Ministre de lEnseignement Suprieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Abdel k a derBENHARITOPOLOGIELe butde ce cour s estde pr sent eretdt udi erl es pr i nci pa uxconcept st opol ogi ques da ns l e ca dr e l ment a i r e des espa ces mt r i ques pl ut tque da nsl e ca dr e gnr a ldes espa ces t opol ogi ques.Not a mment ,l es concept s despa cesmt r i ques compl et s,despa ces mt r i ques compa ct s etdespa ces mt r i quesconnex es.1 ContenuducoursCecourssecomposedesixchapitres.Chaquechapitreestsubdivisensec-tionsetsetermineparplusieursexercicesdontlaplupartsontcorrigs. LepremierchapitreintroduitlanotiondenormeetdedistancesurunensembleEdonnquienfaitununespacemtrique.Plusieursexemplesde normes et de distances sont donns, notamment sur lensemble Rno onendistinguelanormeeuclidienne.Onintroduitalorslanotiondenormes(oudistances)quivalentes. Dansledeuximechapitre,ontudielespropritstopologiquesdunes-pacemtrique.Ondnitlesconceptsdesuitesconvergentes,densembleferms,densembleouvert,devoisinagedunpoint,departiedenseetdesous-espacemtrique. Dans le chapitre III, onintroduit lanotionde fonctioncontinue entredeuxespaces mtriques. Elles sont caractrises par le fait que limagerciproquedetoutfermestferme. Onintroduitaussi leconceptdho-momorphisme entre espaces mtriques. Limportance du rle imparti auxapplications linaires justie quoncaractrise les applications linairescontinues. Onmontreenparticulier quetouteapplicationlinairedunespacevectoriel dedimensionniedansunespacededimensionnieesttoujourscontinue. Le quatrime chapitre traite les espaces mtriques complets. Ce sont ceuxtelsquetoutesuitedeCauchyconverge.Onydmontreenparticulierlethormedeprolongementpardensit dapplicationscontinues. LechapitreVestconsacrauconceptdespacesmtriquescompacts.Cesontceuxtelsquonpuisseextrairedetoutesuiteunesous-suiteconver-gente. Les thormes caractrisant les ensembles compacts et nonantleurspropritsjouentparlasuiteunrletrsimportant. Lesfonctionscontinues entreespaces mtriques comapcts jouient deproprits parti-culires, enparticulier si f est continueet bijectiveentredeuxespacesmtriquescompacts,alorssarciproqueestaussicontinue.1INTRODUCTION Ledernierchapitreestconsacrltudedespropritstopologiquesdesespacesconnexes.Cesontceuxquinadmettentpasdepartitionendeuxouverts non vides. On montre en particulier que les applications continuesconserventlapropritdeconnexit.2 LesobjectifsgnrauxLe but de ce cours est de prsenter et dtudier les principauxconceptstopologiques dans le cadre lmentaire des espaces mtriques plutt que dansle cadre gnral des espaces topologiques. Notamment, les concepts despacesmtriques complets, despaces mtriques compacts et despaces mtriquesconnexes.3 LesobjectifsspciquesAutermedececours,ltudiantdoit1. Maitriserleconceptdenormeetdedistance.2. Etreenmesuredecomparerdeuxdistances.3. Etudierlanaturedunesuitedansunespacemtrique.4. Dterminerlesvaleursdadhrencesdunesuite.5. Maitriserlesconceptsdouvert, deferm, devoisinagedunpoint, departiedense.6. Etreenmesuredexprimerlacontinuitduneapplicationaumoyendobjetstopologiques.7. Etrecapablededcidersiunespacemtriqueestcompletounon.8. Etre capable dexploiter le caractre complet, notamment dans ltudedessuites.9. Maitriserleconceptdespacemtriquecompact.10. Etre enmesure dexploiter la compacit dans ltude des fonctionscontinues.11. Maitriserleconceptdespacemtriqueconnexe.12. Exploiterlaconnexitdansltudedesfonctionscontinues.13. Etreenmesuredereconnaitrequunespaceestconnexe.24 Lepublicciblecalculdirentieletintgraldefonctionsduneouplusieursvariablesetlesespaces vectoriel de dimension nie, ainsi quaux tudiants des grandes colesdingnieurs.5 LesprrequisCecourssappuieprincipalementsurdesconnaissancesdebaseenanalyserelle et complexe . Cependant, pour bien assimiler les divers chapitres, il estrecommanddebienconnaitrelesdirentschapitresducoursdemath-matiquesdeladeuximeannedelicence. Enparticulier, leschapitressurlessuiteetsriesnumriques,lesfonctionsduneouplusieursvariables,lesespacesvectorielsdedimensionnie,lesapplicationslinaires,etc.3Ce cours s'adresseaux tudiants de Master ayant une bonne familiarit avec le46 ConseilsdelectureCecoursatlaborsousformeduntextesimple,pratiqueetaussiauto-noncs simples plutt quoptimaux. Des remarques, des exemples et desexercicesapportentdesillustrationsoudesapplicationsouviennent, quel-quefois,suggrerdesouverturesetextensionsplussophistiques.Parcons-quent,lelecteurestinvitbientudierlesexemplesprsentsetessayerdersoudrepar lui mmeles exercices proposs. Lerecours systmatiqueaucorrignestpasconseilletdoitsefairepluttendernireissue. Danslebutdefaciliterlacomprhhension,deslienssontinsrsdansletexteetrenvoientauxdnitionsouauxrsultatsoriginauxdececours.contenu que possible.Pour les thormes , on a systmatiquement opt pour desTabledesmatires1 Espacesmtriques 61.1 Normes sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Distance - Espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Normes et distances quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Topologiedunespacemtrique 182.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Ensemble ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Ensemble ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Adhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Intrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Partie dense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Sous-espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Fonctionscontinues 453.1 Limite dune fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Continuit des applications linaires. . . . . . . . . . . . . . 513.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Espacesmtriquescomplets 644.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Critre de Cauchy, prolongement . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 TABLE DES MATIRES5 Espacesmtriquescompacts 815.1 Dnition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Thorme de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Topologie dun espace mtrique compact . . . . . . . . . . . 845.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926 Espacesconnexes 1046.1 Thorme et Dnition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3 Connexit par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Chapitre1Espacesmtriques1.1 NormessurunespacevectorielDnition1.1.1. SoitEunK-espacevectoriel,K = RouC.UnenormesurEestuneapplication | | : E R+vriantpourxetydansEetdansK:(1) |x| = 0 = x = 0(2) |x| = [[|x|(3) |x + y| |x| +|y| (lingalit triangulaire)Unespacevectoriel muni dunenormeestappelunespacevectorielnorm (en abrg evn).De lingalit triangulaire, on dduit la proposition suivanteProposition1.1.2. Si | |estunenormesurunespacevectorielE,alorspourtoutxettoutydansE,ona|x| |y| |x y|Proposition1.1.3. SoitEunespace vectoriel munidunproduit scalaire.LapplicationdeEdansRdniepar |x| =_x, x)estunenormesurEappelenormeeuclidienneassocieauproduitscalaire.Exemple1.1.4.1. Lapplicationx [x[ est une norme surR2. Lapplicationz [z[ est une norme surC3. Dans Rn, on dnit les trois normes suivantes : si x = (x1, x2, . . . , xn)est dansRn,|x|1= [x1[ + +[xn[, |x|2=_n

i=1[xi[2_1/2|x|= max([x1[, . . . , [xn[)(1.1)1.2 Distance - Espace mtrique 7On notera que | |2 est la norme euclidienne surRn, muni du produitscalaire euclidien : x, y) = x1y1 + x2y2 + xnyn.Saufmentionducontraire, lespaceRnseratoujoursmuni delunede ces trois normes.4. Soit E=C([a, b], R) lespacevectoriel desfonctionscontinuessur[a, b] valeurs dansR. Pourfetgdans cet espace,f, g) =_baf(t)g(t) dtdnitunproduitscalairesurE.Lanormeeuclidienneassocieestdnie par|f|2=__ba[f(t)[2dt_1/2On peut dnir dautres normes surC([a, b], R), par exemple|f|1=_ba[f(t)[ dt, |f|=supatb[f(t)[5. Soit(E1, | |1), . . . , (En, | |n) des espaces vectoriels norms surK etE= E1En lespace vectoriel produit. Un lment x de E scritx = (x1, x2, . . . , xn) oxi Ei,1 i n. Lapplication dnie pourx dansEpar|x| = max(|x1|1, . . . , |xn|n)est une norme surEappele norme produit.1.2 Distance-EspacemtriqueDnition1.2.1. UnedistancesurunensembleEestuneapplicationddnie sur EE valeurs dans [0, +[ vriant, pour tous x, yet zdansE(1) d(x, y) = 0sietseulementsix = y(2) d(x, y) =d(y, x)(3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)Unespacemtriqueestunensemblemunidunedistance.Exemple1.2.2.SurR, la distance usuelle est dnie par d(x, y) = [x y[.Exemple1.2.3. distance associe une norme.8 Espaces mtriquesSiEest une espace vectoriel norm, alors lapplication dnie pard(x, y) = |x y|est une distance surE. Cest la distance associe la norme surE.Saufmentionducontraire, cestcettedistancequonchoisittoujourssurune espace vectoriel norm.Exemple1.2.4. Distance discrte.SoitEun ensemble quelconque. Lapplicationd dnie surE Epard(x, x) = 0 et d(x, y) = 1 si x ,= yest une distance appele distance discrte surE.Exemple1.2.5. Espace mtrique produit.Soit (E1,d1), (E2,d2) . . . (En,dn)desespacesmtriques. Onpose, pourx = (x1, . . . , xn) ety= (y1, . . . , yn) dansE= E1En:d1(x, y) =n

i=1di(xi, yi), d2(x, y) =_n

i=1d2i(xi, yi)_1/2d(x, y) =max1indi(xi, yi)Cela dnit trois distances sur lespace produitE.Sauf mention du contraire, lespace produit sera toujours muni de lune deces trois distances.Proposition1.2.6. SiEestunespacemtrique,alorsquelsquesoientx,yetadansE,ona[ d(a, x) d(a, y)[ d(x, y)Dmonstration. Daprs lingalit triangulaire, on ad(a, x) d(a, y) +d(y, x)ce qui donned(a, x) d(a, y) d(x, y).Par symtrie, on montre de mme qued(a, y) d(a, x) d(x, y)Ces deux dernires ingalits impliquent lingalit cherche.1.2 Distance - Espace mtrique 9r-rO Fig. 1.1 La bouleB(0, r) pour la distance d.r-rO Fig. 1.2 La bouleB(0, r) pour la distance d1.r-rO Fig. 1.3 La bouleB(0, r) pour la distance d2.10 Espaces mtriquesDnition1.2.7. Soit(E,d)unespacemtrique,soitaunpointdeEetr > 0.LesensemblessuivantsB(a, r) = x E [ d(a, x) < rB(a, r) = x E [ d(a, x) rS(a, r) = x E [ d(a, x) = rsontappelsrespectivementbouleouverte,boulefermeetsphredecentreaetderayonr.Il est clair que a B(a, r) B(a, r). En particulier, aucune boule nestvide. Il nen est pas de mme des sphres.Exemple1.2.8.1. DansR,B(a, r) =]a r, a + r[2. Si lon dsigne pard1, d2 etd les distances associes respectivementauxnormes |. |1, |. |2et |. |dniespar(1.1), lesboulesduplandecentreslorigineetderayonr>0sontreprsentesparlesgures 1.1, 1.2 et 1.3.Dnition 1.2.9.Une partie A dun espace mtrique (E,d) est dite bornesil existeuneconstanteM> 0tellequed(x, y) M, x, y A.Proposition1.2.10.Une partie A dun espace mtrique (E,d) est bornesietseulementsielleestcontenuedansuneboule.Une partie A dun espace vectoriel norm (E, | |) est borne si et seulementsiil existeuneconstanteM> 0telleque|x| M, x A1.3 NormesetdistancesquivalentesDnition1.3.1. Deuxnormes | |1et | |2suruneespacevectoriel Esontditesquivalentessil existedesconstantes > 0et> 0tellesque|x|1 |x|2 |x|1, x EDeuxdistances d1et d2surunespacemtriqueEsontditesquivalentessil existedesconstantes > 0et> 0tellesqued1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), x, y E1.4 Exercices 11Remarque1.3.2.SoitEun espace vectoriel norm. La proprit : | |1et | |2sont quiva-lentesest une relation dquivalence sur lensemble des normes surE.Demme, si Eestunespacemtrique, larelationdniesurlensembledes distances surE: d1et d2sont quivalentes, est une relation dqui-valence.Proposition1.3.3. SurE= Rn,lestroisnormes | |1, | |2et | |sontquivalentesetona|x| |x|2 |x|1 n|x|.Dmonstration. Il estclairque, pourtoutx=(x1, x2, . . . , xn) E, ona[xi[ |x| ; on en dduit que|x|1 n|x|Dautre part, on vrie que |x|22 |x|21, il sensuit que |x|2 |x|1. Enn,il est clair que |x| |x|2.Notons que pour toutx Rn, on a|x| |x|2 n|x|1.4 ExercicesExercice1.4.1.Soit(E, | |) un espace vectoriel norm etfun endomorphisme deE. Onpose, pour toutx dansE,|x|1= |f(x)|Dtermineruneconditionncessaireetsusantepourque | |1dnisseune norme surE.Exercice1.4.2.Soitnunentiernaturel eta0, a2, . . . , akdesrelsdeuxdeuxdistincts.On considre lapplication | |k: Rn[X] R+dnie par|p|k=k

i=0[p(ai)[A quelle condition cette application dnit-elle une norme surRn[X] ?12 Espaces mtriquesExercice1.4.3.On considre surE= C([0, 1], R) les deux normes dnies par|f|=sup0t1[f(t)[ et |f|1=_10[f(t)[ dtMontrer que ces deux normes ne sont pas quivalentes.Exercice1.4.4.Pour toutx = (x1, x2) deR2, on poseN(x) =_x21 + 2x1x2 + 5x22Montrer queNest une norme surR2.Exercice1.4.5.1. Pour toutp [1, +[ et toutx Rn, on pose|x|p=_n

