C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Skrie I, p. 151-154, 1999 Systemes dynamiques/ Dynamical Systems

Topologie locale des mhthodes de Newton cubiques: plan param&ique

Pascale ROESCH I

UMPA, EC& norm& suplrirure de Lyon, 46, all& d’ltalie, 69364 Lyon cedex 07, France

(Rrcu et aec:el& lr 23 novembra 1998)

RCsumC. Les mCthodes de Newton cubiques sont des fractions rationnelles ayant trois points fixes super-attractifs distincts et un unique point critique libre. Elles forment, g conjugaison prks, une famille Nx paramktrke par A = C\{O, M/2}, et on note X0 c A I’ensemble des X pour lesquels le point critique libre de Nx est dans le bassin immkdiat d’un des points fixes super-attractifs. Dans cette Note, on montre que le bord de chaque composunte connexe de T&, est une courbe de Jordan. Pour cela, on d&ermine dans A des regions oti la dynamique de Nx se lake dkcrire par un modble combinatoire fixe. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris

Local topology of cubic Newton methods: the parameter

plane

Abstract. Cubic Newton’s methods are rational maps having three distinct super-attracting fixed points and a single free critical point. They ,form, up to conjugation, a family N,, parametrized by A = 43\{0, M/2}, and we denote by 3-t” the set of X for which the free critical point of Nx is in the immediate basin of one of the super-attracting ,fixed points. In this Note. we show that the boundary of each connected component of ‘Ho is a Jordan curve. For this, we determine in A regions on which the dynamics of Nx can be described by a fixed combinatorial model. 0 AcadCmie des Sciences/Else$er, Paris

Les fractions rationnelles cubiques ayant trois points -critiques fixes distincts forment, B conjugaison prks, une famille paramktrte par h/I’, A = C\{O, 3/2, -3/2} et I? est le groupe des homographies qui permutent -3/2, 0 et 3/2. Plus prkidment, chacune de ces fractions est conjuguke B une mkthode de Newton NX : c -+ c z H z - Px(z)/PL(z), 02 A E A et PA(Z) = (z - l)(z + l/2 + X)(z + l/2 - X); de plus, Nx est conjugke 2 Nxl si et seulement si X’ = T(X), T E l?. Les racines de PA B savoir hi = -l/2 - X, bi = -l/2 + X et bi = 1, sont les points fixes super-attractifs de NX et le quatrikme point critique de NA est 0. Pour tout n 2 0, on note ‘l-t, l’ensemble des paramktres X E A tels que la valeur critique Nx(0) tombe en exactement 7~ itkrations dans le bassin immkdiat Bf d’un des points b ;‘. Le but de cette Note est d’esquisser la preuve du rksultat suivant ([4], thCor&me 10.43.

Note pr&entCe par Jean-Christophe Yoccoz.

0764~4442/99/0328015 I 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 151

P. Roesch

THBOR~ME 1. - Le bord de chaque composante connexe de ‘HO est une courbe de Jordan.

Vu l’action de IT, on restreint 1’Ctude au domaine fondamental de [6], ZI savoir l’adhkence de 62 = {X E e\{ -3/2,0,3/2} 1 IX - l/21 < 1, IX + l/2/ < 1, Irn(X) > O}. On choisit une composante I3 de 7-& qui rencontre 0 et on examine la connexitk locale de af3 en un point X0 E dB n $1 (le cas de im, seul point de i)B n i)l2, est ensuite facile). On commence par munir les 3-1,, de coordonnkes conformes puis, grke 2 elles, on localise certains phknomknes dynamiques et on cons&t en parallkle une suite p7, de voisinages de &J et une suite de P,, de voisinages de J/x,(O). Pour ktudier I’intersection des ‘P,, et conclure B la connexitk locale, on compare alors le module des anneaux A,, = P,,\P,,+1 avec celui des anneaux A, = P,, \P,,+l.

PrPliminaires. - Pour 1 < i 5 3, il existe une unique famille analytique d’homkomorphismes conformes d);“, d’un voisinage de 0: sur un voisinage de 0 dans C, vkrifiant ti?(b?) = 0 et $!Jp 0 Nx 0 (&y-l(z) = 2. 0 n associe h b? une ,fonction potentiel G? : e 4 [O: +30] qui vaut - lim ~,~+~~log-~~~(~~(~))/ si NT(z) + b?, et 0 sinon. D’aprtts [3], la composante connexe

de {:I: E eIGt(z) > G?(O)} contenant b? est un disque U,” auquel 1’homComorphisme conforme 4: s’ktend.

