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Ecole Normale Supérieure de CachanDépartement de Génie Mécanique et de génie Civil
Résumé de cours
traction de poutre HPP au comportement non lineaire
Bertin Morgan
Cachan, le 8 juin 2009
Table des matières
I introduction 3
1 hypothèses de l'étude 3
2 objéctifs 3
II Rappels et généralités 3
3 torseur des e�orts intérieurs 3
3.1 Les di�érents cas rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Hypothèses fondamentales de la RDM 4
4 L'hypothèse d'Euler Bernouilli 4
4.1 Déformation par rapport à la ligne moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IV Conséquences de l'hypothèse d'Euler Bernouilli et d'un comportement élat-sique 4
5 Loi de comportement élastique de la poutre 4
6 Calcul des contraintes dans une section droite 4
6.1 Pro�l de la contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.2 Contraintes dues aux e�orts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
V Comportement non linéaire des matériaux 5
7 Le béton 5
7.1 Traction et �exion d'une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
VI Comportement non linéaire de poutre métalliques 5
8 Loi de comportement 5
8.1 Loi de comportement en traction en non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.2 Loi de comportement en �éxion en non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9 Moment géométrique 6
9.1 exemple d'une surface réctangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
10 Problème complet de RDM en élasticité 6
VII Comportement au jeune age 6
11 Hydratation du ciment 6
11.1 Etude thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1.1 Dégagment de chaleur lors de l'hydratation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1.2 Mesure du dégament de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1.3 Capacité calori�que d'un matériaux hétérogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2
12 Modélisation 7
12.1 Hydratation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.1 Le degrée d'hydratation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3
Première partie
introduction
1 hypothèses de l'étude
- Pas de torsion- Hypothèse des petites déformations (HPP)- Structures faites d'un seul matériau
2 objéctifs
Donner les bases pour le calcul des structures en béton armé.
Deuxième partie
Rappels et généralités
Le torseur des e�orts intérieurs traduit les e�orts de cohésions de la matière. Pour un modèle 1D :
{τint} = {τs+s−}
E�orts généralisés :ForcesMoments ⇒ Champs de contrainte σ
Analyse des di�érences 1D 3D :
1D 3D
dNdx + fx = 0 Loi d'équilibre div(σ) + f = 0dMdx + T = 0 ""
Cinématique d'une poutre cinématique 3Ddéplacement u = (u, v, w) déplacement u = (ux, uy, uz)rotation θ = (θx, θy, θz) néant
Encastrement d'une poutre 1D Encastrement d'une poutre 3Du = v = w = 0 ux = uy = uz = 0
θx = θy = θz = 0,∀x = 0 ∀M ∈ Σ0
3 torseur des e�orts intérieurs
Il se calcul statiquement par :
{τint} = {τs−s+}
il s'écrit :
{τint} =∣∣∣∣~R = N(x)~x+ Vy(x)~y + Vzx~z~M = T (x)~x+My(x)~yMz~z
Ici T =moment de torsion = 0 (voir les hypothèses de l'étude). Pour un point x d'une poutre droite d'absissecurviligne s = x on a :
N = e�ort normalVy, Vz = e�orts tranchantsMy,Mz =moments de �exion
4
3.1 Les di�érents cas rencontrés
� Traction, N seul les autres nuls.� Flexion pure dans le plan Oxy si Mz seul, les autres nuls.Flexion simple dans le plan Oxy si Mz et Vy seuls non nuls.
Troisième partie
Hypothèses fondamentales de la RDM
• La théorie des poutres est basée sur l'hypothèse des petites perturbation, petites rotations. Attention pourles structures souples. La relation ε = du
dx est véri�é en 1D.
• Le principe de Saint Venant permet de dé�nir les grandeurs statiques (moments, e�orts en 1D ) qui ontà une certaine distance (relativement faible) de leur point d'application le même e�et qu'un champ de vecteurcontrainte normal (3D).
• L'hypothèse d'Euler Bernouilli qui conduit à une cnétique simple à utiliser.Remarque : Une hypothèse moins forte (sans l'orthogonalité de la séction droite par rapport à la ligne moyenn).
4 L'hypothèse d'Euler Bernouilli
4.1 Déformation par rapport à la ligne moyenne
εxx = a0 + a1y + a2z
ou les ai dépendent de x, dépendent linéairement de y et de z.ai écriture 1 écriture 20 u′(x) ε(x)1 − d
dxθz −v′′(x)2 − d
dxθy −ω′′(x)
Quatrième partie
Conséquences de l'hypothèse d'Euler Bernouilli et
d'un comportement élatsique
plan oxy Mz = EIzv′′(x) Iz =
∫ ∫y2dS
plan oyz My = −EIyω′′ Iz =∫ ∫
y2dS
5 Loi de comportement élastique de la poutre
N = Eδε = Eδu′(x)My = −EIω′′ = EIθ′yMz = EIv′′ = EIθ′z
6 Calcul des contraintes dans une section droite
6.1 Pro�l de la contrainte
σxx =N
S− Mz
Izy +
My
Iyz
5
Pro�l linéaire de la contrainte σxx dans une section droite.