i=1[xi[p_1/pMontrer que | |pest une norme surRn.2. SoitE= C([a, b], R) etp [1, +[. Pourf E, on pose|f|p=__ba[f(t)[pdt_1/pMontrer que | |pest une norme surE.Exercice1.4.6.SoitE= C([0, 1], R). Pourf E, on poseN(f) =_[f(0)[2+_10[f(t)[2dt_1/2Montrer queNest une norme surE.Exercice1.4.7.Soit(E,d) un espace mtrique et : R+ R+une application croissantevriant :(a + b) (a) + (b), a, b R+(x) = 0 x = 0.1.5 Correction des exercices 131. Montrer que d est une distance surE2. Montrer que d1=d1 +det d2=Log(1 +d) et d3=inf(1,d)sontdes distances surE.Exercice1.4.8.Soit(E,d) un espace mtrique1. Montrer que, pour tout ]0, 1], dest une distance surE2. Montrer quil existe= ( d) [1, +] tel queSi0 < < , alors dest une distance surESi > , alors dnest pas une distance surE.3. Dterminerdans le cas od est la distance usuelle surR, puis ladistance discrte.Exercice1.4.9.SoitRNlensemble des suites relles. Pouru etvdansRN, on posed(u, v) =

n=012n[un vn[[un vn[ + 11. Montrer que d est une distance surRN,2. Montrer que(RN,d) est born.Exercice1.4.10.1. Les applications suivantes dnies pard1(x, y) = [ sin x sin y[, d2(x, y) = [x2y2[sont-elles des distances surR?2. A quelle condition sur la fonction f: R R, lapplication dnie pard(x, y) = [f(x) f(y)[est-elle une distance surR?1.5 CorrectiondesexercicesExercice1.4.1On vrie que, pour tout K etx etydansE,|x|1= [[|x|1et |x + y|1 |x|1 +|y|114 Espaces mtriquesOn vrie aussi que |x|1= 0 si et seulement sif(x) = 0. Si bien que | |1est une norme si et seulement si lendomorphismefest injectif. Exercice1.4.2Il est clair que, pour toutp etqdansRn[X] et tout dansR,|p|k= [[|p|k, |p + q|k |p|k +|q|kOnvrieque |p|k=0sietseulementsi p(ai)=0pour0 i k,parsuite :sik n, cela impliquep = 0 car un polynme non nul deRn[X] nepeut avoir plus den racines distinctes.si k < n, | |k nest pas une norme dans Rn[X] car le polynme donnparp(x) = (x a0)(x a1)(x ak) est non nul et |p|k= 0.Ainsi, | |kest une norme dansRn[X] si et seulement sik n. Exercice1.4.3Pour tout f E, on a |f|1 |f|. Supposons que les deux normes soientquivalentes, il existe alors > 0 tel quef E, |f| |f|1Soit n N et fn la fonction dnie sur [0, 1] par f(t) = tn. On a |fn|= 1et |fn|1= 1/(n + 1) et lingalit1 n + 1ne peut tre satisfaite pour toutn N. Exercice1.4.4On vrie que lapplicationqdnie surR2parq(x) = x21 + 2x1x2 + 5x22est une forme quadratique dnie postitive, donc sa forme polaire associeb(x, y) = x1y1 + (x1y2 + x2y1) + 5y1y2dnit un produit scalaire dansR2et par suiteN(x) =_b(x, x) =_q(x)dnit une norme surR2.Exercice1.4.6On posef, g) = f(0)g(0) +_10f(t)g(t) dtOn vrie que cela dnit un produit scalaire dans E ; par suite Nest unenorme dansE. Exercice1.4.7Posons= d. On a1.5 Correction des exercices 151. a) (x, y) = 0 = ( d(x, y)) = 0 =d(x, y) = 0 = x = y.b) (x, y) = (d(x, y)) = ( d(y, x)) = (y, x).c) Puisque d(x, y) d(x, z) +d(z, y),onendduitfacilementque(x, y) (x, z) + (z, y).Ainsi,est une distance surE.2. On a d1= 1 d, avec1(t) = t/(1 + t). On vrie facilement que1(a + b) 1(a) + 1(b)De plus, 1 est croissante et injective. La question 1 montre alors qued1est une distance.De mme, d2= 2d, avec 2(t) = Log(1 +t). On vrie facilementque2est croissante, injective et que2(a + b) 2(a) + 2(b)Daprs la premire question, d2est aussi une distance surE.Exercice1.4.81. On ad= d, avec (t) = t. Montrons que, pour tout a et b dansR+(a + b) a+ bou encore_1 +ab_ 1 +_ab_A cet eet, on poseh(t) = (1 +t)(1 +t),t 0. On ah(t) = _(1 + t)1t1Comme 1 0 [ dest une distance dansEDaprs la premire question, on a linclusion]0, 1] I.Montrons que Iest un intervalle. Soit Iet 0 < < , il sagit deprouver que I. Puisque dest une distance et puisque/ < 1,alors d= ( d)/est aussi une distance surE. DoncIest bien unintervalle et il sut de poser= sup I.3. Dans le premier cas= 1, dans le deuxime cas= +.16 Espaces mtriquesExercice1.4.101. On a d1(0, ) = 0, donc d1nest pas une distance surR.De mme, d2nest pas une distance surR, car d2(1, 1) = 0.En revanche, on peut vrier que lapplicationd3dnie pard3(x, y) = [x3y3[est une distance surR.2. On vrie que lapplicationd dnie par d(x, y) = [f(x) f(y)[ estune distance si et seulement sifest injective.Chapitre2Topologiedunespacemtrique2.1 SuitesDnition2.1.1. Soit (E,d) unespace mtrique. Ondit quune suite(xn)ndlmentsdeEconvergedansEsil existe Etellequelimn+d(xn, ) = 0Oncritalorsxn ou limn+xn= Une suite(xn) diverge si elle ne converge pas.Proposition2.1.2. Lalimitedunesuite,sielleexiste,estuniqueDmonstration. Sixn etxn , on ad(, ) d(xn, ) +d(xn, )En faisant tendren vers linni, on en dduit que d(, ) = 0, cest--dire = .Remarque2.1.3.Soit E= C([a, b], R) lespace des fonctions continues sur [a, b] valeursrelles muni de la norme | |. Si lon dsigne par dla distance associe cette norme, la convergence dans(E,d) est la convergence uniforme.Exemple2.1.4.Dans lespaceE= C([0, 1], R), on considre la suite dnie par :fn(x) = xn2.1 Suites 19Cette suite ne converge pas uniformment sur [0, 1], donc (fn) diverge dans(E,d).Enrevanche, si lonmunitEdeladistance d1associelanorme | |1dnie par|f|1=_10[f(x)[ dx,on a|fn|1=1n + 1donc(fn) converge vers0 dans(E,d1).Dnition2.1.5. Soit(xn)unesuitedeE. Onditquunesuite(yn)estune sous-suite de (xn) sil existe une applicationstrictement croissante : N Ntellequeyn= x(n), n NOn notera que(n) n pour toutn N.Proposition2.1.6. Si(xn)convergevers,alorstoutesous-suitede(xn)convergeaussivers.Dmonstration. Soit>0.Puisque(xn)convergevers,ilexisten0 Ntel quen n0=d(xn, ) < .Soit (x(n)) une sous-suite de (xn). Puisque est strictement croissante, cequi prcde montre quen n0= (n) (n0) n0=d(x(n), ) < .Cela traduit la convergence de(x(n)) vers.Dnition2.1.7. Soit(xn)unesuitedunespacemtriqueE.Onditqueestunevaleurdadhrencede(xn)sil existeunesous-suitede(xn)quiconvergevers.Exemple2.1.8.La suite relle dnie parxn= (1)nadmet deux valeurs dadhrence quisont 1 et1.Proposition2.1.9. Soit(xn)unesuitedunespacemtriqueE. Unl-ment Eestunevaleurdadhrencede(xn)sietseulementsipourtout > 0,lensemble n N [ xn B(, )estinni.20 Topologie dun espace mtriqueDmonstration. Supposons queest unevaleur dadhrencedelasuite(xn). Il existe alors une sous-suite (x(n)) qui converge vers . Soit > 0, ilexiste un entiern0tel quen n0= x(n) B(, )On a donc linclusion(n) [ n n0 n N [ xn B(, )Commelapplicationeststrictementcroissante, onendduitquelen-semble (n) [ n n0 est inni.Inversement, supposons que pour tout > 0, lensemblen N [ xn B(, )estinni. Pour =1, il existep0 Ntel quexp0 B(, 1). Pour =1/2, il existep1>p0tel quexp1 B(, 1/2). Parrcurrence, pour=1/(k + 1),ilexistepk>pk1telquexpk B(, 1/(k + 1)).Lapplication: k N (k) =pkeststrictementcroissanteetpourtoutk N,x(k) B(, 1/(k + 1). Lasuite(x(k))ainsi construiteestunesous-suitede(xn) qui converge vers.2.2 EnsemblefermDnition2.2.1. Soit (E,d)unespacemtriqueet FunepartiedeE.On dit que Fest un ferm de Esi toute suite dlments de Fqui convergedansE,asalimitedansF.Exemples2.2.2.1. Lintervalle [a, b] est un ferm deR. En eet, soit (xn) une suite dans[a, b]quiconvergedansRversunlment R.Onaa xn bpour toutn. Par passage la limite, on obtienta b.2. Lensemble[a, +[ est un ferm deR.3. Lensemble F= (x, y) R2[ x+y 1 est un ferm de R2. En eet,soit (un) une suite dlments de Fqui converge vers = (a, b) R2.Celaveutdire,enposantun=(xn, yn),que(xn)convergeversaet(yn) converge versb. Commexn +yn 1 pour toutn, par passage lalimite,onauraaussia + b 1.CequiprouvequeappartientF.Proposition2.2.3. Soit(E,d)unespacemtrique.(1) LensembleEetlensemblevidesontdeuxfermsdeE.2.3 Ensemble ouvert 21(2) UneintersectionnieouinniedefermsdeEestunfermdeE.(3) UnerunionniedefermsdeEestunfermdeE.Dmonstration. Seulelatroisimeassertionncssiteunedmonstration.Pourcela,ilsutdemontrerquelaruniondedeuxfermsdeEestunfermdeE. SoientF1etF2deuxfermsdeEetsoit(xn)unesuitedeF1 F2qui convergevers E. Il sagitdemontrerqueappartientF1 F2. Posons, pouri = 1, 2,Pi= n N [ xn FiIl est clair que lun au moins des ensembles P1et P2est inni. On supposeparexemplequeP1estinni. Il existedoncuneapplication: N P1strictementcroissantetellequeLasous-suite(x(n))convergevers . Lasuite(x(n))estdansF1qui estferm, doncsalimiteappartientF1.Cela prouve que F1 F2.Remarque2.2.4.Unerunioninniedefermspeutnepastreferme.Parexemple,dansR_n1_1n, 1_=]0, 1]nest pas un ferm deR.2.3 EnsembleouvertDnition2.3.1. SoitOunepartiedeE.OnditqueOestunouvertdeEsisoncomplmentairedansE,notEOouO,estunfermdeE.AinsiOest un ouvert deE EOest un ferm deEExemples2.3.2.1. Lensemble]a, b[ est un ouvert deR, puisqueR]a, b[=] , a] [a, +[est un ferm comme runion de deux ferms.2. LensembleO= (x, y) R2[ x + y >1est unouvert de R2,puisque son complmentaireR2O = (x, y) R2[ x+y 1 est unferm deR2.Proposition2.3.3. Soit(E,d)unespacemtrique22 Topologie dun espace mtrique(1) LensemblevideetEsontdeuxouvertsdeE.(2) UnerunionnieouinniedouvertsdeEestunouvertdeE.(3) UneintersectionniedouvertsdeEestunouvertdeE.Cest une consquence de la proposition 2.2.3.Remarque2.3.4.UneintersectioninniedouvertsdeEpeutnepastreunouvertdeE. Par exemple, dansR

