Fascicule de mise niveauAutomatique H1PS7003S. Ygorra
([email protected])S. Victor
([email protected])D. Henry
([email protected])TP : Etude de la dynamique dun systme
de Dosage Objectifs du TP :-Familiariser ltudiant avec les
techniques de mesures classiques (rponse indicielle, analyse
harmonique ), permettant de modliser la dynamique dun systme
physique autour dun point de fonctionnement, par une quation
diffrentielle linaire. -Sensibiliser ltudiant aux problmes poss en
pratique par ces mthodes de mesure ( domaine de validit des modles
obtenus ) Manipulation tudie : systme de dosage industriel : On
veut disposer en permanence dun mlange de 2 produits, appels :
produit chaud et produit froid , dans un rservoir de stockage, avec
une concentration donne ( ici 50% de chaque produit ) Pour cela on
dispose de deux pompes darrive permettant de piloter les dbits
darrive dc(t) du produit chaud, et df(t) du produit froid dans le
rservoir. Les utilisateurs de produit peuvent utiliser leur gr le
mlange des produits, en ouvrant plus ou moins une vanne de sortie
situe en bas du rservoir. On notera Ts(t) le taux douverture de la
vanne de sortie. Lobjectif du systme de dosage industriel consiste
dterminer comment agir sur les pompes darrive de produit, pour que
la hauteur h(t) et la concentration c(t) du mlange restent proches
de valeurs de rfrence , en dpit de cette utilisation variable, et
de perturbations ventuelles (offsets) sur les dbits darrive.
Organisation de la sance Pour concevoir ce systme, il faut tout
dabord modliser les dynamiques dvolution -de la hauteur de produit
h(t) dans le rservoir -de la concentration c(t)=rservoir le dans
produit de total volumerservoir le dans chaud produit de volume en
fonction- des dbits des pompes darrive de produit chaud, de
produitfroid, -du taux douverture de la vanne de sortie (
consommation utilisateurs ) Ceci va faire lobjet du prsent TP.
Comme il est peu vraisemblable quen 3 heures vous ayez le temps
didentifier toutes les dynamiques, le travail sera rparti de la
faon suivante : 1/3 des groupes ( gauche de la salle ) soccupera de
la modlisation de la dynamique daction du dbit darrive produit
chaud sur la hauteur et la concentration . 1/3 des groupes ( milieu
de la salle )soccupera de la modlisation de la dynamique daction du
dbit darrive produit froid sur la hauteur et la concentration . 1/3
des groupes (droite de la salle )soccupera de la modlisation de la
dynamique daction dutaux douverture de la vanne de sortie sur la
hauteur et la concentration . Matriel disponible Un PC quip-dun
logiciel de simulation et de commande numrique de systmes : PcAxe
-dun logiciel danalyse de systmes linaires (Bode,Black,Nyquist, Rep
temporelles ) : Tpa -dun logiciel de cao automatique : Scilab-dun
logiciel de calcul formel: Mupad 31-Mesures : identification dun
modleautour dun point dquilibreAllumez le PC, vous logger sous
etudiant ( pas de mot de passe ),-Lancer le logiciel PcAxe, soit en
cliquant sur le raccourci, sil est prsent,soit en ouvrant un
terminal Rxvt depuis le menu contextuel, puis en tapant:
/usr/local/share/PcAxe/PcAxe sous ce terminal A laide dumenu
:fichierslecture configuration, lire le fichier
/home/etudiant/dosage.Sc1,qui correspond la simulation du systme de
dosage prcdemment dcrit. A laide du menu excutionsimulation, lancer
la simulation du systme, vous devriez voir apparatre une face avant
telle que ci dessous Rglages du dbit darrive de produit chaud, en
pourcentage du Rglages du dbit darrive de produit froid, en
pourcentage du Rglages du taux douverture de la vanne de sortie, en
pourcentage du Bouton permettant de choisir entre une simulation
idalise, ou une simulation Bouton permettant de slectionner
entrecontrle automatique ou manuel ( laisser
GrapheconcentratiGraphe de hauteur
Chaque entre : dc(t), df(t), ou Ts(t) est la somme dun niveau
moyen et dune sinusode, dont les caractristiques sont rglables en
cliquant sur le bouton associ. 1.1-Notion de point dquilibre dun
systme Rgler dc(t), et df(t) 50% et Ts(t) 40% ,sans composantes
sinusodales. Attendre le rgime permanent, puis relever la hauteur
h1 et la concentration c1 obtenues finalement. Rgler prsent dc(t),
et df(t) 60% et Ts(t) 80% ,sans composantes sinusodales. Attendre
le rgime permanent, puis relever la hauteur h2 et la concentration
c2 obtenues finalement. Ces deux ensembles de valeurs sont appels
des points dquilibre du systme => si on laisse constantes les
entres, les sorties restent constantes sur ces points 1.2- Rponse
indicielle aux petites variations 1.2.1-Petites variations autour
du premier point dquilibre Rglerdc(t), et df(t) 50% et Ts(t) 40% ,
4Augmenter prsent de 5% le niveau de lentre dont vous devez
analyser laction . Attendre le rgime permanent (pas plus de 20
secondes, veillez ce que le transitoire reste visible sur le graphe
de h(t) ) ,puis stopper lexcution laide du bouton appropri A laide
du menu Graphiques, tracer les donnes de simulation, Rq : OUTILS DE
MESURE SUR LES GRAPHIQUES ZOOM-UNZOOM: Vous pouvez zoomer des
donnes : appuyer sur le bouton gauche de la souris, puis dplacer la
souris en maintenant le bouton gauche appuy : le rectangle ainsi
dfini sera zoom. Il faudra appuyer sur le bouton droit pour
effectuer un unzoom MESURE DECART : en haut gauche de la fiche
saffichent les coordonnes du point courant de la souris. Si vous
cliquez sur le bouton gauche de la souris ( sans la dplacer, sinon
a fait un zoom), alors saffiche galement lcart entre le point que
vous avez slectionn et la position courante de la souris
OUTILS-REDESSINER => Parfois( souvent), la fiche graphique ne se
met pas correctement jour, activer le menu outils-> redessiner
pour retracer les donnes Appliquer la mthode en annexe 2.5
pourapproximer par des modles du premier ordre 1-la dynamique
daction des variations de votre entre sur la hauteur , pour
laquelle on prcisera les paramtres de la fonction de transfert: (
)( ) pe Kp Ep HTp RCIH E. 11.1.10_1t +=)`AA== 2-la dynamique
daction des variations de votre entre sur la concentration, pour
laquelle on prcisera la fonction de transfert :( )( )( ) pe Kp Ep
Cp Tp RCIC E. 11.2.20_2t +=)`AA== 1.2.2- Petites variations autour
du second point dquilibre Recommencerles mmes mesures pour un
rglage initial dedc(t), et df(t) 60% et Ts(t) 80% ,sans composantes
sinusodales. Comparez les modles obtenus, commentaires (demandez
ventuellement lenseignant) ? 1.3- Analyse harmonique aux petites
variations autour dun point dquilibre
On va prsent mesurer la rponse frquentielle de laction de lentre
considre, uniquement sur la hauteur h(t), pour que le TP ne prenne
pas trop de temps. 1.3.1- Petites variations autour du premier
point dquilibre Rglerdc(t), et df(t) 50% et Ts(t) 40% , Puis pour
chacune des pulsations e =1 1 1 1 120,10,3,1,. 31t t t t t - Lancer
la simulation du systme de dosage -Rgler lamplitude de la
composante sinusodale de votre entre 5%, et sa frquence f=te2
-Attendre le rgime permanent,puis stopper lexcution. Utiliser la
mthode en annexe 3.2 pour dterminer la rponse frquentielle ( gain
etargument) de la fonction de transfert ( )( )0_=)`AA=CIH Ep Ep HT
. 5 1.3.2- Vrification Tracer les diagrammes de Bode avec laide de
TPA des deux modles. Comparerle modle de la question 1.2.1 avec
celui de la question prcdente. 2-ANALYSE : MODELE LINEAIRE AUX
VARIATIONS DUN SYSTEME NON-LINEAIRE Il est rarissime quun systme
physique puisse tre correctement modlis, sur toute sa plage de
fonctionnement, par un modle linaire ( cest ce quon vient de voir)
! Mme en premire approximation, le modle dynamique fait intervenir
des fonctions non-linaires des entres-sorties, et de leurs
drives=> equadifs non-linaires, qui chappent aux mthodes
danalyse du calcul oprationnel ( Tr. De Laplace, fonction de
transfert, etc) Pour analyser la dynamique de ces systmes, ou
concevoir des systmes de commande pour ces systmes, on considre
alors de petites variations autour de divers points dquilibre =>
les modles ainsi obtenus sont linaires, mais avec un domaine de
validit plus restreint.
