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PRPAS

EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD

TOUS LES EXERCICES D'ALGBRE ET DE GOMTRIE MPPour assimiler le programme, sentraner et russir son concoursRappels de cours et exercices dassimilation Plus de 400 exercices dont la majorit est issue doraux de concours rcents Solutions compltes et dtailles

TOUS LES EXERCICES DALGBRE ET DE GOMTRIE MPPour assimiler le programme, sentraner et russir son concours

TOUS LES EXERCICES DALGBRE ET DE GOMTRIE MPPour assimiler le programme, sentraner et russir son concoursEl-Haj LaamriAgrg en mathmatiques et matre de confrences Nancy-Universit

Philippe ChateauxAgrg en mathmatiques et professeur en MP au Lyce Henri Poincar Nancy

Grard EguetherMatre de confrences Nancy-Universit

Alain MansouxAgrg en mathmatiques et professeur en PC au Lyce Henri Poincar Nancy

Marc RezzoukAgrg en mathmatiques et professeur en PC au lyce Henri Poincar Nancy

David RupprechtAgrg de Mathmatiques et professeur en PSI au Lyce Henri Loritz Nancy

Laurent SchwaldAgrg en mathmatiques et professeur en BCPST au lyce Henri Poincar Nancy

Couverture : Claude Lieber

Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053965-9

Table des matires

Prsentation de la srie Tous les exercices de mathmatiques . . . . . . . . . Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 1. Algbre gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii xi 1 1 14 25 35 35 43 47 51 51 71 76 92 92 114 124 134 134 141 150 155 155 156

Chapitre 2. Complments sur les polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 Gnralits sur les polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynmes coefcients entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complments : nombres algbriques et transcendants, extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 3. Espaces vectoriels et Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 4. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 5. Dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 Rappels de cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 6. quations linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6.2 Lessentiel du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Table des matiresChapitre 7. Rduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 164 189 206 223 223 237 242 248 248 258 277 295 295 305 311 314 314 335 350 357 357 359 365 368 368 371 378 386 394

Chapitre 8. Espaces prhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 9. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 10. Quadriques et coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 11. tude afne et mtrique des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exercices dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 12. Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Exercices dentranement et dapprofondissement . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Quelques surfaces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 13. Complments de gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Gomtrie afne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Gomtrie afne euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Isomtries vectorielles et afnes en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Lieux gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prsentation de la srie Tous les exercices de mathmatiques

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Lvolution rcente de lenseignement des disciplines scientiques dans les C.P.G.E sest concrtise par la dnition dun nouveau programme de premire anne en 2003 et de seconde anne en 2004. Un des objectifs de cette volution a t de combler le foss grandissant entre la classe terminale et les classes prparatoires. La progression est explicitement impose par le nouveau programme qui prvoit notamment un programme de dbut de lanne , qui exclut la prsentation abstraite des concepts au prot dune dmarche fonde sur lexemple comme point de dpart de la conceptualisation, qui prconise lapproche algorithmique en complment de lapproche dmonstrative et qui lgitime la dmarche exprimentale en mathmatiques par lutilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systmatiquement utiliss dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun Centrale - Suplec . Mais les programmes des classes prparatoires ne sont pas les seuls avoir volu, les programmes de lenseignement secondaire ont fait lobjet dune volution pralable. Enn, lattitude nouvelle des lves face aux disciplines scientiques rend inefcace lapproche axiomatique et leur appropriation grandissante de loutil informatique ncessite dintgrer cet outil la pdagogie. Lensemble de ces changements rend imprative la rdaction de nouveaux ouvrages. On constate que cest davantage la structure, lordre des thmes abords, lesprit du programme qui ont volu, le fond tant rest relativement stable. Sur ce fond, que nous navons pas la prtention de renouveler, il existe dj une abondante et excellente littrature ; nous revendiquons une continuit par rapport nos illustres prdcesseurs et nous nous sommes largement inspirs de leurs crits pour y puiser exercices et sujets en nous efforant de les prsenter en parfaite cohrence avec lesprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection rpond une ncessit : entirement rdige aprs la parution des nouveaux programmes et le dbut de leur mise en uvre, elle garantit une parfaite compatibilit entre la rdaction des ouvrages et les prconisations du programme. . . ce que naurait pu assurer sans risque danomalies une simple remise en forme dune rdaction antrieure. Tous les ouvrages de

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Prsentation de la srie Tous les exercices de mathmatiques cette collection sont crits trois ans aprs lapparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement lesprit. Les rdacteurs ont enseign et interrog dans le cadre de lancien et du nouveau programme, ils peroivent donc parfaitement limportance de lvolution. Leur exprience de lenseignement en classes prparatoires et lUniversit, leur intervention rgulire en colles , leur participation aux concours comme interrogateurs loral et/ou correcteurs lcrit permettent dafrmer quil sagit dquipes trs professionnelles . Lquilibre entre la pluralit des approches qui enrichit le fond et la cohrence de la forme qui renforce lefcacit est le rsultat dun vritable travail collaboratif, dune matrise duvre rigoureuse et de sources dinspiration prcieuses. . . citons particulirement pour les exercices doral la Revue de Mathmatiques Spciales, lOfciel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Sp du Lyce Henri Poincar de Nancy en particulier celles constitues par Walter APPEL. Cette collection a lambition de faire bncier le lecteur de lexpertise professionnelle des rdacteurs, chaque ouvrage est donc rdig avec un souci de rigueur et de clart au service de la pdagogie, souci qui sexprime dans quelques principes : La qualit de rdaction aboutie exige des lves ncessite que les auteurs soient eux-mmes exemplaires dans leur rdaction, aussi bien celle des noncs que celle des corrigs. Un soin tout particulier est apport lcriture des lments logiques : prcis et sans ambigut, le style traduit explicitement les connexions logiques, implication, ncessit, sufsance. . . dans un souci permanent de rendre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite. Les corrigs proposs sont toujours complets et comments quand il le faut, en privilgiant les solutions mthodiques et raisonnables aux approches astucieuses et miraculeuses . Lexprience prouve en effet quun corrig trop brillant inquite llve qui se sent incapable de la mme performance et ne lui apprend rien de la dmarche constructive qui peut amener une solution lorsquon possde une matrise sufsante des concepts. Lexprience montre aussi la vertu du contre-exemple. . . il en est fait un usage courant. La prsence de rappels de cours synthtiques est ncessaire pour replacer les exercices dans leur contexte thorique sans avoir quitter louvrage en cours de lecture, pour xer aussi quelques notations choisies parmi les standards. Mais ces lments de cours ne se substituent en rien lenseignement magistral ou aux ouvrages de rfrence, ils constituent seulement un minimum conceptuel immdiatement disponible pour aider la comprhension des exercices qui restent la matire essentielle de louvrage. La volont de respecter lesprit des nouveaux programmes privilgie la prsentation de sujets rcents (de 2004 2007) en respectant scrupuleusement la forme de leur rdaction : aucun toilettage rdactionnel ne doit en masquer loriginalit, voire la difcult. Le respect du lecteur exige sa mise en situation relle de concours. Toutefois ces noncs sont comments et expliqus pour rassurer le lecteur en lui montrant que sous des traits parfois droutants on peut retrouver des visages

Prsentation de la srie Tous les exercices de mathmatiques connus . Certains exercices proposs aux concours avant 2003 gurent galement dans cette collection en raison de leur intrt ; ils sont alors rdigs sous une forme compatible avec le programme actuel. Si ces principes gnraux sont respects dans lensemble de la collection, la plus grande maturit des lves de deuxime anne justie quelques diffrences entre les ouvrages de premire et de deuxime anne. Llve de premire anne peut avoir des difcults choisir seul, avec discernement, des sujets dcrits dans les annales. Les ouvrages de premire anne prsentent donc une slection dextraits de problmes dcrits. Llve de deuxime anne, plus mr, est capable de trouver lui-mme des sujets dcrit, les ouvrages de deuxime anne nen prsentent donc pas. Cette plus grande maturit explique aussi le choix qui a t fait de prsenter en deuxime anne un bon tiers des exercices doral dans leur rdaction dorigine, sans commentaires explicatifs, pour placer llve au plus prs de la situation relle du concours ; bien entendu, le corrig est toujours rdig clairement, avec toutes les indications et tous les commentaires que ncessite leur comprhension. Lobjectif essentiel est le respect des lves que lon met dans une situation proche de celles des concours tout en les guidant dans la correction. Il semble galement que des ouvrages spciques suivant les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soient justis en Mathmatiques Spciales alors quils ne le sont pas en premier semestre de Mathmatiques Suprieures. Mais, quels que soient les ouvrages, les auteurs ont ralis un travail de slection important parmi la multitude dexercices disponibles pour proposer ceux quils considrent comme les plus signicatifs : certains sont slectionns pour leur intrt pdagogique, leur gnralit, leurs dclinaisons possibles. . . dautres sont prsents essentiellement pour donner une ide dle de ltat de lart actuel des exercices doral et faire lobjet de commentaires au prot des futurs candidats. On aura compris que les ouvrages de cette collection sont avant tout au service des lves pour lesquels elle constitue un vritable outil pdagogique dapprentissage et dentranement en vue des concours. Ces ouvrages devraient galement convaincre les lves de ltendue des points abords dans les sujets doral et dcrit, qui couvrent rellement les programmes de premire et de deuxime annes. Mais les enseignants des C.P.G.E pourront aussi utiliser cette collection comme support de travaux dirigs et comme rfrence. Enn, les examinateurs disposeront avec cette collection dexemples de vrais sujets doraux donns rcemment ; les commentaires qui en sont faits pourront inspirer leur propre dmarche pour une valuation efcace et progressive des candidats. Pour conclure cette prsentation, on me pardonnera dutiliser un ton plus personnel. Matre de confrences et agrg en Mathmatiques, jai souhait partager plusieurs annes dexprience en assurant la matrise duvre des ouvrages de cette collection. Quinze annes de participation diffrents concours en tant que correcteur dcrit et examinateur doral, mont permis de bien connatre la littrature existante et de bien observer lvolution de lattitude des lves qui sont soumis, toujours davantage, des sollicitations nombreuses et diverses, sollicitations qui ne facilitent pas la concentration et peuvent, parfois, les gner dans la matrise de lensemble des

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Prsentation de la srie Tous les exercices de mathmatiques techniques. La ncessit ressentie douvrages adapts, lenthousiasme face lide de les rdiger, limpossibilit de raliser seul un tel travail, mont conduit runir des quipes de rdaction et assurer la matrise duvre du projet tout en participant activement lcriture. Au-del de lambition de raliser un travail de qualit, il sagit dune exprience humaine inoubliable. Trois personnes ont contribu la ralisation de ce projet et je souhaite, au sens propre, leur donner le dernier mot : merci. Merci Eric dEngenires, diteur chez Dunod, qui ma accord sa conance, a su mencourager par la qualit de nos changes et a pu me guider par des conseils et suggestions toujours formuls de manire chaleureuse. Merci Herv Coilland, directeur de lI.U.T Nancy-Charlemagne et Vice-Prsident de lUniversit Nancy 2 qui a toujours trouv le temps pour des discussions amicales au cours desquelles se prcisent les objectifs, schangent les ides et safnent quelques points de rdaction. Merci, inniment, Nezha, ma femme, qui accepte que beaucoup de temps soit consacr ce projet, qui prserve autour de moi le calme ncessaire une entreprise rdactionnelle, qui mencourage et me conseille dans les phases les plus critiques et dont lamour est un soutien permanent. Nancy, le 15 fvrier 2008 El-Haj LAAMRI