n1_1n,1n_= 0nest pas un ouvert deR.Thorme2.3.5. Soit (E,d)unespacemtriqueet OunepartiedeE.Lesdeuxassertionssuivantessontquivalentes(1) OestunouvertdeE(2) Pourtouta O,il existera> 0tel queB(a, ra) O.Dmonstration. (Laisser au lecteur).2.4 VoisinageDnition2.4.1. OnappellevoisinagedunlmentadeEtoutepartieV deEcontenantunouvertquicontienta.Lensemble des voisinages dea sera not 1(a).Exemple2.4.2.LensembleV =[1, 5[ estunvoisinagede3, puisque]2, 4[ estunouvertcontenant3 et inclus dansV .Exemple2.4.3.Tout ouvert contenanta est un voisiange dea.Proposition2.4.4. Unerunion(resp. uneintersectionnie) devoisi-nagesdeaestunvoisinagedea.2.5 Adhrence 232.5 AdhrenceDnition2.5.1. LadhrencedunepartieAdeE, noteA, est lepluspetitfermdeEcontenantA.Proposition2.5.2. SoitAunepartiedeE.(1) AestlintersectiondetouslesfermsdeEcontenantA(2) AestunfermcontenantA(3) AestfermesietseulementsiA = A.Thorme2.5.3. Soient(E,d)unespacemtrique,AunepartiedeEetxunlmentdeE.Lesassertionssuivantessontquivalentes:(1) x A(2) PourtoutvoisinageV dex,V A ,= (3) Il existeunesuite(xn)dlmentsdeAquiconvergeversx.Dmonstration. (1)=(2):SoitV unvoisinagedex.Ilexister>0telque la boule ouverteB(x, r) soit incluse dansV . SiA B(x, r) = , alorsA EB(x, r) et par suite EB(x, r) est un ferm de E contenant A doncaussiA. Cela implique quex/ A.(2) = (3) : Par hypothse, on an N, A B_x,1n_,= Soit xn AB(x, 1/n) ; il est clair que (xn) est une suite de A qui convergeversx.(3) = (1) : Si x/ A, alors x EA qui est un ouvert de E. Il existe doncr>0tel queB(x, r) EA. Dautrepart, puisquexn x, il existen0 N tel quen n0= xn B(x, r)Cela montre en particulier quexn0/ A et a fortiorixn0/ A.2.6 IntrieurDnition2.6.1. LintrieurdunepartieAdeE, noteoA, est leplusgrandouvertdeEinclusdansA.Un pointa appartenant lintrieur deA est dit point intrieur. On adonca oA r > 0 [ B(a, r) ARemarque2.6.2.24 Topologie dun espace mtrique1. LensembleoA est la runion de tous les ouverts deEinclus dansA.2. Une partieA est un ouvert si et seulement sioA = A.3. Pour toute partieA deE, on aoA A A.Dnition2.6.3.Lensemble AoA est appel frontire de A dans E, il estnotAouFr(A).Exemple2.6.4.1. DansR, Lintrieur de[a, b[ ou de]a, b] ou de[a, b] est]a, b[.2. Lintrieur de Z est lensemble vide. En eet, sinon il existe a et r > 0tels que]a r, a + r[ Z, ce qui est impossible.2.7 PartiedenseDnition2.7.1. UnepartieDdunespacemtriqueEest ditedensedansEsiD = E.Proposition2.7.2. Soit DunepartiedunespacemtriqueE. Lespro-pritssuivantessontquivalentes(1) DestdensedansE(2) Pourtoutx E,ilexisteunesuite(xn)dansDquiconvergeversx(3) PourtoutouvertnonvideUdeE,onaU D ,= .Exemple2.7.3.1. Q etRQ sont denses dansR.2. Qnest dense dansRnProposition2.7.4.Le groupe linaire GLn(K) des matrices inversibles estdensedansMn(K).Dmonstration. Soit A une matrice de Mn(K). On doit montrer lexistencedune suite de matrices (Ap) de GLn(K) qui converge vers A. On considrela suite dnie parAp= A 1pIIl est clair que cette suite converge versA, puisque|A Ap| =1p|I| 0, (p +)2.8 Sous-espace mtrique 25La matrice A1pIest inversible si,et seulement si, 1/p nappartient pas auspectre deA; comme lensemble_1p [ p N_estinni, il existep0assezgrandtel que, pourp p0, Apestinversible.Ainsi, la suite(Ap)pp0, est dansGLn(K) et converge versA.Thorme2.7.5 (Stone-Weierstrass).Toute fonction f: [a, b] R conti-nueestlimiteuniformesur[a, b]dunesuitedefonctionspolynomiales.Autrementdit, lensembledesfonctionspolynomialessur[a, b] estdensedansC([a, b], R) muni de la norme uniforme | |.Dmonstration. Voir lexercice (2.9.10).2.8 Sous-espacemtriqueSoit(E,d) un espace mtrique etA une partie deE. La restriction dedAestunedistancesurAappeledistanceinduitepar dsurA.Munide cette distance induite,A est appel sous-espace mtrique deE.Proposition2.8.1. Soit Aunsous-espacemtriquede(E,d)et soit XunepartiedeA.(1) Xest unouvert deAsi et seulement si il existeunouvert OdeEtel queX= O A.(2) Xest unfermdeAsi et seulement si il existeunefermFdeEtel queX= F A(3) Xestunvoisinagedea Asietseulementsiil existeunvoisinageV deadansEtel queX= V A.Exemple2.8.2.Soit E=Rmuni deladistanceusuelleet soit A=[0, 2]. LensembleX= [0, 1[ est un ouvert de[0, 2], en eet on peut crire par exemple[0, 1[=] 1, 1[[0, 2]2.9 ExercicesExercice2.9.1.SoitA une partie non vide deR.1. Montrer que siA est majore, alorssup(A) appartient A.26 Topologie dun espace mtrique2. Montrer que siA est minore, alorsinf(A) appartient A.Exercice2.9.2.Soit(xn)n0une suite dun espace vectoriel normE. Montrer que si(xn)converge vers alorslimn+x1 + x2 + + xnn= .Exercice2.9.3.Soient Eet Fdeux espaces mtriques et E Flespace mtrique produit.Montrer que siA EetB F, on aA B= A B, (A B)o=oA oB(A B) = (A B) (A B)Exercice2.9.4.Montrer que dans un espace vectoriel normEB(a, r) = Bf(a, r), etoBf(a, r) = B(a, r)Ces rsultats restent-ils vrais dans un espace mtrique quelconque ?Exercice2.9.5.Montrer que, si A est une partie convexe dun espace vectoriel norm E, ilen est de mme deA etoA.Exercice2.9.6.Soit(E,d) un espace mtrique,A une partie deEetx un lment deE.On posed(x, A) = inf d(x, a) [ a A1. Montrer quil existe une suite(an) dlments deA telle qued(x, A) = limn+d(x, an)2. En dduire quex appartient A si, et seulement si, d(x, A) = 0.Exercice2.9.7.Montrer que si A est une partie dun espace vectoriel norm Eet O est unouvert deE, alors lensembleA + O dni parA + O = a + b [ a A, b Oest un ouvert deE.2.9 Exercices 27Exercice2.9.8.SoitEun espace vectoriel norm etFun sous-espace vectoriel deE.1. DtermineroF.2. Montrer queFest un sous-espace vectoriel deE.3. Montrerquesi FestunhyperplandeE,alorsFestfermoubienFest dense dansE.Exercice2.9.9(Les sous-groupes deR).Soit(G, +) un sous-groupe de(R, +) non rduit 0.1. Montrer que lensemble x G [ x > 0 admet une borne infrieurequon noteraa.2. Montrer que sia = 0, alorsG est dense dansR.3. Montrer que sia > 0, alorsG = aZ.4. Endduireque, pour , R, Z + Zestdensedans Rsi etseulement si/nappartient pas Q.5. Montrer que cos n [ n N est dense dans[1, 1].6. Montrerquelensembledesvaleursdadhrencedelasuite(cos n),n 0, est lintervalle[1, 1].7. Soit f : R Runefonctioncontinueadmettant 1et 2commepriodes. Que peut-on dire def ?Exercice2.9.10.SoitA Mn(R).1. Montrer quelensembleF = p(A) [ p R[X]est unfermdeMn(R).2. Soit(am)unesuiterelletellequelasrie amAmconvergedansMn(R). On poseB=

m=0amAmMontrer quil existe un polynmep R[X] tel queB= p(A).Exercice2.9.11.On munit lespaceC([0, 1], R) de la norme uniforme | |.1. Montrer que lensemble Lk des fonctions k-lipschitzienne est un fermdeC([0, 1], R).2. Lafonctionf0: [0, 1] Rdnieparf0(x)= xest-ellelipschit-zienne ?28 Topologie dun espace mtrique3. Montrerquelensembledesfonctionslipschitziennesestdintrieurvide dansC([0, 1], R).Exercice2.9.12.Soit E un espace mtrique, Fun sous-espace mtrique de E et A une partiede F. On note AFladhrence de A dans Fet A ladhrence de A dans E.1. Montrer queAF= A F2. Montrerquesi AestdensedansFetFestdensedansE, alorsAest dense dansE.3. Montrer queoA _AF_o. Donner unexemplemontrant quecetteinclusion peut tre stricte.Exercice2.9.13(Thorme de Stone-Weierstrass).Pour n Net k N, avec0 k n, onnoteBn,klepolynmedeBernstein dni parBn,k(x) =_kn_xk(1 x)nk1. Calculern

k=0Bn,k(x),n

k=0kBn,k(x),n

k=0k(k 1)Bn,k(x)2. En dduire la relationn

k=0_x kn_2Bn,k(x) =x(1 x)n3. Soitf: [0, 1] C une fonction continue. Pourn 1, on noteBn(f)le polynme dni parBn(f)(x) =n

k=0f(k/n)Bn,k(x)En remarquant quef(x) Bn(f)(x) =n

k=0(f(x) f(k/n)) Bn,k(x),montrer que la suite de fonctions (Bn(f)) converge uniformment versfsur[0, 1].2.9 Exercices 294. En dduire que toute fonctionfdansC([a, b], C) est limite uniformesur[a, b] dune suite de polynmes.Ce dernier rsultat est connu sous le nom de thorme de Stone-Weierstrass.Exercice2.9.14.Soitf C([a, b], R) vriant pour toutn N_baxnf(x) dx = 01. Vrier que pour toute fonction polynomialep, on a_bap(x)f(x) dx = 02. En dduire, en utilisant le thorme de Stone-Weierstrass, que f= 0.Exercice2.9.15.Soit f C(R+, C) telle que_0[f(t)[ dt < . On suppose que pour s R+L(f)(s) =_0f(t)estdt = 0On dsigne parFla primitive defqui sannule en0.1. Vrier que, pour touts > 0, on aL(f)(s) = s_0F(t)estdt2. En dduire que, pour toutn N, on a_10xn1G(x) dx = 0o on a posG(x) = F(Log x).3. Conclure.Exercice2.9.16(Lemme de Riemann-Lebesgue).1. Montrer que sifappartient C1([a, b], R), alorslim||+_baf(t)eitdt = 030 Topologie dun espace mtrique2. En dduire que sifest dansC([a, b], R), alorslim||+_baf(t)eitdt = 03. Montrer que sifest une fonction continue et intgrable surR, alorslim||+_Rf(t)eitdt = 0Exercice2.9.17.1. MontrerquelensembledesmatricesdiagonalisablesdeMn(C)estdense dansMn(C).2. Pour une matrice M M2(R), on dsigne par Mle discriminant deson polynme caractristique.a) Montrer queMest une fonction continue.b) Montrer que lensemble des matrices diagonalisables de M2(R)nest pas densedans M2(R). Onpourramontrer quelamatrice_0 11 0_nepeut trelimitedunesuitedematrices diagonali-sables deM2(R).3. Montrer que, pour toutA Mn(C), on aDet(eA) = eTr(A).Exercice2.9.18.Soienta etb deux nombres rels tels que0 < a < b < 1. Pour tout relc,on notefcla fonction constante deC([a, b], R) dnie parfc(x) = c, pour toutx [a, b]Lobjectif de cet exercice est de montrer que lensemble des fonctions poly-nomiales sur[a, b] coecients entiers,Z([a, b]) est dense dansC([a, b], R)muni de la norme uniforme.Soitf C([a, b], R) et R tel que0 < .1. Montrer quil existe un entier naturelktel que, pour toutx [a, b],0 12 xk 12 22. Soit k un entier naturel x. Prouver quil existe un entier naturel mtel que six [a, b] alors12 xk m

n=0(xk1)n 22.9 Exercices 313. En dduire quef1/2 Z([a, b]).4. Utiliser laquestionprcdente pour montrer que si mNalorsfn/2m Z([a, b]).5. Montrer que lensemble_n2m [ n Z, m N_est dense dansR.6. En dduire quefc Z([a, b]) pour toutc R.7. Justier lexistence dep R[X] tel que |f p| /2.8. Conclure.Exercice2.9.19.On se propose de montrer que, dansC([0, 1]) muni de la norme uniforme,on aZ([0, 1]) = f C([0, 1]) [ f(0), f(1) Z1. Montrer que sif Z([0, 1]) alorsf(0) etf(1) sont dansZ.Dans tout ce qui suit, n est un entier naturel non nul et f C([0, 1])tel quef(0) = f(1) = 0.2. Montrer que lapplication : Rn[X] R dnie par (p) = |pf|est continue.3. Prouver quelimp(p) = 4. Montrer que, pour toutr > 0,p Rn[X] [ |p| rest une partie compacte deRn[X] muni de la norme uniforme.5. En dduire quil existepn Rn[X] tel que, pour toutp Rn[X],|pn f| |p f|On note dsormaisqn(x) = pn(x) xpn(1) + (x 1)pn(0)6. Montrer que|qn f| 2|pn f|7. Prouver que la famille(xk(1 xnk))0knest une base deRn[X].32 Topologie dun espace mtrique8. Etablir lexistence de nombres relsa1, . . . , an1tels queqn(x) =n1