Au modle non-linaire inexploitable, on fait correspondre un
ensemble de modles linaires aux petites variations, quon peut
analyser,mais qui ont chacun un domaine de validit limit Pour
concevoir un systme de commande du systme non-linaire, on veille ce
que les performances soient acceptables pour chacun des modles
linaires, et on espre ( on ne dispose daucune preuve mathmatique de
la validit de cette mthode) que a fonctionnera correctement sur le
systme rel. Cest par exemple comme cela que sont conues les pilotes
automatiques davion.. NOTA : rassurez-vous quand mme : en gnral, a
fonctionne trs bien, et lorsquon valide la loi de commande, on
simule le systme non-linaire dans des conditions trs ralistes,pour
vrifier que le comportement est satisfaisant, avant de tester
vraiment sur le systme rel. 2.1- Un peu de calcul, linarisation
analytique du modle non linaire 2.1.1- recherche analytique des
points dquilibre Lorsquun systme non-linaire est sur un point
dquilibre, cela signifie que, les entres tant constantes, les
autres variables restent galement constantes leurs drives par
rapport au temps sont identiquement nulles. Dire que le systme est
en quilibre revient crire : dc(t) = = cte , decdf(t) = = cte
,Tefds(t) == cte, VesTc(t)==cte, VecVf(t)==cte,h(t)=hefVe =
cte,c(t)= =cte ecet dans ce cas on a :( )0 =dtt dVc, ( )0 =dtt dVf
Le dbit maximum des pompes darrive est connu, et gal :s m d / 001 .
03max= Additionner les quations [1] et [2] du modle non linaire en
annexe, en supposant que le systme est en quilibre,et en dduire
lexpression de la hauteur he en fonction de,,. ecdefdesT En
utilisant les mesures de hauteurh1 et h2 pour les deux points
dquilibre en 1.1,Dterminer la valeur du coefficient K de la vanne
de sortie dans le modle non-linaire. 6 2.1.2- Modle linaire aux
petites variations autour dun point dquilibre Reprsenter le modle
aux petites variations dela dynamique dvolution de la hauteur h(t)
( en annexe, quation [6] ), sous la forme dun schma fonctionnel. En
dduire lexpression de la fonction de transfert entre les petites
variations de votre entre , et les petites variations de la hauteur
Ah(t), en fonction des coefficientsb0, b1, a1 . Etablir partir de
lexpression des fonctions de transfert ( )( ) pe Kp Ep HTp RCIH E.
11.1.10_1t +=)`AA==, les valeurs des coefficients b0, b1, a1 ,pour
chacun des 2 points dquilibre considrs en 1.1 ( en ngligeant le
retard R1 dans les fonctions de transfert ) En dduire la valeur de
la surface S ( vrifier galement la cohrence des valeurs trouves
pour les 2 points dquilibre). 2.1.3- Utilit du modle non-linaire
Dterminer analytiquement, (sans effectuer de mesure) lexpression de
la fonction de transfert TE_H(p) que vous auriez obtenue, si on
avait considr le point dquilibre associ dc(t) = df(t) = 50% et
Ts(t)=60% , 2.1.4- Limitation du modle non-linaire Quelle a t
daprs-vous lutilit des mesures , par rapport lutilisation dumodle
non-linaire, sachant que, gnralement, le coefficient K et la
surface S sont connus ?
7ANNEXE : Modle non-linaire du systme de dosage Soient Vc(t) et
Vf(t) les volumes de produits chaud et froid dans la cuve, on peut
alors crire : ( )( ) ( ) t chaud produit de t sor dbit t chaud
produit de entrant dbitdtt dVctan =( )( ) ( ) t froid produit de t
sor dbit t froid produit de entrant dbitdtt dVftan = Dbits entrants
: Notons dmax le dbit maximum des pompes darrive chaux et froid, on
a alors ( ) ( )100. ,max,dt d t froid chaud produit de entrant
dbitf c=Dbits sortants : les dbits sortants ,de produit chaud
dsc(t) , et de produit froid dsf(t),par la vanne de sortie dpendent
de la concentration c(t) ce niveau du rservoir,et du dbit de sortie
total ds(t), on a : ( ) ( ) ( ) t d t c t ds sc. = , et( ) ( ) | |
( ) t d t c t ds sf. 1 = Concentration : Hypothse simplificatrice:
On considre que dans le rservoir, le mlange des produits seffectue
quasi-instantanment et est homogne => la concentration c(t) en
sortie est gale la concentration de produit dans le rservoir: ( )(
)( ) ( ) t V t Vt Vt cf cc+= Dbit total sortant ds(t) et taux
douverture de la vanne :En premire approximation,on peut montrer
que le dbit dans une restriction (vanne) est proportionnel la
racine carre de la diffrence de pression aux extrmits de cette
restriction, et la surface douverture. En supposant que les deux
produits ont la mme densit,lextrmit de la vanne de sortiectrservoir
est une pression proportionnelle la hauteur de produit dans le
rservoir + pression atmosphrique, et lextrmit externe au rservoir
est la pression atmosphrique. On peut donc modliser le dbit de
sortie ds(t) de produit mlang,en fonction de la hauteur de produit
h(t) , et du taux douverture de la vanne par : ( ) ( ) ( ) t h t T
K t ds s. . = , o( )( ) ( ) ( )St V t Vrservoir du S surfacet Vt hs
c total+= = Modle nonlinaire du systme, On remarquera donc que, mme
avec toutes ces hypothse simplificatrices, le modle du systme est
un ensemble de deux quations diffrentielles non linaires, soit :
[1]( )( ) ( ) ( ) ( )
chaud produit de t sor dbitschaud produi de entrant dbitcct h t
T K t cdt ddtt dVtanmax. . .100. = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t V t
V t T t d t d ff c s f c c, , , ,[2]( )( ) ( ) | | ( ) ( )
froid produit de t sor dbitsfroid produit de entrant dbitfft h t
T K t cdt ddtt dVtanmax. . . 1100. = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t V t
V t T t d t d ff c s f c f, , , , 8o [3]( )( )( ) ( ) t V t Vt Vt
cf cc+= reprsente la concentration de produit dans le rservoir, et
[4]( )( ) ( ) | |St V t Vt hf c+=reprsente la hauteur de produit
dans le rservoir, de surface S
ANNEXE : Modle dynamique aux petites variations dun systme
non-linaire Pour rechercher le modle dynamique [aux petites
variations autour dun point dquilibre] dun systme non-linaire, on
procde de la faon suivante : On applique mentalement de petites
variations A des entres autour du point dquilibre :dc(t) = ( ) t d
dcecA +, df(t) = ( ) t d dfefA + ,Ts(t) =( ) t T TfesA + , Ces
petites variations vont produire de petites variations Ades sorties
: => Vc(t) =,V ( ) t V VcecA +f(t) =( ) t V VfefA + ,h(t) = he +
( ) t h A ,c(t) = ( ) t c ceA + Et on cherche le modle dynamique
liant les petites variations dentre aux petites variations de
sorties Pour cela on va utiliser le fait quautour dun point,toute
fonction f diffrentiable de plusieurs variables peut tre dveloppe
en srie de taylor, en employant ses drives partielles : Soitf(
x1(t) ,x2(t),)une fonction de plusieurs variables, on alors, pour
Ax1(t) et Ax2(t) suffisamment petits : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...