Avant-propos

Ce livre couvre le programme dalgbre et de gomtrie de deuxime anne MP, et poursuit la dmarche rdactionnelle entame avec les ouvrages de premire anne. Comme pour lensemble de la collection, le respect du programme ofciel est un principe que nous avons suivi la lettre. Par ailleurs, le programme prvoit la reprise et lapprofondissement en deuxime anne de certains points abords en premire anne : polynmes, espaces vectoriels, applications linaires, calcul matriciel, dterminants, tude afne et mtrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons mis prot cette possibilit pour que le prsent ouvrage, tout en tant sans ambigut destin aux lves de deuxime anne, prsente plusieurs chapitres utilisables en premire lecture ds le deuxime semestre de premire anne et pour les rvisions estivales entre la premire et la deuxime anne. Le programme de deuxime anne, la tradition pdagogique et le souci de garder une bonne cohrence dans la squence dalgbre linaire nous ont amens placer en tte de cet ouvrage un chapitre dalgbre gnrale suivi dun chapitre de complments sur les polynmes. Ce chapitre sur les polynmes se place dans la continuit de celui de premire anne et le complte par la prsence dexercices doraux de 2007 et dexercices qui diffrent de ceux proposs dans louvrage de premire anne en raison de la plus grande maturit quils exigent. A la frontire du programme mais prsents dans certains exercices doraux, les notions de nombres algbriques et transcendants sont galement abordes. Les chapitres qui suivent traitent des espaces vectoriels et des applications linaires, puis du calcul matriciel. Les notions nouvelles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustres par de nombreux exercices. De manire dlibre, les exercices proposs ont t slectionns pour clarier et matriser larticulation entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus gomtrique. Ces chapitres permettent de rviser et dapprofondir le programme de premire anne tout en donnant une vue raliste des exercices donns loral. Les systmes linaires et les dterminants nous ont permis, par les exercices choisis, de montrer lefcacit dune dmarche mthodique sur des exemples simples qui sappuient sur les acquis premire anne. La rduction des

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Avant-proposendomorphismes est un point essentiel du programme de deuxime anne en raison de son intrt pour la formation de llve (toutes les notions dalgbre linaire sont sollicites), de son intrt pour la prparation aux concours (toutes les preuves de concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intrt pour lvolution future de llve-ingnieur qui rencontrera ces notions utilises dans de nombreux domaines scientiques. Les espaces prhilbertiens et euclidiens ralisent une synthse encore plus profonde entre les outils techniques et la dmarche conceptuelle. Nous avons tent de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices de la richesse de ces concepts en privilgiant lapproche mthodique et en montrant llve les vertus unicatrices de notions qui dpassent largement la gomtrie et sappliquent aussi bien lanalyse qu lalgbre. Dans le chapitre quadriques et coniques , la classication et la mthode de rduction sont prsentes de faon dtaille et illustres par de nombreux exemples. Notre exprience dexaminateurs doral nous montre que les courbes polaires et paramtres sont souvent ngliges par les lves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs montrer que cette ngligence est risque. Nous avons rdig ce chapitre de manire progressive en y intgrant les lments de programme de premire anne pour construire un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces dnies par un paramtrage ou par une quation cartsienne. Cest sous lclairage de ce double point de vue que sont abordes les notions fondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point rgulier. Un choix judicieux et progressif dexercices de concours permet aux tudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitul complments de gomtrie regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de gomtrie (afne, euclidienne, isomtries afnes et vectorielles, lieux gomtriques, calcul dextrema). Absentes des programmes de deuxime anne, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enn, nous avons apport un soin tout particulier aux gures qui illustrent ces derniers chapitres. Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rdactionnels et pdagogiques propres aux ouvrages de premire anne et ceux utiliss pour les ouvrages de deuxime anne. En premire anne, nous avions choisi de prsenter et dillustrer de faon linaire chaque nouvelle notion lune aprs lautre. Nous nous adressions alors des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxime anne, nous avons choisi de prsenter globalement lessentiel des notions dun chapitre puis de progresser par tapes vers une comprhension et une matrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre est donc constitu de trois parties : une prsentation synthtique de lessentiel du cours suivie dexercices dassimilation immdiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est teste, sans complication inutile ce niveau, dans un contexte qui permet didentier clairement une et une seule difcult et de la rsoudre, en respectant une sorte de rgle des trois units : un exercice, une difcult, une solution ;

Avant-propos des exercices dentranement dont la rdaction progressive et le dcoupage en questions ont pour objectif damener le lecteur la comprhension en le confrontant de faon progressive aux difcults propres la notion tudie ; des exercices dapprofondissement destins mettre llve en situation de concours , avec la ncessit pour lui de faire preuve de comprhension, dinitiative, dintuition et de matrise technique. La lecture dun tel chapitre nest donc plus ncessairement linaire. La structure est parfaitement adapte des lecteurs de niveaux varis qui pourront ventuellement passer directement une forme dauto-valuation en se concentrant sur les exercices dapprofondissements ou, au contraire, progresser pas pas avec les exercices dassimilation. Si les lves de deuxime anne ont pu gagner en autonomie, il nen reste pas moins que leurs niveaux de comptence et de comprhension restent trs htrognes. Ainsi, entre des 3/2 qui dcouvrent le programme pour la premire fois et nont encore t confronts aucun concours, des 5/2 qui ont dj tudi le programme mais ont chou leur premire exprience et des 5/2 dj admis des concours mais dont lambition les amne viser encore plus haut, les diffrences sont trs fortes. Ce sont ces diffrences, constates en particulier lors des sances de colles , qui nous ont amens cette rdaction permettant plusieurs niveaux de lecture et dutilisation de louvrage. Entre les chapitres eux-mmes, le programme de deuxime anne nimpose pas dordre ni de dcoupage, contrairement au programme de premire anne. Cette libert nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adapte et la plus quilibre. Chaque tape prsente un nombre de notions nouvelles acceptable pour une perception densemble compatible avec la structure des chapitres. Il ny a pas que la hauteur des tages qui fait la difcult dun escalier : la hauteur acceptable des marches et leur rgularit peut faciliter lascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adapte, sans afrmer pour autant que dautres progressions sont rejeter. Notre diversit dexprience, avantage de la rdaction collective, nous amne dailleurs utiliser diffrentes progressions dans nos pratiques denseignement. Il reste ensuite le choix le plus difcile : face linnit dexercices possibles et au temps ni dont disposent les lves pour prparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guid notre slection : respecter le parti-pris de progressivit en donnant des exercices qui permettent dassimiler, puis de sentraner et enn dapprofondir ; donner une vue prcise et raliste dexercices qui tombent loral en sappuyant en particulier sur une veille attentive des sujets donns loral dans plusieurs concours depuis plusieurs annes ; privilgier les exercices gnriques dont la matrise donne les clefs de nombreux exercices (comme il avait dj t annonc en avant-propos des ouvrages de premire anne : habituer les lves reconnatre les visages connus sous leurs diffrentes apparences) ;

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Avant-propos proter du nomadisme des exercices constat entre des concours diffrents et ne pas hsiter proposer un sujet de PC ou PSI si son intrt pdagogique le justie, sachant que ce mme sujet peut apparatre plus tard en MP. . . convaincre les lves que les oraux couvrent tout le programme des deux annes. Pour viter larbitraire des prfrences personnelles lors dune rdaction collective, une rfrence incontestable et objective est ncessaire : nous avons choisi pour rfrence la ralit des exercices donns loral, principalement depuis 2004, date dapplication du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le classement des lves et non leur formation. Dans un ouvrage dapprentissage quotidien, certaines retouches se sont avres ncessaires : lorsquils utilisent ce livre, les lves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre exprience denseignants dabord, de colleurs ensuite, dexaminateurs enn, nous a permis dobserver en situation relle, dans diffrentes classes, les lves face ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la ncessit den faire voluer la rdaction pour quils passent du statut dexercice doral au statut dexercice pdagogique. Notre exprience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manire, dnaturer ces exercices. La rdaction retouche de certains exercices rpond la fois un objectif pdagogique et psychologique. Objectif pdagogique de guider llve par une rdaction dtaille qui fasse apparatre de faon explicite les difcults et les techniques matriser. Objectif psychologique de rassurer llve en lamenant rsoudre seul une majorit de questions en favorisant ainsi le dveloppement de son autonomie. Si un sujet a t donn plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pdagogique, la plus dtaille. Nous avons galement regroup certains noncs doral qui nous semblaient complmentaires ou permettaient de donner un aperu des sujets rgulirement abords lcrit. Quant aux lments de cours, chacun sait que ce qui est lgamment crit dans un cours la rdaction parfaite nest pas toujours aussi clair dans lesprit des lves. . . et nous navons pas hsit, parfois, sacrier llgance de la rdaction la redondance lorsque cette dernire nous permettait de rendre explicites des notions souvent restes implicites. Cest en premier lieu aux lves des classes prparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lyce Henri Poincar et PSI et PSI* du Lyce Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribu par leurs ractions, leurs questions, leurs erreurs et leur comprhension guider nos efforts de prsentation des exercices, de clarication des questions, de simplication des corrigs. Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rdactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons t aids. Aids matriellement par lInstitut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis dutiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires. Aids par lIREM qui nous a donn un accs privilgi ses ressources documentaires, ainsi que par lI.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothque nous a toujours reus avec sourire et efcacit. Aids galement par le Lyce Henri Poincar de Nancy qui nous a accueillis chaque

Avant-propossamedi matin, de septembre mars, dans une salle quipe de moyens informatiques. Aids enn par trois collgues du Lyce Henri Poincar, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en dtail et dont les remarques ont sensiblement amlior le prsent ouvrage. Que tous soient sincrement remercis. Notre collgue de lInstitut Elie Cartan de Nancy, Franoise Gandier, a relu une partie du manuscrit... et a du supporter dans notre bureau commun la prsence de lensemble de lquipe. Nous la remercions et nous lui demandons de nous excuser pour le dsordre consquent. Il est invitable que certaines erreurs aient chapp la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilit et nous esprons que ceux qui en dcouvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques ladresse suivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr. Enn, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aids, il en est sans qui rien naurait t possible. Nos compagnes, par leur innie patience, leur soutien sans faille et leur attentive prsence ont jou un rle essentiel dans laboutissement de ce projet. Au moment de mettre un point nal cet ouvrage cest vers elles que nos penses se tournent. Nancy le 15 avril 2008 El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Grard Eguether, Alain Mansoux, Marc Rezzouk, David Rupprecht, Laurent Schwald

xv

Les exercices qui nous ont sembl les plus difciles sont signals par un ou deux symboles .

Algbre gnrale

1

1.1 LESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES DASSIMILATION1.1.1 Congruences et Z/nZ Ce quil faut savoir Les sous-groupes additifs de Z sont de la forme nZ, o n N. On dnit dans Z la relation de congruence modulo n de la faon suivante :

xy

(mod n) si et seulement si x y nZ .