k=1akxk(1 x)nk9. En dduire que sirn(x) =n1

k=1E(k)xk(1x)nkalors |rn qn| 1/n.10. Montrer que|f rn| 1n+ 2|p f|, p Rn[X]11. Conclure.Exercice2.9.20.On munitMn(R) de la norme dnie par[[[A[[[ = supXRn\{0}_|AX||X|_On suppose que |A| < 1.1. Montrer que la matriceI A est inversible.2. SoientX0etbdeuxvecteurscolonnesdeRn. Montrerquelasuite(Xk)k0 dnie par son premier terme X0 et, pour tout k N, par larelation de rcurrenceXk+1= Axk + bconverge dansRn.2.10 CorrectiondesexercicesExercice2.9.11. Daprs la caractrisation de la borne suprieure, pour tout > 0, ilexisteadansA tel quesup(A) < a sup(A)En particulier, pour toutn N, il existean A tel quesup(A) 1n< an sup(A)Ainsi, sup(A) est lalimitedunesuitede A, il appartient doncladhrence deA.2.10 Correction des exercices 332. De mme, on montre que inf(A) est la limite dune suite de A et doncappartient ladhrence deA. Exercice2.9.2 On considre a suite(yn)n>0dnie paryn=x1 + x2 + + xnnPar hypothse, la suite (xn) converge vers . Soit > 0, il existe n0 N telque, pour toutn n0, |xn | /2. On ayn =(x1 ) + + (xn01 ) + (xn0 ) + + (xn )nOn en dduit que|y | |x1 )| + +|xn0 |n+ |xn0+1 | + +|xn |ncn+n n0n2avecc = |x1| + +|xn0 |. Il en rsulte quil exite n1 N tel que,pour toutn n1, |y n | . Exercice2.9.3 La correction est laisse au lecteur.Exercice2.9.4i) Pardnition,B(a, r) Bf(a, r),doncB(a, r) Bf(a, r).PuisqueBf(a, r) est un ferm, on a Bf(a, r) = Bf(a, r) et par suite B(a, r) Bf(a, r). Soitx Bf(a, r). Si |x a|0, B(x, )nestpasinclusedansBf(a, r). Eneet,llmenty= x +2(x a)|x a|34 Topologie dun espace mtriqueest dansB(x, ) et|y a| r +2> rAinsi,oBf(a, r) = B(a, r). Exercice2.9.5Soientx etydeux lments deA et soit [0, 1]. Il existe deux suites(xn) et(yn) deA telles quelimnxn= x et limnyn= yPuisqueAestconvexe,lasuite _(1 )xn + yn_estdansAetconvergevers(1 )x + y ; ce dernier est donc dansA. Exercice2.9.61. Daprs la caractrisation de la borne infrieure, pour tout n N, ilexistean A tel qued(x, A) d(x, an) d(x, A) +1net doncd(x, A) = limn+d(x, an)2. SupposonsquexsoitdansA.Ilexisteunesuite(an)dlmentsdeA qui converge versx. Puisque pour toutnd(x, A) d(x, an)parpassagelalimite,onobtient d(x, A)=0.Rciproquement,sid(x, A)=0,lapremirequestionmontrequilexisteunesuite(an)dansA telle que0 =d(x, A) = limn+d(x, an)Cela montre que (an) converge vers x et celui-ci est donc dans A. Exercice2.9.7Dune part, on aA + O =_aA(a + O)Dautre part, lapplication f: E E dnie par f(x) = xa est continueetf1(O) = a + OAinsi,A + O est un ouvert comme runion douverts. Exercice2.9.82.10 Correction des exercices 351. Si F =E, alorsoF =E. Supposons F,=Eetstrictementinclusdans E, nous allons montrer que lintrieur de Fest vide. Supposonslecontraireetsoita oF.Ilexister>0telqueB(a, r) F.pourtout x E, llment a+r2xxappartient la boule B(a, r) donc F.Comme a est dans Fet que celui-ci est un sous-espace vectoriel, on endduit que x appartient Fcela veut dire que F= E ; contradiction.2. SoientxetydansFetsoientetdeuxscalaires. Il existealorsdeuxsuites(xn)et(yn)deFqui convergentrespectivementversxet y. La suite (xn +yn) converge vers x +y, ce dernier est doncdansF.3. SupposonsF ,=F,il existea FF. CommeFestunhyperplan,on aE=Ka F. PuisqueKa etFsontinclus dansFqui,daprslaquestion2, estunsous-espacevectoriel deE, onendduitqueKa F Fet doncF= E. Exercice2.9.91. Soitx0unlmentnonnuldeG,alors x0estaussidansG.Len-sembleG+dni parG+= x G [ x > 0estunepartienonvidedeR, minorepar 0, elleadmetdoncuneborne infrieurea.2. Supposonsa=0etmontronsqueGestdensedansR. Soientetdeuxrelsavec0.LafonctionftantintgrablesurR,ilexistea>0telque_a[f(t)[ dt +_+a[f(t)[ dt 2Daprs la deuxime question, il existeA > 0 tel que[[ > A =_aaf(t)eitdt 2Ainsi,[[ > A =_Rf(t)eitdt . Exercice2.9.171. Soit A Mn(C). La matric A est trigonalisable dans Mn(C), il existedoncP GLn(C) telle queA = PTP1oTest une matrice trian-gulaire suprieure, de la forme_____1 . . . 0 2. . . 0 0....... . . . . . . . . n_____Soient1, 2. . . , ndes rels tels que, pour toutk Ni +ik,= j +jki ,= jOn pose, pourn N,Tp=______1 +1p . . . 0.... . . 0 0....... . . . . . . . . n +np______LamatriceTpadmetnvaleurspropresdistinctesetestdoncdiago-nalisable. De plus, il est clair que la suite (Tp) converge vers Tquandptendverslinni,donclasuitednieparAp=PTpP1convergeversAquandptendverslinni. Ainsi, Aestlimitedunesuitedematrices diagonalisables.2. a) NotonsPMlepolynmecaractristiquedeMetMlediscrimi-nant dePM. On aPM(x) = x2(Tr M)x + Det M, M= (Tr M)24 Det MLapplicationMMestpolynomialeparrapportauxcoe-cients de la matriceM, donc continue.2.10 Correction des exercices 43b) SilamatriceA=_0 11 0_taitlimitedunesuite(Ak)dema-tricesdiagonalisablesdeM2(R), daprsa), lasuitedesdiscrimi-nants(Ak)convergeraitverslediscriminantdeAqui vaut 4.Cela est impossible carAk 0 pour toutk.3. Il est facile de vrier que la relationDet(eA) = eTr(A)est vraie pourtoutematricediagonalisableA Mn(C). Il sutmaintenantduti-liser laquestion1et lefait queles applications A Det(eA) etA eTr(A)sont continues dansMn(C). Exercice2.9.201. SiXappartient au noyau deI A, alorsAx = Xet donc|X| = |AX| [[[A[[[|X|Cela implique que (1[[[A[[[[)|X| 0 et donc X= 0 car [[[A[[[ < 1.Ainsi,I A est inversible.2. Puisque I Aest inversible, il existeununique L Rntel queL = AL + b et par suiteXk+1 L = A(Xk L). Par rcurrence, il en rsulte que, pour toutk, on aXk L = Ak(X0 L). On en dduit alors que|Xk L| [|Ak|[|X0 L| [|A|[k|X0 L|CommelanormedeAeststrictementinfrieure1, lasuite(Xk)converge versL. Chapitre3Fonctionscontinues3.1 LimitedunefonctionSoit(E,d)et(F, )deuxespacesmtriquesetAunepartiedeE.Soitf: A Fet soita A et F.Dnition3.1.1. Ondit quef apourlimiteaupoint asi pourtout > 0,il existe > 0tel quex A,d(x, a) < = (f(x), ) Dans ce cas, on dit aussi quef(x) tend vers quandx tend versa.Remarque3.1.2.(a) La limite, si elle existe, est unique. On notelimxaf(x) = .(b) On peut reformuler la dnition laide des voisinages en disantque : fadmet la limite au point a si, et seulement si, pour toutvoisinageV de,ilexisteunvoisinageUdeadansEtelquef(U A) V .Proposition3.1.3. Lesassertionssuivantessontquivalentes:(1) Lafonctionfadmetlalimiteaupointa(2) Pour toute suite (an) dlments de Aconvergeant vers a, lasuite(f(an))convergevers.Dmonstration. (1) = (2) : Supposons que(an) converge versa etsoit > 0. Il existe > 0 tel qued(x, a) < = (f(x), ) Il existen0 N tel que, pour toutn n0, d(an, a) < , et donc(f(an), ) 46 Fonctions continuesCe qui traduit la convergence de la suite(f(an)) vers.(2)=(1):Parlabsurde,sif(x)netendpasversquandxtendversa, il existe > 0 tel que > 0, x A [ d(x, a) < et (f(x), ) Enprenant, pourchaqueentiern>0, =1/n, onconstruitunesuite(xn) dlments deA vriantd(xn, a) 0,il existe > 0tel qued(x, a) < = (f(x), f(a)) < OnditquefestcontinuesurEsielleestcontinueentoutpointdeE.Remarque3.2.2.Lasomme, leproduit et lacompose(lorsquecelaaunsens) defonctions continues sont des fonctions continues.Exemple3.2.3.SoientE1,E2, . . . , Endes espaces mtriques etE= E1Enles-pace mtrique produit.(a) La projection dindicei, dnie pourx = (x1, . . . , xn) Eparpi(x) = xiest une application continue.3.2 Continuit 47(b) Une applicationf: F Equi x Ffait correspondref(x) = (f1(x), . . . , fn(x))est continue si, et seulement si, pour tout i, 1 i n, la fonctionpi fest continue.(c) Soitf : E=E1En Funeapplicationcontinueetsoit a = (a1, . . . , an) un lment de E. Pour tout i, lapplicationpartielle dindicei au pointa dnie surEiparfi(t) = f(a1, . . . , ai1, t, ai+1, . . . , an)est continue au pointai.Exemple3.2.4. Fonctions polynomialesOnappellefonctionmonmedesnvariablesx1, . . . xn K,uneap-plicationfdeKndansK pouvant se mettre sous la formef(x1, . . . , xn) = a x11x22 xnnoaestuneconstanteetlesi, 1 i nsontdesentierspositifsou nuls.On appelle fonction polynomiale desn variablesx1, x2, . . . , xn, toutecombinaisonlinairedefonctionsmonmesdecesvariables. Ainsi,une telle fonction scritp(x1, x2, . . . , xn) =

a1,...,nx11x22 xnno la somme est nie.Lensemble des fonctions polynmiales desn variablesx1,x2, . . . , xnest notK[x1, x2, . . . , xn].Proposition 3.2.5.Une fonction polynomiale de n variables x1, x2, . . . , xnestcontinuesurKn.Exemple3.2.6.(a) La fonctionp dnie surR2parp(x1, x2) = x31x2 + x1 + 2x2est une fonction polynomiale de deux variables, donc p est conti-nue surR2.(b) La fonction qui une matriceX Mn(K) associe son dtermi-nantestunefonctionpolynomialedesn2variablesquisontlescoecientsdelamatriceX.Donc,lafonctionX Det Xestcontinue surMn(K).48 Fonctions continuesThorme3.2.7. SoientEetFdeuxespacesmtriquesetf: E Funeapplication.Lespropritssuivantessontquivalentes(1) festcontinue(2) Limagerciproqueparf detoutouvertdeFestunouvertdeE(3) Limagerciproque parfdetoutfermde Festunfermde E.Dmonstration. (1) =(2) : Supposons f continue et soit unouvert deF. On doit montrer que lensemblef1() = x E [ f(x) est un ouvert de E. Soit a f1(). Puisque f(a) est dans louvert et puisque fest continue, il existe donc un ouvert Ude Econtenanta tel quef(U) . Par suiteU f1(f(U)) f1()Ainsi, il existeunouvertUcontenantatel queU f1(). Celaprouve quef1() est un ouvert deE.(2) (3) : Lquivalence rsulte de la relation f1(A) = (f1(A)).(2) = (1) : Montrons quefest continue en tout pointa E. SoitVun voisinage ouvert deFcontenantf(a). LensembleU= f1(V )est un ouvert contenanta etf(U) V .Exemple3.2.8.Soit Eunespacemtrique, f : ERunefonctioncontinueet R.(a) Lensemble A = x E [ f(x) = est une ferm de E, puisqueA = f1() et est une ferm deE.(b) LensembleA = x E [ f(x) > est un ouvert deE, puiqueA = f1(], +[)(c) Lensemble desx Etels quef(x) est un ferm deEcaril est gal f1([, +[).Exemple3.2.9.Lensemble GLn(K) des matrices inversibles est un ouvert de Mn(K).Eneet, GLn(K)= X Mn(K) [ Det X ,=0, cestdonclimagerciproquedeRparlapplicationdterminantqui estcontinueetR=] , 0[]0, +[ est un ouvert deR.Remarque3.2.10.Limage (directe) dun ouvert par une application continue nest pasforcment un ouvert. Par exemple limage deR par la fonction conti-nuex x2est gale [0, +[ qui nest pas un ouvert deR.3.2 Continuit 49Dnition3.2.11.Soient Eet Fdeux espaces mtriques et f: E F.(1) Ondit quef est ouvertesi limageparf detout ouvert deEestunouvertdeF.(2) Ondit quef est fermesi limagedetout fermdeEest unfermdeF.Dnition3.2.12. Soitf: E F.(1) OnditquefestunhommorphismesifestunebijectiondeEsurFetsif1estcontinuedeFsurE.(2) OnditqueEetFsonthomomorphessilexisteunhomomor-phismeentreEetF.Exemple3.2.13.(a) Lapplication f: R R dnie par f(x) = x3est un hommor-phisme.(b) Plus gnralement, toute fonction fcontinue et strictement mo-notone sur un intervalle IdeR est un hommorphisme de Isurf(I).(c) Soit E un espace vectoriel norm. Pour tout a E, lapplicationtranslationpara, noteaetdniepara(x)=x + aestunhommorphisme. Lhomomorphisme inverse est donn par a.Pourtout ,=0, lhomothtiehdnieparh(x) =xestun hommorphisme de Esur Eet lhommorphisme inverse esth1.Proposition3.2.14. Soient Eet Fdeusespacesmtriqueset f :E Funebijectioncontinue.Lespropritssuivantessontquiva-lentes(1) festouverte(2) festferme(3) festunhomomorphismeDmonstration. (1) = (2) : SoitA un ferm deE, alorsA est unouvert et(1) permet darmer quef(A) est un ouvert. La relationf(A) = (f(A)) permet alors de conclure quef(A) est un ferm.(2) = (3) : Il sagit de prouver queg= f1: F Eest continue.Or,si AestunfermdeE, g1(A)=f(A)estunfermdeF,celaprouve bien quegest continue daprs le thorme (3.2.7).(3)=(1):Si AunouvertdeE, f(A)=g1(A)estunouvertdeF.50 Fonctions continuesDnition3.2.15. Soient (E,d)et (F, )deuxespacesmtriques.Uneapplicationf:E Festditeuniformmentcontinuesi, pourtout > 0,il existe > 0tel quepourtoutxety Ed(x, y) < = (f(x), f(y)) < On vrie facilement que :Proposition3.2.16. Touteapplicationuniformment continueestcontinue.Dnition3.2.17. Soient (E,d) et (F, ) deux espaces mtriques etkunrel positif. Onditquef:E Festk-lipschitziennesi,pourtoutxettoutydeE((f(x), f(y)) k d(x, y)Lorsquek < 1,ondiraquefestcontractante.Proposition3.2.18. Uneapplicationk-lipschitzienneestuniform-mentcontinue.Exemple3.2.19.(a) Soitf:I RunefonctiondrivablesurunintervalleIdeR.Sil existe k > 0 tel que [f(t)[ k, pour tout t I, le thormedes accroissements nis montre quex, y I, [f(x) f(y)[ k[x y[Cela montre quefestk-lipschitzienne.(b) Soit(E, | |) un espace vectoriel norm. Lapplicationx |x|est1-lipschitzienne, puisque|x| |y| |x y|(c) Soit(E,d)unespacemtriqueetaunlmentdeE.Lappli-cationx d(x, a) est1-lipschitzienne, puisque[ d(x, a) d(y, a)[ d(x, y)Proposition3.2.20. Soit(E,d)unespacemtrique. Lapplicationqui(x, y)associe d(x, y)estuniformmentcontinuesurE E.Dmonstration. On munitE Ede la distance dnie pard1((x, y), (x, y)) =d(x, x) +d(y, y)3.3 Continuit des applications linaires 51Lingalit triangulaire permet dcrire d(x, y) d(x, y) [ d(x, y) d(x, y)[ +[ d(x, y) d(x, y)[d(x, x) +d(y, y)=d1((x, y), (x, y))Cela prouve que (x, y) d(x, y) est 1-lipschitzienne, donc uniform-ment continue surE E.3.3 ContinuitdesapplicationslinairesLa continuit des applications linaires fait lobjet dune tude parti-culire justie par le thorme suivant :Thorme3.3.1. SoientEetFdeuxespacesvectorielsnormsetf : E F uneapplicationlinaire. Les proprits suivantes sontquivalentes(1) festcontinue(2) Il existeuneconstantec > 0tellequex E, |f(x)| c|x|Dmonstration. (1)=(2): Supposonsf continuesurE ; elleestenparticuliercontinueen0etparsuite,pour=1,ilexiste>0tel que|x| = |f(x) f(0)| = |f(x)| 1Soit x un lment de E, non nul. Llment y= x/|x| a pour norme, donc |f(y)| 1. Cela se traduit par|f(x)| 1|x|Cetteingalit,videnteaussipourx=0,montrequona(2)avecc = 1.(2) = (1) : La proprit (2) montre que, pour tout x et tout y dansE|f(x) f(y)| = |f(x y)| c|x y|Cela montre quefestc-lipschitzienne, donc continue.Si E et Fsont deux espaces vectoriels, on dsigne par L(E, F) lespacevectoriel des applications linaires continues deEdansF. Pourf L(E, F), on pose|f| = supx=0|f(x)||x|52 Fonctions continuesOn peut vrier que cela dnit une norme sur L(E, F) ; cette normeest dite subordonne.On vrie aussi que(a) Pour toutf L(E, F),|f| =supx1|f(x)| =supx=1|f(x)|= minc > 0 : |f(x)| c|x|, x E(b) Si E, F et Gsont trois espaces vectoriels norms et si f L(E, F) etg L(F, G), alorsg f L(E, G) et|g f| |g| |f|Thorme3.3.2. Si Fest unespacedeBanach, lespace L(E, F)estunespacedeBanach.3.4 ExercicesExercice3.4.1.SoientEetFdeux espaces mtriques etf: E F.(a) Montrer que, sifest continue, alors son graphef= (x, f(x)) [ x Eest ferm dansE F. La rciproque est-elle vraie ?(b) Montrer que si fest continue, son garphe fest hommorphe E. En dduire que les ensembles G1= (x, y) R2[ y= x2,G2= (x, y) R2[y=x3etG3= (x, y) R2[y=sin xsont tous homomorphes RExercice3.4.2.Montrerquesi E1esthommorpheE1etE2esthomomoprheE2, alorsE1 E2est hommorphe E1 E2.Exercice3.4.3.Soient Eet Fdeux espaces mtriques et f: E Fune application.(a) Montrer que fest continue si et seulement si f(A) f(A) pourtoute partieA deE.(b) Montrerquefestfermesietseulementsi f(A) f(A)pourtoute partieA deE.(c) Montrer quefest ouverte si et seulement sif_ oA_of(A) pourtoute partieA deE.3.4 Exercices 53(d) Montrer que sifest bijective, alors :fest ouverte fest ferme f1est continue.Exercice3.4.4.SoientE1etE2deux espaces mtriques.(a) Montrerquelaprojectionp1qui(x1, x2) E1E2faitcor-respondrex1est ouverte.(b) Montrerquep1nestpasforcmentferme.Pourcela,onpeutconsidrer le casE1= E2= R etF= (x, 1/x) [ x > 0.Exercice3.4.5.Soit(E,d) un espace mtrique.(a) Soit A une partie de E. Montrer que lapplication fqui x Efait correspondre d(x, A) est1-lipschitzienne.(b) SoientAetBdeuxfermsdisjointsdeE.Montrerquilesistedeux ouvertsUetVdeE, disjoints tels queA UetB V .Exercice3.4.6.SoitA une partie non vide dun espace mtriqueE.(a) Montrer quediam(A) = diam(A)(b) A-t-on toujoursdiam(A) = diam(oA) ?Exercice3.4.7.(a) Soit fune application continue dun espace mtrique E dans unespace mtriqueF. Montrer que siDest une partie dense dansE, alorsf(D) est une partie dense dansf(E).(b) En dduire que lensemble cos n [ n N est dense dans [1, 1].(c) Soitaunreltelquea/soitirrationnel.OnposeG= eina[n Z et S1= z C; [z[ = 1. Montrer que G est dense dansS1et queG ,= S1.Exercice3.4.8.(a) Soitfetgdeux applications continues dun espace mtriqueEdansunespacemtriqueFetsoitDunepartiedensedansE.Montrerquesi f etgconcidentsurD, alorsellesconcidentpartout surE.(b) Dterminer les applications continues deR dansR telles quef(x + y) = f(x) + f(y), x, y RExercice3.4.9.54 Fonctions continuesMontrer que, pour tout A, B Mn(R) : com(AB) = com(A) com(B)ocom(A) dsigne la comatrice deA.Exercice3.4.10.(a) Montrer quesi A Mn(K) est unematricenilpotente, alorsAn= 0(b) Endduirequelensemble ^desmatricesnilpotentesestunferm deMn(K)(c) Montrer que ^est dintrieur vide.Exercice3.4.11.Pour toute matriceA Md(K) et pour tout entiern N, on poseSn(A) =n