. . ,... , ,... ,2,...,21,...,12 1 2 2 1 12 21 12 21 1+ A((
cc+ A((
cc+ ~ A + A +====t xxft xxfx x f t x x t x x feeeex xx x enx xx
x ene e e e,x2(t),)
o ,...1 1ex x enixf=((
ccreprsente la drive de la fonction fpar rapport la variable xi,
en supposant que toutes les autres variables xj sont constantes,
value au point,...1 1ex x = Exemple : soit f(x1,x2) =, alors) cos(
. 2 4 . . 322122 1x x x x + + ,...1 1ex x enixf=((
cc=[ drive de f / x1, en supposant x2=cte ]=[( )2 122cos . . 4 .
3 x x x + , valu au point],...1 1ex x = ,...21 1ex x enxf=((
cc=[ drive de f / x2, en supposant x1=cte ]=[( )221 2 1sin . . 2
. . 6 x x x x , value au point ,...1 1ex x = ]
En appliquant cela toutes les fonctions du modle non-linaire, on
aura ainsi systmatiquement un modle linaire aux petites variations,
dont les coefficients dpendent du point dquilibre : 9Exemple :
modle aux petites variations de lvolution de la hauteur de
produit
Pour simplifier , onne sintresse qu leffet du dbit total dentre
de produit, et du taux douverture de la vanne sur la hauteur h(t) .
En sommant les quations [1] et [2] du modle non-linaire, puis en
divisant par la surface S, on obtient : [5] ( )( ) ( ) | | ( ) (
)((
+ = t h t T Kdt d t dS dtt dhs f c. .100.1max= ( ) ( ) ( ) ( ) (
) t h t T t d t d fs f c h, , , On peut alors en dduire les drives
partielles de fh, autour dun point dquilibre 0max. 100bSddfequ
ptch= =((
cc, 0max. 100bSddfequ ptch= =((
cc 1.bSh KTfeequ ptsc= =((
cc , 1. 21..ahST Khfeesequ pth= =((
cc Lquation diffrentielle aux petites variationssercrit alors :
( ) | |( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) t h a t T b t d t d b h T d d fdtt h
h ds f cquilibre d po un surest on puisque esefec heA + A + A + A +
~A +=. . . , , ,1 1 0!... ' int' , 0
soit encore, puisque he est une constante : [6] ( )( ) ( ) | | (
) ( ) t h a t T b t d t d bdtt h ds f cA + A + A + A ~A. .1 1 0 Le
modle aux petites variations autour du point dquilibre est une
quation diffrentielle linaire, dont les coefficients( b0, b1, a1 )
dpendent des valeurs des variables au point dquilibre 10TP:
Lvitation dune balle de polystyreneTP: Lvitation dune balle de
polystyreneBut- Sensibiliser l'tudiant aux problemes
d'identification- Prsenter les bases des systemes de
correctionTravail prparatoire ( a faire avant la sance de TP )-
Lire le texte de la manipulation- Prparer les questions repres par
un signe UMatriel et logiciel- Un systme quip dune camraet dune
commande de ventilateur.-Lelogiciel PCAXE : Pilotage du systme
depuis un PC1- Description du matrielLe systme est constitu d'un
ventilateur, soufflant vers le haut sur une balle de polystyrne,
guide verticalement parun fil. La commande du systme est la tension
e(t) applique au ventilateur, normalise entre 0 et 100%. La sortie
du systme est la hauteur h(t) de la balle, exprime en mm, et mesure
l'aide d'une camra.Modle du systme : - l'entre de commande e(t)
agit sur la hauteur h(t) au travers d'une dynamique caractrise par
une fonction de transfert G(p).- la sortie h(t) du systme s'ajoute
une perturbation d(t), suppose constante, de valeur d0, modlisant
les diffrents offsets de la manip. LapremiremanipulationdemandeenTP
consistera dterminerle gainstatiqueG(0)du systme, ainsi quele
niveau d0 de la perturbation, par des mesures en rgime statique,
pour des entres constantes : chelons e(t)= e0.u(t) .U- Exprimer
partir du schma ci-dessus la transforme de Laplace H(p) de la
sortie h(t), en fonction de E(p), G(p), et D(p).U- En dduire, au
moyen du thorme de la valeur finale, la limitehstat de h(t) lorsque
t -, lorsque e(t)= e0.u(t), et d(t)= d0.u(t) :2G( p)_dynamique du
systmee(t )_entree de commandeh(t )_sortied(t )=d0. u(t
)_perturbationSYSTEMEH( p)=TP: Lvitation dune balle de
polystyrene1.1-Etude en rgime statique (10 minutes)U Lancer le
logiciel PcAxe, et alimenter le botier de commande du ventilateur.U
Sous PcAxe, activer le menu Fichiers-> Lire la configuration
id_harrypotter.Sc1, puisActiver lemenuexcution->excutionentemps
rel,vousdevriez voir apparatre la face avant suivante, permettant
decaractriser le comportement dynamique du systme.3hstat=limt -h(t
)=Le curseur d'entre permet de rgler le niveau moyen de l'entre de
commande( tension ventilateur) entre 0 et 100%A ce niveau moyen
peut se rajouter un signal sinusoidal, d'amplitude et de frquence
rglables au moyen des boutons correspondants( que l'on utilisera en
1.2, mais pas pour le moment )La position de la balle est affiche a
cot de l'echelle de sortie (entre 0 et 200 mm).Pour faciliter
l'analyse harmonique (en 1.2), le systme est quip d'un
transfromtre, qui mesure directement le gain et le dphasage entre
les composantes sinusodales de l'entre de commande, et de la
position de la balle en mm.TP: Lvitation dune balle de polystyreneU
En modifiantle niveau moyen d'entre entre 0% et 100% , complter le
graphe ci-dessous, correspondant au rgime statique du systme.U
Tracer, puis dterminer l'quation h = a .e + b , de la droite
reliant les deux points correspondant des hauteurs statiques
respectivesh0= 30mm,puis h1=170 mm =>a=h1-h0e1-e0- mm/ % ,
b=h1-a.e1=h0-a.e0- mm En comparant les valeurs obtenues aux
expressions que l'on aurait obtenues avec le modle thorique, dans
les mmes conditions, en dduire - la valeur du gain statique G(0) du
systme en fonction du coefficient a de cette droite- le niveau d0
de perturbation, en fonction du paramtre b ne passer l'application
application numrique qu'aprs les mesures en TPG( 0)= - mm /% d0= -
mm1.2- Analyse harmonique ( dure 20 minutes )4 0%10% 20% 30%40%50%
60%70%80%90% 100%200 mm180 mm160 mm140 mm120 mm100 mm80
mm60mm40mm20mm0mmNiveau moyen de l'entre e(t) entre 0% et
100%Hauteur h(t) en rgime statique = limite hstat de h(t) lorsque
-> infiniTP: Lvitation dune balle de polystyreneobjectif: dans
la partie 2 du TP, vous aurez concevoir un asservissement de