On obtient une relation dquivalence, compatible avec laddition et la multiplication, ce qui signie que pour tout (x, y, z) Z3 , si x y (mod n), alors x + z y + z (mod n) et x z yz (mod n). La classe dquivalence de x est lensemble x + nZ, on la note x. Il y a exactement n classes dquivalence, celles de 0, 1, . . . , n 1. Elles forment une partition de Z. On note Z/nZ lensemble form de ces n classes dquivalence. On dnit une loi, encore note +, dans Z/nZ en posant : x + y = x + y. La compatibilit de la congruence avec laddition assure la cohrence de cette dnition. Muni de cette loi, Z/nZ est un groupe ablien.

Exercice 1.1Soit n N. 1) Montrer que n est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres (quand on crit n en base 10) est divisible par 3. 2) Montrer que n est divisible par 8 si et seulement si le nombre form par les trois derniers chiffres de n est divisible par 8. 1) crire un entier n en base 10 sous la forme a p a1 a0 , cela signie que n = a0 100 + a1 101 + + a p 10 p (o 100 = 1). Or 10 1 (mod 3) donc 10k 1 (mod 3) pour tout k N. Ainsi n a0 + a1 + + a p (mod 3) donc 3 | n si et seulement si 3 | a0 + a1 + + a p .

2

Chap. 1. Algbre gnrale2) On remarque que 1000 = 8 125 0 (mod 8) donc 10k 0 (mod 8) pour tout k 3. Ainsi, avec les notations prcdentes n a0 100 + a1 101 + a2 102 a2 a1 a0 (mod 8). Par consquent, 8 | n = a p a1 a0 si et seulement si 8 | a2 a1 a0 .

Exercice 1.2 Mines-Ponts MP 2007 7 Quel est le dernier chiffre de lcriture dcimale de 77 ?On a 71 3 (mod 10), 72 1 (mod 10), do 74 1 (mod 10). Il suft donc de trouver le reste de la division euclidienne de lexposant 77 par 4 : 77 (1)7 1 3 (mod 4), donc il existe n N tel que 77 = 4n + 3. 7 On en dduit que 77 = 74n 73 73 7 3 (mod 10), donc le dernier chiffre de 7 lcriture dcimale de 77 est le chiffre 3.

Exercice 1.3 Petit thorme de Fermat Soit p un nombre premier.1) Montrer que pour k [[1 , p 1]], p divise p . k

2) En dduire que, pour tout (a, b) Z2 , (a + b) p a p + b p (mod p). 3) Montrer par rcurrence que, pour tout a Z, a p a (mod p), et que si p ne divise pas a, alors a p1 1 (mod p). p p( p 1) ( p k + 1) = mais factoriser par p nest pas trs claik k! rant car on ne sait pas si lautre facteur est un entier. p p crivons plutt k! = p( p 1) ( p k + 1). Par consquent, p | k! , k k or p est premier et k [[1 , p 1]], donc p et k! sont premiers entre eux. p On dduit par le thorme de Gauss que p divise . k p p k pk p a b . 2) Daprs la formule du binme de Newton : (a + b) = k 1) On ak=0

p Daprs 1), pour k [[1 , p 1]], 0 (mod p) donc, modulo p, seuls k restent dans le dveloppement le premier et le dernier terme : (a + b) p a p + b p (mod p) .

1.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation3) Si p = 2, a 2 a = a(a 1) est un nombre pair, donc a 2 a (mod 2). Supposons prsent p 3. Dmontrons, par rcurrence sur a N, la proprit p Pa suivante : a a (mod p). Initialisation : a = 0. On a bien 0 p = 0 0 (mod p), donc P0 est vraie. Hrdit : Soit a N. Supposons Pa vraie et montrons Pa+1 . (a + 1) p a p + 1 p (mod p) daprs la premire question avec b = 1. On en dduit avec Pa que (a + 1) p a + 1 (mod p). En conclusion, a p a (mod p) pour tout a N. Si a Z , daprs ce qui prcde (a) p a (mod p). Comme p est impair, on conclut que a p a (mod p). En rsum, a Z, a p a (mod p). On dduit de ce qui prcde que : a a p1 1 0 (mod p), donc si p ne divise pas a alors, comme p est premier, il est premier avec a et par thorme de Gauss, p divise a p1 1. Ainsi, on a bien a p1 1 (mod p).

3

1.1.2 Sous-groupe engendr par une partie, groupes nis Ce quil faut savoirPour les gnralits sur les groupes, se reporter au livre de premire anne. Soient (G, ) et (G , ) deux groupes. On munit G G de la loi interne

Dunod La photocopie non autorise est un dlit

dnie par (x, x ) (y, y ) = (xy, x y ). Lensemble G G muni de la loi est un groupe, appel produit des groupes G et G . Soient (G,) un groupe, A une partie non vide de G. On appelle sous-groupe engendr par A le plus petit sous-groupe de G contenant A, cest--dire lintersection des sous-groupes de G contenant A. On le note gr( A). On a gr(A) = {a1 a2 a p | p N , i [[1 , p]], (ai A ou ai1 A)}. Si A est rduit un lment a, le sous-groupe engendr par a est gal {a k | k Z}. Par exemple, le groupe additif Z/nZ est engendr par 1. Un groupe est dit cyclique lorsquil est ni et engendr par un lment. Soit a Z. Llment a engendre Z/nZ si et seulement si a est premier avec n. Soit (G,) un groupe et a un lment de G. Lapplication f : Z gr(a) k a k est un morphisme de groupes surjectif de (Z, +) dans (gr (a),). On a deux cas de gure : Si f est injective, alors gr(a) est isomorphe Z. Sinon, le noyau de f est un sous-groupe de (Z, +), donc il est de la forme nZ, o n N . Lentier n est le plus petit entier naturel non nul tel que a n = e, on lappelle lordre de a. Le groupe engendr par a est cyclique, gal {a k | 0 k n 1}. Il est isomorphe au groupe additif Z/nZ.

Le groupe additif Z/nZ est isomorphe au groupe multiplicatif Un form des

racines n imes de lunit dans C.

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Chap. 1. Algbre gnraleExercice 1.4 Centrale MP 2007 Le groupe des permutations de {1, 2, 3} est-il cyclique ?On observe dabord quun groupe cyclique est ncessairement ablien. Soient t la transposition qui change 1 et 2 et t celle qui change 1 et 3. On a (tt )(1) = 3 et (t t)(1) = 2. Comme les deux permutations t et t ne commutent pas, le groupe des permutations de {1, 2, 3} nest pas ablien, donc a fortiori il nest pas cyclique.

Exercice 1.5Montrer quun isomorphisme de groupes conserve lordre des lments. Soient f : G G un isomorphisme de groupes et a un lment de G dordre n. Comme e = f (e) = f (a n ) = ( f (a))n , on en dduit que f (a) est dordre ni, divisant n. Si f (a)k = e , alors f (a k ) = e donc a k = e car f injective, do n divise k. Il en rsulte que f (a) est dordre n.

Exercice 1.6 Polytechnique MP 2006 Les groupes (Z/8Z, +) et (Z/2Z, +) (Z/4Z, +) sont-ils isomorphes ?Dans Z/8Z, 1 est dordre 8, alors quaucun lment de Z/2ZZ/4Z nest dordre 8, car 4(x, y) = (0, 0) pour tout (x, y) Z/2Z Z/4Z. Daprs lexercice prcdent, les deux groupes ne sont pas isomorphes.

Exercice 1.7 Mines-Ponts MP 2005 Donner deux groupes 9 lments non isomorphes.Les groupes additifs (Z/9Z, +) et ((Z/3Z)2 , +) conviennent car 1 est dordre 9 dans le premier, alors que les lments du second sont dordre 1 ou 3.

Exercice 1.8 Polytechnique MP 2005 Soient (G,) un groupe et g un lment de G dordre n N . Calculer lordre de g m pour m N .

1.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilationSoit d le PGCD de n et m. Il existe deux entiers n et m premiers entre eux tels que n = dn et m = dm . On a les quivalences suivantes : (g m )k = e g mk = e n | km n | km n | k (par thorme de Gauss) n m Il en rsulte que g est dordre n = . d

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Exercice 1.9 Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2005 Soit G un groupe cyclique engendr par a, de cardinal n.1) Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique, de cardinal divisant n. 2) Soit d un diviseur de n. Montrer que G possde un unique sous-groupe de cardinal d. 3) Si d N, on note w(d) le nombre dentiers compris entre 1 et n qui sont w(d). premiers avec n. Dmontrer que : n =d|n

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1) Soit H un sous-groupe de G, distinct de {e}. On note m le plus petit entier naturel non nul tel que a m H . Comme H est un sous-groupe, le sous-groupe engendr par a m est inclus dans H . Soit x H . Il existe un entier naturel k tel que x = a k . Par division euclidienne de k par m, il existe deux entiers naturels j et r tels que k = m j + r et r m 1. Comme H est un groupe et que x H , x(a m ) j H , cest--dire a r H , do r = 0 par minimalit de m, puis x = a m j . On a montr que H est cyclique engendr par a m . Par division euclidienne de n par m, il existe deux entiers naturels q et s tels que n = mq + s et s m 1. Comme a n = e, on en dduit a s = (a m )q , donc s a H , do s = 0 par minimalit de m, donc m divise n. 2) Comme d divise n, il existe m N tel que n = dm. Montrons que le sous-groupe engendr par a m est dordre d. On a (a m )d = e. Sil existe deux entiers k et j tels que 0 j < k < d et a km = a jm , alors a (k j)m = e, or a est dordre n, donc (k j)m n, ce qui est absurde car k j d 1. Le sous-groupe engendr par a m est donc form des d lments distincts a km pour 0 k d 1. Inversement, si H est un sous-groupe de G de cardinal d, ltude mene la premire question montre que H est engendr par a n/d . 3) Plaons nous dans le groupe additif Z/nZ. Soit x [[0 , n 1]], llment x est dordre d dans Z/nZ si et seulement si d x = 0 et k [[1 , d 1]], kx = 0. Cela n quivaut lexistence de u [[1 , d 1]] premier avec d tel que x = u. Par d consquent, Z/nZ possde autant dlments dordre d que dentiers u compris entre 1 et d 1 qui sont premiers avec d, cest--dire w(d). En partitionnant

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Chap. 1. Algbre gnraleles lments de Z/nZ suivant leur ordre (qui doit diviser n), on en dduit que w(d). n=d|n

Ce quil est bon de connatreThorme de Lagrange : si G est un groupe ni et H un sous-groupe de G, alors le cardinal de H divise le cardinal de G. Ce rsultat est dmontr dans lexercice qui suit. Terminologie : lorsque G est un groupe ni, on appelle ordre de G son cardinal.

Exercice 1.10Soit G un groupe ni de cardinal n. 1) Soit H un sous-groupe de G. On introduit dans G la relation binaire suivante : xRy x 1 y H .

Montrer que R est une relation dquivalence. En dduire que lordre de H divise lordre de G.