k=01k!Ak(a) Montrer que la suite(Sn(A)) converge dansMd(K) ; on noteeAsa limite.(b) Montrer quil existe un polynmep K[X] tel queeA= p(A).Exercice3.4.12.Soit A une matrice de Mn(R). On dit quune matrice X Mn(R) estuneracinecarredeAsi X2=A. OnnoteRac(A)lensembledesracines carres deA :Rac(A) = X Mn(R) [ X2= A(a) Montrer queRac(A) est une partie ferme deMn(R).(b) LensembleRac(In) est-il une partie borne deMn(R) ?(c) Soitn 2. Montrer quil nexiste pas de norme | | vriant|AB| |A| |B|, A, B GLn(R)OnnoteR[x1, x2, . . . , xm]lensembledesfonctionspolynomialessurRm. Pourp dansR[x1, x2, . . . , xm], non identiquement nul, on poseZ(p) = (x1, x2, . . . , xm) [ p(x1, x2, . . . , xm) = 0.4. Soit p R[x1, x2, . . . , xm] et I1, I2, . . . , Imdes parties inniesde R. Montrer que si lafonctionpolynomiale psannule surI1 I2Im, alorsp est la fonction nulle.5. Dterminer lintrieur deZ(p).6. En dduire lintrieur deRac(A).3.4 Exercices 55Exercice3.4.13.Soitn un entier non nul. On noteSLn(K) = A Mn(K) [ Det A = 1(a) Montrer queSLn(K) est un ferm deMn(K).(b) Montrerque,pourtoutA Mn(K),ilexisteunrel >0telquet ]0, [, Det(A + tI) ,= 1(c) En dduire queSLn(K) est dintrieur vide.Exercice3.4.14.SoientXetYdeux espaces mtriques, soit(Ai)iIun recouvrementdeXet soitf: X Y .(a) MontrerquesilesAisonttousouvertsetlesapplicationsf[Aisont toutes continues, alorsfest continue.(b) On suppose que Iest ni et que les Ai sont tous ferms. Prouverque si lesf[Aisont continues, alorsfest continue.Exercice3.4.15.Montrer que(a) ToutfermFdunespacemtriqueEestintersectiondnom-brable douverts.(b) Tout ouvertUest union dnombrable de ferms.Exercice3.4.16.Soit (E,d) un espace mtrique. Une fonction f: E R est dite semi-continueinfrieurement(enabrgsci)enx0si,pourtout>0,ilexiste un voisinageVdex0tel quex V= f(x) f(x0) De mme, fest dite semi-continue suprieurement (en abrg scs) enx0si, pour tout > 0, il existe un voisinageVdex0tel quex V= f(x) f(x0) + Cest--dire(f) est semi-continue infrieurement.Ondsignepar 1(resp. o)lensembledesfonctionssurEvaleursrelles qui sont sci (resp. scs).(a) Montrerque 1estuncneconvexerticul,cest--direquesifetgsontdans 1et 0,alorsf+ g, fetmax(f, g)sontaussi dans 1.56 Fonctions continues(b) Montrer que fest continue si, et seulement si, elle est sci et scs.(c) Montrer que fest semi-continue infrieurement si, et seulementsi, lensemble x E [ f(x) > est un ouvert de E, pour toutrel.(d) Montrer que la fonction indicatrice dun ouvert (resp. dun ferm)est sci (resp. scs).(e) Soit (fi)iIune famille de fonctions sur E valeurs relles conti-nues. On suppose quef= supiI fiest nie en chaque point deE. Montrer quefest sci.(f) Soit f: E ]0, +[ une fonction sci. On pose que pour n Nfn(x) =infaE(f(a) + nd(x, a))Montrer que les fn sont continues, valeurs dans ]0, +[ et quefncroit versf.3.5 CorrectiondesexercicesExercice3.4.1(a) Soit (xn, f(xn)) une suite de fqui converge vers (x, y). La suite(xn) converge vers x et la suite (f(xn)) converge vers y. Puisquefest continue, on a ncessairement y= f(x) si bien que la limite(x, y) est dans f. Ainsi, fest ferm dans EF. La rciproqueestfausse.Eneet,ilsutdeconsidrerlecasE=F=Retf: R R lapplication dnie parf(x) =___1x,, six ,= 0 ;0, six = 0.La fonctionfnest pas continue et son graphef= (0, 0) (x, 1/x) [ x ,= 0est ferm comme runion de deux ferms deR2.(b) La fonctiong: x (x, f(x)) est continue et bijective deEsurf.Sarciproqueg1:(x, f(x)) xestcontinue.Ainsi,gestun homomorphisme deEsurf.Comme application, on en dduit que G1, G2 et G3 sont homo-morphes R; ils sont donc deux deux homomorphes. 3.5 Correction des exercices 57Exercice3.4.2Soientf : E1 E1etg: E2 E2lesdeuxhomomorphismesetsoith : E1 E2 E1 E2lapplication dnie parh(x1, x2) = (f(x1), f(x2))Lapplicationh est continue, car ses composantes le sont. De plus,hest bijective et sa rciproqueh1: E1 E2 E1 E2, donne parh1(x1, x2) = (f1(x1), f1(x2))est continue, car ses composantes le sont. Ainsi,h est un homomor-phisme deE1 E2dansE1 E2. Exercice3.4.3(a) Supposons quefsoit continue et soity f(A), il existex Atel quey= f(x). Il existe aussi une suite(xn)nNdlments deAquiconvergeversx.Puisquefestcontinue,lasuite(f(xn))converge versf(x) = y, si bien queyest dansf(A). On a doncf(A) f(A).Rciproquement, supposonsquepourtoutepartieAdeE, onait f(A) f(A). Soit un ferm de F. Il sagit de prouver quef1() est un ferm deE. PosonsA = f1() ; on af(A) f(A) = Donc A A et par suite A est un ferm de E. La fonction festdonc continue surE.(b) Supposonsquefsoituneapplicationferme linclusionA Aimplique quef(A) f(A). CommeA est un ferm deE,f(A)est un ferm deF, cest--diref(A) = f(A). Il en rsulte quef(A) f(A).Rciproquement, supposonsquef(A) f(A)pourtoutepar-tieAdeEetmontronsquefestferme. SoitAunfermdeE, lhypothseditquef(A) f(A)etparsuiteonalgalitf(A) = f(A), cest--dire quef(A) est un ferm.(c) Supposons que fsoit ouverte. On aoA A donc f_ oA_ f(A) etpar suite lintrieur def_ oA_ est inclus dans lintrieur def(A).Commef estouverte, lintrieurdef_ oA_lui estgal, cequiimpliquef_ oA_of(A)58 Fonctions continuesSupposonsquef_ oA_ of(A)pourtoutepartieAdeE. SoitAunouvert de E. OnaoA=Aet donc f(A) of(A). Onancessairement lgalit f(A) =of(A) et donc f(A) est unouvert deF.(d) Montronsquesi festouvertealorselleestferme. SoitAunferm deE. Puisque(f(A)) = f(A) est un ouvert, il sensuitquef(A) est un ferm.Montrons quesifestferme alorsf1estcontinue.SoitAunferm de E, (f1)1(A) = f(A) est un ferm de F, donc f1estcontinue.Enn, montrons que sif1continue alorsfest ouverte. SoitUunouvertdeE,lgalit(f1)1(U)=f(U)montrequef(U)est un ouvert. Exercice3.4.4(a) SoitUun ouvert de E1E2. On doit prouver que p1(U) est unouvert deE1. Soita1 p1(U), il existea = (a1, a2) Utel quep1(a)=a1.PuisqueUestunouvert,ilexisteunouvertU1deE1contenanta1etunouvertU2deE2contenanta2telsqueU1 U2 U, par suitep1(U1U2) = U1 p(U). Ainsi,U1estunouvertcontenanta1etinclusdansp1(U). Celaprouvequep1(U) est un ouvert deE1.(b) LensembleFestunfermdeR2, maisp1(F) =]0, +[ nestpas un ferm deR. Exercice3.4.5(a) Soientx etydeux lments deE. Pour touta deA,d(x, A) d(x, a) d(x, y) +d(y, a)Il sensuit qued(x, A) d(x, y) +d(y, A)En changeant les rle dex ety, on obtientd(y, A) d(x, y) +d(x, A)et par suite[ d(x, A) d(y, A)[ d(x, y).Cela montre que lapplicationx d(x, A) est lipschitzienne derapport 1.3.5 Correction des exercices 59(b) PosonsU= x E [ d(x, A) d(x, B)Lapplicationx d(x, B) d(x, A) est continue deEdansR.Uet Vsont, respectivement, les images rciproques des ouverts]0, +[ et ] , 0[, ce sont donc des ouverts disjoints de E. Deplus,A UetB V . Exercice3.4.6(a) Par dnition,diam(A) =supx,yAd(x, y).Onendduit facilement que diam(A) diam(A). Montronslingalit inverse, cest--dire que, pour toutx etydansAd(x, y) diam(A)Soient xet ydans A. Il existedeuxsuites (xn) et (yn) dansAqui convergent, respectivement, versxety. Pourtoutn N, d(xn, yn)diam(A). Enfaisant tendre nvers linni etenutilisant lacontinuitdelapplicationdistance, onobtientd(x, y) diam(A).(b) DansR, on considreA = [1, 2] 3. On adiam(A) = 2 et diam_ oA_= 1. Exercice3.4.8(a) Supposons que, pour tout d D, f(d) =g(d). Soit xdansE=D, il existeunesuite(dn)dlmentsdeDqui convergeversx. Commef(dn)=g(dn)etcommefetgsontcontinuesen x, par passage la limite on obtient f(x) = g(x). Ainsi, fetgconcident surE.(b) On posea = f(1). Il est facile de voir quef(n) = an pour toutn Zetf(r)=arpourtoutr Q. Soitxunrel, puisqueQestdensedansR,ilexisteunesuite(rn)deQquiconvergeversx.Lgalitf(rn)=arnpourtoutnetlacontinuitdefimpliquentf(x) = ax. Exercice3.4.10(a) Si pestlindicedenilpotencedelamatriceA, Ap1,=0etilexiste X0 non nul tel que Ap1X0 ,= 0. La famille (X0, AX0, . . . , Ap1X0)est libre dansMn,1(K), doncp n etAn= ApAnp= 0.60 Fonctions continues(b) Daprs la premire question,^= A Mn(K) [ An= 0^est limage rciproque de 0 par lapplication A An. Celle-ci tant continue, on en dduit que ^est un ferm.(c) Supposons que ^soit dintrieur non vide et soitNdanso^. Ilexister > 0 tel queB(N, r) ^ParsuiteN+ (r/2)Iestunematricenilpotentecequiestim-possible carN+ (r/2)Iest inversible et une matrice nilpotentenest jamais inversible. Exercice3.4.11(a) On munit Md(K) de la norme subordonne. Puisque la dimensiondeMd(K)estnie,ilsutdemontrerqueSn(A)estunesuitede Cauchy. Soitm > n,|[Sm(A) Sn(A)|[ m

