C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Sbrie I, p. 783-788, 1997

fquations aux d&i&es partielles/Partial Differential Equations

Trace au bord la&al des solutions positives d’hquations paraboliques non linhaires

Moshe MARCIJS et Laurent Vl?RON

RCsumC. Soit I’Cquation (EP) : t(I - L/r + U” = 0 clans 0, Bx(0. ‘Tj, oil 4 est la bode unite ouverte de R,’ NOLIS montrons que toute solution positive II posskde une trace dkfinie de fac;on unique sur i), (2, = i)zJx (0. T) et donnCe par une mesure de Bore1 rkgulikre. positikpe (pas nkcskrement une mesure de Radon). Si 1 < q < (A’ + ?I)/( N + 1) il existe une correapondance univoque entre I’ensemble dc telles mesures et I’ensemble dex solutions positives de (EP) qui s’annullent en t = 0.

Lateral boundnry truce of positive solutions

of nonlinear parabolic equations

A bridged English Version

If (1 > 1, then by Brezis-Friedman (see [l]), there exists a constant C‘ = C’(N. ‘1) > 0 such that,

every positive solution of (PE) satisfies the estimate

Let (t.‘~) E (0. x)xS’-’ denote spherical coordinates in R”’ centered at the origin. The following result provides the basis for the definition of the lateral boundary trace.

Acknowledgements. This worl\ was supported by the scientific cooperation program between France and Isra4 PICS 296.

Note prbent6e par Ha’im BRWS.

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M. Marcus et L. V&on

THEOREM I. ~ If 11 is N positive solution of (PE) in Q T, the ,fdlowing alternuti~le holds for every 2 = (LLI.~()) E ti,tIJ~ = LIBx(0.T). Either

(i) ,fi)r e\lerx relati\,e neighborhood C? of ~2 on i),QI,

(2)

. . lirn I’1 II u(7.. 0. t)dt da = x.

.i

. . lim I’- 1 II IL(7.. CT. /)C(cr. t)dcJ t1t = Y(i)

. . i:

where k is N linear positive fiinctional on C.“c(fi).

If 11, is a function defined on QT denote by h its extension to & = I?x (-T. T) which is zero for t 5 0. Clearly if II is a positive solution vanishing at 1 = 0, ii, is a solution on 0~. A point 2 E iJ((Jy, = i)Bx (0.7‘) will be called a regular boundary point of o if (ii) holds with respect to ri. The set of regular boundary points will be denoted by R and its complement S = i)B x [O, T)\R will be called the set ofsingular boutzdury points of (1. Then there exists a positive Radon measure /r on R such that

(3) lim ,,+I u( I'. 0. t)((a. t)da dt = . II . I; . II <d/r. (V'i E C,,(R)). . '72 As in 171. the couple (R. /I) defines in a unique way a regular Bore1 measure 11 on i)Bx [(I. T) such that 7/l 7: is a Radon measure and v(P) = 3;: whenever P E S. This measure will be called the lateral houndq truce of 7~ and we write 71 = TrB(,u).

The critical value of the exponent 9 with respect to the removability of boundary singularities of solutions of (PE) is %. = (N + 3)/(N + 1). If y 2 yc. then y isolated boundary singularities are removable, but this is not the case when 1 < (1 < qr..

Assume that I < (1 < (I(. and let w E i)U. For every (’ > 0, there exists a unique solution ~~~.,~.a of (PE) such that

(5) ‘Tr/ ( (‘, .&..a) = hd,,, and ?J,.,,,() = 0 at t = 0.

Let W(.r,. ~‘0. f. to) be the heat kernel in B x R, and let PH be the Poisson-heat kernel defined by

(6) PH(.r.w’. t. T) = -gpJ, L.7). for all (ti. T) E i)B x R,

where n is the outward unit normal on i)B. If 62 = (w% 7) t i)Bx [(I. T), denote by ,GI..:, the solution of (PE) in tjY. defined by il, ,,(:I:. t) = %l,,,,,j(:~:. t - 7). Then I:( ,> exhibits the following behaviour:

(7) il,.,;(.C. t)/rH(LW. t. T) - c: as (A., t) f (Ld. T).

When (: goes to infinity, “(.,, increases and converges to a solution II,,, of (PE) which satisfies (7) with r’ = X. This is in fact the unique solution satisfying these initial boundary conditions.

THEOREM 2. - Assume 1 < y < yc. Then ~2 E S $ and only $

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Trace au bord lateral des solutions positives d’bquations paraboliques non lineaires

Moreover, if S hns (I nonempty relative interior. then

(9) ply - ,p(“-%(,27, f,) = (‘L(q + l)/((/ - 1))1”~~?

uniformly on any compuct subset of S.

THEOREM 3. - Assume 1 < (1 < q(. ; then j2)r any positi\ve regulcu Bore1 melisure 11 on iI, C),., there e.rists a unique positir,e solution 11. of ( I ) in Q 7 with 11 = Trf (7~) which vanishes ,for t = 0.

