 -2 1

0 0 -1 4 -2

1A !

L1L1+2L2

0@ 1 0 0 1 10 -1 0 -2 1

0 0 -1 4 -2

1A !

L 2-L 2L 3-L 3

0@ 1 0 0 1 10 1 0 2 -1

0 0 1 -4 2

1A :

Ceci se traduit par le systme :

8>:

0BB@

x

y

z

t

1CCA =

0BB@

1

-1

2

0

1CCA +t

0BB@

-1

-2

4

1

1CCA ; t 2 R

9>>=>>;

:

Il y a une innit de solutions dpendant du paramtre t (inconnue secondaire).

Exemple 3 Soit a un paramtre rel, et soit le systme

(S) :

8>>>>>>>:

x +y +2z -t -u =1

x +y +z =3

2x +2y -z +4t +4u =2

3x +3y +z -6t -6u =93

x +y =a

Nous indiquons les rsultats successifs des oprations, les dtails tant laisss au lecteur.

0BBBB@

1 1 2 -1 -1 1

1 1 1 0 0 3

2 2 -1 4 4 2

3 3 1 -6 -6 93

1 1 0 0 0 a

1CCCCA !

0BBBB@

1 1 2 -1 -1 1

0 0 -1 1 1 2

0 0 -5 6 6 0

0 0 -5 -3 -3 90

0 0 -2 1 1 a-1

1CCCCA

!0BBBBB@

1 1 2 -1 -1 10 0 -1 1 1 2

0 0 0 1 1 -10

0 0 0 -8 -8 80

0 0 0 -1 -1 a-5

1CCCCCA!

0BBBBB@

1 1 2 -1 -1 10 0 -1 1 1 2

0 0 0 1 1 -10

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 a-15

1CCCCCA:

On est arriv la forme chelonne. Le systme (S)est donc quivalent

8>>>>>>>>>:

1 x +y +2z -t -u =1

-1 z +t +u =2

1 t +u = -10

0 =0

0 =a-15

Les inconnues principales sont x; z; t. Les inconnues secondaires sont y et u. Il y a une relation de compatibilit : a = 15.Si a 6=15, il ny a pas de solution. Si a = 15, la "remonte" grce aux pivots successifs scrit

0@ 1 1 2 -1 -1 10 0 -1 1 1 2

0 0 0 1 1 -10

1A!

0@ 1 1 2 0 0 -90 0 -1 0 0 12

0 0 0 1 1 -10

1A

!0@ 1 1 0 0 0 150 0 -1 0 0 12

0 0 0 1 1 -10

1A !

0@ 1 1 0 0 0 150 0 1 0 0 -12

0 0 0 1 1 -10

1A :


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Lensemble des solutions du systme est donc

S=

8>>>>>>>:

0BBBB@

x

y

z

t

u

1CCCCA

=

0BBBB@

15

0

-12

-10

0

1CCCCA

+y

0BBBB@

-1

1

0

0

0

1CCCCA

+u

0BBBB@

0

0

0

-1

1

1CCCCA

; (y; u) 2 R2

9>>>>=>>>>;

Il y a une innit de solutions dpendant des paramtres y et u(inconnues secondaires).

Exercices

Exercice 1 Rsoudre le systme suivant par la mthode du pivot :

(S1)

8>>>>>:

0BBBB@

x

y

z

t

w

1CCCCA

=

0BBBB@

5

1

-2

2

0

1CCCCA

+

0BBBB@

-1

1

0

0

2

1CCCCA

; (; ) 2 R2

9>>>>=>>>>;

:

Il sagit dun plan vectoriel de R5 : En fait F = Ker ' est le noyau de lapplication linaire ' : R5 ! R4 associe lamatrice

M=

0BB@

1 -1 1 -1 1

1 1 2 -1 0

2 -2 3 -1 2

4 -2 6 -3 3

1CCA

dans les bases canoniques de R5 et R4 :

chttp ://touteslesmaths.fr

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