TOPOLOGIE FEUILLETأ‰E ET LA CONSERVATIVITأ‰ DES ...user.math.uzh.ch/ayoub/PDF-Files/Feui- ingrأ©dient

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  • TOPOLOGIE FEUILLETÉE ET LA CONSERVATIVITÉ DES RÉALISATIONS CLASSIQUES EN CARACTÉRISTIQUE NULLE

    par

    Joseph Ayoub

    Résumé. — C’est le second volet d’une série de deux articles sur le thème de la topologie feuilletée ayant pour but d’établir la conservativité des réalisations classiques des motifs de Chow en caractéristique nulle. On exploite ici le fait que la cohomologie de de Rham des variétés algébriques admet une extension naturelle en une théorie cohomologique sur les feuilletages schématiques. Ceci est utilisé pour produire un nouveau modèle du spectre motivique représentant la cohomologie de de Rham. Une analyse fine de ce nouveau modèle, combinée avec un ingrédient provenant de la théorie de Hodge, permet de démontrer une variante faible de la conjecture B de [16, page 127] qui suffit néanmoins pour entraîner la conservativité de la réalisation de de Rham des motifs de Chow.

    Dans l’article précédent [21], on a surtout étudié les aspects « aux points génériques » de la topologie feuilletée. Outre la démonstration proprement dite de la conjecture de conservativité, le présent article contient des résul- tats locaux et motiviques sur les feuilletages schématiques et la topologie feuilletée. Ces résultats constituent des préliminaires à la démonstration de la conservativité mais sont aussi intéressants en eux-mêmes.

    Abstract. — This is the second article of a series of two around the theme of foliated topology whose goal is to establish the conservativity of the classical realisations of Chow motives in characteristic zero. Here we exploit the fact that de Rham cohomology of algebraic varieties admits a natural extension as a cohomology theory on schematic foliations. We use this to produce a new model of the motivic spectrum representing de Rham coho- mology. A fine analysis of this new model, combined with an ingredient coming from Hodge theory, makes it possible to prove a weak variant of Conjecture B of [16, page 127] which is nevertheless sufficient for deducing the conservativity of the de Rham realisation of Chow motives.

    In the previous article [21], we were mostly concerned with the study of the foliated topology “at generic points”. In addition to the actual proof of the conservativity conjecture, the present article contains local and motivic results on schematic foliations and the foliated topology. These results constitute preliminaries to the proof of the conservativity but are also interesting for their own sake.

    Mise en garde. — Il ne s’agit pas encore de la version complète de l’article ! Voici ce qu’il reste à faire (par ordre d’importance).

    – Inclure une preuve du théorème 8.3.10 ; il s’agit en grande partie d’adapter celle du théorème 8.2.1. – Réviser la section 6 ; on s’attend seulement à des changements cosmétiques et le contenu mathéma-

    tique de cette section restera essentiellement inchangé. – Expliquer en détail comment le théorème principal (i.e., le théorème 8.7.2) entraîne la conservati-

    vité de la réalisation de de Rham. (En fait, Bondarko a trouvé un argument qui permet d’obtenir la conservativité pour tous les motifs mixtes constructibles, i.e., la conjecture II de l’introduction, et son argument sera inclus dans la version complète de l’article.)

    – Mettre à jour l’introduction.

    Mots clefs. — Algèbre différentielle, feuilletage, topologie feuilletée, motifs, conjecture de conservativité.

    L’auteur a bénéficié du soutien partiel du Fond National Suisse de la Recherche Scientifique (NSF), projet no. 2000201- 124737/1.

  • 2 JOSEPH AYOUB

    Table des matières

    Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Feuilletages schématiques et topologie feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.1. Feuilletages schématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2. Feuilletages schématiques (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3. Complétion faible d’un k-feuilletage singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4. Complétion faible d’un k-feuilletage singulier (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5. Recouvrements feuilletés et topologie feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.6. Petits et grands sites feuilletés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7. Cohérence toposique et quelques points des topos feuilletés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.8. Cohomologie feuilletée au point générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.9. Les topologies ψ-Nisnevich, ψ-étale et ψ-feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2. E-Invariance et application à la stabilité de certains T -spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1. Rigidification de feuilletages schématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2. Une source remarquable de T -spectres stables, I. Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3. Une source remarquable de T -spectres stables, II. Démonstration . . . . . . . . . . . . 72 2.4. E-Localisation et T -spectres de suspension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.5. E-Localisation et T -spectres de suspension infinie (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.6. Un modèle du foncteur de E-localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.7. Récapitulation et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    3. Motifs feuilletés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.1. Des catégories triangulées de motifs feuilletés, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2. L’axiome de localité pour les motifs feuilletés, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3. Sur la pA1,ψ-Nisq-localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4. Rappels sur les ind-objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.5. Ind-objets dans les catégories de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.6. Des catégories triangulées de motifs feuilletés, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.7. L’axiome de localité pour les motifs feuilletés, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.8. Compléments sur les 2-foncteurs homotopiques stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.9. Changement de topologie dans les images directes propres et conclusion . . . . . . 150

    4. Étude locale de la cohomologie feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.1. Préliminaires sur les anneaux de séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.2. Préliminaires sur les anneaux de séries formelles (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.3. Préliminaires sur les anneaux de séries formelles (fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.4. Préfaisceaux malléables, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.5. Deux résultats techniques sur la classe H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.6. Préfaisceaux malléables, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.7. Malléabilité de certains préfaisceaux grossiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.8. Sur la propriété de Mayer–Vietoris formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.9. Un critère de malléabilité pour les images directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.10. Les complexes de préfaisceaux qui nous intéressent et leur malléabilité . . . . . . 194 4.11. Récapitulation et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    5. Étude h-locale, topologie ψ-h et rigidité forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.1. Rappels sur les groupes ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.2. Séries formelles à puissances dans un groupe ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3. Pluritraits formellement saturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.4. La topologie ψ-h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5.5. Rigidité forte et cohomologie ψ-h des pluritraits feuilletés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.6. La topologie ψ-hh‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.7. Rigidité forte et cohomologie ψ-hh‹ des ‹-pluritraits feuilletés . . . . . . . . . . . . . . 230

  • TOPOLOGIE FEUILLETÉE ET LA CONSERVATIVITÉ DES RÉALISATIONS CLASSIQUES 3

    5.8. Les complexes de préfaisceaux qui nous intéressent et leur rigidité forte . . . . . . 234 5.9. Préliminaires sur les stratifications et les drapeaux