If (1 > (I<., the existence of solutions of (PE) with prescribed lateral trace 11 is more complicated. Clearly it is no longer true that the problem possesses a solution for every regular Bore1 measure 11. However, assuming for simplicity that the initial data is zero, we can provide necessary and sufficient conditions for the existence of such a solution which is moreover a maximal solution. These condition are similar to those obtained in [7] with respect to the elliptic problem.

Si (1 > 1 et si II est une solution positive de (PE) dans C) T, il ksulte de Brezis-Friedman [I] qu’il existe une constante (’ = C’( X. (1) > 0 telle que

(I) fL(.l..f) 2 ~rn;tx((l - 1.1:1)-2!(q+ t~“l+j).

Soient (f: c) t (0. XX) x S”‘-’ les coordonnkes sphkriques dans RjY, alors le rCsultat suivant fournit le fondement de la definition de la trace IatCrale du bord d’une solution positive de (EP).

TH~ORI;ME 1. ~ Si ‘~1 est une solution positive de (EP) duns Q T, on a l’alternative suivante en tout

point ij = (w, t,,) E i)fQT = ijBx(O. T) : 011 bien (i) pour tout lwisinage relatjf’ d de % sur L)~QT

(2) Iim 1-l I/

u(r, ff, t)dt tiff = cc.

. i-

ou bien (ii) il existe un voisinage relatif ci de ~2 sur &Qr tel que pour tout { E C‘(;“(ci)

. .

(3) lirn 1’7 I II

u(7., 0, i){(a, t&J lit = l(C). . .r-

oti I’ est une jiinctionnelle positive sur C;?(O). Si /I est une fonction dkfinie dans QT-, on note h son extension 2 07, = B x (-T, T) identiquement

nulle pour t <A 0. Soit u une solution de (EP) nulle en t = 0. de sorte que ir est une solution de (EP) dans QT, alors un point G E &QT = i)B x (0, T) sera appelC un point front&e de u si l’assertion (ii) est vCrifiCe. L-ensemble des points front&e rCguliers sera not6 R et son complkment S = i)Bx [0, T)\R sera l’ensemble des points frontike singuliers de ‘1~. II existe alors une mesure de Radon positive 1-1, sur R telle que

. . . .

(4) lim r,+l II

lI( r, (T. t)C(rr, t)drr dt = I!

C&L> (W E G(R)). . 77 li

Comme dans [7] le couple (R. I/,) d&nit d’une fagon unique une mesure de Bore1 rkgulittre I/ sur aL3 x [0, T) telle que 711,~ est une mesure de Radon sur 72 et 71(P) = ‘cc dks que I’ l S. L’exposant vi = (N + ;I;)/( N - 1) joue un rBle crucial puisqu’on a le rksultat d’C1iminabilitC :

PROPOSITION I, - Supposons q 2 qC et soient G = (w, 7) E iIZ?x [O, 7’) et 7~ une solution de (EP) duns cl?,. continue dans B x [(I, 7’)\; q ui coi’ncide sur (~Bx [O. T)UBx {(I})\& avec une fonction continue dkjinie sur ji)B x [O. T)uD x {O}). Al ors ILL est continue duns B x [O. T).

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M. Marcus et 1. V&on

Quand 1 < (I < cl, il existe des solutions de (EP) dans C), avec des singularit& isolkes au bord. Soient H(:r,. .I’(). t. fo) le noyau de la chaleur dans BxR et PH le noyau Poisson-chaleur dCfini par

(5) PH(.w.l.~) = -&H(.r.u.f.r). (‘v’i; = (ti.~) E ilB x R)

oti t) est le vecteur unitaire sortant normal j a/?. Ce noyau vkrifie pH(:,:. ~ci. f. 7) = FH(.f:. ul. t--7,0) et

(7) - (V’(: E r(;-‘(n x [NT))).

Dans le cas particulier OITI 11 = ~4,,,~~, ((, > O), on appelle 17~ ,-, cl la solution de (PE) telle que

(8) J‘1.f i ~‘,L.Uj = +.,,) c’t ll,.,;,,, = 0 ]““Il’ t = 0.

En outre. si 5 = (d. T) E iIBx[O.T). on note ij,..; la solution de (EP) dans (2~ dkfinie par IJ,,~(.I,. 1) = (I,.,, ..,, (.~..t - 7-j. L e comportement de i;,.; en (UJ.T) est le suivant :

(9) ;>,.,;(.r. t)/l’H(.Ihd. t.7) - (’ qllmd (.r:.f) - (w. T).

Quand (’ tend vers I’intini, F, .; croit et converge vers il,,;. unique solution de (EP) qui vCrifie (9) avec c = x. En fait,

(IO) it, -,(,I., f) z /pl/i’~P1l

f((,r ~ +/CT) c1u;rntl (.I.. t) 1 G.

oil ,f est I’unique solution positive dans Hii(R$)nL:,+‘l(RT) (avec K(!/) = ,i’ii-‘i4) de l’kquation

(I 1) -1.1’ + ;!I c,f + &f - .f” = 0 ths R; = R: x R.‘-’

qui s’annule sur dR$ = (0) xR.‘-‘. On a le rksultat suivant de description des singularit& isolkes au bord des solutions de (EP) :

(12) I/(./.. t)//l,..;(.r. t) + C’ yrrtrrd (I. t) f L2.