hauteur de la balle , c'est dire un systme qui, partir de la
hauteur href(t) dsire de la balle, et de la hauteur h(t) mesure de
la balle, labore le signalde commandee(t) appliquer pour que h(t)
reste proche de href(t). l'analyse de ce systme ( rapidit, prcision
en rgime statique et dynamique,a mortissement) ncessite de
connatresa rponse frquentielle (amplification et dphasage de la
composante sinusodale de la sortie h(t),par rapport lacomposante
sinusodale de l'entre e(t), lorsquet - ) Pour simplifier ces
mesures, lesystmeest quipd'untransfro-mtre, qui
dterminelegain(amplification) etl'argument (dphasage) de la sortie
( composante sinusodale de h(t)) par rapport l'entre (composante
sinusodale de e(t))Il vous est toutefois demand
d'effectuermanuellement ( sans le transfro-mtre)une de ces mesures,
de faon ce que vous compreniez la signification de ce gain, et de
cet argument (normalement dj vue ).mode opratoireU choisir un
niveau moyen de commande de ventilateur tel que la position moyenne
de la balle soit de l'ordre de 100mm) pour desfrquences de mesure
indiquer dans le tableau ci-apres, entre 0,1 et 3Hz, et comprenant
obligatoirement- La frquence f180 pour laquelle l'argument est
proche de -180, et le gain correspondant- La frquence f130 pour
laquelle l'argument est proche de -130, et le gain correspondantU
rgler ( approximativement) l'amplitude de la sinusode d'entre de
telle faon que la hauteur de balle varie lepluspossible, tout
enrestant dansl'intervalle[20mm,170mm]. Veiller galement
cequel'entretotale(niveau moyen +/- Amplitude sinus)reste toujours
dans l'intervalle [0% 100%].U attendre environ20periodes
d'oscillation, puis relever legainet l'argument delarponse
frquentielle directement depuis la mesure fournie sur le
transfromtre.Frequence(Hz) Pulsation(rad/s) Gain mesure
Arqumentmesure[-180,+180[Gain en Decibels Arqument reeen
deqres0,1Hz5TP: Lvitation dune balle de polystyreneFrequence(Hz)
Pulsation(rad/s) Gain mesure Arqumentmesure[-180,+180[Gain en
Decibels Arqument reeen deqres3HzU Vrifier manuellement le rsultat
donn par le transfro-mtre la frquence f130( stopper l'excution,
menu graphiques ->tracer les donnes, puis mesurer legainet
ledphasageentrelapartiesinusodaledel'entrede commande et la sortie
filtre). U d'aprs-vous, qu'obtiendrait-oncomme valeurs de gainet
d'argument, si ontravaillait a une frquence extrmement faible(
interroger ventuellement l'enseignant) ?... 2- ASSERVISSEMENT DE
HAUTEUR DE BALLE2.1- Calculs prliminairesLe schma de principe de
l'asservissementde hauteur de balle est donn ci-dessous (fichier
harrypotter_bf.Sc1)(surlesadditionneurs, tous lessignes
sontpositifspar dfaut,il yaunseulsignengatifpour le calculde
l'erreur)6G( p)_dynamique du systmeC( p)_regulateurH(
p)=A_precompensateurhref(t )=href0. u( t )_referencee(t )_entree de
commandeh(t )_sortied(t )=d0. u(t )_perturbation2(t )_erreur=href(t
)-h(t )o(t )=B.u( t )_offset de prcompensationLOI DE COMMANDE
SYSTEMETP: Lvitation dune balle de polystyreneG(p) reprsente sur ce
schma la fonction de transfert traduisant l'action du signal de
commandee(t) (en %), sur la sortie h(t) (en mm)- d(t) reprsente
l'action de toutes les perturbations (offsets non compenss,
turbulences) sur la sortie du systme, et estmodlis par une
constante (un chelon) : d(t)= d0. u(t). Udterminer sur ce schma
l'expression de la transforme de Laplace 2( p)de l'erreur 2(t ), en
fonction
deHref(p),D(p),O(p),C(p),G(p)[Appliquerlatechniqueducours=>''ouvrir''
laboucleaupoint2, puis remonter la boucle jusqu' 2U en dduire
l'expression de l'erreur statique : 2=limt -2( t ), en fonction de
C(p=0),G(p=0) ,d0,href0,A, B, lorsque toutes les entres extrieures
sont assimiles des chelons (voir schma ).[ employer le thorme de la
valeur finale, et se rappeler de l'expression de la transforme de
Laplace d'un chelon... 2.2- calcul d'un prcompensateur2.2.1-Essai
de la loi de commande par prcompensationUMontrer que, connaissant
d0 , un choix judicieux du gain Aet de l'offset B, permet d'annuler
systmatiquement l'erreur statique , indpendamment de C(p), et de
href0 ( employer les valeurs de d0 et G(0) dtermines en 1.1 depuis
les mesures de la droite statique, pour dterminer les valeurs
numriques de A et B)A=f (G( 0))= -B= f (G(0) , d0)= - U Sous PcAxe,
(click droit sur le bloc 'prcompensateur', puis double-click sur
les parametres A et B de ce bloc) choisir prsent les valeurs de A
et B que vous venez de dterminer, puis lancer l'excution...7TP:
Lvitation dune balle de polystyrenePour plusieurs valeurs de
rfrence (entre 30mm et 170mm) , relever l'erreur statiqueen
fonction de la valeurde rfrence href0 , et en dduire la plus grande
valeur de l'erreur statique que l'on puisse obtenir )
le problme vient du fait que le systme n'est pas tout fait
linaire ( le paramtre A devrait varier), et que laperturbation d0
dpend partiellement de la hauteur de la bille => elle est mal
compense par le paramtre B.2.3-Contre-raction avec un correcteur
gain pur2.3.1 Calcul de l'erreur statique, et dtermination du gain
Kc On suppose C(p) =0 ( calcul dj effectu en2.1) dterminer
l'expression 20del'erreur statique :2=limt -2( t ), en fonction de
, G(p=0) , d0, href0, A, B , On suppose C(p) =KcU (calcul
djeffectuen2.1) dterminer l'expression 2Kcdel'erreur
statique:2=limt -2( t ), en fonction de , G(p=0) , d0, href0, A, B
,Kc UEn dduire le rapport2Kc20= f (G(0) , Kc)U en supposant que
20correspond la valeur maximumd'erreur statique que vous avez relev
exprimentalement en 2.2.2, en dduire la valeur de Kc telle
que2Kcsoit infrieure 1mm ( employer la valeur de G(0) dtermine en
1.1 pour ce calcul:Kc=2.3.2essai avec un gain Kc correspondant une
prcision statique de 1mm U SousPcAxe, lancer l'excutionentempsrel,
choisir unniveauderfrencedel'ordrede100mm, puismodifier le gain Kc
du rgulateur ( Liste a droite de la fentre graphique,
