TP3

Modelisation et commande d’un pendule inverse

1 Objectifs

L’objectif de ce TP est de controler un pendule inverse. Pour parvenir a cet objectif, ilest necessaire au prealable de :

— modeliser le chariot qui supporte le pendule et determiner sa zone de fonctionnement— modeliser le pendule en position standard (non inversee)— concevoir un correcteur base sur le modele.

Ce TP presente des similitudes avec de nombreuses applications ; par exemple en positioninversee, la stabilisation d’un Segway peut se ramener a la stabilisation d’un pendule inverse.En position standard, la charge situee en bas du pendule peut etre comparee a la chargedeplacee par une grue ; on cherchera dans ce cas a limiter les oscillations a l’extremite de lacharge ; on cherchera aussi a etre peu sensible aux perturbations (rafales de vent,...).

2 Presentation du procede

Figure 1 – Maquette du pendule et son module de commande

1

La maquette est constituee d’un pendule - qui peut fonctionner en position standard ouen position inversee - relie a un module de commande sur lequel les reglages seront effectues.Le pendule est fixe a un chariot solidaire d’une courroie dentee. Le chariot est asservi enposition par l’intermediaire d’un servomoteur.

Figure 2 – Face avant du module de commande

Le module de commande du pendule comporte plusieurs parties (Figure 2) :— le potentiometre P1 qui permet d’appliquer une tension comprise entre −10V et

+10V .— les potentiometres P3 et P4 qui permettent le reglage de l’asservissement de la posi-

tion du chariot (P3) avec contre-reaction sur la vitesse (P4)— le potentiometre P5 qui doit etre regle a la valeur de la longueur L afin que l’on puisse

obtenir au niveau de la borne L la variable y = x+ Lθ— un potentiometre P2 avec, au-dessus, un interrupteur qui permet de modifier le signe

du gain P2— un compensateur analogique : en fonction des elements electroniques places entre les

bornes C,D,E et F , il est possible de realiser un correcteur proportionnel, propor-tionnel derive,...Le reglage du gain du correcteur se fait par le biais du potentiometreP2.

3 Preparation

Afin de modeliser l’ensemble chariot+pendule, les variables seront conformes a la figure3 :

2

— L : distance entre l’axe de rotation du bras et le centre de gravite de l’ensemble(bras+poids situe a l’extremite).

— la masse du chariot est notee M et la masse de l’ensemble bras+poids est notee m.— x : position du chariot,— θ : angle du bras du pendule par rapport a l’axe vertical— y = x + L.sinθ : position du centre de gravite suivant l’axe horizontal ; dans tout le

TP, les variations de θ seront faibles autour du point d’equilibre (< 30o) de sorte quel’on approximera : y ' x+ L.θ.

Figure 3 – Schema de l’ensemble chariot+pendule

La position du chariot est deja asservie de telle sorte que la fonction de transfert du chariot(entre la position desiree du chariot xref et la position x du chariot) est donnee par :

Gc(s) =X(s)

Xref (s)=

Kc

1 + 2ξcωncs+ s2

ω2nc

En supposant les frottements negligeables et des variations de l’angle θ faibles, on peutmontrer que la dynamique complete du systeme pendule+chariot satisfait l’equation sui-vante :

x+ Lθ = gθ (1)

1. A partir de l’equation precedente, et sachant que y ' x+ L.θ determiner la fonctionde transfert (l’ecrire sous forme normalisee) :

Gp(s) =Y (s)

X(s)

3

2. En deduire les caracteristiques de la fonction de transfert :

Gp(s) =Kp

1 + 2ξpωnp

s− s2

ω2np

3. Etudier la stabilite du systeme Gp(s)

4. En partant de l’equation (1) et en considerant les conditions initiales θ(t = 0) = θ0,θ(t = 0) = 0, x(t = 0) = 0, x(t = 0) = 0 monter que :

θ(s) =Num1

1 + 2ξpωnp

s− s2

ω2np

X(s) +Num2

1 + 2ξpωnp

s− s2

ω2np

θ0

Noter que la reponse libre (ne depend que des conditions initiales) presente le memedenominateur que le regime force.

5. Soit le systeme en boucle ouverte de fonction de transfert :

HBO(s) =K

1− s2

ω20

Determiner sa fonction de transfert en boucle fermee et etudier la stabilite du systemeen boucle fermee (avec un retour unitaire) en fonction de la valeur de K (K peutprendre des valeurs positives ou negatives).

4 Etude du chariot - Experimentation

Pour effectuer les mesures de cette partie, le bras du pendule doit etre devisse. La ma-quette doit etre en position standard (non inverse).