On appelle rayon d’angle H E [w/Z issu de 6: la ligne de gradient de G? issue de bf avec un angle 19 (mesurk dans la coordonnke 4:). On le note R?(B). Si Rx(H) ne bute pas sur une prkimage itCrCe de 0 et a un angle H rationnel, il converge vers un point de i3B? (voir [l]). Pour X E 0 on appelle angle de Head de ly,\ et on note a = <Y(N~) le plus petit r&e1 6 ~10, I] tel que les rayons R:(e), I?$(--0) convergent vers un mCme point (voir [6]).

Coordonntk duns ‘II,,. - On dira qu’une composante connexe ‘FI E ~~(ti,,) est de type 1, 2 ou 3 suivant que, pour X E ‘Ft, le point N;‘+‘(O) est d ans le bassin immkdiat II:, Bi ou I?;. L’ensemble l-to a trois composantes BI, ,132, &, une de chaque type, et B3 est la seule qui soit disjointe de 12 (voir [4], [6]). Pour 1 < i < 3, la position de la valeur critique Nx(O) dans le disque U;” permet de paramktrer 12 n f3; : l’application a’; : afIt% -+ D, X H @i(A) = &‘(Nx(O)) (oti D est le disque unit6 ouvert) induit un homkomorphisme de 62 n l$ sur D\[O: 1[ ( voir [3], 141). On appelle rayon d’angle H ~10, 1[ dans 12 n B; la prkimage 7&(e) du rayon d’angle H dans IJI par cPi et on pose:

R,(O) = Yp;R;(H) = (-l)i 0: ; , 1 1 i+ 1

R,(l) = E$z(8) = + + (-l)‘rrp((-l)‘i[0, :I).

Ainsi, A E RL(B) si et seulement si Nx(O) E Rx(B). Si ?I est maintenant une composante connexe de type % dans 3-t,,, n > 1, I’application @X : 3-1 + D,

x H Q,(X) = &vl;+‘(o)) es une reprksentation conforme (voir [3], [4]) qui donne dans ‘FI des t rayons not& Rx(B). f3 E W/Z.

Localisation. - On dCcrit ici les r&gions de It sur lesquelles l’angle de Head de NJ, prend une valeur rationnelle constante dans l’ensemble S des angles H E R/Z vkrifiant 2j0 > B pour tout j 2: 0 (il s’agit d’une inCgalitC dans R/Z ordonrk via l’identification avec IO, I]). Cet ensemble S est un fermC inclus dans IO! l/2]. Pour tout angle H E R/Z tel que RI (ti) et F&(--0) aboutissent en un m&me point, on note 24@ la composante connexe bomCe de l’ensemble e\([-l/2,1/2] U R,(e) U 7&(--O)).

PROPOSITION 2. - Soient l/j, N[ une composante connexe de IFR/Z\S et 1’3 l’un des angles fl ou (1. (1) Les rayons X1(20) et F&-28) aboutissent en un mZme point, note’ X(2@). (2) L’ensemble des param&res A E 0 pour lesquels les rayons R:(Q) et R$(-0) aboutissent en un m&me point est &ggalh &e U { A( 20)). De pl us, ce point d’aboutissement commun est: le point critique 0 si X = x(2[1), un point pe’riodique parabolique si X = X(2(r), un point pre’pe’riodique rkpulsif dont I’orbite ne contient pus 0 si X E Z&H.

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Topologie locale des mkthodes de Newton cubiques : plan paramktrique

Graphes. - On prend X0 dans 3& f? 12 (pour fixer les idCes) et on choisit dans S un angle 6 = $(l - l/(2” - 1)) avec k: assez grand pour que &e contienne X0. Pour tout n > 0,

on pose X,, = 12\ U Q;l(2-1/2”-“‘jj ) et on associe 2 0 le para-graphe dCfini comme w(H,n),m<~J

suit: &(19) = aA?, U ( IJ RR(~) n A?,,), oB 3 est form6 des (‘H!t) E ( IJ T~(%,~)) x Q/Z (‘H,t)EJ 7n<n

v&ifiant ( - l)t’Y1’p(RH) 2”-“‘t E (0) U {2-/8,j 2 0} si type (IFI) E {1,2} et 2”-“? = 0 sinon. Pour tout X E A$, n U2*, on consid&e parallklement, dans le plan dynamique de NA, I’ouvert x,x = E\u 1<2<3 4?UW~) ainsi que les graphes 1; = 3X,$ U (X,” n I’) et I;(8) = ivy’“, oi.i

I- = UK,<3 -- -x;(o) u U&&?(2j(H)) u F?;(-2q@))). On appelle para-pike (resp. pike) de profundeur 71 toute composante connexe de X,, \Z, (0) (resp.

de N;‘“(X$\Ii)) et on note pr’,, (resp. P,“) celle qui contient Cventuellement X0 (resp. Nx(O)). Par exemple, les para-pi&es de profondeur 0 sont A$ n (U2> e\Uzt+l @), 1 5 i 5 I; - 1, A$ fl Z&I et X0 n (U1\ZT28) (proposition 2).