paramtres=> gain Kc)pour lui donner la valeur que vous venez de
calculer... quesepasse-t-il?... tracersurpapier
librel'alluredudiagrammedeBodedelaboucleouverteFTBO(j o)de
l'asservissement, et en dduire l'allure de la FTBO dans le plan de
BLACK_NICHOLS 8TP: Lvitation dune balle de polystyreneU En
appliquant le critre du revers, conclure dans ce cas quand la
stabilit de la boucle ferme.U En raisonnant sur le point pour
lequel l'argument de la rponse frquentielle de la FTBO est gal
-180,dterminer l'intervalle des valeurs de gain Kc pour lequel la
boucle ferme sera stable2.3.3dtermination d'un gain Kc
correspondant un amortissement suffisant en boucle ferme U En
raisonnant sur le point pour lequel l'argument de la rponse
frquentielle de la FTBO est gal -130,dterminer la valeur de gain
Kcpour laquelle la marge de phase sera gale 50 ( utiliser un trac
de Bode, ou de Black, pour oprer ce calcul).U Pour ce gain Kc,
dterminer la marge de gain.U Dans le cas o la marge de gain serait
infrieure 10db, dterminer le gain Kc pour lequel la marge de
gainest gale 10dB2.3.4 essai avec un gain Kc correspondant une
marge de phase d'au moins 50, et une marge de gain d'aumoins 10 db
, mise en vidence du dilemme stabilit prcisionU Sous PcAxe, lancer
l'excution en temps rel, choisir ungain Kc du rgulateur gal zro (
Liste a droite de la fentregraphique,paramtres=> gain Kc) ,
choisir un niveau de rfrence de l'ordre de100mm, et
releverl'erreurstatique...sans arrter l'excution, fixer prsent le
gain Kc la valeur finalement retenue en2.3.3, et observer
l'volution de l'erreur... U En vous reportant l'expression du
rapport2Kc20= f (G(0) , Kc) , dire sice rsultat tait prvisible....U
Modifier la valeur du gain Kc pour que l'erreur statique soit 5
fois plus petite ...et passer ventuellement un niveau de rfrence de
150mm ... que se passe-t-il?... ce rsultat tait-il prvisible?...U
En dduire la prcision statique la meilleure que l'on puisse esprer
avec un rgulateur de type 'gain pur Kc'( elle correspond la plus
grande valeur de Kc que l'on puisse choisir pour que la boucle
ferme reste stable)Kcmaximum= =2Kcminimum=2.4- Effet d'une action
intgrale9[-180,0db]Allure de FTBO((jw)20.log10( |FTBO(jw)|)arg(
FTBO(jw))TP: Lvitation dune balle de polystyreneOn retient
finalement un rgulateur de type Proportionnel-intgral :C( p)=KC.(
p+wi )p, avec Kc la valeur de gain finalement retenue en 2.3.3, et
wi =2. pi.0 ,1rad / sUtracer le diagramme de Bode asymptotique de
ce rgulateur, et valuer analytiquement le gain et l'argument de sa
rponse frquentiellearg(C( j. o))= C( j. o)=Uen vous reportant au
rsultat en 2.1, dterminer l'erreur statique pour ce nouveau
rgulateurU esquisser l'allure de la rponse frquentielle de la FTBO
dans le plan de Bode,avec ce nouveau rgulateur... En dduire si la
boucle ferme sera stable....U Sous PcAxe, lancer l'excution,
choisir Kc= valeur en 2.3.3, relever l'erreur statique.Sans arrter
l'excution, modifier lafonctiondetransfert Ensrie avec Kc(qui
s'appelle C(p) dans le menu paramtres), pour qu'elle soit gale a :
( p+wi )p, observer l'volution de l'erreur... Changer de valeur de
rfrence, et vrifier que ce rgulateur annule bien l'erreur statique,
tout en assurant la stabilit en boucle ferme.10TP n 3 ou 4 :
Identification et commande dune manipulation thermiqueTP N3 ou 4 :
Identification et commandedune manipulation thermiqueBut-
Sensibiliser l'tudiant aux problemes d'identification- Prsenter les
bases des systemes de correctionTravail prparatoire ( a faire avant
la sance de TP )- Lire le texte de la manipulation-Rflchir sur les
mthodes en annexe du fascicule de TD ( calcul de lois de commande)
- Prparer les questions repres par un signe Matriel et logiciel-
Une enceinte thermique quipe dune sonde de mesure et dune commande
de puissance.-Un calculateur quip de deuxlogicielsPCAXE : Pilotage
de carte Entre-sortieTPA : Simulation et analyse de systmes
linaires ( transformations continu discret )1- Description du
matrielLenceinte thermique tudie est une caisse en bois lextrmit de
laquelle est install un systme de chauffage + ventilation
(radiateur soufflant). Lautre extrmit est munie dune porte, que lon
laissera grande ouverte durant la manipulation. Alintrieur
delenceinteest placeunesondersistancedeplatine, permettant
demesurer la temprature.1.1 Commande de la puissance :La rsistance
de puissance du radiateur est alimente par un gradateur. La
puissanceP dissipe par cette rsistance est directement
proportionnelle la tension de commande vc entre les bornes commande
et masse du botier de commande. Le graphe est donn ci-dessous : 1.2
Mesure de la temprature :La loi d'volution de la rsistance R(T) de
la sonde de platine, en fonction de la temprature T du milieu dans
lequel elle est place est modlise de la facon suivante : , avecPour
convertir l'information temprature en mesure de tension, on a plac
la sonde dans un montage de typepont de Wheastone, suivi dun
amplificateur diffrentiel. Sur le botier de commande, on obtient
ainsi une tensionvm entre la borne Mesure et la masse directement
proportionnelle la temprature T, le graphe tant donn ci-aprs2TP n 3
ou 4 : Identification et commande dune manipulation
thermique-100C100Ctemprature T ( C )Tension de mesure vm ( volts
)10-10La variation de temprature lintrieur de lenceinte nexcdant
pas 40C, et la temprature ambiante tant toujourscomprise entre 10C
( au mois de novembre), et 40C (au mois de juin), on pourra ignorer
la saturation de la courbe .2- Modlisation de l'ensemble2.1-Mesure
de temprature vmDans la suite de la manip, on considrera que
lensemble de mesure Sonde + Ampli-diff se comporte comme un gainpur
.2.2- Puissance de chauffe P et volution de la tempratureLe
radiateur dissipant de la puissance, il est possible de chauffer
lintrieur de lenceinte thermique, il est par contreimpossible de la
refroidir. La tempratureT lintrieur de lenceinte sera donc toujours