2) Montrer que pour tout lment a de G, on a a n = e. 3) question complmentaire (Centrale MP 2005) : on suppose que |G| scrit pq o p et q sont premiers et p < q. Montrer que G contient au plus un sous-groupe dordre q. 1) xRx car x 1 x = e H . Si xRy, alors x 1 y H , do (x 1 y)1 = y 1 x H , donc yRx. Si xRy et yRz, alors x 1 z = (x 1 y) (y 1 z) H , donc xRz. La classe dquivalence dun lment x est gal lensemble des lments y G tels que x 1 y H , cest--dire x H , donc son cardinal est celui de H . Les classes dquivalence forment une partition de G, donc sil y a k classes, alors card G = k card H . 2) Soit a G. On applique ce qui prcde H = gr(a). On sait que a card H = e et card H divise n, donc k N , n = k card H , do a n = (a card H ) = ek = e. 3) On raisonne par labsurde. Soient H et H deux sous-groupes distincts de G dordre q. On sait que H H est un sous-groupe de G dont lordre est strictement infrieur q et divise q, donc H H = {e}. Montrons que lapplication c : H H est dordre 1 et H H G est injective (x, x ) x xk

1.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilationSupposons x x = yy avec (x, y) H 2 et (x , y ) H 2 . On a alors 1 y 1 x = y x . Cet lment appartient la fois H et H , donc est gal e, do x = y et x = y . On en dduit que c est injective, donc card(H H ) card G, do q 2 pq, ce qui est absurde.

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1.1.3 Groupe symtrique Ce quil faut savoir On note Sn lensemble des permutations de [[1 , n]]. Muni de la loi , cet

ensemble est un groupe de cardinal n!, appel groupe symtrique dindice n. Soient i 1 , i 2 , . . . , i p des entiers distincts appartenant [[1 , n]]. On dnit le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ) comme tant la permutation s telle que : s(i k ) = i k+1 pour tout k [[1 , p 1]], s(i ) = i 1 , p s( j) = j pour tout j {i 1 , . . . , i p }. / Lentier p est appel la longueur du cycle, lensemble {i 1 , . . . , i p } est appel son support. Une transposition est un cycle de longueur 2. Deux cycles supports disjoints commutent. Toute permutation est la compose de cycles supports deux deux disjoints, la dcomposition tant unique lordre prs des facteurs. Toute permutation est une compose de transpositions. Soit s une permutation, on note I (s) le nombre de couples (i, j) tels que 1 i < j n et s(i) > s( j). La signature de s est le rel (s) = (1) I (s) . La signature dune transposition est gale 1. La signature est un morphisme du groupe symtrique Sn dans le groupe multiplicatif {1, 1}. Le noyau de ce morphisme, not An (ensemble des permutations de signature +1) est un sous-groupe de Sn appel groupe altern. 1 Si n 2, An possde n! lments. 2

Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Exercice 1.11On note s la permutation Calculer s2008 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . 2 7 4 6 1 8 5 10 9 3

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Chap. 1. Algbre gnraleEn dcomposant s en cycles disjoints, on obtient s = c1 c2 , o c1 = (1, 2, 7, 5) et 2008 2008 4 c2 = (3, 4, 6, 8, 10). Comme c1 et c2 commutent, s2008 = c1 c2 . On a c1 = Id et 2008 4 502 5 2008 = 4502 donc c1 = (c1 ) = Id. Dautre part, c2 = Id et 2008 = 5401+3 2008 3 donc c2 = c2 = (3, 8, 4, 10, 6). Finalement, s2008 = (3, 8, 4, 10, 6).

Exercice 1.121) Dmontrer que la signature dun cycle de longueur p est gale (1) p1 . 2) Quel est son ordre ? 3) A quelle condition son carr est-il un cycle de mme longueur ? 1) Soit s = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) un cycle de longueur p. Il est gal la compose des p 1 transpositions (i 1 , i 2 )(i 2 , i 3 ) . . . (i p1 , i p ), donc sa signature est le produit de leurs signatures, cest--dire (1) p1 . 2) Si k < p, alors sk (i 1 ) = i k+1 = i 1 et s p (i 1 ) = i 1 . Il en est de mme pour les autres indices (car chaque lment du support dun cycle joue le mme rle, et les autres lments sont invariants), donc p est le plus petit entier strictement positif tel que s p = Id, cest--dire lordre de s. 3) Si p est impair, alors s2 est le cycle (i 1 , i 3 , i 5 . . . , i p , i 2 , i 4 . . . , i p1 ) de longueur p. Si p est pair, alors s2 = (i 1 , i 3 , . . . , i p1 ) (i 2 , i 4 , . . . , i p ), cest le produit de deux cycles de longueur p/2 supports disjoints. La condition cherche est donc que p est impair.

Exercice 1.13Dcomposer en cycles disjoints la permutation suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 10 6 8 2 11 12 5 1 4 3 9 Calculer son ordre, sa signature. On a s = (1, 7, 12, 9)(2, 10, 4, 8, 5)(3, 6, 11), donc (s) = (1)3 (1)4 (1)2 = 1. Posons c1 = (1, 7, 12, 9), c2 = (2, 10, 4, 8, 5) et c3 = (3, 6, 11). Comme ce sont des n n n cycles supports disjoints, on a pour tout n N, sn = c1 c2 c3 , et sn = Id n n n n n n quivaut c1 = c2 = c3 = Id (car c1 , c2 et c3 , sont encore support disjoint), cest--dire n multiple de 4, de 5 et de 3, autrement dit de 60. Lordre de s est donc gal 60.

1.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilation

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1.1.4 Anneaux, idaux, corps Ce quil faut savoir Soient A et A deux anneaux et f une application de A dans A . On dit que f est

(x, y) A2 , f (x + y) = f (x) + f (y) un morphisme danneaux lorsque f (x y) = f (x) f (y) (x, y) A2 , f (1 A ) = 1 A Soient A un anneau commutatif et I une partie de A. I est un sous-groupe additif de A On dit que I est un idal de A lorsque a A, x I , ax I Toute intersection didaux est un idal. La somme de deux idaux est un idal. Lidal engendr par un lment x de A est le plus petit idal de A contenant x. Il est gal x A. Soient a et b appartenant A. On dit que a divise b lorsquil existe c A tel que b = ac. Cela est quivalent au fait que b A a A. Les idaux de Z sont de la forme nZ, o n N. Soit K un corps. Les idaux de K[X ] sont de la forme P K[X ], o P K[X ].

Exercice 1.14Dmontrer que les seuls idaux dun corps K sont {0} et K . Soit I un idal de K non rduit {0}. Soit a un lment non nul de I . Soit x K , comme K est un corps, a est inversible dans K , donc x = xa 1 a. Or a I et I est un idal, donc x I , do nalement I = K . Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Exercice 1.15 CCP MP 2005 Soit K un corps et A = K K .1) Rappeler la structure canonique danneau de A. 2) Lanneau A est-il un corps ? 3) Dterminer les idaux de A. 1) Les lois + et sont dnies dans A partir de celles de K par les relations : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et (x, y)(x , y ) = (x x , y y ) . 2) On a (1, 0)(0, 1) = (0, 0). Lanneau A nest pas intgre, donc nest pas un corps.

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Chap. 1. Algbre gnrale3) Soit I un idal de A. On suppose dabord que I nest pas inclus dans K {0}, ni dans {0} K . Il existe un lment (a, b) I tel que a et b soient tous deux non nuls. Par suite, pour tout (x, y) A, (x, y) = (x a 1 , yb1 )(a, b) I (car I est un idal), donc A = I . Si I K {0} et nest pas rduit {(0, 0)}, il existe a K \ {0} tel que (a, 0) I , auquel cas pour tout x K , (x, 0) = (x a 1 , 0)(a, 0) I (car I est un idal), donc A = K {0}. Finalement, les idaux de A sont {(0, 0)}, K {0}, {0} K et A (on vrie facilement que ces quatre ensembles sont bien des idaux).

Exercice 1.16 Centrale MP 2006, 2007 Soit I un idal dun anneau commutatif A. On appelle radical de I lensemble I dni par I = {x A | n N , x n I }.1) Montrer que le radical dun idal est un idal. 2) Dterminer le radical dun idal de Z. 1) On observe dj que I . I Soient x et y appartenant I . Il existe p et q appartenant N tels que x p I etp+q1

y I . Par la formule du binme, (x +y)q

p+q1

=k=0

p + q 1 k p+q1k . x y k

Pour k [[0 , p 1]], on a p+q 1k q, do y p+q1k = y p1k y q I (car p + q 1 k p+q1k I est un idal), donc x y I (toujours car I est un idal). k Pour k [[ p , p + q 1]], on a x k = x k p x p I , donc p + q 1 k p+q1k x y I. k Tous les termes de la somme appartiennent I et I est stable par +, donc p+q1 (x + y) I , do x + y I , et clairement x I . Soient x I et a A. Il existe p 1 tel que x p I , donc (ax) p = a p x p I (car I est un idal). Ceci achve de prouver que I est un idal de A. 2) Soit nZ un idal de Z. On dcompose n en facteurs premiers sous la forme a a p1 1 pr r . Soit x nZ. Il existe k N tel que n divise x k , donc pour tout i [[1 , r ]], pi divise x k . Or pi est premier, donc pi divise x, et ceci est valable pour tout i,r

do nalementi=1

pi divise x.

1.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilationr

11

Inversement, sii=1 r

pi divise x, alors en notant k = max(a1 , . . . , ar ), n divise nZ.r

pik , donc n divise x k , do x i=1

Nous avons nalement montr que

nZ =i=1

pi

Z.

1.1.5 Lanneau Z/nZ Ce quil faut savoir Comme la congruence modulo n est compatible avec la multiplication, on d-

nit dans Z/nZ une loi multiplicative en posant x y = x y. Lensemble Z/nZ muni des lois + et est un anneau commutatif. Lapplication s : Z Z/nZ est un morphisme danneaux surjectif, x x appel surjection canonique. Soit a Z, a est inversible dans Z/nZ si et seulement si a est premier avec n. Pour n N , on note w(n) le nombre dentiers naturels infrieurs n et premiers avec n. La fonction w est appele indicatrice dEuler. On note U (Z/nZ) le groupe multiplicatif des lments inversibles de Z/nZ. Il est de cardinal w(n). Lanneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Si A est un anneau, alors lapplication f : Z A est un morphisme x x 1 A danneaux. Deux possibilits se prsentent : Si f est injective, on dit que A est de caractristique nulle. Sinon, son noyau est un idal de Z, de la forme nZ avec n N . Lentier n est appel la caractristique de A. Dunod La photocopie non autorise est un dlit

La caractristique dun corps est nulle ou gale un nombre premier.