4.1 Caracteristique statique du chariot

Pour tracer la caracteristique statique du chariot, on fait varier la tension ”Set Point” eton mesure la tension Vx image de la position du chariot x :

1. Regler la tension ”Set Point” a 0 (cette tension sera notee VSP ).

2. Regler le potentiometre P3 au maximum et le potentiometre P4 a une positonmediane.

3. Relier la borne A a la borne H pour appliquer la tension VSP a l’entree de l’asservis-sement du chariot.

4. Mettre la maquette sous tension.

5. Faire varier la tension VSP entre −10V a 10V par pas de 2V et relever avec deuxvoltmetres les tensions Vx et VSP .

6. Tracer la caracteristique statique (tension Vx en fonction de VSP ).

7. Deduire la plage de fonctionnement acceptable pour le chariot.

8. Determiner le gain statique Kc du chariot a partir de la caracteristique statique.

4

4.2 Etude dynamique du chariot - reponse temporelle

Afin d’etudier la reponse temporelle du chariot, un signal carre Vxref (t) est applique al’entree du chariot ; les tensions Vx(t) et Vxref (t) sont observees a l’oscilloscope :

1. A partir du reglage precedent des potentiometres P3 et P4, appliquer a l’entree del’asservissement du chariot (borne H) un signal carre d’amplitude crete-a-crete de 1Vet de frequence 1Hz.

2. Relever la reponse et mesurer le gain statique, le temps de reponse a 5%, l’instant dupremier depassement et le depassement du systeme.

3. Deduire de ces mesures les caracteristiques de la fonction de transfert

Gc(s) =Vx(s)

Vxref (s).

5 Etude dynamique pendule - Experimentation

— Essayer de stabiliser le bras du pendule (que vous avez devisse en debut de TP) en leplacant sur votre main ; n’hesitez pas a effectuer un mouvement du bras pour cela.

— Pres de votre maquette se trouve une tige plus longue que le bras du pendule. Essayerde stabiliser cette tige.

— Pour analyser ces resultats, rappeler l’expression theorique de la pulsation naturelleωnp du pendule. Faites la comparaison avec votre capacite a reagir rapidement.

A present, on se propose de vous remplacer par le chariot qui est plus rapide. Pour cela, vousdevrez comparer la pulsation naturelle du chariot ωnc a la pulsation naturelle du penduleωnp.

Afin de determiner les caracteristiques dynamiques du pendule seul, on se propose detracer la tension image de l’angle Vθ du bras du pendule. La maquette doit etre telle que lependule ne soit pas en position inversee.

Le chariot etant a l’arret, on va simplement ecarter la tige de sa position d’equilibre etrelever a l’oscilloscope la courbe Vθ conformement aux etapes ci-dessous :

1. Visser le bras a l’endroit prevu sur le chariot, le poids etant fixe a l’extremite du bras.Aucun cablage n’est necessaire pour la question suivante. Seule la maquette doit etrealimentee.

2. Connecter la tension Vθ a l’oscilloscope.

3. Attraper le bras et l’ecarter d’environ 30o de sa position d’equilibre (ne pas entrer enbutee). Lacher le bras sans vitesse initiale et relever Vθ.

4. Regler les sensibilites de l’oscilloscope de sorte a utiliser l’ecran au maximum.

5. Exploiter cette reponse pour obtenir la pulsation naturelle du pendule seul.

6. Analyser vos resultats et retrouver la longueur L du pendule. Votre resultat est-ilcoherent ?

5

6 Pendule inverse

Dans cette derniere partie, le pendule est en position inversee. La variable de sortie estla position y ' x+ L.θ.

— Faire le schema bloc qui relie Xref (s) a Y (s) en laissant en evidence la variableX(s). La variable Xref (s) = U(s) est a present l’entree de commande de l’ensemblechariot+pendule.

— On approche la fonction de transfert Gc(s) par son gain statique Kc. Expliquer pour-quoi cette approximation est possible.

— Completer le schema bloc dans le cas ou le pendule est commande par un correcteurproportionnel Kcorr. On appellera la consigne Yref (s).

— Calculer la fonction de transfert en boucle fermee et determiner ses poles. Est-ce quel’on peut stabiliser le systeme avec un correcteur proportionnel (positif ou negatif) ?

— On se propose de controler le pendule avec un correcteur a avance de phase (qui estaussi un correcteur proportionnel derive avec filtre) :

K(s) = Kcorr1 + aτKs

1 + τKs

L’objectif du correcteur est de rejeter une perturbation en 2.5 secondes maximum.Pour cela, le denominateur du systeme en boucle fermee sera :

(1 + τdess)(1 + +τdes2s)2

avec τdes1 = 0.01s, τdes2 = 0.5s.

1. Justifier le choix du denominateur desire (ordre et constantes de temps).

2. Expliquer (sans faire le calcul) la methode qui permet de calculer les parametresKcorr, a et τK du correcteur.

3. Le calcul n’est pas demande, mais si vous avez le temps en fin de seance, vouspourrez effectuer les calculs.

— Les composants electroniques mis a disposition pres de la maquette permettent derealiser le correcteur :

K(s) = Kcorr1 + 0.1s

1 + 0.01s= Kcorr

1 +RC1s

1 +RC2s.

Kcorr est realise grace au potentiometre P2 ; il peut etre positif ou negatif.

1. Determiner les valeurs de τK et de a correspondant au dispositif electronique.

2. Tester votre commande sur le systeme, en choisissant Kcorr negatif et legerementsuperieur a 1.

3. Appliquer une petite ”tape” sur le bras stabilise et verifier le rejet de perturbation.

6