suprieure o gale la temprature ambiante TA. La puissance de chauffe
P ne permet dagir que sur lcart de temprature T = T - TA entre la
temprature intrieure T et la temprature ambiante TA. On suppose que
la dynamique daction de P sur T peut tre correctement approxime par
celle d'un systme linaire, defonctiondetransfert . Ceci nest biensr
quuneapproximationqui part
delhypothesequelonignorelesphnomnesdauto-chaufemment
delarsistanceduradiateur, delenceintethermique, et
lanon-linaritdela relation relle liant T P ( quation aux drives
partielles).2.3- Action de la temprature ambiante TALa temprature
ambianteTAagit galement sur la tempratureT lintrieur de
lenceinte.On modlisera par une fonction de transfert F(p) la
dynamique daction de TA sur T. La seule information sre que lon ait
sur F(p) est que son gain statique est gal 1 : lorsque la puissance
de chauffePest nulle, et que la temprature ambiante TAreste
constante, alors la temprature intrieure Ttend asymptotiquement
vers la temprature ambiante TA. Toutefois on ne dispose daucune
information sur la dynamique dvolution de T en fonction de TA : il
est peu envisageable doprer une brusque variation de temprature
ambiante TA, pour dterminer F(p). On se contentera donc de modliser
F(p) par un gain de 1, ce qui revient considrer le cas le plus
pessimiste : la temprature ambianteTA agit instantanment sur la
temprature T lintrieur de lenceinte.2.4- Schma bloc de
lensembleLensemble : commande+enceinte+sonde+ampli de mesure peut
tre modlis sous la forme du schma bloc suivant : 3Zone linaire de
fonctionnementTP n 3 ou 4 : Identification et commande dune
manipulation thermiquevc(t)p(t)( watts)Gp(p)F(p)TA(t) (C)T(t)
(C)kmvm(t) (volts)T(t)(C)Courbe P(watts) f( v c(volts) )Ensemble
gradateur radiateur :entre tension de commande vc(t)sortie
puissance dissipe p(t)Enceinte thermique systeme a 2 entres : - P
signal de commande - TA perturbationUne sortie : - T temprature a
l'intrieur de l'enceinteensemblesonde de platine ampliDans la suite
de la manip, on notera : , la fonction de transfert : temprature T
/ puissance de chauffe P , la fonction de transfert : temprature T
/ tension de commande vc , la fonction de transfert : tension de
mesure vm / tension de commande vcRemarque : Ces expressions ne
sont valables que lorsque-lon est en rgime linaire de
fonctionnement.3- ManipulationVERIFIEZ LE BON FONCTIONNEMENT DU
VENTILATEUR DU RADIATEUR !!!LES MESURES SEFFECTUERONT PORTE GRANDE
OUVERTE !!!3.1- Identification3.1.1 Schma utilisLes mesures et
essais de commande seffectueront avec le logiciel PCAXE.On
utilisera le fichier de configuration idthm,sur
lequelestprogrammunschmadecommandepar calculateur
approximantleschma tempscontinu suivant : Le signal issu du
gnrateur est form de la somme de 4 signaux diffrents1 - Un chelon,
de niveau rglable2 - Des crneaux, damplitude et de frquence
rglable3 - Une sinusode de mme frquence que les crneaux, et
damplitude rglable4 - Une rampe, de pente rglable, partant de 0
t=0s43 0 0 W a t t s0 W a t t s0 V o l t s 7 V o l t sP u i s s a n
c e P [ ( t e n s i o n d e c o m m a n d e v c)t e n s i o n d e c
o m m a n d e v cTP n 3 ou 4 : Identification et commande dune
manipulation thermiqueLes paramtres Niveau Echelon, Amplitude
Creneaux, pente rampe,Frquence permettent de dterminer le signal en
sortie du gnrateur. Le filtre numrique passe-bandeest
automatiquement accord sur la frquence du gnrateur. 3.1.2 -
Identification par rponse indicielle ( Dure conseille 30 Minutes )
Allumer l'enceinte thermique. LancerPCAXE,
danslemenu[icnier,fairelecrurecon[iqurorion.Ignorerlemessaged'erreuret
valider.Slectionner alors la configutation IJrnm.Sc1 et valider.
Aller dansTesr,faireLooJ con[iq corre PCAXL.Pour quitter,cliquer
avec le bouton droit de la souris etfaire Fermer
Lisrbox.Vouspouvezmaintenant modifier lesvaleursdesparametres
NiveauEchelon, AmplitudeCreneaux,penterampe,frquence. Il suffit
alors de slectionner le paramtre modifier et de rentrer la nouvelle
valeur. Avant toute manipulation, il est indispensable derelever
latemprature ambiantePour cela, appliquerenentreunchelonde0volts.
DansLxecurion, faireLxecurionenrempsreel.Visualiser les rsultats et
attendre la stabilisation de la sortie vm(t). Arrter alors
l'xcution. Mesurer vm(t), et a l'aide du coefficient km (cf. 2.1),
calculer TA. Choisirunchelondeniveau1Vainsi
qu'uneprioded'chantillonnageTe100ms(MenuPoromerres, PerioJe
J`ecnonrillonnoqe).Lancer l'execution. Visualiser les donnes.
Attendre la stabilisation de la temprature,puis sans quitter
l'execution, modifier les parametres.Appliquer alors un chelon de
tension vc(r) de niveau 6 volts. Attendre la stabilisation puis
arreter l'execution. Dans le menu Gropniques, faire Trocer les
Jonnees. Visualiser les deux tensions vm(r)(tension de mesure) et
vc(r) (tension de commande). En supposant que la dynamique
d'volution de la tension de mesure vm(r) et la tension de commande
vc(r) peut tre approxime par celle d'un systeme du premier ordre
avec un retard r :, dterminez a partir de vos mesures les valeurs
des parametres |, r, et Remarque : determination des parametres |,
r, et Complter l'annexe Dynamique des systemes linaires, Reponse
inJicielle J`un sysreme, 2.S er 2.5.5vmvm[inol = 100 %63 %
(vmfinal-vminitial)rvminiriol = 0 %t
1 VVctk = (vmfinal-vminitial) / ( vcfinal-vcin
TP n 3 ou 4 : Identification et commande dune manipulation
thermique3.1.3- Rponse frquentielle, Analyse harmonique (Dure
conseille 45 minutes) Choisir un echelon de niveau 3,5 volts et un
sinus de frquence 0.1 hertz et d'amplitude 2,5 volts.Lancer
l'execution et attendre la stabilisation (environ 10/0.1 =
100secondes). Utiliser le menuGraphique, Tracer lesdonnes pour
relever la sortie mesure et la sortie filtre. Analyser les 2
courbes, commentaires. Tracer prsent l'entre et la sortie filtre.