Autres connaissances utiles Soient m et n deux entiers naturels premiers entre eux. Lapplication

x (mod mn) (x (mod m), x (mod n)) est un isomorphisme danneaux de Z/mnZ sur Z/mZ Z/nZ. En la restreignant aux lments inversibles, on obtient un isomorphisme de groupes multiplicatifs entre U (Z/mnZ) et U (Z/mZ) U (Z/nZ). On en dduit que w(mn) = w(m)w(n). 1 Soient p un nombre premier et a N . On a w( p a ) = p a p a1 = p a (1 ). p a a Soit p1 1 pr r la dcomposition en facteurs premiers de n. On a alors 1 1 a a w(n) = p1 1 1 ( p1 1) pr r 1 ( pr 1), ou encore w(n) = n(1 ) (1 ). p1 pr

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Chap. 1. Algbre gnraleExercice 1.17 Centrale MP 2006 Soient a, b, c des entiers. Montrer que si 7 divise a 3 + b3 + c3 , alors 7 divise abc.On calcule les cubes dans Z/7Z : 0 = 0, 1 = 1, 2 = 1, 3 = 6, 4 = 1, 5 = 6, 6 = 6 . On obtient les trois valeurs possibles 0, 1 et 1. Si la somme de trois cubes est nulle, alors lun des cubes est gal 0, autrement dit lun des 3 nombres a, b ou c est multiple de 7, ce qui implique que abc est multiple de 7.3 3 3 3 3 3 3

Exercice 1.18Rsoudre dans Z le systme suivant : x 5 (mod 12) x 3 (mod 25)

Un tel systme de congruences sappelle un problme chinois. On traduit lnonc : il existe (a, b) Z2 tel que x = 5 + 12a = 3 + 25b, cest--dire x = 5 + 12a et 12a + 25b = 2. On a lidentit de Bzout 12 2 + 25 1 = 1 (12 et 25 sont premiers entre eux). On la multiplie par 2 et on la soustrait de lquation, ce qui donne de manire quivalente 12(a 4) = 25(b 2). Par le thorme de Gauss, puisque 12 et 25 sont premiers entre eux, 12 divise b 2, donc lquation quivaut lexistence de k Z tel que b 2 = 12k, et donc a 4 = 25k. On reporte et on obtient que x est solution si et seulement si il existe k Z tel que x = 3+25(2+12k), cest--dire x = 53 + 300k. Lensemble des solutions est donc la classe de 53 modulo 300 = 12 25.

Exercice 1.19 TPE MP 2005Rsoudre dans Z/37Z le systme 6x + 7y = 30 3x 7y = 0

En ajoutant les deux quations, on obtient 9x = 30. Linverse de 9 est 4 ( cause de la relation de Bzout 37 4 9 = 1), donc x = 4 30 = 28. Par suite, 7y = 3 28 = 10. Linverse de 7 est 16 (car 3 37 + 16 7 = 1), donc y = 16 10 = 12. Remarque Ce systme linaire admet une solution unique car son dterminant vaut 63 qui nest pas nul (on travaille dans Z/37Z qui est un corps), voir exercice 6.8 page 163 pour une rsolution avec les formules de Cramer.

1.1 Lessentiel du cours et exercices dassimilationExercice 1.20 Mines-Ponts MP 2007 Dterminer le groupe des inversibles de lanneau Z/9Z et trouver un groupe qui lui soit isomorphe.Llment x est inversible dans Z/9Z si et seulement si x est premier avec 9, donc le groupe des inversibles de Z/9Z est lensemble U (Z/9Z) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Calculons les puissances de 2 pour dterminer le sous-groupe engendr par 2 : On a 2 = 1, 2 = 2, 2 = 4, 2 = 8, 2 = 7, 2 = 5. On obtient ainsi tous les lments de U (Z/9Z) donc U (Z/9Z) est cyclique dordre 6, et par consquent isomorphe au groupe additif Z/6Z.0 1 2 3 4 5

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Exercice 1.21 Mines-Ponts MP 2007 Les groupes multiplicatifs U (Z/9Z) et U (Z/7Z) sont-ils isomorphes ?Comme 7 est premier, U (Z/7Z) = Z/7Z \ {0}. Cherchons le sous-groupe de U (Z/7Z) engendr par 3. On a 3 = 1, 3 = 3, 3 = 2, 3 = 6, 3 = 4, 3 = 5. On obtient ainsi tous les lments de U (Z/7Z), donc U (Z/7Z) est cyclique dordre 6, et daprs lexercice prcdent, il est isomorphe au groupe multiplicatif U (Z/9Z).0 1 2 3 4 5

Exercice 1.22Dterminer les lments inversibles de lanneau Z/24Z. Calculer lordre de chaque lment pour la multiplication. Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Llment x est inversible dans Z/24Z si et seulement si x est premier avec 24, donc lensemble des inversibles de Z/24Z est U (Z/24Z) = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}. Aprs calcul, on voit que tout lment de ce groupe est de carr 1, donc tous les lments sont dordre 2, sauf 1 qui est dordre 1. Remarque Ce groupe est isomorphe au groupe additif (Z/2Z)3 (voir exercice 1.28 page 16).

Exercice 1.23 Centrale MP 2005 Le groupe des inversibles de lanneau Z/20Z est-il cyclique ?

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Chap. 1. Algbre gnraleOn a U (Z/20Z) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Le tableau suivant rsume les ordres de ses lments : x ordre de x 1 1 3 4 7 4 9 2 11 2 13 4 17 4 19 2

Aucun lment ntant dordre 8, qui est le cardinal de U (Z/20Z), ce groupe nest pas cyclique. Remarque Puisque 20 = 4 5 et que 4 et 5 sont premiers entre eux, on sait par le thorme chinois que U (Z/20Z) est isomorphe U (Z/4Z) U (Z/5Z) qui est gal {1, 3}mod 4 {1, 2, 3, 4}mod 5 , lui-mme isomorphe au groupe additif Z/2Z Z/4Z.

Exercice 1.24 Mines-Ponts MP 2006 Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrs dans Z/ pZ ?Dans Z/2Z, il y a 2 carrs. On suppose p 3. Si x et y appartiennent Z/ pZ, on a x 2 = y 2 x = y. Tout lment non nul est diffrent de son oppos, donc chaque carr non nul possde exactement deux antcdents par lapplication x x 2 . Le nombre de carrs non p1 p+1 p1 , et le nombre de carrs est +1= . nuls est donc 2 2 2

1.2 EXERCICES DENTRANEMENTExercice 1.25 Centrale MP 2005 Dterminer les morphismes de groupes de (Z/mZ, +) dans (Z/nZ, +), puis les automorphismes du groupe (Z/nZ, +). On note d le PGCD de m et n. Il existe donc deux entiers m et n premiers entre

eux tels que m = dm et n = dn . Soit f un morphisme de groupes de (Z/mZ, +) dans (Z/nZ, +). Soit x [[0 , m 1]]. Comme x = 1 + 1 + 1, on a :x fois

f (x) = f (1) + f (1) + f (1) = x f (1),x fois

donc f est entirement dtermine par la donne de f (1). On pose f (1) = a, o a [[0 , n 1]]. On a alors ma = m f (1) = f (m) = f (0) = 0, donc n | ma.

1.2 Exercices dentranementEn simpliant par d, on obtient n | m a, do n | a par thorme de Gauss, n donc il existe k [[0 , d 1]] tel que a = k = kn . d Inversement, pour k [[0 , d 1]], lapplication f k : Z/mZ Z/nZ x kn x est un morphisme de groupes. On obtient nalement d morphismes solutions. On suppose maintenant n = m. On cherche une condition ncessaire et suf-

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sante pour que f k : Z/nZ Z/nZ soit bijective. Comme Z/nZ est ni, x kx f k est bijective si et seulement si elle est injective, cest--dire si on a lquivalence x = 0 kx = 0. Si k est premier avec n, cest vrai par thorme de Gauss. n , on a x = 0 alors que kx = 0. Sinon, en prenant x = nk La condition cherche est donc k premier avec n. Les automorphismes du groupe additif Z/nZ sont les applications f k dnies par f k (x) = kx, pour k [[1 , n]] et premier avec n. Ils sont au nombre de w(n).

Remarque Les automorphismes dun groupe G forment un groupe pour la loi , not Aut(G). Dans le cas de Z/nZ, on a f k f k = f kk , donc Aut(G) est isomorphe au groupe multiplicatif des lments inversibles de lanneau Z/nZ.

Exercice 1.26 Centrale MP 2005 Soit G un groupe. On note A lensemble des lments de G dordre ni impair. Montrer que A est non vide, et que lapplication x x 2 est une permutation de A. Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Lensemble A est non vide car llment neutre e est dordre 1, impair. Soit x un lment de G dordre impair 2 p + 1. Llment x 2 est galement dordre

2 p + 1 (voir par exemple lexercice 1.8 page 4), donc appartient A. Soient x et y des lments de A tels que x 2 = y 2 . Notons 2 p + 1 lordre de x. On a x = (x 2 ) p+1 = (y 2 ) p+1 = y 2 p+2 , do y 4 p+4 = x 2 = y 2 , soit y 4 p+2 = e. Lordre de y divise 4 p + 2 et est impair, donc divise 2 p + 1, do y = y 2 p+1 y = x. Lapplication x x 2 dnie sur A est injective. Soit y un lment de A dordre 2 p + 1. On pose x = y p+1 , on obtient x 2 = y 2 p+2 = y. De plus, x k = e y k( p+1) = e 2 p + 1 | k( p + 1), or 2 p + 1 est premier avec p + 1 (on a la relation de Bzout 2( p + 1) (2 p + 1) = 1), donc x k = e 2 p + 1 | k, ce qui signie que x est dordre 2 p + 1, donc lapplication tudie est surjective. Finalement, lapplication x x 2 est une permutation de A.

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Chap. 1. Algbre gnraleExercice 1.27 Divers concours Soient G un groupe ablien dordre n, et k un entier naturel non nul premier avec n. Montrer que lapplication f : x x k est un automorphisme de G, et expliciter sa rciproque.Pour tout (x, y) G 2 , f (x y) = f (x) f (y) car G est ablien, donc f est un morphisme. Par le thorme de Bzout, il existe deux entiers u et v tels que uk + vn = 1, do pour tout x G, (x k )u = x 1kn = x car tout lment de G lev la puissance n est gal e (voir exercice 1.10 page 6). Par suite, lapplication g : x x u vrie f g = g f = Id, donc f est bijective, et g est sa rciproque.

Exercice 1.28 Mines-Ponts MP 2006 et 2007 Soit (G,) un groupe ni non rduit son lment neutre e tel que pour tout g G, g 2 = e.1) Vrier que G est ablien. 2) Justier que si H est un sous-groupe strict de G et si a G \ H , alors H a H est un sous-groupe de G dordre gal 2 card H . 3) En dduire que lordre de G est gal une puissance de 2. 1) Soit (x, y) G 2 . On a x yx y = e. En multipliant gauche par x et droite par y, on obtient x x yx yy = x y, do yx = x y. 2) Si x et y H , alors x y H . Si x et y a H , alors il existe x et y H tels que x = ax et y = ay do x y = x y H car a 2 = e et G est ablien. Si x H et y a H , alors x y a H . On en dduit que H a H est stable pour la loi . Tout lment de G tant son propre symtrique, H a H est bien un sous-groupe de G. Dautre part, H a H = (sinon a serait dans H ), donc card(H a H ) = 2 card H . 3) On dmontre par rcurrence nie sur k que tant que 2k card G, il existe des lments a1 , . . . , ak de G tels que Hk = {a1j1 a2j2 . . . akjk | ( j1 , j2 , . . . , jk ) {0, 1}k } soit un sous-groupe de G dordre 2k . On pose H0 = {e}. On suppose Hk construit et 2k+1 card G. Comme Hk G, il existe un lment ak+1 G \ Hk . Daprs 2), Hk+1 = Hk ak+1 Hk est un sous-groupe dordre 2k+1 qui convient. Puisque G est ni, le processus sarrte forcment, donc lordre de G est de la forme 2n .

1.2 Exercices dentranementComplment : en tudiant lapplication : (Z/2Z)n G ( j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 . . . anjn qui est un isomorphisme de groupes, on en dduit que G est isomorphe au groupe additif ((Z/2Z)n , +).