k=n+11k!|[A|[kLasriedetermegnral |[A|[k/k!estconvergenteverse|A|,donc le second terme de lingalit prcdente tend vers 0 quandnetmtendentverslinni.Onendduitque(Sn(A))estunesuite de Cauchy.(b) Voir lexercice 2.9.9. Exercice3.4.12(a) Lapplicationf: X X2est continue surMn(R) etRac(A) = f1(A)Il en rsulte queRac(A) est un ferme deMn(R).(b) Considrons la matrice dordren suivanteXp=_Sp00 In2_avec Sp=_1 0p 1_On vrie que X2p= I et que |Xp| tend vers linni avec p. DoncRac(In) est non borne.3.5 Correction des exercices 61(c) Supposons quune telle norme existe, alors|I| = |X2p| |Xp|2ce qui est impossible puisque le second membre tend vers linniavecp.(d) On raisonne par rcurrence sur m N. Le rsultat est vrai pourm=1.SupposonsquilestvraipourmetsoitpunefonctiondeR[x1, x2, . . . , xm+1]quisannulesurI1I2Im+1.Lafonctionpolynomialet p(x1, x2, . . . , xm, t)sannulesurlen-sembleinniIm+1,doncelleestnulle.Lafonctionpolynomiale(x1, . . . , xm) p(x1, x2, . . . , xm, t) sannule sur I1I2 Im,donc elle est nulle. Cela prouve le rsultat cherch.(e) SupposonsquelintrieurdeZ(p)soitnonvide. LepolynmepsannulesurZ(p)doncsursonintrieurquiestunouvertdeRm. Il existe doncr > 0 tel quep sannule sur la bouleB(a, r) =m

i=1]ai r, ai + r[.Daprs laquestionprcdente, pest nul cequi est absurde.DoncZ(p) est dintrieur vide.(f) OnposeA=(aij). Rac(A)estlensembledesmatrices(xij) Mn(K) telles quen

k=1xikxkj aij= 0, i, jCela montre queRac(A) =

1i,jnZ(pij) avec pij=n

k=1xikxkj aijCommeZ(pij)estdintrieurvide,pourtouti, j,onendduitqueRac(A) est dintrieur vide. Exercice3.4.13(a) Lapplicationqui unematriceAassociesondterminantestcontinue. SLn(K), tant limagerciproqueduferm 1parcette application, est donc un ferm deMn(K).(b) Lapplicationt Det(A+tI) est polynomiale, donc lquationDet(A + tI) = 1admetauplusunnombrenidesolutions.Ilsutdeprendrepour la plus petite solution strictement positive si elle existe,sinon on prend = +.62 Fonctions continues(c) Supposons que SLn(K) est dintrieur non vide. Soit A une ma-trice dans lintrieur de SLn(K). Daprs la question prcdente,la bouleB(A, ) = X Mn(K) [ |[X A|[ < nest pas incluse dansSLn(K). Do la contradiction. Remarque. Onpeut retrouver le fait que SLn(K) est dintrieurvide en remarquant queSLn(K) = Z(p) op est un polynme den2variables et utiliser lexercice prcdent.Exercice3.4.14(a) SoitUun ouvert deY . En posantfi= f[Ai, il vientf1i(U) = f1(U) Aiet donc f1(U) =_iIf1i(U)Commefi: Ai Y estcontinue, f1i(U)estouvertdansAi,doncouvertdansX,carAiestunouvertdeX.Ainsi,f1(U)est un ouvert deXet par suitefest continue.(b) SoitFun ferm deY . On af1(F) =_iIf1i(F)Lesf1i(F) sont des ferms dansX, comme ils sont en nombreni, leur runionf1(F) est ferme. Lafonctionf est donccontinue. Exercice3.4.15(a) On peut supposer queFest non vide. Pourn N, on poseOn= x E [ d(x, F) < 1/nLapplicationx d(x, F)tantcontinueetOn,tantlimagerciproqueparcetteapplicationdelouvert] , 1/n[,estunouvert deE. On a