Mesurer l'amplitude et le dphasage de la sortie filtre par rapport
l'entre. Dduiredecesmesures legainet l'argument
de.Lireattentivement lannexeDynamiquedes systmes linaires, Mesure
exprimentale de la rponse frquentielle dun systme, 3.2. Mmes
mesures pour
= 0.05 hertz et
= 0.2 hertz.3.1.4- Comparaison des rsultats (Dure conseille 15
minutes) Tracer sur la mme feuille les rponses frquentielles dduite
du modle tabli en 3.1.2 (rponse indicielle), et mesure
exprimentalement en 3.1.3 (rponse frquentielle). Comparez ces
courbes, et interrogez lenseignantpour les commentaires... Remarque
: Vous pouvez utiliser le logiciel TPA pour tracer le diagramme de
Bode de(3.1.2). Choisir le menuSaisie pour rentrer
lafonctiondetransfert.Appliquer les formules, et visualier les
courbes dansGraphiques, Courbesfrquentielles.3.3- Correcteur Gain
Pur (Dure conseille 1 heure)3.3.1- Calcul du correcteurOn dcide
decommanderlesystmeen boucle ferme,conformment au schma suivant, de
faon obtenir une marge de phase gale 50. On choisit, dans un
premier temps un correcteur de type gain pur :c o m m a n d e v c(
t )e n v o l t st e m p r a t u r e m e s u r e e n v o l t sl e g
a i n d u c a p t e u r e s ti m p l i c i t e m e n t i n c l u d
a n s G m ( p )C ( p )_C o n s i g n ee n v o l t sC o r r e c t e
u rS y s t e m e( )( )( )G pv pv pmmc= Dterminer le gain pour que
la marge de phase = 50 (On ne tient pas compte de la perturbation).
Cette determination sera effectue partir de la rponse frquentielle
mesure en 3.1.3. Remarque : on rappelle que w=wu C(jw). Gm(jw)=
1etarg (C(jw). Gm(jw)) = -180 + t Complter lannexe Dynamique des
systmes linaires, 2.1 et 2.2., Rponse indicielle dun systme. t
Dterminez la valeur thorique de lerreur statique de la loi de
commande ainsi ralise, lorsquon applique uneconsigne constante, et
quelatemprature ambianteTAreste constante(va=cte =0.1TA).Cette
determination sera effectue partir du modle tabli partir de la
rponse indicielle en 3.1.2.6va(t) = effet de la temprature
ambianteTP n 3 ou 4 : Identification et commande dune manipulation
thermiqueRemarque : La dmarche qui consiste utiliser la rponse
frquentielle pour le calcul du correcteur, et le modle tabli partir
de la rponse indicielle pour la determination de l'erreur statique
vous parat-elle logique?... commentaires3.3.2 Vrification
exprimentaleLa vrificationexprimentale se fera enlanant PCAXE, puis
enlisant le fichier de configuration ThmBf.Sc1, (thermique en
boucle ferme), dans Fichiers, Lecture configuration, sur lequel est
programm le schma suivant : On choisira une priode dchantillonnages
Te 1 , 0 = dans Paramtres, Priode dchantillonnage.On rappelle que
le test du correcteur est effectu en boucle ferme.Implanter le
correcteur dtermin en 3.3.1 dans le gain Appliquer des chelons de
consigne, variant de 5C au dessus de la temprature ambiante ( va
+0.5V ), 10C audessus de la temprature ambiante (va+1V), dterminez
lerreur statique de la loi de commande.Conclusions Prendre prsent
une valeur de c cK K 1001 =, que-se-passe-t-il? Commentaires...
Prendre prsent une valeur de 10 /2 c cK K =, que-se-passe-t-il?
Commentaires...3.4 Correcteur proportionnel intgral rapide, et lent
( dure conseille 30minutes)3.4.1- Calcul des correcteurs
Lescorrecteursimplantsprecedemment nepermettant
pasderpondreauxexigencesdestabilitet de precision. On se propose
dimplanter la place du correcteur de type gain pur un nouveau
correcteur de type correcteur proportionnel intgral marge de phase
donne ( = 50)et dtudier son influence. Ce correcteur est de la
forme : . En ralit deux correcteurs seront tests squentiellement :(
)12p12p 116. p C1+=( )1600p1600p 122. p C2+= Dterminez pour ces
correcteurs la valeur thorique de lerreur statique de la loi de
commande ainsi ralise,lorsque lon applique une consigne constante,
et que la temprature ambiante TAreste constante.3.4.2 Vrification
exprimentale Implanter C1(p). La priode d'chantillonnage Te sera de
100ms.Attention : pensez rinitialiser le correcteur gain pur
prcdemment utilis. Avant de lancer l'execution, choisir un chelon
de consigne de 8C au dessus de la temprature ambiante.Lancer
l'execution. Attendre la stabilisation, puis modifier les
parametres au cours de l'execution de facon 7TP n 3 ou 4 :
Identification et commande dune manipulation thermiqueaugmenter la
consigne de 1C. Attendre la stabilisation. Afficher les
courbesvm(r),vc(r) et(r). Vrifiez que lerreur statique est bien
gale 0, pour ce premier correcteur.Implanter C2(p). La priode
d'chantillonnage Te=100ms.Attention : pensez rinitialiser le
correcteur C1(p)prcdemment utilis. Avant de lancer l'execution,
choisir un chelon de consigne de 8C au dessus de la temprature
ambiante.Lancer l'execution. Attendre la stabilisation, puis
modifier les parametres au cours de l'execution de facon augmenter
la consigne de 1C. Attendre la stabilisation. Afficher les
courbesvm(r),vc(r) et(r). Vrifiez que lerreur statique est bien
gale 0, pour ce premier correcteur. Quelle diffrence observez-vous
entre les deux rponses temporelles? Les appellations PI rapide et
PI lent, vous semblent-elles justifies? A l'aide de TPA, tracer les
boucle ouvertes corriges par les correcteurs rapide et lent.8TP
mise niveauSynthse de loi de commande pour unsystme non
linaire1.Rappels Un systme dynamique linaire, dentres e1(t),
e2(t),, de sorties y1(t), y2(t),peut toujours tre reprsent parun
ensemble dquations diffrentielles du premier ordre coefficients
constants,faisant intervenir des variables internes
x1(t),x2(t),,appeles variablesdtat dusystme. Une telle
reprsentation est appele Reprsentationdtatdu systme.La forme
compacte de la reprsentation dtat scrit dans le cas des systmes
linaires :( )( ) ( )( ) ( ) ( )) 0 ( ,. .. .xt e D t x C t yt e B t
x Adtt dx'+ + o e(t) =( )( )( ) 111]1
t et et eNe21 est le vecteur dentre, x(t) = ( )( )( ) 111]1
t xt xt xNx21 le vecteur dtat, et y(t)= ( )( )( )111]1
t yt yt yNy21le vecteur de sortie.Dans le cas dun systme non