Ce rkultat permet de caractCriser les points singuliers de la trace dans le cas sous-critique :

THLOKLME 2. - SU~I~IO.SOILS 1 < q < q<.. Alms W = (w. T) E S si, et .sedrn7ent si,

(I.?) //,(.I.. t) > ;~,;(:I:. f). (kq.1.. f) t C&).

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Trace au bord IatCral des solutions positives d’kquations paraboliques non linkaires

En outre, si S est d’intt!rieur relahf non vide, on a

(14) lirrl( 1 _ ,f.)‘/(Ypl) Ii1

u(7.. CJ. t) = (2(q + l)/(q - l))“~(~-?

unifkmt!ment sur les snus-ensembles compacts de S.

TH~ORBME 3. - Supposons 1 < (1 < qc, alors pour toute mesure de Bowl positive et rtgulikre

71 sur i)cC)~, il existe une unique solution positive TI, de (EP) datzs (21, relle que ‘I‘rt( 11,) = 71. qui s’atmule en t = 0.

Remarque. - Si (1 2 y,. l’existence d’une solution de (EP) avec une trace IatCrale 71 est plus compliquke et le probkme ne posskde pas toujours une solution si 71 est une mesure de Bore1 rCguli?re arbitraire. Cependant, on peut dormer des conditions nkcessaires et suffisantes pour I’existence d’une telle solution qui, en fait. est une solution maximale.

Principe des de’tnonsrrLltion.s. - La clef de la dkmonstration du thCor?me 1 est le rksultat suivant :

LEMhlE 1. - Soient 1: utz domaine rkgulier de ssy-’ de bord X1 rkgulier et (r7(- lu prerniPre,fitnction

propre de As Y I dates LV,i.‘( U) normalisPe par

(13) 0 5 pr- 5 s;!)pr. = I. to E (O.T)7 E (O,l~lill(to.T-to)) of 0 > (rl+ l)/((I- 1)

On pose q(t) = (to - t - ~)+(t - to + T)+. I = (to - T. t,, + T) el on a i’altertzati~~e .sui\.attte :

(i) ou biet? .1 . .

(16) I II

l/‘%/” p;? ( 1 - 7.) d(T df fh = 3c. II . . l.XI

et dans ce cas

(17)

ou bietz

(18)

et dutls ce ca.s, pour toule fottctiotz i E C’:‘( Ux I) ~+rijant

pour X: 2 0, la litnite

(20)

et I ‘upplication < H p( < ) est utte ,fimctiontzelle 1inPaire croissatlte df+rzie .sur I ‘et7semble de.s,fimclions de classc C’2,1 duns CT x I qui vdr$ent ( 19).

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M. Marcus et L. V&on

Les demonstrations des propositions I. 2 et 3 utilisent le spectre de l’operateur II H LU = K~ltliv(KG,~l) dans I’espace ITi.,( completede C;T(R$) dans H:;(R$) avec K(y) = eiYlL/2. En adaptant les methodes de ]3] on demontre que les valeurs propres de L sont les Xk = (N + k)/2 avec k > 1. et que le premier espace propre est engendre par ;y = (1~~. . . , yj%-) c-t gIe -lYl”/2. par

consequent. si q > y,., on a l/(y - 1) 5 X1 = (iv + 1)/Z, ce qui implique

Quand 1 < (! < qC.. E, n’est pas reduit a {O}. mais contient un unique Clement positif, soit f. Pour demontrer la proposition 2 on verifie tout d’abord que si .c/. 11 et 11 sont des fonctions appartenant respectivement a L’(C),.h(.l,)(~.c/lt), L’(&QT) et L1(C1T)nL’I(G2,.d(:l:)d:l:tlt) et telles que

on a l’estimation suivante (due a Brezis dans le cas elliptique) :

En outre, si 1 < y < rll, si /1 est une mesure de Radon bornee sur &C), et si

. (2.1) (P * p)(.r.t) = II P(.r:,LU. 1, T)&l(iu'. 7). (~(x. t) E B x [O. 7-l). . . i),Qr alors PN * 1-1 E LOT, cl(:r)tl:rdt), la proposition 2 en decoule. Dans le cas ou /L = r:h;(c > 0), on obtient I’existence de ,<I, .> puis de 1:,.; qui a le comportement donne par (10). En outre, V,,, est la solution maximale parmi les solutions II de (EP) qui sont nulles sur (i3Bx [0, T)UBx {O})\Cl. Les demonstrations des theoremes 2 et 3 s’inspirent des methodes introduites dans [5], [6] et [7].

Note remise et accept& le 19 decembre 1996.

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