6.2 Contraintes dues aux e�orts tranchants
On isole la petite partie de solide entre x et x+ dx et on lui applique le principe fondamental de la statiquesuivantx.
σxy(y0) = −∫ h
2
−h2
∂
−∂xσxxdy (1)
Et en utilisant l'équation d'équilibre
∂
∂xσxy = −dMz
dx· yIz
= Vyy
Iz(2)
En utilisant (1) et (2) on obtient avec Vy l'e�ort tranchant :
σxy(y0) =Vy
2Iz· [h
2
4− y2
0 ]
On aboutit donc à la conclusion suivante : pas d'e�ort tranchant implique qu'il n'éxiste pas de contraintede cisaillement.
Cinquième partie
Comportement non linéaire des matériaux
7 Le béton
σbc = fc · [1− (εbc
ε0− 1)2] ∀εbc < ε0
σbc = fc ∀εbc ∈ [ε0, εr]
Rupture (compression) des que εbc = εR.
7.1 Traction et �exion d'une plaque
Nous sommes en déformation en traction plane.
σzz = νσxx σxx = E′εxx E′ =E
1− γ2
Sixième partie
Comportement non linéaire de poutre métalliques
8 Loi de comportement
8.1 Loi de comportement en traction en non linéaire
N = KS|ε| 1n sign(ε)
8.2 Loi de comportement en �éxion en non linéaire
M = KJ |v′′| 1n sgn(v′′)
6
9 Moment géométrique
J = 2∫ ∫
y>0
y1+ 1n dS
9.1 exemple d'une surface réctangulaire
b suivant z et h suivant y.
J =b · h2+ 1
n
21+ 1n · (2 + 1
n )
10 Problème complet de RDM en élasticité
• Equations d'équilibres.• Conditions aux limites + chargement → N,My,Mz (Vy, Vz).• Comportement élastique ou Comportement non linéaire.
Septième partie
Comportement au jeune age
11 Hydratation du ciment
eau + ciment → hydrates + chaleur.Le ciment est composé de 80% de calcaire et de 20% d'argile, broyé et chau�é à 1450�C cela donne le clinkercomposé de 4 éléments principaux : C3S, C2S, C2A, C4AF . On rajoute au clinker du Gypse pour éviter lephénomène de fausse prise. On ajoute éventuellement aussi des déchets de silice, de cendres volantes, laitier.Ceci dans le but de valoriser les déchets ou améliorer les performances mécaniques ou de durabilités. Les pro-portions des éléments principaux (C3S, C2S, ...) dépendent de la cimenterie.
Il y a di�érentes étapes de l'hydratation du béton :
• Dissolution : les grain de clinker se disolvent partielement.• Précipitation : Vhydrates ≈ 2Vciment ayant ragit, la couche d'hydrtates est poreuse, elle permet donc toujoursla dissolution.• Di�usion, dissolution, précipitation : la couche d'hydrates internes se forment dans un espace con�né (porositéplus faible).
Plus on broye le ciment, plus on augmente les surfaces d'échanges et donc la cinétique.
Fig. 1 � Cinétique d'hydratation
7
11.1 Etude thermique
11.1.1 Dégagment de chaleur lors de l'hydratation
qc =n∑
i=1
φi · qi
qc : Chaleur massique d'hydratation du ciment.qi : Chaleur massique d'hydratation de la phase i.
11.1.2 Mesure du dégament de chaleur
On mesure la température de la patte de ciment placé dans une enceinte calorifugé. Bilan d'énérgie :dqbet − dQp(t) = mpdc · Cpdc · dTpdc(t) qpdc(t) = mc · qc(t).
11.1.3 Capacité calori�que d'un matériaux hétérogène
Cthmoy =
∑i
fiCthi
fi : Capacité calori�que Volumique du constituant i.Cth
i : Proportion volumique du consituant i.
12 Modélisation
12.1 Hydratation
Dégré d'hydratation moyen, toutes les réactions chimiques existent. On sèche le béton pour limiter laquantité d'eau dans les pores. On considère un système fermé (sans pertes de masse) :• Granulat : inerte.• Ciment : conservation lors de l'hydratation. dma
dt = dmsa
dt , avec ma : masse d'anhydre et msa : masse de cimentqui a réagit.• Eau : même relation que précedement.
12.1.1 Le degrée d'hydratation
ξ(t) =mse(t)mse(∞)
mse(t) : masse d'eau consommée lors de l'hydratation.mse(∞) : masse d'eau consommée lorsque l'hydratation est complète.
E
C=
m H20 introduitm ciment introduit
EC élevé : hydratation complète pour t→∞.EC faible : hydratation incomplète.
8