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Exercice 1.29 Polytechnique MP 2006 Soit G un groupe ni dordre 2 p avec p premier. Existe-t-il dans G un lment dordre p ? On suppose p = 2. Si G na pas dlment dordre 2, alors soit a G \ {e}, a ne

peut tre que dordre 4 (do G est cyclique), auquel cas a 2 est dordre 2, ce qui apporte la contradiction. On suppose dsormais p 3. Supposons G cyclique, engendr par a. Dans ce cas, a 2 est dordre p. Sinon, les ordres des lments de G \ {e} sont 2 ou p. Sils sont tous dordre 2, alors daprs lexercice 1.28 page 16, lordre de G est une puissance de 2, ce qui nest pas le cas. On en dduit que dans tous les cas, G admet un lment dordre p.

Exercice 1.30 Polytechnique MP 2006 Soit G un groupe ablien. 1) Soient x et y deux lments de G dordres respectifs p et q premiers entre eux. Montrer que x y est dordre pq. 2) On suppose G dordre pq, o p et q sont deux nombres premiers distincts. Montrer que G possde un lment dordre pq (il est donc cyclique). Dunod La photocopie non autorise est un dlit

1) On suppose (x y)k = e, cest--dire x k y k = e. En levant la puissance p, on obtient y kp = e puisque x est dordre p, donc q divise kp, et par thorme de Gauss, q divise k. De faon analogue, p divise k, or p et q sont premiers entre eux, donc pq divise k. Comme on a videmment (x y) pq = e, on a bien prouv que x y est dordre pq. 2) On raisonne par labsurde en supposant que G na aucun lment dordre pq. Soit x un lment de G \ {e}. Il est dordre p ou q, disons p. Soit y G \ gr(x). Supposons y dordre p. Soit p 1}. H = {x i y j | 0 i, j Comme G est ablien, H est le sous-groupe engendr par {x, y}. Si x i y j = x k y l , avec i , j, k, l compris entre 0 et p 1, x ik = y l j . Cet lment est dans gr(x) gr(y) qui est un sous-groupe strict de gr(x) donc son ordre divise strictement p qui est premier, donc gr(x) gr(y) = {e}, do x ik = e, et p divise

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Chap. 1. Algbre gnralei k, do i = k, et de mme j = l. Le sous-groupe H est dordre p 2 , ce qui est absurde car p 2 ne divise pas pq. Il en rsulte que y est dordre q, donc x y est dordre pq par la question 1), ce qui apporte la contradiction.

Exercice 1.31 Centrale MP 2006, p-groupes de PrferSoit p un nombre premier. On pose G p = {z C | k N, z p = 1}. 1) Montrer que G p est un sous-groupe multiplicatif de C . 2) Montrer que les sous-groupes propres de G p sont cycliques et quaucun deux nest maximal pour linclusion. 3) Montrer que G p nest pas engendr par un nombre ni dlments. 1) Soient z et z G p ; il existe deux entiers j et k tels que z p = 1 et zmax( j,k) j 1 p j k

pk

= 1,

do (zz ) p = 1 et (z ) = 1 donc zz et z 1 G p . Comme 1 G p , il en rsulte que G p est un sous-groupe de C . 2) On note Uk le groupe multiplicatif des racines p k de lunit dans C. On rappelle que Uk est cyclique et que z est un gnrateur de Uk si et seulement si z k est de la forme e2ipu/ p avec u premier avec p, autrement dit si et seulement si z Uk \ Uk1 . Uk , la suite densembles (Uk ) tant croissante pour linclusion. On a G p = Soit G un sous-groupe propre de G p . Si G contient un lment de Uk \ Uk1 , alors G contient Uk , donc tous les U j pour j k. Comme G nest pas gal G p , lensemble des entiers k tels que G contienne un lment de Uk \ Uk1 est major, donc possde un plus grand lment r . Cet lment engendre Ur , donc G Ur . Mais par dnition de r , G Ur . Finalement, les sous-groupes propres de G p sont les sous-groupes Uk ; ils sont tous cycliques, emboits les uns dans les autres, donc aucun nest maximal. 3) Supposons que la famille (z 1 , . . . , z n ) engendre G p . Chaque lment z k est dordre pa p ak o ak est un entier naturel. En notant a = max ak , on a z k = 1 pour tout1 k n kN imes

k, or tout lment z de G p est un produit dlments de la forme z i , donc on a a galement z p = 1, do G p Ua , ce qui est absurde.

Exercice 1.321) Calculer s c s1 lorsque c est un cycle et s une permutation de Sn .

1.2 Exercices dentranement2) Rechercher dans Sn le commutant dun cycle de longueur n, puis de la compose de deux cycles supports disjoints de longueurs respectives p et n p. (on caractrisera ses lments, puis on trouvera son cardinal) 1) Si c est le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ), on va montrer que s c s1 est le cycle (s(i 1 ) s(i 2 ) . . . s(i p )). En effet, chaque lment s(i k ) a pour image s(i k+1 ) et si j nest pas de la forme s(i k ), alors s1 ( j) nest pas de la forme i k donc est invariant par c, et (s c s1 )( j) = s(s1 ( j)) = j. 2) Soit s commutant avec le cycle c = (i 1 , i 2 , . . . , i n ). Alors s c s1 = c, et daprs ce qui prcde, il existe k [[1 , n]] tel que s(i 1 ) = i k et les puplets (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) et (i k , i k+1 , . . . , i k1 ) sont gaux, ce qui prouve que s = ck1 . Rciproquement, pour k [[0 , n 1]], la permutation s = ck commute avec c, donc le commutant de c est le groupe engendr par c, cest--dire {ck | 0 k n 1}. Posons q = n p. Soient c le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et c le cycle ( j1 , j2 , . . . , jq ) ; En crivant scc s1 = (scs1 )(sc s1 ), on montre comme prcdemment que scc s1 est la compose des cycles (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) et (s( j1 ), s( j2 ), . . . , s( jq )). On recherche les permutations s qui commutent avec c c en distinguant deux cas. 1er cas : p = q. Dans ce cas, s commute avec c c si et seulement si on a lgalit des cycles (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et (s( j1 ), s( j2 ), . . . , s( jq )) = ( j1 , j2 , . . . , jq ) par unicit de la dcomposition en cycles disjoints, donc il existe k [[0 , p 1]] tel que s(i 1 ) = i k+1 et il l existe l [[0 , q 1]] tel que s( j1 ) = jl+1 , do s = ck c . Le commutant de c c est le groupe engendr par {c, c }, qui est ablien dordre pq. 2me cas : p = q. Dans ce cas, on a deux possibilits : Dunod La photocopie non autorise est un dlit

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(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et (s( j1 ), s( j2 ), . . . , s( j p )) = ( j1 , j2 , . . . , j p ) ou (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = ( j1 , j2 , . . . , j p ) et (s( j1 ), s( j2 ), . . . , s( j p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) Le commutant de c c est donc gal {ck c , ck c f | 0l l

k

p 1, 0

l

p 1}, n2 . 2

o f est la permutation (i 1 , j1 ) (i 2 , j2 ) . . . (i p , j p ). Il est dordre 2 p 2 =

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Chap. 1. Algbre gnraleExercice 1.33 Centrale MP 2005 Soit Vn = {s Sn | k [[1 , n]], s(n + 1 k) = n + 1 s(k)}. 1) Montrer que Vn est un sous-groupe de Sn . 2) Trouver le cardinal de Vn .1) On voit que Id Vn . Soient s et s Vn . On a, pour tout k [[1 , n]] : s(s (n + 1 k)) = s(n + 1 s (k)) = n + 1 s(s (k)) On en dduit que s s Vn . On a s(n + 1 s1 (k)) = n + 1 k, donc n + 1 s1 (k) = s1 (n + 1 k), do s1 Vn . Ceci prouve que Vn est un sous-groupe de Sn . 2) Il y a n choix possibles pour s(1), la suite de quoi s(n) est impos. Il reste n 2 choix possibles pour s(2), la suite de quoi s(n 1) est impos. On poursuit ainsi le comptage. Lorsque n est pair, on obtient nalement n(n 2)(n 4) 2 lments, soitn/2n n (2k) = 2 2 ( )! 2 n1 2

k=1

Lorsque n est impair, on obtientk=0

(2k + 1) =

n! n! = n1 n1 . 2.4 . . . (n 1) 2 2 ( 2 )!

Exercice 1.34 Centrale MP 2007 Soient K un corps, A un sous-anneau de K tel que x K , x A ou x 1 A. Soit M lensemble des lments non inversibles de A, cest--direM = {x A non nul | x 1 A} {0}. / 1) Montrer que M est un idal de A. 2) Montrer que tout idal de A distinct de A est contenu dans M. 1) On remarque dj que 0 M. Soient x et y deux lments non nuls de M. Alors x et y sont dans A, donc / x + y A, mais x 1 et y 1 ne sont pas dans A. Supposons que x + y M. Alors x + y est non nul et son inverse not z appartient A. Les lments x 1 y et y 1 x sont inverses lun de lautre, donc lun des deux appartient A. Supposons par exemple que ce soit x 1 y (la situation est symtrique). On crit 1 = (x + y)z = x z + yz et on multiplie par x 1 , ce qui donne x 1 = z + x 1 yz. Or A contient z et x 1 y et est un anneau, donc x 1 yz A, or z A, donc en les ajoutant, on obtient que x 1 A, ce qui est absurde. On en dduit que x + y M.

1.2 Exercices dentranementSoient x M et a A, tous deux non nuls. Comme A est un anneau, ax A, et (ax)1 = a 1 x 1 . Si (ax)1 A, comme a A et que A est un anneau, leur produit qui est gal x 1 appartient A, ce qui est faux, donc ax M. Ceci achve de prouver que M est un idal de A. 2) Soit I un idal de A distinct de A. Supposons quil existe un lment a I \ M. / Comme a I A et a 1 M, on en dduit que a 1 A. Soit x un lment quelconque de A, on a x = xa 1 . a I car I est un idal. Par consquent, A = I , ce qui est absurde. Il en rsulte que I \ M = , donc I M.A I

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Exercice 1.35 Mines-Ponts MP 2006, Centrale MP 2007 Soit p un nombre premier. a | a Z, b N , p ne divise pas b , On pose Z p = b a et J p = | a Z, b N , p divise a et ne divise pas b . b 1) Montrer que Z p est un sous-anneau de Q.2) Montrer que J p est un idal de Z p , et que tout idal de Z p autre que Z p est inclus dans J p . 3) Dterminer les idaux de Z p . a ad bc c 1) On a 0 Z p . Soient x = et y = deux lments de Z p . On a x y = b d bd ac . Comme p est premier et quil ne divise ni b ni d, il ne divise pas bd, et x y = bd donc x y et x y appartiennent Z p . On en dduit que Z p est un sous-anneau de Q. Dunod La photocopie non autorise est un dlit

2) Tout lment x non nul de Q vrie x Z p ou x 1 Z p , car lorsquon crit x sous forme irrductible, le numrateur ou le dnominateur nest pas multiple de p. Par ailleurs, les lments inversibles de Z p sont les rationnels dont le numrateur et le dnominateur ne sont pas divisibles par p, cest--dire les lments de Z p \J p . Daprs lexercice 1.34 page 20, J p est un idal de Z p , et tout idal strict de Z p est inclus dans J p . Il nest pas difcile de redmontrer directement tout cela. 3) On remarque que J p = p Z p . On se propose de dmontrer que les idaux non nuls de Z p sont les ensembles p a Z p , o a N. Soit I un idal non nul de Z p . On note a le plus grand entier naturel tel que p a divise les numrateurs de tous les lments de I (crits sous forme irrductible). u u Tout lment de I scrit donc sous la forme p a , avec Z p , donc I p a Z p . v v a De plus, par maximalit de a, il existe un lment x de I scrivant p a , avec a b

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Chap. 1. Algbre gnraleet b premiers avec p. Mais alors b b Z p , et I est un idal, donc p a = x I , et a a comme I est un idal, p a Z p I . Finalement, on a bien I = p a Z p .