n=1On= x E [ d(x, F) = 0 = F= F(b) On peut supposerU ,= E. On poseF= EUetFn= x E [ d(x, F) 1/nIl est clair queFnest un ferm deEet_n=1Fn= x E [ d(x, F) > 0 = U Chapitre4Espacesmtriquescomplets4.1 DnitionetpropritsDnition4.1.1. Soit (E,d) unespace mtrique. Ondit quunesuite (xn) dlments de Eest une suite de Cauchy si, pour tout > 0,il existen0 Ntel quem, n n0=d(xm, xn) < Proposition4.1.2. Dansunespacemtrique(E,d)(1) ToutesuiteconvergenteestunesuitedeCauchy.(2) ToutesuitedeCauchyestunesuiteborne.(3) Toute suite de Cauchy qui admet une valeur dadhrence , convergeverscettevaleurdadhrence.Dmonstration. Seule la troisime assertion ncssite une dmonstra-tion. Soit (xn) une suite de Cauchy qui admet une valeur dadhrence et soit (x(n)) une sous-suite qui converge vers . Soit > 0, il existen0 N tel quem, n n0=d(xm, xn) 0, ilexiste > 0tel que,pourtousxetydansAd(x, a) < et d(y, a) < = (f(x), f(y)) < .Dmonstration. Supposons quefvrie le critre de Cauchy ena etmontrons que fadmet une limite en a. Soit (xn) une suite dlmentsdeA, admettant apour limite, lecritredeCauchyimpliqueque(f(xn))estunesuitedeCauchydansF. Celui-ci tantcomplet, lasuite(f(xn)) est convergente.Inversement, supposonsquefpossdeunelimiteena. Pourtout > 0, il existe > 0 tel qued(x, a) < = (f(x), ) < /2.Soientx etydansA tels que d(x, a) < et d(y, a) < . Lingalittriangulaire permet dcrire(f(x), f(y)) (f(x), ) + (, f(y)) < .Cela montre quefvrie le critre de Cauchy.68 Espaces mtriques completsThorme4.2.2.Soient (E,d) un espace mtrique, (F, ) un espacemtriquecompletetDunepartiedensedansE.Soitf: D Funefonctionuniformment continue. Il existeuneet uneseulefonctioncontinuef: E FquiconcideavecfsurD.Deplus,lafonctionfestuniformmentcontinue.Dmonstration. Construisonsunprolongementdef:Soita E=D.Puisquefestuniformmentcontinue,pourtout>0,ilexiste > 0 tel quex, y D, d(x, y) < = (f(x), f(y)) < (4.1)En particulier, si d(x, a) < /2 etd(y, a) < /2 alors (f(x), f(y)) 0 et soit > 0 associ par (4.1). Soient x et y dans Etel qued(x, y) < ;xestlimitedunesuite(xn)dlmentsdeDetyestlimitedunesuite (yn) dlments de D. Lacontinuit de ladistance fait qued(xn, yn) < partir dun certain rangn0, donc(f(xn), f(yn)) < pourn n0. Or, par constructionf(xn) etf(yn) convergent respec-tivementversf(x)etf(y),ilenrsulteque( f(x),f(y)) .Celaprouve quefest uniformment continue.Lunicit du prolongement rsulte du fait que si deux fonctions conti-nues concident sur une partie dense, elles cocident partout.Corollaire4.2.3. Soient(E,d)unespacenorm,Dunsous-espacedense dans Eet F unespace de Banach. Alors, toute applicationlinairecontinuef: D Fseprolongedemanireuniqueenuneapplicationlinairecontinuef: E F.Dmonstration. La linarit jointe la continuit implique luniformecontinuit de f. Le thorme prcdent assure lexistence dun prolon-gementfdefuniformment continue. Montrons quefest linaire :Soientx etydeux lments deE, et soientetdeux scalaires. Ilexiste (xn) et (yn) dans D qui convergent respectivement vers x et y.On af(x + y) = limn+f(xn + yn)= limn+f(xn) + limn+f(yn)= f(x) + f(y)4.2 Critre de Cauchy, prolongement 69Ce qui traduit la linarit def.Application: constructiondelintgraledeRiemannSoit B([a, b]) lensemble des fonctions bornes sur [a, b] valeursrelles, muni de lanorme uniforme. Ondsigne par c([a, b]) len-sembledesfonctionsenescalier sur [a, b]. Pour f dans c([a, b]), ilexiste une subdivision de[a, b]a = x0< x1 0x[f(x)[ kf(x).Montrer quefadmet un unique point xe dans]0, +[.(g) Soit f:]0 +[]0, +[ une fonction telle quil existe k [0, 1[vriant pour toutx > 0x[f(x)[ k[f(x).Montrerfadmet un unique point xe dans]0, +[.Exercice4.3.2.4.3 Exercices 71SoitE=]0, +[. Pour tousx etydansE, on pose(x, y) =1x 1y(a) Montrer queest bien une distance sur]0, +[.(b) Montrer que et la distance usuelle sont topologiquement qui-valentes.(c) Montrer que(E, ) nest pas complet.(d) Montrer que(]0, 1], ) est complet.Exercice4.3.3.SoitE= an[ n Nunensemblednombrable. Onpose, pourtoutn etm dansN,d(an, an) = 0 et d(an, am) = 1 +1n+1m,n ,= m(a) Vrier que d est une distance surE.(b) Montrer que(E,d) est complet.Exercice4.3.4.Soient Eet Fdeux espaces mtriques et f: E Fune application.On suppose que limage par fde toute suite de Cauchy de Eest unesuite de Cauchy dansF. Montrer quefest continue.Exercice4.3.5.SoitA une partie dense dun espace mtrique.Montrer que si toute suite de Cauchy de A converge dans E, alors Eest complet.Exercice4.3.6.Soita < b deux nombres rels etf:]a, b[R une fonction drivabletelle quefsoit borne sur]a, b[. Montrer quefadmet un prolonge-ment continue ena etb.Exercice4.3.7.(a) Soitf: [0, 1] R une fonction continue. Montrer quune fonc-tionu de classeC2([0, 1]) est solution de_u(t) = f(t), pour0 t 1u(0) = u(1) = 0,(1)si et seulement siu est continue sur[0, 1] etu(x) =_10G(x, t)f(t) dt72 Espaces mtriques completsoG : [0, 1] [0, 1] R est dnie parG(x, t) =_t(1 x), si0 t x 1x(1 t), si0 x t 1(2)LafonctionGestappelefonctiondeGreenassocieaupro-blme (1).(b) Montrer quil existe une unique fonction u de C2([0, 1]) telle que_u(t) = cos(u(t)), t [0, 1]u(0) = u(1) = 0(3)(c) Plusgnralement, soith: [0, 1]R Runefonctionconti-nueadmettantunedrivepartielleparrapportladeuximevariable vrianth(t, ) L, (t, ) [0, 1] RoL est une constante telle que0 L < 8.Montrerquil existeuneuniquefonctiondeC2([0, 1])solutionde_u(t) = h(t, (u(t)), pour0 t 1u(0) = u(1) = 0(d) Soient g et a : [0, 1] R deux fonctions continues. Montrer quesi |a|< 8, le problme_u(t) + a(t)u(t) = g(t), sur[0, 1]u(0) = u(1) = 0admet une unique solution.(e) Soitm une constante non nulle. Montrer que le problme_u(t) +2u(t) = mu(0) = u(1) = 0nadmet aucune solution de classeC2([0, 1]).Exercice4.3.8.(a) Montrer, en utilisant le thorme de Baire, quun espace vectorielnorm E admettant une base dnombrable nest jamais complet.(b) Montrer quon ne peut pas munir R[X] dune structure despacede Banach.4.3 Exercices 73Exercice4.3.9.(a) Soient(E,d) et(F, ) deux espaces mtriques. On suppose que(E,d) est complet. Onconsidreunesuite (fn) defonctionscontinues deEdansF.i) Pour > 0 et pour toutn N, on poseFn,= x E [ (fn(x), fm(x)) , pour toutm nMontrerque= nNoFn,estunouvertdensedansEetque,pourtoutx0 ,ilexisteunvoisinageV dex0,telque pour toutx V:(f(x), f(x0)) 3ii) En dduire que lensemble des points de continuit de festdense dansE.(b) Soitf:R Runefonctiondrivable.Montrerquelensembledes points de continuit defest dense dansR.Exercice4.3.10.On dsigne par Iun intervalle de R et par Jun intervalle inclus dansI. LespaceRdsera identi lespaceMd,1(R) des matrices relles d lignes et une colonne. On notera | | la norme euclidienne deRd.Soitt0 I, RdetsoientA: I Md(R)etb: I Rddeuxapplications continues surI.On considre la suite (Xn) de fonctions sur I valeurs dans RddniesparX0= 0, Xn+1(t) = +_tt0(A(s)Xn(s) + b(s))ds(a) Montrer que les applicationsXnsont continues surI.(b) Montrerquil existeuneconstantec >0telleque, pourtoutn Net toutt J,|Xn+1(t) Xn(t)| cn[t t0[nn!sup|X1(t) X0(t)|, t J.(c) Endduirequelasuite(Xn)convergeuniformmentsurtoutsegment inclus dansI. On dsigne parXlapplicaton limite de(Xn).(d) Prouver quelapplicationXest declasseC1sur I et quellevrieX(t0) = , X(t) = A(t)X(t) + b(t), t I.Exercice4.3.11.74 Espaces mtriques completsSoitE=C([0, 1], R)muni delanormeuniforme. Onpose, pourudansEet [0, 1],T(u)(x) = 1 +_x0u(sin t) dt(a) Montrer que lapplicationT T: E Eest contractante.(b) Endduirequil existeuneuniquefonctionu: [0, 1] RdeclasseC1telle que(1) u(x) = u(sin x), x [0, 1] et u(0) = 14.4 CorrectiondesexercicesExercice4.3.1i. Il est facile de voir queest une distance.ii. Celarevientmontrerquelapplicationidentitde(E,d)dans(E, )estunhomomorphisme. Soit>0, laconti-nuit de la fonction logarithme montre quil existe > 0 telque[x x0[ < = [ Log x Log x0[ < cest--dire tel qued(x, x0) < = (x, x0) < Inversement, > 0 tant donn, la continuit de la fonctionexponentielle montre quil existe > 0 tel que[ Log x Log x0[ < =d(x, x0) < Ainsi, lapplication identit est un homomorphisme de (E,d)dans(E, )iii. La suite (1n)n1 est une suite de Cauchy dans (E,d) mais neconverge pas dans (E,d), cet espace nest donc pas complet.iv. Supposons que la suite (1n)n1converge dans(E, ). Il exis-terait Etel que Log(1n) Log = [ Log n + Log [ n+0Cequi estimpossible. Lasuite(1n)n1divergedoncdans(E, ).4.4 Correction des exercices 75Supposons que (1n)n1 soit une suite de Cauchy dans (E, ),il vient Log1m Log1n = [ Log mLog n[ n,m+0Cela veut dire que la suite (Log n) est de Cauchy dansR etdonc converge, ce qui est absurde.v. Soit(xn) une suite de Cauchy de(E, ). On a[ Log xm Log xn[ n,m+0Celamontrequelasuite(Log xn)estdeCauchydans R.Soit sa limie, alors[ Log xn [ n+0cest--dire(xn) converge versedans(E, ).vi. On a pour0 < x < y,(f(x), f(y)) = [ Log f(x) Log f(y)[=_yxf(t)f(t)dt _yxft)f(t) dt_yxktdt = k[ Log y Log x[ = k(x, y)si bien que fest une application contractante de Edans E.Elle admet donc un unique point xe dansE. Exercice4.3.2Suivre le mme raisonnement que dans lexercice prcdent.Exercice4.3.3Il est facile de voir que d est une distance. Montrons que (E,d)est complet. Soit (xk) unesuitedeCauchydans E, il existen0 Ntel quem n n0, d(xm, xn) < 1si bien quexm= xnpourm n n0.Ainsi, la suite (xn) est donc stationnaire et par suite convergentedansE. Exercice4.3.476 Espaces mtriques completsSoita Eet(xn)unesuitedeEquiconvergeversa.Ilsagitdemontrerquelasuite(f(xn))convergeversf(a). Ondnitla suite(yn) pary2n= xnety2n+1= aLasuite(yn)convergeversa, cestdoncunesuitedeCauchydansEet(f(yn))estdeCauchydansF.Parailleurs,f(a)estunevaleurdadhrencedelasuite(f(yn)),puisquef(y2n+1)=f(a), doncf(yn) convergevers f(a). Enparticulier f(y2n) =f(xn) converge versf(a). Ainsi,fest continue au pointa. Exercice4.3.6Il existeuneconstantek >0telleque [f(t)[ kpourtoutt ]a, b[, par suite, daprs le thorme des accroissement nis,[f(x) f(y)[ k[x y[pour toutx etydans]a, b[. Ainsi,fvrie le critre de Cauchyen a et b ; elle est donc prolongeable par continuit en a et b. Exercice4.3.7i. Supposons queu(x) =_10G(x, t)f(t) dtcest--direu(x) = (1 x)_x0tf(t) dt + x_1x(1 t)f(t) dt ()Cela montre queu est da classeC1sur[0, 1] et queu(x) = _x0tf(t) dt + (1 x)xf(x) +_1x(1 t)f(t) dt + x(x 1)f(x)= _x0tf(t) dt +_1x(1 t)f(t) dtCetteexpressionprouvequeuestaussi declasseC1sur[0, 1] et vrie queu(x) = f(x)Dautrepart, enfaisant dans larelation() x =0puisx=1, ontrouveu(0) =u(1) =0. Enrsum, uestde4.4 Correction des exercices 77classeC2et est solution de(1).Rciproquement, si u est solution de (1), la formule de Tay-lor avec reste intgral donneu(x) = u(0) + u(0)x +_x0(x t)u(t) dtCommeu(0) = 0 etu= f,u(x) = u(0)x _x0(x t)f(t) dtCommeu(1)=0, enfaisantx=1danscequi prcde, ilvientu(0) =_10(1 t)f(t) dtFinalementu(x) =_10x(1t)f(t) dt_x0(xt)f(t) dt =_10G(x, t)f(t) dtoG est donne par(2).ii. Daprs la premire question, le problme (3) est quivalent :u est continue et u(x) =_10G(x, t) cos(u(t)) dtAutrementdit, uestunpointxepourlapplicationF :E Ednie parF(u)(x) =_x0G(x, t) cos(u(t)) dtoE=C([0, 1]). LespaceEmuni delanormeuniformeestcomplet ; nousallonsprouverqueFestcontractante.Daprslethormedesaccroissementsnis,ona [ cos a cos b[ [a b[ pour touta etb dansR, donc[F(u)(x) F(u)(y)[ =_10G(x, t)[ cos(u(t)) cos(v(t))[ dt__10G(x, t) dt_|u v|On vrie quesup0x1_10G(x, t) dt =1878 Espaces mtriques completset il sensuit que fest18-lipschitzienne. Daprs le thormedu point xe, il existe un unique u dans E tel que F(u) = u.Lapplicationu est ainsi lunique solution de(3).iii. Il sut de montrer que lapplication F: E Ednie parF(u)(x) =_10G(x, t)h(t, u(t)) dtestcontractante. Lethormedesaccroissementsnisap-pliqu la fonction h(t, ) montre quil existe c comprisentre1et2tel queh(t, 1) h(t, 2) = (1 2)h(t, c)et donc, pour tous1et2dansR et toutt dans[0, 1][h(t, 1) h(t, 2) L[1 2[Il sensuit que[F(u)(x) F(v)(x)[ _10G(x, t)[h(t, u(t)) h(t, v(t))[ dt L_10G(x, t)[u(t) v(t)[ dtIl en rsulte que|F(u) F(v)| L8|u v|iv. Ilsutdutiliserlaquestionprcdenteaveclafonctionhdnie parh(t, ) = a(t) g(t)v. Les fonctionsu qui vrientu+2u = m sont de la formeu(t) = Acos t + Bsin t +m2oA etBsont des constantes relles. Les conditionsu(0 =u(1) = 0 impliquentm2+ A = 0 et m2A = 0Cela nest possible que sim = 0. Exercice4.3.84.4 Correction des exercices 79i. Soit (e1, e2, . . . , en, . . .) une base dnombrable de E. On poseFn= Vect((e1, e2, . . . , en)Fn est un sous-espace vectoriel de dimension nie, cest doncunfermdeE. Deplus, il eststrictementinclusdansE,doncoFn= etlaruniondesFnestgaleE.SiEtaitcomplet, lethormedeBaireimpliquequeoE= cequiest absurde. Ainsi,Ene peut tre complet.ii. Lafamille(1, X, . . . , Xn, . . .)estunebasednombrabledeR[X]. Daprs la question prcdente, il nexiste pas de norme| | surR[X] qui en fait un espace de Banach. Exercice4.3.11i. On a, pour toutu1etu2dansE[T(u1)(x) T(u2)(x)[ _x0[u1(sin t) u2(sin t)[ dt x|u1 u2|Par suite, il vient[T2(u1)(x) T2(u2)(x)[ _x0[Tu1(sin t) Tu2(sin t)[ dt_x0(sin t)|u1 u2|dt k|u1 u2|aveck =_10sin t dt < 1. Si bien queT2est contractante.ii. LzapplicationT: E Eadmet une itre contractante etEestcomplet,doncTadmetununiquepointxeu E.En drivant l relation u = T(u), on obtient u(x) = u(sin x),pour toutx [0, 1]. Commeu(0) = T(u)(0) = 1, on dduitqueu est lunique solution de problme (1). Chapitre5Espacesmtriquescompacts5.1 DnitionetpremirespropritsDnition5.1.1. Un espace mtrique (E,d) est dit compact sidetoutesuitedeEonpeutextraireunesuiteconvergentedansE.Un partie K de E est un compact de E si le sous-espace mtrique(K,d) est compact.Exemple5.1.2.i. Tout intervalle de la forme[a, b] est un compact deR. CelarsulteduthormedeBolzano-Weierstrassqui dit : Detoute suite rlle borne, onpeut extraire une sous-suiteconvergente.ii. Lespace mtrique Rnest pas compact. Par exemple, lasuitednieparxn=nnadmetpasdesous-suiteconver-gente dansR.Proposition 5.1.3. Si K1, K2, . . . , Kpsont des espaces m-triquescompacts,ilenestdemmedelespacemtriqueproduitK1 K2Kp.Dmonstration. Il sutderegarderlecasp=2. Soit(xn, yn)une suite de K1K2. Comme K1 est compact, on peut extrairede (xn) une suite (x1(n)) qui converge vers un lment x dans K1.La suite (y1(n)) est une suite dlments de K2 qui est compact,on peut donc en extraire une sous-suite(y1(2(n))) qui convergeversunlmentydansK2. Ainsi, lasuite(x12(n), y12(n))extraite de(xn, yn), converge vers(x, y).Proposition5.1.4. SiKestuncompactdunespacemtriqueE,alorsKestunfermborndeE.82 Espaces mtriques compactsDmonstration. SoitKun compact deE. Montrons queKestborn, cest--dire quil existeM> 0 tel que d(x, y) Mpourtout xet ydans K. Sinon, il existe, pourtout n N, xnetyndans Ktels que d(xn, yn) >n. Lasuite (xn, yn) est unesuite de KKqui est compact, elle admet donc une sous-suite(x(n), y(n)) qui converge vers un lment (x, y) de KKet onad(x(n), y(n)) > (n) n.Comme lapplication(x, y) d(x, y) est continue, par passagelalimitedanslingalitci-dessus,onobtient d(x, y)=+,ce qui est absurde.MontronsqueKestunfermdeE. Soit(xn)unesuitedeKqui convergeversx E. OndoitprouverquexestdansK.Puisque Kest compact, on sait quon peut extraire de (xn) unesous-suite(x(n))qui convergeversunlment ydeK. Maispuisque (xn) converge vers x, la sous-suite (x(n)) doit convergerversx, cest--direx = y K.Proposition5.1.5. Si Kest unfermdunespacemtriquecompactdeE.AlorsKestuncompact.Dmonstration. Soit (xn) une suite dlments de K. Comme Eest compact, (xn) admet une sous-suite qui converge vers x E.MaisKest ferm dansE, doncx appartient K.Proposition5.1.6. DansunespacemtriqueE,lintersectionnieouinniedepartiescompactesestuncompact.Dmonstration. Soit(Ki),i I, une famille de compacts deEetsoiti0 I. LintersectiondesKiestunfermducompactKi0, cest donc un compact.Thorme 5.1.7.Une partie de lespace vectoriel norm (Rn, | |)estcompactesi, etseulementsi, elleestfermeetbornedansRn.Dmonstration. On sait que si K est compact, alors K est fermet born dansRn.Rciproquement, supposons queKest ferm et born dansRn.PuisqueKest born, il existeR > 0 tel queK Bf(0, R) = [R, R][R, R] (n facteurs)Comme Bf(0, R) est un compact et Kest un ferm de Bf(0, R)(puisque K= KBf(0, R)), il sensuit que Kest compact.5.2 Thorme de Heine 83Remarque5.1.8.De mme, on montre quune partie de (Cn, | |) est un compactsi et seulement si est un ferm born dansCn.5.2 ThormedeHeineThorme5.2.1(ThormedeHeine). Toutefonctionconti-nuesuruncompactestuniformmentcontinue.Autrementdit, soit(E,d)et(F, )deuxespacesmtriques,onsuppose queEcompact. Sif: E Fest continue, alorsfestuniformment continue.Dmonstration. Il sagit demontrer que, pour tout >0, ilexiste > 0 tel quex, y E; d(x, y) < = (f(x), f(y)) < .Supposons le contraire, cest--dire il existe > 0 tel que, pourtout >0, il existexet ydans Evriant d(x, y) 0,ilexisteunnombrenidepointsa1,a2, . . . , andeEtelsqueE= B(a1, ) B(a2, ) B(an, )5.3 Topologie dun espace mtrique compact 85Dmonstration. Onraisonnepar labsurde: Soit a1E. Laboule B(a1, ) est distincte de E. Il existe a2 dans EB(a1, ) eten particulierd(a1, a2) > La runionB(a1, ) B(a2, ) est distincte deE, il existe alorsa3dansEB(a1, ) B(a2, ) et en particulierd(a3, a1) > et d(a3, a2) > .On peut ainsi construire une suite(an) dansEtelle quei ,= j, d(ai, aj) > .Cela montre que la suite (an) nadmet aucune sous-suite conver-gente ce qui est en contradiction avec la compacit deE.Thorme 5.3.3.Soit Eun espace mrique. Les assertions sui-vantessontquivalentes(1) Eestcompact(2) Detout recouvrement ouvert deE, onpeut extraireunre-couvrementni(3) Pourtoutefamille(Fi), i I, deferms deEdont lin-tersectionestvide,onpeutenextraireunnombrenidontlintersectionestvide.Dmonstration. (laisse au lecteur).Corollaire5.3.4. SoitEunespacemtriquecompact.(i) Si (Fi), i I, est une famille de ferms dont toute intersec-tionnieestvidealorslintersectiondelafamille(Fi)estvide.(ii) Si (Fn) est une suite dcroissante de ferms non vides, alorsleurintersectionestnonvide.Proposition5.3.5. UnepartieKdunespacemtriqueEestcompacte si et seulement si, pour toute famille (Oi) douverts deEdont larunioncontient K, il existeunnombreni parmiscesouvertsdontlarunioncontientK.Proposition5.3.6. DansunespacemtriqueE,touterunionniedecompactsestuncompactdeE.Dmonstration. Il sut de montrer que la runion de deux com-pacts K1 et K2 est un compact. Soit (OiI, une famille douvertsdeEdont la runion contientK1 K2. PuisqueK1etK2sont86 Espaces mtriques compactsdes compacts, chacun inclus dans cette runion, il existeI1 IetI2 I,I1etI2nis tels queK1 _iI1Oiet K2 _iI2OiLensembleJ= I1 I2 Iest ni etK1 K2