Pour k: assez grand, X0 et Nx,(O) ne sont respectivement sur aucun des graphes &(H) et I,?“(H).

On suppose en outre dCsormais que pour une infinit6 d’entiers (71j) on a Ff;u+l c P$ (sinon, ii faut construire les analogues paramitriques des graphes II((, 0) definis da& [5]) et’on pose

A;; = ?\-(‘:;+I. De plus, pour Ctablir un lien direct entre les pi&es et les para-pi&es, on note Oio la piece @ elle-mCme si elle ne rencontre pas Bs (ce qui est le cas pour ‘n assez grand) et la composante de N,,,,(O) dans e\(ir)13i” n (B1 U B2)) sinon. L’application ‘To : L3P0 --f ani0 dCfinie par To = ($x0)-l o @i est un homComorphisme et on montre que:

PROPOSITION 3. - Pour tout n 2 1, ip7,-1 est simplement connexe, son intersection avec 1, (0) est 1 ‘ensemble des X E ?+I tels que Nx(O) E 1: (6) et il existe un mouvement holomorphe iTL : Pn-1 x I$]@) 4 P,,-1 x iZ tel que $(I+(@)) = IA(e) p our tout X E lJn-l. De plus, l’application

- Y I, : P7L--1 n I,, + 6:“, n I$ (0) d$inie par :

T,(A) = 1

y,,-l(A) si x E 3PT1-l>

(*iy(N&l)) pi X E P71-l nz,

est un homkomorphisme qui envoie 3’P,, sur ODi(l.

I1 rCsulte en particulier de cette proposition que P,, ,+I c ‘PT,,, .

Connexite’ locale. - 11 est facile de voir que les intersections T’,] n dB1 sont connexes et il reste done B Ctudier l’intersection des P,,. Le point-cl6 est la proposition ci-dessous qui compare le module des para-anneaux A,, 1 = P,j,\P7L,+1 avec celui des anneaux AX ,,(: entourant la valeur critique NA,, (0). La dkmonstration qu’on donne s’inspire d’une idCe propos6e par M. Shishikura pour les polyn6mes quadratiques. G&e aux rCsultats obtenus dans le plan dynamique (voir [4], [5]), on sait alors que l’intersection des F,, est soit rkduite B X0 (cas oti C mod A A[; diverge) soit une copie A4 de l’ensemble de Mandelbrot. Dans ce dernier cas, il faut encore construire une courbe de Jordan qui &pare M\{Xo} de & ([4], lemme 10.4.4).

PROPOSITION 4. - I1 existe une constante K > 1 telle que, pour tout entier j sujfisamment grand, K-l mod AZ 5 mod ARj 5 K mod Ai;.

Dkmonstration. - L’&ude dynamique de Nx,, sur I’“(0) fournit deux pi&es de profondeurs consCcutives, Q2 3 gi,:‘+l, telles que, pour tout 7Lj > m assez grand, l’application Nail-“’ induise

un rev&tement non ramif% de Af,: sur l’anneau C,$ = Q6:,\Qtp+,. D’autre part, d’aprks un thCo&me de Slodkowski, la restriction du mouvement holomorphe %rrl+l B %,, x 8C’i; se prolonge en un

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P. Roesch

mouvement holomorphe de 41,~ : P,, x ??:: + P,,, - x 43 et chaque application T/J:, est quasi-conforme. De plus, pour j assez grand, PnJ c P,, de sorte que la constante de dilatation des I/J;, est bornee par une constante K pour X E P,,,. Or, pour X E PT,,?, I’application N”J-‘” induit un revetement non

ramifie de ‘;r;? sur Ci, = T/I,“, (Ci; ) et on peut done relever li,:,

7/l;, : A;; + 2

en une application K-quasi-conforme

, qui coi’ncide avec ii, +r sur aA,?;. Par ailleurs, pour X E xi,,!, Nx(O) est dans ilk et on pose @‘n, (A) = (,I//:, )-’ o Nx(0). D’apres [21, lemme IV.3, a,?,, : A,,J -+ Ai; s’ecrit x o w, 06 x est un homeomorphisme K-quasi-conforme et w une application analytique. Comme QTL, co’incide avec Y ,?, sur aA,,?, c’est un homeomorphisme K-quasi-conforme et l’inegalitt annoncee en decoule.

Refkrences bibliographiques

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