Exercice 1.36 Centrale MP 2005 et 2007, Thorme de Wilson1) Si p est premier, montrer que ( p 1)! 1 (mod p). 2) Calculer, pour n N , le reste de la division de (n 1)! par n. 1) On calcule le produit des lments du groupe multiplicatif (Z/ pZ) de deux manires diffrentes. En crivant les lments sous la forme k, pour k [[1 , p 1]], on obtient ( p 1)!. En groupant chaque lment non nul avec son inverse, il ne reste dans le produit que les lments qui sont leur propre inverse, cest--dire 1 et 1. On en dduit que ( p 1)! = 1, donc ( p1)! 1 (mod p). 2) Si p est premier, alors ( p 1)! 1 p 1 (mod p) donc le reste est p 1. Supposons n non premier ; il existe ( p, q) [[2 , n 1]]2 tel que n = pq. On distingue deux cas : de (n 1)! par n est 0. Si on ne peut pas trouver de couple ( p, q) avec p = q tel que n = pq, alors n scrit sous la forme p 2 avec p premier. Le cas p = 2 est immdiat, on a 6 2 (mod 4). Si p 3, alors p et 2 p appartiennent [[1 , n 1]] et sont distincts donc nouveau, le reste de la division de (n 1)! par n est 0. n 1 (mod n) si n est premier 2 (mod n) si n = 4 Rcapitulons : (n 1)! . 0 (mod n) sinon Si p = q alors p et q gurent dans le produit (n 1)! donc le reste de la division

Exercice 1.37 TPE MP 2006 Montrer quil existe une innit de nombres premiers de la forme 4n 1, avec n N . Indication : Sinspirer fortement de la dmonstration du cours sur le nombre inni de nombres premiers !Tout dabord, 3 = 4 1 1, donc lensemble de ces nombres nest pas vide. Supposons quil nen existe quun nombre ni, que lon notera p1 < p2 < . . . pn .

1.2 Exercices dentranementLentier N = 4 p1 pn 1 est congru 1 modulo 4. Les diviseurs premiers de N sont donc impairs et ne peuvent tre tous congrus 1 modulo 4 (car sinon leur produit N serait lui aussi congru 1). On en dduit que N admet au moins un diviseur premier qui est congru 1 modulo 4, donc il existe i tel que pi divise N . Or pi divise 4 p1 . . . pn , donc pi divise leur diffrence qui est gale 1, ce qui est absurde.

23

Exercice 1.38 Mines-Ponts MP 2005 Rsoudre dans Z/143Z : x 2 4x + 3 = 0.Sous forme canonique, lquation scrit (x 2)2 = 1, cest--dire (y 1)(y + 1) = 0 avec y = x 2. Comme 143 nest pas premier (143 = 11 13), Z/143Z nest pas un corps, donc on ne peut pas en dduire a priori que y = 1 ou y = 1. On peut envisager deux mthodes : Une recherche systmatique laide dun programme informatique. Avec le logi-

ciel Maple, cela donne : sol:=[]: for y from 1 to 142 do if (y^2=1) mod 143 then sol:=[op(sol),y] fi od; sol; On obtient comme rsultat la liste [1, 12, 131, 142]. Rsoudre dans Z lquation y 2 1 0 (mod 143). Comme 143 = 11 13, on obtient les quatre possibilits suivantes : y 1 0 (mod 143) y + 1 0 (mod 143) y 1 0 (mod 11) et y + 1 0 (mod 13) y + 1 0 (mod 11) et y 1 0 (mod 13).

Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Le 3me systme est un problme chinois. Il scrit y = 1 + 11 j = 1 + 13k avec ( j, k) Z2 , soit 13k 11 j = 2, soit 13(k 1) = 11( j 1) soit k = 1 + 11m avec m Z, ce qui donne y = 12 + 143m, cest--dire y 12 (mod 143). Le 4me systme revient changer y en son oppos, do y 12 (mod 143). Finalement, il y a quatre lments de Z/143Z de carr 1, en loccurrence 1, 1, 12, 12, donc lquation propose admet quatre solutions : 3, 1, 14, 10. Modulo 143, on retrouve les solutions obtenues avec le logiciel Maple.

Exercice 1.39 Centrale MP 2005 Soit n un entier 3. 1) Dnombrer les lments inversibles de lanneau Z/2n Z.

24

Chap. 1. Algbre gnrale2) Montrer que le groupe des inversibles de Z/2n Z nest pas cyclique. n2 Indication : montrer que pour x impair et n 3, on a x 2 1 (mod 2n1 ). 1) Il sagit des classes des lments premiers avec 2n , donc des classes des lments impairs compris entre 1 et 2n , ce qui fait 2n1 lments. 2) Soit x impair. Dmontrons par rcurrence sur n que x 2 1 (mod 2n1 ) pour n 3. Si n = 3, les carrs dans Z/4Z sont 0, 1, donc tout nombre impair au carr est congru 1 modulo 4. n2 n2 Supposons que x 2 1 (mod 2n1 ), cest--dire x 2 = 1+a2n1 , avec a Z. En levant au carr, on obtient alors : x2n1 n2

= (x 2

n2

)2 = 1 + a2n + a 2 22n2 = 1 + 2n (a + a 2 2n2 ) 1

(mod 2n ).

Ceci termine la preuve par rcurrence. Par suite, lordre de tout lment de U (Z/2n Z) divise 2n2 , or U (Z/2n Z) comporte 2n1 lments donc ne peut tre cyclique. Remarque On peut dmontrer que U (Z/2n Z) est isomorphe au groupe additif Z/2n2 Z Z/2Z.

Exercice 1.40 TPE MP 2006 Soit p un nombre premier 3. 1) On considre lquation (E) sur Z/ pZ : x 2 + ax + b = 0. Montrer que (E) possde des racines si et seulement si a 2 4b est un carr dans Z/ pZ. 2) On suppose que p est de la forme 3u + 1. Montrer quil existe a (Z/ pZ) tel que a u = 1. En dduire que 3 est un carr dans Z/ pZ.1) En mettant sous forme canonique (on remarque que linverse de 2 est p1 2 p1 p1 2 ), (E) scrit : (x a ) = a2( ) b, autrement dit 2 2 2 p1 2 1 1 1 ) = 4 (a 2 4b). Comme 4 est le carr de 2 , (E) admet (x a 2 des racines si et seulement si a 2 4b est un carr dans Z/ pZ. 2) Comme p est premier, Z/ pZ est un corps, donc le polynme X u 1 admet au plus u racines dans ce corps, or card(Z/ pZ) = p 1 > u, donc il existe a (Z/ pZ) qui nest pas racine, cest--dire que a u = 1.

1.3 Exercices dapprofondissementOn a X 3 1 = (X 2 + X + 1)(X 1). Appliquons la question 1) avec a = b = 1. Si 3 nest pas un carr, X 3 1 et X 1 ont les mmes racines dans Z/ pZ. On obtient une contradiction car a u est racine du premier (car a 3u = a p1 = 1 par petit thorme de Fermat) mais a u = 1.

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Exercice 1.41 Centrale MP 2005n

Soit n un entier > 1. On crit le rationneli=1

1 a sous forme irrductible . i b

Montrer que a est impair et b pair. Notons 2 p la plus grande puissance de 2 infrieure ou gale n ( p 1 car n > 1). On a alors 2 p+1 > n, donc les entiers de 1 n distincts de 2 p sont divisibles par une puissance de 2 infrieure strictement 2 p . En rduisant au mme dnominateur, on 1 u scrit sous la forme q , avec u et v impairs et q < p, en dduit que i 2 v p1 i n, i=2

donc

1 u 1 v + u2 pq = p+ q = . Comme pq > 0, v+u2 pq est impair et 2 p v i 2 2 v 2pv i=1 est pair, donc la fraction rduite a son numrateur impair et son dnominateur pair.

n

1.3 EXERCICES DAPPROFONDISSEMENTExercice 1.42 Mines-Ponts MP 2005 Dterminer, isomorphisme prs, les groupes dordre 6. Dunod La photocopie non autorise est un dlit

On discute suivant les ordres des lments de G \ {e}, qui sont des diviseurs de 6 autres que 1, cest--dire 2, 3 ou 6. Sil y a un lment dordre 6, alors G est cyclique, cest--dire isomorphe au

groupe additif Z/6Z.

Si tout lment est dordre 2, on reprend le raisonnement de lexercice 1.28

page 16 : G est ablien, puis on considre a = e dans G, puis b {e, a} dans G. / Lensemble {e, a, b, ab} est un sous-groupe de G dordre 4, ce qui apporte une contradiction car 4 ne divise pas 6. Sinon, il existe un lment a dordre 3. Soit b G \ {e, a, a 2 }. Les lments b, ab, a 2 b de G sont deux deux distincts, et distincts de e, a, a 2 (vrication un peu longue mais facile ; par exemple, si a 2 b = a, alors en multipliant gauche par a, b = a 2 ce qui est faux), donc G = {e, a, a 2 , b, ab, a 2 b}. En procdant par limination, on constate de mme que b2 {e, a, a 2 } et ba {ab, a 2 b}.

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Chap. 1. Algbre gnrale Si b2 = a, alors b3 = ab = e, donc b nest pas dordre 2 ou 3, donc est dordre 6, ce quon a exclu au dpart. Si b2 = a 2 , b3 = a 2 b = e, on aboutit la mme contradiction. Par consquent, b2 = e. Si ba = ab, alors (ab)2 = a 2 b2 = a 2 = e et (ab)3 = a 3 b3 = b = e, donc ab est dordre 6, ce qui est exclu. Finalement, ba = a 2 b. La table du groupe est entirement dtermine. Notons quon retrouve la structure du groupe symtrique S3 , en identiant a avec le cycle (1, 2, 3) et b avec la transposition (1, 2). Il y a donc deux structures de groupe dordre 6 : Z/6Z muni de laddition (cyclique) et S3 . Complment : Le lecteur curieux pourra sintresser aux structures de groupe dordre 4 (il y en a deux : Z/4Z et (Z/2Z)2 pour laddition) et dordre 8 (il y en a trois abliennes : Z/8Z, Z/4Z Z/2Z, (Z/2Z)3 et deux non abliennes : le groupe didral D4 des isomtries du carr et le groupe quaternionique).

Exercice 1.43 Polytechnique MP 2005, 2006, 2007 On appelle drangement de E une permutation de E sans point xe. On note dn le nombre de drangements dun ensemble de cardinal n. On posera d0 = 0.1) Dmontrer que : dn+1 = n(dn + dn1 ).n

2) Justier, laide dune partition du groupe symtrique, que n! =k=0 n

n dk . k

En dduire que dn = n!k=0

(1)k n! , puis que dn . n e k!