linaire du second ordre sans entre force (i.e. e(t)=0), la
reprsentation dtat scrit( )( )') 0 ( ), 0 ( ,) , () , (2 12 122 11x
xx x Qdt t dxx x Pdtt dxo P et Q sont des fonctions non linaires,
x1(0) et x2(0) reprsentent les conditions initiales du systme (qui
ne sont pas forcment gales 0 !).La sortie du systme est alors une
combinaison linaire ou non de x1 et x2. Dans le cadre de ce TP,
y(t) sera gal soit x1(t) soit x2(t).La mthodologie de synthse d'une
loi de commande linaire est la suivante :1.On cherche caractriser
le comportement du systme au voisinage de points que lon appelle
points d'quilibre . Ces points, de coordonnes) , ( 2 1 x x, sont
les solutions du systme dquations :'0 ) , (0 ) , (2 12 1x x Qx x P
2. Lecomportementdusystmeauvoisinagedecespointsestalorsdduitdumodle
linaris autourdeces points. Ce modle traduit le comportement
dynamique du systme lorsque lon considre de petites variations de
ltat autour des points singuliers. Le modle linaris scrit :'++2) ,
(22 11) , (12 1 22) , (22 11) , (12 1 12 1 2 12 1 2 1) , ( ) , () ,
( ) , (xxx x Qxxx x Qdtdxxxx x Pxxx x Pdtdxx x x xx x x xo
ixfreprsente la drive partielle de la fonction f par rapport
xi.Page 1TP mise niveau2.Commande dun systme non linaire.2.1 Etude
de la dynamique du systmeOn considre le systme non linaire dcrit
par le jeu dquations suivantes :1 4 , 0 ), 0 ( ), 0 () ( ) () ( ) (
) () () () (20 2 113120 120221 '+ x xt x t yt u t x t xdtt dxt xdtt
dx2.1.1 Etude thorique- Rechercher sil existe des points
d'quilibre. Dterminer leur nombre ainsi que leurs coordonnes.- Pour
chacun des points d'quilibre, dterminer lexpression du modle
linaris.2.1.2 Manipulations sous ScilabNous allons prsent utiliser
Scilab pour retrouver les rsultats obtenus prcdemment. A laide
deSchmaScilab, raliser un schma de simulation dynamique du systme
non linaire support de notre tude. On rappelle que cette opration
consiste placer des intgrateurs et dessiner graphiquement les
quations non linaires du modle soit ( )( ) ( ) ( ) ( ) ) , ,..., ,
,..., (1 1t t e t e t x t x fctdtt dxn n ii . Attention : ne pas
oublier les conditions initiales : on notera x1_init et x2_init les
variables associes
cesconditionsinitiales.Sauvervotreschmadansvotrerepertoirepersonneletlecompilersouslenom
PLANPH.- Linarisation autour dun point singulier laide de
scilabSous Scilab, crireles instructions fixant les valeurs de
x1_init et x2_init cellles du premier point singulier calculer
prcdement, i.e.>>x1_init=>>x2_init=Sous Scilab, charger
le schma :
>>chdir(/home/etudiant/caoscilab/votre_repertoire_de_travail);>>exec(load_PLANPH.sce);
et corriger les erreurs eventuellesSous Scilab, calculer les
matrices Ai,Bi,Ci,Di de la reprsentation dtat du modle linaris
autour de ce point :>>[Ai,Bi,Ci,Di]=lin_PLANPH();- Classement
des variables dtat En gnral, lorsque lon programme un schma, il est
trs frquent que le vecteurdtat utilis en interne par le logiciel:
1]1
21xixiXi ne soit pas le mme que celui que nous avions choisi :
1]1
21xxX. Il est donc important de savoir oprer un changement de
base qui nous permet de reclasser les variables dtat dans lodre o
nous les attendions. Si on a placPage 2TP mise niveaudes outport
sur les variables dtat dans le schma ,le vecteur Y des sorties du
schma scrit 1]1
21xxX Y. Or, dans la reprsentation dtat [Ai,Bi,Ci,Di]renvoye par
le logiciel, ce vecteur scrit : Y=C.Xi. On a donc : Xi = C-1.X
=T.X=> entrer sous scilab les instructions permettant de
calculer les matrices A1,B1,C1,D1 de la reprsentation dtat dans
notre base, en fonction des matrices Ai,Bi,Ci,Di, et de la matrice
de changement de base T >>
T=inv(C);>>A1=>>B1=>>C1=>>D1=- Calcul des
valeurs propres et vecteurs propres de A1, Analyse de la nature du
point dquilibrePour calculer les valeurs propres et vecteurs
propres de la matrice A1, on utilise la fonction spec de Scilab,
i.e. :>>[Tdiag,Ldiag]=spec(A1) Cela renvoie Tdiag : la
matrice des vecteurs propres de A1 exprims dans la mme base que X
=> X=Tdiag.Xdiag Xdiag=Tdiag-1.X Ldiag : La matrice A1 exprime
dans cette nouvelle base : Ldiag = Tdiag-1.A1 .Tdiag , Dduire de
Ldiag la nature du point dquilibre. Les rsultats obtenus sont-ils
cohrents avec ltude thorique que vous avez mene ?- Ecrire un
programme scilab permettant dtudier les autres points d'quilibre du
systme. Conclusion sur la nature des points d'quilibre.2.2 Commande
par correcteur linaireOndcidedefaireuneloi
decommandelinaireenchoisissantuncorrecteurdetypegainpur,
conformmentau schma suivant. 2.2.1 Calcul de la loi de commandePour
synthtiser le correcteur C(p), on procde de la faon suivante (faon
classique en automatique et ceci devrait treun acquis
mthodologique, voir programme de la licence)>> on linarisele
modleautour dunpoint dquilibre.Ce modlepermetalors
detraduirelecomportementdynamique de notre systme autour (et
seulement) du point dquilibre.>> on calcule la loi de
commande moyennant un cahier des charges.Page 3C(p)
G(p)yref(t)+-y(t)TP mise niveau- Dterminer lexpression de la
fonction de transfert ) () () (p up yp G modlisant le comportement
dynamique du systme autour du point singulier (0,0). On pourra
utiliser les instructions suivantes mais ce calcul tant trivial, il
sera bon de le faire manuellement et de vrifier le rsultat.>>
[At,Bt,Ct,Dt]=lin_PLANPH(); Attention de bien dfinir x1_init et
x2_init avant !>> sys_ABCD=syslin('c',At,Bt,Ct,Dt);>>
sys_nd=ss2tf(sys_ABCD);>> Num=sys_nd('num');
Den=sys_nd('den');>> ny=1; nu=1; Spcifier le numro dinport et
doutport qui vous intresse !>> G=Num(ny,nu)/Den(ny,nu);-
Dduire alors une valeur numrique de K permettant de stabiliser le
systme.2.2.2 On choisit prsent un correcteur de type avance de
phase, soit papaC p Cmm111) (0++ . Dterminer C0, a et m tel que la
marge de phase soit de 50 u= 2 rd/s. Implanterlecorrecteuret
faitesdessimulationsenrgulationavecdiffrentesvaleursdesconditions
initiales. Que pouvez conclure sur la stabilit globale du systme
boucl.Page 4