iJ Oi.Remarque5.3.7.Evidemment, la runion dune famille innie de compacts nestpas en gnral un compact. Par exemple, la runion des compacts[n, n],n Z, est gale R qui nest pas compact.Thorme5.3.8(ThormedeDini). Soit Eunespacem-trique compact et fn: E R une suite dcroissante de fonctionscontinuesqui convergesimplement surEversuneapplicationf: E Rcontinue.Alorslaconvergencede(fn)estuniformesurE.Dmonstration. Voir lexercice 5.4.16Application :Soit(un)unesutedefonctionscontinuesdeEdansR. On suppose que, pour tout n N, un 0 et que la sriedefonctions

unconvergesimplementsurEetquesasommeestcontinue.Alorslaconvergeestdelasrieestuniforme.Pourdmontrercersultat,ilsutdappliquerlethormedeDini la suite(fn) dnie parfn= u0 + + un.Thorme5.3.9(ThormedeRiesz). SoitEunespacevec-toriel surlecorpsK =RouC.AlorsEestdedimensionniesietseulementsisabouleunitefermeestcompacte.Dmonstration. Voir lexercice 5.4.175.4 ExercicesExercice5.4.1.Soient A et B deux parties non vides dun espace vectoriel normE. OndsigneparA + Blensembledeslmentsdelaformea + b, oa est dansA etb est dansB.i. Montrer que siA est un ouvert, alorsA + Best un ouvert.ii. Montrer que si A est compact et B est un ferm, alors A+Best un ferm.iii. Donner un exemple o A et B sont ferms, mais pas A+B.5.4 Exercices 87iv. Montrer que si A et Bsont compacts, alors A+Best com-pact.Exercice5.4.2.On munit lespace E= C([0, 1], R) des fonctions continues de lanorme uniforme. Montrer queS= u E [ |u|= 1est un ferm born deEet queSnest pas compact.Exercice5.4.3.SoitEunespacemtriqueet(xn), n N, unesuitedeEquiconverge vers.Montrer que lensemble xn, n N est un compact.Exercice5.4.4.Soit Eun espace mtrique et f: [a, b] E R une applicationcontinue. Montrer que lapplicationFdnie pourx EparF(x) =_baf(t, x) dtest continue surE.Exercice5.4.5.SoitEunespacemtriqueetsoit(Kn)unesuitedcroissantede compacts non vides deE.i. MontrerquelintersectionKdesKnestuncompactnonvide deEii. SoitUunouvertdeEcontenantK. Montrerquil existen0 N tel queKn Upour toutn n0.Exercice5.4.6.Soit(xn), n N,unesuiteduncompactE,soitHlensembledes valeurs dadhrence de lasuite (xn) et soit UunouvertcontenantH.i. Montrer quil existen0 N tel que pour toutn n0,xn U.ii. OnsupposequeH .Montrerque(xn)convergevers.iii. Application : SoitEun espace mtrique,S1lensemble desnombrescomplexesdemodule1etsoit f : E S1uneapplication continue non surjective.Montrerquilexisteunefonction:E Rcontinuetellequef(x) = ei(x), x E.88 Espaces mtriques compactsExercice5.4.7.Soit(xn)unesuitedansunespacemtriquecompactEetHlensemble de ses valeurs dadhrence. Montrer que xn, n NHest un compact.Exercice5.4.8.Soit (Kn) unesuitedcroissantedecompacts nonvides dunespace topologique Eet f une applicationcontinue sur Evaleurs dans espace mtriqueF.i. Montrer quef_

n0Kn_=

n0f(Kn)ii. Montrerparunexemplequecersultatpeuttrefauxsilon ne suppose pas lesKncompacts.iii. Soit(xn)unesuitedeE. OndsigneparHetK, respec-tivement,lensembledesvaleursdadhrencede(xn)etde(f(xn)). Montrer que siEest compact, alorsf(H) = K.iv. Dterminerlensembledesvaleursdadhrencedelasuite(yn) dnie paryn= sin(cos n).Exercice5.4.9.Soit un entiern 2. On note :S+nlensemble des matricesA Mn(R)quisontsymtriques etpositives, cest--dire symtriques et vriant pour tout vecteurcolonneX Rn,tXAX 0.SoitOn(R) lensemble des matrices deMn(R) qui sont orthogo-nales.i. Montrer quea) S+nest un ferm deMn(R).b) On(R) est un compact deMn(R).ii. On admet que pour touteA GLn(R) il existeP On(R)etS S+ntelsqueA=PS(dcompositionpolaire).Mon-trer que la dcomposition polaire prcdente est encore vraiepour toute matriceA Mn(R).Exercice5.4.10.Soit (E,d) un espace mtrique compact (non vide) et f: E Etelle que, pour toutx etydansE, on aitx ,= y=d(f(x), f(y)) 0 et soitKlensemble dni parK= (x, y) E2[ d(x, y) .Montrer queKest un compact.b) En dduire quil existek < 1 tel quex, y K, d(f(x), f(y)) k d(x, y).c) Montrer quil existe n0 N tel que xn0 soit dans B(, ).d) Conclure.Exercice5.4.11.SoitEun espace vectoriel norm de dimension nie.i. Soitf: E Runfonctioncontinuequitendverslinniavec |x|. Montrer quil existea Etel quef(a) f(x), x E.ii. Soitx0 EetsoitFunfermdeE.Montrerquilexistea Ftel qued(x0, F) = |x0 a|.Exercice5.4.12.Soit Eunespacecompact. Montrer quesi 1est unidal delanneauC(E, R) tel que 1 ,= C(E, R), alors il existea Etelque pour tout lmentf 1,f(a) = 0.Exercice5.4.13.SoientEetFdeux espaces mtriques etf: E Fune appli-cation. Montrer que si Fest compact et le graphe de fest fermdansE F, alorsfest continue.Exercice5.4.14.Parmi les ensembles suivants, reconnatreceuxqui sont com-pactsC1= (x1, x2, x3) R3[ x21 + x22 + 3x23= 1C2= (x1, x2, x3) R3[ x21 x22 + x23= 1Exercice5.4.15.90 Espaces mtriques compactsi. Soient 1, 2. . . , ndes rels. Onsupposequelensemblesuivant est non videC= (x1, x2, . . . , xn) Rn[ 1x21 + 2x22 + + nx2n= 1Montrer queCest compact si et seulement sii> 0, pouri = 1, 2, . . . n.ii. Soitq:RnRuneformequadratiqueetCq= x Rn[q(x) = 1. On suppose que Cq est non vide. Montrer que Cqest compact si et seulement siqest dnie positive.Exercice5.4.16(Thorme de Dini).SoitEunespacemtriquecompactetfn: E Runesuitedcroissante de fonctions continues qui converge simplement surXvers une fonction continuef. Pour > 0 etn N, on poseFn= x E [ fn(x) f(x) i. Montrer que lintersection desFnest vide.ii. ComparerFnetFn+1.iii. Montrer quil existe n0 N tel que Fn= pour tout n n0.iv. En dduire que la suite(fn) converge uniformmentv. Soit (un) unesuitedefonctions continues de EdanxR.On suppose que, pour toutn N,un 0 et que la srie defonctions

un converge simplement sur E et que sa sommeestcontinue.Montrerquelaconvergencedelasrieestenfait uniforme surE.Ce dernier rsultat est connu sous le nom de thorme de Dini.Exercice5.4.17(Thorme de Riesz).SoitEun espace vectoriel sur le corpsK = R ouC.i. SoitFun sous-espave vectoriel ferm deEavecF ,= E.a) Soita/ Fetd=d(a, F).Montrerquilexisteb Ftel qued |a b| 2db) On pose x = (ab)/|ab|. Montrer qued(x, F) 1/2.ii. En dduire que si E est de dimension innie, on peut construireune suite(xn)n0deEtelle quen N, |xn| = 1 et n ,= m, |xm xn| 12.iii. MontrerqueEestdedimensionniesietseulementsisaboule unit ferme est compacte.5.4 Exercices 91iv. Montrer que Bf(0, 1) est compacte si et seulement si lasphreS(0, 1) est compacte.v. Quepeut-ondiredelintrieurduncompactdunespacevectoriel norm de dimension innie ?Exercice5.4.18.Soit Eun espace vectoriel norm et Kun compact convexe nonvide deE.i. Soitfun endomorphisme continu deEtel quef(K) K.a) Soit(xn) la suite dnie parxn=11 + n(x + f(x) + f2(x) + + fn(x))ox est un vecteur x deK. Vrier quef(xn) xn=11 + n(fn+1(x) x)b) En dduire que fadmet au moins un point xe dans K.ii. Soit unentier n 2et f1, f2, . . . fndesendomorphismescontinusquicommutentdeuxdeuxettelque,pourtouti,fi(K) K. Montrer par rcurrence que lesfiadmettentun point xe commun dansK.iii. Soit (fiI, une famille dendomorphismes continus de EquicommutentdeuxdeuxetlaissantKstable.Montrerqueces endomorphismes admettent un point xe commun dansK.Exercice5.4.19.Soit Kun convexe compact dun espace vectoriel Eet soit funendomorphisme de Etel que f(K) K. On pose, pour n N,fn=1n(id + f+ f2+ + fn1)i. Montrer que, pour toutn etm dansN,fn fm= fm fn.ii. Montrer que, pour toutn N,fn(K) K.iii. Montrer que, pour toutn etm dansN,fn fm(K) fn(K) fm(K)iv. Endduire que lintersectiondes fn(K) est nonvide etquellleestgalelensembledespointsxesdelarestric-tionf[KdefK.Exercice5.4.20.Soit f: R R une fonction continue. Montrer que les propritssuivantes sont quivalentes1. Limage rciproque parfde tout compact est un compact2. lim|x|+[f(x)[ = +92 Espaces mtriques compacts5.5 CorrectiondesexercicesExercice5.4.1i. Soit (xn) une suite de A+B qui converge vers x. Il existe unesuite (an) de A et une suite (bn) de B telles que xn= an+bnpour tout n N. Lensemble A tant compact, il existe unesous-suite(a(n)) qui converge versa dansA. La sous-suitede (bn) dnie par b(n)= x(n)a(n) converge vers b B,car B est un ferm. Il sensuit que x = a+b est dans A+B.ii. SoientA = Z etB=2Z. Ce sont deux ferms deR carA =_nZ] n, n + 1[ et B=_nZ]n2, (n + 1)2[Cependant, Z +2ZnestpasunfermdeRcarcestunsous-groupe dense dansR et dirent deR.iii. Soit(xn)unesuitedeA + B.Ilexisteunesuite(an)deAetunesuite(bn)deBtellesque, pourtoutn N, onaitxn= an+bn. Lensemble A tant compact, il existe une sous-suitea(n)qui converge versa dansA. LensembleBtantcompact,lasuite(b(n))admetunesous-suite(b(n))quiconverge vers b dans B. Il est alors clair que la suite dnieparx(n)= a(n) + b(n)converge versa + b dansA + B. Exercice5.4.2Lapplicationu |u|estcontinuedeEdansR.LensembleS est limage rciproque de 1 par cette application, il est doncferm dansE.Soit(fn) la suite deSdnie parfn(x) = xn, x [0, 1]Supposons que(fn) contient une sous-suite(f(n)) qui convergeuniformment vers un lment fde E. Cette sous-suite convergedoncsimplementverslafonctionf.Maislafonctionfdonneparf(x) =_0, si0 x < 1 ;1, six = 1.Celaestimpossiblecarfestcontinuesur[0, 1].Ainsi,lasuite(fn) nadmet pas de sous-suite convergente dans S. Donc, S nestpas compact. 5.5 Correction des exercices 93Exercice5.4.3Soit(Oi)iIune famille douverts tels queK= xn, n N _iIOiIl existe p Itel que soit dans Op. Comme (xn) converge vers, il existen0 Ntel que, pourtoutn n0, xn Op. Pourchaquen 0 tel que pour tout(t, u) et(s, v) dans[a, b] K((t, u), (s, v)) < = [f(t, u) f(s, v)[ 0 tel que |y| M,pour toutydansKet en particulier on a|fn(x)| M, n N.Ce qui donne|f(x(n)) x(n)| 1(n) + 1(M+|x|)Par passage la limite quand n tend vers linni, on obtientf() = .2. Daprs la premire question, la proprit est vraie pour n =1. Supposons quelle est vraie pour un entiern et soientfi,1 i n+1, des endomorphismes continus, qui commutentdeuxdeuxettelsquefi(K) Kpourtouti n + 1.LensemblenonvideL= x K [fi(x)=x, i=1, . . . nest unconvexe ferm dans le compact K, cest donc uncompact convexe. De plus, L est stable par fn+1, la premirequestion montre alors que fn+1 admet au moins un point xex0 dans L. Il sensuit que x0 est un point xe commun touslesfi,1 i n + 1.3. .Exercice5.4.19i. Les applications fnsont des polynmes enf donc com-mutent entre elles.ii. EnutilisantlaconvexitdeK, onmontreparrcurrenceque, pour toutn N,fn(K) est inclus dansK.iii. Ona: fn fm(K)