3) Dterminer le nombre moyen de points xes dune permutation de n lments. 1) On va compter les drangements de [[1 , n + 1]] en les partitionnant selon limage de 1, note k, qui peut prendre toutes les valeurs comprises entre 2 et n + 1 : Lorsque limage de k est 1, cela revient compter les drangements de len-

semble [[1 , n + 1]] \ {1, k}, cest--dire dn1 .

Lorsque limage de k nest pas 1, on compte alors les drangements de

[[2 , n + 1]] dans [[1 , n + 1]] \ {k} (tout se passe comme si llment 1 larrive tait renomm k), cest--dire dn .

Sagissant dune partition, on obtient dn+1 = n(dn + dn1 ). 2) Soit k un entier compris entre 0 et n. Il y a n dnk permutations admetk tant exactement k points xes. En faisant varier k entre 0 et n, on obtient une

1.3 Exercices dapprofondissementpartition de Sn , ce qui donne en passant aux cardinaux que n! =0 k n

27

n dnk = k

0

j n

n dj j n j = n ). n j

en faisant le changement dindice j = nk (ne pas oublier que Pour calculer dn , on propose deux mthodes :n

On pose S = n!k=0

(1)k = k!

n

(1)kk=0 n

n (n k)!. k n kn nk

Daprs le point prcdent, S =k=0

(1)k

j=0 n j

nk dj. j (1)k n k nk j dj.

On change lordre des sommations : S =j=0 k=0

Le terme entre parenthses vaut : n! j!n j

k=0

(1)k = k!(n k j)!m

n j

n j

(1)kk=0

n j . k

Par formule du binme,p=0

(1) p

m p

= (1 1)m , donc le terme entre

parenthses vaut 0 si j = n et 1 si j = n. Il reste nalement S = dn , ce qui est la formule demande. (1)k n! 1 On sait que = , donc dn . n e k! ek=0

Dunod La photocopie non autorise est un dlit

Soient A et B les matrices carres dordre n + 1 gales

i j

0 i, j n

i i et (1)i j , avec la convention = 0 lorsque i < j, j j 0 i, j n de sorte que A et B sont triangulaires infrieures, la numrotation des indices se faisant partir de 0. On vrie assez facilement que AB = In+1 (par exemple en remarquant que A est la matrice dans la base canonique de lendomorphisme P(X ) P(X + 1) de Rn [X ] et B celle de son inverse P(X ) P(X 1)). On introduit alors les vecteurs colonnes X = t(d0 , . . . , dn ) et Y = t(0!, . . . , n!). La formule prcdente applique pour chaque entier i de 0 n se traduit par AX = Y , do X = BY . En regardant le dernier coefcient de X , on obtient la formule demande.

28

Chap. 1. Algbre gnraleRemarque

Une troisime mthode consiste poser, pour |x| < 1, f (x) =n=0

dn n x n!

1 et montrer laide du produit de Cauchy que e x f (x) = , do 1x ex . En refaisant le produit de Cauchy des deux sries entires f (x) = 1x 1 de somme ex et , on obtient par unicit des coefcients dune srie 1x n (1)k dn = . entire : n! k!k=0

3) Soit an,k le nombre de permutations de Sn ayant k points xes. On a an,k =

n dnk , k car il sagit de choisir les k points xes parmi n puis de compter les drangements des n k lments restants. Le nombre moyen de points xes est donc n n 1 1 n1 m= kan,k = dnk en utilisant lgalit bien connue k1 n! (n 1)!k=0 k=1

k

n k

=n

n1 1 , donc m = k1 (n 1)!

n1

j=0

n1 d j . En utilisant la question j

2), on en dduit que m = 1.

1.3.1 Structure des lments inversibles de Z/nZExercice 1.44 Polytechnique MP 2007 Soient G un groupe ablien, x et y deux lments de G dordres respectifs p et q. Dmontrer quil existe un lment de G dordre PPCM( p, q).A partir de la dcomposition en facteurs premiers, on peut crire p et q sous la forme a u u u a u a j+1 a suivante : p = p1 1 pr r p1 1 p j j p , q = p1 1 pr r p j+1 pr r q , o p1 , . . . pr sont des nombres premiers distincts, j r , p et q ne sont divisibles par aucun des pi et sont premiers entre eux. Soit m le PPCM de p et q. Grce la dcomposition u +a u j+1 +a u u prcdente, on a m = p1 1 +a1 p j j j p p j+1 j+1 pr r +ar q , donc m scrit ab,=a p/a =b

est dordre a et y q/b est dordre b, et comme avec a | p, b | q et a b = 1. Or x a et b sont premiers entre eux, leur produit est dordre m daprs lexercice 1.30 page 17.

1.3 Exercices dapprofondissementExercice 1.45

29

ENS MP 2007 Soit p un nombre premier diffrent de 2. Montrer que le groupe multiplicatif (Z/ pZ) est cyclique. Indication : utiliser lexercice prcdentOn pose G = (Z/ pZ) . Le groupe multiplicatif G est dordre p 1. Soit s le PPCM des ordres des lments de G. Par thorme de Lagrange, lordre de chaque lment de G divise p 1, donc s divise p 1 par dnition du PPCM. Tous les lments de G sont racines du polynme X s 1 coefcients dans le corps Z/ pZ, dont le nombre de racines est infrieur ou gal son degr s, donc p 1 s. Il en rsulte que p 1 = s. Daprs lexercice 1.44 page 28, partir de deux lments de G dordres a et b on peut obtenir un lment dordre PPCM(a, b), donc en partant dun lment de G et en appliquant cette proprit successivement tous les autres lments de G, on en dduit lexistence dun lment de G dordre s, cest--dire p 1, ce qui prouve que G est cyclique.

Exercice 1.46 Mines-Ponts MP 2006 Soit p un nombre premier diffrent de 2, et n un entier naturel 2. n1 n2 Montrer que (1 + p) p 1 (mod p n ) et (1 + p) p 1 + p n1 (mod p n ). : dmontrer que le groupe des inversibles de Z/ p n Z est Complment cyclique.

Dunod La photocopie non autorise est un dlit

On procde par rcurrence sur n, la manire de lexercice 1.39 page 23. Si n = 2, p p k p 2 p 1 (mod p 2 ). on a par formule du binme (1 + p) = 1 + p + k Supposons (1 + p) = 1 + up et (1 + p) = 1 + p n2 + vp n1 , avec 2 (u, v) Z . En levant la puissance p, on obtient grce la formule du binme p p k (n1)k p n1 n = 1 + up + 1 (mod p n ) car k 2 donc u p (1 + p) kn1 p n2 k=2 p n3

(n 1)k (1 + p) p nn2

n. On a (1 + p)

k=2 p n2 p

= 1 + p n1 + vp n +k=2

= (1 + p n2 + vp n1 ) p , do en dveloppant p (n2)k (1 + vp)k 1 + p n1 (mod p n ) car p k 2n 4 n 1. Puisque p divise p , on en k

3 et k

2, donc (n 2)k

dduit que

p (n2)k 0 (mod p n ). p k

30

Chap. 1. Algbre gnraleComplment : Soit G = U (Z/ p n Z) le groupe des inversibles de lanneau Z/ p n Z. Le groupe G est dordre w( p n ) = p n p n1 = p n1 ( p 1). Daprs la question prcdente, 1 + p est dordre p n1 . Si on trouve un lment dordre p 1, comme p 1 est premier avec p n1 , leur produit sera dordre p n1 ( p 1) daprs lexercice 1.30 page 17, donc engendrera G. Daprs lexercice 1.45 page 29, il existe un lment a gnrateur de (Z/ pZ) . La classe de a modulo p n appartient G, on note k son ordre. Alors a k 1 (mod p n ) et a fortiori a k 1 (mod p), or a est dordre p 1 dans (Z/ pZ) do p 1 divise k, donc il existe u N tel que k = u( p 1). Dans ce cas, lordre de a u dans G est p 1, qui est le plus petit entier j 1 tel que (a u ) j (mod p n ) par minimalit de k. Le tour est jou.

Exercice 1.47

Polytechnique MP 2006 Dterminer, isomorphisme prs, les groupes dordre 2 p, o p est un nombre premier diffrent de 2. Si G a un lment dordre 2 p, alors il est cyclique, isomorphe (Z/2 pZ, +). Sinon, daprs lexercice 1.29 page 17, G admet un lment a dordre p. Soit

b G \ gr(a). Les lments a k b, pour k [[0 , p 1]], sont deux deux distincts et nappartiennent pas au groupe engendr par a, donc p 1, 0 j 1}. G = {a i b j | 0 i Comme gr(a)gr(b) est un sous-groupe strict de gr(b), son ordre divise strictement celui de gr(b), et lordre de gr(b) divise strictement 2 p, donc gr(a) gr(b) = {e}. / Comme b2 G et nest pas de la forme a k b (car b gr(a)), il est de la forme a k et par suite appartient gr(a) gr(b), donc b2 = e. Montrons que ba = a p1 b. On sait que ba scrit sous la forme a k b, avec 1 k p 1 (car ba gr(a)). Llment ab nest pas dordre 1 ou /p1 p1

2 p, donc est dordre 2 ou p. Or (ab) p = (ab)2 2 ab = a (k+1) 2 +1 b car / (ab)2 = abab = aa k bb = a k+1 . Cet lment est diffrent de e car b gr(a), donc ab est dordre 2, do (ab)2 = a k+1 = e, donc k = p 1. On dnit le groupe didral D p comme tant le groupe (pour la loi ) des isomtries dun polygone rgulier p cts. Le groupe D p est form de p rotations et de p symtries axiales. Soient O le centre de ce polygone, a la rotation 2p (a est dordre p), et b une symtrie axiale (dordre de centre O et dangle p 2) laissant invariant le polygone (son axe passe par deux sommets opposs si p est pair, et un sommet et le milieu du ct oppos si p est impair). On a alors p 1}, avec ba = a p1 b. Il en rsulte que si G nest D p = {a k , a k b | 0 k pas cyclique, alors il est isomorphe D p . En conclusion, il existe deux structures de groupe dordre 2 p : (Z/2 pZ, +) qui est cyclique et le groupe didral (D p , ).

1.3 Exercices dapprofondissementExercice 1.48 ENS MP 2006

31

1) Dcrire les sous-groupes de GLn (C) isomorphes ((Z/2Z) p , +), pour n et p lments de N . 2) Pour m = n, les groupes GLm (C) et GLn (C) sont-ils isomorphes ? 1) Soit G un tel sous-groupe. Les lments de G sont de carr In donc sont diagonalisables, et comme ils commutent, ils sont simultanment diagonalisables (cf chapitre sur la rduction des endomorphismes). Par consquent, il existe P GLn (C) tel que pour tout A G, P 1 A P = diag(1 , . . . , n ) avec pour tout i , i = 1. Il y a exactement 2n matrices diagonales contenant des coefcients 1 ou 1 sur la diagonale, or G est dordre 2 p , donc ncessairement p n, et quitte changer la matrice de passage P, on peut se ramener au cas o G = {P diag(1 , . . . , p , 1 . . . , 1)P 1 | i [[1 , p]], i = 1}. 2) Si m < n, alors GLn (C) admet un sous-groupe isomorphe ((Z/2Z)n , +) tandis que daprs la question prcdente, GLm (C) nen admet pas. Par symtrie entre m et n, on en dduit que p