Cours SOLLICITATIONS COMPOSEES (R.d.M) Mécanique

TRACTION ou COMPRESSION - FLEXION Définition :

Un arbre est soumis à une sollicitation de Traction-Flexion si le torseur de cohésion, dans

une section quelconque est de la forme : { }GGz

yGcoh

MfTNx

T

=0

00

)(

Remarques : Nx est l’effort normal et Ty l’effort tranchant dans la section considérée.MfGz est le moment fléchissant dans les plans Oxz de la section.

CALCUL DES CONTRAINTES maximales ( de Traction et de Flexion)

Contraintes de traction Contraintes de flexion

σ1 : contrainte de traction

La contrainte est constante dans toute la section

X

M

Axe central

Section A

σM

Zone de tractionFibres étirées uniformément

Poutre étudiée

σ2 : contrainte de flexion

La contrainte est évolutive : de nulle sur la fibre neutre à maximale à la périphérie de la section

X

M

Fibre neutre

YM

Section A

σM

Zone de tractionFibres étirées

Zone de compressionFibres comprimées

Poutre étudiée

Superposition des contraintes

X

M

Fibre neutre

YM

Section A

σM

Zone de tractionFibres étirées

Zone de compressionFibres comprimées

Poutre étudiée

La contrainte est évolutive : de nulle sur la fibre neutre à maximale à la périphérie de la section; avec comme différence un décalage de la fibre neutre due à l'addition ou soustraction de la contrainte de traction dans les différentes zones de flexion coté zone fibres comprimées ou étirées.

Cette particularité de décalage de la fibre neutre entraine une asymétrie dans les contraintes ; cette asymétrie pourra être compensée ou régulée par la création d'un profil asymétrique.

Pour certain matériau tel le béton ne supportant (principalement) que des contraintes de compression – et soumis à de la flexion, on annilhera les contraintes de traction par une précontrainte de compression.

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Dans la zone au dessus de l’axe x : Dans la zone au dessous de l’axe x

AAA 21 σσσ +=

AAA 21 σσσ −=

AAA 21 σσσ +=

AAA 21 σσσ +=

Zone de compressionFibres comprimées

MaxGz

fGzA y

I

M

S

N.

−=σ Zone de tractionFibres étirées

MaxGz

fGzA y

I

M

S

N.

+=σ

La sollicitation de Flexion-Traction déplace la fibre neutre.

Condition de résistance Contrainte de compression Contrainte de traction

σA ≤ Rpc σA ≤ Rpe

TRACTION ou COMPRESSION - TORSION Définition :

Un arbre est soumis à une sollicitation de Traction-Torsion si le torseur de cohésion, dans

une section quelconque est de la forme : { }G

Gcoh

MtxNxT

=0000)(

CALCUL DES CONTRAINTES maximales ( de Traction et de Torsion)

On définit alors une contrainte idéale : σidéale

σidéale ²42 τσ += avec σidéale ≤ Rpe ( sRR e

pe = )On définit au préalable de manière classique la contrainte σ de traction puis de même la contrainteDe torsion τ .

FLEXION - TORSIONDéfinition :

Un arbre est soumis à une sollicitation de flexion-torsion si le torseur de cohésion, dans une

section quelconque est de la forme : { }GGzz

GyyGcoh

MfTMfTMt

T

=0

)(

Remarques : Ty et Tz sont les efforts tranchants dans la section considérée.MfGy et MfGz sont les moments fléchissants dans les plans Oxz et Oxy dans la section.Un des 2 efforts tranchants et un des 2 moments fléchissants peuvent être nuls.

Quand un des 2 moments n’est pas nul, on calcule le Moment fléchissant résultant par section :

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CB

Plan Oxz

D

A

Plan Oxy

MfGz : dans le plan OxzMfGy : dans le plan Oxy

Moment résultant en B :

²²)( GzGyB MfMfMf +=

CALCUL DES CONTRAINTES maximales ( de Flexion et de Torsion)On démontre que la double sollicitation de flexion-torsion donne naissance à des

contraintes normales supérieures à celles de flexion simple, et à des contraintes tangentielles supérieures à celle de torsion simple.On peut calculer la contrainte normale maximale à l’aide du Moment idéal de flexion.

²².21

.211 MtMfMfi ++

−=

λλCALCUL DU MOMENT IDEAL DE FLEXION

Matériau Expression de MfiAcier

λ λ≈ ≈RpgRpe

....... 12

Mfi Mf Mt= +² ²formule de Coulomb

Fonteλ ≈ 1 Mfi Mf Mf Mt= + +1

212

² ²formule de Rankine

Matériaux moulés

λ ≈ 45

Mfi Mf Mf Mt= + +38

58

² ²formule de Saint-Venant

On calcule parfois le moment idéal de torsion :Mti Mf Mt= +² ²CONTRAINTES maximales

- de Flexion avec le moment de flexion idéal précédent

- de Torsion avec le moment de torsion idéal précédent

yzI

MfG

Gi=σ et σMaxi≤ Rpe (

sRR e

pe = )ρ

τ0I

MtiM =

et RpgMaxi ≤τ

CALCUL DES DEFORMATIONS (en Flexion et Torsion)

On calcule les déformations (flèche Maxi et angle de torsion) en partant des sollicitations simples.(voir fiches Torsion et Flexion cours Résistance des matériaux.doc).

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Utilisation de logiciel(s) de calculs par éléments finis(logiciel cosmos et équivalent)

La contrainte retenue est généralement celle du critère de Von Mises ou du critère de Tresca.

Dans un cas de sollicitations planes, pour lequel on n'a que deux contraintes normale σ et de cisaillement τ, les définitions deviennent : - critère de Von Mises

- critère de Tresca

Ces contraintes équivalentes σe sont à comparer avec le domaine élastique Re du matériau

• σe < Re : domaine élastique • σe > Re : domaine plastique.

Les programmes de calcul par éléments finis représentent en général le champ de contrainte équivalente par une carte de couleur, le bleu correspondant à une contrainte nulle et le rouge à la contrainte équivalente maximale. On peut ainsi détecter le ou les points critiques de la pièce.

Si, pour les matériaux ductiles, von Mises est un peu plus précis que Tresca, de nombreuses vérifications expérimentales ont donné des résultats situés sur la frontière entre les deux critères.

- Tresca, plus simple et souvent utilisé, est plus conservatif en laissant une marge de sécurité légèrement plus grande.

- Cependant, beaucoup de programmes commerciaux d'analyse des contraintes et d'éléments finis s'appuient sur von Mises ; de ce fait, il existe une tendance naturelle à utiliser celui-ci en toutes circonstances.

Pour informations : Dans le cas de sollicitations tridimensionnelles, ( la majorité des calculs d'un logiciel CAO )

On définit classiquement deux contraintes effectives :

• la contrainte de Tresca :

(maximum de la valeur absolue de la différence des contraintes )

• la contrainte de von Mises :

Ces contraintes équivalentes σe sont aussi à comparer avec le domaine élastique Re du matériau

• σe < Re : domaine élastique • σe > Re : domaine plastique.

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